ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ 2 ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅: Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΎ-мСтодичСский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ (2 класс) Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ: ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅. 2 класс. Π¨ΠΊΠΎΠ»Π° России

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΎ-мСтодичСский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ (2 класс) Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ: ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅. 2 класс. Π¨ΠΊΠΎΠ»Π° России

Входная ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„–1

  1.  Найди сумму чисСл: 9 ΠΈ 3.

Β  Β  Найди Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ чисСл: 11 ΠΈ 2.

Β  Β  УмСньши число 8 Π½Π° 2.

Β  Β  Π£Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΡŒ число 6 Π½Π° 3.

  1. Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈ (вмСсто Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ >,

7 + 3 … Β 9

12 + 5 … 17

Β  Β 

  1. Вычисли: Β  10 – 8 + 4 =

Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  6 + 4 – 3 =

Β  Β 

  1. РСши Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ: Бшили 5 ΠΏΠ»Π°Ρ‚ΡŒΠ΅Π² ΠΈ 4 Π±Π»ΡƒΠ·ΠΊΠΈ. Бколько всСго сшили Π²Π΅Ρ‰Π΅ΠΉ?

Β 

  1. РСши Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ: Π’ Π²Π°Π·Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ 10 яблок. БъСли 8 яблок. Бколько яблок ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ?

Β 

  1. НачСрти Π΄Π²Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°. Π”Π»ΠΈΠ½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ 4 см, Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° 2 см большС.

Β 

  1. Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈ:

Β  Β  Β  Β  15 см = … Π΄ΠΌ …см

Β  Β  Β  Β  1 Π΄ΠΌ 7 см = … см

Входная ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„–1

1 Найди сумму чисСл: 9 ΠΈ 3.

Β  Β  Найди Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ чисСл: 11 ΠΈ 2.

Β  Β  УмСньши число 8 Π½Π° 2.

Β  Β  Π£Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΡŒ число 6 Π½Π° 3.

2. Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈ (вмСсто Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ >,

7 + 3 … Β 9

12 + 5 … 17

Β  Β 

3. Вычисли: Β  10 – 8 + 4 =

Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  6 + 4 – 3 =

Β  Β 

4. РСши Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ: Бшили 5 ΠΏΠ»Π°Ρ‚ΡŒΠ΅Π² ΠΈ 4 Π±Π»ΡƒΠ·ΠΊΠΈ. Бколько всСго сшили Π²Π΅Ρ‰Π΅ΠΉ?

Β 

5. РСши Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ: Π’ Π²Π°Π·Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ 10 яблок. БъСли 8 яблок. Бколько яблок ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ?

Β 

6. НачСрти Π΄Π²Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°. Π”Π»ΠΈΠ½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ 4 см, Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° 2 см большС.

Β 

7. Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈ:

Β  Β  Β  Β  15 см = … Π΄ΠΌ …см

Β  Β  Β  Β  1 Π΄ΠΌ 7 см = … см

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„– 2

Β ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ «НумСрация чисСл ΠΎΡ‚ 1 Π΄ΠΎ 100Β»

Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ 1.

  1. РСши Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ:

Π”Π΅Π΄ΡƒΡˆΠΊΠ΅ 64Π³ΠΎΠ΄Π°, Π° Π±Π°Π±ΡƒΡˆΠΊΠ΅ 60. На сколько Π»Π΅Ρ‚ Π΄Π΅Π΄ΡƒΡˆΠΊΠ° ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠ΅ Π±Π°Π±ΡƒΡˆΠΊΠΈ?

  1. РСши ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹:

69 + 1 = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β 5 + 30 = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  56 – 50 =

40 – 1 = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  89 – 9 = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  80 – 20 =

  1. Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈ, Π²ΡΡ‚Π°Π²ΡŒ вмСсто Π·Π²Ρ‘Π·Π΄ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ «» ΠΈΠ»ΠΈ Β«=Β»:

8 м * 7 дм                1 м * 98 см

25 мм * 4 см            53 мм * 5 см

  1. Из чисСл 30, 5, 13, 55, 3, 35, 15, 50. 53, 33, 51, 31 Π²Ρ‹ΠΏΠΈΡˆΠΈ Π² ΠΎΠ΄Π½Ρƒ строку всС Π΄Π²ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ числа, начиная с наимСньшСго.

Β  Β  Β  5*. Β Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈ пропуски Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π°ΠΌΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ записи Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π²Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ:

Β  Β  Β  Β βͺ7 8βͺ Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β 3βͺ

Β  Β  Β  6* . Π£ нашСй кошки 7 котят. НСкоторыС ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Ρ€Ρ‹ΠΆΠΈΠ΅, 2 Ρ‡Π΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ 1 Π±Π΅Π»Ρ‹ΠΉ.

Β  Β  Β   Бколько Ρ€Ρ‹ΠΆΠΈΡ… котят Ρƒ кошки?

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„– 2

Β ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ «НумСрация чисСл ΠΎΡ‚ 1 Π΄ΠΎ 100Β»

Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ 2.

  1. РСши Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ:

ПапС 32 Π³ΠΎΠ΄Π°, Π° ΠΌΠ°ΠΌΠ° Π½Π° 2 Π³ΠΎΠ΄Π° ΠΌΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅. Бколько Π»Π΅Ρ‚ ΠΌΠ°ΠΌΠ΅?

  1. РСши ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹:

6 + 40 = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  49 + 1 = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  34 – 4 =

87 – 70 = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β 90 – 1 = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  60 – 20 =

  1. Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈ, Π²ΡΡ‚Π°Π²ΡŒ вмСсто Π·Π²Ρ‘Π·Π΄ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ «» ΠΈΠ»ΠΈ Β«=Β»:

6 м * 9 дм                1 м * 92 см

13 мм * 2 см            68 мм * 6 см

  1. Из чисСл 79, 17. 7. 91, 70, 9, 97, 99, 19, 71, 90. 77 Π²Ρ‹ΠΏΠΈΡˆΠΈ всС Π΄Π²ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ числа, начиная с наимСньшСго.

5* . Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈ пропуски Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π°ΠΌΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ всС записи Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π²Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ:

βͺ5 3βͺ Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β 6βͺ

6* . Π‘Π°Π±ΡƒΡˆΠΊΠ° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ»Π° Π² Ρ‚Π°Ρ€Π΅Π»ΠΊΡƒ 12 Π³Ρ€ΡƒΡˆ. ПослС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π½ΡƒΠΊΠΈ взяли с Ρ‚Π°Ρ€Π΅Π»ΠΊΠΈ ΠΏΠΎ 1 Π³Ρ€ΡƒΡˆΠ΅, ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ 8 Π³Ρ€ΡƒΡˆ. Бколько Ρƒ Π±Π°Π±ΡƒΡˆΠΊΠΈ Π²Π½ΡƒΠΊΠΎΠ²?

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„– 3 Β Π·Π° 1 Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ

Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ 1

  1. РСши Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ:

На стоянкС такси стояло 12 Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠ°ΡˆΠΈΠ½. ПослС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ нСсколько машин ΡƒΠ΅Ρ…Π°Π»ΠΎ, ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ 5 Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠ°ΡˆΠΈΠ½. Бколько Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠ°ΡˆΠΈΠ½ ΡƒΠ΅Ρ…Π°Π»ΠΎ?

Π‘ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡŒ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ.

  1. Найди значСния Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ:

6 + 7 – 9 = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  15 – (3 + 5) =

10 + 3 – 4 = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β 8 + (12 – 5) = Β  Β 

18 – 10 + 5 = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β 9 + (13 – 7) =

  1. Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈ, Π²ΡΡ‚Π°Π²ΡŒ вмСсто Π·Π²Ρ‘Π·Π΄ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ «» ΠΈΠ»ΠΈ Β«=Β»:

4 см 2 мм * 24 мм              1 м * 100 см

7 + 4 * 19 Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  59 ΠΌΠΈΠ½. * 1 Ρ‡.

  1. НачСрти Π»ΠΎΠΌΠ°Π½ΡƒΡŽ ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ… звСньСв, зная, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π»ΠΎΠΌΠ°Π½ΠΎΠΉ 10 см.
  1. Из чисСл 48, 1, 14. 4, 40. 81, 8, 18, 84, 44, 80, 88 Π²Ρ‹ΠΏΠΈΡˆΠΈ всС Π΄Π²ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ числа Π² порядкС возрастания.

Β  Β  Β  6* . Π£ Π’Π°Π½ΠΈ ΠΈ Маши вмСстС 13 ΠΎΡ€Π΅Ρ…ΠΎΠ². Когда Ваня съСла 5 ΠΎΡ€Π΅Ρ…ΠΎΠ² ΠΈ Маша

Β  Β  Β Π΅Ρ‰Ρ‘  нСсколько, Ρƒ Π΄Π΅Π²ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ 6 ΠΎΡ€Π΅Ρ…ΠΎΠ². Бколько ΠΎΡ€Π΅Ρ…ΠΎΠ² съСла Маша? Β  Β 

Β  Β ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„– 3 Β Π·Π° 1 Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ

Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ 2.

  1. РСши Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ:

Π Ρ‹Π±ΠΎΠ»ΠΎΠ²Ρ‹ ΠΏΠΎΠΉΠΌΠ°Π»ΠΈ нСсколько ΠΎΠΊΡƒΠ½Π΅ΠΉ. Из 9 ΠΎΠΊΡƒΠ½Π΅ΠΉ ΠΎΠ½ΠΈ сварили ΡƒΡ…Ρƒ, ΠΈ Ρƒ Π½ΠΈΡ… ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ 7 ΠΎΠΊΡƒΠ½Π΅ΠΉ. Бколько всСго ΠΎΠΊΡƒΠ½Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠΉΠΌΠ°Π»ΠΈ Ρ€Ρ‹Π±ΠΎΠ»ΠΎΠ²Ρ‹?

Π‘ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡŒ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ.

  1. Найди значСния Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ:

5 + 8 – 9 = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  14 – (2 + 5) =

10 + 5 – 6 = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β 4 + (16 – 8) = Β  Β 

19 – 10 + 7 = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β 9 + (18 – 10) =

  1. Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈ, Π²ΡΡ‚Π°Π²ΡŒ вмСсто Π·Π²Ρ‘Π·Π΄ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ «» ΠΈΠ»ΠΈ Β«=Β»:

3 дм 2 см * 23 см             1 см * 10 мм

8 + 5 * 14 Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β 1 Ρ‡. * 30 ΠΌΠΈΠ½.

  1. НачСрти Π»ΠΎΠΌΠ°Π½ΡƒΡŽ ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ… звСньСв, зная, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π»ΠΎΠΌΠ°Π½ΠΎΠΉ 8 см.
  1. Из чисСл 62, 12, 6. 66, 20, 26, 2, 21, 16, 22, 60. 61 Π²Ρ‹ΠΏΠΈΡˆΠΈ всС Π΄Π²ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ числа Π² порядкС убывания.

Β  Β  Β  6* . Π’ ΠΊΠΎΡ€ΠΎΠ±ΠΊΠ΅ 15 ΠΊΠΎΠ½Ρ„Π΅Ρ‚. Когда Баша съСл 6 ΠΊΠΎΠ½Ρ„Π΅Ρ‚ ΠΈ нСсколько ΠΊΠΎΠ½Ρ„Π΅Ρ‚ съСл Π΅Π³ΠΎ

Β  Β  Β  Β Π±Ρ€Π°Ρ‚, Π² ΠΊΠΎΡ€ΠΎΠ±ΠΊΠ΅ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ 7 ΠΊΠΎΠ½Ρ„Π΅Ρ‚. Бколько ΠΊΠΎΠ½Ρ„Π΅Ρ‚ съСл Π±Ρ€Π°Ρ‚? Β 

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„– 4 ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅

«Числа ΠΎΡ‚ 1 Π΄ΠΎ 100. УстныС ΠΏΡ€ΠΈΡ‘ΠΌΡ‹ слоТСния ΠΈ вычитания»

Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ 1.

  1. РСши Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ:

Π’ ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π΅ 25 страниц. Π‘Π΅Ρ€Ρ‘ΠΆΠ° Π½Π°Ρ‡Π°Π» Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ½ΠΈΠ³Ρƒ Π²Ρ‡Π΅Ρ€Π° ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Π» 8 страниц, Π° сСгодня ΠΏΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Π» Π΅Ρ‰Ρ‘ 7 страниц. Бколько ΠΊΠ½ΠΈΠ³ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π‘Π΅Ρ€Ρ‘ΠΆΠ΅?

  1. НайдитС значСния Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ:

40 + 5 = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  30 + 20 =

26 + 2 = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  70 + 13 =

76 – 70 = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β 28 – 8 =

60 – 40 = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β 37 – 6 =

  1. ВычислитС, ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π² порядок дСйствий:

60 – (2 + 3) = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β 15 + (19 – 4) =

4* . ΠšΡ€Π°ΡΠ½Ρ‹ΠΉ ΡˆΠ½ΡƒΡ€ Π½Π° 1 ΠΌ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Π΅Π΅ Π·Π΅Π»Ρ‘Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π½Π° 2 ΠΌ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Π΅Π΅ синСго. Π”Π»ΠΈΠ½Π° Π·Π΅Π»Ρ‘Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡˆΠ½ΡƒΡ€Π° 5 ΠΌ. НайдитС Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ синСго ΡˆΠ½ΡƒΡ€Π°.

5*. Β Π’ΡΡ‚Π°Π²ΡŒ Π² «окошки» числа Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹:

1). равСнство ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ;

2). Π·Π½Π°ΠΊ равСнства измСнился Π½Π° Π·Π½Π°ΠΊ Β«>Β».

Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  52 + β–‘ = 52 + βͺβ–‘

       БдСлай двС записи.

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„– 4 ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅

«Числа ΠΎΡ‚ 1 Π΄ΠΎ 100. УстныС ΠΏΡ€ΠΈΡ‘ΠΌΡ‹ слоТСния ΠΈ вычитания»

Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ 2.

  1. РСши Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ:

Π’ Π³Π°Ρ€Π°ΠΆΠ΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ 20 машин. Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΈΠ· Π³Π°Ρ€Π°ΠΆΠ° Π²Ρ‹Π΅Ρ…Π°Π»ΠΎ 2 ΠΌΠ°ΡˆΠΈΠ½Ρ‹, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ Π΅Ρ‰Ρ‘ 8. Бколько машин ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π² Π³Π°Ρ€Π°ΠΆΠ΅?

  1. НайдитС значСния Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ:

50 + 5 = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  70 + 20 =

46 + 3 = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  80 + 17 =

36 – 20 = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β 39 – 9 =

80 – 40 = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β 56 – 4 =

  1. ВычислитС, ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π² порядок дСйствий:

83 + (5 — 3) = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β 70 — (50 + 20) =

4* . На вСшалкС висят Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ±ΠΎΡ€Ρ‹: шляп Π½Π° 1 большС, Ρ‡Π΅ΠΌ шапок, Π° шапок Π½Π° 1 большС, Ρ‡Π΅ΠΌ Π±Π΅Ρ€Π΅Ρ‚ΠΎΠ². Шляп 8. Бколько шапок ΠΈ сколько Π±Π΅Ρ€Π΅Ρ‚ΠΎΠ²?

5*. Β Π’ΡΡ‚Π°Π²ΡŒ Π² «окошки» числа Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹:

1). равСнство ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ;

2). Π·Π½Π°ΠΊ равСнства измСнился Π½Π° Π·Π½Π°ΠΊ Β«

Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β 41 + β–‘βͺ = 41 + βͺβ–‘

       БдСлай двС записи.

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„– 5

Π·Π° 1 ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠ³ΠΎΠ΄ΠΈΠ΅

Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ 1.

  1. РСши Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ:

Π’ Ρ‘Π»ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ гирляндС 7 красных Π»Π°ΠΌΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, синих Π½Π° 6 большС, Ρ‡Π΅ΠΌ красных, Π° ΠΆΡ‘Π»Ρ‚Ρ‹Ρ… – ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ, сколько красных ΠΈ синих вмСстС. Бколько Π² гирляндС ΠΆΡ‘Π»Ρ‚Ρ‹Ρ… Π»Π°ΠΌΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΊ?

  1. РСши ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹:

75 + 20 = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β 90 – 3 = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  45 – 5 + 7 =

80 + 11 = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β 60 – 20 = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β 83 – (40 + 30) =

  1. РСши ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

5 + Ρ… = 12

  1. Найди ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹:

  1. Π’ΡΡ‚Π°Π²ΡŒ Π² «окошки» числа Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ записи Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π²Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ:

6 Π΄ΠΌ 3 см = βͺ см Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β 50 ΠΌΠΌ = βͺ см

6*. ВмСсто Π·Π²Ρ‘Π·Π΄ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π²ΡΡ‚Π°Π²ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ Β«+Β» ΠΈΠ»ΠΈ Β«- Β«, Π° Π² «окошки» запиши числа Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ записи Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π²Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ:

βͺ * 8

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„– 5

Π·Π° 1 ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠ³ΠΎΠ΄ΠΈΠ΅

Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ 2.

  1. РСши Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ:

На новогоднюю Ρ‘Π»ΠΊΡƒ повСсили 11 ΡˆΠ°Ρ€ΠΎΠ², сосулСк Π½Π° 4 мСньшС, Ρ‡Π΅ΠΌ ΡˆΠ°Ρ€ΠΎΠ², Π° шишСк – ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ, сколько ΡˆΠ°Ρ€ΠΎΠ² ΠΈ сосулСк вмСстС. Бколько шишСк повСсили Π½Π° Ρ‘Π»ΠΊΡƒ?

  1. РСши ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹:

54 + 30 = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β 80 – 4 = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  34 – 4 + 6 =

70 + 12 = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β 40 – 10 = Β  Β  Β  Β  Β  Β  95 – (60 + 20) =

  1. РСши ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

Π₯ + 7 = 16

  1. Найди ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹:

  1. Π’ΡΡ‚Π°Π²ΡŒ Π² «окошки» числа Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ записи Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π²Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ:

5ΠΌ 8 Π΄ΠΌ = βͺ Π΄ΠΌ Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β 60 ΠΌΠΌ = βͺ см

6*. ВмСсто Π·Π²Ρ‘Π·Π΄ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π²ΡΡ‚Π°Π²ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ Β«+Β» ΠΈΠ»ΠΈ Β«-Β«, Π° Π² «окошки» запиши числа Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ записи Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π²Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ:

11 — 7

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„–6 ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅

Β«ΠŸΠΈΡΡŒΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ‘ΠΌΡ‹ слоТСния ΠΈ вычитания чисСл ΠΎΡ‚ 1 Π΄ΠΎ 100Β»

Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ 1

  1. Вычисли столбиком:

53 + 37 = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β 86 – 35 =

36 + 23 = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β 80 – 56 =

65 + 17 = Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β 88 – 81 =

  1. РСши уравнСния:

64 – Ρ… = 41 Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β  Β 30 + Ρ… = 67

  1. НачСрти ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 1 Π΄ΠΌ, Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Π½Π° 3

Π‘Π°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅. 2 класс 2 Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ. ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€ΡΠΎΠ½ Π›.Π“.

Π’Π²ΠΈΡ‚Π½ΡƒΡ‚ΡŒ

ΠŸΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ

ΠŸΠ»ΡŽΡΠ°Π½ΡƒΡ‚ΡŒ

ΠŸΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ

ΠžΡ‚ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ

ΠšΠ»Π°ΡΡΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ

Π—Π°ΠΏΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ

Β 

Аннотация

ΠŸΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ вниманию ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ составлСны Π² соотвСтствии с ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠΊΠΎΠ»Ρ‹ Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€Π° Π›.Π“.ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€ΡΠΎΠ½. Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‚ Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ контроля Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ учащихся. ΠœΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹ Π²ΠΎ всСх Ρ‚ΠΈΠΏΠ°Ρ… ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ для Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ с учащимися 2 класса.


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΈΠ· ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°

Π’ΠΎ 2-ΠΌ выпускС прСдставлСны ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ 4-6 ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π°ΠΌ ΠΈΠ· 12 ΠΊΠ½ΠΈΠ³ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡ‚Π° ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠΊΠΎΠ»Ρ‹ Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€Π° Π›. Π“. ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€ΡΠΎΠ½. Основной ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ провСдСния контроля Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ – минимизация стрСсса Π΄Π΅Ρ‚Π΅ΠΉ. АтмосфСра Π² классС Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ спокойной ΠΈ Π΄ΠΎΠ±Ρ€ΠΎΠΆΠ΅Π»Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Π° ошибки Π² ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π²ΠΎΡΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ сигнал для ΠΈΡ… устранСния. Бпокойная атмосфСра Π²ΠΎ врСмя ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ опрСдСляСтся большой ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ, которая снимаСт всС ΠΏΠΎΠ²ΠΎΠ΄Ρ‹ для бСспокойства. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ€Π΅Π±Π΅Π½ΠΎΠΊ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΎΡ‚Ρ‡Π΅Ρ‚Π»ΠΈΠ²ΠΎ ΠΎΡ‰ΡƒΡ‰Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€Ρƒ учитСля Π² Π΅Π³ΠΎ силы, Π·Π°ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² Π΅Π³ΠΎ успСхах.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄ΡƒΠ½Π°Ρ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ конкурса Β«ΠšΠ΅Π½Π³ΡƒΡ€ΡƒΒ»
ΠšΠ΅Π½Π³ΡƒΡ€Ρƒ – это массовый ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄ΡƒΠ½Π°Ρ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ матСматичСский конкурс-Β­ΠΈΠ³Ρ€Π° ΠΏΠΎΠ΄ Π΄Π΅Π²ΠΈΠ·ΠΎΠΌ Β«ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° для всСх>>. Главная Ρ†Π΅Π»ΡŒ конкурса – ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ большС рСбят ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ матСматичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Π΄ΡƒΠΌΡ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ ΠΆΠΈΠ²Ρ‹ΠΌ, ΡƒΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ вСсёлым.

Β 

Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ просто Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅, пСрСходя сразу Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π³Ρ€Π°Ρ„ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π», ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π’Π°ΠΌ сСйчас Π½ΡƒΠΆΠ΅Π½.

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ β„–2 ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ «Числа, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ большС 1000. НумСрация» (УМК Π¨ΠΊΠΎΠ»Π° России)

Данная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° Π½Π°Ρ†Π΅Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΡƒ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ учащихся ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ «Π§ΠΈΡΠ»Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ большС 1000. НумСрация»

Π’ΠΈΠΏ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°: ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ° ΠΈ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ
Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ содСрТания: ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ знания, умСния ΠΈ Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅; Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ; ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ свою Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ ΠΈ Π΅Ρ‘ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚.

ΠŸΡ€ΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ содСрТимого Π΄ΠΎΠΊΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°
Β«ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ β„–2 ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ «Числа, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ большС 1000. НумСрация» (УМК Π¨ΠΊΠΎΠ»Π° России)Β»

ΠšΠžΠΠ’Π ΠžΠ›Π¬ΠΠΠ― Π ΠΠ‘ΠžΠ’Π β„–2

«Числа, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ большС 1000. НумСрация»

(УМК Школа России)

Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ I.

1.Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈ числа ΠΎΡ‚ 3798 Π΄ΠΎ 3806

2. Вычисли:

64 000 : 1 000 = 7 800 * 10 = 3 000 + 400 + 50 + 9 =

9 000 + 5 = 5 000 + 60 + 2 = 400 376 – 400 000 – 70 =

543 605 – 500 000 – 600 = 43 879 – 43 000 =

3. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈ числа с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ (ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π·Π°ΠΏΡΡ‚ΡƒΡŽ):

15 Сд. III класса, 30 Сд. II класса

56 дСс. II класса, 306Сд. I класса

168 ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ² 48 тысяч 30

27 тысяч

3 ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠ°Ρ€Π΄Π° 430 ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ² 5 тысяч 50

4. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ суммы разрядных слагаСмых число 87003

5. РСши Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ:

Π’ΠΎΠΊΠ°Ρ€ΡŒ Π·Π° сСмичасовой Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‡ΠΈΠΉ дСнь Π²Ρ‹Ρ‚Π°Ρ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ 63 Π΄Π΅Ρ‚Π°Π»ΠΈ, Π° Π΅Π³ΠΎ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊ Π·Π° 6 Ρ‡. Π’Ρ‹Ρ‚Π°Ρ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ 30 Π΄Π΅Ρ‚Π°Π»Π΅ΠΉ. На сколько большС Π΄Π΅Ρ‚Π°Π»Π΅ΠΉ Π²Ρ‹Ρ‚Π°Ρ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ Π·Π° 1 час Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‡ΠΈΠΉ, Ρ‡Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊ?

Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ 2

  1. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈ числа ΠΎΡ‚ 5697 Π΄ΠΎ 5703

2.

Вычисли:

84 000 : 1 000 = 5 300 * 100 = 7 000 + 500 + 60 + 3 =

7 000 + 7 = 6 000 + 500 + 1 = 800 231 – 800 000 – 1 =

657 908 – 600 000 – 900 = 54 768 – 54 000 =

3. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈ числа с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ (ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π·Π°ΠΏΡΡ‚ΡƒΡŽ):

7 Сд. III класса, 506 Сд. II класса

97 дСс. II класса, 54 Сд. I класса

118 ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ² 23 тысячи 80

38 тысяч

4 ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠ°Ρ€Π΄Π° 340 ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ² 6тысяч 90

4. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ суммы разрядных слагаСмых число: 45001

5. РСши Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ :

ΠŸΠ΅ΠΊΠ°Ρ€ΡŒ Π·Π° ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‡Π°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‡ΠΈΠΉ дСнь Π²Ρ‹ΠΏΠ΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ 54 ΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ³Π°, Π° Π΅Π³ΠΎ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊ Π·Π° 4 часа Π²Ρ‹ΠΏΠ΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ 24 Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ³Π°. На сколько большС ΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ³ΠΎΠ² Π²Ρ‹ΠΏΠ΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ Π·Π° 1 час ΠΏΠ΅ΠΊΠ°Ρ€ΡŒ, Ρ‡Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊ?

Π˜ΡΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ II — ΠšΠΎΡ€Π½Π΅Π²ΠΎΠΉ тСст

Онлайн-Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΊΠΈ Павла

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΡ Быстрая навигация Π‘ΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ

  • ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ
  • ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΡ
  • ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ с ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΎΠΉ
  • ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ с Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ
  • ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ / Π‘ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ
  • «> ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ всС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ / шаги / ΠΈ Ρ‚. Π”.
  • Π‘ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ всС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ / шаги / ΠΈ Ρ‚. Π”.
  • Π Π°Π·Π΄Π΅Π»Ρ‹
  • ВСст ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ
  • БтратСгия для сСрии
  • Π Π°Π·Π΄Π΅Π»Ρ‹
  • ΠŸΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ уравнСния ΠΈ полярныС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹
  • Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹
  • ΠšΠ»Π°ΡΡΡ‹
  • АлгСбра
  • Π˜ΡΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ I
  • Π˜ΡΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ II
  • Π˜ΡΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ III
  • Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния
  • Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ
  • АлгСбра ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³Π³Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ€
  • РаспространСнныС матСматичСскиС ошибки
  • ΠŸΡ€Π°ΠΉΠΌΠ΅Ρ€ для комплСксных чисСл
  • Как ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ
  • Π¨ΠΏΠ°Ρ€Π³Π°Π»ΠΊΠΈ ΠΈ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹
  • Π Π°Π·Π½ΠΎΠ΅
  • Π‘Π²ΡΠΆΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ со ΠΌΠ½ΠΎΠΉ
  • Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΊΠ° ΠΈ настройка MathJax
  • Мои студСнты
  • Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΊΠΈ Π—Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΊΠΈ
  • Полная ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π°
  • ВСкущая Π³Π»Π°Π²Π°
  • Π’Π΅ΠΊΡƒΡ‰ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»
  • Practice Problems Π—Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΎΠΊ
  • Полная ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π° — Волько ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹
  • Полная ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π° — РСшСния
  • ВСкущая Π³Π»Π°Π²Π° — Волько ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹
  • ВСкущая Π³Π»Π°Π²Π° — РСшСния
  • Π’Π΅ΠΊΡƒΡ‰ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» — Волько ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹
  • Π’Π΅ΠΊΡƒΡ‰ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» — РСшСния
  • ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ с Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π—Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΎΠΊ
  • Полная ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π°
  • ВСкущая Π³Π»Π°Π²Π°

Calculus II — Ratio Test

Онлайн-Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΊΠΈ Павла

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΡ Быстрая навигация Π‘ΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ

  • ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ
  • ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΡ
  • ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ с ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΎΠΉ
  • ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ с Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ
  • ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ / Π‘ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ
  • «> ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ всС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ / шаги / ΠΈ Ρ‚. Π”.
  • Π‘ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ всС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ / шаги / ΠΈ Ρ‚. Π”.
  • Π Π°Π·Π΄Π΅Π»Ρ‹
  • ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Π°Ρ ΡΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ
  • ΠšΠΎΡ€Π½Π΅Π²ΠΎΠΉ тСст
  • Π Π°Π·Π΄Π΅Π»Ρ‹
  • ΠŸΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ уравнСния ΠΈ полярныС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹
  • Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹
  • ΠšΠ»Π°ΡΡΡ‹
  • АлгСбра
  • Π˜ΡΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ I
  • Π˜ΡΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ II
  • Π˜ΡΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ III
  • Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния
  • Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ
  • АлгСбра ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³Π³Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ€
  • РаспространСнныС матСматичСскиС ошибки
  • ΠŸΡ€Π°ΠΉΠΌΠ΅Ρ€ для комплСксных чисСл
  • Как ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ
  • Π¨ΠΏΠ°Ρ€Π³Π°Π»ΠΊΠΈ ΠΈ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹
  • Π Π°Π·Π½ΠΎΠ΅
  • Π‘Π²ΡΠΆΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ со ΠΌΠ½ΠΎΠΉ
  • Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΊΠ° ΠΈ настройка MathJax
  • Мои студСнты
  • Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΊΠΈ Π—Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΊΠΈ
  • Полная ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π°
  • ВСкущая Π³Π»Π°Π²Π°
  • Π’Π΅ΠΊΡƒΡ‰ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»
  • Practice Problems Π—Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΎΠΊ
  • Полная ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π° — Волько ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹
  • Полная ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π° — РСшСния
  • ВСкущая Π³Π»Π°Π²Π° — Волько ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹
  • ВСкущая Π³Π»Π°Π²Π° — РСшСния
  • Π’Π΅ΠΊΡƒΡ‰ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» — Волько ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹
  • Π’Π΅ΠΊΡƒΡ‰ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» — РСшСния
  • ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ с Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π—Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΎΠΊ
  • Полная ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π°
  • ВСкущая Π³Π»Π°Π²Π°
  • Π’Π΅ΠΊΡƒΡ‰ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»
  • ΠŸΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ€Ρ‹
  • ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ URL для Π·Π°Π³Ρ€ΡƒΠΆΠ°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… элСмСнтов
  • Π Π°ΡΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒ страницу Π² Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ (ΠΏΠΎ ΡƒΠΌΠΎΠ»Ρ‡Π°Π½ΠΈΡŽ)
  • ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ всС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ / шаги ΠΈ Ρ€Π°ΡΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒ страницу
  • Π‘ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ всС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ / шаги ΠΈ Ρ€Π°ΡΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒ страницу
  • Π”ΠΎΠΌ
  • ΠšΠ»Π°ΡΡΡ‹
  • АлгСбра

Как Π²Ρ‹ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹ΡΡˆΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ, Π½Π΅ ΠΎΡ‚ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡΡΡŒ Π² унивСрситСт — Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 2

Π’ послСднСй ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ этой сСрии ΠΌΡ‹ рассмотрСли Π±Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ курсы, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ часто проходят Π² Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…Π»Π΅Ρ‚Π½Π΅ΠΌ курсС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π±Π°ΠΊΠ°Π»Π°Π²Ρ€ΠΈΠ°Ρ‚Π°. ΠœΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ основными курсами Π±Ρ‹Π»ΠΈ линСйная Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°, ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния, вСщСствСнный Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· ΠΈ тСория вСроятностСй. На Β«Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ курсС» нашСго ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ изучСния ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡƒΠ³Π»ΡƒΠ±Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ Π² Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· ΠΈ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρƒ, обсуТдая ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π ΠΈΠΌΠ°Π½Π°, Π°Π±ΡΡ‚Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π½ΡƒΡŽ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρƒ, мСтричСскиС пространства ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ исчислСниС.

Π’ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ обстановкС сСрСдина 2-Π³ΠΎ Π³ΠΎΠ΄Π° обучСния — это ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΈ Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ, хотят Π»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° чистой ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ хотят Π»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠΎΡΡ€Π΅Π΄ΠΎΡ‚ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅.Чистая ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΈ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° — синонимы, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· ΠΈ прикладная ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°. ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ связано с Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ продвинутая чистая ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° часто занимаСтся симмСтриСй ΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ€Π°Π·Ρ€ΠΎΠ·Π½Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ областями ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ (Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ сочСтаниС Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ ΠΈ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π² алгСбраичСской Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ). ПослСднСС, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ вСщСствСнныС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ пространства часто ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² частных ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ пространствСнно-Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ физичСскиС явлСния, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ элСктромагнитныС поля, сТимаСмыС Тидкости ΠΈ Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ структуры.

Π’Π΅ΡΡŒΠΌΠ° вСроятно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ спСциалист ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π²Ρ‹ Π·Π°Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ ΠΊ курсам стохастичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° Π€ΡƒΡ€ΡŒΠ΅, Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² частных ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, статистики ΠΈ Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹Ρ… вычислСний. Π’Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅, это Π½Π΅ всСгда Ρ‚Π°ΠΊ. МногиС извСстныС ΠΊΠ²Π°Π½Ρ‚Ρ‹ Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Π»ΠΈ с чистой ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ тСорСтичСской Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ, Π² Ρ‚ΠΎΠΌ числС Π”ΠΆΠΈΠΌ Баймонс ΠΈ Π­ΠΌΠ°Π½ΡƒΡΠ»ΡŒ Π”Π΅Ρ€ΠΌΠ°Π½.

Π­Ρ‚Π° ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ посвящСна 2-ΠΌΡƒ Π³ΠΎΠ΄Ρƒ, Π° прСдыдущая — 1-ΠΌΡƒ.Π•Ρ‰Π΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π΄Π²Π΅ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ посвящСны 3-ΠΌΡƒ ΠΈ 4-ΠΌΡƒ Π³ΠΎΠ΄Π°ΠΌ. Π’ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ… Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ рассмотрСна общая ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° курса магистра финансового ΠΈΠ½ΠΆΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΈΠ½Π³Π° (MFE).

Π“ΠΎΠ΄ 2

Как Π²ΠΊΡ€Π°Ρ‚Ρ†Π΅ ΡƒΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π³ΠΎΠ΄ Π±Π°ΠΊΠ°Π»Π°Π²Ρ€ΠΈΠ°Ρ‚Π° ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΡΠ΅Ρ‚ обсуТдСниС Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° Π΄ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π° Π ΠΈΠΌΠ°Π½Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ являСтся ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΎΠΌ, Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ‹ΠΌ ΠΈΠ· срСднСй ΡˆΠΊΠΎΠ»Ρ‹, ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€ΠΈΠΈ ΠΈ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ контрастируСт с ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΎΠΌ Π›Π΅Π±Π΅Π³Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ обсуТдаСтся Π² Π’Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π² Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ Π³ΠΎΠ΄Π°.

ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ослаблСны дальнСйшиС структурныС прСдполоТСния, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ мСтричСских пространств. Π­Ρ‚ΠΎ мноТСства, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ понятиС «расстояниС». Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ исчислСниС Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΡΠ΅Ρ‚ возмоТности диффСрСнцирования ΠΈ интСгрирования Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ пространства, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠΎ Π² областях элСктродинамики, ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠΈ ΡΠΏΠ»ΠΎΡˆΠ½Ρ‹Ρ… срСд ΠΈ Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠΈ.

ВСория Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ строгоС Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅ Π·Π° счСт ввСдСния ΠΊΠΎΠ»Π΅Ρ†, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ основных ΠΈΠ΄Π΅ΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† (Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ Π›ΠΈ).МногиС курсы Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΎΠ±ΡΡƒΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‚ Π½Π΅Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Ρƒ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ. Бюда входят сфСричСская / эллиптичСская гСомСтрия ΠΈ гипСрболичСская гСомСтрия. Π­Ρ‚ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ приводят ΠΊ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ.

Π’ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π³ΠΎΠ΄ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ вводятся Π±Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ стохастичСскиС процСссы, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ для профСссионалов Π² области количСствСнных финансов. Π•Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½Π° Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ ваТная Ρ‚Π΅ΠΌΠ°, основанная Π½Π° элСмСнтарной вСроятности, ΠΎΠ±ΡΡƒΠΆΠ΄Π°Π²ΡˆΠ΅ΠΉΡΡ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ Π³ΠΎΠ΄Ρƒ, — это статистика. ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π» статистики Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π° унивСрситСтов Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΠΈ для ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠ².

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ относится ΠΊ количСствСнному Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Ρƒ ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ прСдлагаСтся Π² качСствС ΠΎΠΏΡ†ΠΈΠΈ числСнный Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ пытаСтся Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΡ‹, ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π½Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΡ‹ Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ вычислСниС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, поиск собствСнных Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ рСгрСссии ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ (ΠΊΠ°ΠΊ Π² машинном ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ), Π΅Π³ΠΎ стоит ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ.

ΠšΡƒΡ€ΡΡ‹ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π³ΠΎΠ΄Π° обучСния Π² Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠ»ΠΈΠ΄Π°Ρ†ΠΈΡŽ Ρ‚Π΅ΠΌ, Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π³ΠΎΠ΄. РассмотрСны ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ области ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ:

Π’ΠΎΡ‚ список курсов для 1 Π³ΠΎΠ΄Π°:

Π Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· — ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π ΠΈΠΌΠ°Π½Π°

ΠšΡƒΡ€ΡΡ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π³ΠΎΠ΄Π° ΠΏΠΎ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Ρƒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡΡ…, рядах, функциях ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, $ f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} $), нСпрСрывности этих Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π° свойствах ΠΈ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹, относящиСся ΠΊ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.

На Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π³ΠΎΠ΄ основноС Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ удСляСтся ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Ρƒ Π ΠΈΠΌΠ°Π½Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ являСтся «стандартным» ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ со срСднСй ΡˆΠΊΠΎΠ»Ρ‹, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ концСпциям Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ сходимости ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ сходимости ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Одна ΠΈΠ· Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Ρ… обсуТдаСмых ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΉ — это Π€ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° исчислСния, которая опрСдСляСт, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Ρ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ связаны Π΄Ρ€ΡƒΠ³ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ.

Π˜Π·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π° Π ΠΈΠΌΠ°Π½Π° Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ для количСствСнного Π°Π½Π°Π»ΠΈΡ‚ΠΈΠΊΠ°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Ρ…ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π² области цСнообразования ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… финансовых инструмСнтов, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ стохастичСского исчислСния ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ вСроятностСй опираСтся Π½Π° тСорСтичСскиС ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π›Π΅Π±Π΅Π³Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ являСтся Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΌ, Ρ‡Π΅ΠΌ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ‹ΠΉ Π ΠΈΠΌΠ°Π½. ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π».

Π Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· являСтся ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ условиСм для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… курсов Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π³ΠΎΠ΄Π° ΠΏΠΎ мСтричСским пространствам ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΡΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡŽ, послСдний ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ большоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ для ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… областСй машинного обучСния.

Π£Ρ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹
ΠœΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ пространство

ΠšΡƒΡ€Ρ мСтричСских пространств часто являСтся ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ абстрактныС ΠΈΠ΄Π΅ΠΈ ΠΈΠ· области ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, извСстной ΠΊΠ°ΠΊ топология. ΠœΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ пространство — это матСматичСский Π½Π°Π±ΠΎΡ€, связанный с Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π² Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π΅, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ «расстояниС» ΠΈΠ»ΠΈ Β«ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΊΡƒΒ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ.

Π­Ρ‚Π° идСя расстояния Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° позволяСт ΠΎΠ±ΡΡƒΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ интСрСсныС свойства, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡ‚Ρƒ, ΡΠ²ΡΠ·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ нСпрСрывности Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ мСтричСскими пространствами. Π­Ρ‚ΠΈ ΠΈΠ΄Π΅ΠΈ основаны Π½Π° концСпциях, ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… Π² Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, ряды ΠΈ ΡΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ, хотя ΠΈ Π² ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°Ρ… Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высокого измСрСния.

ΠžΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ мСтричСского пространства — Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎ пространство со «стандартной» Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΊΠΎΠΉ («расстояниС ΠΏΠΎ прямой») ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ.Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ абстрактный ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ — расстояниС Π›Π΅Π²Π΅Π½ΡˆΡ‚Π΅ΠΉΠ½Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя строками тСкста, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ позволяСт количСствСнно ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΡ…ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚ΡŒ строк. Π― ΠΌΠΎΠ³Ρƒ Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎ Π·Π°ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‡Ρ€Π΅Π·Π²Ρ‹Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ Π² области ΠΎΠ±Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠΈ СстСствСнного языка.

Π£Ρ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹

Π’ унивСрситСтС я использовал Β«Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² мСтричСскиС ΠΈ топологичСскиС пространства» Π‘Π°Π·Π΅Ρ€Π»Π΅Π½Π΄Π° Π½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ курсС курса Β«ΠœΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ пространства». Π’Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅, рСтроспСктивно я ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΠ», Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π° сСрии Springer ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для студСнтов-Π±Π°ΠΊΠ°Π»Π°Π²Ρ€ΠΎΠ² Β«ΠœΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ пространства» М.О’Π‘ΠΈΡ€ΠΊΠΎΠΈΠ΄ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ заслуТиваСт изучСния.

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ исчислСниС

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ исчислСниС — ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… курсов для Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π½Ρ‚ΠΎΠ². Он ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π΅Π»ΠΎ с ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ измСнСния скалярных ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ. МногиС ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π½Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… финансах ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ поля, ΠΈ поэтому ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠ·ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ исчислСния вСсьма ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ.

ΠšΡƒΡ€Ρ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ исчислСния ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ с мноТСством ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹Ρ… инструмСнтов, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ частная производная, Π³Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ΅Π½Ρ‚, дивСргСнция, Ρ€ΠΎΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Лапласа, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Гаусса ΠΈ Бтокса, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Π±Π»ΠΎΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² частных ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ элСктромагнитноС ΠΏΠΎΠ»Π΅. поля ΠΈ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΊΠΈ Тидкости.

ЧастныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ Π³Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Π° ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² области статистичСского машинного обучСния, особСнно ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π΄Π΅Π»ΠΎ Π΄ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π΄ΠΎ ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° повСрхности ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ , ΠΊΠ°ΠΊ Π² Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠ΅ стохастичСского Π³Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ спуска.

НСкоторыС унивСрситСтскиС курсы ΠΏΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΡΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡŽ содСрТат Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹ ΠΈΠ· области комплСксного Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. Π₯отя Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²ΠΎ курсов сосрСдоточСно ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π° физичСских прилоТСниях ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ исчислСния, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ элСктродинамика, гравитация, ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠ° ΡΠΏΠ»ΠΎΡˆΠ½Ρ‹Ρ… срСд ΠΈΠ»ΠΈ Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠ°.

Π£Ρ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹
ΠžΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния — Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ хаос

Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния сами ΠΏΠΎ сСбС ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ большой ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ исслСдований. По ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π³ΠΎΠ΄Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ обсуТдСниСм Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠžΠ”Π£ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка с постоянными коэффициСнтами, ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ интСрСсныС ΠžΠ”Π£, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π² Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… прилоТСниях. К Π½ΠΈΠΌ относятся области ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠΈ, элСктроники ΠΈ матСматичСской Π±ΠΈΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠžΠ”Π£ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΈ хаотичСским ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ этого Ρ‚ΠΈΠΏΠ° Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π°Π΅Ρ‚ΡΡ довольно большой скачок слоТности. АкцСнт становится мСньшС Π½Π° мСханичСскиС ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ получСния Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ большС Π½Π° ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ† повСдСния Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТных систСм. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ приводят ΠΊ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠΉ области динамичСских систСм. Однако ΠΈΡ… Π½Π΅ часто ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Π΄ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Π³ΠΎΠ΄Π° обучСния ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅.

ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ приводят ΠΊ стохастичСским Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ уравнСниям (SDE) , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠžΠ”Π£, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ содСрТат случайный аспСкт.SDE Ρ‡Ρ€Π΅Π·Π²Ρ‹Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ для ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ количСствСнного Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Ρ…ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π½ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π΅Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ² ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… рядов. Π‘Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ двиТСния Ρ†Π΅Π½ Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΉ часто ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ гСомСтричСскиС случайныС блуТдания, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ использования SDE.

Π£Ρ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹

Как ΠΈ Π² случаС с курсами ODE ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π³ΠΎΠ΄Π° обучСния, Π½Π΅Ρ‚ нСдостатка Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°Ρ… для изучСния ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² Π±Π°ΠΊΠ°Π»Π°Π²Ρ€ΠΈΠ°Ρ‚Π΅. Π£Π»ΠΎΠ²ΠΊΠ° состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ солидный Π²Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ тСкст, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ тСкст, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π³Π»ΡƒΠ±ΠΆΠ΅, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ обсуТдСниС Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ управлСния, нСлинСйности, хаоса ΠΈ модСлирования.

Springer ΠΈ CUP ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΠΉ Π½Π°Π±ΠΎΡ€ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΏΠΎ ODE. Π’ частности, посмотрСв Π½Π° Ρ‚Π΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ я Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΠΎΠ²Π°Π» Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΉ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅:

ГСомСтрия — Π½Π΅Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Π°

Знакомая гСомСтрия повсСднСвной ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ — трСхмСрная Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Π° гСомСтрия. На Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ курсС студСнты часто знакомятся с ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ΅ΠΉ, эллиптичСской Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΈ гипСрболичСской Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ΅ΠΉ. Π­Ρ‚ΠΈ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‚, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° «пятый постулат» Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π° ослабляСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ позволяСт ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ линиям ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°ΡΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Π² ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

Π­Ρ‚ΠΈ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΈΠ³Ρ€Π°ΡŽΡ‚ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ Π² физичСских Π½Π°ΡƒΠΊΠ°Ρ…, особСнно Π² ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΈ космологии, Π³Π΄Π΅ Ρ€ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΎΠ²Π° гСомСтрия ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для модСлирования пространства-Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ. Π­Ρ‚ΠΈ гСомСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‡Ρ€Π΅Π·Π²Ρ‹Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΎ интСрСсными ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π°ΠΌΠΈ для изучСния сами ΠΏΠΎ сСбС.

Π˜Π·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠΎ ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π½Ρ‚Ρƒ, Ρ‡Π΅ΠΌ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ области ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ. Однако Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΉ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ я ΡƒΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π», Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ тригономСтричСских ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΉ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ для изучСния Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° Π€ΡƒΡ€ΡŒΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ являСтся ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ для ΠΊΠ²Π°Π½Ρ‚ΠΎΠ².

Π£Ρ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹
Абстрактная Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°

Π’ Части 1 ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ студСнты часто ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π² абстрактныС Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ Β«ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Β». На 2-ΠΌ курсС даСтся Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ абстрактной Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹, которая ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π³Π»ΡƒΠ±ΠΎΠΊΠΈΠ΅ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ ΠΈ часто ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊΠΎΠ»Π΅Ρ†.

ΠšΠΎΠ»ΡŒΡ†ΠΎ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π° Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡƒ, Π·Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π½Π΅ΠΌ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ «слоТСниС» ΠΈ Β«ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅Β». Π£ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° опСрация.Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ распространСнный ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π° — это ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†ΠΎ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл ($ \ mathbb {Z} $) с Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.

На Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π΅ курсов абстрактной Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π³ΠΎΠ΄Π° обучСния ΠΎΠ±ΡΡƒΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„ΠΈΠ·ΠΌΡ‹, Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€-Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹, Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π›Π°Π³Ρ€Π°Π½ΠΆΠ°, Π°Π±Π΅Π»Π΅Π²Ρ‹ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹, ΠΎΡ€Π±ΠΈΡ‚Ρ‹ ΠΈ стабилизаторы. ВсС это Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹ для дальнСйшСго изучСния абстрактной Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ Π›ΠΈ ΠΈ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ Π›ΠΈ.

Как я пояснил Π² Части 1, ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΠ²Π°Π½Ρ‚Ρƒ Π½Π΅ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π³Π»ΡƒΠ±ΠΎΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΎ-Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΉ.Π­Ρ‚ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΡ‹ ΠΊ основным областям количСствСнного финансирования. Π’Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅, Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ ΠΈ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π° — это ΡƒΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ области ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ массу ΡƒΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΈΡ самоучкС, Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ²ΡˆΠ΅ΠΉ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… Ρ€Π°Π΄ΠΈ самих сСбя.

Π£Ρ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹
Π‘Π»ΡƒΡ‡Π°ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ процСссы

БтохастичСскиС процСссы ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ прСдлагаСтся ΠΊΠ°ΠΊ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ Π² унивСрситСтС ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π½Π΅ являСтся «основным». Однако ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‡Ρ€Π΅Π·Π²Ρ‹Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ для количСствСнного финансирования, особСнно Π² области цСнообразования Π΄Π΅Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ².

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΡƒΠ³Π»ΡƒΠ±Π»Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ стохастичСскоС исчислСниС, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ понимания ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π° Π›Π΅Π±Π΅Π³Π° ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… тСорСтичСских ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹, рСкомСндуСтся Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ элСмСнтарныС случайныС процСссы.

Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ курсы часто Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‚ΡΡ с ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ€Π° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ вСроятностСй, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎΠ΅ обсуТдСниС сигма-ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ ΠΈ вСроятностных ΠΌΠ΅Ρ€ (Π½ΠΎ Π±Π΅Π· Π»ΠΈΡˆΠ½ΠΈΡ… Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… тСорСтичСских ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹). Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ обращаСтся Π½Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ процСссы, ΠΊΠ°ΠΊ дискрСтныС ΠΌΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½Π³Π°Π»Ρ‹ ΠΈ Ρ†Π΅ΠΏΠΈ ΠœΠ°Ρ€ΠΊΠΎΠ²Π°, ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹ΠΉ случай.

Π’Π°ΠΊΠΎΠΉ курс СстСствСнным ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Π²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ ΠΊ Π΄Π°Π»ΡŒΠ½Π΅ΠΉΡˆΠ΅ΠΌΡƒ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ стохастичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ исчислСниС Π˜Ρ‚ΠΎ ΠΈ, Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅, Ρ†Π΅Π½ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΡ†ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ².

Π£Ρ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹
ЧислСнный Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·

Основная Ρ†Π΅Π»ΡŒ числСнного Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° — ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ числСнного ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ с использованиСм ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ², Π° Π½Π΅ поиска аналитичСского Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π’ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ прСдставлСны ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ понимания ошибок, вносимых Π² процСсс, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΡΡ‚Π°Π±ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

ЧислСнный Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· Ρ‡Ρ€Π΅Π·Π²Ρ‹Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ΅Π½ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² количСствСнных финансах, Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠ΅, Π³Ρ€Π°Π²ΠΈΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠ΅ ΡΠΏΠ»ΠΎΡˆΠ½Ρ‹Ρ… срСд ΠΈ элСктродинамикС. Π˜Π·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ числСнного Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° позволяСт ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΡ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ числСнныС ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹, Π° ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ привСсти ΠΊ Ρ‡Ρ€Π΅Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ ошибкС.

Как ΠΊΠ²Π°Π½Ρ‚, вСроятно, Π²Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ числСнного приблиТСния, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠœΠΎΠ½Ρ‚Π΅-ΠšΠ°Ρ€Π»ΠΎ Ρ†Π΅ΠΏΠΈ ΠœΠ°Ρ€ΠΊΠΎΠ²Π° для байСсовского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, Π»ΠΈΠ±ΠΎ числСнноС ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² частных ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈ Ρ†Π΅Π½ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ….Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ числСнного Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° стоит Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ распространСнных ошибок.

Π£Ρ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹
Бтатистика

Бтатистика, вСроятно, самый вострСбованный количСствСнный Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊ Π² коммСрчСском сСкторС, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅. Он обСспСчиваСт основу для понимания нСопрСдСлСнности ΠΈ измСрСния риска, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ для ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΈ квантования.

Помимо своСй цСнности ΠΊΠ°ΠΊ инструмСнта управлСния рисками, ΠΎΠ½ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ обСспСчиваСт основу, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ построСно Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²ΠΎ основных ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² машинного обучСния.Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ прСдполагаСмая количСствСнная статистика ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π»Π°ΡΡŒ Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅ Π±Π°ΠΊΠ°Π»Π°Π²Ρ€ΠΈΠ°Ρ‚Π°.

Бтатистика ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ вСроятности, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ основываСт Π΅Π΅ Π½Π° обсуТдСнии ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΉ распрСдСлСния вСроятностСй, матСматичСского оТидания, коррСляции ΠΈ ΠΊΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ. ПослС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ эти основныС ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ‹, ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠ°ΡΡΡ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π° ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ состоит ΠΈΠ· объяснСния классичСских / частотных тСстов Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π· для Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ….

Π­Ρ‚ΠΈ тСсты нСвСроятно распространСны Π² коммСрчСском ΠΌΠΈΡ€Π΅, особСнно Π² количСствСнных финансах.Как количСствСнный ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΄ΠΆΠ΅Ρ€ портфСля ΠΈΠ»ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡ‚ΠΈΠΊ рисков Π²Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π² Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… условиях. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, стоит Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ эти ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹.

ΠšΡƒΡ€Ρ классичСской / частотной статистики СстСствСнным ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Π²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ ΠΊ курсу байСсовской статистики. ПослСдний стал популярным Π² послСдниС Π³ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΈΠ·-Π·Π° Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ управляСмости Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… Π² основС Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠΎΠ² ΠœΠΎΠ½Ρ‚Π΅-ΠšΠ°Ρ€Π»ΠΎ Ρ†Π΅ΠΏΠΈ ΠœΠ°Ρ€ΠΊΠΎΠ²Π°.

Π£Ρ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ шаги

Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π³ΠΎΠ΄ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ Π±Π°ΠΊΠ°Π»Π°Π²Ρ€ΠΈΠ°Ρ‚Π° — это объСдинСниС ΠΈ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ΄Π΅ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π³ΠΎΠ΄Π°. Для самоучки ΠΏΠΎΡ€Π° Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ подходят для ΠΈΡ… собствСнной ΠΊΠ°Ρ€ΡŒΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ.

Π― описал ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ курсы Π²Ρ‹ΡˆΠ΅. НСкоторыС ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Π½Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ для количСствСнного Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, ΠΆΠ΅Π»Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ «самый ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΒ», Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ΠΉ для Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π½Π°Π΄ Ρ†Π΅Π½ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π΅Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ², статистичСским ΠΌΠ°ΡˆΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ количСствСнной Ρ‚ΠΎΡ€Π³ΠΎΠ²Π»Π΅ΠΉ.

Однако Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€ΠΎΠ»ΠΈ Π² количСствСнном финансировании вСсьма конкурСнтоспособны. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ всСстороннСго матСматичСского образования Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ прСдпосылок для количСствСнных финансов, особСнно ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎ ситуациях собСсСдования.НС слСдуСт ΠΎΡ‚ΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ абстрактных курсов, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ абстрактная Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Π° гСомСтрия, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² этих областях, часто находят своС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½Ρ‹Ρ… областях ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ количСствСнных финансов.

Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅, посвящСнной 3-ΠΌΡƒ Π³ΠΎΠ΄Ρƒ обучСния, ΠΌΡ‹ рассмотрим Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ абстрактныС области Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ тСория ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π²Π°ΠΆΠ΅Π½ для изучСния вСроятностного ΠΈ стохастичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. Π‘ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ прСдставлСны ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ байСсовская статистика ΠΈ Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠ°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΊΠΎΠΉ для обучСния ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠ²Π°Π½Ρ‚ΠΎΠ² Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ уравнСния Π² частных ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ….

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡŽ ΠΈΠ· сСрии: Как ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹ΡΡˆΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ, Π½Π΅ ΠΎΡ‚ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡΡΡŒ Π² унивСрситСт — Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 3

Π‘Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅

Level Test Upper Intermediate B2

Level Test Upper Intermediate B2 — БСсплатный тСст Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ английского

Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ вопроса, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ тСста , Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ свой Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ ΠΈ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ (35 вопросов)

  • А.Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚

  • Π‘. Π˜ΡΠΏΡ€Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ порядок слов

    1. АмСриканСц Π΅Π΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΡƒΠΆ?

    • это

    • АмСриканский

    • Π΅Π΅

    • сСкунда

    • ΠΌΡƒΠΆ

    2.ΠΎΠ½ прСкрасно Ρ‚Π°Π½Ρ†ΡƒΠ΅Ρ‚ вальс

    • ΠΎΠ½

    • Ρ‚Π°Π½Ρ†Ρ‹

    • красиво

    • Π’Π°Π»ΡŒΡ

    3. ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Ρ„ΠΈΠ»ΡŒΠΌ?

    4.Π½ΠΈΠΊΡ‚ΠΎ ΡΠ΅Ρ€ΡŒΠ΅Π·Π½ΠΎ Π½Π΅ пострадал Π² Π°Π²Π°Ρ€ΠΈΠΈ

    • Π½ΠΈΠΊΡ‚ΠΎ

    • Π±Ρ‹Π»ΠΎ

    • Ρ€Π°Π½Π΅Π½Ρ‹Ρ…

    • ΡΠ΅Ρ€ΡŒΠ΅Π·Π½ΠΎ

    • Π²

    • авария

    5. Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ «Glitterati»?

    • Ρ‡Ρ‚ΠΎ

    • срСднСС

    • Π΄Π°

    • ‘Glitterati’

    6. ΠžΡ‡Π΅Π½ΡŒ нравится этот рСсторан

    • Π―

    • нравится

    • ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ

    • ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ

    • это

    • рСсторан

    7.ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ ΠΎΠ½ пропустил рСйс

    • ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ

    • ΠΎΠ½

    • ΠΏΡ€ΠΎΠΏΡƒΡ‰Π΅Π½ΠΎ

    • рСйс

    8. ΠΎΠ½ потСрял ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈ, вСроятно,

    • ΠΎΠ½

    • ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚

    • потСряно

    • Π΅Π³ΠΎ

    • ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈ

    • вСроятно

    9.ΠΎΠ½ Π½Π΅ попрощался Π΄Π°ΠΆΠ΅

    • ΠΎΠ½

    • Π½Π΅Ρ‚

    • скаТСм

    • Π΄ΠΎ свидания

    • Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅

    10. Бколько сигарСт Π²Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΊΡƒΡ€ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚Π΅ Π² дСнь?

    • ΠΊΠ°ΠΊ

    • ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ

    • сигарСты

    • ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ

    • Π²Ρ‹

    • Π΄ΠΎ

    • Π΄Ρ‹ΠΌ

    • Π°

    • 9000 2 дня

  • Π‘. Π—Π°ΠΏΡƒΡ‚Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ слова

ΠœΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ„Π°ΠΉΠ»Ρ‹ cookie, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ»ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ Π² сСти.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π°ΡΡΡŒ ΠΏΠΎ этому сайту, Π½Π΅ измСняя своих настроСк, Π²Ρ‹ Π΄Π°Π΅Ρ‚Π΅ согласиС Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„Π°ΠΉΠ»ΠΎΠ² cookie.

ΠŸΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅

ОК

MST125 | ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ 2

Π‘Ρ‡Π΅Ρ‚ Π±ΡŽΠ΄ΠΆΠ΅Ρ‚Π° студСнтов ΠžΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ унивСрситСта

The Open University Student Budget Accounts Ltd (OUSBA) ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ ΠΎΠΏΠ»Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ использования для ΠΎΠΏΠ»Π°Ρ‚Ρ‹ взносов Π² OU, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ являСтся бСзопасным, быстрым ΠΈ простым способом ΠΎΠΏΠ»Π°Ρ‚Ρ‹.ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠžΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚Ρ‹ΠΉ унивСрситСт Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ с OUSBA ΠΈ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π°ΠΌ ΠΊΡ€Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π½Ρ‹Π΅ срСдства ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… поставщиков. ВсС ΠΊΡ€Π΅Π΄ΠΈΡ‚Ρ‹ зависят ΠΎΡ‚ статуса ΠΈ подтвСрТдСния Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ сСбС Π²Ρ‹ΠΏΠ»Π°Ρ‚Ρ‹.

Π’Ρ‹ ΠΏΠ»Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ OU Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· OUSBA ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… способов:

  • Π—Π°Ρ€Π΅Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ сСйчас, ΠΏΠ»Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅ — OUSBA ΠΎΠΏΠ»Π°Ρ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠ»Π°Ρ‚Ρƒ Π·Π° ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ Π½Π°ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Ρ‹ Π²Ρ‹ΠΏΠ»Π°Ρ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚Π΅ OUSBA Π±Π΅ΡΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Π²Ρ‹ΠΏΠ»Π°Ρ‚Ρƒ Π² ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΌ объСмС нСпосрСдствСнно ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ вашСго модуля. 0% Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠΈΡ…. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π°ΠΌ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ врСмя, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ для обСспСчСния финансирования для Π²Ρ‹ΠΏΠ»Π°Ρ‚Ρ‹ OUSBA.
  • ΠžΠΏΠ»Π°Ρ‚Π° Π² рассрочку — OUSBA рассчитываСт Π²Π°ΡˆΡƒ Π΅ΠΆΠ΅ΠΌΠ΅ΡΡΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»Π°Ρ‚Ρƒ ΠΈ количСство взносов Π½Π° основС стоимости модуля, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π²Ρ‹ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚Π΅. Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… 5,1% ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠΈΡ….
БовмСстныС ΠΊΡ€Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π½Ρ‹Π΅ заявки

Если Π²Ρ‹ чувствуСтС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ смоТСтС ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ссуду OUSBA ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΠ·-Π·Π° ΠΊΡ€Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π½ΠΎΠΉ истории ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ с Π΄ΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, OUSBA ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ заявку Π½Π° ΡΠΎΠ²ΠΌΠ΅ΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ ссуду с Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ стороной. НапримСр, ваш ΠΌΡƒΠΆ, ΠΆΠ΅Π½Π°, ΠΏΠ°Ρ€Ρ‚Π½Π΅Ρ€, Ρ€ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, Π±Ρ€Π°Ρ‚ ΠΈΠ»ΠΈ сСстра ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³. Π’ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… случаях OUSBA Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ провСсти Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ доступности ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΈ / ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠ»Π»Π΅ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ для ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… совмСстных заявитСлСй, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ нСсти ΡΠΎΠ»ΠΈΠ΄Π°Ρ€Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π·Π° погашСниС ΠΊΡ€Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π°.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠ΅ совмСстных ΠΊΡ€Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π½Ρ‹Ρ… заявок Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ доступности, ΠΊ соТалСнию, ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ принято. Π’ срСднСм врСмя ΠΎΠ±Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠΈ совмСстной ΠΊΡ€Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π½ΠΎΠΉ заявки составляСт ΠΏΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‡ΠΈΡ… Π΄Π½Π΅ΠΉ с ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° получСния Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΊΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ.

Π£Π·Π½Π°ΠΉΡ‚Π΅ большС ΠΎ Π±ΡŽΠ΄ΠΆΠ΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… счСтах студСнтов ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ унивСрситСта (OUSBA).

ΠšΡ€Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π½Π°Ρ / дСбСтовая ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Π°

Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ частично ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΎΠΏΠ»Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π΅Π±Π΅Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΡ€Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ рСгистрации Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ.

ΠœΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Ρ‹ American Express, Mastercard, Visa ΠΈ Visa Electron.

Π‘ΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΠΏΠ»Π°Ρ‚Ρ‹

ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π°ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ½Π°Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ способы ΠΎΠΏΠ»Π°Ρ‚Ρ‹. НапримСр, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠΏΠ»Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ»Π°Ρ‚Ρ‹ Π·Π° ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π΄Π΅Π±Π΅Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Ρ‹, Π° ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΡƒΡŽΡΡ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΠ»Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ частями Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· счСт Π±ΡŽΠ΄ΠΆΠ΅Ρ‚Π° студСнта ΠžΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ унивСрситСта (OUSBA).

Π›ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΠ΅ 20 вопросов ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° собСсСдовании

1) КакиС ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ классы ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ Π²Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅Ρ‚Π΅?

Π Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΈΠΏΡ‹ матСматичСских ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ: исчислСниС, Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ. Π― ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽ всС Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, Π½ΠΎ матСматичСский Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· являСтся основным.

2) W Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°?

АлгСбра — это ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· областСй ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ символы ΠΈ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ для обозначСния чисСл, Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ², Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ взаимосвязСй ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ.Он ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ нСизвСстныС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅.

НапримСр, Π²Ρ‹ потСряли 5 Ρ€ΡƒΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Ρƒ вас ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ 10 Ρ€ΡƒΡ‡Π΅ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ количСство Ρ€ΡƒΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Ρƒ вас Π±Ρ‹Π»ΠΎ. Π’Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ алгСбраичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Π₯ -5 = 10

X = 10 + 5 = 15 — ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ количСство Ρ€ΡƒΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Ρƒ вас Π±Ρ‹Π»ΠΎ.

3) Бколько мСста потрСбуСтся для ΠΏΠΎΠ»ΠΊΠΈ Π½Π° 30 Ρ‡Π°ΡˆΠ΅ΠΊ, Ссли для ΡˆΠΊΠ°Ρ„Π° Π½Π° 12 стСнок потрСбуСтся 18 Ρ„ΡƒΡ‚ΠΎΠ² пространства Π½Π° стСнС?

Для ΠΎΠ±ΠΎΠ»ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ 30 Cup трСбуСтся 45 Ρ„ΡƒΡ‚ΠΎΠ² стСны

4) Π’ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠΎΠΉ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ стСллаТа с 10 ящиками с ΠΌΠ΅Π»ΠΊΠ°ΠΌΠΈ. t

6) W Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ, ассоциации ΠΈ распрСдСлСния Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅?

  • Π—Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ гласят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ мСстами числа, ΠΈ Π²Ρ‹ всС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ число, Ссли слоТитС, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, a + b = b + a ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС для умноТСния.
  • АссоциативныС Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ гласят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ значСния, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ число, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ останСтся ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½ΠΈΠΌ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, (a + b) + c = (a + b) + c, ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС для умноТСния
  • Π—Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ распрСдСлСния гласят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚, умноТая число Π½Π° Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡƒ чисСл, слоТСнных вмСстС ΠΈΠ»ΠΈ умноТая ΠΈΡ… ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ складывая ΠΈΡ…, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, a x (b + c) = axb + axc

7) Π’ нСбольшой ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°Π½ΠΈΠΈ срСдняя Π·Π°Ρ€ΠΏΠ»Π°Ρ‚Π° Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… сотрудников составляСт 1000 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ΠΎΠ² Π² нСдСлю.Если ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ сотрудник Π·Π°Ρ€Π°Π±Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ 1100 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ΠΎΠ², Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ — 500 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ΠΎΠ², сколько Π·Π°Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ сотрудник?

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для расчСта,

(e1 + e2 + e3) / 3 = 1000 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ΠΎΠ² БША

1100 + 500 + e3 = 1000 x 3

1600 + e3 = 3000

e3 = 3000-1600

= 1400

Π’Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ сотрудник Π·Π°Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ 1400 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ΠΎΠ²

8) ΠžΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅ Π² слоТном вычислСнии, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, 8 + (9 x 5 2 +8), ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° Π²Ρ‹ Π½Π°Ρ‡Π½Π΅Ρ‚Π΅ вычислСниС?

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅Π΄ΠΎΡ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΉ, с Ρ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ расчСт, Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ BODMAS

  • B = ΠšΡ€ΠΎΠ½ΡˆΡ‚Π΅ΠΉΠ½ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ
  • O = ΠŸΡ€ΠΈΠΊΠ°Π·Ρ‹ (стСпСни ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ)
  • DM = Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
  • AS = Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅

ПослС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‡ΠΈΠ»ΠΈ с B ΠΈΠ»ΠΈ O, ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°ΠΉΡ‚Π΅ слСва Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ, выполняя Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Β«DΒ» ΠΈΠ»ΠΈ Β«MΒ», ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°ΠΉΡ‚Π΅ слСва Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ, выполняя Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Β«AΒ» ΠΈΠ»ΠΈ Β«SΒ». ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅.

9) W Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ гСомСтрия?

Π“Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π΄Π²Π° класса

  • Плоская гСомСтрия: Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎ плоских Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ…, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ, Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° листС Π±ΡƒΠΌΠ°Π³ΠΈ.
  • Solid Geometry: Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°Ρ…, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Ρ‹, ΠΊΡƒΠ±Ρ‹, ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΠ° ΠΈ сфСры.

10) W Какая Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Line, Point, Plane ΠΈ Solid?

  • Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ²
  • Линия одномСрная
  • Π‘Π°ΠΌΠΎΠ»Π΅Ρ‚ Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ
  • Π’Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ΅ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅

11) W Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ внСшний ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π² ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°Ρ…?

Π’ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°Ρ… ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ любой стороной Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ ΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ, ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ стороны, называСтся внСшними ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ.ВсС внСшниС ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π² суммС ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ 360 Β°. ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ внСшний ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ 360 Β°

12) H Как Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚Ρ‹?

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚Ρ‹, рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ для 4/9

  • ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 4/9 = 0,44
  • Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ Π½Π° 100 = 0,44 x 100 = 44,44
  • Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ ΠΊ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρƒ Π·Π½Π°ΠΊ Β«%Β» = 44,44%

ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚ ΠΎΡ‚ 4/9 = 44,4%

13) H Как Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚ Π² Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ?

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚ Π² Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, скаТСм, 70% Π² Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ

  • ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ 70% Π² дСсятичноС число = 70/100 = 0.7
  • Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π΅ΡΡΡ‚ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ Β«ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Β» числа 1 = 0,7 / 1
  • Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΈ Π½ΠΈΠ· Π½Π° 10 = 0,7x 10 = 7/10

Для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ числа послС дСсятичной запятой 1 x 10

(10 Π·Π° 1, 100 Π·Π° 2)

  • Π§Ρ‚ΠΎ даст = 7/10
  • 7/10 это дробная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°

14) W ΠΊΠ°ΠΊ кубичСский ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€?

ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ — это стандартная Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° измСрСния объСма ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅. Π•Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° записываСтся Π² ΠΌ 3.

1 ΠΌ 3 (кубичСский ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€) = 1000 Π»ΠΈΡ‚Ρ€ΠΎΠ²

15) H Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π³Π΅ΠΊΡ‚Π°Ρ€, Π° сколько ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€?

  • 1 Π³Π° = 100 ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² с ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ стороны, поэтому Π½Π° Π³Π΅ΠΊΡ‚Π°Ρ€Π΅ 100 ΠΌ x 100 ΠΌ = 10000 ΠΌ 2
  • ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌ x ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠ»ΠΈΡ‚Ρ€Π°ΠΌ ; ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ — это тысяча частСй ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°, поэтому ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ составляСт ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΎΠ½Π½ΡƒΡŽ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°

1 X 1 = 1 ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€

1000 1000 1000, 000

16) Если ΠΊΠΎΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π²Ρ‹Π΄Π°Π΅Ρ‚ 50 Π±ΠΈΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΠ² Π·Π° 30 ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚, сколько Π±ΠΈΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΠ² ΠΎΠ½ смоТСт Π²Ρ‹ΠΏΡƒΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π° 8 часов.?

Если ΠΊΠΎΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π²Ρ‹Π΄Π°Π΅Ρ‚ 50 Π±ΠΈΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΠ² Π·Π° 30 ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, количСство Π±ΠΈΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΠ² выдаСтся Π·Π° 8 Ρ‡. Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚

(480 x50) / 30 = 800 Π±ΠΈΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΠ²

Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ‚ΡŒ 800 Π±ΠΈΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΠ² Π½Π° 8 часов.

17) W Ρ‡Ρ‚ΠΎ это пСрСстановка?

УпорядочСнноС располоТСниС Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² извСстно ΠΊΠ°ΠΊ пСрСстановка, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, пСрСстановка располоТСния ΠΈΠ· 9 ΡˆΠ°Ρ€ΠΎΠ² Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†Π²Π΅Ρ‚Π° Π² 3 Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… рядах ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Π° 9 P 3 = 504 способами.

18) W Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅? Для Ρ‡Π΅Π³ΠΎ это ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ?

Для расчСта ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, связанных с расстояниСм, ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π΅ΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Он Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для поиска Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, связанных с вСсом, массой ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Ax + By + Cz +… = D.

19) ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π³Π΄Π΅ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² своСй повсСднСвной ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ?

НапримСр, Ссли Π²Ρ‹ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ Π² офисС Π² 20 милях ΠΎΡ‚ вашСго офиса, ΠΈ Π²Ρ‹ достигли 8 ΡƒΡ‚Ρ€Π°, ΠΈ Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ двиТСтся со ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ 40 миль Π² час.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, Π²ΠΎ сколько Π²Π°ΠΌ слСдуСт ΡƒΠΉΡ‚ΠΈ ΠΈΠ· Π΄ΠΎΠΌΠ°, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π—Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ врСмя = расстояниС / ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ двиТСния

t = 20/40 = Β½ ΠΈΠ»ΠΈ полчаса. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΉΡ‚ΠΈ Π² офис Π² 8 ΡƒΡ‚Ρ€Π°, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Π΄ΠΎΠΌΠ° Π² 7:30 ΡƒΡ‚Ρ€Π°

.

20) W Ρ‡Ρ‚ΠΎ это ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ?

Линия, которая касаСтся ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΈ Π½Π΅ пСрСсСкаСт Π΅Π΅, называСтся ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.

21) W Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ стандартноС ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅?

Π‘Ρ‚Π°Π½Π΄Π°Ρ€Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ — это ΠΌΠ΅Ρ€Π° разброса Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΎ срСднСм Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ.Он называСтся сигма ΠΈ прСдставлСн ΠΊΠ°ΠΊ символ Οƒ.

.
Leave a Reply

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *