— перевёрнутая и укороченная (буква) ψ».Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Лицей №10» г.Перми
Диофант. Диофантовы уравнения
Выполнила работу
Ильина Яна,
ученица 11 б класса
Руководитель
Золотухина Л. В,
учитель математики
высшей категории
Пермь, 2010
Содержание
Введение…………………………………………………………………….3
1. Диофант………………………………………………………………..…4
2. Числа и символы…………………………………………………………6
3. Диофантово уравнение………………………………………………..…8
4. Способы решения………………………………………………………..12
Заключение…………………………………………………………………15
Список литературы…………………………………………………………16
Введение
Сегодняшние школьники решают различные уравнения. В части С заданий ЕГЭ встречается интересное уравнение, которое называется Диофантово уравнение. В своих работах Диофант не только поставил проблему решения неопределённых уравнений в рациональных числах, но и дал некоторые общие методы их решения. Эти методы будут очень полезны для сегодняшних одиннадцатиклассников, которым предстоит сдавать экзамен по математике.
Диофант внес такой же огромный вклад в развитие математики, как и Архимед. Так, например, поступал Архимед: определяя площади эллипса, сегмента параболы, поверхности шара, объёмы шара и других тел, он применял метод интегральных сумм и метод предельного перехода, однако нигде не дал общего абстрактного описания этих методов. Учёным XVI–XVII веков приходилось тщательно изучать и перелагать по-новому его сочинения, чтобы выделить оттуда методы Архимеда. Аналогично обстоит дело и с Диофантом. Его методы были поняты и применены для решения новых задач Виетом и Ферма, т.е. в то же время, когда был разгадан и Архимед.
1. Диофант
Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Нам не известны ни время, когда он жил, ни предшественники его, которые работали бы в той же области. Труды его подобны сверкающему огню среди полной непроницаемой тьмы. Промежуток времени, когда мог жить Диофант, составляет полтысячелетия! Нижняя грань этого промежутка определяется без труда: в своей книге о многоугольных числах Диофант неоднократно упоминает математика Гипсикла Александрийского, который жил в середине II века до н. э. С другой стороны, в комментариях Теона Александрийского к «Альмагесту» знаменитого астронома Птолемея помещён отрывок из сочинения Диофанта. Теон жил в середине IV века н. э. Этим определяется верхняя грань этого промежутка. Итак, 500 лет!
Зато место жительства Диофанта хорошо известно — это знаменитая Александрия, центр научной мысли эллинистического мира.
Чтобы исчерпать всё известное о личности Диофанта, приведём дошедшее до нас стихотворение-загадку:
Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и каменьМудрым искусством его скажет усопшего век.Волей богов шестую часть жизни он прожил ребёнкомИ половину шестой встретил с пушком на щеках.Только минула седьмая, с подругою он обручился.С нею пять лет проведя сына дождался мудрец;Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.Отнят он был у отца ранней могилой своей.Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Отсюда нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. Однако для этого вовсе не нужно владеть искусством Диофанта! Достаточно уметь решать уравнение 1-й степени с одним неизвестным, а это умели делать египетские писцы ещё за 2 тысячи лет до н. э.
Но наиболее загадочным представляется творчество Диофанта. До нас дошло шесть книг из 13, которые были объединены в «Арифметику». Стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебре, образцы которых мы знаем по «Началам» Евклида, его «Данным», леммам из сочинений Архимеда и Аполлония. «Арифметика», несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, которые для нас остались совершенно не известны. Мы можем только гадать о её корнях и изумляться богатству и красоте её методов и результатов.
«Арифметика» Диофанта — это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением (или несколькими способами решения) и необходимыми пояснениями. Поэтому с первого взгляда кажется, что она не является теоретическим произведением. Однако при внимательном чтении видно, что задачи тщательно подобраны и служат для иллюстрации вполне определённых, строго продуманных методов. Как это было принято в древности, методы не формулируются в общем виде, а повторяются для решения однотипных задач.
2. Числа и символы
Диофант начинает с основных определений и описания буквенных символов, которые он будет применять.
В классической греческой математике, которая нашла своё завершение в «Началах» Евклида, под числом άριJμός — «аритмос» или «арифмос»; отсюда название «арифметика» для науки о числах) понималось множество единиц, т.е. целое число. Ни дроби, ни иррациональности числами не назывались. Строго говоря, никаких дробей в «Началах» нет. Единица считается неделимой и вместо долей единицы рассматриваются отношения целых чисел; иррациональности появляются как отношения несоизмеримых отрезков, например, число, которое мы теперь обозначаем √2, для греков классической эпохи было отношением диагонали квадрата к его стороне. Об отрицательных числах не было и речи. Для них не существовало даже никаких эквивалентов. Совершенно иную картину мы находим у Диофанта.
Диофант приводит традиционное определение числа как множества единиц, однако в дальнейшем ищет для своих задачположительные рациональныерешения, причём называет каждое такое решение числом (άριJμός — «аритмос»).
Но этим дело не ограничивается. Диофант вводит отрицательные числа: он называет их специальным термином λει̃ψις — «лейпсис» — производное от глагола λει̃πω — «лейпо», что означает недоставать, нехватать, так что сам термин можно было бы перевести словом «недостаток». Кстати, так поступает известный русский историк науки И. Тимченко . Положительное число Диофант называет словом ΰπαρξις — «ипарксис», что означает существование, бытие, а во множественном числе это слово может означать имущество или достояние. Таким образом, терминология Диофанта для относительных чисел близка к той, которую употребляли в Средние века на Востоке и в Европе. Скорее всего, это было просто переводом с греческого на арабский, санскрит, латынь, а затем на различные языки Европы.
Заметим, что термин λει̃ψις — «лейпсис» — нельзя переводить как «вычитаемое», как это делают многие переводчики Диофанта, потому что для операции вычитания Диофант применяет совершенно иные термины, а именно άφελει̃ν — «афелейн» или άφαιρει̃ν — «афайрейн», которые являются производными от глагола άφαιρεω — «афайрео» — отнимать. Сам Диофант при преобразовании уравнений часто употребляет стандартное выражение «прибавим к обеим сторонам λει̃ψις».
Мы так подробно остановились на филологическом анализе текста Диофанта, чтобы убедить читателя, что мы не отступим от истины, если будем переводить термины Диофанта как «положительное» и «отрицательное».
Диофант формулирует для относительных чисел правило знаков:
«отрицательное, умноженное на отрицательное, даёт положительное, тогда как отрицательное на положительное даёт отрицательное, и отличительный знак для отрицательного есть— перевёрнутая и укороченная (буква) ψ».
Далее он пишет:
«После того как я тебе объяснил умножение, становится ясным и деление предложенных членов; теперь будет хорошо приступить к упражнениям над сложением, вычитанием и умножением таких членов. И положительные и отрицательные члены с различными коэффициентами прибавлять к другим членам, которые либо положительны, либо, равным образом, и положительны и отрицательны, и от положительных членов и других отрицательных отнимать другие положительные и, равным образом, положительные и отрицательные».
Заметим, что хотя Диофант ищет только рациональные положительные решения, в промежуточных выкладках он охотно пользуется отрицательными числами.
Мы можем, таким образом, отметить, что Диофант расширил числовую область до поля рациональных чисел, в котором можно беспрепятственно производить все четыре действия арифметики.
3. Диофантово уравнение
Определение - алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения.
ax+by= 1
гдеаиb— целые взаимно простые числа
Взаимно простые числа,несколько целых чисел, таких, что общими делителями для всех этих чисел являются лишь + 1 и - 1. Наименьшее кратное попарно простых чисел равно их произведению.
имеет бесконечно много решений:
еслиx0иу0— одно решение, то числа
х=x0+bn
у=y0-an
(n— любое целое число) тоже будут решениями.
Другой пример Д. у.
x2+у2=z2
Целые положительные решения этого уравнения представляют длины катетовх,уи гипотенузыzпрямоугольных треугольников с целочисленными длинами сторон и называются пифагоровыми числами.
тройки натуральных чисел таких, что треугольник, длины сторон которого пропорциональны (или равны) этим числам, является прямоугольным.
Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам
х=m2-n2
у= 2mn
z=m2+n2
гдеmиn— целые числа (m>n> 0).
Это уравнение определяет на плоскостиR2алгебраическуюкривуюΓ. Рациональное решение (2) будем называтьрациональной точкойкривой Γ. В дальнейшем мы часто будем прибегать к языку геометрии, хотя сам Диофант нигде его не применяет. Однако геометрический язык стал в настоящее время столь неотъемлемой частью математического мышления, что многие факты будет легче понять и объяснить с его помощью.
Прежде всего, необходимо дать какую-нибудь классификацию уравнений (2) или, что тоже, алгебраических кривых. Наиболее естественной и ранее всего возникшей является классификация их по порядкам.
Напомним, чтопорядкомкривой (2) называется максимальный порядок членов многочленаf(x,y), где под порядком члена понимается сумма степеней приxиy. Геометрический смысл этого понятия заключается в том, что прямая пересекается с кривой порядкаnровно вnточках. При подсчёте точек надо, разумеется, учитывать кратность точек пересечения, а также комплексные и «бесконечно удалённые» точки. Так, например, окружностьx2+y2= 1 и прямаяx+y= 2 пересекаются в двух комплексных точках, а гиперболаx2–y2= 1 и прямаяy=x— в двух бесконечно удалённых точках, та же гипербола с прямойx=1 имеет одну общую точку кратности 2.
Однако для целейдиофантова анализа(такое название получила область математики, выросшая из задач решения неопределённых уравнений; впрочем, теперь её чаще называют диофантовой геометрией) классификация по порядкам оказалась слишком грубой.
Рис. 1.
Поясним сказанное на примере. Пусть задана окружностьC:x2+y2= 1 и любая прямая с рациональными коэффициентами, например,L:y=0. Покажем, что рациональные точки этой окружности и прямой можно поставить во взаимно однозначное соответствие. Это можно сделать, например, так: закрепим точкуA(0,–1) окружности и поставим в соответствие каждой рациональной точкеBпрямойLточкуB'окружностиC, лежащую на пересеченииCи прямойAB(рис. 1). То, что координаты точкиB'будут рациональными, предоставим читателю доказать самому либо прочесть аналогичное доказательство у Диофанта (оно будет изложено в следующем параграфе). Очевидно, что такое же соответствие можно установить между рациональными точками любого конического сечения, если на нём лежит хотя бы одна рациональная точка, и рациональной прямой. Мы видим, что с точки зрения диофантова анализа окружностьCи прямаяLнеотличимы: множества их рациональных решений эквивалентны. И это несмотря на то, что порядки обеих кривых различны.
Более тонкой является классификация алгебраических кривых по родам, которая была введена только в XIX веке Абелем и Риманом. Эта классификация учитывает число особых точек кривой Γ.
Будем считать, что в уравнении (2) кривой Γ многочленf(x,y) неприводим над полем рациональных чисел, т.е. он не раскладывается в произведение многочленов с рациональными коэффициентами. Как известно, уравнение касательной к кривой Γ в точкеP(x0,y0) будет
y–y0=k(x–x0),
где
k= – | fx'(x0,y0) fy'(x0,y0) | . |
Если в точкеPпроизводнаяfx'илиfy'отлична от нуля, то угловой коэффициентkкасательной имеет вполне определённое значение (еслиfy'(x0,y0) = 0, afx'(x0,y0) ≠ 0, тоk=∞ и касательная вPбудет вертикальной).
Если же в точкеPобе частные производные обращаются в нуль,
fx'(x0,y0) = 0 иfy'(x0,y0) = 0,
то точкаPназываетсяособой.
Например, у кривойy2=x2+x3точка (0, 0) будет особой, так как в нейfx'= –2x– 3x2иfy'= 2yобращаются в нуль.
Рис. 2.
Наиболее простыми особыми точками являются двойные, в которых хотя бы одна из производныхfxx'',fxy''иfyy''отлична от нуля. На рис. 2 изображена двойная точка, в которой кривая имеет две различные касательные. Другие более сложные особые точки изображены на рис. 3.
Рис. 3.
4. Способы решения
Правило 1. Если с не делится на d, то уравнение ах + ву = с не имеет решений в целых числах. Н.О.Д.(а,в) = d.
Правило 2. Чтобы найти решение уравнения ах + ву = с при взаимно-простых а и в, нужно сначала найти решение (Хо; уо) уравнения ах + ву = 1; числа СХо, Суосоставляют решение уравнения ах + ву = с.
Решить в целых числах (х,у) уравнение
5х - 8у = 19 … (1)
Решение.
Первый способ.Нахождение частного решения методом подбора и запись общего решения.
Знаем, что если Н.О.Д.(а;в) =1, т.е. а и в взаимно-простые числа, то уравнение (1)
имеет решение в целых числах х и у. Н.О.Д.(5;8) =1. Методом подбора находим частное решение: Хо= 7; уо=2.
Итак, пара чисел (7;2) - частное решение уравнения (1).
Значит, выполняется равенство: 5 x 7 – 8 x 2 = 19 … (2)
Вопрос: Как, имея одно решение, записать все остальные решения?
Вычтем из уравнения (1) равенство (2) и получим: 5(х -7) – 8(у - 2) =0.
Отсюда х – 7 =
. Из полученного равенства видно, что число (х – 7) будет целым тогда и только тогда, когда (у – 2) делится на 5, т.е. у – 2 = 5n, где n какое-нибудь целое число. Итак, у = 2 + 5n, х = 7 + 8n, где n
Z.
Тем самым все целые решения исходного уравнения можно записать в таком виде:
nZ.
Второй способ. Решение уравнения относительно одного неизвестного.
Решаем это уравнение относительно того из неизвестных, при котором наименьший (по модулю) коэффициент. 5х - 8у = 19
х =
.
Остатки при делении на 5: 0,1,2,3,4. Подставим вместо у эти числа.
Если у = 0, то х =
=
.
Если у =1, то х =
=
.
Если у = 2, то х =
=
= 7Z.
Если у =3, то х =
=
.
Если у = 4 то х =
=
.
Итак, частным решением является пара (7;2).
Тогда общее решение:nZ.
Третий способ. Универсальный способ поиска частного решения.
Для решения применим алгоритм Евклида. Мы знаем, что для любых двух натуральных чисел а, в, таких, что Н.О.Д.(а,в) = 1 существуют целые числа х,у такие, что ах + ву = 1.
План решения:
1. Сначала решим уравнение 5m – 8n = 1 используя алгоритм Евклида.
2. Затем найдем частное решение уравнения (1)по правилу 2.
3. Запишем общее решение данного уравнения (1).
1. Найдем представление: 1 = 5m – 8n. Для этого используем алгоритм Евклида.
8 = 5
1 + 3.
5 = 3
3 = 2
.
Из этого равенства выразим 1. 1 = 3 - 2
= 3 – (5 - 3)
=
= 3 - 5
= 3
= (8 - 5
- 5
8
2 -5
= 5
(-2). Итак, m = -3, n = -2.
2. Частное решение уравнения (1): Хо= 19m; уо=19n.
Отсюда получим: Хо=19
; уо=19
.
Пара (-57; -38)- частное решение (1).
3. Общее решение уравнения (1):
nZ.
Четвертый способ.Геометрический.
План решения.
1. Решим уравнение 5х – 8у = 1 геометрически.
2. Запишем частное решение уравнения (1).
3. Запишем общее решение данного уравнения (1).
1
Отложим на окружности последовательно друг за другом равные дуги, составляющие
-ю часть полной окружности. За 8 шагов получим все вершины правильного вписанного в окружность 8-угольника. При этом сделаем 5 полных оборотов.
На 5 – ом шаге получили вершину, соседнюю с начальной, при этом сделали 3 полных оборота и еще прошли
- ю часть окружности, так что х= у +.
Итак, Хо= 5, уо=3 является частным решением уравнения 5х – 8у = 1.
2. Частное решение уравнения (1): Хо= 19
уо=19
3. Общее решение уравнения (1):
nZ.
Заключение
Между тем большинство историков науки, в противоположность математикам, до сих пор недооценивали труды Диофанта. Многие из них считали, что Диофант ограничивался нахождением только одного решения и применял для этого искусственные приёмы, различные для разных задач. Но на самом деле в большинстве диофантовых уравнений мы наблюдаем похожие алгоритмы решений.
Сегодня, как мы видим, существует несколько различных способов решения, алгоритмы которых несложно запомнить. Как уже было сказано ранее это уравнение обычно встречается в задании С6 на ЕГЭ. Исследование алгоритмов решения Диофантовых уравнений может помочь при решении этого задания, которое оценивается в значительное количество баллов.
Список литературы
1.Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах (перевод с древнегреческого И. Н. Веселовского; редакция и комментарии И. Г. Башмаковой). М., «Наука», 1974.
2. Б. Л. Ван-дер-Варден, Пробуждающаяся наука (перевод И. Н. Веселовского). М., Физматгиз, 1959.
3. Г. Г. Цейтен, История математики в древности и в средние века (перевод П. Юшкевича). М.–Л., Гостехиздат, 1932
4. А. В. Васильев, Целое число. Петербург, 1919
5. И. В. Ященко, С. А. Шестаков, П. И. Захаров, Математика, ЕГЭ, МЦНМО, 2010
superbotanik.net
МОУ «Чалтырская общеобразовательная школа №1»
Мясниковского района Ростовской области
Реферат по математике
ДИОФАНТ
И
ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ
Выполнил Хейгетян Дзерон Арсенович,
ученик 10-а класса.
Руководитель – Килафян Аракси Хевондовна,
учитель математики.
с. Чалтырь
2011
Оглавление стр.
Введение
Впервые о Диофанте я услышал в 6 классе, когда при изучении темы «Решение уравнений» мы решали задачу, в которой надо было определить возраст древнего математика. Затем на занятиях математического кружка мы познакомились с обозначениями, которые впервые ввёл Диофант для неизвестных. И меня это заинтересовало, из доступной литературы я стал изучать способы решения диофантовых уравнений и часть этой работы хочу представить вашему вниманию.
Цель работы: изучить способы решения диофантовых уравнений первой и второй степени.
Задачи:
Основная часть работы
1) О жизни Диофанта.
Одним из самых своеобразных древнегреческих математиков был Диофант Александрийский, труды которого имели большое значение для алгебры и теории чисел. До сих пор не выяснены ни год рождения, ни дата смерти Диофанта: полагают, что он жил в III в.н.э. В одном из древних рукописных сборников задач в стихах жизнь Диофанта описывается в виде следующей алгебраической загадки, представляющей надгробную надпись на его могиле:
Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребёнком
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Задача-загадка сводится к составлению и решению уравнения
,
Вот сколько лет жил Диофант.
2) «Арифметика» Диофанта
Но наиболее загадочным представляется творчество Диофанта. До нас дошло шесть книг из 13, которые были объединены в «Арифметику». Первым прочёл их, по-видимому, известный астроном XV века Региомонтан (Иоганн Мюллер). Путешествуя по Италии, он открыл рукопись Диофанта в Венеции и сообщил об этом в письме к своему другу. Рукопись поразила его богатством содержания. Он решил перевести её, но не раньше, чем найдёт все 13 книг, о которых пишет Диофант во Введении. Однако были найдены только 6 книг, те, которые известны и нам, и перевод так и не был сделан. Стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебре, образцы которых мы знаем по «Началам» Евклида, его «Данным», леммам из сочинений Архимеда и Аполлония. «Арифметика», несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, которые остались нам совершенно не известны. Мы можем только гадать о её корнях и изумляться богатству и красоте её методов и результатов.
В начале своего труда Диофант поместил краткое введение, ставшее первым изложением основ алгебры. В нём строится поле рациональных чисел и вводится буквенная символика. Там же формулируются правила действий с многочленами и уравнениями. Сразу оговоримся, что анализ решений задач позволяет обнаружить в «Арифметике» более широкие теоретические основания, чем те, которые явно изложены во введении. Прежде всего это относится к числовой области.
Напомним, что в классической античной математике числами назывались множества единиц, т. е. только натуральные числа.
Диофант же хотя и даёт определение числа как множества единиц, но на протяжении всех книг называет каждое положительное рациональное решение своих задач словом «число».
Однако для построения алгебры одних только положительных дробей недостаточно, и Диофант делает решительный шаг - вводит отрицательные числа. Для этого он выбирает метод, известный теперь как аксиоматический: он определяет новый объект, который называет «недостатком», и формулирует правила действий с ним. Диофант пишет: «Недостаток, умноженный на недостаток, дает наличие; недостаток же, умноженный на наличие, даёт недостаток».
(-) х (-) = (+),
(-) х (+) = (-).
Правила сложения и вычитания для новых чисел Диофант не излагает, он просто пользуется ими в своих книгах. И все же отрицательные числа Диофант применяет только в промежуточных вычислениях, а в качестве решения всегда выбирает положительное рациональное число.
В предложенной Диофантом буквенной символике примечательно то, что кроме знака для неизвестной величины вводятся обозначения для первых шести её степеней, как положительных, так и отрицательных. То есть для Диофанта эти величины не имеют геометрического смысла, как было раньше. Сформулировав правила умножения степеней неизвестного и введя специальные знаки для равенства - i (начальные буквы греческого слова «исос» - «равный») и неопределенного квадрата - □, Диофант впервые в математике получает возможность записывать уравнения или системы уравнений. Конечно, его форма записи нисколько не походит на современную, однако это настоящие уравнения, выделяющиеся в тексте так же, как в нынешних математических работах. Собственно говоря, до Диофанта никаких уравнений - ни определённых, ни неопределённых - просто не было. Рассматривались задачи, которые мы теперь можем свести к уравнениям, и не более того.
Наконец, во введении Диофант формулирует два основных правила преобразования уравнений: правило переноса члена уравнения из одной части в другую с обратным знаком и правило приведения подобных членов.
«Арифметика» Диофанта — это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением (или несколькими способами решения) и необходимыми пояснениями. Поэтому с первого взгляда кажется, что она не является теоретическим произведением. Однако при внимательном чтении видно, что задачи тщательно подобраны и служат для иллюстрации вполне определённых, строго продуманных методов.
3) Решение диофантовых уравнений первой степени
Методы решения неопределённых уравнений составляют основной вклад Диофанта в математику. Известно, что в символике Диофанта был один только знак для неизвестного. Решая неопределённые уравнения, он применял в качестве нескольких неизвестных произвольные числа, вместо которых можно было взять и любые другие, что и сохраняло характер общности его решения.
Решение уравнений в целых числах – один из самых красивых разделов математики. Ни один крупный математик не прошел мимо теории диофантовых уравнений. Ферма, Эйлер, Лагранж, Гаусс, Чебышев оставили неизгладимый след в этой интересной теории.
Долгое время надеялись найти общий способ решения диофантовых уравнений. Однако в 1970г. ленинградский математик Матиясевич доказал, что такого общего способа быть не может.
Я изучил 2 способа решения диофантовых уравнений: первый из них – метод перебора – применяется для решения простейших задач.
Задача 3.1
Во дворе стоят скутеры и автомобили, всего у них вместе 18 колёс. Сколько скутеров и сколько автомобилей во дворе?
Решение
Составляется уравнение с двумя неизвестными переменными, в котором х – число автомобилей, у – число скутеров:
4х + 2у = 18, или 2х + у = 9.
Выразим у через х: у = 9 – 2х.
