Алгебра 8 Макарычев Самостоятельная С-11
Самостоятельная работа по алгебре в 8 классе с решениями и ОТВЕТАМИ по учебнику Макарычева. Алгебра 8 Макарычев Самостоятельная С-11 «Все действия с дробями». Цитаты из пособия для учащихся «Алгебра 8 класс. Дидактические материалы / Жохов, Макарычев, Миндюк — М.: Просвещение». Ознакомительная версия перед покупкой. Цитаты из пособия указаны в учебных целях. При постоянном использовании данных самостоятельных работ по алгебре в 8 классе необходимо купить книгу.
Самостоятельная работа по алгебре
(8 класс, УМК Макарычев и др.)
ОТВЕТЫ НА САМОСТОЯТЕЛЬНУЮ РАБОТУ
Открыть решения и ответы на Вариант 1
Открыть решения и ответы на Вариант 2
Самостоятельная работа по алгебре в 8 классе с решениями и ОТВЕТАМИ по учебнику Макарычева. Алгебра 8 Макарычев Самостоятельная С-11 «Деление дробей». Цитаты из пособия для учащихся «Алгебра 8 класс. Дидактические материалы / Жохов, Макарычев, Миндюк — М.: Просвещение». Ознакомительная версия перед покупкой. Цитаты из пособия указаны в учебных целях.
Вернуться к Списку самостоятельных работ по алгебре 8 класс (УМК Макарычев и др.)
Методическая разработка по алгебре (7 класс) по теме: Зачет по теме «Алгебраические дроби»
Самостоятельная работа 6.2
Сложение и вычитание алгебраических дробей
Вариант 0
А1. Выполните действия:
.
А2. Выполните действия:
____________
В1. Упростите выражение: .
_________________________________________________________
Самостоятельная работа 6.3
Умножение и деление алгебраических дробей
Вариант 0
А1. Выполните действия:
.
А2. Выполните действия:
____________
В1. Упростите выражение: .
_________________________________________________________
Самостоятельная работа 6.4
Совместные действия над алгебраическими дробями
Вариант 0
А1. Выполните действия:
.
А2. Выполните действия:
____________
В1. Упростите выражение: .
Контрольная работа №5
Алгебраические дроби
Вариант 1
А1. Выполните действия:
.
А2. Упростите выражение: .
А3. Найдите числовое значение выражения: .
В1. Решите уравнение .
________________________________________________________________
Контрольная работа №5
Алгебраические дроби
Вариант 2
А1. Выполните действия:
.
А2. Упростите выражение: .
А3. Найдите числовое значение выражения: .
В1. Решите уравнение
Задания А1-А3 соответствуют уровню обязательной подготовки.
Тест по алгебре (8 класс) на тему: Тест по теме «Действия с рациональными дробями»
Тест по теме
«Действия с рациональными дробями
В заданиях 1 – 9 выберите правильный ответ
1. Найдите значение алгебраической дроби .
1) 2) 3) 4)
2. Сократите дробь . 1) 2) 3) 4)
3. Найдите значение , при котором дробь не имеет смысла
1) 2) 3) 4) нет таких значений
4. Выполните сложение .
1) 2) 3) 4)
5. Выполните действия .
1) 2) 3) 4)
6. Выполните действия . 1) 2) 3) 4)
7. Выполните действия .
1) 2) 3) 4)
8. Выполните действия .
1) 2) 3) 4)
В заданиях 9 – 10 запишите ответ
9. Выполните действия .
Ответ._________________________________
10. Найдите значение выражения .
Ответ .___________________________________________________
Контрольная работа по математике (действия с алгебраическими дробями) для 7-го класса от Колягина в 2017 году
Ответы
Ответы к заданиям
(при их наличии) доступны
для бесплатного просмотра
только зарегистрированным
пользователям проекта!
Статистика и загрузка
Скачать
Если загрузка не началась автоматически, повторите попытку или нажмите сюда!| Просмотров | 590 | 132 | Загрузок |
|---|---|---|---|
| Добавил | Гость | 09.03.2019 | Дата |
| День | Суббота | 01:55 | Время |
Статья 1274: Свободное использование произведения в информационных, научных, учебных или культурных целях.
