Контрольная работа по теме «Вычисление производных «10 класс (разноуровневые)
Алгебра 10 класс.
Контрольная работа №2. по теме « Вычисление производных»
Вариант 1.
1.Найдите производные функций f(x), если
a) f(x) =6х10-1; б) f(x) = 12 х7+ 17х3; в) f(x) =11х6 +5 х -24 – 2х3;
г) f(x) =(3x-14)∙(3х2 +5)
д) f(x)= -3 sin(5х-6) + 12х2; e); ж) ; з)
2.Найдите производные функции f(x) и вычислите их значения при х = 1 и х =0
a) f(x)=( 3х -2)7 ; б) f(x)=( 6-4х)11; в).
3. Тело, масса которого 63 кг, движется прямолинейно по закону S(x) = 25х-2х2. Рассчитайте силу, действующую на тело и кинетическую энергию через 3 секунды.
Алгебра 10 класс.
Контрольная работа №2. по теме « Вычисление производных»
Вариант 2.
1.Найдите производные функций f(x), если
a) f(x) =4х7-13; б) f(x) = 5 х12+ 12х6; в) f(x) =14х3 +5 х -12 – 2х8;
г) f(x) =(9x-4)∙(8х2 +3)
д) f(x)= -2 cos(7х-1) + 9х2; e); ж) ; з)
2.Найдите производные функции f(x) и вычислите их значения при х = 1 и х =0
a) f(x)=( 4х -5)6 ; б) f(x)=( 3-2х)21; в).
3. Тело, масса которого 35 кг, движется прямолинейно по закону S(x) = 12х+5х2. Рассчитайте силу, действующую на тело и кинетическую энергию через 3 секунды.
Алгебра 10 класс.
Вариант 3.
1.Найдите производные функций f(x), если
a) f(x) =15х8-7; б) f(x) = 45 х9+ 17х3; в) f(x) =4х6 +7 х -12 – х3;
г) f(x) =(4x-11)∙(х2 -5)
д) f(x)= 5 sin(5х-8) + 13х2; e); ж) ; з)
2. Найдите производные функции f(x) и вычислите их значения при х = 1 и х =0
a) f(x)=( 7х -5)3 ; б) f(x)=( 9+4х)15; в).
3. Тело, масса которого 12 кг, движется прямолинейно по закону S(x) = 49х+2х
Алгебра 10 класс.
Контрольная работа №2. по теме « Вычисление производных»
Вариант 4.
1.Найдите производные функций f(x), если
a) f(x)=х7-13х5+24х2+102; б) f(x) = 4х7+ 9х3; в) f(x) =19х3 +6 х -9 – 4х15;
г) f(x) =(18x-1)∙(х2 +2)
д) f(x)= 5cos( 2X+1) + 4X2; e); ж) ; з)
2.Найдите производные функции f(x) и вычислите их значения при х = 1 и х =0
3. Тело, масса которого 72 кг, движется прямолинейно по закону S(x) = 56х-4х2. Рассчитайте силу, действующую на тело и кинетическую энергию через 3 секунды.
Алгебра 10 класс.
Контрольная работа №2. по теме « Вычисление производных»
Вариант 1.
1.Найдите производные функций f(x), если
a) f(x) =6х10-1; б) f(x) = 12 х7+ 17х3; в) f(x) =11х6 +5 х -24 – 2х
г) f(x) =(3x-14)∙(3х2 +5)
д) f(x)= -3 sin(5х-6) + 12х2; e); ж) ; з)
2.Найдите производные функции f(x) и вычислите их значения при х = 1 и х =0
a) f(x)=( 3х -2)7 ; б) f(x)=( 6-4х)11; в).
3. Тело, масса которого 63 кг, движется прямолинейно по закону S(x) = 25х-2х2. Рассчитайте силу, действующую на тело и кинетическую энергию через 3 секунды.
4. Составить уравнение касательных к графикам функций
а) в точке х0=2
б) в точке х0= -1
5. Определить, какой угол (тупой или острый) образует с положительным направлением оси
а)у=-х2-7х+8 в точке х0=1
б) в точке х0=2
в) в точке х0= -1
Алгебра 10 класс.
Контрольная работа №2. по теме « Вычисление производных»
Вариант 2.
1.Найдите производные функций f(x), если
a) f(x) =4х7-13; б) f(x) = 5 х12+ 12х6; в) f(x) =14х3 +5 х -12 – 2х8;
г) f(x) =(9x-4)∙(8х2 +3)
д) f(x)= -2 cos(7х-1) + 9х2; e); ж) ; з)
2.Найдите производные функции f(x) и вычислите их значения при х = 1 и х =0
a) f(x)=( 4х -5)6 ; б) f(x)=( 3-2х)21; в).
3. Тело, масса которого 35 кг, движется прямолинейно по закону S(x) = 12х+5х2. Рассчитайте силу, действующую на тело и кинетическую энергию через 3 секунды.
4. Составить уравнение касательных к графикам функций
а) в точке х0=2
б) в точке х0= -1
5. Определить, какой угол (тупой или острый) образует с положительным направлением оси х касательная к графику функции у=f(х), проведенная в точке с абсциссой х
а)у=-х2-6х+4 в точке х0=-1
б) в точке х0=8
в) в точке х0= 1
Алгебра 10 класс.
Контрольная работа №2. по теме « Вычисление производных»
Вариант 3.
1.Найдите производные функций f(x), если
a) f(x) =15х8-7; б) f(x) = 45 х9+ 17х3; в) f(x) =4х6 +7 х -12 – х3;
г) f(x) =(4x-11)∙(х2 -5)
д) f(x)= 5 sin(5х-8) + 13х2; e); ж) ; з)
2.Найдите производные функции f(x) и вычислите их значения при х = 1 и х =0
a) f(x)=( 7х -5)3 ; б) f(x)=( 9+4х)15; в).