Далее воспользуемся методом перебора:
Таким образом, задача имеет четыре решения.
Ответ: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).
В Индии, где неопределённые уравнения решались в связи с астрономическими запросами и календарными расчётами, ставился вопрос о нахождении именно целочисленных решений неопределённых уравнений. Намёки на общее решение диофантовых уравнений первой степени, т.е. вида
ах + ву = с,
встречаются впервые в трудах индийского астронома Ариабхатты, подробное же решение изложили индийские математики Брахмагупта и Бхаскара. Общий метод для решения в целых числах неопределённых (диофантовых) уравнений первой степени с целыми коэффициентами был назван в Индии методом рассеивания (в смысле размельчения).
Воспользуемся этим методом для решения следующей задачи.
Задача 3.2. Найти два целых числа, зная, что разность произведений первого на 19 и второго на 8 равна 13.
Решение.
В задаче требуется найти все целые решения уравнения
19х – 8у = 13. (1)
Выражая у – неизвестное с наименьшим по абсолютной величине коэффициентом через х, получим:
. (2)
Нам нужно теперь узнать, при каких целых значениях х соответствующие значения у являются тоже целыми числами. Перепишем уравнение (2) следующим образом:
(3)
Отсюда следует, что у при целом х принимает целое значение только в том случае, если выражение является целым числом, например, у1:
у1 = (4)
Вопрос сводится к решению в целых числах уравнения (4) с неизвестными х и у1; его можно записать так:
3х – 8у1 = 13. (5)
Это уравнение имеет по сравнению с первоначальным (1) то преимущество, что 3 – наименьшая из абсолютных величин коэффициентов при неизвестных – меньше, чем в (1), т.е. 8.
Продолжая тем же способом, мы получим из (5):
(6)
Итак, неизвестное х при целом у1 только тогда принимает целые значения, когда есть целое число, скажем, у2:
= у2, (7)
или 3у2 – 2у1 = 13. (8)
у1 = (9)
Полагая (10)
Получим уравнение у2 – 2у3 = 13. (11)
Это самое простое из всех рассмотренных неопределённых уравнений, т.к. один из коэффициентов равен 1. Из него получим:
у2 = 2у3 + 13. (12)
Отсюда видно, что у2 принимает целые значения при любых целых значениях у3. Из равенств (6), (9), (12), (3) путём последовательных подстановок можно найти следующие выражения для х и у уравнения (1):
х = 2у1 + у2 = 2(у2 + у3) + у2 = 3у2 + 2у3 = 3(2у3 + 13) + 2у3 = 8у3 + 39;
у = 2х + у1 = 2(8у3 + 13) + 39) + у2 + у3 = 19у3 + 91.
Таким образом, формулы
х = 8у3 + 39, у = 19у3 + 91
при у3 = 0, дают все целые решения уравнения (1).
В таблице приведены примеры таких решений.
Этот приём почти полностью совпадает с методом индийцев и был назван ими методом рассеивания (измельчения) именно потому, что неопределённое уравнение сводится к цепи уравнений со всё уменьшающимися по абсолютной величине коэффициентами.
К решению неопределённого уравнения первой степени сводятся иногда задачи, связанные с практикой и повседневной деятельностью человека.
Задача 3.3. Некто покупает в магазине вещь стоимостью в 19 р. У него имеются лишь 15 трёхрублёвок, у кассира же – лишь 20 пятирублёвок. Можно ли расплатиться и как?
Задача сводится к решению в целых положительных числах диофантова уравнения: 3х – 5у = 19,
где
Решение.
Далее, 3у1 – 2у = 1,
у1 – 2у2 = 1, у1 = 2у2 + 1
откуда х = 5у2 + 8, у = 3у2 + 1.
Ввиду того, что х и у должны быть положительными и учитывая условие задачи, легко установить, что
,
т.е. у2 может принимать только два значения: 0; 1. Отсюда вытекают два возможных решения: (8; 1), (13; 4)
Задача 3.4. Можно ли отвесить 28 г некоторого вещества на чашечных весах, имея только 4 гири весом в 3 г и семь гирь весом в 5 г?
Решение.
3х + 5у = 28.
Имеем:
х = 9 – 2(3у1 – 1) + у1 = 11 – 5у1.
Итак, х = 11 – 5у1,
у = 3у1 – 1.
Из условий задачи вытекает, что у1 нельзя давать отрицательные значения (это привело бы к отрицательному у). Далее, должно быть у1< 3, для того, чтобы х не был отрицательным. Значит,
Однако у1 = 0 и у1 = 1 противоречат условию задачи . Таким образом, возможно только у1 = 2. При этом х = 1, у = 5 – единственное решение задачи.
Многие старинные способы отгадывания чисел и дат рождения основываются на решении диофантовых уравнений. Так, например, чтобы отгадать дату рождения (месяц и число) собеседника, достаточно узнать у него сумму, получаемую от сложения двух произведений: числа даты (х) на 12 и номера месяца (у) на 31.
Задача 3.5. Пусть сумма произведений, о которых идёт речь, равна 330. Найти дату рождения.
Решим неопределённое уравнение
12х + 31у = 330.
С помощью метода рассеивания получим:
х = 43 – 31у4,
у = 6 – 12у4.
Ввиду ограничений
,
Легко констатировать, что единственным решением является
у4 = 1, х = 12, у = 6.
Итак, дата рождения: 12-е число 6-го месяца, т.е. 12 июня.
4)Диофантовы уравнения второй степени
Индийские учёные решали также системы неопределённых уравнений первой степени со многими неизвестными. Они нашли решение в целых числах некоторых диофантовых уравнений второй степени с с двумя неизвестными. Однако общее решение таких уравнений строго изложил впервые знаменитый французский математик XVIII века Ж. Л. Лагранж.
Диофант полностью проанализировал неопределённые уравнения второй степени с двумя неизвестными. Для решения уравнений и систем более высоких степеней он разработал ещё более тонкие и сложные методы, которые привлекали внимание многих европейских математиков Нового времени.
Задача 4.1. Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению
.
Решение.
Разложим левую часть уравнения на множители и запишем уравнение в виде
.
Т.к. делителями числа 69 являются числа 1, 3, 23 и 69, то 69 можно получить двумя способами: 69=1·69 и 69=3·23. Учитывая, что , получим две системы уравнений, решив которые мы сможем найти искомые числа:
или .
Первая система имеет решение , а вторая система имеет решение .
Ответ: .
Задача 4.2. Решить уравнение в целых числах:
.
Решение.
Запишем уравнение в виде
.
Разложим левую часть уравнения на множители. Получим
.
Произведение двух целых чисел может равняться 1 только в двух случаях: если оба они равны 1 или -1. Получим две системы:
или .
Первая система имеет решение х=2, у=2, а вторая система имеет решение х=0, у=0.
Ответ: .
Задача 4.3. Решить в целых числах уравнение
.
Решение. Запишем данное уравнение в виде
.
Разложим левую часть уравнения на множители способом группировки, получим
.
Произведение двух целых чисел может равняться 7 в следующих случаях:
7=1· 7=7·1=-1·(-7)=-7·(-1).Таким образом, получим четыре системы:
или , или , или .
Решением первой системы является пара чисел х = - 5, у = - 6. Решая вторую систему, получим х = 13, у = 6.Для третьей системы решением являются числа х = 5, у = 6. Четвёртая система имеет решение х = - 13, у = - 6.
Ответ: .
Задача 4.4. Доказать, что уравнение
не имеет целых решений.
Решение.
Разложим левую часть уравнения на множители и запишем данное уравнение в виде
.
1 случай. Пусть у=0, тогда исходное уравнение примет вид
.
Тогда , но это число не является целым. Значит, при у=0 данное уравнение не имеет целых решений..
2 случай. Пусть , тогда все пять множителей в левой части уравнения различны. С другой стороны число 33 можно представить в виде произведения максимум четырёх различных множителей ( 33=1·3·11 или 33=-1·3·(-11)·(-1) и т.д.). Следовательно, при данное уравнение также не имеет целых решений.
Заключение
Именно благодаря методам Диофанта были разгаданы методы самого Архимеда. И если история интеграционных методов Архимеда в основном завершается созданием интегрального и дифференциального исчисления Ньютоном и Лейбницем, то история методов Диофанта растягивается еще на несколько сотен лет, переплетаясь с развитием теории алгебраических функций и алгебраической геометрии. Развитие идей Диофанта можно проследить вплоть до работ Анри Пуанкаре и Андре Вейля.
Раздел математики, занимающийся решением диофантовых уравнений, называется «диофантовым анализом», и он, в свою очередь, является частью интересного раздела современной математики – теории чисел. В теории чисел созданы специальные методы решения диофантовых (их ещё называют неопределёнными) уравнений.
Задача решения уравнений третьей степени с двумя неизвестными до сих пор не нашла полного решения. Отдельные типы таких уравнений, как и другие задачи неопределённого анализа, решили советские учёные Б.Н.Делоне, А. О. Гельфонд и др. Вообще же алгоритм, с помощью которого можно определить, имеет ли произвольное диофантово уравнение целочисленные решения, не найден и даже пока неизвестно, существует ли такой алгоритм.
Именно Диофант открыл нам мир арифметики и алгебры. Поэтому история диофантова анализа показалась мне особенно интересной.
Я думаю в следующем году продолжить работу над этой темой, расширить свои познания в решении неопределённых уравнений степени, и рассказать об этом на занятиях кружка, на конференции. Изучение новых методов решения обогащает багаж знаний любого человека, тем более, что для подготовки к экзамену по технологии ЕГЭ недостаточно уметь решать только то, что представлено в школьных учебниках.
По миру математики, которая уже давно мудра и величава,
мы идём проторенным путём.
Но каждый может стать первооткрывателем:
вначале для себя, а в будущем, может, и для других…
Литература
nsportal.ru
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Лицей №10» г.Перми
Диофант. Диофантовы уравнения
Выполнила работу
Ильина Яна,
ученица 11 б класса
Руководитель
Золотухина Л. В,
учитель математики
высшей категории
Пермь, 2010
Содержание
Введение…………………………………………………………………….3
1. Диофант………………………………………………………………..…4
2. Числа и символы…………………………………………………………6
3. Диофантово уравнение………………………………………………..…8
4. Способы решения………………………………………………………..12
Заключение…………………………………………………………………15
Список литературы…………………………………………………………16
Введение
Сегодняшние школьники решают различные уравнения. В части С заданий ЕГЭ встречается интересное уравнение, которое называется Диофантово уравнение. В своих работах Диофант не только поставил проблему решения неопределённых уравнений в рациональных числах, но и дал некоторые общие методы их решения. Эти методы будут очень полезны для сегодняшних одиннадцатиклассников, которым предстоит сдавать экзамен по математике.
Диофант внес такой же огромный вклад в развитие математики, как и Архимед. Так, например, поступал Архимед: определяя площади эллипса, сегмента параболы, поверхности шара, объёмы шара и других тел, он применял метод интегральных сумм и метод предельного перехода, однако нигде не дал общего абстрактного описания этих методов. Учёным XVI–XVII веков приходилось тщательно изучать и перелагать по-новому его сочинения, чтобы выделить оттуда методы Архимеда. Аналогично обстоит дело и с Диофантом. Его методы были поняты и применены для решения новых задач Виетом и Ферма, т.е. в то же время, когда был разгадан и Архимед.
1. Диофант
Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Нам не известны ни время, когда он жил, ни предшественники его, которые работали бы в той же области. Труды его подобны сверкающему огню среди полной непроницаемой тьмы. Промежуток времени, когда мог жить Диофант, составляет полтысячелетия! Нижняя грань этого промежутка определяется без труда: в своей книге о многоугольных числах Диофант неоднократно упоминает математика Гипсикла Александрийского, который жил в середине II века до н. э. С другой стороны, в комментариях Теона Александрийского к «Альмагесту» знаменитого астронома Птолемея помещён отрывок из сочинения Диофанта. Теон жил в середине IV века н. э. Этим определяется верхняя грань этого промежутка. Итак, 500 лет!
Зато место жительства Диофанта хорошо известно — это знаменитая Александрия, центр научной мысли эллинистического мира.
Чтобы исчерпать всё известное о личности Диофанта, приведём дошедшее до нас стихотворение-загадку:
Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребёнком И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругою он обручился. С нею пять лет проведя сына дождался мудрец; Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил. Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе, Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Отсюда нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. Однако для этого вовсе не нужно владеть искусством Диофанта! Достаточно уметь решать уравнение 1-й степени с одним неизвестным, а это умели делать египетские писцы ещё за 2 тысячи лет до н. э.
Но наиболее загадочным представляется творчество Диофанта. До нас дошло шесть книг из 13, которые были объединены в «Арифметику». Стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебре, образцы которых мы знаем по «Началам» Евклида, его «Данным», леммам из сочинений Архимеда и Аполлония. «Арифметика», несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, которые для нас остались совершенно не известны. Мы можем только гадать о её корнях и изумляться богатству и красоте её методов и результатов.
«Арифметика» Диофанта — это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением (или несколькими способами решения) и необходимыми пояснениями. Поэтому с первого взгляда кажется, что она не является теоретическим произведением. Однако при внимательном чтении видно, что задачи тщательно подобраны и служат для иллюстрации вполне определённых, строго продуманных методов. Как это было принято в древности, методы не формулируются в общем виде, а повторяются для решения однотипных задач.
2. Числа и символы
Диофант начинает с основных определений и описания буквенных символов, которые он будет применять.
В классической греческой математике, которая нашла своё завершение в «Началах» Евклида, под числом άριJμός — «аритмос » или «арифмос »; отсюда название «арифметика» для науки о числах) понималось множество единиц, т.е. целое число. Ни дроби, ни иррациональности числами не назывались. Строго говоря, никаких дробей в «Началах» нет. Единица считается неделимой и вместо долей единицы рассматриваются отношения целых чисел; иррациональности появляются как отношения несоизмеримых отрезков, например, число, которое мы теперь обозначаем √2, для греков классической эпохи было отношением диагонали квадрата к его стороне. Об отрицательных числах не было и речи. Для них не существовало даже никаких эквивалентов. Совершенно иную картину мы находим у Диофанта.
Диофант приводит традиционное определение числа как множества единиц, однако в дальнейшем ищет для своих задач положительные рациональные решения, причём называет каждое такое решение числом (άριJμός — «аритмос »).
Но этим дело не ограничивается. Диофант вводит отрицательные числа: он называет их специальным термином λει̃ψις — «лейпсис » — производное от глагола λει̃πω — «лейпо », что означает недоставать, нехватать, так что сам термин можно было бы перевести словом «недостаток». Кстати, так поступает известный русский историк науки И. Тимченко. Положительное число Диофант называет словом ΰπαρξις — «ипарксис », что означает существование, бытие, а во множественном числе это слово может означать имущество или достояние. Таким образом, терминология Диофанта для относительных чисел близка к той, которую употребляли в Средние века на Востоке и в Европе. Скорее всего, это было просто переводом с греческого на арабский, санскрит, латынь, а затем на различные языки Европы.
Заметим, что термин λει̃ψις — «лейпсис » — нельзя переводить как «вычитаемое», как это делают многие переводчики Диофанта, потому что для операции вычитания Диофант применяет совершенно иные термины, а именно άφελει̃ν — «афелейн » или άφαιρει̃ν — «афайрейн », которые являются производными от глагола άφαιρεω — «афайрео » — отнимать. Сам Диофант при преобразовании уравнений часто употребляет стандартное выражение «прибавим к обеим сторонам λει̃ψις».
Мы так подробно остановились на филологическом анализе текста Диофанта, чтобы убедить читателя, что мы не отступим от истины, если будем переводить термины Диофанта как «положительное» и «отрицательное».
Диофант формулирует для относительных чисел правило знаков:
«отрицательное, умноженное на отрицательное, даёт положительное, тогда как отрицательное на положительное даёт отрицательное, и отличительный знак для отрицательного есть — перевёрнутая и укороченная (буква) ψ».
Далее он пишет:
«После того как я тебе объяснил умножение, становится ясным и деление предложенных членов; теперь будет хорошо приступить к упражнениям над сложением, вычитанием и умножением таких членов. И положительные и отрицательные члены с различными коэффициентами прибавлять к другим членам, которые либо положительны, либо, равным образом, и положительны и отрицательны, и от положительных членов и других отрицательных отнимать другие положительные и, равным образом, положительные и отрицательные».
Заметим, что хотя Диофант ищет только рациональные положительные решения, в промежуточных выкладках он охотно пользуется отрицательными числами.
Мы можем, таким образом, отметить, что Диофант расширил числовую область до поля рациональных чисел, в котором можно беспрепятственно производить все четыре действия арифметики.
3. Диофантово уравнение
Определение — алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения.
ax + by = 1
где а и b — целые взаимно простые числа
Взаимно простые числа, несколько целых чисел, таких, что общими делителями для всех этих чисел являются лишь + 1 и — 1. Наименьшее кратное попарно простых чисел равно их произведению.
имеет бесконечно много решений:
если x0 и у0 — одно решение, то числа
х = x0 + bn
у = y0 -an
(n — любое целое число) тоже будут решениями.
Другой пример Д. у.
x2 + у2 = z2
Целые положительные решения этого уравнения представляют длины катетов х, у и гипотенузы z прямоугольных треугольников с целочисленными длинами сторон и называются пифагоровыми числами.
тройки натуральных чисел таких, что треугольник, длины сторон которого пропорциональны (или равны) этим числам, является прямоугольным.
Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам
х = m2 — n2
у = 2mn
z = m2 + n2
где m и n — целые числа (m > n > 0).
Это уравнение определяет на плоскости R 2алгебраическую кривую Γ. Рациональное решение (2) будем называть рациональной точкой кривой Γ. В дальнейшем мы часто будем прибегать к языку геометрии, хотя сам Диофант нигде его не применяет. Однако геометрический язык стал в настоящее время столь неотъемлемой частью математического мышления, что многие факты будет легче понять и объяснить с его помощью.
Прежде всего, необходимо дать какую-нибудь классификацию уравнений (2) или, что тоже, алгебраических кривых. Наиболее естественной и ранее всего возникшей является классификация их по порядкам.
Напомним, что порядком кривой (2) называется максимальный порядок членов многочлена f (x, y ), где под порядком члена понимается сумма степеней при x и y. Геометрический смысл этого понятия заключается в том, что прямая пересекается с кривой порядка n ровно в n точках. При подсчёте точек надо, разумеется, учитывать кратность точек пересечения, а также комплексные и «бесконечно удалённые» точки. Так, например, окружность x 2 + y 2 = 1 и прямая x + y = 2 пересекаются в двух комплексных точках, а гипербола x 2 – y 2 = 1 и прямая y =x — в двух бесконечно удалённых точках, та же гипербола с прямой x =1 имеет одну общую точку кратности 2.
Однако для целей диофантова анализа (такое название получила область математики, выросшая из задач решения неопределённых уравнений; впрочем, теперь её чаще называют диофантовой геометрией) классификация по порядкам оказалась слишком грубой.
Рис. 1.
Поясним сказанное на примере. Пусть задана окружность C: x 2 + y 2 = 1 и любая прямая с рациональными коэффициентами, например, L: y =0. Покажем, что рациональные точки этой окружности и прямой можно поставить во взаимно однозначное соответствие. Это можно сделать, например, так: закрепим точку A (0,–1) окружности и поставим в соответствие каждой рациональной точке B прямой L точку B' окружности C, лежащую на пересечении C и прямой AB (рис. 1). То, что координаты точки B' будут рациональными, предоставим читателю доказать самому либо прочесть аналогичное доказательство у Диофанта (оно будет изложено в следующем параграфе). Очевидно, что такое же соответствие можно установить между рациональными точками любого конического сечения, если на нём лежит хотя бы одна рациональная точка, и рациональной прямой. Мы видим, что с точки зрения диофантова анализа окружность C и прямая L неотличимы: множества их рациональных решений эквивалентны. И это несмотря на то, что порядки обеих кривых различны.
Более тонкой является классификация алгебраических кривых по родам, которая была введена только в XIX веке Абелем и Риманом. Эта классификация учитывает число особых точек кривой Γ.
Будем считать, что в уравнении (2) кривой Γ многочлен f (x, y ) неприводим над полем рациональных чисел, т.е. он не раскладывается в произведение многочленов с рациональными коэффициентами. Как известно, уравнение касательной к кривой Γ в точке P (x 0, y 0) будет
y – y 0= k (x – x 0),
где
k = – | fx ' (x 0, y 0) fy ' (x 0, y 0) | . |
Если в точке P производная fx ' или fy ' отлична от нуля, то угловой коэффициент k касательной имеет вполне определённое значение (если fy ' (x 0, y 0) = 0, a fx ' (x 0, y 0) ≠ 0, то k =∞ и касательная в P будет вертикальной).
Если же в точке P обе частные производные обращаются в нуль,
fx ' (x 0, y 0) = 0 и fy ' (x 0, y 0) = 0,
то точка P называется особой.
Например, у кривой y 2 = x 2 + x 3 точка (0, 0) будет особой, так как в ней fx ' = –2x – 3x 2 и fy ' = 2y обращаются в нуль.
Рис. 2.
Наиболее простыми особыми точками являются двойные, в которых хотя бы одна из производных fxx '', fxy '' и fyy '' отлична от нуля. На рис. 2 изображена двойная точка, в которой кривая имеет две различные касательные. Другие более сложные особые точки изображены на рис. 3.
Рис. 3.
4. Способы решения
Правило 1. Если с не делится на d, то уравнение ах + ву = с не имеет решений в целых числах. Н.О.Д.(а, в) = d.
Правило 2. Чтобы найти решение уравнения ах + ву = с при взаимно-простых а и в, нужно сначала найти решение (Хо ; уо ) уравнения ах + ву = 1; числа СХо , Суо составляют решение уравнения ах + ву = с.
Решить в целых числах (х, у) уравнение
5х — 8у = 19 … (1)
Решение.
Первый способ. Нахождение частного решения методом подбора и запись общего решения.
Знаем, что если Н.О.Д.(а; в) =1, т.е. а и в взаимно-простые числа, то уравнение (1)
имеет решение в целых числах х и у. Н.О.Д.(5;8) =1. Методом подбора находим частное решение: Хо = 7; уо =2.
Итак, пара чисел (7;2) — частное решение уравнения (1).
Значит, выполняется равенство: 5 x 7 – 8 x 2 = 19 … (2)
Вопрос: Как, имея одно решение, записать все остальные решения?
Вычтем из уравнения (1) равенство (2) и получим: 5(х -7) – 8(у — 2) =0.
Отсюда х – 7 = . Из полученного равенства видно, что число (х – 7) будет целым тогда и только тогда, когда (у – 2) делится на 5, т.е. у – 2 = 5n, где n какое-нибудь целое число. Итак, у = 2 + 5n, х = 7 + 8n, где n Z.
Тем самым все целые решения исходного уравнения можно записать в таком виде:
n Z.
Второй способ . Решение уравнения относительно одного неизвестного.
Решаем это уравнение относительно того из неизвестных, при котором наименьший (по модулю) коэффициент. 5х — 8у = 19 х = .
Остатки при делении на 5: 0,1,2,3,4. Подставим вместо у эти числа.
Если у = 0, то х = =.
Если у =1, то х = =.
Если у = 2, то х = == 7 Z.
Если у =3, то х = =.
Если у = 4 то х = =.
Итак, частным решением является пара (7;2).
Тогда общее решение: n Z.
Третий способ . Универсальный способ поиска частного решения.
Для решения применим алгоритм Евклида. Мы знаем, что для любых двух натуральных чисел а, в, таких, что Н.О.Д.(а, в) = 1 существуют целые числа х, у такие, что ах + ву = 1.
План решения:
1. Сначала решим уравнение 5m – 8n = 1 используя алгоритм Евклида.
2. Затем найдем частное решение уравнения (1)по правилу 2.
3. Запишем общее решение данного уравнения (1).
1. Найдем представление: 1 = 5m – 8n. Для этого используем алгоритм Евклида.
8 = 5 1 + 3.
5 = 3
3 = 2 .
Из этого равенства выразим 1. 1 = 3 — 2 = 3 – (5 — 3 )=
= 3 — 5= 3= (8 — 5 — 582 -5
= 5(-2). Итак, m = -3, n = -2.
2. Частное решение уравнения (1): Хо = 19m; уо =19n.
Отсюда получим: Хо =19; уо =19 .
Пара (-57; -38)- частное решение (1).
3. Общее решение уравнения (1): n Z.
Четвертый способ. Геометрический.
План решения.
1. Решим уравнение 5х – 8у = 1 геометрически.
2. Запишем частное решение уравнения (1).
3. Запишем общее решение данного уравнения (1).
1
Отложим на окружности последовательно друг за другом равные дуги, составляющие
-ю часть полной окружности. За 8 шагов получим все вершины правильного вписанного в окружность 8-угольника. При этом сделаем 5 полных оборотов.
На 5 – ом шаге получили вершину, соседнюю с начальной, при этом сделали 3 полных оборота и еще прошли — ю часть окружности, так что х = у + .
Итак, Хо = 5, уо =3 является частным решением уравнения 5х – 8у = 1.
2. Частное решение уравнения (1): Хо = 19уо =19
3. Общее решение уравнения (1): n Z.
Заключение
Между тем большинство историков науки, в противоположность математикам, до сих пор недооценивали труды Диофанта. Многие из них считали, что Диофант ограничивался нахождением только одного решения и применял для этого искусственные приёмы, различные для разных задач. Но на самом деле в большинстве диофантовых уравнений мы наблюдаем похожие алгоритмы решений.
Сегодня, как мы видим, существует несколько различных способов решения, алгоритмы которых несложно запомнить. Как уже было сказано ранее это уравнение обычно встречается в задании С6 на ЕГЭ. Исследование алгоритмов решения Диофантовых уравнений может помочь при решении этого задания, которое оценивается в значительное количество баллов.
Список литературы
1.Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах (перевод с древнегреческого И. Н. Веселовского; редакция и комментарии И. Г. Башмаковой). М., «Наука», 1974.
2. Б. Л. Ван-дер-Варден, Пробуждающаяся наука (перевод И. Н. Веселовского). М., Физматгиз, 1959.
3. Г. Г. Цейтен, История математики в древности и в средние века (перевод П. Юшкевича). М.–Л., Гостехиздат, 1932
4. А. В. Васильев, Целое число. Петербург, 1919
5. И. В. Ященко, С. А. Шестаков, П. И. Захаров, Математика, ЕГЭ, МЦНМО, 2010
www.ronl.ru
(Назад)
(Cкачать работу)
Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Лицей №10» г.Перми
Диофант. Диофантовы уравнения
Выполнила работу
Ильина Яна,
ученица 11 б класса
Руководитель
Золотухина Л. В,
учитель математики
высшей категории
Пермь, 2010
Содержание
Введение…………………………………………………………………….3
1. Диофант………………………………………………………………..…4
2. Числа и символы…………………………………………………………6
3. Диофантово уравнение………………………………………………..…8
4. Способы решения………………………………………………………..12
Заключение…………………………………………………………………15
Список литературы…………………………………………………………16
Введение
Сегодняшние школьники решают различные уравнения. В части С заданий ЕГЭ встречается интересное уравнение, которое называется Диофантово уравнение. В своих работах Диофант не только поставил проблему решения неопределённых уравнений в рациональных числах, но и дал некоторые общие методы их решения. Эти методы будут очень полезны для сегодняшних одиннадцатиклассников, которым предстоит сдавать экзамен по математике.
Диофант внес такой же огромный вклад в развитие математики, как и Архимед. Так, например, поступал Архимед: определяя площади эллипса, сегмента параболы, поверхности шара, объёмы шара и других тел, он применял метод интегральных сумм и метод предельного перехода, однако нигде не дал общего абстрактного описания этих методов. Учёным XVI–XVII веков приходилось тщательно изучать и перелагать по-новому его сочинения, чтобы выделить оттуда методы Архимеда. Аналогично обстоит дело и с Диофантом. Его методы были поняты и применены для решения новых задач Виетом и Ферма, т.е. в то же время, когда был разгадан и Архимед.
1. Диофант
Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Нам не известны ни время, когда он жил, ни предшественники его, которые работали бы в той же области. Труды его подобны сверкающему огню среди полной непроницаемой тьмы. Промежуток времени, когда мог жить Диофант, составляет полтысячелетия! Нижняя грань этого промежутка определяется без труда: в своей книге о многоугольных числах Диофант неоднократно упоминает математика Гипсикла Александрийского, который жил в середине II века до н. э. С другой стороны, в комментариях Теона Александрийского к «Альмагесту» знаменитого астронома Птолемея помещён отрывок из сочинения Диофанта. Теон жил в середине IV века н. э. Этим определяется верхняя грань этого промежутка. Итак, 500 лет!
Зато место жительства Диофанта хорошо известно — это знаменитая Александрия, центр научной мысли эллинистического мира.
Чтобы исчерпать всё известное о личности Диофанта, приведём дошедшее до нас стихотворение-загадку:
Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и каменьМудрым искусством его скажет усопшего век.Волей богов шестую часть жизни он прожил ребёнкомИ половину шестой встретил с пушком на щеках.Только минула седьмая, с подругою он обручился.С нею пять лет проведя сына дождался мудрец;Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.Отнят он был у отца ранней могилой своей.Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Отсюда нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. Однако для этого вовсе не нужно владеть искусством Диофанта! Достаточно уметь решать уравнение 1-й степени с одним неизвестным, а это умели делать египетские писцы ещё за 2 тысячи лет до н. э.
Но наиболее загадочным представляется творчество Диофанта. До нас дошло шесть книг из 13, которые были объединены в «Арифметику». Стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебре, образцы которых мы знаем по «Началам» Евклида, его «Данным», леммам из сочинений Архимеда и Аполлония. «Арифметика», несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, которые для нас остались совершенно не известны. Мы можем только гадать о её корнях и изумляться богатству и красоте её методов и результатов.
«Арифметика» Диофанта — это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением (или несколькими способами решения) и необходимыми пояснениями. Поэтому с первого взгляда кажется, что она не является теоретическим произведением. Однако при внимательном чтении видно, что задачи тщательно подобраны и служат для иллюстрации вполне определённых, строго продуманных методов. Как это было принято в древности, методы не формулируются в общем виде, а повторяются для решения однотипных задач.
2. Числа и символы
Диофант начинает с основных определений и описания буквенных символов, которые он будет применять.
В классической греческой математике, которая нашла своё завершение в «Началах» Евклида, под числом άριμός — «аритмос» или «арифмос»; отсюда название «арифметика» для науки о числах) понималось множество единиц, т.е. целое число. Ни дроби, ни иррациональности числами не назывались. Строго говоря, никаких дробей в «Началах» нет. Единица считается неделимой и вместо долей единицы рассматриваются отношения целых чисел; иррациональности появляются как отношения несоизмеримых отрезков, например, число, которое мы теперь обозначаем √2, для греков классической эпохи было отношением диагонали квадрата к его стороне. Об отрицательных числах не было и речи. Для них не существовало даже никаких эквивалентов. Совершенно иную картину мы находим у Диофанта.
Диофант приводит традиционное определение числа как множества единиц, однако в дальнейшем ищет для своих задач положительные рациональные решения, причём называет каждое такое решение числом (άριμός — «аритмос»).
Но этим дело не ограничивается. Диофант вводит отрицательные числа: он называет их специальным термином λει̃ψις — «лейпсис» — производное от глагола λει̃πω — «лейпо», что означает недоставать, нехватать, так что сам термин можно было бы перевести словом «недостаток». Кстати, так поступает известный русский историк науки И. Тимченко . Положительное число Диофант называет словом ΰπαρξις — «ипарксис», что означает существование, бытие, а во множественном числе это слово может означать имущество или достояние. Таким образом, терминология Диофанта для относительных чисел близка к той, которую употребляли в Средние века на Востоке и в Европе. Скорее всего, это было просто переводом с греческого на арабский, санскрит, латынь, а затем на различные языки Европы.
Заметим, что термин λει̃ψις — «лейпсис» — нельзя переводить как «вычитаемое», как это делают многие переводчики Диофанта, потому что для операции вычитания Диофант применяет совершенно иные термины, а именно άφελει̃ν — «афелейн» или άφαιρει̃ν — «афайрейн», которые являются производными от глагола άφαιρεω — «афайрео» — отнимать. Сам Диофант при преобразовании уравнений часто употребляет стандартное выражение «прибавим к обеим сторонам λει̃ψις».
Мы так подробно остановились на филологическом анализе текста Диофанта, чтобы убедить читателя, что мы не отступим от истины, если будем переводить термины Диофанта как «положительное» и «отрицательное».
Диофант формулирует для относительных чисел правило знаков:
«отрицательное, умноженное на отрицательное, даёт положительное, тогда как отрицательное на положительное даёт отрицательное, и отличительный знак для отрицательного есть — перевёрнутая и укороченная (буква) ψ».
Далее он пишет:
«После того как я тебе объяснил умножение, становится ясным и деление предложенных членов; теперь будет хорошо приступить к упражнениям над сложением, вычитанием и умножением таких членов. И положительные и отрицательные члены с различными коэффициентами прибавлять к другим членам, которые либо
referat.co
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Лицей №10» г.Перми
Диофант. Диофантовы уравнения
Выполнила работу
Ильина Яна,
ученица 11 б класса
Руководитель
Золотухина Л. В,
учитель математики
высшей категории
Пермь, 2010
Содержание
Введение…………………………………………………………………….3
1. Диофант………………………………………………………………..…4
2. Числа и символы…………………………………………………………6
3. Диофантово уравнение………………………………………………..…8
4. Способы решения………………………………………………………..12
Заключение…………………………………………………………………15
Список литературы…………………………………………………………16
Введение
Сегодняшние школьники решают различные уравнения. В части С заданий ЕГЭ встречается интересное уравнение, которое называется Диофантово уравнение. В своих работах Диофант не только поставил проблему решения неопределённых уравнений в рациональных числах, но и дал некоторые общие методы их решения. Эти методы будут очень полезны для сегодняшних одиннадцатиклассников, которым предстоит сдавать экзамен по математике.
Диофант внес такой же огромный вклад в развитие математики, как и Архимед. Так, например, поступал Архимед: определяя площади эллипса, сегмента параболы, поверхности шара, объёмы шара и других тел, он применял метод интегральных сумм и метод предельного перехода, однако нигде не дал общего абстрактного описания этих методов. Учёным XVI–XVII веков приходилось тщательно изучать и перелагать по-новому его сочинения, чтобы выделить оттуда методы Архимеда. Аналогично обстоит дело и с Диофантом. Его методы были поняты и применены для решения новых задач Виетом и Ферма, т.е. в то же время, когда был разгадан и Архимед.
1. Диофант
Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Нам не известны ни время, когда он жил, ни предшественники его, которые работали бы в той же области. Труды его подобны сверкающему огню среди полной непроницаемой тьмы. Промежуток времени, когда мог жить Диофант, составляет полтысячелетия! Нижняя грань этого промежутка определяется без труда: в своей книге о многоугольных числах Диофант неоднократно упоминает математика Гипсикла Александрийского, который жил в середине II века до н. э. С другой стороны, в комментариях Теона Александрийского к «Альмагесту» знаменитого астронома Птолемея помещён отрывок из сочинения Диофанта. Теон жил в середине IV века н. э. Этим определяется верхняя грань этого промежутка. Итак, 500 лет!
Зато место жительства Диофанта хорошо известно — это знаменитая Александрия, центр научной мысли эллинистического мира.
Чтобы исчерпать всё известное о личности Диофанта, приведём дошедшее до нас стихотворение-загадку:
Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребёнком И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругою он обручился. С нею пять лет проведя сына дождался мудрец; Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил. Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе, Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Отсюда нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. Однако для этого вовсе не нужно владеть искусством Диофанта! Достаточно уметь решать уравнение 1-й степени с одним неизвестным, а это умели делать египетские писцы ещё за 2 тысячи лет до н. э.
Но наиболее загадочным представляется творчество Диофанта. До нас дошло шесть книг из 13, которые были объединены в «Арифметику». Стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебре, образцы которых мы знаем по «Началам» Евклида, его «Данным», леммам из сочинений Архимеда и Аполлония. «Арифметика», несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, которые для нас остались совершенно не известны. Мы можем только гадать о её корнях и изумляться богатству и красоте её методов и результатов.
«Арифметика» Диофанта — это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением (или несколькими способами решения) и необходимыми пояснениями. Поэтому с первого взгляда кажется, что она не является теоретическим произведением. Однако при внимательном чтении видно, что задачи тщательно подобраны и служат для иллюстрации вполне определённых, строго продуманных методов. Как это было принято в древности, методы не формулируются в общем виде, а повторяются для решения однотипных задач.
2. Числа и символы
Диофант начинает с основных определений и описания буквенных символов, которые он будет применять.
В классической греческой математике, которая нашла своё завершение в «Началах» Евклида, под числом άριJμός — «аритмос » или «арифмос »; отсюда название «арифметика» для науки о числах) понималось множество единиц, т.е. целое число. Ни дроби, ни иррациональности числами не назывались. Строго говоря, никаких дробей в «Началах» нет. Единица считается неделимой и вместо долей единицы рассматриваются отношения целых чисел; иррациональности появляются как отношения несоизмеримых отрезков, например, число, которое мы теперь обозначаем √2, для греков классической эпохи было отношением диагонали квадрата к его стороне. Об отрицательных числах не было и речи. Для них не существовало даже никаких эквивалентов. Совершенно иную картину мы находим у Диофанта.
Диофант приводит традиционное определение числа как множества единиц, однако в дальнейшем ищет для своих задач положительные рациональные решения, причём называет каждое такое решение числом (άριJμός — «аритмос »).
Но этим дело не ограничивается. Диофант вводит отрицательные числа: он называет их специальным термином λει̃ψις — «лейпсис » — производное от глагола λει̃πω — «лейпо », что означает недоставать, нехватать, так что сам термин можно было бы перевести словом «недостаток». Кстати, так поступает известный русский историк науки И. Тимченко. Положительное число Диофант называет словом ΰπαρξις — «ипарксис », что означает существование, бытие, а во множественном числе это слово может означать имущество или достояние. Таким образом, терминология Диофанта для относительных чисел близка к той, которую употребляли в Средние века на Востоке и в Европе. Скорее всего, это было просто переводом с греческого на арабский, санскрит, латынь, а затем на различные языки Европы.
Заметим, что термин λει̃ψις — «лейпсис » — нельзя переводить как «вычитаемое», как это делают многие переводчики Диофанта, потому что для операции вычитания Диофант применяет совершенно иные термины, а именно άφελει̃ν — «афелейн » или άφαιρει̃ν — «афайрейн », которые являются производными от глагола άφαιρεω — «афайрео » — отнимать. Сам Диофант при преобразовании уравнений часто употребляет стандартное выражение «прибавим к обеим сторонам λει̃ψις».
Мы так подробно остановились на филологическом анализе текста Диофанта, чтобы убедить читателя, что мы не отступим от истины, если будем переводить термины Диофанта как «положительное» и «отрицательное».
Диофант формулирует для относительных чисел правило знаков:
«отрицательное, умноженное на отрицательное, даёт положительное, тогда как отрицательное на положительное даёт отрицательное, и отличительный знак для отрицательного есть — перевёрнутая и укороченная (буква) ψ».
Далее он пишет:
«После того как я тебе объяснил умножение, становится ясным и деление предложенных членов; теперь будет хорошо приступить к упражнениям над сложением, вычитанием и умножением таких членов. И положительные и отрицательные члены с различными коэффициентами прибавлять к другим членам, которые либо положительны, либо, равным образом, и положительны и отрицательны, и от положительных членов и других отрицательных отнимать другие положительные и, равным образом, положительные и отрицательные».
Заметим, что хотя Диофант ищет только рациональные положительные решения, в промежуточных выкладках он охотно пользуется отрицательными числами.
Мы можем, таким образом, отметить, что Диофант расширил числовую область до поля рациональных чисел, в котором можно беспрепятственно производить все четыре действия арифметики.
3. Диофантово уравнение
Определение — алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения.
ax + by = 1
где а и b — целые взаимно простые числа
Взаимно простые числа, несколько целых чисел, таких, что общими делителями для всех этих чисел являются лишь + 1 и — 1. Наименьшее кратное попарно простых чисел равно их произведению.
имеет бесконечно много решений:
если x0 и у0 — одно решение, то числа
х = x0 + bn
у = y0 -an
(n — любое целое число) тоже будут решениями.
Другой пример Д. у.
x2 + у2 = z2
Целые положительные решения этого уравнения представляют длины катетов х, у и гипотенузы z прямоугольных треугольников с целочисленными длинами сторон и называются пифагоровыми числами.
тройки натуральных чисел таких, что треугольник, длины сторон которого пропорциональны (или равны) этим числам, является прямоугольным.
Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам
х = m2 — n2
у = 2mn
z = m2 + n2
где m и n — целые числа (m > n > 0).
Это уравнение определяет на плоскости R 2алгебраическую кривую Γ. Рациональное решение (2) будем называть рациональной точкой кривой Γ. В дальнейшем мы часто будем прибегать к языку геометрии, хотя сам Диофант нигде его не применяет. Однако геометрический язык стал в настоящее время столь неотъемлемой частью математического мышления, что многие факты будет легче понять и объяснить с его помощью.
Прежде всего, необходимо дать какую-нибудь классификацию уравнений (2) или, что тоже, алгебраических кривых. Наиболее естественной и ранее всего возникшей является классификация их по порядкам.
Напомним, что порядком кривой (2) называется максимальный порядок членов многочлена f (x, y ), где под порядком члена понимается сумма степеней при x и y. Геометрический смысл этого понятия заключается в том, что прямая пересекается с кривой порядка n ровно в n точках. При подсчёте точек надо, разумеется, учитывать кратность точек пересечения, а также комплексные и «бесконечно удалённые» точки. Так, например, окружность x 2 + y 2 = 1 и прямая x + y = 2 пересекаются в двух комплексных точках, а гипербола x 2 – y 2 = 1 и прямая y =x — в двух бесконечно удалённых точках, та же гипербола с прямой x =1 имеет одну общую точку кратности 2.
Однако для целей диофантова анализа (такое название получила область математики, выросшая из задач решения неопределённых уравнений; впрочем, теперь её чаще называют диофантовой геометрией) классификация по порядкам оказалась слишком грубой.
Рис. 1.
Поясним сказанное на примере. Пусть задана окружность C: x 2 + y 2 = 1 и любая прямая с рациональными коэффициентами, например, L: y =0. Покажем, что рациональные точки этой окружности и прямой можно поставить во взаимно однозначное соответствие. Это можно сделать, например, так: закрепим точку A (0,–1) окружности и поставим в соответствие каждой рациональной точке B прямой L точку B' окружности C, лежащую на пересечении C и прямой AB (рис. 1). То, что координаты точки B' будут рациональными, предоставим читателю доказать самому либо прочесть аналогичное доказательство у Диофанта (оно будет изложено в следующем параграфе). Очевидно, что такое же соответствие можно установить между рациональными точками любого конического сечения, если на нём лежит хотя бы одна рациональная точка, и рациональной прямой. Мы видим, что с точки зрения диофантова анализа окружность C и прямая L неотличимы: множества их рациональных решений эквивалентны. И это несмотря на то, что порядки обеих кривых различны.
Более тонкой является классификация алгебраических кривых по родам, которая была введена только в XIX веке Абелем и Риманом. Эта классификация учитывает число особых точек кривой Γ.
Будем считать, что в уравнении (2) кривой Γ многочлен f (x, y ) неприводим над полем рациональных чисел, т.е. он не раскладывается в произведение многочленов с рациональными коэффициентами. Как известно, уравнение касательной к кривой Γ в точке P (x 0, y 0) будет
y – y 0= k (x – x 0),
где
k = – | fx ' (x 0, y 0) fy ' (x 0, y 0) | . |
Если в точке P производная fx ' или fy ' отлична от нуля, то угловой коэффициент k касательной имеет вполне определённое значение (если fy ' (x 0, y 0) = 0, a fx ' (x 0, y 0) ≠ 0, то k =∞ и касательная в P будет вертикальной).
Если же в точке P обе частные производные обращаются в нуль,
fx ' (x 0, y 0) = 0 и fy ' (x 0, y 0) = 0,
то точка P называется особой.
Например, у кривой y 2 = x 2 + x 3 точка (0, 0) будет особой, так как в ней fx ' = –2x – 3x 2 и fy ' = 2y обращаются в нуль.
Рис. 2.
Наиболее простыми особыми точками являются двойные, в которых хотя бы одна из производных fxx '', fxy '' и fyy '' отлична от нуля. На рис. 2 изображена двойная точка, в которой кривая имеет две различные касательные. Другие более сложные особые точки изображены на рис. 3.
Рис. 3.
4. Способы решения
Правило 1. Если с не делится на d, то уравнение ах + ву = с не имеет решений в целых числах. Н.О.Д.(а, в) = d.
Правило 2. Чтобы найти решение уравнения ах + ву = с при взаимно-простых а и в, нужно сначала найти решение (Хо ; уо ) уравнения ах + ву = 1; числа СХо , Суо составляют решение уравнения ах + ву = с.
Решить в целых числах (х, у) уравнение
5х — 8у = 19 … (1)
Решение.
Первый способ. Нахождение частного решения методом подбора и запись общего решения.
Знаем, что если Н.О.Д.(а; в) =1, т.е. а и в взаимно-простые числа, то уравнение (1)
имеет решение в целых числах х и у. Н.О.Д.(5;8) =1. Методом подбора находим частное решение: Хо = 7; уо =2.
Итак, пара чисел (7;2) — частное решение уравнения (1).
Значит, выполняется равенство: 5 x 7 – 8 x 2 = 19 … (2)
Вопрос: Как, имея одно решение, записать все остальные решения?
Вычтем из уравнения (1) равенство (2) и получим: 5(х -7) – 8(у — 2) =0.
Отсюда х – 7 = . Из полученного равенства видно, что число (х – 7) будет целым тогда и только тогда, когда (у – 2) делится на 5, т.е. у – 2 = 5n, где n какое-нибудь целое число. Итак, у = 2 + 5n, х = 7 + 8n, где n Z.
Тем самым все целые решения исходного уравнения можно записать в таком виде:
n Z.
Второй способ . Решение уравнения относительно одного неизвестного.
