Корень n степени контрольная работа: Контрольная работа по теме «Корень n-ой степени и его свойства»

Содержание

▶▷▶ контрольная работа 11 класс корень n ой степени по мордковичу

контрольная работа 11 класс корень n ой степени по мордковичу — Yahoo Search Results Yahoo Web Search Sign in Mail Go to Mail» data-nosubject=»[No Subject]» data-timestamp=’short’ Help Account Info Yahoo Home Settings Home News Mail Finance Tumblr Weather Sports Messenger Settings Yahoo Search query Web Images Video News Local Answers Shopping Recipes Sports Finance Dictionary More Anytime Past day Past week Past month Anytime Get beautiful photos on every new browser window Download Контрольная работа по алгебре «Корень n-ой степени» (11 класс) infourokru/kontrolnaya-rabota-po-algebre-koren Cached Контрольная работа по алгебре для 11 класса по теме « Корень n — ой степени » Предисловие для учителя Контрольные работы в 11 классе по алгебре, Мордкович за 1, 2 mathematics-testscom/ 11 -klass/kontrolnye-raboty/ Cached Контрольные в 11 классе по 2 » Корень n — ой степени » Контрольная работа №6 «Уравнения и Контрольная работа для 11 класса (базовый уровень)по infourokru/kontrolnaya-rabota-dlya-klassa Cached › Другие методич материалы › Контрольная работа для 11 класса (базовый уровень) по математике на тему » Корень n — ой степени Степенные функции» Контрольная работа номер 9 корень n й степени вариант 1 docplayerru/67956916-Kontrolnaya-rabota-nomer-9 Cached Контрольная работа номер 9 корень n й степени вариант 1 Перейти 11 класс , контрольные по алгебре, контрольные работы по Мордкович за 1, 2, 3, Контрольная работа 2 Контрольная работа «Корень n-й степени» — АЛГЕБРА 10-11 школа-пифагорарф/publ/kontrolnye_raboty Cached ПРАКТИКУМ ПО ПОДГОТОВКЕ К ГИА 9 КЛАСС МАТЕМАТИКА В 10 КЛАССЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДИКТАНТЫ ПО ГЕОМЕТРИИ В 10 КЛАССЕ ГДЗ решебник по алгебре 11 класс самостоятельные работы gdzputinaco 11 класс Алгебра ГДЗ решебник по алгебре 11 класс самостоятельные работы Александрова Здесь представлены ответы к самостоятельным работам по алгебре 11 класс Александрова Контрольная работа по алгебре и началам анализа «Корень n multiurokru/files/kontrol-naia-rabota-po Cached Работа наравлена на выявление уровеня усвоения учащимися темы « Корень степени n »Предлагается 6 вариантов контрольной работы (варианты расположены по усложнению) Контрольная работа «Корень n-ой степени» 10 класс скачать uchitelyacom/matematika/44387-kontrolnaya-rabota-koren Cached Скачать Контрольная работа » Корень n — ой степени » 10 класс Ширина блока px Скопируйте этот код и вставьте себе на сайт Свойства корня n-ой степени Алгебра, 11 класс: уроки, тесты wwwyaklassru … Алгебра 11 класс Теоретические уроки, тесты и задания по предмету Свойства корня n — ой степени , Степени и корни Степенные функции, 11 класс , Алгебра Комплект контрольных и самостоятельных работ по алгебре для obrazbaseru/matematika/442-komplekt-kontrolnykh-i Cached Контрольная работа по теме « Корень n – ой степени » Контрольная работа по теме «Многочлены» Контрольная работа по теме «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства» Promotional Results For You Free Download | Mozilla Firefox ® Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 15,800 results Settings Help Suggestions Privacy (Updated) Terms (Updated) Advertise About ads About this page Powered by Bing™

Страница не найдена «

2 февраля День воинской славы России. В этот день в 1943 году советские войска разгромили немецко-фашистские войска в Сталинградской битве. Подробнее… Видеоролик: YouTube 9 февраля Памятная дата военной истории России. В этот день в 1904 году российский крейсер «Варяг» и канонерская лодка «Кореец» геройски сражались с японской эскадрой в бухте Чемульпо. Подробнее… Видеоролик: YouTube 13 февраля Памятная дата военной […]

подробнее

1 марта 2000 года в Шатойском районе Чечни свой последний бой приняла 6-я рота 104-го гвардейского парашютно-десантного полка 76-й Псковской дивизии ВДВ. Герои-десантники под командованием гвардии подполковника Марка Евтюхина почти сутки удерживали высоту 776, отражая атаки прорывавшегося из окружения двухтысячного отряда боевиков Хаттаба. 11 марта в актовом зале колледжа прошел урок мужества «Немеркнущий подвиг героев-десантников», […]

подробнее

15 ноября студенты колледжа стали участниками молодёжного проекта «Поколение Next — ПЕРЕЗАГРУЗКА — 2019». Мероприятие было приурочено ко Всемирному дню вторичной переработки и посвящен теме экологической безопасности. Проект представлял собой творческое соревнование команд студентов тверских колледжей. Все участники показали хорошие знания о переработке, представили красочные творческие работы на эту тему. Генеральный директор Тверского завода вторичных полимеров рассказал ребятам […]

подробнее

Во исполнение решений заседаний антитеррористической комиссии в Тверской области, на основании письма Министерства образования Тверской области от 10.07.17. № 29/9139-06 1 сентября в колледже пройдет акция, посвященное Дню солидарности в борьбе с терроризмом. В рамках проведения Дня солидарности в борьбе с терроризмом с 4.09. по 8.09. в колледже будут проведены следующие мероприятия: — Беседы и […]

подробнее

3 марта Памятная дата военной истории России. В этот день в 1799 году русская эскадра под командованием Фёдора Фёдоровича Ушакова взяла штурмом крепость Корфу.

Подробнее… Видеоролик: YouTube 22 марта Памятная дата военной истории России. В этот день в 1915 году русские войска после многомесячной осады взяли крупнейшую австрийскую крепость Перемышль. Подробнее… Видеоролик: YouTube 27 марта Памятная дата военной […]

подробнее

В период с 15 по 20 февраля 2021 года студенты колледжа стали участниками всероссийского Урока мужества и подвига #ГероиЕсть . Идея проведения Урока возникла в рамках подготовки Первого Российского фестиваля кино и интернет-контента «Герои Большой Страны». Урок содержит элементы методики проекта «Мотивирующие цифровые уроки», которая применяется многими школами уже в 84 регионах, при этом, этот урок построен в другом формате […]

подробнее

20 февраля 2021 года в колледже прошли мероприятия, посвящённые Дню родного языка. Студенты I курса посетили выставку книг учебной библиотеки, прослушали лекцию «Сохранение ценностей русского языка», приняли участие в конкурсе сочинений «Моя Alma Mater» и викторине «Знаем ли мы родной язык». Игуменьшева Кристина, студентка группы 1СИВ2, за сочинение «Несказочные истории мастера стиля» получила диплом за […]

подробнее

Ежегодно в России отмечают День молодого избирателя. В этом году в связи с ограничениями при проведении массовых мероприятий и с учетом санитарно-эпидемиологических норм День молодого избирателя будет праздноваться 16 мая. Однако, избирательная комиссия Тверской области уже начала проводить мероприятия, приуроченные к этому дню. Так, 19 февраля 2021 года при поддержке Управления по культуре, спорту и […]

подробнее

Контрольная Корень n-ной 📝 степени. Арифметический корень n-ной степени

1. Сколько стоит помощь?

Цена, как известно, зависит от объёма, сложности и срочности. Особенностью «Всё сдал!» является то, что все заказчики работают со экспертами напрямую (без посредников).

Поэтому цены в 2-3 раза ниже.

2. Каковы сроки?

Специалистам под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный, требующий существенных временных затрат. Для каждой работы определяются оптимальные сроки. Например, помощь с курсовой работой – 5-7 дней. Сообщите нам ваши сроки, и мы выполним работу не позднее указанной даты. P.S.: наши эксперты всегда стараются выполнить работу раньше срока.

3. Выполняете ли вы срочные заказы?

Да, у нас большой опыт выполнения срочных заказов.

4. Если потребуется доработка или дополнительная консультация, это бесплатно?

Да, доработки и консультации в рамках заказа бесплатны, и выполняются в максимально короткие сроки.

5. Я разместил заказ. Могу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?

Да, конечно — оценка стоимости бесплатна и ни к чему вас не обязывает.

6. Каким способом можно произвести оплату?

Работу можно оплатить множеством способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, в терминале, в салонах Евросеть / Связной, через Сбербанк и т.д.

7. Предоставляете ли вы гарантии на услуги?

На все виды услуг мы даем гарантию. Если эксперт не справится — мы вернём 100% суммы.

8. Какой у вас режим работы?

Мы принимаем заявки 7 дней в неделю, 24 часа в сутки.

Практическая работа № 2 Тема: «Корни».

Цель работы: овладение практическими навыками и закрепление теоретического материала по вычислению корней из чисел и числовых и буквенных выражений.

Студент должен:

знать:

— понятие корня n-ой степени;

-понятие арифметического корня;

-основные свойства корней;

уметь:

— вычислять корень n-ой степени;

-упрощать любые выражения используя свойства корней;

Подготовка к работе:

Повторить, что такое арифметический квадратный корень из числа.
Свойства арифметического квадратного корня.

Контрольные вопросы:

Что такое корень n-ой степени из числа а?
Что такое арифметический корень n-ой степени из числа ?
Основные свойства корней?
Как называют знак корня ?

Задание:

Задание	вариант
Задание	1	2
1)Вычислите	А) Б)
2)Решите уравнение	А) Б)
3)Найдите значение числового выражения	а) б)	А) Б)
4)Внесите множитель под знак корня	А)2 Б)	5
5)Преобразуйте заданное выражение к виду
6)Вынесите множитель из под знака корня

Теоретический материал К ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ № 2:

Корень n-й степени и его свойства.

безусловно, все так или иначе знакомы с интуитивным понятием квадратного корня — это такое число, квадрат которого равен a. аналогично определяется корень n-й степени из числа a, где n — положительное число.

определение. корнем n-й степени из числа a называется такое число, n-я степень которого равна a.

согласно данному определению корень n-й степени из числа а — это решение уравнения . число корней этого уравнения зависит от n и от а.

арифметический корень n-й степени. определение. арифметическим корнем n-й степени из числа a называют неотрицательное число, n-я степень которого равна а.

арифметический корень обозначают . число n называют показателем корня, а само число a — подкоренным выражением. знак корня √ называют радикалом.

основные свойства корней.

Для любого натурального n, целого k и любых неотрицательных чисел a и b выполнены равенства:

Эти пять свойств с легкостью доказываются из определения корня и степени. при решении задач, связанных с вычислением корней следует активно пользоваться этими свойствами — они сокращают объем вычислений, позволяют упрощать выражения и оказывают другую помощь.

Для любых чисел а и b, таких, что 0≤а<b, выполняется неравенство . проведем доказательство методом от противного. допустим, что . тогда по свойству степеней с натуральным показателем , т.е. a≥b. это противоречит условию а<в.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 3

Тема: «Степени».

Цель работы: овладение практическими навыками и закрепление теоретического материала по вычислению степени с рациональным и действительным показателем.

Студент должен:

знать:

Определение степени с натуральным показателем;
Определение степени числа с рациональным показателем;
Свойства степени числа с рациональным показателем;

уметь:

Преобразовывать выражения содержащие степень с действительным показателем;
Переводить степень с рациональным показателем в корень;
Переводить корень в степень с рациональным показателем;

Подготовка к работе:

Повторить определение степени числа с целым показателем.
Повторить свойства степени с целым показателем.

Контрольные вопросы:

Что такое степень числа с рациональным показателем?
Свойства степени числа с рациональным показателем?
Как перевести степень с рациональным показателем в корень?
Как перевести корень в степень с рациональным показателем?

Задание:

1. Задание	Вариант
1. Задание	1	2
1)Представьте степень с дробным показателем в виде корня
2)Представьте заданное выражение в виде степени с рациональным показателем
3) Вычислите
4)Найдите значение выражения
5) Упростите выражение
6)Упростите выражение

Теоретический материал к практической работе № 3:

Определение

Cтепенью числа а > 0 с рациональным показателем , где ,m – целое число, а n – натуральное (n > 1), называется число .

Степень с дробным показателем, ее свойства

▶▷▶ контрольная работа по алгебре 10 класс степень

Интерфейс	Русский/Английский
Тип лицензия	Free
Кол-во просмотров	257
Кол-во загрузок	132 раз
Обновление:	20-01-2019

контрольная работа по алгебре 10 класс степень — Yahoo Search Results Yahoo Web Search Sign in Mail Go to Mail» data-nosubject=»[No Subject]» data-timestamp=’short’ Help Account Info Yahoo Home Settings Home News Mail Finance Tumblr Weather Sports Messenger Settings Want more to discover? Make Yahoo Your Home Page See breaking news more every time you open your browser Add it now No Thanks Yahoo Search query Web Images Video News Local Answers Shopping Recipes Sports Finance Dictionary More Anytime Past day Past week Past month Anytime Get beautiful photos on every new browser window Download Контрольная работа по теме «Степень с действительным nsportalru/shkola/algebra/library/2015/03/31/ Cached Учебно-методический материал по алгебре ( 10 класс ) на тему: Контрольная работа по теме » Степень с действительным показателем», 10 класс Контрольная работа 10 класс «Степень с действительным pedsovetsu/load/135- 1-0 -35772 Cached « Контрольная работа по алгебре и началам анализа 10 класс на тему « Степень с действительным показателем» Автор: Мелихова Анна Геннадьевна, учитель математики Контрольная Работа По Алгебре 10 Класс Степень — Image Results More Контрольная Работа По Алгебре 10 Класс Степень images Контрольная работа по алгебре «Степень с натуральным pedsovetsu/load/136- 1-0 -51108 Cached Полный текст материала Контрольная работа по алгебре » Степень с натуральным показателем»; 7 класс смотрите в скачиваемом файле На странице приведен фрагмент Контрольная работа по алгебре 7 класс по теме «Степень с infourokru/kontrolnaya-rabota-po-algebre-klass Cached › Тесты › Контрольная работа по алгебре 7 класс по теме » Степень с натуральным показателем и ее свойства» Контрольная работа по алгебре 7 класс по теме » Степень с натуральным показателем и Контрольная работа по теме:»Степень с натуральным показателем» nsportalru/shkola/algebra/library/2013/12/24/ Cached Контрольная работа по теме » Степень с действительным показателем», 10 класс Открытый урок по алгебре в 7 классе по теме » Степень с натуральным показателем» Контрольная работа по алгебре 8 класс Степень с целым infourokru/kontrolnaya-rabota-po-algebre-klass Cached › Тесты › Контрольная работа по алгебре 8 класс Степень с целым показателем Степень с целым показателем Контрольная работа по алгебре 8 класс Проверочная работа по алгебре 10 класс Тема»Степень с pedportalnet/starshie-klassy/algebra/ Cached Проверочная работа по алгебре 10 класс Тема» Степень с действительным показателем» (Алгебра) Учебное пособие для учителей Контрольная по алгебре 7 класс — контрольные работы с mathematics-testscom/algebra-7-klass-novoe/ Cached Контрольные работы по алгебре для 7 класса, возведение в степень » Контрольная работа №6 (3 Контрольная работа № 4 по теме Степень с натуральным compendiumsu/mathematics/7klass_1/38html Cached Контрольная работа № 4 по теме Степень с натуральным показателем — ОДНОЧЛЕНЫ — СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ — Поурочные разработки по алгебре 7 класс — все, что необходимо для Контрольная работа по алгебре 10 класс по теме: «Степень с konspekty-zanyatijru/testy/kontrolnaya-rabota-po Cached Популярные записи Контрольная работа по математике 1 класс за i полугодие ФГОС Promotional Results For You Free Download | Mozilla Firefox ® Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 26,500 results Settings Help Suggestions Privacy (Updated) Terms (Updated) Advertise About ads About this page Powered by Bing™

easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 26
10 класс Контрольная работа 10 класс «Степень с действительным pedsovetsu/load/135- 1-0 -35772 Cached « Контрольная работа по алгебре и началам анализа 10 класс на тему « Степень с действительным показателем» Автор: Мелихова Анна Геннадьевна
10 класс Открытый урок по алгебре в 7 классе по теме » Степень с натуральным показателем» Контрольная работа по алгебре 8 класс Степень с целым infourokru/kontrolnaya-rabota-po-algebre-klass Cached › Тесты › Контрольная работа по алгебре 8 класс Степень с целым показателем Степень с целым показателем Контрольная работа по алгебре 8 класс Проверочная работа по алгебре 10 класс Тема»Степень с pedportalnet/starshie-klassy/algebra/ Cached Проверочная работа по алгебре 10 класс Тема» Степень с действительным показателем» (Алгебра) Учебное пособие для учителей Контрольная по алгебре 7 класс — контрольные работы с mathematics-testscom/algebra-7-klass-novoe/ Cached Контрольные работы по алгебре для 7 класса

контрольная работа по алгебре 10 класс степень — Поиск в Google Специальные ссылки Перейти к основному контенту Справка по использованию специальных возможностей Оставить отзыв о специальных возможностях Нажмите здесь , если переадресация не будет выполнена в течение нескольких секунд Войти Удалить Пожаловаться на неприемлемые подсказки Режимы поиска Все Картинки Новости Видео Карты Ещё Покупки Книги Авиабилеты Финансы Настройки Настройки поиска Языки (Languages) Включить Безопасный поиск Расширенный поиск Ваши данные в Поиске История Поиск в справке Инструменты Результатов: примерно 795 000 (0,56 сек) Looking for results in English? Change to English Оставить русский Изменить язык Результаты поиска Все результаты Контрольная работа по теме: «Степень с действительным › Алгебра Сохраненная копия 1 дек 2018 г — Cкачать: Контрольная работа по теме: » Степень с и началам анализа на тему » Степень с действительным показателем» ( 10 класс ) Контрольная работа по алгебре и началам математического › Алгебра Сохраненная копия Похожие н-ой степени Степень с действительным показателем» материалов А 10 Контрольная работа №1 «Действительные числа» Вариант 1 1 Контрольная работа по математике за 5 класс 1 четверть 21102015; 1110 Картинки по запросу контрольная работа по алгебре 10 класс степень «ct»:3,»id»:»06vcKb0kGACrpM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:119,»oh»:433,»ou»:» «,»ow»:1261,»pt»:»ds02infourokru/uploads/ex/134a/000270c1-c06ec0b4″,»rh»:»infourokru»,»rid»:»UItBpTGEyMzpZM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»Инфоурок»,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcQkOcwUBDDT5H577Od44aDgrOSQP3s85RkntKh3-oYTeS3Vc7Bi0X7x_nhe»,»tw»:262 «cl»:3,»cr»:3,»ct»:3,»id»:»zJuEFbfq1tgovM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:112,»oh»:2001,»ou»:» «,»ow»:2912,»pt»:»fs00infourokru/images/doc/232/78579/1/hello_html»,»rh»:»infourokru»,»rid»:»9_hPn5LWAVQq5M»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»Инфоурок»,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcTl_OkrulJd04S6feNQtMndQypg1XpXBm1tFnCVg1GVw7B7UyZXpSbonPJh»,»tw»:131 «ct»:3,»id»:»aqYSNVZY1CH76M:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:119,»oh»:273,»ou»:» «,»ow»:1061,»pt»:»ds02infourokru/uploads/ex/134a/000270c1-c06ec0b4″,»rh»:»infourokru»,»rid»:»UItBpTGEyMzpZM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»Инфоурок»,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcTFZSVYhFbSe0UJcrmXlRHkhf_XMVy80YoumfHSZ71I79Wf8dM5XhHbgTE»,»tw»:350 «ct»:6,»id»:»nR1xu0K6_YJSnM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:119,»oh»:382,»ou»:» «,»ow»:2048,»pt»:»ds02infourokru/uploads/ex/11cd/00014a4c-4db00710″,»rh»:»infourokru»,»rid»:»JP2l61Y3GZnPuM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»Инфоурок»,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcRdy6I2D4tk3jeOqIwvltGBrCbUYKNKa0O3VDJ2dESeilWSiuXd9ybpYUA»,»tw»:483 «cb»:12,»cr»:3,»ct»:9,»id»:»yN9yGUpim-1qSM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:115,»oh»:561,»ou»:» «,»ow»:2048,»pt»:»fs00infourokru/images/doc/232/78579/1/hello_html»,»rh»:»infourokru»,»rid»:»9_hPn5LWAVQq5M»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»Инфоурок»,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcTjWSBtEtDw-bVHHV5M4TgsPlXHtvIOf46MQ_LU4BhujvJO9tpqsidZBJeH»,»tw»:329 Другие картинки по запросу «контрольная работа по алгебре 10 класс степень» Жалоба отправлена Пожаловаться на картинки Благодарим за замечания Пожаловаться на другую картинку Пожаловаться на содержание картинки Отмена Пожаловаться Все результаты Контрольные работы по алгебре и началам анализа 10 класс › Алгебра Сохраненная копия 1 нояб 2017 г — Контрольные работы по алгебре и началам анализа 10 класс Алимов Столичный учебный Контрольная работа № 1 по теме «Действительные числа» базовый Свойства степени с натуральным показателем Контрольная работа 10 класс «Степень с действительным pedsovetsu › › Математика, алгебра, геометрия › Оценка знаний учащихся Сохраненная копия Похожие 27 мар 2013 г — Методическая разработка « Контрольная работа по алгебре и началам анализа 10 класс на тему « Степень с действительным Степень с действительным показателем | Контент-платформа Контрольная работа 10 класс « Степень с действительным показателем» Вариант 1 1 Вычислить: а) б) в) 2 Упростить: а) б) 3 Сравнить: Контрольная работа по алгебре и началам анализа 10 класс Сохраненная копия 7 окт 2016 г — Итоговый контроль по теме « Степень с рациональным и действительным показателем» Работа содержит 2 варианта Учебно-методический материал по алгебре (10 класс) на тему Сохраненная копия 31 мар 2015 г — Контрольная работа по теме » Степень с действительным показателем», 10 класс Контрольные работы по алгебре и началам анализа, 10 класс wwwobrazbaseru//890-kontrolnye-raboty-po-algebre-i-nachalam-analiza-10-klass- Сохраненная копия Рейтинг: 3 — ‎5 голосов 13 февр 2015 г — КР №3 Степень с действительным показателем по Колягину КР №4 Степенная Tags: 10 класс , контрольная работа , Алгебра Курс: АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА 10, : Повторение Степень с Сохраненная копия Похожие АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА 10 Повторение Степень с рациональным показателем и её свойства Корень n-ой степени и его свойства Задание по теме » Степень с рациональным Входное тестирование по алгебре для 10 классов Контрольная работа по теме «Функции Уравнения Неравенства» Контрольная работа по алгебре 10 класс по теме: «Степень с konspekty-zanyatijru//kontrolnaya-rabota-po-algebre-10-klass-po-teme-stepen-s-de Сохраненная копия Контрольная работа по алгебре 10 класс по теме: « Степень с действительным показателем» Опубликовано в Тесты | Апрель 27th, 2017 [DOC] Степень с действительным показателем Сохраненная копия по алгебре и началам математического анализа Уровень Общая характеристика курса « Алгебра и начала математического анализа, 10 класс » Контрольная работа № 3 по теме « Степень с действительным показателем» Ответы MailRu: срочно нужно решить контрольную по алгебре,10 › Образование › Школы Сохраненная копия Похожие Вычислить: 1) 3 в степени -3 умножить на 81 в степени одна вторая минус 81 в степени одна четвёртая разделить на 3 в стеени -2 2Представьте в Контрольная работа по алгебре и началам анализа в форме теста Сохраненная копия 26 апр 2017 г — Методические разработки по Алгебре для 10 класса по УМК Контрольная работа по алгебре и началам анализа в форме теста за 1-ое полугодие Нажмите 41 Понятие степени с рациональным показателем Контрольная работа по теме «Степень с действительным Сохраненная копия Похожие Контрольная работа по теме » Степень с действительным показателем», 10 класс ( Алгебра ) Учебное пособие для учителей Контрольная работа по теме: «Степень с — Методистыру metodistyru/m//kontrolnaya_rabota_po_teme_stepen_s_deistvitelnym_pokazatelem Сохраненная копия Похожие 7 окт 2012 г — Контрольная работа содержит задания по теме: » Степень с Колягин ЮМ, Сидоров ЮВ, и другие « Алгебра и начала анализа» 10 – 11 кл по теме: » Степень с действительным показателем» ( 10 -11 класс ) [PDF] Алгебра и начала анализа 10-11 класс Базовый уровень school1iveduru/files/rp_al_10-11bpdf Сохраненная копия Похожие Алгебра Корни и степени Корень степени п 1 и его свойства Степень с Итоговую контрольную работу в 10 классе провести в форме теста, контрольная работа 11 класс степени и корни степенные функции immanuelenglishcom//kontrolnaia-rabota-11-klass-stepeni-i-korni_-stepennye-funk Сохраненная копия контрольная работа 11 класс степени и корни степенные функции функции , 11 класс , Алгебра Контрольная работа «Корни и степени » — Алгебра на учащихся 10 — 11 классов и реализуется на основе Контрольная работа №1 [PDF] По алгебре и началам математического анализа для 10 класса школа-синтезрф/userfls/ufiles/10%20класс%20Алгебра%20(база)pdf Сохраненная копия 21 нояб 2018 г — для 10 класса (базовый уровень) средней школы на 2018 — 2019 понижения степени Контрольная работа №2 «Определение [PDF] Алгебра профиль 11А ФМ — МАОУ СОШ №37 Тюмени school37-tmnru/wp-content/uploads/2018/01/Алгебра-профиль-11А-ФМpdf Сохраненная копия Повторение курса алгебры 10 класса 5 2 корня натуральной степени , степени с рациональным показателем, Контрольная работа № 1 по теме Портфолио — Сайт учителя математики Ронжиной Римы Равилевны ronzinasch58ufaru/indexphp/o-sebe/96-ronzhina-r-r/dlya-kolleg Сохраненная копия Самостоятельная работа » Степени и корни», 11 класс — скачать Тест » Свойства Административная контрольная работа , 10 класс , 1 четверть — скачать Контрольный срез по алгебре , 10 класс , декабрь — скачать Контрольная Домашняя контрольная работа по теме «Степень положительного kozhevnikovatvru/domashnyaya-kontrolnaya-rabota-po-teme-stepen-polozhitelnogo Сохраненная копия Похожие Контрольная работа №3 по теме « Степень положительного числа», алгебра , 10 класс , профильный уровень · 11 класс, ДКР №3 по теме «Применение [PDF] Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя cn36498tmwebru/rabota/metodicheskie/Алгебра%20профиль%2010%20класс Сохраненная копия « Алгебра и начала математического анализа, 10 -11 классы , авт Урок- контрольная работа Контрольная работа № 3« Степень с действи- программа 10 класс алгебра (база) 2018-2019docx — Рабочая Сохраненная копия Файл программа 10 класс алгебра (база) 2018-2019docx для материала по сформировать понятие степени с действительным показателем; научиться применять Контрольная работа № 1 по теме: «Действительные числа» ИТОГОВАЯ контрольная работа по алгебре и началам анализа 10 Сохраненная копия ИТОГОВАЯ контрольная работа по алгебре и началам анализа 10 класс в форме ЕГЭ Работа рассчитана на два урока Оценка выставляется за любые Тестовые контрольные работы по алгебре и началам анализа, 10 открытыйурокрф/статьи/550638/ Сохраненная копия 21 июл 2009 г — Контрольная работа традиционно ассоциируется с Это первые контрольные работы в 10 классе в форме ЕГЭ, поэтому «Первообразная и интеграл»; «Обобщение понятия степени «; «Показательная функция [PDF] Алгебра и начала анализа, 10 класс stupenidvru/images/stories/10/алгебра_10_кл_ист-праоноpdf Сохраненная копия При организации повторения курса алгебры за 10 класс будет обращено внимание на Итоговое повторение завершается контрольной работой [DOC] Алгебра и начала анализа — Электронное образование в (21)do Сохраненная копия ( 10а класс – социально-экономического профиля) В тематическое планирование добавлена диагностическая работа МИОО в системе СтатГрад, Степень с рациональным показателем и ее свойства В В Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10 – 11 классов Контрольная работа № 3 «Обобщение понятия степени» Сохраненная копия 8 янв 2018 г — Контрольная работа № 3 «Обобщение понятия степени » Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10 -11 классы Учебник Итоговый КИМ по алгебре 10 класс — Уроки математики › Тест Сохраненная копия 1 авг 2017 г — Cкачать: Итоговый КИМ по алгебре 10 класс Итоговая контрольная работа по алгебре и началам понятие степень ; свойства [PDF] Тематическое планирование 10 класс (алгебра – 72 часа, 2 часа в school-12berdsk-eduru/sveden/files/cd532ba9-2f26-4af6-a107-5830595af7ffpdf Сохраненная копия Похожие 10 класс ( алгебра – 72 часа, 2 часа в неделю; геометрия – 72 часа, 2 часа в неделю) п/п Сроки, нед Самостоятельная работа по теме «Вычисление степени и Контрольная работа № 2 по теме «Степенная функция» Глава 3 КИМ по алгебре и началам анализа для 10 класса Учебник для начала анализа 10 класс », СМНикольский, МК Потапов, НН Решетников, АВ Шевкин, Контрольная работа №1 по теме: «Действительные числа Рациональные Контрольная работа № 3 « Степень положительного числа » Контрольная работа №2 по теме: «Степенная функция Степени и Сохраненная копия 24 нояб 2017 г — контрольная работа составлена на два варианта Степени и корни» Электронная тетрадь по алгебре 7 класс Математика 6 Контрольная работа «Корень степени n» 10 класс скачать uchitelyacom/algebra/52838-kontrolnaya-rabota-koren-stepeni-n-10-klasshtml Сохраненная копия Алгебра 10 класс , СМНикольский 1 вариант 1 вариант 2 вариант 3 вариант 3 вариант 4 вариант Ответы к контрольной работе Интернет- ресурсы: Алгебра и начала математического анализа, 10 класс | ШевкинRu wwwshevkinru/uchebniki/algebra-i-nachala-matematicheskogo-analiza-10-klass/ Сохраненная копия 22 мар 2017 г — 10 класс : учебник для общеобразовательных организаций: Контрольная работа № 1 (1) 3 Степень положительного числа (10) [DOC] Контрольная работа по алгебре и началам анализа agkptru//контрольная_работа_по_математике_для_заочников_1_курса_на_базе Сохраненная копия Похожие По дисциплине: Математика: алгебра , начала анализа, геометрия Контрольная работа составлена в 10 вариантах Корни, степени и логарифмы АГМордкович Алгебра и начала анализа, 10 -11 классы – Мнемозина 2011 [DOC] Входная контрольная работа 10 класс II вариант Часть I eduportal44ru/Ponaz_EDU/SSchool//КОС%20МА10,%2011%20входнойdocx Сохраненная копия 11 класс 1 Входная контрольная работа по курсу математики Алгебра 11 , Числа, корни и степени 111, Целые числа 112, Степень с натуральным [PDF] Промежуточная аттестация по математике 10 класс (базовый) 1 Сохраненная копия Промежуточная аттестация по математике 10 класс (базовый) 1 разделам: геометрия (планиметрия и стереометрия), алгебра , начала математического Вид: контрольная работа (промежуточная аттестация) 2 в степень Контрольная работа №2 по теме «Корень степени n» — Документ Сохраненная копия Контрольная работа № 2 по теме «Корень степени n» Вариант 2 10 Решите уравнение: а) б) в) г) Контрольная работа № 2 по теме «Корень Рабочая программа по алгебре и началам математического анализа для 10 класса К10 Степень с целым показателем 1 часть — YouTube ▶ 8:59 11 мая 2016 г — Добавлено пользователем Решайся! Контрольная работа по теме » Степень с целым показателем» 6 класс функции — Duration: 12:48 Алгебра 9 класс 141,934 views · 12:48 Контрольная работа по теме:`Степени и корни` 10кл к уч Г К Сохраненная копия Рабочая программа по алгебре 10класс по учебнику ГКМуравина, Рабочая программа по математике 5 класс по учебнику ГКМуравину, Рабочая [PDF] 10 класс алгебра (базовый уровень) 59428s003edusiteru/sveden/files/4624dde4-5847-447a-820b-cad3a8c50c74pdf Сохраненная копия АГ Мордкович Алгебра и начала анализа 10 -11 класс Учебник – М: Мнемозина, формулы понижения степени — формулы 1 раз в четверть Тематика контрольных работ: Входная контрольная работа , «Числовые функции», Контрольная работа корень n, контрольная работа 2 вариант 3 10 esidaeu/en/component/k2/itemlist/user/244 Контрольная работа корень n-й степени вариант 1 — Контрольные, курсовые, рефераты по лучшим контрольная работа 2 вариант 3 10 класс алгебра Урок 19 Контрольная работа № 2 по теме — поурочные планы unimathru › › Глава II Степень с натуральным показателем и ее свойства Сохраненная копия Похожие Алгебра 10 класс по учебнику АГ Мордковича и др Поурочные Контрольная работа № 2 по теме Цели урока: Петя вычислил степень числа 10 с показателем , где четное число Его сестра Ответы к контрольной работе : Контрольная работа «Корень n-й степени» — АЛГЕБРА 10-11 школа-пифагорарф/publ/kontrolnye/algebra_10klass/rabota/87-1-0-2180 Сохраненная копия Контрольная работа «Корень n-й степени » 1; 2; 3; 4; 5 Категория: АЛГЕБРА 10 -11 КЛАССЫ | Добавил: admin (15122014) Просмотров: 8657 | Теги: Алгебра 10 класс Тема ‘Корни степени n и их свойства’ — Пройти Сохраненная копия тест по алгебре и началам анализа проверяет знания учащихся по теме: » Корень работе проверяются знания учащхся по литературе за курс 9 класса Контрольные работы алимов 10 Контрольная работа по алгебре Сохраненная копия Контрольные работы по алгебре и началам анализа 10 класс Алимов Контрольная работа № 1 по Свойства степени с натуральным показателем 3 РП алгебра 10 класс — Саха гимназия sakhagymnyaguoru/metodicheskie-obedineniya/mo/591-rp-algebra-10-klass Сохраненная копия 2 нояб 2016 г — Алгебра Корни и степени Корень степени п 1 и его свойства Итоговую контрольную работу в 10 классе провести в форме теста, Тематическое планирование по алгебре 10 класс (Колягин ЮМ) Сохраненная копия Похожие Тематическое планирование по алгебре 10 класс (Колягин ЮМ) Степень с действительным показателем 8 Урок обобщения и систематизации знаний по Контрольная работа № 1 по теме «Действительные числа» Глава II Алгебра — 7 класс Алгебра Тематическая контрольная работа Сохраненная копия Контрольная работа по теме «Свойства степени Одночлены» в двух вариантах с заданиями различного уровня сложности соответствует учебнику Вместе с контрольная работа по алгебре 10 класс степень часто ищут контрольная работа по алгебре 10 класс степень с действительным показателем контрольная работа по алгебре 10 класс ответы колягин контрольная работа по алгебре 10 класс алимов контрольная работа по алгебре 10 класс показательная функция ответы контрольная работа по алгебре 10 класс никольский контрольная работа по алгебре 10 класс степени и корни степень с действительным показателем 10 класс контрольная работа 10 класс степень с действительным показателем вариант 1 Навигация по страницам 1 2 3 Следующая Ссылки в нижнем колонтитуле Россия — Подробнее… Справка Отправить отзыв Конфиденциальность Условия Аккаунт Поиск Карты YouTube Play Новости Почта Контакты Диск Календарь Google+ Переводчик Фото Ещё Покупки Документы Blogger Hangouts Google Keep Jamboard Подборки Другие сервисы Google

Ошибка 404 — Страница не найдена

К сожалению мы не можем показать то, что вы искали. Может быть, попробуете поиск по сайту или одну из приведенных ниже ссылок?

Архивы Выберите месяц Март 2021 Февраль 2021 Январь 2021 Декабрь 2020 Ноябрь 2020 Октябрь 2020 Сентябрь 2020 Август 2020 Июль 2020 Июнь 2020 Май 2020 Апрель 2020 Март 2020 Февраль 2020 Январь 2020 Декабрь 2019 Ноябрь 2019 Октябрь 2019 Сентябрь 2019 Август 2019 Июль 2019 Июнь 2019 Май 2019 Апрель 2019 Март 2019 Февраль 2019 Январь 2019 Декабрь 2018 Ноябрь 2018 Октябрь 2018 Сентябрь 2018 Август 2018 Июль 2018 Июнь 2018 Февраль 2018 Январь 2018 Ноябрь 2017 Сентябрь 2017 Август 2017 Июль 2017 Апрель 2017 Март 2017 Февраль 2017 Январь 2017

РубрикиВыберите рубрикуБез рубрикиВидеоурокиКенгуруконкурс ПегасОтветы на работы СтатГрадСочинениеСтатьиУчебные пособия

04.10.2020 XLIII Турнир Ломоносова задания и ответы
05.12.17 Ответы и задания по математике 10 класс СтатГрад варианты МА00201-МА00208
05.12.17 Ответы и задания по математике 7 класс “СтатГрад” варианты МА70101-МА70106
06. 11.2017 Олимпиада «Звезда» естественные науки задания и ответы 6-11 класс отборочный этап
06.12.17 Официальные темы итогового сочинения 2017 для Камчатского края и Чукотского автономного округа
06.12.17 Официальные темы итогового сочинения 2017 для Республика Алтай, Алтайский край, Республика Тыва, Респ. Хакасия, Красноярский край, Кемеровская, Томская и Новосибирская область
06.12.17 Официальные темы итогового сочинения 2017 зона 8 Республика Саха (Якутия), город Якутск, Амурская область, Забайкальский край
06.12.17 Официальные темы итогового сочинения для Республика Бурятия, Иркутская область зона 7
06.12.2017 5 зона Омск MSK+3 (UTC+6) официальные темы
06.12.2017 Ответы и задания по обществознанию 9 класс “СтатГрад” варианты ОБ90201-ОБ90204
07.12.17 Ответы и задания по русскому языку 11 класс СтатГрад варианты РЯ10701-РЯ10702
07.12.2017 Ответы и задания по биологии 9 класс пробное ОГЭ 4 варианта
08.12.2017 Ответы и задания по географии 9 класс контрольная работа ОГЭ 56 регион
08. 12.2017 Ответы и задания по физике 9 класс работа СтатГрад ОГЭ ФИ90201-ФИ90204
10.04.2020 Решать впр тренировочные варианты по математике 6 класс с ответами
10.10.17 Математика 9 класс контрольная работа 4 варианта ФГОС 56 регион задания и ответы
10.10.17 Русский язык 9 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты РЯ90101-РЯ90102
10.11.2017 История 9 класс задания и ответы статград варианты ИС90201-ИС90204
100balnik мы в ВКОНТАКТЕ
100balnik отзывы пользователей
11 апреля 10-11 класс география ответы и задания
11 апреля 6 класс история ответы и задания
11 апреля 7 класс биология ответы и задания
11.04.2020 Решать ВПР тренировочные варианты по математике 5 класс с ответами
11.10.17 Физика 11 класс СтатГрад задания и ответы варианты ФИ10101-ФИ10104
11.12.2017 – 16.12.2017 Олимпиада по дискретной математике и теоретической информатике
11.12.2017 Зимняя олимпиада по окружающему миру для 4 класса задания и ответы
11. 12.2017 Ответы и задания по английскому языку 11 класс СтатГрад вариант АЯ10101
11.12.2017 Соревнование для 5-6 классов интернет-карусель по математике задания и ответы
12.04.2020 Решать тренировочные варианты ВПР по математике 4 класс + ответы
12.10 Русский язык 10 класс диагностическая работа ФГОС для 11 региона задания и ответы
12.10.17 Русский 2 класс ВПР официальные варианты задания и ответы
12.10.17 Химия 9 класс “СтатГрад” задания и ответы варианты ХИ90101-ХИ90104
12.12.2017 Ответы и задания по географии 9 класс работа СтатГрад варианты ГГ90101-ГГ90102
13.09.2017 Биология 11 класс СтатГрад задания и ответы все варианты
13.10.17 Математика 9 класс задания и ответы для 11 региона
13.10.2017 Обществознание 11 класс работа СтатГрад задания и ответы ОБ10101-ОБ10104
13.12.2017 Ответы по физике 11 класс статград задания варианты ФИ10201-ФИ10204
13.12.2017 Письмо говорение по английскому языку 7-9 класс работа 56 регион
14. 09.2017 Информатика 11 класс тренировочная работа статград ответы и задания
14.12 Геометрия 9 класс задания и ответы “СтатГрад”
14.12.2017 КДР ответы по русскому языку 8 класс задания все варианты
14.12.2017 Контрольная работа по математике 8 класс за 1 полугодие 2 варианта заданий с ответами
14.12.2017 Литература 11 класс ответы и задания СтатГрад вариант ЛИ10101
14.12.2017 Ответы КДР по математике 10 класс задания 6 вариантов
14.12.2017 Ответы по геометрии 9 класс СтатГрад задания варианты МА90301-МА90304
14.12.2017 Ответы по математике 11 класс КДР задания 6 вариантов
15.09 Математика 10 класс контрольная работа 3 варианта 56 регион задания и ответы
15.09.2017 Биология 9 класс тренировочная работа “СтатГрад” БИ90101-БИ90104 ответы и задания
15.11.2017 Задания и ответы 2-11 класс по Русскому медвежонку 2017 год
15.12.2017 Обществознание 11 класс ответы и задания СтатГрад варианты ОБ10201-ОБ10204
16 апреля 11 класс английский язык ответы и задания
16 апреля 5 класс история ответы и задания
16 апреля 6 класс биология ответы и задания
16 апреля 7 класс география ответы и задания
16. 01.2018 Контрольная работа по русскому языку 9 класс в формате ОГЭ с ответами
16.01.2018 Ответы и задания КДР по русскому языку 11 класс 23 регион
16.10.2017 Ответы и задания всероссийской олимпиады школьников по математике 4-11 класс ВОШ
16.11.2017 МЦКО 10 класс русский язык ответы и задания
17.01.2018 Ответы и задания по информатике 11 класс работа статград варианты ИН10301-ИН10304
17.10.17 Физика 9 класс «СтатГрад» задания и ответы варианты ФИ90101-ФИ90104
18 апреля 11 класс химия ответы и задания
18 апреля 5 класс биология ответы и задания
18 апреля 6 класс обществознание ответы и задания
18 апреля 7 класс математика ответы и задания
18.09. Математика 10 класс задания и ответы
18.10.17 Математика 9 класс РПР 64 регион задания и ответы 1 этап
18.10.2017 Задания и ответы по математике 9 класс 50 регион Московская область
18.12.2017 Биология 11 класс Статград задания и ответы варианты БИ10201-БИ10204
19. 09 Диагностическая работа по русскому языку 5 класс задания и ответы за 1 четверть
19.09 Контрольная работа по русскому языку 11 класс для 56 региона задания и ответы 1 четверть
19.09.2017 школьный этап всероссийской олимпиады по ОБЖ 5-11 класс задания и ответы
19.10.17 Русский язык 11 класс (ЕГЭ) задания и ответы статград варианты РЯ10601-РЯ10602
19.12.2017 КДР геометрия 8 класс краевая диагностическая работа задания и ответы
19.12.2017 КДР математика 9 класс краевая диагностическая работа задания и ответы
19.12.2017 Математика 10 класс тригонометрия база и профиль ответы и задания СтатГрад
2 апреля 11 класс история ВПР
2 апреля 7 класс английский язык ВПР
20.09 Входная контрольная работа русский язык 7 класс для 56 региона задания и ответы
20.09.2017 История 9 класс варианты ИС90101-ИС90102 ОГЭ задания и ответы
20.11.2017 Русский язык 9 класс “СтатГрад” ОГЭ задания и ответы РЯ90701-РЯ90702
20. 12.2017 Химия 9 класс ответы и задания работа Статград варианты ХИ90201-ХИ90202
21.09.17 Математика 11 класс варианты МА10101-МА10108 задания и ответы
21.10.17 ОБЖ 7-11 класс муниципальный этап ВОШ для Москвы ответы и задания
21.11.17 Биология 9 класс СтатГрад задания и ответы варианты БИ90201-БИ90204
21.12.2017 Математика 9 класс РПР для 64 региона задания и ответы 2 этап
21.12.2017 Ответы и задания по математике 11 класс “СтатГрад” база и профиль
21.12.2017 Ответы и задания по русскому языку 10-11 класс варианты КДР 23 регион
22.09.17 Обществознание 9 класс работа статград ОГЭ варианты ОБ90101-ОБ90102 задания и ответы
22.09.17 Русский язык 10 класс входная контрольная работа ФГОС задания и ответы
22.10 Задания и ответы олимпиады по литературе 7-11 класс муниципальный этап 2017
23 апреля математика 5 класс ВПР 2019
23 апреля русский язык 6 класс ВПР 2019
23 апреля ФИЗИКА 7 класс ВПР 2019
23. 11.2017 Задания и ответы по информатике 9 класс для вариантов статград ИН90201-ИН90204
24.10.17 Изложение 9 класс русский язык СтатГрад варианты РЯ90601-РЯ90602
24.10.17 КДР 8 класс математика алгебра задания и ответы 23 регион
24.10.17 Контрольная работа английский язык 7-9 класс для 56 региона письмо
25.09.17 Информатика 9 класс задания и ответы СтатГрад варианты ИН90101-ИН90102
25.10.17 Английский язык 7-9 класс контрольная работа для 56 региона чтение варианты
25.10.17 История 11 класс МЦКО варианты задания и ответы
25.10.17 Русский язык 9 класс МЦКО задания и ответы
26.09 Английский язык 7,8,9 класс контрольная работа для 56 региона задания и ответы ФГОС
26.09.17 История 11 класс задания и ответы “СтатГрад” варианты ИС10101-ИС10102
26.09.17 Математика 11 класс мониторинговая работа ЕГЭ 3 варианта задания и ответы
26.10 ВПР Русский язык 5 класс ответы и задания все реальные варианты
26. 10.17 Химия 11 класс “СтатГрад” задания и ответы варианты ХИ10101-ХИ10104
27.09.2017 Математика 9 класс работа статград варианты МА90101-МА90104 задания и ответы
27.10 Задания и ответы для олимпиады по биологии муниципальный этап 2017
28.09.17 Русский язык 11 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты РЯ10101-РЯ10102
29.09.17 Математика 10 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты МА00101-МА00104
30.11.2017 МЦКО математика 11 класс ответы и задания
4 апреля 11 класс биология ВПР
4 апреля 7 класс обществознание ВПР
4 класс диктант 2019 год
4 класс диктант платно
4 класс математика 22.04.2019-26.04.2019
4 класс математика платно ответы и задания
4 класс окр. мир платно
4 класс окружающий мир 22.04.2019-26.04.2019
4 класс русский тест 2019 год
4 класса тест платно
5 класс биология платно
5 класс история платно
5 класс русский язык впр 25 апреля
5 класс русский язык платно
6 класс история платно
6 класс математика впр 25 апреля
6 класс математика платно
6 класс общество платно
6 класс платно гео ответы и задания
6 класс платно ответы и задания
7 класс ВПР 2019 по географии ответы и задания 16 апреля 2019
7 класс история впр 25 апреля
7 класс русский язык 56 регион ответы и задания 21. 12.2018
7.11.17 Английский язык 9 класс от СтатГрад задания и ответы варианты АЯ90101-АЯ90102
8.11.2017 Русский язык 11 класс СтатГрад задания и ответы варианты РЯ10201-РЯ10202
9 апреля география 6 класс ВПР 2019
9 апреля русский язык 7 класс ВПР 2019
9 апреля физика 11 класс ВПР 2019
9 класс английский язык ОГЭ 24 25 мая
9 класс БИОЛОГИЯ ЭКЗАМЕН огэ 2019 год
9 класс информатика огэ 2019 год
9 класс математика огэ 2019 год
9 класс обществознание ОГЭ 2019
9 класс ОГЭ 2019
9 класс русский язык ОГЭ 2019
9 класс ФИЗИКА огэ 2019 год
9 класс ФИЗИКА ЭКЗАМЕН огэ 2019 год
9 класс экзамен по истории огэ 2019 год
9.11.17 Математика 9 класс работа “СтатГрад” задания и ответы варианты МА90201-МА90204
British Bulldog 2019 ответы и задания 3-4 класс 10-11 декабря 2019
British Bulldog 3-4 класс ответы и задания 2018-2019
British Bulldog 5-6 класс ответы и задания 2018-2019
British Bulldog 9-11 класс ответы и задания 2018-2019
FAQ
My Calendar
Алгебра 7 класс статград 4 декабря 2019 ответы и задания МА1970101-106
Алгебра и начала анализа статград 10 класс 4 декабря 2019 ответы и задания
Английский 9 класс СтатГрад задания и ответы
Английский язык 11 класс АЯ10301 ответы и задания 23 апреля 2019 год
Английский язык 11 класс СтатГрад 17. 04
Английский язык 11 класс статград 5 декабря 2019 ответы и задания АЯ1910101
Английский язык 7 класс ВПР 2020 тренировочные варианты задания и ответы
Английский язык 7 класс ВПР ответы и задания 2 апреля 2019 год
Английский язык 7-9 класс ответы и задания 56 регион
Английский язык 7,8,9 класс мониторинговая работа чтение 2019
Английский язык 9 класс ответы и задания АЯ1990101 АЯ1990102 статград 6 ноября 2019
Английский язык 9 класс платно
Английский язык 9 класс статград ответы и задания 2018-2019 06.11
Английский язык аудирование ответы 7 8 9 класс 56 регион 2018-2019
Английский язык говорение 56 регион ответы 7 8 9 класс 2018-2019
Английский язык задания и ответы школьного этапа олимпиады ВОШ 2019-2020
Английский язык ответы 7 8 класс 56 регион чтение 2018-2019
Английский язык письмо 7 8 класс ответы и задания 2018-2019
Аргументы для тем итогового сочинения 2019-2020 регион МСК+8
Архив работ
Астра 2019 ответы и задания 3-4 класс 20 ноября 2019
Банк заданий ФИПИ по русскому языку ЕГЭ 2019 морфемика и словообразование
Биология 10 класс РДР задания и ответы 14 ноября 2019-2020
Биология 11 класс 5 ноября 2019 статград ответы и задания БИ1910201-204
Биология 11 класс ВПР 2019 ответы и задания 4 апреля 2019 год
Биология 11 класс ВПР ответы и задания 11. 05
Биология 11 класс ответы и задания тренировочная №5 26 апреля 2019
Биология 5 класс ВПР 2018 ответы и задания
Биология 5 класс ВПР 2019 ответы и задания 18 апреля 2019 год
Биология 5 класс ВПР 2020 вариант демоверсии ответы и задания
Биология 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
Биология 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 16 апреля 2019
Биология 6 класс платно
Биология 7 класс ВПР 2019 ответы и задания 11 апреля 2019
Биология 7 класс впр статград ответы и задания 11 сентября 2019
Биология 9 класс 15 ноября ответы и задания статград 2018
Биология 9 класс БИ90501 БИ90502 ответы и задания 23 апреля 2019
Биология 9 класс ответы БИ90401 и БИ90402 статград 01.2019
Биология 9 класс ответы и задания 25 ноября работа статград БИ1990201-БИ1990204
Биология 9-10 класс ответы КДР 24 января 2019
Биология ОГЭ 2018 платно
Благодарим за ваш заказ!
Британский бульдог 7-8 класс ответы и задания 2018-2019
Вариант 322 КИМы с реального ЕГЭ 2018 по математике
Вариант № 33006761 тренировочный ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
Вариант № 33006762 тренировочный ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
Вариант №1 морфемика и словообразование банк заданий ФИПИ ЕГЭ 2018-2019
Вариант №2 морфемика и словообразование банк заданий ФИПИ ЕГЭ 2018-2019
Вариант №3 морфемика и словообразование банк заданий ФИПИ ЕГЭ 2018-2019
Вариант №4 морфемика и словообразование банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ
Вариант №5 банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку морфемика
Вариант №6 банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку морфемика
Вариант №7 банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку морфемика
Вариант по биологии с реального ЕГЭ 2020 задания и ответы
Варианты БИ1910301-БИ1910304 по биологии 11 класс ответы и задания 14 января 2020
Варианты ВПР по физике 11 класс задания и ответы за 2018 год
Варианты для проведения ВПР 2020 по математике 6 класс с ответами
Ваши отзывы – пожелания
Вероятность и статистика 7 класс ответы 16. 05
Вероятность и статистика 8 класс ответы 16.05
Витрина
ВКР английский язык 7,8,9 класс задания и ответы говорение 2019-2020
ВКР по геометрии 8 класс ответы и задания
Возможные варианты для устного собеседования 9 класс ОГЭ 13 марта 2019
Вот что с восторгом воскликнул Иван Васильевич готовые сочинения
ВОШ ВСЕРОССИЙСКИЕ школьные олимпиады 2017-2018 задания и ответы
ВОШ муниципальный этап по обществознанию ответы и задания 2018-2019
ВОШ по ОБЩЕСТВОЗНАНИЮ 2017-2018
ВОШ Школьный этап 2017-2018 задания и ответы для Республики Коми
ВОШ школьный этап по экономике ответы и задания 2018-2019
ВПР 11 класс английский язык ответы и задания 20 марта 2018
ВПР 11 класс география
ВПР 11 класс история ответы и задания 21 марта 2018
ВПР 2019 6 класс обществознание ответы и задания 18 апреля 2019 год
ВПР 2019 по математике 7 класс ответы и задания 18 апреля 2019 год
ВПР 2019 по химии 11 класс ответы и задания 18 апреля 2019 год
ВПР 2019 физика 11 класс ответы и задания 9 апреля 2019 год
ВПР 2020 6 класс задание №10 по математике с ответами которые будут
ВПР 2020 6 класс задание №11 по математике с ответами которые будут
ВПР 2020 6 класс задание №6 по математике с ответами
ВПР 2020 6 класс задание №7 по математике с ответами
ВПР 2020 6 класс задание №8 по математике с ответами
ВПР 2020 6 класс задание №9 по математике с ответами которые будут
ВПР 2020 английский язык варианты АЯ1910201-АЯ1910202 задания и ответы
ВПР 2020 биология 11 класс варианты БИ1910601-БИ1910602 ответы и задания
ВПР 2020 биология 5 класс новые варианты с ответами
ВПР 2020 вариант демоверсии по биологии 7 класс задания и ответы
ВПР 2020 география 10-11 класс варианты ГГ1910401-ГГ1910402 ответы и задания
ВПР 2020 география 6 класс варианты ГГ1960101, ГГ1960102 задания и ответы
ВПР 2020 год 6 класс задание №12 по математике с ответами которые будут
ВПР 2020 год 6 класс задание №12 по русскому языку с ответами
ВПР 2020 год 6 класс задание №13 по математике с ответами которые будут
ВПР 2020 год 6 класс задание №13 по русскому языку с ответами
ВПР 2020 год 6 класс задание №14 по русскому языку с реальными ответами
ВПР 2020 демоверсия по биологии 8 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по географии 7 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по географии 8 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по иностранным языкам 7 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по истории 7 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по истории 8 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по математике 7 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по математике 8 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по обществознанию 7 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по обществознанию 8 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по русскому языку 7 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по русскому языку 8 класс задания и ответы
ВПР 2020 задание 6 по русскому языку 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №1 по математике 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №1 по русскому языку 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №10 по русскому языку 6 класс ответы которые будут
ВПР 2020 задание №11 по русскому языку 6 класс ответы которые будут
ВПР 2020 задание №2 по математике 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №2 по русскому языку 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №3 по математике 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №3 по русскому языку 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №4 по математике 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №4 по русскому языку 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №5 по математике 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №5 по русскому языку 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №7 по русскому языку 6 класс с реальными ответами
ВПР 2020 задание №8 по русскому языку 6 класс с реальными ответами
ВПР 2020 задание №9 по русскому языку 6 класс ответы которые будут
ВПР 2020 математика 5 класс реальные задания с ответами
ВПР 2020 новые варианты с ответами по русскому языку 7 класс
ВПР 2020 ответы и задания всероссийские проверочные работы
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №1 с ответами
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №10 с реальными ответами
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №2 с ответами
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №3 с ответами
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №4 с ответами
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №6 с ответами
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №7 с ответами
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №8 с реальными ответами
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №9 с реальными ответами
ВПР 2020 по биологии 7 класс тренировочные варианты БИ1970201,БИ1970202
ВПР 2020 по истории 6 класс задание 1 с ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №10 с реальными ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №2 с ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №3 с ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №4 с реальными ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №5 с реальными ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №6 с реальными ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №7 с реальными ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №8 с реальными ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №9 с реальными ответами
ВПР 2020 по математике 7 класс задание 11 реальное с ответами
ВПР 2020 по математике 7 класс задание 12 реальное с ответами
ВПР 2020 по математике 7 класс задание №1 реальное с ответами
ВПР 2020 по математике 7 класс задание №13 реальное с ответами
ВПР 2020 по математике 7 класс задание №2 реальное с ответами
ВПР 2020 по математике 7 класс задание №8 реальное с ответами
ВПР 2020 русский язык 8 класс варианты РУ1980201, РУ1980202 ответы
ВПР 2020 тренировочные варианты по географии 8 класс задания с ответами
ВПР 2020 тренировочные варианты по русскому языку 5 класс задания с ответами
ВПР 2020 физика 11 класс варианты ФИ1910601-ФИ1910602 ответы и задания
ВПР 2020 химия 8 класс демоверсия задания и ответы
ВПР 2021 ответы и задания всероссийские проверочные работы
ВПР 4 класс математика 2020 год реальные официальные задания и ответы
ВПР БИОЛОГИЯ 11 класс 2018 реальные ответы и задания
ВПР география 10-11 класс
ВПР математика 5 класс ответы и задания
ВПР по истории 11 класс ответы и задания 18. 05
ВПР ФИЗИКА 11 класс 2018
ВПР физика 11 класс резервный день ответы
ВПР ХИМИЯ 11 05.04
ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада муниципальный этап 2018-2019 задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада муниципальный этап 2019-2020 задания и ответы
Всероссийская олимпиада по праву ответы и задания школьный этап 25-26 октября 2019
Всероссийская олимпиада по химии ответы и задания школьный этап 21-22 октября 2019
ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада региональный этап 2018-2019 задания и ответы
Всероссийская олимпиада школьников региональный этап 2019-2020 задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада школьный этап 2019-2020 задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 муниципальный этап задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 муниципальный этап задания и ответы для Краснодарского края
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 муниципальный этап задания и ответы для Челябинской области
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 региональный этап задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 учебный год задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2021 задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2018-2019 учебный год задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2018-2019 школьный этап задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2019-2020 учебный год задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2020-2021 муниципальный этап задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2020-2021 региональный этап задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2020-2021 школьный этап задания и ответы
Всероссийские проверочные работы 2017 задания и ответы
Всероссийские проверочные работы 2017-2018 задания и ответы
Всероссийские проверочные работы 2018-2019 задания и ответы
Всесибирская олимпиада школьников задания и ответы по математике 2018-2019
Входная контрольная работа по математике 11 класс ответы и задания 2019-2020
Входная контрольная работа по математике 4 класс ответы и задания 2019-2020
Входная контрольная работа по математике 5 класс ответы и задания 2019-2020
Входная работа по русскому языку 11 класс ответы и задания ФГОС 2019-2020
Гарантия
ГГ1910101 ответы и задания география 11 класс статград 4 октября 2019
ГДЗ 5 классы решебники
ГДЗ по Математике за 5 класс: Виленкин Н. Я
ГДЗ решебники
Гелиантус АСТРА 1-2 класс ответы и задания 2018-2019
Гелиантус АСТРА 3-4 класс ответы и задания 2018-2019
География 10-11 класс ВПР 2019 ответы и задания 11 апреля 2019
География 11 класс ответы и задания 17 апреля 2019 тренировочная №4
География 11 класс ответы и задания вариант ГГ10101 статград 2018-2019
География 11 класс платно
География 11 класс статград ЕГЭ ответы и задания
География 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 9 апреля 2019
География 6 класс ВПР 2020 год задание 7 и официальные ответы
География 6 класс ВПР 2020 год задание №8 и реальные ответы
География 6 класс ВПР 2020 задание №2 официальное с ответами
География 6 класс ВПР 2020 задание №3 с ответами официальные
География 6 класс ВПР 2020 задание №4 с ответами официальные
География 6 класс ВПР 2020 задание №5 с ответами официальные
География 6 класс ВПР 2020 задание №6 и официальные ответы
География 6 класс задание №1 реального ВПР 2020 с ответами
География 9 класс ОГЭ 4 июня 2019 год
География 9 класс ответы и задания ГГ90401 ГГ90402 22 апреля 2019
География 9 класс ответы и задания тренировочная статград 18 марта 2019
География 9 класс СтатГрад задания и ответы
География 9 класс статград ответы и задания 13 марта 2018
География задания и ответы школьный этап 2019-2020 всероссийской олимпиады
География муниципальный этап 2019 задания и ответы всероссийской олимпиады
Геометрия 9 класс ответы и задания 12 декабря 2019 работа статград
Готовое итоговое сочинение 2018-2019 на тему может ли добрый человек проявлять жестокость?
Готовые сочинения для варианта №1 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И. П
Готовые сочинения для варианта №2 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
Готовые сочинения для варианта №3 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
Готовые сочинения для варианта №4 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
Готовые сочинения для варианта №5 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
Готовые сочинения для варианта №6 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
Готовые сочинения для варианта №7 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
Готовые сочинения ЕГЭ в избушке у самого леса живёт старый охотник
Готовые сочинения ЕГЭ несомненно Дюма останется ещё на многие
Готовые сочинения ЕГЭ ты часто жаловался мне, что тебя «не понимают!»
Готовые сочинения как-то Анатолий Бочаров высказал по тексту В. В. Быкову
Готовые сочинения на Невском, у Литейного постоянно толпились
Готовые сочинения по тексту Ф. М. Достоевскому в эту ночь снились мне
Готовые сочинения чего нам так не хватает а не хватает нам любви к детям по тексту А. А. Лиханову
Готовые сочинения я очень плохо знаю деревенскую жизнь с проблемами и текстом
Демоверсия ВПР 2020 география 6 класс задания и ответы фипи
Демоверсия ВПР 2020 история 6 класс задания и ответы фипи
Демоверсия ВПР 2020 по биологии 6 класс задания и ответы фипи
Демоверсия ВПР 2020 по обществознанию 6 класс задания и ответы фипи
Демоверсия ОГЭ 2019 по математике решение заданий
Диктант по русскому языку 4 класс ВПР 2018 задания
ДКР 2019 по географии 10 класс ответы и задания Свердловская область
ДКР 2019 по географии 7 класс задания и ответы 11 декабря 2019-2020
Добро пожаловать
Доступ ко всем работам
ЕГЭ 2020 тренировочный вариант 200622 с ответами по истории 11 класс
Если хочешь понять душу леса найди лесной 9 готовых сочинений ЕГЭ
Естественные науки ответы и задания олимпиада ЗВЕЗДА 25-29 ноября 2019-2020
за эти месяцы тяжелой борьбы решающей 9 готовых сочинений ЕГЭ
Задание № 15 неравенства ОГЭ по математике 9 класс 2020
Задания ВПР 2017 для 11 класса по географии
Задания ВПР 2017 для 4 класса по русскому языку
Задания ВПР 2017 для 5 класса по математике
Задания заключительного этапа ВСЕРОССИЙСКОЙ олимпиады по информатике 2017/2018
Задания и ответы 2 варианта пробного экзамена ЕГЭ по математике 11 класс 4 апреля 2018
Задания и ответы 56 регион на ФЕВРАЛЬ 2017
Задания и ответы 6 класс XXX математический праздник 2019 год
Задания и ответы Англ. яз 18.11
Задания и ответы Биология 14.11
Задания и ответы Биология 9 класс 21.11.
Задания и ответы всероссийской олимпиады по русскому языку Московской области 19 ноября 2017
Задания и ответы ГЕОГРАФИЯ 21.11.2017
Задания и ответы для комплексной работы КДР для 8 класса ФГОС 4 варианта
Задания и ответы для Оренбургской области 56 регион декабрь 2017
Задания и ответы для Оренбургской области ноябрь 2017
Задания и ответы для Оренбургской области октябрь 2017
Задания и ответы для Оренбургской области сентябрь 2017
Задания и ответы для работ 11 регион Республика Коми 2018-2019
Задания и ответы для работ 11 региона Республика Коми Декабрь 2018-2019
Задания и ответы для работ 11 региона Республика Коми НОЯБРЬ 2018-2019
Задания и ответы для работ 56 региона октябрь 2018
Задания и ответы для работ Республики Коми
Задания и ответы для регионального этапа по физической культуре 2018
Задания и ответы для школьных работ Оренбургской области 56 регион декабрь 2018
Задания и ответы для школьных работ Оренбургской области 56 регион февраль 2018
Задания и ответы КДР 2019 математика 9 класс 20 февраля
Задания и ответы Математика 03. 12
Задания и ответы Математика 17.11
Задания и ответы муниципального этапа 2019-2020 по немецкому языку 7-11 класс ВСОШ
Задания и ответы муниципального этапа по русскому языку 2019-2020 Москва
Задания и ответы МХК 15.11
Задания и ответы на Апрель 2017 для 56 региона
Задания и ответы на Май 2017 для 56 региона
Задания и ответы на Март 2017 для 56 региона
Задания и ответы олимпиады по литературе региональный этап 2020
Задания и ответы по информатике 11 класс 28 ноября 2017 СтатГрад варианты ИН10201-ИН10204
Задания и ответы по истории для 11 классов (56 регион)
Задания и ответы по математике 11 класс профиль вариант №22397963
Задания и ответы по математике 11 класс профиль ЕГЭ вариант №22397967
Задания и ответы по математике 6 класс ВПР 2018
Задания и ответы по русскому языку 6 класс ВПР 2018
Задания и ответы по русскому языку 9 класс СтатГрад 29 ноября 2017 варианты РЯ90201-РЯ90202
Задания и ответы по физике муниципального этапа 2019 всероссийская олимпиада
Задания и ответы по химии 11 класс СтатГрад 30 ноября 2017 года варианты ХИ10201-ХИ10204
Задания и ответы ПРАВО 14. 11
Задания и ответы право региональный этап ВОШ 2019
Задания и ответы регионального этапа 2019 по английскому языку
Задания и ответы регионального этапа 2019 по испанскому языку
Задания и ответы регионального этапа 2019 по китайскому языку
Задания и ответы регионального этапа 2019 по химии ВОШ
Задания и ответы региональный этап ВОШ 2019 по французскому
Задания и ответы Русский язык 19.11
Задания и ответы Русский язык ОГЭ 9 класс 20.11.
Задания и ответы Физика 18.11
Задания и ответы Химия 24.11
Задания Московской математической олимпиады 8 класс 17 марта 2019 год
Задания МОШ 2019 по физике 1 тур 7 8 9 10 класс
Задания по истории муниципальный этап 11 ноября всероссийской олимпиады 2018-2019
Задания, ответы и результаты олимпиады по биологии региональный этап 2020
Задания, ответы и результаты олимпиады по химии региональный этап 2020
Заключительный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020 задания и ответы
Закрытый раздел
Золотое руно 2018 ответы и задания 16 февраля конкурс по истории
Изложение русский язык 9 класс статград ответы и задания 4 октября 2019
Информатика 11 класс 15 ноября 2019 статград ответы и задания ИН1910201- ИН1910204
Информатика 11 класс КДР ответы и задания 18 декабря 2018
Информатика 11 класс платно
Информатика 11 класс СтатГрад задания и ответы
Информатика 11 класс тренировочная №5 ответы и задания 15 апреля 2019 год
Информатика 7 класс ответы РДР 21 февраля 2019
Информатика 9 класс 06. 03
Информатика 9 класс ОГЭ 4 июня 2019 год
Информатика 9 класс ответы и задания тренировочная №5 25 апреля 2019
Информатика 9 класс ответы статград 13 ноября 2018
Информатика 9 класс ответы статград 31 января 2019
Информатика ВОШ школьный этап ответы и задания 2018-2019
Информатика ОГЭ 2018
Информатика ОГЭ 2018 платно
Информатика ответы и задания школьный этап 2019 всероссийской олимпиады школьников
История 10 класс РДР 2019 официальные задания и ответы все варианты
История 11 класс 13 ноября 2019 ответы и задания статград вариант ИС1910201- ИС1910204
История 11 класс ВПР 2018 год задания и ответы все варианты
История 11 класс ВПР 2019 ответы и задания 2 апреля 2019 год
История 11 класс ВПР 2020 тренировочные варианты с ответами
История 11 класс задания и ответы СтатГрад
История 11 класс ИС10201 и ИС10202 ответы и задания статград 23.11.2018
История 11 класс ответы и задания СтатГрад 24. 04
История 11 класс ответы ИС10401 и ИС10402 11 марта 2019 год
История 11 класс СтатГрад 24 ноября 2017 задания и ответы варианты ИС10201-ИС10204
История 5 класс ВПР 2018 ответы и задания
История 5 класс ВПР 2019 ответы и задания 16 апреля 2019
История 5 класс ВПР 2020 вариант демоверсии ответы и задания
История 5 класс ВПР 25.04
История 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
История 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 11 апреля 2019
История 6 класс тренировочные варианты ВПР 2020 задания и ответы
История 7 класс ВПР 2019 ответы и задания варианты 25 апреля
История 7 класс платно 24 апреля
История 9 класс входная контрольная работа ФГОС задания и ответы 2019-2020
История 9 класс ответы и задания тренировочная №5 26 апреля 2019 год
История 9 класс СтатГрад 27 февраля ответы и задания
История 9 класс статград ответы и задания 2018-2019
История 9 класс статград ответы и задания 30 марта 2018
История всероссийская олимпиада школьный этап 2019-2020 задания и ответы московская область
Итоговая контрольная работа по математике 8 класс за 2018-2019 учебный год
Итоговая контрольная работа по русскому языку 7 класс за 2018-2019 учебный год
Итоговая работа математика 10 класс ответы и задания 24 апреля 2019 год
Итоговое собеседование варианты 12 февраля 2020
Итоговое сочинение 05. 12.2018
Итоговое сочинение 2017
Как написать эссе по обществознанию ЕГЭ
Как получить задания и ответы для ВПР 2019
Как получить работу задания и ответы
Как получить темы на итоговое сочинение 6 декабря 2017 года
Как человеку воспитать в себе доброту? готовое итоговое сочинение 2018-2019
КДР (задания+ответы) на Февраль 2017
КДР (задания+ответы) на Январь 2017
КДР 1 класс задания и ответы комплексная работа варианты 2018 год
КДР 2 класс задания и ответы комплексная работа варианты 2018 год
КДР 2019 23 регион ответы и задания май 2019 год
КДР 2019 задания и ответы по английскому языку 8 класс 21 мая 2019 год
КДР 2019 ответы и задания апрель 2019 год
КДР 2019 ответы по географии 9 класс 15 февраля
КДР 2019 химия 9 и 10 класс ответы 19 марта 2019 год
КДР 2019-2020 декабрь 23 регион ответы и задания
КДР 2020 январь 23 регион ответы и задания Краснодарский край
КДР 9 класс русский язык ответы и задания 14 декабря 2018
КДР Английский язык 8 класс ответы и задания 2018-2019
КДР апрель 2017 работы задания и ответы
КДР апрель 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
КДР декабрь 2017 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
КДР задания и ответы
КДР задания и ответы комплексная работа 3 класс 2018 год
КДР задания и ответы комплексная работа 4 класс варианты 2018 год
КДР Май 2017 работы задания и ответы
КДР Май 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
КДР математика 11 класс задания и ответы 28 февраля 2018 год
КДР математика 7 класс ответы и задания 12. 04
КДР математика 9 класс 19.04
КДР ответы и задания 23 регион Январь 2019
КДР ответы и задания для Краснодарского края 23 регион ДЕКАБРЬ 2018
КДР ответы и задания математика 10-11 класс 23 ноября 2018
КДР ответы и задания НОЯБРЬ 2018 для Краснодарского края 23 регион
КДР ответы и задания октябрь 2018 для Краснодарского края 23 регион
КДР ответы и задания по английскому языку 9 10 11 класс 8 февраля 2018
КДР ответы и задания по Биологии 10 класс 23 января 2018
КДР ответы и задания по Биологии 11 класс 23 января 2018
КДР ответы и задания по Биологии 9 класс 23 января 2018
КДР ответы и задания по Географии 10 класс 25 января 2018
КДР ответы и задания по Географии 9 класс 25 января 2018
КДР ответы и задания по информатике 10 класс 18 января 2018
КДР ответы и задания по информатике 9 класс 18 января 2018
КДР ответы и задания по истории 9 10 11 класс 13 февраля 2018
КДР ответы и задания по обществознанию 9 10 11 класс 1 февраля 2018
КДР ответы и задания по русскому языку 9 класс 6 февраля 2018
КДР ответы и задания по химии 10 11 класс 6 февраля 2018
КДР ответы математика 7 класс 30 января 2019
КДР ответы русский язык 9 класс 6 февраля 2019
КДР ответы физика 9-10 класс 31 января 2019
КДР по алгебре 8 класс ответы и задания 2018-2019
КДР ПО ГЕОГРАФИИ 11 КЛАСС 23 регион ответы и задания 22 февраля
КДР по литературе 10 11 класс 2018 ответы и задания
КДР по литературе 10 класс ответы
КДР по Математике 9 класс официальные ответы
КДР по русскому языку для 9 классов
КДР русский язык 7 8 класс ответы и задания
КДР русский язык 7-8 класс ответы 17. 05
КДР февраль 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
КДР январь 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
Кенгуру 2017 9 класс ответы
Кенгуру 2017 ответы и задания 2-10 класс
Кенгуру 2019 ответы и задания 5-6 класс
Кенгуру 2019 ответы и задания для 7-8 класса
КИТ 2-3 класс ответы и задания 2018-2019
КИТ 8-9 класс ответы и задания 2018-2019
КИТ-2019 ответы и задания 10-11 класс 27 ноября 2019-2020
Комплексная работа ФГОС 5 6 7 8 9 класс ответы и задания 30 ноября 2018
Конкурс АСТРА 2019 ответы и задания 5-6 класс 20 ноября 2019
Конкурс КИТ 2018 4-5 класс ответы и задания
Конкурс КИТ 2019 ответы и задания 2-3 класс 27 ноября 2019
Контакты
Контрольная входная работа по русскому языку 10 класс ответы и задания 2019-2020
Контрольная работа за 1 полугодие по русскому языку 7 класс ответы и задания
Контрольная работа по математике 11 класс 2 четверть в формате ЕГЭ 3 варианта с ответами
Контрольная работа по русскому языку 10 класс за 1 полугодие 2 варианта с ответами
Контрольная работа по русскому языку 8 класс за 1 полугодие 2 четверть задания и ответы
Контрольные срезы 56 регион ответы и задания октябрь 2019-2020
Корзина
Критерии ответы и задания по физике 11 класс статград 23 марта 2018
Критерии ответы по информатике 11 класс статград 16 марта 2018
Критерии ответы по русскому языку 11 класс статград 2018
Кружила январская метелица скрипели мерзлые готовые сочинения ЕГЭ
Куда поступить после 11 класса в 2017 году
Литература 11 класс ответы и задания ЕГЭ статград 22. 03.2018
Литература 11 класс СтатГрад задания и ответы
Литература 9 класс ОГЭ 2019 год
Литература 9 класс ответы и задания статград 22 ноября 2018 год
Литература 9 класс статград ОГЭ сочинение ответы 14 марта 2018
Литература ОГЭ 2018 платно
Литература олимпиада ВОШ задания муниципальный этап 2018-2019
Литература ответы и задания школьный этап 2019 всероссийской олимпиады школьников
Литература ответы и задания школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
Литература школьный этап 2019-2020 задания и ответы олимпиады ВОШ
Математика 7 классов 56 регион задания и ответы
Математика 10 класс (вероятность и статистика)
Математика 10 класс 56 регион ответы 16.05
Математика 10 класс вероятность и статистика ответы и задания 4 апреля 2019
Математика 10 класс задания и ответы мониторинговая работа ФГОС 2019-2020
Математика 10 класс ответы и задания 18.05
Математика 10 класс ответы и задания статград
Математика 10 класс ответы и задания статград 2018-2019
Математика 10 класс статград ответы и задания 29. 03.2018
Математика 10 класс статград ответы и задания БАЗА и ПРОФИЛЬ
Математика 10 класс тригонометрия ответы статград 18.12.2018
Математика 10-11 класс ответы и задания варианты статград 17 мая 2019
Математика 10-11 класс ответы и задания СтатГрад
Математика 11 класс 17 декабря 2019 контрольная работа задания и ответы
Математика 11 класс диагностическая работа ЕГЭ профиль задания и ответы для 11 региона
Математика 11 класс КДР ответы и задания 28 февраля
Математика 11 класс ответы база профиль статград 24 января 2019
Математика 11 класс ответы и задания БАЗА ПРОФИЛЬ 20.09
Математика 11 класс ответы и задания тренировочная работа №5 19 апреля 2019
Математика 11 класс ответы статград БАЗА ПРОФИЛЬ 20.12.2018
Математика 11 класс профиль 56 рег
Математика 11 класс тренировочная №4 статград ответы и задания 13 марта 2019
Математика 3 класс задания ВСОКО МЦКО итоговая работа 2019
Математика 4 класс ВПР 2018 ответы и задания
Математика 4 класс ВПР ответы 25. 04
Математика 4 класс демоверсия ВПР 2020 задания и ответы ФИПИ
Математика 5 класс ВПР 2018 ответы и задания
Математика 5 класс ВПР 2019 ответы и задания 23 апреля
Математика 5 класс задания и ответы СтатГрад варианты 12 сентября 2017 год
Математика 5 класс контрольная работа за 1 полугодие задания и ответы 2019-2020
Математика 5 класс официальная демоверсия ВПР 2020 задания и ответы
Математика 5 класс платно
Математика 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
Математика 6 класс ВПР 2019 ответы и задания варианты 25 апреля
Математика 6 класс ВПР 2020 демоверсия фипи задания и ответы
Математика 6 класс ответы СтатГрад 15.05
Математика 7 класс ответы и задания варианты МА70301 МА70302 14 мая 2019
Математика 7 класс РДР ответы 2018-2019
Математика 8 класс 56 регион 17.03
Математика 8 класс 56 регион ответы и задания 15 марта 2018
Математика 8 класс входная контрольная работа ответы и задания 2019-2020
Математика 8 класс задания и ответы работа статград 12 сентября 2017
Математика 8 класс ответы и задания варианты МА80201 МА80202 14 мая 2019
Математика 8 класс ответы и задания по диагностической работе 11 регион 2018-2019
Математика 8 класс статград ответы и задания
Математика 9 класс – 64 регион ответы
Математика 9 класс 12 ноября 2019 ответы и задания работа статград МА1990201-04
Математика 9 класс 13. 02
Математика 9 класс 56 рег ответы
Математика 9 класс контрольная работа в формате ОГЭ 4 варианта ответы и задания
Математика 9 класс ОГЭ 2018 ответы и задания
Математика 9 класс ответы 11 регион 18.12.2018
Математика 9 класс ответы 15.05 СтатГрад
Математика 9 класс ответы и задания 11 регион 4 октября 2018
Математика 9 класс ответы и задания варианты 56 регион 10 октября 2019
Математика 9 класс ответы и задания РПР 64 регион 20.12.2018
Математика 9 класс ответы и задания статград 19 марта 2019
Математика 9 класс ответы и задания статград варианты 15 мая 2019 год
Математика 9 класс ответы РПР 64 регион 2019 3 этап 20 марта
Математика 9 класс пробник статград ответы и задания 21 марта 2018
Математика 9 класс статград ОГЭ ответы и задания
Математика 9 класс статград ответы и задания 13 февраля 2018 года
Математика 9 класс статград ответы и задания 27.09.2018
Математика База платно
Математика геометрия 9 класс КДР ответы и задания 20 февраля 2018
Математика задания и ответы муниципальный этап ВОШ 2018-2019 для Москвы
Математика олимпиада ВОШ 2018-2019 школьный этап задания и ответы
Математика ответы и задания для школьного этапа всероссийской олимпиады 2019-2020
Математика профиль 11 класс 56 регион контрольная работа 18. 12.2018
Математика тренировочная работа 9 класс ответы статград 8 ноября 2018 года
Математическая вертикаль ответы и задания 2020-2021 учебный год
Международный молодёжный предметный чемпионат по правоведению для 10-11 классов.
Многопрофильная инженерная олимпиада «Звезда» 2017-2018 задания и ответы
Многопрофильная инженерная олимпиада «Звезда» 2018-2019 ответы и задания
Многопрофильная олимпиада Звезда 2019-2020 ответы и задания
Многопрофильная олимпиада Звезда 2020-2021 ответы и задания
Мой аккаунт
Мониторинговая работа аудирование по английскому языку 7,8,9 класс задания и ответы 2019-2020
Мониторинговая работа по английскому языку 7,8,9 класс задания и ответы 2019
Мониторинговая работа по русскому языку 5 класс ответы и задания ФГОС 2019-2020
Мониторинговая работа по русскому языку 8 класс ответы и задания ФГОС 2019-2020
Мониторинговые работы 56 регион ответы и задания сентябрь 2019
Московская олимпиада школьников 2020-2021 ответы и задания
Московский турнир юных физиков задания 2019-2020 учебный год
МПУ МЦКО 4 класс задания 31 января 2019 год
Муниципальный этап 2019 олимпиады по испанскому языку задания и ответы ВОШ
Муниципальный этап 2019 олимпиады по истории задания и ответы ВСОШ
Муниципальный этап 2019-2020 олимпиада по ОБЖ ответы и задания для Москвы
Муниципальный этап 2019-2020 олимпиады по химии задания и ответы Московская область
Муниципальный этап 2019-2020 олимпиады по экологии ответы и задания ВсОШ Москва
Муниципальный этап 2019-2020 по литературе ответы и задания ВсОШ Москва
Муниципальный этап ВОШ 2018 по праву задания и ответы для Москвы
Муниципальный этап ВОШ 2018-2019 задания по химии в Московской области
Муниципальный этап ВОШ по астрономии ответы и задания 2018-2019 учебный год
Муниципальный этап ВОШ по ОБЖ ответы и задания 2018-2019
Муниципальный этап олимпиады 2019 по искусству МХК задания и ответы ВСОШ
Муниципальный этап олимпиады 2019-2020 по астрономии задания и ответы Московская область
Муниципальный этап олимпиады по биологии ответы и задания 19 октября 2019
Муниципальный этап по астрономии всероссийской олимпиады задания 2018-2019
Муниципальный этап по обществознанию 2019-2020 ответы и задания ВСОШ Москва
Муниципальный этап по экономике всероссийская олимпиада 2018-2019
МХК искусство задания и ответы муниципального этапа 2019-2020 учебный год
МХК искусство школьный этап 2019 ответы и задания всероссийской олимпиады школьников
МХК муниципальный этап 8 ноября задания всероссийской олимпиады 2018-2019
МЦКО 2019-2020 расписание и демоверсии диагностических работ
МЦКО 2020-2021 расписание и демоверсии диагностических работ с ответами
МЦКО 7 класс математика ответы 13 февраля 2018
МЦКО 8 класс метопредмет ответы и задания 27 февраля
МЦКО 8 класс ответы 15. 03
МЦКО история 10 класс ответы 25.10.2018
МЦКО математика 3 класс задания
Мцко математика 7 класс 02.03.17
МЦКО математика 9 класс варианты задания и ответы 2019-2020
МЦКО математика 9 класс ответы и задания 3 октября 2018
МЦКО ответы и задания по русскому языку 11 класс 18 января 2018
МЦКО ответы и задания по русскому языку 7 8 класс 1 февраля 2018
МЦКО по физике для 9 классов
МЦКО русский язык 9 класс ответы 2018-2019
МЦКО физика для 7 классов ответы и задания
Направления тем итогового сочинения 2017-2018
Наше наследие 1-4 класс школьный тур ответы и задания 2019-2020
Наше наследие 5-11 класс муниципальный тур ответы и задания 2019-2020
Наше наследие олимпиада задания и ответы 2017-2018
Наше наследие ответы и задания 5-6 класс школьный тур 2019-2020
Наше наследие ответы и задания 9-11 класс школьный тур 2019-2020
Новый тренировочный вариант 200622 по биологии 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
Новый тренировочный вариант 200622 по физике 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
Новый тренировочный вариант 210201 по английскому языку 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
Новый тренировочный вариант 210201 по истории 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
Новый тренировочный вариант 210201 по литературе 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
Новый тренировочный вариант 210201 по обществознанию 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
Новый тренировочный вариант 210208 по химии 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
Новый тренировочный вариант 34072997 по математике профиль 11 класс ЕГЭ с ответами
Новый тренировочный вариант 34072998 по математике профиль 11 класс ЕГЭ с ответами
Новый тренировочный вариант 34072999 по математике профиль 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
Новый тренировочный вариант 34073000 по математике профиль 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
Новый тренировочный вариант ЕГЭ 34073001 по математике профильный с ответами
Новый тренировочный вариант КИМ 210208 по биологии 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
Новый тренировочный вариант КИМ 210208 по физике 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
О нас
ОБ1910201-ОБ1910204 ответы и задания обществознание 11 класс 13 декабря 2019
ОБЖ школьный этап задания и ответы олимпиады ВОШ 2019-2020
Обществознание 10 класс КДР 2019 задания и ответы 01. 03.2019
Обществознание 11 класс 04.05
Обществознание 11 класс ответы тренировочная №4 статград 20 марта 2019
Обществознание 11 класс статград ЕГЭ ответы и задания 19 марта 2018
Обществознание 11 класс СтатГрад задания и ответы
Обществознание 11 класс Статград ответы и задания
Обществознание 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
Обществознание 7 класс ВПР 2019 ответы и задания 4 апреля 2019 год
Обществознание 9 11 класс контрольная работа 56 регион 20 февраля 2018
Обществознание 9 класс 19 декабря 2019 ответы и задания ОБ1990201-ОБ1990204
Обществознание 9 класс КДР 2019 ответы 01.03.2019
Обществознание 9 класс ответы и задания 29 апреля 2019 тренировочная №5
Обществознание 9 класс СтатГрад задания и ответы
Обществознание 9 класс тренировочная №4 статград ответы и задания 14 марта 2019
Обществознание 9 класс тренировочная работа №1 ответы и задания 21.09
ОБЩЕСТВОЗНАНИЕ для 9 классов Республика Коми, 11 регион
Обществознание ОГЭ 2018 платно
ОГЭ
ОГЭ 2017 закрытый раздел
ОГЭ 2018 Математика платно
ОГЭ 2019 география 9 класс ответы для 24 региона
ОГЭ 2019 география 9 класс ответы для 54 региона
ОГЭ 2019 официальное расписание экзаменов 9 класс
ОГЭ английский язык 2018 ответы и задания 9 класс
Одно желание было у лейтенанта Бориса Костяева готовые сочинения ЕГЭ
Окружающий мир 4 класс ВПР 2018 ответы и задания
Окружающий мир 4 класс демоверсия ВПР 2020 задания и ответы ФИПИ
Олимпиада Звезда заключительный тур 2017-2018 задания и ответы
Олимпиада Ломоносов по математике 11 класс задания и ответы 2018-2019
Олимпиада Наше Наследие 2019-2020 учебный год задания и ответы
Олимпиада Наше Наследие 2020-2021 учебный год ОВИО задания и ответы
Олимпиада Наше Наследие задания и ответы 2018-2019 учебный год
Олимпиада основы православной культуры задания и ответы 2019-2020
Олимпиада по английскому языку 8-10 класс ответы и задания для пригласительного этапа 17 апреля 2020
Олимпиада по английскому языку задания и ответы муниципального этапа 2019
Олимпиада по английскому языку школьный этап 2017 задания
Олимпиада по астрономии муниципальный этап 2019 задания и ответы
Олимпиада по биологии ответы и задания школьный этап 2019 ВОШ
Олимпиада по биологии ответы и задания школьный этап ВсОШ 23-24 октября 2019
Олимпиада по математике НТИ отборочный этап ответы и задания 2018-2019
Олимпиада по МХК школьный этап 2017 задания
Олимпиада по обществознанию школьный этап 2017 задания
Олимпиада по праву школьный этап 2017 задания
Олимпиада по русскому языку задания и ответы школьного этапа 2019
Олимпиада по физической культуре муниципальный этапа 2019-2020 задания и ответы
Олимпиада по экологии 4-10 класс ответы и задания для пригласительного этапа 15 апреля 2020
Олимпиада по экологии ответы и задания школьный этап 2019-2020 Московская область
Олимпиада по экологии школьный этап 2017 задания
Олимпиада РОСАТОМ 2018-2019 задания и ответы
Олимпиада ФИЗТЕХ 11 класс ответы и задания 2018-2019
Олимпиада школьников САММАТ 2019-2020 ответы и задания
Олимпиады
Оплата заказа
Оренбургская область 56 регион задания и ответы работы январь 2018
Отборочные задания по математике для физико-математической школы 2019 год
Отборочные задания по физике для физико-математической школы 2019 год
Ответы 56 регион математика 8 класс 19 декабря 2018
Ответы 7 8 класс золотое руно 2019 с заданиями
Ответы 9-11 класс золотое руно задания 2019
Ответы английский язык 7 8 9 класс говорение 56 регион 2018-2019
Ответы английский язык для 9 классов 56 регион
Ответы ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №5
Ответы для реального задания №10 ВПР 2020 по географии 6 класс
Ответы для реального задания №9 ВПР 2020 по географии 6 класс
Ответы задания и сочинения татарский язык ЕРТ
Ответы задания изложение по русскому языку 9 класс СтатГрад 8 февраля 2018
Ответы и задания 1-2 класс конкурс АСТРА 20 ноября 2019-2020
Ответы и задания 10-11 класс КИТ 2018
Ответы и задания 11 класс кенгуру выпускника 2019
Ответы и задания 12. 04.2018
Ответы и задания 2 класс пегас 2019
Ответы и задания 2 класс чип 2019-2020 Австралия
Ответы и задания 3-4 класс золотое руно 2019
Ответы и задания 3-4 класс кенгуру 2019 год
Ответы и задания 3-4 класс пегас 2019
Ответы и задания 3-4 класс ЧИП 2019 год
Ответы и задания 4-5 класс КИТ 2019 конкурс 27 ноября 2019-2020
Ответы и задания 4-5 класс русский медвежонок 14 ноября 2019
Ответы и задания 5-6 класс Гелиантус (астра) 2018-2019
Ответы и задания 5-6 класс золотое руно 2019 год
Ответы и задания 6-7 класс КИТ 2019 конкурс 27 ноября 2019-2020
Ответы и задания 6-7 класс русский медвежонок 2018-2019
Ответы и задания 8-9 класс русский медвежонок 2018-2019
Ответы и задания 9 класс кенгуру выпускника 2019
Ответы и задания 9-10 класс кенгуру 2019 год
Ответы и задания английский язык 9 класс диагностика №2 22 марта 2019
Ответы и задания БИ10401 и БИ10402 биология 11 класс 4 марта 2019
Ответы и задания биология 11 класс статград
Ответы и задания биология 11 класс статград 30 ноября 2018
Ответы и задания ВПР по географии 10-11 класс 03. 04.2018
Ответы и задания география 11 класс статград 9 декабря 2019 ГГ1910201
Ответы и задания для конкурса Кенгуру 2020 11 класс
Ответы и задания для конкурса по информатике КИТ 1-11 класс 29 ноября 2017 год
Ответы и задания для Оренбургской области 56 регион март 2019
Ответы и задания для пробных работ 56 региона 2018
Ответы и задания для работ 15.02.2017
Ответы и задания для работы статград по истории 9 класс
Ответы и задания золотое руно 2019 1-2 класс
Ответы и задания информатика 11 класс ИН1910101 ИН1910102 23 сентября 2019
Ответы и задания история 9 класс статград 29 ноября 2018 год
Ответы и задания КДР 23 регион март 2019 год
Ответы и задания КДР геометрия 8 класс 16 ноября 2018 года
Ответы и задания кенгуру 2 класс 2019 год
Ответы и задания кенгуру выпускника 4 класс 2019
Ответы и задания контрольная по математике 7 класс
Ответы и задания контрольных работ для 56 региона декабрь 2019
Ответы и задания МЦКО английский язык 9 класс 2018
Ответы и задания ОГЭ 2018 по математике 9 класс
Ответы и задания олимпиада звезда по обществознанию 2019-2020 отборочный этап
Ответы и задания олимпиады по физкультуре 8,9,10 класс пригласительный этап 28 апреля 2020
Ответы и задания по астрономии школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020
Ответы и задания по биологии 11 класс 30 января 2018 СтатГрад
Ответы и задания по биологии 11 класс статград 12. 09
Ответы и задания по биологии 9 класс 17.09 статград
Ответы и задания по Биологии 9 класс 24 января 2018 СтатГрад
Ответы и задания по биологии 9 класс БИ1990101-02 статград 14 октября 2019
Ответы и задания по биология 9 класс СтатГрад 2018
Ответы и задания по информатике 11 класс статград 14.09
Ответы и задания по информатике 9 класс статград 19.09
Ответы и задания по информатике 9 класс СтатГрад 31 января 2018
Ответы и задания по Истории 11 класс 23 января 2018 СтатГрад
Ответы и задания по истории 11 класс ИС1910101 ИС1910102 27 сентября 2019
Ответы и задания по истории 9 класс 18 января 2018 СтатГрад
Ответы и задания по истории школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
Ответы и задания по итальянскому языку школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020
Ответы и задания по китайскому языку олимпиада школьный этап 2019-2020
Ответы и задания по литературе школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020 московская область
Ответы и задания по математике 10 класс контрольная работа
Ответы и задания по математике 11 класс 25 января 2018 СтатГрад
Ответы и задания по математике 11 класс ЕГЭ база 56 регион 04. 04.18
Ответы и задания по математике 11 класс мониторинговая работа 2019-2020
Ответы и задания по математике 8 класс статград 11.09
Ответы и задания по математике 9 класс 12 декабря 2019 статград все варианты
Ответы и задания по математике 9 класс 56 регион 4 декабря 2018
Ответы и задания по математике 9 класс МА1990101-МА1990104 3 октября 2019
Ответы и задания по математике школьный этап 2019-2020 всероссийская олимпиада
Ответы и задания по математике школьный этап 2019-2020 всероссийской олимпиады
Ответы и задания по МХК искусство всероссийская олимпиада школьный этап 2019-2020
Ответы и задания по ОБЖ всероссийская олимпиада 2018-2019
Ответы и задания по ОБЖ школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
Ответы и задания по обществознанию 11 класс ОБ10101 ОБ10102 статград 2018-2019
Ответы и задания по обществознанию 9 класс 26 января 2018 СтатГрад
Ответы и задания по обществознанию ОГЭ 2018
Ответы и задания по праву муниципальный этап 11 ноября всероссийской олимпиады 2018-2019
Ответы и задания по русскому языку 11 класс 19 января 2018 СтатГрад
Ответы и задания по русскому языку 11 класс 2 октября 2019 РУ1910101 РУ1910102
Ответы и задания по Русскому языку 11 класс статград 28 марта 2018
Ответы и задания по русскому языку 7 класс входная работа
Ответы и задания по русскому языку 8 класс 56 регион
Ответы и задания по русскому языку 9 класс МЦКО 1 октября 2019
Ответы и задания по русскому языку 9 класс статград РУ1990101-02 16 октября 2019
Ответы и задания по Русскому языку КДР 11 класс январь 2019
Ответы и задания по русскому языку муниципальный этап 11 ноября всероссийской олимпиады 2018-2019
Ответы и задания по русскому языку ОГЭ 2018
Ответы и задания по русскому языку олимпиада школьный этап 22 октября 2019
Ответы и задания по физике 10 класс КДР 30 января 2018
Ответы и задания по физике 11 класс ВОШ 2018-2019
Ответы и задания по физике 11 класс ВПР 2018 10. 04.18
Ответы и задания по физике 11 класс КДР 30 января 2018
Ответы и задания по физике 9 класс 29 января 2018 СтатГрад
Ответы и задания по физике 9 класс КДР 30 января 2018
Ответы и задания по физике 9 класс статград
Ответы и задания по физике школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020
Ответы и задания по химии 11 класс 28 ноября 2018
Ответы и задания по химии 11 класс ВПР 2018 05.04.18
Ответы и задания по химии 11 класс статград ХИ1910101 и ХИ1910102 15 октября 2019
Ответы и задания по химии 9 класс статград ХИ1990101-ХИ1990104 21 октября 2019
Ответы и задания по химии 9 класс тренировочная работа статград
Ответы и задания по экологии школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
Ответы и задания русский язык 11 класс варианты 16 мая 2019 год
Ответы и задания русский язык 7 класс ВПР 9 апреля 2019 год
Ответы и задания русский язык 9 класс 56 регион 06. 04.18
Ответы и задания стартовая работа русский язык 8 класс 23 сентября 2019
Ответы и задания статград обществознание 11 класс 14 декабря 2018
Ответы и задания статград по физике 9 класс варианты 24 октября 2019
Ответы и задания тренировочная №4 история 9 класс 21 марта 2019
Ответы и задания ФИ90401 и ФИ90402 физика 9 класс 4 марта 2019
Ответы и задания Физика ОГЭ 2018 9 класс
Ответы и задания ЧИП 1-2 класс 2019
Ответы и задания школьный этап по математике всероссийской олимпиады новосибирская область 2019-2020
Ответы и задания школьный этап по физике всероссийской олимпиады в Московской области 2019-2020
Ответы КДР 2019 по информатике 10 класс 15 марта 23 регион
Ответы КДР 2019 по информатике 9 класс 15 марта 23 регион
Ответы КДР 2019 по литературе 10 класс 15 марта 23 регион
Ответы КДР 2019 по литературе 9 класс 15 марта 23 регион
Ответы КДР 23 регион биология 11 класс 21. 12.2018
Ответы КДР 23 регион история 11 класс 21.12.2018
Ответы КДР задания 23 регион Февраль 2019 год
Ответы КДР литература 11 класс 14 декабря 2018
Ответы КДР физика 11 класс 14 декабря 2018
Ответы МЦКО математика 10 класс 5 декабря 2018
Ответы МЦКО математика 11 класс 28 ноября 2018
Ответы МЦКО по истории 9 класс 19.09
Ответы на тренировочная работа по химии 9 класс “СтатГрад”
Ответы на тренировочную работу по русскому языку 11 класс
Ответы обществознание 9 класс статград 5 декабря 2018
Ответы обществознание для 10 классов 23 регион
Ответы ОГЭ 2018 английский язык
Ответы ОГЭ 2018 русский язык
Ответы олимпиада по праву 9 класс школьный этап ВОШ 2018-2019
Ответы олимпиада по физике 9 класс 2018-2019
Ответы по английскому языку 7-9 класс 56 регион 10.12.2018 Аудирование
Ответы по английскому языку олимпиада ВОШ школьный этап 2018-2019
Ответы по астрономии школьный этап олимпиады ВОШ 2018-2019
Ответы по биологии 9 10 11 класс вош 2018-2019 школьный этап
Ответы по биологии для 9 классов (Оренбургская область, 56 регион)
Ответы по географии ВОШ олимпиада школьный этап 2018-2019
Ответы по географии для 9 классов 11 регион
Ответы по информатике 11 класс 12. 05
Ответы по искусству МХК олимпиада ВОШ школьный этап 2018-2019
Ответы по истории 11 класс статград тренировочная работа №1 26.09
Ответы по истории 11 класс школьный этап олимпиады ВОШ 2018-2019
Ответы по истории 9 класс статград
Ответы по истории для 9 классов (Оренбургская область, 56 регион)
Ответы по математике 7-8 класс КДР
Ответы по математике 8 класс МЦКО 28 марта 2018
Ответы по математике 9 класс 64 регион
Ответы по математике 9 класс СтатГрад 15.02
Ответы по немецкому языку 7-9 класс 56 регион 10.12.2018 Аудирование
Ответы по русскому языку 11 класс 11 регион 13.02
Ответы по русскому языку для 7 и 8 класс 12.05
Ответы по русскому языку школьный этап олимпиады ВОШ 2018-2019
Ответы по тренировочная работа по биологии 11 класс
Ответы по тренировочная работа по обществознанию 9 класс
Ответы по физике 9 класс ФИ90201 и ФИ90202 статград 7 декабря 2018
Ответы по физике, биологии для 11 классов 56 регион 16. 02
Ответы по химии 11 класс пробное ЕГЭ статград 12 марта 2019
Ответы по химии 9 класс статград 19 декабря 2018
Ответы по химии, информатике, географии, обществознанию для 9 классов
Ответы по экологии школьный этап ВОШ 2018-2019
Ответы репетиционный экзамен по математике 9 класс пробное ОГЭ 9 февраля 2018
Ответы РПР по математике 9 класс 64 регион 3 этап 2018
Ответы русский язык 10 класс 56 регион 12.05
Ответы русский язык 5-8 класс контрольная работа за 1 полугодие 56 регион 2018
Ответы статград география 11 класс 11.12.2018
Ответы СтатГрад по обществознанию 9 класс
Ответы статград по обществознанию 9 класс варианты ОБ1990101-02 23 октября 2019
Ответы тренировочная работа по истории 9 класс
Ответы тренировочная работа по математике 10 класс 08.02.2017
Ответы тренировочная работа по русскому языку 9 класс 09.02.2017
Ответы тренировочная работа по химии 11 класс 14. 02
Ответы физике для 9 классов (Оренбургская область, 56 регион)
Отзывы прошлых лет
Отзывы с первого экзамена ОГЭ 2018 по английскому языку
Отзывы с первых экзаменов ЕГЭ 2017
Отзывы с прошедших экзаменов ОГЭ 2019
Отзывы с экзамена по русскому языку ОГЭ 2018
Открытый банк заданий и ответы ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку 11 класс
Официальные работы РДР 2019-2020 для 78 региона
Официальные работы РДР для 78 региона 2018-2019 учебный год
Официальные РДР 2020 для Московской области задания и ответы
Официальные РДР 2021 для Московской области задания и ответы
Официальные темы для Республика Саха (Якутия) Сахалинская область итоговое сочинение 2018-2019
Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 11 класс для часового пояса MSK+1
Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 11 класс для часового пояса MSK+6
Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 11 класс для часового пояса МСК
Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 для часового пояса MSK +9
Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 для часового пояса MSK+7
Оформление заказа
Пегас 2018 задания и ответы 7 февраля конкурс по литературе
Пегас 2019 5-6 класс ответы и задания
Пегас 2019 7-8 класс ответы и задания
Пегас 2019 ответы для 9-11 класса
Письмо английский язык 7 8 9 класс 56 регион ответы и задания
Платно русский язык 9 класс
Поддержать проект
Полугодовая контрольная работа по русскому языку 11 класс задания и ответы 2019-2020
ПОЛЬЗОВАТЕЛЬСКОЕ СОГЛАШЕНИЕ
Предэкзаменационная работа задания и ответы по информатике 9 класс ОГЭ 2019
Предэкзаменационная работа задания и ответы по математике 11 класс ЕГЭ 2019
Пробная (тренировочная) ВПР 2019 география 10-11 класс ответы и задания
Пробное (тренировочное) ВПР 2019 биология 11 класс ответы и задания
Пробное (тренировочное) ВПР 2019 география 6 класс ответы и задания
Пробное (тренировочное) ВПР 2019 математика 7 класс ответы и задания
Пробное (тренировочное) ВПР 2019 русский язык 4 класс ответы и задания
Пробное (тренировочное) ВПР 2019 русский язык 5 класс ответы и задания
Пробное (тренировочное) ВПР 2019 русский язык 6 класс ответы и задания
Пробное ВПР 2019 ответы и задания по английскому языку 11 класс
Пробное ВПР 2019 ответы и задания по биологии 5 класс
Пробное ВПР 2019 ответы и задания по биологии 7 класс
Пробное ВПР 2019 по истории 5 класс ответы и задания
Пробное ВПР 2019 по истории 6 класс ответы и задания
Пробное ВПР 2019 по химии 11 класс ответы и задания
Пробное Итоговое собеседование 9 класс русский язык ОГЭ 2019 задания
Пробный экзамен по обществознанию и литературе для 11 классов ответы
Работа по математике 11 класс статград ответы и задания 25 сентября 2019
Работа статград по русскому языку 9 класс 3 декабря 2019 ответы и задания
Работы (задания+ответы) для Республики Коми Март 2017
Работы (задания+ответы) Март 2017 СтатГрад
Работы (задания+ответы) Февраль 2017
Работы (задания+ответы) Январь 2017
Работы 56 регион ответы и задания май 2019 год
Работы для 56 региона Май 2018 ответы и задания
Работы для Оренбургской области
Работы для Республики Коми Декабрь 2017 задания и ответы
Работы для Республики Коми Ноябрь 2017 задания и ответы
Работы для Республики Коми Октябрь 2017 задания и ответы
Работы задания и ответы по регионам
Работы МЦКО демоверсии задания и ответы
Работы СтатГрад 2018 февраль задания и ответы
Работы СтатГрад апрель 2018 задания и ответы
Работы Статград ВПР задания и ответы февраль 2019
Работы статград ВПР март 2019 задания и ответы
Работы СтатГрад декабрь 2017 задания и ответы
Работы статград декабрь 2018-2019 ответы и задания
Работы статград декабрь 2019 задания и ответы 2019-2020 учебный год
Работы статград задания и ответы ноябрь 2019-2020 учебный год
Работы СтатГрад задания и ответы октябрь 2018
Работы статград задания и ответы октябрь 2019-2020 учебный год
Работы СтатГрад задания и ответы сентябрь 2018
Работы СтатГрад март 2018 задания и ответы
Работы СтатГрад ноябрь 2017 задания и ответы
Работы СтатГрад октябрь 2017 задания и ответы
Работы СтатГрад сентябрь 2017 задания и ответы
Работы статград сентябрь 2019 год ответы и задания
Работы СтатГрад январь 2018 задания и ответы
Работы статград январь 2020 задания и ответы 2019-2020 учебный год
Работы СтатГрад, КДР за апрель 2017
Работы СтатГрад, КДР за май 2017
Работы СтатГрад, КДР за март 2017
Работы СтатГрад, КДР, тренировочные за февраль 2017
Работы СтатГрад, КДР, тренировочные за январь 2017
Расписание
Расписание ГИА ОГЭ 2017
Расписание ЕГЭ 2018 досрочный основной резервный период
Расписание итогового сочинения 2017-2018
Расписание проведения экзаменов 9 класса ОГЭ 2018
Расписание школьных олимпиад 2017-2018 задания и ответы
Распределения реальных тем итогового сочинения 2017-2018 по зонам регионам
РДР 2019-2020 по физике 10 класс ответы и задания
РДР 8 класс ответы и задания по математике 15 ноября 2018
РДР математика 10 класс 14 ноября 2019 ответы и задания
РДР математика 6 класс ответы и задания 21 ноября 2019 78 регион
РДР ответы и задания для Санкт-Петербурга
РДР по русскому языку 9 класс ответы и задания вариант 1901 и 1902 17 октября 2019
Реальное ВПР 2020 задание 1 по биологии 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание 2 по биологии 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №1 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №10 по биологии 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №10 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №11 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №12 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №2 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №3 по биологии 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №3 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №4 по биологии 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №4 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №5 по биологии 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №5 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №6 по биологии 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №6 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №7 по биологии 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №7 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №8 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №9 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальные задания по математике ПРОФИЛЬ ЕГЭ 2018
Реальные темы и готовые сочинения 4 декабря 2019 ФИПИ для региона МСК+9
Реальные темы итогового сочинения 2018-2019 5 декабря
Реальный вариант с ЕГЭ 2019 по математике 29 мая 2019 год
Региональный экзамен по математике 7 класс
Региональный экзамен по математике 7 класс 56 регион ответы и задания
Региональный экзамен по русскому языку 8 класс 56 регион
Региональный этап 2019 по астрономии задания и ответы всероссийская олимпиада
Региональный этап 2019 по географии ответы и задания ВОШ
Региональный этап 2019 по искусству МХК ответы и задания ВОШ
Региональный этап 2019 по истории задания и ответы всероссийская олимпиада
Региональный этап 2019 по немецкому языку задания и ответы
Региональный этап по биологии задания всероссийская олимпиада 2018-2019
Региональный этап по математике ответы и задания 2019
Результаты ЕГЭ 2017 у школьников
Решать реальное ВПР 2020 задание №8 по биологии 5 класс с ответами
Решать реальное ВПР 2020 задание №9 по биологии 5 класс с ответами
Решения и задания муниципального этапа 2019 олимпиады по математике
РПР 2017-2020 задания и ответы для Саратовской области 64 регион
РПР математика 9 класс 3 этап задания и ответы 2018-2019
РПР по математике 9 класс 64 регион задания 2018-2019
Русский медвежонок 10-11 класс ответы и задания 2018-2019
Русский медвежонок 14 ноября 2019 ответы и задания 6-7 класс
Русский медвежонок 2-3 класс ответы и задания 2018-2019
Русский медвежонок 2019 ответы и задания для 10-11 класса 14 ноября
Русский Медвежонок 2019 ответы и задания для 2-3 класса
Русский медвежонок 2019-2020 ответы и задания 8-9 класс 14 ноября
Русский медвежонок 4-5 класс ответы и задания 2018-2019
Русский медвежонок для учителей 2020 год задания и ответы
Русский язык 10 класс КДР ответы и задания
Русский язык 10 класс КДР ответы и задания 19 декабря 2018
Русский язык 10 класс ответы и задания 56 регион
Русский язык 10 класс ответы МЦКО 8 ноября 2018 год
Русский язык 10 класс СтатГрад ответы 12. 05
Русский язык 10-11 класс ответы и задания 22 апреля 2019 тренировочная №1
Русский язык 10-11 класс ответы и задания СтатГрад
Русский язык 10-11 класс ответы РЯ10901 и РЯ10902 6 марта 2019
Русский язык 11 класс 03.06.2019
Русский язык 11 класс 11 ноября 2019 ответы и задания работа статград
Русский язык 11 класс 56 регион ответы
Русский язык 11 класс диагностическая работа №5 ответы и задания 8 апреля 2019
Русский язык 11 класс КДР ответы и задания 19 декабря 2018
Русский язык 11 класс контрольная работа в формате ЕГЭ 2 варианта задания и ответы
Русский язык 11 класс мониторинговая работа ответы и задания
Русский язык 11 класс ответы и задания диагностика 2 статград 18 марта 2019
Русский язык 11 класс ответы и задания СтатГрад 17.05
Русский язык 11 класс ответы РЯ10601 и РЯ10602 статград 2018-2019
Русский язык 11 класс ответы статград 30 января 2019
Русский язык 11 класс РЯ1910701-РЯ1910702 статград ответы и задания 11 декабря 2019
Русский язык 11 класс статград 24 октября 2019 ответы и задания РЯ1910601-02
Русский язык 11 класс статград ЕГЭ ответы и задания
Русский язык 11 класс СТАТГРАД ответы и задания 28 февраля
Русский язык 11 класс статград ответы и задания вариант РЯ10201 и РЯ10202 07. 11.2018
Русский язык 11 класс тренировочная работа №1 ответы статград 2018-2019
Русский язык 3 класс МЦКО ВСОКО задания итоговая работа 2019
Русский язык 4 класс ВПР 2020 демоверсия задания и ответы ФИПИ
Русский язык 4 класс задания и ответы мониторинговая работа 2019-2020
Русский язык 5 класс демоверсия ВПР 2020 ФИПИ задания и ответы
Русский язык 5 класс ответы и задания 21.09
Русский язык 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
Русский язык 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 23 апреля
Русский язык 6 класс ВПР 2020 демоверсия фипи задания и ответы
Русский язык 6 класс статград ответы и задания 2018-2019
Русский язык 7 класс 56 регион ответы
Русский язык 7 класс 56 регион ответы и задания 15 марта 2018
Русский язык 7 класс задания и ответы мониторинговая работа 10 сентября 2019
Русский язык 7 класс ответы и задания РУ1970101 и РУ1970102 26 сентября 2019
Русский язык 7 класс ответы и задания статград 2018-2019
Русский язык 7 класс статград ответы и задания
Русский язык 7-8 класс ответы КДР 23 января 2019
Русский язык 8 класс 56 регион задания и ответы
Русский язык 8 класс КДР ответы и задания 19 декабря 2018
Русский язык 8 класс ответы и задания 56 регион
Русский язык 8 класс ответы и задания 6 мая 2019 итоговая работа
Русский язык 8 класс стартовая работа ответы и задания 24. 09
Русский язык 8 класс статград ответы и задания
Русский язык 9 класс 11.05 ответы
Русский язык 9 класс 74 регион ответы
Русский язык 9 класс ответы и задания 19 апреля 2019 диагностическая работа №4
Русский язык 9 класс ответы и задания варианты 13 мая 2019 год
Русский язык 9 класс ответы и задания диагностика статград 15 марта 2019
Русский язык 9 класс ответы и задания полугодовая работа 2018-2019
Русский язык 9 класс ответы изложение статград 2018-2019
Русский язык 9 класс СтатГрад 17.04
Русский язык 9 класс СтатГрад задания и ответы
Русский язык 9 класс статград ОГЭ ответы и задания 15 марта 2018
Русский язык 9 класс СТАТГРАД ответы и задания
Русский язык 9 класс статград РЯ90201-РЯ90202 ответы и задания 27.11.
Русский язык платно
Русский язык школьный этап 2018-2019 ответы и задания Санкт-Петербург
Русский язык школьный этап 2019-2020 задания и ответы московская область
РЭ по математике 7 класс 24. 05 ответы
РЭ по русскому языку 7 класс ответы 19.05
РЭ по русскому языку 8 класс ответы 24.05
СтатГрад
Статград 9 класс русский язык ответы и задания 21.12.2018
СтатГрад апрель 2017 работы задания и ответы
СтатГрад биология 11 класс 14.04.17
Статград ВПР работы апрель 2019 ответы и задания
СТАТГРАД ВПР февраль 2020 задания и ответы 2019-2020 учебный год
Статград география 11 класс ответы и задания март 2018
Статград география 9 класс ответы и задания 20 ноября 2018
СтатГрад задания и ответы по обществознанию 11 класс 1 февраля 2018 года
Статград задания и ответы январь 2018-2019
Статград информатика 9 класс 27 ноября 2019 ответы и задания ИН1990201-ИН1990204
СтатГрад информатика 9 класс ответы и задания 5 марта 2018
Статград история 11 класс 2 варианта ответы и задания 12 марта 2018
СтатГрад май 2017 работы задания и ответы
СтатГрад математика 11 класс ответы и задания 6 марта 2018
Статград Обществознание 11 класс ответы и задания
Статград обществознание 9 класс ответы и задания 13 марта 2018
СтатГрад обществознание 9 класс ответы и задания 17. 05
СтатГрад ответы и задания для работ ноябрь 2018
СтатГрад ответы и задания по математике 10 класс База и Профиль 7 февраля 2018
СтатГрад ответы и задания по русскому языку 11 класс 6 февраля 2018
Статград ответы русский язык 11 класс 19.12.2018
СтатГрад по математике для 11 классов
Статград работы май 2018 ответы и задания
Статград работы ответы и задания май 2019
СтатГрад русский язык диагностические работы 2017 задания и ответы
Темы итогового сочинения 2017
Темы на пробное итоговое сочинение для 52 региона
Темы по направлениям которые будут итоговое сочинение 2018 6 декабря
Тест по русскому языку 4 класс ВПР 2018 ответы и задания
Тренировочная работа по биологии 11 класс
Тренировочная работа по биологии 9 класс ответы и задания 15 января 2019
Тренировочная работа по информатике 11 класс
Тренировочная работа по информатике 9 класс ответы
Тренировочная работа по математике 10 класс ответы 6 февраля 2019
Тренировочная работа по математике 11 класс ответы 06. 03
Тренировочная работа по химии 11 класс ответы 8 февраля 2019
Тренировочная работа статград по географии 11 класс ответы 15.02.2019
Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по английскому языку 7 класс
Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по биологии 6 класс
Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по истории 11 класс
Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по математике 6 класс
Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по физике 11 класс
Тренировочные варианты 200203, 200217, 200302 по химии 11 класс с ответами 2020
Тренировочные варианты ВПР 2020 по химии 8 класс ХИ1980101,ХИ1980102
Тренировочные варианты ЕГЭ по английскому языку 11 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ по биологии задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ по географии 11 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ по информатике задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ по истории 11 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ по литературе 11 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ по математике 11 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ по обществознанию 11 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ по русскому языку задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ по физике 11 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ по химии 11 класс задания с ответами
Тренировочные варианты КДР 10 класс обществознание 2019
Тренировочные варианты ОГЭ по английскому языку 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по биологии 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по географии 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по информатике 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по истории 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по математике 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по обществознанию 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по русскому языку 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по физике 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по химии 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты по биологии 10 класс задания с ответами
Тренировочные задания МЦКО ВСОКО математика 3 класс 2019
Тренировочные работы для 56 региона задания и ответы сентябрь 2018
Тренировочные работы для 56 региона Оренбургской области задания и ответы
Тренировочные работы по математике статград 2017 задания и ответы
Тренировочный вариант 33006757 ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант 33006758 ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант 33006759 ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073002 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073003 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073004 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073005 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073006 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073007 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073008 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073009 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073010 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073011 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант с ответами 200316 по физике 11 класс ЕГЭ 2020
Тренировочный варианты №191223 и №191209 по химии 11 класс ЕГЭ 2020
Тренировочный ЕГЭ 2020 математика 11 класс профиль задания и ответы
Турнир ЛОМОНОСОВ задания и ответы 2018-2019
Турнир Ломоносова задания и ответы 2019-2020 учебный год
Условия перепечатки материалов | Правообладателям
Устная часть английский язык 2018 платно
Устное собеседование 2019 официальные варианты 13 февраля
Устное собеседование 9 класс 2019
Физика 11 класс 7 ноября 2019 статград ответы и задания варианты ФИ1910201-ФИ1910204
Физика 11 класс ВПР ответы 25. 04
Физика 11 класс ответы и задания 6 мая 2019 тренировочная работа №5
Физика 11 класс ответы и задания пробник статград 14 февраля 2018
Физика 11 класс ответы и задания статград 2018
Физика 11 класс ответы и задания ФИ1910101 ФИ1910102 19 сентября 2019
Физика 11 класс СтатГрад ответы и задания
Физика 11 класс тренировочная ЕГЭ №4 статград ответы и задания 14 марта 2019
Физика 7 класс ВПР 2019 ответы и задания 23 апреля
Физика 9 класс задания и ответы СтатГрад
Физика 9 класс ответы и задания ФИ90101 и ФИ90102 статград 2018-2019
Физика 9 класс ответы и задания ФИ90401 ФИ90402 статград
Физика 9 класс СтатГрад 03.05 ответы
Физика 9 класс статград ответы и задания 10 декабря 2019 варианты ФИ1990201-ФИ1990204
Физика ОГЭ 2018 ответы и задания 2 июня
Физика ОГЭ 2018 платно
Физика турнир Ломоносова задания 2018-2019
Физическая культура 10 ноября задания муниципальный этап всероссийская олимпиада 2018-2019
ФИПИ открытый банк заданий ЕГЭ 2019 по русскому языку Лексика и фразеология
Французский язык 7-11 класс муниципальный этап 2019-2020 ответы и задания Москва
Химия 11 класс 10. 05 СтатГрад ответы
Химия 11 класс ВПР 27.04 задания и ответы
Химия 11 класс ЕГЭ статград ответы и задания 14 марта 2018
Химия 11 класс ответы для ХИ10101 ХИ10102 статград 19.10
Химия 11 класс ответы и задания 28 ноября 2019 статград ХИ1910201-ХИ1910204
Химия 11 класс ответы и задания варианты статград 13 мая 2019 год
Химия 11 класс ответы и задания СтатГрад 9 февраля 2018 года
Химия 11 класс СтатГрад задания и ответы
Химия 9 класс задания и ответы СтатГрад
Химия 9 класс КДР ответы и задания 15 февраля 2018 года
Химия 9 класс ОГЭ 4 июня 2019 год
Химия 9 класс ОГЭ статград ответы и задания 15 февраля 2018
Химия 9 класс ответы и задания 16.05
Химия 9 класс ответы и задания ОГЭ статград 22.03.2018
Химия 9 класс ответы тренировочная №4 статград 20 марта 2019
Химия 9 класс статград ОГЭ ответы и задания
Химия ВОШ школьный этап ответы и задания 2018-2019
Химия ответы и задания для школьного этапа всероссийской олимпиады 2019-2020
Частная группа
ЧИП Австралия 23 октября 2019 ответы и задания 7-8 класс
ЧИП Австралия 3-4 класс ответы и задания 23 октября 2019-2020
ЧИП Австралия ответы и задания 5-6 класс 23 октября 2019-2020
ЧИП мир сказок 2019 ответы и задания для 1 класса 5-7 лет
Читательская грамотность 4 класс МЦКО 2019 тестирование
Чтение читательская грамотность 3 класс МЦКО ВСОКО задания 2019
Школьные конкурсы расписание 2017-2018
Школьные олимпиады и конкурсы 2017-2018 задания и ответы
Школьный тур наше наследие 7-8 класс ответы и задания 2019-2020
Школьный этап 2019-2020 всероссийская олимпиада по астрономии ответы и задания
Школьный этап 2019-2020 олимпиады ВОШ по физике ответы и задания
Школьный этап 2019-2020 по биологии ответы и задания всероссийской олимпиады школьников
Школьный этап 2019-2020 по испанскому языку ответы и задания всероссийской олимпиады
Школьный этап 2019-2020 по праву задания и ответы для всероссийской олимпиады школьников
Школьный этап 2019-2020 по праву ответы и задания всероссийской олимпиады школьников
Школьный этап 2019-2020 по русскому языку ответы и задания всероссийская олимпиада школьников
Школьный этап ВОШ 2019-2020 ответы и задания по французскому языку
Школьный этап ВОШ по информатике ответы и задания 2018-2019
Школьный этап ВОШ по испанскому языку ответы и задания 2018-2019
Школьный этап ВОШ по математике задания и ответы 2018-2019
Школьный этап ВСЕРОССИЙСКИХ олимпиад 2017-2018 задания
Школьный этап всероссийской олимпиады задания и ответы по обществознанию 2019-2020 учебный год
Школьный этап всероссийской олимпиады задания и ответы по физической культуре 2019-2020
Школьный этап ВсОШ 2019-2020 ответы и задания по обществознанию
Школьный этап олимпиады по информатике ответы и задания всероссийской олимпиады 2019
Школьный этап олимпиады по математике ответы и задания всероссийской олимпиады 2019
Школьный этап олимпиады по экономике ответы и задания всероссийской олимпиады 2019
Школьный этап по английскому языку 2019-2020 задания и ответы московская область
Школьный этап по ОБЖ задания и ответы всероссийская олимпиада 2019-2020
Экзамен по географии ОГЭ 2019
Экономика олимпиада муниципальный этап 2019 ВсОШ задания и ответы

Контрольная работа по алгебре 11 класс корень n степени Мордкович

асть I.

Укажите наименьшее значение функции у = 3 – 0,5sin 2x.

Ответ:

Найдите производную функции у = (4х – 5)· cos х.

у′ = 4cos x + (4x – 5)sin x 3) у′ = 4cos x + 4sin x
у′ = cos x — (4x – 5)sin x 4) у′ = 4cos x — (4x – 5)sin x

На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссойх0.

Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.

На рисунке изображен график производной функции у = f(x), определённой на (-6; 11). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [-5; 8].

На рисунке изображен график производной функции у = f(x), определённой на (-9; 2).

В какой точке отрезка [-6; 2] f(x) принимает наименьшее значение.

Часть II. Запишите обоснованное решение и ответ.

Найдите первообразную F(x) функции f(x) = sin 2x, если график первообразной проходит через точку М(; 5).

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Материальная точка движется прямолинейно по закону х(t) = — 2t + 13, где х – расстояние от точки отсчёта в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 54 м/с?

Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции f(x) = ln (5 – 2x) в его точке с абсциссой х0 = 2.

Дана функция f(x) = x5 – 5×4 + 3. Найдите:

А) промежутки возрастания и убывания функции;

Б) точки максимума и минимума функции;

В) наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке [-1; 2] .

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции

f(x) = -x2 — x + 2 и осью абсцисс, изобразив рисунок.

Найдите все решения уравнения 3sin2 x + 7sin ( – x) — 3 = 0, принадлежащие отрезку [; 3π].

Статистика

— Расчет стандартной ошибки для одного образца T-теста: σ / sqrt (n) или s / sqrt (n)?

Строго говоря, если известны и $ \ mu $, и $ \ sigma $, у вас нет причин делать тест.

Я думаю, вы должны иметь в виду, что хотите проверить нулевую гипотезу $ H_0: \ mu = \ mu_0 $ против альтернативы $ H_a: \ mu \ ne \ mu_0 $ и что $ \ mu_0 $ — указанное число.

z-тест. Если известно числовое значение $ \ sigma $, нет необходимости чтобы оценить его, используя стандартное отклонение выборки $ S $.В этом случае у вас будет z-тест со статистикой теста $$ Z = \ frac {\ bar X — \ mu_0} {\ sigma / \ sqrt {n}}, $$ где $ Z $ имеет стандартное нормальное распределение, если $ H_0 $ истинный. Тогда вы бы отклонили $ H_0 $ на уровне 5% значимость, если $ | Z | > 1,96 $

т испытание. Если числовое значение $ \ sigma $ неизвестно, то вы будет использовать t-тест со статистикой теста $$ T = \ frac {\ bar X — \ mu_0} {S / \ sqrt {n}}, $$ где $ T $ имеет t-распределение Стьюдента с $ n — 1 $ степеней свободы, если $ H_0 $ истинно.* $ немного больше 1,96. Это приводит некоторых авторов чтобы сказать, что вы должны использовать t-тест, только если $ n $ мало.

Однако, если вы используете программное обеспечение, вы обнаружите, что всякий раз вы выполняете z-тест, вас попросят ввести числовой значение $ \ sigma. $ Кроме того, «правило 30» действительно только работает для тестирования на уровне значимости 5%. [На 1%, это будет (редко упоминаемое) «правило 120». А если вы смотрите на P-значения, такого правила недостаточно.]

Лучшее правило для z-теста vs.t-тест очень прост:

Если известно числовое значение $ \ sigma $, используйте z-тест. Если $ \ sigma $ неизвестно, то оценивается на $ S $, и вы воспользуетесь t-тестом. Различие имеет отношение исключительно к тому, известен ли $ \ sigma $; Это действительно не имеет ничего общего с размером выборки.

Теория чисел

— Разделите $ n $ на нетривиальные множители с помощью нетривиального квадратного корня из $ 1 \! \ Pmod {\! N} $

Ниже приводится малоизвестный общий, но простой ответ на ваш вопрос о нетривиальных sqrts $ \ rm (mod \ m) \: $.

Теорема $ $ Мы можем быстро разбить $ \ rm m> 1 \, $ на два нетривиальных фактора, задав ненулевой многочлен с большим числом корней mod $ \ rm \, m \, $, чем его степень.

Доказательство $ $ По условию $ \ rm \, \ color {# 0a0} {0 \ not \ Equiv} f (x) \, $ имеет степень $ \ rm \, n \, $ и не менее $ \ rm \, n \! + \! 1 \, $ различных корней $ \ rm \, r, \, r_1, \, \ ldots, \, r_n. \, $ Индуктивное применение теоремы о множителях, как здесь, дает $ \ rm \ , f (x) \ Equiv c (x \! — \! r_1) \ cdots (x \! — \! r_ {n}), \ c \ color {# 0a0} {\ not \ Equiv 0}. \, $ Поскольку также $ \ rm \, f (r) \ Equiv 0 \, $, получаем $ \ rm \, m \ mid c (r \! — \! R_1) \ cdots (r \! — \! R_n ). \, $ Если бы $ \ rm \, m \, $ были взаимно просты со всеми этими множителями, они были бы взаимно просты с их произведением по лемме Евклида. Поскольку это не так, мы заключаем, что $ \ rm \, m \, $ не взаимно просто с некоторым множителем $ \ rm \, k. \, $ Поскольку $ \, \ rm m \, $ не делит ни один из множителей (на корни различны $ \ rm \! \ bmod m \, $ и $ \, c \ color {# 0a0} {\ not \ Equiv 0}), \, $ получаем $ \, \ rm \ gcd (m, k) \ neq m, \, $, таким образом, НОД представляет собой нетривиальный фактор для $ \, \ rm m, \, $, являющегося $ \ rm \ neq 1, m.\ $

Пример $ \ rm \; (deg \ f = 1) \; \, $ Предположим, mod $ \ rm \, m, \, $, что $ \ rm \; 0 \, \ not \ Equiv \, f \, = \, a \, x \; $ имеет «нетривиальный» корень $ \ rm \, b \ not \ Equiv 0. \, $ Тогда $ \ rm \; m \ mid ab, \, \ m \ nmid a, b \; \ Rightarrow \, $ $ \, \ rm gcd (m, b) \, $ — множитель $ \ rm \, m \, $, то есть нетривиальный $ (\ neq 1, \, m), \, $ ie $ $, когда $ \ rm \, m \, $ не удовлетворяет свойству простого делителя (лемма Евклида), это конструктивно составное. 2 \ Equiv 1 \, $ имеет «нетривиальный» квадратный корень $ \ rm \, b \ not \ Equiv \ pm1.\, $ Тогда $ \; \ rm gcd (m, b \ pm 1) \; $ дает нетривиальный множитель $ \ rm \, m \, $, когда $ \ rm \, m \, $ нечетно. Эта идея лежит в основе многих алгоритмов целочисленной факторизации. Подробно, с помощью уникальной простой факторизации имеем $ \ rm \, m \ mid (b \! — \! 1) (b \! + \! 1) \, \ Rightarrow \, m = jk, \, \ j \ mid b \! — \! 1, \, k \ mid b \! + \! 1, \, $ so $ \ rm \, m \ nmid b \ pm 1 \, \ Rightarrow \, j, k \ mid m \, $ нетривиально.

Приведенное выше доказательство легко расширяется, чтобы получить доказательство следующего

Теорема $ $ Кольцо $ \ rm \, R $ является (целостной) областью, т.е. $ \ rm \, rs = 0 \, \ Rightarrow \, r = 0 \, $ или $ \ rm \, s = 0, \, $ для всех $ \ rm \, r, s \ in R $ $ \ iff $ каждый ненулевой многочлен $ \, \ rm f (x) \ in R [x] \, $ имеет не более $ \ rm \, deg \ f (x) \, $ корней в $ \ rm R $

Доказательство $ \ $ $ (\ Rightarrow) \; $ Воспользуйтесь индукцией по полиномиальной степени, как в доказательстве предыдущей теоремы. $ (\ Leftarrow) \ \ $ Если $ \ rm \; r \ ne 0 \; $, то многочлен $ \ rm \, rx \, $ имеет только корень $ \ rm \; x = 0, \, $, следовательно, $ \ rm \ rs = 0 \ \ Rightarrow \ s = 0 $.

Полиномиальных функций высшей степени

3.2 — Полиномиальные функции высшей степени

Графики многочленов

Полиномы всюду непрерывны и гладкие.

Непрерывная функция означает, что его можно нарисовать без комплектации карандаш . На графике нет ни скачков, ни дыр. полиномиальная функция.
Плавная кривая означает, что нет крутых поворотов (как абсолютное значение) на графике функции.
Y-пересечение полинома — это постоянный член а ₀.

Тест опережающего коэффициента (поведение правой руки)

Если старший коэффициент, a _n, полинома положительный , тогда правая часть графика будет расти в сторону + бесконечность.
Если старший коэффициент полинома _n равен отрицательным , тогда в правой части графика упадет в сторону — бесконечность.

Степень полинома (поведение левой руки)

Если степень полинома n равна , даже , то левый сторона будет делать то же , что и правая сторона.
Если степень полинома n равна , нечетное , левая часть сторона будет делать напротив правой стороны.

Привыкайте к понятию «четное-то-же-нечетное». Мы будем часто это видеть («лот» — это математический термин, означающий, что он вам надоест, но что это, вероятно, что-то действительно важное.)

Нули полиномиальной функции

Многочлен n-й степени от одной переменной имеет не более действительных нулей .Ровно n действительных или комплексных нулей (см. Фундаментальную теорему Алгебра в следующем разделе).
Многочлен n-й степени от одной переменной имеет не более относительных экстремумы (относительные максимумы или относительные минимумы). Поскольку родственник экстремум — это поворот на графике, можно также сказать, что существует не более n-1 повороты в графике.

Реальные нули

Если f — полиномиальная функция от одной переменной, то следующие утверждения эквивалентны

x = a — это ноль или корень функции f.
x = a — это решение уравнения f (x) = 0.
(x-a) — это коэффициент функции f.
(a, 0) — это отрезок x графика f.

Утверждается, что существует не более n действительных нулей. Нет претензий что все они уникальны (разные). Некоторые корни могут повторяться. Эти называются повторяющимися корнями . Повторяющиеся корни связаны с концепцией называется множественностью. Кратность корня — это число раз корень — это ответ.4

Корни функции будут x = 3 с кратностью 2, x = -5 и x = -2. с кратностью 4. Предполагается, и поэтому нет необходимости писать, что кратность из 1.

И самое прекрасное …

Кратность корня, а также показатель степени множителя могут быть используется для определения поведения графика в этом нуле.

Если кратность нечетная , график пересечет ось абсцисс в этом нуле.То есть будет переходить на другую сторону или быть на противоположных сторонах. оси абсцисс.
Если кратность даже , график коснется ось абсцисс в этом нуле. То есть он останется с той же стороны от оси.

Подождите — кажется, я уже упоминал об этом раньше. Я чувствую себя Твити-Птицей когда я думаю, я размораживаю татку. Я сделал, я сделал. Странные изменения, даже остается прежним. Я называю это OCES. Привыкайте — это будет повторяющаяся тема.

Странные изменения, даже такие же

Вот несколько мест, где вы будете использовать концепцию нечетных изменений, четных пребываний. он же

Левостороннее поведение полиномиальной функции.
1. Если степень многочлена Нечетный , левая сторона Меняется на с правая рука
2. Если степень полинома равна Даже , левая рука делает То же , что и правая
Поведение полиномиальной функции в точках пересечения с осью x
1. Если кратность равна Нечетное , график будет Изменится стороны и пересечь ось
2. Если кратность равна Даже , график останется на стороне То же и просто коснитесь оси
Определение решения неравенств (это ключ к поиску ответов очень быстро)
1. Если кратность равна Нечетный , знак будет Изменение в критическое число
2. Если кратность равна Даже , знак останется То же в критическое число
Поведение рациональных функций (далее в главе) х-точек пересечения
1. Если кратность равна Нечетное , график будет Изменится стороны и пересечь ось
2. Если кратность равна Даже , график останется на стороне То же и просто коснитесь оси
Вертикальные асимптоты рациональных функций (далее в главе)
1. Если кратность равна Нечетное , график будет Изменится стороны и одна сторона вертикальной асимптоты поднимется до положительной бесконечности в то время как другая сторона падает до отрицательной бесконечности.
2. Если кратность равна Даже , график останется на стороне То же , и обе стороны вертикальной асимптоты будут стремиться к положительной бесконечности или обе стороны упадут до отрицательной бесконечности.
Определение знака сомножителя элемента матрицы (глава 6)
1. Если сумма строки и столбца, в котором находится элемент, составляет Нечетный , сомножитель будет Изменить и будет противоположностью младшего.
2. Если сумма строки и столбца, в котором находится элемент, равна Даже , кофактором будет То же , что и второстепенный.

Теорема о промежуточном значении

Полиномы — это непрерывные функции, которые означают, что вы не можете карандашом при их построении.

Вопрос:: Если в какой-то момент вы ниже оси x, а в другом месте вы над осью абсцисс, и вы не взяли карандаш, двигаясь с одной указать на другой — что случилось?
Ответ:: Вы пересекли ось x, получили нуль или корень функции, нашли решение, и Т. Д.

Теперь рассмотрим эту концепцию немного дальше. Возьмите любые два значения y. Если они не то же самое, тогда вам нужно было поразить каждое значение y между ними при перемещении от одного к другому. Теорема о промежуточном значении утверждает это формально.

Однако в основном он используется для поиска нулей непрерывного функция.

корень | математика | Britannica

Корень , в математике, решение уравнения, обычно выражаемое числом или алгебраической формулой.

В IX веке арабские писатели обычно называли один из равных множителей числа джадхр («корень»), а их средневековые европейские переводчики использовали латинское слово , основание (от которого происходит прилагательное , радикал ). . Если a — положительное действительное число, а n — положительное целое число, существует уникальное положительное действительное число x , такое что x ⁿ = a . Это число — (главный) n корень -й степени из a — записывается как ⁿ Квадратный корень из √ a или a ^{1/ n}.Целое число n называется индексом корня. Для n = 2 корень называется квадратным корнем и записывается как квадратный корень из √ a . Корень ³ Квадратный корень из √ a называется кубическим корнем из a . Если значения a отрицательны и n нечетны, уникальный отрицательный корень n -й степени из a называется главным. Например, главный кубический корень из –27 равен –3.

Если целое число (положительное целое) имеет рациональный корень n -й степени — i.е., которое можно записать в виде обыкновенной дроби — тогда этот корень должен быть целым числом. Таким образом, 5 не имеет рационального квадратного корня, потому что 2 ² меньше 5 и 3 ² больше 5. Точно n комплексные числа удовлетворяют уравнению x ⁿ = 1, и они равны назвал комплекс n корнями -го единства. Если правильный многоугольник со сторонами n вписан в единичный круг с центром в начале координат, так что одна вершина лежит на положительной половине оси x , радиусы вершин — это векторы, представляющие комплекс n n -е корни единства.Если корень, вектор которого составляет наименьший положительный угол с положительным направлением оси x , обозначен греческой буквой омега, ω, то ω, ω ², ω ³,…, ω _ⁿ = 1 составляют все корни n из единицы. Например, ω = — ¹/₂ + ^{Квадратный корень из √ −3}/₂, ω ² = — ¹/₂—^{Квадратный корень из √ −3} / ₂ и ω ³ = 1 — все кубические корни из единицы.Любой корень, обозначаемый греческой буквой эпсилон, ε, который имеет свойство ε, ε ²,…, ε ⁿ = 1 давать все корни n -й степени из единицы, называется примитивным. Очевидно, проблема нахождения корней n -й степени из единицы эквивалентна задаче вписания правильного многоугольника из n сторон в окружность. Для каждого целого числа n корни n -й степени из единицы могут быть определены в терминах рациональных чисел с помощью рациональных операций и радикалов; но их можно построить с помощью линейки и циркуля (т.е., определяется в терминах обычных операций арифметики и вычисления квадратного корня), только если n является произведением различных простых чисел вида 2 ^h + 1, или 2 ^k раз, таких как product или имеет вид 2 ^k. Если a — комплексное число, а не 0, уравнение x ⁿ = a имеет ровно n корней , и все корни n th из a являются продуктами любого из них. этих корней на n -й корень из единицы.

Член корень был перенесен из уравнения x ⁿ = a во все полиномиальные уравнения. Таким образом, решение уравнения f ( x ) = a ₀ x ⁿ + a ₁ x ^{n — 1} +… + a _{n — 1} x + a _n = 0, с a ₀ ≠ 0, называется корнем уравнения.Если коэффициенты лежат в комплексном поле, уравнение n -й степени имеет точно n (не обязательно различные) комплексные корни. Если коэффициенты действительны и n нечетно, значит, существует действительный корень. Но уравнение не всегда имеет корень в поле коэффициентов. Таким образом, x ² — 5 = 0 не имеет рационального корня, хотя его коэффициенты (1 и –5) являются рациональными числами.

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту.Подпишись сейчас

В более общем смысле термин корень может применяться к любому числу, которое удовлетворяет любому заданному уравнению, будь то полиномиальное уравнение или нет. Таким образом, π является корнем уравнения x sin ( x ) = 0.

Нулей полиномиальных функций | Безграничная алгебра

Основная теорема алгебры

Основная теорема утверждает, что каждый непостоянный многочлен от одной переменной с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный корень.

Цели обучения

Обсудить основную теорему алгебры

Основные выводы

Ключевые моменты

Основная теорема алгебры утверждает, что каждый непостоянный многочлен от одной переменной с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный корень. Сюда входят многочлены с действительными коэффициентами, поскольку каждое действительное число является комплексным числом с нулем в качестве коэффициента.
Фундаментальная теорема также формулируется следующим образом: каждый ненулевой многочлен с одной переменной и степенью [latex] n [/ latex] с комплексными коэффициентами имеет, если считать с кратностью, ровно [latex] n [/ latex] корней. {n-1} + \ ldots c_0 [/ латекс]
, где [latex] n> 0 [/ latex] и [latex] c_n \ not = 0 [/ latex], имеет по крайней мере один комплексный корень.
Есть много доказательств основной теоремы алгебры. Однако, несмотря на свое название, чисто алгебраического доказательства не существует, поскольку каждое доказательство использует тот факт, что [latex] \ mathbb {C} [/ latex] является полным.
В частности, поскольку каждое действительное число также является комплексным числом, каждый многочлен с действительными коэффициентами допускает комплексный корень.3 (x + \ pi) [/ латекс]
допускает один комплексный корень кратности [latex] 4 [/ latex], а именно [latex] x_0 = 0 [/ latex], один комплексный корень кратности [latex] 3 [/ latex], а именно [latex] x_1 = i [ / latex] и один комплексный корень из кратности [latex] 1 [/ latex], а именно [latex] x_2 = — \ pi [/ latex]. Сумма кратностей корней равна степени многочлена, [латекс] 8 [/ латекс]. Для ненулевых комплексных многочленов это в общем случае оказывается верным и непосредственно следует из основной теоремы алгебры.
Действительно, многочлен степени [latex] 0 [/ latex] принимает форму [latex] c_0 [/ latex], где [latex] c_0 \ not = 0 [/ latex], и, следовательно, не имеет нулей.
Для общего многочлена [latex] f (x) [/ latex] степени [latex] n [/ latex] основная теорема алгебры гласит, что мы можем найти один корень [latex] x_0 [/ latex] из [latex] ] f (x) [/ латекс]. Таким образом, мы можем разложить [латекс] f (x) [/ latex] на
[латекс] f (x) = (x-x_0) f_1 (x) [/ латекс]
, где [латекс] f_1 (x) [/ latex] — ненулевой многочлен степени [латекс] n-1.[/ latex] Итак, если кратности корней [латекса] f_1 (x) [/ latex] добавить к [latex] n-1 [/ latex], кратность корней [latex] f [/ latex] добавить в [латекс] н [/ латекс].
Итак, поскольку свойство верно для всех многочленов степени [latex] 0 [/ latex], оно также верно для всех многочленов степени [latex] 1 [/ latex]. И поскольку это верно для всех многочленов степени [latex] 1 [/ latex], это также верно для всех многочленов степени [latex] 2 [/ latex]. В общем, для любого [латекса] n \ in \ mathbb {N} [/ latex] мы сможем сделать вывод, что свойство верно для всех многочленов степени [латекс] n.[/ latex] Таким образом, свойство верно для всех многочленов.
И наоборот, если кратности корней многочлена складываются с его степенью, и если его степень не меньше [latex] 1 [/ latex] (т.е. она не постоянна), то из этого следует, что он имеет хотя бы один ноль. .
Таким образом, альтернативная формулировка фундаментальной теоремы алгебры:
Кратности комплексных корней ненулевого многочлена с комплексными коэффициентами добавляют к степени указанного многочлена.2 [/ latex], мы получаем еще один действительный многочлен, для которого снова применима теорема о комплексном сопряженном корне. Таким образом, мы видим, что общая кратность невещественных комплексных корней многочлена с действительными коэффициентами всегда должна быть четной .
Это последнее замечание, вместе с альтернативным утверждением основной теоремы алгебры, говорит нам, что четность действительных корней (с учетом кратности) многочлена с действительными коэффициентами должна быть такой же, как четность степени указанного многочлена. .Следовательно, многочлен четной степени допускает четное число действительных корней, а многочлен нечетной степени допускает нечетное число действительных корней (считая с кратностью). В частности, каждый многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами допускает по крайней мере один действительный корень. [латекс] [/ латекс]
Нахождение многочленов с заданными нулями
Чтобы построить многочлен из заданных нулей, установите [latex] x [/ latex] равным каждому нулю, переместите все в одну сторону, затем умножьте каждое полученное уравнение.3 [/ латекс].
Каждый заданный ноль в конечном итоге будет одним членом факторизованного полинома. Найдя все разложенные на множители члены, просто перемножьте их вместе, чтобы получить полином целиком.
Поскольку многочлен и многочлен, умноженный на константу, имеют одинаковые корни, каждый раз, когда многочлен строится из заданных нулей, общее решение включает константу, обозначенную здесь как [latex] c [/ latex]. 0 [/ латекс].Важно отметить, что поскольку все показатели положительные, невозможно разделить на [латекс] х [/ латекс].
ноль : Также известный как корень, ноль — это значение [latex] x [/ latex], при котором функция [latex] x [/ latex] равна [latex] 0 [/ latex].

Задача одного типа состоит в том, чтобы сгенерировать многочлен из заданных нулей. Это может быть решено с помощью того свойства, что если [latex] x_0 [/ latex] является нулем многочлена, то [latex] (x-x_0) [/ latex] является делителем этого многочлена, и наоборот.

Мы предполагаем, что постановка задачи следующая: нам даны нули. Если не указано, какова кратность нулей, мы хотим, чтобы нули имели кратность один. Других нулей нет, т.е. если число не упомянуто в постановке задачи, оно не может быть нулем найденного нами многочлена.

Степень полинома

Помните, что степень полинома, наивысший показатель степени, определяет максимальное количество корней, которое он может иметь. Таким образом, степень многочлена с заданным числом корней равна или больше числа заданных корней.Если в этом числе мы уже посчитали кратность, то степень равна количеству корней. Например, если нам даны два нуля, то нужно построить многочлен второй степени.

Решение и константы

Если [latex] x_1, x_2, \ ldots x_n [/ latex] — это нули [latex] f (x) [/ latex], а ведущий коэффициент [latex] f (x) [/ latex]] равен [latex] ] 1 [/ latex], тогда [latex] f (x) [/ latex] разлагается на

[латекс] f (x) = (x-x_1) (x-x_2) \ cdots (x-x_n) [/ латекс]

Это уже дает нам решение нашей проблемы: ответ на наш вопрос — это просто произведение всех факторов [латекс] (x-x_i) [/ latex], где [latex] x_i [/ latex] — это заданные нули. ! Однако мы видим, что этот многочлен не единственный:

Для любой ненулевой константы [latex] a [/ latex], мы имеем, что [latex] (af) (x) = af (x) [/ latex] разлагается как

[латекс] af (x) = a (x-x_1) (x-x_2) \ cdots (x-x_n) [/ латекс]

Таким образом, если мы найдем решение [latex] g (x) [/ latex] для нашей проблемы, мы фактически найдем бесконечно много решений [latex] cg (x) [/ latex], по одному для каждого ненулевого числа [latex ] c [/ латекс]. 2 + 2cx [/ латекс]

На рисунке ниже синий график представляет решение для [latex] c [/ latex], равное [latex] 1 [/ latex]. Красный график представляет решение для [latex] c [/ latex], равное [latex] -1/2 [/ latex].

Пример: Два полинома с одинаковыми нулями: оба [latex] f (x) [/ latex] и [latex] g (x) [/ latex] имеют нули [latex] 0, 1 [/ latex] и [ латекс] 2 [/ латекс]. Они равны с точностью до константы. Изменение значения и знака константы не меняет нулей, так как ноль, умноженный на любую константу, по-прежнему равен нулю.

Нахождение нулей факторизованных многочленов

Факторизованная форма многочлена показывает его нули, которые определяются как точки, в которых функция касается оси [latex] x [/ latex].

Цели обучения

Используйте факторизованную форму многочлена, чтобы найти его нули

Основные выводы

Ключевые моменты

Полиномиальная функция может иметь ноль, один или несколько нулей.
Все полиномиальные функции положительного нечетного порядка имеют по крайней мере один нуль, в то время как полиномиальные функции положительного четного порядка могут не иметь нуля.
Независимо от четности или нечетности, любой многочлен положительного порядка может иметь максимальное количество нулей, равное его порядку.

Ключевые термины

ноль : Также известный как корень, ноль — это значение [latex] x [/ latex], при котором функция [latex] x [/ latex] равна [latex] 0 [/ latex].

Факторизованная форма многочлена может показать, где функция пересекает ось [latex] x [/ latex]. Значение [latex] x [/ latex], при котором это происходит, называется «нулем» или «корнем».

Число нулей полинома

Рассмотрим факторизованную функцию:

[латекс] f (x) = (x-a_1) (x-a_2)… (x-a_n) [/ latex]

Каждое значение [латекс] a_1, a_2 [/ latex] и т. Д. Равно нулю.

Полиномиальная функция может иметь много нулей, один или не иметь нулей. 2 — 5x — 6 = (x + 3) (x + 1) (x-2).[/ latex] Мы видим, что его корни равны отрицательным вторым коэффициентам его первой степени факторов

Факторинг и нули

В общем, мы знаем из теоремы об остатке, что [latex] a [/ latex] является нулем [latex] f (x) [/ latex] тогда и только тогда, когда [latex] xa [/ latex] делит [латекс] f (x). [/ latex] Таким образом, если мы можем разложить [latex] f (x) [/ latex] на многочлены настолько малой степени, насколько это возможно, мы узнаем его нули, посмотрев на все линейные члены в факторизации. Вот почему факторизация так важна: возможность быстро распознавать нули многочлена.

Из основной теоремы алгебры и факта, называемого теоремой о комплексном сопряженном корне, следует, что каждый многочлен с действительными коэффициентами может быть разложен на линейные многочлены и квадратичные многочлены без действительных корней. Таким образом, если вы нашли такую факторизацию данной функции, вы можете быть полностью уверены, каковы нули этой функции.

Целочисленные коэффициенты и теорема о рациональных нулях

Каждое решение многочлена, выраженного как [latex] x = \ frac {p} {q} [/ latex], должно удовлетворять тому, что [latex] p [/ latex] и [latex] q [/ latex] являются целочисленными множителями. of [latex] a_0 [/ latex] и [latex] a_n [/ latex] соответственно.{n-1} +… + a_0 = 0 [/ latex] с целыми коэффициентами.

Если [latex] a_0 [/ latex] и [latex] a_n [/ latex] не равны нулю, то каждое рациональное решение [latex] x [/ latex], записанное в виде дроби [latex] x = \ frac { p} {q} [/ latex] в наименьших терминах (т.е. наибольший общий делитель [latex] p [/ latex] и [latex] q [/ latex] равен [latex] 1 [/ latex]), удовлетворяет следующее: [латекс] 1 [/ латекс]) [латекс] p [/ латекс] является целочисленным множителем постоянного члена [латекс] a_0 [/ латекс] и [латекс] 2 [/ латекс]) [латекс] q [/ latex] — это целочисленный коэффициент ведущего коэффициента [latex] a_n [/ latex].

Ключевые термины

Лемма Евклида : Одно из фундаментальных свойств простых чисел. Утверждает, что если простое число делит произведение двух чисел, оно должно делить хотя бы один из множителей. Например, поскольку 133 × 143 = 19019 делится на 19, одно или оба числа 133 или 143 также должны быть. Фактически, 19 × 7 = 133. Оно используется при доказательстве основной теоремы арифметики.

coprime : Отсутствие положительных целочисленных множителей, кроме [latex] 1 [/ latex], общих с одним или несколькими заданными другими положительными целыми числами.{n-1} +… + a_0 = 0 [/ latex]
С целыми коэффициентами [латекс] a_n, a_ {n-1}, \ ldots, a_0. [/ Latex]
Если [latex] a_0 [/ latex] и [latex] a_n [/ latex] не равны нулю, то каждое рациональное решение [latex] x = \ frac {p} {q} [/ latex], где [latex] p [ / latex] и [latex] q [/ latex] являются взаимно простыми целыми числами (т.е. их наибольший общий делитель равен [latex] 1 [/ latex]), удовлетворяет:
[латекс] п [/ латекс] является делителем постоянного члена [латекс] а_0 [/ латекс] _.
[latex] q [/ latex] — делитель ведущего коэффициента [latex] a_n [/ latex].
Итак, [latex] a_0 [/ latex] должен быть кратным [latex] p [/ latex], а [latex] a_n [/ latex] должен быть кратным [latex] q [/ latex].
Поскольку у любого целого числа есть только конечное число делителей, теорема о рациональном корне дает нам конечное число кандидатов в рациональные корни. Получив многочлен с целыми коэффициентами, мы можем подключить всех этих кандидатов и посмотреть, являются ли они нулем данного многочлена. Как только мы нашли все рациональные нули (и посчитали их кратность, например, делением с использованием длинного деления), мы узнаем количество иррациональных и комплексных корней.2 + 5x-2 [/ latex] имеет один настоящий корень между [latex] 0 [/ latex] и [latex] 1 [/ latex]. Мы можем использовать Rational Root Test, чтобы проверить, является ли этот корень рациональным.
, т.е. его числитель должен делить [латекс] 2 [/ латекс], а его знаменатель должен делить [латекс] 3 [/ латекс]. Это дает список возможных ответов
[латекс] 1, -1,2, -2, \ frac 13, — \ frac 13, \ frac 23, — \ frac 23 [/ латекс]
Эти корневые кандидаты могут быть протестированы, подключив их напрямую или разделив и проверив, есть ли остаток, например, с помощью деления в столбик.Преимущество этого состоит в том, что как только мы нашли корень, мы сразу же нашли полином меньшей степени, для которого мы снова хотим найти корни, и теорема о рациональном корне предоставит нам еще меньше кандидатов на этот корень. Более того, как только мы установили корень, мы все равно должны использовать деление, чтобы проверить, является ли он множественным корнем.
Минус в том, что приходится чаще использовать длинное деление. Когда есть много нулевых кандидатов для полинома малой степени, мы можем просто включить кандидатов и использовать деление только тогда, когда мы нашли корень.k [/ latex] для всех положительных целых чисел [latex] k [/ latex], мы можем заменить [latex] x [/ latex] на [latex] t + x_0 [/ latex], чтобы найти многочлен с тем же старшим коэффициентом, что и наш исходный многочлен и постоянный член, равный значению многочлена в [latex] x_0 [/ latex]. В этом случае мы заменяем [latex] x [/ latex] на [latex] t + 1 [/ latex] и получаем многочлен от [latex] t [/ latex] с ведущим коэффициентом [latex] 3 [/ latex] и константой термин [латекс] 1 [/ латекс]. Таким образом, кандидатами на нули в этом многочлене от [latex] t [/ latex] являются
[латекс] t = \ pm \ frac 1 {1,3} [/ латекс]
Таким образом, кандидаты в корни многочлена в [latex] x [/ latex] должны быть на единицу больше, чем один из этих кандидатов:
[латекс] x = 1 + t = 2,0, \ frac 43, \ frac 23 [/ латекс]
Корневые кандидаты, которых нет в обоих списках, исключаются.Таким образом, список рациональных корневых кандидатов сократился до [latex] x = 2 [/ latex] и [latex] x = 2/3 [/ latex]. После проверки этих кандидатов мы видим, что единственный рациональный корень (с кратностью [latex] 1) [/ latex] — это [latex] 2/3 [/ latex], что также можно увидеть на графике выше.
Правило знаков
Правило знаков дает верхнюю границу количества положительных или отрицательных корней многочлена.
Цели обучения
Используйте правило знаков, чтобы определить максимальное количество положительных и отрицательных корней многочлена
Основные выводы
Ключевые моменты
Правило знаков дает нам верхнюю границу положительных или отрицательных корней многочлена.Это не полный критерий, то есть он не указывает точное количество положительных или отрицательных корней.
Правило гласит, что если члены многочлена с действительными коэффициентами упорядочены по убывающей переменной экспоненты, то количество положительных корней многочлена либо равно количеству знаков различия между последовательными ненулевыми коэффициентами, либо меньше на несколько из 2.
Как следствие правила, количество отрицательных корней — это количество смен знака после умножения коэффициентов членов с нечетной степенью на [латекс] -1 [/ латекс] или меньше на кратное 2.
Ключевые термины
знак : положительная или отрицательная полярность. 4 [/ латекс]).Как только вы их найдете, умножьте каждый на [latex] -1 [/ latex]. Затем процедура такая же; подсчитать количество изменений знака между последовательными ненулевыми коэффициентами. Это число или любое число, кратное 2, может быть вашим числом отрицательных корней. Снова важно отметить, что несколько корней одного и того же значения следует считать отдельно.
Это также можно сделать, взяв функцию [latex] f (x) [/ latex] и заменив [latex] x [/ latex] на [latex] -x [/ latex], чтобы получить функция [латекс] f (-x) [/ латекс].2-х-1 [/ латекс]
Эта функция имеет одно изменение знака между вторым и третьим членами. Следовательно, он имеет ровно один положительный корень. Не забывайте, что у первого члена есть знак, который в данном случае положительный.
Далее мы переходим к поиску отрицательных корней. Измените экспоненты коэффициентов с нечетной степенью, не забывая менять знак первого члена. Как только вы это сделали, вы получили второй многочлен и готовы найти количество отрицательных корней. 2 + x-1 [/ латекс]
Знак этого многочлена меняется дважды после первого и третьего слагаемых. Следовательно, мы знаем, что он имеет не более двух отрицательных корней. Мы знаем, что количество корней любого знака равно количеству смен знака или кратному двум меньше этого числа. Итак, этот многочлен имеет отрицательные корни [latex] 2 [/ latex] или [latex] 0 [/ latex]. Мы можем проверить это алгебраически, как показано ниже.
Сначала разложите многочлен на множители:
[латекс] f (x) = (x + 1) (x + 1) (x-1) [/ латекс].2 + б [/ латекс]
Чтобы найти положительные корни, мы подсчитываем смену знака. В этом примере мы предположим, что [latex] b> 0 [/ latex]. Поскольку нет смены знака, нет положительных корней [латекс] (p = 0) [/ latex]. Теперь ищем отрицательные корни. Поскольку нечетные коэффициенты мощности отсутствуют, перед поиском изменений знака не нужно вносить никаких изменений; следовательно, нет отрицательных корней [латекс] (q = 0) [/ латекс]. Теперь применим уравнение комплексного корня: [латекс] n — (p + q) = 2 — (0 + 0) = 2 [/ latex]. Есть 2 сложных корня.
Как решать полиномиальные уравнения
Как решать полиномиальные уравнения
Авторские права © 20022020 Стэн Браун
Резюме: В алгебре вы тратите много времени на решение многочлена уравнения или факторизации многочленов (что одно и то же). Было бы легко потеряться во всех техниках, но эта статья связывает их все вместе в единое целое.
Генеральный план
Убедитесь, что вас не смущает терминология.Все это то же:
Решение полиномиального уравнения p ( x ) = 0
Нахождение корней полиномиального уравнения p ( x ) = 0
Нахождение нулей полиномиальной функции p ( x )
Факторизация полиномиальной функции p ( x )
Есть коэффициент для каждого корня, и наоборот. ( x — r ) является фактором тогда и только тогда, когда r является корнем. Это Теорема о факторах : поиск корней или факторов по сути то же самое. (Основное различие заключается в том, как вы относитесь к постоянный коэффициент.)
точное или приблизительное значение?
Чаще всего, когда мы говорим о решении уравнения или факторизации многочлен, мы подразумеваем точное (или аналитическое) решение . В другой тип, приблизительное (или числовое) решение , всегда возможно, а иногда и единственная возможность.
Когда найдешь, точное решение лучше .Вы всегда можете найти численное приближение к точному решению, но пойти другим путем гораздо труднее. Эта страница тратит больше всего своего времени на методы точных решений, но также расскажет, что нужно делать, когда аналитические методы терпят неудачу.
Шаг за шагом
Как найти множители или нули многочлена (или корни полиномиального уравнения)? По сути, вы сточите . Каждый раз вы вычеркиваете множитель или корень из многочлена, у вас остается полином на одну степень проще. Используйте этот новый уменьшенный полином, чтобы найти оставшиеся факторы или корни.
На любом этапе процедуры, если вы попадете в кубическое или четвертое уравнение (степень 3 или 4), у вас есть выбор продолжения факторинга или использования кубические или четвертичные формулы. Этих формул много работы, поэтому большинство людей предпочитают продолжать факторинг.
Выполните эту процедуру шаг за шагом:
При решении уравнения запишите его в стандартную форму с 0 с одной стороны и упрощают .[ Детали ]
Знайте , сколько корней ожидать. [ Детали ]
Если у вас есть линейное или квадратное уравнение (степень 1 или 2), решите осмотром или по формуле корней квадратного уравнения. [ Детали ]
Затем переходите к шагу 7.
Найдите один рациональный фактор или корень. Это самая сложная часть, но есть много методов, которые могут вам помочь. [ Детали ]
Если вы можете найти фактор или корень, перейдите к шагу 5 ниже; если не можете, переходите к шагу 6.
Разделите на множитель . Это оставляет вас с новым приведенный многочлен , степень которого на 1 меньше. [ Детали ]
Для остальной части задачи вы будете работать с уменьшенным многочлен, а не оригинал. Продолжите с шага 3.
Если вы не можете найти множитель или корень , обратитесь к численные методы. [ Детали ]
Затем переходите к шагу 7.
Если нужно было решить это уравнение, запишите корни . Если это был многочлен для разложения на множители, запишите его в факторизованной форме , включая любые постоянные факторы, которые вы вывели на шаге 1.
Это пример алгоритма , набор шагов что приведет к желаемому результату за конечное количество операций. Это итеративная стратегия , потому что средние шаги повторять столько, сколько необходимо.
Кубические и четвертые формулы
Приведенные здесь методы находят рациональный корень и использовать синтетическое деление проще всего. Но если вы не можете найти рациональный корень, есть специальные методы для кубические уравнения (степень 3) и уравнения четвертой степени (степень 4), оба в Mathworld.Альтернативный подход предоставляется Дик Никаллс в PDF для кубический и четвертичная уравнения.
Шаг 1. Стандартная форма и упрощение
К сожалению, это легко не заметить. Если у вас есть полиномиальное уравнение , поместите все члены в одну сторону и 0 с другой. И независимо от того, является ли это проблема факторинга или уравнение, которое нужно решить, положите ваш многочлен в стандартной форме, от до наименьшей степени .
Например, вы, , не можете решить это уравнение в такой форме:
x + 6 x + 12 x = −8
Вы должны изменить его на эту форму:
x + 6 x + 12 x + 8 = 0
Также убедитесь, что вы упростили, исключив любые общие факторы . Это может включать в себя вычитание −1 так что наивысшая степень имеет положительный коэффициент. Пример: коэффициент
7-6 x -15 x — 2 х
начнем с его стандартной формы:
−2 x -15 x -6 x + 7
, а затем вычтите −1
— (2 x + 15 x + 6 x -7) или же (-1) (2 x + 15 x + 6 x -7)
Если вы решаете уравнение, вы можете выбросить любых общий постоянный множитель.Но если вы факторизуете многочлен, вы должны сохранить общий множитель .
Пример: решить 8 x + 16 x + 8 = 0, вы можете разделите левую и правую на общий множитель 8. Уравнение х + 2 х + 1 = 0 имеет те же корни, что и исходное уравнение .
Пример: Фактор 8 x + 16 x + 8, вы узнаете общий множитель 8 и перепишем многочлен в виде 8 ( x + 2 x + 1), что является идентичен исходному многочлену . (Хотя это правда, что вы сосредоточит ваши дальнейшие усилия по факторингу на x + 2 x + 1, это будет ошибкой написать, что исходный многочлен равен х + 2 х + 1.)
Ваш общий фактор может быть дробь, потому что вы должны вычесть любые дроби, чтобы многочлен имеет целочисленных коэффициентов .
Пример: решить (1/3) x + (3/4) x — (1/2) x + 5/6 = 0, вы узнаете общий множитель 1/12 и разделите обе стороны на 1/12.Это в точности то же самое, что и распознавание и умножение на наименьший общий знаменатель из 12. В любом случае вы получите 4 x + 9 x -6 x + 10 = 0, которое имеет те же корни, что и исходное уравнение .
Пример: Фактор (1/3) x + (3/4) x — (1/2) x + 5/6, вы узнаете общий множитель 1/12 (или наименьший общий знаменатель 12) и вычитаем 1/12. Ты получаешь (1/12) (4 x + 9 x -6 x + 10), что идентично исходному многочлену .
Шаг 2. Сколько корней?
Многочлен степени n будет иметь n корня, некоторые из которых могут быть множественные корни.
Как узнать, что это правда? В Основная теорема алгебры говорит вам, что многочлен имеет хотя бы один корень. Теорема о факторах говорит вам, что если r является корнем, тогда ( x — r ) является фактором. Но если разделить многочлен степени n на множитель ( x — r ), степень которого равна 1, вы получите полином степени n −1.Неоднократно применяя Фундаментальный Теорема и теорема о множителях дают вам n корня и n фактора.
Правило знаков Декарта
Правило знаков Декарта может сказать вам , сколько положительных и сколько отрицательных действительных нулей многочлен. Это большое трудосберегающее устройство, особенно когда вы решаете, какой возможные рациональные корни, которые нужно искать.
Чтобы применить Правило знаков Декарта, вам необходимо понимать термин изменение знака .Когда многочлен расположен в стандартная форма, вариант знак возникает, когда знак коэффициента отличается от знака предыдущего коэффициента. (Нулевой коэффициент игнорируется.) Для пример,
p ( x ) = x ⁵ — 2 x ³ + 2 x ²-3 x + 12
имеет четыре варианта знака.
Правило знаков Декарта:
Число положительных корней из p ( x ) = 0 либо равно количество вариаций знака p ( x ), или меньше, чем это на четное номер.
Число отрицательных корней из p ( x ) = 0 либо равно количество вариаций знака p (- x ), или меньше, чем это на четное номер.
Пример: рассмотрим p ( x ) выше. Поскольку у него четыре варианта в знаке должно быть либо четыре положительных корня, либо два положительных корня, или нет положительных корней.
Теперь сформируйте p (- x ), заменив x на (- x ) в над:
p (- x ) = (- x ) ⁵-2 (- x ) ³ + 2 (- x ) ² — 3 (- x ) + 12
p (- x ) = — x ⁵ + 2 x ³ + 2 x ² + 3 x + 12
p (- x ) имеет один вариант знака, поэтому оригинал p ( x ) имеет один негатив корень.Поскольку вы знаете, что p ( x ) должен иметь отрицательный корень, но он может или может не иметь положительных корней, сначала ищите отрицательные корни.
p ( x ) — полином пятой степени, поэтому он должен иметь пять нулей. Поскольку x не является множителем, вы знаете, что x = 0 не является нуль полинома. (Для полинома с действительными коэффициентами, например в этом случае комплексные корни встречаются парами. ) Следовательно, есть три возможности:
количество нулей
, которые равны
положительные отрицательные комплексные
не реальные
первая возможность 4 1
2 1 2
третий вариант 0 1 4
Сложные корни
Если полином имеет действительных коэффициентов , то либо все корни настоящие или есть четное число невещественных комплексных корней в сопряженных парах .
Например, если 5 + 2i является нулем многочлена с вещественными коэффициентов, то 5−2i также должен быть нулем этого многочлена. Также верно и то, что если ( x −5−2i) является множителем, то ( x −5 + 2i) также является фактором.
Почему это правда? Потому что, когда у вас есть фактор с воображаемым часть и умножьте ее на комплексное сопряжение, вы получите реальную результат:
( x −5−2i) ( x −5 + 2i) = x −10 x + 25−4i = х −10 х +29
Если ( x −5−2i) было фактором, но ( x −5 + 2i) не было, тогда многочлен будет иметь воображение в его коэффициентах, независимо от других факторов возможно.Если многочлен имеет только действительные коэффициентов, то любые комплексные корни должны входить в сопряженные пары.
Иррациональные корни
По аналогичным причинам, если многочлен имеет рациональных коэффициентов то иррациональные корни, содержащие квадрат корни встречаются (если вообще встречаются) в сопряженных парах. Если ( x −2 + √3) является множителем многочлена с рациональными коэффициентов, то ( x −2 − √3) также должно быть фактор. Чтобы понять почему, вспомните, как вы рационализируете бином знаменатель; или просто проверьте, что происходит, когда вы умножаете эти два факторы. (1/3) и два сложные корни.
Интересная проблема, нет ли иррациональности с четными корнями порядка ≥4 также должны встречаться в сопряженных пары. У меня нет немедленного ответа. Я работаю над пруф, как я успеваю.
Множественные корни
Когда данный коэффициент ( x — r ) встречается m раз в полиноме, r равно называется кратным корнем или корнем кратностью м .
Если кратность м — четное число, график касается Ось x при x = r , но не пересекает ее.
Если кратность м — нечетное число, график пересекает Ось x при x = r . Если кратность 3, 5, 7 и т. Д., График горизонтально в точке пересечения оси.
Примеры: сравните эти два многочлена и их графики:
f ( x ) = ( x −1) ( x −4) ² = x ³ — 9 x ² + 24 х — 16
г  ( x ) = ( x −1) ³ ( x −4) ² = x ⁵-11 x ⁴ + 43 x ³ — 73 x ² + 56 x -16
Эти многочлены имеют одинаковые нули, но корень 1 встречается с разной кратностью. Посмотрите на графики:
Оба полинома имеют нули только в точках 1 и 4. f ( x ) имеет степень 3, что означает три корня. Вы видите из факторов, что 1 является корнем кратность 1 и 4 является корнем из кратности 2. Следовательно, граф пересекает ось в точке x = 1 (но не горизонтально там) и касается в точке x = 4 без пересечения.
Напротив, g ( x ) имеет степень 5. ( g ( x ) = f ( x ) раз ( х -1) ².) Из пяти корней 1 встречается с кратность 3: график пересекает ось при x = 1 и является горизонтальным там; 4 встречается с кратностью 2, и график касается ось x = 4 без пересечения.
Шаг 3. Квадратичные множители
Когда у вас есть квадратичные множители (Ax + Bx + C), он может или не может можно будет их дополнительно проанализировать.
Иногда вы можете просто увидеть факторы, как в случае с x — x −6 = ( x +2) ( x −3). В других случаях не так очевидно, квадратичный можно разложить на множители. Вот когда квадратная формула (показан справа) ваш друг.
Например, предположим, что у вас есть коэффициент 12 x — x −35. Можно ли это еще раз проанализировать? Судом и ошибка вам придется перепробовать много комбинаций! Вместо этого используйте факт что факторов соответствуют корням , и примените формулу к найти корни из 12 x — x −35 = 0, например:
x = [- (- 1) √1 — 4 (12) (- 35)] / 2 (12)
x = [1 √1681] / 24
√1681 = 41, следовательно,
x = [1 41] / 24
x = 42/24 или -40/24
x = 7/4 или -5/3
Если 7/4 и −5/3 являются корнями, то ( x −7/4) и ( x +5/3) факторы.Следовательно,
12 x — x −35 = (4 x −7) (3 x +5)
А как насчет x −5 x +7? Этот выглядит как лучший, но как ты можешь быть уверен? Снова примените формулу:
x = [- (- 5) √25 — 4 (1) (7)] / 2 (1)
x = [5 √ − 3] / 2
Что с этим делать, зависит от исходной проблемы. Если оно должен был разложить на множители реалы, тогда x −5 x +7 простое число.Но если этот фактор был частью уравнения, и вы должны были найти все сложные корни, у вас их два:
x = 5/2 + (√3 / 2) i, x = 5/2 — (√3 / 2) i
Поскольку исходное уравнение имело действительные коэффициенты, эти сложные корни встречаются в сопряженной паре.
Шаг 4. Найдите один фактор или корень
Этот шаг является сердцем факторизации многочлена или решения полиномиальное уравнение. Есть много методов, которые могут вам помочь найти фактор.
Иногда можно найти факторы путем осмотра (см. Первые два разделы, которые следуют). Это отличный способ быстрого доступа, поэтому проверьте легкие факторы, прежде чем начинать более напряженные методы.
Мономиальные множители
Всегда начинайте с поиска любых мономиальных множителей, которые вы видите. Например, если ваша функция
f ( x ) = 4 x ⁶ + 12 x ⁵ + 12 x ⁴ + 4 x ³
, вы должны немедленно разложить его на
f ( x ) = 4 x ³ ( x ³ + 3 x ² + 3 x + 1)
Получение числа 4 упрощает оставшиеся числа, x ³ дает вам корень x = 0 (с кратностью 3), и теперь у вас есть только кубический многочлен (степени 3) вместо sextic (степень 6). Фактически, теперь вы должны распознать эту кубику как особый продукт, идеальный куб ( x +1) ³.
Когда вы вычитаете множитель общей переменной, убедитесь, что вы помните об этом в конце, когда перечисляете фактор или корни. x +3 x +3 x +1 = 0 имеет определенные корни, но x ( x +3 x +3 x +1) = 0 имеет те же корни и также корень при x = 0 (с кратностью 3).
Особые продукты
Будьте внимательны к применению специальных продуктов .Если вы сможете применить их, ваша задача станет намного проще. Специальный Продукты:
полный квадрат (2 формы): A 2 A B + B = ( A B )
сумма квадратов: A + B не может быть разложено на на действительные числа, как правило (для исключительных случаев см. Как разложить на множители сумму квадратов)
разность квадратов: A — B = ( A + B ) ( A — B )
идеальный куб (2 формы): A 3 A B + 3 A B B = ( A B )
сумма кубов: A + B = ( A + B ) ( A — A B + B )
разность кубов: A — B = ( A — B ) ( A + A B + B )
Выражения для суммы или разности двух кубов выглядят так: хотя они должны учитывать дополнительные факторы, но они этого не делают. A A B + B является простым над реалами.
Считайте
p ( x ) = 27 x — 64
Вы должны узнать это как
p ( x ) = (3 x ) — 4
Вы умеете множить разницу двух кубов:
p ( x ) = (3 x −4) (9 x +12 x +16)
Бинго! Как только вы дойдете до квадратичной, вы можете применить Квадратичная формула, и все готово.
Вот другой пример:
q ( x ) = x ⁶ + 16 x ³ + 64
Это просто полный квадрат трехчлена, но вместо x ³ из x . Вы учитываете это точно так же:
q ( x ) = ( x ³) ² + 2 (8) ( x ³) + 8 ²
q ( x ) = ( x ³ + 8) ²
И вы можете легко разложить ( x ³ +8) ² как ( x +2) ² ( x ² −2 x +4) ².
Рациональные корни
Предполагая, что вы уже учли простые мономиальные факторы и специальные продукты, что делать, если у вас все еще есть многочлен степени 3 или выше?
Ответ — Rational Root Test . Он может показать вам некоторые корни кандидатов когда вы не видите, как разложить многочлен на множители, как показано ниже.
Рассмотрим многочлен стандартной формы, записанный с высшей степени до самого низкого и всего с целочисленными коэффициентами :
f ( x ) = a _n x ⁿ +… + a _o
Теорема рационального корня говорит вам, что , если многочлен имеет рациональный нуль , затем , это должна быть дробь p / q , где p — коэффициент конечной константы a _o и q — множитель ведущего коэффициента a _n.
Пример:
p ( x ) = 2 x ⁴-11 x ³-6 x ² + 64 x + 32
Коэффициенты старшего коэффициента (2) равны 2 и 1. В коэффициенты постоянного члена (32) равны 1, 2, 4, 8, 16 и 32. Следовательно, возможные рациональные нули: 1, 2, 4, 8, 16 или 32 разделить на 2 или 1:
любой из 1/2, 1/1, 2/2, 2/1, 4/2, 4/1, 8/2, 8/1, 16/2, 16/1, 32/2, 32/1
уменьшено: любое из, 1, 2, 4, 8, 16, 32
Что мы имеем в виду, когда говорим, что это список всех возможных рациональных корней ? Мы имеем в виду, что никакое другое рациональное число, как или 32/7, может быть нулем этого конкретного многочлена.
Внимание : Не делайте Rational Root Test больше, чем есть.Это не говорит о том, что рациональные числа являются корнями , просто что никакие другие рациональные числа не могут быть корнями. И это не говорит вы что-нибудь о том, есть ли какие-то иррациональные или даже сложные корни существовать. Rational Root Test — это только отправная точка.
Предположим, у вас есть многочлен с нецелыми коэффициентами. Вы застряли? Нет, вы можете исключить наименее распространенные знаменатель (LCD) и получите многочлен с целыми коэффициентами, которые путь. Пример:
(1/2) x — (3/2) x + (2/3) x — 1/2
ЖК-дисплей 1/6.Вынося за скобки 1/6, получаем многочлен
.
(1/6) (3 x — 9 x + 4 x — 3)
Эти две формы эквивалентны, и поэтому имеют одинаковые корни. Но вы не можете применить Rational Root Test к первой форме, только ко второму. Тест говорит вам, что единственно возможное рациональное корни — любые из 1/3, 1, 3.
После того, как вы определили возможных рациональных нулей, как вы можете их проверить? Метод грубой силы заключался бы в том, чтобы взять каждый возможное значение и замените его на x в полиноме: если результат равен нулю, тогда это число является корнем.Но есть лучше путь.
Используйте Synthetic Division, чтобы узнать, кандидат делает полином равным нулю. Это лучше на троих причины. Во-первых, это проще в вычислительном отношении, потому что вам не нужно вычислить высшие степени чисел. Во-вторых, в то же время он сообщает независимо от того, является ли данное число корнем, он производит сокращенный многочлен , который вы будете использовать, чтобы найти оставшийся корни. Наконец, результаты синтетического деления могут дать вам верхняя или нижняя граница, даже если число тестирование оказывается не рутом.
Иногда правило знаков Декарта может поможет вам в дальнейшем выявить возможные рациональные корни. Например, Rational Root Test сообщает, что если
q ( x ) = 2 x ⁴ + 13 x ³ + 20 x ² + 28 x + 8
имеет какие-либо рациональные корни, они должны происходить из списка любой из, 1, 2, 4, 8. Но не начинайте с замены или синтетическое разделение. Поскольку нет изменений знаков, нет положительные корни.Есть ли отрицательные корни?
q (- x ) = 2 x ⁴-13 x ³ + 20 x ²-28 x + 8
имеет четыре смены знака. Следовательно, может быть целых четыре отрицательные корни. (Также может быть два отрицательных корня или ни одного.) Нет гарантии, что какой-либо из корней является рациональным, но любой корень рациональное должно происходить из списка -, −1, −2, −4, −8.
(Если у вас есть графического калькулятора, вы можете предварительно просмотреть рациональные корни, построив график полином и увидеть, где он, кажется, пересекает ось x .Но ты по-прежнему необходимо проверить корень алгебраически, чтобы убедиться, что f ( x ) ровно 0, а не почти 0.)
Помните, что Rational Root Test гарантирует нахождение всех рациональный корня. Но он полностью упустит настоящие корни, которых нет. рациональные, как корни x −2 = 0, которые √2, или корни x + 4 = 0, которые 2i.
Наконец, помните, что Rational Root Test работает, только если все коэффициенты — целые числа.Посмотрите еще раз на эту функцию, которая на графике справа:
p ( x ) = 2 x ⁴-11 x ³-6 x ² + 64 x + 32
Теорема о рациональном корне говорит вам, что единственно возможный рациональный нули — это 1, 2, 4, 8, 16, 32. Но предположим, что вы вычтите 2 (как я когда-то сделал в классе), написав эквивалент функция
p ( x ) = 2 ( x ⁴ — (11/2) x ³-3 x ² + 32 x + 16)
Эта функция аналогична предыдущей, но вы не можете дольше применять Rational Root Test, потому что коэффициенты не целые числа.По сути — это ноль р ( х ), но это не так. появляются, когда я (незаконно) применил Rational Root Test к вторая форма. Моя ошибка заключалась в том, что я забыл, что применима теорема о рациональном корне. только когда все коэффициенты многочлена равны целые числа.
Графические подсказки
Построив график функции вручную или с помощью графика Вы можете понять, где находятся корни, примерно, и сколько существует настоящих корней.
Пример: Если Rational Root Test говорит вам, что 2 возможных рациональных корня, вы можете посмотреть на график, чтобы увидеть, пересекает ли он (или касается) оси x в точках 2 или −2. Если да, используйте синтетическое деление, чтобы убедитесь, что предполагаемый корень на самом деле является корнем. Да ты всегда нужно проверить по графику, вы никогда не можете быть уверены будет ли точка пересечения на ваш возможный рациональный корень или просто рядом с это.
Границы корней
Некоторые методы не сообщают вам конкретное значение корня, но скорее, что корень существует между двумя значениями или что все корни меньше определенного числа больше определенного числа. Этот помогает сузить область поиска.
Теорема о промежуточном значении
Эта теорема говорит вам, что если график многочлена находится выше ось x для одного значения x и ниже оси x для другое значение x , оно должно пересекать ось x где-то посередине. (Если вы можете построить график функции, пересечения обычно будет очевидным.)
Пример:
p ( x ) = 3 x + 4 x -20 x −32
Рациональные корни (если есть) должны быть из списка любой из 1/3, 2/3, 1, 4/3, 2, 8/3, 4, 16/3, 8, 32/3, 16, 32. Естественно, сначала вы посмотрите на целые числа, потому что арифметика Полегче. Пробуя синтетическое деление, вы найти p (1) = −45, p (2) = −22 и p (4) = 144. Поскольку p (2) и p (4) имеют противоположные знаки, вы знайте, что график пересекает ось между x = 2 и x = 4, поэтому есть хотя бы один корень между этими числами. Другими словами, либо 8/3 — это корень или корень (и) от 2 до 4 иррациональны. (Фактически, синтетическое деление показывает, что 8/3 — это корень.)
Теорема о промежуточном значении может сказать вам, где находится root, но он не может сказать вам, где нет root. Например, считать
q ( x ) = 4 x -16 x + 15
q (1) и q (3) оба положительны, но это вам не говорит может ли график касаться или пересекать ось между ними. (На самом деле дважды пересекает ось, при x = 3/2 и х = 5/2.)
Верхняя и нижняя границы
Одним из побочных эффектов синтетического деления является что даже если число, которое вы тестируете, окажется не корневым, оно может сказать вам, что все корни меньше или больше этого номер:
Если вы сделаете синтетическое деление на положительное число a , и каждые число в нижней строке положительное или нулевое, тогда — это верхняя граница для корней, что означает, что все настоящие корни ≤ — .
Если вы делаете синтетическое деление на отрицательное число b , а числа в нижнем ряду чередуются знак, тогда b — это нижняя граница для корней, что означает, что все действительные корни ≥ b .
Что делать, если нижняя строка содержит нули? Более полный утверждение состоит в том, что чередующихся неотрицательных и неположительных знаков , после синтетического деления на отрицательное число показать нижнюю границу корень. Следующие два примера поясняют это.
(Кстати, правило для нижних оценок следует из правила для верхних оценок. Нижние пределы корней p ( x ) равны верхним пределам корни p (- x ), и деление на (- x + r ) аналогично деление на — ( x — r ).)
Пример:
q ( x ) = x ³ + 2 x ²-3 x -4
Использование Rational Root Тест, вы определяете единственно возможные рациональные корни как 4, 2 и 1. Вы решаете попробовать −2 в качестве возможный корень, и вы тестируете его с синтетическим делением:
-2 | 1 2 -3-4 | -2 0 6 | ------------------ 1 0–3 2
−2 не является корнем уравнения f ( x ) = 0. В третьей строке чередуются знаки, и вы делили на отрицательное число; однако этот ноль все портит. Напомним, что у вас есть нижняя граница, только если знаки в нижнем ряду чередовать неположительный и неотрицательный.1 положительный (неотрицательный), и 0 может считаться неположительным, но −3 не считается неотрицательным. Чередование битая, а ты не знаешь есть ли корни меньше -2. (Фактически, графический или численные методы покажут корень около -2,5.) Следовательно, вам нужно попробовать наименьший возможный рациональный корень, −4:
-4 | 1 2 -3-4 | -4 8-20 | ------------------ 1–2 5–24
Здесь знаки чередуются; поэтому вы знаете, что нет корни ниже −4. (Остаток −24 показывает, что −4 сам по себе не является корнем.)
Вот другой пример:
r ( x ) = x + 3 x — 3
Rational Root Test сообщает вам что возможные рациональные корни — 1 и 3. С синтетическим деление на −3:
-3 | 1 3 0-3 | -3 0 0 | ------------------ 1 0 0-3
−3 не является корнем, но знаки здесь чередуются, так как первый 0 считается неположительным, а второй — неотрицательным.Следовательно, −3 — это нижняя граница корней, а это означает, что уравнение не имеет вещественных корней ниже −3.
Коэффициенты и корни
Существует интересная взаимосвязь между коэффициентами многочлен и его нули. Я упоминаю об этом в последнюю очередь, потому что это больше подходит для формирования многочлена, который имеет нули с желаемыми свойствами, вместо нахождения нулей существующего многочлена. Однако если вы знать все корни многочлена, кроме одного или двух, вы можете легко использовать это техника, чтобы найти оставшийся корень.
Рассмотрим многочлен
f ( x ) = a _n x ⁿ + a _{n -1} x ^{n -1} + a _{n −2} x ^{n −2} + … + a ₂ x ² + а ₁ x + a _o
Существуют следующие отношения:
— a _{n −1} a _n = сумма всех корней
+ a _{n − 2} a _n = сумма произведений корней взято по два за раз
— a _{n −3} a _n = сумма произведений корней взято по три за раз
и так далее, пока
(-1) ⁿ a ₀ a _n = произведение всех корней
Пример: f ( x ) = x ³ — 6 x ² — 7 x — 8 имеет степень 3 и, следовательно, не более трех реальных нулей. Если записываем действительные нули как r ₁, r ₂, r ₃, тогда сумма корней равна r ₁ + r ₂ + r ₃ = — (- 6) = 6; то сумма произведений корней, взятых по два за раз, равна r ₁ r ₂ + r ₁ r ₃ + r ₂ r ₃ = −7, а произведение корней равно r ₁ r ₂ r ₃ = (-1) ³ (-8) = 8.
Пример: Учитывая, что многочлен
г  ( x ) = x ⁵-11 x ⁴ + 43 x ³-73 x ² + 56 x -16
имеет тройной корень x = 1, найдите два других корня.
Решение: Пусть два других корня будут c и d . Тогда вы знаете, что сумма всех корней равна 1 + 1 + 1 + c + d = — (- 11) = 11, или c + d = 8. Ты также знайте, что продукт всех корней 111 c d = (−1) ⁵ (−16) = 16, или c d = 16. c + d = 8, c d = 16; поэтому c = d = 4, поэтому оставшиеся корни представляют собой двойной корень с размером x = 4.
Дополнительные коэффициенты и корни
Есть еще несколько теорем о соотношении между коэффициентами и корнями. Статья в Википедии Свойства корней полиномов дает хорошее, хотя и несколько краткое изложение.
Шаг 5. Разделите на множитель
Помните, что r является корнем тогда и только тогда, когда x — r является множителем; это факторная теорема. Так что если ты хочешь чтобы проверить, является ли r корнем, вы можете разделить многочлен на x — r и посмотрите, выходит ли ровным (остаток от 0). Элизабет Стапель пример деления многочленов делением в столбик.
Но делать синтетическое деление проще и быстрее. Если твой синтетическое деление немного заржавело, вы можете взглянуть на Dr. Математика короткая Учебник Synthetic Division; если вам нужен более длинный учебник, Элизабет Стейплс Синтетический дивизион отличный. (У доктора Мата также есть страница о почему работает Synthetic Division.)
Синтетическое подразделение также имеет некоторые побочные преимущества. Если вы подозреваете корень на самом деле является корнем, синтетическое деление дает вам приведенный многочлен . А иногда и тебе везет, и синтетическое деление показывает вам верхнюю или нижнюю связаны на корнях.
Вы можете использовать синтетическое деление при делении на бином вида x — r для константы r . Если вы делите на x −3, вы проверяете, является ли 3 корнем, и вы синтетическое деление на 3 (не на −3). Если вы делите на x +11, вы тестируете является ли −11 корнем, и вы синтетически делите на −11 (не 11).
Пример:
p ( x ) = 4 x ⁴-35 x ² — 9
Вы подозреваете, что x −3 может быть фактором, и проверяете это с помощью синтетическое деление, например:
3 | 4 0-35 0-9 | 12 36 3 9 | -------------------- 4 12 1 3 0
Поскольку остаток равен 0, вы знаете, что 3 является корнем p ( x ) = 0, а x −3 является множителем p ( x ). Но ты знаешь более. Поскольку 3 положительно и нижняя строка синтетического деления все положительные или нулевые, вы знаете, что все корни p ( x ) = 0 должно быть ≤ 3. И вы также знаете что
p ( x ) = ( x −3) (4 x ³ + 12 x ² + x + 3)
4 x ³ + 12 x ² + x + 3 — это приведенный многочлен .Все его факторы также коэффициентов исходного p ( x ), но его степень на единицу меньше , поэтому его с ним легче работать.
Шаг 6. Численные методы
Когда у вашего уравнения больше нет рациональных корней (или ваша многочлен не имеет более рациональных множителей) можно перейти к числовым методы нахождения приблизительного значения иррациональных корней:
Статья в Википедии Алгоритм поиска корней имеет достойное резюме с указателями на конкретные методы.
Многие графические калькуляторы имеют Команда Root или Zero, которая поможет вам найти приблизительные корни. Например, на ТИ-83 или ТИ-84 вы график функцию, а затем выберите [2nd] [Calc] [zero].
Полный пример
Решить для всех сложных корней:
4 x + 15 x — 36 = 0
Шаг 1. Уравнение уже в стандартной форме, с только ноль с одной стороны и степени x от наибольшего к наименьшему.Там нет общих факторов.
Шаг 2. Поскольку уравнение имеет степень 3, будет 3 корни. Есть одна вариация знака, а от Правило знаков Декарта, которое, как вы знаете, должно быть одним положительным корнем. Изучите многочлен с заменой — x x :
−4 x -15 x -36
Знаков нет, значит, нет отрицательные корни. Следовательно, два других корня должны быть сложными, и конъюгаты друг друга.
Шаги 3 и 4. Возможные рациональные корни к сожалению, довольно много: любые из 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 делится на любое из 4, 2, 1. (перечислены только положительные корни, потому что вы уже определили, что для этого нет отрицательных корней уравнение.) Вы решаете сначала попробовать 1:
1 | 4 0 15 -36 | 4 4 19 | ----------------- 4 4 19-17
1 не является корнем, поэтому вы проверяете 2:
2 | 4 0 15 -36 | 8 16 62 | ----------------- 4 8 31 26
Увы, 2 тоже не рут.Но обратите внимание, что f (1) = −17 и f (2) = 26. У них противоположные знаки, что означает, что график пересекает ось x между x = 1 и x = 2, а корень находится между 1 и 2. (В данном случае это единственный root, поскольку вы определили, что существует один положительный корень и нет отрицательных корней.)
Единственный возможный рациональный корень между 1 и 2 — 3/2, и следовательно, либо 3/2 является корнем, либо корень иррационален. Вы пытаетесь 3/2 по синтетическому отделению:
3/2 | 4 0 15 -36 | 6 9 36 | ----------------- 4 6 24 0
Ура! 3/2 — это корень. Приведенный полином равен 4 x + 6 x + 24. Другими словами,
(4 x + 15 x — 36) ( х −3/2) = 4 х + 6 х + 24
Приведенный многочлен имеет степень 2, так что нет необходимости в большем методом проб и ошибок, и вы переходите к шагу 5.
Шаг 5. Теперь вы должны решить
4 x + 6 x + 24 = 0
Сначала разделите общий множитель 2:
2 x + 3 x + 12 = 0
Нет смысла пытаться множить этот квадратичный коэффициент, потому что вы определили, используя Правило знаков Декарта, что больше нет настоящие корни.Итак, вы используете квадратичный формула:
x = [−3 √9 — 4 (2) (12)] / 2 (2)
x = [−3 √ − 87] / 4
x = −3/4 (√87 / 4) i
Шаг 6. Помните, что вы нашли корень в более ранний шаг! Полный список корней —
3/2, −3/4 + (√87 / 4) я, −3/4 — (√87 / 4) я
Что нового
19 октября 2020 г. : преобразовано в HTML5. Переменные, выделенные курсивом и имена функций; вычеркнул мнимое i.
3 ноября 2018 г. : Некоторые изменения форматирования для ясности, особенно с радикалами. Здесь отметили, что 0 является тройным корнем в этом примере.
(промежуточные изменения подавлены)
15 февраля 2002 г. : Первая публикация.
Правило знаков Декарта | Purplemath
Purplemath
Правило знаков Декарта — полезный помощник для нахождения нулей многочлена, предполагая, что у вас нет графика для просмотра.Эта тема не так полезна, если у вас есть доступ к графическому калькулятору, потому что вместо того, чтобы выполнять угадывание и проверку, чтобы найти нули (с помощью теста рациональных корней, правила знаков Декарта, синтетического деления и других инструментов ), вы можете просто посмотреть картинку на экране. Но если вам нужно его использовать, Правило на самом деле довольно простое.
Используйте Правило знаков Декарта, чтобы определить количество действительных нулей:

f ( x ) = x ⁵ — x ⁴ + 3 x ³ + 9 х ² — х + 5
Правило знаков Декарта не скажет мне, где находятся нули многочлена (мне нужно будет использовать тест рациональных корней и синтетическое деление или нарисовать график, чтобы на самом деле найти корни ), но Правило скажет мне сколько корней я могу ожидать и какого типа.
MathHelp.com
Сначала я посмотрю на многочлен в его нынешнем виде, не меняя знака на x . Это случай положительного корня:
f ( x ) = x ⁵ — x ⁴ + 3 x ³ + 9 x ² — x + 5
Игнорируя фактические значения коэффициентов, я затем смотрю на знаки этих коэффициентов:
f ( x ) = + x ⁵ — x ⁴ + 3 x ³ + 9 x ² — x + 5
Начиная это домашнее задание, я проведу маленькие линии внизу, чтобы выделить, где знаки меняются с положительного на отрицательный или с отрицательного на положительный от одного термина к другому.Это не обязательно, но это поможет мне отслеживать вещи, пока я все еще учусь.
Потом подсчитываю количество изменений:
В случае положительного корня происходит четыре смены знака. Это число «четыре» является максимально возможным количеством положительных нулей (то есть всех положительных x -перехвата) для многочлена f ( x ) = x ⁵ — x ⁴ + 3 x ³ + 9 x ² — x + 5.
Тем не менее, некоторые из корней могут быть получены с помощью квадратичной формулы, и эти пары корней могут быть сложными и, следовательно, не поддаваться графическому изображению как перехваты x . Из-за такой возможности мне приходится отсчитывать до двух, чтобы найти полный список возможного количества нулей. То есть, хотя реальных нулей может быть до четырех, положительных реальных нулей может быть только два, а может быть и ноль (т. Е. Может вообще не быть).
Я закончил случай положительного корня, теперь я смотрю на f (- x ). То есть, изменив знак на x , я теперь делаю случай отрицательного корня:
f (- x ) = (- x ) ⁵ — (- x ) ⁴ + 3 (- x ) ³ + 9 (- x ) ² — (- x ) + 5
= — x ⁵ — x ⁴ — 3 x ³ + 9 x ² + x + 5
Смотрю на вывески:
f (- x ) = — x ⁵ — x ⁴ — 3 x ³ + 9 x ² + x + 5
…и подсчитываю количество смен знаков:
В этом случае отрицательного корня меняется только один знак, поэтому имеется ровно один отрицательный корень . (В этом случае я не пытаюсь отсчитывать до двух, потому что первое вычитание даст мне отрицательное число.)
Есть 4, 2 или 0 положительных корней и ровно 1 отрицательный корень.
В некоторых текстах вы оцениваете f ( x ) как x = 1 (для положительных корней) и при x = –1 (для отрицательных корней), поэтому вы получите выражения «1 — 1 + 3 + 9 — 1 + 5 «и» –1 — 1 — 3 + 9 + 1 + 5 «соответственно.Но вы не стали бы упрощать, и числовые значения не имели бы значения; вы бы проанализировали только признаки, как показано выше.
Используя Правило знаков Декарта, определите количество действительных решений для:

4 x ⁷ + 3 x ⁶ + x ⁵ + 2 x ⁴ — x ³ + 9 x ² + x + 1 = 0
Сначала я смотрю на связанный многочлен f ( x ); используя «+ x «, это случай положительного корня:
f ( x ) = +4 x ⁷ + 3 x ⁶ + x ⁵ + 2 x ⁴ — x ³ + 9 x ² + x + 1
Есть два изменения знака, поэтому есть два или, если считать попарно, нулевые положительные решения.
Теперь я смотрю на многочлен f (- x ); используя «- x «, это случай отрицательного корня:
f (- x ) = 4 (- x ) ⁷ + 3 (- x ) ⁶ + (- x ) ⁵ + 2 (- x ) ⁴ — (- x ) ³ + 9 (- x ) ² + (- x ) + 1
= –4 x ⁷ + 3 x ⁶ — x ⁵ + 2 x ⁴ + x ³ + 9 x ² — х + 1
Имеется пять смен знака, поэтому существует пять или, если считать попарно, три или одно отрицательное решение.Тогда мой ответ:
Есть два или ноль положительных решений и пять, три или одно отрицательное решение.
В приведенном выше примере максимальное количество положительных решений (два) и максимальное количество отрицательных решений (пять) суммируются до ведущей степени (семь). Всегда будет верно, что сумма возможных чисел положительных и отрицательных решений будет равна степени многочлена: или на два меньше, или на четыре меньше, или….
Это может быть полезно для проверки вашей работы. Например, если бы я дал максимальный ответ «два» для возможных положительных решений в приведенном выше примере, но дал бы только, скажем, «четыре» для возможных отрицательных решений, тогда я бы знал, что я где-то ошиблись, потому что 2 + 4 не равно 7, 5, 3 или 1.
Воспользуйтесь правилом знаков Декарта, чтобы найти количество действительных корней:

f ( x ) = x ⁵ + 4 x ⁴ — 3 x ² + х — 6
Во-первых, я смотрю на случай положительного корня, который смотрит на f ( x ):
f ( x ) = + x ⁵ + 4 x ⁴-3 x ² + x — 6
Знаки меняются местами трижды, так что имеется три положительных корня или один положительный корень. В любом случае, у меня определенно есть по крайней мере один положительный настоящий корень.
Теперь я смотрю на случай отрицательного корня, который смотрит на f (- x ):
f (- x ) = (- x ) ⁵ + 4 (- x ) ⁴ — 3 (- x ) ² + (- x ) — 6
= — x ⁵ + 4 x ⁴ — 3 x ² — x — 6
Знаки меняются дважды, так что у меня два отрицательных корня или их нет вообще.Тогда мой ответ:
Есть три положительных корня или один; есть два отрицательных корня или нет ни одного.
Воспользуйтесь правилом знаков Декарта, чтобы найти количество действительных корней:

f ( x ) = x ⁵ + x ⁴ + 4 x ³ + 3 х ² + х + 1
Сначала я смотрю на f ( x ):
f ( x ) = + x ⁵ + x ⁴ + 4 x ³ + 3 x ² + x + 1
Знак не меняется, поэтому положительных корней нет. Сейчас смотрю на f (- x ):
f (- x ) = (- x ) ⁵ + (- x ) ⁴ + 4 (- x ) ³ + 3 (- x ) ² + (- x ) + 1
= — x ⁵ + x ⁴ — 4 x ³ + 3 x ² — x + 1
Имеется пять изменений знака, поэтому существует пять отрицательных корней.Тогда мой ответ:
Нет положительных корней, а есть пять, три или один отрицательный корень.
Воспользуйтесь правилом знаков Декарта, чтобы определить возможное количество решений уравнения:

x ³ + x ² — x — 1 = 0
Я начну со случая положительного корня, оценивая связанный функциональный оператор:
f ( x ) = + x ³ + x ² — x — 1
Знаки меняются один раз, так что у этого есть ровно один положительный корень. Теперь проверим случай отрицательного корня:
f (- x ) = (- x ) ³ + (- x ) ² — (- x ) — 1
Знаки меняются дважды, так что есть два отрицательных корня или вообще нет. Тогда мой ответ:
Есть ровно один положительный корень; есть два отрицательных корня, иначе их нет.
Воспользуйтесь правилом знаков Декарта, чтобы определить возможное количество решений уравнения:

2 x ⁴ — x ³ + 4 x ² — 5 x + 3 = 0
Сначала я смотрю на f ( x ):
f ( x ) = +2 x ⁴ — x ³ + 4 x ² — 5 x + 3
Имеется четыре смены знака, поэтому имеется 4, 2 или 0 положительных корней. Сейчас смотрю на f (- x ):
f (- x ) = 2 (- x ) ⁴ — (- x ) ³ + 4 (- x ) ² — 5 (- x ) + 3
Знак не меняется, значит, нет отрицательных корней. Тогда мой ответ:
Есть четыре, два или ноль положительных корней и ноль отрицательных корней.
Правило знаков Декарта может быть полезно, чтобы помочь вам выяснить (если у вас нет графического калькулятора, который может показать вам), где искать нули многочлена. Например, предположим, что Rational Roots Test дает вам длинный список потенциальных нулей, вы нашли один отрицательный ноль, а Правило знаков говорит, что существует не более одного отрицательного корня. Тогда вы знаете, что нашли все возможные отрицательные корни (рациональные или иные), поэтому теперь вам следует начать искать потенциальные положительные корни.
Точно так же, если вы нашли, скажем, два положительных решения, а Правило знаков гласит, что у вас должно быть, скажем, пять, три или одно положительное решение, то вы знаете, что, поскольку вы нашли два, существует по крайней мере еще один (чтобы у вас было до трех) и, возможно, еще три (чтобы у вас было пять), поэтому вам следует продолжать искать положительное решение.
Кстати, если вам интересно, почему действует Правило знаков Декарта, не надо. Доказательство длинное и сложное; Вы можете изучить его после того, как пройдете курс исчисления и теории доказательств, а также некоторые другие, более продвинутые классы.Я нашел в Интернете интересную статью (в формате Adobe Acrobat), которая содержит доказательства многих аспектов нахождения полиномиальных нулей, а раздел о Правиле знаков занимает семь страниц.
URL: https://www.purplemath.com/modules/drofsign.
No related posts.