Контрольная работа по теме тригонометрические формулы: Учебно-методический материал по алгебре (10 класс): контрольная работа №5 по теме «Формулы тригонометрии»

Контрольная работа по теме «Основные тригонометрические формулы»

Самостоятельная работа №1 по теме «Основные тригонометрические формулы». Вариант 1. 1.Вычислите: 2 costg 2.Упростите выражение: 1- cos²α·tg²α 3.Найдите sinα, если известно, что cosα = —, π˂α˂ 4. Упростите выражение: + 5.Докажите тождество: (1+tg²α+)·sin²α·cos²α=1	Самостоятельная работа №1 по теме «Основные тригонометрические формулы». Вариант 2. 1.Вычислите: sin 2.Упростите выражение: 1- sinα·cosα·tgα 3.Найдите sinα, если известно, что cosα = , ˂α˂2π 4. Упростите выражение: — 5.Докажите тождество: (1-cos²α)·(1+ctg²α)=1
Самостоятельная работа №1 по теме «Основные тригонометрические формулы». Вариант 1. 1.Вычислите: 2 costg 2.Упростите выражение: 1- cos²α·tg²α 3.Найдите sinα, если известно, что cosα = — , π˂α˂ 4. Упростите выражение: + 5.Докажите тождество: (1+tg²α+)·sin²α·cos²α=1	Самостоятельная работа №1 по теме «Основные тригонометрические формулы». Вариант 2. 1.Вычислите: sin 2.Упростите выражение: 1- sinα·cosα·tgα 3.Найдите sinα, если известно, что cosα = , ˂α˂2π 4. Упростите выражение: — 5.Докажите тождество: (1-cos²α)·(1+ctg²α)=1

Тема «Основные тригонометрические формулы».

Вариант 1.

1.Вычислите: 2 costg

2.Упростите выражение:

1- cos²α·tg²α

3.Найдите sinα, если известно, что cosα= —, π˂α˂

4. Упростите выражение:

+

5.Докажите тождество:

(1+tg²α+)·sin²α·cos²α=1

Вариант 2.

1.Вычислите: sin

2.Упростите выражение: 1- sinα·cosα·tgα

3.Найдите sinα, если известно, что cosα= , ˂α˂2π

4. Упростите выражение:

—

5.Докажите тождество:

(1-cos²α)·(1+ctg²α)=1

Контрольная работа №1 по теме: «Формулы сложения и их следствия».

Вариант 1.

1.Докажите тождество: sin²α+ctg²α+cos²α=

2.Вычислите:

3.Найдите sin x, если cos x= ,˂x˂π

4.Упростите выражение:

5.Найдите значение выражения:

а) ;

б)

Контрольная работа №1 по теме: «Формулы сложения и их следствия».

Вариант 2.

1.Докажите тождество: sin²α+tg²α+cos

2α=

2.Вычислите:

3.Найдите cos x, если sin x=-0,8; -˂x˂0

4.Упростите выражение: — sinα

5.Найдите значение выражения:

а) ;

б)

Контрольная работа №1 по теме: «Формулы сложения и их следствия».

Вариант 1.

1.Докажите тождество: sin²α+ctg²α+cos²α=

2.Вычислите:

3.Найдите sin x, если cos x= ,˂x˂π

4.Упростите выражение:

5.Найдите значение выражения:

а) ;

б)

Контрольная работа №1 по теме: «Формулы сложения и их следствия».

Вариант 2.

1.Докажите тождество: sin²α+tg²α+cos²α=

2.Вычислите:

3.Найдите cos x, если sin x=-0,8; -˂x˂0

4.Упростите выражение: — sinα

5.Найдите значение выражения:

а) ;

б)

Тема «Формулы сложения и их следствия».

Вариант 1.

1.Докажите тождество: sin²

α+ctg²α+cos²α=

2.Вычислите:

3.Найдите sin x, если cos x= ,˂x˂π

4.Упростите выражение:

5.Найдите значение выражения:

а) ; б)

Вариант 2.

1.Докажите тождество: sin²α+tg²α+cos²α=

2.Вычислите:

3.Найдите cos x, если sin x=-0,8; -˂x˂0

4.Упростите выражение: — sinα

5.Найдите значение выражения:

а) ; б)

Контрольная работа №1 по теме «Основные тригонометрические формулы».

Вариант 1.

1.Вычислите: 2 costg

2.Упростите выражение: 1- cos²α·tg²α

3.Найдите sinα, если известно, что cosα = —, π˂α˂

4. Докажите тождество:

sin²α+ctg²α+cos²α=

5. Найдите значение выражения:

а) ;

б)

Контрольная работа №1 по теме «Основные тригонометрические формулы».

Вариант 2.

1.Вычислите: sin

2.Упростите выражение: 1- sinα·cosα·tgα

3.Найдите sinα, если известно, что cosα = , ˂α˂2π

4. Докажите тождество:

sin²α+tg²α+cos²α=

5. Найдите значение выражения:

а) ;

б)

Контрольная работа №1 по теме «Основные тригонометрические формулы».

Вариант 1.

1.Вычислите: 2 costg

2.Упростите выражение:

1- cos²α·tg²α

3.Найдите sinα, если известно, что cosα = — , π˂α˂

4. . Докажите тождество:

sin²α+ctg²α+cos²α=

5. Найдите значение выражения:

а) ;

б)

Контрольная работа №1 по теме «Основные тригонометрические формулы».

Вариант 2.

1.Вычислите: sin

2.Упростите выражение: 1- sinα·cosα·tgα

3.Найдите sinα, если известно, что cosα = , ˂α˂2π

4. Докажите тождество:

sin²α+tg²α+cos²α=

5. Найдите значение выражения:

а) ;

б)

Контрольная работа по алгебре и началам анализа для 10 класса по теме «Тригонометрические формулы»

Контрольная работа по алгебре рассчитана на сорок пять минут и составлена по учебнику под редакцией Колягина. Эта работа проверяет знания учеников по теме»Тригонометрические формулы». Ученики должны уметь находить значения тригонометрических функций, используя такие знания :определение знака функции в зависимости от четверти, с учётом формул приведения, двойного и половинного аргумента, знание формул сложения синуса и косинуса.Уметь решать простейшие тригонометрические уравнения.За правильное решение заданий 1-4 ученик получает оценку «3», за 1-5 оценку «4» и за всю работу, выполненную без ошибок -«5»

Просмотр содержимого документа
«Контрольная работа по алгебре и началам анализа для 10 класса по теме «Тригонометрические формулы» »

Контрольная работа по алгебре в 10 классе по теме «Тригонометрические формулы»

Цель работы: Проверить знания по вычислению значений тригонометрических функций, находить значения тригономнтрических функций двойного и половинного аргумента. Применять формулы сложения и приведения. Уметь решать простейшие тригонометрические уравнения.

1 вариант

1)Вычислить:

а)sin75° ; б)ctg195°

2) Зная, что sin α = -5/13 пcosa/2 и б) tg2а

3) Упростить выражение:

4) Вычислить: (2sin(п/2+а) – cos(п+ а)):(3cos(п+ а)- 7 sin(1,5п-а))

5) Вычислить:а) sin 7230°; б)tg

6) Решить уравнение: cos 13х- cos 7х =0

2 вариант

1) Вычислить:

а)Cos105°; б) tg 255°

2) Зная, что cosa =-12/13 п/2sin a/2 и б)ctg2a

3) Упростить выражение:

4) Вычислить: (6cos(п/2-а) – 8sin(п+а)) :(3sin(2п-а) + 4cos(1,5п-а))

5) Вычислить: а)cos7425°; б)ctg

6) Решить уравнение: sin6х + sin2х =0

Ответы:

Вариант 1

1) а) ( + 1) : 4 б) 2 +

2) а) (-5/26) б) 120/119

3)sin3a /sina

4)0,75

5)

6)х=пн/3; х = пк/5, н,к- z

Вариант 2

1) а)(1- ) :4 б) 2 +

2) а)5:26 б) -119/240

3) cos7a : sin5a

4) – 2

5) а) – :2 б) 1/

6) х= пк/4 х= п/4 + пн/2 к, н-z

Тест «Тригонометрические формулы»

Тригонометрические формулы

Предмет	Алгебра
Класс	10
Учебник	Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. (базовый и углубленный уровни) Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др. 3-е изд. — М.: Просвещение, 2016. — 464 с.
Тема	Глава V . Тригонометрические формулы

Вопрос №1

Основное тригонометрическое тождество:

(выберите правильный ответ)

A) cos2a-sin2a=1

B) cos2a*sin2a=1

C) cos2a+sin2a=1

D) Здесь нет правильного ответа

Вопрос №2

cos(a+b)=

Выберите правильный ответ:

A) cosa*sinb + cosb*sina

B) cos2a — sin2a

C) cosa*cosb — sina*sinb

D) Здесь нет правильного ответа

Вопрос №3

sin(a-b)=

Выберите правильный ответ

A) sinа*cosb — cosа*sinb

B) cosа*sinb + sinа*cosb

C) cosa*cosb — sinа*sinb

D) Здесь нет правильного ответа

Вопрос №4

sin 2а =

Выберите правильный ответ

A) cos2a — sin2а

B) 2 sinacosa

C) 2sin2acos2a

D) Здесь нет правильного ответа

Вопрос №5

Чему равен sin?

A) sin a

B) -sin a

C) cos a

D) -cos a

Вопрос №6

Чему равен cos ?

A) -cos a

B) cos a

C) — sin a

D) sin a

E) cos 

Правильные ответы, решения к тесту:

Вопрос №1

Правильный ответ — C

Вопрос №2

Правильный ответ — C

Вопрос №3

Правильный ответ — A

Вопрос №4

Правильный ответ — B

Вопрос №5

Правильный ответ — C

Решение: В 1 четверти синус и косинус положительные, поэтому cos a. Название функции меняется т.к. 

Вопрос №6

Правильный ответ — A

Решение: Во второй четверти косинус отрицательный ,   не меняет названия функции, поэтому правильный ответ :         — cos a

Тригонометрические идентификаторы

Тригонометрические тождества (тригонометрические тождества) или тригонометрические формулы описывают отношения между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом и используются при решении математических задач.

Ниже приведены формулы двойного угла, значения тригонометрических функций, формула половинного угла, тождества двойного угла и другие формулы. Дополнительно приведены значения тригонометрических функций для наиболее распространенных углов.

Основные тригонометрические тождества

… подготовка …

Формула двойного угла

… подготовка …

Формула трех углов

… подготовка …

Формула
для уменьшения степени

… подготовка …

Формула
для уменьшения степени

… подготовка …

Формула
для уменьшения степени

… подготовка …

Формула приведения
к степени половинного аргумента

… подготовка …

Формула сложения

… подготовка …

Формулы вычитания

… подготовка …

Тригонометрические формулы
, включающие сумму в идентичности продукта

… подготовка …

Тригонометрические формулы
, учитывающие разницу в идентичности продукта

… подготовка …

Формулы пересчета сумм

… подготовка …

Формулы тригонометрии
, включающие идентификационные данные продукта

… подготовка …

Формулы для преобразования
произведения функций в степень

… подготовка …

Формулы уменьшения степени

… подготовка …

Универсальная тригонометрическая подстановка

… подготовка …

---

Значения тригонометрических функций

α	0
α °	0 °	30 °	45 °	60 °	90 °	120 °	135 °	150 °	180 °	210 °	225 °	240 °	270 °	300 °	315 °	330 °	360 °
sin α	0				1				0				-1				0
cos α	1				0				-1				0				1
тг α	0		1		–		-1		0		1		–		-1		0
CTG α	–		1		0		-1		–		1		0		-1		–

---

Скачать тригонометрические тождества и формулы

Вы можете скачать Тригонометрические тождества и формулы в виде картинки:

Преобразование тригонометрических формул | Примечания, видео, контроль качества и тесты | 10 класс> Математика по выбору> Тригонометрия

Преобразование тригонометрических формул

Мы можем преобразовать произведение тригонометрических соотношений углов в сумму или разность тригонометрических соотношений составных углов и наоборот.

Преобразование произведений в сумму или разницу

(а) Мы знаем, что

sinA. cosB + cosA sinB = sin (A + B) …………….. (i)

sinA cosB — cosA sinB = sin (A — B) ………………. (ii)

Складывая (i) и (ii), получаем

2sinA cosB = sin (A + B) + sin (A — B)

Вычитая (ii) из (i), получаем.

2cosA sinB = sin (A + B) — sin (A — B)

(b) Мы снова знаем, что

cosA cosB — sinA sinB = cos (A + B)…………. (iii)

cosA cosB + sinA sinB = cos (A — B) ………….. (iv)

Складывая (iii) и (iv) получаем

2cosA cosB = cos (A + B) + cos (A — B)

Вычитая (iii) из (iv), получаем

2sinA sinB = cos (A — B) — cos (A + B)

Теперь следующие формулы преобразуют произведение тригонометрических соотношений углов в сумму или разность тригонометрических соотношений составных углов:

2 sinA cosB = sin (A + B) — sin (A — B)

2 cosA sinB = sin (A + B) — sin (A — B)

2 cosA cosB = sin (A + B) = cos (A — B)

2 sinA sinB = cos (A — B) — cos (A + B)

Удобно будет запомнить приведенные выше формулы в виде

2 грех, соз = грех + грех

2 sin cos = sin — грех

2 cos cos = cos + cos

2 sin sin = cos — cos

Преобразование суммы или разницы в произведение

Из приведенной выше формулы имеем

sin (A + B) + sin (A — B) = 2 sinA cosB……….. (i)

sin (A + B) — sin (A — B) = 2 cosA sinB ……….. (ii)

cos (A + B) + cos (A — B) = 2 cosA cosB …………… (iii)

cos (A — B) — cos (A + B) = 2 sinA sinB ………….. (iv)

Предположим, что A + B = C и A — B = D

Складывая два, получаем 2A = C + D

или, A = \ (\ frac {C + D} {2} \)

Снова вычитая второе из первого, получаем 2B = C — D

или, B = \ (\ frac {C — D} {2} \)

Теперь, подставляя значения A, B, A + B и A — B в (i), (ii), (iii) и (iv), получаем

sinC + sinD = 2 sin (\ () \ frac {C + D} {2} \) cos (\ (\ frac {C — D} {2} \))

sinC — sinD = 2 cos (\ (\ frac {C + D} {2} \)) sin (\ (\ frac {C — D} {2} \))

cosC + cosD = 2 cos (\ (\ frac {C + D} {2} \)) cos (\ (\ frac {C — D} {2} \))

cosD — cosC = 2 sin (\ (\ frac {C + D} {2} \)) sin (\ (\ frac {D — C} {2} \))

cosC — cosD = -2 sin (\ (\ frac {C + D} {2} \)) sin (\ (\ frac {C — D} {2} \))

Эти формулы преобразуют сумму или разность тригонометрических соотношений в произведения тригонометрических соотношений.

Приведенные выше формулы будет удобно запомнить в виде

грех + грех = 2 греха. cos

sin — sin = 2 cos. грех

cos + cos = 2 cos. грех

cos — cos = 2 sin. грех

Формулы преобразования	Запоминание
2sinA cosB = sin (A + B) + sin (A — B)	2 син. соз = грех + грех
2 cosA sinB = sin (A + B) — sin (A — B)	2 кос.грех = грех — грех
2 cosA cosB = cos (A + B) + cos (A — B)	2 кос. соз = соз + соз
2 sinnA sinB = cos (A — B) — cos (A + B)	2 син. sin = cos — cos
sinC + sinD = 2sin (\ (\ frac {C + D} {2} \)) cos (\ (\ frac {C — D} {2} \))	грех + грех = 2 греха. cos
sinC — sinD = 2 cos (\ (\ frac {C + D} {2} \)) sin (\ (\ frac {C — D} {2} \))	sin — sin = 2cos.грех
cosC + cosD = 2 cos (\ (\ frac {C + D} {2} \)) cos (\ (\ frac {C — D} {2} \))	cos + cos = 2 cos. cos
cosC — cosD = -2 sin (\ (\ frac {C + D} {2} \)) sin (\ (\ frac {C — D} {2} \))	cos — cos = 2sin. грех

Тригонометрические формулы

1. Тождества тригонометрических функций одного аргумента:

2. Значения тригонометрических функций в определенных точках:

α °	0	30	45	60	90	180	270	360
sin (α)	0	12	22	32	1	0	-1	0
cos (α)	1	32	22	12	0	-1	0	1
тг (α)	0	13	1	3	–	0	–	0
карат (α)	–	3	1	13	0	–	0	–

3.Четкость или нечетность:

4. Знаки в кварталах:

Триг. функция	Quater
	Я	II	III	IV
sin (α)	+	+	–	–
cos (α)	+	–	–	+
тг (α)	+	–	+	–
карат (α)	+	–	+	–

5.Формулы приведения:

β =	90 ± α	180 ± α	270 ± α	360 ± α
грех (β)	cos (α)	∓sin (α)	-cos (α)	± sin (α)
cos (β)	∓sin (α)	-cos (α)	± sin (α)	cos (α)
тг (β)	ctg (α)	± tg (α)	ctg (α)	± tg (α)
ктг (β)	∓тг (α)	± ctg (α)	∓тг (α)	ctg (α)

6.Решение простейших тригонометрических уравнений:

sin (x) = a x = (-1) ⁿ arcsin (a) + n π, n = 0, 1 … ∈ Z

cos (x) = a ⇔ x = ± arccos (a) + 2 n π, n = 0, 1 … ∈ Z

tg (x) = a ⇔ x = arctg (a) + n π, n = 0, 1 … ∈ Z

7. Формулы суммирования и вычитания:

sinαβsinαcosβcosαsinβ sinαβsinαcosβcosαsinβ cosαβcosαcosβsinαsinβ cosαβcosαcosβsinαsinβ

8.Формулы двойного угла:

9. Формулы тройного угла:

10. Формулы преобразования суммы и разности:

а) Преобразование суммы и разности одинаковых тригонометрических функций под разными углами:

преобразований синуса:

sinαsinβ2sinαβ2cosαβ2 sinαsinβ2sinαβ2cosαβ2

Косинусных преобразований:

cosαcosβ2cosαβ2cosαβ2 cosαcosβ2sinαβ2sinαβ2

Касательных преобразований:

tgαtgβsinαβcosαcosβ tgαtgβsinαβcosαcosβ

преобразований котангенса:

ctgαctgβsinβαsinαsinβ ctgαctgβsinβαsinαsinβ

б) Преобразование суммы и разности различных тригонометрических функций под разными углами:

sinαcosβ2sinαβ2π4cosαβ2π4 sinαcosβ2sinαβ2π4cosαβ2π4

c) Особые формулы:

AsinαBcosαA2B2sinαarctgBA sinαsin2α…sinnαsin12n1αsinnα2sinα2 cosαcos2α … cosnαcos12n1αsinnα2sinα2

11. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций:

sinαsinβcosαβcosαβ2 sinαcosβsinαβsinαβ2 cosαcosβcosαβcosαβ2

12. Редукция тригонометрических функций по степенным формулам:

13. Выражение тригонометрических функций тангенсом половинного угла:

ttgα2sinα1cosα1cosαsinα1cosα1cosα

Тригонометрических идентичностей

Возможно, сначала вы захотите прочитать о тригонометрии!

Прямой треугольник

Тригонометрические тождества — это уравнения, которые верны для прямоугольных треугольников. (Если это не прямоугольный треугольник, перейдите на страницу «Треугольники».)

Каждая сторона прямоугольного треугольника имеет имя:

Соседний всегда находится рядом с углом

И Напротив находится напротив угла

Скоро мы будем играть со всеми видами функций, но помните, что все возвращается к этому простому треугольнику с:

• Угол θ
• Гипотенуза
• Соседний
• напротив

Синус, косинус и тангенс

Три основных функции в тригонометрии — это синус, косинус и тангенс.

Это всего лишь длины одной стороны делится на другой

Для прямоугольного треугольника с углом θ :

Функция синуса:	sin ( θ ) = Противоположно / Гипотенуза
Функция косинуса:	cos ( θ ) = Соседний / Гипотенуза
Касательная функция:	tan ( θ ) = противоположный / смежный

Для данного угла θ каждое отношение остается неизменным
, независимо от того, насколько большой или малый треугольник

Когда мы разделим синус на косинус, получим:

sin (θ) cos (θ) = Противоположно / Гипотенуза Соседний / Гипотенуза = Противоположно Соседний = tan (θ)

Итак, мы можем сказать:

Это наш первый тригонометрический идентификатор .

Косеканс, секанс и котангенс

Мы также можем разделить «наоборот» (например, Соседний / Противоположный вместо Напротив / Соседний ):

Косеканс Функция:	csc ( θ ) = Гипотенуза / Напротив
Секущая функция:	сек ( θ ) = Гипотенуза / Соседний
Функция котангенса:	детская кроватка ( θ ) = Соседняя / Напротив

Пример: когда Противоположность = 2 и Гипотенуза = 4, тогда

sin (θ) = 2/4 и csc (θ) = 4/2

На основании всего, что мы можем сказать:

sin (θ) = 1 / csc (θ)

cos (θ) = 1 / сек (θ)

загар (θ) = 1 / детская кроватка (θ)

И наоборот:

csc (θ) = 1 / sin (θ)

сек (θ) = 1 / cos (θ)

детская кроватка (θ) = 1 / tan (θ)

А еще у нас:

детская кроватка (θ) = cos (θ) / sin (θ)

Теорема Пифагора

Следующие тригонометрические тождества мы начнем с теоремы Пифагора:

Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике, квадрат a плюс квадрат b равен квадрату c: a 2 + b 2 = c 2

Деление на c ² дает

a ² с ² + б ² с ² знак равно с ² с ²

Это можно упростить до:

( с ) ² + ( б с ) ² = 1

Итак, a / c — это Противоположность / Гипотенуза , что составляет sin (θ)

И b / c — это Соседний / Гипотенуза , что составляет cos (θ)

Так (a / c) ² + (b / c) ² = 1 также можно записать:

Заметка:

• sin ² θ означает найти синус θ, затем возвести результат в квадрат и
• sin θ ² означает возвести θ в квадрат, , затем выполнить синусоидальную функцию

Пример: 32 °

Использование только 4 десятичных разряда :

• sin (32 °) = 0.5299 …
• cos (32 °) = 0,8480 …

Теперь посчитаем sin ² θ + cos ² θ :

0,5299 ² + 0,8480 ²
= 0,2808 … + 0,7191 …
= 0,9999 …

Мы очень близки к 1, используя всего 4 десятичных знака. Попробуйте его на на своем калькуляторе , возможно, вы получите лучшие результаты!

Связанные идентификационные данные включают:

sin ² θ = 1 — cos ² θ
cos ² θ = 1 — sin ² θ
tan ² θ + 1 = sec ² θ
tan ² θ = sec ² θ — 1
детская кроватка ² θ + 1 = csc ² θ
детская кроватка ² θ = csc ² θ — 1

Как вы их помните? Упомянутые до сих пор личности можно запомнить , используя одну хитроумную диаграмму под названием Magic Hexagon:

Но подождите… Есть еще!

Есть еще много идентификаторов … вот некоторые из наиболее полезных:

Тождества с противоположными углами

грех (−θ) = −sin (θ)

cos (−θ) = cos (θ)

загар (-θ) = -тан (θ)

Двойные углы идентификации

Идентификаторы с половинным углом

Обратите внимание, что «±» означает, что это может быть или один , в зависимости от значения θ / 2

Тождества суммы углов и разностей

Обратите внимание, что это означает, что вы можете использовать плюс или минус, а средство — использовать противоположный знак.

sin (A B) = sin (A) cos (B) cos (A) sin (B)

cos (A B) = cos (A) cos (B) sin (A) sin (B)

загар (A B) = загар (A) загар (B) 1 загар (A) загар (B)

детская кроватка (A B) = детская кроватка (A) детская кроватка (B) 1 детская кроватка (B) детская кроватка (A)

Треугольники

Существуют также идентичности треугольников, которые применяются ко всем треугольникам (а не только к прямоугольным треугольникам).

формул, идентичностей, функций и задач

Тригонометрия — это раздел математики, который в основном занимается конкретными функциями углов, их приложениями и их вычислениями.В математике существует шесть различных типов тригонометрических функций: синус (sin), косинус (cos), секанс (сек), косеканс (косеканс), касательная (загар) и котангенс (кроватка). Эти шесть различных типов тригонометрических функций символизируют соотношение между соотношениями разных сторон прямоугольного треугольника. Эти тригонометрические функции могут также называться круговыми функциями, поскольку их значения могут быть описаны как отношения координат x и y окружности радиуса 1, которые соответствуют углам в стандартных положениях.

Связь между этими тригонометрическими тождествами со сторонами треугольников может быть выражена следующим образом: —

• Синус (тета) = Противоположность / Гипотенуза

• Cos (тета) = Соседний / Гипотенуза

• Желто-коричневый (тета) = Напротив / Соседний

• Кровать (тета) = Соседний / Противоположный

• Косек (тета) = Гипотенуза / Противоположно

• Сек (тета) = Гипотенуза / Соседний

Тригонометрические функции очень важно для изучения треугольников, света, звука или волны.Значения этих тригонометрических функций в различных областях и диапазонах можно использовать из следующей таблицы:

Тригонометрические функции	Область	Диапазон
Sin x	R	— 1 ≤ sin x ≤ 1
Cos x	R	-1 ≤ cos x ≤ 1
Tan x	R — {(2n + 1) π / 2, n ∈ I}	R
Cosec x	R — {nπ, n ∈ I}	R — {x: -1
Sec x	R — {(2n + 1) π / 2, n ∈ I}	R — {x: -1
Cot x	R — {nπ, n ∈ I}	R

Значения различных тригонометрических функции под разными углами приведены в следующей таблице, с помощью которой его можно напрямую использовать в задачах:

Углы

0 °

30 °

45 °

60 °

90 °

7

7

sin

0

1/2

3/2

1

cos

1

√3 / 2

1 / √2

1/2

0

желто-коричневый

0

√3 / 2

1

√3

не определено

cosec

не определено

2

√2

2 / √3

1

сек

1

2 / √3

√2

√2

undefined

кроватка

undefined

√3

1

√3 / 2

0

Некоторые общие формулы и формы Тригонометрические отношения указаны ниже:

Двойные или тройные угловые тождества: —

1) sin 2x = 2sin x cos x
2) cos2x = cos ² x — sin ² x = 1 — 2sin ² x = 2cos ² x — 1
3) tan 2x = 2 tan x / (1-tan ² x)
4) sin 3x = 3 sin x — 4 sin ³ x
5) cos3x = 4 cos ³ x — 3 cosx
6) t an 3x = (3 tan x — tan ³ x) / (1- 3tan ² x)

Формулы суммы и разности различных тригонометрических функций следующие:

1) sin (a + ß) = sin (a) cos (ß) + cos (a) sin (ß)
2) sin (a — ß) = sin (a) cos (ß) — cos (a) sin (ß)
3) cos ( a + ß) = cos (a) cos (ß) — sin (a) sin (ß)
4) cos (a — ß) = cos (a) cos (ß) + sin (a) sin (ß)
5) загар (а + ß) = [загар (а) + загар (ß)] / [1 — загар (а) загар (ß)]
6) загар (а — ß) = [загар (а) — загар (ß)] / [1 + tan (a) tan (ß)]
7) tan (π / 4 + θ) = (1 + tan θ) / (1 — tan θ)
8) tan (π / 4 — θ) = (1 — загар θ) / (1 + загар θ)
9) детская кроватка (a + ß) = [детская кроватка (a).детская кроватка (ß) — 1] / [детская кроватка (а) + детская кроватка (ß)]
10) детская кроватка (а — ß) = [детская кроватка (а). cot (ß) + 1] / [cot (ß) — cot (a)]

Для тройного угла используются следующие тригонометрические функции: 1) sin (A + B + C) = sin A cos B cos C + cos A sin B cos C + cos A cos B sin C — sin A sin B sin C
2) cos (A + B + C) = cos A cos B cos C — cos A sin B sin C — sin A cos B sin C — sin A sin B cos C
3) tan (A + B + C) = [tan A + tan B + tan C — tan A tan B tan C] / [1 — tan A tan B — загар B загар C — загар A загар C
4) детская кроватка (A + B + C) = [детская кроватка A детская кроватка C — детская кроватка A — детская кроватка B — детская кроватка C] / [детская кроватка A детская кроватка B + детская кроватка B детская кроватка C + кроватка A детская кроватка C — 1]

Соотношения между различными тригонометрическими функциями следующие: —

1) Sin A = 1 / cosec A

2) Cos A = 1 / sec A

3 ) Sec A = 1 / cos A

4) Cosec A = 1 / sin A

5) Tan A = 1 / cot A, sin A / cos A

6) Cot A = 1 / tan A , cos A / sin A

Для тождеств периодичности между тригонометрические функции: —

1) Sin (x + 2π) = Sinx

2) Cos (x + 2π) = Cosx

3) Tan (x + π) = Tanx

4) Cot (x + π) = Cotx

Для функций тригонометрии половинного угла: —

1) Sin x / 2 = ± √ (1-cos x) / 2

2) Cos x / 2 = ± √ (1 + cos x) / 2

3) Tan x / 2 = √ (1- cos x) / (1+ cos x), (1- cos x) / sin x

Для суммы тригонометрические тождества произведения: —

1) \ [Sin \: \ alpha \ pm Sin \: \ beta = 2Sin \ frac {1} {2} \: (\ alpha \ pm \ beta) \: Cos \ frac {1 } {2} \: (\ alpha \ mp \ beta) \]

2) \ [Cos \: \ alpha + Cos \: \ beta = 2Cos \ frac {1} {2} \: (\ alpha + \ бета) \: Cos \ frac {1} {2} \: (\ alpha — \ beta) \]

3) Cos α — Cos β = — 2 Sin [(α + β) / 2] sin [( α — β) / 2]

Формулы квадратичного закона: —

1) Sin ² x + cos ² x = 1

2) Tan ² x = 1+ s ec ² x

3) Детская кроватка ² x = 1 + cosec ² x

Вместе со знанием, что два острых угла дополняют друг друга i.е. они складываются в 90 °, и вы можете решить любой прямоугольный треугольник:

• Если вы знаете две из трех сторон, вы можете найти третью сторону и оба острых угла.

• Если вы знаете один острый угол и одну из трех сторон, вы можете найти другой острый угол и две другие стороны.

Знаки тригонометрических функций играют важную роль в их формулах, поскольку знак меняется при изменении квадранта. В основном знак основан на квадранте, в котором лежит угол.

• В первом квартале все тригонометрические отношения положительны. (Углы от 0 ° до 90 °)

• В Q2 все тригонометрические отношения sinθ и cosecθ положительны. (Углы от 90 ° до 180 °)

• В Q3 все тригонометрические отношения cosθ и secθ положительны. (Углы между 180 ° — 270 °)

• В четвертом квартале все тригонометрические отношения tanθ и cotθ положительны. (Углы от 270 ° до 360 °)

Значения тригонометрических функций будут изменяться с изменением углов, но значение остается неизменным для 90 ^o ± θ и 270 ^o ± θ и 180 ^o ± θ и 360 ^o ± θ, когда мы добавляем или вычитаем θ из 90 ^o ± θ и 270 ^o ± θ, мы получаем,

• Sec (90 ^o + Θ) = Cos θ

• Детская кроватка (90 ^o — θ) = Cos θ

• Желто-коричневый (90 ^° + θ) = — Детская кроватка θ

• Желто-коричневый (90 ^o — θ) = Cot θ

• Секунды (90 ^o + θ) = Cosec θ

• Sec (90 ^o + θ) = Cosec θ

• Sin (270 ^o — θ) = — Cos θ

• Sin (270 ^o — θ) = — Cos θ

Некоторые важные формулы обратной тригонометрии можно легко запомнить через следующую область и диапазон o f обратные тригонометрические тождества:

Тригонометрические функции	Область	Диапазон
Sin -1 x	[-1,1]	[-π / 2, π / 2]
Cos -1 x	[-1,1]	[0, π]
Желто-коричневый -1 x	R	[-π / 2, π / 2]
Детская кроватка -1 x	R	[0, π]
Sec -1 x	R — (-1,1)	[0, π] — [π / 2]
Cosec -1 x	R — (-1,1)	[-π / 2, π / 2] — [0]

Приведенная выше таблица домена и диапазон тригонометрических тождеств показывает, что Sin ^-1 x имеет бесконечно много решений при x € [-1, 1], и есть только одно значение, которое лежит в интервалах [π / 2, π / 2], который называется основным значение. 2 x} = \ sec x \ tan x \ cr } $$ Производные котангенса и косеканса подобны и оставлены как упражнения.

Упражнения 4.5

Найдите производные от следующих функций.

Пример 4.5.1 $ \ ds \ sin x \ cos x $ (ответ)

Пример 4.5.2 $ \ ds \ sin (\ cos x) $ (ответ)

Пример 4.5.3 $ \ ds \ sqrt {x \ tan x} $ (ответ)

Пример 4.5.4 $ \ ds \ tan x / (1+ \ sin x) $ (ответ)

Пример 4.5.5 $ \ ds \ cot x $ (ответ)

Пример 4.5.6 $ \ ds \ csc x $ (ответ)

Пр. 4.2 (4x) $ при $ x = \ pi / 6 $. (ответ)

Пример 4.5.18 Найдите точки на кривой $ \ ds y = x + 2 \ cos x $, которые имеют горизонтальная касательная. (ответ)

Пример 4.5.19 Пусть $ C $ — окружность радиуса $ r $. Пусть $ A $ — дуга на $ C $ стягивающий центральный угол $ \ theta $. Пусть $ B $ — хорда $ C $, конечные точки которого являются конечными точками $ A $.

No related posts.