Контрольная работа теория вероятности 2 курс: Проверочная работа по теме «Теория вероятности»

Диагностические работы для 7-8 классов в проекте «Математическая вертикаль» теория вероятностей и статистика 06.05.2020

Тренировочные диагностические работы для 7-8 классов «Математическая вертикаль» теория вероятностей и статистика которая пройдет с 6 мая по 10 мая. Задания, ответы и решения

Скачать все задания и решения первого тренировочного варианта: скачать

В связи с досрочным завершением учебного года ИТОГОВЫЕ диагностики в проекте “Математическая вертикаль” переносятся на сентябрь 2020 года. 6-8 мая можно написать тренировочные работы по алгебре, геометрии и теории вероятностей и статистике. Работа состоит из 6 задач и рассчитана на 45 минут. Во всех работах правильный ответ в каждой задаче или каждом подпункте оцениваются в 1 балл.

Некоторые задания с варианта 7 класс:

№ 1. Дан числовой набор: 4, –5, 6, –2, 1, 7, 3. Определите середину интервала значений. Ответ: 1

№ 2. Какое число нужно добавить, чтобы среднее арифметическое набора стало равно 3? Ответ: 10

№ 3.

Авиакомпания «Аэрофлот» в регулярных пассажирских перевозках использует семь типов самолётов. По данным о количестве самолётов в парке «Аэрофлота» построена круговая диаграмма.

Самолётов какого типа в «Аэрофлоте» больше всего?
— Аэробус 320 (верно)
— Аэробус 350
— Аэробус 330
— Боинг 777
— Аэробус 321
— Боинг 737
— Сухой Суперджет 100

№ 4. Оцените приблизительно по диаграмме суммарное количество Аэробусов всех типов, если известно, что всего в парке «Аэрофлота» 247 самолётов. Ответ: 125

№ 5. Водный режим реки — годовое изменение расхода, уровня и объёма воды в реке. Неравномерный в течение года режим питания рек связан с колебаниями количества осадков, весенним таянием снега и другими факторами. Прочтите текст сопровождающей статьи: пояснения к тексту:

(1) Уровень воды в реках России измеряется в метрах Балтийской системы. Футшток с нулевой отметкой находится в Кронштадте.
(2) Межень – низкий уровень воды.
(3) Паводок – кратковременное повышение уровня воды.
Водный режим Амура характеризуется зимней меженью (2) и слабо выраженным весенним половодьем. Зато летние паводки (3), вызванные муссонными дождями, могут следовать один за другим. Наиболее значительные паводки обычно происходят в конце лета и нередко приводят к серьёзным наводнениям. В среднем и нижнем течении Амура около города Комсомольск-на-Амуре в это время года наблюдаются разливы, ширина которых достигает 10 – 25 км, а вода может превысить опасный уровень 6,5 м, тогда как среднегодовой уровень воды (1) в Амуре у Комсомольска-на-Амуре колеблется в пределах 2 – 2,5 м в разные годы.
На диаграммах показаны результаты измерений уровня Амура (в сантиметрах) в черте г. Комсомольска-на-Амуре за первые 2 недели трёх месяцев: января, апреля и августа 2019 г. Укажите номер диаграммы, на которой размах данных наибольший.
Ответ: 3

6. Определите, какая диаграмма к какому месяцу относится.

Ответ: 1- январь, 3-апрель, 2-август)

Некоторые задания с варианта 8 класс:

№ 1. На тарелке 16 пирожков: 7 с рыбой, 5 с рисом и 4 с вишней. По внешнему виду невозможно определить, какая начинка у пирожка.
Юля наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней. Ответ: 0,25

№ 2. Юля наугад выбирает два пирожка. Найдите вероятность того, что оба окажутся с рыбой. Ответ: 0.175

№ 5.  На рисунке изображено дерево некоторого случайного опыта. Подпишите около рёбер Х, Y, Z недостающие вероятности.

— Х=1
— Y=1
— Z=1

№ 6. Найдите вероятность события A. Ответ: A=0,38

Скачать все задания и решения первого тренировочного варианта: скачать

Вам будет интересно:

Работы математическая вертикаль 2019-2020 учебный год


* Всероссийские олимпиады
* Готовые контрольные работы
* Работы СтатГрад

Поделиться:

Теория вероятности | Контрольная работа №5

Задача 1. В партии из 7 изделий 2 бракованных. Наудачу взяты 4 изделия. Найти вероятность того, что среди них:

а) одно бракованное;
б) хотя бы одно бракованное;
в) бракованных и небракованных поровну.

Задача 11. Рассчитать надежность цепи. (Указаны вероятности работы элементов)

Задача 21. В первой урне находятся 1 белый и 5 черных шаров, а во второй – 4 белых и 1 черный. Из первой урны удалили наугад один шар, а оставшиеся ссыпали в третью урну.
а) Найти вероятность того, что шар, вынутый из третьей урны, окажется белым.
б) Оказалось, что шар, вынутый из третьей урны, белого цвета. Найти вероятность, что шар, удаленный из первой урны, черный.

Задача 31. Будем считать, что вероятности появления на свет мальчика и девочки равны между собой. В семье пятеро детей.

а) Найти вероятность того, что в семье ровно 2 мальчика.
б) Найти вероятность того, что в семье хотя бы 1 мальчик.

Задача 41. Дискретная случайная величина задана рядом распределения:

xi –1 0 2
pi 0.5 0.1 p3

Найти p3, M[X], D[X], P(X<2), F(x). Начертить график F(x).

Задача 51. Непрерывная случайная величина

X задана функцией распределения . Найти a, f(x), M[X], D[X], P(-1<x<0.5). Начертить графики функций f(x) и F(x).

Download (PDF, 295KB)

Максим 25 августа, 2014

Posted In: Контрольная работа, Математика, Теория вероятности

Контрольная работа №5. Теория вероятности.

Пояснительная записка

Контрольная работа по дисциплине «Математика» предназначена для студентов общего и профессионального образования, обучающихся по специальности СПО 38.02.03 Операционная деятельность в логистике.

Целью выполнения контрольной работы по дисциплине «Математика» является освоение основных понятий и положений математики, необходимых для создания математических моделей в области будущей профессиональной деятельности.

В ходе выполнения контрольной работы ставятся следующие задачи:

· Формирование знаний и навыков работы с понятиями математики;

· Умение корректно формулировать задачу, осуществлять ее решение и интерпретировать результат.

 

Методические указания к выполнению заданий контрольной работы

Структура и содержание выполняемой работы:

Контрольная работа по дисциплине «Математика» состоит из титульного листа и основной части.

Основная часть представляет собой четкое, содержательное и подробное решение предложенных задач. В основной части нужно записать задание. Ниже задания указать решение для данного варианта контрольной работы. Следует подробно объяснить, почему выбрано то или иное решение.

Титульный лист контрольной работы обязательно должен содержать:

— Полное наименование учебного заведения;

— Наименование дисциплины, вида работ;

— Фамилию и инициалы студента;

— Номер группы;

— Дату сдачи контрольной работы;

— Номер зачетной книжки студента;

— Фамилию и инициалы преподавателя.

Работа выполняется в тетради с полями (5 клеток) для пометок преподавателя.

В начале работы указывается номер варианта и темы выполняемого задания.

Контрольная работа выполняется в установленные сроки. Задания для контрольной работы каждый студент выполняет в соответствии со своим индивидуальным номером варианта, который соответствует порядковому номеру студента в списке журнала группы.

 

       ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ       

Контрольная работа №1. Вычисление пределов.

а) Вычислить пределы, применяя теоремы о пределах.

1.  ;  ;

2. ;  ;

3. ; ;

4. ; ;

5. ; ;

6. ; ;

7. ; ;

8. ; ;

9. ; ;

10. ; ;

11. ; ;

12. ; ;

13. ; ;

14. ; ;

15. ; ;

16. ; ;

17. ; ;

18. ; ;

19. ; ;

20. ; ;

б) Вычислить пределы, применяя I и II замечательные пределы.

1. ; .

2. ; .

3. ; .

4. ; .

5. ; .

6. ; .

7. ; .

8. ; .

9. ; .

10. ; .

11. ; .

12. ; .

13. ; .

14. ; .

15. ; .

16. ; .

17. ; .

18. ; .

19. ; .

20. ; .

Контрольная работа №2. Дифференциальное исчисление.

Исследовать функцию при помощи производной и построить график.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

 

Контрольная работа №3. Интегральное исчисление.

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1. ;

2. ; ;

3. ;

4. ; ;

5. ; ;

6. ; ; ;

7. ;

8. ; ;

9. ;

10. ; ; ;

11. ; ;

12. ;

13. ; ;

14. ;

15. ; ;

16. ; ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ; ; ;

Контрольная работа №4. Линейная алгебра.

а) Матрицы и определители.

 

Найти , если ,

1.  2.  3.

4.  5.  6.

7.  8.  9.

10.  11.  12.

13.  14.  15.

16.  17. 18.

19.  20. .

 

б) Решить систему линейных уравнений по правилам Крамера и методом Гаусса.

1.  ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12.

13. ; 14. ; 15.

16. ; 17. ; 18. ;

19. ; 20. .

 

Контрольная работа №5. Теория вероятности.

Решить задачи:

1. а) В вещевой лотерее разыгрывается 8 предметов. Первый, подошедший к урне вынимает из нее 5 билетов. Каким числом способов он может их вынуть, чтобы:

· ровно два из них оказались выигрышными;

· по крайней мере два из них оказались выигрышными.

В урне всего 50 билетов.

б) В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся все женщины.

в) Вычислительный центр, который должен производить непрерывную обработку поступающей информации, располагает тремя вычислительными устройствами. Каждое из этих устройств имеет вероятность отказа за некоторое время, равную 0,2. Найти вероятность того, что откажет только одно устройство.

2. а) Решить систему уравнений: .

б) Из колоды в 52 карты наугад выбирается 4. Найти вероятность того, что среди них окажется один туз (все тузы).

в) Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0.7. Для получения зачета по стрельбе необходимо попасть в цель не менее 3 раз из 5 выстрелов. Найти вероятность сдачи стрелком зачета по стрельбе.

3. а) Решить уравнение: .

б) На стеллаж случайным образом расставлены 15 книг, причем 6 из них в переплете. Определить вероятность того, что из трех взятых наугад книг хотя бы одна будет в переплете.

в) Автомат производит некоторые изделия и наполняет ими ящики. Известно, что в среднем 1 ящик из 100 содержит по крайней мере одно нестандартное изделие. Наличие нестандартных изделий в одном ящике не связано с наличием нестандартных изделий в другом. Найти вероятность того, что в любом из четырех ящиков окажутся только стандартные изделия.

4. а) Решить уравнение: .

б) На 10 карточках написаны цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Две карточки вынимаются и укладываются в порядке появления. Найти вероятность того, что получившееся двузначное число – нечетное.

в) Три орудия независимо друг от друга произвели залп по одной цели. Вероятность попадания первым орудием равна 0.6, вторым – 0.7, третьим – 0.8. Найти вероятность разрушения цели, если для этого достаточно хотя бы одного попадания.

5. а) Учебный курс охватывает 10 разделов теории вероятности и 8 разделов других дисциплин. Экзаменационный билет состоит из 5 вопросов: три по теории вероятностей и два – по другим дисциплинам. Сколькими способами можно составить экзаменационные билеты?

б) В магазине имеются 14 телевизоров. Из них 10 – импортных. Найти вероятность того, что среди 6 наудачу взятых телевизоров 4 импортных.

в) Из колоды из 52 карты берут наугад 2 карты. Найти вероятность того, что это будут карты одной масти.

6. а) Решить систему уравнений: .

б) Число дополнительных вопросов, задаваемых на экзамене равно 25. Из них 10 – по теории вероятностей, а остальные – по другим разделам математики. Студенту задано 3 вопроса. Найти вероятность того, что два из них по теории вероятности.

в) По результатам многолетних наблюдений установлено, что в сентябре бывает в среднем 14 солнечных дней. Найти вероятность того, что первого и второго сентября будет одинаковая погода.

7. а) Сколько различных диагоналей можно провести в выпуклом 10-ти угольнике?

б) В конверте среди 100 фотографий находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлекают 19 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется искомая.

в) Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и набирает ее наудачу. Найти вероятность того, что ему придется звонить не более чем в 4 места.

8. а) Имеется 8 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну на правую руку так, чтобы эти перчатки были разных размеров?

б) Известно, что 5 процентов студентов носят очки. Какова вероятность того, что из 200 сидящих в аудитории студентов не менее 10 процентов носят очки?

в) В канцелярии работают 4 секретарши, которые отправляют соответственно 40, 10, 30, 20 процентов исходящих бумаг. Вероятности неверной адресации бумаг секретаршами равны соответственно 0.01, 0.04, 0.06, 0.01. Найти вероятность того, что документ, неверно адресованный, отправлен третьей секретаршей.

9. а) В чемпионате по футболу участвует 18 команд, причем каждые 2 команды встречаются дважды. Сколько сыграно матчей?

б) Некто забыл номер нужного ему телефона. Помня только, что все 5 цифр номера различные, набрал номер наудачу. Найти вероятность того, что номер набран правильно.

в) В коробке 6 одинаковых пронумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера кубиков появятся в возрастающем порядке.

10. а) Решить уравнение: .

б) В группе из 25 студентов, среди которых 10 девушек, разыгрываются 5 билетов. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов окажется не более двух девушек.

в) Для сигнализации о нарушении режима работы автоматической линии используют индикаторы, принадлежащие с вероятностями 0.2, 0.3, 0.5 к одному из трех типов, для которых вероятности срабатывания при нарушении режимов равны соответственно 1, 0.75, 0.4. От индикаторов поступил сигнал. К какому типу вероятнее всего принадлежит сработавший индикатор?

11. а) Решить неравенство: .

б) На красных карточках написаны буквы: «ааедкнт»; на белых карточках – буквы «ееннижр». Что вероятнее: сложить с первого раза слово из красных «деканат» или из белых – «инженер»?

в) Студент разыскивает нужную ему книгу и может воспользоваться услугами трех библиотек. Вероятность того, что книга есть в первой библиотеке равна 0.7; во второй – 0.9; в третьей – 0.6. Найти вероятность того, что студенту придется посетить все библиотеки.

12. а) Решить уравнение: .

б) Среди кандидатов в сборную университета по волейболу 3 первокурсника, 5 второкурсников и 7 третьекурсников. Из этого состава наудачу выбирают 5 человек. Какова вероятность того, что в состав команды будут выбраны два второкурсника и два третьекурсника.

в) В секретном замке на одной оси 4 диска, каждый из которых разделен на 5 секторов, на которых записаны различные цифры. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков получится нужная комбинация.

13. а) Решить уравнение: .

б) На семи карточках написаны буквы: «а, а, н, н, н, т, е». После тщательного перемешивания 7 раз наугад вынимают по одной карточке с последующим их возвращением. Каждая буква на карточке записывается. Найти вероятность того, что в результате будет записано слово «антенна».

в) Имеется 3 крупных, 4 мелких и 13 средних целей. Вероятность попадания в любую из них их орудия соответственно равна 0.7, 0.1, 0.4. Произошло попадание. Определить вероятность того, что поражена средняя цель.

14. а) В урне 10 лотерейных билетов, из которых 4 выигрышных. Из урны наугад извлекаются 2 билета. Сколькими способами можно извлечь хотя бы один выигрышный билет?

б) Телефонный номер состоит из 6 цифр. Найти вероятность того, что среди них две цифры одинаковые.

в) Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину при броске равна 0.4. Произведено 10 бросков. Найти наиболее вероятное число попаданий и соответствующую вероятность.

15. а) Сколько чисел больше миллиона можно составить из цифр 2, 3, 0, 5, 4, 1, 8?

б) В урне находятся 6 шаров, из них 2 белых и 4 черных. Последовательно извлекают 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми, если выбор производят без возвращения.

в) Найти вероятность того, что при залпе четырех стрелков, имеющих вероятности попадания соответственно 0.9, 0.8, 0.7, 0.6 будет три попадания.

16. а) Решить уравнение:  .

б) Телефонный номер состоит из 6 цифр. Найти вероятность того, что все цифры различные.

в) В урне 5 шаров с номерами от 1 до 5. Наудачу по одному извлекают 3 шара без возвращения. Найти вероятность того, что последовательно появятся шары с номерами 1, 4, 5.

17. а) Сколькими способами можно выставить дозор из трех солдат и одного офицера, если есть 80 солдат и 3 офицера.

б) В сигнализатор поступает сигналы от двух устройств. Причем поступление каждого из сигналов равновозможно в течение часа. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше 20 минут. Найти вероятность того, что сигнализатор срабатывает в течение часа, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.

в) Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0.7. По мишени стреляют одиночными выстрелами до первого попадания. Найти вероятность того, что будет сделано не более трех выстрелов.

18. а) Решить систему уравнений:  .

б) Пять шариков случайным образом разбрасываются по пяти лункам независимо друг от друга. В лунку может попасть любое число шаров. Найти вероятность того, что в каждой лунке будет по одному шарику.

в) Стержень длинной 200 мм наудачу ломается на три части. Найти вероятность того, что часть стержня между точками излома будет не более 10 мм.

19. а) Решить уравнение:  .

б) Устройство состоит из 5 элементов, из которых 2 элемента изношены. При включении устройства случайным образом включаются 2 элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся изношенные элементы.

в) В продукции завода брак составляет 5%. Для контроля отобрано 20 деталей. Какова вероятность того, что хотя бы одна деталь из них бракованная?

20. а) Решить систему уравнений:  .

б) На тепловой электростанции работает 15 сменных инженеров, из них 4 женщины. В смене занято 4 человека. Найти вероятность того, что в случайно выбранную смену войдут не менее двух мужчин.

в) Три стрелка поочередно ведут стрельбу по одной и той же мишени до первого попадания. Каждый стрелок имеет 2 патрона. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0.2, для второго – 0.3, для третьего – 0.4. Найти вероятность того, что все три стрелка используют все патрона.

 



Закон полной вероятности | Перегородки



1.4.2 Закон полной вероятности

Давайте начнем этот раздел с очень простого вопроса: в одной стране есть три провинции, назовем их $ B_1 $, $ B_2 $ и $ B_3 $ (т. c).$$ Мы можем сформулировать более общую версию этой формулы, которая применяется к общему разбиению пространство выборки $ S $.

Закон полной вероятности:
Если $ B_1, B_2, B_3, \ cdots $ — это раздел пространства выборок $ S $, то для любого события $ A $ мы имеем $$ P (A) = \ sum_ {i} P (A \ cap B_i) = \ sum_ {i} P (A | B_i) P (B_i). $$

Используя диаграмму Венна, мы можем наглядно увидеть идею закона полной вероятности. На рисунке 1.24 мы имеем $$ A_1 = A \ cap B_1, $$ $$ A_2 = A \ cap B_2, $$ $$ A_3 = A \ cap B_3.$$ Как видно из рисунка, $ A_1 $, $ A_2 $ и $ A_3 $ образуют разбиение множества $ A $, и, таким образом, по третьей аксиоме вероятности $$ P (A) = P (A_1) + P (A_2) + P (A_3). $$

Рис.1.24 — Закон полной вероятности.

Вот доказательство закона полной вероятности с использованием аксиом вероятности:

Proof

Поскольку $ B_1, B_2, B_3, \ cdots $ является разделом пространства выборки $ S $, мы можем записать

$
$ S $ $ = \ bigcup_ {i} B_i $
A $ $ = A \ cap S $
$ = A \ cap (\ bigcup_ {i} B_i)
$ = \ bigcup_ {i} (A \ cap B_i) \ hspace {20pt} \ hspace {20pt} $ по закону распределения (теорема 1. 2).

Теперь заметим, что множества $ A \ cap B_i $ не пересекаются (поскольку множества $ B_i $ не пересекаются). Таким образом, по третьей аксиоме вероятности $$ P (A) = P \ bigg (\ bigcup_i (A \ cap B_i) \ bigg) = \ sum_ {i} P (A \ cap B_i) = \ sum_ {i} P (A | B_i) P (B_i ). $$

Вот типичный сценарий, в котором мы используем закон полной вероятности. Мы заинтересованы в определение вероятности события $ A $, но мы не знаем, как найти $ P (A) $ напрямую. Вместо, мы знаем условную вероятность $ A $ при некоторых событиях $ B_i $, где $ B_i $ образуют разделение пробного пространства.Таким образом, мы сможем найти $ P (A) $, используя закон полной вероятности, $ P (A) = \ sum_ {i} P (A | B_i) P (B_i) $.



Пример

У меня есть три сумки, каждая из которых содержит шарики по 100 долларов:

  • Сумка 1 содержит красные шарики за 75 долларов и синие шарики за 25 долларов;
  • Сумка 2 содержит красные шарики за 60 долларов и синие шарики за 40 долларов;
  • Bag 3 содержит красный мрамор за 45 долларов и синий мрамор за 55 долларов.
Я выбираю один из мешков наугад, а затем беру шарик из выбранных сумка, тоже наугад.Какова вероятность того, что выбранный шарик красный?
  • Решение
    • Пусть $ R $ будет событием, когда выбранный шарик красный. Пусть $ B_i $ — событие, которое I выберите Сумка $ i $. Мы уже знаем что $$ P (R | B_1) = 0,75, $$ $$ P (R | B_2) = 0,60, $$ $$ P (R | B_3) = 0,45 $$ Выбираем наш раздел как $ B_1, B_2, B_3 $. Обратите внимание, что это действительный раздел потому что, во-первых, $ B_i $ не пересекаются (может произойти только один из них), а во-вторых, потому что их объединение — это все пространство образца, так как пакеты будут выбраны точно, т.е.е., $ P (B_1 \ чашка B_2 \ чашка B_3) = 1 $. Используя закон полной вероятности, мы можем написать долларов долларов США
      $ P (R) $ $ = P (R | B_1) P (B_1) + P (R | B_2) P (B_2) + P (R | B_3) P (B_3)
      $ = (0,75) \ frac {1} {3} + (0,60) \ frac {1} {3} + (0,45) \ frac {1} {3}
      $ = 0,60 $


Вероятность | Аксиомы | Шанс



1. 3.2 Вероятность

Мы присваиваем событию $ A $ вероятность и мер $ P (A) $. Это значение от 0 до 1 доллара. это показывает, насколько вероятно событие. Если $ P (A) $ близко к $ 0 $, то событие $ A $ очень маловероятно. С другой стороны, если $ P (A) $ близко к $ 1 $, очень вероятно возникновение $ A $. Главный предмет вероятности Теория заключается в разработке инструментов и методов для расчета вероятностей различных событий. Вероятность теория основана на некоторых аксиомах, которые служат основой теории, поэтому давайте сформулируем и объясним эти аксиомы.

Аксиомы вероятности:

  • Аксиома 1: Для любого события $ A $, $ P (A) \ geq 0 $.

  • Аксиома 2: Вероятность пространства отсчетов $ S $ равна $ P (S) = 1 $.

  • Аксиома 3: Если $ A_1, A_2, A_3, \ cdots $ — непересекающиеся события, то $ P (A_1 \ cup A_2 \ cup A_3 \ cdots) = P (A_1) + P (A_2) + P (A_3) + \ cdots $

Давайте уделим несколько минут и убедимся, что мы полностью понимаем каждую аксиому. Первая аксиома утверждает эта вероятность не может быть отрицательной.Наименьшее значение для $ P (A) $ равно нулю, и если $ P (A) = 0 $, то событие $ A $ никогда не произойдет. Вторая аксиома утверждает, что вероятность всей выборки пространство равно единице, то есть 100 $ процентов. Причина этого в том, что пространство отсчетов $ S $ содержит все возможные результаты нашего случайного эксперимента. Таким образом, результат каждого испытания всегда принадлежит $ S $, т.е. событие $ S $ всегда происходит и $ P (S) = 1 $. В примере с катанием кубика $ S = \ {1,2,3,4,5,6 \} $, и поскольку результат всегда находится среди чисел от $ 1 $ до $ 6 $, $ P (S) = 1 $.

Третья аксиома, наверное, самая интересная. Основная идея заключается в том, что если некоторые события не пересекаются (т.е. между ними нет перекрытия), то вероятность их объединения должна быть суммированием их вероятностей. Другой способ подумать об этом — представить вероятность множества как площадь этого набора на диаграмме Венна. Если несколько наборов не пересекаются, например, показанные На рис. 1.9 общая площадь их объединения — это сумма отдельных площадей.Следующий пример иллюстрирует идею третьей аксиомы.



Пример

На президентских выборах четыре кандидата. Назовите их A, B, C и D. На основании нашего опроса По нашим оценкам, шанс A на победу на выборах составляет 20%, а шанс B — 40%. шанс на победу. Какова вероятность победы на выборах A или B?

  • Решение
    • Обратите внимание, что события, в которых $ \ {\ textrm {A выигрывает} \} $, $ \ {\ textrm {B выигрывает} \} $, $ \ {\ textrm {C выигрывает} \} $, и $ \ {\ textrm {D wins} \} $ не пересекаются, так как более одного из них не может встречаться одновременно.Например, если A выигрывает, то B не может выиграть. Согласно третьей аксиоме вероятности вероятность объединения двух непересекающихся событий есть сумма индивидуальных вероятностей. Следовательно,

      $ P (\ textrm {A выигрывает или B выигрывает}) $ $ = P \ big (\ {\ textrm {A выигрывает} \} \ cup \ {\ textrm {B выигрывает} \} \ big) $
      $ = P (\ {\ textrm {A выигрывает} \}) + P (\ {\ textrm {B выигрывает} \}) $
      $ = 0. 2 + 0,4 $
      $ = 0,6 $


Таким образом, если $ A_1 $ и $ A_2 $ являются непересекающимися событиями, то $ P (A_1 \ cup A_2) = P (A_1) + P (A_2) $. Тот же аргумент истинно, когда у вас есть $ n $ непересекающихся событий $ A_1, A_2, \ cdots, A_n $: $$ P (A_1 \ чашка A_2 \ чашка A_3 \ cdots \ cup A_n) = P (A_1) + P (A_2) + \ cdots + P (A_n), \ textrm {if} A_1, A_2, \ cdots, A_n \ textrm {не пересекаются.} $$ Фактически, третья аксиома выходит за рамки этого и утверждает, что то же самое верно даже для счетно бесконечного количество непересекающихся событий. Вскоре мы увидим больше примеров того, как мы используем третью аксиому.


Как мы видели, при работе с событиями перекресток означает «и» , а объединение означает «или» «. Вероятность пересечения $ A $ и $ B $, $ P (A \ cap B) $, иногда отображается как $ P (A, B) $ или $ P (AB) $.

Замечание:

  • $ P (A \ cap B) = P (A \ textrm {and} B) = P (A, B) $,

  • $ P (A \ cup B) = P (A \ textrm {или} Б) $.

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Теория вероятностей (MATh330B / STAT310B, зима 2020 г.)

Второй квартал в ежегодной последовательности теории вероятностей. Основные темы — время остановки, случайные прогулки, условное ожидание, мартингалы дискретного времени, Цепи Маркова, взаимозаменяемость, возобновление и эргодическая теория.

Весенний квартал (Stat310C) представляет собой введение в случайные процессы с непрерывным временем. В частности, он обычно охватывает непрерывность и модификация, гауссовские и марковские процессы, мартингалы с непрерывным временем, броуновское движение и его свойства, принципы инвариантности с приложениями к CLT и LIL, безгранично делимые законы и скачковые процессы.

Пререквизиты: Студенты должны быть довольны интеграцией и теории меры и должен был усвоить материал выпускника вероятностный курс по законам больших чисел, Слабая сходимость и центральные предельные теоремы. В частности, вы можете взять этот курс в качестве кредита, если у вас была оценка не ниже B + в Stat310A / Math330A. В противном случае вам понадобится инструкторский разрешение на это (в частности, для всех студентов бакалавриата).

Текст: Главы 4-7.3 (Глава 6 только до начала 6.2.1), с STAT310 / MATh330 (игнорировать 7.4, предварительный набросок). Смотрите также Изменения.

Дополнительные тексты (в резерве в научной библиотеке):

  • Дарретт, Вероятность: теория и примеры, 5-е издание (гл.4,6).
  • Вильямс, Вероятность с мартингейлами (гл. 9–15).
  • Биллингсли, Вероятность и мера, 3-е издание (в основном 24,31-35).
  • Дадли, Реальный анализ и вероятность (гл. 10).

Встреча: Gates B12, Вт чт 9: 00-10: 20.

Инструктор: Амир Дембо, Часы приема (до 3/8), Секвойя 129, Вт 4: 30-17: 30, или электронная почта электронная почта (укажите MATh330B / STAT310B в теме письма).

TA1 (класс HW1, HW3, HW5, Final) : Sky Cao, часы работы (до 3/8), Sequoia 207, ср 16: 30-18: 00, чт 5: 45-19: 15, или электронная почта электронная почта (укажите MATh330B / STAT310B в теме письма).

TA2 (классификация HW2, HW4, HW6, HW7, HW8, HW9) : Фанг Кай, часы работы (до 3/8), 120-414 чт 13:30 — 15:00; Sequoia 207 в пт с 10:00 до 23:30 или по электронной почте Эл. почта (укажите MATh330B / STAT310B в теме письма).

Оценка : Суждение на основе итоговой оценки за экзамен (70%) и на постоянные домашние задания (30%). Как правило, для прохождения требуется общий балл выше 63%.

Скачать FinalCanceled! Загрузить в Gradescope в течение + 10 мин. после окончания экзамена.

Материал: Открытые книги; Материал: главы 4-6.2 и главы 7.1-7.3 конспектов лекций.

Учебных пособий: Практические упражнения (с решением на холсте), а также Практический финал (с решением на холсте).

Домашнее задание: Решите четыре из пяти домашних задач из конспектов лекций, срок Пятница 14:30 еженедельно. Увидеть HW1-HW9. Задания будут отправлены через Gradescope к установленному сроку / времени. Поздние домашние задания не принимаются.Ваше задание будет обычно оцениваются и возвращаются в Gradescope на следующей неделе. Решения размещаются (на странице Canvas курса), в течение 24-72 часов до установленного срока.

Syllabus (по конспектам лекций):

1/6 Вт (4.1.1; 4.2) чт (4.2; 4.3)
1/13 Вт (4.4; 4.1.2) чт (5.1)
1/20 Вт (5.1; 5.4) Чт (5.2.2; 5.3; 5.3.1)
1/27 Вт (5.2; 5.3.1) Чт (5.3.2)
2/3 Вт (5.5.1; 5.5.2) Чт (5.5.2)
2/10 Вт (5.5.3) чт (6.1)
2/17 Вт (6.1) Чт (6.1; 6.2)
        2/24 Вт (7.1) Чт (7.2)
3/2 Вт (7.2; 7.3) Чт (7.3)
        3/9 Вт (---) чт (---)
 

Охватываемый материал, включая аппаратные средства и средства чтения:

  • Дарретт: 4.1-4.9,5.1-5.2,6.1-6.5;
  • Уильямс: 6,9—14;
  • Биллингсли: большая часть 32-35, 24 и часть 22.

См. Также семинар по текущей деятельности в смежных областях.

Теория вероятностей — Резюме заключительного экзамена, для второй половины курса.

Обзор теории вероятностей

12/04/

1 Лекция 10

Функция f: R → R является функцией плотности (вероятности) if

∫∞
−∞ = 1.

Случайная величина является абсолютно непрерывной, если существует функция плотности fX, такая, что для всех a≤b,

Pr [a≤X≤b] =

∫b

а

fX (x) dx.

Пример 1.

1.T∼exp (α) имеет экспоненциальное распределение с параметром α> 0, если

fT (t) = αe − αt 1 [0, ∞) (t).

2.X∼U (a, b) имеет равномерное распределение в [a, b], если

fX (t) =

1

б − а

1 а, б.

3.X∼N (μ, σ 2) имеет нормальное распределение со средним μ и дисперсией σ 2, если

fX (t) =

1

2 πσ 2

e−

(х − μ) 2 2 σ 2.

(кумулятивная) функция распределения X, FX: R → [0,1] определяется через

FX (t): = Pr [X≤t].

Эта функция увеличивается, и она непрерывна.Еще у нас есть

E [г (X)] =

−∞

г (x) fX (x) dx

и для комплекта Бореля B,

Pr [X∈B] =

R

1 B (x) fX (x) dx.

2 Лекция 11

Пусть X, Y — случайные величины. Мы говорим, что их распределение совместно (абсолютно) непрерывно, если существует function fX, Y (x, y) такая, что для борелевского множества B⊆R 2,

Pr [(X, Y) ∈B] =

рэнд

рэнд

1 B (x, y) fX, Y (x, y).

Пример 2. Пусть X, Y совместно непрерывны. Как распределяется X + Y? У нас есть

Pr [X + Y≤t] = FX + Y (t) = Pr [(X, Y) ∈ {x, y∈R 2: x + y≤t}] =

−∞

∫t − x

−∞

fX, Y (x, y) dy dx.

Если X и Y независимы, то у нас есть

fX + Y (t) = FX ′ + Y (t) =

−∞

FX (x)

д dt

∫t − x

−∞

fY (y) dy dx

=

−∞

FX (x)

д dt

FY (t − x) dx

=

−∞

fX (x) · fY (t − x) dx

=

−∞

fX ∗ fY (t).

Если X, Y являются совместно непрерывными случайными величинами, то нет способа получить совместное распределение из функции плотности fXandfY. Однако, если у нас есть совместный дистрибутив fX, Y, то у нас легко будет оба fXa

Курс теории игр и введение в вероятность (2 электронные книги — PDF)

Эти темы очень интересны и важны для меня, поскольку я заядлый Игрок в покер. Но информацию в этих книгах можно применить практически ко всему; Я полагаю, включая, помимо прочего, войну, политику, бизнес, инвестиции и просто успешную жизнь в целом.Я считаю, что читать нужно каждому.

Курс теории игр и введение в вероятность

Курс теории игр представляет основные идеи теории игр на уровне, подходящем для аспирантов и студентов продвинутого уровня, с акцентом на основы теории и интерпретации ее основных концепций. Авторы предоставляют точные определения и полные доказательства результатов, жертвуя общими принципами и ограничивая объем материала, чтобы сделать это. Текст состоит из четырех частей: стратегические игры, обширные игры с точной информацией, обширные игры с несовершенной информацией и коалиционные игры. Он включает более 100 упражнений.

PDF, 368 стр., Английский, ISBN: 0262650401, 1994

————————————————-

Интуитивно понятное, но точное введение в теорию вероятностей, случайные процессы и вероятностные модели, используемые в науке, технике, экономике и смежных областях.Это используемый в настоящее время учебник по «Вероятностному системному анализу», вводному курсу вероятности в Массачусетском технологическом институте, который посещает большое количество студентов и аспирантов. Книга охватывает основы теории вероятностей (вероятностные модели, дискретные и непрерывные случайные величины, множественные случайные величины и предельные теоремы), которые обычно являются частью первого курса по данной теме. Он также содержит ряд более сложных тем, из которых преподаватель может выбрать в соответствии с целями конкретного курса. Эти темы включают в себя преобразования, суммы случайных величин, оценку методом наименьших квадратов, двумерное нормальное распределение и довольно подробное введение в процессы Бернулли, Пуассона и Маркова. В книге достигается баланс между простотой изложения и изысканностью аналитических рассуждений. Некоторые из наиболее математически строгих анализов были просто интуитивно объяснены в тексте, но детально разработаны (на уровне продвинутого исчисления) в многочисленных решенных теоретических задачах.Книга получила широкое распространение на вводных курсах по теории вероятностей в США и за рубежом.

PDF, 430 стр., Английский, ISBN: 188652940X, 2002-06-24

НАСЛАЖДАЙТЕСЬ !!! : D

НАПИСАННЫЙ ТЕСТ ДЛЯ КУРСА, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ И

  • Ресурс исследования
  • Исследовать
    • Искусство и гуманитарные науки
    • Бизнес
    • Инженерная технология
    • Иностранный язык
    • История
    • Математика
    • Наука
    • Социальная наука
    Лучшие подкатегории
    • Продвинутая математика
    • Алгебра
    • Основы математики
    • Исчисление
    • Геометрия
    • Линейная алгебра
    • Предварительная алгебра
    • Предварительный расчет
    • Статистика и вероятность
    • Тригонометрия
    • Другое →
    Лучшие подкатегории
    • Астрономия
    • Астрофизика
    • Биология
    • Химия
    • Науки о Земле
    • Науки об окружающей среде
    • Здравоохранение
    • Физика
    • Другое →
    Лучшие подкатегории
    • Антропология
    • Закон
    • Политология
    • Психология
    • Социология
    • Другое →
    Лучшие подкатегории
    • Бухгалтерский учет
    • Экономика
    • Финансы
    • Менеджмент
    • Другое →
    Лучшие подкатегории
    • Аэрокосмическая техника
    • Биоинженерия
    • Химическая промышленность
    • Гражданское строительство
    • Компьютерные науки
    • Электротехника
    • Промышленное проектирование
    • Машиностроение
    • Веб-дизайн
    • Другое →
    Лучшие подкатегории
    • Архитектура
    • Связь
    • Английский
    • G
.
Leave a Reply

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *