Курсовая работа: Скалярная проекция гиперкомплексных чисел. Гиперкомплексные числа реферат

Реферат - Скалярная проекция гиперкомплексных чисел

Каратаев Е.А.

Введение.

При первой же попытке рассмотрения гиперкомплексных чисел в качестве основания для соответствующей геометрии возникает желание найти в гиперкомплексных числах аналоги геометрических понятий. И одной из первых трудностей становится поиск аналога скалярного произведения. Если в геометрии есть проекция отрезка, в векторной алгебре есть скалярное произведение, то чему же это понятие соответствует в гиперкомплексных числах?

Стремление к общности определения наталкивается на ряд понятий, которые оказались введены в классическом подходе в виде, как говорят студенты, “подгонки”. И скалярное произведение, и сопряжение, как оказалось, были введены в математику аксиоматически и теоремы, использоваашие их определение, естественным образом подтвердили их свойства, вытекающие однозначным образом из их определения.

Классическая форма (билинейная форма) была использована, например, в теореме Гурвица и тем самым было введено ограничение на набор рассматриваемых алгебр. Дальнейшие попытки развития теории гиперкомплексных алгебр пошли не по пути рассмотрения свойств алгебр, образующихся путем удвоения и использования этих свойств, а по пути рассмотрения алгебр над полями со все более глубокой их структуризацией.

Мне хотелось бы до конца выяснить вопрос — что является аналогом скалярного произведения в гиперкомплексных числах и, сравнив два подхода, выяснить, где находятся белые пятна классического подхода. И скромно предположить направление исследований, которое может дать, возможно, полезные в технике и физике результаты.

Скалярное же произведение в классической геометрии, определяемое в виде билинейной формы, к гиперкомплексным числам не подходит в общем случае, поскольку автоматически означает и требование билинейности квадрата модуля. А таким требованиям отвечает меньшая часть алгебр. Остальные имеют определение 4-й степени модуля в виде 4-х линейной формы, или, возможно, еще более высокого порядка.

В этой статье и предпринимается попытка отыскания формально общего определения скалярного произведения в форме, допускающей его применение к таким алгебрам с 4-х линейными формами.

1. Классический подход.

Возьмем на плоскости два вектора

Обозначим концы данных векторов соответственно через X и Y. Из формулы для расстояния между двумя точками имеем:

откуда следует

(1)

Из этого равенства, если учесть теорему Пифагора, легко увидеть, что необходимым и достаточным условием перпендикулярности и является

Заметим, что если это же рассуждение применить к векторам не на плоскости, а в пространстве, то получим условие перпендикулярности в аналогичной форме:

Формула (1) наводит на мысль связать с каждой парой векторов и на плоскости число

(2)

а в пространстве — число

(2’)

Это число в геометрии называют скалярным произведением векторов и и обозначают (x,y). Заметим, что длина произвольного вектора x выражается через скалярное произведение. А именно, в случае плоскости

а в случае пространства

Вышеприведенный ход рассуждений взят из книги [1] и является своего рода образцом. Отмечу еще раз, что скалярное произведение вводится на основе теоремы Пифагора, а не наоборот, как иногда пытаются доказать ленивые студенты.

К основным свойствам скалярного произведения относят:

1) , причем (x,x) только при x = 0

2) (x,y) = (y,x)

3) (x,ky) = k(x,y) где k — любое действительное число

4) (x,y+z)=(x,y)+(x,z)

При любом обобщении, как пишут Кантор и Солодовников, понятия скалярного произведения на n — мерный случай желательно, чтобы свойства 1) — 4) сохранили силу. Ввиду этого примем следующее определение.

Определение. Будем говорить, что в n — мерном векторном пространстве An задано скалярное произведение, если каждым двум векторам x и y сопоставлено некоторое действительное число — обозначим его (x,y) — так, что выполнены свойства 1), 2), 3), 4). Число (x,y) будем называть скалярным произведением вектора x на вектор y.

В более общем виде скалярное произведение определяется как

где — базисные вектора.

Величины

являются постоянными числами, зависящими только от выбранного базиса. Таким образом, если выбран базис, то

Вышеприведенное классическое определение скалярного произведения сыграло в математике своего рода роль фундамента, причем весьма прочного и основательного. И к большому сожалению такой подход не дал результатов в финслеровых геометриях, когда величина вектора определяется не через билинейную форму, а через n — линейную.

2. Геометрическая трактовка проекции.

Для введения определения скалярного произведения в форме, допустимой к использованию, рассмотрим принцип формирования проекции и попробуем ее формализовать. Обратим внимание на обычные вектора в 2-х или 3-х мерном пространстве.

Проекцией назовем величину, равную расстоянию от начала координат до точки пересечения вектора A с перпендикуляром, построенным на него из точки B. Теперь представим себе, что пространство — это пространство компонент гиперкомплексного числа, и значит построить перпендикуляр мы пока не можем, поскольку это понятие еще не определено.

Теперь повернем оба наших аектора так, чтобы вектор A совпал с одной из осей. В этом случае проекция вектора B на вектор A определяется особенно просто — надо взять компоненту, соответствующую оси X, и эта величина и будет проекцией.

Для того, чтобы этот метода работал в произвольно взятой системе гиперкомплексных чисел Кэли — Диксона, выберем в качестве такой целевой оси для доворота действительную ось, поскольку в любой алгебре Кэли — Диксона определена действительная компонента.

Отметим тот факт, что поворот должен осуществляться в плоскости, проходящей через действительную ось и мы можем использовать механизм скалярно — пространственных поворотов, описанный в работе [2]. В случае использования алгебр, коммутативных по умножению, поворот может быть осуществлен так же, как на обычной комплексной плоскости, путем простого умножения на оператор поворота.

3. Скалярная проекция гиперкомплексных чисел.

Будем искать оператор поворота в виде

Будучи примененным к вектору A, этот поворот должен дать действительное число:

Несложно видеть, что этому уравнению удовлетворяет решение

Или, иначе говоря, сам вектор A и задает оператор поворота, на который следует его повернуть, чтобы получить действительное число.

Применив этот оператор поворота к вектору B, получим:

И для того, чтобы получить проекцию, следует взять действительную часть вектора B’ и провести соответствующую нормировку, поскольку указанным поворотом мы исказили величину модуля вектора B.

К числу весьма важных свойств скалярного произведения относится:

Поэтому, стремясь найти для гиперкомплексных чисел полную аналогию скалярному произведению, мы не будем использовать нормировок. В этом случае определенное выше правило выглядит как:

И для случая A = B переходит в

Перечислим еще раз свойства скалярного произведения в классическом варианте и найдем соответствия им в случае гиперкомплексных чисел:

1) , причем (x,x) только при x = 0

2) (x,y) = (y,x)

3) (x,ky) = k(x,y) где k — любое действительное число

4) (x,y+z)=(x,y)+(x,z)

Для первого свойства вышеприведенное правило построения проекции не подходит, поскольку

Поскольку даже для тех алгебр, для которых может быть отрицательным числом, число всегда положительно, но исключение составляет условие

(x,x) = 0 только при x = 0

Тут следует сделать оговорку, что в гиперкомплексных алгебрах случай идеалов вовсе не является исключением, поэтому для скалярной проекции гиперкомплексных чисел вполне возможно снять это условие и разрешить

при

Рассмотрим второе свойство скалярного произведения

(x,y) = (y,x)

В случае построения аналогии в нашем случае следует доказать, что

Для этого докажем промежуточные равенства:

Для доказательства равенства a) рассмотрим коэффициенты таблицы произведения мнимых единиц в алгебрах Кэли — Диксона:

где через обозначены мнимые единицы гиперкомплексной алгебры, — коэффициенты произведений. Для всех гиперкомплексных алгебр Кэли — Диксона, определенных подобной таблицей произведений, выполняется

при

Таким образом, в произведении в действительной части будут присутствовать только четные степени при , а нечетных не будет.

Обозначив через элемент алгебры, алгебраически сопряженный элементу X, а через — сопряжение путем смены знаков у всех коэффициентов при мнимых единицах, получим:

Сопряжение еще можно назвать фазовым сопряжением, поскольку сопрягается фаза числа. Поскольку выражение для определено в виде полиномиального ряда, то в будут входить только четные функции от мнимых компонентов фазы числа X. Поскольку функции четные, например ch или cos, то действительная часть при алгебраическом сопряжении не меняется:

Для доказательства промежуточного равенства b) рассмотрим также таблицу произведений мнимых единиц алгебр Кэли — Диксона:

Поскольку раскрыв произведение ab мы получим гиперкомплексное число, рассмотрим образование его действительной части. В нее входят:

— произведение действительных частей a и b.

— произведение одинаковых мнимых компонентов a и b.

Поскольку для алгебр Кэли — Диксона нельзя получить действительного числа из произведений

при

а две вышеприведенные составляющие не зависят от порядка сомножителей a и b, то, следовательно,

Для доказательства соответствия предложенной формы скалярной проекции второму свойству скалярного произведения просто преобразуем выражение:

Таким образом, если скалярному произведению (x,y) сопоставлять , то правило коммутативности скалярного произведения выполняется.

Соответствие предлагаемой формы скалярной проекции третьему свойству скалярного произведения проверяется непосредственно: если k — действительное число, то

, поэтому

Для проверки соответствия четвертому свойству используем второе и проверим:

(x,y + z) = (y + z,x) = (y,x) + (z,x)

Распишем скалярную проекцию:

Поскольку для алгебр Кэли — Диксона сложение определено покомпонентно, то для любых двух чисел a и b:

Таким образом, введенная нами форма скалярной проекции соответствует четвертому свойству скалярного произведения:

4. Гиперкомплексное произведение как ортогональное преобразование.

В стандартном курсе векторной алгебры после введения понятия скалярного произведения вводится понятие ортогонального преобразования. Будем следовать классике. Преобразование называется ортогональным, если скалярное произведение двух векторов равно скалярному произведению их образов после преобразования. Обозначив преобразование вектора как F(x), получим:

(F(x),F(y)) = (x,y)

Ортогональным это преобразование называется из-за того, что если (x,y)=0, то и

(F(x),F(y)) = 0

То есть если два вектора были ортогональны, то будут ортогональны и их образы после такого преобразования.

Ясно, что ортогональное преобразование сохраняет и длину любого вектора:

|F(x)| = |x|

В алгебрах гиперкомплексных чисел одним из видов преобразования является произведение гиперкомплексного числа x на другое гиперкомплексное число a. Покажем, что в случае |a| = 1 такое произведение задает ортогональное преобразование, или что

и что при преобразовании

Для этого докажем равенство:

Re(abc) = Re(cab):

Поэтому выражение скалярной проекции равно:

Поскольку , то получим:

Таким образом, при задании преобразования числа x как умножения слева на число |a|=1 мы получаем ортогональное преобразование, сохраняющее модуль числа x и скалярную проекцию векторов ax и ay.

То же самое можно доказать и для умножения справа на число a, где |a|=1.

5. Выводы.

Нам удалось найти для гиперкомплексных алгебр аналог скалярного произведения, введенного в векторной алшебре. Его удалось дать в достаточно общей форме, распространимой на ассоциативные гиперкомплексные алгебры Кэли — Диксона. Полученная форма полностью соответствует четырем основным свойствам скалярного произведения. Проанализировав, в каком именно месте рассуждений мы отошли от классического варианта, несложно обнаружить, что мы нигде не потребовали и не использовали равенства:

Если бы мы потребовали его выполнения, то мы естественным образом сузили бы набор рассматриваемых гиперкомплексных алгебр. Точно так же, как это было сделано в теореме Гурвица: Любая нормированная алгебра с единицей изоморфна одной из четырех алгебр — действительных чисел, комплексных чисел, кватернионов или октав. Более того, равенство у него считается очевидным.

Автор надеется, что некоторая часть этой статьи может оказаться полезной и при работе с финслеровыми геометриями.

Москва, октябрь 2001.

Список литературы

1. И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. Гиперкомплексные числа, М, Наука, 1973.

2. Е. А. Каратаев. Скалярно — пространственные повороты в кватернионах, karataev.nm.ru/sclvec/index.html

www.ronl.ru

Реферат Скалярная проекция гиперкомплексных чисел

Скалярная проекция гиперкомплексных чисел

Каратаев Е.А.

Введение.

Мне хотелось бы до конца выяснить вопрос - что является аналогом скалярного произведения в гиперкомплексных числах и, сравнив два подхода, выяснить, где находятся белые пятна классического подхода. И скромно предположить направление исследований, которое может дать, возможно, полезные в технике и физике результаты.

1. Классический подход.

Возьмем на плоскости два вектора

откуда следует

(1)

Формула (1) наводит на мысль связать с каждой парой векторов и на плоскости число

(2)

а в пространстве - число

(2’)

а в случае пространства

К основным свойствам скалярного произведения относят:

1) , причем (x,x) только при x = 0

2) (x,y) = (y,x)

3) (x,ky) = k(x,y) где k - любое действительное число

4) (x,y+z)=(x,y)+(x,z)

При любом обобщении, как пишут Кантор и Солодовников, понятия скалярного произведения на n - мерный случай желательно, чтобы свойства 1) - 4) сохранили силу. Ввиду этого примем следующее определение.

Определение. Будем говорить, что в n - мерном векторном пространстве An задано скалярное произведение, если каждым двум векторам x и y сопоставлено некоторое действительное число - обозначим его (x,y) - так, что выполнены свойства 1), 2), 3), 4). Число (x,y) будем называть скалярным произведением вектора x на вектор y.

В более общем виде скалярное произведение определяется как

где - базисные вектора.

Величины

являются постоянными числами, зависящими только от выбранного базиса. Таким образом, если выбран базис, то

2. Геометрическая трактовка проекции.

Проекцией назовем величину, равную расстоянию от начала координат до точки пересечения вектора A с перпендикуляром, построенным на него из точки B. Теперь представим себе, что пространство - это пространство компонент гиперкомплексного числа, и значит построить перпендикуляр мы пока не можем, поскольку это понятие еще не определено.

Теперь повернем оба наших аектора так, чтобы вектор A совпал с одной из осей. В этом случае проекция вектора B на вектор A определяется особенно просто - надо взять компоненту, соответствующую оси X, и эта величина и будет проекцией.

Для того, чтобы этот метода работал в произвольно взятой системе гиперкомплексных чисел Кэли - Диксона, выберем в качестве такой целевой оси для доворота действительную ось, поскольку в любой алгебре Кэли - Диксона определена действительная компонента.

Отметим тот факт, что поворот должен осуществляться в плоскости, проходящей через действительную ось и мы можем использовать механизм скалярно - пространственных поворотов, описанный в работе [2]. В случае использования алгебр, коммутативных по умножению, поворот может быть осуществлен так же, как на обычной комплексной плоскости, путем простого умножения на оператор поворота.

3. Скалярная проекция гиперкомплексных чисел.

Будем искать оператор поворота в виде

Будучи примененным к вектору A, этот поворот должен дать действительное число:

Несложно видеть, что этому уравнению удовлетворяет решение

Применив этот оператор поворота к вектору B, получим:

К числу весьма важных свойств скалярного произведения относится:

И для случая A = B переходит в

1) , причем (x,x) только при x = 0

2) (x,y) = (y,x)

3) (x,ky) = k(x,y) где k - любое действительное число

4) (x,y+z)=(x,y)+(x,z)

Для первого свойства вышеприведенное правило построения проекции не подходит, поскольку

(x,x) = 0 только при x = 0

при

Рассмотрим второе свойство скалярного произведения

(x,y) = (y,x)

В случае построения аналогии в нашем случае следует доказать, что

Для этого докажем промежуточные равенства:

Для доказательства равенства a) рассмотрим коэффициенты таблицы произведения мнимых единиц в алгебрах Кэли - Диксона:

где через обозначены мнимые единицы гиперкомплексной алгебры, - коэффициенты произведений. Для всех гиперкомплексных алгебр Кэли - Диксона, определенных подобной таблицей произведений, выполняется

при

Обозначив через элемент алгебры, алгебраически сопряженный элементу X, а через - сопряжение путем смены знаков у всех коэффициентов при мнимых единицах, получим:

Для доказательства промежуточного равенства b) рассмотрим также таблицу произведений мнимых единиц алгебр Кэли - Диксона:

- произведение действительных частей a и b.

- произведение одинаковых мнимых компонентов a и b.

Поскольку для алгебр Кэли - Диксона нельзя получить действительного числа из произведений

при

а две вышеприведенные составляющие не зависят от порядка сомножителей a и b, то, следовательно,

Соответствие предлагаемой формы скалярной проекции третьему свойству скалярного произведения проверяется непосредственно: если k - действительное число, то

, поэтому

Для проверки соответствия четвертому свойству используем второе и проверим:

(x,y + z) = (y + z,x) = (y,x) + (z,x)

Распишем скалярную проекцию:

Поскольку для алгебр Кэли - Диксона сложение определено покомпонентно, то для любых двух чисел a и b:

4. Гиперкомплексное произведение как ортогональное преобразование.

(F(x),F(y)) = (x,y)

Ортогональным это преобразование называется из-за того, что если (x,y)=0, то и

(F(x),F(y)) = 0

То есть если два вектора были ортогональны, то будут ортогональны и их образы после такого преобразования.

Ясно, что ортогональное преобразование сохраняет и длину любого вектора:

|F(x)| = |x|

и что при преобразовании

Для этого докажем равенство:

Re(abc) = Re(cab):

Поэтому выражение скалярной проекции равно:

Поскольку , то получим:

То же самое можно доказать и для умножения справа на число a, где |a|=1.

5. Выводы.

Нам удалось найти для гиперкомплексных алгебр аналог скалярного произведения, введенного в векторной алшебре. Его удалось дать в достаточно общей форме, распространимой на ассоциативные гиперкомплексные алгебры Кэли - Диксона. Полученная форма полностью соответствует четырем основным свойствам скалярного произведения. Проанализировав, в каком именно месте рассуждений мы отошли от классического варианта, несложно обнаружить, что мы нигде не потребовали и не использовали равенства:

Если бы мы потребовали его выполнения, то мы естественным образом сузили бы набор рассматриваемых гиперкомплексных алгебр. Точно так же, как это было сделано в теореме Гурвица: Любая нормированная алгебра с единицей изоморфна одной из четырех алгебр - действительных чисел, комплексных чисел, кватернионов или октав. Более того, равенство у него считается очевидным.

Москва, октябрь 2001.

Список литературы

1. И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. Гиперкомплексные числа, М, Наука, 1973.

2. Е. А. Каратаев. Скалярно - пространственные повороты в кватернионах, http://karataev.nm.ru/sclvec/index.html

bukvasha.ru

Дипломная работа - Скалярная проекция гиперкомплексных чисел

Каратаев Е.А.

Введение.

1. Классический подход.

Возьмем на плоскости два вектора

откуда следует

(1)

Формула (1) наводит на мысль связать с каждой парой векторов и на плоскости число

(2)

а в пространстве — число

(2’)

а в случае пространства

К основным свойствам скалярного произведения относят:

1) , причем (x,x) только при x = 0

2) (x,y) = (y,x)

3) (x,ky) = k(x,y) где k — любое действительное число

4) (x,y+z)=(x,y)+(x,z)

В более общем виде скалярное произведение определяется как

где — базисные вектора.

Величины

являются постоянными числами, зависящими только от выбранного базиса. Таким образом, если выбран базис, то

2. Геометрическая трактовка проекции.

3. Скалярная проекция гиперкомплексных чисел.

Будем искать оператор поворота в виде

Будучи примененным к вектору A, этот поворот должен дать действительное число:

Несложно видеть, что этому уравнению удовлетворяет решение

Применив этот оператор поворота к вектору B, получим:

К числу весьма важных свойств скалярного произведения относится:

И для случая A = B переходит в

1) , причем (x,x) только при x = 0

2) (x,y) = (y,x)

3) (x,ky) = k(x,y) где k — любое действительное число

4) (x,y+z)=(x,y)+(x,z)

Для первого свойства вышеприведенное правило построения проекции не подходит, поскольку

(x,x) = 0 только при x = 0

при

Рассмотрим второе свойство скалярного произведения

(x,y) = (y,x)

В случае построения аналогии в нашем случае следует доказать, что

Для этого докажем промежуточные равенства:

при

— произведение действительных частей a и b.

— произведение одинаковых мнимых компонентов a и b.

Поскольку для алгебр Кэли — Диксона нельзя получить действительного числа из произведений

при

а две вышеприведенные составляющие не зависят от порядка сомножителей a и b, то, следовательно,

, поэтому

Для проверки соответствия четвертому свойству используем второе и проверим:

(x,y + z) = (y + z,x) = (y,x) + (z,x)

Распишем скалярную проекцию:

Поскольку для алгебр Кэли — Диксона сложение определено покомпонентно, то для любых двух чисел a и b:

4. Гиперкомплексное произведение как ортогональное преобразование.

(F(x),F(y)) = (x,y)

Ортогональным это преобразование называется из-за того, что если (x,y)=0, то и

(F(x),F(y)) = 0

То есть если два вектора были ортогональны, то будут ортогональны и их образы после такого преобразования.

Ясно, что ортогональное преобразование сохраняет и длину любого вектора:

|F(x)| = |x|

и что при преобразовании

Для этого докажем равенство:

Re(abc) = Re(cab):

Поэтому выражение скалярной проекции равно:

Поскольку , то получим:

То же самое можно доказать и для умножения справа на число a, где |a|=1.

5. Выводы.

Москва, октябрь 2001.

Список литературы

1. И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. Гиперкомплексные числа, М, Наука, 1973.

2. Е. А. Каратаев. Скалярно — пространственные повороты в кватернионах, karataev.nm.ru/sclvec/index.html

www.ronl.ru

Реферат: Скалярная проекция гиперкомплексных чисел

Каратаев Е.А.

Введение.

1. Классический подход.

Возьмем на плоскости два вектора

откуда следует

(1)

Формула (1) наводит на мысль связать с каждой парой векторов и на плоскости число

(2)

а в пространстве - число

(2’)

а в случае пространства

К основным свойствам скалярного произведения относят:

1) , причем (x,x) только при x = 0

2) (x,y) = (y,x)

3) (x,ky) = k(x,y) где k - любое действительное число

4) (x,y+z)=(x,y)+(x,z)

В более общем виде скалярное произведение определяется как

где - базисные вектора.

Величины

являются постоянными числами, зависящими только от выбранного базиса. Таким образом, если выбран базис, то

2. Геометрическая трактовка проекции.

Проекцией назовем величину, равную расстоянию от начала координат до точки пересечения вектора A с перпендикуляром, построенным на него из точки B. Теперь представим себе, что пространство - это пространство компонент гиперкомплексного числа, и значит построить перпендикуляр мы пока не можем, поскольку это понятие еще не определено.

3. Скалярная проекция гиперкомплексных чисел.

Будем искать оператор поворота в виде

Будучи примененным к вектору A, этот поворот должен дать действительное число:

Несложно видеть, что этому уравнению удовлетворяет решение

Применив этот оператор поворота к вектору B, получим:

К числу весьма важных свойств скалярного произведения относится:

И для случая A = B переходит в

1) , причем (x,x) только при x = 0

2) (x,y) = (y,x)

3) (x,ky) = k(x,y) где k - любое действительное число

4) (x,y+z)=(x,y)+(x,z)

Для первого свойства вышеприведенное правило построения проекции не подходит, поскольку

(x,x) = 0 только при x = 0

при

Рассмотрим второе свойство скалярного произведения

(x,y) = (y,x)

В случае построения аналогии в нашем случае следует доказать, что

Для этого докажем промежуточные равенства:

при

- произведение действительных частей a и b.

- произведение одинаковых мнимых компонентов a и b.

Поскольку для алгебр Кэли - Диксона нельзя получить действительного числа из произведений

при

а две вышеприведенные составляющие не зависят от порядка сомножителей a и b, то, следовательно,

, поэтому

Для проверки соответствия четвертому свойству используем второе и проверим:

(x,y + z) = (y + z,x) = (y,x) + (z,x)

Распишем скалярную проекцию:

Поскольку для алгебр Кэли - Диксона сложение определено покомпонентно, то для любых двух чисел a и b:

4. Гиперкомплексное произведение как ортогональное преобразование.

(F(x),F(y)) = (x,y)

Ортогональным это преобразование называется из-за того, что если (x,y)=0, то и

(F(x),F(y)) = 0

То есть если два вектора были ортогональны, то будут ортогональны и их образы после такого преобразования.

Ясно, что ортогональное преобразование сохраняет и длину любого вектора:

|F(x)| = |x|

и что при преобразовании

Для этого докажем равенство:

Re(abc) = Re(cab):

Поэтому выражение скалярной проекции равно:

Поскольку , то получим:

То же самое можно доказать и для умножения справа на число a, где |a|=1.

5. Выводы.

Нам удалось найти для гиперкомплексных алгебр аналог скалярного произведения, введенного в векторной алшебре. Его удалось дать в достаточно общей форме, распространимой на ассоциативные гиперкомплексные алгебры Кэли - Диксона. Полученная форма полностью соответствует четырем основным свойствам скалярного произведения. Проанализировав, в каком именно месте рассуждений мы отошли от классического варианта, несложно обнаружить, что мы нигде не потребовали и не использовали равенства:

Если бы мы потребовали его выполнения, то мы естественным образом сузили бы набор рассматриваемых гиперкомплексных алгебр. Точно так же, как это было сделано в теореме Гурвица: Любая нормированная алгебра с единицей изоморфна одной из четырех алгебр - действительных чисел, комплексных чисел, кватернионов или октав. Более того, равенство у него считается очевидным.

Москва, октябрь 2001.

Список литературы

1. И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. Гиперкомплексные числа, М, Наука, 1973.

2. Е. А. Каратаев. Скалярно - пространственные повороты в кватернионах, http://karataev.nm.ru/sclvec/index.html

www.yurii.ru

Реферат гиперкомплексные числа и их связь с геометрией линейных финслеровых пространств

Реферат гиперкомплексные числа и их связь с геометрией линейных финслеровых пространств - страница №1/1

Федеральное агентство по образованию РФ

Иркутский Государственный Университет

Институт математики и экономики

РЕФЕРАТ Гиперкомплексные числа и их связь с геометрией линейных финслеровых пространств.

Выполнил: Серкин Владимир Васильевич

ИМЭ ИГУ, гр.2311 E-mail: [email protected]

Иркутск, 2005 г.

Содержание

Основные понятия линейных метрических пространств Определение: Множество Е элементов x,y,z,… называется линейным пространством, если в нем определены следующие две операции:

Каждым двум элементам поставлен в соответствие определенный элемент , называемый их суммой.
Каждому элементу и каждому числу (скаляру) L поставлен в соответствие определенный элемент - произведение элемента x на скаляр L – так, что выполнены следующие свойства (аксиомы) и любых скаляров L и M:

x+y=y+x;
x+(y+z)=(x+y)+z;
существует элемент 0 из Е такой, что x+0=x;
L(Mx)=(LM)x;
1*x=x, 0*x=0;
L(x+y)=Lx+Ly;
(L+M)x=Lx+Mx.

Определение: Метрика – отображение , сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов непустого множества X действительное число и , удовлетворяющее следующим аксиомам: 1.

Определение: Метрическим пространством называется непустое множество X на множестве всех упорядоченных пар элементов которого определена метрика. Определение: Подпространством метрического пространства X называется подмножество пространства X с метрикой этого пространства.

Определение: Метрические пространства X1 c метрикой 1 и X2 с метрикой 2 называются изометричными, если биективное отображение , такое что справедливо равенство:

Гиперболические комплексные числа в четырехмерном пространстве

Системы гиперкомплексных чисел в 4-мерной размерности имеют следующий вид: U=x+iy+jz+kt, здесь (по аналогии с обычными комплексными числами – x+iy) x, y, z и t – действительные числа, для которых умножение как ассоциативно, так и коммутативно.

Квадрагиперболические числа определяются их четырьмя компонентами (x, y, z, t). Сумма двух таких чисел (x, y, z, t) и (x′, y′, z′, t′) это, как нетрудно догадаться, третье квадрагиперболическое число (x+x′, y+y′, z+z′, t+t′), а произведение этих же чисел можно определить как следующее число (конечно также квадрагиперболическое) (xx′+yy′+zz′+tt′, xy′+yx′+zt′+tz′, xz′+zx′+yt′+ty′, xt′+tx′+yz′+zy′).

Таким образом, мы получили алгебру коммутативно-ассоциативных квадрагиперболических чисел.

Также, мы можем представить квадрагиперболические комплексные числа в следующем виде: u=x+iy+jz+kt, глее i,j,k – базис со следующими правилами умножения (таблица Кэли):

	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	1	k	j
j	j	k	1	i
k	k	j	i	1

Два гиперболических числа u = x + iy + jz + kt, u′ = x′+ iy′+ jz′+ kt′ равны (u = u′), тогда и только тогда, когда x = x′, y = y′, z = z′, t = t′.

В том случае, когда мы представляем гиперкомплексные числа как u = x + iy + jz + kt, u′ = x′+ iy′+ jz′+ kt′ , то мы можем сумму (x+iy + jz+kt)+(x′+iy′+jz′+kt′) и произведение (x+αy+βz+γt)(x′+αy′+βz′+γt′) этих чисел, применяя правила «обычной» математики u + u′ = x + x′ + i(y + y′) + j(z + z′) + k(t + t′) (1)

uu′ = xx′ + yy′ + zz′ + tt′ + i(xy′ + yx′ + zt′ + tz′) + j(xz′ + zx′ + yt′ + ty′)+k(xt′ + tx′ + yz′ + zy′). (2)

Умножение для квадрагиперболических чисел подчиняется законам ассоциативности (u’u’)u’’ = u(u’u’’) и коммутативности uu’=u’u (проверку этих свойств можно провести прямым подсчетом).

Ноль можно выразить как 0+i·0+j ·0+k ·0, а единицу, соответственно, как 1+i·0+j ·0+k ·0

Обратное к квадрагиперболическому числу u = x + iy + jz + kt это другое квадрагиперболическое число u′ = x′+ iy′+ jz′+ kt′, для которого выполняется: uu’=1 (3) Мы можем найти это число, используя формулы (2) и (3). Получаем:

xx′ + yy′ + zz′ + tt′ = 1,

yx′ + xy′ + tz′ + zt′ = 0,

zx′ + ty′ + xz′ + yt′ = 0,

tx′ + zy′ + yz′ + xt′ = 0. Решая эту систему нетрудно получить решение:

x′ =

y ′ =

z′ =

t′ = (4) При условии , где

ν = x4 + y4 + z4 + t4 − 2(x2y2 + x2z2 + x2t2 + y2z2 + y2t2 + z2t2) + 8xyzt (4)

При это мы можем записать число ν как

ν = ss’s’’s’’’, (5)

где

s=x+y+z+t, s’=x-y+z-t, s’’=x+y-z-t, s’’’=x-y-z+t (6)

Будем называть переменные s, s’, s’’, s’’’ каноническими переменными квадрагиперболических чисел.

Тогда квадрагиперболическое число u = x+ iy+ jz+ kt имеет обратное, если и и и

Геометрическое представление квадрагиперболических чисел. Квадрагиперболическое число x+iy+jz+kt может быть представлено как точка А в координатах (x,y,z,t) Если положить О началом координарт, то расстояние от О до А может быть взято как

d2=x2+y2+z2+t2. (7)

Давайте назовем расстояние d модулем квадрагиперболического числа

u = x+ iy+ jz+ kt, d=|u| (8)

Если u = x+ iy+ jz+ kt, u1 = x1+ iy1+ jz1+ kt1 , а u2 = x2+ iy2+ jz2+ kt2

и при этом u=u1u2 , и

sj=xj+yj+zj+tj, sj’=xj-yj+zj-tj, sj’’=xj+yj-zj-tj, sj’’’=xj-yj-zj+tj для j=1,2, то легко показать, что

s=s1s2, s’=s1’s2’, s’’=s1’’s2’’, s’’’=s1’’’s2’’’

Квадрагиперболические числа

, , , (9) ортогональны.

ee’=0, ee’’=0, ee’’’=0, e’e’’=0, e’e’’’=0, e’’e’’’=0, (10)

а также обладают следующим свойством:

e2=e, e’2=e’, e’’2=e’’, e’’’2=e’’’ (11)

Гиперкомплексное число u = x+ iy+ jz+ kt может быть записано как

x+ iy+ jz+ kt = (x+y+z+t)e+(x-y+z-t)e’+(x+y-z-t)e’’+(x-y-z+t)e’’’, (12)

или, используя уравнение (6),

u=se+s’e’+s’’e’’+s’’’e’’’ (13)

Назовем множество e, e’, e’’, e’’’ каноническим базисом квадрагиперболических чисел, а уравнение (13) дает нам каноническую форму квадрагиперболических чисел. Закон умножения (таблица Кэли) в данном базисе выглядит следующим образом:

	e	e’	e’’	e’’’
e	e	0	0	0
e’	0	e’	0	0
e’’	0	0	e’’	0
e’’’	0	0	0	e’’’

Как мы видим модуль этого базиса следующий:

, , , . (14)

Расстояние d (уравнение (7)) выражается как

(15) Экспоненциальная форма квадрагиперболического числа.

