Дружественные, фигурные и совершенные числа, теория чисел. Дружественные и совершенные числа реферат

Совершенные и дружественные числа

Работу выполнил:

ученик 6 г класса лицея № 86 Крылов Максим

Учитель:

Кукушкина А. В.

Ярославль, 2015

Цель работы:

Расширить представление о многообразии чисел

Задачи работы:

узнать какие числа называются дружественными и совершенными
познакомиться с историей возникновения совершенных и дружественных чисел
выяснить какими свойствами обладают совершенные и дружественные числа

Числа разные нужны…

натуральные

целые

рациональные

Числа разные нужны, числа всякие важны…

Однажды Пифагор сказал…

«Считайте своим другом того, кто является вашим вторым Я, как числа 220 и 284»

Однажды ……… А что он имел ввиду?

Дружественные числа

это такие два числа, для которых

Сумма делителей первого (кроме его самого) равна второму числу

Сумма делителей второго (кроме его самого) равна первому числу

Число

Сумма Д

Какие же они, дружественные числа? ……………………… Назовем такую ситуацию «крест-накрест»

Проверка на «дружественность»

Число

Делители

Число

Делители

Проверим на дружественность числа 220 и 284.

Наследство греческой нумерологии

Если у двух людей имена были таковы, что их числовые значения удовлетворяли следующему условию: сумма частей (делителей) одного из них равнялась второму числу, и наоборот , то считалось, что это свидетельствует об их духовной близости

Дружественные числа - это наследство, доставшееся нам от греческой нумерологии. Если у двух людей имена были таковы, что их числовые значения удовлетворяли следующему условию: сумма частей (делителей) одного из них равнялась второму числу, и наоборот, то считалось, что это свидетельствует об их духовной близости

Числовое значение имени

Как же определить числовое значение имени? Найти числовое значение имени нам поможет таблица, где каждая буква русского алфавита представлена как соответствие одному из девяти простых чисел. Обычно в расчетах «принимают участие» имя человека (в полной форме, но без отчества) и фамилия, которую он носит в данный момент.

Я и мой друг ДРУЗЬЯ?

Евгений

Максим

Евгений

Максим

Число

Делители

Находим делители Числового Значения Имени и их сумму… Каков же результат? МЫ НЕ МОЖЕМ ДРУЖИТЬ????

Как найти друга?

ЧЗИ

Сумма делителей

ЧЗИ – числовое значение имени. Анализируя таблицу, можно заметить, что ситуации «крест-накрест» не получается, за исключением …

Как найти друга?

ЧЗИ

Сумма делителей

ЧЗИ – числовое значение имени. Анализируя таблицу, можно заметить, что ситуации «крест-накрест» получиться не может….

Как найти друга?

ЧЗИ

Сумма делителей

… . за исключением …

Как найти друга?

ЧЗИ

Сумма делителей

… случаев Третьей и шестой строки, в которых «Числовое значение имени» то есть ЧИСЛО равно сумме его делителей. Что же это за числа? Какие-то Они ОЧЕНЬ ДРУЖЕСТВЕННЫЕ! Просто СОВЕРШЕНСТВО какое-то….

Совершенные числа

Число

Сумма его делителей

Попробуйте дать определение совершенного числа.

Совершенные числа

это такие числа, у которых сумма делителей (кроме его самого) равна самому числу

Число

Сумма его делителей

Как найти?

Формулу для нахождения трех пар дружественных чисел предложил примерно в 850 году арабский астроном и математик Сабит ибн Курра

Как найти?

Формула для нахождения трех пар дружественных чисел

Как найти?

Формула для нахождения трех пар дружественных чисел

Эта формула даёт пары (220, 284), (17296, 18416) и (9363584, 9437056) соответственно для n=2;4;7, но больше никаких пар дружественных чисел для n

Используем компьютер!

Этим способом в Йельском университете получена коллекция из 42 пар дружественных чисел.

Недавно этим способом в Йельском университете были проверены все числа до одного миллиона. В результате была получена коллекция из 42 пар дружественных чисел; некоторые из них оказались ранее неизвестными. Все пары дружественных чисел до 100 000 приведены в таблице. При помощи этого метода

Используем компьютер!

220

284

1184

1210

2620

2924

5020

5564

6232

6368

10744

10856

12285

14595

17296

18416

63020

76084

66928

66992

67095

71145

69615

87633

79750

88730

Таблица дружественных чисел до 100 000

Используем компьютер!

220

284

1184

1210

2620

2924

5020

5564

6232

6368

10744

10856

12285

14595

17296

18416

63020

76084

66928

66992

67095

71145

69615

87633

79750

88730

нетрудно заметить,что одновременно «вылавливаются» и совершенные числа

Интересные факты

Неизвестно, конечно или бесконечно количество пар дружественных чисел.

На сентябрь 2007 года известно

11 994 387 пар дружественных чисел.

Интересные факты

Первые четыре совершенные числа:

6, 28, 496, 8128 были обнаружены 2000 лет назад.

Пятое совершенное число

было выявлено в 1460г.

Это число 33 550 336 обнаружил немецкий математик Региомонтан

Шестое - 8 589 869 056 и седьмое - 137 438 691 328

Первые четыре совершенные числа:

6, 28, 496, 8128 были обнаружены очень давно, 2000 лет назад. Эти числа приведены в Арифметике Никомаха Геразского. Пятое совершенное число было выявлено лишь 500 лет назад, в 1460г. Это число 33 550 336 обнаружил немецкий математик Региомонтан в 15 веке

Свойства дружественных чисел

на основе таблиц можно высказать несколько предположений:

отношение одного из них к другому приближается к 1
эти числа бывают либо оба четными, либо оба нечетными ( не было найдено случая, когда одно число четно, а другое нечетно, хотя поиски дружественных чисел такого вида были проведены среди всех чисел n ≤ 1 3 000 000 000)

В действительности мы очень мало знаем о свойствах пар дружественных чисел, однако, можно на основе наших таблиц высказать несколько предположений. Например, отношение одного из них к другому, по-видимому, должно все больше и больше приближаться к 1 по мере того, как они увеличиваются. Из таблицы видно, что эти числа бывают либо оба четными, либо оба нечетными, но не было найдено случая, когда одно число четно, а другое нечетно, хотя поиски дружественных чисел такого вида были проведены среди всех чисел n ≤ 1 3 000 000 000.

Свойства совершенных чисел

Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также, бесконечно ли множество всех совершенных чисел.

Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, имеет не менее 9 различных простых делителей и не менее 75 простых делителей с учетом кратности.

Интересные факты

«Совершенный»характер чисел 6 и 28 был признан в культурах, базирующихся на авраамических религиях, утверждающих, что Бог сотворил мир за 6 дней и обративших внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли примерно за 28 дней.

Интересные факты

Дата рождения

28 августа является совершенным числом

Лев Николаевич Толстой не раз шутливо "хвастался" тем, что дата его рождения (28 августа по календарю того времени) является совершенным числом. Год рождения Л.Н. Толстого (1828)– тоже интересное число: последние две цифры (28) образуют совершенное число; если обменять местами первые цифры, то получится 8128 - четвертое совершенное число.

Л. В. Толстой

Интересные факты

Год рождения

1828 – тоже интересное число: последние две цифры 28 образуют совершенное число ; если обменять местами первые цифры, то получится 8128 - четвертое совершенное число

Л. В. Толстой

Выводы

узнал какие числа называются дружественными и совершенными
познакомился с историей возникновения совершенных и дружественных чисел
нашел интересные факты о совершенных и дружественных числах
выяснил какими свойствами обладают совершенные и дружественные числа

Спасибо за внимание!!!

multiurok.ru

Дружественные числа

Дру́жественные чи́сла — два различных натуральных числа, для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу. Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенное число дружественно себе. Большого значения для теории чисел эти пары не имеют, но являются любопытным элементом занимательной математики.

Содержание

1 История
2 Примеры
3 Способы построения
- 3.1 Формула Сабита
- 3.2 Метод Вальтера Боро
4 См. также
5 Примечания
6 Ссылки

История

Дружественные числа были открыты последователями Пифагора, которые, однако, знали только одну пару дружественных чисел — 220 и 284 (Делители для 220 это 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, сумма делителей равна 284. Делители для 284 это 1, 2, 4, 71 и 142, сумма которых равна 220).

Формулу для нахождения некоторых пар дружественных чисел предложил примерно в 850 году арабский астроном и математик Сабит ибн Курра (826—901). Его формула позволила найти две новые пары дружественных чисел. Много столетий спустя Эйлер нашёл ещё 65 пар дружественных чисел. Одна из них — 17296 и 18416. Но общего способа нахождения всех таких пар нет до сих пор.

Неизвестно, конечно или бесконечно количество пар дружественных чисел. На сентябрь 2007 года известно 11 994 387 пар дружественных чисел. Все они состоят из чисел одной чётности. Существует ли чётно-нечётная пара дружественных чисел, неизвестно. Также неизвестно, существуют ли взаимно простые дружественные числа, но если такая пара дружественных чисел существует, то их произведение должно быть больше .

Примеры

Ниже приведены все пары дружественных чисел до 980 984.

220 и 284 (Пифагор, около 500 до н. э.)
1184 и 1210 (Паганини, 1866)
2620 и 2924 (Эйлер, 1747)
5020 и 5564 (Эйлер, 1747)
6232 и 6368 (Эйлер, 1750)
10 744 и 10 856 (Эйлер, 1747)
12 285 и 14 595 (Браун, 1939)
17 296 и 18 416 (Ибн ал-Банна, около 1300; Фариси, около 1300; Ферма, 1636)
63 020 и 76 084 (Эйлер, 1747)
66 928 и 66 992 (Эйлер, 1750)
67 095 и 71 145 (Эйлер, 1747)
69 615 и 87 633 (Эйлер, 1747)
79 750 и 88 730 (Рольф (Rolf), 1964)
100 485 и 124 155
122 265 и 139 815
122 368 и 123 152
141 664 и 153 176
142 310 и 168 730
171 856 и 176 336
176 272 и 180 848
185 368 и 203 432
196 724 и 202 444
280 540 и 365 084
308 620 и 389 924
319 550 и 430 402
356 408 и 399 592
437 456 и 455 344
469 028 и 486 178
503 056 и 514 736
522 405 и 525 915
600 392 и 669 688
609 928 и 686 072
624 184 и 691 256
635 624 и 712 216
643 336 и 652 664
667 964 и 783 556
726 104 и 796 696
802 725 и 863 835
879 712 и 901 424
898 216 и 980 984
и т. д.

Пары дружественных чисел образуют последовательность:

220, 284, 1184, 1210, 2620, 2924, 5020, 5564, 6232, 6368, … (последовательность A063990 в OEIS)

Способы построения

Формула Сабита

Если для натурального числа все три числа:

, , ,

являются простыми, то числа и образуют пару дружественных чисел. Эта формула даёт пары (220, 284), (17 296, 18 416) и (9 363 584, 9 437 056) соответственно для , но больше никаких пар дружественных чисел для не существует. Кроме того, многие дружественные числа, например (6232, 6368), не могут быть получены по этой формуле.

Метод Вальтера Боро

Если для пары дружественных чисел вида и числа и являются простыми, причём не делится на , то при всех тех натуральных , при которых оба числа и просты, числа и — дружественные.

См. также

Совершенное число

Примечания

↑ Jan Munch Pedersen Known Amicable Pairs

Ссылки

M. García, J. M. Pedersen, H. J. J. te Riele (2003). «Amicable pairs, a survey». Report MAS-R0307.
Weisstein, Eric W. Amicable Pair (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Thâbit ibn Kurrah Rule (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Euler's Rule (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Дружественные числа Информация о

Дружественные числаДружественные числа

Дружественные числа Информация Видео

Дружественные числа Просмотр темы.

Дружественные числа что, Дружественные числа кто, Дружественные числа объяснение

There are excerpts from wikipedia on this article and video

www.turkaramamotoru.com

Счастливые, дружественные, совершенные и другие числа

Совершенным числом называют натуральное число, равное сумме всех его собственных деталей, т.е. делителей, отличных от самого числа. Так, совершенными числами являются числа 6 и 28, ибо 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14. Знаменитый греческий философ и математик Никомах Герасский, живший в 1 в., отмечал, что совершенные числа красивы, а красивые вещи редки и немногочисленны. Он не знал, сколько имеется совершенных чисел. Не знаем этого и мы. До настоящего времени нет ответов на два важных вопроса:

1) Существует ли наибольшее чётное совершенное число?

2) Существует ли нечетное совершенное число?

До сегодняшнего дня не обнаружено ни одного нечетного совершенного числа, хотя и не доказано, что такого числа не существует. Было обнаружено правило, как искать четные совершенные числа. Это правило состоит в следующем: если число ((2^n)-1), где n-простое, то число (2^n-1) ((2^n)-1 ) - совершенное. Все совершенное редко встречается в мире. Редко встречаются и совершенные числа. Пара натуральных чисел называется дружественной, если каждое из них равно сумме всех собственных делителей другого. Например, дружественную пару образует числа 220 и 284, так число 220 имеет делители 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55 и 110, а число 284 – делители 1,2,4,71,142 и выполняются следующие

равенства:1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284 1+2+4+71+142=220 Все известные дружественные пары состоят либо из двух четных чисел, либо из двух нечетных. До сих пор не обнаружено дружественной смешанной пары, но вместе с тем и не доказано, что такой пары не существует. Неизвестно также, конечно или бесконечно число дружественных пар.

Дру́жественные чи́сла — два натуральных числа́, для которых сумма всех делителей первого числа́ (кроме него самого) равна второму числу и сумма всех делителей второго числа́ (кроме него самого) равна первому числу. Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные чи́сла: каждое совершенное число дружественно себе. Обычно же, говоря о дружественных числах, имеют в виду пары из двух разных чисел.

Дружественные числа были открыты последователями Пифагора. Правда пифагорейцы знали только одну пару дружественных чисел — 220 и 284. Только спустя много столетий Эйлер нашёл ещё 65 пар дружественных чисел. Одна из них — 17296 и 18416. Но общего способа нахождения таких пар нет до сих пор.

Формулу, дающую 3 пары дружественных чисел, открыл около 850 арабский астроном и математик Табит ибн Кура (826—901): если

$p=3\times 2^{n-1}-1$ , $q=3\times 2^n-1$ , $r=9\times 2^{2n-1}-1$ ,

где n > 1 — натуральное число, а $p,\;q,\;r$ — простые числа, то 2npq и 2nr — пара дружественных чисел. Эта формула даёт пары (220, 284), (17296, 18416) и (9363584, 9437056) соответственно для $n=2,\;4,\;7$ , но больше никаких пар дружественных чисел для n < 20000. Кроме того, многие дружественные числа, например (6232, 6368), не могут быть получены по этой формуле.

На ноябрь 2006 известно 11 446 960 пар дружественых чисел. Все они состоят из двух чётных или двух нечётных чисел. Есть ли чётно-нечётная пара дружественных чисел, неизвестно. Также неизвестно, существуют ли взаимно простые дружественные числа, но если такая пара дружественных чисел существует, их произведение должно быть больше 1067.

Ниже приведены все пары дружественных чисел, меньших 100 000.

220 и 284 (Пифагор, около 500 до н. э.)
1184 и 1210 (Паганини, 1860)
2620 и 2924 (Эйлер, 1747)
5020 и 5564 (Эйлер, 1747)
6232 и 6368 (Эйлер, 1750)
10744 и 10856 (Эйлер, 1747)
12285 и 14595 (Браун, 1939)
17296 и 18416 (Аль-Банна, около 1300, Фариси, около 1300, Ферма, 1636)
63020 и 76084 (Эйлер, 1747)
66928 и 66992 (Эйлер, 1750)
67095 и 71145 (Эйлер, 1747)
69615 и 87663 (Эйлер, 1747)
79750 и 88730 (Рольф (Rolf), 1964

Счастливые числа

В любой системе счисления все числа, делящиеся без остатка на «n» - разрядные делители, состоящие из одних единиц, приводятся к «n» -разрядным числам, состоящим из одинаковых цифр.

теорема: Если умножить некоторое «n»-разрядное число, состоящее из одних единиц, на любое целое число N,то полученное произведение можно привести к «n» - разрядному числу, состоящему из одних и тех же цифр

Для этого нужно проделать следующее:

Разбить произведение справа налево по разрядности «n».
Сложив части числа и получить некоторую сумму.
Если разрядность суммы больше «n», то для нее (как для произведения) повторить операции1 и 2.
Операции 1, 2 и 3 повторять до тех пор, пока разрядность суммы не станет равной «n».

ПРИМЕРЫ:

Сначала для ясности рассмотрим численные примеры в десятичной системе счисления (Рис.1).
Умножив, например, 111 на 9876, получим 1 096 236.
Разбиваем 1 096 236 на трехразрядные числа.
Имеем числа 236, 096 и 1.
Сложив их, получим число 333.

Рис.1

Еще один пример (Рис.2):

Если число 111 умножить на 89 876, то получим 9 976 236.
Разбиваем 9 976 236 на трехразрядные числа.
Имеем числа 236, 976 и 9.
Сложив их, получим 1221.
Разбиваем 1221 на трехразрядные числа.
Имеем 221 и 1. Сложив их, получим 222.

Рис.2

Доказательство:

Теорема доказывается методом математической индукции.

Для случая N=1, очевидно, теорема верна. Допустим, что она справедлива для N=K.Это значит, что произведение n-разрядного числа, состоящего из одних единиц, и К с помощью операций 1, 2 и 3 приводится к «n» -разрядному числу, состоящему из одних и тех же цифр. Обозначим эти цифры буквой А. Теперь умножим n-разрядное число, состоящее из одних единиц, на К+1. Умножить на К+1означает, что к произведению n-разрядного числа, состоящего из одних единиц, и К надо прибавить еще одно число, состоящее из одних единиц. Прибавим к ранее полученному n-разрядному числу, состоящему из одинаковых цифр А, «n» -разрядное число, состоящее из одних единиц. Рассмотрим два возможных результата. Если А < 10 - 1, где 10 - основание системы счисления сомножителей, то получим n-разрядное число, состоящее из одних и тех же цифр А+1. Если A = 10 - 1, после сложения получим (n+1)-разрядное число, состоящее из «n» единиц и «0»(нуля) в первом разряде. Тогда с помощью операции 3 оно приводится к n-разрядному числу, состоящему из одних единиц. Таким образом, теорема доказана для любого N.

Следствием теоремы является признак делимости на числа, состоящие из одних единиц.

Чтобы убедиться в том, что некоторое число (делимое) делится без остатка на делитель, состоящий из одних единиц, достаточно, не производя деления, проделать следующее:

Разбить делимое справа налево на числа, разрядность которых равна разрядности делителя.
Сложив эти числа, получим некоторую сумму.
Если сумма имеет разрядность больше, чем разрядность делителя, то для нее, как для делимого, повторить операции 1 и 2.
Операции 1, 2 и 3 повторять до тех пор, пока разрядность суммы не станет равной или меньшей разрядности делителя.

Если сумма имеет разрядность делителя и состоит из одинаковых цифр, то делимое делится на делитель без остатка. Во всех остальных случаях - не делится.

Этот признак делимости не зависит от системы счисления.

При этом для случая представления чисел в двоичной системе пункт 4 звучит значительно проще: Делимое делится на делитель без остатка, если в результате операций 1, 2 и 3 делимое приводится к делителю. В противном случае - не делится.В качестве примера рассмотрим два числа в десятичной системе счисления: 777 и 7770, которые делятся на 3 и на 7.

Эти числа в двоичной системе имеют вид 1 100 001 001 и 1 111 001 011 010 соответственно.

Рис.3

Эти числа с помощью операций 1, 2 и 3 они приводятся к 11 и 111 и, следовательно, делятся без остатка на 11 и 111, то есть делятся на три и семь. Кроме того (см. Рис.3), число 7770 делится также на 15, а следовательно, в двоичной системе, приводится к 1111.

sites.google.com

Дружественные, фигурные и совершенные числа, теория чисел

Презентация на тему «Дружественные, фигурные и совершенные числа, теория чисел» Подготовила учебница 6Б класса Трифонова МарияИтак. Для начала, чтобы работать с материалом нам надо узнать, что же такое дружественные числа. Дружественные числа — это два числа, каждое из которых равно сумме делителей другого числа (не считая самого числа)Пифагор Пифагор Самосский – древнегреческий философ, математик и мистик, создатель религиознофилософской школы пифагорейцев. Дата рождения: около 570 до н. э. Место рождения: Сидон или Самос (Сидон – Ливан, Самос – Греция) Дата смерти: около 490 до н. э. Место смерти: Метапонт, ИталияПочему же мы заговорили о Пифагоре? Дружественные числа были открыты последователями Пифагора, которые, однако, знали только одну пару дружественных чисел — 220 и 284 (делители для 220 – это 1; 24; 5; 10; 11; 20; 22; 44; 55 и 110, сумма делителей равна 284. Делители для 284 — это 1; 2; 4; 71 и 142, сумма которых равна 220). Когда Пифагора спросили о том, кого считать своим другом, он ответил: «Того, кто является моим вторым Я, как числа 220 и 284. Эти два числа замечательны тем, что сумма делителей каждого из них равна второму числу». 220 и 284 являются дружественными числами, поскольку сумма делителей числа 220 — это 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284 а сумма делителей числа 284 — это 1+2+4+71+142=220Примеры дружественных чисел до 980984: 1. 220 и 284 (Пифагор, около 500 до н. э.) 26. 356 408 и 399 592 2. 1184 и 1210 (Паганини, 1866) 27. 437 456 и 455 344 3. 2620 и 2924 (Эйлер, 1747) 28. 469 028 и 486 178 4. 5020 и 5564 (Эйлер, 1747) 29. 503 056 и 514 736 5. 6232 и 6368 (Эйлер, 1750) 30. 522 405 и 525 915 6. 10 744 и 10 856 (Эйлер, 1747) 31. 600 392 и 669 688 7. 12 285 и 14 595 (Браун, 1939) 8. 17 296 и 18 416 (Ибн ал-Банна, около 1300; 32. 609 928 и 686 072 33. 624 184 и 691 256 Фариси, около 1300; Ферма, 1636) 34. 635 624 и 712 216 9. 63 020 и 76 084 (Эйлер, 1747) 35. 643 336 и 652 664 10. 66 928 и 66 992 (Эйлер, 1750) 36. 667 964 и 783 556 11. 67 095 и 71 145 (Эйлер, 1747) 37. 726 104 и 796 696 12. 69 615 и 87 633 (Эйлер, 1747) 38. 802 725 и 863 835 13. 79 750 и 88 730 (Рольф, 1964) 39. 879 712 и 901 424 14. 100 485 и 124 155 40. 898 216 и 980 984 15. 122 265 и 139 815 41. и т. д. 16. 122 368 и 123 152 17. 141 664 и 153 176 Пары дружественных чисел образуют 18. 142 310 и 168 730 последовательность: 19. 171 856 и 176 336 220; 284; 1184; 1210; 2620; 2924; 5020; 5564; 6232; 6368; 20. 176 272 и 180 848 10744; 10856; 12285; 14595; 17296; 18416; 63020; 66928, 21. 185 368 и 203 432 66992; 67095; 69615; 71145; 76084; 79750; 87633; 88730; 22. 196 724 и 202 444 100485; 122265; 122368; 123152; 124155; 139815; 141664; 23. 280 540 и 365 084 142310; … 24. 308 620 и 389 924 25. 319 550 и 430 402Сабит ибн Курра Абуль-Хасан Сабит ибн Курра аль-Харрани – арабский астроном, математик, механик и врач IX века. В русской литературе также упоминается как Сабит ибн Корра или Табит ибн Курра. Дата рождения:836 год Место рождения: Харран, Сирия, Аббасидский халифат Дата смерти: 18 февраля 901 год Место смерти: Багдад, Ирак, Аббасидский халифатЛеонард Эйлер Леонард Эйлер — швейцарский, немецкий и российский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих наук (а также физики, астрономии и ряда прикладных наук). Дата рождения: 15 апреля 1707 год Место рождения: Базель, Швейцария Дата смерти: Дата смерти: 7 (18) сентября 1783 год Место смерти: СанктПетербург, Российская империяФормула для нахождения некоторых пар дружественных чисел Формулу для нахождения некоторых пар дружественных чисел предложил примерно в 850 году арабский астроном и математик Сабит ибн Курра. Его формула позволила найти две новые пары дружественных чисел. Одна из них — 17 296 и 18 416. Много столетий спустя Эйлер нашёл ещё 65 пар дружественных чисел. Но общего способа нахождения всех таких пар нет до сих пор.После Декарта первым получил новые дружественные числа Леонард Эйлер. Он открыл 59 пар дружественных чисел, среди которых были и нечетные числа, например, 9773505 и 11791935. Он предложил пять способов отыскания дружественных чисел. Эту работу продолжили математики следующих поколений. В настоящее время известно около 1100 пар дружественных чисел.Неизвестно, конечно или бесконечно количество пар дружественных чисел. На октябрь 2015 года известно 12 648 597 пар дружественных чисел. Все они состоят из чисел одной чётности. Существует ли чётнонечётная пара дружественных чисел, неизвестно.Рене Декарт Рене Декарт — французский философ, математик, механик, физик и физиолог, создатель аналитической геометрии и современной алгебраической символики. Дата рождения: 31 марта 1596 год Место рождения: Лаэ, Турень, Королевство Франция Дата смерти: 11 февраля 1650 (53 года) Место смерти: Стокгольм, Королевство ШвецияХасан Аль-Банна Хасан ибн Ахмад альБанна — египетский политический деятель, исламский проповедник и реформатор. Дата рождения: 14 октября 1906 год Место рождения: Махмудия, Бухейра, Египет Дата смерти: 12 февраля 1949 год (42 года) Место смерти: Каир, ЕгипетПьер Ферма Пьер де Ферма — французский математик, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. Дата рождения: 17 августа 1601 год Место рождения: Бомонде-Ломань (коммуна во Франции) Дата смерти: 12 января 1665 (63 года) Место смерти:Кастр, ФранцияПри n=2, числа p=5, q=11, r=71 простые, и получается пара чисел Пифагора: 220 и 284. При n=4, числа p=23, q=47, r=1151 простые, и получается пара чисел Ибн Аль-Банны и Ферма: 17296 и 18416. При n=7 получается пара чисел, найденная в 1638 году французским математиком и философом Рене Декартом.Теория чисел. Теория чисел — это наука о целых числах. В основу этого раздела легло изучение свойств натуральных чисел, которое было начато еще математиками древности. В настоящее время в теорию чисел включают значительно более широкий круг вопросов, выходящих за рамки изучения натурах чисел. В теории чисел рассматриваются не только натуральные числа, но и множество всех целых чисел, множество рациональных чисел, множество алгебраических чисел.Ранний период развития арифметики характеризуется тем, что постепенно и притом весьма медленно развивается сам процесс счета, выявляются возможности неограниченного его продолжения, создается практическая арифметика, в которой решаются отдельные конкретные арифметические задачи.Евклид Евклид ли Эвклид — древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Дата рождения: около 325 до н. э. Дата смерти: до 265 до н. э. Место смерти: Александрия, Эллинистический ЕгипетВ трудах Евклида теоретикочисловые исследования занимают сравнительно небольшое место, однако уже у него мы встречаем ряд основных положений теории делимости и хотя простой, но чрезвычайно важный результат: бесконечность множества простых чисел.Диофант Диофант Александрийский — древнегреческий математик, живший предположительно в III веке н. э. Дата рождения: III век Место рождения: Александрия (Египет) Дата смерти: III век Страна: Римская империяГреческим математикам был известен способ выделения простых чисел из натурального ряда, получивший название эратосфенова решета. Теорию чисел как особую область математики можно рассматривать только начиная с работ Диофанта. Диофант рассмотрел ряд задач о представимости чисел в определенной форме и более общие задачи решения уравнений в целых и рациональных числах. Именно эти задачи явились позднее отправным пунктом всей теории форм и той базой, откуда возникла проблематика теории диофантовых приближений. В период упадка античной культуры работы Диофанта были почти совсем забыты. В VIII-IX веках в арабских странах возникает своеобразная математическая культура. Арабская математика, культивируя исследования по алгебре и тригонометрии, проявляла незначительный интерес к теоретико-числовым задачам. Некоторые арабские ученые комментировали Диофанта, рассматривали арифметические задачи того же типа, что и Диофант, однако ничего существенно нового ими не было получено.Фибоначчи Леонардо Пизанский – первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибоначчи. Дата рождения: около 1170 Место рождения: Пиза, Пизанская республика Дата смерти: около 1250 Место смерти:Пиза, Пизанская республикаРегиомонтан Региомонтан — выдающийся немецкий астролог, астроном и математик. Дата рождения: 28 мая 1436 год Место рождения: Кёнигсберг (Бавария) Дата смерти: 27 июня 1476 год (40 лет) Место смерти: Рим, ИталияВ Европе, начиная с эпохи крестовых походов вплоть до XVII века, развитие теории чисел, как, впрочем, и всей математики, было очень медленым. Математики обычно рассматривали только отдельные конкретные задачи теоретикочислового характера. Общие методы были почти неизвестны. В этот период в основном развилась практическая арифметика действий. Из работ этого времени наибольший след в дальнейшем развитии теории чисел оставили весьма незначительные для этой эпохи работы Леонардо Пизанского и работы Региомонтана, который нашел труды Диофанта и впервые в Европе стал систематически их изучать.Франсуа Виет Франсуа Виет, сеньор де ля Биготье — французский математик, основоположник символической алгебры. По образованию и основной профессии — юрист. Дата рождения: 1540 год Место рождения: Фонтене-леКонт (сейчас — департамент Вандея) (Франция) Дата смерти: 13 февраля 1603 год Место смерти: Париж, ФранцияВ XVI и в начале XVII века на латинском и французском языках были изданы сочинения Диофанта, и ряд математиков того времени, из которых в первую очередь можно назвать Виета, занялись комментированием этих сочинений, несколько дополняя их новыми результатами.В настоящем смысле теорию чисел как науку надо считать начиная с работ французского математика П. Ферма, получившего основной результат теории делимости на заданное простое число и решившего ряд важных задач теории диофантовых уравнений.В XVIII веке Л. Эйлер значительно продвинул вперед развитие теории чисел. Эйлер обобщил основной результат Ферма для случая делимости на составные числа, создал общую теорию так называемых степенных вычетов, получил очень большое число разнообразных результатов о представимости чисел в виде форм определенного типа, исследовал ряд систем диофантовых уравнений и получил интересные результаты о разбиении чисел на слагаемые. У Эйлера мы впервые встречамся с идеей применения методов математического анализа к задачам теории чисел. Рассмотрение бесконечных рядов и произведений явилось у Эйлера действенным орудием для получения теоретико-числовых результатов.Жозеф Луи Лангранж Жозеф Луи Лагранж — французский математик, астроном и механик итальянского происхождения. Наряду с Эйлером — крупнейший математик XVIII века. Дата рождения: 25 января 1736 год Место рождения: Турин, Италия Дата смерти: 10 апреля 1813 год (77 лет) Место смерти: Париж, ФранцияПосле работ Эйлера почти все крупные математики XVIII и XIX веков в той или иной степени занимаются теорией чисел. В частности, существенный след в развитии теории чисел оставил французский математик Лагранж, развивший дальше методы Эйлера. Лагранж рассматривал вопрос о представлении чисел в виде бинарной квадратичной формы , доказал теорему о представимости чисел в виде суммы четырех квадратов и провел существенные исследования по теории непрерывных дробей.Андриен Мари Лежанр Адриен Мари Лежандр — французский математик. Дата рождения: 18 сентября 1752 год Место рождения: Париж, Франция Дата смерти: 10 января 1833 год (80 лет) Место смерти: Париж, ФранцияКарл Фридрих Гаусс Иоганн Карл Фридрих Гаусс — немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист. Считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков». Дата рождения: 30 апреля 1777 год Место рождения: Брауншвейг, Германия Дата смерти: 23 февраля 1855 год (77 лет) Место смерти: Гёттинген, ГерманияБольшое влияние на дальнейшее развитие теории чисел оказали и работы А.Лежандра по теории диофантовых уравнений высших степеней. Лежандр нашел также эмпирическую формулу для числа простых чисел в заданных пределах. Работы Эйлера, Лагранжа и Лежандра создали базу для цельной теории, получившей позже у Гаусса название теории сравнений. Замечательные работы немецкого математика К.Гаусса имели особенно большое значение для всей теории чисел. Работы Гаусса по теории сравнений 2-й степени придали ей законченный вид, так что в настоящее время вся эта область теории чисел базируется на результатах, изложенных им в книге «Арифметические исследования». В этой книге рассматривается также теория квадратичных форм, в которой им были получены фундаментальные результаты. Гаусс наряду с изучением обычных целых чисел начал рассматривать также и арифметику чисел, получивших название целых гауссовых чисел. Эти его исследования положили начало алгебраической теории чисел. После работ Гаусса в течение всего XIX века и до сегодняшнего дня исследования по теории приобретают все увеличивающийся размах.Совершенные числа. Совершенные числа – это числа, равные сумме всех его делителей (без самого числа). Например, числа 6 (6=1+2+3), 28 (28=1+2+4+7+14). Следующие совершенные числа – 496, 8128, 33 550 336. Число 6 делится на себя, а также на 1, 2 и 3, причем 6 = 1+2+3. Число 28 имеет пять делителей, кроме самого себя: 1, 2, 4, 7 и 14, причем, аналогично, 28 = 1+2+4+7+14. Первое самое меньшее совершенное число — 6 (1 + 2 + 3 = 6). Может быть, именно поэтому шестое место считалось самым почетным на пирах у древних римлян. Второе по старшинству совершенное число — 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28). В некоторых ученых обществах и академиях полагалось иметь 28 членов. Почти до наших дней дожила эта традиция, идущая из далеких эпох. В Риме в 1917г. при выполнении подземных работ обнаружилось помещение одной из древнейших академий: зал и вокруг него 28 кабинетов – как раз по числу членов академии. По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Третье совершенное число — 496 (1+2+48+16+31+62+124+248 = 496), четвёртое — 8128, пятое — 33 550 336, шестое — 8 589 869 056, седьмое — 137 438 691 328.Фигурные числа. Фигурные числа – это числа, которые соответствовали количеству точек, расположенных в виде некоторой геометрической фигуры – треугольника, квадрата и др.Треугольные числа. Нарисованные и попарно соединённые три точки создают правильный (равносторонний) треугольник. А если точек четыре – можно ли их расположить аналогичным способом? Оказывается, нет. Пять точек - тоже нет. А вот шесть точек расположить в требуемом порядке уже можно. При этом новый треугольник получается линейным увеличением последнего в три раза. Чтобы впечатление треугольника сохранялось нужно добавить четыре точки. Соответствующий треугольник получается линейным увеличением исходного в три раза. Продолжая добавлять точки, будем получать всё новые и новые треугольники.В приведённых примерах точек сначала было три, потом шесть, затем десять и так далее. Эти числа по вполне понятным причинам называются треугольными. Простейшими из этих чисел являются: 3; 6; 10; 15; 21; 28; 36; ...3=1+2 6=1+2+3 10=1+2+3+4 15=1+2+3+4+5 21=1+2+3+4+5+6 Треугольные числа обладают следующими свойствами: 1. Сумма двух последовательных треугольных чисел даёт полный квадрат – квадратное число. 2. Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное... 3. Каждое чётное совершенное число является треугольным.Квадратные числа. Нарисованные точки образуют правильную геометрическую фигуру – квадрат. Квадратными числами называются числа ряда: 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100; ...Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами. 1=1х1 4=2х2 9=3х3 16=4х4 25=5х5

ppt-online.org

Совершенные и дружественные числа Подготовила работу Алексеева Настя

Совершенные и дружественные числа

Подготовила работу Алексеева Настя

Цель работы: доказать, что в математике есть удивительные числа.
Задачи:
Выделить дружественные и совершенные числа чисел среди натуральных чисел;
Установить свойства и закономерности этих чисел.
Методы исследования:
Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет.
Систематизация данных.
Предмет исследования: натуральные числа

ИЗ ИСТОРИИ ЧИСЕЛ

Число является одним из основных понятий математики. Существует большое количество определений понятию "число". О числах первый начал рассуждать Пифагор. Пифагору принадлежит высказывание "Всё прекрасно благодаря числу". По его учению число 2 означало гармонию, 5 – цвет, 6 –холод, 7 – разум, здоровье, 8 –любовь и дружбу. Первое научное определение числа дал Евклид в труде "Начала».

СОВЕРШЕННОЕ ЧИСЛО

Совершенным называется число, равное сумме всех своих делителей (включая 1, но исключая само число).

Первым прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число "6". На шестом месте, на званном пиру, возлежал самый уважаемый, самый почетный гость. В библейских преданиях утверждается, что мир был создан в шесть дней, ведь более совершенного числа, среди совершенных чисел, чем "6", нет, поскольку оно первое среди них.

Рассмотрим число 6. Число имеет делители 1, 2, 3 и само число 6. Если сложить делители, отличные от самого числа 1 + 2 + 3 то мы получим 6. Значит, число 6 дружественно самому себе и является первым совершенным числом.

ЭТО ИНТЕРЕСНО

Следующим совершенным числом, известным древним, было "28". Мартин Гарднер усматривал в этом числе особый смысл. По его мнению, Луна обновляется за 28 суток, потому что число "28" – совершенное. В Риме в 1917 году при подземных работах было открыто странное сооружение: вокруг большого центрального зала расположены двадцать восемь келий. Это было здание неопифагорейской академии наук. В ней было двадцать восемь членов.

ИЗ ИСТОРИИ СОВЕРШЕННЫХ ЧИСЕЛ

До Евклида были известны только эти два совершенных числа, и никто не знал, существуют ли другие совершенные числа и сколько таких чисел вообще может быть.
Благодаря своей формуле, Евклид сумел найти еще два совершенных числа: 496 и 8128.
Почти полторы тысячи лет люди знали только четыре совершенных числа, и никто не знал, могут ли существовать еще числа, которые можно представить в евклидовской формуле, и никто не мог сказать, возможны ли совершенные числа, не удовлетворяющие формуле Евклида.

СВОЙСТВА СОВЕРШЕННЫХ ЧИСЕЛ

Формула Евклида позволяет без труда доказывать многочисленные свойства совершенных чисел.
– Все совершенные числа треугольные. Это значит, что, взяв совершенные число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник.
– Все совершенные числа, кроме 6, можно представить в виде частичных сумм ряда кубов последовательных нечетных чисел 13 + 33 + 53…
– Сумма обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2.
Кроме того, совершенство чисел тесно связано с двоичностью. Числа: 4=2×2, 8 = 2· 2· 2, 16 = 2 · 2 · 2 · 2 и т.д. называются степенями числа 2 и могут быть представлены в виде 2n, где n – число перемноженных двоек.
– Все совершенные числа (кроме 6) заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56, 76 или 96.

Дру́жественные чи́сла — два различных натуральных числа, для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу.

История изучения дружественных чисел

Дружественные числа были открыты последователями Пифагора. Правда, пифагорейцы знали только одну пару дружественных чисел – 220 и 284. Только спустя много столетий Эйлер нашёл ещё 65 пар дружественных чисел. Одна из них – 17296 и 18416. Но общего способа нахождения таких пар нет до сих пор.

Все пары дружественных чисел, значение которых меньше 100000.

- Пара 220 и 284 открыта Пифагором, около 500 до н. э.

- Пара 1184 и 1210 открыта Паганини в 1860 году.

- Пара 2620 и 2924 открыта Эйлером в 1747 году.

- Пара 5020 и 5564 (Эйлер, 1747г.)

- Пара 6232 и 6368 (Эйлер, 1750)

- Пара 10744 и 10856 (Эйлер, 1747)

- Пара 12285 и 14595 открыта Брауном в 1939 году

- Пара 17296 и 18416 открыта Аль-Банном, около 1300, Фариси, около 1300 и Пьером Ферма в 1636.

- Пара 63020 и 76084 (Эйлер, 1747)

- Пара66928 и 66992 (Эйлер, 1750)

- Пара 67095 и 71145 (Эйлер, 1747)

- Пара 69615 и 87633 (Эйлер, 1747)

- Пара 79750 и 88730 открыта Рольфом (Rolf) в 1964 году.

Среди всех интересных натуральных чисел, издавна изучаемых математиками, особое место занимают совершенные и близко связанные с ними дружественные числа. Из огромного многообразия натуральных чисел ученые выделили дружественные и совершенные числа, обладающие рядом очень интересных свойств. Мир полон тайн и загадок. Но разгадать их могут только пытливые. Современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел. И мне бы хотелось продолжить изучение чисел, ведь я только знаю натуральные числа.

Работа ученицы 6 класса

Алексеевой Анастасии

dok.opredelim.com

Дружественные, фигурные и совершенные числа, теория чисел. Дружественные и совершенные числа реферат

Совершенные и дружественные числа

Дружественные числа

Содержание

История

Примеры

Способы построения

Формула Сабита

Метод Вальтера Боро

См. также

Примечания

Ссылки

Дружественные числа Информация о

Счастливые, дружественные, совершенные и другие числа

Дружественные, фигурные и совершенные числа, теория чисел

Совершенные и дружественные числа Подготовила работу Алексеева Настя

Совершенные и дружественные числа

Подготовила работу Алексеева Настя

Цель работы: доказать, что в математике есть удивительные числа.

Задачи:

Выделить дружественные и совершенные числа чисел среди натуральных чисел;

Установить свойства и закономерности этих чисел.

Методы исследования:

Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет.

Систематизация данных.

Предмет исследования: натуральные числа

ИЗ ИСТОРИИ ЧИСЕЛ

СОВЕРШЕННОЕ ЧИСЛО

Совершенным называется число, равное сумме всех своих делителей (включая 1, но исключая само число).

ЭТО ИНТЕРЕСНО

ИЗ ИСТОРИИ СОВЕРШЕННЫХ ЧИСЕЛ

До Евклида были известны только эти два совершенных числа, и никто не знал, существуют ли другие совершенные числа и сколько таких чисел вообще может быть.

Благодаря своей формуле, Евклид сумел найти еще два совершенных числа: 496 и 8128.

СВОЙСТВА СОВЕРШЕННЫХ ЧИСЕЛ

Формула Евклида позволяет без труда доказывать многочисленные свойства совершенных чисел.

– Все совершенные числа треугольные. Это значит, что, взяв совершенные число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник.

– Все совершенные числа, кроме 6, можно представить в виде частичных сумм ряда кубов последовательных нечетных чисел 13 + 33 + 53…

– Сумма обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2.

– Все совершенные числа (кроме 6) заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56, 76 или 96.

История изучения дружественных чисел

Все пары дружественных чисел, значение которых меньше 100000.

- Пара 220 и 284 открыта Пифагором, около 500 до н. э.

- Пара 1184 и 1210 открыта Паганини в 1860 году.

- Пара 2620 и 2924 открыта Эйлером в 1747 году.

- Пара 5020 и 5564 (Эйлер, 1747г.)

- Пара 6232 и 6368 (Эйлер, 1750)

- Пара 10744 и 10856 (Эйлер, 1747)

- Пара 12285 и 14595 открыта Брауном в 1939 году

- Пара 17296 и 18416 открыта Аль-Банном, около 1300, Фариси, около 1300 и Пьером Ферма в 1636.

- Пара 63020 и 76084 (Эйлер, 1747)

- Пара66928 и 66992 (Эйлер, 1750)

- Пара 67095 и 71145 (Эйлер, 1747)

- Пара 69615 и 87633 (Эйлер, 1747)

- Пара 79750 и 88730 открыта Рольфом (Rolf) в 1964 году.

Работа ученицы 6 класса

Алексеевой Анастасии

Смотрите также