Контрольные работы по дифференциальным уравнениям с ответами: Домашняя контрольная работа по теме Решение дифференциальных уравнений. Ряды.

Контрольная работа № 9 обыкновенные дифференциальные уравнения тема 9 обыкновенные дифференциальные уравнения — Контрольная работа

Контрольная работа № 9

Обыкновенные

дифференциальные уравнения

ТЕМА 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

  1. Дифференциальные уравнения первого порядка.

  2. Дифференциальные уравнения высших порядков.

  3. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Демидович Б. П., Моденов В. П. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. — СПб.: Иван Федоров, 2003. — 287 с.

  2. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений: Учеб. для вузов. — 8-е изд., стер. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 486 с.

  3. Матвеев Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Учеб. пособие. — 7-е изд., доп. — СПб.: Лань, 2002. — 431 с.

  4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие: в 2-х т.- Изд. стер. –М.: Интеграл – Пресс. Т.1. -2001.- 415 с.Т.2.- 2002.- 544 с.

Решение типового варианта контрольной работы.

Задание 1. Найти общее решение дифференциальных уравнений.

а) .

Решение. Попытаемся разделить переменные интегрирования. Для этого вынесем за скобки общий множитель:, разнесем слагаемые: ; выражая из полученного уравнения убедимся в том, что и, значит, наше уравнение является дифференциальным уравнением в разделяющихся переменных. Разделим переменные. .

Проинтегрируем получившееся выражение по соответствующим переменным: .

Получим , .

Таким образом, мы убедились в том, что — общий интеграл заданного уравнения.

Ответ:.

б).

Решение. Убедимся в том, что переменные разделить не удается. Поэтому поделим обе части уравнения на x.

— Убедимся в том, что производная в представленном уравнении зависит только от отношения , то есть и, значит, это однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Будем решать его с помощью соответствующей замены.

Введем новую переменную .

;

;

; проинтегрируем выражение

;

;

;

;

— общее решение уравнения.

Ответ:.

в).

Решение. Начинаем вновь с проверки не разделятся ли переменные интегрирования. Убеждаемся, что это не так, и, кроме того, однородным оно тоже не является. Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка, так как имеет структуру вида: . Будем решать его с помощью стандартной в этом случае, замены: .

;

;

;

;

;

;

;

;

;

— общее решение уравнения.

Ответ: .

Задание 2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. — неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 2-ого порядка. Решение будем искать в виде суммы решений: общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения , которое будем искать по виду правой части. Начнем с отыскания .

Составим характеристическое уравнение: .

Следовательно, общее решение однородного уравнения: .

будем искать в виде . — частное решение уравнения, поэтому оно превращает его в верное числовое тождество. Подставим его в уравнение и вычислим А. .

. Значит . Таким образом, общее решение неоднородного уравнения . Для вычисления частного решения определим значения констант исходя из начальных условий:

; ;

;

Ответ:.

Задание 3. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

Решение. Сведем предложенную систему к одному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Для этого продифференцируем первое уравнение системы по t:

и заменим воспользовавшись для этого вторым уравнением системы:

. Окончательно .

— однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение: .

Следовательно, решение: . Из первого уравнения , поэтому ;

.

Ответ:; .

Задание 4. Записать уравнение кривой, проходящей через точку, для которой треугольник, образованный осью Оу, касательной к кривой в произвольной её точке и радиус-вектором точки касания, равнобедренный (причем основанием его служит отрезок касательной от точки касания до оси Оу).

Решение. Пусть искомое уравнение кривой. Проведем касательную MNв произвольной точке M(x;y) кривой до пересечения с осью Оу в точкеN. Согласно условию, должно выполняться равенство, но , а найдем из уравнения , полагая X=0, то есть.

Итак, приходим к однородному уравнению .

Полагая y=tx (y’=tx+t), получим или , откуда – данное решение представляет собой семейство парабол, осью которых является ось Оу.

Определим значение константы С исходя из того, что кривая проходит через точку . Подставляя координаты заданной точки в вышенайденное общее решение, получим ; из двух значений С=0 и С=2 нас устраивает лишь второе, так как при С=0 парабола оказывается вырожденной. Итак, искомое решение , или .

Ответ: .

Задание 5.

а) Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Так как производная в данном случае является функцией, зависящей только от переменной x, то его решение может быть получено в результате последовательного интегрирования: .

