Контрольная работа по алгебре на тему «Производная и ее приложения» (10 класс)
Контрольная работа по дисциплине «Математика».
Тема: «Производная и ее приложения».
Вариант 1.
Вычислить производные следующих функций:
а) — 0,5 балла
б) — 0,5 балла
в) — 0,5 балла
г) — 0,5 балла
д) — 0,5 балла
Написать уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой х0= — 1 – 1,5 балла
Найти скорость и ускорение материальной точки в момент времени t=3c, если она движется по закону – 1,5 балла
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке – 1,5 балла
Исследовать функции на монотонность, точки экстремума и построить ее график – 3 балла
Тема: «Производная и ее приложения».
Вариант 2.
Вычислить производные следующих функций:
а) — 0,5 балла
б) — 0,5 балла
в) — 0,5 балла
г) — 0,5 балла
д) — 0,5 балла
Написать уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой х0=3 – 1,5 балла
Найти скорость и ускорение материальной точки в момент времени t=1c, если она движется по закону – 1,5 балла
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
– 1,5 балла
Исследовать функции на монотонность, точки экстремума и построить ее график – 3 балла
Контрольная работа по дисциплине «Математика».
Тема: «Производная и ее приложения».
Вариант 3.
Вычислить производные следующих функций:
а) — 0,5 балла
б) — 0,5 балла
в) — 0,5 балла
г) — 0,5 балла
д) — 0,5 балла
Написать уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой х
Найти скорость и ускорение материальной точки в момент времени t=4c, если она движется по закону — 1,5 балла
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке — 1,5 балла
Исследовать функции на монотонность, точки экстремума и построить ее график – 3 балла
Контрольная работа по дисциплине «Математика».
Тема: «Производная и ее приложения».
Вариант 4.
Вычислить производные следующих функций:
а) — 0,5 балла
б) — 0,5 балла
в) — 0,5 балла
г) — 0,5 балла
д) — 0,5 балла
Написать уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой х0=0 — 1,5 балла
Найти скорость и ускорение материальной точки в момент времени t=2c, если она движется по закону — 1,5 балла
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке — 1,5 балла
Исследовать функции на монотонность, точки экстремума и построить ее график – 3 балла
Тема: «Производная и ее приложения».
Вариант 5.
Вычислить производные следующих функций:
а) — 0,5 балла
б) — 0,5 балла
в) — 0,5 балла
г) — 0,5 балла
д) — 0,5 балла
Написать уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой х0= — 3 – 1,5 балла
Найти скорость и ускорение материальной точки в момент времени t=3c, если она движется по закону — 1,5 балла
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке —
Исследовать функции на монотонность, точки экстремума и построить ее график – 3 балла
Контрольная работа по дисциплине «Математика».
Тема: «Производная и ее приложения».
Вариант 6.
Вычислить производные следующих функций:
а) — 0,5 балла
б) — 0,5 балла
в) — 0,5 балла
г) — 0,5 балла
д) — 0,5 балла
Написать уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой х0= — 4 – 1,5 балла
Найти скорость и ускорение материальной точки в момент времени t=1c, если она движется по закону — 1,5 балла
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке — 1,5 балла
Исследовать функции на монотонность, точки экстремума и построить ее график – 3 балла
Контрольная работа по дисциплине «Математика».
Тема: «Производная и ее приложения».
Вариант 7.
Вычислить производные следующих функций:
а) — 0,5 балла
б) — 0,5 балла
в) — 0,5 балла
г) — 0,5 балла
д) — 0,5 балла
Написать уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой х0=2 – 1,5 балла
Найти скорость и ускорение материальной точки в момент времени t=5c, если она движется по закону — 1,5 балла
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке — 1,5 балла
Исследовать функции на монотонность, точки экстремума и построить ее график – 3 балла
Контрольная работа по дисциплине «Математика».
Тема: «Производная и ее приложения».
Вариант 8.
Вычислить производные следующих функций:
а) — 0,5 балла
б) — 0,5 балла
в) — 0,5 балла
г) — 0,5 балла
д) — 0,5 балла
Написать уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой х0=1 – 1,5 балла
Найти скорость и ускорение материальной точки в момент времени t=3c, если она движется по закону — 1,5 балла
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке —
Исследовать функции на монотонность, точки экстремума и построить ее график – 3 балла
Контрольная работа по дисциплине «Математика».
Тема: «Производная и ее приложения».
Вариант 9.
Вычислить производные следующих функций:
а) — 0,5 балла
б) — 0,5 балла
в) — 0,5 балла
г) — 0,5 балла
г) — 0,5 балла
Написать уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой х0= — 4 – 1,5 балла
Найти скорость и ускорение материальной точки в момент времени t=4c, если она движется по закону — 1,5 балла
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке — 1,5 балла
Исследовать функции на монотонность, точки экстремума и построить ее график – 3 балла
Контрольная работа по дисциплине «Математика».
Тема: «Производная и ее приложения».
Вариант 10.
Вычислить производные следующих функций:
а) — 0,5 балла
б) — 0,5 балла
в) — 0,5 балла
г) — 0,5 балла
д) — 0,5 балла
Написать уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой х0=2 – 1,5 балла
Найти скорость и ускорение материальной точки в момент времени t=6c, если она движется по закону — 1,5 балла
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке — 1,5 балла
Исследовать функции на монотонность, точки экстремума и построить ее график – 3 балла
№ | I вариант | II вариант |
1 | Найдите значение производной функции в точке . | Найдите значение производной функции в точке . |
2 | На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке . | На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой. Найдите значение производной функции в точке. |
3 | Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой . | Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой . |
4 | На рисунке изображен график функции , определенной на интервале (-3;9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой . | На рисунке изображен график функции, определенной на интервале (-3;11). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой. |
5 | На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале(-12;4). Найдите промежутки возрастания функции, в ответе укажите длину наибольшего из них. | На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале(-1;17). Найдите промежутки убывания функции, в ответе укажите длину наибольшего из них. |
6 | Укажите промежуток, на котором функция убывает. | Укажите промежуток, на котором функция возрастает. |
7 | На рисунке изображен график функции, определенной на интервале (-4;7). Найдите сумму точек экстремума функции. | На рисунке изображен график функции, определенной на интервале (-7;5). Найдите сумму точек экстремума функции. |
8 | Найдите точки экстремума функции . | Найдите точки экстремума функции . |
9 | На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале (-4;16). Найдите количество точек максимума функции на отрезке . | На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале(-17;2). Найдите количество точек минимума функции на отрезке. |
10 | На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале(-8; 4). В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение. | На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале(-8;3). В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение. |
11 | Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания. | Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания. |
12 | Найдите точку минимума функции . | Найдите точку максимума функции . |
13 | Найдите наибольшее значение функции на отрезке . | Найдите наименьшее значение функции на отрезке . |
14 | Точка движется прямолинейно по закону . Вычислите скорость и ускорение точки при t = 1. | Точка движется прямолинейно по закону . Вычислите скорость и ускорение точки при t = 1. |
Контрольная работа по математике по теме: «Производная»
Контрольная работа.
1. Найдите производные функций:
I а). f (х)= +8 II а). f(х)= — 6
б). f(х)= (х2 + 3)(3х-5) б). f(х)= (4-х2)(5х+2)
в). f (х) = в). f (х) =
2. Найдите производную функций в точке х0, если:
I а). f (х) = 3х2+4х-2, х0= — 1. II а). f (х) =5х2-6х+5, х0 = 2.
б). f (х) = 2-2, х0 = . б). f (х) = 4х0 =
3. Решите уравнение f /(х) =0, если:
I f (х) = х3— 4х2 +5х-1. II f (х) = — х3— 3х2 +24х+3.
4. Решите неравенство f /(х)
I f (х) = х3 — 6х2 -63х II f (х) = х3— 5х2 +3х. .
Бақылау жұмысы. (Контрольная работа).
Функциялардың алғашқы функциясын табыңдар:
( Найдите общий вид первообразных для функций).
I. а). f(х) = +5х7-2 II а). f(х) = +12.
б). f(х) =3 б). f(х) = — 5
Анықталмаған интегралды табыңдар: (Найдите неопределенный интеграл).
I. а). II а). dx
б).
у= f(х) функциясы үшін графигі М(а;в) нүктесі арқылы өтетін F(х) алғашқы функциясын табыңдар:
(Для функций у= f(х) найдите первообразную, график которой проходит через точку М(а;в)).
I. а). f(х)=-2х-2; М(-1; 5). II а). f(х)=-2х -6; М(-2; 7).
б). f(х)= ; М( ; 1,5). б). f(х)= ; М( ; -1).
Интегралды есептеңдер: (Вычислите интегралы).
I. а). II а).
б). dx б).
Берілген қисықтармен шектелген фигураның ауданын табыңдар: (Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями).
I. у= — х2+8х — 4 и у=3. II. у= — х2 +5х+8 и у=2.
у=х-3; х=-1; х=2; II. y =х+2; х=-2; х=2 қисықтарымен шектелген қисықсызықты трапецияны абсцисса осінен айналдырғанда пайда болған дененің көлемін есептеңдер.
(Найдите объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, ограниченной линиями I. у=х-3; х=-1; х=2; II. y =х+2; х=-2; х=2, вокруг оси абсцисс).
Контрольная работа по математике на тему «Производная и дифференциал» (1-5 варианты)
Контрольная работа 1.
Вариант 1
1. Найти производные
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
2. Найти :
,
,
3. Найти :
4. Найти дифференциал функции:
5. Составить уравнения касательной и нормали к линии в точке с абсциссой .
Контрольная работа 1.
Вариант 2
1. Найти производные
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
2. Найти :
,
,
3. Найти :
4. Найти дифференциал функции:
5. Составить уравнения касательной и нормали к линии в точке с абсциссой .
Контрольная работа 1.
Вариант 3
1. Найти производные
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
2. Найти :
,
,
3. Найти :
4. Найти дифференциал функции:
5. Составить уравнения касательной и нормали к линии в точке с абсциссой .
Контрольная работа 1.
Вариант 4
1. Найти производные
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
2. Найти :
,
,
3. Найти :
4. Найти дифференциал функции:
5. Составить уравнения касательной и нормали к линии в точке с абсциссой .
Контрольная работа 1.
Вариант 5
1. Найти производные
,
,
,
,
,
,
,
,
,
2. Найти :
,
,
3. Найти :
4. Найти дифференциал функции:
5. Составить уравнения касательной и нормали к линии в точке с абсциссой .
Контрольная работа 1.
Вариант 6
1. Найти производные:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
л)
м)
2. Найти :
а)
б)
в)
Найти :
Найти дифференциал функции:
Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке (0; — 2).
Контрольная работа по теме «Производная» 2 варианта
Ф.И.
Контрольная работа по теме «Производная» Вариант 1
На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с
абсциссами A, B, C и D.
В правом столбце указаны значения производной функции в точках A, B, C и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.
Запишите в ответ цифры, расположив их в буквам:
На рисунке изображен график функции y = f(x). Точки a, b, c, d и e задают на оси Ox интервалы. Пользуясь
графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной.
Запишите в ответ цифры, расположив ем буквам:
На рисунках изображены графики функций вида Установите соответствие между графиками функций и угловыми коэффициентами прямых.
ГРАФИКИ
УГЛОВЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
2)
3) −1
4) 2,5
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
A Б В Г
На рисунках изображены графики функций и касательные, проведённые к ним в точках с абсциссой x0. Установите соответствие между графиками функций и значениями производной этих функций в точкеx0.
ГРАФИКИ
ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
1.
2. 0,75;
3. 1;
4. −0,5.
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
A Б В Г
На рисунке изображён график функции y = f(x) и отмечены точки K, L, M и N на оси x. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристику функции и её производной.
Ниже указаны значения производной в данных точках. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной в ней.
ТОЧК ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИИ ИЛИ ПРОИЗВОДНОЙ И
А) K 1) Функция положительна, производная равна 0.
Б) L 2) Функция отрицательна, производная отрицательна. В) M 3) Функция положительна, производная положительна. Г) N 4) Функция равна 0, производная положительна.
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А Б В Г
Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени с.
РЕШЕНИЕ:
Ответ:
РЕШЕНИЕ:
Ответ:
На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается гра- фика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите f ‘(8).
Ответ:
На рисунке изображен график функции , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой
Ответ:
На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.
Ответ:
Ф.И.Контрольная работа по теме «Производная» Вариант 2
На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с
абсциссами A, B, C и D.
В правом столбце указаны значения производной функции в точках A, B, C и D. Пользуясь графиком, поставьте соответствие каждой точке значение производной функции в ней.
ТОЧК ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ И
A 1) 0,5
B 2) − 0,7
C 3) 4
D 4) − 3
Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
A B C D
На рисунке изображён график функции y = f(x). Числа a, b, c, d и e задают на оси x четыре интервала. Поль- зуясь графиком, поставьте в cоответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной.
Ниже указаны значения производной в данных точках. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной в ней.
ТОЧКИ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИИ ИЛИ ПРОИЗВОДНОЙ
А) (a; b) 1) производная отрицательна на всём интервале Б) (b; c) 2) производная положительна на всем интервале В) (c; d) 3) функция отрицательна на всем интервале
Г) (d; e) 4) функция положительна на всём интервале
Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
А Б В Г
На рисунках изображены графики функций вида Установите соответствие между графиками функций и угловыми коэффициентами прямых.ГРАФИКИ
УГЛОВЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
1) 0,6
3) 1,25
4) −0,75
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
A Б В Г
4. На рисунках изображены графики функций и касательные, проведённые к ним в точках с абсциссой x0. Установите соответствие между графиками функций и значениями производной этих функций в точке x0.
ГРАФИКИ
ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
1. 0,2;
2. −0,8;
3.
4. 4.
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
A Б В Г
На рисунке изображён график функции y = f(x) и отмечены точки A, B, C и D на оси x. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристику функции и её производной.
Ниже указаны значения производной в данных точках. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной в ней.
ТОЧКИ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИИ ИЛИ ПРОИЗВОДНОЙ
А) A 1) Функция положительна, производная равна 0. Б) B 2) Производная отрицательна, функция равна 0.
В) C 3) Производная положительна, функция положительна. Г) D 4) Функция отрицательна, производная отрицательна.
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А Б В Г
Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени с.
РЕШЕНИЕ:
Ответ:
РЕШЕНИЕ:
Ответ:
На рисунке изображен график функции Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 10. Найдите
Ответ:
На рисунке изображен график функции , определенной на интервале
Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой
Ответ:
На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале (−4; 13). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = −2x − 10 или совпадает с ней
Ответ:
№ | I вариант | II вариант |
1 | Найдите значение производной функции в точке . | Найдите значение производной функции в точке . |
2 | На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке . | На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой. Найдите значение производной функции в точке. |
3 | Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой . | Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой . |
4 | На рисунке изображен график функции , определенной на интервале (-3;9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой . | На рисунке изображен график функции, определенной на интервале (-3;11). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой. |
5 | На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале(-12;4). Найдите промежутки возрастания функции, в ответе укажите длину наибольшего из них. | На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале(-1;17). Найдите промежутки убывания функции, в ответе укажите длину наибольшего из них. |
6 | Укажите промежуток, на котором функция убывает. | Укажите промежуток, на котором функция возрастает. |
7 | На рисунке изображен график функции, определенной на интервале (-4;7). Найдите сумму точек экстремума функции. | На рисунке изображен график функции, определенной на интервале (-7;5). Найдите сумму точек экстремума функции. |
8 | Найдите точки экстремума функции . | Найдите точки экстремума функции . |
9 | На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале (-4;16). Найдите количество точек максимума функции на отрезке . | На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале(-17;2). Найдите количество точек минимума функции на отрезке. |
10 | На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале(-8; 4). В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение. | На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале(-8;3). В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение. |
11 | Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания. | Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания. |
12 | Найдите точку минимума функции . | Найдите точку максимума функции . |
13 | Найдите наибольшее значение функции на отрезке . | Найдите наименьшее значение функции на отрезке . |
14 | Точка движется прямолинейно по закону . Вычислите скорость и ускорение точки при t = 1. | Точка движется прямолинейно по закону . Вычислите скорость и ускорение точки при t = 1. |
Контрольная работа по теме «Производная функции»
Контрольная работа. Производная. Вариант № 1.
1.Дана функция у(х) = 2х3 + 3х2 – 1. Найдите: А) промежутки возрастания и убывания функции
Б) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [ -1; 2].
2.Напишите уравнение касательной к графику функции у(х) = х3 + 3х2 – 2х + 2 в точке с абсциссой х0 = 1. 3.Напишите уравнение касательной к графику функции у(х) = х3 — 3х2 + 2х + 10, параллельной прямой у = — х + 5
4.Найдите точку максимума функции у =
5. На рисунке изображён график функции y = f(x). Числа a, b, c, d и e задают на оси x четыре интервала. Пользуясь графиком, поставьте в cоответствие каждому интервалу характеристику функции или ее производной
a; b)
Б) (b; c)
В) (c; d)
Г) (d; e)
1) производная отрицательна на всём интервале
2) производная положительна на всем интервале
3) функция отрицательна на всем интервале
4) функция положительна на всём интервале
6.На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами A, B, C и D.
В правом столбце указаны значения производной функции в точках A, B, C и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.
AБ) B
В) C
Г) D
1) 1,4
2) −0,7
3) 0,5
4) −1,8
7Материальная точка движется прямолинейно по закону х(t) = t2 – 13t + 23(где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?
8.
На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−2; −9), B (−2; −3), C (−5; −3). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB. Поэтому
Ответ: −2.
Ответ: -2
27505
-2
Классификатор базовой части: 4.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной, 4.1.3 Уравнение касательной к графику функции, 4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков
Контрольная работа. Производная. Вариант № 2.
1.Дана функция у(х) = х3 — 3х2 + 1. Найдите: А) промежутки возрастания и убывания функции
Б) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [ -2; 1].
2.Напишите уравнение касательной к графику функции у(х) = х3 — 3х2 = 2х + 4 в точке с абсциссой х0 = 1. 3.Напишите уравнение касательной к графику функции у(х) = х3 + 3х2 + х + 7, параллельной прямой у = -2х + 1
4.Найдите точку максимума функции у =.
5. На рисунке изображён график функции y = f(x). Числа a, b, c, d и e задают на оси x четыре интервала. Пользуясь графиком, поставьте в cоответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной.
Ниже указаны значения производной в данных точках. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной в ней.
a; b)Б) (b; c)
В) (c; d)
Г) (d; e)
1) производная отрицательна на всём интервале
2) производная положительна в начале интервала и отрицательна в конце интервала
3) функция отрицательна в начале интервала и положительна в конце интервала
4) производная положительна на всём интервале
6. На рисунке изображён график функции, к которому проведены касательные в четырёх точках.
KБ) L
В) M
Г) N
1) −4
2) 3
3) 0,7
4) −0,5
Ниже указаны значения производной в данных точках. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной в ней.
7.Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?
8.
На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; −2), B (2; 0), C (−6; 0). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:
Ответ: − 0,25.
Ответ: -0,25
27506
-0,25
Классификатор базовой части: 4.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной, 4.1.3 Уравнение касательной к графику функции, 4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков
Производная (математика) — Простая английская Википедия, бесплатная энциклопедия
Функция (черный) и тангенс (красный). Производная в точке — это наклон касательной.В математике (особенно в дифференциальном исчислении) производная — это способ показать мгновенную скорость изменения: то есть величину, на которую функция изменяется в одной заданной точке. Для функций, которые действуют на действительные числа, это наклон касательной в точке на графике. Производная часто записывается как dydx {\ displaystyle {\ tfrac {dy} {dx}}} («dy over dx», что означает разность по y, деленную на разность по x). d не является переменной и поэтому не может быть отменен. Другое распространенное обозначение — это f ′ (x) {\ displaystyle f ‘(x)} — производная функции f {\ displaystyle f} в точке x {\ displaystyle x}. [1] [2] [3]
Анимация, дающая интуитивное представление о производной, поскольку «качели» функции меняются при изменении аргумента.Производная y по x определяется как изменение y по сравнению с изменением x, поскольку расстояние между x0 {\ displaystyle x_ {0}} и x1 {\ displaystyle x_ {1}} становится бесконечно малым (бесконечно малым ).С математической точки зрения: [2] [3]
- f ‘(a) = limh → 0f (a + h) −f (a) h {\ displaystyle f’ (a) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (a + h) -f (a)} {h}}}
То есть, когда расстояние между двумя точками x (h) становится ближе к нулю, наклон линии между ними приближается к касательной.
Линейные функции [изменить | изменить источник]
Производные линейных функций (функции вида ax + b {\ displaystyle ax + b} без квадратичных или более высоких членов) постоянны.То есть производная в одном месте графика останется прежней в другом.
Когда зависимая переменная y {\ displaystyle y} напрямую принимает значение x {\ displaystyle x} (y = x {\ displaystyle y = x}), наклон линии равен 1 во всех местах, поэтому ddx ( x) = 1 {\ displaystyle {\ tfrac {d} {dx}} (x) = 1} независимо от того, где находится позиция.
Когда y {\ displaystyle y} изменяет число x {\ displaystyle x}, добавляя или вычитая постоянное значение, наклон по-прежнему равен 1, потому что изменение x {\ displaystyle x} и y {\ displaystyle y} не меняются, если график сдвинут вверх или вниз.{5}}
.Производная | математика | Britannica
Derivative , в математике, скорость изменения функции по отношению к переменной. Производные имеют фундаментальное значение для решения задач в области исчисления и дифференциальных уравнений. Как правило, ученые наблюдают за изменяющимися системами (динамическими системами), чтобы получить скорость изменения некоторой интересующей переменной, включить эту информацию в какое-либо дифференциальное уравнение и использовать методы интегрирования для получения функции, которую можно использовать для прогнозирования поведения исходной система в различных условиях.
Подробнее по этой теме
Анализ: производные высшего порядка
Процесс дифференцирования может применяться несколько раз подряд, что приводит, в частности, ко второй производной f ″ …
Геометрически производная функции может интерпретироваться как наклон графика функции или, точнее, как наклон касательной в точке.Фактически, его расчет происходит по формуле наклона прямой линии, за исключением того, что для кривых необходимо использовать процесс ограничения. Наклон часто выражается как «подъем» по сравнению с «пробегом» или, в декартовых терминах, отношение изменения y к изменению x . Для прямой линии, показанной на рисунке, формула наклона имеет вид ( y 1 — y 0 ) / ( x 1 — x 0 ). Другой способ выразить эту формулу: [ f ( x 0 + h ) — f ( x 0 )] / h , если h используется для x 1 — x 0 и f ( x ) для y .Это изменение обозначений полезно для перехода от идеи наклона прямой к более общей концепции производной функции.
Две точки, например ( x 0 , y 0 ) и ( x 1 , y 1 ), определяют наклон прямой линии. Encyclopædia Britannica, Inc.Для кривой это соотношение зависит от того, где выбраны точки, что отражает тот факт, что кривые не имеют постоянного наклона.Чтобы найти наклон в желаемой точке, выбор второй точки, необходимой для расчета отношения, представляет собой трудность, потому что, как правило, отношение будет представлять только средний наклон между точками, а не фактический наклон в любой точке ( см. рисунок ). Чтобы обойти эту трудность, используется процесс ограничения, при котором вторая точка не фиксируется, а задается переменной, например h в соотношении для прямой линии выше. Нахождение предела в этом случае — это процесс нахождения числа, к которому отношение приближается, поскольку h приближается к 0, так что предельное отношение будет представлять фактический наклон в данной точке.Некоторые манипуляции нужно проделать с частным [ f ( x 0 + h ) — f ( x 0 )] / h , чтобы его можно было переписать в виде в котором предел h приближается к 0, можно увидеть более прямо. Рассмотрим, например, параболу: x 2 . При нахождении производной x 2 , когда x равно 2, частное составляет [(2 + h ) 2 — 2 2 ] / h .При расширении числителя частное становится (4 + 4 h + h 2 — 4) / h = (4 h + h 2 ) / h . И числитель, и знаменатель по-прежнему приближаются к 0, но если h на самом деле не ноль, а только очень близко к нему, тогда h можно разделить, давая 4 + h , что легко увидеть, что приближается к 4 как h приближается к 0.
Наклон или мгновенная скорость изменения кривой в определенной точке ( x 0 , f ( x 0 )) можно определить, наблюдая за пределом средняя скорость изменения, когда вторая точка ( x 0 + h , f ( x 0 + h )) приближается к исходной точке. Encyclopædia Britannica, Inc.Подводя итог, производная f ( x ) при x 0 , записывается как f ′ ( x 0 ), ( d ) f / d x ) ( x 0 ) или D f ( x 0 ), определяется как если этот предел существует.
Получите эксклюзивный доступ к контенту из нашего первого издания 1768 с вашей подпиской. Подпишитесь сегодняДифференциация — i.е., вычисление производной — редко требует использования базового определения, но вместо этого может быть выполнено с помощью знания трех основных производных, использования четырех правил работы и знания того, как манипулировать функциями.
.