Контрольные работы 4 класс крылова: ГДЗ контрольные работы к учебнику Канакиной по русскому языку за 4 класс Крылова ФГОС часть 1, 2

Содержание

ГДЗ контрольные работы к учебнику Канакиной по русскому языку за 4 класс Крылова ФГОС часть 1, 2

Чтобы изучаемый предмет не доставлял сложностей в его изучении, стоит начать пользоваться решебником к определенному учебнику. С таким дополнительным материалом можно избежать большого количества ошибок и непонимания. С ним у обучающегося не будет ни каких проблем в изучении. Любой младшеклассник сможет, пользуясь готовыми образцами, разобраться в любой теме и в любом правиле.

Справиться со всеми трудностями школьной программы будет проще со сборником ГДЗ по русскому языку за 4 класс от Крыловой

Задача курса в этот период состоит в том, чтобы:

  • закрепить у ученика знания, полученные в прошлые годы;
  • научить его грамотно излагать свои мысли;
  • составлять рассказы;
  • а также определять правильность постановки знаков препинания.

Программа, как и всегда, весьма обширна, чтобы детям усвоить все способы передачи речи, может понадобиться дополнительная поддержка онлайн-решебника. Вот с какими разделами предстоит познакомиться детям в этом году:

  • виды предложений по цели высказывания и по интонации;
  • предложение как единица речи. Виды предложений по цели высказывания;
  • запятая между однородными членами, соединёнными союзами;
  • лексическое значение слова;
  • синонимы, антонимы. Омонимы.

Как видно, в курсе непростая и объемная программа. Поэтому решебник по дисциплине будет очень востребованным, ведь орфография и особенно пунктуация часто бывают слишком сложными для ребенка. Многие параграфы оформлены таким образом, чтобы школьник смог повторить пройденный материал. Такой подход необходим, ведь ученики к концу учебного года совсем забывают то, что учили в самом начале. А онлайн-пособие показывает несколько способов решения одного и того же номера. Это поможет вашему ребенку думать многогранно и найти способ решения, до которого не догадался бы другой.

Многие пользователи советуют с первых дней включать онлайн-решебник по р.

я. за четвертый год Крылова в процесс обучения

Система представленного онлайн-пособия создана таким образом, что в ней совмещаются повторяющиеся правила – тем самым уменьшается объем работы. Кроме собственно выполненных тренировочных номеров в ГДЗ приводятся творческие задания, которые можно взять за образец. С помощью онлайн-сборника их без проблем удастся решить, что позволит достичь высоких оценок по предмету. Но работать с решебником нужно правильно, не стоит бездумно списывать готовые образцы из справочника в тетрадь. Если стараться решать задачу самостоятельно, то будет проще её понять. Это наверняка пригодится во время написания тестовой или проверочной работы.

Страница не найдена

Новости

20 июн

Госдепартамент США выделит $200 тыс. на создание для грузинской молодёжи анимационных сериалов на тему медиаграмотности. Как следует из описания соответствующего гранта, в рамках этой инициативы американская сторона планирует, в частности, развить у жителей республики навыки «критического мышления». RT ознакомился с документом.

19 июн

В Минпросвещения рекомендовали российским преподавателям в школах сделать прививку от коронавирусной инфекции, но при этом вакцинация данной категории граждан пока будет по-прежнему производиться на добровольной основе.

18 июн

В Москве принято решение отменить Всероссийский выпускной бал, который должен был пройти в Государственном Кремлёвском дворце.

18 июн

Образовательные центры «Точка роста» появятся во всех сельских школах Московской области, рассказала заместитель председателя правительства региона Ирина Каклюгина. Их откроют в период до 2025 года.

17 июн

И. о. министра просвещения и воспитания Ульяновской области Наталья Семёнова доложила врио губернатора Алексею Русских о первых итогах ЕГЭ.

17 июн

По итогам ЕГЭ по литературе, химии и географии в Курганской области определили первых выпускников, получивших по 100 баллов.

17 июн

Председатель комитета Совета Федерации по науке, образованию и культуре Лилия Гумерова прокомментировала RT идею вернуть уроки ПДД в российские школы.

ГДЗ: Русский язык 4 класс Крылова

Русский язык 4 класс

Тип: Тетрадь для контрольных работ

Авторы: Крылова

Издательство: Экзамен

Кому сложнее – преподавателю или ученикам

Существуют люди, которые задают такой вопрос. Но, как правило, определённого ответа они на него не получают. Потому что всем одинаково тяжело. Хотя иногда происходят немного другие ситуации. Так, например, преподаватель начальных классов может быть очень хорошим человеком, стать прямо-таки другом для детей из его класса, но не уметь преподавать русский язык. Четвероклассник же может отлично разбираться в математике, но совершенно ничего не смыслить в гуманитарных науках. Ситуации могут быть совершенно разными. И эти проблемы нужно решать. Если четвероклассникам с решением таких неприятных случаев могут помочь родители, то преподавателю начальных классов никто протянуть руку помощи не может. Ему нужно будет решать всё самому.

Как облегчить жизнь преподавателю

Зачастую учителям приходится самостоятельно составлять контрольные и самостоятельные работы для своих учеников. Это довольно-таки сложное и трудоёмкое занятие. Но теперь он может забыть о долгих часах, проведённых за составлением работ. Сейчас он может просто отправиться в ближайший книжный магазин, и приобрести там «Русский язык 4 класс Тетрадь для контрольных работ Крылова к учебнику Канакиной». Издательский дом «Экзамен».

Как помочь ученику сделать обучение в школе легче

Существует несколько способов:

  • Занятия с репетитором;
  • Работа на специализированных курсах;
  • Занятия вместе с родителями;
  • Индивидуальные и групповые занятия в школе;
  • ГДЗ по русскому языку 4 класс Канакина.

Последний способ стал пользоваться популярностью с недавних пор. Он отличается эффективностью. И воспользоваться им четвероклассник сможет в любое время суток совершенно бесплатно, просто зайдя на сайт этого

онлайн-решебника.

ГДЗ Русский язык 4 класс Крылова

Многие думают, что русский язык им не понадобится, но они глубоко ошибаются, так как русский язык используется всеми жителями России, а также для того, чтобы понимать друг друга и грамотно излагать свои мысли. Он может пригодится в каких-то профессиях, будет полезен даже на конференциях и собеседованиях. Некоторые школьники считают, что этот предмет в школе им совсем не нужен, поэтому отказываются учиться. В учебных заведениях учителя дают домашнее задание в контрольных или рабочих тетрадях. Ученики могут не понять какую-нибудь тему и не сделать определенное задание или упражнение. Для этого есть решебники тетрадей русского языка, которые заметно упростят учащимся учебу. Если ребенок думает, что ГДЗ решит всё за него, то он ошибается, потому что даже с готовыми ответами не стоит лениться и свою задачу сбрасывать на него. Решебник к учебнику Канакиной «Русский язык. Тетрадь для контрольных работ 4 класс» Крылова, от издательства «Экзамен», 2015 г. поможет справится даже с самыми сложными заданиями.

Что в него входит

Две части этого решебника содержат ответы к упражнениям, решая которые четвероклассник сможет улучшить свои навыки и знания русского языка. Тетрадь поделена на уровни сложности: первый — легкий, второй — средний, хотя для кого-то он может показаться сложным, и третий — настолько сложный, что его не могут решить даже некоторые взрослые люди. Но для четвертого класса даже средний уровень сложности может показаться не очень легким и они просто его не сделают.

Для чего он нужен

Русский язык это трудный предмет и многие могут не понять его. Решебник поможет понять этот непростой предмет и хорошенько выучить его. И многие могут подняться с двоечника до отличника с этим решебником. В первую очередь ГДЗ нужно не для того, чтобы просто списать, но и для того, чтобы понять задание.

Русский язык. Контрольные работы в 2-х частях. 4 класс. Крылова

Выберите категорию:

Все Выпускникам начальной школы » Дипломы » Медали » Ленты » Розетки » Грамоты Всероссийская проверочная работа » Математика » Русский язык » Литературное чтение » Окружающий мир Канцелярия » Бумага А4 » Для творчества » Дидактический материал » Прочая канцелярия Развивающая литература » Математика » Русский язык » Литературное чтение » Окружающий мир » Хрестоматия УМК «Школа России».

Просвещение, Экзамен, ВАКО » Математика » Русский язык » Литературное чтение » Окружающий мир » Технология » ИЗО » Азбука » Информатика » Музыка » Обучение грамоте » Чистописание УМК «Начальная школа XXI век». Вентана-Граф » Математика » Русский язык » Литературное чтение » Окружающий мир » Технология » ИЗО УМК «Перспективная начальная школа». Академкнига » Математика » Русский язык » Литературное чтение » Окружающий мир » Технология » ИЗО » Азбука » Информатика и ИКТ » Технология УМК «Планета знаний».
Дрофа-АСТ » Математика » Русский язык » Литературное чтение » Окружающий мир » Букварь УМК «Занкова». Федоров » Математика » Русский язык » Литературное чтение » Окружающий мир УМК «Перспектива». Просвещение » Математика » Русский язык » Литературное чтение » Окружающий мир » Информатика » Технология » ИЗО » Пропись УМК «Гармония». Ассоциация XXI век » Математика » Русский язык » Литературное чтение » Окружающий мир » Пропись Стенды » Классные уголки » Обучающие плакаты » Лента букв и цифр Иностранные языки » 1 класс » 2 класс » 3 класс » 4 класс Портфолио

Производитель:

ВсеАбрисАкадемкнигаАссоциация 21 векБином (ЛБЗ)ВАКОВентана-ГрафДрофаМ-КНИГАПланетаПросвещениеРосмэнРоссийский учебникРОСТКНИГАРусское словоСтрекозаУчительФедоровФеникс +ЭкзаменЭксмо

Русский язык.

4 класс. КИМ — Крылова О.Н. | 5-377-16611-5 Стоимость товара может отличаться от указанной на сайте!
Наличие товара уточняйте в магазине или по телефону, указанному ниже.

г. Воронеж, площадь Ленина, д.4

8 (473) 277-16-90

г. Воронеж, ул. Маршака, д.18А

8 (473) 231-87-02

г. Липецк, пл.Плеханова, д. 7

8 (4742) 47-02-53

г. Воронеж, ул. Г. Лизюкова, д. 66 а

8 (473) 247-22-55

г. Воронеж, ул. Плехановская, д. 33

8 (473) 252-57-43

г. Воронеж, ул. Ленинский проспект д.153

8 (473) 223-17-02

г. Нововоронеж, ул. Ленина, д.8

8 (47364) 92-350

г. Воронеж, ул. Хользунова, д. 35

8 (473) 246-21-08

г. Россошь, пр. Труда, д. 26А

8 (47396) 5-28-07

г. Лиски, ул. Коммунистическая, д.7

8 (47391) 2-22-01

г. Белгород, Бульвар Народный, 80б

8 (4722) 42-48-42

г. Курск, пр. Хрущева, д. 5А

8 (4712) 51-91-15

г. Губкин, ул. Дзержинского,д. 115

8 (47241) 7-35-57

г.Воронеж, ул. Жилой массив Олимпийский, д.1

8 (473) 207-10-96

г. Воронеж, ул.Челюскинцев, д 88А

8 (4732) 71-44-70

г. Старый Оскол, ул. Ленина, д.22

8 (4725) 23-38-06

г. Воронеж, ул. Ростовская, д,58/24 ТЦ «Южный полюс»

8 (473) 280-22-42

г. Воронеж, ул. Пушкинская, 2

8 (473) 300-41-49

г. Липецк, ул.Стаханова,38 б

8 (4742) 78-68-01

г. Курск, ул.Карла Маркса, д.6

8 (4712) 54-09-50

г.Старый Оскол, мкр Олимпийский, д. 62

8 (4725) 39-00-10

г. Воронеж, Московский пр-т, д. 129/1

8 (473) 269-55-64

ТРЦ «Московский Проспект», 3-й этаж

г. Курск, ул. Щепкина, д. 4Б

8 (4712) 73-31-39

▶▷▶ гдз контрольная работа по русскому языку 4 класс крылова 2 часть

▶▷▶ гдз контрольная работа по русскому языку 4 класс крылова 2 часть

гдз контрольная работа по русскому языку 4 класс крылова 2 часть — Yahoo Search Results Yahoo Web Search Sign in Mail Go to Mail» data-nosubject=»[No Subject]» data-timestamp=’short’ Help Account Info Yahoo Home Settings Home News Mail Finance Tumblr Weather Sports Messenger Settings Yahoo Search query Web Images Video News Local Answers Shopping Recipes Sports Finance Dictionary More Anytime Past day Past week Past month Anytime Get beautiful photos on every new browser window Download ГДЗ Контрольные работы по русскому языку 4 класс Крылова к ieurokiru/kontrolnye-raboty-po-russkomu-yazyku- 4 -klass Cached Еще одна тетрадь Крыловой по русскому языку с контрольными работами за 4 класс , но на этот раз к конкретному учебнику в двух частях — В П Канакиной, В Г Горецкого ГДЗ контрольные работы по русскому языку 4 класс Крылова к botanamnet › … › 4 класс › Русский язык Подробный решебник ГДЗ к контрольным работам по русскому языку 4 класс Крылова ОН 2015, онлайн ответы на домашнюю работу ГДЗ : Решебник по Русскому языку за 3 класс : Контрольные yougdzcom/exesizephp?id=161 Cached ГДЗ : Решебник по Русскому языку за 3 класс : Контрольные работы Крылова ОН Контрольные работы по русскому языку 4 класс В 2 ч к allengorg/d/rusl/rusl756htm Cached Контрольные работы по русскому языку 4 класс В 2 ч к учебнику Канакиной ВП, Горецкого ВГ Контрольные работы по русскому языку 2 класс Крылова ГДЗ spishime › … › 2 класс › Русский язык Решебник по русскому языку за 2 класс автора Крыловой ОН 2014 года издания Учебное пособие содержит ответы к 11 тестам, разработанные варианты решений на контрольные и тренировочные работы Контрольные работы по русскому языку часть 2 для 4 класса к wwwyangteacherru › … › Русский язык Читать онлайн: Контрольные работы по русскому языку часть 2 для 4 класса к учебнику Канакиной, Крылова Предыдущая статья Контрольные работы по русскому языку часть 1 для 4 класса к учебнику ГДЗ : Решебник по Русскому языку 4 класс : Контрольные работы yougdzcom/exesizephp?id=173 Cached ГДЗ » Русский язык 4 класс » ГДЗ : Решебник по Русскому языку 4 класс : Контрольные работы Крылова ОН В избранное ГДЗ Контрольные работы по русскому языку 2 класс Крылова ieurokiru/kontrolnye-raboty-po-russkomu-yazyku- 2 -klass Cached Перед вами решебник по русскому языку за 2 класс начальной школы к тетради контрольных работ ( часть 1 и 2 ) автора Крылова ГДЗ решебник по русскому языку 2 класс тетрадь для gdzputinaco › … › Русский язык ГДЗ по русскому языку за 2 класс автора Романовой ВЮ 2017 года издания Тетрадь для контрольных работ предусматривает готовые ответы к тестам, текстам для списывания и прочее ГДЗ решебник по русскому языку 2 класс КИМ Крылова gdzputinaco › … › Русский язык ГДЗ по русскому языку за 2 класс автора Крыловой ОН 2014 года издания Данное пособие по объему достаточно большое и состоит из 2 -х основных частей Promotional Results For You Free Download | Mozilla Firefox ® Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 28,700 results Settings Help Suggestions Privacy (Updated) Terms (Updated) Advertise About ads About this page Powered by Bing™

гдз контрольная работа по русскому языку 4 класс крылова 2 часть — Все результаты ГДЗ по русскому языку 4 класс Крылова (контрольные работы к Представляем вам пособие с ответами для тетради контрольных работ русского языка за 4 класс по учебнику Канакиной Все решебники от сайта ГДЗ контрольные работы по русскому языку 4 класс Крылова к › Решебники › 4 класс › Русский язык ГДЗ контрольные работы по русскому языку 4 класс Крылова к учебнику « Части речи», «Правописание безударных падежных окончаний имён ГДЗ контрольные работы по русскому языку 4 класс Крылова › Решебники › 4 класс › Русский язык Онлайн ответы из рабочей тетради по русскому языку за 4 класс автора Крыловой ОН 2016 года издания ГДЗ состоит из двух частей В первой части ГДЗ Контрольные работы по русскому языку 4 класс Крылова к ieurokiru › 4 класс › Русский язык 4 класс Похожие Решения тетради № 1 контрольных работ по русскому языку 4 класс автора Крылова к учебнику Канакиной ГДЗ по русскому языку 4 класс Крылова контрольные работы к newgdznet/gdz/4-klass/category/krylova-kontrolnye-raboty-k-uchebniku-kanakinoj-4 Ответы на домашние задания по русскому языку за 4 класс Крылова в 2 -х частях Контрольные работы к учебнику Канакиной смотреть онлайн ГДЗ контрольные работы по русскому языку 4 класс часть 1, 2 › Русский › 4 класс Решебник по русскому языку за 4 класс авторы Крылова К учебнику Канакиной издательство Экзамен ГДЗ по русскому языку 4 класс Крылова контрольные работы › 4 класс › Русский язык Решебник по русскому языку за 4 класс автора Крыловой ОН 2014 года издания Предлагаемое пособие состоит из подробно разобранных ГДЗ по Русскому языку 4 класс Крылова Тетрадь для контрольных › ГДЗ › 4 класс › Русский язык Похожие Быстро списать ГДЗ по Русскому языку 4 класс Крылова Тетрадь для контрольных работ часть 1 к учебнику Канакиной 2017 год Крылова ОН Контрольные работы по русскому языку 4 класс › › Контроль результатов освоения программы К учебнику Канакиной ВП, Горецкого ВГ Русский язык 4 класс В 2 ч Крылова ОН Контрольные работы по русскому языку 4 класс Часть 2 Контрольные работы по рус языку 4 класс Ч 1: к учебнику ВП › › 4 класс › Русский язык Купить Крылова Ольга Николаевна « Контрольные работы по рус языку 4 Ч 1: к учебнику ВП Канакиной, ВГ Горецкого » Русский язык 4 класс В 2 ч Контрольные работы по русскому языку 4 класс Часть 2 К 60,00 ₽ — ‎В наличии Купить книгу « Контрольные работы по русскому языку 4 класс Часть 2 К учебнику ВП Канакиной, ВГ Горецкого ФГОС» ( Крылова ОН) в Контрольные работы по русскому языку 4 класс В 2 ч к учебнику allengorg/d/rusl/rusl756htm Скачать: Контрольные работы по русскому языку 4 класс В 2 ч к учебнику Канакиной ВП, Горецкого ВГ — Крылова ОН (pdf) Правописание безударных падежных окончаний имён существительных во множественном числе 90 ЧАСТЬ 2 Предисловие 4 Имя прилагательное ГДЗ по русскому языку Контрольные работы по рус языку 4 класс Ч 2: к учебнику ВП › › 4 класс › Русский язык Купить Крылова Ольга Николаевна « Контрольные работы по рус языку 4 Тихомирова Елена Михайловна Тесты по русскому языку 4 класс В 2 ч Картинки по запросу гдз контрольная работа по русскому языку 4 класс крылова 2 часть «id»:»KyEUh4FGMl99vM:»,»ml»:»592″:»bh»:90,»bw»:62,»oh»:1032,»ou»:» «,»ow»:700,»pt»:»ieurokiru/gdzimg/4-klass/russkij-yazyk/krylova-te»,»rh»:»ieurokiru»,»rid»:»CtZLI5YMOQnv8M»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»ГДЗ от Путина»,»th»:101,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcRybbcTXST6pYZ17hho5ieKq8moOd2hDcZCbOPTePnfvbt9I6U2zUWpwVQ»,»tw»:69 «id»:»2ohxJPJwki3K8M:»,»ml»:»592″:»bh»:90,»bw»:64,»oh»:998,»ou»:» «,»ow»:700,»pt»:»ieurokiru/gdzimg/4-klass/russkij-yazyk/krylova-te»,»rh»:»ieurokiru»,»rid»:»yRKq4xuxn8bmhM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»ГДЗ от Путина»,»th»:100,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcTnu7iw9eCPWa9LvlvIvfHmDsdvM1RmzLlVN0brplJ44_cJpFZwa74zzSg»,»tw»:70 «id»:»-B2JBGfcZBVz0M:»,»ml»:»592″:»bh»:90,»bw»:62,»oh»:1025,»ou»:» «,»ow»:700,»pt»:»ieurokiru/gdzimg/4-klass/russkij-yazyk/krylova-te»,»rh»:»ieurokiru»,»rid»:»CtZLI5YMOQnv8M»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»ГДЗ от Путина»,»th»:101,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcTLeNHAkh6m2Jobp0X6LNXwUEXi_7HKPGVagw7jLf-uAGX_GtYZPdB4gA»,»tw»:69 «id»:»0HpO0mpk3dMoHM:»,»ml»:»592″:»bh»:90,»bw»:62,»oh»:1026,»ou»:» «,»ow»:700,»pt»:»gramoteycom/gdzimg/4klass/russian/krylova-tetrad-«,»rh»:»gramoteycom»,»rid»:»YnSoiv8IfVBJpM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»Gramoteycom»,»th»:101,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcTLv6AjA0TEyRoK6vc2izsebcgRNDaTitAIrh9RWwrZ2k0KFh57k9aIQ4M»,»tw»:69 «id»:»8FZypKj2P-0U6M:»,»ml»:»592″:»bh»:90,»bw»:62,»oh»:1029,»ou»:» «,»ow»:700,»pt»:»ieurokiru/gdzimg/4-klass/russkij-yazyk/krylova-te»,»rh»:»ieurokiru»,»rid»:»CtZLI5YMOQnv8M»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»ГДЗ от Путина»,»th»:101,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcSXRQ0wciN61yGyH_7Ms4F_Kv55bkjSsK5zKuVWsCXvlvqEoOr14e66Tg»,»tw»:69 «id»:»4TAO1GJueez1ZM:»,»ml»:»592″:»bh»:90,»bw»:77,»oh»:827,»ou»:» «,»ow»:700,»pt»:»gramoteycom/gdzimg/4klass/russian/krylova-tetrad-«,»rh»:»gramoteycom»,»rid»:»YnSoiv8IfVBJpM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»Gramoteycom»,»th»:91,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcTYMXUdTDJ8IyTHpCtpas_ApymKunmVJsPfINQw5zLi-g_I6xbrzPZLGJU»,»tw»:77 «id»:»7bOzsKiGIgjVjM:»,»ml»:»592″:»bh»:90,»bw»:64,»oh»:998,»ou»:» «,»ow»:700,»pt»:»ieurokiru/gdzimg/4-klass/russkij-yazyk/krylova-te»,»rh»:»ieurokiru»,»rid»:»yRKq4xuxn8bmhM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»ГДЗ от Путина»,»th»:100,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcQaC4KRf4hiRc0M9GuZHnTWZsKw4kdnAuhO639lDOgqD0IqikJDqCU-WaA»,»tw»:70 «id»:»_k00qXwKdavCRM:»,»ml»:»592″:»bh»:90,»bw»:63,»oh»:870,»ou»:» «,»ow»:598,»pt»:»wwweurokiorg/system/books/covers/000/004/389/thu»,»rh»:»eurokiorg»,»rid»:»ksjnSJWqUjqzEM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»th»:100,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcTIsdC4b06P2rFKyOmeX5z0NP1Epd5_hTaUW1FFuTITwlOLPWBFpg4AJg»,»tw»:69 «id»:»lazYuL38vBxN9M:»,»ml»:»592″:»bh»:90,»bw»:60,»oh»:998,»ou»:» «,»ow»:700,»pt»:»ieurokiru/gdzimg/4-klass/russkij-yazyk/krylova-te»,»rh»:»ieurokiru»,»rid»:»yRKq4xuxn8bmhM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»ГДЗ от Путина»,»th»:100,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcSVWsNL6wpRFfAJgHgZ3D4xx1p8avLCIyXYmOcLtd0_9dTrbFQOzlWGIg»,»tw»:70 Другие картинки по запросу «гдз контрольная работа по русскому языку 4 класс крылова 2 часть» Жалоба отправлена Пожаловаться на картинки Благодарим за замечания Пожаловаться на другую картинку Пожаловаться на содержание картинки Отмена Пожаловаться Все результаты Книга: «Русский язык 4 класс Контрольные работы к учебнику В › › Русский язык › Русский язык (5-9 классы) Книга: Русский язык 4 класс Контрольные работы к учебнику В Канакиной, В Горецкого Часть 2 ФГОС Автор: Ольга Крылова Аннотация, отзывы Контрольные работы по русскому языку 4 класс Часть 1 К Похожие Рейтинг: 10/10 — ‎1 голос 4 класс Часть 1 К учебникам ВП Канакиной и др «Рус яз 4 кл В 2 ч» К тайнам нашего языка 4 кл В 2 ч» ТГ Рамзаевой» ( Крылова О) по низкой цене Универсальные контрольные работы по русскому языку составлены с Решебник ГДЗ Чтение Работа с текстом 4 класс Крылова гдз-классрф/load/1_4_klass/literatura/gdzrabota4_klass_krylova/147-1-0-2324 14 сент 2018 г — ГДЗ Литература 1- 4 класс Крылова ГДЗ Чтение Работа с текстом 4 класс Крылова 2 tyrysov80 • 08:42, 10022017 класс Крылова · ГДЗ Русский язык контрольные работы 1 класс Крылова , Канакина, Горецкий Русский язык 4 класс Контрольные работы Часть 2 Ольга — Ozon › Книги › Учебная литература › Иностранные языки Русский язык 4 класс Зачетные работы К учебнику В П Канакиной, В Г Горецкого В 2 частях 77 руб Русский язык 3 класс Контрольные работы В 2 частях Часть 2 К учебнику В П Канакиной, В Г Горецкого О Н Крылова Не найдено: гдз Контрольные работы по русскому языку 1 класс Часть 2 — О Н языку 1 класс Часть 2 » О Н Крылова , «Экзамен», 2014 г Контрольные работы по русскому языку 1 класс Часть 2 ISBN: 978-5-377-07216- 4 Крылова ОН Контрольные работы по русскому языку 2 класс 1 22 апр 2017 г — Крылова ОН Контрольные работы по русскому языку 2 класс 1 часть онлайн Электронная тетрадь по математике 4 Математика 1 Контрольные работы по русскому языку 4 класс: Крылова ОН ruscopybookcom › Русский язык › Учебники по русскому языку 4 класс Похожие Предмет: русский язык Форма: контрольные работы К учебнику: Канакиной ВП, Горецкого ВГ « Русский язык 4 класс в 2 -х частях» Часть : 1 и 2 Класс: Видео 12:17 Литературное Чтение Работа с текстом 4 класс с Ответами!!! Тестовичок YouTube — 25 мар 2018 г 15:05 Окружающий мир 4 класс Тесты с ответами!!! Тестовичок YouTube — 16 окт 2017 г 4:10 Упражнение 267 — Русский язык 4 класс (Канакина, Горецкий) Часть 2 UrokiTV YouTube — 23 мар 2016 г Все результаты Контрольные работы по русскому языку, 4 класс, Часть 2, Крылова › Экзамены › Экзамены по Русскому Языку 18 мар 2018 г — Скачать бесплатно pdf, djvu и купить бумажную книгу: Контрольные работы по русскому языку , 4 класс , Часть 2 , Крылова ОН, 2016 КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО РУССКОМУ ЯЗЫКУ 1 КЛАСС К wwwexamenbiz/kontrol_nye_raboty_po_russkomu_yazyku_1_klass_k_uchebnikam КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО РУССКОМУ ЯЗЫКУ 1 КЛАСС К учебникам В П Канакиной, В Г Горецкого » Русский язык Автор: Крылова ОН Крылова О Н Чтение Работа с текстом 2 класс | Волжский класс volzsky-klassru/krylova-o-n-chtenie-rabota-s-tekstom-2-klass/ Рейтинг: 4,1 — ‎246 голосов 19 мар 2017 г — Крылова О Н Чтение Работа с текстом 2 класс М: Экзамен, 2017 Вариант 1 (с Русский язык 1 класс · 2 класс Вариант 4 (с Контрольные работы по русскому языку 4 класс Часть 2 К shkolarossiiru/1147 4 класс Часть 2 К учебнику ВП Канакиной, ВГ Горецкого ФГОС Крылова О Н Контрольные работы по русскому языку 4 класс Часть 2 60 Купить Смотреть ГДЗ Чтение Работа с текстом 4 класс Крылова всегдзрф/load/4_klass/literatura/gdz_chtenie_rabota4_klass_krylova/40-1-0-255 25 нояб 2016 г — ГДЗ Чтение Работа с текстом 4 класс Крылова 3 класс Крылова · ГДЗ Контрольные Русский язык 2 класс Канакина, Крылова · ГДЗ Диктантыру – сборник диктантов Сборник диктантов по русскому языку для учеников 1-11 классов и абитуриентов Данный сборник Его разрезают на три части и дают высохнуть Чтение Работа с текстом 4 класс ФГОС — Молодая Гвардия 2 класс Литературное чтение ТТЗ ФГОС (типовые тестовые задания) Крылова ОН Контрольные работы по русскому языку 4 класс Часть 1 Контрольные работы по русскому языку 2 класс В 2 частях К Контрольные работы по русскому языку 2 класс В 2 частях К учебнику язык, Итоговая аттестация, 2 класс, Типовые тестовые задания, Крылова О Мобильный LiveInternet Переходим в 4 класс | Svetlana-sima — Дневник Контрольные работы по Русскому языку 1 класс Крылова ОН | В Контрольные работы по русскому языку 1 класс В 2 частях К учебнику ПО ВСЕМ ТЕМАМ КУРСА НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ — 1- 4 КЛАСС 1 ЧАСТЬ Контрольные работы по русскому языку 4 класс Крылова ГДЗ › ГДЗ › 4 класс › Русский язык ГДЗ по русскому языку за 4 класс автора Крыловой ОН 2015 года издания Учебный комплект насчитывает 90 страниц и делится на 2 части , включая Гдз крылова контрольные работы — wildorchidsru wildorchidsru/gdz-krilova-kontrolnie-rabotihtml ГДЗ по русскому языку 4 класс к контрольным работам Крылова , онлайн В П, Горецкого ВГ Русский язык 2 класс В 2 -х частях М: Экзамен, 2014 80 Русскому языку 4 класс Крылова Тетрадь для контрольных работ часть 1 к ГДЗ решебник по русскому языку 3 класс контрольные работы › 1-4 класс › Русский язык ГДЗ решебник по русскому языку 3 класс контрольные работы Крылова ГДЗ / 1- 4 класс / Русский язык / контрольные работы Крылова Канакина контрольная работа по русскому языку 4 класс 2 часть крылова gujeaxosemen/3251php 12 мая 2018 г — Корешкова ( часть 2 ) ГДЗ решебник по русскому языку 4 класс контрольные работы Крылова к учебнику Канакиной «Правописание гдз ответы на контрольные работы по русскому языку 4 класс гдз ответы на контрольные работы по русскому языку 4 класс крылова Гдз по русскому языку земский крючков светлаев часть 2 онлайн ключ на zd Пояснения к фильтрации результатов Мы скрыли некоторые результаты, которые очень похожи на уже представленные выше (49) Показать скрытые результаты В ответ на официальный запрос мы удалили некоторые результаты (1) с этой страницы Вы можете ознакомиться с запросом на сайте LumenDatabaseorg Вместе с гдз контрольная работа по русскому языку 4 класс крылова 2 часть часто ищут контрольные работы по русскому языку 4 класс 2 часть контрольные работы по русскому языку 4 класс ответы контрольные работы по русскому языку 4 класс крылова скачать контрольные работы по русскому языку 2 класс крылова решебник тетрадь для контрольных работ по русскому языку 4 класс ответы романова петленко контрольные работы по русскому языку крылова 3 класс проверочные и контрольные работы по русскому языку 4 класс ответы гдз контрольные работы по русскому языку 1 класс крылова Ссылки в нижнем колонтитуле Россия — Подробнее… Справка Отправить отзыв Конфиденциальность Условия Аккаунт Поиск Карты YouTube Play Новости Почта Контакты Диск Календарь Google+ Переводчик Фото Ещё Документы Blogger Hangouts Google Keep Подборки Другие сервисы Google

% PDF-1. 6 % 4 0 obj > эндобдж 7 0 объект (Список рисунков) эндобдж 8 0 объект > эндобдж 11 0 объект (Список списков исходного кода MATLAB) эндобдж 12 0 объект > эндобдж 15 0 объект (Глоссарий) эндобдж 16 0 объект > эндобдж 19 0 объект (1. Введение) эндобдж 20 0 объект > эндобдж 23 0 объект (1.1 Краткая мотивация редукции модели) эндобдж 24 0 объект > эндобдж 27 0 объект (1.2 Цели диссертации и обзор) эндобдж 28 0 объект > эндобдж 31 0 объект (1.2.1 Цели и классификация) эндобдж 32 0 объект > эндобдж 35 0 объект (1.2.2 Почему линейные инвариантные во времени модели ?!) эндобдж 36 0 объект > эндобдж 39 0 объект (1.2.3 Схема) эндобдж 40 0 объект > эндобдж 43 0 объект (1.2.4 Признание зарубежных научных вкладов) эндобдж 44 0 объект > эндобдж 47 0 объект (1.2.5 Перечень исходного кода MATLAB) эндобдж 48 0 объект > эндобдж 51 0 объект (1.2.6 Примеры тестов) эндобдж 52 0 объект > эндобдж 55 0 объект (2 предварительных) эндобдж 56 0 объект > эндобдж 59 0 объект (2.1 Основы теории систем LTI) эндобдж 60 0 объект > эндобдж 63 0 объект (2. 1.1 модели пространства состояний) эндобдж 64 0 объект > эндобдж 67 0 объект (2.1.2 Передаточная функция и импульсная характеристика) эндобдж 68 0 объект > эндобдж 71 0 объект (2.1.3 Управляемость, наблюдаемость и минимальные реализации) эндобдж 72 0 объект > эндобдж 75 0 объект (2.1.4 Инвариантные нули) эндобдж 76 0 объект > эндобдж 79 0 объект (2.1.5 Системные нормы и грамиановые матрицы) эндобдж 80 0 объект > эндобдж 83 0 объект (2.1.6 Пропускные системы) эндобдж 84 0 объект > эндобдж 87 0 объект (2.2 \ (Строгая \) диссипативность и матричная мера) эндобдж 88 0 объект > эндобдж 91 0 объект (2.2.1 Основные результаты) эндобдж 92 0 объект > эндобдж 95 0 объект (2.2.2 Обобщение на симметричный положительно определенный E) эндобдж 96 0 объект > эндобдж 99 0 объект (2.2.3 Свойства и поиск строго диссипативных реализаций) эндобдж 100 0 объект > эндобдж 103 0 объект (2.2.4 Вычисление матричной меры) эндобдж 104 0 объект > эндобдж 107 0 объект (2.3 Проективный MOR) эндобдж 108 0 объект > эндобдж 111 0 объект (2.3.1 Приближение Петрова-Галеркина) эндобдж 112 0 объект > эндобдж 115 0 объект (2.3.2 Модель ошибок и нормы ошибок) эндобдж 116 0 объект > эндобдж 119 0 объект (2.3.3 Свойства инвариантности) эндобдж 120 0 объект > эндобдж 123 0 объект (2.4 Современное состояние и формулировка проблемы) эндобдж 124 0 объект > эндобдж 127 0 объект (2.4.1 Общие цели и задачи) эндобдж 128 0 объект > эндобдж 131 0 объект (2.4.2 Некоторые методы сокращения выбранных моделей) эндобдж 132 0 объект > эндобдж 135 0 объект (3 модели редукции на основе уравнений Сильвестра) эндобдж 136 0 объект > эндобдж 139 0 объект (3.1 Историческое замечание: Multipoint-Pad \ 351, Рациональные уравнения Крылова и Сильвестра) эндобдж 140 0 объект > эндобдж 143 0 объект (3.2 Проективный MOR и уравнения Сильвестра) эндобдж 144 0 объект > эндобдж 147 0 объект (3.2.1 Преобразования уравнений Сильвестра) эндобдж 148 0 объект > эндобдж 151 0 объект (3.2.2 Частные уравнения Сильвестра) эндобдж 152 0 объект > эндобдж 155 0 объект (3.2.3 Связанные методы сокращения модели) эндобдж 156 0 объект > эндобдж 159 0 объект (3.2.4 Важные свойства) эндобдж 160 0 объект > эндобдж 163 0 объект (3.2.5 Разумная реализация) эндобдж 164 0 объект > эндобдж 167 0 объект (3.3 Новая формулировка уравнения Сильвестра) эндобдж 168 0 объект > эндобдж 171 0 объект (3.4 Экскурс: Решение линейных систем уравнений) эндобдж 172 0 объект > эндобдж 175 0 объект (3.5 Как выбрать точки расширения?) эндобдж 176 0 объект > эндобдж 179 0 объект (Уменьшение модели на 3,6 ч3) эндобдж 180 0 объект > эндобдж 183 0 объект (3.6.1 Краткий обзор) эндобдж 184 0 объект > эндобдж 187 0 объект (3.6.2 Определение локальной h3-оптимальности и псевдооптимальности) эндобдж 188 0 объект > эндобдж 191 0 объект (3.6.3 Итерационный рациональный алгоритм Крылова \ (IRKA \)) эндобдж 192 0 объект > эндобдж 195 0 объект (3.6.4 Алгоритмы спуска) эндобдж 196 0 объект > эндобдж 199 0 объект (3.6.5 Псевдооптимальный рациональный Крылов \ (PORK \)) эндобдж 200 0 объект > эндобдж 203 0 объект (3.7 Выводы и открытые проблемы) эндобдж 204 0 объект > эндобдж 207 0 объект (4 CURE: схема кумулятивного сокращения) эндобдж 208 0 объект > эндобдж 211 0 объект (4.1 Современное состояние) эндобдж 212 0 объект > эндобдж 215 0 объект (4.2 Факторизованная формулировка системы ошибок) эндобдж 216 0 объект > эндобдж 219 0 объект (4.2.1 Мотивация) эндобдж 220 0 объект > эндобдж 223 0 объект (4.2.2 Факторизация на основе уравнения Сильвестра) эндобдж 224 0 объект > эндобдж 227 0 объект (4.2.3 Свойства, особые случаи и особенности) эндобдж 228 0 объект > эндобдж 231 0 объект (4.3 Уменьшение порядка адаптивной модели) эндобдж 232 0 объект > эндобдж 235 0 объект (4.3.1 Итеративная факторизация ошибок) эндобдж 236 0 объект > эндобдж 239 0 объект (4.3.2 Реализация) эндобдж 240 0 объект > эндобдж 243 0 объект (4.3.3 Свойства) эндобдж 244 0 объект > эндобдж 247 0 объект (4.3.4 ЗАВЕРШЕННАЯ ИРКА) эндобдж 248 0 объект > эндобдж 251 0 объект (4.4 SPARK: сохраняющий стабильность адаптивный рациональный алгоритм Крылова) эндобдж 252 0 объект > эндобдж 255 0 объект (4.4.1 Расчет сдвигов на основе оптимизации) эндобдж 256 0 объект > эндобдж 259 0 объект (4.4.2 Расширенный состав SPARK) эндобдж 260 0 объект > эндобдж 263 0 объект (4.4.3 Аналитический градиент и гессиан) эндобдж 264 0 объект > эндобдж 267 0 объект (4.4.4 Ускорение за счет функции модели) эндобдж 268 0 объект > эндобдж 271 0 объект (4.4.5 Предварительная подготовка и дальнейшие численные аспекты) эндобдж 272 0 объект > эндобдж 275 0 объект (4.5 Обобщение MESPARK на системы MIMO) эндобдж 276 0 объект > эндобдж 279 0 объект (5 Строгая оценка погрешности в методах подпространства Крылова) эндобдж 280 0 объект > эндобдж 283 0 объект (5.1 Современное состояние) эндобдж 284 0 объект > эндобдж 287 0 объект (5.2 Использование факторизации системы ошибок) эндобдж 288 0 объект > эндобдж 291 0 объект (5.3 Граница глобальной ошибки h3 для систем в строго диссипативной реализации) эндобдж 292 0 объект > эндобдж 295 0 объект (5.3.1 Верхняя граница нормы h3) эндобдж 296 0 объект > эндобдж 299 0 объект (5.3.2 Анализ и замечания по реализации) эндобдж 300 0 объект > эндобдж 303 0 объект (5.3.3 Граница относительной ошибки h3) эндобдж 304 0 объект > эндобдж 307 0 объект (5.3.4 огибающих во временной области) эндобдж 308 0 объект > эндобдж 311 0 объект (5.4 Граница глобальной ошибки H-inf для систем в строго диссипативной реализации) эндобдж 312 0 объект > эндобдж 315 0 объект (5.4.1 Верхняя граница нормы H-inf) эндобдж 316 0 объект > эндобдж 319 0 объект (5.4.2 Замечания и реализация) эндобдж 320 0 объект > эндобдж 323 0 объект (5.4.3 Граница относительной ошибки H-inf) эндобдж 324 0 объект > эндобдж 327 0 объект (5.5 Уменьшение модели с контролем ошибок) эндобдж 328 0 объект > эндобдж 331 0 объект (5.5.1 Смена парадигмы) эндобдж 332 0 объект > эндобдж 335 0 объект (5.5.2 Как контролировать завышение границы ошибки h3) эндобдж 336 0 объект > эндобдж 339 0 объект (5.5.3 Как контролировать завышение границы ошибки H-inf) эндобдж 340 0 объект > эндобдж 343 0 объект (5.6 Уменьшение границ ошибок на основе оптимизации) эндобдж 344 0 объект > эндобдж 347 0 объект (5.6.1 Оптимизация границы ошибки h3) эндобдж 348 0 объект > эндобдж 351 0 объект (5.6.2 Оптимизация границы ошибок H-inf) эндобдж 352 0 объект > эндобдж 355 0 объект (6 Пример использования: системы второго порядка) эндобдж 356 0 объект > эндобдж 359 0 объект (6.1 Предварительные сведения о системах второго порядка) эндобдж 360 0 объект > эндобдж 363 0 объект (6.2. Реализация систем второго порядка в строго диссипативном пространстве состояний) эндобдж 364 0 объект > эндобдж 367 0 объект (6.3 Эффективное применение методов пространства состояний) эндобдж 368 0 объект > эндобдж 371 0 объект (6.3.1 Вычисление подпространств Крылова) эндобдж 372 0 объект > эндобдж 375 0 объект (6.3.2 Свойства инвариантности в редукции модели Сильвестра) эндобдж 376 0 объект > эндобдж 379 0 объект (6.3.3 Разложение ошибок) эндобдж 380 0 объект > эндобдж 383 0 объект (6.3.4 Оценка границ ошибок h3 и H-inf) эндобдж 384 0 объект > эндобдж 387 0 объект (6.3.5 Вычисление обобщенной спектральной абсциссы) эндобдж 388 0 объект > эндобдж 391 0 объект (6.3.6 Зависимость границ ошибки от гаммы) эндобдж 392 0 объект > эндобдж 395 0 объект (7 числовых примеров) эндобдж 396 0 объект > эндобдж 399 0 объект (7.1 Спиральный индуктор) эндобдж 400 0 объект > эндобдж 403 0 объект (7.,% + 怪 Ch) WhG d.~~ M ٸ`): 1 z2oǿ | Ä

Вычислимые верхние границы погрешности для аппроксимаций Крылова матричных экспонент и связанных с ними $$ {\ varvec {\ varphi}} $$ φ -функций

Мы проиллюстрируем наши теоретические результаты для двух различные косоэрмитовы проблемы в разд. 8.1, эрмитова проблема в разд. 8.2, и ненормальная проблема в разд. 8.3. Мы также сравниваем эффективность различных оценок ошибок для практического контроля размера шага (Раздел 7) в Разделе. 8.1. Чтобы показать, что наша оценка ошибки (3.{п \ раз п}, \ end {выровнено} $$

(8.1)

с размером \ (n = 10 \, 000 \). Матрица H связана с конечной разностью или дискретизацией конечных элементов одномерного отрицательного лапласиана. Используя \ (A = H \) и \ (\ sigma = — \ mathrm {i} \), в (2.1) получаем свободное уравнение Шредингера. Разложение по собственным значениям H хорошо известно, и мы можем использовать дискретное синусоидальное преобразование с арифметикой высокой точности в Matlab для вычисления точного решения E ( t ) v , см. (2.1). Начальный вектор v выбирается случайным образом. Чтобы вычислить приближение подпространства Крылова \ (S_m (t) v \), см. (2.6), мы используем разложение по собственным значениям трехдиагональной матрицы \ (T_m \).

Дискретная модель Хаббарда Для описания модели Хаббарда мы используем замкнутые обозначения. Модель Хаббарда впервые появилась в [28] и в дальнейшем использовалась во многих статьях и книгах, например, [32, 44]. Модель Хаббарда используется для описания электронной плотности на заданном количестве узлов, которые соответствуют дискретизации Ванье орбиталей и вращению вверх или вниз.{\ dagger} c_ {i \ sigma} + \ sum _ {j, \ sigma} U {\ hat {n}} _ {j \ sigma} {\ hat {n}} _ {j \ sigma ‘}, \ конец {выровнен} $$

(8,2)

, где i , j суммируются по количеству сайтов \ (n _ {\ text {sites}} \) и спинов \ (\ sigma, \ sigma ‘\ in \ {\ uparrow, \ downarrow \} \), где \ (\ sigma ‘\) — вращение, противоположное \ (\ sigma \). Записи \ (v_ {ij} \) с \ (i, j = 1, \ ldots, n _ {\ text {sites}} \) описывают прыжки электронов с сайта i на j .\ dagger c_ {j \ sigma} \) оператор числа занятий. Подробнее об обозначениях в (8.2) можно порекомендовать несколько ссылок, например, [28, 29, 32, 44].

Для наших тестов мы моделируем 8 электронов в 8 узлах (\ (n _ {\ text {sites}} = 8 \)) со спином вверх и вниз для каждого узла, это приводит к 16 возможным состояниям электронов. Такое распределение электронов в литературе также называется наполовину заполненным. Мы также ограничиваем нашу модель, считая, что количество электронов со спином вверх и вниз фиксировано как \ (n _ {\ text {sites}} / 2 \).{п \ раз п} \). Такая реализация гамильтониана Хаббарда также описана в [29, раздел 3].

В нашей тестовой настройке мы используем \ (U = 5 \) и значения, зависящие от параметров для прыжков электронов \ (v_ {ij} = v_ {ij} (\ omega) \ in {\ mathbb {C}} \) с \ (\ omega \ in (0,2 \ pi] \):

$$ \ begin {выровнено} & v_ {11} = v_ {88} = — 1,75, \ quad v_ {jj} = — 2 \ quad \ текст {for} \ quad j = 2, \ ldots, 7, \\ & v_ {j, j + 1} = {\ bar {v}} _ {j + 1, j} = — \ cos \ omega + \ mathrm {i} \, \ sin \ omega \ quad \ text {for} \ quad j = 1, \ ldots, 7 \ quad \ text {и} \ quad v_ {ij} = 0 \ quad \ text {в противном случае}.{n \ times n} \) с 43 980 ненулевыми записями (для общего выбора \ (\ omega \)) и \ (\ text {spec} (H_ \ omega) \ substeq (-19.1,8.3) \). Спектр \ (H_ \ omega \) не зависит от \ (\ omega \).

Соответствующим приложением, в котором важен гамильтониан Хаббарда (8.2), является моделирование оксидных солнечных элементов с целью поиска кандидатов для новых материалов, обещающих повышение эффективности солнечного элемента, см. [21]. При исследовании солнечных элементов рассматриваются зависящие от времени перескоки электронов \ (v_ {ij} = v_ {ij} (t) \) для моделирования зависящих от времени потенциалов, которые приводят к гамильтонианам матриц H ( t ).Зависящий от времени гамильтониан можно параметризовать с помощью \ (\ omega \). Распространение во времени линейной неавтономной системы ОДУ может быть аппроксимировано интеграторами типа Магнуса, которые основаны на одном или нескольких вычислениях матричных экспонент, применяемых к разным начальным векторам в несколько раз t , см., Например, [5, 6] . Наша тестовая установка для гамильтониана Хаббарда с произвольным \ (\ omega \) затем получается с помощью (2.1) с матрицей \ (A = H_ \ omega \), как описано выше, и \ (\ sigma = — \ mathrm {i} \ ).

В следующем разделе. 8.1 мы сосредоточимся на косоэрмитовом случае. О проверках эрмитовского дела см. Разд. 8.2 ниже.

Проверка верхней границы ошибки На следующих рис. 1 и 2 мы сравниваем ошибку \ (\ Vert L_m (t) v \ Vert _2 \) с оценками ошибки \ ({\ mathrm {Err}} _ {1} \) и \ ({\ mathrm {Err}} _ {а} \). Рисунок 1 относится к матрице (8.1) свободной задачи Шредингера, а рисунок 2 — к гамильтониану Хаббарда (8.2) с \ (\ omega = 0,123 \). Для обоих случаев мы приводим результаты с размерностями подпространства Крылова \ (m = 10 \) и \ (m = 30 \) соответственно.

Мы видим, что оценка ошибки \ ({\ mathrm {Err}} _ {1} \) является хорошим приближением к ошибке, но в целом не является верхней границей. Напротив, \ ({\ mathrm {Err}} _ {a} \) — это доказанная верхняя граница ошибки. С точностью до ошибки округления для \ (m = 10 \) мы наблюдаем правильное асимптотическое поведение \ ({\ mathrm {Err}} _ {a} \) и \ ({\ mathrm {Err}} _ {1 } \). Для большего выбора m асимптотический режим начинается на временных шагах, для которых ошибка уже близка к точности округления. Следовательно, для больших значений m приближение Крылова в качестве временного интегратора не может достичь своего полного порядка для типичных временных шагов с двойной точностью.

Матрица (8.1) масштабирована таким образом, чтобы \ (\ text {spec} (H) \ substeq (0,1) \) и \ (\ Vert H \ Vert _2 \ приблизительно 1 \). В соответствии с (7.1) наблюдается стагнация ошибки на временах \ (t \ lessapprox m \), см. Рис. 1.

рис. 1

Ошибка \ (\ Vert L_m (t) v \ Vert _2 \) (\ (\ circ \)) и оценки ошибок \ ({\ mathrm {Err}} _ {1} \) (\ (\ times \)) и \ ({\ mathrm {Err}} _ {a} \ ) (\ (+ \)) для свободной задачи Шредингера и размерности подпространства Крылова \ (m = 10 \) и \ (m = 30 \). \ ({\ mathrm {Err}} _ {a} \) — это верхняя граница ошибки, и обе оценки показывают правильное асимптотическое поведение.Из-за ошибки округления для \ (m = 30 \) наблюдаемый эффективный порядок менее ясен, чем для \ (m = 10 \)

Рис. 2

Ошибка \ (\ Vert L_m (t) v \ Vert _2 \) (\ (\ circ \)) и оценки ошибок \ ({\ mathrm {Err}} _ {1} \) (\ (\ times \)) и \ ({\ mathrm {Err}} _ { a} \) (\ (+ \)) для гамильтониана Хаббарда с \ (\ omega = 0.123 \) и размерностями подпространства Крылова \ (m = 10 \) и \ (m = 30 \). Это показывает то же поведение, что и на рис. 1

Мы проверяем оценки погрешности в косоэрмитовой постановке бесплатного уравнения Шредингера.(8.1) для стандартной крыловской аппроксимации функции \ (\ varphi _1 \) на рис. 3 и скорректированной крыловской аппроксимации матричной экспоненциальной функции на рис. 4. На рис. 3 оценка погрешности \ ({\ mathrm { Err}} _ {1} \) относится к формуле (5.8a), а \ ({\ mathrm {Err}} _ {a} \) показывает верхнюю границу ошибки (4.4b) из теоремы 2, как для случая \ (р = 1 \). На рис. 4 \ ({\ mathrm {Err}} _ {1} \) взято из формулы (5.8b), а \ ({\ mathrm {Err}} _ {a} \) обозначает верхнюю границу ошибки (5.9 б) из теоремы 3, как для случая \ (p = 0 \).{+} _ m (t) v \ Vert _2 \) (\ (\ circ \)) и оценки ошибок \ ({\ mathrm {Err}} _ {1} \) (\ (\ times \)) и \ ({\ mathrm {Err}} _ {a} \) (\ (+ \)) для свободной задачи Шредингера и размерности подпространства Крылова \ (m = 10 \) и \ (m = 30 \)

Иллюстрация оценки квадратурной ошибки на основе дефектов из раздела 6 Сначала мы проиллюстрируем эффективность оценок, основанных на квадратуре Эрмита в соответствии с (6.3) и улучшенной квадратуре Эрмита в соответствии с (6.5) для модели Хаббарда, см. рис. 5. Обе оценки являются асимптотическими. правильная, тогда как улучшенная квадратура (6.5) немного лучше для больших временных шагов t , с недостатком одного дополнительного умножения матрицы на вектор. (См. Замечание 7 ниже относительно рентабельности более дорогих оценок ошибок.)

Рисунок 6 относится к обобщенной оценке невязки (6.6) и оценкам, основанным на квадратуре эффективного порядка в соответствии с замечанием 5 и квадратуре Эрмита (6.3). Для наших тестовых задач предположения из разд. 6 по дефекту и его действующему порядку выполняются для значительного диапазона значений t .{- \ mathrm {i} \, t \, T_m} e_1) _m} \ bigg). \ end {align} $$

Для вычисления эффективного порядка мы учитываем только временные шаги \ (\ rho (t)> 0 \), и где \ (\ rho \) действительно кажется монотонно убывающим в течение вычисленного дискретного времени. шаги. Это ограничение совместимо с нашими предположениями в разд. 6.

Рис. 5

Ошибка \ (\ Vert L_m (t) v \ Vert _2 \) (\ (\ circ \)) и оценки погрешности на основе квадратуры Эрмита (\ (\ times \)) и улучшенная квадратура Эрмита (\ (+ \)), см. (6.3) и (6.5) для гамильтониана Хаббарда с \ (m = 10 \) и \ (m = 30 \). Пунктирными линиями показана оценка ошибки \ ({\ mathrm {Err}} _ {a} \)

Рис. 6

Верхний левый график показывает ошибку \ (\ Vert L_m (t) v \ Vert _2 \) (\ (\ circ \)), обобщенная оценка невязки (6.6) (\ (+ \)) и оценки погрешности, основанные на квадратуре Эрмита (6.3) (\ (\ times \)), и квадратуре эффективного порядка ( 6.9) (\ (\ Diamond \)) для гамильтониана Хаббарда с \ (m = 10 \) и \ (m = 30 \). Пунктирными линиями показана оценка ошибки \ ({\ mathrm {Err}} _ {a} \).Справа на графиках показаны детали графиков ошибок, чтобы проиллюстрировать неравенства (6.8). В таблице внизу показан вычисленный эффективный порядок дефекта для \ (m = 10 \) и \ (m = 30 \), который используется для квадратуры эффективного порядка

Скорректированное приближение Крылова и сохранение массы Заметим, что оценки ошибок для исправленного приближения Крылова обычно требуют одного дополнительного умножения матрицы на вектор, и применение стандартного приближения Крылова размерности \ (m + 1 \) кажется более благоприятным выбором в нашем подходе к оценке ошибок. {- \ mathrm {i} \, t \, T_m} e_1 = 1.* V_m = I \) существенно для получения сохранения массы в (8.3). В компьютерной арифметике потеря ортогональности базиса Крылова \ (V_m \) изучалась ранее, см. Также [40]. Для сохранения свойства сохранения массы в этом случае может оказаться целесообразным реортогонализация, см. [43].

Крыловское приближение матричной экспоненты в компьютерной арифметике В [11, 13, 19] показано, что априорные оценки погрешности крыловской аппроксимации матричной экспоненты остаются в силе также с учетом арифметических эффектов.Такие результаты означают, что в компьютерной арифметике сходимость приближения Крылова не исключается и ошибки округления не критичны. На практике ошибки округления в некоторых случаях могут привести к задержке сходимости, что может сделать реортогонализацию актуальной. Устойчивость приближения Крылова обсуждалась многими авторами, см. Также [38], но здесь подробно не обсуждается. В следующем абзаце мы приведем аргумент, следуя [13], что апостериорные оценки ошибок, которые являются темой данной работы, устойчивы по отношению к ошибкам округления.

Напомним, что подпространство Крылова, построенное с помощью компьютерной арифметики, удовлетворяет тождеству Крылова (2.2) с небольшим возмущением, см. Также [40] для случая Ланцоша и [8, 51] для случая Арнольди, которые могут быть расширены до комплексные задачи с использованием результатов из [22]. Следуя результатам из [13], заключаем, что малое возмущение тождества Крылова приводит к малому возмущению дефекта (невязки) \ (\ delta _m (t) \) в (3.1a) и интегрального представления ошибки в (3.1б). Таким образом, оценки ошибок, приведенные в разд. 6 остаются стабильными в отношении округления.

Далее мы используем, что по построению вычисленное \ (T_m \) по-прежнему является верхним Гессенбергом с положительной нижней диагональю, а в случае Ланцоша также является вещественным и симметричным. Тогда, следуя предложению 6 в эрмитовом (ланцошовском) случае, интегральное представление ошибки в (3.1b) приводит к верхней границе ошибки \ ({\ mathrm {Err}} _ {1} \), которая не подвергается критическому влиянию. {\ star} \) Исходный код Expokit использует скорректированное приближение Крылова с эвристическим контролем размера шага и оценкой ошибок, основанной на расширении ошибок (5.{\ star} \) наше сравнение можно провести со стандартным приближением Крылова, которое в некоторых случаях может быть методом выбора, как обсуждалось выше.

  • Размер шага на основе \ ({\ mathrm {Err}} _ {a} \) В другом тестовом коде верхняя граница ошибки \ ({\ mathrm {Err}} _ {a} \) из теоремы 1 используется. Используя \ ({\ mathrm {Err}} _ {a} \), мы получаем проверенные верхние границы ошибки и надежные размеры шага (7.5).

  • Под gen.res , eff.o.quad и \ (Err _1 \) мы ссылаемся на обобщенную оценку невязки (6.6), квадратура эффективного порядка (6.9) и (\ ({\ mathrm {Err}} _ {1} \)) соответственно. Поскольку эти оценки ошибок нельзя инвертировать напрямую, нам необходимо применить эвристические идеи для управления размером шага, см. (7.7). Кроме того, мы используем итерацию (7.9) для улучшения размеров шага. Для решенных нами тестовых задач итерация (7.9) сходится менее чем за 2 итерации для \ (m = 10 \) или менее чем за 5 итераций для \ (m = 30 \). Мы просто выбираем \ (N_j = 5 \) для наших тестов.

  • Априорные оценки (7.8), [24, теорема 4] и [34, ур. (20)] приведены в соответствующих ссылках. Формула (7.8), взятая из кода Expokit, напрямую дает размер шага. В [34, ур. (20)] описывается вычисление размера шага. Для оценки ошибки, приведенной в [24, теорема 4], мы применяем итерацию Ньютона для определения подходящего размера шага. Для тестов по модели Хаббарда мы используем \ ((\ lambda _ {\ text {max}} — \ lambda _ {\ text {min}}) = 27.4 \), как предлагается в описании гамильтониана Хаббарда.+ \) обозначим верхнюю границу ошибки для исправленного приближения Крылова, как указано в теореме 3, через \ (p = 0 \). Соответствующий размер шага определяется выражением (7.6).

  • Под i.H.quad мы понимаем улучшенную квадратурную форму Эрмита (6. {- 8} \).Исходный код Expokit, кажется, дает большие размеры шага, но он также использует большее количество умножений матрица-вектор, см. Замечание 7. Оценка ошибки \ ({\ mathrm {Err}} _ {a} \) приводит к оптимальному шагу размеры для \ (m = 10 \) и близкие к оптимальным размерам шага для \ (m = 30 \). Для любого выбора м оценка ошибки \ ({\ mathrm {Err}} _ {a} \) дает надежные размеры шага. Обобщенная оценка остатка переоценивает ошибку и, следовательно, размеры шага меньше. Квадратура эффективного порядка и \ ({\ mathrm {Err}} _ {1} \) дают оптимальные размеры шага.Исходя из предположений из разд. 6 (которые применимы к нашим тестовым примерам), обобщенная оценка невязки и квадратура эффективного порядка дают надежные размеры шага. Для оценки ошибки \ ({\ mathrm {Err}} _ {1} \) у нас нет результатов по надежности размеров шага, поскольку оценка ошибки \ ({\ mathrm {Err}} _ {1} \) в целом не приводит к верхней границе ошибки. Проверенные априорные оценки (7.8), [24, Th. 4] и [34, (20)] переоценивают ошибку и приводят к осторожному выбору размера шага.{\ star} v \ Vert _2 / t \ ​​le \ mathrm {tol} \).

    Таблица 1 Отображаемый размер шага t представляет собой сумму \ (N = 10 \) подшагов, вычисленных различными версиями управления размером шага, как описано выше. Таблица 2 С настройкой теста, аналогичной таблице 1, мы теперь вычислить до фиксированного времени \ (t = 0,3 \) и выбрать количество шагов N в соответствии с контролем размера шага

    Помимо управления размером шага, верхняя граница ошибки \ ({\ mathrm {Err}} _ {a} \) можно использовать «на лету», чтобы проверить, достаточно ли размерность подпространства Крылова для решения задачи за один временной шаг с требуемой точностью.Для наших тестовых задач этот критерий остановки применяется к оценке \ ({\ mathrm {Err}} _ {a} \). Мы ссылаемся на Таблицу 2, в которой мы наблюдаем, как метод Крылова с оценкой ошибки \ ({\ mathrm {Err}} _ {a} \) останавливается после 17 шагов вместо вычисления полного подпространства Крылова размерности 30. Для сравнения, исходный пакет Expokit требует в общей сложности 62 умножения матрицы на вектор.

    Замечание 7

    Оценки ошибок для исправленного приближения Крылова или улучшенные оценки ошибок, такие как улучшенная квадратура Эрмита (6.+ \) и улучшенная квадратура Эрмита (6.5) с подпространством Крылова \ (m-1 \). Таблица 3 показывает, что стандартное приближение Крылова размерностью м дает лучшие результаты, хотя во всех рассмотренных вариантах используется одинаковое количество умножений матрицы на вектор. Поскольку надежность оценок ошибок, таких как \ ({\ mathrm {Err}} _ {a} \), была продемонстрирована ранее, кажется, что дополнительные затраты на улучшение оценки ошибки не оправданы.

    Таблица 3 Во всех показанных вариантах используется ровно м умножения матрицы на вектор

    Эрмитов случай

    Чтобы получить более полную картину, мы также кратко рассмотрим случай эрмитовой матрицы \ (A = H \) с \ (\ sigma = 1 \) в (2.1). Такая модель типична для дискретизации параболического уравнения в частных производных. Таким образом, результат может зависеть от регулярности исходных данных, которые в наших экспериментах выбираются случайными.

    Уравнение теплопроводности Чтобы получить уравнение теплопроводности в (2.1), выбираем \ (A = H \) в (8.1) и \ (\ sigma = -1 \). Подробности настройки теста уже приведены в разд. 8.1.

    Для уравнения теплопроводности H , приведенного в (8.1), мы также можем проверить оценки ошибки, см. Рис. 7. По сравнению с косоэрмитовым случаем мы не наблюдаем большого временного режима, для которого ошибка составляет асимптотического порядка м .{-t \, T_m} e_1) _m} \ bigg). \ end {align} $$

    Для вычисления эффективного порядка мы рассматриваем только временные шаги \ (\ rho (t)> 0 \), и где \ (\ rho \) действительно кажется монотонно убывающим за вычисленное дискретное время. шаги. Это ограничение совместимо с нашими предположениями в разд. 3, \ нечисловое \\ & u (0, x) = v (x) \ quad \ text {for} \ quad x \ in \ varOmega, \ quad u (t, x) = 0 \ quad \ text {for} \ quad x \ в \ partial \ varOmega.{N} \) как в [36]. Для ненормального A мы используем метод Арнольди, основанный на модифицированной процедуре Грама – Шмидта (см. [46, алгоритм 6.2]) для генерации подпространства Крылова.

    Рис. 8

    Ошибка \ (\ Vert L_m (t) v \ Vert _2 \) (\ (\ circ \)) и оценки ошибок \ ({\ mathrm {Err}} _ {1} \) ( \ (\ times \)) и \ ({\ mathrm {Err}} _ {a} \) (\ (+ \)) для задачи конвекции – диффузии (8.5) с \ (\ mu _1 = 0.9 \) и \ (\ mu _2 = 1.1 \) и размерности подпространства Крылова \ (m = 10 \) и \ (m = 30 \)

    Оценки погрешности \ ({\ mathrm {Err}} _ {a} \) и \ ({\ mathrm {Err}} _ {1} \) сравниваются с точной нормой ошибки \ (\ Vert L_m (t) v \ Vert _2 \) на рис.8 для случая (8.6) и на рис. 9 для случая (8.7). Как показано в теореме 1, оценка ошибки \ ({\ mathrm {Err}} _ {a} \) представляет собой верхнюю границу ошибки. Оценка ошибки \ ({\ mathrm {Err}} _ {1} \) дает хорошее приближение ошибки, но не было доказано, что она дает верхнюю границу в целом.

    По сравнению с (8.7) спектр для (8.6) ближе к эрмитовскому случаю. С другой стороны, в спектре для (8.7) преобладают большие мнимые части, как и в косоэрмитовом случае.

    На рис. 8 мы наблюдаем эффекты, аналогичные эрмитовскому случаю. Асимптотический порядок ошибки m не выполняется для большого временного режима, а оценка ошибки \ ({\ mathrm {Err}} _ {a} \) не такая точная, как в косоэрмитовом случае. С другой стороны, на рис. 9 мы видим, что оценка погрешности ближе к косоэрмитовскому случаю. Следовательно, верхняя граница ошибки \ ({\ mathrm {Err}} _ {a} \) точна для большего диапазона временных шагов. Как уже отмечалось для эрмитового и косоэрмитового случаев, ошибка приближения Крылова ближе к его асимптотическому порядку m для меньшего выбора m .

    Рис. 9

    Ошибка \ (\ Vert L_m (t) v \ Vert _2 \) (\ (\ circ \)) и оценки ошибок \ ({\ mathrm {Err}} _ {1} \) ( \ (\ times \)) и \ ({\ mathrm {Err}} _ {a} \) (\ (+ \)) для задачи конвекции – диффузии (8.5) с \ (\ mu _1 = \ mu _2 = 10 \) и размерности подпространства Крылова \ (m = 10 \) и \ (m = 30 \)

    (PDF) Предобуславливатели для методов подпространства Крылова: обзор

    PEARSON  PESTANA 25 из 35

    [67] Т. Гергелиц и др., Лапласовское предварительное кондиционирование эллиптических уравнений в частных производных: локализация собственных значений дискретизированного оператора, SIAM J.Нумер.

    Анал. 57 (2019), 1369–1394.

    [68] У. Троттенберг, К. Остерли, А. Шюллер, Multigrid, Academic Press, Лондон, 2001.

    [69] Р. П. Федоренко, Релаксационный метод решения эллиптических разностных уравнений, СССР Comput. Математика. Математика. Phys. 1 (1962), 1092–1096.

    [70] Федоренко Р. П. Скорость сходимости одного итерационного процесса // Ж. вычисл. Математика. Математика. Phys. 4 (1964), 227–235.

    [71] А. Брандт, Многоуровневые адаптивные решения краевых задач, Матем.Comput. 31 (1977), 333–390.

    [72] А. Брандт, С. Маккормик и Дж. Руге, Алгебраическая многосеточная система (AMG) для автоматических многосеточных решений с применением к геодезическим вычислениям

    . Технический отчет, Институт вычислительных исследований, Форт-Коллинз, Колорадо, 1982.

    [73] А. Брандт, С. Маккормик, Дж. Руге, Алгебраическая многосеточная система (AMG) для разреженных матричных уравнений, inSparsity and Its Applications, D.J.

    Эванс, изд., Cambridge University Press, Кембридж, Массачусетс, 1985, 257–284.

    [74] А. Брандт, Алгебраическая многосеточная теория: Симметричный случай, Прикл. Математика. Comput. 19 (1986), 23–56.

    [75] Дж. Э. Денди, Многосеточный черный ящик, J. Comput. Phys. 48 (1982), 366–386.

    [76] Дж. У. Руге и К. Штюбен, Алгебраические многосеточные методы, многосеточные методы, С. Ф. Маккормик, изд. Общество промышленных и прикладных наук

    Математика, Филадельфия, Пенсильвания, 1987, 73–130.

    [77] П. Весселинг, К. В. Остерли, Геометрическая многосеточная система с приложениями к вычислительной гидродинамике, J.Comput. Прил. Математика. 128

    (2001), 311–334.

    [78] Дж. Сюй, Л. Зикатанов, Алгебраические многосеточные методы, Acta Numer. 26 (2017), 591–721.

    [79] W. Hackbusch, Многосеточные методы и приложения, Springer-Verlag, Берлин / Гейдельберг, Германия, 1985.

    [80] П. Весселинг, Введение в многосеточные методы, John Wiley & Sons, New York , NY, 1992.

    [81] HA Schwarz, Über einen Grenzübergang durch alternierendes Verfahren, Vierteljahrsschr. Натурф.Ges. Цюрих. 15 (1870), 272–286.

    [82] М. Дрийя, О. Видлунд, Аддитивный вариант альтернативного метода Шварца для случая многих подобластей. Технический отчет 339,

    Департамент компьютерных наук, Нью-Йоркский университет, Нью-Йорк, 1987.

    [83] M. Dryja и OB Widlund, Глава 16 — Некоторые алгоритмы декомпозиции области для эллиптических задач, итерационные методы для больших

    Linear Системы, Д. Р. Кинкейд и Л. Дж. Хейс, редакторы, Academic Press, Сан-Диего, 1990, 273–291.

    [84] Бензи М. и др., Алгебраическая теория мультипликативных методов Шварца, Нумер. Математика. 89 (2001), 605–639.

    [85] А. Фроммер и Д. Б. Шильд, Алгебраическая теория сходимости для ограниченных аддитивных методов Шварца с использованием взвешенных максимальных норм,

    SIAM J. Numer. Анальный. 39 (2001), 463–479.

    [86] Р. А. Николаидес, Дефляция сопряженных градиентов с приложениями к краевым задачам, SIAM J. Numer. Анальный. 24 (1987),

    355–365.

    [87] F.Натаф и др., Построение грубого пространства на основе локальных отображений Дирихле-Неймана, SIAM J. Sci. Comput. 33 (2011), 1623–1642.

    [88] Н. Спиллейн и др., Абстрактные робастные грубые пространства для систем уравнений в частных производных с помощью обобщенных собственных задач в перекрытиях, Numer. Математика. 126

    (2014), 741–770.

    [89] В. Долин, П. Жоливе и Ф. Натаф, Введение в методы декомпозиции предметной области: алгоритмы, теория и параллельная реализация,

    Общество промышленной и прикладной математики, Филадельфия, Пенсильвания, 2015.

    [90] М. Дж. Гандер, Методы Шварца с течением времени, Электрон. Пер. Нумер. Анальный. 31 (2008), 228–255.

    [91] В. Хакбуш, Итерационное решение больших разреженных систем уравнений, Springer, New York, NY, 1994.

    [92] TPA Mathew, Методы декомпозиции области для численного решения уравнений в частных производных, Springer-Verlag ,

    Берлин / Гейдельберг, Германия, 2008.

    [93] А. Квартерони, А. Валли, Методы доменной декомпозиции для уравнений в частных производных, Oxford University Press, Оксфорд, Великобритания, 1999.

    [94] Б. Смит, П. Бьёрстад и В. Гропп, Разложение областей: параллельные многоуровневые методы для эллиптических уравнений в частных производных,

    Cambridge University Press, Кембридж, Массачусетс, 1996.

    [95] А. Тозелли и О. Видлунд, Методы декомпозиции области — алгоритмы и теория, Springer-Verlag, Берлин / Гейдельберг, Германия, 2005.

    [96] RE Bank, Сравнение двух многоуровневых итерационных методов для несимметричных и неопределенных эллиптических уравнений конечных элементов, SIAM

    Дж.Нумер. Анальный. 18 (1981), 724–743.

    [97] Х. Каландра, С. Граттон, Х. Вассер, Геометрический многосеточный предварительный кондиционер для решения уравнения Гельмгольца в трехмерных неоднородных средах

    на массивно-параллельных компьютерах, in Modern Solvers for Helmholtz Problems, D. Lahaye, J. Tang,

    и K. Vuik, Eds., Birkhäuser, Cham, 2017, 141–155.

    [98] Х. К. Эльман, О. Г. Эрнст, Д. П. О’Лири, Многосеточный метод, усиленный итерацией подпространства Крылова для дискретных уравнений Гельмгольца,

    SIAM J.Sci. Comput. 23 (2001), 1291–1315.

    [99] Э. Габер, С. Маклахлан, Быстрый метод решения уравнения Гельмгольца, J. ​​Comput. Phys. 230 (2011), 4403–4418.

    [100] М. Боллхёфер, М. Дж. Гроте, О. Шенк, Алгебраический многоуровневый предобуславливатель для уравнения Гельмгольца в гетерогенных средах,

    SIAM J. Sci. Comput. 31 (2009), 3781–3805.

    [101] X.-C. Кай, О. Б. Видлунд, Алгоритмы декомпозиции области для неопределенных эллиптических задач, SIAM J.Sci. Стат. Comput. 13 (1992),

    243–258.

    [102] М.Дж. Гандер и Х. Чжан, Методы декомпозиции доменов для уравнения Гельмгольца: численное исследование, inDomain

    Методы разложения в науке и технике, VolXX, Р. Банк и др., Ред., Springer-Verlag, Берлин / Гейдельберг, Германия, 2013 г.,

    215–222.

    [103] К. Фархат, А. Маседо и М. Лесойн, Метод двухуровневой декомпозиции области для итерационного решения высокочастотных внешних задач

    Гельмгольца, Numer.3 $ mit Hilfe von dem Problem angepassten Basen (so genannte Zwei-Elektron-Integrale). Die Ingerenten Grenzen dieses Konzepts werden wegen der starken Abhaengigkeit der numerischen Effizienz von der Groesse und den Eigenschaften der analytisch separablen Basis sichtbar. In diesersis wurden neue gitter-basierte mehrstufige Tensor-Strukturierte Verfahren entwickelt und anhand der numerischen Loesung der HFG getestet. Diese Methoden beinhalten effiziente Algorithmen zur Darstellung diskretisierter Funktionen und Operatoren в $ mathbb {R} ^ 3 $ durch Strukturierte Tensoren in den kanonischen, Tucker- und kombinierten Tensorformaten mit einer kontrollierbarensenderlineeleks. d $, $ dgeq3 $, линейный Komplexitaet в $ n $ hat.{1/3}) $. Das vorgestellte «серый ящик» ‘- Schema zur Loesung der HFG erfordert keine analytischen Vorberechnungen der Zwei-Elektron-Integrale. Weiterhin ist dieses Schema sehr flexibel hinsichtlich der Wahl der gitter-orientierten Basisfunktionen. Numerische Berechnungen am Beispiel des all electronics ‘Falls fuer H $ _2 $ O, CH $ _4 $ und C $ _2 $ H $ _6 $ и псевдопотенциальные падения между CH $ _3 $ OH и C $ _2 $ H $ _5 $ OH Molekuele zeigen die geforderte hohe Genauigkeit. Die Tensor-Strukturierten Verfahren koennen auch zur Loesung der Kohn-Sham-Gleichung angewandt werden, indem anstelle einer problem-unabhaengigen Basis, wie die der ebenen Wellen oder einer grossen Anzahl finiter Elemente im $ grossen проблемно ориентирующий ранг-структурный алгебраический Basisfunktionen verwendet werden, die auf einem Tensorgitter dargestellt sind.3 $ в естественно сепарабельном базисе (так называемые двухэлектронные интегралы). Внутренние ограничения этой концепции очевидны из-за сильной зависимости численной эффективности от размера и качества аппроксимации адаптированных базисных наборов задачи. 3 $, можно использовать много меньший набор проблемно адаптированных базисных функций, заданных на тензорной сетке.

    Раздел 4: Меры лазерного контроля

    Лица, работающие с лазерами, должны следовать инструкциям в этом разделе, чтобы защитить себя и других в этом районе. Руководители и операторы должны пройти соответствующую подготовку перед работой с лазерами 2, 3 и 4 классов

    или рядом с ними.

    Характеристики лазерного устройства, такие как выходная мощность, диаметр луча, длина импульса, длина волны, путь луча, расходимость луча и продолжительность воздействия, определяют возможность нанесения травм персоналу.Возможность получения травмы от использования лазера определяется его классификацией, поэтому меры контроля также определяются классом лазера.

    Такие понятия, как максимально допустимое воздействие (MPE), доступный уровень излучения (AEL) и номинальная опасная зона (NHZ) важны для использования и понимания оператором лазера.

    Максимально допустимое воздействие (МДВ)

    MPE — это максимальный уровень лазерного излучения, которому человек может подвергнуться без опасных эффектов или биологических изменений в глазах или коже.MPE определяется длиной волны лазера, потребляемой энергией и продолжительностью воздействия. В стандартных таблицах 5, 6 и 7 стандарта ANSI 136.1 (см. Приложение A) приведены значения MPE для конкретных длин волн и продолжительности воздействия.

    MPE является необходимым параметром при определении соответствующей оптической плотности и номинальной опасной зоны.

    Оптическая плотность (OD) (вверху)

    OD (оптическая плотность) используется для определения подходящей защиты глаз.OD — это логарифмическая функция, определяемая следующим образом:

    Где H 0 — ожидаемые условия воздействия наихудшего случая (в джоулях / см 2 или ваттах / см 2 ), а МДП выражается в тех же единицах, что и H 0 . Значения OD для различных лазеров, рассчитанные для различных подходящих времен экспозиции, перечислены ниже. Имейте в виду, что эти значения предназначены только для просмотра внутри луча (худший случай). Для просмотра диффузных отражений класса 4 (например, при выравнивании), как правило, требуется меньший OD.Они должны быть определены для каждой ситуации и будут зависеть от параметров лазера и расстояния обзора.

    В таблице 4 приведены сводные данные об оптической плотности, необходимой для конкретных лазеров, исходя из продолжительности воздействия наихудшего случая.

    Тип / мощность лазера

    Длина волны

    ( мм)

    OD

    0.25 секунд

    OD

    10 секунд

    OD для

    600 секунд

    OD для

    30,000 секунд

    XeCl

    50 Вт

    0,308 а

    6.2

    8,0

    9,7

    XeFl

    50 Вт

    0,351 а

    4,8

    6,6

    8,3

    Аргон

    1.0 ватт

    0,514

    3,0

    3,4

    5,2

    6,4

    Криптон

    1,0 Вт

    0,530

    3,0

    3,4

    5.2

    6,4

    Криптон

    1,0 Вт

    0,568

    3,0

    3,4

    4,9

    6,1

    HeNe

    0,005 Вт

    0.633

    0,7

    1,1

    1,7

    2,9

    Криптон

    1,0 Вт

    0,647

    3,0

    3,4

    3,9

    5.0

    GaAs

    50 мВт

    0,840 в

    1,8

    2,3

    3,7

    Nd: YAG

    100 ватт

    1.064 a

    4.7

    5,2

    5,2

    Nd: YAG

    (Q-переключатель) b

    1.064 a

    4,5

    5,0

    5,4

    Nd: YAG c

    50 Вт

    1.33 a

    4,4

    4,9

    4,9

    CO 2

    1000 Вт

    10,6 a

    6,2

    8,0

    9.7

    a Периодически импульсы с частотой 11 Гц, импульсы 12 нс, 20 мДж / импульс

    b OD для УФ- и FIR-лучей, рассчитанный с использованием ограничивающей апертуры 1 мм, что представляет «наихудший сценарий». Все вычисления в видимой / ближней ИК-области предполагают ограничивающую апертуру 7 мм.

    c Nd: YAG, работающий на менее распространенной длине волны 1,33 мм.

    ПРИМЕЧАНИЕ: Все значения OD определены с использованием критериев MPE ANSI Z-136.1

    Зона нормальной опасности (NHZ) (вверху)

    NHZ относится к пространству, в котором уровень прямого, отраженного или рассеянного излучения во время нормальной работы превышает соответствующий ПДВ.Уровни воздействия за пределами NHZ ниже соответствующего уровня ПДВ, поэтому никаких мер контроля за пределами NHZ не требуется. NHZ можно рассчитать по следующей формуле:

    Где f — расходимость выходящего луча, измеренная в радианах; F — мощность излучения (общая мощность излучения для лазеров непрерывного действия или средняя мощность излучения импульсного лазера), измеренная в ваттах; и a — диаметр выходящего лазерного луча в сантиметрах.


    Меры контроля по классификации лазеров (вверху)

    Потенциальная опасность существует для всех людей, работающих рядом с лазерной системой.Такие люди должны быть предупреждены о существовании и местонахождении лазеров, а также о значении предупреждающих надписей для всех классов лазеров.

    Особое внимание следует уделять среде, в которой используется лазер. Этот фактор следует рассматривать вместе с классом и применением лазера для определения применяемых мер контроля. Следует учитывать следующие основные элементы:

    • Количество и класс лазеров
    • лазерная локация
    • наличие (доступ) неосведомленного, незащищенного персонала
    • постоянство траектории луча
    • Наличие объектов, которые могут иметь зеркальные поверхности или отражающие объекты, вблизи пути луча
    • использование оптических устройств, таких как линзы, микроскопы и т. Д.

    Меры контроля могут быть разделены на два типа: административный контроль, такой как указатели, процедуры и т. Д., И технический контроль, такой как кожухи лучей, ставни и т. Д. Ниже приведены общие соображения по работе с лазерами в зависимости от лазерной опасности. класс. В таблице 5 приводится сводка этих мер контроля.

    Класс 1 (верх)

    Многие лазеры класса 1 имеют лазеры более высокого класса, заключенные в защитный кожух. Если лазер класса 1 имеет закрытый лазер класса 3b или 4, на любых съемных частях корпуса должны быть предусмотрены блокировки, или у лазера должна быть панель доступа для обслуживания, которая либо заблокирована, либо требует инструмента для снятия.Если защитный кожух снят, необходимо соблюдать меры контроля, соответствующие приложенному классу лазера.

    Все лазеры класса 1 должны иметь маркировку.

    Класс 2 (верх)

    Лазеры класса 2 должны иметь маркировку.

    Лазерный луч нельзя целенаправленно направлять в глаза людям. Юстировку лазерных оптических систем (зеркал, линз, дефлекторов луча и т. Д.) Следует выполнять таким образом, чтобы первичный луч или зеркальное отражение первичного луча не подвергали глаз воздействию уровня выше МПЭ для прямого облучение глаза.

    В рабочей зоне должна быть размещена предупреждающая этикетка или знак, предупреждающий пользователей, чтобы они не смотрели на луч или не направляли луч в глаза людям.

    Если ПДВ превышается, проектируйте порталы просмотра и / или экраны дисплеев, чтобы снизить воздействие до приемлемого уровня.

    Если лазер класса 2 имеет закрытый лазер класса 3b или 4, на любых съемных частях корпуса должны быть предусмотрены блокировки, или у лазера должна быть панель доступа для обслуживания, которая либо заблокирована, либо требует инструмента для снятия.Если защитный кожух снят, необходимо соблюдать меры контроля, соответствующие приложенному классу лазера.

    Класс 3a (верх)

    Лазеры класса 3a должны иметь соответствующую маркировку. В рабочей зоне должна быть размещена предупреждающая этикетка или знак, предупреждающий пользователей, чтобы они не смотрели на луч или не направляли луч в глаза людям.

    Съемные части корпуса и панели доступа для обслуживания должны иметь блокировки для предотвращения случайного воздействия. Также можно использовать постоянный ограничитель луча или аттенюатор.

    Если ПДВ превышается, проектируйте порталы просмотра и / или экраны дисплеев, чтобы снизить воздействие до приемлемого уровня. Следует разработать процедуры центровки, чтобы гарантировать, что ПДВ не превышается.

    Класс 3b (верх)

    Лазеры и лазерные системы класса 3b должны иметь соответствующую маркировку. Эти лазеры используются в местах, где доступ посторонних лиц может контролироваться. Если человек, не обученный лазерной безопасности, должен войти в зону, оператор или руководитель лазера должны сначала проинструктировать человека о требованиях безопасности и, при необходимости, предоставить защитные очки.

    Если весь луч не закрыт или существует ограниченный открытый луч, оператор лазера, руководитель или специалист по лазерной безопасности должны определить номинальную опасную зону (NHZ). Во время использования или запуска лазера следует использовать сигнал тревоги, световой сигнал или устный обратный отсчет.

    Контролируемая зона должна

    • имеют ограниченный доступ к зрителям,
    • имеют ограничители луча для прекращения потенциально опасных лазерных лучей,
    • предназначен для уменьшения диффузных и зеркальных отражений,
    • иметь защиту для глаз для всего персонала,
    • без лазерного луча на уровне глаз,
    • имеют ограничения на окна и дверные проемы, чтобы снизить воздействие до уровней ниже ПДВ, а
    • требует хранения или отключения лазера, когда он не используется.

    Если ПДВ превышено, проектируйте порталы просмотра и / или экраны дисплеев, чтобы снизить воздействие до приемлемого уровня. Процедуры юстировки и собирающая оптика должны быть разработаны таким образом, чтобы не превышать ПДВ.

    Только авторизованный, обученный персонал должен обслуживать лазер. Следует разработать и соблюдать утвержденные письменные стандартные процедуры эксплуатации, технического обслуживания и ремонта.

    Класс 4 (верх)

    В дополнение к мерам контроля, описанным для класса 3b, лазеры класса 4 должны эксплуатироваться обученными людьми в областях, предназначенных для их использования.Отказоустойчивые блокировки должны использоваться для предотвращения неожиданного проникновения в контролируемую зону, а доступ должен быть ограничен оператором лазера для лиц, которые были проинструктированы относительно процедур безопасности и которые носят соответствующие очки для защиты от лазера, когда лазер способен излучать.

    Операторы лазера несут ответственность за предоставление информации и защиту необученному персоналу, который может входить в контролируемые лазером зоны в качестве посетителей.

    Область лазера должна быть

    • только для уполномоченного персонала
    • разработан для обеспечения быстрого аварийного выхода
    • оснащен устройством, позволяющим отключать лазер или уменьшать мощность до уровня ниже MPE
    • разработан в соответствии с требованиями к контролируемой зоне класса 3b
    • с элементами управления безопасностью входа
    • спроектирован таким образом, что лазер может контролироваться и запускаться из удаленного места
    • (для импульсных систем) имеют блокировки, предназначенные для предотвращения срабатывания лазера путем сброса накопленной энергии в фиктивный груз
    • (для систем непрерывного действия) имеют блокировки, предназначенные для отключения питания или прерывания луча с помощью заслонок.

    На пути луча не должно быть зеркально отражающих поверхностей и горючих предметов, а луч должен заканчиваться негорючим, неотражающим барьером или ограничителем луча.



    Предупреждающие знаки и этикетки (вверху)

    Все лазерное оборудование классов 2, 3 и 4 должно иметь маркировку с указанием классификации опасности, выходной мощности / энергии, материала или длины волны лазерного излучения со словами и символами, как указано ниже:

    • Лазерное оборудование класса 2: ВНИМАНИЕ, лазерное излучение (или символ лазера), не смотрите в луч

    • Лазерное оборудование класса 3R, ниже МДП: Опасность, лазерное излучение (или символ лазера), не смотрите на луч или не смотрите прямо через оптические инструменты

    • Лазерное оборудование класса 3R, выше МДП: ОПАСНО, лазерное излучение (или символ лазера), избегайте прямого попадания в глаза

    • Лазерное оборудование класса 3B: ОПАСНО, лазерное излучение (или символ лазера), избегайте прямого воздействия луча

    • Лазерное оборудование класса 4: ОПАСНО, лазерное излучение (или символ лазера), избегайте воздействия прямого или рассеянного излучения на глаза или кожу

    Ярлыки и предупреждающие знаки следует размещать на видном месте в тех местах, где они лучше всего служат для предупреждения людей о потенциальных угрозах безопасности.Обычно знаки вывешиваются у входов в зоны, контролируемые лазером, и ярлыки прикрепляются к лазеру на видном месте.


    Таблица 5. Меры контроля для четырех классов лазеров

    Меры контроля

    Классификация

    Инженерный контроль

    1

    1 мес.

    2

    2 M

    3R

    3B

    4

    Защитный кожух

    Х

    Х

    Х

    Х

    Х

    Х

    Х

    Без защитного кожуха

    Сотрудник по лазерной безопасности устанавливает альтернативные меры контроля

    Блокировки на защитном кожухе

    Х

    Х

    Сервисная панель доступа

    Х

    Х

    Ключевое управление

    ·

    Х

    Смотровые порталы

    Гарантия просмотра ограничена

    Коллекционирование оптики

    Полностью открытый путь луча

    X
    NHZ

    X
    NHZ

    Ограниченный открытый путь луча

    X
    NHZ

    X
    NHZ

    Закрытый луч

    Не требуется, если установлен защитный кожух и блокировки

    Разъем удаленной блокировки

    ·

    Х

    Ограничитель луча или аттенюатор

    ·

    Х

    Системы предупреждения об активации

    ·

    Х

    Внутренняя зона с лазерным контролем

    Х

    Внутренний лазерный контроль класса 3B

    Х

    Зона, управляемая лазером класса 4

    Меры контроля на открытом воздухе

    Лазер в навигационном воздушном пространстве

    Х

    ·
    NHZ

    X
    NHZ

    ·
    NHZ

    X
    NHZ

    X
    MPE

    X
    MPE

    Временная зона, контролируемая лазером


    MPE


    MPE


    MPE


    MPE


    MPE

    Управляемая операция

    ·

    Этикетки для оборудования

    Х

    Х

    Х

    Х

    Х

    Х

    Х

    Предупреждающие знаки зоны действия лазера

    Х

    ·

    Х

    Х

    Административный и процедурный контроль

    Стандартная рабочая процедура

    ·

    Х

    Ограничения выбросов на выходе

    LSO определяет

    Образование и обучение

    ·

    ·

    ·

    ·

    Х

    Х

    Уполномоченный персонал

    *

    *

    Х

    Х

    Процедуры выравнивания

    Х

    Х

    Защитное снаряжение

    *

    *

    ·

    Х

    Зритель

    *

    *

    ·

    Х

    Обслуживающий персонал

    Х

    Х

    Демонстрация с участием публики

    *

    Х

    *

    Х

    Х

    Х

    Лазерные волоконно-оптические системы

    MPE

    MPE

    MPE

    MPE

    MPE

    Х

    Х

    Лазерная робототехническая установка

    X
    NHZ

    X
    NHZ

    Защитные очки

    ·
    МПЭ

    X
    MPE

    Защита окон

    Х

    X
    NHZ

    Защитные ограждения и шторы

    ·

    ·

    Защита кожи

    Х

    X
    MPE

    Предупреждающие знаки и этикетки

    ·

    ·

    ·

    X
    NHZ

    X
    NHZ

    Защита кожи

    X
    MPE

    X
    MPE

    ЛЕГЕНДА

    X = должен · = должен = не требуется NHZ = требуется анализ NHZ

    à = должен, если заключен Класс 3b или 4 MPE = должен, если MPE превышен


    Защитное снаряжение (вверху)

    Кожух для лазерного оборудования или пути луча является предпочтительным методом контроля, поскольку кожух изолирует или минимизирует опасность.Если технические средства контроля не обеспечивают адекватных средств предотвращения доступа к прямым или отраженным лучам на уровнях выше ПДВ, может возникнуть необходимость в использовании средств индивидуальной защиты. Обратите внимание, что использование средств индивидуальной защиты может иметь серьезные ограничения при использовании в качестве единственной меры контроля с более мощными лазерами класса 4 или лазерными системами. Защитное оборудование может не уменьшить или устранить опасность в достаточной степени и может быть повреждено падающим лазерным излучением.

    Защитные очки (верх)

    Защитные очки необходимы для использования лазеров классов 3 и 4, если возможно облучение глаза.Такие средства защиты глаз следует использовать только на той длине волны и той энергии / мощности, для которых они предназначены. Защита глаз может включать в себя защитные очки, маску для лица, очки или очки, отпускаемые по рецепту, с использованием специальных фильтрующих материалов или отражающих покрытий (или их комбинации) для уменьшения воздействия ниже ПДК. Защита глаз также может потребоваться для защиты от физических или химических опасностей.

    При выборе подходящих лазерных защитных очков следует учитывать следующие факторы:

    • длина (а) выходных волн лазера
    • потенциал для работы с несколькими длинами волн
    • облучение или уровни освещенности, для которых требуется защита (наихудший случай)
    • критерий времени воздействия
    • MPE
    • Требования к оптической плотности (ОП) фильтра очков на длине волны лазерного излучения
    • угловая зависимость предоставляемой защиты
    • требование пропускания видимого света и оценка влияния очков на способность выполнять задачи при ношении очков
    • Потребность в защите бокового щита и периферийном зрении
    • облучение или облученность и соответствующие временные факторы, при которых происходит повреждение (проникновение) очков безопасности лазерным лучом, включая временное обесцвечивание
    • Потребность в очках по рецепту
    • комфорт и удобство
    • разрушение впитывающих сред, например фотообесцвечивание
    • прочность материалов (устойчивость к механическому удару и травмам)
    • способность передней поверхности создавать опасное зеркальное отражение
    • требование к конструкции или покрытиям против запотевания
    Процесс выбора средств защиты глаз от лазера (вверху)
    1. Определите длину волны лазера .Защита глаз зависит от длины волны. Очки, обеспечивающие защиту лазеров CO 2 , не обязательно защищают от лазеров Nd: YAG.
    2. Определите максимальную ожидаемую продолжительность просмотра. Продолжительность просмотра обычно попадает в одну из трех категорий:
      1. Непреднамеренное, случайное воздействие лазеров видимого диапазона (400-700 нм), использовать 0,25 секунды
      2. Непреднамеренный, случайный просмотр лучей в ближнем инфракрасном диапазоне (700-1000 нм) лучей, использовать 10 секунд
      3. Для всех остальных лазеров используйте 600 секунд или лазер вовремя, до 8 часов.
    3. Определите максимальную освещенность или лучистую экспозицию, которой может подвергаться глаз. Учтите следующее:
      1. Если выходящий луч не сфокусирован в меньшее пятно и имеет диаметр более 7 мм, излучение / освещенность выходящего луча можно рассматривать как максимальную интенсивность, которая может попасть в глаз.
      2. Если луч фокусируется после выхода из лазера или если диаметр луча меньше 7 мм, предположите, что вся энергия / мощность лазера может попасть в глаз.В этом случае используйте столбцы с заголовком Максимальная выходная мощность / энергия в таблице 6.
    4. Определите необходимую оптическую плотность.
    5. Выберите необходимый тип защиты глаз. Лазерная защита глаз доступна в виде очков и защитных очков. Линза может быть изготовлена ​​из стекла или кристаллического фильтрующего материала или пластика. Как правило, стеклянные или хрустальные линзы рекомендуются для работы в суровых условиях, например в местах, где используются растворители и коррозионные вещества.
    6. Проверить защиту для глаз. Всегда проверяйте целостность линзы перед использованием. При очень высокой интенсивности луча фильтрующие материалы обесцвечиваются или повреждаются иным образом. Непрерывная волна мощностью более 10 Вт может разбить стекло и прожечь пластмассу. -5

      10


      Другое защитное оборудование (вверху)

      Важно, чтобы защитное оборудование, такое как ограничители луча, экраны, предохранительные блокировки, сигнальные лампы и звуковые сигналы, поддерживалось в надлежащем рабочем состоянии и использовалось всякий раз, когда это указано, для предотвращения вредного воздействия лазерного излучения.

      Специальные элементы управления для ультрафиолетовых и инфракрасных лазеров (вверху)

      Поскольку инфракрасные (ИК) и ультрафиолетовые (УФ) волны обычно невидимы, при использовании этих типов лазеров необходимо соблюдать особую осторожность. В дополнение к рекомендуемым мерам контроля, применимым к каждой классификации лазеров, следует также использовать следующее:

      Инфракрасный
      1. Коллимированный луч лазера класса 3 должен ограничиваться высокоабсорбирующим упором, где это возможно.Многие поверхности, которые кажутся тусклыми визуально, могут действовать как отражатели инфракрасного излучения.
      2. Луч лазера класса 4 должен быть ограничен огнеупорным материалом, где это практически возможно. Требуется периодическая проверка абсорбирующего материала, поскольку многие материалы разрушаются в процессе использования.
      3. Зоны, которые подвергаются отражениям от лазеров класса 3 или 4 на уровнях выше ПДВ, должны быть защищены надлежащим экранированием луча или целевой области материалом, поглощающим ИК-излучение. Этот материал должен быть огнестойким для использования с лазерами 4 класса.
      УФ
      1. Воздействие ультрафиолета должно быть минимизировано за счет использования защитного материала, который ослабляет излучение до уровней ниже соответствующих ПДВ для конкретной длины волны.
      2. Особое внимание следует уделять возможности возникновения нежелательных реакций в присутствии УФ-излучения, например образования озона.

      границ | Решение связанных кластерных уравнений методом Ньютона Крылова

      1. Введение

      Теория связанных кластеров (CC), представленная в квантовой химии Чижеком (1966), Палдусом и Ли (1999) и Бартлеттом и Мусялом (2007), за последние несколько десятилетий зарекомендовала себя как одна из самых точных. initio метод расчета электронной структуры.Систематическое включение возбуждений более высокого ранга в оператор кластера позволяет установить иерархию все более и более точных приближений, сходящихся к пределу полного конфигурационного взаимодействия (FCI) (Gauss, 1998). Эти стандартные приближения также обеспечивают ряд уникальных свойств, таких как размерная экстенсивность результирующих энергий, орбитальная инвариантность теории при отдельных вращениях занятых и виртуальных орбиталей, возможность аппроксимации более высоких возбуждений продуктами кластеров более низкого ранга, которые особенно важны. важен для правильного описания химических превращений, связанных с процессами образования и разрыва связей.Теория CC основана на экспоненциальном анзаце, действующем на опорную волновую функцию, обычно детерминант Слейтера, полученный из Хартри – Фока (HF), теории функционала плотности или других независимых моделей частиц, который, как предполагается, обеспечивает разумное описание нулевого порядка коррелированная волновая функция основного состояния. Волновая функция КК определяется так называемыми кластерными амплитудами, полученными путем решения нелинейных энергонезависимых уравнений КК.

      Экспоненциальный анзац обеспечивает расширяемость по размеру метода CC, но в отличие от методов взаимодействия конфигурации, метод CC не является вариационным (если не включены все возбуждения).На практике, чтобы сделать приближение CC численно выполнимым, оператор кластера определяется возбуждениями низкого ранга. Например, одна из наиболее широко используемых моделей связанных одинарных и двойных кластеров (CCSD) включает одиночные и двойные возбуждения (Purvis and Bartlett, 1982). Метод однократной ссылки CCSD и неитеративный метод включения коллективных тройных возбуждений [так называемый подход CCSD (T); Raghavachari et al., 1989] в настоящее время считается «золотым стандартом» высокоточной вычислительной химии.Он доступен во многих программных пакетах и ​​широко используется в самых разных химических приложениях. Числовая стоимость полиномиально масштабируется с размером системы, где числовое масштабирование CCSD пропорционально O (N6), тогда как для поправки (T) пропорционально O (N7) ( N представляет собой символический размер системы).

      Для обработки эффектов статической корреляции был введен многопозиционный CC-подход, который обобщает CC-экспоненциальную параметризацию волновой функции (Лях и др., 2012). Из многих формулировок теорий MRCC класс методов, относящихся к этой работе, — это метод CC с внешней коррекцией, который извлекает информацию о наиболее важных высших возбуждениях или одиночных и двойных возбуждениях в активном пространстве из «внешних» вычислений, выполняемых другим методом, таким как самосогласованное поле полного активного пространства (CASSCF) или взаимодействие конфигураций с множеством ссылок (MRCI) (Li and Paldus, 1997; Li, 2001; Kinoshita et al., 2005). В этой работе мы использовали специализированный метод CCSD (TCCSD), в котором информация для внешней коррекции получается из расчета ренормгруппы матрицы плотности (DMRG).Подход TCC был успешно применен (Киношита и др., 2005; Лях и др., 2011) и в целом работает хорошо, хотя для хорошей точности может потребоваться большое активное пространство и орбитали CASSCF. TCC также обладает желаемым свойством — строго увеличивать размер.

      Уравнения CCSD соответствуют полиномиальной системе уравнений четвертого порядка, решение которых для большого количества кластерных амплитуд (часто превышающих 10 10 ) при наличии сильных корреляционных эффектов может представлять значительную проблему и может отрицательно повлиять на время до решение, связанное с решением уравнений CC, даже если доступна эффективная реализация метода CCSD.Таким образом, разработка быстрых сходящихся решателей CC неразрывно связана с усилиями по включению методов CC в экзамасштабе. В настоящее время уравнения CC обычно решаются с помощью неточного метода Ньютона (IN) в сочетании со схемой ускорения, называемой прямой инверсией итерационного пространства (DIIS) (Pulay, 1980), которая также используется во многих других квантово-химических алгоритмах для ускорения сходимости , например, в итерациях самосогласованного поля (SCF) для решения уравнений HF. Некоторые другие алгоритмы, такие как сокращенное линейное уравнение (Purvis and Bartlett, 1981), методы квазилинейзации нелинейных терминов (Piecuch and Adamowicz, 1994) и многомодельные алгоритмы ньютоновского типа (Kjønstad et al., 2020) были протестированы, особенно в контексте решения уравнений CC, включающих кластеры высокого ранга.

      В этой статье мы описываем использование метода Ньютона – Крылова (NK) для решения проектируемого уравнения CC. Метод NK — широко используемый метод для решения крупномасштабных нелинейных уравнений во многих областях (Knoll and Keyes, 2004). Его использование в квантовой химии кажется новым. Мы опишем основные шаги метода в контексте CCSD в разделе 3. Мы сравниваем метод с DIIS в разделе 4 и обсуждаем возможность объединения этих двух методов вместе.В разделе 5 мы демонстрируем эффективность метода NK и сравниваем его с DIIS.

      2. Уравнения связанных кластеров

      В этом разделе мы кратко обсудим алгебраическую форму уравнений КС для амплитуд скоплений. В общем случае коррелированную волновую функцию | Ψ〉 можно записать как,

      | Ψ〉 = Ω | Φ〉, (1)

      , где | Φ〉 — опорная волновая функция (обычно определитель ВЧ Слейтера), а Ω — волновой оператор. В методе CC волновой оператор принимается в экспоненциальной форме

      , где T — оператор кластера, определяемый возбуждениями, создающими возбужденный детерминант Слейтера при воздействии на опорную функцию.Это свойство кластерного оператора T обеспечивает так называемую промежуточную нормировку волновой функции CC, т. Е.

      〈Ψ | Φ〉 = 1, (3)

      , предполагая, что ортонормированный молекулярный базис использовался для дискретизации интересующей задачи многих тел. Оператор кластера T представляет собой сумму его многокомпонентных компонентов

      , где T n — линейная комбинация операторов возбуждения, которая соответствует n -элементным возбуждениям.Таким образом, для одиночного и двойного возбуждения можно записать

      T1 = ∑i, jtiaaa † ai (5) T2 = ∑i Коэффициенты tij..ab .. — это амплитуды кластеров, которые будут определены путем решения уравнений CC. Мы используем стандартные обозначения: индексы i, j обозначают занятые, a, b виртуальные и p, q общие молекулярные спиновые орбитали. ap † и a q — операторы фермионного рождения или уничтожения, которые удовлетворяют набору антикоммутационных соотношений

      {ap †, aq} = ap † aq + aqap † = δpq (8) {ap †, aq †} = {ap, aq} = 0.(9)

      В контексте вывода алгебраической формы уравнений CC используется формализм частицы-дырки (Shavitt and Bartlett, 2009).

      Подставляя анзац СС в уравнение Шредингера и умножая слева на e T , получаем

      е-THeTΦ = EΦ. (10)

      Чтобы использовать различные схематические методы для вывода уравнений CC, полезно ввести форму нормального произведения электронного гамильтониана ( H N ), определяемого как

      HN = H- 〈Φ | H | Φ〉 = ∑pqFpqN {p † q} + 14∑pqrs 〈pq‖rs〉 N {p † q † sr}, (11)

      Используя формулу Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа, получаем

      e-THNeT = HN + [HN, T] +12 [[HN, T], T] + +13! [[[HN, T], T], T] +14! [[[[HN, T], Т], Т], Т] ≡ (HNeT) C, (12)

      , где индекс «C» соответствует связанной части данного операторного выражения.Поскольку электронные гамильтонианы определяются одно- и двухчастичным взаимодействиями, приведенное выше разложение заканчивается после четырехкратного коммутатора (11). Для вывода выражения корреляционной энергии и уравнений амплитуды мы проецируем член e-THNeT | Φ〉 на векторы бюстгальтера 〈Φ |, 〈Φia |, 〈Φijab | и т. Д .:

      ΔEcorr = 〈Φ | HNeT | Φ〉 C, (13) 〈Φij… ab… | HNeT | Φ〉 C = 0 (14)

      , где 〈Φia |, 〈Φijab |,… представляют собой однократно, двукратно и т. Д. Возбужденные детерминанты Слейтера относительно опорной функции.

      Общая волновая функция TCC использует следующий анзац с разделением амплитуды

      ΩTCC = eText + Tact, (15)

      , где T act представляет активные амплитуды, полученные из расчета активного пространства.Эти амплитуды остаются постоянными при решении амплитудных уравнений, повторяются только T ext . Амплитуды T act вычисляются из коэффициентов CI, извлеченных из волновой функции состояний произведения матрицы, оптимизированной во время вычисления DMRG. Мы будем использовать t для обозначения в совокупности амплитуд CCSD в уравнениях (5) и (6), которые содержатся в T ext . Эти амплитуды удовлетворяют нелинейному уравнению, которое может быть получено из уравнения (14).В оставшейся части статьи мы будем просто записывать это уравнение как,

      3. Алгоритмы решения уравнения CCSD

      В этом разделе мы начнем с краткого описания общей схемы решения нелинейного уравнения CCSD с использованием неточного метода Ньютона. Мы рассматриваем обычно используемое диагональное приближение якобиана, а затем описываем метод NK для решения уравнения CCSD.

      3.1. Неточный метод Ньютона

      Несмотря на то, что уравнение (16) является нелинейным уравнением только второго порядка, его нелегко решить из-за большого количества переменных, содержащихся в t .Следует помнить, что в современных расчетах CCSD общее количество искомых амплитуд кластеров превышает 10 10 . Для численного решения уравнения обычно требуется итерационная процедура. Наиболее известным алгоритмом решения общей системы нелинейных уравнений является метод Ньютона. В k + 1-й итерации такого метода приближение к решению уравнения (16) обновляется как

      t (k + 1) = t (k) — [J (k)] — 1r (t (k)), (17)

      , где t ( k ) — приближенное решение, полученное на k -й итерации, а J ( k ) — это якобиан r ( t ), оцененный на т ( к ) .

      Поскольку нецелесообразно записывать якобиан r ( t ) или его обратный аналитически, мы не можем использовать метод Ньютона непосредственно для решения уравнения CC. Вместо этого алгоритм IN формы

      t (k + 1) = t (k) — [Ĵ (k)] — 1r (t (k)) (18)

      , где Ĵ ( k ) — приблизительная матрица Якоби, оцененная как t. ( k ) , часто используется. В уравнениях (17) и (18) мы рассматриваем t и r ( t ) как вектор-столбец со всеми амплитудами в (5) и (6), пронумерованными в некотором определенном порядке, а сжатые тензорные амплитуды в р ( т ) пронумерованы в том же порядке.

      При расчете CCSD обычно выбирают Ĵ в качестве диагональной матрицы с разностью ВЧ-орбитальной энергии в качестве диагональных элементов. Это оправдано, потому что J , как известно, во многих случаях является диагональной доминантой, и диагональная матрица разностей HF-орбитальной энергии вносит наибольший вклад в диагональ J . Замена J на Ĵ обычно хорошо работает, когда система близка к равновесию. В этом случае в вычислительных затратах метода IN преобладает стоимость тензорного сжатия для оценки r ( t ( k ) ) для каждого k , что имеет сложность O ( N 6 ), где N — номер атомного базиса, используемый для дискретизации молекулярных орбиталей HF.

      Для систем, которые не удовлетворяют этому свойству, диагонального приближения может быть недостаточно. В результате может потребоваться много итераций IN для достижения сходимости, которая определяется нормой r ( t ), которая меньше заданного уровня допуска τ. Это приведет к очень долгому времени настенных часов.

      3.2. Метод Ньютона – Крылова

      Несмотря на то, что J не доступен явно, можно аппроксимировать произведение J ( t ) с любым тензором w , который имеет тот же размер, что и t .Это можно сделать с помощью метода конечных разностей формы

      . J (t) w≈r (t + δw) -r (t) δ, (19)

      где δ — малая постоянная.

      Возможность аппроксимировать J ( t ) w одной дополнительной оценкой функции позволяет нам решить уравнение поправки Ньютона

      J (t (k)) Δ = -r (t (k)), (20)

      с помощью итеративного метода на основе подпространства Крылова, такого как алгоритм GMRES (Саад и Шульц, 1986), даже когда J ( t ) явно не доступен.Решение Δ используется для обновления приблизительной амплитуды через

      т (к + 1) = т (к) + Δ. (21)

      Этот подход часто называют методом NK.

      В алгоритме 1 мы даем описание простейшего алгоритма Ньютона-GMRES для решения связанного кластерного уравнения. Мы обрабатываем амплитуду CC t и тензоры ( r , w ) той же размерности как векторы и обозначаем внутреннее произведение t и r просто как 〈 t, r 〉.Мы рассматриваем набор тензоров как матрицу и используем V (:, j ), то есть j -й столбец V , для обозначения j -го тензора в таком наборе. Вектор e 1 , используемый в этом алгоритме, обозначает единичный вектор длины j g + 1 с 1 в первой записи и 0 в другом месте.

      Алгоритм 1 : Метод Ньютона – Крылова для решения уравнения связанных кластеров.

      Внешний цикл k алгоритма 1 выполняет обновление Ньютона (21) в строке 14, используя Δ = Vs в качестве приближенного решения уравнения поправки Ньютона, где V — это n × j g Матрица , где n — общее количество амплитуд CCSD, а j g — количество внутренних итераций GMRES.Внутренняя итерация j алгоритма 1 решает уравнение поправки Ньютона (20) с использованием метода GMRES. Метод GMRES выполняет процесс Грама – Шмидта для создания ортонормированного базиса подпространства Крыльво

      . K (J, r0) ≡ {r0, Jr0, J2r0,…, Jjgr0},

      , где J — якобиан, оцененный в конкретном приближении к амплитудам CCSD t , а r 0 — значение функции r в уравнении (16), определенное при таком t .Этот ортонормированный базис хранится в столбцах матрицы V . В точной арифметике эта матрица удовлетворяет уравнению

      , где V содержит ведущие j g столбцов Ṽ, которые являются ортонормированными, т. Е. V T V = I , а H — ( j г + 1) × j г верхняя матрица Гессенберга. Приближение к решению (20) представляется как Δ = Vs для некоторого вектора s длиной j g .Этот вектор может быть решен из задачи наименьших квадратов, определенной проекцией Галеркина

      minsT (JVs-r0) ‖ (23)

      Из уравнения (22) следует, что Ṽ T Ṽ = I , и того факта, что первый столбец V равен r 0 / || r 0 ||, решение уравнения (23) эквивалентно решению

      minsHs-βe1‖, (24)

      где β = || r 0 ||. Это задача наименьших квадратов, решаемая в строке 13 алгоритма.Решение используется в строке 14 для обновления амплитуды CCSD.

      3.3. Предварительное условие

      Итерационная процедура для вычисления решения уравнения коррекции Ньютона (20) может быть ускорена с помощью предварительного кондиционера P . Вместо решения (20) решаем

      P-1J (k) Δ = -P-1r (t (k)), (25)

      с надеждой, что P −1 J ( k ) имеет уменьшенный номер кондиционера. Уменьшение числа условий может привести к более быстрой сходимости.

      Хорошо известно, что якобиан, связанный с уравнением спроецированного связанного кластера, можно разделить как

      J (t (k)) = D + E (t (k)), (26)

      , где D — диагональная матрица, состоящая из разницы между виртуальной и занятой HF орбитальными энергиями, а E — сложный член, который зависит от флуктуационного потенциала (Helgaker et al., 2014). Когда амплитуда ВЧ относительно велика, первое слагаемое является доминирующим. Следовательно, диагональная матрица может использоваться в качестве предварительного условия для итерационного решателя уравнения (20).

      Применение такого предварительного кондиционера требует только добавления дополнительного шага перед циклом и в алгоритме для вычисления предварительно обусловленной правой части в уравнении (25) и модификации строки 7 алгоритма для применения P -1 к тензору W .

      Когда D плохо кондиционирован из-за присутствия почти вырожденных уровней HF орбитальной энергии, может потребоваться ввести сдвиг σ и использовать D I в качестве предварительного кондиционера.Этот метод регуляризации аналогичен методу сдвига уровня, часто используемому при вычислении HF SCF (Saunders and Hillier, 1973).

      Когда J не преобладает над D , т.е. когда вклад амплитуды ВЧ менее значительный, желательно создать альтернативные предварительные кондиционеры, чтобы ускорить сходимость метода NK.

      3.4. Критерий остановки

      Хорошо известно, что быстрая сходимость алгоритма IN может быть достигнута, даже если уравнение поправки Ньютона (20) не решено с полной точностью (Eisenstat and Walker, 1994).Это особенно верно в более ранних итерациях IN, в которых норма невязки || r ( t ) || все еще относительно велик. Общая стратегия, предложенная в Eisenstat and Walker (1994), состоит в том, чтобы решить уравнение коррекции, чтобы удовлетворить следующему условию:

      ‖J (t (k)) Δ + r (t (k)) ‖≤ηk‖r (t (k)) ‖, (27)

      для некоторой малой постоянной 0 <η k <1. В Eisenstat и Walker (1994) была предложена сложная схема для обеспечения так называемой «глобальной конвергенции».Однако такая схема требует поиска с возвратом и дополнительных оценок функции невязки и, таким образом, вероятно, увеличит общую стоимость метода NK. В этой работе мы используем простую стратегию и устанавливаем η k равным 10 −1 , при этом левая часть уравнения (27) оценивается по прогнозируемой норме невязки, полученной методом наименьших квадратов для уравнения (24). ). В качестве нормы невязки || r ( t ( k ) ) || уменьшается во внешней итерации, абсолютная ошибка в приближенном решении уравнения коррекции также уменьшается, когда удовлетворяется уравнение (27).Обратите внимание, что существует компромисс между количеством внутренних итераций GMRES, необходимых для решения уравнения поправки Ньютона, и количеством внешних итераций NK. Установка η k на небольшое число может привести к тому, что на каждой итерации NK будет выполняться слишком много итераций GMRES, и, таким образом, увеличить общую стоимость алгоритма. В нашей реализации мы устанавливаем ограничение на максимальное количество итераций GMRES, разрешенных в каждой итерации Ньютона. Наши вычислительные эксперименты показывают, что обычно достаточно ограничить максимальное количество итераций GMRES до 5.Кроме того, η k также можно выбирать динамически, при этом η k является относительно большим для малых k и относительно малым для больших k .

      4. Сравнение с DIIS

      Метод DIIS (Pulay, 1980) — широко используемый метод для ускорения сходимости итерационного метода решения уравнения CC. На итерации k формируем новое приближение как

      t ~ (k + 1) = ∑j = k-ℓkωk-j [t (j) + Δ (j)], (28)

      для некоторой константы ℓ < k , где ω j выбираются как решение следующей задачи минимизации с ограничениями

      min∑jωj = 1‖∑jωjΔ (k-j) ‖.(29)

      k + 1-е приближение амплитуды затем вычисляется из

      t (k + 1) = t ~ (k + 1) -Δ ~ (k + 1), (30)

      , где Δ ~ (k + 1) — приближенное решение уравнения поправки Ньютона (20) или (25).

      Обратите внимание, что в некоторых формулировках алгоритма DIIS член Δ ( k j ) в целях уравнения (29) просто заменяется на r ( t ( k j ) ). Поскольку Δ ~ (kj) часто вычисляется как D −1 r ( t ( k j ) ), где D — диагональный компонент в уравнении (26). , эти два состава эквивалентны до масштабирующей матрицы D .

      В некоторых реализациях метода ускорения DIIS выполняется фиксированное количество итераций IN с D в уравнении (26) в качестве приблизительной матрицы Якоби до того, как процедура DIIS используется для обновления t ( k +1 ) согласно уравнению (30). В других реализациях DIIS выполняется на каждой итерации IN.

      Сходимость метода DIIS и его связь с методом Бройдена (Dennis and Schabel, 1996) анализировались в Rohwedder and Schneider (2011) и Walker and Ni (2011).Связь между DIIS и методом подпространств Крылова установлена ​​в работах Харрисона (2004) и Эттенхубера и Джргенсена (2015).

      Одним из практических вопросов, которые необходимо учитывать при реализации метода DIIS, является решение задачи ограниченной минимизации (29). Обычно используемый подход в существующем программном обеспечении для квантовой химии состоит в том, чтобы записать линейное уравнение, представляющее необходимое условие первого порядка уравнения (29), и решить уравнение, используя метод на основе факторизации Холецкого или LU.Этот подход не является численно устойчивым, особенно когда набор {Δ ( k j ) } становится почти линейно зависимым. Более стабильный способ решения уравнения (29) состоит в том, чтобы превратить его в неограниченную задачу наименьших квадратов и получить оптимальное решение с помощью QR-факторизации с выявлением ранга матрицы, состоящей из Δ ( k j ) как его столбцы. Однако применение рангового QR-кода к {Δ ( k j ) } является довольно дорогостоящим.Для сравнения, выполнение QR-факторизации с выявлением ранга для решения прогнозируемой задачи наименьших квадратов (24) в методе NK относительно просто и не вызывает значительных накладных расходов. Чтобы улучшить численную стабильность и вычислительную эффективность, может быть необходимо сохранить только подмножество {Δ ( k j ) } для небольшого количества j .

      С точки зрения использования памяти NK немного эффективнее. В дополнение к хранению текущего приближения к амплитудам CC и остатку, NK также хранит ортонормированные базисные тензоры подпространства Крылова, используемые для получения приближенного решения поправочного уравнения Ньютона.Метод DIIS обычно должен хранить набор {Δ ( k j ) }, а также соответствующий набор предыдущих аппроксимаций амплитуды.

      Хотя можно рассматривать метод DIIS как способ решения уравнения поправки Ньютона (20) (Rohwedder and Schneider, 2011), можно также комбинировать ускорение DIIS с процедурой NK. В такой гибридной схеме мы просто используем GMRES для вычисления поправки Δ ~ (k + 1) в уравнении (30) после того, как t ~ (k + 1) получено из обновления DIIS.

      5. Результаты и обсуждение

      В этом разделе мы представляем несколько численных примеров, чтобы продемонстрировать эффективность метода НК и сравнить его с неточным методом Ньютона, ускоренным DIIS. Все сравниваемые ниже алгоритмы были реализованы с использованием программного обеспечения NWChem (Валиев и др., 2010) версии 6.6.

      5.1. H

      2 O Молекула

      В первом примере мы показываем, как алгоритм NK ведет себя, когда он применяется к простой молекуле воды в равновесии.Мы используем базис cc-pvtz для дискретизации проблемы. Мы сравниваем алгоритм NK с методом IN, в котором якобиан аппроксимируется диагональной матрицей D в уравнении (26), и методом IN, ускоренным процедурой DIIS (обозначенной как DIIS). Когда DIIS используется для ускорения сходимости, он применяется каждые 5 итераций IN. Мы устанавливаем допуск сходимости равным 10 −7 , т.е. мы завершаем итерации IN, DIIS и NK, когда евклидова норма остатка r ( t ) падает ниже 10 −7 .

      На рисунке 1 мы изображаем изменение нормы невязки каждого метода по отношению к кумулятивному количеству оценок функции невязки CCSD (тензорные сокращения). Обратите внимание, что при выполнении IN и DIIS количество вычислений функции эквивалентно количеству итераций IN. Однако в прогоне NK количество вычислений функции — это общее количество внутренних итераций GMRES и количество итераций внешних NK.

      Рисунок 1 . Сравнение различных решателей CCSD для молекулы H 2 O.

      Мы видим, что для этой относительно простой задачи метод IN сходится без ускорения DIIS. Для достижения сходимости требуется 19 итераций (и 19 вычислений функций). Использование ускорения DIIS сокращает общее число вычислений функции до 16. Это также число вычислений функций, используемых в методе NK. Комбинируя НК и ДИИС, мы уменьшаем количество функций на 1.

      5.2. Кр

      2

      В этом разделе мы покажем, как NK действует на молекулу Cr 2 .Межатомное расстояние между двумя атомами Cr установлено равным 1,7 ангстрем, что близко к равновесию. Мы используем базис cc-pvdz для дискретизации проблемы.

      Это относительно сложная проблема. Как видно из рисунка 2, без ускорения DIIS итерация IN быстро расходится. Даже когда ускорение DIIS активировано, которое применяется каждые 5 итераций IN, изменение нормы невязки имеет зигзагообразный узор, при этом норма невязки уменьшается только после шага DIIS. Для достижения сходимости требуется в общей сложности 61 остаточная оценка.И NK, и гибрид NK и DIIS быстро сходятся. Мы использовали максимум 5 итераций GMRES в каждой итерации NK. Норма невязки монотонно убывает в обоих прогонах. Между ними очень небольшая разница.

      Рисунок 2 . Сравнение различных решателей CCSD для молекулы Cr 2 .

      Как мы указывали ранее, существует компромисс между выполнением большего количества итераций GMRES во внутреннем цикле метода NK и количеством итераций NK.На рисунке 3 мы сравниваем общее количество итераций NK и общее количество вычислений функций для нескольких прогонов NK, в которых на каждой внешней итерации NK выполнялось разное количество итераций GMRES.

      Рисунок 3 . Сравнение трех прогонов Ньютона – Крылова (NK), которые используют 3, 5 и 10 итераций Generalized Minimum Residual (GMRES) на одну итерацию NK.

      Из рисунка 3 видно, что выполнения 3 итераций GMRES на итерацию NK недостаточно для достижения быстрой сходимости.С другой стороны, слишком много итераций GMRES тоже не помогает, особенно на первых нескольких итерациях NK, когда норма невязки все еще относительно велика. Для этой проблемы установка максимального количества итераций GMRES на итерацию NK на 5, по-видимому, дает наилучшую производительность.

      На рисунке 4 мы также показываем изменение относительной нормы невязки GMRES, определяемой как || Hs — β e 1 || / β, где H , s , e 1 и β определены в уравнении (24) по отношению к номеру итерации GMRES во время первой и 10-й итераций NK, когда количество итераций GMRES зафиксировано на 10.Мы наблюдаем, что итерация GMRES сходится медленно в первой итерации NK, когда амплитуды CCSD относительно далеки от решения. По мере приближения амплитуд к решению итерация GMRES сходится быстрее.

      Рисунок 4 . Изменение относительной нормы невязки GMRES в первой и 10-й итерациях NK.

      5.3. Транс-димер Ti

      2 O 4

      Следующий пример, который мы используем для тестирования метода NK, — это система оксида титана.Его геометрия показана на рисунке 5. Мы используем базис aug-cc-pvtz для дискретизации задачи.

      Рисунок 5 . Атомная конфигурация транс-димерной системы Ti 2 O 4 .

      Это сложная проблема. На рисунке 6 показано, что DIIS не может сойтись. На самом деле остаточная норма быстро увеличивается. Это в основном вызвано тем фактом, что матрица D , используемая в методе IN, чрезвычайно плохо подготовлена. Чтобы преодолеть эту трудность, мы упорядочиваем расчет NK, вычитая постоянный сдвиг σ из диагонали D .Такой же сдвиг уровня используется в IN, ускоренном DIIS. На рисунке 6 показано, что DIIS сходится, когда σ выбрано равным 0,1. Однако при таком выборе сдвига уровня сходимость происходит довольно медленно. Установив σ на 0,5, мы можем добиться гораздо более быстрой сходимости. Сдвиг также может применяться в NK, когда D — σ I используется в качестве предобуславливателя в итерации GMRES. Для этой проблемы NK (в сочетании с DIIS) сходится с 41 оценкой остаточной функции, что меньше, чем 47 оценок функции, требуемых в DIIS.Аналогичная сходимость наблюдается и для NK без DIIS (который мы здесь не изображаем).

      Рисунок 6 . Сравнение различных решателей CCSD для молекулы транс-димера Ti 2 O 4 .

      5.4. оксо-Mn (сален)

      Теперь мы сравним эффективность NK и DIIS для молекулы оксо-Mn (салена), показанной на рисунке 7. На практике эта система катализирует энантиоселективное эпоксидирование нефункциональных олефинов и представляет собой важное вещество в промышленности.Из-за квазивырожденности низших состояний эта система представляет собой серьезную проблему даже для методов множественных ссылок и в последнее время интенсивно изучается (Irie et al., 1990; Zhang et al., 1990; Antalík et al., 2019).

      Рисунок 7 . Атомная конфигурация молекулы оксо-Mn (салена).

      Мы выполнили расчеты TCCSD в пространстве CAS (28,22), где внешние амплитуды были получены из расчета DMRG.

      На рисунке 8 показана история сходимости итерации IN, ускоренной DIIS, NK и NK в сочетании с DIIS (NKDIIS).В этом примере итерация IN сходится очень быстро. И NK, и NKDIIS немного медленнее, но сходятся за 10 итераций NK. Этот пример показывает, что для систем с функциями множества ссылок важно использовать соответствующую модель, которая может эффективно обрабатывать характер множества ссылок молекулы. С такой моделью может быть проще решить нелинейное уравнение CCSD. Хотя в этом случае NK может не предложить слишком много преимуществ, он все же является эффективным решателем для таких моделей, как.

      Рисунок 8 . Сравнение прямой инверсии итеративного подпространства (DIIS) и NK в сочетании с DIIS (NKDIIS) сходимостью для молекулы оксо-Mn (салена).

      5.5. Набор данных G2 / 97

      В дополнение к тестированию алгоритма NK на вышеуказанных репрезентативных молекулах, мы выполнили более обширное тестирование алгоритма на гораздо более широком диапазоне молекул, случайно выбранных из набора данных G2 / 97 (Curtiss et al., 1997). Из 130 протестированных нами систем NK работает лучше на 123 из них.В среднем NK использует на 12% меньше оценок функций по сравнению с DIIS. В лучшем случае NK использует на 33% меньше вычислений функций. В худшем случае NK использует на 40% больше вычислений функций.

      6. ​​Заключение

      Мы представили метод NK для решения уравнений амплитуды CC. В таком методе поправочное уравнение Ньютона решается итерационным методом подпространства Крылова, таким как метод GMRES. Предобуславливатели могут применяться в итеративном решателе для ускорения сходимости. Мы обсудили компромисс между выполнением большей внутренней (GMRES) итерации и внешней итерации Ньютона и предложили адаптивный критерий остановки для внутренней итерации.Мы сравнили метод NK с широко используемым методом DIIS и показали, как эти два метода могут быть объединены. Мы представили несколько численных примеров, чтобы продемонстрировать эффективность и надежность метода NK не только для стандартных расчетов CCSD, но и для хвостовых расчетов CCSD, где информация для внешней коррекции получается из расчета DMRG. Хотя результаты, представленные в этой статье, относятся к разработкам, выполненным в более старой версии программного обеспечения NWChem, NK был реализован в следующем поколении программного обеспечения NWChem (NWChemEx) (Ричард и др., 2019), предназначенный для высокопроизводительных вычислительных платформ exa-scale.

      Заявление о доступности данных

      Оригинальные материалы, представленные в исследовании, включены в статью / дополнительный материал, дальнейшие запросы можно направлять соответствующим авторам.

      Авторские взносы

      Все перечисленные авторы внесли существенный, прямой и интеллектуальный вклад в работу и одобрили ее к публикации.

      Конфликт интересов

      Авторы заявляют, что исследование проводилось при отсутствии каких-либо коммерческих или финансовых отношений, которые могут быть истолкованы как потенциальный конфликт интересов.

      Благодарности

      Это исследование было поддержано проектом Exascale Computing Project (17-SC-20-SC), совместным усилием Управления 474 Science Министерства энергетики США и Национального управления ядерной безопасности (CY, DW-Y и KK). В этом исследовании использовались ресурсы Национального центра энергетических научных вычислений (NERSC) и Oak Ridge Leadership Computing Facility, которые являются объектами пользователей Управления науки Министерства энергетики США, поддерживаемыми в соответствии с контрактами DE-AC05-00OR22725. JB благодарит Чешский научный фонд за поддержку (грант No.19-13126Y).

      Список литературы

      Анталик, А., Вейс, Л., Брабек, Дж., Демель, О., Орс Легеза, и Питтнер, Дж. (2019). К эффективному приближению локально адаптированного связанного кластера и частному случаю оксо-мин (сален). J. Chem. Phys . 151: 084112. DOI: 10.1063 / 1.5110477

      PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

      Бартлетт, Р. Дж., И Мусял, М. (2007). Теория связанных кластеров в квантовой химии. Ред. Мод. Phys .79, 291–352. DOI: 10.1103 / RevModPhys.79.291

      CrossRef Полный текст | Google Scholar

      Čížek, J. (1966). О проблеме корреляции в атомно-молекулярных системах. расчет компонент волновой функции в разложении типа Урселла методами квантовой теории поля. J. Chem. Phys . 45, 4256–4266. DOI: 10.1063 / 1.1727484

      CrossRef Полный текст | Google Scholar

      Кертисс, Л. А., Рагхавачари, К., Редферн, П. К., и Попл, Дж. А. (1997).Оценка теории Гаусса-2 и функционала плотности для вычисления энтальпий образования. J. Chem. Phys . 106, 1063–1079. DOI: 10.1063 / 1.473182

      CrossRef Полный текст | Google Scholar

      Деннис Дж. Э. и Шабель Р. Б. (1996). Численные методы безусловной оптимизации и нелинейных уравнений . Филадельфия, Пенсильвания: СИАМ. DOI: 10.1137 / 1.9781611971200

      CrossRef Полный текст | Google Scholar

      Eisenstat, S.К. и Уокер, Х. Ф. (1994). Глобально сходящиеся неточные методы Ньютона. SIAM J. Optimiz . 4, 393–422. DOI: 10.1137 / 0804022

      CrossRef Полный текст | Google Scholar

      Ettenhuber, P., and Jrgensen, P. (2015). Отбрасывание информации из предыдущих итераций оптимальным способом для решения уравнений связанной амплитуды кластера. J. Chem. Теория вычислений . 11, 1518–1524. DOI: 10.1021 / ct501114q

      PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

      Гаусс, Дж.(1998). «Теория связанных кластеров», в Энциклопедия вычислительной химии , ред. В. Р. Шлейер, П., Аллинджер, Н. Л., Кларк, Т., Гастайгер, Дж., Коллман, П. А., Шефер III и П. Р. Шайнер (Wiley: Chichester ), 615–636.

      Google Scholar

      Хельгакер Т., Йоргенсен П. и Олсен Дж. (2014). Теория электронного строения молекул . Чичестер: John Wiley & Sons, Ltd.

      Google Scholar

      Ири, Р., Нода, К., Ито, Ю., Мацумото, Н., Кацуки, Т. (1990). Каталитическое асимметричное эпоксидирование нефункционализированных олефинов. Письмо Тетраэдра . 31, 7345–7348. DOI: 10.1016 / S0040-4039 (00) 88562-7

      CrossRef Полный текст | Google Scholar

      Кьёнстад, Э. Ф., Фолкестад, С. Д., и Кох, Х. (2020). Ускоренные многомодельные алгоритмы типа Ньютона для более быстрой сходимости уравнений кластеров, связанных с основным и возбужденным состояниями. J. Chem. Phys . 153: 014104. DOI: 10.1063 / 5.0010989

      PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

      Кнолль, Д., и Киз, Д. (2004). Безакобианские методы Ньютона-Крылова: обзор подходов и приложений. J. Comput. Phys . 193, 357–397. DOI: 10.1016 / j.jcp.2003.08.010

      CrossRef Полный текст | Google Scholar

      Ли, X. (2001). Сравнительное исследование потенциальных энергий и колебательных уровней с использованием метода редуцированных многореференсных связанных кластеров. Молекула HF. J. Mol. Struct . 547, 69–81. DOI: 10.1016 / S0166-1280 (01) 00460-2

      CrossRef Полный текст | Google Scholar

      Ли, Х.и Палдус Дж. (1997). Метод CCSD с редуцированными ссылками: эффективный подход к квазивырожденным состояниям. J. Chem. Phys . 107, 6257–6269. DOI: 10.1063 / 1.474289

      CrossRef Полный текст | Google Scholar

      Лях Д. И., Лотрич В. Ф., Бартлетт Р. Дж. (2011). Адаптированное CCSD (T) описание автомеризации циклобутадиена. Chem. Phys. Lett . 501, 166–171. DOI: 10.1016 / j.cplett.2010.11.058

      CrossRef Полный текст | Google Scholar

      Лях, Д.И., Мусял, М., Лотрих, В. Ф., Бартлетт, Р. Дж. (2012). Многовариантная природа химии: взгляд связанных кластеров. Chem. Ред. . 112, 182–243. DOI: 10.1021 / cr2001417

      PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

      Палдус Дж. И Ли X. (1999). Критическая оценка метода связанных кластеров в квантовой химии . Чичестер: John Wiley & Sons, Ltd. 1–175. DOI: 10.1002 / 9780470141694.ch2

      CrossRef Полный текст | Google Scholar

      Пьекуч, П., и Адамович, Л. (1994). Решение уравнений связанных кластеров с одним эталоном, включающих высоковозбужденные кластеры в квазивырожденных ситуациях. J. Chem. Phys . 100, 5857–5869. DOI: 10.1063 / 1.467149

      CrossRef Полный текст | Google Scholar

      Пулай, П. (1980). Ускорение сходимости итерационных последовательностей: случай итерации SCF. Chem. Phys. Lett . 73, 393–398. DOI: 10.1016 / 0009-2614 (80) 80396-4

      CrossRef Полный текст | Google Scholar

      Первис, Г.и Бартлетт Р. (1982). Модель одиночных и двойных пар со связанными кластерами: включение несвязанных троек. J. Chem. Phys . 76, 1910–1918. DOI: 10.1063 / 1.443164

      CrossRef Полный текст | Google Scholar

      Первис, Г. Д. III., И Бартлетт, Р. Дж. (1981). Метод редуцированных линейных уравнений в теории связанных кластеров. J. Chem. Phys . 75, 1284–1292. DOI: 10.1063 / 1.442131

      CrossRef Полный текст | Google Scholar

      Рагхавачари, К., Trucks, G. W., Pople, J. A., and Head-Gordon, M. (1989). Сравнение теории электронных корреляций пятого порядка по возмущениям. Chem. Phys. Lett . 157, 479–483. DOI: 10.1016 / S0009-2614 (89) 87395-6

      CrossRef Полный текст | Google Scholar

      Ричард, Р. М., Бертони, К., Бошен, Дж. С., Кейперт, К., Притчард, Б., Валеев, Э. Ф. и др. (2019). Разработка основы вычислительной химии для экзадачной эры. Comput. Sci. Eng . 21, 48–58. DOI: 10.1109 / MCSE.2018.2884921

      CrossRef Полный текст | Google Scholar

      Rohwedder, T., and Schneider, R. (2011). Анализ для метода ускорения DIIS, используемого в расчетах квантовой химии. J. Math. Chem . 49, 1889–1914. DOI: 10.1007 / s10910-011-9863-y

      CrossRef Полный текст | Google Scholar

      Саад Ю. и Шульц М. Х. (1986). GMRES: Обобщенный алгоритм минимальной невязки для решения несимметричных линейных систем. SIAM J. Sci.Стат. Вычислить . 7, 856–869. DOI: 10.1137 / 0

      8

      CrossRef Полный текст | Google Scholar

      Сондерс, В. Р., и Хиллиер, И. Х. (1973). Метод сдвига уровня для сходящихся волновых функций Хартри-Фока с замкнутой оболочкой. Внутр. Дж. Квантовая химия, . 7, 699–705. DOI: 10.1002 / qua.560070407

      CrossRef Полный текст | Google Scholar

      Шавитт И. и Бартлетт Р. Дж. (2009). Многотельные методы в химии и физике: MBPT и теория связанных кластеров .Кембридж: Издательство Кембриджского университета. DOI: 10.1017 / CBO9780511596834

      CrossRef Полный текст | Google Scholar

      Валиев, М., Быласка, Э., Говинд, Н., Ковальский, К., Страатсма, Т., Ван Дам, Х. и др. (2010). NWChem: комплексное и масштабируемое решение с открытым исходным кодом для крупномасштабного молекулярного моделирования. Comput. Phys. Коммуна . 181, 1477–1489. DOI: 10.1016 / j.cpc.2010.04.018

      CrossRef Полный текст | Google Scholar

      Уокер, Х. У., и Ни, П.(2011). Ускорение Андерсона для итераций с фиксированной точкой. SIAM J. Num. Анальный . 49, 1715–1735. DOI: 10.1137 / 10078356X

      CrossRef Полный текст | Google Scholar

      Zhang, W., Loebach, J. L., Wilson, S. R., and Jacobsen, E. N. (1990). Энантиоселективное эпоксидирование нефункционализированных олефинов, катализируемое комплексами марганца салена. J. Am. Chem. Soc . 112, 2801–2803. DOI: 10.1021 / ja00163a052

      CrossRef Полный текст | Google Scholar

      Введение в методы подпространства Крылова при уменьшении модельного порядка

      Введение в Крылова Подпространство Методы в < strong> Модель Порядок Сокращение Борис Ломанн и Бехнам Салимбахрами, Institut für Au to matisierungstechnik, Universität Bremen, 28359 Bremen, BL @ яuni-bremen.de, Salimbahram[email protected] В последние годы подпространственные методы Крылова стали популярными to ols для вычислений в g моделей пониженного порядка высокого порядка l в время нахождения в вариантных системах. Уменьшение может быть выполнено путем применения в g проекции из в пространства более низкого порядка, используя в g основания некоторых подпространств, называемых в < / strong> поместить и вывести подпространства Крылова .Цель этой статьи — представить in in до сильного in правила сокращения модели на основе подпространства Крылова и для общего обзора алгоритмов, доступных для вычислений. Технический пример иллюстрирует процедуры.1 Введение и Pr in Модель Порядок Сокращение Методы подпространства Крылова играют ключевую роль в приближенном решении многих масштабных задач в различных областях науки 1.При уменьшении порядка модели их можно использовать для f в d amapp в g из многомерного пространства данной модели пространства состояний. к некоторому пространству меньшего измерения и наоборот, тем самым определяя в в g модель уменьшенного порядка. Эта процедура в g mapp в gs в порядке уменьшения также называется сокращением путем проецирования.Оказывается, также классические методы в l в уменьшении порядка следования, такие как модальные методы [5] и балансирование в усечении [14], могут быть ниже до методов проецирования. Таким образом, в этом в разделе, посвященном рассмотрению, мы кратко рассмотрим некоторые основные концепции и отношения в уменьшении порядка модели.Для простоты мы рассматриваем l in во времени — в вариантных моделях пространства состояний только с одним входом и одним выходом (хотя все обсуждаемые здесь методы может быть расширен на мульти- вход системы с несколькими выходами), x Ax bu, (1) yc T x, (2) с помощью in поместите переменную u, выходную переменную y, (n, 1) -vec to rx переменных состояния, constnon-s в гулярную матрицу A и vec < strong> to rs b, c подходящих размеров.Число переменных состояния n называется порядком системы. Передаточная функция системы в (1), (2) isc T g (s) (sI A) 1 b, (3) относится к in g выходу < strong> на in , введенный y (s) g (s) u (s). Если количество переменных состояния, n, очень велико, анализ модели, моделирование и проектирование являются сложными. На рисунках 1 и 2 показаны две технические системы, которые можно моделировать в пространстве состояний уравнениями типа (1) и (2), которые приводят в g к система заказывает от 400 до нескольких тысяч (зависит в г от того, насколько детализирована модель в г).

  • Leave a Reply

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *