Математика в архитектуре. Архитектура и математика реферат

Математика в архитектуре - Рефераты для всех

Понятие “архитектура” имеет несколько смыслов. Архитектура – древнейшая сфера человеческой деятельности и ее результат. Главный смысл понятия архитектура состоит в том, что это совокупность зданий и сооружений различного назначения, это пространство, созданное человеком и необходимое для его жизни и деятельности. Архитектура зарождается вместе с человечеством, сопровождает его в историческом развитии. В ней отражаются мировоззрение, ценности, знания людей, живших в различные исторические эпохи. В ней сосредоточены особенности культуры представителей разных национальностей. Архитектурные памятники, дошедшие до нас из глубины веков, помогают нам понять цели, взгляды, мысли, традиции и привычки, представления о красоте, уровень знаний людей, которые когда-то жили на Земле. Для чего возводились архитектурные сооружения? Прежде всего, они возводились для удобства жизни и деятельности человека. Они должны были служить его пользе: беречь его от холода и жары, дождей и палящего солнца. Они должны были создавать комфортные условия для различной деятельности человека – давать достаточное освещение, обеспечивать звукоизоляцию или хорошее распространение звука внутри помещения. Возводимые сооружения должны быть прочными, безопасными и долго служить людям. Но человеку свойственно еще и стремление к красоте, поэтому все, что он делает, он старается сделать красивым.

Тесная связь архитектуры и математики известна давно. В Древней Греции – геометрия считалась одним из разделов архитектуры. Современный архитектор должен быть знаком с различными соотношениями ритмических рядов, позволяющих сделать объект наиболее гармоничным и выразительным. Кроме того, он должен знать аналитическую геометрию и математический анализ, основы высшей алгебры и теории матриц, владеть методами математического моделирования и оптимизации. Не случайно при подготовке архитекторов за рубежом большое внимание уделяется математической подготовке и владению компьютером.

Порой из-за недостаточного знания математики архитектору приходится делать немало лишней работы.

1. Как математика помогает добиться прочности сооружений.

Люди с древних времен, возводя свои жилища, думали, в первую очередь, об их прочности. Прочность связана и с долговечностью. На возведение зданий люди тратили огромные усилия, а значит, были заинтересованы в том, чтобы они простояли как можно дольше. Кстати, благодаря этому, до наших дней дошли и древнегреческий Парфенон, и древнеримский Колизей. Прочность сооружения обеспечивается не только материалом, из которого оно создано, но и конструкцией, которая используется в качестве основы при его проектировании и строительстве. Прочность сооружения напрямую связана с той геометрической формой, которая является для него базовой. Математик бы сказал, что здесь очень важна геометрическая форма (тело), в которое вписывается сооружение.

Самым прочным архитектурным сооружением с давних времен считаются египетские пирамиды. Как известно они имеют форму правильных четырехугольных пирамид.

Именно эта геометрическая форма обеспечивает наибольшую устойчивость за счет большой площади основания. С другой стороны, форма пирамиды обеспечивает уменьшение массы по мере увеличения высоты над землей. Именно эти два свойства делают пирамиду устойчивой, а значит и прочной в условиях земного тяготения.

На смену пирамидам пришла стоечно-балочная система. С точки зрения геометрии она представляет собой многогранник, который получится, если мысленно на два вертикально стоящих прямоугольных параллелепипеда поставить еще один прямоугольный параллелепипед.

Это одна из первых конструкций, которая стала использоваться при возведении зданий и представляет собой сооружения, которые состоят из вертикальных стоек и покрывающих их горизонтальных балок. Первым таким сооружением было культовое сооружение – дольмен. Оно состояло из двух вертикально поставленных камней, на которые был поставлен третий вертикальный камень. Кроме дольмена, до нас дошло еще одно сооружение, представляющее простейшую стоечно-балочную конструкцию – кромлех. Это также культовое сооружение, предположительно предназначенное для жертвоприношений и ритуальных торжеств. Кромлех состоял из отдельно стоящих камней, которые накрывались горизонтальными камнями. При этом они образовывали две или несколько концентрических окружностей.

Самый знаменитый кромлех сохранился до наших дней в местечке Стоунхендж в Англии. Некоторые ученые считают, что он был древней астрономической обсерваторией.

Нужно заметить, что до сих пор стоечно-балочная конструкция является наиболее распространенной в строительстве. Большинство современных жилых домов в своей основе имеют именно стоечно-балочную конструкцию.

Камень плохо работает на изгиб, но хорошо работает на сжатие. Это привело к использованию в архитектуре арок и сводов. Так возникла новая арочно-сводчатая конструкция. С появлением арочно-сводчатой конструкции в архитектуру прямых линий и плоскостей, вошли окружности, круги, сферы и круговые цилиндры. Первоначально в архитектуре использовались только полуциркульные арки или полусферические купола. Это означает, что граница арки представляла собой полуокружность, а купол – половину сферы. Например, именно полусферический купол имеет Пантеон – храм всех богов - в Риме. Диаметр купола составляет 43 м. При этом высота стен Пантеона равна радиусу полусферы купола. В связи с этим получается, что само здание этого храма как бы “накинуто” на шар диаметром 43 м.

Этот вид конструкции был наиболее популярен в древнеримской архитектуре. Арочно-сводчатая конструкция позволяла древнеримским архитекторам возводить гигантские сооружения из камня. К ним относится знаменитый Колизей или амфитеатр Флавиев. Свое название он получил от латинского слова colosseus, которое переводится как колоссальный, или огромный.

Эта же конструкция использовалась при создании гигантских терм Каракаллы и Диоклетиана, вмещавших одновременно до 3 тысяч посетителей. Сюда же следует отнести и систему арочных водоводов-акведуков, общая протяженность которых составляла 60 км.

Следующим этапом развития архитектурных конструкций явилась каркасная система. Аркбутаны являлись каркасом, которые окружал сооружение и принимал на себя основные нагрузки. Арочная конструкция послужила прототипом каркасной конструкции, которая сегодня используется в качестве основной при возведении современных сооружений из металла, стекла и бетона. Достаточно вспомнить конструкции известных башен: Эйфелевой башни в Париже и телебашни на Шаболовке.

Телебашня на Шаболовке состоит из нескольких поставленных друг на друга частей однополостных гиперболоидов. Причем каждая часть сделана из двух семейств прямолинейных балок. Эта башня построена по проекту замечательного инженера В.Г.Шухова

Однополостный гиперболоид – это поверхность, образованная вращением в пространстве гиперболы, расположенной симметрично относительно одной из осей координат в прямоугольной системе координат, вокруг другой оси.

Обратите внимание, что любое осевое сечение однополостного гиперболоида будет ограничено двумя гиперболами.

Другой интересной для архитекторов геометрической поверхностью оказался гиперболический параболоид. Это поверхность, которая в сечении имеет параболы и гиперболу. Появление новых строительных материалов делает возможным создание тонкого железобетонного каркаса и стен из стекла. Достаточно вспомнить американские небоскребы или, например, здание Кремлевского дворца съездов созданных из стекла и бетона. Именно эти материалы и каркасные конструкции стали преобладающими в архитектурных сооружениях XX века. Они обеспечивают зданиям высокую степень прочности.

2. Геометрические формы в разных архитектурных стилях.

Ни один из видов искусств так тесно не связан с геометрией как архитектура.

Архитектурные произведения живут в пространстве, являются его частью, вписываясь в определенные геометрические формы. Кроме того, они состоят из отдельных деталей, каждая из которых также строится на базе определенного геометрического тела. Часто геометрические формы являются комбинациями различных геометрических тел.

Здание клуба имени И.В.Русакова в Москве построено в 1929 г. по проекту архитектора К.Мельникова. Базовая часть здания представляет собой прямую невыпуклую призму. Призма является невыпуклой, благодаря выступам, которые заполнены вертикальными рядами окон. При этом гигантские нависающие объемы также являются призмами, только выпуклыми.

Геометрическая форма сооружения настолько важна, что бывают случаи, когда в имени или названии здания закрепляются названия геометрических фигур. Так, здание военного ведомства США носит название Пентагон, что означает пятиугольник. Связано это с тем, что, если посмотреть на это здание с большой высоты, то оно действительно будет иметь вид пятиугольника. На самом деле только контуры этого здания представляют пятиугольник. Само же оно имеет форму многогранника.

В Спасской башне Московского кремля в основании можно увидеть прямой параллелепипед, переходящий в средней части в фигуру, приближающуюся к цилиндру, завершается же она пирамидой. При более детальном рассмотрении и изучении деталей можно увидеть: круги – циферблаты курантов; шар – основание для крепления рубиновой звезды; полукруги – арки одного из рядов бойниц на фасаде башни и т.д. Таким образом, можно говорить о пространственных геометрических фигурах, которые служат основой сооружения в целом или отдельных его частей, а также плоских фигурах, которые обнаруживаются на фасадах зданий.

Церковь Ильи Пророка в Ярославле была построена в середине XVII века. При ее создании зодчие использовали как шатровые покрытия, так и купола в виде луковок.

Рассмотрим еще один яркий архитектурный стиль – средневековая готика. Готические сооружения были устремлены ввысь, поражали величественностью, главным образом за счет высоты. И в их формах также широко использовались пирамиды и конусы, которые соответствовали общей идее – стремлению вверх. Характерными деталями для готических сооружений являются стрельчатые арки порталов, высокие стрельчатые окна, закрытые цветными витражами.

Обратимся к геометрическим формам в современной архитектуре.

Во-первых, в архитектурном стиле “Хай Тек”, где вся конструкция открыта для обозрения. Здесь мы можем видеть геометрию линий, которые идут параллельно или пересекаются, образуя ажурное пространство сооружения. Примером, своеобразной прародительницей этого стиля может служить Эйфелева башня.

Во-вторых, современный архитектурный стиль, благодаря возможностям современных материалов, использует причудливые формы, которые воспринимаются нами через их сложные, изогнутые (выпуклые и вогнутые) поверхности.

Чтобы представить эти поверхности достаточно обратиться к зданиям, возведенным Антонио Гауди.

3. Симметрия – царица архитектурного совершенства.

Слово симметрия произошло от греч. слова symmetria – соразмерность.

Рассматривая симметрию в архитектуре, нас будет интересовать геометрическая симметрия – симметрия формы как соразмерность частей целого. Замечено, что при выполнении определенных преобразований над геометрическими фигурами, их части, переместившись в новое положение, вновь будут образовывать первоначальную фигуру. При осевой симметрии части, которые, если можно так сказать, взаимозаменяют друг друга, образованы некоторой прямой. Эту прямую принято называть осью симметрии. В пространстве аналогом оси симметрии является плоскость симметрии. Таким образом, в пространстве обычно рассматривается симметрия относительно плоскости симметрии. Например, куб симметричен относительно плоскости, проходящей через его диагональ. Имея в виду обе случая (плоскости и пространства), этот вид симметрии иногда называют зеркальной. Название это оправдано тем, что обе части фигуры, находящиеся по разные стороны от оси симметрии или плоскости симметрии, похожи на некоторый объект и его отражение в зеркале.

Кроме зеркальной симметрии рассматривается центральная или поворотная симметрия. В этом случае переход частей в новое положение и образование исходной фигуры происходит при повороте этой фигуры на определенный угол вокруг точки, которая обычно называется центром поворота. Отсюда и приведенные выше названия указанного вида симметрии. Поворотная симметрия может рассматриваться и в пространстве. Куб при повороте вокруг точки пересечения его диагоналей на угол 90? в плоскости, параллельной любой грани, перейдет в себя. Поэтому можно сказать, что куб является фигурой центрально симметричной или обладающей поворотной симметрией.

Еще одним видом симметрии, является переносная симметрия. Этот вид симметрии состоит в том, что части целой формы, организованы таким образом, что каждая следующая повторяет предыдущую и отстоит от нее на определенный интервал в определенном направлении. Этот интервал называют шагом симметрии. Переносная симметрия обычно используется при построении бордюров. В произведениях архитектурного искусства ее можно увидеть в орнаментах или решетках, которые используются для их украшения. Переносная симметрия используется и в интерьерах зданий.

Архитектурные сооружения, созданные человеком, в большей своей части симметричны. Они приятны для глаза, их люди считают красивыми.

Симметрия воспринимается человеком как проявление закономерности, а значит внутреннего порядка. Внешне этот внутренний порядок воспринимается как красота.

Симметричные объекты обладают высокой степенью целесообразности – ведь симметричные предметы обладают большей устойчивостью и равной функциональностью в разных направлениях. Все это привело человека к мысли, что чтобы сооружение было красивым оно должно быть симметричным. Симметрия использовалась при сооружении культовых и бытовых сооружений в Древнем Египте. Украшения этих сооружений тоже представляют образцы использования симметрии. Но наиболее ярко симметрия проявляется в античных сооружениях Древней Греции, предметах роскоши и орнаментов, украшавших их. С тех пор и до наших дней симметрия в сознании человека стала объективным признаком красоты.

Соблюдение симметрии является первым правилом архитектора при проектировании любого сооружения. Стоит только посмотреть на великолепное произведение А.Н.Воронихина Казанский собор в Санкт-Петербурге, чтобы убедиться в этом.

Если мы мысленно проведем вертикальную линию через шпиль на куполе и вершину фронтона, то увидит, что с двух сторон от нее абсолютно одинаковые части сооружения (колоннады и здания собора). Но возможно, что вы не знаете, что в Казанском соборе есть еще одна, если можно так сказать “несостоявшаяся” симметрия.

Дело в том, что по канонам православной церкви вход в собор должен быть с востока, т.е. он должен быть с улицы, которая находится справа от собора и идет перпендикулярно Невскому проспекту. Но, с другой стороны Воронихин понимал, что собор должен быть обращен к главной магистрали города. И тогда он сделал вход в собор с востока, но задумал еще один вход, который украсил прекрасной колоннадой. Чтобы сделать здание совершенным, а значит симметричным, такая же колоннада должны была располагаться с другой стороны собора. Тогда, если бы мы посмотрели на собор сверху, то план его имел бы не одну, а две оси симметрии. Но замыслам архитектора было не суждено сбыться.

Кроме симметрии в архитектуре можно рассматривать антисимметрию и диссимметрию.

Антисимметрия это противоположность симметрии, ее отсутствие. Примером антисимметрии в архитектуре является Собор Василия Блаженного в Москве, где симметрия отсутствует полностью в сооружении в целом. Однако, удивительно, что отдельные части этого собора симметричны и это создает его гармонию. Диссимметрия – это частичное отсутствие симметрии, расстройство симметрии, выраженное в наличии одних симметричных свойств и отсутствии других. Примером диссимметрии в архитектурном сооружении может служить Екатерининский дворец в Царском селе под Санкт-Петербургом. Практически в нем полностью выдержаны все свойства симметрии за исключением одной детали. Наличие Дворцовой церкви расстраивает симметрию здания в целом. Если же не принимать во внимание эту церковь, то Дворец становится симметричным.

Завершая, можно констатировать, что красота есть единство симметрии и диссимметрии.

4. Золотое сечение в архитектуре.

Золотое сечение – гармоническая пропорция, это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b= b : c или с : b= b : а.

Отрезки золотой пропорции выражаются иррациональной бесконечной дробью 0,618… и 0,382. Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

В книгах о “золотом сечении” можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими “золотое сечение”, то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. “Золотое сечение” дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.).

Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по “золотому сечению”, то получим те или иные выступы фасада.

Другим примером из архитектуры древности является Пантеон.

Известный русский архитектор М. Казаков в своем творчестве широко использовал “золотое сечение”.

Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрылся в многочисленных осуществленных проектах жилых домов и усадеб. Например, “золотое сечение” можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле.

По проекту М. Казакова в Москве была построена Голицынская больница, которая в настоящее время называется Первой клинической больницей имени Н.И. Пирогова.

Еще один архитектурный шедевр Москвы – дом Пашкова – является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры В. Баженова.

Прекрасное творение В. Баженова прочно вошло в ансамбль центра современной Москвы, обогатило его. Наружный вид дома сохранился почти без изменений до наших дней, несмотря на то, что он сильно обгорел в 1812 г.

Многие высказывания зодчего заслуживают внимание и в наши дни. О своем любимом искусстве В. Баженов говорил: “Архитектура – главнейшие имеет три предмета: красоту, спокойность и прочность здания. К достижению сего служит руководством знание пропорции, перспектива, механика или вообще физика, а всем им общим вождем является рассудок”.

Математика предлагает архитектору ряд, если так можно назвать, общих правил организации частей в целое, которые помогают:

Расположить эти части в пространстве, так, что в них проявлялся порядок;
Установить определенное соотношение между размерами частей и задать для изменения размеров (уменьшения или увеличения) определенную единую закономерность, что обеспечивает восприятие целостности и представление о порядке;
Выделить определенное место в пространстве, где будет размещаться сооружение, описать его определенной математической формой, которая также позволит выделить его из других сооружений и внести в их состав, создав новую композицию, новый архитектурный ансамбль.

Свидетельство о регистрации средства массовой информации ЭЛ №ФС77-69741 от 5 мая 2017 г.

referat-4all.ru

Архитектура и математика — реферат

Министерство образования и науки Республики Хакасия

городской отдел образования

муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя школа № 9.

Научно-исследовательская работа

Тема:

А Р Х И Т Е К Т У Р А И

М А Т Е М А Т И К А

Выполнил:

Рябчёнок Владимир,

ученик 11А класса

Проверил:

Сабитова Светлана Ингелевна,

учитель математики

Саяногорск – 2007

Оглавление

1. Введение стр. 1

2. Основная часть:

2.1. Как возникла геометрия стр. 3

2.2. Архитектура и математика стр. 4

2.3. «Геометрия православного храма» стр. 9

2.4. Геометрия купола (план построения купола) стр. 10

3. Приложение стр. 12

4. Список использованной литературы стр. 18

Введение

Математика-это не только стройная система законов, теорем и задач, но и уникальное средство познания красоты. Многие математические теории нередко кажутся искусственными, оторванными от реальной жизни, просто непонятными. Если же подойти к этим проблемам с позиции исторического развития, то станет, виден их глубокий жизненный смысл, их необходимость.

Издревле существовала проблема при построении громадных пирамид и их измерений, измерения площади земли, защита города от ветров, строительство алтаря в форме куба удвоенного объема.

Пирамиды - фантастические фигуры из камня, устремленные к Солнцу. Своими громадными размерами, совершенством геометрической формы они поражают воображение. Недаром эти творения рук человеческих считали одним из чудес света.

Шло время, постепенно усложнялись математические задачи архитектуры. Уже в Древнем Риме были широко распространены арки, придающие сооружениям особую привлекательность. Типичен в этом отношении римский Колизей, высота которого составляет 48,5 м.

Амфитеатр Флавиев - сооружение предназначалось для цирковых представлений.

В Древнем Риме был известен секрет создания еще одного вида арки - стрельчатой. По сравнению с полуциркулярной стрельчатая арка оказалась более совершенной конструкцией, так как благодаря ей происходит меньший боковой распор стен, а значит и меньший расход камня.

Цель работы:

Формирование представления о прикладных возможностях математики, ее месте в общечеловеческой культуре, а также о практической значимости геометрических знаний.

Задачи:

- Усвоение определенной системы знаний посредством моделирования и исследования реальных ситуаций;

- Развивать творческую сторону мышления;

- Формировать навыки умственного труда - поиск рациональных путей решения.

Основная часть

1. Как возникла геометрия.

Для первобытных людей важную роль играла форма окружавших их предметов. По форме и цвету они отличали съедобные грибы от несъедобных, пригодные для построек породы деревьев от тех, которые годятся лишь на дрова, вкусные орехи от горьких или ядовитых и т. д. Особенно вкусными казались им орехи кокосовой пальмы. Эти орехи очень похожи на шар. А добывая каменную соль, люди наталкивались на кристаллы, имевшие форму куба. Иногда в горах они находили кристаллы кварца и других минералов, из которых делали свои орудия. Так, овладевая окружающим их миром, люди знакомились с простейшими геометрическими формами.

Эти формы они использовали, изготовляя каменные орудия. Уже 200 тысяч лет тому назад были изготовлены орудия сравнительно правильной геометрической формы, а потом люди научились шлифовать их. Отшлифованное орудие позволяло быстрее срубать деревья, разрезать мясо, лучше охотиться на зверей. Специальных названий для геометрических фигур сначала, конечно, не было. Говорили: «такой же, как кокосовый орех» или «такой же, как соль» и т. д. Некоторые формы фигур казались особо красивыми. И действительно, нельзя без восхищения смотреть на красоту кристаллов, цветов, обитателей морских глубин.

А когда люди стали строить дома из дерева, пришлось глубже разобраться в том, какую форму следует придавать стенам и крыше, какой формы должны быть бревна и т. д. Стало ясно, например, что, не обтесав бревен, дома из них не построишь: они покатятся. А крыша должна быть наклонной, чтобы с нее стекал дождь. Люди научились вытесывать из древесных стволов прямоугольные балки. И, сами того фне зная, все время занимались геометрией. Геометрией занимались женщины, изготовляя одежду; охотники, изготовляя наконечники для копий или бумеранги особо сложной формы; рыболовы, делая такие крючки из кости, чтобы рыба с них не срывалась.

Но не только в процессе работы знакомились люди с геометрическими фигурами. Издавна они любили украсить себя, свою одежду, свое жилище. И многие созданные данным – давно украшения тоже имели ту или иную геометрическую форму. Бусинки были шарообразными, браслеты и кольца имели форму окружности и т. д. Древние мастера научились придавать красивую форму бронзе и золоту, серебру и драгоценным камням. А художники, расписывавшие дворцы, находили все новые геометрические формы — многие из них дошли до наших дней.

Процесс знакомства с различными видами геометрических фигур сменился новым этапом — знакомством с их свойствами. И здесь главную роль играли практические задачи. Из практической задачи о межевании полей возникла наука о землемерии. По-гречески земля называлась «геос», измеряю — «метрио», а поэтому и наука об измерении полей получила название «геометрия». Как же мерили землю древние египтяне? Египтяне рассуждали примерно так. Если в прямоугольнике соединить отрезком два противоположных угла (такой отрезок называют диагональю), то получатся два одинаковых треугольника с прямыми углами — прямоугольные. Площадь каждого из них вдвое меньше площади прямоугольника, из которого они получились.

Значит, для того, чтобы узнать площадь прямоугольного треугольника, надо измерить те его стороны, которые образуют прямой угол, перемножить их длины и от того, что получится, взять половину. Эти стороны получили потом у греков название катеты. А самую длинную сторону прямоугольного треугольника греки называли гипотенузой. Катетом они называли вертикальный шест, а слово «гипотенуза» означало «натянутая». Вероятно, первое представление о прямоугольном треугольнике греки получили, рассматривая веревку, косо идущую от вершины шеста.

2. Архитектура и математика.

Архитектура — удивительная область человеческой деятельности. В ней тесно переплетены и строго уравновешены наука, техника и искусство. Только соразмерное, гармоническое единство этих начал делает возводимое человеком сооружение памятником архитектуры, неподвластным времени, подобно памятникам литературы, ваяния, музыки. Если же какой-то из элементов зодчества — наука, техника или искусство — начинает подавлять остальные, то истинная архитектура скатывается на одно из тупиковых направлений, именуемых функционализмом, техницизмом, эклектизмом или еще каким-нибудь «измом».

Архитектура бифункциональна: она призвана отвечать не только эстетическим, но и утилитарным требованиям, она должна создавать не только прекрасное, но и полезное. Интуиция и расчет — непременные спутники зодчего.

Архитектура триедина: она извечно сочетает в себе логику ученого, ремесло мастера и вдохновение художника. «Прочность, польза, красота» — такова знаменитая формула единого архитектурного целого, выведенная два тысячелетия тому назад древнеримским теоретиком зодчества Витрувием (I в. до н. э.). Вот почему архитектура как нельзя более отвечает теме: взаимодействие науки и искусства, математики и искусства.

Почему из всех геометрических тел именно пирамиду выбрали древнеегипетские зодчие, для того чтобы в веках прославить своих фараонов? Скорее всего причина кроется в том, что такая конструкция — одна из самых устойчивых. Ведь с увеличением высоты пирамиды масса ее верхней части уменьшается, а это — главный принцип надежности постройки. Они служили символами величия и могущества фараонов, свидетельством могущества страны.

Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает великая пирамида фараона Хеопса. С ней и сейчас связано много таинственного. Обнаружено, например, что пирамида способствует возникновению у человека особого психического возбуждения. В литературе описано много невероятных явлений, связанных с пребыванием рядом с пирамидой Хеопса. Нас, правда, больше интересуют загадки геометрии, которые скрыты в великом памятнике древней архитектуры.

Несомненно, основным, исходным элементом, определяющим главные пропорции пирамиды, является треугольник SMN в ее осевом сечении (рис 1). Отношение катетов SM и MN равно отношению гипотенузыSN к катету SM. Причем SN:x= Ф.

Если мы примем меньший катет MN за х, то SN: х = Ф. Получим, что SN =Ф х. Тогда пропорция SM:MN = SN:SM дает SM:x = (Фх):SM или SM2=Фх2,т.е. SM = . Тогда SN=====Фх.

Итак, стороны треугольника SMN составляют геометрическую прогрессию: х, х, хФ, знаменатель которой равен (φ = ).

В знаменитой пирамиде обнаруживаются и другие геометрические зависимости. В древнеегипетских мерах длина стороны квадрата, лежащего в основании пирамиды, равна 1000 локтям. Тогда SM = 500 ≈1,26·500 = 630 (локтей). х =500 локтей.

Вычислив отношение удвоенной стороны основания квадрата ASCD к высоте пирамиды, найдем: 2000 : 630 ≈ 3,17, что весьма близко к числу π, которое египтяне принимали равным (16/9)2, т. е. 3,16.

Можно подумать, что локоть - неточная мера длины. Действительно, расстояние от кончиков пальцев до локтя у разных людей может принимать значения, несколько отличающиеся друг от друга. Но в Древнем Египте измерениями занимались специальные ремесленники, которых древнегреческие авторы называли гарпедонапты — «натягивающие веревку». Веревка, конечно, подбиралась неслучайно, и ее можно было выверить по какому-либо известному расстоянию. Для древних египтян постройка пирамиды была делом священным, гарпедонапты производили измерения, соблюдая торжественные обычаи, так что погрешности в работе здесь не должно было быть. Гарпедонапты обязаны были следить, чтобы храмы и пирамиды располагались точно по солнцу. При закладке культового сооружения египтяне определяли посредством астрономического наблюдения первую линию «север — юг». Затем они должны были найти вторую линию «восток — запад», перпендикулярную первой. Для этого натягивали веревку между деревянными кольями так, чтобы она образовала треугольник, стороны которого равнялись бы 3,4 и 5 частям веревки, разделенной узлами на 12 равных частей. Веревочный треугольник получался прямоугольным. Если один его катет натягивался вдоль линии «север — юг», то другой точно указывал линию «восток — запад».

Только в условиях рабовладельческого строя возможна была такая бессмысленная трата человеческой энергии, когда сто тысяч рабов в течение двадцати лет возводили гробницу для одного из смертных — фараона Хеопса. Внутренний, полезный объем пирамиды настолько ничтожен, что ее вообще с трудом можно отнести к архитектурному сооружению.

Зато прочность пирамид недосягаема. Желая прославить своего фараона в веках, древнеегипетские зодчие из всех геометрических тел выбрали именно пирамиду. Выбор этот не случаен, ибо в условиях земного тяготения пирамида является наиболее устойчивой конструкцией, способной существовать в веках без риска обвалиться или рассыпаться. Главное правило устойчивости конструкции — уменьшение ее массы по мере увеличения высоты над землей — выражено в пирамиде с предельной ясностью и симметрией. Рациональность, «полезность» геометрической формы пирамиды заставляют забыть о ее утилитарной бесполезности. Именно эта геометрически оправданная форма пирамиды, подчеркнутая ее циклическими размерами и точной системой пропорций, придает пирамиде ни с чем не сравнимую выразительность, особую красоту и величие, вызывает ощущение вечности, бессмертия, мудрости и покоя. «Сорок веков смотрят на вас с высоты этих пирамид» — эти красивые слова генерал Бонапарт произнес перед сражением при египетских пирамидах 21 июля 1798 г. Однако отнюдь не философские размышления, а сиюминутные честолюбивые планы вызывал у генерала вид четырех тысячелетних сооружений. Для генерала Бонапарта предстоящее сражение было еще одним шагом на пути к короне императора Наполеона...

А пирамиды продолжают бесстрастно взирать на проходящих у их подножия людей, прославляя в веках мудрость, мастерство и вдохновение древнеегипетских зодчих.

Разговор о египетских пирамидах незаметно привел нас к важнейшей проблеме архитектурной теории: проблеме соотношения конструкции и архитектурной формы. Только единство конструкции и наружной формы придает строению качество, именуемое архитектурной истиной. Диалектическое единство внутренней конструкции и внешней формы является главнейшим правилом образования архитектурных форм. Суть этой проблемы точно схвачена в афоризме французского архитектора Огюста Перре (1874—1954): «Тот, кто прячет колонну, столб или какую-либо несущую часть, допускает ошибку; тот, кто делает ложную колонну, совершает преступление».

Конструкция древнеегипетской пирамиды является самой простой, прочной и устойчивой. Вес каждого верхнего блока пирамиды по всей поверхности передается нижним блокам. Форма пирамиды представляет полное единство с ее конструкцией. Однако такая конструкция не создает внутреннего объема и, по существу, не является архитектурной конструкцией.

yaneuch.ru

Математика в архитектуре - презентация онлайн

1. Проектная работа по математике:

ПРОЕКТНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ: «Математика в архитектуре» Работу выполнил студент группы Т-9.12 Жерелейко Е.В и Троицкий М.М. Научный руководитель: Преподаватель математики Монастырская М.А

2. Актуальность проекта:

АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОЕКТА: Математика – один из путеводителей в архитектуре. Математические действие необходимы для реализации проектов в строительстве.

3. Цель проекта:

ЦЕЛЬ ПРОЕКТА: Формирование представления о практической значимости математических знаний.

4. Задача проекта:

ЗАДАЧА ПРОЕКТА: 1. Изучить исторические сведения 2. Показать как взаимосвязана математика с архитектурой.

5. Гипотеза:

ГИПОТЕЗА: Архитектура и математика взаимосвязаны.Объект исследования: Математика в архитектуре Предмет исследования: Геометрические фигурыПлан: Введение Прочность сооружения Планирование объектов Золотое сечение Виды симметрии • Антисимметрия • Диссимметрия 6. Геометрия вокруг нас • Спасская башня Московского кремля • Клуб имени И.В.Русакова • Пирамида Хеопса 1. 2. 3. 4. 5.Введение: В Древней Греции – одним из ключевых разделов архитектуры считали геометрию. Архитектор обязан знать аналитическую геометрию и математический анализ, теорию вероятности, знать методы математического моделирования.Как математика помогает добиться прочности сооружений Прочность зданий обеспечивается не только материалом, но и конструкцией, которая нужна для основы при его проектировании и строительстве. Прочность постройки взаимосвязана с его геометрической формой, которая является для нее базовой. Самым прочным архитектурным сооружением является египетские пирамиды.Как математика помогает планировать архитектурные объекты При составлении плана здания наиболее часто решаются геометрические задачи о разбиении многоугольника на части. При решение таких задач применяется понятие масштаб. Масштаб позволяет наблюдать фигуру с разных сторон.Золотое сечение Архитектор М. Казаков довольно часто в своем творчестве использовал золотое сечение. Архитектурный шедевр Москвы - дом Пашкова – является одним из выдающихся произведений архитектора В.Баженова. Наружный вид дома выглядит почти без изменений, несмотря на то, что он сильно обгорел в 1812 годуВиды симметрии: В архитектуре часто используются разные виды симметрии. С греческого «Симметрия» означает «пропорциональность, соразмерность, одинаковость в расположении частей». Современные архитекторы из разных стран до сих пор используют в своей работе опыт старых мастеров: проверенные временем золотую пропорцию и симметрию.Антисимметрия Антисимметрия – это противоположность симметрии, ее отсутствие. Антисимметрией может являться Собор Василия Блаженного в Москве. В этом сооружении симметрия полностью отсутствует.Диссимметрия Диссимметрия – это частичное отсутствие симметрии, или изменение симметрии, выраженное в наличии одних симметричных свойств и отсутствии других. В современной архитектуре диссимметрию можно встретить в Екатерининском дворце в Царском селе под Санкт-Петербургом.Геометрия вокруг нас: У архитекторов есть фигуры, которые являются основными составляющими многих сооружений и имеют определенную геометрическую форму. Купола – полусфера, колонны – цилиндры или просто часть сферы, ограниченная плоскостью, шпили – пирамиды или конусы.Спасская башня Московского кремля В Спасской башне Московского кремля можно наблюдать прямой параллелепипед, который служит основанием, переходящий в средней части в фигуру, которая похожа на цилиндр, завершается же башня пирамидой. Круги – циферблаты курантов; шар – основание для крепления рубиновой звезды.Клуб имени И.В.Русакова Здание клуба имени И.В.Русакова в Москве. Построено в 1929 г. по проекту архитектора К.Мельникова. Базовая часть здания имеет прямую невыпуклую призму.Пирамида Хеопса Геометрическая форма сооружения настолько важна, что бывают случаи, когда в имени или названии здания закрепляются названия геометрических фигур. Усыпальница египетского фараона – Пирамиды Хеопса ( названа в честь геометрической фигуры)Нужны ли математические знания в архитектуре? Как вы считаете, есть ли взаимосвязь математики и архитектуры? 10% 30% 20% 50% Да Нет Не знаю Да Нет Не знаю 70% 20%Помогает ли математика добиться прочности сооружения? 20% Может ли математика помочь архитектуре с планированием объекта? 30% 30% 40% Да Нет Не знаю Да Нет Не знаю 40% 40%Выводы: В результате проделанной работы выяснилось, что математика и архитектура перекликаются между собой. Для разных архитектурных стилей характерен определенный набор различных геометрических фигур и их отдельных элементов. С развитием строительных технологий возможности применения геометрических форм расширяются. Мы провели исследование среди студентов 1 курса и узнали следующие моменты: 50% ребят считают, что математические знания нужны в архитектуре; 20% считают, что математика помогает добиться прочность сооруженийЛитература: 1. А.В. Волошинов. Математика и искусство. М.: Просвещение. 2000. 2. А.В. Иконников. Художественный язык архитектуры. М: Стройиздат. 1992. 3. И.М. Шевелёв, М.А. Марутаев, И.П. Шмелёв. Золотое сечение. М.: Стройиздат. 1990. 4. Захидов П.Ш. Основы гармонии в архитектуре. – Ташкент: Фан, 1982. – 163 с. 5. Фейнберг Е.Л. Две культуры. Интуиция и логика в искусстве и науке. – Фрязино: «Век 2», 2004,

ppt-online.org

Исследовательский реферат по теме Математика в архитектуре

Исследовательский реферат по теме «Математика в архитектуре» Цель исследовательского реферата: проанализировать проявление математики в архитектуре и выяснить, как она проявляется в постройках разных культур и в частности в зданиях города Боготола. Методы проведенных исследований: анализ и синтез, методы аналогии и моделирования. Основные результаты научного исследования: выявлено проявление математики в архитектуре разных культур, и в частности в постройках г. Боготола; доказано, что во всех древних постройках, сохранившихся до наших дней, обязательно имеется проявления различных пропорций. Введение: В современном мире большинство архитектурных построек являются однотипными: они представляют собой здания в форме прямоугольного параллепипеда. Но встречаются и такие постройки, в которых применяются разнообразные геометрические формы, математические отношения и симметрия. При этом если мы посмотрим на памятники древней архитектуры, то обязательно увидим, что в них вся структура здания построена на основе сложных математических расчетов, которые, как мне кажется, придают им не только красоту, но и устойчивость, ведь не зря до нас доходят очень старые архитектурные шедевры древности, которые достаточно сильно сопротивляются вредным воздействиям окружающей среды. В современном обществе архитекторы уже начали понимать вышесказанное и ведутся разработки в данном направление. В моей работе будет затронута проблема, которая заключается в выявление того, как и в каких зданиях проявляются геометрические формы, математические отношения, симметрия. Стоит заметить, что данная проблема рассматривается исследователями уже сравнительно давно. К работам на данную тему можно отнести следующие издательства: А.В. Волошинов «Математика и искусство»; И.М. Шевелев, М.А. Марутаев, И.П. Шмелев «Золотое сечение»; Васютинский Н. А. «Золотая пропорция»; Бартенев И. А. «Конструкция и форма в архитектуре»; Смолина Н.И. « Традиции симметрии в архитектуре» и т.д. Моя же работа отличается от всех выше перечисленных тем, что в ней весь материал по данной теме собран и обобщен в один небольшой по размерам реферат. Кроме того, у меня рассматривается еще и проявление математики в архитектуре моего родного города Боготола. Основное содержание: Для решения данной проблемы, я поставил перед собой следующую цель: проанализировать проявление математики в архитектуре и выяснить, как она проявляется в постройках разных культур и в частности в зданиях города Боготола. Чтобы достичь ее мне пришлось решить следующие задачи: 1) Просмотреть материал по данной теме; 2) Выбрать главное из него; 3) Обобщить все наработки по этому материалу; 4) Посмотреть, как математика проявляется в архитектуре г. Боготола 5) Написать работу и сделать выводы. Разнообразие геометрических форм египетских пирамид: самыми известными представителями египетской архитектуры являются их пирамиды. В этих зданиях формы и размеры были выбраны не случайно. Каждая их деталь, каждый элемент формы выбирались тщательно и должны были продемонстрировать высокий уровень знаний создателей пирамид. Правильная четырехгранная пирамида является одной из хорошо изученных геометрических тел, символизирующих простоту и гармонию формы, олицетворяющую устойчивость, надежность, устремление вверх. Среди египетских пирамид самой большой является пирамида Хеопса. (Рис.2, Приложение 1)[2] Разнообразие геометрических форм в Древнегреческом зодчестве: Великолепные памятники архитектуры оставили нам зодчие Древней Греции. И среди них первое место по праву принадлежит Парфеному (Рис.1, Приложение 1). Геометрия архитектуры храма очень не простая – в ней почти нет прямых линий, поэтому определение его размеров очень затруднено. Кроме того его поверхности не прямые, а слегка изогнутые. Зодчие Греции знали, что строго горизонтальные линии и плоскости наблюдателю издалека представляются изогнувшимися в середине. Чтобы компенсировать этот «оптический обман», они намеренно деформировали геометрические формы. Так, например, поверхность ступней Парфенома постепенно, незаметно для глаза, повышается от краев к середине. Колонны Парфенона тоже не строго вертикальные, а слегка наклонены внутрь здания, так что оси угловых колонн должны пересекаться на большой высоте. Кроме того, они не все одинаковой величины, несколько различаются и расстояния между ними. Угловые колонны сделаны более толстыми, чем остальные, но на светлом фоне они кажутся несколько тоньше. Колоны второго ряда - портики Парфенона - меньше, чем колонны внешнего, вследствие чего они кажутся стоящими глубже. Все эти отклонения от правильных геометрических форм и соотношений незаметны и представляются незначительными. Но именно они придают сооружению цельность, пластичность, предельную гармоничность и ни с чем несравнимую красоту. Колоны разделены вертикальными желобками, которые подчеркивают вертикальность, стройность колонн, а желобки увеличивают светоносность мрамора, «вводят пространство в объём колонн». Оказывается колонна Парфенона идеально равнопрочная. В каждом ее сечение напряжения обеспечивают одинаковый запас прочности. Наверху колонна тоньше, к низу расширяется ровно на столько, чтобы компенсировать увеличение нагрузки за счет веса колонны. Причем это утолщение происходит неравномерно – к середине высоты образуется как бы некоторая «припухлость», плавное утолщение. В результате этого при взгляде на колонны, кажется, что они словно пружинят под нагрузкой: зритель наглядно чувствует то напряжённое состояние, в котором находится колонна, «работающая на сжатие».[2] Разнообразие геометрических форм в Старославянской архитектуре: Шедеврами архитектуры являются многие русские храмы, которые строились на протяжении многих веков. К таким произведениям можно отнести церковь Покрова на Нерли (Рис.3, Приложение 1), которая считается наиболее совершенным творением владимирских зодчих. Для храма Покрова характерно спокойное равновесие, основанное на симметрии и в то же время – удивительная легкость, устремленность ввысь. Создается впечатление невесомости храма, парящего над поймой реки. В основание композиции лежит крестовокупольная схема. Вертикальное членение храма преобладает над горизонтальным. Узкие окна подчеркивают устремленность храма ввысь. Строение завершено стройной, слегка приподнятой на прямоугольном постаменте главой со шлемовидным покрытием. Также к шедеврам русской архитектуры относится и собор Покрова в Казани (Рис. 4, Приложение 1). Для композиции построек собора характерно содержания большого количества различных геометрических «неправильностей». Так, центральный объем шара смещен на 3 метра к западу от геометрического центра всей композиции. Однако эта неточность делает композицию более живописной.[4] Разнообразие геометрических форм в Европейской архитектуре: К шедеврам Европейской архитектуры, относительно их геометрических форм, можно отнести большинство современных зданий. Например, центральный офис корпорации «Херст» (Рис. 5, Приложение 2) в Нью-Йорке. Это здание состоит из стеклянных блоков, которые представляют собой правильные треугольники. А они, в свою очередь, составляют правильные шестиугольники. Другим представителем Европейской архитектуры является центральный офис «Свисс Ре» в Лондоне (Рис. 6 Приложение 2). Он состоит из ромбовидных стеклянных панелей разных оттенков, которые, в свою очередь, состоят из меньших по площади ромбов. Все ромбы образуют спирали. Следующим шедевром архитектуры Европы является центральная башня в Токио (Рис.7, Приложение 2). Это двадцатиэтажное здание, хорошо вписывающееся в архитектурную среду города, но при этом имеющее собственный характер. В структуре дома хорошо просматриваются, некоторые геометрические фигуры: трапеции, треугольники и прямоугольники. Это здание состоит из двух башен. Из-за того что здание построено из стекла, минимального количества бетона и железных перекрытий, в самое сердце попадает свет. Таким образом, создается контраст глухой поверхности стен и мягких лучей света, что очень любят японцы. Банк в Гонконге - это тоже шедевр архитектуры (Рис. 8, Приложение 2). В этом здании присутствует симметрия и равнобедренные треугольники. Центр Микроэлектроники (Рис 9, Приложение 3) это тоже шедевр Европейского зодчества. Он имеет цилиндрическую форму. Так же здание симметрично. И последним нами рассмотренным зданием является пожарная часть компании-производителя дизайнерской мебели Vitra (Рис. 10, Приложение 3). Это здание состоит из прямоугольных трапеций.[7] Золотое сечение — деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине. Оно выражается в виде иррационального числа 1, 618033…, которое называют золотым числом.[3] Золотое сечение в архитектуре древнего Египта: золотое сечение мы можем наблюдать в самой большой Египетской пирамиде - пирамиде Хеопса (Рис.11, Приложение 3). Отношение сторон в треугольнике OMN пирамиды равно: OM/ON = 1,618 = Ф, OM/MN = ON/OM = 1.272. Как видно, отношение длины апофемы боковой грани к половине стороны ее основания отвечает золотой пропорции. Два других отношения равны корню квадратному из золотой пропорции. Можно предполагать, что основным исходным элементом геометрии пирамиды Хеопса является треугольник в ее вертикальном сечение, в котором отношение катетов равно отношению гипотенузы к большему катету и равно 1,272, а отношение гипотенузы к малому катету равно золотой пропорции 1,618. Существует только один треугольник с таким отношением сторон, которое отвечает геометрической прогрессии. Если обозначить стороны такого треугольника буквами x, y, z, то получим следующее равенство: (z/x)2=1 + z/x, а так как отношение сторон z/x в этом треугольнике равно Ф, то есть золотой пропорции, то получим в итоге простую по-своему красивую зависимость Ф2=Ф+1. Есть основание утверждать, что египетские архитекторы заложили в форму пирамиды Хеопса именно этот замечательный треугольник, основанный на золотой пропорции.[2] Золотые пропорции в Древнегреческом зодчестве: Золотые пропорции также лежат и основе древнегреческого храма Парфенома (Рис. 12, 13; Приложение 4).Фасад Парфенома вписан в прямоугольник со сторонами 1:2, а план образует прямоугольник со сторонами 1 и корень из 5. Известно, что диагональ прямоугольника 1:2 имеет размер корень из 5, следовательно, прямоугольник фасада и является исходным в построении геометрии Парфенона. Ширина Парфенона оценена в 100 греческие футов (3089 см), а размер высоты несколько варьируется у различных авторов. Так, по данным Н. И. Бруно, высота Парфенона 61.8, высота трех ступеней основания и колонны 38.2, высота перекрытия и фронтона 23.6 футов. Указанные размеры образуют ряд золотой пропорции: 100:61.8 = 61.8:38.2 = 38.2:23.6 = Ф. Многие исследователи, стремившиеся раскрыть секрет гармонии Парфенона, искали и находили в соотношении его частей золотую пропорцию. В работе В. Смоляка, посвященной изучению пропорций Парфенома, установлен закономерный ряд золотых пропорций. Приняв за единицу ширину торцового фасада храма, Б. Смоляков поучил прогрессию состоящую из 8 членов ряда: 1:ф:ф2:ф3:ф4:ф5:ф6:ф7, где ф=0,618. Указанным членам ряда отвечают основные пропорции фасада Парфенона, приведенные Н. И. Бруно. Приведенная Б. Смоляком схема пропорций Парфенона подкупает своей простотой, цельностью, связью с золотой пропорцией. Но не менее интересен и подход И. Шевелева, который увидел реализацию в Парфеноне двух эталонов длинны 1 и корень из 5. Пропорции 1 и корень из 5 отвечают прямоугольнику со сторонами 1:2 и являются основным соотношением частей Парфенона. Следует отметить, что в пропорциях храма, указанных И. Шевелевым, также содержится золотая пропорция, например, в соотношение высоты фасада со ступенями (1557,4 см) и высоты колон (957,4 см): 1557,4/957,4=1,627. Не следует забывать, что величина корень из 5 лежит в основе золотой пропорции, является его сердцевиной, следовательно, связь пропорции ф и корень из 5 вполне естественна.[2] Золотое сечение в Старославянской архитектуре: Расчет размеров Успенской Елецкой церкви в Чернигове (Рис. 14, 15; Приложение 4) позволил выявить, что композиционный замысел целиком связан с золотым сечением. Длина храма относится к ширине, также как и ширина храма к длине ядра, в отношении золотого сечения. В данной пропорции находятся и многие другие конструктивные размеры элементов и частей церкви (Рис. 16, Приложение 5). [1]Знаменитый русский архитектор М.Ф.Казаков тоже широко использовал в своем творчестве золотое сечение. Например, его можно встретить в архитектуре здания бывшего сената в Кремле, Дворца в Петровском Алабине и Голицынской больницы в Москве, которая в настоящее время называется Первой Клинической больницей имени Н.И.Пирогова. Еще один архитектурный шедевр Москвы - дом Пашкова (Рис. 17, Приложение 5) - является одним из наиболее совершенных произведений архитектора В. Баженова. О своем любимом искусстве он говорил: "Архитектура - главнейшие имеет три предмета: красоту, спокойствие и прочность здания. К достижению сего служит руководством знание пропорции, перспективы, механики или вообще физики, а всем им общим вождем является рассудок".[6] Интересна история реконструкции Великой Печорской церкви. Построенная в 1073 году, эта церковь была разрушена фашистами в годы войны. Однако, используя сохранившееся свидетельство и сопоставляя основные размеры Печерской церкви с Елецкой церковью в Чернигове, все древние части которой сохранились, удалось осуществить реконструкцию объёмов Печерской церкви. Установлено, что основой пропорционального строя Печерской церкви является отношение 2/√5, которое хорошо видно на фасаде и разрезе реконструкции размерной структуры церкви (Рис. 18, приложение 6). Отношение 2/√5 также можно выразить через золотую пропорцию, что свидетельствует о её связи с основными размерами церкви. Храм Василия Блаженного в Москве - это еще один пример, показывающий, насколько органично золотое сечение входит в архитектурные пропорции (Рис. 19, приложение 7) За «целое» а=1 принята высота храма. Пропорции храма определяются восемью членами ряда золотого сечения:1, ф, ф2 ,ф3 ,ф4 ,ф5 ,ф6 ,ф7. Многие из членов ряда неоднократно повторяются в пропорциях этого затейливого архитектурного сооружения, но всегда благодаря свойству золотого сечения, части сойдутся в целое, т.е. ф +ф2=1,ф2+ф3=ф и т.д. Таким образом, свойство золотого сечения делает эту геометрическую пропорцию единственной и неповторимой. В селе Коломенском, на крутом берегу Москвы – реки, в 1532 году, было завершено строительство церкви, поставленной в памяти об рождение здесь Ивана Грозного. Зодчие будто предвидели рождение небывало грозного царя: церковь тоже была небывалой. В ней все: и высота (почти 62 м), и каменный шатер, и устремленная ввысь форма – была невиданными. Новый храм словно символизировал прорыв России в свободное от татарского ига будущее. Весь пропорциональный строй церкви, все ее безудержное стремление ввысь как нельзя более соответствовали названию – храм Вознесения (Рис 20, Приложение 7). Но для нас храм Вознесения интересен еще и тем, что он является не только гимном расправляющей крылья России, но и архитектурным гимном геометрии. Ни один из рассмотренных архитектурных шедевров, в том числе и Парфенон, не пронизан настолько геометрией, как храм Вознесения в селе Коломенском. Соразмерность храма с предельной ясностью определены двумя парными мерами: горизонтальной – малой саженью Ст и косой новгородской саженью Ки (Ст :Ки=1: корень из 2), вертикальные – малой саженью Ст и мерной саженью См, дающее золотое сечение.[2] Зеркальная симметрия: Простейший вид симметрии - зеркальная симметрия, симметрия левого и правого. В этом случае одна половина формы является как бы зеркальным отражением другой. Воображаемая плоскость, делящая форму на две равные части, называется плоскостью симметрии. Плоскость симметрии в произведениях архитектуры, как правило, вертикальна, так же как вертикальна плоскость симметрии тела человека. В горизонтальной проекции строго дисциплинируется расположение частей здания и его деталей, по вертикали развивается свободное и разнообразное чередование элементов и их частей. На ортогональных чертежах - фасаде, плане, разрезе - плоскость симметрии изображается линией - ее часто называют осью симметрии. Однако собственно центрально-осевая симметрия - это симметрия относительно вертикальной оси, линии пересечения двух (или большего числа) вертикальных плоскостей симметрии. Сооружение при этом состоит из равных частей, которые могут совмещаться при повороте вокруг оси симметрии. Зеркальной симметрии подчинены постройки Древнего Египта и храмы античной Греции, амфитеатры, термы, базилики и триумфальные арки римлян, дворцы и церкви Ренессанса, равно как и многочисленные сооружения современной архитектуры. Симметрия объединяет композицию. Расположение главного элемента на оси подчеркивает его значимость, усиливая соподчиненность частей. Каждая деталь в симметричной системе существует как двойник своей обязательной паре, расположенной по другую сторону оси, и благодаря этому она может рассматриваться лишь как часть целого. Значение общего здесь снижает действенность отдельных элементов. Главной оси, объединяющей всю композицию, могут сопутствовать подчиненные оси, определяющие симметрию частей. Характерный пример много осевой симметрии - здание Главного адмиралтейства в Санкт-Петербурге (Рис. 21,Приложение 8). Башня и арка главного въезда здесь отвечают оси всей композиции; оси второго порядка, объединяющие крылья, выделены большими портиками; осям крыльев подчинены оси малых портиков. Симметричны и части, связывающие крылья с центром, и ризалиты крыльев. Своей вертикальной оси подчинена, и форма наименьшей самостоятельной части композиции - фрагмента стены, включающего оконные проемы трех этажей. Равные элементы здесь или сливаются в единство ряда, или подчинены господству главного элемента. Благодаря этому равенство частей ни в чем не нарушает целостности. Заметим, что на осях симметрии располагаются именно проемы, а не колонны или простенки (т.е. количество колонн в портиках является четным, а количество проемов - нечетным). В противном случае входы пришлось бы расположить по сторонам простенка, занимающего ось симметрии; возникла бы «двойственность» системы, ослабляющая единство целого. Стремление избежать этого определяет неизменность четного числа опор в колоннадах и портиках классической архитектуры. Нечетное число их делали только там, где хотели ослабить центральный акцент, создаваемый симметрией, например, в боковых колоннадах Пропилеи, обрамляющих проход на Акрополь (Рис. 22, приложение 8) в Афинах. Подчеркнутый центр этих колоннад нарушал бы плавкость непрерывного движения, которое они должны были обрамлять. Центрально-осевая симметрия реже использовалась в истории архитектуры. Ей подчинены античные круглые храмы и построенные в подражание им парковые павильоны классицизма. Темпьетто во дворе церкви Сан-Пьетро в Риме (Рис. 23, Приложение 8) отвечает законам центрально-осевой симметрии. Центрально-осевая симметрия определяет также форму некоторых архитектурных деталей - например, колонн и их капителей. Необычно использовал законы симметрии смог Мельников в конкурсном проекте Дворца Советов в Москве (Рис. 24, Приложение 9). Форма его плана - круг. Равные части симметричного чашеобразного объема рассечены по диаметру вертикальной плоскостью и повернуты в этой плоскости на 180° по отношению одна к другой. Подобными экспериментами К. Мельников опроверг представление о симметрии как элементарной закономерности, возможности которой общеизвестны. К редко используемым зодчеством видам симметрии относится и винтообразная. Она издавна применялась для элементов здания - винтовых лестниц и пандусов, витых стволов колонн. Попытку использовать ее для организации крупной части здания сделал американский архитектор Ф.Л. Райт. Экспозиционный корпус построенного по его проекту музея Гуггенхайма (Рис.25, Приложение 9) сформирован несколькими витками железобетонной пологой спирали, образующей своеобразную галерею - пандус. Винтообразная симметрия использована при создании освещения залов Государственной Думы.[8] Диссимметрия: Абсолютная симметрия в крупных и сложных сооружениях, строго говоря, невозможна. Сложность функциональных систем вызывает частичные отклонения от основной, определяющей характер композиции симметричной схемы. Нарушенную, частично расстроенную симметрию мы называем диссимметрией. Обычно отклонения от точной симметрии в архитектуре вызываются практической необходимостью, тем, что многообразие функций не укладывается в пределы жестких закономерностей симметрии. Иногда такие отклонения дают основу острого эмоционального эффекта. Уничтожение даже мелкой детали в симметричной композиции немедленно нарушает равновесие и порождает напряжение во всей системе. Любое отклонение становится привлекающим внимание и беспокоящим акцентом. Такое воздействие нарушенной симметрии может быть использовано как художественное средство. Размещение восьмигранной часовни в одном из углов здания сломало строгую симметричность дворца Карла V в Гранаде (Рис.26,Приложение 9), одного из первых сооружений архитектуры Возрождения в Испании. Рассудочная холодность композиции преодолена этой «вольностью». Диссимметрию в композицию Санта-Мария-дель-Фьоре (Рис.27 ,Приложение 10) во Флоренции внесла колокольня. Свободное расположение деталей в пределах симметричной схемы обычно для русского народного зодчества и придает особенную привлекательность и индивидуальность его произведениям. Частично нарушенная симметрия, отвечающая сложности жизненных процессов и в то же время служащая художественным средством выражения этой сложности, часто встречается и в современной зарубежной архитектуре. Равенство частей, лежащих по сторонам плоскости симметрии, заменяется подобием их общих очертаний.[8] Асимметрия: С точки зрения математических понятий асимметрия - лишь отсутствие симметрии. Однако обширная категория приемов композиции отнюдь не покрывается этим негативным определением. В архитектуре - симметрия и асимметрия - два противоположных метода закономерной организации пространственной формы. Подчиненная собственным внутренним законам, асимметрия отнюдь не исчерпывается разрушением симметрии. Единство является целью построения асимметричной системы так же, как и симметричной, однако достигается оно иным путем. Тождество частей и их расположения заменяется зрительным равновесием. Асимметричные композиции в процессе развития архитектуры возникли как воплощение сложных сочетаний жизненных процессов и условий окружающей среды. Конкретные формы таких композиций вырастают как результат неповторимого сочетания факторов. Асимметрия поэтому индивидуальна, в то время как в самом принципе симметрии заложена общность, признак, связывающий все сооружения, имеющие симметрию данного типа. Соподчиненность частей - основное средство объединения асимметричной композиции. Соподчинение проявляется не только в соотношении размеров, расстановке силуэтных и пластических акцентов, но в направленности системы пространств и объемов к главным частям здания или ансамбля, расположение которых не совпадает с геометрическим центром. Асимметричная композиция может складываться из симметричных частей, связи между которыми не подчиняются закономерностям симметрии. Эрехтейон (Рис.28 ,Приложение 10) на Акрополе в Афинах относятся к числу наиболее гармоничных зданий с асимметричной композицией. Особенности его объемно-пространственного построения были вызваны и сложностью назначения - храм посвящен сразу двум божествам - Афине н Посейдону, и необходимостью поставить сооружение на точно определенном месте со сложным рельефом. Основной объем здания вытянут с востока на запад и завершен с восточной стороны шестиколонным портиком. К этому объему по сторонам западного фасада примыкают обращенный на юг портик Кариатида - вертикальная опора, которой придана форма женской фигуры, и глубокий четырехколонный портик, обращенный к северу, вместе формирующие ось, перпендикулярную оси симметрии главного объема. Соотношения сливающихся, взаимосвязанных пространств и объемов, формирующих эти пространства, определяют композицию системы площадей исторического центра Санкт-Петербурга. Асимметрия и здесь возникает из сочетания симметричных частей. Среднее звено этого гигантского ансамбля - Адмиралтейская площадь. Оси Дворцовой и Сенатской площадей, образующих крайние звенья системы, направлены к Неве, перпендикулярно оси связующей части. Главенство Дворцовой площади выявляется сложной формой ее пространства, часть которого обрамляет дугообразное в плане здание Главного штаба. Кульминационная точка ансамбля, пересечение главных его осей, закреплена вертикалью Александровской колонны. Осевые направления, которым подчинены пространства, закреплены ориентирами, намеченными в объемных формах. Ось, параллельную Неве, отмечают Александровская колонна и портик Конногвардейского манежа; ось Дворцовой площади закреплена аркой Главного штаба, колонной и центральным ризалитом Зимнего дворца; ось Сенатской площади, широко открытой к Неве, находит опору в мощном объеме Исаакиевского собора. Эти оси имеют значение главных линий ориентации, диктующих направление движения. Ось не является обязательным признаком симметрии или следствием симметричности построения. Оси - направления, соединяющие главные элементы композиции, - могут быть не только воображаемыми линиями, но и линиями движения. В плане исторического центра Санкт-Петербурга основными осями, имеющими значение линий ориентации, линий зрения и основных функциональных направлений, являются три магистрали, сходящиеся к башне Адмиралтейства. Они служили основой формирования обширной городской структуры, однако не предопределили ее полной симметричности. Ось, подчиняющая себе пространственную структуру, может быть и непрямолинейной. Такова ось композиции Акрополя в Афинах, имевшая два перелома - при выходе из Пропилеи и в геометрическом центре ансамбля. Ось, диктующая направление движения, должна иметь достаточно сильное зрительное завершение - как это сделано в композиции центра Санкт-Петербурга. Заметим, что мощность завершений определяется здесь не физической протяженностью осей, а их смысловой значимостью. Особенно решительно подчеркнута ось Дворцовой площади.[8] Боготольский вокзал (Рис.29 ,Приложение 11) относится к тем зданиям, в основу которых положено такое математическое явление, как симметрия. Если провести вертикальную ось посередине здания, то мы можем заметить, что обе половины полностью идентичны. Часовня Татьяны Мученицы (Рис. 30,Приложение 11). В основе этой часовни также лежит горизонтальная симметрия. Кроме того нашему вниманию бросаются в глаза чрезвычайно обычные геометрические формы. В основание этой часовни лежит прямоугольник. Основная часть часовни состоит из куба. Кроме того основная часть этой часовни построена на основе «золотого сечения»: высоту сруба с фундаментом будем считать за «X», а высоту крыши без креста за «Y». Отношение X к Y= отношению X+Y к X и примерно равно 1.6. Церковь Николая Чудотворца (Рис. 31,Приложение 12). В этом здание проявляется вертикальная симметрия. Кроме того если мы рассмотрим высоты данного здания, то мы можем заметить, что в основу данного здания положено «золотое сечение». Отношение N к M примерно равно отношению M +N к N и примерно равно 1.6, то есть золотому числу. Дом культуры железнодорожников: (Рис32 ,Приложение 12). На первый взгляд фасад этого здание симметричен. Но, обратив внимание на статуи, находящиеся в верхней части композиции, можно заметить, что они не идентичны, а, следовательно, этот шедевр архитектуры ассиметричен. Заключение: в заключение мне бы хотелось сказать, что архитектура и математика взаимосвязаны между собой. Нельзя представить не одного здания, в котором не применялись бы геометрические формы, пропорции, различные виды симметрии. Архитектура без математики невозможна. Кроме того стоит заметить, что не одно великое сооружение древних времен, сохранившееся до наших дней, не обходится без применение различных пропорций, таких как «золотое сечение», которые предают сооружениям не только красоту, но и устойчивость, и прочность. Выше сказанное можно подтвердить следующим: все исторически дошедшие до нас шедевры древнего зодчества, достаточно сильно сопротивляются отрицательным воздействиям окружающей среды. Список используемой литературы: 1) А. В. Волошинов «Математика и искусство» 2) Н. Васютинский «Золотая пропорция» 3) Интернет энциклопедия Википедия 4) Застывшая музыка русских храмов http://vptk.narod.ru/seminar6/musika.html 5) геометрия в архитектуре древнерусского зодчества http://t2012.ru/blog/geometrija_v_arkhitekture_drevnerusskogo_zodchestva/2010-05-26-3323 6) Золотое сечение http://pages.marsu.ru/iac/resurs/gorelysheva/8.html 7) Геометрия в современной архитектуре http://lib.znate.ru/docs/index-231089.html 8) Симметрия в архитектуре http://otherreferats.allbest.ru/construction/00098382_0.html Приложение 1 31210253205480Рисунок 2 Пирамида Хеопса Рисунок 2 Пирамида Хеопса 3390903223895Рисунок 1 Парфенон 0Рисунок 1 Парфенон

32816803246755Рисунок 4 Собор Покрова в Казани 0Рисунок 4 Собор Покрова в Казани

28130536195Рисунок 3 Церковь Покрова на Нерли 0Рисунок 3 Церковь Покрова на Нерли

Приложение 2 863602866390Рисунок 5 Центральный офис корпорации "Херст" 00Рисунок 5 Центральный офис корпорации "Херст" 32810452893060Рисунок 6 Центральный офис "Свисс Ре" 00Рисунок 6 Центральный офис "Свисс Ре"

35394902911475Рисунок 8 Банк в Гонконге Рисунок 8 Банк в Гонконге 2908302912110Рисунок 7 Центральная башня в Токио 0Рисунок 7 Центральная башня в Токио lefttop0

Приложение 3 35782253265805Рисунок 10 Пожарная часть 00Рисунок 10 Пожарная часть 4959353263265Рисунок 9 Центр Микроэлектроники 0Рисунок 9 Центр Микроэлектроники

Рисунок 11 Отношения в пирамиде Хеопса

Приложение 4

Рисунок 12 Отношение в Парфеноне Рисунок 13 Размеры Парфенона

Рисунок 14 Проявление отношений в Елецкой церкви Рисунок 15 Елецкая церковь (внешне) Приложение 5

Рисунок 16 Пропорции в размерах Елецкой церкви

Рисунок 17 Дом Пашкова

16446505697855Рисунок 18 Размеры и отношения их в Печорской церкви 0Рисунок 18 Размеры и отношения их в Печорской церкви 85725298450Приложение 6Приложение 7

Рисунок 19 храм Василия Блаженного

Рисунок 20 Храм Вознесения Приложение 8

Рисунок 21 здание Главного Адмиралтейства в Санкт-Петербурге

Рисунок 22 Акрополь Рисунок 23 Темпьетто во дворе церкви Сан-Пьетро Приложение 9

Рисунок 24 проект Дворца Советов Рисунок 25 музея Гуггенхайма

Рисунок 26 дворец Карла V в Гранаде Приложение 10

Рисунок 27 Санта-Мария-дель-Фьоре

Рисунок 28 Эрехтейон

Приложение 11

Рисунок 29 Боготольский вокзал

Рисунок 30 Часовня Татьяны мученицы Приложение 12

Рисунок 31 Церковь Николая Чудотворца

Рисунок 32 Дом культуры железнодорожников

weburok.com