Сегодня на уроке мы вспомним понятия отображения плоскости на себя, движение плоскости, вспомним основные понятия центральной симметрии. Введём понятия отображения пространства и движение пространства, центральной симметрии в пространстве. Определим, будет ли центральная симметрия в пространстве – движением пространства.
Мы уже с вами знакомы с таким понятием, как движение. Давайте вспомним, что мы называли движением.
Движением мы называли любое отображение плоскости, которое сохраняет расстояние между точками.
Отображение плоскости на себя определяли так: если каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то точка этой же плоскости, причём любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке, то говорят, что дано отображение плоскости на себя.
Эти определения мы давали для движения на плоскости. Но в стереометрии мы говорим о пространстве, значит, надо определить, что называется движением пространства.
Но сначала давайте определим, что такое отображение пространства на себя.
Определение:
Пусть каждой точке 
пространства
поставлена в соответствие некоторая точка 
,
причем любая точка 
пространства
оказалась поставленной в соответствие какой-то точке .
Тогда говорят, что задано отображение пространства на себя. При
данном отображении точка переходит
(отображается) в точку .
Определение:
Под движением пространства понимается
отображение пространства на себя, при котором любые две точки пространства 
и
отображаются
в какие-то точки 
и
так,
что 
.
По-другому можно сказать, что движение пространства – это отображение пространства на себя, сохраняющее расстояние между точками.
Теперь давайте вспомним, какие фигуры обладают центральной симметрией.
Определение:
Фигура называется симметричной относительно
точки 
,
если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки 
также
принадлежит этой фигуре. Точка 
называется
центром симметрии фигуры.
Примерами центрально симметричных фигур можно назвать некоторые цветы:
В геометрии яркими примерами центрально симметричных фигур являются окружность (центр симметрии – центр окружности) и параллелограмм (центром симметрии является точка пересечения диагоналей).
Ещё мы давали такое определение:
Точки и
называются
симметричными относительно точки ,
если –
середина отрезка 
.
Точка называется
центром симметрии.
Точка считается
симметричной сама себе.
В курсе планиметрии мы доказывали, что центральная симметрия является движением.
Напомним это доказательство.
Рассмотрим точки М и N и точки М1 и N 1 симметричные точкам М и N относительно точки О.
Рассмотрим треугольники М NО и М1ОN1.
То есть при центральной симметрии сохраняется расстояние между точками. Тогда по определению движения, получим, что и центральная симметрия является движением.
Определение:
В пространстве центральной симметрией
мы назовём отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит
в симметричную ей точку относительно
данного центра .
Теперь давайте докажем, что и в пространстве центральная симметрия является движением.
Пусть О – центр симметрии. Введём прямоугольную систему координат Оxyz с началом в точке О. Теперь давайте попробуем установить связь между координатами двух точек М (x, y, z) и М1(x1, y1, z1), симметричных относительно точки О.
Если точка М не совпадает с точкой О, то по
определению центральной симметрии О – середина отрезка ММ1. Тогда
координаты точки О можно вычислить по формулам координат середины отрезка. С
другой стороны, поскольку О – начало координат, значит, точка О имеет
координаты 0, 0, 0. То есть получим, что 
,
,
.
Если точки М и О совпадают, тогда точка М1
также совпадает с точкой О, потому что точка О – центр симметрии, а, значит,
она отображается сама на себя. И в этом случае будут выполнятся равенства,
,
.
Теперь давайте рассмотрим две точки 
и
.
По только что доказанным формулам для координат
симметричных точек получим, что точка 
.
Точка 
.
Теперь давайте найдём расстояние 
.
Получим, что расстояние между точками ,
равно:
Теперь давайте найдём расстояние между точками и
.
Очевидно, что оба эти выражения равны, то есть
получим, что .
Вывод: расстояние между точками при центральной симметрии в пространстве сохраняется, значит, центральная симметрия в пространстве также является движением, но уже не плоскости, а пространства.
Рассмотрим несколько задач.
Задача:
найти координаты точек, в которые переходят точки 
,
,
при
центральной симметрии относительно начала координат.
Решение: воспользуемся формулами для вычисления координат симметричных точек.
Если точка 
симметрична
точке 
то
справедливы формулы:
.
Тогда получим, что точка 
отобразится
в точку 
.
Точка отобразится
в точку 
.
Точка 
отобразится
в точку 
.
Решим ещё одну задачу.
Задача: доказать, что при центральной симметрии прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую.
Доказательство. Пусть
прямая не
проходит через центр симметрии О. Построим точки симметричные точкам и
относительно
точки О.
Рассмотрим 
и
.
По определению центральной симметрии точка О – середина отрезков АА1
и ВВ1, то есть 
и
.
Углы 
как вертикальные, то
есть треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.
Тогда получим, что 
.
Эти углы являются накрестлежащими для прямых и
при
секущей .
Тогда по признаку параллельности прямых получим, что прямые 
.
Что и требовалось доказать.
Итоги:
Сегодня на уроке мы вспомнили понятия отображения плоскости на себя, движение плоскости, вспомнили основные понятия центральной симметрии. Ввели понятия отображения пространства и движение пространства, центральной симметрии в пространстве. Показали, что и в пространстве центральная симметрия будет примером движения.
videouroki.net
Урок посвящен определению движения пространства. Рассматриваются два случая движения: центральная и осевая симметрия.
Тема: Метод координат в пространстве
Урок: Движения. Центральная и осевая симметрии
В курсе планиметрии мы познакомились с движениями плоскости, т. е. отображениями плоскости на себя, сохраняющими расстояния между точками. Введем теперь понятие движения пространства. Допустим, что каждой точке М пространства поставлена в соответствие некоторая точка М1 причем любая точка М1 пространства оказалась поставленной в соответствие какой-то точке М. Тогда говорят, что задано отображение пространства на себя. При данном отображении точка М переходит (отображается) в точку М1.
Под движением пространства понимается отображение пространства на себя, при котором любые две точки А и В переходят (отображаются) в какие-то точки А1 и В1 так, что А1В1=АВ. То есть, движение пространства — это отображение пространства на себя, сохраняющее расстояния между точками.
Примером движения может служить центральная симметрия. На рисунке (см. рис. 1) точка В переходит в точку В1, точка С переходит в точку С1, S-центр симметрии, причем BS=B1S, CS=C1S.
Рис. 1.
Докажем, что центральная симметрия является движением. Обозначим буквой S центр симметрии и введем прямоугольную систему координат Sxyz с началом в точке S. Пусть точка B(x1,y1,z1), C(x2,y2,z2), тогда B1(-x1,-y1,-z1), C1(-x2,-y2,-z2), так как S-середина отрезка ВВ1 и СС1.
Тогда 
;
.
Получили, что ВС =В1С1 , следовательно центральная симметрия-движение.
Другим примером движения является осевая симметрия (см. рис. 2).
На рисунке точка B симметрична точке B1 относительно прямой a, то есть точка B переходит в точку B1, а точка C переходит в точку C1: 
, 
. При этом прямые BB1 и CC1 – перпендикулярны прямой a, и S – середина CC1, S1 – середина BB1.
Рис. 2.
Докажем, что осевая симметрия является движением. Для этого введем прямоугольную систему координат Охуz так, чтобы ось Оz совпала с осью симметрии. Координаты точек равны: B(х1; у1; z1), B1(-х1; -у1; z1), C(х2; у2; z2) и C1(-х2; -у2; z2).
Найдем длину отрезков ВС и В1С1:
;
.
Из полученных формул видно, что ВС=В1С1, значит при осевой симметрии расстояния между точками В, С и их отображениями В1, С1 равны. Значит осевая симметрия является движением, что и требовалось доказать.
Список рекомендованной литературы
1.Геометрия: учеб. для 10 - 11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008 г.
2. Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7 – 11 кл. общеобразовательных учреждений /Б. Г. Зив, В. М. Мейлер – М.: «Просвещение», 2003 - 2008.
3. Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10 – 11 кл. /Е. М. Рабинович – Харьков: «Гимназия», 2003, М.: «Илекса», 2003..
4. Геометрия. 10 кл. Самостоятельные и контрольные работы. /А. И. Ершова, В. В. Голобородько – М.: «Илекса», 2008.
5. Математика. ЕГЭ – 2011. Тематические тренировочные задания./В. В. Кочагин, М. Н. Кочагина – М.: «Эксмо», 2011г.
6. Математика. ЕГЭ – 2009 /Ф. Ф. Лысенко – Ростов-на-Дону: «Легион» 2008.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы Интернет
1. Kl10sch55.narod.ru (Источник).
2. G1583.ru (Источник).
Рекомендованное домашнее задание
1. П. 49-52, вопросы 15, 16, 17, №480, 483 (б). Учебник для 10-11кл., Л.С. Атанасян и др.,18 изд., М. Просвещение, 2009.
mirror.vsibiri.info
rpp.nashaucheba.ru