Все материалы сайта представлены исключительно в ознакомительных целях.
Источник/автор материала: Колягин Ю.М.
Если вы скопируете данный файл, Вы должны незамедлительно удалить его сразу после ознакомления с содержанием. Копируя и сохраняя его, Вы принимаете на себя всю ответственность, согласно действующему международному законодательству. Все авторские права на данный файл сохраняются за правообладателем.
Любое коммерческое и иное использование, кроме предварительного ознакомления запрещено. Публикация данного документа не преследует никакой коммерческой выгоды. Но такие документы способствуют быстрейшему профессиональному и духовному росту читателей и являются рекламой бумажных и других различных видов изданий таких документов.
Если данный материал нарушает чьи-либо авторские права, то обратитесь на почту [email protected]
Справочные материалы
Загрузка формул…
Загрузка тестирования…
Обсуждения
Комментарии к заданиям доступны
только зарегистрированным
пользователям проекта!
Контрольная работа по алгебре «Совместные действия с алгебраическими дробями» (8 класс)
Контрольная работа по теме
«Совместные действия с алгебраическими дробями»
Вариант 1.
1.Выполнить действия: 1) 2) 3) 4) с —
2. Упростить выражение:
3. Упростить выражение и найти его значение: при с = 7,5
4. Упростить выражение:
Контрольная работа по теме
«Совместные действия с алгебраическими дробями»
Вариант 2.
1.Выполнить действия: 1) 2) 3) 4) 2у —
2. Упростить выражение:
3. Упростить выражение и найти его значение: при с = 1,8
4. Упростить выражение:
Контрольная работа по теме
«Совместные действия с алгебраическими дробями»
Вариант 1.
1. Выполнить действия: 1) 2) 3) 4) с —
2. Упростить выражение:
3. Упростить выражение и найти его значение: при с = 7,5
4. Упростить выражение:
Контрольная работа по теме
«Совместные действия с алгебраическими дробями»
Вариант 2.
1.Выполнить действия: 1) 2) 3) 4) 2у —
2. Упростить выражение:
3. Упростить выражение и найти его значение: при с = 1,8
4. Упростить выражение:
Сложение и вычитание дробей с помощью пошагового решения математических задач
Введите выражение, содержащее сумму или разницу дробей, и нажмите кнопку «Добавить дроби».
Вы много раз сталкивались с дробями с самого начала изучения математики. Они встречаются в формулах и во многих повседневных практических задачах. Однако дроби в арифметике состоят исключительно из чисел. Теперь мы изучим операции над дробями, компоненты которых являются алгебраическими выражениями.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НА ЗАПИСАННЫХ ЧИСЛАХ
ЗАДАЧИ
По завершении этого раздела вы сможете:
- Разделите на множители числитель и знаменатель дроби.
- Упростите алгебраические дроби.
Алгебраическая дробь — это указанное соотношение двух алгебраических выражений.
При изучении арифметики вас проинструктировали, что дробные ответы всегда следует оставлять в сокращенной или упрощенной форме.Для дроби, которую вы «уменьшили» до деления числителя и знаменателя на 4. Дробь не может быть уменьшена, потому что никакое число (кроме 1) не разделит числитель и знаменатель. Таким образом, упрощая дроби, вы использовали следующее определение.
Дробь представлена в упрощенной (или сокращенной) форме , если числитель и знаменатель не содержат общего множителя (кроме 1).
| Дробь, например, представлена в упрощенной форме, поскольку числитель 2 и знаменатель 3 не имеют общего множителя, кроме единицы. |
Для получения дроби в упрощенной форме примените следующее правило.
Для упрощения дроби полностью разложите числитель и знаменатель на множители, а затем разделите числитель и знаменатель на все общие множители.
| Дробь, однако, не в упрощенной форме, поскольку числитель и знаменатель имеют общий множитель 2. |
Затем разделите на общие множители, получив
| Помните, деленный сам на себя множитель равен 1. |
Теперь разделите на общий множитель (x + 2) в числителе и знаменателе, чтобы получить
.| Мы можем делить только общие множители, а не общие термины. |
| В таком выражении, как некоторые ученики хотят разделить на три. Обратите внимание, что это |
Обратите внимание, что даже несмотря на то, что мы смогли разложить числитель и знаменатель на множители, мы все равно не можем разделить, так как нет общих факторов для обоих.Данная дробь уже представлена в упрощенном виде.
Тот факт, что для данной дроби может потребоваться какой-либо из изученных вами методов факторинга, еще раз подчеркивает важность владения факторингом.
Решение Здесь вы можете использовать «метод проб и ошибок» для числителя и «группировку» для знаменателя.
| Здесь (x + 2) — общий множитель, поэтому числитель и знаменатель можно разделить. |
| Обратите внимание, что числитель 2x + 5 может быть записан как (2x 4-5) * 1. Таким образом, когда множитель (2x + 5) делится, множитель 1 остается. |
Решение Проблемы этого типа требуют особого внимания, поскольку они являются частой причиной ошибок. На первый взгляд факторы могут быть ошибочно приняты за общие, а дробь — как уже упрощенная. Обратите внимание, что факторы нельзя разделить, поскольку знаки не позволяют им быть идентичными.Если, однако, отрицательное значение 1 вычтено из одного из факторов, то есть подобные факторы, и разделение может быть выполнено.
| Любые множители в форме a — b и b — a отрицательны друг для друга, таким образом, 2x — 3 и 3 — 2x отрицательны друг для друга. |
| Все это эквивалентные формы одного и того же выражения. Предпочтительной формой будет та, в которой используется наименьшее количество письменных знаков. Всегда проверяйте свой ответ, чтобы убедиться, что он эквивалентен форме, приведенной в разделе ответов. |
УМНОЖЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФРАКЦИЙ
ЗАДАЧИ
По завершении этого раздела вы сможете:
- Факторы-числители и знаменатели всех умножаемых дробей.
- Определите и разделите по всем общим факторам.
- Напишите продукт в простейшей форме.
Алгебраическая дробь — это указанное соотношение двух алгебраических выражений.
— это определение произведения двух дробей.На словах это говорит: «Умножьте числитель на числитель и знаменатель на знаменатель». Вы много раз использовали это правило в арифметике при умножении дробей.
Однако помните, что все дробные ответы должны быть в упрощенной форме. Мы могли бы следовать приведенному выше определению, а затем упростить ответ, как в предыдущем разделе. Но с алгебраическими дробями это может привести к очень сложным выражениям. Следующее правило позволяет нам упростить умножение, поэтому ответ будет в упрощенной форме.
При умножении алгебраических дробей необходимо полностью разложить на множители все числители и знаменатели, затем разделить на все множители, общие для числителя и знаменателя, перед умножением.
Произведение остальных множителей числителя будет числителем ответа, а произведение оставшихся множителей знаменателя будет знаменателем ответа.
| Опять же, помните, что общие факторы должны быть абсолютно одинаковыми. |
| Мы будем использовать точку * для обозначения умножения, поскольку использование X можно спутать с переменной x. |
| Обратите внимание, что (x + 2) и (2 + x) одинаковы, но (x — 4) и (4 — x) являются отрицательными по отношению друг к другу. Опять же, есть много возможных форм окончательных ответов. Приведенная здесь форма является предпочтительной, поскольку она содержит наименьшее количество знаков. |
| В этой проблеме много факторов. Быть осторожен! |
РАЗДЕЛЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФРАКЦИЙ
ЗАДАЧИ
По завершении этого раздела вы сможете:
- Измените задачу деления на связанную задачу умножения.
- Делим алгебраические дроби.
Деление дробей определяется умножением.
Чтобы разделить , умножить на обратную величину делителя.
Чтобы разделить одно алгебраическое выражение на другое, инвертируйте делитель и измените операцию на умножение.
| Делитель следует за знаком. Не переворачивайте неправильную дробь. |
| Если знаменатель не указан, это |
Алгебраические дроби — Полный курс алгебры
21
Принцип эквивалентных дробей
Сокращение до наименьших сроков
2-й уровень
Доли в алгебре часто называют рациональными выражениями. (См. Тему 18 Precalculus.) Мы начнем с принципа эквивалентных дробей, который выглядит следующим образом:
«Числитель и знаменатель можно умножить на
на один и тот же коэффициент.«
И x , и y умножены на коэффициент a .
| x y | и | топор ау | называются эквивалентными дробями. |
Это означает, что при вычислении мы можем заменить одно на другое.
То же правило, что и в арифметике:
при умножении 2 и 3 на 5.
Задача 1. Запишите недостающий числитель.
Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!
Знаменатель умножен на 3; поэтому числитель также будет умножен на 3.
Задача 2. Запишите недостающий числитель.
Знаменатель умножен на x ; следовательно, числитель также будет умножен на x .
Задача 3. Запишите недостающий числитель.
Знаменатель умножен на 8 x 2 ; следовательно, числитель также будет умножен на 8 x 2 .
Учащийся должен ожидать, что исходный знаменатель слева будет множителем нового знаменателя справа. Это должен быть множитель, потому что для получения нового знаменателя исходный знаменатель был равен , умноженному на
.Проблема 4.Запишите недостающий числитель.
(«Знаменатель умножен на _____. Следовательно, числитель также будет умножен на ____.»)
| а) | a b | = | 5 а 5 б | б) | 3 x | = | 6 2 x | в) | 5 y | = | 5 y y 2 | ||
| г) | 8 x | = | 8 y xy | д) | a x | = | 2 x 2 a 2 x 3 | е) | b y | = | bx 2 y x 2 y 2 | ||
| г) | p q | = | прс qrs | ч) | 2 б | = | 2 ac abc | i) | 4 x | = | 4 ( x + 1) x ( x + 1) | ||
| Пример 1. | a | = | ? б |
| Решение. Чтобы объяснить решение, запишем a как | а 1 | . |
Поскольку 1 была умножена на b , то же самое будет и с на .
Числитель ab — это просто произведение a на b . Это своего рода перекрестное умножение, и ученику не нужно писать знаменатель 1.
Вы занимаетесь алгеброй глазами.
Задача 5. Запишите недостающий числитель.
| а) | х | = | 3 x 3 | б) | 2 | = | 2 ab ab | в) | х | = | x ³ x 2 | ||
| г) | 1 | = | х х | д) | 2 | = | 2 x + 2 x + 1 | е) | x + 1 | = | x 2 — 1 x — 1 |
Часть f) — это разница двух квадратов.
На 2-м уровне проблем такого типа будет больше.
Сокращение до наименьших сроков
Числитель и знаменатель дроби называются ее членами. Так как мы можем перемножить оба члена, мы можем симметрично разделить оба члена.
«И числитель, и знаменатель можно разделить
на общий множитель».
Когда мы это делаем, мы говорим, что уменьшили дробь до наименьшего значения.
Опять же, это то же самое, что и в арифметике.
| Пример 2. Уменьшить | 5 x 5 y | . |
| Ответ. | 5 x 5 y | = | x y | . |
5 — общий множитель числителя и знаменателя. Следовательно, мы можем разделить каждую из них на 5.
Часто можно услышать, что мы «отменили» пятерки. Но это может быть очень опасным выражением, как показывают следующие примеры.
| Пример 3. Уменьшаем | 5 + x 5 + y | . |
Ответ. Это может быть , но не . Мы не можем «отменить» 5, потому что 5 не является множителем ни числителя, ни знаменателя. В обоих из них 5 — это термин.
Мы не можем отменить условия.
Слово , термин выполняет двойную функцию в алгебре. Мы говорим о членах суммы, а также о членах дроби, которые являются числителем и знаменателем. Дробь имеет наименьшее значение, когда числитель и знаменатель не имеют общего множителя.
| Пример 4. Уменьшить | 3 a + 6 b + 9 c 12 d | . |
Ответ . Когда числитель или знаменатель состоит из суммы, тогда, если каждый член имеет общий множитель, мы можем разделить на него каждые члена.
В этом примере каждый член в числителе и знаменателе имеет множитель 3.Следовательно, разделив каждый член на 3, мы сразу можем написать:
| 3 a + 6 b + 9 c 12 d | = | a + 2 b + 3 c 4 d |
Снижения больше нет. У числителя и знаменателя больше нет общего множителя.
Мы могли бы явно показать общий множитель, написав
| 3 a + 6 b + 9 c 12 d | = | 3 ( a + 2 b + 3 c ) 3 · 4 d |
Но собственно писать этого не требуется.
Этот пример иллюстрирует следующее:
Чтобы разделить сумму — 3 a + 6 b + 9 c — на число
, мы должны иметь возможность разделить каждый член на это число.
| Пример 5. Уменьшить | 3 a + 6 b + 8 c 12 a | . |
Ответ . Невозможно. У числителя и знаменателя нет общего множителя. 3 не является общим множителем, потому что 3 не является множителем 8. 2 не является общим множителем, потому что 2 не является множителем 3. И a не является общим множителем. Эта доля находится в самом низком выражении.
Написать
, хотя алгебраически правильный, не называется сокращающим. Уменьшить дробь — значит оставить ее как одну дробь.В противном случае каждая дробь могла быть «уменьшена».
| 5 18 | нельзя уменьшить. |
Опять же, чтобы разделить сумму, каждый член должен иметь общий множитель, как в примере 4.
| Пример 6. Уменьшить | 8 x 8 x + 10 | . |
Ответ . 2 — множитель каждого члена как в числителе, так и в знаменателе. Следовательно, мы можем разделить каждый член на 2.
| 8 x 8 x + 10 | = | 4 x 4 x + 5 | . |
Разделения больше нет.Мы не можем «отменить» 4, потому что 4 не является делителем знаменателя. 4 не множитель 5.
Проблема 6. Сведите к наименьшим срокам.
| а) | 3 a 3 b | = | а б | б) | 8 xy 12 x | = | 2 y 3 | в) | 56 y 77 xy | = | 8 11 x |
| г) | 2 x + 6 4 x + 8 | = | x + 3 2 x + 4 |
| о делении каждого члена в числителе и знаменателе на 2. | |||
| д) | 2 x + 3 4 x + 9 | = | Невозможно. |
| Члены числителя и знаменателя не имеют общего множителя. | |||
| Пример 7. Уменьшить | x 4 x | . |
| Ответ . | x 4 x | = | 1 4 | , |
при делении числителя и знаменателя на x .
Обратите внимание, что мы должны написать 1 в числителе, так как x = 1 · x .
| Пример 8. Уменьшить | 4 x x | . |
| Ответ . | 4 x x | = | 4. |
В алгебре не принято записывать 1 в качестве знаменателя.
| Пример 9. Уменьшаем | x — 3 6 ( x — 3) | . |
| Ответ . | x — 3 6 ( x — 3) | = | 1 6 | . |
Мы можем рассматривать x — 3 как коэффициент числителя , потому что
x — 3 = ( x — 3) · 1
Опять же, мы должны записать 1 в числитель.
Проблема 7. Уменьшить.
| а) | 2 a a | = | 2 | б) | a ab | = | 1 б | в) | 2 x 8 xy | = | 1 4 y |
| г) | 5 ( x — 2) x — 2 | = | 5 | д) | x + 1 2 ( x + 1) | = | 1 2 | е) | 3 ( x + 2) x 6 ( x + 2) xy | = | 1 2 y |
| Пример 10.Уменьшить | 15 x 5 x — 3 | . |
Ответ . Невозможно. У числителя и знаменателя нет общего множителя.
| Пример 11. Уменьшить | x 2 — x — 6 x 2 — 4 x + 3 | . |
Ответ . В нынешнем виде редукции нет — потому что нет факторов. Но мы можем из сделать факторов:
| x 2 — x — 6 x 2 — 4 x + 3 | = | ( x — 3) ( x + 2) ( x — 3) ( x — 1) | = | x + 2 x — 1 |
( x −3) теперь рассматривается как общий фактор.Мы можем разделить по нему. И когда мы это сделаем, у числителя и знаменателя больше не будет общего множителя. Конец.
| Пример 12. Уменьшить: | 4 x ³ — 9 x 2 4 x ³ + 6 x 2 | . |
Ответ . Единственный общий множитель — x 2 . И мы можем отобразить его, разложив на множители числитель и знаменатель:
| 4 x ³ — 9 x 2 4 x ³ + 6 x 2 | = | x 2 (4 x — 9) 2 x 2 (2 x + 3) | = | 4 x — 9 2 (2 x + 3) |
Доля сейчас находится на самом низком уровне.Нет общих факторов.
Проблема 8. Уменьшить.
| а) | 5 x 10 x + 15 | = | 5 x 5 (2 x + 3) | = | x 2 x + 3 |
| б) | 3 x — 12 3 x | = | 3 ( x — 4) 3 x | = | x — 4 x |
| в) | 12 x -18 y + 21 z 6 y | = | 4 x — 6 y + 7 z 2 y | , |
при делении каждого члена на их общий множитель, 3.
| г) | 2 м м 2 — 2 м | = | 2 м м ( м -2) | = | 2 м — 2 |
| д) | x 2 — x x | = | x ( x — 1) x | = | х — 1 |
| е) | 12 x 2 16 x 5 -20 x 2 | = | 12 x 2 4 x 2 (4 x 3 — 5) | = | 3 4 x 3 — 5 |
| г) | x + 3 4 x + 12 | = | x + 3 4 ( x + 3) | = | 1 4 |
| ч) | 2 x — 8 x — 4 | = | 2 ( x — 4) x — 4 | = | 2 |
| i) | 2 x — 2 y 3 x — 3 л | = | 2 ( x — y ) 3 ( x — y ) | = | 2 3 |
Проблема 9.Сделайте факторы и уменьшите.
| а) | x 2 — 2 x — 3 x 2 — x — 2 | = | ( x + 1) ( x — 3) ( x + 1) ( x — 2) | = | x — 3 x — 2 |
| б) | x 2 + x — 2 x 2 — x — 6 | = | ( x + 2) ( x — 1) ( x + 2) ( x — 3) | = | x — 1 x — 3 |
| в) | x 2 — 2 x + 1 x 2 — 1 | = | ( x — 1) 2 ( x + 1) ( x — 1) | = | x — 1 x + 1 |
| г) | x 2 -100 x + 10 | = | ( x + 10) ( x — 10) x + 10 | = | x — 10 |
| д) | x + 3 x 2 + 6 x + 9 | = | x + 3 ( x + 3) 2 | = | 1 x + 3 |
| е) | x ³ + 4 x 2 _ x 2 + x — 12 | = | x 2 ( x + 4) ( x — 3) ( x + 4) | = | x 2 x — 3 |
Проблема 10.Если возможно, снизьте до минимальных сроков.
| а) | 3 + x 3 x | Невозможно. | |
| У числителя и знаменателя нет общих множителей. | |||
| б) | 8 a + b 2 ab | Невозможно.Опять же, общих факторов нет. |
| в) | 8 a + 2 b 2 ab | = | 2 (4 a + b) 2 ab | = | 4 a + b ab |
| г) | 6 a + b 3 a + b | Невозможно. | |
| У числителя и знаменателя нет общих множителей. 3 не является множителем ни числителя, ни знаменателя. Это коэффициент только первого члена в каждом. | |||
| д) | 6 ( a + b ) 3 ( a + b ) | = | 2 |
| е) | 2 x + 4 y + 6 z 10 | = | x + 2 y + 3 z 5 | Разделите каждый член на 2. |
| г) | 2 x + 4 y + 5 z 10 | Невозможно. | |
| У числителя и знаменателя нет общих множителей. | |||
| ч) | ( x + 1) + ( x + 2) ( x + 1) ( x + 3) | Невозможно. | |
| Числитель не складывается из множителей. | |||
| i) | ( x + 1) ( x + 2) ( x + 1) ( x + 3) | = | x + 2 x + 3 |
| к) | ab + c abc | = | Невозможно. |
| У числителя и знаменателя нет общих множителей. | |||
| к) | ab + ac abc | = | a ( b + c ) abc | = | b + c до н.э. |
| л) | x 2 — x — 12 x 2 + x — 6 | = | ( x + 3) ( x — 4) ( x + 3) ( x — 2) | = | x — 4 x — 2 |
2-й уровень
Следующий урок: Умножение и деление алгебраических дробей
Содержание | Дом
Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставался в сети.
Даже 1 доллар поможет.
Авторские права © 2020 Лоуренс Спектор
Вопросы или комментарии?
Эл. Почта: [email protected]
.