Тригонометрические уравнения 10 класс контрольная работа: Контрольная работе по алгебре в 10 классе по теме: «Тригонометрические уравнения»

• Тригонометрические функции
  • Уголки
  • Функции острых углов
  • Функции общих углов
  • Таблицы тригонометрических функций
• Тригонометрия треугольников
  • Закон косинусов
  • Закон синуса
  • Решение общих треугольников
  • Области треугольников
  • Решение прямоугольных треугольников
• Графики тригонометрических функций
  • Круговые функции

Тригонометрические уравнения и общие значения.Дополнительные вопросы по математике для 11 класса | Решения

1.

Солн:

Тригонометрическое уравнение: Уравнение, включающее тригонометрическую функцию или функцию переменной, называется тригонометрическим уравнением.

например

(i) sinx = $ \ frac {1} {2}

(ii) sinx + cosx = 1 и т. Д.

Решение TE: Значение или значения переменной, которые удовлетворяют данному тригонометрическому уравнению, являются его решением.

Например. (1) решение sinx = $ \ frac {1} {2} $: x = $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {6} $ is 0 ≤ x ≤ $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {2} $ и общее решение: x = nπ + (–1) ⁿ $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {6} $ ^, , n ԑ Z.

Общие ценности: TE предлагает множество решений. существует множество значений угла, удовлетворяющих данному уравнению. И набор всех возможных значений угла TE, которые ему удовлетворяют, называются общими значениями.

Например. (1) пусть cosx = $ \ frac {1} {2} $.

Итак, общие значения: x = 2nπ $ \ pm $$ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $, n ԑ Z.

2.

(i)

Решение:

Здесь sin2x + sin4x + sin6x = 0

Или, (sin6x + sin2x) + sin4x = 0

Или 2 sin $ \ frac {{\ left ({6 {\ rm {x}} + 2 {\ rm {x}}} \ right)}} {2} $. Cos $ \ frac {{6 {\ rm {x}} — 2 {\ rm {x}}}} {2} $ + sin4x = 0

Или, 2sin4x. cos 2x + sin 4x = 0

Или, sin4x (2cos2x + 1) = 0

Либо sin4x = 0.

Итак, 4x = nπ

Итак, x = $ \ frac {{{\ rm {n \ pi}}}}} {4} $.

Или, 2cos 2x + 1 = 0

Или, cos2x = $ — \ frac {1} {2} $ = cos $ \ frac {{2 {\ rm {\ pi}}}} {3} $.

Итак, 2x = 2nπ $ \ pm $$ \ frac {{2 {\ rm {\ pi}}}} {3} $.

Итак, x = (6n $ \ pm $ 2) $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {6} $ = (3n $ \ pm $ 1) $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3}

Следовательно, x = $ \ frac {{{\ rm {n \ pi}}}} {4} $, (3n $ \ pm $ 1) $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $ , n ԑ Z.

(ii)

Солн:

2sin ² x + sin ² 2x = 2

Или, 2sin ² x + 4sin ² x.cos ² x — 2 = 0

Или, 2sin ² x + 4sin ² x (1 — sin ² x) — 2 = 0

Или, 2sin ² x + 4sin ² x — 4sin ⁴ x — 2 = 0

Или, — 4sin ⁴ x + 6sin ² x — 2 = 0

Или, 2sin ⁴ x — 3sin ² x + 1 = 0.

Или, 2sin ⁴ x — 2sin ² x — sin ² x — 1 = 0

O, 2sin ² x (sin ² x — 1) — 1 (sin ² x — 1) = 0

Или, (sin ² x — 1) (2sin ² — 1) = 0

Либо, sin ² x — 1 = 0

Или, sin ² x = 1

Итак, sinx = 1 и sinx = –1

Итак, x = (4n + 1) $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {2} $ и x = (4n — 1) $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {2 } $

Или, 2sin ² x — 1 = 0

Or, sin ² x = $ \ frac {1} {2} $

Или, sin ² x = sin ² $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} $

Итак, x = nπ $ \ pm $$ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} $.

Следовательно, x = (4n $ \ pm $ 1) $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {2} $, $ \ left ({4 {\ rm {n}} \ pm 1} \ right) \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} $, n ԑ Z.

(iii)

Солн:

2sin ² x + 3cosx = 0, (0

Или, 2 — 2 cos ² x + 3cosx = 0

или. 2cos ² x — 3cosx — 2 = 0

Или, 2cos ² x — 4cosx + cosx — 2 = 0

Или, 2cosx (cosx — 2) + 1 (cosx — 2) = 0

Или, (cosx — 2) (2cosx + 1) = 0.

Либо, cosx — 2 = 0

Итак, cos x = 2 (невозможно)

Или, 2cosx + 1 = 0

Или, cos x = $ — \ frac {1} {2} $

Итак. x = $ \ frac {{2 {\ rm {\ pi}}}} {3} $, $ \ frac {{4 {\ rm {\ pi}}}} {3} $.

(iv)

Soln;

Sin ² θ — cosθ — $ \ frac {1} {4} $ = 0

Или, 4 (1 — cos ² θ) — 4cosθ — 1 = 0

Или, 4 — 4 cos ² θ — 4cosθ — 1 = 0

Или, 4cos ² θ + 4cosθ — 3 = 0

Или, 4cos ² θ + 6cosθ — 2cosθ — 3 = 0

Или, 2cosθ (2cosθ + 3) — 1 (2cosθ + 3)

Или, (2cosθ + 3) (2cosθ — 1)

Либо, 2cosθ– 1 = 0

Или, cos θ = $ \ frac {1} {2} $ = cos $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $, cos $ \ frac {{5 {\ rm {\ pi} }}} {3} $.

Итак, θ = $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $, $ \ frac {{5 {\ rm {\ pi}}}} {3} $.

Или, 2cosθ + 3 = 0

Итак, cos θ = $ — \ frac {3} {2} $ (невозможно)

Следовательно, θ = $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3}, \ frac {{5 {\ rm {\ pi}}}}} {3} $.

(в.)

Солн:

2tanθ — cotθ = –1

Или, 2tanθ — $ \ frac {1} {{{\ rm {tan}} \ theta}} $ = –1

или. 2tan ² θ — 1 + tanθ = 0

Или, 2tan ² θ + 2tanθ — tanθ — 1 = 0

Или, 2tanθ (tanθ + 1) — 1 (tanθ + 1) = 0

Или, (tanθ + 1) (2tanθ — 1) = 0

Либо, tanθ + 1 = 0

Или, tanθ = –1 = tan $ \ left ({- \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4}} \ right) $

Итак, θ = nπ — $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} $

Или, 2tanθ — 1 = 0

Или, tan θ = $ \ frac {1} {2} $

Или, tanθ = tanα [tanα = $ \ frac {1} {2} $ say]

Итак, θ = nπ + α.

Следовательно, θ = nπ — $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} $, nπ + tan ^–1 $ \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) $ , n ԑ Z.

vi.

tan ² θ + (1 — $ \ sqrt 3) $ tanθ — $ \ sqrt 3 $ = 0

или, tan ² θ — $ \ sqrt 3 $ tanθ + tanθ — $ \ sqrt 3 $ = 0

или, (tanθ — $ \ sqrt 3 $) (tanθ + 1) = 0

Либо, tanθ — $ \ sqrt 3 $ = 0

Или, tanθ = tan $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $

Итак, θ = nπ + $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $

Или, tanθ + 1 = 0

Или, tanθ = –1 = tan $ \ left ({- \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4}} \ right) $

Итак, θ = nπ — $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} $

Следовательно, θ = nπ + $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $, nπ — $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} $, n ԑ Z.

3.

(i)

Солн:

Здесь sinθ + cosθ = $ \ frac {1} {{\ sqrt 2}} $

Или $ \ frac {1} {{\ sqrt 2}} $ sinθ + $ \ frac {1} {{\ sqrt 2}} $ cosθ = $ \ frac {1} {{\ sqrt 2. \ Sqrt 2 }} $ [деление на $ \ sqrt 2 $]

Или, sin $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} $ sinθ + cos $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} $ cos θ = $ \ frac {1} {2}

Или, cos $ \ left ({\ theta — \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4}} \ right) $ = cos $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} , $

Или, θ — $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} $ = 2nπ $ \ pm $$ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $

Итак, θ = 2nπ + $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} $$ \ pm $$ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $, n ԑ Z.

Теперь для n = 0.

θ = $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} $$ \ pm $$ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $

или, θ = $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} + \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $, $ \ frac {{\ rm {\ pi} }} {4} $ — $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $.

Итак, θ = $ \ frac {{7 {\ rm {\ pi}}}} {{12}}, — \ frac {{\ rm {\ pi}}} {{12}} $.

