Контрольная работа показательная функция 10 класс: Контрольная работа по алгебре и началам математического анализа для 10 класса по теме «Показательная функция»

Область от до любое значение x также равно e ^x :

MHF4U Grade 12 Advanced Functions — Exam — onstudynotes

12 класс — Расширенные функции

Экзамен

Блок 1: Полиномиальные функции

• Полиномиальное выражение имеет вид:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-1 +… + a ₃ x ³ + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀

• n: целое число
• x: переменная
• a: коэффициент X ER
• Степень : наивысший показатель переменной x, равный n.
• Ведущий коэффициент: a _n x ⁿ
• Функции питания: y = a * x ⁿ , n EI
• Степенные функции с четной степенью могут иметь линейную симметрию вдоль оси y.
• Нечетная степень степенные функции могут иметь точечную симметрию относительно начала координат.

• Конечные разности: a (n!)
• Свойства для Нечетные Функции:
• Положительные Ведущие коэффициенты:
• Отрицательный Ведущие коэффициенты:
• Домен {XER}, диапазон {YER}
• Свойства для Даже Функции:
• Положительные Ведущие коэффициенты:
• Отрицательный Ведущие коэффициенты:
• Имеют локальные точки максимума / минимума
• Домен {XER}, диапазон выше / выше максимума / минимума

• Рисование графиков
• Нарисовать графики по степени
• Полиномиальные функции имеют от 0 до максимум n x-точек пересечения, где n — градус.
• Полиномиальные функции также могут иметь не более n — 1 локальных макс / мин, где n — градус.
• X — Перехватчики являются корнем функции.
• Факторы уравнения факторизованной формы также являются корнями.

• Корни могут иметь разный порядок и отображаться по-разному:
• Заказать 1 root [ie (x-1)]
• проходит через точку пересечения оси x
• Заказать 2 корень [т.е. x ² ]
• проходит по касательной к точке пересечения оси x
• Заказать 3 корень [т.е. x ³ ]
• проходит через точку пересечения, например y = x ³ в начале координат
• Тест четной функции : f (-x) = f (x)
• Тест нечетной функции: f (-x) = -f (x)

• Преобразования полиномиальных функций вида y = a [k (x-d)] ⁿ + c:
• a> = 1: вертикальное растяжение в a раз.
• 0 <= a <= 1: вертикальное сжатие в a.
• k> = 1: горизонтальное сжатие с коэффициентом 1 / k
• 0 <= a <= 1: горизонтальное растяжение с коэффициентом 1 / k. (будьте осторожны, чтобы исключить фактор).
• d: горизонтальный сдвиг на d единиц влево или вправо (будьте осторожны, чтобы иногда вынести за скобки).
• c: вертикальный перенос на c вверх или вниз.

• Средняя скорость изменения:
• Дельта Y / Дельта X
• Наклон секущей 2 точки дает среднюю скорость изменения
• Мгновенные темпы изменения:
• Для расчета без исчисления подставьте число, действительно близкое к требуемому времени.
• Используйте это значение, чтобы получить наклон касательной в этой точке
• Мгновенная скорость изменения — касательная в этих точках

Раздел 2: Полиномиальные уравнения и неравенства

• Теорема об остатке
• Деление в столбик можно использовать для деления многочленов
• Можно сказать, что раздел :

P (x) = (x-b) (Q (x)) + R, где R — остаток, x-b — множитель, Q (x) — делитель

• Теория утверждает, что когда P (x) делится на (x-b), остаток равен P (b), где, если P (b) = 0, то b является корнем уравнения.
• Фактор Теорема
• Указывает, что (x-b) является фактором уравнения, если P (b) = 0
• (ax — b) является множителем, если P (b / a) = 0

• Интегральная теорема нуля
• Если (x — b) является множителем, и если старший коэффициент полиномиального уравнения равен 1, то b должен быть множителем постоянного члена

• Теорема рационального нуля
• Если (ax — b) является множителем, а старший коэффициент полиномиального уравнения больше 1, то x = b / a является рациональным нулем P (x), так что
• b — коэффициент постоянной
• a — коэффициент старшего коэффициента
• (ax — b) — коэффициент

• Семейства полиномиальных уравнений
• Семейство — это группа уравнений с одинаковыми характеристиками
• У них такие же х-перехватчики
• Они принимают вид: y = k (x-a) (x-b) (x-c)
• Семейства можно преобразовать в уравнение с заданной точкой

• Устранение неравенств
• Положите все термины на одну сторону
• Фактор, если возможно
• Используйте таблицу / график интервалов, чтобы удовлетворить неравенство (области, которые <или> 0)