Ответ. .

б) Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Поскольку данное уравнение не содержит в явном виде переменной , то замена позволяет преобразовать его в уравнение первого порядка с разделяющимися переменными .

;

. Учтя, что – произвольная постоянная, то полученное решение можно упростить: .

Ответ. .

в) Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Так как решаемое уравнение не содержит явно переменной , будем получать его решение с помощью введения новой переменной , откуда , так как в этом случае мы вычисляем производную сложной функции. Заданное уравнение в результате такой замены будет иметь вид: . Решение является особым, и, делая обратную замену в этой ситуации, запишем: . Оставшееся уравнение является уравнением в разделяющихся переменных: . Интегрируя последнее равенство, получим . Выразим теперь функцию : . Делая вновь обратную замену , получим: . В данном уравнении можно разделить переменные: . Интегрируя последнее выражение, получим . Получившаяся неявная функция также является решением заданного дифференциального уравнения.

Ответ.; .

Задание 6. Решить уравнение .

Решение. Правая часть уравнения представляет собой дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Выпишем общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка . Так как корнями соответствующего характеристического уравнения являются числа , то общее решение данного уравнения, как известно, имеет вид . Правая часть исходного уравнения не позволяет найти частное решение неоднородного уравнения методом подбора (или неопределенных коэффициентов) поэтому воспользуемся для его нахождения методом вариации произвольных постоянных. Поэтому будем искать частное решение в виде: , предполагая, что здесь и (мы воспользовались видом найденной фундаментальной системы решений однородного уравнения), а и решения следующей системы дифференциальных уравнений:

таким образом .

Из второго уравнения выпишем . Проинтегрировав, получим (постоянную интегрирования будем полагать равной нулю). Теперь, подставляя значение в первое уравнение системы, получим дифференциальное уравнение для функции : . Вновь интегрируя, запишем: .

Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид , выпишем общее решение неоднородного дифференциального уравнения

Ответ..

Контрольная работа №9.

Вариант 1.

  1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

  1. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

  1. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

  1. Записать уравнение кривой, проходящей через точку , если известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке в 3 раз больше углового коэффициента прямой, соединяющей точку А с началом координат.

  1. Найти общее решение дифференциального уравнения

  2. Найти общее решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных .

Контрольная работа №9.

Вариант 2.

  1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

  1. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

  1. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

  1. Найти уравнение кривой, проходящей через точку A(10, 10) и, обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси абсцисс касательной, проведенной в любой точке кривой, равен кубу абсциссы точки касания.

  2. Найти общее решение дифференциального уравнения

  3. Найти общее решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных .

Контрольная работа №9.

Вариант 3.

  1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

  1. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

  1. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

  1. Найти уравнение кривой, проходящей через точку A(1, 4) и, обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ординат любой касательной, равен удвоенной абсциссе точки касания.

  2. Найти общее решение дифференциального уравнения

  3. Найти общее решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных .

Контрольная работа №9.

Вариант 4.

  1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

  1. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

  1. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

  1. Найти уравнение кривой, проходящей через точку B(3, 4) и, обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ординат любой касательной, равен удвоенному модулю радиус-вектора точки касания.

  2. Найти общее решение дифференциального уравнения

  3. Найти общее решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных .

Контрольная работа №9.

Вариант 5.

  1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

  1. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

  1. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

  1. В силу закона Ньютона скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Если температура воздуха равна и тело в течение часа охлаждается от до , то через сколько минут (с момента начала охлаждения) его температура понизится до ?

  2. Найти общее решение дифференциального уравнения

  3. Найти общее решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных .

Контрольная работа №9.

Вариант 6.

  1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

  1. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

  1. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

  1. Определить путь, Тело массой движется прямолинейно. На него действует сила, пропорциональная времени, протекшему от момента, когда (коэффициент пропорциональности 2). Кроме того, тело испытывает сопротивление среды, пропорциональное скорости (коэффициент пропорциональности 3). Найти скорость в момент сек.

  2. Найти общее решение дифференциального уравнения

  3. Найти общее решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных .

Контрольная работа №9.

Вариант 7.

  1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

  1. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

  1. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

  1. Найти уравнение кривой, проходящей через т. A(9, 9) и, обладающей тем свойством, что угловой коэффициент любой касательной к ней вдвое меньше углового коэффициента радиус-вектора точки касания.

  2. Найти общее решение дифференциального уравнения

  3. Найти общее решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных .

Контрольная работа № 9

Обыкновенные

дифференциальные уравнения

ТЕМА 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

  1. Дифференциальные уравнения первого порядка.

  2. Дифференциальные уравнения высших порядков.

  3. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Демидович Б. П., Моденов В. П. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. — СПб.: Иван Федоров, 2003. — 287 с.

  2. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений: Учеб. для вузов. — 8-е изд., стер. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 486 с.

  3. Матвеев Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Учеб. пособие. — 7-е изд., доп. — СПб.: Лань, 2002. — 431 с.

  4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие: в 2-х т.- Изд. стер. –М.: Интеграл – Пресс. Т.1. -2001.- 415 с. Т.2.- 2002.- 544 с.

Решение типового варианта контрольной работы.

Задание 1. Найти общее решение дифференциальных уравнений.

а) .

Решение. Попытаемся разделить переменные интегрирования. Для этого вынесем за скобки общий множитель:, разнесем слагаемые: ; выражая из полученного уравнения убедимся в том, чтои, значит, наше уравнение является дифференциальным уравнением в разделяющихся переменных. Разделим переменные. .

Проинтегрируем получившееся выражение по соответствующим переменным: .

Получим ,.

Таким образом, мы убедились в том, что — общий интеграл заданного уравнения.

Ответ: .

б).

Решение. Убедимся в том, что переменные разделить не удается. Поэтому поделим обе части уравнения на x.

— Убедимся в том, что производная в представленном уравнении зависит только от отношения, то естьи, значит, это однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Будем решать его с помощью соответствующей замены.

Введем новую переменную .

;

;

; проинтегрируем выражение

;

;

;

;

— общее решение уравнения.

Ответ: .

в).

Решение. Начинаем вновь с проверки не разделятся ли переменные интегрирования. Убеждаемся, что это не так, и, кроме того, однородным оно тоже не является. Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка, так как имеет структуру вида: . Будем решать его с помощью стандартной в этом случае, замены:.

;

;

;

;

;

;

;

;

;

— общее решение уравнения.

Ответ: .

Задание 2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. — неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 2-ого порядка. Решение будем искать в виде суммы решений: общего решения однородного уравненияи частного решения неоднородного уравнения, которое будем искать по виду правой части. Начнем с отыскания.

Составим характеристическое уравнение: .

Следовательно, общее решение однородного уравнения: .

будем искать в виде .- частное решение уравнения, поэтому оно превращает его в верное числовое тождество. Подставим его в уравнение и вычислимА. .

. Значит . Таким образом, общее решение неоднородного уравнения. Для вычисления частного решения определим значения констант исходя из начальных условий:

; ;

;

Ответ: .

Задание 3. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

Решение. Сведем предложенную систему к одному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Для этого продифференцируем первое уравнение системы по t:

и заменим воспользовавшись для этого вторым уравнением системы:

. Окончательно .

— однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение:.

Следовательно, решение: . Из первого уравнения, поэтому;

.

Ответ: ;.

Задание 4. Записать уравнение кривой, проходящей через точку, для которой треугольник, образованный осьюОу, касательной к кривой в произвольной её точке и радиус-вектором точки касания, равнобедренный (причем основанием его служит отрезок касательной от точки касания до оси Оу).

Решение. Пусть искомое уравнение кривой. Проведем касательнуюMN в произвольной точке M(x;y) кривой до пересечения с осью Оу в точке N. Согласно условию, должно выполняться равенство, но, анайдем из уравнения, полагаяX=0, то есть.

Итак, приходим к однородному уравнению .

Полагая y=tx (y’=tx+t), получим или, откуда– данное решение представляет собой семейство парабол, осью которых является осьОу.

Определим значение константы С исходя из того, что кривая проходит через точку . Подставляя координаты заданной точки в вышенайденное общее решение, получим; из двух значенийС=0 и С=2 нас устраивает лишь второе, так как при С=0 парабола оказывается вырожденной. Итак, искомое решение , или.

Ответ: .

Задание 5.

а) Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Так как производная в данном случае является функцией, зависящей только от переменной x, то его решение может быть получено в результате последовательного интегрирования: .