Теперь для n = 1.

θ = $ 2 {\ rm {\ pi}} + \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} $$ \ pm $$ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $

или, θ = $ 2 {\ rm {\ pi}} + \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} + \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $, 2π + $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} $ — $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $ = $ \ frac {{31 {\ rm {\ pi}} }} {{12}}, \ frac {{23 {\ rm {\ pi}}}} {{12}}

Итак, θ = $ \ frac {{7 {\ rm {\ pi}}}} {{12}}, \ frac {{23 {\ rm {\ pi}}}} {{12}} $.

(ii)

Солн:

Cosθ — sinθ = $ \ frac {1} {{\ sqrt 2}} $

Или: $ \ frac {1} {{\ sqrt 2}} $. Cosθ — $ \ frac {1} {{\ sqrt 2}} $ sinθ = $ \ frac {1} {2} {\ rm {\ :}} $ [деление на $ \ sqrt 2 $]

Или, cos $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} $ cosθ — sin $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} $. Sinθ = cos $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $.

Или, cos $ \ left ({\ theta + \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4}} \ right) $ = cos $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $.

Итак, θ + $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} $ = 2nπ $ \ pm $$ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $.

Итак, θ = 2nπ — $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} $$ \ pm $$ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $, n ԑ Z.

Теперь для n = 0.

Итак, θ = $ — \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} $$ \ pm $$ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $

Или, θ = $ — \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} $ + $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $, $ — \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} $ — $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $

Итак, θ = $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {{12}}, — \ frac {{7 {\ rm {\ pi}}}} {{12}} $.

Теперь для n = –1.

Итак, θ = — 2π $ — \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} $$ \ pm $$ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $

Или, θ = $ — 2 {\ rm {\ pi}} — \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} $ + $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $, $ — 2 {\ rm {\ pi}} — \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} $ — $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $

Итак, θ = $ \ frac {{- 23 {\ rm {\ pi}}}} {{12}}, \ frac {{- 31 {\ rm {\ pi}}}}} {{12}} $ .

Сейчас для n = 1.

Итак, θ = 2π $ — \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} $$ \ pm $$ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $

Или, θ = $ 2 {\ rm {\ pi}} — \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} $ + $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $, $ — 2 {\ rm {\ pi}} — \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} $ — $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $

Итак, θ = $ \ frac {{25 {\ rm {\ pi}}}} {{12}}, \ frac {{17 {\ rm {\ pi}}}} {{12}} $.

Поскольку, –2π ≤ θ ≤ 2π, то θ = $ \ frac {{- 23 {\ rm {\ pi}}}}} {{12}}, \ frac {{- 7 {\ rm { \ pi}}}} {{12}}, \ frac {{\ rm {\ pi}}} {{12}}, \ frac {{17 {\ rm {\ pi}}}} {{12}} .$

(iii)

Солн:

Tanθ.secθ = $ \ sqrt 3 $

или. $ \ frac {{{\ rm {sin}} \ theta}} {{{\ rm {cos}} \ theta}} $ + $ \ frac {1} {{{\ rm {cos}} \ theta}} $ = $ \ sqrt 3 $

или. Sinθ + 1 = $ \ sqrt 3 $ cosθ

Или, $ \ sqrt 3 $ cosθ — sinθ = 1

Или, $ \ frac {{\ sqrt 3}} {2} $ cosθ — $ \ frac {1} {2} $ sinθ = $ \ frac {1} {2} $ [Деление на 2]

Или, cos $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {6} $ cosθ — sin $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {6} $. Sinθ = $ \ frac {1} {2} $.

Или, cos $ \ left ({\ theta + \ frac {{\ rm {\ pi}}} {6}} \ right) $ = cos $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $

Или, θ + $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {6} $ = 2nπ $ \ pm $$ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $.

Следовательно, θ = 2nπ — $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {6} $$ \ pm $$ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $, n ԑ Z.

(iv)

Солн:

Или, $ \ sqrt 2 $ secθ + tanθ = 1

Или $ \ sqrt 2 $. $ \ Frac {1} {{{\ rm {cos}} \ theta}} $$ + \ frac {{{\ rm {sin}} \ theta}} {{{\ rm {cos}} \ theta}} $ = 1

Или, $ \ sqrt 2 $ s + sinθ = cosθ

Или, cosθ — sinθ = $ \ sqrt 2 $

Или, $ \ frac {1} {{\ sqrt 2}} $ cosθ — $ \ frac {1} {{\ sqrt 2}} $ sinθ = $ \ frac {{\ sqrt 2}} {{\ sqrt 2 }} $ [Деление на $ \ sqrt 2 $]

Или cos $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} $ cosθ — sin $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} $ sinθ = 1.

Или, cos $ \ left ({\ theta + \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4}} \ right) $ = cos 0.

Или, θ + $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} $ = 2nπ.

Итак, θ = 2nπ — $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {4} $, n ԑ Z.

v.

Солн:

Или, $ \ sqrt 3 $ cosθ + sinθ = 1

Или, $ \ frac {{\ sqrt 3}} {2} $ cosθ + $ \ frac {1} {2} $ sinθ = $ \ frac {1} {2} $ [деление на 2]

Или, cos $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {6} $ cosθ + sin $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {6} $ sinθ = $ \ frac {1} { 2} $.

Или, cos $ \ left ({\ theta — \ frac {{\ rm {\ pi}}} {6}} \ right) $ = cos $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $

Или, θ — $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {6} $ = 2nπ $ \ pm $$ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $.

Или, θ = 2nπ + $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {6} $$ \ pm $$ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $, n ԑ Z.

Для n = 0, θ = $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {6} \ pm \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $

Или, θ = $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {6} + \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3}, \ frac {{\ rm {\ pi}}} {6} — \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3}

Итак, θ = $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {2}, — \ frac {{\ rm {\ pi}}} {6} $

Для n = –1, θ = $ — 2 {\ rm {\ pi}} + \ frac {{\ rm {\ pi}}} {6} \ pm \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3}

Или, θ = $ — 2 {\ rm {\ pi}} + \ frac {{\ rm {\ pi}}} {6} + \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3}, — 2 {\ rm {\ pi}} + \ frac {{\ rm {\ pi}}} {6} — \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3}

Итак, θ = $ \ frac {{- 3 {\ rm {\ pi}}}} {2}, \ frac {{- 13 {\ rm {\ pi}}}} {6} $

Для n = 1, θ = $ 2 {\ rm {\ pi}} + \ frac {{\ rm {\ pi}}} {6} \ pm \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $

Или, θ = $ 2 {\ rm {\ pi}} + \ frac {{\ rm {\ pi}}} {6} + \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3}, 2 {\ rm {\ pi}} + \ frac {{\ rm {\ pi}}} {6} — \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3}

Итак, θ = $ \ frac {{5 {\ rm {\ pi}}}} {2}, \ frac {{11 {\ rm {\ pi}}}} {6} $

Поскольку, –2π <θ <2π

Итак, θ = $ — \ frac {{3 {\ rm {\ pi}}}} {2}, — \ frac {{\ rm {\ pi}}} {6}, \ frac {{\ rm { \ pi}}} {2}, \ frac {{11 {\ rm {\ pi}}}} {6}

vi.

Солн:

Cosθ + $ \ sqrt 3 $ sinθ = 2, (–2π ≤ θ ≤ 2π)

Или, $ \ frac {1} {2} $ cosθ + $ \ frac {{\ sqrt 3}} {2} $ sinθ = $ \ frac {2} {2} $ [деление на 2]

Или cos $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $ cosθ + sin $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $ sinθ = 1

Или, cos $ \ left ({\ theta — \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3}} \ right) $ = cos 0

Итак, θ — $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $ = 2nπ

Итак, θ = 2nπ + $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $, n ԑ Z.

Сейчас,

Для n = 0 θ = $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $.

Для n = –1, θ = –2π + $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $ = $ \ frac {{7 {\ rm {\ pi}}}}} {3} $ .

Так как –2π ≤ θ ≤ 2π, то θ = $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $, $ — \ frac {{5 {\ rm {\ pi}}}} {3} $.

4.

(i)

Солн:

Здесь задано уравнение sinx = $ \ frac {1} {2} $… (i)

И cos x = $ — \ frac {{\ sqrt 3}} {2} $… (ii)

Поскольку синус угла положительный, а косинус угла отрицательный, общий угол, который удовлетворяет как уравнениям (1), так и (2), должен лежать во втором квадранте.

Итак, sinx = $ \ frac {1} {2} $ àx = $ \ frac {{5 {\ rm {\ pi}}}} {6} $

И cos x = $ — \ frac {{\ sqrt 3}} {2} $ à x = $ \ frac {{5 {\ rm {\ pi}}}} {6} $.

Поскольку функции синуса и косинуса являются периодическими функциями периода 2, требуемое общее решение:

x = 2nπ + $ \ frac {{5 {\ rm {\ pi}}}} {6} $, n Z.

(ii)

Солн:

Здесь задано уравнение sinx = $ — \ frac {1} {2} $… (i)

И tanx = 1… (ii)

Поскольку синус угла отрицательный, а тангенс угла положительный, общий угол, который удовлетворяет как уравнениям (1), так и (2), должен находиться в третьем квадранте.

Итак, sinx = $ — \ frac {1} {2} $ àx = $ \ frac {{5 {\ rm {\ pi}}}} {4} $

И tan x = 1 à x = $ \ frac {{5 {\ rm {\ pi}}}} {4} $.

Следовательно, требуемое решение, удовлетворяющее (1) и (2), равно

x = 2nπ + $ \ frac {{5 {\ rm {\ pi}}}} {4} $, n ԑ Z.

(iii)

Солн:

Здесь задано уравнение sinx = $ — \ frac {{\ sqrt 3}} {2} $… (i)

И cosx = $ \ frac {1} {2} $… (ii)

Поскольку синус угла отрицательный, а косинус угла положительный, общий угол, который удовлетворяет как уравнениям (1), так и (2), должен лежать в четвертом квадранте.

Итак, sinx = $ \ frac {{- \ sqrt 3}} {2} $ àx = $ \ frac {{5 {\ rm {\ pi}}}} {3} $

И cos x = $ \ frac {1} {2} $ à x = $ \ frac {{5 {\ rm {\ pi}}}} {3} $.

Следовательно, требуемое решение:

x = 2nπ + $ \ frac {{5 {\ rm {\ pi}}}} {3} $, n ԑ Z.

(iv)

Солн:

Здесь данное уравнение имеет вид cosecx = $ \ frac {{- 2}} {{\ sqrt 3}} $… (i)

И tanx = $ — \ sqrt 3 $… (ii)

Поскольку косеканс угла отрицательный, а тангенс угла положительный, общий угол, который удовлетворяет как уравнениям (1), так и (2), должен лежать в четвертом квадранте.

Итак, cosecx = $ \ frac {{- 2}} {{\ sqrt 3}} $ àx = $ \ frac {{5 {\ rm {\ pi}}}} {3} $

И tan x = $ — \ sqrt 3 $ à x = $ \ frac {{5 {\ rm {\ pi}}}} {3} $.

Следовательно, требуемое решение:

x = 2nπ + $ \ frac {{5 {\ rm {\ pi}}}} {3} $, n ԑ Z.

Тригонометрические уравнения и общие значения. Математика 11 класс | Банкноты

Sinθ = $ \ frac {{\ rm {p}}} {{\ rm {h}}} $

cosθ = $ \ frac {{\ rm {b}}} {{\ rm {h}}} $

tanθ = $ \ frac {{\ rm {P}}} {{\ rm {b}}} $

cotθ = $ \ frac {{\ rm {b}}} {{\ rm {P}}} $

секθ = $ \ frac {{\ rm {h}}} {{\ rm {b}}} $

cosecθ = $ \ frac {{\ rm {h}}} {{\ rm {p}}} $

Взаимные свойства :

Cotθ = $ \ frac {1} {{{\ rm {tanx}}}} $

Cosθ = $ \ frac {1} {{{\ rm {sinx}}}} $

секθ = $ \ frac {1} {{{\ rm {cosx}}}} $

tanθ cotθ = 1

sinθ cosθ = 1

cosθ сек θ = 1

Частные свойства:

Tanθ = $ \ frac {{{\ rm {sin}} \ theta}} {{{\ rm {cos}} \ theta}} $

Cotθ = $ \ frac {{{\ rm {cos}} \ theta}} {{{\ rm {sin}} \ theta}} $

Нечетные / четные идентификаторы

1.грех (-θ) = -sin θ

2. cos (-θ) = cos θ

3. tan (-θ) = -tan θ

4. cos (-θ) = -cos θ

5. сек (-θ) = сек θ

6. Детская кроватка (-θ) = -Детская кроватка θ

Идентификатор совместной функции

Sin ($ {\ rm {\ s:}} \ frac {{\ rm {\ pi}}} {2} $ — θ) = cosθ,

sin (90 ° — θ) = cosθ,

Cos ($ {\ rm {\:}} \ frac {{\ rm {\ pi}}} {2} $ — θ) = sinθ

cos (90 ° –θ) = sinθ

tan ($ {\ rm {\:}} \ frac {{\ rm {\ pi}}} {2} $ — θ) = cotθ,

tan (90 ° $ {\ rm {\:}} $ — θ) = cotθ,

Детская кроватка ($ {\ rm {\:}} \ frac {{\ rm {\ pi}}} {2} $ — θ) = tanθ

Детская кроватка (90 ° — θ) = tanθ

Формула сложения и вычитания

Sin (A + B) = sinACosB + cosACosB

Cos (A + B) = cosA cosB — SinASinB

Sin (A –B) = sinACosB — cosASinB

Cos (A — B) = cosA cosB + SinASinB

Tan (A + B) = $ \ frac {{{\ rm {tanA}} + {\ rm {tanB}}}} {{1 + {\ rm {\: tanA \: tanB}}}} {\ rm {\:}}

Формулы преобразования

SinC + SinD = 2sin $ {\ rm {\:}} \ frac {1} {2} $ (C + D) cos $ \ frac {1} {2} $ (C — D)

SinC — sinD = 2cos $ {\ rm {\:}} \ frac {1} {2} $ (C + D) sin $ \ frac {1} {2} $ (C — D)

cosC + cosD = 2cos $ {\ rm {\:}} \ frac {1} {2} $ (C + D) sin $ \ frac {1} {2} $ (C — D)

cosC — cosD = 2cos $ {\ rm {\:}} \ frac {1} {2} $ (C + D) sin $ \ frac {1} {2} $ (D — C)

Условные удостоверения

Если A + B + C = π

A + B = π -C

Sin (A + B) = sin (π — c) = sinC

cos (A + B) = cos (π — c) = — cosC

Tan (A + B) = tan (π — c) = — tanC

Если A + B + C = $ {\ rm {\:}} \ frac {{\ rm {\ pi}}} {2} $, то.$ \ frac {{{\ rm {A}} + {\ rm {B}}}} {2} = {\ rm {\:}} \ frac {{\ rm {\ pi}}} {2} $

Sin ($ {\ rm {\:}} \ frac {{\ rm {A}}} {2} $ + $ \ frac {{\ rm {B}}} {2} {\ rm {\:} } $) = sin ($ {\ rm {\:}} \ frac {{{\ rm {\: \ pi}}}} {2} $ — $ \ frac {{\ rm {c}}} {2 } {\ rm {\:}} $) = cos $ {\ rm {\:}} \ frac {{\ rm {C}}} {2} $

cos ($ \ frac {{{\ rm {\: A}}}} {2} $ + $ \ frac {{\ rm {B}}} {2} {\ rm {\:}} $) = cos ($ {\ rm {\:}} \ frac {{\ rm {\ pi}}} {2} $ — $ \ frac {{\ rm {c}}} {2} {\ rm {\:} } $) = sin $ \ frac {{\ rm {C}}} {2} $

Желто-коричневый ($ {\ rm {\:}} \ frac {{\ rm {A}}} {2} $ + $ \ frac {{\ rm {B}}} {2} {\ rm {\:} } $) = tan ($ {\ rm {\:}} \ frac {{\ rm {\ pi}}} {{{\ rm {\:}} 2}} {\ rm {\:}} $ — $ \ frac {{\ rm {c}}} {2} {\ rm {\:}} $) = детская кроватка $ {\ rm {\:}} \ frac {{\ rm {C}}} {2} $

Примеры

1.2} {\ rm {A}}} \ right)}}

= $ \ frac {{{\ rm {tanA}} — {\ rm {secA}} + 1}} {{\ left ({{\ rm {tanA}} + {\ rm {secA}}} \ right ) — \ left ({{\ rm {secA}} — \ tan {\ rm {A}}} \ right) \ left ({{\ rm {secA}} + {\ rm {tanA}}} \ right) }} $

= $ \ frac {1} {{{\ rm {tanA}} + {\ rm {secA}}}}

= $ \ frac {1} {{\ frac {{{\ rm {sinA}}}} {{{\ rm {cosA}}}} + \ frac {1} {{{\ rm {cosA}}} }}}

= $ \ frac {{{\ rm {cosA}}}} {{1 + {\ rm {sinA}}}} $ = R.H.S.

2.

tan6 ° .tan42 ° .tan66 °.{\ circ}} \ right)}}

= $ \ frac {{\ left ({\ frac {1} {2} — \ frac {{\ sqrt 5 — 1}} {4}} \ right) \ left ({\ frac {{\ sqrt 5 + 1}} {4} + \ frac {1} {2}} \ right)}} {{\ left ({\ frac {{\ sqrt 5 — 1}} {4} + \ frac {1} {2}) } \ right) \ left ({- \ frac {1} {2} + \ frac {{\ sqrt 5 + 1}} {4}} \ right)}} $

= $ \ frac {{2 — \ sqrt 5 + 1}} {{\ sqrt 5-1 + 2}}, \ frac {{\ sqrt 5 + 1 + 2}} {{\ sqrt 5 {\ rm { \:}} + 1–2}}

= $ \ frac {{\ left ({3 — \ sqrt 5} \ right) \ left ({3 + \ sqrt 5} \ right)}} {{\ left ({\ sqrt 5 + 1} \ right) \ left ({\ sqrt 5-1} \ right)}}

= $ \ frac {{9–5}} {{5–1}}

= $ \ frac {4} {4} $ = 1 = R.H.S.

3.

Если tanx = ktany показать, что

(k- 1) sin (x + y) = (k + 1) sin (x- y)

Солн:

tanx = k.tany.

Или, $ \ frac {{{\ rm {tanx}}}} {{{\ rm {tany}}}} $ = $ \ frac {{\ rm {k}}} {1} $

Или, $ \ frac {{{\ rm {tanx}} + {\ rm {tany}}}} {{{\ rm {tanx}} — {\ rm {tany}}}} $ = $ \ frac { {{\ rm {k}} + 1}} {{{\ rm {k}} — 1}} $ [Компонендо и дивидендо]

Или: $ \ frac {{\ frac {{{\ rm {sinx}}}}} {{{\ rm {cosx}}}} + \ frac {{{\ rm {siny}}}}} {{{\ rm {cosy}}}}}} {{\ frac {{{\ rm {sinx}}}}} {{{\ rm {cosx}}}} — \ frac {{{\ rm {siny}}}} { {{\ rm {cosy}}}}}} $ = $ \ frac {{{\ rm {k}} + 1}} {{{\ rm {k}} — 1}} $

Или $ \ frac {{{\ rm {sinx}}.{\ rm {cosy}} + {\ rm {cosx}}. {\ rm {siny}}}} {{{\ rm {sinx}}. {\ rm {cosy}} — {\ rm {cosx}} . {\ rm {siny}}}} $ = $ \ frac {{{\ rm {k}} + 1}} {{{\ rm {k}} — 1}} $

Или, $ \ frac {{{\ rm {sin}} \ left ({{\ rm {x}} + {\ rm {y}}} \ right)}} {{\ sin \ left ({{\ rm {x}} — {\ rm {y}}} \ right)}} = $$ \ frac {{{\ rm {k}} + 1}} {{{\ rm {k}} — 1}} $

Итак, (k — 1) sin (x + y) = (k + 1) sin (x — y).

Тригонометрическое уравнение

Тригонометрическое уравнение — это уравнение, которое содержит тригонометрическую функцию неизвестной переменной.

Примеры

1. sin2x + sinx = 0

Солн:

Здесь sin2x + sinx = 0

Или, 2 sinx.cosx + sinx = 0

Или, sinx (2cosx + 1) = 0

Либо sinx = 0

Итак, x = nπ.

Или, 2cosx + 1 = 0

Или, cosx = $ — \ frac {1} {2} $ = cos $ \ frac {{2 {\ rm {\ pi}}}} {3} $

Итак, x = 2nπ $ \ pm $$ \ frac {{2 {\ rm {\ pi}}}} {3} $ = (6n $ \ pm $ 2) $ \ frac {{\ rm {\ pi} }} {3}

Следовательно, x = nπ, (6n $ \ pm $ 2) $ \ frac {{\ rm {\ pi}}} {3} $, n ԑ Z.

2.

tanθ + tan2θ = tan 3θ.

Солн:

Здесь tan θ + tan 2θ = tan 3θ.

Или, tanθ + tan2θ — tan (θ + 2θ) = 0

Или (tanθ + tan2θ) — $ \ frac {{{\ rm {tan}} \ theta + {\ rm {tan}} 2 \ theta}} {{1 — {\ rm {tan}} \ theta. {\ rm {tan}} 2 \ theta}} {\ rm {\: \:}} $ = 0

Или, (tanθ + tan2θ) (1 — tanθ.tan2θ — 1) = 0

Итак, tanθ.tan2θ (tanθ + tan2θ) = 0

Либо tan θ = 0 = tan 0.

Итак, θ = nπ.

Или, tan 2θ = 0 = tan 0.

Итак, 2θ = nπ.

Итак, θ = $ \ frac {{{\ rm {n \ pi}}}}} {2} $.

Или, tan θ + tan2θ = 0.

Или, tan θ = –tanθ = tan (–θ)

Итак, 2θ = nπ + (–θ)

SO, 2θ + θ = nπ

SO, θ =

Тригонометрические идентичности | Purplemath

Purplemath

В математике «идентичность» — это всегда истинное уравнение.Они могут быть «тривиально» истинными, например « x = x », или практически истинными, например, « a ² + b ² = c ² » теоремы Пифагора для прямоугольные треугольники. Существует множество тригонометрических отождествлений, но следующие из них вы, скорее всего, увидите и будете использовать.

Базовый и пифагорейский, сумма углов и разность, двойной угол, полуугол, сумма, произведение

MathHelp.com

Нужен индивидуальный курс математики?
K12 | Колледж | Подготовка к тесту

Основные и пифагорейские тождества

Обратите внимание на то, что триггерное отношение «со- (что-то)» всегда является обратной величиной некоторого «несоответствующего» отношения.Вы можете использовать этот факт, чтобы понять, что косеканс идет с синусом, а секанс — с косинусом.

Следующие (в частности, первая из трех нижеприведенных) называются «пифагорейскими» идентичностями.

sin ² ( t ) + cos ² ( t ) = 1

загар ² ( т ) + 1 = сек ² ( т )

1 + детская кроватка ² ( т ) = csc ² ( т )

Обратите внимание, что все три идентичности включают возведение в квадрат и число 1.Вы можете ясно увидеть соотношение Пифагора и Тэома, если вы рассмотрите единичную окружность, где угол составляет t , «противоположная» сторона — sin ( t ) = y , «смежная» сторона — cos ( t ) = x , а гипотенуза равна 1.

У нас есть дополнительные идентификаторы, связанные с функциональным статусом триггерных соотношений:

sin ( –t ) = — sin ( t )

cos ( –t ) = cos ( t )

загар ( –t ) = — загар ( т )

Обратите внимание, в частности, что синус и тангенс являются нечетными функциями, симметричными относительно начала координат, а косинус — четной функцией, симметричной относительно оси y .Тот факт, что вы можете вынести знак «минус» аргумента за пределы (для синуса и тангенса) или полностью исключить его (для косинуса), может быть полезным при работе со сложными выражениями.

Тождества суммы углов и разности

sin (α + β) = sin (α) cos (β) + cos (α) sin (β)

sin (α — β) = sin (α) cos (β) — cos (α) sin (β)

cos (α + β) = cos (α) cos (β) — sin (α) sin (β)

cos (α — β) = cos (α) cos (β) + sin (α) sin (β)

Кстати, в вышеприведенных тождествах углы обозначаются греческими буквами.Буква а-типа, «а», называется «альфа», что произносится как «аль-фу». Буква b-типа, «β», называется «бета», что произносится как «BAY-tuh».

Двойные углы

sin (2 x ) = 2 sin ( x ) cos ( x )

cos (2 x ) = cos ² ( x ) — sin ² ( x ) = 1-2 sin ² ( x ) = 2 cos ² ( x ) — 1

Полуугловые идентичности

Вышеупомянутые идентичности можно переформулировать путем возведения квадратов каждой стороны и удвоения всех угловых мер.Результаты следующие:

sin ² ( x ) = ½ [1 — cos (2 x )]

cos ² ( x ) = ½ [1 + cos (2 x )]

Филиал

Сумма идентификаторов

Обозначения продукта

Вы будете использовать все эти тождества или почти все эти тождества для доказательства других триггерных тождеств и для решения тригонометрических уравнений.Однако, если вы собираетесь изучать исчисление, обратите особое внимание на пересчитанные тождества синуса и косинуса половинного угла, потому что вы будете использовать их лот в интегральном исчислении.