Раздел 3: Рациональные уравнения

• Обратная величина линейной функции имеет вид:

f (x) = 1 / kx — c

• Ограничение области обратной линейной функции может быть определено путем нахождения значения x, при котором знаменатель становится равным нулю, то есть x = c / k.
• Вертикальная асимптота обратной линейной функции имеет уравнение вида x = k / c.
• Горизонтальная асимптота обратной линейной функции имеет уравнение y = 0.
• Если k> 0, левая ветвь обратной линейной функции имеет отрицательный убывающий наклон, а правая ветвь имеет отрицательный возрастающий наклон.
• В основном занимает 3 и 1 кварталы.
• Если k <0 , левая ветвь обратной линейной функции имеет положительный, увеличивающийся медленный, а правая ветвь имеет положительный, убывающий наклон.
• В основном занимает 2 и 4 кварталы.

• Рациональные квадратичные функции могут быть проанализированы с использованием основных характеристик: асимптоты , пересекает , наклон (положительный или отрицательный, возрастающий или убывающий), область , диапазон , а также положительные и отрицательные i интервалов .
• Взаимность квадратичных функций с двумя нулями состоит из трех частей, средняя из которых достигает точки максимума или минимума.Эта точка равноудалена от двух вертикальных асимптот.
• Поведение вблизи асимптот похоже на поведение обратных линейных функций.
• Все перечисленные выше варианты поведения можно предсказать, проанализировав корни квадратичного отношения к знаменателю.

• Рациональная функция вида f (x) = (ax + b) / (cx + d) имеет следующие ключевые особенности:
• Вертикальную асимптоту можно найти, установив знаменатель равным нулю и решив относительно x, при условии, что в числителе нет того же нуля.
• Горизонтальная асимптота может быть найдена путем деления каждого члена в числителе и знаменателе на x и исследования поведения функции при x -> положительная или отрицательная бесконечность.
• Коэффициент b растягивает кривую, но не влияет на асимптоты, область или диапазон.
• Коэффициент d сдвигает вертикальную асимптоту.
• Две ветви графика функции равноудалены от точки пересечения вертикальной и горизонтальной асимптот.
• Анализ поведения конца
• Для вертикальной асимптоты
• Замените число, очень близкое к VA справа, и число слева
• Проанализируйте результат этого числа и выразите конечное поведение
• Как x -> VA +/-, y -> +/- бесконечность
• Для горизонтальной асимптоты
• Замените x очень большим отрицательным и положительным числом и проанализируйте поведение y.
• Выразите конечное поведение результатами этой замены
• As x -> +/- Infinity, y -> HA сверху / снизу

• В решите рациональные уравнения алгебраически. , начните с факторизации выражений в числителе и знаменателе, чтобы найти асимптоты и ограничения.
• Затем умножьте обе части на факторизованные знаменатели и упростите, чтобы получить полиномиальное уравнение. Тогда решай.

• Для Рациональное неравенство
• Установите правую часть уравнения на ноль.
• Разложите выражение на множители, чтобы найти ограничения
• На основе предположения, что x = a / b истинно тогда и только тогда, когда a * b = x.
• В левой части уравнения возьмите знаменатель и умножьте его на числитель.
• Поскольку уравнение уже разложено на множители, корни четко показаны. Изобразите график или используйте метод таблицы интервалов, чтобы найти интервалы x, которые удовлетворяют уравнению

Блок 4: Тригонометрия

• Радиан Измерение: Угол X определяется как длина a, дуга, которая составляет угол, деленный на радиус r окружности: X = a / r.
• 2 Пи рад = 360 градусов или Пи рад = 180 градусов.
• Чтобы преобразовать градусы в радианы, умножьте градус на число Пи / 180.
• Чтобы преобразовать радиан в градусы, умножьте радиан на 180 / Пи.

• Вы можете использовать калькулятор для расчета тригонометрических соотношений и специальных углов для угла, выраженного в радианах, установив режим угла в радианы.
• Вы можете определить обратные тригонометрические отношения для угла, выраженного в радианах, сначала вычислив первичные тригонометрические отношения, а затем используя обратную клавишу на калькуляторе.
• Вы также можете использовать единичную окружность и специальные треугольники для определения точных значений тригонометрических соотношений специальных углов 0, Pi / 6, Pi / 3. Пи / 4 и Пи / 2.
• Вы можете использовать единичную окружность вместе с правилом CAST для определения точных значений тригонометрических соотношений кратных специальных углов.

• Для Эквивалентных тригонометрических выражений можно использовать прямоугольный треугольник для получения эквивалентных тригонометрических выражений, которые образуют тождества совместных функций, например sinx = cos (Pi / 2 — x).
• Вы можете использовать единичный круг вместе с преобразованиями для получения эквивалентных тригонометрических выражений, которые образуют другие тригонометрические тождества, например, cos (Pi / 2 + X) = -sinx
• Учитывая тригонометрическое выражение известного угла, вы можете использовать эквивалентные тригонометрические выражения для оценки тригонометрических выражений других углов.
• Вы можете использовать технологию построения графиков, чтобы продемонстрировать, что два тригонометрических выражения эквивалентны. Некоторые из них известны как идентичности со-функций.

• Формулы составных углов
• Вы можете построить составных углов по формулам , используя алгебру и единичную окружность. 2X

• Доказательство тригонометрических идентичностей:
• A Тригонометрическая идентичность — это уравнение, тригонометрические выражения которого справедливы для всех углов в области выражений с обеих сторон.
• Один из способов показать, что уравнение не является тождеством, — определить счетчик. Пример
С
• по докажите , что уравнение является тождеством, обработайте каждую сторону уравнения независимо и преобразуйте выражение с одной стороны в точную форму выражения с другой стороны.
• Основные тригонометрические тождества — это тождество Пифагора, тождество частного, взаимные тождества, формулы составного угла. Вы можете использовать эти удостоверения для подтверждения более сложных удостоверений.
• Тригонометрические тождества могут использоваться для упрощения решений проблем, которые приводят к тригонометрическим выражениям.

Блок 5: Тригонометрические функции

• Графики функций синуса, косинуса и тангенса
• Графики y = sin x, y = cos x и y = tan x являются периодическими.
• Графики y = sin x и y = cos x похожи по форме и имеют амплитуду 1 и период 2π
• График y = sin x может быть преобразован в графики, моделируемые уравнениями вида y = sin x + c, y = sin (x — d) и y = sin kx.Точно так же график y = cos x может быть преобразован в графики, моделируемые уравнениями вида y = cos x + c, y = acos x, y = cos (x — d) и y = cos kx.
• График y = tan x не имеет амплитуды, потому что у него нет максимальных или минимальных значений. Он не определен при значениях x, которые нечетно кратны π / 2, например, π / 2 и 3π / 2.
• График становится асимптотическим по мере приближения угла к этим значениям слева и справа. Период функции равен π.

• Графики функций взаимного синуса, косинуса и тангенса
• Графики y = csc x, y = sec x и y = cot x являются периодическими. Они связаны с первичными тригонометрическими функциями как обратные графы.
• Обратные тригонометрические функции отличаются от обратных тригонометрических функций.
• csc x означает 1 / sin x, а sin ^-1 x просит вас найти угол, для которого отношение синусов равно x.
• сек x означает 1 / cos x, а cos ^-1 x просит вас найти угол, косинус которого равен x.
• cot x означает 1 / tan x, в то время как tan ^-1 x просит вас найти угол, тангенциальный коэффициент которого равен x.

• Синусоидальные функции вида f (x) = a sin [k (x — d)] + c и f (x) = a cos [k (x — d)] + c
• Преобразование функции синуса или косинуса f (x) в g (x) имеет общий вид g (x) = a f [k (x — d)] + c, где | a | — амплитуда, d — фазовый сдвиг, c — вертикальный перенос.
• Период преобразованной функции равен 2π / k.
• Значение k функции равно 2π / период.

• Решение тригонометрических функций
• Тригонометрические уравнения могут быть решены вручную алгебраически или графически с использованием технологий.
• Часто существует несколько решений. Убедитесь, что вы найдете все решения в интересующей вас области.
• Квадратные тригонометрические уравнения часто можно решить с помощью факторизации.
• Часто тригонометрическое уравнение может нуждаться в манипулировании с использованием тригонометрических тождеств, чтобы оно было решено.См. Примечания по тригонометрическим тождествам здесь.

Раздел 6: Логарифмические функции

• экспоненциальная функция вида y = bx, b> 0, b не равно 1, имеет

• повторяющийся узор конечных разностей
• Скорость изменения увеличивается пропорционально функции при b> 1
• Скорость изменения уменьшается пропорционально функции для 0

• Показательная функция вида y = bx, b> 0, b не равно 1,

• имеет домен X E R
• диапазон Y E R, Y> 0
• точка пересечения по оси Y 1
• имеет горизонтальную асимптоту при y = 0
• увеличивается в своей области, когда b> 1
• уменьшается в своей области, когда 0

• , обратная y = bx — это функция, которую можно записать как x = by. y

• Экспоненциальные и логарифмические функции определены только для положительных значений основания, которые не равны единице.Другими словами, b не = 1, а x> 0.
• Логарифм от x до основания 1 действителен только тогда, когда x = 1, в котором основание y имеет бесконечное количество решений и не является функцией.
• Десятичный логарифм — это логарифм с основанием 10. Нет необходимости записывать основание десятичного логарифма: logx означает логарифм с основанием 10 x.

• Преобразования логарифмических функций

• Методы применения преобразований к логарифмическим функциям такие же, как и для других функций:

• перевести единицы измерения c, если c> 0
• перевести вниз c единиц, если c <0

• перевести правые единицы d, если d> 0
• перевести левые единицы d, если d <0

• растянуть по вертикали с коэффициентом | a | если | а | > 1
• Сжать по вертикали в | a | если | а | <1
• Отражение по оси x, если a <0

• сжимать по горизонтали с коэффициентом | 1 / k | если | k | <1, k not = 0.
• Отражение по оси y, если k <0.

• Когда все преобразования объединены, они принимают форму:

f (x) = журнал [k (x-d)] + c

• Степень логарифмов утверждает, что logbxn = n logbx для b> 0, b not = 1, x> 0 и n ER
• Любой логарифм можно выразить через десятичный логарифм, используя формулу замены основания:
• log base b m = log m / log b, b> 0, b not = 1, m> 0

• Управление экспоненциальными функциями

• Экспоненциальные функции и выражения можно выразить по-разному, изменив основу
• Изменение основания одного или нескольких экспоненциальных выражений — полезный метод решения экспоненциальных уравнений

• Решение экспоненциальных функций

• Уравнение сохраняет баланс, когда к обеим сторонам применяется десятичный логарифм
• Сила логарифмов — полезный инструмент для решения переменной, которая появляется как часть экспоненты
• Когда получено квадратное уравнение, могут быть полезны такие методы, как разложение на множители и применение квадратной формулы.
• Некоторые алгебраические методы решения экспоненциальных функций приводят к посторонним корням, которые не являются допустимыми решениями исходного уравнения

• Закон произведения логарифмов утверждает, что logbX + logb Y = logb (XY) для b> 0, b not = 1, x> 0, y> 0
• Закон частного логарифмов гласит, что logbX — logbY = logb (X / Y) для b> 0, b not = 1, x> 0, y> 0

• Применение экспоненциальных / логарифмических функций

A = (i + 1) ^т

Где A — сумма, i — проценты, а t — время.

P = A ₁ (i) ^т

Где P — численность населения, A ₁ — начальная сумма, i — увеличение количества, а t — время.

A _o = A _i (1/2) ^{т / ч}

Где A _o — окончательная сумма, A _i — начальная сумма, t — время, а h — временной интервал

pH = -log (H ⁺ )

Где H ⁺ — концентрация ионов водорода

Каждое целое приращение pH в 10 раз выше кислотности

L = 10log (I / I _o )

Где L — громкость, I — интенсивность, а I _o — звук, который едва слышен

Каждое целое приращение в L, децибелах, в 10 раз больше

M = журнал (E / I _o )

Где M — число Рихтера, E — интенсивность землетрясения, а I _o — интенсивность землетрясения, на которое имеется ссылка.

Каждое целое приращение в M по шкале Рихтера в 10 раз превышает интенсивность землетрясения.

Раздел 7: Комбинирование функций

• Функции сложения и вычитания
• Функции, которые добавляются / вычитаются, называются комбинированными функциями .
• Точки на функции могут быть добавлены путем добавления y-координат в каждой точке вдоль оси x обеих функций.
• То же самое касается вычитания функций в каждой точке.
• Область суммы или разности — это область добавляемых или вычитаемых функций.

• Функции умножения и деления
• Функция вида y = f (x) g (x) является произведением f (x) и g (x)
• Функция вида y = f (x) / g (x) является частным от функции f (x) и g (x), где g (x) не может равняться 0.
• Область этих комбинированных функций — это область объединяемых функций.
• При делении функций знаменатель имеет ограничение, при котором он не может быть равен 0.

• Составные функции
• Вы можете комбинировать функции, используя обозначение: f (g (x)), где f (x) зависит от ответа g (x). Также известен как (f o g) (x).
• Для этого вы должны найти значение для g (x), а затем подставить его в f (x), чтобы получить ответ.

• Неравенства совмещенных функций
• Подобно поиску неравенств для обычных функций, просто переместите все в одну сторону, разложите на множители и решите.Или график и посмотрите, где он соответствует критериям.

Вычислить экспоненциальную функцию

Этот урок покажет, как вычислить экспоненциальную функцию и как решить реальную проблему, оценивая экспоненциальную функцию.

Другой пример, показывающий, как вычислить экспоненциальную функцию

Пример № 1

Вычислите следующую функцию для x = 0, 1, 2, -1, -2.

Обратите внимание, что на этот раз мы использовали таблицу для организации наших вычислений.При оценке экспоненциальных функций всегда рекомендуется использовать таблицу.