Контрольные работы геометрия атанасян 7: ГДЗ самостоятельные и контрольные работы по геометрии 7 класс Иченская, Атанасян Просвещение

Сначала мы повторяем школьное определение вектора. Вектор называется направленный Отрезок, для которого указаны его начало и конец:

В данном случае началом отрезка является точка, а концом отрезка — точка. Сам вектор обозначается через. Направление Существенно, если переставить стрелку на другой конец отрезка, тогда вектор будет, а это уже совсем другой вектор .Понятие вектора удобно отождествлять с движением физического тела: видите ли, подойти к двери института или выйти из двери института — это совершенно разные вещи.

Отдельные точки плоскости, пространство удобно рассматривать так называемым нулевым вектором . В таком векторе конец и начало совпадают.

!!! Примечание: Здесь и далее можно считать, что векторы лежат в одной плоскости, или можно предположить, что они расположены в пространстве — суть изложенного материала актуальна и для плоскости, и для пространства.

Обозначения: Многие сразу обратили внимание на жезл без стрелки в обозначении и сказали, заодно и стрелку ставят! Правда, стрелкой можно писать: но разрешено запись, которую я буду использовать в будущем . Почему? Видимо такая привычка сложилась из практических соображений, мои стрелы в школе и университете оказались слишком дифференцированными и лохматыми. В учебной литературе Иногда клинмами вообще не заморачиваются, а жирным шрифтом выделяют буквы:, я имею ввиду, что это вектор.

Это был стиль, а теперь о способах записи векторов:

1) векторы можно записать двумя большими латинскими буквами:
и т. Д. При этом первая буква перед обозначает начало вектора, а вторая буква — точка-конец вектора.

2) В векторах также записываются строчные латинские буквы:
В частности, в нашем векторе есть возможность для краткости преобразовать строчные латинские буквы.

Лена или модуль Ненулевой вектор называется длиной отрезка.Длина нулевого вектора равна нулю. Логично.

Длина вектора указана знаком модуля:

Как найти длину вектора Узнаем (или повторим, для кого как) чуть позже.

Чтобы были элементарные сведения о векторе, знакомом всем школьникам. В аналитической геометрии так называемый свободный вектор .

Если просто — вектор можно отложить с любой точки. :

Мы привыкли называть такие векторы (определение равных векторов будет дано ниже), но это чисто с математической точки зрения.Это тот же вектор или бесплатный вектор . Почему бесплатно? Потому что при решении задач вы можете «прикрепить» тот или иной «Школьный» вектор в любой, нужной вам точке плоскости или пространства. Это очень крутая недвижимость! Представьте себе направленный сегмент произвольной длины и направлений — он может «клонироваться» бесконечное количество раз и в любой точке пространства, фактически, он существует везде. Есть такая студенческая доплата: каждому лектору на хер по вектору. Ведь не просто остроумный стишок, все почти правильно — туда можно прикрепить направленные отрезки.Но не спешите радоваться, чаще страдают сами студенты =)

Итак, свободных векторов — это лотов из идентично направленных сегментов. Школьное определение вектора, данное в начале абзаца: «Вектор называется направленным разрезом …», подразумевает конкретных Направленный сегмент, взятый из этого набора, который привязан к определенной точке плоскости или пространства .

Следует отметить, что с точки зрения физики понятие свободного вектора в общем случае неверно, и важна точка приложения.Действительно, прямого удара той же силы по носу или по лбу достаточно, чтобы мой глупый пример имел разные последствия. Однако несвободно Вектора встречаются и сообщают (туда не ходите :)).

В учебном году геометрии учитывается ряд действий и правил с векторами: сложение правила треугольника, сложение по правилу параллелограмма, правило разности векторов, умножение вектора на число, скалярное произведение векторы и т. д. Для семян мы повторяем два правила, которые особенно важны для решения задач аналитической геометрии.

Рассмотрим два произвольных ненулевых вектора и:

Требуется найти количество этих векторов. В связи с тем, что все векторы считаются свободными, отложите вектор с конца до Вектор:

Сумма векторов и вектор.Для лучшего понимания правила в него желательно вложить физический смысл: пусть какое-то тело пробилось по вектору, а потом по вектору. Тогда сумма векторов представляет собой вектор результирующего пути с началом в точке отправления и концом в точке прибытия. Аналогичное правило формулируется для количества любого количества векторов. Как говорится, тело может сильно проехать по зигзагу, а может и на автопилоте — по полученной векторной сумме.

Кстати, если вектор откладывается от начала вектора , то это будет эквивалент правилу поллограммы Сложение векторов.

Сначала о коллинеарности векторов. Два вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Грубо говоря, речь идет о параллельных векторах. Но применительно к ним прилагательное «коллинеарность» употребляют всегда.

Представьте два коллинеарных вектора. Если стрелки этих векторов направлены в одном направлении, то такие векторы называются сонированными . Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направленными .

Обозначения: Коллинеарность векторов фиксируется обычным значком параллелизма: можно детализировать: (векторы с покрытием) или (векторы противоположны).

Работа Ненулевым вектором на число является такой вектор, длина которого равна, а векторы и покрыты противоположно направленными.

Правило умножения векторов легче понять с помощью рисунка:

Разбираемся подробнее:

1) направление.Если множитель отрицательный, то вектор меняет направление на противоположное.

2) Длина. Если множитель заключен в пределах или, то длина вектора уменьшается на . Итак, длина вектора в два раза меньше длины вектора. Если модуль умножителя больше единицы, то длина вектора увеличивается на во времени.

3) Обратите внимание, что все коллинеарные векторы В этом случае, например, один вектор выражается через другой. Справедливо и обратное. : Если один вектор может быть выражен через другой, то такие векторы обязательно коллинеарны. Таким образом: , если вектор умножить на число, то коллинеарный (по отношению к исходному) вектор .

4) Векторы покрыты оболочкой. Векторы и тоже покрыты покрытием. Любая из первой группы первой группы противоположно направлена ​​к любому второму групповому вектору.

Два вектора равны, если они скомбинированы и имеют одинаковую длину.. Обратите внимание, что охладитель подразумевает коллинеарность векторов. Определение будет неточным (избыточным), если вы скажете: «Два вектора равны, если они коллинеарны, имеют покрытие и одинаковую длину».