3. Тело, масса которого 12 кг, движется прямолинейно по закону S(x) = 49х+2х2. Рассчитайте силу, действующую на тело и кинетическую энергию через 3 секунды.
4. Составить уравнение касательных к графикам функций
а) в точке х0=4
б) в точке х0= -1
5. Определить, какой угол (тупой или острый) образует с положительным направлением оси х касательная к графику функции у=f(х), проведенная в точке с абсциссой х0
а)у=-3х2-5х+7 в точке х0=1
б) в точке х0=2
в) в точке х0= 0
Алгебра 10 класс.
Контрольная работа №2. по теме « Вычисление производных»
Вариант 4.
1.Найдите производные функций f(x), если
a) f(x)=х7-13х5+24х2+102; б) f(x) = 4х7+ 9х3; в) f(x) =19х3 +6 х -9 – 4х15;
г) f(x) =(18x-1)∙(х2 +2)
д) f(x)= 5cos( 2X+1) + 4X2; e); ж) ; з)
2. Найдите производные функции f(x) и вычислите их значения при х = 1 и х =0
a) f(x)=( 5-6х)6 ; б) f(x)=( 1-х)21; в).
3. Тело, масса которого 72 кг, движется прямолинейно по закону S(x) = 56х-4х2. Рассчитайте силу, действующую на тело и кинетическую энергию через 3 секунды.
4. Составить уравнение касательных к графикам функций
а) в точке х0=2
б) в точке х0= -1
5. Определить, какой угол (тупой или острый) образует с положительным направлением оси х касательная к графику функции у=f(х), проведенная в точке с абсциссой х0
а)у=-3х2-5х+4 в точке х0=-1
б) в точке х0=5
в) в точке х0= 1
Проверочная работа по математике. Производная произведения и частного. 1 курс.
Материал опубликовалаПравила вычисления производной.
Вариант 1 | Вариант 2 |
Найдите производные функций: | |
1. | 1. |
2. | 2. |
3. | 3. |
4. | 4. |
5. | 5. |
Вариант 3 | Вариант 4 |
Найдите производные функций: | |
1. | 1. |
2. | 2. |
3. | 3. |
4. | 4. |
5. | 5. |
Вариант 5 | Вариант 6 |
Найдите производные функций: | |
1. | 1. |
2. | 2. |
3. | 3. |
4. | 4. |
5. | 5. |
Контрольные материалы для урока алгебры в 11 классе по теме «Производная»
Просмотр
содержимого документа
ЗАЧЕТНЫЕ МЕТЕРИАЛЫ ПО ТЕМЕ «ПРОИЗВОДНАЯ»
ВАРИАНТ 1
1.Найти производную для функций
2.Найти значение производной функции в точке x0=1 f(x)= x3-5x+1 g(x)= 2x3-3x2-2
3.Написать уравнение касательной к графику функции f(x)= x4-2x2+1 в точке x0=-1
4.
|
ВАРИАНТ 2
1.Найти производную для функций
2. f(x)= x3-4x+2 g(x)= 3x3-3x2-4
3.Написать уравнение касательной к графику функции f(x)= x4-2x2+1 в точке x0=2
4.Исследовать функцию и построить ее график f(x)= -2x3+6x-4
|
ВАРИАНТ 3
1.Найти производную для функций
2.Найти значение производной функции в точке x0=0 f(x)= 2x3-3x-2 g(x)= 5x3-4x2+6
3.Написать уравнение касательной к графику функции f(x)= 3x2-2x3+2 в точке x0=2
4.Исследовать функцию и построить ее график f(x)= 4x2-0,5x4
|
ВАРИАНТ 4
1.
2.Найти значение производной функции в точке x0=1 f(x)= x3-5x+1 g(x)= 2x3-3x2-2
3. в точке x0=1
4.Исследовать функцию и построить ее график f(x)= -4x2+0,5x4
|
ВАРИАНТ 5
1.Найти производную для функций
2.Найти значение производной функции в точке x0=2 f(x)= x3-4x+3 g(x)= 4x3-3x2-3
3.Написать уравнение касательной к графику функции f(x)= 3x4-6x2-4 в точке x0=-1
4.Исследовать функцию и построить ее график f(x)= 3x3-9x+6
|
ВАРИАНТ 6
1.
2.Найти значение производной функции в точке x0=2 f(x)= x3-3x-12 g(x)= 3x3-2x2+5
3. в точке x0=2
4.Исследовать функцию и построить ее график f(x)= 2x3-6x+4
|
ВАРИАНТ 7
1.Найти производную для функций
2.Найти значение производной функции в точке x0=1 f(x)= 4x3-3x+8 g(x)= 6x3-5x2-10
3.Написать уравнение касательной к графику функции f(x)= x2-2x3+1 в точке x0=2
4.Исследовать функцию и построить ее график f(x)= 8x2-x4
|
ВАРИАНТ 8
1.
2.Найти значение производной функции в точке x0=2 f(x)= x3-4x+5 g(x)= 0,5x3-3x2-4
3. в точке x0=-1
4.Исследовать функцию и построить ее график f(x)= 4x2-0,5x4
|
Контрольный Тест «Высшая математика» — математика, тесты
Перечень тестовых заданий:
- Числовой последовательностью называется…
а) бесконечная сумма чисел
б) множество слагаемых расположенных в порядке возрастания
в) бесконечное множество чисел, расположенных в определённом порядке одно за другим
г) множество чисел, расположенных в порядке возрастания
- Возрастающая последовательность – это…
а) множество слагаемых расположенных в порядке возрастания
б) последовательность, каждый последующий член которой больше предыдущего
в) множество чисел, расположенных в порядке убывания одно за другим
г) бесконечная сумма чисел
- Последовательность называется убывающей, если…
а) каждый последующий член её меньше предыдущего
б) каждое последующее слагаемое расположено в порядке убывания
в) каждый последующий член её больше предыдущего
г) каждое последующее слагаемое расположено в порядке возрастания
- Если для данной последовательности существует…, то такое число А называется пределом последовательности
а) число А, к которому n подходят как угодно близко
б) число А, к которому все числа подходят как угодно близко
в) число А, к которому числа при уменьшении n подходят как угодно близко
г) число А, к которому числа при увеличении n подходят как угодно близко
- Предел последовательности обозначается…
а) б)
в) г)
- Последовательность называется бесконечно – малой, если…
а) её предел равен бесконечности
б) её предела не существует
в) её предел равен нулю
г) её предел равен одному
- Последовательность называется бесконечно – большой, если…
а) её предел равен бесконечности
б) её предел равен сто миллионам
в) её предел равен нулю
г) её предел равен одному
- Произведение двух бесконечно – малых последовательностей есть последовательность
а) бесконечно – малая
б) бесконечно – большая
в) постоянная
г) каждый член, которой больше предыдущего
- Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть…
а) последовательность, каждый член которой равен нулю
б) последовательность бесконечно-большая
в) последовательность бесконечно-малая
г) последовательность, состоящая из постоянных величин
- Если последовательность () – бесконечно-большая, то…
а) последовательность – последовательность бесконечно-большая
б) последовательность — бесконечно-малая
в) последовательность =-1 – бесконечно-малая
г) последовательность – последовательность бесконечно-малая
- Функция имеет предел число А при х=а, если
а) при приближении х к 0 значение функции подходит как угодно близко к числуА
б) при приближении х к 0 значение функции подходит как угодно близко к числу 0
в) при приближении хказначение функции подходит как угодно близко к числу 0
г) при приближении хказначение функции подходит как угодно близко к числуА
- Предел постоянной величины…
а) равен 0
б) равен 1
в) равен этой же постоянной
г) равен бесконечности
- Предел суммы функции равен
а) сумме пределов функций
б) разности пределов функций
в) нулю
г) единице
- Постоянную величину…
а) нельзя вынести за знак предела
б) можно вынести за знак предела
в) можно отбросить
г) можно не учитывать
- Отношение пределов функций равно…
а) сумме пределов функций
б) нулю
в) единице
г) пределу отношений функций
- Выберите первый замечательный предел
а) б)
в) г)
- Выберите второй замечательный предел
а) б)
в) г)
- Производная функции по х называется…
а) предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда стремится к бесконечности
б) предел отношения приращения аргумента к приращению , когда стремится к нулю
в) предел отношения приращения аргументак приращению функции когда стремится к бесконечности
г) предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда стремится к нулю
- Процесс нахождения производной называется…
а) интегрированием
б) логарифмированием
в) потенцированием
г) дифференцированием
- Неопределённым интегралом называется выражение…
а) от функции f(x)
б) от функции f(x)
в) от функции f(x)
г)от функции f(x)
- Неопределённый интеграл обозначается…
а) б)
в) г)
- Определённым интегралом называется…
а) разница между начальным и конечным значением функции
б) приращение первообразной этой функции
в) интеграл отадов
г) приращение функции
- Определённый интеграл геометрически представляет собой…
а) прямоугольник маленьких размеров
б) треугольник средних размеров
в) площадь криволинейной трапеции
г) фигуру больших размеров
24) Какое из нижеприведенных свойств неопределенного интеграла не справедливо?
а)
б)
в)
г)
25) Предел произведения двух переменных определяется формулой: lim (x * y)=
а)lim х *lim у
б)у*lim х
в)х* у
г)х*lim у
26) Какие из приведенных обозначений являются обозначением производной функции
у= f(х)
а)у’
б)[у]
в)’у’
г)f ‘(x)
27) 13. Установите соответствие между функциями и их производными
sin x |
|
-sin x |
ln x |
|
cos x |
tg x |
|
|
cos x |
|
axln а |
ax |
|
|
28) Если а – бесконечно малая величина, то обратная ей величина …
а)равна 1
б)также бесконечно малая
в)равна 0
г)бесконечно большая
29) Какое из ниже приведенных соотношений соответствует понятию определенного интеграла?
а)
б)
в)
г)
30) Если у – бесконечно большая величина, то обратная ей величина …
а)также бесконечно большая
б)равна 0
в)равна 1
г)бесконечно малая
31) Установите соответствие в формулах интегрирования
32) Предел суммы двух переменных определяется формулой: lim (x + y)=…
а)lim х *lim у
б)х+у
в)lim х + lim у
г)lim х + у
33) Установите соответствие в правилах нахождения производных, при условии, что u и v — функции аргумента х:
(u * v)’ = |
|
= u’ + v’ |
= |
|
= u’v + uv’ |
(u + v)’ = |
|
|
34) Предел степени переменной определяется формулой: limхm =
а)(lim х)m
б)хm
в)m * х
г)m *lim х
35) Если последовательность () – бесконечно-малая, то…
а) последовательность – последовательность бесконечно-большая
б) последовательность — бесконечно-малая
в) последовательность =-1 – бесконечно-малая
г) последовательность – последовательность бесконечно-малая
36) Предел разности функции равен
а) сумме пределов функций
б) разности пределов функций
в) нулю
г) единице
37) Предел произведения функций равен…
а) произведению пределов функций
б) нулю
в) единице
г) пределу отношений функций
38) Пусть функция у=f(х) имеет производную у’ = f’(x). Производная f’(x) по х называется…
а)производной
б)интегралом
в)второй производной
г)дифференциалом
39) Как принято обозначать вторую производную?
а)у’’
б)[у]
в)”у”
г)f “(x)
40) Как называется в выражении
а) подынтегральная функция
б) подынтегральное выражение
в) надынтегральное выражение
г) надынтегральная функция
41)Площадь фигуры находится по формуле S= если
а) фигура лежит над осью ох
б) фигура лежит под осью ох
в) фигура расположена по обе стороны от оси ох
г)фигура ограничена двумя пересекающимися кривыми и двумя прямыми
42) Площадь фигуры находится по формуле S= если
а) фигура лежит над осью ох
б) фигура лежит под осью ох
в) фигура расположена по обе стороны от оси ох
г)фигура ограничена двумя пересекающимися кривыми и двумя прямыми
43) Площадь фигуры находится по формуле S= если
а) фигура лежит над осью ох
б) фигура лежит под осью ох
в) фигура расположена по обе стороны от оси ох
г)фигура ограничена двумя пересекающимися кривыми и двумя прямыми
44) Площадь фигуры находится по формуле S= если
а) фигура лежит над осью ох
б) фигура лежит под осью ох
в) фигура расположена по обе стороны от оси ох
г) фигура ограничена двумя пересекающимися кривыми и двумя прямыми
- Дифференциальным уравнением называется…
а) уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функциюи t` производные разных порядков
б) уравнение, содержащее переменныех и у
в) уравнение, содержащее производнуюпоу
г) уравнение, содержащее интеграл
- Решить дифференциальное уравнение любого порядка означает найти такую…, которая при подстановке обращала уравнение в верное тождество
а) переменную
б) функцию
в) производную
г) интегральную кривую
-
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида.
..
а) б)
в) г)
- Однородное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:
а) б)
в) г)
- Дифференциальное уравнение в частных производных имеет вид:
а) б)
в) г)
- Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными имеет вид:
а) б)
в) г)
- Бесконечным числовым рядом называется…
а) последовательность
б) выражение вида
в) разность
г) произведение
- Частичной суммой ряда называется…
а) бесконечное число слагаемых
б) сумма его первых n членов
в) сумму первого и последнего слагаемых
г) средняя сумма n его членов
- Ряд сходится, если…
a)б)
в) г)
- Ряд расходится, если…
а) в)
б) г)
- Если для ряда существует , то если – ряд сходится и если расходится, это…
а) признак Лейбница
б) признак Даламбера
в) признак Коши
г) интегральный признак сходимости
- Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, а общий член стремится к нулю гласит …
а) признак Лейбница
б) признак Даламбера
в) признак Коши
г) интегральный признак сходимости
- Знакочередующийся ряд – это ряд…
а)
б)
в)
г)
- Функциональный ряд – это ряд…
а)
б)
в)
г)
- Степенной ряд – это ряд…
а)
б)
в)
г)
Контрольные задания по высшей математике с решением
Выполняем контрольные работы по высшей математике в кратчайшие сроки с гарантией сопровождения до сдачи.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1.
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ…………………………………………………………6
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1……………..11
СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ, СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ…………………………………18
ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ ТОЧКИ И УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ…………24 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ…………………………………………………………..25
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2.
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ….29
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2 …………….33
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ…………38
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 3…………….43
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ …………………………………………………………………………….43
ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ……………………………………………………………………..43 ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ…………………………………………………………………………………………45 ФОРМУЛАТЕЙЛОРА………………………………………………………………………………………………..48 ПРАВИЛОЛОПИТАЛЯ………………………………………………………………………………………………50
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4.
ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ………………………………………………………………………………. 53
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 4…………….54
СХЕМА ПОЛНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ………………………………………………………………54 ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ………………………………………………………………………………………60
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5.
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ И ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ…………………………………………………………………………………62
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 5
ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ …………………………………………………………………67 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА………………………………………………..68
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ……………………………………………………….68
1.1 Интегрирование путём подведения под знак дифференциала………………………….68
1.2 Интегрирование подстановкой…………………………………………………………………….69 1.3 Интегрирование по частям………………………………………………………………………….70 1.4 Интегрирование рациональных функций……………………………………………………….72
1.5 Интегрирование тригонометрических функций…………………………………………….75
2.ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ…………………………………………………………………………………..77
2.1 Несобственные интегралы…………………………………………………………………………. .79
2.2 Вычисление площадей плоских фигур……………………………………………………………..82
2.3 Вычисление длины дуги плоской кривой………………………………………………………….85
Таблица производных, правила нахождения производных
Если – постоянная и , – функции, имеющие производные, то
1) Производная от постоянного числа равна нулю.
2) Производная от переменной равна единице
3) Производная суммы равна сумме производных
Пример 1.
Найдем производную функции
Задали объемную домашнюю работу или контрольную? Скоро важный зачет/экзамен? Нет времени на выполнение работы или подготовку к зачету/экзамену, но есть деньги? На сайте 100task.ru можно заказать решение задач, домашних работ, контрольных или онлайн-помощь на зачете/экзамене 〉〉
Если вам сейчас не требуется помощь, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт, вступайте в группу ВК.
4) Производная произведения постоянной на некоторую функцию равна произведению этой постоянной на производную от заданной функции.
Пример 2.
Найдем производную функции
5) Производная произведения функций
Пример 3.
Найдем производную функции
6) Производная частного:
Пример 4.
Найдем производную функции
или в других обозначениях:
Пример 5.
Найдем производную функции
Пример 6.
Найдем производную функции
Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции, то есть:
Применение предварительного логарифмирования функции иногда
упрощает нахождение ее производной.
Пример 7.
Найдем производную функции
Прологарифмируем заданную функцию:
Искомая производная:
Если для функции производная , то производная обратной функции есть
или в других обозначениях:
Пример 8.
Найдем производную , если
Имеем:
Следовательно:
Производная функции, заданной параметрически
Если зависимость функции и аргумента задана посредством параметра
то
или в других обозначениях:
Пример 9.
Найдем производную функции
Воспользуемся формулой:
Если зависимость между и задана в неявной форме
(*)
то для нахождения производной в простейших случаях достаточно:
1) вычислить производную по от левой части равенства (*), считая функцией от ;
2) приравнять эту производную к нулю, то есть положить:
3) решить полученное уравнение относительно
.
Пример 10.
Найдем производную функции
Вычисляем производную от левой части равенства:
Решаем уравнение относительно :
Искомая производная:
К оглавлению решебника по высшей математике 〉
2 \) равен нулю в точке \ (x = 0 \), но \ (f \) не имеет локального экстремума в точке \ (x = 0 \). Используя результаты из предыдущего раздела, теперь мы можем определить, действительно ли критическая точка функции соответствует локальному экстремальному значению. В этом разделе мы также увидим, как вторая производная предоставляет информацию о форме графика, описывая, изгибается ли график функции вверх или вниз.Первый производный тест
Следствие \ (3 \) теоремы о среднем значении показало, что если производная функции положительна на интервале \ (I \), то функция возрастает на \ (I \).С другой стороны, если производная функции отрицательна на интервале \ (I \), то функция убывает на протяжении \ (I \), как показано на следующем рисунке.
Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Обе функции увеличиваются в интервале \ ((a, b) \). В каждой точке \ (x \) производная \ (f ‘(x)> 0 \). Обе функции убывают на интервале \ ((a, b) \). В каждой точке \ (x \) производная \ (f ‘(x) <0. \)
Непрерывная функция \ (f \) имеет локальный максимум в точке \ (c \) тогда и только тогда, когда \ (f \) переключается с увеличения на уменьшение в точке \ (c \).Аналогично, \ (f \) имеет локальный минимум в \ (c \) тогда и только тогда, когда \ (f \) переключается с уменьшения на увеличение в \ (c \). Если \ (f \) — непрерывная функция на интервале \ (I \), содержащем \ (c \) и дифференцируемая над \ (I \), за исключением, возможно, точки \ (c \), единственный способ \ (f \) может переключаться с увеличения на уменьшение (или наоборот) в точке \ (c \), если \ (f ′ \) меняет знак, когда \ (x \) увеличивается на \ (c \). Если \ (f \) дифференцируем в \ (c \), то это единственный способ, которым \ (f ′ \). может менять знак при увеличении \ (x \) на \ (c \), если \ (f ′ (c) = 0 \).Следовательно, для функции \ (f \), непрерывной на интервале \ (I \), содержащем \ (c \) и дифференцируемой над \ (I \), за исключением, возможно, точки \ (c \), единственный способ \ ( f \) может переключаться с увеличения на уменьшение (или наоборот), если \ (f ‘(c) = 0 \) или \ (f’ (c) \) не определено. Следовательно, чтобы найти локальные экстремумы для функции \ (f \), мы ищем точки \ (c \) в области определения \ (f \) такие, что \ (f ‘(c) = 0 \) или \ (f ′ (C) \) не определено. Напомним, что такие точки называются критическими точками \ (f \).
Обратите внимание, что \ (f \) не обязательно имеет локальные экстремумы в критической точке.Критические точки являются кандидатами только в локальные экстремумы. На рисунке показано, что если непрерывная функция \ (f \) имеет локальный экстремум, он должен возникать в критической точке, но функция может не иметь локального экстремума в критической точке. Мы показываем, что если \ (f \) имеет локальный экстремум в критической точке, то знак \ (f ′ \) переключается, когда \ (x \) увеличивается через эту точку.
Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Функция \ (f \) имеет четыре критических точки: \ (a, b, c \) и \ (d \).Функция \ (f \) имеет локальные максимумы в точках \ (a \) и \ (d \) и локальный минимум в точках \ (b \). Функция \ (f \) не имеет локального экстремума в точке \ (c \). Знак \ (f ‘\) меняется на всех локальных экстремумах.
Используя рисунок, мы суммируем основные результаты, касающиеся локальных экстремумов.
- Если непрерывная функция \ (f \) имеет локальный экстремум, он должен возникать в критической точке \ (c \).
- Функция имеет локальный экстремум в критической точке \ (c \) тогда и только тогда, когда производная \ (f ′ \) меняет знак, когда \ (x \) увеличивается на \ (c \).
- Следовательно, чтобы проверить, имеет ли функция локальный экстремум в критической точке \ (c \), мы должны определить знак \ (f ′ (x) \) слева и справа от \ (c \).
Этот результат известен как тест первой производной .
Первый производный тест
Предположим, что \ (f \) — непрерывная функция на интервале \ (I \), содержащем критическую точку \ (c \). Если \ (f \) дифференцируема над \ (I \), за исключением, возможно, точки \ (c \), то \ (f (c) \) удовлетворяет одному из следующих описаний:
- Если \ (f ‘\) меняет знак с положительного, когда \ (x
c \), то \ (f (c) \) является локальным максимумом \ (f \ ). - Если \ (f ‘\) меняет знак с отрицательного, когда \ (x
c \), то \ (f (c) \) является локальным минимумом \ (f \) . - Если \ (f ‘\) имеет одинаковый знак для \ (x
c \), то \ (f (c) \) не является ни локальным максимумом, ни локальным минимумом \ ( е \)
Теперь давайте посмотрим, как использовать эту стратегию для поиска всех локальных экстремумов для определенных функций. 2−9x − 1.2−2x − 3) = 3 (x − 3) (x + 1) = 0. \]
Следовательно, критическими точками являются x \ (= 3, −1. \). Теперь разделим интервал \ ((- ∞, ∞) \) на меньшие интервалы \ ((- ∞, −1), (- 1, 3) \) и \ ((3, ∞). \)
Шаг 2. Поскольку \ (f ‘\) — непрерывная функция, для определения знака \ (f ′ (x) \) на каждом подынтервале достаточно выбрать точку на каждом из интервалов \ ((- ∞ , −1), (- 1,3) \) и \ ((3, ∞) \) и определяют знак \ (f ′ \) в каждой из этих точек. Например, давайте выберем \ (x = −2, x = 0, \) и \ (x = 4 \) в качестве контрольных точек.
Интервал | Контрольная точка | Знак \ (f ′ (x) = 3 (x − 3) (x + 1) \) в контрольной точке | Заключение |
---|---|---|---|
\ ((- ∞, −1) \) | \ (х = -2 \) | (+) (-) (-) = + | \ (f \) увеличивается.![]() |
\ ((- 1,3) \) | \ (х = 0 \) | (+) (-) (+) = + | \ (f \) увеличивается. |
\ ((3, ∞) \) | \ (х = 4 \) | (+) (+) (+) = + | \ (f \) увеличивается. |
Шаг 3. Поскольку \ (f ′ \) меняет знак с положительного на отрицательный, когда \ (x \) увеличивается до \ (1, f \), имеет локальный максимум в \ (x = −1 \). Поскольку \ (f ′ \) меняет знак с отрицательного на положительный, когда \ (x \) увеличивается через \ (3, f \), имеет локальный минимум в \ (x = 3 \). Эти аналитические результаты согласуются со следующим графиком. {2/3}}\) at Test Point»/>
Тест высшей производной — исчисление
В этой статье описывается тест, который можно использовать для определения того, дает ли точка в домене функции точку локального, конечного или абсолютного (глобального) максимума или минимума функция, и / или сузить возможности для точек, где встречаются такие максимумы или минимумы.
Посмотреть полный список таких тестов
В этой статье описывается вариант теста второй производной, который предназначен для исправления определенного дефекта, а именно: проверка второй производной не дает результатов для функции в критической точке, где вторая производная равна нулю.
Заявление
Для чего предназначен этот тест
Термин тест высшей производной или тесты высшей производной используется для небольшой модификации теста второй производной, который используется для определения того, является ли критическая точка для функции точкой локального максимума, локального минимума или ни одной из них. Тест высшей производной может помочь разрешить некоторые неубедительные случаи теста второй производной.
Что говорит тест
Предположим, что это функция и точка внутри области.Предположим, это критическая точка для типа где. Предположим далее, что существует такое натуральное число, что:
Другими словами, это первая производная с ненулевым значением от at.
Тогда мы имеем следующее:
Корпус по паритету | Ящик на знак | Вывод примерно на | Прототипный пример (слова) | Прототипный пример (рисунок) |
---|---|---|---|---|
даже | отрицательное | строгий локальный максимум (имитирует тест второй производной, где) | (в более общем виде можно принять как натуральное число, так и) | |
даже | положительный | строгий локальный минимум (имитирует тест второй производной, где) | (в более общем виде можно принять как натуральное число, так и) | |
нечетные | отрицательное | ни локальный максимум, ни локальный минимум.![]() | (в более общем виде можно принять как натуральное число, так и) | |
нечетные | положительный | ни локальный максимум, ни локальный минимум. Точка — это точка увеличения функции. Фактически, это тоже точка перегиба, хотя здесь это не имеет значения. | (в более общем виде можно принять как натуральное число, так и) |
Использованные факты
- Односторонняя версия теста высшей производной
Проба
Доказательство по существу следует из факта (1), который охватывает гораздо большее количество случаев.
Сопутствующие тесты
Сила испытания
Связь с тестом второй производной
Тест содержит тест второй производной в подслучае. Кроме того, в случае, если проверка второй производной окажется безрезультатной, возможно, что проверка на более высокую производную все равно будет окончательной. Таким образом, мы можем рассматривать его как модификацию теста второй производной, которая помогает устранить некоторые недостатки теста второй производной.
Обратите внимание, что фактическое применение теста старшей производной всегда начинается с с попытки использовать второй тест производной, поэтому для случаев, когда второй тест производной является окончательным, выполнение обоих тестов выглядит точно так же.
Простота использования
Основным преимуществом использования теста более высокой производной является то, что в тех случаях, когда он является убедительным, этот тест часто легче применять, чем тест первой производной. Это, в свою очередь, связано с тем, что для проверки требуется только вычисление формальных выражений для производных и оценка знаков этих выражений в точке , а не на интервале . Оценка в точке часто требует меньше символических / алгебраических манипуляций.
Неокончательные и неокончательные дела
Дела, не окончательно завершившиеся
С какой проблемой мы столкнулись? | Какие у нас проблемы? | Можем ли мы использовать первую производную проверку? |
---|---|---|
Для критических точек несуществующего типа тест не может быть применен. | Тест не имеет смысла | Мы можем или не сможем использовать первый производный тест. |
Высшие производные перестают определяться до того, как они получат шанс стать ненулевым. Например, если и не существует, проверка будет безрезультатной. | Тест решающим образом основан на определении положения и знака первой ненулевой производной. Если более высокая производная перестает существовать до того, как станет отличной от нуля, тест не может быть использован. | Мы можем или не сможем использовать первый производный тест.![]() |
Все старших производных на данный момент равны нулю. | Тест решающим образом основан на определении положения и знака первой ненулевой производной. Если все высшие производные равны нулю, мы не можем использовать тест. | Мы можем или не сможем использовать первый производный тест. |
Заключительные дела
Исчисление I — производные высшего порядка
Онлайн-заметки ПавлаПримечания Быстрая навигация Скачать
- Перейти к
- Примечания
- Проблемы с практикой
- Проблемы с назначением
- Показать / Скрыть «> Показать все решения / шаги / и т. Д.
- Скрыть все решения / шаги / и т. Д.
- Разделы
- Связанные ставки
- Логарифмическое дифференцирование
- Разделы
- Пределы
- Применение производных инструментов
- Классы
- Алгебра
- Исчисление I
- Исчисление II
- Исчисление III
- Дифференциальные уравнения
- Дополнительно
- Алгебра и триггерный обзор
- Распространенные математические ошибки
- Праймер для комплексных чисел
- Как изучать математику
- Шпаргалки и таблицы
- Разное
- Свяжитесь со мной
- Справка и настройка MathJax
- Мои студенты
- Заметки Загрузки
- Полная книга
- Текущая глава
- Текущий раздел
- Practice Problems Загрузок
- Полная книга — Только проблемы
- Полная книга — Решения
- Текущая глава — Только проблемы
- Текущая глава — Решения
- Текущий раздел — Только проблемы
- Текущий раздел — Решения
- Проблемы с назначением Загрузок
- Полная книга
- Текущая глава
- Текущий раздел
- Прочие товары
- Получить URL для загружаемых элементов
- Распечатать страницу в текущем виде (по умолчанию)
- Показать все решения / шаги и распечатать страницу
- Скрыть все решения / шаги и распечатать страницу
- Дом
- Классы
- Алгебра
- Предварительные мероприятия
- Целочисленные экспоненты
- Рациональные экспоненты
- Радикалы
- Полиномы
- Факторинговые полиномы
- Рациональные выражения
- Комплексные числа
- Решение уравнений и неравенств
- Решения и наборы решений
- Линейные уравнения
- Приложения линейных уравнений
- Уравнения с более чем одной переменной
- Квадратные уравнения — Часть I
- Квадратные уравнения — Часть II
- Квадратные уравнения: сводка
- Приложения квадратных уравнений
- Уравнения, сводимые к квадратичным в форме
- Уравнения с радикалами
- Линейные неравенства
- Полиномиальные неравенства
- Рациональное неравенство
- Уравнения абсолютных значений
- Неравенства абсолютных значений
- Graphing and F
- Предварительные мероприятия
Тест производной высшего порядка
Тест производной высшего порядка — В математике тест производной высшего порядка используется для поиска максимумов, минимумов и точек перегиба в полиноме n-й степени кривая s. 2 или…… Википедия
Проверка второй производной — В исчислении, разделе математики, проверка второй производной является критерием, часто полезным для определения того, является ли данная стационарная точка функции локальным максимумом или локальным минимумом. функция f дважды…… Wikipedia
Проверка первой производной — В исчислении, разделе математики, проверка первой производной определяет, является ли данная критическая точка функции максимумом, минимумом или ни одной из них.Введение Предположим, что f — функция, и мы хотим определить, имеет ли f максимум или…… Wikipedia
испытание — 1. Доказать; попробовать вещество; определять химическую природу вещества с помощью реагентов. 2. Метод исследования, позволяющий определить наличие или отсутствие определенного заболевания или какого-либо вещества в любой из жидкостей, тканей,…… Медицинский словарь
Функциональная производная — В математике и теоретической физике функциональная производная является обобщением производной по направлению. Разница в том, что последний дифференцируется в направлении вектора, а первый — в направлении…… Wikipedia
Список математических статей (H) — NOTOC HH кобордизм H производная H индекс H методы бесконечности в теории управления H отношение H пространство H теорема H дерево теорема Хаага свойство Хаагерупа уравнение Хаара мера Хаара вейвлет Хаара теорема Хабуша код Хакенбуша код Адамара Адамар…… Википедия
Стационарная точка — Не путать с фиксированной точкой, где x = f (x).Стационарные точки (красные плюсы) и точки перегиба (зеленые кружки). Все стационарные точки на этом графике — это относительные максимумы или относительные минимумы. В математике, особенно в исчислении,…… Википедия
Седловая точка — В математике седловая точка — это точка в области определения функции двух переменных, которая является стационарной точкой, но не локальным экстремумом. В такой точке, в общем, поверхность напоминает седло, которое изгибается в одном направлении и изгибается…… Wikipedia
анализ — / euh nal euh sis /, n. , пл. анализирует / seez /. 1. разделение любого материального или абстрактного объекта на составные элементы (в отличие от синтеза). 2. этот процесс как метод изучения природы чего-либо или определения его…… Universalium
AP: оценка производных от графиков — Magoosh Blog
Значит, вы, возможно, запомнили все производные правила. Вы можете получить f ‘(x) из f ( x ) независимо от того, насколько сложна функция.Но как вы оцениваете производные прямо по графику?
Как мы увидим в этой обзорной статье, все дело в уклоне !
Наклон производной меры
Начнем с фундаментальной связи между производными и графиками функций.
Значение производной f ‘(a) равно наклону касательной к графику y = f ( x ) при x = a .
Я рекомендую сначала освежить идею касательных линий. Вот несколько ресурсов, которые могут помочь.
Пример — оценка производных с использованием касательных
Используйте информацию на графике f ( x ) ниже, чтобы оценить значение f ‘(1).
График параболы с касательной, присоединенной в точке (1, 1).
Решение
Помните, производные значения — это наклоны! Итак, f ‘(1) равно наклону касательной, прикрепленной к графику при x = 1.
Все, что нужно, — это две точки на линии, чтобы определить наклон. Один момент легко заметить, потому что он также находится на самом графике f : (1, 1). Затем мы смотрим по касательной, пока не найдем другую точку, координаты которой легко оценить. Попробуйте найти точку, которая пересекает «перекресток», потому что тогда у нее будут целые координаты. Например, (2, 3) или (3, 5), или (0, -1) и т. Д.
Я выберу (3, 5) в качестве второй точки. Однако, если вы выберете любую другую точку, пока она находится на касательной, ваш ответ должен быть равен (или очень близок) моему.
Затем используйте формулу наклона ( RISE over RUN ), чтобы вычислить наклон касательной.
Следовательно, f ‘(1) = 2.
Увеличение, уменьшение и поворот
Хорошо, первый пример мог быть довольно простым. Насколько сложно это может быть?
Иногда нам приходится оценивать всех значений производной! Другими словами, учитывая график функции f ( x ), должна быть возможность нарисовать график f ‘( x ).
При использовании дифференцируемых функций следует помнить о трех вещах.
- Если f увеличивается в интервале, тогда f ‘> 0 (выше оси x ) в этом интервале.
- Если f уменьшается в интервале, тогда f ‘<0 (ниже оси x ) в этом интервале.
- Если f плавно поворачивается в точке x = a , то f ‘( a ) = 0 (пересекает ось x ).
Пример — оценка графика производной
Нарисуйте график производной функции, график которой показан ниже.
Решение
Сначала определите две точки поворота: x = -2 и 0. Это означает, что f ‘(-2) = f ‘ (0) = 0.
Затем определите интервалы, на которых график увеличивается и уменьшается. Когда f увеличивается, мы имеем f ‘> 0.Когда f убывает, мы имеем f ‘<0.
График функции дает информацию о ее производной… если вы знаете, как ее анализировать.
На приведенном ниже графике оригинал показан черным цветом, а эскиз его производной — синим.
Обратите внимание, как синяя кривая соответствует описанию f ‘.
- Синяя кривая находится выше оси x всякий раз, когда f увеличивается.
- Синяя кривая находится ниже оси x всякий раз, когда f уменьшается.
- Синяя кривая пересекает ось x , если f имеет точку разворота.
Очки без дифференциации
До сих пор в методах оценки производных финансовых инструментов не учитывалась важная проблема. Что происходит, если функция не имеет значения производной в данной точке?
Любая точка x = a , в которой f ‘( a ) не существует, называется точкой недифференцируемости.
Если такой точкой является a , то на графике f ‘будет либо дыра, либо разрыв при x = a .
Такое поведение может быть вызвано тремя причинами.
- Исходная функция не определена или является прерывистой.
- На графике исходной функции есть угловая точка.
- Касательная прямая вертикальная.
Давайте рассмотрим три ситуации в следующем примере.
Пример — оценка производных с недифференцируемыми точками
Нарисуйте график производной следующей функции.
Решение
На этом графике много всего происходит!
- Вертикальная асимптота x = -5.
Поскольку f в этот момент не определено, мы знаем, что значение производной f ‘(-5) не существует.
- График доходит до острого угла при x = 5. Производные не существуют в угловых точках.
- Имеется куспид в x = 8. Значение производной становится бесконечным в точке возврата.
Помимо этих важных ориентиров, есть еще одна поворотная точка: x = 0. Давайте проанализируем, что происходит в промежутках между особыми точками.
Но что именно происходит рядом с x = -5, 5 и 8?
При x = -5 исходный график следует вертикальной асимптоте. По определению, значения функции приближаются к ∞ или -∞, чем ближе x приближается к -5. В результате функция становится бесконечно крутой: x → -5.Бесконечная крутизна означает бесконечные значения уклона, поэтому f ‘также должно иметь вертикальную асимптоту при x = -5.
Далее, угловая точка x = 5 представляет собой очень внезапное изменение направления. Вместо плавного поворота функция мгновенно меняет курс. Это означает, что произойдет скачок значения производной при пересечении x = 5.
(Для получения дополнительной информации о скачкообразных нарушениях и связанных темах ознакомьтесь с: AP Calculus Review: Discontinuities.)
Наконец, имеется куспид при x = 8. В точке перегиба касательная линия графика становится настолько крутой, что фактически становится вертикальной. Это означает, что наклон бесконечен, и снова будет вертикальная асимптота на графике f ‘.
Давайте теперь соберем все вместе. Синий график представляет собой всего лишь набросок производной кривой (не на 100% точный, но достаточно близкий для наших целей).
Обратите внимание не только на странное поведение около каждой точки разрыва, но также и на то, что значения производной выше оси x , когда f увеличивается, и ниже оси, когда f уменьшается.
Набросок производной сложной функции. Оригинал в черном цвете; производная синим цветом.
Заключение
Важно знать, как определить производную функции только по ее графику. К счастью, экзамены AP Calculus не потребуют от вас рисования самой производной кривой, но могут попросить вас выбрать, какой вариант ответа лучше всего соответствует ей.
Используйте плавные поворотные точки в качестве ориентиров. Убедитесь, что вы понимаете странное поведение в недифференцируемых точках.И заполните детали, проанализировав, где f увеличивается и уменьшается.
О Шоне Олте
Шон получил докторскую степень по математике в Университете штата Огайо в 2008 году (Go Bucks !!). Он получил степень бакалавра математики и информатику в Оберлинском колледже в 2002 году. Кроме того, Шон получил степень бакалавра искусств. из Консерватории Оберлина в том же году по специальности «музыкальная композиция». Шон по-прежнему любит музыку — почти так же, как математику! — и он (думает, что) может играть на пианино, гитаре и басу.Шон учил и обучал студентов математике около десяти лет и надеется, что его опыт поможет вам добиться успеха!
Политика в отношении комментариев в блоге Magoosh: Чтобы обеспечить максимальное удобство для наших читателей, мы будем одобрять и отвечать на комментарии, относящиеся к статье, достаточно общие, чтобы быть полезными для других студентов, краткие и хорошо написанные! 🙂 Если ваш комментарий не был одобрен, вероятно, он не соответствовал этим правилам. Если вы студент Premium Magoosh и хотите более персонализированное обслуживание, вы можете использовать вкладку «Справка» на панели управления Magoosh.Благодарность!
1 | Введение в несколько переменных и понятие расстояния в Rn | Загрузить Подлежит проверке |
2 | Счетность и компактность | Загрузить Подлежит проверке |
3 | Счетность и связность | Загрузить Подлежит проверке |
4 | Производные: возможное определение | Загрузить Подлежит проверке |
5 | Матрица линейного преобразования | Загрузить Подлежит проверке |
6 | Примеры дифференцируемой функции | Загрузить Подлежит проверке |
7 | Достаточное условие дифференцируемости | Загрузить Подлежит проверке |
8 | Правило цепочки | Загрузить Подлежит проверке |
9 | Теорема о среднем значении | Загрузить Подлежит проверке |
10 | Производные высшего порядка | Загрузить Подлежит проверке |
11 | Taylor \ ‘ s Formula | Загрузить Подлежит проверке |
12 | Максимум и минимум | Загрузить Подлежит проверке |
13 | Тест второй производной для максимальной, минимальной и седловой точки | Загрузить Подлежит проверке |
14 | Мы формализуем второй производный тест, обсуждаемый в лекции 2, и рассмотрим примеры.![]() Leave a Reply
|