Решаем это уравнение относительно того из неизвестных, при котором наименьший (по модулю) коэффициент. 5х — 8у = 19 х = .
Остатки при делении на 5: 0,1,2,3,4. Подставим вместо у эти числа.
Если у = 0, то х = =.
Если у =1, то х = =.
Если у = 2, то х = == 7 Z.
Если у =3, то х = =.
Если у = 4 то х = =.
Итак, частным решением является пара (7;2).
Тогда общее решение: n Z.
Третий способ . Универсальный способ поиска частного решения.
Для решения применим алгоритм Евклида. Мы знаем, что для любых двух натуральных чисел а, в, таких, что Н.О.Д.(а, в) = 1 существуют целые числа х, у такие, что ах + ву = 1.
План решения:
1. Сначала решим уравнение 5m – 8n = 1 используя алгоритм Евклида.
2. Затем найдем частное решение уравнения (1)по правилу 2.
3. Запишем общее решение данного уравнения (1).
1. Найдем представление: 1 = 5m – 8n. Для этого используем алгоритм Евклида.
8 = 5 1 + 3.
5 = 3
3 = 2 .
Из этого равенства выразим 1. 1 = 3 — 2 = 3 – (5 — 3 )=
= 3 — 5= 3= (8 — 5 — 582 -5
= 5(-2). Итак, m = -3, n = -2.
2. Частное решение уравнения (1): Хо = 19m; уо =19n.
Отсюда получим: Хо =19; уо =19 .
Пара (-57; -38)- частное решение (1).
3. Общее решение уравнения (1): n Z.
Четвертый способ. Геометрический.
План решения.
1. Решим уравнение 5х – 8у = 1 геометрически.
2. Запишем частное решение уравнения (1).
3. Запишем общее решение данного уравнения (1).
1
Отложим на окружности последовательно друг за другом равные дуги, составляющие
-ю часть полной окружности. За 8 шагов получим все вершины правильного вписанного в окружность 8-угольника. При этом сделаем 5 полных оборотов.
На 5 – ом шаге получили вершину, соседнюю с начальной, при этом сделали 3 полных оборота и еще прошли — ю часть окружности, так что х = у + .
Итак, Хо = 5, уо =3 является частным решением уравнения 5х – 8у = 1.
2. Частное решение уравнения (1): Хо = 19уо =19
3. Общее решение уравнения (1): n Z.
Заключение
Между тем большинство историков науки, в противоположность математикам, до сих пор недооценивали труды Диофанта. Многие из них считали, что Диофант ограничивался нахождением только одного решения и применял для этого искусственные приёмы, различные для разных задач. Но на самом деле в большинстве диофантовых уравнений мы наблюдаем похожие алгоритмы решений.
Сегодня, как мы видим, существует несколько различных способов решения, алгоритмы которых несложно запомнить. Как уже было сказано ранее это уравнение обычно встречается в задании С6 на ЕГЭ. Исследование алгоритмов решения Диофантовых уравнений может помочь при решении этого задания, которое оценивается в значительное количество баллов.
Список литературы
1.Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах (перевод с древнегреческого И. Н. Веселовского; редакция и комментарии И. Г. Башмаковой). М., «Наука», 1974.
2. Б. Л. Ван-дер-Варден, Пробуждающаяся наука (перевод И. Н. Веселовского). М., Физматгиз, 1959.
3. Г. Г. Цейтен, История математики в древности и в средние века (перевод П. Юшкевича). М.–Л., Гостехиздат, 1932
4. А. В. Васильев, Целое число. Петербург, 1919
5. И. В. Ященко, С. А. Шестаков, П. И. Захаров, Математика, ЕГЭ, МЦНМО, 2010
www.ronl.ru
В Палатинской антологии содержится эпиграмма-задача, из которой можно сделать вывод, что Диофант прожил 84 года:
Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей и каменьМудрым искусством его скажет усопшего век.Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.И половину шестой встретил с пушком на щеках.Только минула седьмая, с подругой он обручился.С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец;Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.Отнят он был у отца ранней могилой своей.Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,Тут и увидел предел жизни печальной своей
Латинский перевод Арифметики (1621)
В честь Диофанта назван кратер на Луне.
Лист из Арифметики (рукопись XIV века). В верхней строке записано уравнение: .
Первая книга предварена обширным введением, в котором описаны используемые Диофантом обозначения. ^ Неизвестную Диофант называет «числом» (ἀριθμός) и обозначает буквой ς, квадрат неизвестной — символом δν (сокращение от δύναμις — «степень»). Предусмотрены специальные знаки для следующих степеней неизвестного, вплоть до шестой, называемой кубо-кубом, и для противоположных им степеней. Знака сложения у Диофанта нет: он просто пишет рядом положительные члены, причём в каждом члене сначала записывается степень неизвестного, а затем численный коэффициент. Вычитаемые члены также записываются рядом, а перед всей их группой ставится специальный знак в виде перевёрнутой буквы Ψ. Знак равенства обозначается двумя буквами ἴσ Сформулированы правило приведения подобных членов и правило прибавления или вычитания к обеим частям уравнения одного и того же числа или выражения: то, что потом у ал-Хорезми стало называться «алгеброй и алмукабалой». Введено правило знаков: минус на минус даёт плюс; это правило используется при перемножении двух выражений с вычитаемыми членами. Бо́льшая часть труда — это сборник задач с решениями (в сохранившихся шести книгах их всего 189), умело подобранных для иллюстрации общих методов.
. Главная проблематика Арифметики — нахождение положительных рациональных решений неопределённых уравнений. Рациональные числа трактуются Диофантом так же, как и натуральные, что не типично для античных математиков.
Сначала Диофант исследует системы уравнений 2-го порядка от 2 неизвестных; он указывает метод нахождения других решений, если одно уже известно. Затем аналогичные методы он применяет к уравнениям высших степеней.
В X веке Арифметика была переведена на арабский язык, после чего математики стран ислама (Абу Камил и др.) продолжили некоторые исследования Диофанта. В Европе интерес к Арифметике возрос после того, как Рафаэль Бомбелли обнаружил это сочинение в Ватиканской библиотеке и опубликовал 143 задачи из него в своей Алгебре (1572). В 1621 году появился классический, подробно прокомментированный латинский перевод Арифметики, выполненный Баше де Мезириаком. Методы Диофанта оказали огромное влияние на Франсуа Виета и Пьера Ферма; впрочем, в Новое время неопределённые уравнения обычно решаются в целых числах, а не в рациональных, как это делал Диофант.
www.ronl.ru
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Лицей №10» г.Перми
Диофант. Диофантовы уравнения
Выполнила работу
Ильина Яна,
ученица 11 б класса
Руководитель
Золотухина Л. В,
учитель математики
высшей категории
Пермь, 2010
Содержание
Введение…………………………………………………………………….3
1. Диофант………………………………………………………………..…4
2. Числа и символы…………………………………………………………6
3. Диофантово уравнение………………………………………………..…8
4. Способы решения………………………………………………………..12
Заключение…………………………………………………………………15
Список литературы…………………………………………………………16
Введение
Сегодняшние школьники решают различные уравнения. В части С заданий ЕГЭ встречается интересное уравнение, которое называется Диофантово уравнение. В своих работах Диофант не только поставил проблему решения неопределённых уравнений в рациональных числах, но и дал некоторые общие методы их решения. Эти методы будут очень полезны для сегодняшних одиннадцатиклассников, которым предстоит сдавать экзамен по математике.
Диофант внес такой же огромный вклад в развитие математики, как и Архимед. Так, например, поступал Архимед: определяя площади эллипса, сегмента параболы, поверхности шара, объёмы шара и других тел, он применял метод интегральных сумм и метод предельного перехода, однако нигде не дал общего абстрактного описания этих методов. Учёным XVI–XVII веков приходилось тщательно изучать и перелагать по-новому его сочинения, чтобы выделить оттуда методы Архимеда. Аналогично обстоит дело и с Диофантом. Его методы были поняты и применены для решения новых задач Виетом и Ферма, т.е. в то же время, когда был разгадан и Архимед.
1. Диофант
Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Нам не известны ни время, когда он жил, ни предшественники его, которые работали бы в той же области. Труды его подобны сверкающему огню среди полной непроницаемой тьмы. Промежуток времени, когда мог жить Диофант, составляет полтысячелетия! Нижняя грань этого промежутка определяется без труда: в своей книге о многоугольных числах Диофант неоднократно упоминает математика Гипсикла Александрийского, который жил в середине II века до н. э. С другой стороны, в комментариях Теона Александрийского к «Альмагесту» знаменитого астронома Птолемея помещён отрывок из сочинения Диофанта. Теон жил в середине IV века н. э. Этим определяется верхняя грань этого промежутка. Итак, 500 лет!
Зато место жительства Диофанта хорошо известно — это знаменитая Александрия, центр научной мысли эллинистического мира.
Чтобы исчерпать всё известное о личности Диофанта, приведём дошедшее до нас стихотворение-загадку:
Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребёнком И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругою он обручился. С нею пять лет проведя сына дождался мудрец; Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил. Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе, Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Отсюда нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. Однако для этого вовсе не нужно владеть искусством Диофанта! Достаточно уметь решать уравнение 1-й степени с одним неизвестным, а это умели делать египетские писцы ещё за 2 тысячи лет до н. э.
Но наиболее загадочным представляется творчество Диофанта. До нас дошло шесть книг из 13, которые были объединены в «Арифметику». Стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебре, образцы которых мы знаем по «Началам» Евклида, его «Данным», леммам из сочинений Архимеда и Аполлония. «Арифметика», несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, которые для нас остались совершенно не известны. Мы можем только гадать о её корнях и изумляться богатству и красоте её методов и результатов.
«Арифметика» Диофанта — это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением (или несколькими способами решения) и необходимыми пояснениями. Поэтому с первого взгляда кажется, что она не является теоретическим произведением. Однако при внимательном чтении видно, что задачи тщательно подобраны и служат для иллюстрации вполне определённых, строго продуманных методов. Как это было принято в древности, методы не формулируются в общем виде, а повторяются для решения однотипных задач.
2. Числа и символы
Диофант начинает с основных определений и описания буквенных символов, которые он будет применять.
В классической греческой математике, которая нашла своё завершение в «Началах» Евклида, под числом άριJμός — «аритмос» или «арифмос»; отсюда название «арифметика» для науки о числах) понималось множество единиц, т.е. целое число. Ни дроби, ни иррациональности числами не назывались. Строго говоря, никаких дробей в «Началах» нет. Единица считается неделимой и вместо долей единицы рассматриваются отношения целых чисел; иррациональности появляются как отношения несоизмеримых отрезков, например, число, которое мы теперь обозначаем √2, для греков классической эпохи было отношением диагонали квадрата к его стороне. Об отрицательных числах не было и речи. Для них не существовало даже никаких эквивалентов. Совершенно иную картину мы находим у Диофанта.
Диофант приводит традиционное определение числа как множества единиц, однако в дальнейшем ищет для своих задач положительные рациональные решения, причём называет каждое такое решение числом (άριJμός — «аритмос»).
Но этим дело не ограничивается. Диофант вводит отрицательные числа: он называет их специальным термином λει̃ψις — «лейпсис» — производное от глагола λει̃πω — «лейпо», что означает недоставать, нехватать, так что сам термин можно было бы перевести словом «недостаток». Кстати, так поступает известный русский историк науки И. Тимченко . Положительное число Диофант называет словом ΰπαρξις — «ипарксис», что означает существование, бытие, а во множественном числе это слово может означать имущество или достояние. Таким образом, терминология Диофанта для относительных чисел близка к той, которую употребляли в Средние века на Востоке и в Европе. Скорее всего, это было просто переводом с греческого на арабский, санскрит, латынь, а затем на различные языки Европы.
Заметим, что термин λει̃ψις — «лейпсис» — нельзя переводить как «вычитаемое», как это делают многие переводчики Диофанта, потому что для операции вычитания Диофант применяет совершенно иные термины, а именно άφελει̃ν — «афелейн» или άφαιρει̃ν — «афайрейн», которые являются производными от глагола άφαιρεω — «афайрео» — отнимать. Сам Диофант при преобразовании уравнений часто употребляет стандартное выражение «прибавим к обеим сторонам λει̃ψις».
Мы так подробно остановились на филологическом анализе текста Диофанта, чтобы убедить читателя, что мы не отступим от истины, если будем переводить термины Диофанта как «положительное» и «отрицательное».
Диофант формулирует для относительных чисел правило знаков:
«отрицательное,
умноженное на отрицательное, даёт положительное, тогда как отрицательное на
положительное даёт отрицательное, и отличительный знак для отрицательного есть 
— перевёрнутая и
укороченная (буква) ψ».
Далее он пишет:
«После того как я тебе объяснил умножение, становится ясным и деление предложенных членов; теперь будет хорошо приступить к упражнениям над сложением, вычитанием и умножением таких членов. И положительные и отрицательные члены с различными коэффициентами прибавлять к другим членам, которые либо положительны, либо, равным образом, и положительны и отрицательны, и от положительных членов и других отрицательных отнимать другие положительные и, равным образом, положительные и отрицательные».
Заметим, что хотя Диофант ищет только рациональные положительные решения, в промежуточных выкладках он охотно пользуется отрицательными числами.
Мы можем, таким образом, отметить, что Диофант расширил числовую область до поля рациональных чисел, в котором можно беспрепятственно производить все четыре действия арифметики.
3. Диофантово уравнение
Определение - алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения.
ax + by = 1
где а и b — целые взаимно простые числа
Взаимно простые числа, несколько целых чисел, таких, что общими делителями для всех этих чисел являются лишь + 1 и - 1. Наименьшее кратное попарно простых чисел равно их произведению.
имеет бесконечно много решений:
если x0 и у0 — одно решение, то числа
х = x0 + bn
у = y0-an
(n — любое целое число) тоже будут решениями.
Другой пример Д. у.
x2 + у2 = z2
Целые положительные решения этого уравнения представляют длины катетов х, у и гипотенузы z прямоугольных треугольников с целочисленными длинами сторон и называются пифагоровыми числами.
тройки натуральных чисел таких, что треугольник, длины сторон которого пропорциональны (или равны) этим числам, является прямоугольным.
Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам
х = m2 - n2
у = 2mn
z = m2 + n2
где m и n — целые числа (m> n > 0).
Это уравнение определяет на плоскости R2 алгебраическую кривую Γ. Рациональное решение (2) будем называть рациональной точкой кривой Γ. В дальнейшем мы часто будем прибегать к языку геометрии, хотя сам Диофант нигде его не применяет. Однако геометрический язык стал в настоящее время столь неотъемлемой частью математического мышления, что многие факты будет легче понять и объяснить с его помощью.
Прежде всего, необходимо дать какую-нибудь классификацию уравнений (2) или, что тоже, алгебраических кривых. Наиболее естественной и ранее всего возникшей является классификация их по порядкам.
Напомним, что порядком кривой (2) называется максимальный порядок членов многочлена f (x, y), где под порядком члена понимается сумма степеней при x и y. Геометрический смысл этого понятия заключается в том, что прямая пересекается с кривой порядка n ровно в n точках. При подсчёте точек надо, разумеется, учитывать кратность точек пересечения, а также комплексные и «бесконечно удалённые» точки. Так, например, окружность x2 + y2 = 1 и прямая x + y = 2 пересекаются в двух комплексных точках, а гипербола x2 – y2 = 1 и прямая y=x — в двух бесконечно удалённых точках, та же гипербола с прямой x=1 имеет одну общую точку кратности 2.
Однако для целей диофантова анализа (такое название получила область математики, выросшая из задач решения неопределённых уравнений; впрочем, теперь её чаще называют диофантовой геометрией) классификация по порядкам оказалась слишком грубой.
Рис. 1.
Поясним сказанное на примере. Пусть задана окружность C: x2 + y2 = 1 и любая прямая с рациональными коэффициентами, например, L: y=0. Покажем, что рациональные точки этой окружности и прямой можно поставить во взаимно однозначное соответствие. Это можно сделать, например, так: закрепим точку A(0,–1) окружности и поставим в соответствие каждой рациональной точке B прямой L точку B' окружности C, лежащую на пересечении C и прямой AB (рис. 1). То, что координаты точки B' будут рациональными, предоставим читателю доказать самому либо прочесть аналогичное доказательство у Диофанта (оно будет изложено в следующем параграфе). Очевидно, что такое же соответствие можно установить между рациональными точками любого конического сечения, если на нём лежит хотя бы одна рациональная точка, и рациональной прямой. Мы видим, что с точки зрения диофантова анализа окружность C и прямая L неотличимы: множества их рациональных решений эквивалентны. И это несмотря на то, что порядки обеих кривых различны.
Более тонкой является классификация алгебраических кривых по родам, которая была введена только в XIX веке Абелем и Риманом. Эта классификация учитывает число особых точек кривой Γ.
Будем считать, что в уравнении (2) кривой Γ многочлен f (x, y) неприводим над полем рациональных чисел, т.е. он не раскладывается в произведение многочленов с рациональными коэффициентами. Как известно, уравнение касательной к кривой Γ в точке P(x0, y0) будет
y – y0 = k(x – x0),
где
|
k = – |
fx' (x0, y0) |
. |
Если в точке P производная fx' или fy' отлична от нуля, то угловой коэффициент k касательной имеет вполне определённое значение (если fy' (x0, y0) = 0, a fx' (x0, y0) ≠ 0, то k=∞ и касательная в P будет вертикальной).
Если же в точке P обе частные производные обращаются в нуль,
fx' (x0, y0) = 0 и fy' (x0, y0) = 0,
то точка P называется особой.
Например, у кривой y2 = x2 + x3 точка (0, 0) будет особой, так как в ней fx' = –2x – 3x2 и fy' = 2y обращаются в нуль.
Рис. 2.
Наиболее простыми особыми точками являются двойные, в которых хотя бы одна из производных fxx'', fxy'' и fyy'' отлична от нуля. На рис. 2 изображена двойная точка, в которой кривая имеет две различные касательные. Другие более сложные особые точки изображены на рис. 3.
Рис. 3.
4. Способы решения
Правило 1. Если с не делится на d, то уравнение ах + ву = с не имеет решений в целых числах. Н.О.Д.(а,в) = d.
Правило 2. Чтобы найти решение уравнения ах + ву = с при взаимно-простых а и в, нужно сначала найти решение (Хо ; уо) уравнения ах + ву = 1; числа СХо , Суо составляют решение уравнения ах + ву = с.
Решить в целых числах (х,у) уравнение
5х - 8у = 19 … (1)
Решение.
Первый способ. Нахождение частного решения методом подбора и запись общего решения.
Знаем, что если Н.О.Д.(а;в) =1, т.е. а и в взаимно-простые числа, то уравнение (1)
имеет решение в целых числах х и у. Н.О.Д.(5;8) =1. Методом подбора находим частное решение: Хо = 7; уо =2.
Итак, пара чисел (7;2) - частное решение уравнения (1).
Значит, выполняется равенство: 5 x 7 – 8 x 2 = 19 … (2)
Вопрос: Как, имея одно решение, записать все остальные решения?
Вычтем из уравнения (1) равенство (2) и получим: 5(х -7) – 8(у - 2) =0.
Отсюда х – 7 = 
. Из полученного равенства видно, что
число (х – 7) будет целым тогда и только тогда, когда (у – 2) делится на 5,
т.е. у – 2 = 5n, где n какое-нибудь целое число. Итак, у = 2 + 5n, х = 7 + 8n,
где n 
Z.
Тем самым все целые решения исходного уравнения можно записать в таком виде:
n Z.
Второй способ. Решение уравнения относительно одного неизвестного.
Решаем это уравнение относительно того из
неизвестных, при котором наименьший (по модулю) коэффициент. 5х - 8у = 19 
х = 
.
Остатки при делении на 5: 0,1,2,3,4. Подставим вместо у эти числа.
Если у = 0, то х = 
=
.
Если у =1, то х = 
=
.
Если у = 2, то х = 
=
= 7 Z.
Если у =3, то х = 
=
.
Если у = 4 то х = 
=
.
Итак, частным решением является пара (7;2).
Тогда общее решение: n Z.
Третий способ. Универсальный способ поиска частного решения.
Для решения применим алгоритм Евклида. Мы знаем, что для любых двух натуральных чисел а, в, таких, что Н.О.Д.(а,в) = 1 существуют целые числа х,у такие, что ах + ву = 1.
План решения:
1. Сначала решим уравнение 5m – 8n = 1 используя алгоритм Евклида.
2. Затем найдем частное решение уравнения (1)по правилу 2.
3. Запишем общее решение данного уравнения (1).
1. Найдем представление: 1 = 5m – 8n. Для этого используем алгоритм Евклида.
8 = 5 
1 + 3.
5 = 3 
3 = 2 
.
Из этого равенства выразим 1. 1 = 3 - 2 
= 3 – (5 - 3 )
=
= 3 - 5
= 3
= (8 - 5
- 5
8
2 -5
= 5
(-2). Итак, m = -3, n = -2.
2. Частное решение уравнения (1): Хо = 19m; уо =19n.
Отсюда получим: Хо =19
; уо =19
.
Пара (-57; -38)- частное решение (1).
3. Общее решение уравнения (1): 
n Z.
Четвертый способ. Геометрический.
План решения.
1. Решим уравнение 5х – 8у = 1 геометрически.
2. Запишем частное решение уравнения (1).
3. Запишем общее решение данного уравнения (1).
1
Отложим на окружности последовательно друг за другом равные дуги, составляющие
-ю часть полной окружности. За 8
шагов получим все вершины правильного вписанного в окружность 8-угольника. При
этом сделаем 5 полных оборотов.
На 5 – ом шаге получили вершину, соседнюю с
начальной, при этом сделали 3 полных оборота и еще прошли 
- ю часть окружности, так
что х = у + .
Итак, Хо = 5, уо =3 является частным решением уравнения 5х – 8у = 1.
2. Частное решение уравнения (1): Хо =
19
уо =19
3. Общее решение уравнения (1): 
n Z.
Заключение
Между тем большинство историков науки, в противоположность математикам, до сих пор недооценивали труды Диофанта. Многие из них считали, что Диофант ограничивался нахождением только одного решения и применял для этого искусственные приёмы, различные для разных задач. Но на самом деле в большинстве диофантовых уравнений мы наблюдаем похожие алгоритмы решений.
Сегодня, как мы видим, существует несколько различных способов решения, алгоритмы которых несложно запомнить. Как уже было сказано ранее это уравнение обычно встречается в задании С6 на ЕГЭ. Исследование алгоритмов решения Диофантовых уравнений может помочь при решении этого задания, которое оценивается в значительное количество баллов.
Список литературы
1.Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах (перевод с древнегреческого И. Н. Веселовского; редакция и комментарии И. Г. Башмаковой). М., «Наука», 1974.
2. Б. Л. Ван-дер-Варден, Пробуждающаяся наука (перевод И. Н. Веселовского). М., Физматгиз, 1959.
3. Г. Г. Цейтен, История математики в древности и в средние века (перевод П. Юшкевича). М.–Л., Гостехиздат, 1932
4. А. В. Васильев, Целое число. Петербург, 1919
5. И. В. Ященко, С. А. Шестаков, П. И. Захаров, Математика, ЕГЭ, МЦНМО, 2010
www.referatmix.ru