Мы определяем экспоненциальную функцию любого гиперкомплексного числа как ряд стандартного разложения экспоненты, известный нам со школьной скамьи:

(16)

Давайте перемножим два ряда (разложения для eu и eu’) – получаем:

eueu’ (17)

Следовательно, если u = x+ iy+ jz+ kt, тогда мы можем выразить exp(u), как

exp(u)=exp(x) exp(iy)exp(jz)exp(kt), (18)

тогда в соответствии с правилами умножения для i , j и k получаем

i2m = 1, i2m+1 = i, j2m = 1, j2m+1 = j, k2m = 1, k2m+1 = k, (19)

где m – натуральное число, поэтому мы можем записать exp(iy), exp(jz), exp(kt), как

exp(iy) = chy+ishy, exp(jz) = chz+jshz, exp(kt) = cht+ksht, (20)

Из этого уравнения тривиально выводится, что

(cht+isht)m = chmt+ishmt, (cht+isht)m = chmt+jshmt,

(cht+isht)m = chmt+kshmt. (21)

Мы можем записать квадрагиперболическое гиперкомплексное число

u = x+ iy+ jz+ kt для которого s=x+y+z+t>0, s’=x-y+z-t>0, s’’=x+y-z-t>0, s’’’=x-y-z+t>0 в следующем виде:

x+ iy+ jz+ kt = ex1+ iy1+ jz1+ kt1

Мы можем легко выразить x1, y1, z1, t1 как функции от x, y, z, t усовершенствуя eiy1, ejz1, ekt1, eiy1 c помощью системы уравнений (20) (просто перемножая эти выражения и отделяя гиперкомплексные компоненты)

x=ex1(chy1chz1cht1+shy1shz1sht1),

y= ex1(shy1chz1cht1+chy1shz1sht1),

z=ex1(chy1shz1cht1+shy1chz1sht1),

t=ex1(shy1shz1cht1+chy1chz1sht1). (22)

Откуда нетрудно заметить, что

, , , . (23)

Следовательно экспоненциальная форма квадрагиперболического числа запишется следующим образом:

, (24)

где

Вектора в квадрагиперболическом пространстве.

Давайте выберем в m-мерном аффинном пространстве единичный вектор 1, отличный от нуля, а затем каждым n векторам A,B,.,N поставим в соответствие действительное число (A,B,.,N), являющееся симметрической полилинейной формой этих векторов. Тогда можно утверждать, что в этом пространстве введена метрическая структура, полностью определяемая особенностями этой полилинейной формы. Будем называть (А,В,.,N) полилинейной формой, а однозначно с ней связанную полиформу (А,А,.,А) - фундаментальной.

Определим полипространства как пространства, число измерений которых равно размерности фундаментальной формы, а те из них, которым можно сопоставить алгебру некоторых поличисел, будем называть поличисловые пространства. В таком случае пространства, размерность которых не равна размерности фундаментальной формы назовем полилинейными.

Давайте положим по определению длину вектора А как положительный корень n -й степени из абсолютного значения (A,A, …,A).

Тогда длина суммы двух параллельных и одинаково направленных векторов равняется сумме их длин.

Надо заметить, что у полилинейных пространств есть одно характерное свойство. В них отсутствует свойство свободной подвижности. Согласно этому свойству n-мерное пространство можно преобразовывать с помощью вращения, оставляя неподвижными и точку, и прямую, и плоскость, и так далее, вплоть до (n-1) -мерного подпространства.

Фундаментальная метрическая форма квадрагиперболического пространства имеет следующий вид: (A,A,A,A) = a1a2a3a4 (1) Ей сопутствует следующая симметрическая квадралинейная форма:

(A,B,C,D) = 1/4! (a1b2c3d4 + a1b2c4d3 + a2b1c3d4 + … + a4b3c2d1) = 1/4!(apbqcrds) (2)

Наше пространство обладает несколькими интересными свойствами. В частности, вектора базиса, в котором представлена форма (2):

S1=(1,0,0,0),

S2=(0,1,0,0),

S3=(0,0,1,0),

S4=(0,0,0,1),

дают нулевые значения всех связанных с ними форм, за исключением (S1,S2,S3,S4), равной 1/24.

положим по определению длину (модуль) вектора квадрагиперболического пространства как корень четвертой степени из абсолютного значения формы (А,А,А,А), в которой фигурируют компоненты только одного вектора. Введем следующее обозначение для модуля числа:

|А|=|(А,А,А,А)|1/4.

Опр: изотропные вектора – вектора, не равные нулю вектора и имеющие нулевую длину.

Вектора, модуль которых равен единице, будем называть единичными.

Теперь можно описать понятие трансверсальности (обобщенной ортогональности), а также рассмотреть различные типы трансверсальности, характерные для векторов нашего пространства.

В полилинейных пространствах существуют пары векторов с определенными особенностями взаимного расположения (аналогично ортогональным векторам в евклидовом пространстве).

Определение: Вектор В называется трансверсальным вектору А, если (А,А,…,А,В)=0. В общем случае это понятие не обладает несколькими привычными для билинейной геометрии свойствами ортогональности, одним из которых является коммутативность. Для коммутативности трансверсальности необходимо дополнительное условие (А,В,…,В,В)=0. В таком случае будем называть вектора с подобными свойствами взаимно трансверсальными.

(в квадрагиперболическом пространстве, соответственно вектор В буде трансверсальным вектору А, если равна нулю форма (А,А,А,В) и они будут взаимно трансверсальными, если равна нулю и форма (А,В,В,В).

Еще одним характерным свойством квадрагиперболического является то, что в нем не существует взаимно трансверсальных единичных векторов, для которых при равенстве нулю форм (А,А,А,В) и (А,В,В,В) обнулялась бы и форма (А,А,В,В), эта форма может принимать экстремальное значение,

равное -1/3. Будем называть ортогональными два неизотропных вектора квадрагиперболического пространства, если образованные ими метрические формы принимают значения:

(А,А,А,В)=0, (А,А,В,В)=-1/3, (А,В,В,В)=0, (3). В алгебре квадрачисел существует 16 характерных единичных объектов e1-e16, имеющих в базисе, в котором записана форма (A,A,A,A) = a1a2a3a4 следующие компоненты:

Давайте будем использовать соответствующие этим числа вектора ei для иллюстрации наличия в нашем квадрапространстве двух типов трансверсальности, обобщающих для данного финслерова пространства понятие ортогональности направлений. Так как в квадрапространстве симметризованных форм ровно две

S1(a,b) = (a,a,a,b) + (a,b,b,b) (4) и

S2(a,b) = (a,a,b,b) ) (5),

то равенство нулю любой из них означает трансверсальность соответствующих направлений. Подставив компоненты векторов ei в (4) и (5) мы получаем, что каждый из векторов данного множества одному противоположен, с шестью образует взаимнотрансверсальные пары первого порядка, а с восемью – второго порядка. Из четвертки векторов, трансверсальных друг другу по первому порядку, можно организовать базис, являющийся аналогом ортонормированного. А вот из векторов, трансверсальных друг другу по второму порядку, так как для каждой такой пары третьего (и, само собой, четвертого) вектора с подобным отношением направлений не существует. Геометрический объект, состоящий из двух единичных и ортогональных векторов, будем называть единичным конусом вращения квадрагиперболического пространства. Актуальность и применимость финслеровой геометрии и гиперкомплексных чисел.

Для введения длины вектора наиболее прост квадратичный метод. (длина определяется квадратным корнем из квадратичной формы). На этом основаны евклидова геометрия и евклидовы вращения. Неквадратичные же методы развиваются финслеровой геометрией.

Традиционно идеи и уравнения математики и теоретической физики основываются на методе введения длины вектора с помощью квадратичного корня. В отличие от обычной евклидовой метрикой финслерова метрика вносит структурность в геометрию. Так например единичная поверхность евклидовой геометрии, сфера, изотропна по всем направлениям. Введение же геометрически выделенных направлений приводит к обобщению сферы, а вслед за этим и к обобщению евклидовой геометрии. Эта, более не изотропная, поверхность единичных векторов (выходящих из фиксированной точки) порождает финслерову метрику. Обратно, подобные геометрии могут отражать те конкретные физические ситуации, в которых присутствует соответствующая анизотропия по направлениям.

Коммутативно-ассоциативные числа открывают широкие перспективы, как для развития теоретической математики, так и для практических приложений. Как вариант можно рассматривать возможность замены псевдоевклидовой метрики физического пространства-времени на финслерову.

Для гиперболических чисел можно построить теорию относительности, их удобно применять в задачах поворотов и ориентирования тел в пространстве в силу того, что становится простым решение не только прямой, но и обратной задачи с достаточно высокой степенью точности. Список литературы

Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. М., "Наука", 1973. – 144 с.
Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., "Наука", 1989. – 624 с.
Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: ФИЗМАЛИТ, 2002. – 488 с.
Шароглазов В.С. Практикум по функциональному анализу. Иркутск: ИГУ, 2004. – 223 с.
Асанов Г.С. Финслероид – пространство, снабженное углом и скалярным произведением. //Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, 2004, №1.
Каратаев Е.А. Кватернионы и 3-х мерные повороты. М. 2002.
Павлов Д. Г., Гиперкомплексные числа и связанные с ними пространства.
Olariu Silviu, Complex Numbers in n Dimensions. Institute of Physics and Nuclear Engineering, 2000.
http://www.karataev.nm.ru/
http://hypercomplex.xpsweb.com/

umotnas.ru

Реферат: Скалярная проекция гиперкомплексных чисел

Скалярная проекция гиперкомплексных чисел

Каратаев Е.А.

Введение.

1. Классический подход.

Возьмем на плоскости два вектора

откуда следует

(1)

Формула (1) наводит на мысль связать с каждой парой векторов и на плоскости число

(2)

а в пространстве - число

(2’)

а в случае пространства

К основным свойствам скалярного произведения относят:

1) , причем (x,x) только при x = 0

2) (x,y) = (y,x)

3) (x,ky) = k(x,y) где k - любое действительное число

4) (x,y+z)=(x,y)+(x,z)

В более общем виде скалярное произведение определяется как

где - базисные вектора.

Величины

являются постоянными числами, зависящими только от выбранного базиса. Таким образом, если выбран базис, то

2. Геометрическая трактовка проекции.

Проекцией назовем величину, равную расстоянию от начала координат до точки пересечения вектора A с перпендикуляром, построенным на него из точки B. Теперь представим себе, что пространство - это пространство компонент гиперкомплексного числа, и значит построить перпендикуляр мы пока не можем, поскольку это понятие еще не определено.

3. Скалярная проекция гиперкомплексных чисел.

Будем искать оператор поворота в виде

Будучи примененным к вектору A, этот поворот должен дать действительное число:

Несложно видеть, что этому уравнению удовлетворяет решение

Применив этот оператор поворота к вектору B, получим:

К числу весьма важных свойств скалярного произведения относится:

И для случая A = B переходит в

1) , причем (x,x) только при x = 0

2) (x,y) = (y,x)

3) (x,ky) = k(x,y) где k - любое действительное число

4) (x,y+z)=(x,y)+(x,z)

Для первого свойства вышеприведенное правило построения проекции не подходит, поскольку

(x,x) = 0 только при x = 0

при

Рассмотрим второе свойство скалярного произведения

(x,y) = (y,x)

В случае построения аналогии в нашем случае следует доказать, что

Для этого докажем промежуточные равенства:

при

- произведение действительных частей a и b.

- произведение одинаковых мнимых компонентов a и b.

Поскольку для алгебр Кэли - Диксона нельзя получить действительного числа из произведений

при

а две вышеприведенные составляющие не зависят от порядка сомножителей a и b, то, следовательно,

, поэтому

Для проверки соответствия четвертому свойству используем второе и проверим:

(x,y + z) = (y + z,x) = (y,x) + (z,x)

Распишем скалярную проекцию:

Поскольку для алгебр Кэли - Диксона сложение определено покомпонентно, то для любых двух чисел a и b:

4. Гиперкомплексное произведение как ортогональное преобразование.

(F(x),F(y)) = (x,y)

Ортогональным это преобразование называется из-за того, что если (x,y)=0, то и

(F(x),F(y)) = 0

То есть если два вектора были ортогональны, то будут ортогональны и их образы после такого преобразования.

Ясно, что ортогональное преобразование сохраняет и длину любого вектора:

|F(x)| = |x|

и что при преобразовании

Для этого докажем равенство:

Re(abc) = Re(cab):

Поэтому выражение скалярной проекции равно:

Поскольку , то получим:

То же самое можно доказать и для умножения справа на число a, где |a|=1.

5. Выводы.

Нам удалось найти для гиперкомплексных алгебр аналог скалярного произведения, введенного в векторной алшебре. Его удалось дать в достаточно общей форме, распространимой на ассоциативные гиперкомплексные алгебры Кэли - Диксона. Полученная форма полностью соответствует четырем основным свойствам скалярного произведения. Проанализировав, в каком именно месте рассуждений мы отошли от классического варианта, несложно обнаружить, что мы нигде не потребовали и не использовали равенства:

Если бы мы потребовали его выполнения, то мы естественным образом сузили бы набор рассматриваемых гиперкомплексных алгебр. Точно так же, как это было сделано в теореме Гурвица: Любая нормированная алгебра с единицей изоморфна одной из четырех алгебр - действительных чисел, комплексных чисел, кватернионов или октав. Более того, равенство у него считается очевидным.

Москва, октябрь 2001.

Список литературы

1. И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. Гиперкомплексные числа, М, Наука, 1973.

2. Е. А. Каратаев. Скалярно - пространственные повороты в кватернионах, http://karataev.nm.ru/sclvec/index.html

www.referatmix.ru

Курсовая работа - Скалярная проекция гиперкомплексных чисел

Скалярная проекция гиперкомплексных чисел

Каратаев Е.А.

Введение.

1. Классический подход.

Возьмем на плоскости два вектора

откуда следует

/>(1)

Из этого равенства, если учесть теорему Пифагора, легко увидеть, что необходимым и достаточным условием перпендикулярности />и />является

Формула (1) наводит на мысль связать с каждой парой векторов />и />на плоскости число

/>(2)

а в пространстве — число

/>(2’)

Это число в геометрии называют скалярным произведением векторов />и />и обозначают (x,y). Заметим, что длина произвольного вектора x выражается через скалярное произведение. А именно, в случае плоскости

а в случае пространства

К основным свойствам скалярного произведения относят:

1) />, причем (x,x) только при x = 0

2) (x,y) = (y,x)

3) (x,ky) = k(x,y) где k — любое действительное число

4) (x,y+z)=(x,y)+(x,z)

В более общем виде скалярное произведение определяется как

где /> — базисные вектора.

Величины

являются постоянными числами, зависящими только от выбранного базиса. Таким образом, если выбран базис, то

2. Геометрическая трактовка проекции.

3. Скалярная проекция гиперкомплексных чисел.

Будем искать оператор поворота в виде

Будучи примененным к вектору A, этот поворот должен дать действительное число:

Несложно видеть, что этому уравнению удовлетворяет решение

Применив этот оператор поворота к вектору B, получим:

К числу весьма важных свойств скалярного произведения относится:

И для случая A = B переходит в

1) />, причем (x,x) только при x = 0

2) (x,y) = (y,x)

3) (x,ky) = k(x,y) где k — любое действительное число

4) (x,y+z)=(x,y)+(x,z)

Для первого свойства вышеприведенное правило построения проекции не подходит, поскольку

Поскольку даже для тех алгебр, для которых />может быть отрицательным числом, число />всегда положительно, но исключение составляет условие

(x,x) = 0 только при x = 0

/>при />

Рассмотрим второе свойство скалярного произведения

(x,y) = (y,x)

В случае построения аналогии в нашем случае следует доказать, что

Для этого докажем промежуточные равенства:

a) />

b) />

где через />обозначены мнимые единицы гиперкомплексной алгебры, /> — коэффициенты произведений. Для всех гиперкомплексных алгебр Кэли — Диксона, определенных подобной таблицей произведений, выполняется

/>при />

Таким образом, в произведении />в действительной части />будут присутствовать только четные степени />при />, а нечетных не будет.

Обозначив через />элемент алгебры, алгебраически сопряженный элементу X, а через /> — сопряжение путем смены знаков у всех коэффициентов при мнимых единицах, получим:

Сопряжение />еще можно назвать фазовым сопряжением, поскольку сопрягается фаза числа. Поскольку выражение для />определено в виде полиномиального ряда, то в />будут входить только четные функции от мнимых компонентов фазы числа X. Поскольку функции четные, например ch или cos, то действительная часть />при алгебраическом сопряжении не меняется:

— произведение действительных частей a и b.

— произведение одинаковых мнимых компонентов a и b.

Поскольку для алгебр Кэли — Диксона нельзя получить действительного числа из произведений

/>при />

а две вышеприведенные составляющие не зависят от порядка сомножителей a и b, то, следовательно,

Таким образом, если скалярному произведению (x,y) сопоставлять />, то правило коммутативности скалярного произведения выполняется.

/>, поэтому

Для проверки соответствия четвертому свойству используем второе и проверим:

(x,y + z) = (y + z,x) = (y,x) + (z,x)

Распишем скалярную проекцию:

Поскольку для алгебр Кэли — Диксона сложение определено покомпонентно, то для любых двух чисел a и b:

--PAGE_BREAK--4. Гиперкомплексное произведение как ортогональное преобразование.

(F(x),F(y)) = (x,y)

Ортогональным это преобразование называется из-за того, что если (x,y)=0, то и

(F(x),F(y)) = 0

То есть если два вектора были ортогональны, то будут ортогональны и их образы после такого преобразования.

Ясно, что ортогональное преобразование сохраняет и длину любого вектора:

|F(x)| = |x|

и что при преобразовании

Для этого докажем равенство:

Re(abc) = Re(cab):

Поэтому выражение скалярной проекции равно:

Поскольку />, то получим:

То же самое можно доказать и для умножения справа на число a, где |a|=1.

5. Выводы.

Москва, октябрь 2001.

Список литературы

1. И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. Гиперкомплексные числа, М, Наука, 1973.

2. Е. А. Каратаев. Скалярно — пространственные повороты в кватернионах, karataev.nm.ru/sclvec/index.html

www.ronl.ru

Курсовая работа: Скалярная проекция гиперкомплексных чисел. Гиперкомплексные числа реферат

Реферат - Скалярная проекция гиперкомплексных чисел

Реферат Скалярная проекция гиперкомплексных чисел

Дипломная работа - Скалярная проекция гиперкомплексных чисел

Реферат: Скалярная проекция гиперкомплексных чисел

Реферат гиперкомплексные числа и их связь с геометрией линейных финслеровых пространств

Реферат: Скалярная проекция гиперкомплексных чисел

Курсовая работа - Скалярная проекция гиперкомплексных чисел

Смотрите также