С точки зрения концепции свободного вектора, равные векторы — это один и тот же вектор, что уже произошло в предыдущем абзаце.

Первая точка Рассмотрим векторы на плоскости.Изобразим декартову прямоугольную систему координат и отложу от начала координат единичных векторов и:

Векторы I. ортогональные . Ортогональный = перпендикулярный. Рекомендую потихоньку привыкать к терминам: вместо параллельности и перпендикулярности мы используем слова соответственно коллинеарность и ортогональность .

Обозначение: Ортогональность векторов фиксируется обычным значком перпендикулярности, например :.

Рассматриваемые векторы называются координатными векторами или или . Эти векторы образуют оснований на поверхности. Что лежит в основе, думаю, интуитивно много понятной, более подробной информации можно найти в статье. Линейная (не) векторная зависимость. Базисные векторы . Сдаваемые слова, основа и начало координат задают всю систему — это своеобразный фундамент, на котором кипит целостная и насыщенная геометрическая жизнь.

Иногда построенная база называется или форматируется Основа плоскости: «Орто» — поскольку векторы координат ортогональны, прилагательное «нормализованный» означает единицу, т.е. длины базовых векторов равны единице.

Обозначение: Базис обычно записывается в скобках, внутри которых в строгой последовательности Перечисленные базовые векторы, например :. Координаты векторов нельзя переставить местами.

Любая Плоскость вектора единственно выражается в виде:
где — чисел называются координатами вектора В этой базе.А само выражение называется разложением вектора Basisus .

Обед подается:

Начнем с первой буквы алфавита:. По чертежу хорошо видно, что при векторном разложении базиса только что учитывались:
1) правило умножения вектора на число: и;
2) Сложение векторов правила треугольника:.

А теперь мысленно задайте вектор из любой другой точки плоскости.Понятно, что его разложение будет «неустанно следовать за ним». Вот она, свобода вектора — вектора «все с тобой». Это свойство, конечно, верно для любого вектора. Забавно, что базовые (свободные) векторы не обязательно откладывать от начала координат, один можно нарисовать, например, слева внизу, а другой справа вверху, и ничего не изменится! Правда, делать этого необязательно, ведь учитель тоже проявит оригинальность и в неожиданном месте нарисует вас «зачисленными».

Векторы, точно иллюстрируют правило умножения вектора на число, вектор совмещен с базовым вектором, вектор направлен противоположно базовому вектору. В данных векторов одна из координат равна нулю, можно записать, что:

А основные векторы, кстати, так: (на самом деле они выражаются сами через себя).

И напоследок:,. Кстати, что такое вычитание векторов и почему я не рассказал о правиле вычитания? Где-то в линейной алгебре, не помню где, я заметил, что вычитание — это сложение частного падежа.Итак, разложение векторов «DE» и «E» спокойно записывается в виде суммы:. Проследите за рисунками, так как старое доброе сложение векторов по правилу треугольника явно работает в этих ситуациях.

Рассматриваемая декомпозиция типа Иногда называется декомпозицией вектора в орт-системе (т.е. в системе одиночных векторов). Но это не единственный способ записи вектора, распространяется следующий вариант:

Или со знаком равенства:

Сами базовые векторы записываются следующим образом: и

То есть в скобках указаны координаты вектора.В практических задачах используются все три варианта записи.

Сомневаюсь, говорить ли, но все же скажу: координаты векторов переставить нельзя . Строго в первом месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору строго, во втором месте Записываем координату, которая соответствует единичному вектору. Действительно, и — это потому, что два разных вектора.

Координаты на плоскости вычислены. Теперь рассмотрим векторы в трехмерном пространстве, здесь почти все одинаково! Только добавьте еще одну координату.Трехмерные чертежи выполнить сложно, поэтому ограничусь тем же вектором, который для простоты отложу от начала координат:

Любой Вектор трехмерного пространства Односторонний Прокрутка по ортонормированному базису:
, где — координаты вектора (числа) в этой базе.

Пример с картинки:. Посмотрим, как здесь работают правила действий с векторами. Во-первых, умножение вектора: (Красная стрелка), (Зеленая стрелка) и (Стрелка Раулича).Во-вторых, пример добавления нескольких, в данном случае трех векторов :. Вектор суммы начинается в начальной точке отправления (начало вектора) и застревает в конечной точке прибытия (конечный вектор).

Все трехмерные векторы естественно свободны, попробуйте мысленно перенести вектор из любой другой точки, и вы поймете, что его разложение останется с ней. «

Аналогично плоскому корпусу, помимо записи широко используются версии со скобками: либо.

Если в разложении нет одного (или двух) координатных векторов, то вместо них ставятся нули. Примеры:
Вектор (дотошный) — писать;
вектор (скрупулезно) — писать;
Вектор (дотошный) — Пишем.

Базовые векторы записываются следующим образом:

Это, пожалуй, все минимальные теоретические знания, необходимые для решения задач аналитической геометрии. Возможно, немного терминов и определений, поэтому рекомендую перечитать чайники и осмыслить эту информацию еще раз.И любому читателю будет полезно время от времени обращаться к основному уроку для лучшего усвоения материала. Коллинеарность, ортогональность, ортонормированный базис, декомпозиция вектора — эти и другие понятия будут часто использоваться в будущем. Отмечу, что материалов сайта недостаточно для прохождения теоретической проверки, коллоквиума по геометрии, так как все теоремы (тем более без доказательств) я тщательно зашифровываю — в ущерб научному стилю изложения, но плюс вашему пониманию предмета.Для получения подробной теоретической справки прошу поклон профессору Атанасяну.

И переходим к практической части:

Задачи, которые будут рассматриваться, крайне желательно научиться решать на законченной машине, но формулы запоминают Святой Даже особенно не запоминать себя, они запомнят =) Это очень важно, потому что другие задачи аналитической геометрии основаны на простейшие элементарные примеры, и надоест лишнее время на поедание пешек.Не нужно прошивать верхние пуговицы на рубашке, многое вам знакомо со школы.

Изложение материала будет идти параллельно плоскости и в космосе. По той причине, что все формулы … Смотрите сами.

Если даны две точки плоскости и, вектор имеет следующие координаты:

Если есть две точки пространства и, вектор имеет следующие координаты:

И.е, из конечных координат вектора необходимо вычесть соответствующие координаты начала вектора .

Задача: Для тех же точек запишите формулу нахождения координат вектора. Формулы в конце урока.

Пример 1.

Есть две точки плоскости и. Найдите координаты вектора

Решение: По соответствующей формуле:

В качестве альтернативы вы можете использовать следующую запись:

эстетов решаются следующим образом:

Лично я привык к первой версии записи.

Ответ:

По условию не нужно было строить чертеж (что характерно для задач аналитической геометрии), но для того, чтобы объяснить чайникам какие-то моменты, не подходят:

Обязательно поймите разницу между координатами точек и координатами векторов :

Координаты точки — это обычные координаты в прямоугольной системе координат.Отложить координатную плоскость думаю каждый сможет еще с 5-6 класса. Каждая точка имеет строгое место на плоскости, и переместить их куда-то нельзя.

Координаты того же вектора — это его основа на основе, в данном случае. Любой вектор свободен, поэтому при желании или необходимости мы легко перенесем его из какой-то другой точки плоскости. Интересно, что для векторов вообще нельзя построить ось, прямоугольную систему координат, нужен только базис, в данном случае ортонормированный базис плоскости.

Записи координат точек и координат векторов вроде бы похожи:, а смысл координат абсолютно разные И вы должны хорошо понимать эту разницу. Это различие, конечно, справедливо и для космоса.

Дамы и господа, достаньте:

Пример 2.

а) пожертвованные баллы и. Найдите векторы и.
б) донас и. Найдите векторы и.
c) даты и. Найдите векторы и.
г) финики. Найдите стихи.

Пожалуй, хватит. Это примеры для самостоятельного решения, постарайтесь ими не пренебрегать, расплачиваться ;-). Рисунки делать не нужно. Решения и ответы в конце урока.

Что важно при решении задач аналитической геометрии? Важно быть предельно внимательным, чтобы мастерская не допустила ошибки «два плюс два равно нулю». Сразу извиняюсь, если ошибся =)

Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.

Если заданы две точки плоскости и, то длину отрезка можно рассчитать по формуле

Если есть две точки пробела и, то длину отрезка можно рассчитать по формуле

Примечание: Формулы останутся верными, если соответствующие координаты переставить местами: и, но более стандартным является первый вариант.

Пример 3.

Решение: По соответствующей формуле:

Ответ:

Для наглядности выполню чертеж

Раздел — это не вектор и перенести его куда-нибудь, конечно, нельзя.Также, если вы выполняете рисунок в масштабе: 1 ед. = 1 см (две аиртальные ячейки), то получившийся ответ можно проверить условной линией, напрямую измерив длину отрезка.

Да, решение короткое, но есть еще пара важных моментов, которые хотелось бы уточнить:

Сначала в ответ ставим размерность: «Единицы». В условии не указано, что это миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» — сокращенно «единицы».

Во-вторых, повторяем школьный материал, который пригодится не только для рассматриваемого задания:

обратить внимание на важный технический приём — забивание из-под корня . В результате вычислений мы получили результат, и хороший математический стиль предполагает получение множителя из-под корня (если возможно). Подробнее Процесс выглядит так:. Конечно, оставить ответ в анкете не будет ошибкой — но недостаток — это точно и весомый аргумент для солдат со стороны учителя.

Вот и другие частые случаи:

Часто под рутом оказывается достаточно большое число, например. Как быть в таких случаях? В калькуляторе проверьте, делится ли число на 4 :. Да, он был разделен, таким образом разделен:. А может, число еще раз разделится на 4? . Этим способом: . В номере последняя цифра нечетная, поэтому разделить в третий раз на 4 явно не возможно. Пробуем разделить девять:. В итоге: Готово
.

Вывод: Если число в корне, число получается, значит пытаемся вынести множитель из-под корня — на калькуляторе проверяем, делится ли число на: 4, 9, 16, 25 , 36, 49 и др.

При решении различных задач часто обнаруживаются корни, всегда старайтесь извлекать множители из-под корня, чтобы избежать заниженной оценки да ненужных проблем с улучшением ваших решений по комментарию учителя.

Заодно повторим построение корней в квадрат и другие степени:

Правила действия со степенями в целом Вы можете найти Б. в школьном учебнике По алгебре, но, думаю, все или почти все уже понятно из примеров.

Задание на самостоятельное решение с сегментом в пространстве:

Пример 4.

Дана точек и. Найдите длину отрезка.

Решение и ответ в конце урока.

Если задана векторная плоскость, ее длина рассчитывается по формуле.

Если задан вектор пространства, его длина рассчитывается по формуле.

Появятся задачи для самостоятельного решения, на которые вы сможете увидеть ответы.

Вектор концепции

Прежде чем вы узнаете все о векторах и операциях над ними, настройтесь на решение несложной задачи. Есть вектор вашего принуждения и вектор ваших инновационных способностей. Вектор предпринимательства ведет к цели 1, а вектор инновационных способностей — к цели 2. Правила игры таковы, что нельзя сразу двигаться в направлениях этих двух векторов и сразу достичь двух целей. Векторы взаимодействуют, или, говоря математическим языком, над векторами выполняются некоторые операции.Результатом этой операции становится результат «результат», который приводит вас к цели 3.

А теперь скажите: какая операция над векторами «предприимчивость» и «инновационные способности» является вектором «результата»? Если сразу не скажешь, не прогадай. Изучая этот урок, вы сможете ответить на этот вопрос.

Как мы уже видели выше, вектор обязательно идет из некоторой точки A. Прямо до некоторой точки B. . Следовательно, каждый вектор имеет не только числовое значение — длину, но также физическую и геометрическую ориентацию.Из этого вывода первое, простейшее определение вектора. Итак, вектор — это направленное сечение, исходящее из точки. A. К пункту B. . Это упоминается.

И перейти к разным операциям с векторами Нам нужно познакомиться с еще одним определением вектора.

Вектор — это тип представления точки, к которой вы хотите перейти с некоторой начальной точки. Например, трехмерный вектор обычно записывается в виде ( x, y, z ) .Проще говоря, эти числа означают, как далеко нужно пройти в трех разных направлениях, чтобы добраться до сути.

Пусть дан вектор. При этом х. = 3 (правая указывает направо) г. = 1 (Левая рука указывает вперед), z. = 5 (под точкой есть лестница, ведущая наверх). Согласно этим данным, вы найдете точку, пройдя 3 метра в направлении, указанном правой рукой, затем 1 метр в направлении, указанном вашей левой рукой, а затем вас ждет лестница и, поднявшись на 5 метров, вы наконец окажетесь в конечной точке.

Все остальные термины являются пояснениями приведенного выше объяснения, необходимыми для различных операций над векторами, то есть решения практических задач. Давайте пройдемся по этим более строгим определениям, остановившись на типичных задачах по векторам.

Физические примеры векторные величины материальной точки, движущейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также сила, действующая на нее.

Геометрический вектор представлен в двухмерном и трехмерном пространстве в виде направленного разреза .Это отрезок, который различает начало и конец.

Если A. — начало вектора, а B. — его конец, то вектор обозначается символом или одной строковой буквой. На рисунке конец вектора обозначен стрелкой (рис.1)

Лена (или модуль ) Геометрическим вектором называется длина порождающего его отрезка

Два вектора называются равными , если они могут быть объединены (при совпадении направлений) параллельной передачей, т.е.е. Если они параллельны, направлены в одну сторону и имеют одинаковую длину.

по физике часто считаются привязанных векторов, , заданная точка приложения, длина и направление. Если точка приложения вектора не имеет значения, ее можно перенести с сохранением длины и направления в любую точку пространства. В данном случае вектор называется , свободный . Условимся рассматривать только свободных векторов .

Линейные операции над геометрическими векторами

Умножение вектора на число

Рабочий вектор номер Вектор называется вектором из вектора с растяжением (с) или сжатием (в) за время, и направление вектора сохраняется, если, и изменяется на противоположное, если.(Рис.2)

Из определения следует, что векторы и = всегда расположены на одной или на параллельных прямых. Такие векторы называются коллинеарными . (Можно также сказать, что эти векторы параллельны, однако в векторной алгебре принято говорить «коллинеарные».) Справедливо и обратное утверждение: если векторы и коллинеарны, то они связаны с отношением

Следовательно, равенство (1) выражает условие коллинеарности двух векторов.

Сложение и вычитание векторов

При сложении векторов нужно знать, что сумма Векторы называются векторами, начало которых совпадает с началом вектора, а конец — с концом вектора, при условии, что начало вектора применяется к концу вектора. (Рис. 3)

Это определение можно распространить на любое конечное число векторов. Пусть в пространстве дано п. бесплатных векторов.При сложении в их сумму нескольких векторов берется замыкающий вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом последнего вектора. То есть, если к концу вектора прикрепить начало вектора, а к концу вектора — начало вектора и т. Д. И, наконец, к концу вектора — начало вектора, сумма этих векторов и есть замыкающий вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом последнего вектора.(Рис.4)

называются компонентами вектора, а сформулированное правило — , правило многоугольника . Этот многоугольник не может быть плоским.

При умножении вектора на число -1 получается противоположный вектор. Векторы и имеют одинаковую длину и противоположные направления. Их количество дает ядерный вектор , длина которого равна нулю. Направление нулевого вектора не определено.

В векторной алгебре нет необходимости рассматривать отдельную операцию вычитания: вектор вектора означает добавление к вектору противоположного вектора, т.е.е.

Пример 1. Упростим выражение:

.

,

, то есть векторы можно складывать и умножать как на числа, так и на многочлены (в частности, также задачи для упрощения выражений). Обычно необходимость упрощения линейно подобных выражений с векторами возникает перед вычислением работ векторов.

Пример 2. Вектора и диагонали служат параллелограммом ABCD (рис. 4а). Выразите переходные и векторы, и, которые являются сторонами этого параллелограмма.

Решение. Точка пересечения диагоналей Параллелограмм делит каждую диагональ пополам. Длины векторов, необходимые для состояния векторов, находятся либо как половина сумм векторов, образующих желаемый треугольник, либо как половина разностей (в зависимости от направления вектора, обслуживающего диагональ), либо как в последнем случае половина суммы берется со знаком минус. Результат — векторов, необходимых в условии:

Есть все основания полагать, что теперь вы правильно ответили на вопрос о векторе «предприимчивость» и «инновационные способности» в начале этого урока.Правильный ответ: Над этими векторами сложено сложение.

Решайте задачи для векторов самостоятельно, а потом смотрите решения

Как найти длину суммы векторов?

Эта задача занимает особое место в работе с векторами, так как предполагает использование тригонометрических свойств. Предположим, у вас есть следующая задача:

Оборванных векторов векторов И длины этих векторов. Найдите длину разности этих векторов.

Решения этой и других подобных задач и пояснения, как их решать — в уроке « Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов ».

И вы можете проверить решение таких задач на Калькулятор онлайн «Неизвестная сторона треугольника (сложение векторов и теоремы косинусов)» .

А где работы векторов?

Вектор работы над вектором не являются линейными операциями и рассматриваются отдельно.А еще у нас есть уроки «скалярное произведение векторов» и «векторные и смешанные векторы».

Проекция вектора на ось

Дизайн вектора на оси равен произведению длины рассчитанного вектора на косинус угла между вектором и осью:

Как известно, точка проекции A. Прямая (плоскость) — это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую (плоскость).

Let — произвольный вектор (рис.5), a и — проекции его начала (точки A. ) и конца (точки B. ) на ось l. . (Для построения точки проекции A. ) проводим прямо через точку A. Плоскость, перпендикулярная прямой. Пересечение прямой и плоскости определит желаемую проекцию.

Составляющая вектора на оси L. Вызывается лежащий на этой оси вектор, начало которого совпадает с проекцией начала, а конец — с проекцией конца вектора.

Проекция вектора на ось л. Номер называется

,

равно длине вектора составляющей на этой оси, взятой со знаком плюс, если направление составляющей совпадает с направлением оси l. , и со знаком минус, если эти направления противоположны.

Основные свойства векторных проекций на ось:

1. Проекции одинаковых векторов на одну ось равны друг другу.

2. При умножении вектора его проекция умножается на такое же число.

3. Проекция суммы векторов на любую ось равна количеству проекций на эту же ось компонентов векторов.

4. Конструкция вектора на оси равна произведению длины рассчитанного вектора на косинус угла между вектором и осью:

.

Решение. Проектируем векторы на оси л. Как определено в теоретической ссылке выше. Рис. 5а. Очевидно, проекция векторов равна количеству проекций векторов. Рассчитайте эти прогнозы:

Находим финальную проекцию суммы векторов:

Связь вектора с прямоугольной декартовой системой координат в пространстве

Знакомство с. прямоугольная декартова система координат в пространстве проходила в соответствующем уроке Желательно открыть его в новом окне.

В упорядоченной системе осей 0xyz. ось OX. называется , ось абсцисс , ось 0Y. — ось , ордината и ось 0z. — ось Applikat .

С произвольной точкой M. Вектор пространственной связи

вызвал радиус-вектор точек M. и распространил его на каждую из координатных осей. Обозначим значения соответствующих прогнозов:

Числа x, Y, Z называются координатами точки М., соответственно абсцисса , ордата и аппликата , и записаны в виде упорядоченных точек чисел: M (x; y; z) (рис. 6).

Вектор одиночной длины, направление которого совпадает с направлением оси, называется одиночным вектором (или orta ) Осью. Обозначим

Соответственно орт осей координат OX. , Oy. , унций.

Теорема. Любой вектор можно разложить по ортопедии осей координат:

(2)

Равенство (2) называется разложением вектора по координатным осям. Коэффициенты этого разложения являются проекциями вектора на оси координат. Таким образом, коэффициенты разложения (2) по координатным осям являются координатами вектора.

После выбора в пространстве определенной системы координат вектор и три его координаты однозначно определяют друг друга, поэтому вектор может быть записан в виде

Представления вектора в виде (2) и (3) идентичны.

Коллинеарность векторов в координатах

Как мы уже отмечали, векторы называются коллинеарными, если они связаны с отношением

Пусть даны векторы. Эти коллинеарные векторы, если координаты векторов связаны с отношением

,

то есть координаты векторов пропорциональны.

Пример 6. Приведены векторы. Коллинеарны ли эти векторы?

Решение. Узнать соотношение данных координат векторов:

.

Координаты векторов пропорциональны, следовательно, вектора коллинеарны, или что то же параллельны.

Направляющие длины вектора и косинуса

Из-за взаимной перпендикулярности осей координат длины вектора

равняется длине диагонального прямоугольного параллелепипеда, построенного в векторе

и выраженное равенство

(4)

Вектор полностью определяется задачей двух точек (начала и конца), поэтому координаты вектора могут быть выражены через координаты этих точек.

Предположим, что в указанной системе координат начало вектора находится в точке

и конец находится в точке

От равенства

Следует за

или в координатной форме

Следовательно, координаты вектора равны разностям тех же конечных координат и начала вектора . Формула (4) в этом случае примет вид

Определение направления вектора Направляющие косинусы .Это косинусоидальные углы, которые вектор образует с осями OX. , Oy. и унций. . Обозначим эти углы соответственно α , β и γ . Тогда косинусы этих углов можно найти по формуле

Направляющие вектора косинуса также являются координатами орт этого вектора и, таким образом, орт вектора

.

Учитывая, что длина орт вектора равна одной единице, то есть

,

для косинусоидальных направляющих получаем равенство:

Пример 7. Найти длину вектора x. = (3; 0; 4).

Решение. Длина вектора равна

Пример 8. Очки:

Выясните, является ли треугольник со шаровидным треугольником, построенным в этих точках.

Решение. По формуле длины вектора (6) найдем длину сторон и установим, есть ли среди них две равные:

Были обнаружены две равные стороны, поэтому необходимость искать длину третьей стороны отпадает, и данный треугольник является равноправным.

Пример 9. Найдите длину вектора и его направляющих косинусов, если.

Решение. Даны координаты вектора:

.

Длина вектора равна квадратному корню Из суммы квадратов координат вектора:

.

Находим направляющие косинусы:

Решите задачу по векторам самостоятельно, а потом смотрите решение

Операции над векторами, заданными в форме координат

Пусть два вектора и заданы их проекциями:

Указываем действия по этим векторам.

В параллелограмме точка лежит сбоку,. Экспресс вектор через векторы и.

Решение проблемы

Этот урок показывает, как параллелограмм параллелограмм, чтобы выразить произвольный отрезок в виде композиции исходных векторов. Эта задача не могла бы иметь решения, если бы мы не знали, в каком соотношении находится одна из сторон параллелограмма точкой, принадлежащей искомому отрезку. Дальнейшие действия сводятся к определению начала и конца указанных векторов и векторов, на которые делится боковая сторона.Все это необходимо для правильного использования знаков при совмещении векторов. Ведь необходимо помнить правила сложения векторов: сумма векторов дает третий вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом второго; И правило вычитания векторов: разность двух векторов — это третий вектор, начало которого совпадает с концом второго вектора, а конец — с концом первого вектора.Исходя из этих простых правил, вы сможете получить нужную вам комбинацию.

цилиндр, конус, шар ». Историческая справка о сфере

КРУГЛЫЕ ТЕЛА / пресс-конференция / ЦИЛИНДР КОНУСНЫЙ ШАР Презентация к уроку геометрии в 11 классе.

Обобщение и углубление знаний о круглых телах, их применении (круглые тела) на практике в повседневной жизни; Развитие логического мышления, творческой активности, речи; Воспитание самостоятельности, активности, культуры общения.ЦЕЛИ УРОКА

ШАР, СФЕРА Я глобус, апельсин и шар. Я круглый шар, я даже чайник.

КОНУС Вы легко найдете меня в воронке, На дереве, в шляпке гриба. Да, конус не в стороне, Морковь — это я тоже.

ХОЛОДНЫЙ КОНУС Заводской дымоход и маяк с подсветкой — Этот конус совсем не простой — усеченный!

Задача не для робких: упаковать мяч в коробку. Он должен плотно прилегать, чтобы в пути не трясло.

Слайд 9

Геометрия: Учебное пособие. для 10-11 классов / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. -М .: Просвещение. 2007 Microsoft Office Power Point / Коллекция картинок / http://iskystvo.ru/2008/10/ Использованная литература и Интернет-ресурсы:

Посмотреть все слайды

Абстрактные

2. Учебное заведение.

3. Геометрия, 11 класс

5. Тема урока. « Цилиндр, конус, шар » / ПРЕСС-КОНФЕРЕНЦИЯ /

Библиография.

http://www.salda.ru/dishes/profi/

http://www.cook.freecopy.su/cookbook/?l=23&w=4306

http://www.srbp.ru/offers/20/805/2456.html

http://fotki.yandex.ru/users/mamuka532/view/60544/

http://arsel.flamber.ru/photos/1200076904/

http://www.vikar-plastic.com.ua/index.php?categoryID=301

http://yogaclassic.ru/post/2343

http://fantasyflash.ru/anime/index.php?kont=sea&n=3

http: // fantasyflash.ru / anime / index.php? kont = disney & n = 1

http://www.liveinternet.ru/photo/ha8xa7/post15454746/

http://s99-omsk.narod.ru/projects/v/mozaika.htm

http://iskystvo.ru/metka/forma/

http://www.russika.ru/ef.php?s=3346

http://akinfeev.livejournal.com/17482.html?page=26

http://mega.km.ru/bes_2004/encyclop.asp?TopicNumber=34130&rubr=156

http://www.board74.ru/articles/geometry/tcone.html

http: // искыство.ru / 2008/10/

http://flamber.ru/photos/tags/%E4%EE%F0%EE%E3%E0/1181070512/

http://slavyane.cddk.ru/publ/20-1-0-272

http://media.meta.ua/files/pic/0/26/108/mIR6YnZXGo.jpg

противень

Оранжевый

анимашки (маяк)

анимашки (микки и принцесса)

усеченная вершина

заводская труба

2. Учебное заведение. Коммунальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №1.Березайка, д. 15, Бологовский район, Тверская область,

3. Предмет, класс, в котором используется товар. Геометрия, 11 класс

5. Тема урока. « Цилиндр, конус, шар » / ПРЕСС-КОНФЕРЕНЦИЯ /

6. Необходимое оборудование и материалы для занятия. Макеты круглых тел, «черный ящик» для вопросов-загадок, интерактивная доска для просмотра презентации или мультимедийной инсталляции.

7. Описание мультимедийного продукта. Презентация создана с помощью офисного приложения Power Point. Смена слайдов осуществляется щелчком мыши. Содержание презентации: тема урока, цели, за которыми следуют слайды, представляющие цилиндр, шар, конус, усеченный конус, которые были созданы студентами, ответившими на вопросы во время пресс-конференции. Далее идет слайд, на котором записан вопрос практического содержания, затем ответ на него, результаты урока и список интернет-ресурсов.На слайдах представлены рисунки и фотографии, заимствованные из Интернета. Формулы, стихи составлены автором произведения

8. Цель создания и использования медиа-продукта в классе. Для большей ясности. Урок задуман как открытый.

9. Как это реализовано на уроке (время и место). Используется в начале урока при постановке целей и знакомстве детей — представителей научных обществ: «Цилиндр», «конус», «шар», «усеченный конус».Затем он используется после подведения итогов первой части урока, когда студенты приступают к выполнению практического задания (вписать сферу в куб). В конце урока при подведении итогов.

Библиография.

1.Алтыпов П.И. Геометрия. Тесты. 10-11 классы: учебно-методическая. Учебное пособие.-М .: Дрофа, 2001

2. Зив Б.Г. Задания для уроков геометрии 7-11 класс. — Санкт-Петербург, 2000, изд. «Акация»

3. Геометрия: Учебное пособие. для 10-11 классов / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. -М .: Просвещение. 2007

4. Энциклопедический словарь молодого математика / Составитель А.П. Савин.- М.6 Педагогика, 1989 г.

5. ИНТЕРНЕТ-ресурсы (список картинок по порядку)

http://www.salda.ru/dishes/profi/

http://www.cook.freecopy.su/cookbook/?l=23&w=4306

http://www.srbp.ru/offers/20/805/2456.html

http://fotki.yandex.ru/users/mamuka532/view/60544/

http: // arsel.flamber.ru/photos/1200076904/

http://www.vikar-plastic.com.ua/index.php?categoryID=301

http://yogaclassic.ru/post/2343

http://fantasyflash.ru/anime/index.php?kont=sea&n=3

http://fantasyflash.ru/anime/index.php?kont=disney&n=1

http://www.liveinternet.ru/photo/ha8xa7/post15454746/

http://s99-omsk.narod.ru/projects/v/mozaika.htm

http://iskystvo.ru/metka/forma/

http://www.russika.ru/ef.php? s = 3346

http://akinfeev.livejournal.com/17482.html?page=26

http://mega.km.ru/bes_2004/encyclop.asp?TopicNumber=34130&rubr=156

http://www.board74.ru/articles/geometry/tcone.html

http://iskystvo.ru/2008/10/

http://flamber.ru/photos/tags/%E4%EE%F0%EE%E3%E0/1181070512/

http://slavyane.cddk.ru/publ/20-1-0-272

http://media.meta.ua/files/pic/0/26/108/mIR6YnZXGo.jpg

противень

Оранжевый

анимашки (маяк)

анимашки (микки и принцесса)

усеченная вершина

Согласно определению, принятому в 2006 году Международным астрономическим союзом, планета называется телом, вращающимся вокруг Солнца, достаточно массивным, чтобы иметь сферическую форму под действием собственной гравитации, кроме того, у нее должно быть пространство вблизи своей орбиты. , бесплатно от других.Если обратить внимание на первую часть этой формулировки, то можно задать вопрос — каков минимальный размер тела в целом, чтобы оно имело форму шара?

Считается, что эта цифра составляет примерно 400 километров. По крайней мере, в нашей Солнечной системе Мимас длиной 397 километров имеет сферическую форму и, таким образом, является самым маленьким из известных круглых тел.

Mimas

Proteus

Чтобы использовать предварительный просмотр презентаций, создайте себе учетную запись (учетную запись) Google и войдите в нее: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Круглые тела Презентация к уроку математики в 6 классе Выполнено Тремасова Тамара Николаевна МОУ «Средняя общеобразовательная школа Горного Краснопартизанского района Саратовской области»

Цилиндр — в переводе с греческого означает «ролик»

Поверхность цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности развертки

Секции цилиндров с наклонной плоскость

Цилиндр — образованный прямоугольником, вращающимся вокруг одной из сторон

Конус в переводе с древнегреческого означает «шишка», «вершина».

В основании конуса круг. база

Сечения конуса-треугольника, окружности, эллипса.

Конус — образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одной из сторон.

диаметр. Сфера, как и круг, имеет центр, радиус и диаметр.

Сфера — это поверхность шара (например, скорлупа мяча, апельсиновая корка)

Когда мяч рассекается плоскостью, получается только круг.

Шар — образованный полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза

Литература Литература и Интернет-ресурсы Математика: Учебное пособие.за 5 кл. общее образование. учреждения / Г.В. Дорофеев, С. Суворова, Е.А. Бунимович и другие; Эд. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгин. — 2-е изд., Перераб. — М .: Просвещение, 2010. — 288 с .: ил. Математика: Учебник. за 6 кл. общее образование. Учреждения / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А. Чесноков, С.И.Шварцбурд. — 6-е изд. — М .: Мнемосина, 2000. — 304 с .: ил. Первые шаги в геометрии. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Интуитивная геометрия. 5-6 классы: Пособие для общеобразовательных учебных заведений… — 3-е изд., Стереотип. — М .: Дрофа, 2000. — 192 с .: ил. http://uztest.ru/abstracts/?idabstract=970 472 http://vio.uchim.info/Vio_30/cd_site/articles/art_3_5.htm http://www.uchportal.ru/load/25-1- 0-25920

Спасибо за внимание!

По теме: методические разработки, презентации и заметки

§один. СОЧЕТАНИЯ МЯЧА С ПОЛИГРЕНИЯМИ. ТЕОРЕМА 1.1. Через любые четыре точки, которые не принадлежат одной плоскости, вы можете провести одну и только одну…

Какие равные цифры. Какие фигуры называются равными? II. Решение проблем

Формы, совпадающие при наложении, называются РАВНЫМИ. Две геометрические формы считаются равными, если их можно накладывать друг на друга

9. Объясните, как сравнить две линии и как сравнить 2 угла. Вы накладываете один сегмент на другой так, чтобы конец первого был выровнен с концом второго, если два других конца не выровнены, тогда сегменты не равны, если они равны, они равны. Чтобы сравнить 2 сегмента, вам нужно сравнить их длину, чтобы сравнить 2 угла, вам нужно сравнить их градусную меру. Два угла называются равными, если они могут быть наложены друг на друга. Чтобы определить, равны ли два не развернутых угла, необходимо выровнять сторону одного угла со стороной второго так, чтобы две другие стороны находились на одной стороне с выровненными сторонами. . Поместите один угол в другой угол так, чтобы у них были одинаковые вершины с одной стороны, а два других были с одной стороны от выровненных сторон.Если вторая сторона одного угла совмещена со второй стороной другого угла, то эти углы равны. (Приложите углы так, чтобы одна сторона выровнялась со стороной другой, а две другие были на одной стороне от выровненных сторон. Если две другие стороны выровнены, то углы будут полностью выровнены, что означает они равны.)

10. Какая точка называется средней точкой отрезка? Середина сегмента — это точка, которая делит данный сегмент на две равные части.Точка, разделяющая сегмент пополам, называется серединой сегмента.

11. Биссектриса (от лат. Bi — «двойной» и sectio «разрезание») угла называется лучом, выходящим из вершины угла и проходящим через его внутреннюю область, который образует два равных угла со своим стороны. Или луч, исходящий из вершины угла и разделяющий его на два равных угла, называется биссектрисой угла.

12. Как измеряются сегменты. Измерить сегмент, соизмеримый с единицей, означает узнать, сколько раз он содержит единицу или некоторую долю единицы. Измерение расстояния выполняется путем сравнения его с некоторым отрезком, взятым за единицу. Вы можете измерить длину отрезка с помощью линейки или рулетки. Необходимо наложить один отрезок на другой, который мы приняли за единицу измерения, чтобы их концы совпали.

? 13. Как связаны друг с другом длины отрезков AB и CD, если: а) отрезки AB и CD равны; б) отрезок AB меньше отрезка CD?

A) длины отрезков AB и CD равны.Б) длина отрезка АВ меньше длины отрезка CD.

14. Точка C делит отрезок AB на два отрезка. Как связаны длины отрезков AB, AC и CB? Длина отрезка AB равна сумме длин отрезков AC, и CB. Чтобы найти длину сегмента AB, сложите длины сегментов AC и CB.

15. Что такое степень? Что показывает угловая мера? Углы измеряются в разных единицах измерения.Это могут быть градусы, радианы. Чаще всего углы измеряются в градусах. (Не путайте этот градус с мерой измерения температуры, в которой также используется слово «градус»). Измерение углов основано на их сравнении с углом, принятым за единицу измерения. Обычно за единицу измерения углов принимают градус — угол, равный 1/180 угла в разложенном состоянии. Градус — это единица измерения плоских углов в геометрии. ( Единица измерения геометрических углов градус — часть удлиненного уголка.) .

Градусная мера угла показывает, сколько раз градус и его части — минуты и секунды — укладываются в данный угол , то есть градусная мера — это величина, отражающая количество градусов, минут и секунд между сторонами. угла.

16. Какая часть градуса называется минутой, а какая — секундой? 1/60 градуса называется минутой, а 1/60 минуты — секундой.Минуты обозначаются знаком «’», а секунды — «″»

? 17. Как соотносятся градусы двух углов друг с другом, если: а) эти углы равны; б) один угол меньше другого? а) градусная мера углов такая же. б) Градусная мера одного угла меньше, чем градусная мера второго угла.

18. Луч OC делит AOB на два угла. Как связаны степени AOB, AOC и COB? Когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла является суммой градусных мер этих углов. AOB равен сумме степеней его частей AOC и COB.

«Цилиндр называется телом» — Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением. Цилиндр осевого сечения, который представляет собой квадрат, называется равносторонним. Проект «Математика в профессии» Повар, кондитер ». Задача № 3. Цилиндры. Высота цилиндра — это расстояние между плоскостями оснований. Высота цилиндра 8 м, радиус основания 5 м.Цилиндр пересекается плоскостью, так что поперечное сечение представляет собой квадрат.

Геометрия — области формы — равные формы имеют равные площади. в). которая будет равна площади фигуры, составленной из фигур А и G. Фигуры делятся на квадраты со стороной 1 см. Равные части б). Площадь параллелограмма. Формы с равными площадями называются равными. Квадраты различной формы. Единицы площади. Площадь треугольника.

«Квадраты фигур» — Площадь треугольника.Площадь плоской фигуры — неотрицательное число. Пусть S — площадь треугольника ABC. Решение: Теорема: Площадь параллелограмма. Решение. Площадь квадрата со стороной 1 равна 1. Задача. Раскрой и складывание. Равные полигоны имеют равные площади. Четвертое свойство: Теорема доказана.

«Построение геометрических фигур» — Способы изображения и построения пространственных фигур на плоскости. Построения по проекционному чертежу. P4: Постройте (найдите) точку пересечения данных линии и круга.Требования — необходимая фигура (набор фигур) с заданными свойствами. Алгебраический метод. Этапы решения строительных задач.

«Геометрическая прогрессия» — 1073741823> 3 000 000, значит, торговец проиграл! Геометрическая прогрессия. Бесконечная сумма оказалась равной вполне конечной величине — высоте треугольника. Свойство геометрической прогрессии: Решение задачи: b1 = 1, q = 2, n = 30. Bn = b1 qn — 1 — формула для n-го члена прогрессии.Формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии:

«Сходство фигур» — Растения. Геометрия. Нас окружает сходство. Игрушки. Сходство в нашей жизни. Вот несколько примеров из нашей жизни. Если изменить (увеличить или уменьшить) все размеры плоской фигуры в одинаковое количество раз (коэффициент подобия), то старая и новая фигуры называются похожими. Использованы материалы из Интернета.

В этой задаче нам нужно понять концепцию равенства форм.

Геометрическая фигура

Давайте разберемся с понятием геометрической фигуры. Для этого введем определение.

Определение: Геометрическая фигура — это совокупность множества точек, линий, поверхностей или тел, которые расположены на поверхности, плоскости или пространстве и образуют конечное количество линий.

Равные числа

• Геометрические формы будут названы, если они имеют одинаковую форму, размер, их площадь и периметр равны;
• Например, длина квадрата 4 см.2. Площади двух фигур равны. Но сами фигурки не будут равны, потому что имеют разную форму;
• Если взять два круга, очевидно, что их формы равны. Но если они имеют разные радиусы, формы не будут одинаковыми;
• Равные формы назовем двумя квадратами с одинаковой стороной, двумя кругами с одинаковым радиусом.

В повседневной жизни нас с вами окружает множество разных предметов. Некоторые из них имеют одинаковый размер и форму.Например, два одинаковых листа или два одинаковых куска мыла, две одинаковые монеты и т. Д.

В геометрии фигуры одинакового размера и формы называются равными фигурами … На рисунке ниже показаны две фигуры A1 и A2. Чтобы установить равенство этих фигур, нам нужно скопировать одну из них на кальку. А затем переместите кальку и совместите копию одной формы с другой фигурой. Если они совпадают, это означает, что это одинаковые формы. В этом случае напишите A1 = A2, используя обычный знак равенства.

Определение равенства двух геометрических фигур

Мы можем представить, что первая фигура была наложена на вторую фигуру, а не ее копию на кальке. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить о наложении самой фигуры, а не ее копии, на другую фигуру. Исходя из вышеизложенного, можно сформулировать определение равенства двух геометрических фигур .

Две геометрические фигуры называются равными, если их можно объединить, наложив одну фигуру на другую.В геометрии для некоторых геометрических фигур (например, треугольников) формулируются специальные знаки, при выполнении можно сказать, что фигуры равны.

Нужна помощь в учебе?

называется серединой отрезка?

Какой луч называется биссектрисой угла?

какова мера угла в градусах?

треугольника Какой отрезок называется высотой треугольника Какой треугольник называется равнобедренным Какой треугольник называется равносторонним Что такое круг? Определение радиуса, диаметра, хорды.Дайте определение параллельным прямым. Какой угол называется внешним углом треугольника? Какой треугольник называется остроугольным, какой треугольник — тупоугольным, какой прямоугольным. Каковы стороны прямоугольного треугольника? Свойство двух линий, параллельных третьей. Теорема о прямой, пересекающей одну из параллельных прямых. Свойство двух прямых линий, перпендикулярных третьей

Объясните, какая линия называется многоугольником.Каковы вершины, стороны, периметр и диагонали многоугольника? Какой многоугольник называется выпуклым?
Объясните, какие углы называются выпуклыми углами многоугольника. Выведите формулу для вычисления суммы углов выпуклого n-угольника. Докажите, что сумма внешних углов представляет собой выпуклый многоугольник. ВЗЯТЬ по одному в каждой вершине, равном 360 градусам.
Какова сумма углов выпуклого четырехугольника?

2) Каковы вершины, боковые углы диагонального периметра четырехугольника?
3) Какие боковые углы четырехугольника называются выпуклыми?
4) какова сумма углов выпуклого четырехугольника?
5) какой четырехугольник называется выпуклым?
6) какой четырехугольник называется параллелограммом?
7) какими свойствами обладает параллелограмм?
8) называют знаки параллелограмма.
9) устанавливают свойства прямоугольника.
10) какой четырехугольник называется квадратом?
11) сформулируйте свойства ромба.
12) какой четырехугольник называется ромбом?
13) какой четырехугольник называется прямоугольником?
14) какими свойствами обладает квадрат? ответьте кратко …

назван треугольник.
2. Каков периметр треугольника?
3. Какие треугольники называются равными?
4. Что такое теорема и доказательство теоремы?
5. Объясните, какой отрезок называется перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной прямой.
6. Какой отрезок называется серединой треугольника? Сколько медиан у треугольника?
7. Какой отрезок называется биссектрисой треугольника? Сколько биссектрис у треугольника?
8. Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько высот у треугольника?
9.Какой треугольник называется равнобедренным?
10. Как называются стороны равнобедренного треугольника?
11. Какой треугольник называется равносторонним?
12. Сформулируйте свойство углов в основании равнобедренного треугольника.
13. Сформулируйте теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника.
14. Сформулируйте первый критерий равенства треугольников.
15. Сформулируйте второй критерий равенства треугольников.
16. Сформулируйте третий критерий равенства треугольников.
17. Дайте определение круга.
18. Что такое центр круга?
19. Что называется радиусом окружности?
20. Что называется диаметром круга?
21. Что называют хордой круга?