Контрольные по математике 2 класс перспектива: Контрольные работы по математике 2 класс УМК Перспектива

Итоговая контрольная работа по математике 2 вариант во 2 классе УМК «Перспектива»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ

2 КЛАСС УМК «ПЕРСПЕКТИВА»

Вариант 2

ФИ____________________________________________________________ Дата __.05.15

А 1. Найди закономерность и продолжи ряд, отметив знаком (+) ряд, правильный вариант ответа. 8, 11, 14, …, … .

17, 20, 2316, 18, 2015, 16, 17А 2.Отметь знаком (+) частное чисел 8 и 4.

1) 8*4

2) 8 : 4

3) 8-4

А 3. Отметь знаком(+) выражение, значение которого равно 47.

1) 62-11

2) 42+6

3) 50-3

А 4. Отметь знаком (+) значение выражения 5+4*8

1) 72

2) 37

3) 28

А 5. Отметь знаком (+) число, которое в 8 раз больше, чем 9.

1) 17

2) 64

3) 72

А 6.Отметь знаком (+) выражение, где вместо точек нужно поставить знак «=».

1) 0 : 4…4 * 0

2) 7 * 1…7 + 1

3) 8 * 0…8 * 1

А 7. Укажи верный ответ, отметив его знаком (+).

36 марок наклеили поровну на 4 альбомных страницы.

Сколько марок на каждой странице?

1) 32

А 8. Отметь знаком (+) ряд в котором указан правильный ответ.

Найди сумму ломаной.

1) 12 см

2) 14 см

3) 18 см

А 9. Выбери верное утверждение, отметь его знаком (+).

1) 1 м = 10 см

2) 1 ч = 60 мин

3) 1 дм = 100 см

А 10. Отметь знаком (+) периметр прямоугольника со сторонами 3 см и 8 см.

32 см2) 19 см

3) 22 см

Часть II

В 1. Реши задачу. У Арины было 4 пачки карандашей по 8 штук в каждой. Она отдала Яне 12 карандашей. Сколько карандашей осталось у Арины?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

В 2. Запиши выражение и найди его значение.

Из 100 вычесть произведение чисел 7 и 8.

________________________________________________________________________

В 3. На диаграмме показано, сколько телевизоров продано в магазине в каждый день недели. Один квадрат изображает 1 телевизор.

Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс

С помощью диаграммы ответь на вопросы:

1. В какой день недели магазин продал телевизоров больше всего? _______________

Меньше всего?_________________

2. Сколько всего телевизоров продал магазин за первые три дня недели? _________

За всю неделю?_________________

3. На сколько больше телевизоров продали в субботу и воскресенье чем в среду и четверг?_______________________

Часть III

С1. Реши задачу.

В трёх вазах 3, 9 и 6 слив. В первой вазе в 3 раза меньше слив, чем в третьей, а во второй на 3 больше, чем в первой. Сколько слив в каждой вазе?

1-ваза____________________2-я ваза_________________3-я ваза________________

С 2. Катя, Вера и Полина имеют фамилии: Чернова, Фролова и Иванова. Какую фамилию имеет каждая девочка, если Катя, Полина и Иванова занимаются танцами, а Полина и Чернова ещё занимаются музыкой?

Катя-_______________Вера-_____________________Полина-___________________

Проанализируйте выполненную работу и заполните таблицы.

Задания, которые мне было выполнять легко

Задания, при выполнении которых у меня возникли сомнения

Задания, которые мне было выполнять трудно

Задания, которые мне было выполнять интересно

Выполните цветовую самооценку работы.

— Я справился с заданием.

— Испытываю затруднения.

— Было трудно. Мне нужна помощь.

Часть 1

Часть 2

Часть 3

Учитель:

Ассистент:

Если Вы являетесь автором этой работы и хотите отредактировать, либо удалить ее с сайта — свяжитесь, пожалуйста, с нами.

Контрольная работа по математике 2 класс 3 четверть программа «Перспектива»

Контрольная работа по математике 2 класс 3 четверть программа «Перспектива»

1 вариант

Ф.И.____________________________________________________

1. Прочитай примеры и реши их

29 — (2+7) (15-5) : 5 7 + (2+8)

(6+3) · 2 10 + (3-3) (12-10) + 7

2.

Выполни вычисления

63+6 56+23 82+15

24+5 49-17 56-30

3. Сравни

2 дм 4см Ο 23 см

1м 6 дм Ο 16 дм

52 дм Ο 5 м 1 дм

83 см Ο 9 дм

4. Запиши примеры в столбик и реши их

37+21 56+23 82+15

64 – 32 49 – 17 56 – 30

5. Реши задачу

Катя вырезала из цветной бумаги 15 красных звёздочек 10 зелёных, а жёлтых столько, сколько красных и зелёных вместе. Сколько жёлтых звёздочек вырезала Катя?

6* Реши задачу

Высота столба 10м. Улитка ползёт по нему и поднимается за день на 4 м, а за ночь опускается на 2 м. За сколько дней улитка доползёт до вершины столба?

Контрольная работа по математике 2 класс 3 четверть программа «Перспектива»

2 вариант

Ф. И.____________________________________________________

1. Прочитай примеры и реши их

29 — (3+7) (15-5) : 3 7 + (4+8)

(6+3) · 2 10 + (3-4) (12-10) + 7

2.Выполни вычисления

64+6 56+22 82+11

24+3 49-15 56-34

3. Сравни

2 дм 4см Ο 25 см

1м 6 дм Ο 19 дм

52 дм Ο 5 м 7 дм

83 см Ο 9 дм

4. Запиши примеры в столбик и реши их

37+23 57+23 85+15

64 – 31 49 – 19 56 – 34

5. Реши задачу

Катя вырезала из цветной бумаги 17 красных звёздочек 13 зелёных, а жёлтых столько, сколько красных и зелёных вместе. Сколько жёлтых звёздочек вырезала Катя?

6* Реши задачу

Высота столба 10м. Улитка ползёт по нему и поднимается за день на 4 м, а за ночь опускается на 2 м. За сколько дней улитка доползёт до вершины столба?

ГДЗ решебник к тестам по математике за 2 класс Миракова

ГДЗ к тестам по математике за 2 класс авторов Т.Н. Мираковой издательство Перспектива содержит ответы ко всем заданиям из практического пособия.

В решебнике с ответами к тестам по математике за 2 класс авторов Дорофеева, Мираковой, Бука издательство Перспектива можно найти готовые домашние задания по предмету.

Номера тестов

456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869

Оглавление

Тест 1. Луч. Числовой луч — Страница 4
Тест 2. Угол. Умножение — Страница 6
Тест 3. Умножение числа 2. Многоугольник — Страница 8
Тест 4. Умножение числа 3 — Страница 10
Тест 5. Умножение числа 4 — Страница 12
Тест 6. Множители. Произведение. Умножение числа 5 — Страница 14
Тест 7. Умножение числа 6 — Страница 16

Тест 8. Умножение чисел 7, 8, 9 и 10 — Страница 18
Тест 9. Таблица умножения в пределах 20 — Страница 20
Тест 10. Задачи на деление. Деление — Страница 22
Тест 11. Деление на 2 — Страница 24
Тест 12. Деление на 3 — Страница 26
Тест 13. Делимое. Делитель. Частное — Страница 28
Тест 14. Деление на 4 — Страница 30
Тест 15. Деление на 5 — Страница 32
Тест 16. Порядок выполнения действий. Деление на 6 — Страница 34
Тест 17. Деление на 7, 8, 9 и 10 — Страница 36
Тест 18. Образование чисел, которые больше 20 — Страница 38
Тест 19. Метр — Страница 40
Тест 20. Умножение круглых чисел — Страница 42
Тест 21. Деление круглых чисел — Страница 44
Тест 22. Сложение вида 35 + 2, 35 + 20 — Страница 46

Тест 23. Вычитание вида 56-2, 56-20 — Страница 48
Тест 24. Сложение и вычитание вида 23+15, 69-24 — Страница 50
Тест 25. Сложение вида 26 + 4, 3 + 47, 36 + 14, 12 + 48 — Страница 52
Тест 26. Вычитание вида 35-15, 30-4 — Страница 54
Тест 27. Вычитание вида 60-17 — Страница 56
Тест 28. Сложение и вычитание вида 38 + 14, 32 – 5, 51 – 27 — Страница 58
Тест 29. Прямой угол. Прямоугольник. Квадрат. Периметр многоугольника — Страница 60
Тест 30. Час. Минута — Страница 62
Тест 31. Задачи на увеличение (уменьшение) числа в несколько раз — Страница 64
Тест 32 (итоговый) — Страница 66
Тест 33 (резервный). Читаем диаграммы — Страница 68

ГДЗ по математике для 2 класса проверочные работы Миракова Перспектива

Одним из нерешенных споров в сфере образования остается вопрос о том, важны ли отметки. Безусловно, система оценки знаний считается несовершенной, а многие и вовсе обвиняют ее в несправедливости. Так, люди разделились на два крупных лагеря. Первые считают, что даже двоечники и троечники способны добиться успеха в жизни и аттестат никак не сказывается на них. Вторые полагают, что со сплошными пятерками и четверками будет легче не только учиться, но и жить в целом.

Естественно, что правы те специалисты (в их числе ведущие психологи, педагоги страны и мира), которые считают, что важность отметок неоспорима. Отличники и хорошисты уверены в себе. Они не подвержены травле и пользуются уважением среди сверстников, и среди учителей.

Данную планку довольно трудно достигнуть и еще сложнее ее удержать. Чтобы оставаться на лидирующих позициях, ученик должен постоянно совершенствоваться и соблюдать все дисциплинарные нормы. Школьник, даже второклассник, обязан посещать каждый урок (пропускать можно только из-за болезни), выполнять любое упражнение повышенной сложности. Ни одна контрольная работа не вызовет страха, а рабочая программа будет полностью усвоена.

Не секрет, что почти половина людей — гуманитарии. Им трудно дается информатика, физика или химия. Даже 2 класс может принести сложный раздел. Одним из сложнейших предметов является математика, она содержит много формул, которые нужно запомнить. Чтобы моментально перебороть трудности, нужно заниматься дополнительно. Все, что понадобится при подобных занятий — время и ГДЗ к проверочным работам по математике за 2 класс авторы Миракова Т.Н. Никифорова Г.В. УМК «Перспектива» (к учебнику Дорофеев Г.В.) ФГОС.

Онлайн решебник — это отличная альтернатива репетитору. В нем есть готовые ответы на любой номер и решение заданий. Это позволяет анализировать и запоминать.

ГДЗ к учебнику по математике за 2 класс Дорофеев Г.В. можно посмотреть здесь.

ГДЗ к рабочей тетради по математике за 2 класс Дорофеев Г.В. можно посмотреть здесь.

ГДЗ к тестам по математике за 2 класс Миракова Т. Н. можно посмотреть здесь.

Контрольные работы по математике для 2 класса , 1 полугодие (УМК Перспектива)

Входная контрольная работа
Вариант 1
1. Выполни действия:
6+10 18 — 10 15-11
5 + 9 13-7 17 — 8
2. Реши задачу:
Для детского сада купили 9 мячей, а кукол — на 3 меньше. Сколько всего игрушек купили для детского сада?
3. Сравни:
13 кг … 14 кг 3 л + 8 л … 11 л
11 см … 9 см 1 дм 7 см … 18 см
4. Начерти квадрат со стороной 3 см.
Вариант 2
1. Выполни действия:
12+5 20 — 10 19-14
6+ 7 4+10 14- 9
2. Реши задачу:
В пакете было 8 шоколадных пряников, а мятных — на 3 больше. Сколько всего пряников было в пакете?
3. Сравни:
15 кг … 12 кг 6 л+7 л … 14 л
8 см … 11 см 1 дм 5 см … 16 см
4. Начерти квадрат со стороной 4 см.
Контрольная работа по теме «Умножение»
Вариант 1
1. Отметь в тетради точки, как показано на чертеже. Построй угол ДОЕ.
Запиши названия лучей, которые ты провёл.
2. Запиши примеры, используя знак умножения. Реши их.
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2
3 + 3 + 3 + 3
5 + 5 + 5
3. Запиши примеры, используя знак сложения. Выполни вычисления.
6 · 2
4 · 4
5 · 3
1 · 9
4. Реши задачу с помощью сложения и умножения.
На одной тарелке 6 картофелин. Сколько всего картофелин на 3 таких тарелках?
Вариант 2
1. Отметь в тетради точки, как показано на чертеже. Построй угол АБС. Запиши названия лучей, которые ты провёл.
2. Запиши примеры, используя знак умножения. Реши их.
6 + 6 + 6
4 + 4 + 4 + 4 + 4
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3
3. Запиши примеры, используя знак сложения. Выполни вычисления.
2 · 9
3 · 3
6 · 3
0 · 5
4. Реши задачу с помощью сложения и умножения.
В один стакан положили 4 куска сахара. Сколько кусков сахара положили в 5 таких стаканов?
Контрольная работа за 1 четверть
Вариант 1
1.Выполни действия:
13 — 6 +9=                      2 ∙ 7 + 3=
4 + 10 – 8=                      4 ∙ 3 + 5=
18 – 7 + 6 =                     3 ∙ 6 – 9=
Сравни:
3 ∙ 4 … 3+3+3+3+3            2  ∙ 8 …. 4 ∙ 4
  16 – 8 …7 + 9   18 – 5 …5 + 8
3.Реши задачу.
У Оли было 3 монеты по 2 рубля. Она потратила на наклейку 3 рубля. Сколько денег осталось у Оли?
Было

Математика 2 класс Тесты Миракова

Аннотация

Данное пособие содержит варианты тестовых заданий по математике для проведения тематического, промежуточного и итогового контроля образовательных результатов младших школьников. Тесты составлены в соответствии с требованиями к результатам освоения основной образовательной программы НОО по предметной области Математика и информатика, ФГОС НОО и рабочей программой по математике для 2 класса предметной линии учебников серии Перспектива.

Пример из учебника

Каждый тематический тест содержит 4-10 заданий, разделённых на две части. Процесс проведения каждой части теста задан в виде однозначного алгоритма (выбор ответа из предложенных вариантов или заполнение пропусков).
Главная особенность предлагаемых тестовых заданий состоит в том, что они по форме и содержанию отличаются от типовых упражнений учебника, не повторяют формулировки заданий из учебника и рабочих тетрадей, но вместе с тем не требуют дополнительных знаний, выходящих за рамки программы, и вполне посильны учащимся.
Первая часть теста – это 1-6 заданий, которые можно отнести к блоку Ученик научится и выполнение которых свидетельствует об успешном усвоении программного материала по конкретной теме. Кроме решения диагностической задачи, эти задания направлены на совершенствование базовых предметных знаний и универсальных учебных действий учащихся. Работа с этими заданиями способствует выработке умения применять знания в несколько изменённой ситуации, глубже овладевать методами получения информации. Выполнение этих заданий способствует осознанию преемственных связей между предыдущим и последующим материалом, обеспечивает повторение пройденного материала и закладывает основы перехода к изучению нового.

Содержание

К ученику 3
Тест 1. Луч. Числовой луч 4
Тест 2. Угол. Умножение 6
Тест 3. Умножение числа 2. Многоугольник 8
Тест 4. Умножение числа 3 10
Тест 5. Умножение числа 4 12
Тест 6. Множители. Произведение. Умножение числа 5 14
Тест 7. Умножение числа 6 16
Тест 8. Умножение чисел 7, 8, 9 и 10 18
Тест 9. Таблица умножения в пределах 20 20
Тест 10. Задачи на деление. Деление 22
Тест 11. Деление на 2 24
Тест 12. Деление на 3 26
Тест 13. Делимое. Делитель. Частное 28
Тест 14. Деление на 4 30
Тест 15. Деление на 5 32
Тест 16. Порядок выполнения действий. Деление на 6 34
Тест 17. Деление на 7, 8, 9 и 10 36
Тест 18. Образование чисел, которые больше 20 38
Тест 19. Метр 40
Тест 20. Умножение круглых чисел 42
Тест 21. Деление круглых чисел 44
Тест 22. Сложение вида 35 + 2, 35 + 20 46
Тест 23. Вычитание вида 56-2, 56-20 48
Тест 24. Сложение и вычитание вида 23+15, 69-24 50
Тест 25. Сложение вида 26 + 4, 3 + 47, 36 + 14, 12 + 48 52
Тест 26. Вычитание вида 35-15, 30-4 54
Тест 27. Вычитание вида 60-17 56
Тест 28. Сложение и вычитание вида 38 + 14, 32 – 5, 51 – 27 58
Тест 29. Прямой угол. Прямоугольник. Квадрат. Периметр многоугольника 60
Тест 30. Час. Минута 62
Тест 31. Задачи на увеличение (уменьшение) числа в несколько раз 64
Тест 32 (итоговый) 66
Тест 33 (резервный). Читаем диаграммы 68
К учителю 70

Для комфортного и реалистичного чтения учебника в онлайн режиме, встроен простой и мощный 3D плагин. Вы можете скачать учебник в PDF формате по прямой ссылке.

Дорогие друзья! Обращаемся к Вам! Если Вы не нашли необходимые учебники, напишите нам в сообщество в кантакте https://vk.com/uchebnikionlineru. Спасибо!

Математика 2 класс

Щиток приборов

Математика 2 класс

Перейти к содержанию Щиток приборов

• Авторизоваться

• Панель приборов

• Календарь

• Входящие

• История

• Помогите

близко
• Мой Dashboard
• Математика 2 класс
NE
• Домашняя страница
• Процедуры
• Закрытие
• Банк ресурсов
• Курс 1 класса
• Курс 3 класса
• Учебная программа 2 класса Сообщество
• Семья и сообщество 2 класса
• Сотрудничество
• Google Drive
Содержание этого курса предлагается по лицензии CC Attribution Non-Commercial Share Alike .Содержимое этого курса может рассматриваться в рамках этой лицензии, если не указано иное. Посмотреть ленту курса

Скоро

Просмотр календаря
• Ничего на следующую неделю

Преподавание математики посредством концептуальной мотивации и практического обучения

Это практический концептуальный документ, описывающий избранные средства для практического обучения и концептуальной мотивации на всех уровнях математического образования.В нем подробно описывается подход, использованный авторами для разработки идей для практиков преподавания математики. В статье показано, что такой подход в математическом образовании, основанный на практическом обучении в сочетании с естественной мотивацией, проистекающей из здравого смысла, является эффективным. Кроме того, стимулирующие вопросы, компьютерный анализ (включая поиск в Интернете) и классические известные задачи являются важными инструментами мотивации в математике, которые особенно полезны в рамках практического обучения. Авторы утверждают, что вся учебная программа по математике K-20 под единым зонтом возможна, когда методы концептуальной мотивации и обучения действиям используются во всем этом широком спектре.Этот аргумент подтверждается различными примерами, которые могут быть полезны на практике школьным учителям и преподавателям вузов. Авторы нашли прагматическую причину для практического обучения в рамках математического образования практически на любом этапе академической жизни студентов.

1. Введение

В настоящее время студентам требуется как познавательный, так и практический опыт на протяжении всего их математического образования, чтобы быть продуктивными гражданами 21 века. Происхождение этого утверждения можно проследить до работ Джона Дьюи, который подчеркивал важность образовательной деятельности, которая включает «развитие любого рода артистических способностей, особых научных способностей, эффективных гражданственности, а также профессиональных и деловых качеств». профессий »([1], с.307). Совсем недавно Биллетт [2], основываясь на своих исследованиях интеграции опыта обучения студентов высших учебных заведений в дисциплинах, связанных с сестринским уходом и подобными услугами в поддержку человеческих потребностей, предположил, что «возможно, можно будет полностью интегрировать практический опыт в совокупность опыта высшего образования, которая способствует развитию прочных и критических профессиональных знаний »(стр. 840). Главный аргумент настоящей статьи состоит в том, что в контексте математического образования практическое обучение (концепция, представленная в разделе 3) — это сам процесс передачи этого опыта в сочетании с концептуальной мотивацией (термин, введенный в разделе 2) при обучении математике. по всей учебной программе K-20.С этой целью в этом практическом концептуальном документе, подробно описывающем подход, использованный авторами для разработки идей для практиков преподавания математики, предлагается обзор избранных средств практического обучения в рамках формального континуума математического образования. В определенной степени эта статья продвигает идею обучения на практике [3] в контексте математического образования. Представлены аргументы, подтверждающие ценность практического обучения для всех вовлеченных лиц (на уровне колледжа, добавление к дуэту студента и преподавателя математики третьего сообщества или университетского профессионала-нематематика) (разделы 2–4).Также рассматривается интеграция компьютерной педагогики сигнатур (CASP) и нецифровой технологии, а также эффективное опросы с обучением действием (разделы 5 и 6).

Учащиеся могут с радостью получать формальное математическое образование в течение двадцати и более лет, и они могут быть мотивированы повсюду с помощью обширных учебных программ по математике. Практическое обучение в математическом образовании в сочетании с механической теорией переносит математические темы в реальный мир. Естественно, что примеры начального уровня имеют основополагающее значение, и это подкрепляется практическим обучением на вторичном уровне (разделы 4.1.1 и 4.1.2). Открытые проблемы математики часто можно познакомить с учащимися начальных, средних и высших учебных заведений (Раздел 7). Традиционно классические результаты и открытые задачи мотивируют не только студентов, но и самих педагогов. Поскольку необходимы эффективные учителя математики, практическое обучение следует использовать на всех уровнях математического образования, зная, что будущие преподаватели входят в число нынешних учеников. Конечно, возможность участвовать в открытиях очень мотивирует всех, включая студентов и учителей математики, по крайней мере.

2. Любопытство и мотивация

Хотя необходимость изучения математики в начальной, средней и высшей школе общеизвестна, вопрос о том, как преподавать математику, является спорным. Как более подробно описано в [4] со ссылками на [5–10], разногласия связаны с неоднородностью программ подготовки учителей, разногласиями между формализмом и смыслом между преподавателями математики и различными взглядами на использование технологий. Мы считаем, что надлежащий способ преподавания математики на всех уровнях — это делать это через приложения, а не использовать традиционные лекции, подчеркивая формализм математического аппарата.Реальные приложения позволяют заинтересованным людям учиться математике. Эту естественную мотивацию можно рассматривать как зависящий от возраста процесс, простирающийся от естественного детского любопытства в начальной школе до истинного интеллектуального любопытства на уровне высшего образования. Независимо от возраста учащихся, можно рассматривать любопытство как мотивацию «приобретать или преобразовывать информацию в обстоятельствах, которые не представляют немедленной адаптивной ценности для такой деятельности» ([11], с. 76). То есть любопытство и мотивация — тесно связанные психологические черты.

Большинство исследований, посвященных развитию любознательности, касается начального образования. Однако эти исследования могут помочь нам понять, как любопытство превращается в мотивацию стать профессионалом высокого уровня. Например, Видлер [12] проводил различие между эпистемическим и перцептивным любопытством, которые проявляются, соответственно, «запросом о знании» и проявляются, например, когда ребенок ломает голову над какой-то научной проблемой, с которой он столкнулся… [и] повышенное внимание дается объектам в ближайшем окружении ребенка, как, например, когда ребенок дольше смотрит на асимметричную, а не симметричную фигуру на экране »(стр.18). Точно так же взрослые учащиеся на высшем уровне могут быть мотивированы призывом своего учителя математики задать вопросы, касающимся информации, которой они поделились, или их опытом общения с окружающим миром, когда они пытаются интерпретировать «ткань мира… [используя] некоторые причины максимум и минимум »(Эйлер, цит. по [13], с. 121).

Связанный с высшим уровнем, Видлер [14] определил мотивацию достижения как «образец… действий… связанных со стремлением достичь некоего интернализованного стандарта качества» (стр.67). Есть также взрослые ученики, которые «заинтересованы в совершенстве ради него самого, а не ради вознаграждения, которое оно приносит» ([14], с. 69). Биггс [15] признает, что внутренняя мотивация в изучении математики связана с «интеллектуальным удовольствием от решения проблем независимо от каких-либо вознаграждений, которые могут быть вовлечены… [предполагая, что] цели глубокого обучения и мотивации достижений в конечном итоге расходятся» (стр. 62). Классическим примером в поддержку этого предположения является решение гипотезы Пуанкаре (столетней давности) геометром Григорием Перельманом, который после почти десятилетия «глубокого обучения» отказался от нескольких международных наград за свою работу, включая медаль Филдса («Медаль Филдса»). Нобелевская премия ») и (1 миллион долларов) Clay Millennium Prize (https: // www.Claymath.org/).

Поскольку любопытство является источником мотивации к обучению, Мандельброт [16] в пленарной лекции по экспериментальной геометрии и фракталам на 7-м Международном конгрессе по математическому образованию посоветовал аудитории, состоящей в основном из дошкольных преподавателей математики, как сосредоточиться на любопытстве, когда преподавание математики: «Мотивируйте учеников тем, что увлекательно, и надейтесь, что возникающий энтузиазм создаст достаточный импульс, чтобы продвинуть их через то, что не весело, но необходимо» (стр.86). Именно такую ​​мотивацию авторы называют концептуальной мотивацией. В частности, в этой статье термин «мотивация концепции» означает стратегию обучения, с помощью которой, используя любопытство учащихся в качестве стержня, введение новой концепции оправдывается за счет ее использования в качестве инструмента в приложениях для решения реальных проблем. Например, операция сложения может быть мотивирована необходимостью регистрации увеличения большого количества объектов другой такой величиной, концепция иррационального числа может быть мотивирована необходимостью измерения периметров многоугольных ограждений на плоскости решетки ( называется геодиской на начальном уровне), или концепция интеграла может быть мотивирована необходимостью найти области криволинейных плоских фигур.

Другой математически значимый инструмент мотивации — конкретность. Согласно Дэвиду Гильберту, математика начинается с постановки задач в контексте конкретных действий, «подсказываемых миром внешних явлений» ([17], с. 440). Мы считаем, что «конкретность» является подходящим синонимом мотивации, связанной с математическим образованием. Сам термин бетон указывает на то, что различные ингредиенты объединяются и синтезируются. Цель изучения математики — конкретизировать понятия, как теоретические, так и прикладные.Полезно иметь четкое понимание чего-либо. Люди от природы хотят иметь «полное» знание определенных вещей. Зная детали и конкретизируя идеи, мы уменьшаем беспокойство, связанное с описанием и использованием этих идей. Конкретность мотивирует все стороны, вовлеченные в математическое образование. Даже на административном уровне существует понимание того, что «основная учебная программа FKL [Основы знаний и обучения] предоставит вам возможность изучить множество жизненно важных областей обучения, что сделает вас более осведомленными и вовлеченными в понимание проблем, которые глобальные реалии требуют »([18], курсив , добавлено), где мы делаем упор на« реальности ».Это мотивация для всех, поскольку все мы хотели бы использовать математическую теорию или, по крайней мере, увидеть ее применение. Следовательно, мотивация у взрослых учащихся пропорционально выше, чем у детей, которые могут не видеть «полезности» в математике. В Университете Южной Флориды преподавателей определенных курсов (например, последовательности исчисления) просят включить утверждение FKL в свои учебные планы.

До недавнего времени термины «промышленный» и «технический» имели довольно уничижительную коннотацию в математическом образовании.Традиционное формальное чтение лекций по-прежнему преобладает в большинстве классных комнат. Однако в изучении математической теории часто используется некоторая «отрасль» или «техника», поэтому эти два понятия не дополняют друг друга. Трудно выделить часть огромного объема учебных программ по математике K-20, которая исключает применение теории или возможного практического применения. Кроме того, теория неявно включена в образование в области STEM из-за ее научного компонента.

В контексте подготовки учителей математики акцент на приложениях дает будущим учителям очень важную способность подавать примеры математических идей в удобных для использования формах.Затем эту способность можно передать своим ученикам. Еще на уровне дошкольного образования можно понять, что математические знания возникают из необходимости разрешать реальные жизненные ситуации разной степени сложности. Принцип учебной программы, выдвинутый Национальным советом учителей математики [19], включает в себя идею о том, что всем учащимся на этом уровне следует предлагать опыт, «чтобы увидеть, что математика имеет мощное применение в моделировании и прогнозировании явлений реального мира» (стр. 15 -16). Этот акцент на приложениях выходит за рамки дошкольного уровня.Действительно, математика сильно развивалась и проникала во все сферы жизни, что сделало университетское математическое образование необходимым, но спорным элементом современной культуры.

3. Обучение действиям

Многие люди прагматичны, делая то, что работает. Когда что-то не работает, человек вынужден задавать вопросы, как заставить это работать. Начиная с 1940-х годов Реджинальд Реванс начал разрабатывать концепцию обучения действием, метод решения проблем, характеризующийся действием и размышлением о результатах, в качестве педагогической педагогики для развития бизнеса и решения проблем [20, 21].С того времени обучение действием стало описывать различные формы, которые оно может принимать, и контексты, в которых его можно наблюдать. В контексте достижения высокого качества университетского обучения «целью практического обучения является обучение отдельного учителя» ([22], с. 7). В общем контексте повышения профессиональной результативности Дилворт [23] утверждает, что практическое обучение начинается с исследования реальной проблемы, поэтому независимо от того, является ли проблема «тактической или стратегической… [процесс] обучения является стратегическим» (стр.36). Практическое обучение в математическом образовании можно определить как обучение через индивидуальную работу учащихся над реальной проблемой с последующим размышлением над этой работой. В большинстве случаев эту работу поддерживает «более знающий друг».

В математическом образовании практическое обучение, зародившееся в раннем детстве, имеет естественный уровень зрелости. Прежде чем мы займемся повседневными обязанностями, связанными с взрослой жизнью, мы можем свободно рассмотреть практическое обучение в игровой форме.Наша страсть к играм и изучению выигрышных стратегий переносится в более позднюю жизнь как средство развлечения и как инструмент для обучения следующего поколения детей. Мотивация к практическому обучению в математическом образовании постепенно меняется от выигрыша в играх к успеху в реальных предприятиях. Залог успеха — умение решать проблемы. Исследования показывают, что любопытство можно охарактеризовать как волнение по поводу необычных наблюдений и неожиданных явлений [24].Кроме того, «то, что будет интересно детям, во многом зависит от природы окружающего их мира и их предыдущего опыта» ([12], с. 33). Учащиеся на всех уровнях образования стремятся к конкретности, естественно интересуются реальным миром и пользуются преимуществами практического обучения, особенно когда они постоянно используют его в математическом образовании. В частности, в программе послесреднего математического образования для нематематических специальностей проблемы должны иметь применимость к реальности. Интересно, что мы, кажется, возвращаемся к «играм», когда имеем дело с чистой теорией, поскольку мы можем искать абстрактное решение ради самого решения.

Макс Вертхаймер, один из основателей гештальт-психологии, утверждал, что для многих детей «имеет большое значение, есть ли реальный смысл вообще ставить проблему» ([25], с. 273). Он привел пример 9-летней девочки, которая не училась в школе. В частности, она не могла решать простые задачи, требующие использования элементарной арифметики. Однако, когда ей предлагали проблему, которая возникла из конкретной ситуации, с которой она была знакома и решение которой «требовалось ситуацией, она не сталкивалась с необычными трудностями, часто проявляя превосходный смысл» ([25], с.273-274). Другими словами, лучшая стратегия развития у студентов интереса к предмету — это сосредоточить преподавание на темах, которые находятся в их сфере интереса. Как сказал Уильям Джеймс, классик американской психологии, который первым применил ее к обучению учителей, «Любой объект, не интересный сам по себе, может стать интересным, если ассоциируется с объектом, к которому интерес уже существует» ( [26], стр. 62). Интерес может также использоваться для развития мотивации в образовании, поскольку он «относится к модели выбора среди альтернатив — моделей, которые демонстрируют некоторую стабильность во времени и которые, по-видимому, не являются результатом внешнего давления» ([27], с.132).

Отражение так же важно, как и действие. Способность размышлять о выполняемых действиях составляет так называемый внутренний контроль, когда люди считают себя ответственными за свое поведение, что отличается от внешнего контроля, когда они видят, что другие или обстоятельства являются основной мотивацией индивидуального поведения [28 ]. Три основных вопроса обычно начинают процесс практического обучения при решении реальной проблемы. Мы спрашиваем: во-первых, что должно происходить? Во-вторых, что нам мешает это сделать? В-третьих, что мы можем сделать?

Практическое обучение (часто называемое в академических кругах практическим исследованием [29, 30]) традиционно использовалось для обучения управлению бизнесом и социальным наукам [31, 32], проведению научных исследований [33] и повышению квалификации учителей [22, 34–36].В математическом образовании [4, 37] практическое обучение как метод обучения было принято как педагогика, ориентированная на самостоятельное решение реальных проблем с последующей рефлексией. Обучение — это основная цель, даже если решение проблем реально и важно. Обучение облегчается за счет отказа от устоявшихся мировоззрений, тем самым создавая несколько незнакомую обстановку для проблемы. Теперь у нас есть методика практического обучения с использованием технологий для преподавания математики через реальные проблемы под руководством инструкторов STEM и специалистов сообщества, использующих компонент проекта [4].Цифровые технологии видны по крайней мере в рамках необходимой типологии рукописей. Конечно, он может пойти намного дальше и включать в себя важную утилиту (например, числовой интегратор, электронную таблицу или специализированное программное обеспечение). Наконец, action learning (берущее начало в бизнес-образовании [20, 21]) обеспечивает эффективный и ясный подход к математическому образованию. Этот подход был разработан на основе различных (и, как упоминалось в начале раздела 2, иногда спорных) активных методов обучения, которые повсеместно используются преподавателями математики в различных контекстах преподавания, ориентированных на конструктивизм и ориентированных на учащихся [38–41 ].

4. Практическое обучение на практике математического образования

Наша команда USF-SUNY [4] установила, что практическое обучение является положительной педагогической чертой на всех уровнях обучения (K-20). Кто-то может возразить, что, поскольку многие люди учатся на протяжении всей жизни, некоторые из нас могут использовать практическое обучение (возможно, в качестве инструкторов по математике) за пределами K-20. Наша мотивация к практическому изучению математики может дать молодым ученикам возможность познакомиться с интересным, что известно о математике. Основные концепции могут быть довольно сложными, и студенты могут вернуться к идеям и развить их дальше по мере накопления опыта.Примеры практического обучения представлены в подразделах ниже по уровням обучения. Эти примеры даны с акцентом на конкретность, что, в свою очередь, мотивирует учащихся. Использование компонента проекта делает модель зонтика математики «один + два» доступной на высшем уровне (раздел 4.2.2).

4.1. Мотивация и обучение действиям на уровне начальной и средней школы

На уровне начальной школы математические концепции могут быть мотивированы с помощью надлежащим образом разработанных практических занятий, поддерживаемых манипулятивными материалами.Такие действия должны объединять богатые математические идеи со знакомыми физическими инструментами. Как упоминалось выше, важным аспектом обучения действием является его ориентация на игру. Педагогической характеристикой игры в контексте изучения математики с помощью инструментов является «нестандартное мышление», то есть то, что в присутствии учителя как «более знающего другого» открывает окно для будущего обучения учащихся. Тем не менее, отсутствие опоры можно наблюдать, как выразился Видлер [12], «когда ребенок дольше смотрит на асимметричную, а не на симметричную фигуру» (с.18) интуитивно, через любопытство восприятия, осознавая, что устойчивость фигуры зависит от ее положения. То есть перцептивное любопытство в сочетании с творческим мышлением часто выходит за рамки деятельности, предназначенной для одного уровня, и сливается с изучением более продвинутых идей на более высоком когнитивном уровне. В следующих двух разделах демонстрируется, как использование двусторонних счетчиков и квадратных плиток, физических инструментов, обычно используемых в настоящее время в классе элементарной математики, может поддерживать, соответственно, введение чисел Фибоначчи, позволяя с помощью вычислений открыть окно. к концепции золотого сечения и связать построение прямоугольников (из плиток) с обсуждением особых числовых соотношений между их периметрами и площадями.В обоих случаях переход от начального уровня к второстепенному может быть облегчен за счет использования цифровых технологий. То есть математические идеи, рожденные в контексте практического обучения с помощью физических инструментов, могут быть расширены на более высокий уровень посредством вычислительных экспериментов, поддерживаемых цифровыми инструментами.

4.1.1. От двусторонних счетчиков к золотому сечению посредством обучения действием

Рассмотрим следующий сценарий обучения действиям:

Определите количество различных вариантов расположения одного, двух, трех, четырех и т. Д. На двусторонних (красных / желтых) счетчиках в котором нет двух красных фишек подряд.

Экспериментально можно сделать вывод, что один счетчик можно расположить двумя способами, два счетчика — тремя способами, три счетчика — пятью и четыре счетчика — восемью (рис. 1). В частности, на рисунке 1 показано, что все комбинации с четырьмя счетчиками могут быть подсчитаны путем рекурсивного сложения 3 + 5 = 8, поскольку их можно разделить на две группы, так что в первой группе (с мощностью три) крайний правый счетчик равен красный, а во второй группе (мощность пять) крайняя правая фишка желтая.Реализуя эту идею под руководством учителя, молодой ученик может обнаружить, что следующая итерация (пять счетчиков — 13 способов, так как 13 = 5 + 8) согласуется с описанием на рис. 1. Пополнение, для единообразия, последовательность 2, 3, 5, 8, 13 двумя единицами (при условии, что пустой набор счетчиков имеет только одно расположение) позволяет описать завершение вышеупомянутого сценария обучения действиям (то есть отражения результатов воздействия на конкретный материалов по определенному правилу) через последовательность 1, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 13,…, (в которой первые два числа равны единице, а каждое число, начинающееся с третьего, является суммой два предыдущих числа) — одна из самых знаменитых числовых последовательностей во всей математике, названная в честь Фибоначчи (1270–1350), самого выдающегося итальянского математика своего времени.В рамках размышления над сценарием юным студентам можно сказать, что, какими бы эзотерическими ни казались числа Фибоначчи, они, вероятно, столкнутся с ними снова.




Действительно, на вторичном уровне числа Фибоначчи могут быть исследованы с точки зрения отношений двух последовательных членов. С этой целью можно использовать электронную таблицу, чтобы продемонстрировать, что отношения приближаются к числу 1,61803 по мере увеличения n , независимо от первых двух членов последовательности, и. Точное значение, число, известное как золотое сечение.Это пример того, как использование компьютера может предоставить ученикам и их учителям неформальный мост, соединяющий более низкий когнитивный уровень с более высоким. Без простоты вычисления соотношений двух последовательных чисел Фибоначчи, представленных в электронной таблице, было бы гораздо труднее связать простую обучающую деятельность по конкретному расположению двусторонних счетчиков с когнитивно более сложной идеей сходимости отношения к числу, известному с древности как золотое сечение.Золотое сечение, мотивированное компьютером, может быть обнаружено в контексте изучения специальной числовой последовательности, описывающей задачу обучения действиям, подходящую для маленьких детей. Другими словами, компьютер может естественным образом открыть окно для будущего практического обучения учащихся (см. Примечание об исследовании болезни Альцгеймера в Разделе 6 ниже).

В связи с использованием двусторонних счетчиков в контексте чисел Фибоначчи следует отметить, что многие кандидаты в учителя считают, что конкретные материалы можно использовать только на элементарном уровне, а выше этого уровня они бесполезны.Имея это в виду, авторы хотели бы утверждать, что, как и в случае с числами Фибоначчи, конкретные материалы могут быть использованы для введения довольно сложных понятий, чтобы добавить фактор конкретности в изучение абстрактных идей. В частности, двусторонние счетчики могут служить воплощением двоичной арифметики во вводном курсе информатики. В частности, если записать первые 16 натуральных чисел в двоичной форме, то при поддержке двусторонних счетчиков можно увидеть следующее.Есть два однозначных числа, в которых в ряду не появляются никакие единицы (без красных жетонов подряд), три двузначных числа без единиц, стоящих подряд, пять трехзначных чисел, в которых в ряду не появляются никакие единицы, и восемь четырехзначных чисел, в которых подряд не встречаются единицы. Числа 2, 3, 5 и 8 — это последовательные числа Фибоначчи, которые, таким образом, могут быть использованы в качестве фрагментов предыдущих знаний учащихся при разработке новых идей посредством практического обучения. Более подробные исследования вторичного (и третичного) уровня с числами Фибоначчи см. В [43].

Очевидно, что мотивация связана с ожидаемым будущим успехом как следствие подросткового возраста. Теперь студенты стремятся к большей конкретизации концепций. Когда учащиеся средней школы имеют сильную мотивацию к практическому обучению, они могут создавать проекты уровня бакалавриата, как описано для студентов в разделе 4.2 ниже. При «зрелой» проектной работе появляется постепенное ощущение «серьезности». Прекрасные примеры практического обучения учащихся средних школ, выступающих на уровне колледжа, можно увидеть в проекте Publix Лорен Вудбридж «Pallet Physics» ([44], v.3, 2 (8)), проект квантовых вычислений Бо Муна «Проблема суммы подмножеств: уменьшение временной сложности NP-полноты с помощью квантового поиска» ([44], т. 4, 2 (2)), ракетный проект Логана Уайта « Моделирование полета ракеты в приближении низкого трения »([44], v. 6, 1 (5)), и проект Рошана Вармана по спиновым вычислениям« Spintronic Circuits: The Building Blocks of Spin-based Computing »([44] , т. 7, 1 (1)).

4.1.2. Креативность и обучение действиям

Люди творческие, когда они мотивированы, и можно проявить больше творчества после общей, формирующей конкретизации идей.Важно рано распознавать творческие способности студентов. Педагоги рассматривают творчество как «один из важнейших навыков 21 века… жизненно важный для индивидуального и организационного успеха» ([45], стр. 1). Способность учителей распознавать творческие способности своих учеников, которые могут скрываться за их незрелой успеваемостью в классе, имеет решающее значение для успешного преподавания и продуктивного обучения. Если скрытые творческие способности учащихся не признаются и не поддерживаются учителем, они, скорее всего, останутся бездействующими, если не исчезнут [46].Следующая история, взятая из класса второго класса, поддерживает идею о том, что учителя являются главными хранителями раскрытия творческого потенциала маленьких детей.

Кандидат в учителя начальной школы, работая индивидуально с учеником второго класса (под наблюдением классного руководителя), попросил его построить все возможные прямоугольники из десяти квадратных плиток (настоящая проблема для второго класса), ожидая, что ученик научится Постройте два прямоугольника, 1 на 10 и 2 на 5, каждый из которых представляет собой факт умножения числа 10, что будет изучено позже (в третьем классе).Кандидат в учителя был удивлен, увидев три прямоугольника, как показано на рисунке 2. Большое количество обучающих идей для практического обучения может возникнуть из-за принятия прямоугольника с отверстием, которое демонстрирует скрытые творческие способности ребенка. Некоторые идеи могут быть связаны со вторичной математикой. Чтобы уточнить, подумайте о том, чтобы изучить взаимосвязь между площадью и периметром этого прямоугольника с отверстием, считая как внешний, так и внутренний периметры (размышление под руководством учителя о действиях ученика с использованием конкретных материалов).Видно, что площадь составляет 10 квадратных единиц, а периметр — 20 погонных единиц. То есть численно периметр в два раза больше площади. Сравнение площадей с периметрами прямоугольников известно еще со времен Пифагора [47]. В режиме обучения действием можно исследовать следующую ситуацию: существуют ли другие прямоугольники с прямоугольными отверстиями, у которых периметр вдвое больше площади? С этой целью на уровне средней школы можно ввести четыре переменные: a , b , c и d , как длину и ширину большего и меньшего прямоугольников.Отсюда следует соотношение ab — cd = a + b + c + d . Используя Wolfram Alpha — вычислительную систему знаний, доступную бесплатно в Интернете, — можно попросить программу решить указанное выше уравнение над положительными целыми числами. Результат будет следующим:




Если задать a = b = 3, можно выбрать c = 1, откуда d = 1. Это дает нам квадрат с квадратным отверстием (рисунок 3).Этот пример показывает, как знание алгебры и возможности использования технологий могут помочь практикующим учителям в работе с маленькими детьми по развитию критического мышления и развитию творческих способностей. То есть, опять же, технологии служат неформальным мостом, мотивирующим связью между двумя разными классами математической программы. Принимая во внимание, что учитель может не обязательно видеть богатую среду обучения за нетрадиционным ответом ученика, сам факт того, что такой ответ был принят и похвален, будет мотивировать этого и других учеников продолжать мыслить нестандартно.




В заключение этого раздела отметим, что тройку, ученика начальной школы, классного учителя и кандидата в учителя, можно сравнить в контексте практического обучения с таковым студента бакалавриата, математического факультета и предмета. Area Advisor, как описано ниже в Разделе 4.2.2. Сходство двух сред (с разницей в несколько лет) заключается в двойном наблюдении за учеником, изучающим математику, дуэтом «других более знающих».

4.2. Бакалавриат математики и практического обучения

4.2.1. Понимание абстрактности с обучением на практике

Язык математики абстрактный с большей абстракцией на более высоких уровнях. Традиционно университетская математика для нематематических специальностей преподается, дистанцируясь от реальности, без связи с профессиональными интересами студентов. В этом контексте многие будущие профессионалы не видят важности математики в своих перспективных областях [48]. Кроме того, абстрактность в обучении часто приводит к проблемам общения.Как отмечено в [49], в связи с преподаванием инженерной математики могут быть несоответствия между терминологией и идеями, используемыми математиком-лектором, и их интерпретацией студентами. Из-за того, что математическое образование на университетском уровне слишком теоретическое, оно становится неэффективным: нематематические специальности изучают предмет «потому что они должны». Альтернативный подход к математическому образованию основан на хорошо известном и прагматическом понятии «обучение на практике» (например,г., [50–54]), что делает возможным конструктивное взаимодействие чистых и прикладных идей. Этот подход имеет большой потенциал для внедрения экспериментального обучения в математический анализ — базовую последовательность курсов в учебной программе по высшей математике.

4.2.2. Математика Umbrella Model

Вся университетская учебная программа по математике для нематематических специальностей может извлечь выгоду из практического обучения. Было обнаружено, что, особенно на университетском уровне, должна быть «середина пути» в отношении относительного веса теории и применения.Зонтичная группа математики (MUG) Университета Южной Флориды (USF), инициированная Аркадием Гриншпаном в 1999 году [55], занимает эту «позицию». Он устраняет разрыв между математическим образованием и приложениями, одновременно вдохновляя студентов STEM на приобретение математических навыков, необходимых для успеха в их соответствующих дисциплинах. Эта инициатива привела к разработке модели «Зонтик математики» в образовании STEM, включающей сотни междисциплинарных (прикладных математических) студенческих проектов.За десять лет, прошедших с момента сообщения о том, что программа MUG была первой организацией, которая содействовала персонализированным математическим проектам, при поддержке консультантов по математике и предметным областям, для обучения нематематических дисциплин студентам STEM [56], MUG оставалась уникальной в этом отношении. Каждый проект выполняется под двойным контролем: консультант по математике (математический факультет) и консультант по предметной области (университетский или общественный специалист), который обычно предлагает проблему [4, 48, 55, 57–59].

Отличительной чертой MUG является уловка, заключающаяся в соединении одного студента бакалавриата с минимум двумя специалистами. Ситуация проиллюстрирована на Рисунке 4. В результате ученики получают доступ к более широкому кругу знаний, чем обычно предоставляется одному преподавателю математики.




Еще одна сильная сторона — это общность, которая возможна, или междисциплинарная связь, которая, по крайней мере, имеет место за пределами математического факультета вуза.Практическое обучение привносит «реальность» в абстракции математики. Даже когда преподаватели математики пытаются решить задачи с помощью приложений, их полезность не осознается из первых рук, пока студенты не начнут применять их. Это мотивационный подход для всех участников трио. Позже студенты могут решить провести исследование в связи с их опытом проекта. Кроме того, они, вероятно, сохранят задействованные концепции дольше, чем при подходе «чистой лекции».

4.2.3. Практическое обучение на курсах математического анализа верхнего уровня

Практическое обучение является сильным мотивирующим фактором для всех участников, участвующих в математической группе Umbrella. Этот фактор, кажется, является общей нитью во всем спектре практического обучения K-20. Интерес участников к практическому обучению может быть пропорционален индивидуальному опыту. Преподаватели математики потенциально могут получить наибольшую пользу, но от студентов ожидается, что они будут знать теорию достаточно, чтобы иметь мотивацию. Для бакалавриата по математическим курсам, таким как математический анализ II и III, считается достаточным, чтобы учащиеся преуспели в нескольких небольших тестах и ​​домашних заданиях, а затем посвятили свою энергию практическому обучению, а не требовали от них успешной сдачи выпускного экзамена.В частности, эта педагогика практического обучения помогает студентам, которые «незначительно успешны», позволяя включать в их итоговые оценки компонент практического обучения, которому по праву придается значительный вес в общей оценке курса.

Чаще встречаются «успешные», которые могут быть очень продуктивными в своих проектах обучения действиям. Есть вероятность, что работы студентов будут опубликованы или, возможно, даже отмечены [4, 57], как и многие студенты за последние два десятилетия.Это прекрасные мотиваторы для всех сторон, участвующих в практическом обучении. Поскольку действие проистекает из мотивации, важно признать роль «мотиваторов действия». Для студентов вузов мощным мотиватором часто является изучение чего-то полезного и того, на чем можно построить или улучшить успешную карьеру.

Примечательно, что студенты естественным образом мотивированы успехом в изучении математики. Влияние практического обучения было проанализировано в Университете Южной Флориды на курсах инженерного исчисления, в которых участвовали тысячи студентов, прошедших эти курсы и последующие курсы с весны 2003 г. по весну 2015 г. [59].Некоторые результаты (сгруппированные по расе и этнической принадлежности) представлены на Рисунке 5 [59]. На этом рисунке показан эффект обучения действием, параллельных разделов обучения без действий и исторических (традиционных) разделов. В этой части исследования участвовали 1589 студентов, изучающих действие, и 1405 студентов из курсов, не использующих элемент обучения действием. Наконец, еще 2316 человек были помечены как «исторические», что означает, что они прошли курс до весны 2003 г. (то есть до того, как было проведено различие в использовании или неиспользовании обучения действием в своих курсах).Исследователи внимательно включили доверительные интервалы в свои результаты. Очевидно, что в этой относительно большой подгруппе из более крупного исследования все четыре категории расы / этнической принадлежности предпочитают быть участниками обучения действием. Для размышления есть много информации из [59]. Во всяком случае, этот и другие результаты демонстрируют академическое превосходство в действии над обучением без действия. Прагматический вывод — обучение действиям, поскольку работает.




4.2.4. Практическое обучение как универсальная образовательная концепция

Мотивация преподавателей математики возникает в результате знакомства с новым опытом практического обучения. В настоящее время зарегистрировано много сотен обучающих проектов, охватывающих широкий круг тем. Кроме того, всегда происходит обучение тонким действиям, которое никогда не документируется. Из тех проектов, которые доступны в Журнале бакалавриата по математическому моделированию: один + два (UJMM) [44], очевидно, что практически во всех областях можно использовать практическое обучение.Есть проекты, посвященные очень специфическим отраслям инженерии, например, биомедицинским нанотехнологиям. Есть также много других проектов, помимо «собственно инженерии», например, связанных с музыкой или даже образованием. Другие — это кросс-полевые типы, которые не поддаются четкой категоризации. Типы мостов часто представляют особый интерес. Это мотивирует преподавателей увидеть, что входит в смесь и какие области могут быть связаны посредством практического обучения. Это междисциплинарные особенности, желательные для всех учебных программ (в «универсальном учебном плане», то есть в образовании).Некоторые подробности доступны на главном веб-сайте Mathematics Umbrella Group (см. Центр промышленной и междисциплинарной математики). В журнале представлена ​​избранная подгруппа из более чем 2400 студенческих проектов, представленных с 2000 года. Признак разнообразия тематики проектов и участников студенческих работ очевиден из разнообразия тем, рассматриваемых в последних заголовках UJMM ([44], v. 8 , 1-2): «Применение простых гармоник для моделирования удара» Кай Раймонд, «Силы, действующие на парусную лодку» Келли Стукбауэр, «Оптимизация топливного элемента» Эдуардо Гинеса, «Анализ осадков в Тампе» Эми Полен, «Аппроксимация площади поверхности колеблющихся липидных листочков с использованием взвешенной сеточной мозаики» Анаф Сиддики, «Рудиментарная модель реакции глюкозы на стресс» Нашей Риос-Гусман, «Органический сельскохозяйственный анализ: эффективность общепринятой практики» Брэдли Биега, «Использование Баланс скорости энтропии для определения теплопередачи и работы во внутренне обратимом политрофическом стационарном процессе потока »Саванна Гриффин,« Модельная функция улучшения мирового рекорда женщин на 1500 м с течением времени »Энни Аллмарк , «Максимальная мощность солнечного модуля из поликристаллического кремния» Джейнила Пателя, «Оптимизация реакции сдвига водяного газа» Али Албулуши и «Волны цунами» Саманты Пеннино.

Помимо множества опубликованных проектов бакалавриата, существуют «сценарии практического обучения», которые можно рассматривать как совокупность различных практических занятий. Несколько идеалистических проблем имеют этот смешанный опыт. Проблемы можно считать типичными для того, что может рассматриваться в проекте, а не реальными примерами. Эти сценарии мотивируют преподавателя математики включать практическое обучение в обычный теоретический курс.Этим опытом, вероятно, поделятся любые преподаватели математики, занимающие аналогичные должности в математическом образовании. Непосредственной мотивацией здесь является расширение нашего понимания взаимосвязи между теорией математики и решением актуальных проблем в реальном мире.

5. Мотивирующие вопросы как основное средство изучения математики

5.1. Вопросы как орудия обучения

Вопросы обычно становятся более сложными по мере взросления учащихся.Преподаватели на всех уровнях математического образования используют знания и опыт, чтобы ответить на вопросы. Желательны конкретные и уверенные ответы, при этом иногда (обычно на более высоких уровнях) вопросы могут потребовать дополнительного размышления перед их изложением. В контексте постановки проблем и их решения важно различать два типа вопросов, которые могут быть сформулированы так, чтобы стать проблемой: вопросы, запрашивающие информацию, и вопросы, требующие объяснения полученной информации [60].Подобно двум типам знаков — символам первого порядка и символизму второго порядка [61] — можно относиться к вопросам, ищущим информацию, как к вопросам первого порядка, а те, которые требуют объяснения, как к вопросам второго порядка [46]. В то время как на вопросы первого порядка можно ответить, используя разные методы, похоже, что не все методы могут быть использованы для объяснения того, что было получено при поиске информации, то есть для предоставления ответа на вопрос второго порядка. Часто просьба о разъяснении является разумным размышлением о методе предоставления информации.

Что означает, что учителя должны обладать «глубоким пониманием» математики? Почему им нужно такое понимание? У потенциальных учителей есть несколько причин, по которым они должны быть тщательно подготовлены к математике, чтобы иметь положительное влияние на успеваемость молодых изучающих математику. Во-первых, в современном классе математики ждут и даже поощряют задавать вопросы учеников всех возрастов. В Соединенных Штатах национальные стандарты уже для классов до K-2 предполагают, что «необходимо воспитывать естественную склонность учащихся задавать вопросы… [даже] когда ответы не сразу очевидны» ([19], с.109). Это предложение подтверждается следующим комментарием кандидата в учителя начальной школы: «Не зная ответа на вопрос — это нормально, но нельзя оставлять этот вопрос без ответа». Кандидат описывает себя как «тот педагог, который всегда будет побуждать моих учеников задавать себе одни и те же вопросы, которые позволят им участвовать в глубоком размышлении».

5.2. Международный характер обучения посредством задавания вопросов

Министерство образования Онтарио в Канаде, расположенное на границе с США, в рамках своей программы математики для младших классов ожидает, что учителя смогут «задавать ученикам открытые вопросы … побуждайте студентов задавать себе похожие вопросы… [и] моделируйте способы, которыми можно ответить на различные вопросы »([62], с.17). Для развития такого мастерства «учителя должны знать способы использования математических рисунков, диаграмм, манипулятивных материалов и других инструментов для освещения, обсуждения и объяснения математических идей и процедур» ([63], стр. 33). В Чили учителя математики должны «использовать представления, опираться на предварительные знания, задавать хорошие вопросы и стимулировать любознательное отношение и рассуждение учащихся» ([64], с. 37). В Австралии учителя математики знают, как мотивировать «любопытство, бросить вызов мышлению учащихся, обсудить математический смысл и моделировать математическое мышление и рассуждения» ([65], с.4). Репертуар возможностей обучения, которые преподаватели предлагают своим ученикам, включает постоянный поиск альтернативных подходов к решению проблем, а также помощь ученикам в изучении конкретной стратегии решения проблем, с которой они боролись. В национальной учебной программе по математике в Англии используются такие термины, как «практика со все более сложными задачами с течением времени… [и] может решать задачи… с возрастающей степенью сложности» ([66], стр. 1). С этой целью учителя должны быть готовы иметь дело с ситуациями, когда естественный поиск вопросов приводит учащихся к этой изощренности и усложнению математических идей.Необходимость такой подготовки учителей подтверждается кандидатом в учителя, который сформулировал это следующим образом: «Если ученик спрашивает, почему, а учитель не может объяснить, как что-то произошло, ученик теряет всякую веру и интерес к предмету и уважение к учителю ».

На уровне бакалавриата часто обсуждаются вопросы второго порядка. Преподаватели математики знают, что такие вопросы могут быть полезны для стимулирования дальнейших исследований. Возможно, правда, что математика, с которой приходится сталкиваться на уровне начальной и средней школы, должна быть безупречно понята преподавателями математики и что учащиеся могут быть «уверены» в том, что им преподают.Когда мы начинаем заниматься, скажем, теорией множеств или двумерной / трехмерной геометрией, могут быть загадочные результаты, которые действительно побуждают учащихся задуматься об изучении высшей математики. Любопытство математики — это то, что ученики, вероятно, найдут привлекательными. Конечно, преподавателю математики полезно иметь глубокое понимание темы; однако в ответе могут быть детали, которые не поддаются немедленному описанию. В некоторых редких случаях ответ даже недоступен. Ожидается, что зрелость студентов позволит им признать, что на более высоких уровнях математики они не должны терять веру и уважение к преподавателю, если объяснение откладывается.На более ранних этапах математического образования учащиеся верят, что математика идеальна. Однако математика так же несовершенна, как и все остальное, изобретенное людьми. Студенты должны это знать.

6. Компьютерная сигнатурная педагогика и модель обучения и преподавания 3P

Любопытство и мотивация также могут быть поддержаны использованием цифровых инструментов в качестве инструментов практического обучения. Как было показано на примерах из дошкольного математического образования, компьютеры могут способствовать переходу с одного познавательного уровня на другой (более высокий).Это соответствует современному использованию компьютеров в математических исследованиях, когда новые результаты возникают в результате вычислительных экспериментов. Например, радость перехода от визуального к символическому, когда двухсторонние счетчики были предложены как средство рекурсивного построения чисел Фибоначчи, которые затем можно было смоделировать в электронной таблице, где, возможно, по интуиции, определился определенный образец в поведении соотношений могут быть обнаружены два последовательных члена. Это открытие мотивирует формальное объяснение того, почему отношения ведут себя определенным образом.Точно так же переход от числового описания прямоугольников с точки зрения периметра и площади приводит к их формальному представлению. В то время как прямоугольник с отверстием был обнаружен в результате мышления «нестандартно», наличие цифрового инструмента облегчает переход от визуального к символическому с последующим использованием последнего представления в ситуации математического моделирования.

Мощь компьютерного моделирования может служить мотивацией для разработки, а затем исследования более сложных рекуррентных соотношений, чем у чисел Фибоначчи.Как обсуждалось в [58], использование моделирования в виде электронных таблиц может применяться в контексте исследования болезни Альцгеймера для изучения популяции трансгенных мышей с упором на финансовую осуществимость покупки двух родительских мышей (самцов и самок) и выращивания популяции мышей определенного размер. Эффективный подход к этой проблеме включает теорию рекуррентных соотношений, которые первоначально были введены на вторичном уровне через числа Фибоначчи. Результаты, полученные с помощью моделирования в электронной таблице, могут затем использоваться для проверки теоретических результатов.Подробнее об этом проекте см. [55].

Все это приводит к понятию компьютерной сигнатурной педагогики (CASP), когда побуждает размышлять и поддерживать анализ действий, предпринимаемых учеником в контексте практического обучения, обеспечивает CASP глубинную (а не поверхностную) структуру обучения [67] нанят учителем как «более знающий друг». Точно так же в более ранней публикации Биггс [15] проводил различие между поверхностной и глубинной структурой студенческих подходов к изучению , описывая первый подход в терминах студента, «вкладывающего минимальное время и усилия в соответствии с видимостью соответствия требованиям… [ тогда как последний подход] основан на интересе к предмету задачи; стратегия максимального понимания »(стр.6). Адаптировав модель обучения в классе, предложенную Данкином и Биддлом [68], Биггс [15] представил теперь известную 3P-модель обучения студентов, основанную на представлениях студентов об обучении в целом и их текущей среде обучения (прогноз), подход студента к обучению (процессу) и результат обучения (продукт) студента. Исследование того, как первый P модели влияет на второй P и, как следствие, третий P, было проведено Лиццио, Уилсоном и Саймонсом [69], которые выдвинули семь теоретических положений.Одно из этих предположений было основано на аргументе о том, что если студенты университетов воспринимают преподавание курсов их профессорами как надежное, то они с большей вероятностью выберут глубокий подход к обучению. Авторы пришли к выводу, что этот аргумент верен не только для учебных курсов по высшей математике, но и для курсов по методам математики для будущих школьных учителей. В современном преподавании математики правильное использование технологий является важной характеристикой учебной среды.В частности, в контексте студенческого подхода к обучению в глубокой структуре под эгидой CASP, можно расширить использование единого цифрового инструмента, такого как электронная таблица, другими современными технологиями, такими как Wolfram Alpha. С этой целью CASP, структурированный на основе глубоких подходов к преподаванию и обучению, может включать использование так называемых интегрированных электронных таблиц [70], которые поддерживают преподавание математики на всех уровнях образования с вычислительной надежностью обучения студентов.

7.Проблемы и предположения, которые вдохновляют и мотивируют

Студент, изучающий математику (на любом уровне образования), вероятно, столкнется с «тщетностью» математического совершенства. В математике есть легко выражаемые вопросы (предположения), на которые нет ответов (доказательство). Это похоже на принцип неопределенности Гейзенберга, где есть «пределы точности», например, при нахождении как положения, так и импульса. Важное понятие заключается в том, что не всегда есть «стандартные» решения математических задач.Зная это, учащиеся могут продолжить изучение математики для решения некоторых задач. В этих случаях действует «нестандартное» обучение действиям. Первоначальные размышления носят в основном теоретический характер, но в конечном итоге будет вызвано приложение. Заметьте, что проблему даже не нужно решать, многое предстоит узнать в этой попытке. Это мотивационный процесс. Кроме того, размышления привносят конкретность в концепции проблемы и относятся к общей «природе» проблем и решению проблем.

Реальные приложения математики в значительной степени стимулируют различные виды исследований в предметной области, в которых участвуют как профессиональные математики, так и студенты разных специальностей. Это не означает, что прикладная математика является единственным значимым источником развития математической мысли. Действительно, в самой математике есть много проблем, которые раньше мотивировали и продолжают мотивировать тех, кто стремится получить полное представление о математике как о фундаментальной науке.Некоторые из этих задач (иногда называемых догадками) можно рекомендовать для включения в учебную программу по математике для не математических специальностей, а также для кандидатов в учителя. Опыт авторов показывает, что теоремы и предположения, берущие начало как в чистой, так и в прикладной математике, могут запустить воображение и мыслительный процесс тех, чей ум открыт для оспаривания.

Например, формулировки и исторические подробности таких захватывающих проблем, как Великая теорема Ферма, доказанная Эндрю Уайлсом [71], и гипотеза Бибербаха, доказанная Де Бранжем [72] (см. Также [73]), могут быть включены в некоторые базовые курсы математики. для нематематических специальностей.Доказательства этих теорем требуют не только элементарных средств, но и чрезвычайно сложны. Однако, как заметил Стюарт [74], «тот факт, что доказательство важно для профессионального математика, не означает, что преподавание математики данной аудитории должно ограничиваться идеями, доказательства которых доступны этой аудитории» (стр. 187). . Давайте посмотрим на них.

Последняя теорема Ферма утверждает, что уравнение не имеет ненулевых целочисленных решений для x, y и z, когда .В частности, эта теорема может быть представлена ​​различным группам студентов-математиков как способ ответа на вопрос: Можно ли расширить интерпретацию троек Пифагора как разделение квадрата на сумму двух квадратов, чтобы включить аналогичные представления для более высоких степеней ? Как подробно описано в другом месте [75], использование электронной таблицы с кандидатами на вторичные учителя позволяет визуализировать Великую теорему Ферма путем моделирования несуществующих решений вышеуказанного уравнения почти так же, как для

5 Более глубокое изучение навыков английского языка , Математика и естественные науки | Образование для жизни и работы: развитие передаваемых знаний и навыков в 21 веке

тем с небольшой глубиной, дающих мало рекомендаций о том, как поместить науку в контекст значимых проблем.Поскольку учителя пытаются охватить широкую учебную программу, они уделяют недостаточно внимания пониманию учащимися и вместо этого сосредотачиваются на поверхностных вопросах уровня воспоминаний (Weiss et al., 2003; Weiss and Pasley, 2004). Эти закономерности аналогичны тем, которые наблюдаются в классах математики (Stigler and Hiebert, 1999).

Точно так же на уровне старшей школы лабораторные занятия, которые обычно занимают около одного урока по естествознанию, отключены от потока обучения естественным наукам. Вместо того, чтобы сосредоточиться на четких целях обучения, лабораторные руководства и учителя часто делают упор на процедурах, оставляя учащихся неуверенными в том, что они должны изучать.Кроме того, эти мероприятия редко предназначены для интеграции изучения научного содержания и процессов. В течение оставшейся части недели студенты проводят время, слушая лекции, читая учебники и готовясь к тестам, которые подчеркивают множество различных тем (Национальный исследовательский совет, 2006).

Что еще хуже, за последнее десятилетие время и ресурсы для естественнонаучного образования часто сокращались, поскольку результаты тестов по естественным наукам не учитывались при формулировании того, добиваются ли школы адекватного годового прогресса в соответствии с законодательством NCLB.Этот недостаток акцента еще больше ограничил развитие новых возможностей для преподавания естественных наук на высоком уровне в школах K-12 и, таким образом, также ограничил потенциальное влияние более глубоких целей обучения в рамках государственных и национальных стандартов, используемых в настоящее время.

Ограниченное количество мелкомасштабных исследований (например, Herrenkohl et al., 1999; Kolodner et al., 2003; Klahr and Nigam, 2004; Krajcik et al., 2008; Cobern et al., 2010), обзоров и синтезов (например, Linn, Davis, and Bell, 2004; Mayer, 2004; Kirschner, Sweller, and Clark, 2006) и метаанализ (Minner, Levy, and Century, 2010) продуманного научного обучения пролили некоторый свет на текущие дискуссии о наиболее подходящих педагогических практиках для преподавания и обучения естествознанию.Текущий синтез, основанный на доступных доказательствах, не диктует, что какой-либо педагогический подход однозначно превосходит его. Создание строительных лесов, моделирование, управляемый запрос, подробное обучение, индивидуальное обучение и практика, компьютерное обучение, а также групповое решение проблем и обсуждение — все это оказалось эффективным в различных обстоятельствах. Выбор учебной стратегии часто зависит от конкретных целей конкретного урока или раздела (Национальный исследовательский совет, 2000, 2007). Как и в других областях обучения, исследовательская база показывает, что редко что-то получается даром: если мы хотим, чтобы учащиеся умели читать и интерпретировать научные материалы, участвовали в письменном и устном научном дискурсе, бегло работали с количественными данными, строили модели и эффективное решение проблем с коллегами, тогда мы должны дать им конкретные возможности, модели и рекомендации, необходимые для развития каждого из этих наборов навыков.

NCERT Книга для 9 класса по математике PDF | Скачать последний учебник на 2020-2021 годы

Книги NCERT известны тем, что излагают концепции самым простым способом, чтобы учащиеся могли легко их усвоить. Поэтому студентам всегда рекомендуется использовать книги NCERT, чтобы преуспеть в учебе. Для учащихся 9 класса мы представляем здесь книгу NCERT по математике. Это последнее издание книги NCERT, опубликованной Национальным советом по исследованиям и обучению в области образования (NCERT) в начале последней академической сессии.Эта последняя книга NCERT по математике для 9 класса объясняет все концепции и теоремы в пояснительной форме, что делает обучение довольно простым и эффективным.

Важно * CBSE Class 9 Важные ресурсы для самообучения во время изоляции от COVID-19

Некоторые моменты, указывающие на важность книги NCERT по математике 9 класса, упоминаются ниже:

• Предназначен для предоставления всесторонних знаний простым и понятным языком.
• Строго придерживается учебной программы CBSE, в связи с чем ее считают достаточной для формирования базы для ежегодных экзаменов.
• Идеально подходит для тщательного и всестороннего исследования с целью выработки четкой концепции.
• Включает несколько вопросов в разных форматах, которые идеально подходят для проверки понимания учащимися концепций.

Загрузите все главы книги NCERT по математике класса 9 CBSE по приведенным ниже ссылкам:

Глава 1. Система счисления

Глава 2. Полиномы

Глава 3. Координатная геометрия

Глава 4.Линейные уравнения с двумя переменными

Глава 5. Введение в геометрию Евклида

Глава 6. Линии и углы

Глава 7. Треугольники

Глава 8. Четырёхугольники

Глава 9. Площади параллелограммов и треугольников

Глава 10. Круги

Глава 11. Конструкции

Глава 12. Формула Герона

Глава 13.Площадь и объемы

Глава 14. Статистика

Глава 15. Вероятность

Подсказки для ответов на все вопросы в классе 9 Учебник NCERT по математике

NCERT также опубликовал подсказки для ответов, чтобы помочь студентам узнать правильный ответ на каждый вопрос в NCERT, чтобы студенты могли продолжить правильную процедуру для решения вопроса и получить правильный ответ. Проверьте подсказки для ответов, предложенные NCERT по следующей ссылке:

Подсказки к ответам в учебнике NCERT по математике для класса 9

Подробная информация о решениях NCERT для математики класса 9

Мы предоставили ниже ссылку для студентов, чтобы получить подробные и подходящие решения всех вопросов, заданных в книге NCERT по математике для 9 класса.Все решения NCERT собраны в виде PDF-файла по главам.

Все представленные здесь решения NCERT подготовлены профильными экспертами и разработаны таким образом, чтобы задействовать соответствующие концепции / формулы / теории.

Загрузить пересмотренную программу обучения CBSE Class 9 на 2020-2021 годы: все предметы

Важность чтения книг NCERT для учащихся 9 класса:

Мысль об экзамене вызывает у студентов много беспокойства и напряжения.Они беспокоятся о своей подготовке и часто не понимают, что и как готовить к экзаменам. Однако с книгами NCERT ситуация может быть облегчена, поскольку эти книги лучше всего отражают концепции и основы каждой темы. Все книги NCERT написаны экспертами после обширных исследований по каждой теме, чтобы предоставить студентам соответствующую и достоверную информацию. Эти книги идеально подходят для тщательного и всестороннего изучения с целью выработки четкой концепции.

Важно * Проверьте полный учебный материал по математике класса 9 CBSE (на основе NCERT) на 2020-2021 годы


Проверьте книги и решения NCERT от класса 4 до класса 12

Мы в Jagran Josh предоставляем последнюю версию NCERT Books и решений NCERT для всех основных предметов от 4 до 12 класса. Все решения были подготовлены экспертами в данной области и снабжены подробным и соответствующим объяснением .Студенты должны проверить эти решения Free NCERT , чтобы получить идеальные ответы на все вопросы, заданные в книгах NCERT.

Продолжайте навещать Джаграна Джоша, чтобы получать последние новости и надежные учебные материалы для подготовки ко всем школьным экзаменам и экзаменам.

Математика для международного студента 7 (MYP 2) (2-е издание) — Haese Mathematics

Сандра Хезе

Сандра получила степень бакалавра наук в Университете Аделаиды по специальности «Чистая математика и статистика».Прежде чем основать Haese and Harris Publications (ныне Haese Mathematics), она преподавала в средней школе Underdale и Вестминстерской школе вместе с мужем Робертом (Боб) и коллегой Ким Харрис.

Что привлекло вас в области математики?

Я всегда считал математику самым простым предметом в школе. Не знаю почему. Я намеревался изучать химию в университете, но обнаружил, что мне это не нравится так сильно, как я думал, поэтому я вернулся к математике и с тех пор занимаюсь ею.

Что побудило вас перейти от преподавания к написанию книг по математике?

Боб писал заметки для своего класса. Другие учителя в школе использовали записи, затем учителя других школ стали их просить. В конце концов Боб сказал: «Ну, я могу начать писать учебники!»

Изначально занимался корректурой. По мере увеличения рабочей нагрузки я начал редактировать, а также корректировать. Постепенно это превратилось в постоянную работу, между написанием материала, его редактированием и корректурой, а затем распространением книг.Сейчас Майкл занимается редактированием, а я корректирую и записываю аудио.

Как изменилась область издания учебников за годы, прошедшие с того момента, как вы начали?

Когда мы начинали, текст набирался, а отработанные решения писались от руки. Боб рисовал любую графику вручную.

Мы перешли на наборный набор, но написание учебника математики с использованием имеющихся печатных средств представляло свои трудности. Например, символы приходилось вручную копировать, вырезать и вставлять на исходные страницы, что было очень утомительно и занимало много времени! Дроби также были проблематичными: мы набирали строку, содержащую все числители, а затем нижнюю строку для всех знаменателей.

Теперь все делается с помощью компьютеров, что намного проще и быстрее!

Что вас интересует помимо математики?

У меня есть несколько альпак. Мне нравится мой сад — я мало что делаю в нем, но мне он нравится! Я люблю слушать музыку; в основном классика, но мне нравятся и другие жанры.

Я очень люблю путешествовать. Пейзажи, история места, его архитектура, его искусство — все это меня очаровывает.В результате я тоже люблю фотографировать; Мне нравится фотографировать то, что я видел, и места, которые я побывал.

Текст. 2. Математика

Прочтите текст и будьте готовы его обсудить.

То, что изучают математики, можно суммировать по четырем основным областям. Они смотрят на количество — сколько или сколько. Существует также изучение структуры — того, как вещи расположены вместе, и отношения между частями.Затем идет изучение космоса, когда математики интересуются формой вещей. Наконец, есть изменения и то, как вещи движутся во времени или в пространстве.

Количество в основном связано с числами. Математиков интересуют как натуральные, так и целые числа. Натуральные числа — это числа, которые больше нуля, тогда как целые числа могут быть равны нулю или больше или меньше нуля. Их можно комбинировать четырьмя способами; это называется операциями. В арифметике мы знаем такие операции, как сложение (+), вычитание (-), деление (:) и умножение (x).Для более полного и философского понимания чисел и операций, которые можно применить к ним, математики обращаются к теории чисел.

Считается, что изучение устройства вещей началось с греческого математика Пифагора, который жил с 582 по 507 год до нашей эры. Каждый математик должен выучить свою самую известную теорему. Теорема — это доказательство математической истины. Пифагор показал нам, что в прямоугольном треугольнике квадрат стороны гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон.Гипотенуза — это самая длинная сторона такого треугольника, и эта длина, умноженная сама на себя, равна длине одной стороны, умноженной на себя и добавленной к другой стороне, умноженной на себя. Математикам проще записать это как: a- + b2 =, (квадрат плюс b равен квадрату), где — гипотенуза. Именно теорема Пифагора дает нам алгебру, раздел математики, зародившийся в арабском мире. Другой греческий математик заложил основы нашего понимания пространства.Спустя более 200 лет после Пифагора Евклид использовал небольшой набор аксиом, чтобы доказать больше теорем. Сегодня мы знаем это как геометрию. Он видел мир в трех измерениях — высоте, ширине и длине. Развитие других наук, прежде всего физики, побудило математиков дополнить работу Евклида. Со времен Эйнштейна математики добавили четвертое измерение, время, к трем Евклиду. Объединив пространство и число, мы разработали тригонометрию, используемую при создании карт как на бумаге, так и в системах спутниковой навигации.

Из алгебры и геометрии приходит исчисление. Это наиболее важный инструмент математиков для описания изменений, например, если вы рассчитываете скорость движущегося автомобиля или анализируете, как население города меняется с течением времени. Наиболее важной областью исчисления является функция, которая касается отношения между аргументом и результатом. Действительно, область функционального анализа имеет самое важное приложение в квантовой механике, которая дает нам основу для наших.изучение физики и химии сегодня.

В математике есть нечто большее. Например, чистая математика предполагает более творческий подход к науке. Важной областью исследований является статистика, которая использует теорию вероятностей, математическое исследование случайностей, для прогнозирования результатов и анализа информации. Многие статистики сказали бы, что они не математики, а аналитики. Однако без математики, как согласятся все статистики, статистики вообще не было бы.

Словарь

подвести итоги	, г.
связать	, г.
организовать	, г.
форма
количество
быть озабоченным	—
целое число
применить	-.,
доказать
доказательство
угол
происхождение	, г.
высота
особенно	, г.
привлечь

1.Найдите ответы на заданные вопросы

1) Что изучают математики?

2) Какие операции используются в арифметике?

3) Что такое теорема?

4) Как мир смотрели древние ученые?

5) Где используется тригонометрия?

6) Как взаимосвязаны науки?

7) Каковы характеристики прямоугольного треугольника?

2. Заполните пропуски в предложениях словами:

набор аксиом	приложение
размер	подход
создание карт	натуральные числа
изменений

1) Евклид доказывал больше теорем.

2) Эйнштейн добавил четвертую к тройке Евклида.

3) Тригонометрия используется в.

4) Население города во времени.

5) Область функционального анализа имеет наиболее важное значение в квантовой механике.

No related posts.