Ответ. .

б) Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Поскольку данное уравнение не содержит в явном виде переменной , то заменапозволяет преобразовать его в уравнение первого порядка с разделяющимися переменными .

;

. Учтя, что – произвольная постоянная, то полученное решение можно упростить:.

Ответ. .

в) Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Так как решаемое уравнение не содержит явно переменной , будем получать его решение с помощью введения новой переменной, откуда, так как в этом случае мы вычисляем производную сложной функции. Заданное уравнение в результате такой замены будет иметь вид:. Решениеявляется особым, и, делая обратную замену в этой ситуации, запишем:. Оставшееся уравнениеявляется уравнением в разделяющихся переменных:. Интегрируя последнее равенство, получим. Выразим теперь функцию:. Делая вновь обратную замену, получим:. В данном уравнении можно разделить переменные:. Интегрируя последнее выражение, получим. Получившаяся неявная функция также является решением заданного дифференциального уравнения.

Ответ. ;.

Задание 6. Решить уравнение .

Решение. Правая часть уравнения представляет собой дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Выпишем общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка . Так как корнями соответствующего характеристического уравненияявляются числа, то общее решение данного уравнения, как известно, имеет вид. Правая часть исходного уравненияне позволяет найти частное решениенеоднородного уравнения методом подбора (или неопределенных коэффициентов) поэтому воспользуемся для его нахождения методом вариации произвольных постоянных. Поэтому будем искать частное решениев виде:, предполагая, что здесьи(мы воспользовались видом найденной фундаментальной системы решений однородного уравнения), аирешения следующей системы дифференциальных уравнений:

таким образом .

Из второго уравнения выпишем . Проинтегрировав, получим(постоянную интегрирования будем полагать равной нулю). Теперь, подставляя значениев первое уравнение системы, получим дифференциальное уравнение для функции:. Вновь интегрируя, запишем:.

Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид , выпишем общее решение неоднородного дифференциального уравнения

Ответ. .

Решебник задач по дифференциальным уравнениям Филиппов 2000 года

 


Название:

Задачник по математике

Автор:

Филиппов А.Ф.

Аннотация:

В данном разделе опубликованы бесплатные решения для учебника Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Cборник содержит материалы для упражнений по курсу дифференциальных уравнений для университетов и технических вузов с повышенной математической программой.
Для студентов высших технических учебных заведений.

Год издания: 2000

 

 

Условия задач и решения доступны в режиме онлайн без регистрации. Сборник задач можно бесплатно скачать: Filippov.djvu — 920 Кб.

§ 1. Изоклины. Составление дифференциального уравнения семейства кривых (задачи 1–50)

§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными (51–70)

§ 3. Геометрические и физические задачи (71–100)

§ 4. Однородные уравнения (101–135)

§ 5. Линейные уравнения первого порядка (136–185)

§ 6. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (186–220)

§ 7. Существование и единственность решения (221–240)

§ 8. Уравнения, не разрешенные относительно производной (241–300)

§ 9. Разные уравнения первого порядка (301–420)

§ 10. Уравнения, допускающие понижение порядка (421–510)

 

 

§ 11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами (511–640)

§ 12. Линейные уравнения с переменными коэффициентами (641–750)

§ 13. Краевые задачи (751–785)

§ 14. Линейные системы с постоянными коэффициентами (786–880)

§ 15. Устойчивость (881–960)

§ 16. Особые точки (961–1000)

§ 17. Фазовая плоскость (1001–1055)

§ 18. Зависимость решения от начальных условий и параметров. Приближенное решение дифференциальных уравнений (1056–1140)

§ 19. Нелинейные системы (1141–1166)

§ 20. Уравнения в частных производных первого порядка (1167–1223)

 

 

   

Контрольная работа по теме: «Дифференциальное исчисление»

Контрольная работа №1

по теме: «Дифференциальное исчисление»

Вариант № 1

1. Найдите производную функции:

а) ; б) ; в)

2. Найдите производную третьего порядка функции:

а) ; б)

3. Найдите значение производной функции в точке .

4. Тело движется по прямой так, что его скорость v (м/с) изменяется по закону . Какую скорость приобретает тело в момент, когда его ускорение равно 12м/с2

5. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой .

6. Исследовать функцию и построить ее график:

Контрольная работа №1

по теме: «Дифференциальное исчисление»

Вариант № 2

1. Найдите производную функции:

а) ; б) ; в)

2. Найдите производную третьего порядка функции:

а) ; б)

3. Найдите значение производной функции в точке .

4. Тело движется по прямой так, что его скорость v (м/с) изменяется по закону . Какую скорость приобретает тело в момент, когда его ускорение равно 10м/с2

5. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой .

6. Исследовать функцию и построить ее график:

Контрольная работа №1

по теме: «Дифференциальное исчисление»

Вариант № 3

1. Найдите производную функции:

а) ; б) ; в)

2. Найдите производную третьего порядка функции:

а) ; б)

3. Найдите значение производной функции в точке .

4. Тело движется по прямой так, что его скорость v (м/с) изменяется по закону . Какую скорость приобретает тело в момент, когда его ускорение равно 10м/с2

5. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой .

6. Исследовать функцию и построить ее график:

Контрольная работа №1

по теме: «Дифференциальное исчисление»

Вариант № 4

1. Найдите производную функции:

а) ; б) ; в)

2. Найдите производную третьего порядка функции:

а) ; б)

3. Найдите значение производной функции в точке .

4. Тело движется по прямой так, что его скорость v (м/с) изменяется по закону . Какую скорость приобретает тело в момент, когда его ускорение равно 10м/с2

5. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой .

6. Исследовать функцию и построить ее график:

Самостоятельная работа «Дифференциальные уравнения»

Вариант 1

  1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

а) б)

2. Угловой коэффициент касательной в каждой точке кривой равен . Кривая проходит через точку

(-1;2). Найти уравнение кривой.

3. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка:

, если при х= 2, у=5 и при х=4, .

Вариант 2

  1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

а) б)

2. Угловой коэффициент касательной в каждой точке кривой равен . Кривая проходит через точку

(-2;1). Найти уравнение кривой.

3. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка:

, если при х= 0, у=4 и при х=1, .

Вариант 3

  1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

а) б)

2. Угловой коэффициент касательной в каждой точке кривой равен . Кривая проходит через точку

(-1;-2). Найти уравнение кривой.

3. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка:

, если при х= 0, у=1 и .

Вариант 4

  1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

а) б)

2. Угловой коэффициент касательной в каждой точке кривой равен . Кривая проходит через точку

(2;-2). Найти уравнение кривой.

3. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка:, если при х= 0, у=1 и , .

Вариант 5

  1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

а) б)

2. Угловой коэффициент касательной в каждой точке кривой равен . Кривая проходит через точку

(0;1). Найти уравнение кривой.

3. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка:

, если при х= 0, у=-1 и .

Вариант 6

  1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

а) б)

2. Угловой коэффициент касательной в каждой точке кривой равен . Кривая проходит через точку

(-2;2). Найти уравнение кривой.

3. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка:

, если при х= -2, у=2 и .

Вариант 7

  1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

а) б)

2. Угловой коэффициент касательной в каждой точке кривой равен . Кривая проходит через точку

(1;-1). Найти уравнение кривой.

3. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка:

, если при х= 1, у=-1 и .

Вариант 8

  1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

а) б)

2. Угловой коэффициент касательной в каждой точке кривой равен . Кривая проходит через точку

(-3;2). Найти уравнение кривой.

3. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка:

, если при х= 0, у=1 и .

Вариант 9

  1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

а) б)

2. Угловой коэффициент касательной в каждой точке кривой равен . Кривая проходит через точку

(-1;0). Найти уравнение кривой.

3. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка:

, если при х= 0, у=-1 и , .

Вариант 10

  1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

а) б)

2. Угловой коэффициент касательной в каждой точке кривой равен . Кривая проходит через точку

(-3;2). Найти уравнение кривой.

3. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка:

, если при х= 2, у=2 и .

Вариант 11

  1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

а) б)

2. Угловой коэффициент касательной в каждой точке кривой равен . Кривая проходит через точку

(-2;4). Найти уравнение кривой.

3. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка:

, если при х= 2, у=5 и при х= -1, .

Вариант 12

  1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

а) б)

2. Угловой коэффициент касательной в каждой точке кривой равен . Кривая проходит через точку

(1;0). Найти уравнение кривой.

3. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка:, если при х= 4, у=1 и .

Расчётное задание (10 дифференциальных уравнений)

Расчётное задание

Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

Решение

Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: .

Интегрируем:

Посчитаем интегралы отдельно:

Тогда: или

Ответ:

Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

Решение

Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при dx и dy суть однородные функции одного и того же измерения (второго) относительно переменных х и у. Применяем подстановку у=хt, где t – некоторая функция аргумента х.

Если у=хt, то дифференциал dy=d(xt)=tdx+xdt, и данное уравнение примет вид

Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно х и t. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:

Из введенной подстановки следует, что . Следовательно, или — общее решение данного уравнения.

Ответ:

Задача 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

Решение

Это уравнение вида — линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим

или

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Интегрируя, находим

Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим откуда

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Возвращаясь к функции у, получим

Ответ:

Задача 4. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение

— уравнение Бернулли.

Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где U и V две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим

или

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве V одно из частных решений уравнения

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Интегрируя, находим

Подставим найденную функцию V во второе уравнение . Получим откуда

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию И:

Возвращаясь к функции У, получим

Ответ:

Задача 5. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение

Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки , тогда .

Отсюда — линейное дифференциальное уравнение. Приведём к виду: ,

Замена где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим

или

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Интегрируя, находим

Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Возвращаясь к функции у, получим

Ответ:

Задача 6. Найти частное решение дифференциального уравнения.

, ,

Решение

Поскольку дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной х, полагаем , где — новая неизвестная функция. Тогда по формуле для производной сложной функции имеем:

Получим уравнение первого порядка относительно :

Разделим переменные и проинтегрируем ,

Тогда или

Выполним обратную подстановку;

Используем условия , тогда .

Тогда уравнение запишется в виде

Разделим переменные и проинтегрируем , ,

Получим

Используем условие , тогда .

Окончательно получим:

Ответ:

Задача 7. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

Корни характеристического уравнения:

Так как его корни действительные и кратные отсутствуют, общее решение однородного уравнения имеет вид .

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

, тогда

, .

Подставим в исходное

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х и одинаковых функциях в левой и правой части получим систему:

Тогда частное решение

Общее решение неоднородного примет вид:

Ответ:

Задача 8. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение

Решим соответствующее однородное уравнение

Составим характеристическое уравнение Его корни

Так как его корни действительные и есть кратные, общее решение однородного уравнения имеет вид .

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

, тогда

, .

Подставим в исходное

,

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:

Тогда частное решение

Общее решение неоднородного примет вид:

Ответ:

Задача 9. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 + 1 = 0

Корни характеристического уравнения: r1 = — i, r2 = i

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Для поиска частного решения воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Для этого решим систему:

Тогда окончательно

Ответ:

 

Задача 10. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

Решение

Метод исключения неизвестных.

Продифференцируем по t первое уравнение

Исключая с помощью второго уравнения и с помощью первого уравнения системы, получим

, ,

Таким образом, задача свелась к линейному неоднородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Решим соответствующее однородное уравнение. Характеристическое уравнение имеет корни и . Следовательно, общее решение для х будет .

Подставляя х в первое уравнение, находим общее решение для у

Ответ:

< Предыдущая   Следующая >

Тест по математике на тему «Дифференциальные уравнения»

ТЕСТ по теме: «Дифференциальные уравнения» (ДУ)

ЧАСТЬ 1(теория)

  1. Вставить пропущенное слово

Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функции y и её … или дифференциалы.

а) интеграл б) производные в) значения функции

  1. ДУ первого порядка называется уравнение вида

а) б) в) aх+b=0

  1. Уравнение вида называется

а) линейное уравнение б) ДУ с разделяющими переменными

в) ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

  1. Характеристическое уравнение ДУ имеет вид

а) а2х+с=0 б) в)

  1. Решение вида: имеет ДУ, если

а) б) в)

ЧАСТЬ 2 (практика)

  1. Решить уравнение y’ = 6x

ОТВЕТ:______________________

  1. Решением ДУ: является

а) б) в)

  1. Решением ДУ: является

а)

  1. Решить уравнение

ОТВЕТ__________________________

  1. Решить уравнение

а) y’ = 3x2+5

б)

( полное решение)

Теорема (вставить формулы)

  1. Пусть характеристическое уравнение имеет действительные корни , причем . Тогда общее решение уравнения

имеет вид…

  1. Если характеристическое уравнение имеет один корень λ (кратности 2, т.е. λ1= λ2), то общее решение уравнения

имеет вид…

  1. Если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то общее решение уравнения

имеет вид…

Финальный экзамен по дифференциальным уравнениям

с решениями

Learn FAQs: заключительный экзамен по дифференциальным уравнениям с решениями для изучения онлайн-курсов математики, подготовка к экзамену 1 для онлайн-сертификации по математике. Заключительный экзамен по дифференциальным уравнениям с решениями для практики викторины по английской математике с ответами для поступления в онлайн-колледжи.

«Метод, который дает решение в форме степенного ряда, называется», engg математика Вопросы с множественным выбором (MCQ) с выбором метод лапласа, логарифмический метод, метод степенного ряда и линейный метод для инженерных школ бакалавриата.Изучите серию онлайн-решений по вопросам и ответам на оды, чтобы улучшить навыки решения проблем для ведущих инженерных университетов.

Викторина по заключительному экзамену по дифференциальным уравнениям с решениями Рабочий лист 1 Скачать книгу в формате PDF

Заключительный экзамен по дифференциальным уравнениям с решениями

MCQ: Метод, который дает решение в виде степенного ряда, называется

.
  1. Логарифмический метод
  2. Метод Лапласа
  3. Метод серии Power
  4. Линейный метод

Вопросы о дифференциальных уравнениях с решениями

MCQ: Метод, с помощью которого задачи анализа, в частности дифференциальные уравнения, преобразуются в алгебраические задачи, называется

.
  1. статическое исчисление
  2. динамическое исчисление
  3. операционное исчисление
  4. интегральный

Продвинутые вопросы по математике с ответами

MCQ: Ортогональный — другое слово для

  1. параллельно
  2. серии
  3. перпендикуляр
  4. экспонента

Вопросы для заключительного экзамена по дифференциальным уравнениям с решениями

MCQ: метод Фробениуса расширяет

  1. Метод серии степеней
  2. логарифмический метод
  3. Метод Лапласа
  4. Метод Фурье

Вопросы и ответы по базовой инженерной математике

MCQ: Все начальные условия в задаче начального значения должны быть взяты на

  1. уникальная точка
  2. случайная точка
  3. точка перпендикуляра
  4. то же точка
.

Дифференциальные уравнения — Заключительные мысли

Онлайн-заметки Павла

Заметки Быстрая навигация Скачать

  • Перейти к
  • Заметки
  • Задачи практики и задания еще не написаны.Пока позволяет время, я работаю над ними, однако у меня нет того количества свободного времени, которое я имел раньше, поэтому пройдет некоторое время, прежде чем здесь что-нибудь появится.
  • Показать / Скрыть
  • Показать все решения / шаги / и т. Д.
  • Скрыть все решения / шаги / и т. Д.
  • Разделы
  • Поля направлений
  • Введение DE первого порядка
  • Разделы
  • DE Первого Ордена
  • Классы
  • Алгебра
  • Исчисление I
  • Исчисление II
  • Исчисление III
  • Дифференциальные уравнения
  • Дополнительно
  • Алгебра и триггерный обзор
  • Распространенные математические ошибки
  • Праймер для комплексных чисел
  • Как изучать математику
  • Шпаргалки и таблицы
  • Разное
  • Свяжитесь со мной
  • Справка и настройка MathJax
  • Мои студенты
  • Заметки Загрузки
  • Полная книга
  • Текущая глава
  • Practice Problems Загрузок
  • Проблем пока не написано.
  • Проблемы с назначением Загрузок
  • Проблем пока не написано.
  • Прочие товары
  • Получить URL для загружаемых элементов
  • Распечатать страницу в текущем виде (по умолчанию)
  • Показать все решения / шаги и распечатать страницу
  • Скрыть все решения / шаги и распечатать страницу
  • Дом
  • Классы
  • Алгебра
    • Предварительные мероприятия
      • Целочисленные экспоненты
      • Рациональные экспоненты
      • Радикалы
      • Полиномы
      • Факторинговые многочлены
      • Рациональные выражения
      • Комплексные числа
    • Решение уравнений и неравенств
      • Решения и наборы решений
      • Линейные уравнения
      • Приложения линейных уравнений
      • Уравнения с более чем одной переменной
      • Квадратные уравнения — Часть I
      • Квадратные уравнения — Часть II
      • Квадратные уравнения: сводка
      • Применения квадратного уравнения
.

Дифференциальные уравнения — основные понятия

Онлайн-заметки Павла

Заметки Быстрая навигация Скачать

  • Перейти к
  • Заметки
  • Задачи практики и задания еще не написаны.Пока позволяет время, я работаю над ними, однако у меня нет того количества свободного времени, которое я имел раньше, поэтому пройдет некоторое время, прежде чем здесь что-нибудь появится.
  • Показать / Скрыть
  • Показать все решения / шаги / и т. Д.
  • Скрыть все решения / шаги / и т. Д.
  • Разделы
  • Введение в DE второго порядка
  • Настоящие и отчетливые корни
  • Разделы
  • DE Первого Ордена
  • Преобразования Лапласа
  • Классы
  • Алгебра
  • Исчисление I
  • Исчисление II
  • Исчисление III
  • Дифференциальные уравнения
  • Дополнительно
  • Алгебра и триггерный обзор
  • Распространенные математические ошибки
  • Праймер для комплексных чисел
  • Как изучать математику
  • Шпаргалки и таблицы
  • Разное
  • Свяжитесь со мной
  • Справка и настройка MathJax
  • Мои студенты
  • Заметки Загрузки
  • Полная книга
  • Текущая глава
  • Текущий раздел
  • Practice Problems Загрузок
  • Проблем пока не написано.
  • Проблемы с назначением Загрузок
  • Проблем пока не написано.
  • Прочие товары
  • Получить URL для загружаемых элементов
  • Распечатать страницу в текущем виде (по умолчанию)
  • Показать все решения / шаги и распечатать страницу
  • Скрыть все решения / шаги и распечатать страницу
  • Дом
  • Классы
  • Алгебра
    • Предварительные мероприятия
      • Целочисленные экспоненты
      • Рациональные экспоненты
      • Радикалы
      • Полиномы
      • Факторинговые многочлены
      • Рациональные выражения
      • Комплексные числа
    • Решение уравнений и неравенств
    • 900 23.

      Дифференциальные уравнения — основные понятия

      Онлайн-заметки Павла

      Заметки Быстрая навигация Скачать

      • Перейти к
      • Заметки
      • Задачи практики и задания еще не написаны.Пока позволяет время, я работаю над ними, однако у меня нет того количества свободного времени, которое я имел раньше, поэтому пройдет некоторое время, прежде чем здесь что-нибудь появится.
      • Показать / Скрыть
      • Показать все решения / шаги / и т. Д.
      • Скрыть все решения / шаги / и т. Д.
      • Разделы
      • Определения
      • Разделы
      • DE Первого Ордена
      • Классы
      • Алгебра
      • Исчисление I
      • Исчисление II
      • Исчисление III
      • Дифференциальные уравнения
      • Дополнительно
      • Алгебра и триггерный обзор
      • Распространенные математические ошибки
      • Праймер для комплексных чисел
      • Как изучать математику
      • Шпаргалки и таблицы
      • Разное
      • Свяжитесь со мной
      • Справка и настройка MathJax
      • Мои студенты
      • Заметки Загрузки
      • Полная книга
      • Текущая глава
      • Practice Problems Загрузок
      • Проблем пока не написано.
      • Проблемы с назначением Загрузок
      • Проблем пока не написано.
      • Прочие товары
      • Получить URL для загружаемых элементов
      • Распечатать страницу в текущем виде (по умолчанию)
      • Показать все решения / шаги и распечатать страницу
      • Скрыть все решения / шаги и распечатать страницу
      • Дом
      • Классы
      • Алгебра
        • Предварительные мероприятия
          • Целочисленные экспоненты
          • Рациональные экспоненты
          • Радикалы
          • Полиномы
          • Факторинговые многочлены
          • Рациональные выражения
          • Комплексные числа
        • Решение уравнений и неравенств
          • Решения и наборы решений
          • Линейные уравнения
          • Приложения линейных уравнений
          • Уравнения с более чем одной переменной
          • Квадратные уравнения — Часть I
          • Квадратные уравнения — Часть II
          • Квадратные уравнения: сводка
          • Приложения квадратных уравнений
          • Уравнения сводятся к Qua
      .
Leave a Reply

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *