Контрольная работа по математике делимость натуральных чисел: Контрольная работа по теме: «Делимость натуральных чисел»

Приведенный ниже вопрос GMAT DS — это вопрос о достаточности данных из теории чисел. Проверенная концепция: тест на делимость. Уровень сложности: легкий | Вопрос уровня GMAT от 600 до 650.

Эта проблема достаточности данных состоит из вопроса и двух утверждений, помеченных (1) и (2), в которых приводятся определенные данные. Вы должны решить, достаточно ли данных, приведенных в утверждениях, для ответа на вопрос.Используя данные, приведенные в утверждениях, а также свои знания математики и повседневные факты (например, количество дней в високосном году или значение слова против часовой стрелки), вы должны указать, является ли —

1. ТОЛЬКО утверждение (1). достаточно, но одного утверждения (2) недостаточно для ответа на заданный вопрос.
2. ТОЛЬКО утверждения (2) достаточно, но одного утверждения (1) недостаточно для ответа на заданный вопрос.
3. ОБОИХ утверждений (1) и (2) ВМЕСТЕ достаточно, чтобы ответить на заданный вопрос, но НИ ОДНОГО утверждения не достаточно для ответа на заданный вопрос.
4. КАЖДОГО утверждения ОДНОГО достаточно, чтобы ответить на заданный вопрос.
5. Утверждений (1) и (2) ВМЕСТЕ НЕ достаточно для ответа на заданный вопрос, и необходимы дополнительные данные, относящиеся к проблеме.

Числа

Все используемые числа являются действительными числами.

Рисунки

Цифра, сопровождающая вопрос о достаточности данных, будет соответствовать информации, приведенной в вопросе, но не обязательно будет соответствовать дополнительной информации, приведенной в утверждениях (1) и (2)

Линии, показанные как прямые, можно предположить быть прямыми, а линии, которые кажутся неровными, также можно считать прямыми

Вы можете предположить, что положения точек, углов, областей и т. д.существуют в указанном порядке, а размеры углов больше нуля.

Все фигуры лежат в плоскости, если не указано иное.

Примечание

В задачах достаточности данных, которые запрашивают значение количества, данных, приведенных в заявлении, достаточно, только если возможно определить ровно одно числовое значение для количества.

Вопрос 27 : Делится ли положительное целое число x на 12?

1. x делится на 6
2. x делится на 8

Видео Пояснение

Онлайн-классы GMAT

Начало чт, 3 декабря 2020 г.

Пояснительный ответ

Шаг 1 решения этого вопроса GMAT DS: понимание основы вопроса

Какой ответ даст вопрос?
Вопрос «Is» вопрос.Ответ на вопрос типа «есть» — ДА или НЕТ.

Когда данных достаточно?
Данных достаточно, если мы можем получить ОПРЕДЕЛЕННОЕ ДА или ОПРЕДЕЛЕННОЕ НЕТ из информации, приведенной в утверждениях.

Что такое критерий делимости числа 12?
Проверка на делимость числа 12 заключается в том, что число должно делиться как на 3, так и на 4. По сути, x должен делиться на 3 и 2 ² .

Шаг 2 решения этого вопроса GMAT DS:
Оценить утверждение (1) ОДИН: x делится на 6

Подход: найдите пример счетчика

Пример: x = 6.Оно делится на 6. Однако оно НЕ делится на 12.
Пример счетчика: x = 12. Оно делится на 6. Оно также делится на 12.
Знать, что x делится на 6, недостаточно, чтобы ответить на вопрос.

Если x делится на 6, мы можем сделать вывод, что он делится на 3 и 2. Но мы не можем вывести, делится ли оно также на 2 ² — что важно для вывода, что x делится на 12.

Заявления 1 ОДНОГО НЕ достаточно.
Эли

Математические задачи индукционной делимости

Задача 1:

Используйте индукцию, чтобы доказать, что n ³ — 7n + 3, делится на 3 для всех натуральных чисел n.

Решение:

Пусть P (n) = n ³ — 7n + 3 делится на 3 для всех натуральных чисел n.

Шаг 1:

Теперь P (l): (l) ³ — 7 (1) + 3 = -3, что делится на 3.

Следовательно, P (l) истинно.

Шаг 2:

Предположим, что P (n) истинно для некоторого натурального числа n = k.

P (k) = K ³ — 7k + 3 делится на 3

или K ³ — 7k + 3 = 3m, m∈ N (i)

Шаг 3:

Сейчас , мы должны доказать, что P (k + 1) истинно.

P (k + 1) (k + l) ³ — 7 (k + 1) + 3

= k ³ + 1 + 3k (k + 1) — 7k— 7 + 3

= k ³ -7k + 3 + 3k (k + l) — 6

= 3m + 3 [k (k + l) -2] [Используя (i)]

= 3 [m + (k (k + 1) — 2)], который делится на 3

Таким образом, P (k + 1) истинно, если P (k) истинно.

Итак, по принципу математической индукции P (n) верно для всех натуральных чисел n.

Задача 2:

Используйте индукцию, чтобы доказать, что 10 ⁿ + 3 × 4 ^{n + 2} + 5 делится на 9 для всех натуральных чисел n.

Решение:

Шаг 1:

n = 1 имеем

P (1); 10 + 3 ⋅ 64 + 5 = 207 = 9 ⋅ 23

Которая делится на 9.

P (1) верно.

Шаг 2:

Для n = k предположим, что P (k) истинно.

Тогда P (k): 10 ^k + 3,4 ^{k + 2} + 5 делится на 9.

10 ^k + 3,4 ^{k + 2} + 5 = 9m

10 ^k = 9м — 3.4 ^{k + 2} — 5 ———- (1)

Шаг 3:

Мы должны доказать, что P (k + 1) делится на 9 для

n = k + 1.

P (k + 1): 10 ^{k + 1} + 3.4 ^{k + 1 + 2} + 5

= 10 x 10 ^k + 3.4 ^{k + 2} .4+ 5

= 10 (9m — 3,4 ^{k + 2} — 5) + 3,4 ^{k + 2} ,4+ 5

= 90m — 30 4 ^{k + 2} -50 + 12,4 ^{k + 2} + 5

= 90 м — 18 4 ^{k + 2} — 45

= 9 (10 м — 2.4 ^{k + 2} — 5)

, которое делится на 9.

P (k +1) верно.

Следовательно, по принципу математической индукции P (n) истинно для всех n∈N.

Помимо вышеперечисленного, если вам нужны еще какие-либо сведения по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

Если у вас есть отзывы о наших математических материалах, напишите нам:

[email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

Вы также можете посетить следующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики.

ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ

Задачи со словами HCF и LCM

Задачи со словами на простых уравнениях

Задачи со словами на линейных уравнениях

Задачи со словами на квадратных уравнениях 728 Алгебра

Проблемы со словами в поездах

Проблемы со словами по площади и периметру

Проблемы со словами по прямой и обратной вариациям

Проблемы со словами по цене за единицу

Проблемы со словами по скорости за единицу

Задачи по сравнению ставок

Преобразование обычных единиц в словесные задачи

Преобразование в метрические единицы в словесных задачах

Словесные задачи по простому проценту

Текстовые задачи по сложным процентам

ngles

Проблемы с дополнительными и дополнительными углами в словах

Проблемы со словами с двойными фактами

Проблемы со словами в тригонометрии

Проблемы со словами в процентах

Проблемы со словами для разметки и убытков 9000 275 9428 Задачи

Задачи с десятичными словами

Задачи со словами о дробях

Задачи со словами о смешанных фракциях

Одношаговые задачи с уравнениями со словами

Слова с линейными неравенствами и соотношением слов

28 9077 Задачи со словами

Проблемы со временем и рабочими словами

Задачи со словами на множествах и диаграммах Венна

Задачи со словами на возрастах

Проблемы со словами из теоремы Пифагора

Процент числового слова проблемы

Проблемы со словами при постоянной скорости

Проблемы со словами при средней скорости

Проблемы со словами на сумме углов треугольника 180 градусов

ДРУГИЕ ТЕМЫ

Сокращения прибыли и убытков

Сокращения в процентах

Сокращения в таблице времен

Сокращения времени, скорости и расстояния

Сокращения соотношения и пропорции

Домен и диапазон рациональных функций 9275 Домен и диапазон рациональных функций функции с отверстиями

График рациональных функций

График рациональных функций с отверстиями

Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби

Десятичное представление рациональных чисел

видение

Л.Метод CM для решения задач времени и работы

Преобразование задач со словами в алгебраические выражения

Остаток при делении 2 в степени 256 на 17

Остаток при делении степени 17 на 16

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 6

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 7

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 8

Сумма всех трехзначных чисел, образованных с использованием 1, 3 , 4

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных ненулевыми цифрами

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3

Сумма всех трех четырехзначных чисел числа, образованные с использованием 1, 2, 5, 6

Введение в теорию чисел

Раздел 5.2 Введение в теорию чисел

Мы использовали натуральные числа для решения задач. Это был правильный набор чисел для работы в дискретной математике, потому что мы всегда имели дело с целым рядом вещей. Натуральные числа были инструментом. Давайте сейчас рассмотрим этот инструмент. Какие математические открытия мы можем сделать относительно самих натуральных чисел?

Это главный вопрос теории чисел: огромная, древняя, сложная и, прежде всего, красивая отрасль математики.Исторически теория чисел была известна как королева математики и в значительной степени была ответвлением чистой математики , изученной ради нее самой, а не как средство понимания приложений реального мира. Однако это изменилось в последние годы, когда были обнаружены приложения теории чисел. Вероятно, наиболее известным примером этого является криптография RSA, один из методов, используемых для шифрования данных в Интернете. Это стало возможным благодаря теории чисел.

Какие вопросы относятся к области теории чисел? Вот показательный пример.Напомним, в нашем исследовании индукции мы спрашивали:

Какая сумма почтовых расходов может быть сделана с использованием всего лишь 5-центовых и 8-центовых марок?

Мы смогли доказать, что может быть получена любая сумма, превышающая 27 центов. Вы можете задаться вопросом, что произойдет, если мы изменим номинал марок. Что, если бы у нас были марки в 4 и 9 центов? Будет ли какая-то сумма, после которой все суммы будут возможны? Ну, опять же, мы могли бы заменить две марки по 4 цента на марку по 9 центов или три марки по 9 центов на семь марок по 4 цента.В каждом случае мы можем создать еще один цент почтовых расходов. Использование этого в качестве индуктивного случая позволит нам доказать, что может быть произведена любая сумма почтовых расходов, превышающая 23 цента.

Что, если бы у нас были марки по 2 и 4 цента. Здесь это выглядит менее многообещающим. Если мы возьмем некоторое количество марок по 2 цента и некоторое количество марок по 4 цента, что мы можем сказать об общей сумме? Может ли это быть странным? Не похоже.

Почему работает 5 и 8, 4 и 9 работают, а 2 и 4 не работают? Что такого особенного в этих числах? Если бы я дал вам пару цифр, не могли бы вы сразу сказать, будут ли они работать или нет? Мы ответим на эти и другие вопросы, предварительно исследуя некоторые более простые свойства самих чисел.

Подраздел Делимость

Натуральные числа легко складывать и умножать. Если мы расширим наш фокус на все целые числа, тогда вычитание также будет простым (нам нужны отрицательные числа, чтобы мы могли вычесть любое число из любого другого числа, даже большего из меньшего). Разделение — первая операция, которая представляет собой сложную задачу. Если бы мы хотели расширить наш набор чисел, чтобы было возможно любое деление (возможно, исключая деление на 0), нам нужно было бы посмотреть на рациональные числа (набор всех чисел, которые можно записать как дроби).Это было бы перебором, поэтому мы откажемся от этого варианта.

На самом деле это хорошо, что не каждое число можно разделить на другие числа. Это помогает нам понять структуру натуральных чисел и открывает двери для многих интересных вопросов и приложений.

Если заданы числа \ (a \) и \ (b \ text {,} \), возможно, что \ (a \ div b \) дает целое число. В этом случае мы говорим, что \ (b \) делит \ (a \ text {,} \) на символы, мы пишем \ (b \ mid a \ text {.} \) Если это верно, то \ (b \) является делителем или множителем \ (a \ text {,} \) и \ (a \) делится на \ (b \ text {.} \) In другими словами, если \ (b \ mid a \ text {,} \), то \ (a = bk \) для некоторого целого числа \ (k \) (это означает, что \ (a \) является некоторым кратным \ (b \ )).

Отношение делимости.

Даны целые числа \ (m \) и \ (n \ text {,} \), мы говорим «\ (m \) делит \ (n \)» и пишем

\ begin {уравнение *} м \ мид п \ end {уравнение *}

при условии, что \ (n \ div m \) является целым числом. Таким образом, следующие утверждения означают одно и то же:

1. \ (\ Displaystyle м \ середина п \)
2. \ (n = mk \) для некоторого целого числа \ (k \)
3. \ (m \) является множителем (или делителем) \ (n \)
4. \ (n \) делится на \ (m \ text {.} \)

Обратите внимание, что \ (m \ mid n \) — это инструкция. Это либо правда, либо ложь. С другой стороны, \ (n \ div m \) или \ (n / m \) — некоторое число. Если мы хотим заявить, что \ (n / m \) не является целым числом, поэтому \ (m \) не делит \ (n \ text {,} \), тогда мы можем написать \ (m \ nmid n \ text { .} \)

Пример 5.2.1.

Решите, истинно ли каждое из приведенных ниже утверждений.

1. \ (\ Displaystyle 4 \ середина 20 \)
2. \ (\ Displaystyle 20 \ середина 4 \)
3. \ (\ Displaystyle 0 \ середина 5 \)
4. \ (\ Displaystyle 5 \ середина 0 \)
5. \ (\ Displaystyle 7 \ середина 7 \)
6. \ (\ Displaystyle 1 \ середина 37 \)
7. \ (\ Displaystyle -3 \ середина 12 \)
8. \ (\ Displaystyle 8 \ середина 12 \)
9. \ (\ Displaystyle 1642 \ середина 136299 \)

1. Верно.4 «входит» в 20 пять раз без остатка. Другими словами, \ (20 \ div 4 = 5 \ text {,} \) целое число. Мы также могли бы оправдать это, сказав, что \ (20 \) кратно 4: \ (20 = 4 \ cdot 5 \ text {.} \)

2. Ложь. Хотя 20 кратно 4, неверно, что \ (4 \) кратно 20.

3. Ложь. \ (5 \ div 0 \) даже не определено, не говоря уже о целом числе.

4. Верно. Фактически, \ (x \ mid 0 \) верно для всех \ (x \ text {.} \) Это потому, что 0 кратно каждому числу: \ (0 = x \ cdot 0 \ text {.} \)

5. Верно. Фактически, \ (x \ mid x \) верно для всех \ (x \ text {.} \)

6. Верно. 1 делит каждое число (кроме 0).

7. Верно. Отрицательные числа отлично подходят для отношения делимости. Здесь \ (12 = -3 \ cdot 4 \ text {.} \) Также верно, что \ (3 \ mid -12 \) и \ (- 3 \ mid -12 \ text {.} \)

8. Ложь. И 8, и 12 делятся на 4, но это не означает, что \ (12 \) делится на \ (8 \ text {.} \)

9. Ложь.Увидеть ниже.

Этот последний пример поднимает вопрос: как можно решить, \ (m \ mid n \ text {?} \). Конечно, если бы у вас был надежный калькулятор, вы могли бы запросить у него значение \ (n \ div m \ text {.} \) Если он выдаст что-то кроме целого числа, вы знаете \ (m \ nmid n \ text {.} \) Это немного похоже на обман: у нас нет деления, поэтому мы должны действительно использовать деление для проверки делимости?

Хотя мы на самом деле не умеем делить, мы знаем, как умножать.Мы можем попытаться умножить \ (m \) на все большие и большие числа, пока не приблизимся к \ (n \ text {.} \) Насколько близко? Что ж, мы хотим быть уверены, что если мы умножим \ (m \) на следующее большее целое число, мы перейдем к \ (n \ text {.} \)

Например, давайте попробуем это решить, будет ли \ (1642 \ mid 136299 \ text {.} \) Начинать поиск кратных 1642:

\ begin {уравнение *} 1642 \ cdot 2 = 3284 \ qquad 1642 \ cdot 3 = 4926 \ qquad 1642 \ cdot 4 = 6568 \ qquad \ cdots \ text {.} \ end {уравнение *}

Все они намного меньше 136299.Думаю, мы можем немного забежать вперед:

\ begin {уравнение *} 1642 \ cdot 50 = 82100 \ qquad 1642 \ cdot 80 = 131360 \ qquad 1642 \ cdot 85 = 139570 \ text {.} \ end {уравнение *}

А, значит, нам нужно искать где-то между 80 и 85. Попробуйте 83:

\ begin {уравнение *} 1642 \ cdot 83 = 136286 \ текст {.} \ end {уравнение *}

Это лучшее, что мы можем сделать? Насколько мы далеки от желаемого 136299? Если мы вычтем, мы получим \ (136299 — 136286 = 13 \ text {.} \). Итак, мы знаем, что не можем подняться до 84, это будет слишком много.Другими словами, мы обнаружили, что

\ begin {уравнение *} 136299 = 83 \ cdot 1642 + 13 \ text {.} \ end {уравнение *}

Так как \ (13 \ lt 1642 \ text {,} \) теперь мы можем с уверенностью сказать, что \ (1642 \ nmid 136299 \ text {.} \)

Оказывается, процесс, который мы прошли выше, можно повторить для любой пары чисел. Мы всегда можем записать число \ (a \) как некоторое кратное числу \ (b \) плюс некоторый остаток. Мы знаем это, потому что знаем о дивизии с остатком из начальной школы.Это просто способ выразить это с помощью умножения. Из-за процедурного характера, который можно использовать для нахождения остатка, этот факт обычно называют алгоритмом деления :

Алгоритм деления.

Для любых двух целых чисел \ (a \) и \ (b \ text {,} \) мы всегда можем найти целое число \ (q \) такое, что

\ begin {уравнение *} а = qb + r \ end {уравнение *}

, где \ (r \) — целое число, удовлетворяющее \ (0 \ le r \ lt | b | \)

Идея состоит в том, что мы всегда можем взять достаточно большое число, кратное \ (b \), чтобы остаток \ ( г \) как можно меньше.Мы допускаем возможность \ (r = 0 \ text {,} \), и в этом случае мы имеем \ (b \ mid a \ text {.} \)

Подраздел Остальные классы

Алгоритм деления сообщает нам, что при делении на \ (b \ text {.} \) Возможны только \ (b \) остатки. Если мы исправим этот делитель, мы сможем сгруппировать целые числа по остатку. Каждая группа называется классом остатка по модулю \ (b \) (или иногда классом остатка ).

Пример 5.2.2.

Опишите классы остатка по модулю \ (5 \ text {.} \)

Мы хотим классифицировать числа по тому, каким будет их остаток при делении на \ (5 \ text {.} \) Из алгоритма деления мы знаем, что будет ровно 5 классов остатка, потому что есть только 5 вариантов того, что \ ( r \) может быть (\ (0 \ le r \ lt 5 \)).

Сначала рассмотрим \ (r = 0 \ text {.} \) Здесь мы ищем все числа, делящиеся на \ (5 \), поскольку \ (a = 5q + 0 \ text {.} \) Другими словами, кратные 5. Получаем бесконечное множество

\ begin {уравнение *} \ {\ ldots, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, \ ldots \} \ text {.} \ end {уравнение *}

Обратите внимание, что мы также включаем отрицательные целые числа.

Затем рассмотрим \ (r = 1 \ text {.} \) Какие целые числа при делении на 5 дают остаток 1? Ну, конечно, 1, делает, как 6, и 11. Отрицательные? Здесь мы должны быть осторожны: \ (- 6 \) НЕ имеет остатка 1. Мы можем написать \ (- 6 = -2 \ cdot 5 + 4 \) или \ (- 6 = -1 \ cdot 5 — 1 \ text {,} \), но только один из них является «правильным» примером алгоритма деления: \ (r = 4 \), поскольку нам нужно, чтобы \ (r \) было неотрицательным. Фактически, чтобы получить \ (r = 1 \ text {,} \), мы должны иметь \ (- 4 \ text {,} \) или \ (- 9 \ text {,} \) и т. Д.Таким образом мы получаем остаток класса

\ begin {уравнение *} \ {\ ldots, -14, -9, -4, 1, 6, 11, 16, 21, \ ldots \} \ text {.} \ end {уравнение *}

Осталось еще три. Остальные классы для \ (2 \ text {,} \) \ (3 \ text {,} \) и \ (4 \) составляют, соответственно,

\ begin {уравнение *} \ {\ ldots, -13, -8, -3, 2, 7, 12, 17, 22, \ ldots \} \ end {уравнение *}

\ begin {уравнение *} \ {\ ldots, -12, -7, -2, 3, 8, 13, 18, 23, \ ldots \} \ end {уравнение *}

\ begin {уравнение *} \ {\ ldots, -11, -6, -1, 4, 9, 14, 19, 24, \ ldots \} \ text {.} \ end {уравнение *}

Обратите внимание, что в приведенном выше примере каждое целое число находится ровно в одном классе остатка. Технический способ сказать это так: классы остатка по модулю \ (b \) образуют разбиение целых чисел. ¹ Самым важным фактом о разделах является то, что из раздела можно определить отношение эквивалентности : это отношение между парами чисел, которое действует во всех важных аспектах, например, в отношении «равных». ²

Можно разработать математическую теорию разбиений, доказать утверждения обо всех разбиениях в целом, а затем применить эти наблюдения к нашему случаю.

Опять же, существует математическая теория отношений эквивалентности, которая применима во многих других случаях, чем тот, который мы рассматриваем здесь.

Если отбросить забавный технический язык, идея действительно проста. Если два числа принадлежат одному и тому же классу остатка, то в каком-то смысле они совпадают.То есть они одинаковые до деления на \ (b \) . В случае, когда \ (b = 5 \) выше, числа \ (8 \) и \ (23 \ text {,} \), хотя и не одно и то же число, одинаковы, когда дело доходит до деления на 5, потому что оба есть остаток \ (3 \ text {.} \)

Имеет значение, что такое делитель: \ (8 \) и \ (23 \) одинаковы до деления на \ (5 \ text {,} \), но не до деления на \ (7 \ text {,} \), поскольку остаток \ (8 \) при делении на 7 равен 1, а остаток 23 — 2.

Имея все это в виду, введем некоторые обозначения.Мы хотим сказать, что \ (8 \) и 23 в основном одинаковы, хотя они и не равны. Было бы неправильно сказать \ (8 = 23 \ text {.} \) Вместо этого мы пишем \ (8 \ Equiv 23 \ text {.} \). Но это не всегда так. Это работает, если мы думаем о делении на 5, поэтому нам нужно как-то обозначить это. На самом деле мы напишем следующее:

\ begin {уравнение *} 8 \ эквив 23 \ pmod {5} \ end {уравнение *}

, который читается как «8 конгруэнтно 23 по модулю 5» (или просто «по модулю 5»). Конечно, тогда мы могли наблюдать, что

\ begin {уравнение *} 8 \ not \ эквив 23 \ pmod {7} \ text {.} \ end {уравнение *}

Конгруэнтность по модулю \ (n \).

Мы говорим, что \ (a \) конгруэнтно \ (b \) по модулю \ (n \) , и пишем

\ begin {уравнение *} а \ эквив б \ pmod {п} \ end {уравнение *}

при условии, что \ (a \) и \ (b \) имеют одинаковый остаток при делении на \ (n \ text {.} \) Другими словами, если \ (a \) и \ (b \) принадлежат одному и тому же класс остатка по модулю \ (n \ text {.} \)

Во многих книгах сравнение по модулю \ (n \) определяется несколько иначе. Они говорят, что \ (a \ Equiv b \ pmod {n} \) тогда и только тогда, когда \ (n \ mid a-b \ text {.} \) Другими словами, два числа конгруэнтны по модулю \ (n \ text {,} \), если их разница кратна \ (n \ text {.} \). Итак, какое определение является правильным? Оказывается, это не имеет значения: они равнозначны.

Чтобы понять, почему, рассмотрим два числа \ (a \) и \ (b \), которые конгруэнтны по модулю \ (n \ text {.} \). Тогда \ (a \) и \ (b \) имеют одинаковый остаток, когда делится на \ (n \ text {.} \) У нас

\ begin {уравнение *} a = q_1 n + r \ qquad \ qquad b = q_2 n + r \ text {.} \ end {уравнение *}

Здесь два \ (r \) действительно совпадают.Посмотрим, что мы получим, если возьмем разницу между \ (a \) и \ (b \ text {:} \)

\ begin {уравнение *} a-b = q_1n + r — (q_2n + r) = q_1n — q_2 n = (q_1-q_2) n \ text {.} \ end {уравнение *}

Итак, \ (a-b \) кратно \ (n \ text {,} \) или, что эквивалентно, \ (n \ mid a-b \ text {.} \)

С другой стороны, если мы сначала предположим, что \ (n \ mid ab \ text {,} \) so \ (ab = kn \ text {,} \), то рассмотрим, что произойдет, если мы разделим каждый член на \ (n \ text {.} \) При делении \ (a \) на \ (n \) останется некоторый остаток, как и при делении \ (b \) на \ (n \ text {.} \) Однако деление \ (kn \) на \ (n \) оставит 0 остатка. Таким образом, остатки в левой части должны уравняться. То есть остатки должны быть такими же.

Таким образом имеем:

Конгруэнтность и делимость.

Для любых целых чисел \ (a \ text {,} \) \ (b \ text {,} \) и \ (n \ text {,} \) имеем

\ begin {уравнение *} a \ Equiv b \ pmod {n} \ qquad \ mbox {тогда и только тогда, когда} \ qquad n \ mid a-b \ text {.} \ end {уравнение *}

Также будет полезно переключаться между сравнениями и регулярными уравнениями.Приведенный выше факт помогает в этом. Мы знаем, что \ (a \ Equiv b \ pmod {n} \) тогда и только тогда, когда \ (n \ mid ab \ text {,} \) тогда и только тогда, когда \ (ab = kn \) для некоторого целого числа \ (k \ text {.} \) Переставляя это уравнение, мы получаем \ (a = b + kn \ text {.} \) Другими словами, если \ (a \) и \ (b \) конгруэнтны по модулю \ (n \ text {,} \), то \ (a \) на \ (b \) больше, чем некоторое кратное \ (n \ text {.} \). Это согласуется с нашим предыдущим наблюдением, что все числа в конкретном классе остатка являются такое же количество больше, чем кратное \ (n \ text {.} \)

Конгруэнтность и равенство.

Для любых целых чисел \ (a \ text {,} \) \ (b \ text {,} \) и \ (n \ text {,} \) имеем

\ begin {уравнение *} a \ Equiv b \ pmod {n} \ qquad \ mbox {тогда и только тогда, когда} \ qquad a = b + kn \ mbox {для некоторого целого числа} k \ text {.} \ end {уравнение *}

Подраздел Свойства сравнения

Ранее мы говорили, что сравнение по модулю \ (n \) во многих важных отношениях ведет себя так же, как и равенство. В частности, мы могли бы доказать, что сравнение по модулю \ (n \) является отношением эквивалентности , что потребует проверки следующих трех фактов:

Конгруэнтность по модулю \ (n \) является отношением эквивалентности.

Для любых целых чисел \ (a \ text {,} \) \ (b \ text {,} \) и \ (c \ text {,} \) и любого положительного целого числа \ (n \ text {,} \) следующий трюм:

1. \ (а \ эквивалент а \ pmod {n} \ text {.} \)

2. Если \ (a \ Equiv b \ pmod {n} \), то \ (b \ Equiv a \ pmod {n} \ text {.} \)

3. Если \ (a \ Equiv b \ pmod {n} \) и \ (b \ Equiv c \ pmod {n} \ text {,} \), то \ (a \ Equiv c \ pmod {n} \ text { .} \)

Другими словами, сравнение по модулю \ (n \) рефлексивно, симметрично и транзитивно, как и отношение эквивалентности.

Вы должны потратить минуту, чтобы убедиться, что каждое из вышеперечисленных свойств действительно соответствует друг другу. Попробуйте объяснить каждый из них, используя определения как остатка, так и делимости.

Затем рассмотрим, как ведет себя конгруэнтность при выполнении базовой арифметики. Мы уже знаем, что если вы вычесть два конгруэнтных числа, результат будет конгруэнтен 0 (кратен \ (n \)). Что, если мы добавим что-то, совпадающее с 1, к чему-то, совпадающему с 2? Получим ли мы что-нибудь, соответствующее трем?

Сравнение и арифметика.

Предположим, что \ (a \ Equiv b \ pmod {n} \) и \ (c \ Equiv d \ pmod {n} \ text {.} \), Тогда выполняется следующее:

1. \ (a + c \ Equiv b + d \ pmod {n} \ text {.} \)
2. \ (а-с \ эквив б-г \ pmod {n} \ text {.} \)
3. \ (ac \ Equiv bd \ pmod {n} \ text {.} \)

Приведенные выше факты могут быть написаны немного странно, но идея проста. Если у нас есть истинное совпадение, и мы добавляем одно и то же к обеим сторонам, результатом все равно будет истинное совпадение. Похоже, мы говорим:

Если \ (a \ Equiv b \ pmod {n} \), то \ (a + c \ Equiv b + c \ pmod {n} \ text {.} \)

Конечно, это также верно, это частный случай, когда \ (c = d \ text {.} \). Но то, что у нас есть, работает в более общем смысле. Думайте о конгруэнтности как о «практически равном». Если у нас есть два числа, которые в основном равны, и мы прибавляем одно и то же к обеим сторонам, результат будет в основном одинаковым.

Это кажется разумным. Это правда? Докажем первый факт:

Доказательство.

Предположим, что \ (a \ Equiv b \ pmod {n} \) и \ (c \ Equiv d \ pmod {n} \ text {.} \) Это означает \ (a = b + kn \) и \ (c = d + jn \) для целых чисел \ (k \) и \ (j \ text {.} \). Добавьте эти уравнения:

\ begin {уравнение *} a + c = b + d + kn + jn \ text {.} \ end {уравнение *}

Но \ (kn + jn = (k + j) n \ text {,} \), которое просто кратно \ (n \ text {.} \) Итак \ (a + c = b + d + (j + k) n \ text {,} \) или, другими словами, \ (a + c \ Equiv b + d \ pmod {n} \)

Два других факта можно доказать аналогичным образом.

Одним из важных следствий этих фактов о сравнениях является то, что мы можем в принципе заменить любое число в сравнении любым другим числом, с которым оно конгруэнтно.Вот несколько примеров, чтобы увидеть, как (и почему) это работает:

Пример 5.2.3.

Найдите остаток от деления \ (3491 \) на \ (9 \ text {.} \)

Мы можем делать деление в длину, но есть другой способ. Мы хотим найти \ (x \) такой, что \ (x \ Equiv 3491 \ pmod {9} \ text {.} \) Теперь \ (3491 = 3000 + 400 + 90 + 1 \ text {.} \) Конечно \ (90 \ Equiv 0 \ pmod 9 \ text {,} \), поэтому мы можем заменить 90 в сумме на 0. Почему это нормально? Фактически мы вычитаем «одно и то же» с обеих сторон:

\ begin {уравнение *} \ begin {align} x \ amp \ эквив 3000 + 400 + 90 + 1 \ pmod 9 \\ — ~~ 0 \ amp \ экв 90 \ pmod 9 \\ х \ amp \ эквив 3000 + 400 + 0 + 1 \ pmod 9.\ end {выровнен} \ end {уравнение *}

Затем обратите внимание, что \ (400 = 4 \ cdot 100 \ text {,} \) и \ (100 \ Equiv 1 \ pmod 9 \) (начиная с \ (9 \ mid 99 \)). Таким образом, мы можем фактически заменить 400 на просто 4. Мы снова апеллируем к нашему утверждению, что мы можем заменять конгруэнтные элементы, но на самом деле мы обращаемся к свойству 3 об арифметике сравнения: мы знаем \ (100 \ эквив 1 \ pmod {9} \ text {,} \), поэтому, если мы умножим обе стороны на \ (4 \ text {,} \), мы получим \ (400 \ Equiv 4 \ pmod 9 \ text {.} \)

Точно так же мы можем заменить 3000 на 3, поскольку \ (1000 = 1 + 999 \ эквив 1 \ pmod 9 \ text {.} \) Таким образом, наше исходное сравнение становится

\ begin {уравнение *} х \ эквив 3 + 4 + 0 + 1 \ pmod 9 \ end {уравнение *}

\ begin {уравнение *} х \ эквивалент 8 \ pmod 9 \ текст {.} \ end {уравнение *}

Следовательно, \ (3491 \), деленное на 9, имеет остаток 8.

Приведенный выше пример должен убедить вас, что хорошо известный тест делимости числа 9 верен: сумма цифр числа делится на 9 тогда и только тогда, когда исходное число делится на 9. Фактически, теперь мы знаем кое-что еще. : любое число конгруэнтно сумме его цифр по модулю 9.p \ pmod n \ text {.} \) Это просто применение свойства 3 несколько раз.

До сих пор мы видели, как складывать, вычитать и умножать с помощью сравнений. А как насчет разделения? Есть причина, по которой мы ждали, чтобы обсудить это. Оказывается, просто разделить нельзя. Другими словами, даже если \ (ad \ Equiv bd \ pmod n \ text {,} \) мы не знаем, что \ (a \ Equiv b \ pmod n \ text {.} \) Рассмотрим, например:

\ begin {уравнение *} 18 \ экви 42 \ pmod 8 \ текст {.} \ end {уравнение *}

Это правда.Теперь \ (18 \) и \ (42 \) делятся на 6. Однако

\ begin {уравнение *} 3 \ not \ Equiv 7 \ pmod 8 \ text {.} \ end {уравнение *}

Хотя это не работает, обратите внимание, что \ (3 \ Equiv 7 \ pmod 4 \ text {.} \) Мы не можем разделить \ (8 \) на 6, но мы можем разделить 8 на наибольший общий делитель \ ( 8 \) и \ (6 \ text {.} \) Всегда ли это будет?

Предположим \ (ad \ Equiv bd \ pmod n \ text {.} \) Другими словами, у нас есть \ (ad = bd + kn \) для некоторого целого числа \ (k \ text {.} \) Конечно \ ( ad \) делится на \ (d \ text {,} \), как и \ (bd \ text {.} \) Итак, \ (kn \) также должно делиться на \ (d \ text {.} \). Если \ (n \) и \ (d \) не имеют общих делителей (кроме 1), то мы должны иметь \ (d \ mid k \ text {.} \) Но в целом, если мы попытаемся разделить \ (kn \) на \ (d \ text {,} \), мы не знаем, что получим целое число кратное \ (n \ text {.} \) Некоторые из \ (n \) также могут разделиться. На всякий случай разделим как можно больше \ (n \). Возьмите наибольший множитель как \ (d \), так и \ (n \ text {,} \) и исключите его из \ (n \ text {.} \) Остальные множители \ (d \) придут из \ (k \ text {,} \) без проблем.

Мы будем называть наибольший делитель как \ (d \), так и \ (n \) \ (\ gcd (d, n) \ text {,} \) для наибольшего общего делителя . В нашем примере выше \ (\ gcd (6,8) = 2 \), поскольку наибольший делитель, общий для 6 и 8, равен 2.

Конгруэнтность и деление.

Предположим, \ (ad \ Equiv bd \ pmod n \ text {.} \) Затем \ (a \ Equiv b \ pmod {\ frac {n} {\ gcd (d, n)}} \ text {.} \)

Если \ (d \) и \ (n \) не имеют общих множителей, то \ (\ gcd (d, n) = 1 \ text {,} \), поэтому \ (a \ Equiv b \ pmod n \ text {. } \)

Пример 5.2.5.

Упростите следующие сравнения с помощью деления: (a) \ (24 \ Equiv 39 \ pmod 5 \) и (b) \ (24 \ Equiv 39 \ pmod {15} \ text {.} \)

(a) И \ (24 \), и \ (39 \) делятся на \ (3 \ text {,} \), а \ (3 \) и \ (5 \) не имеют общих делителей, поэтому получаем

\ begin {уравнение *} 8 \ эквив 13 \ pmod 5 \ текст {.} \ end {уравнение *}

(b) Опять же, мы можем разделить на 3. Однако, делая это вслепую, мы получаем \ (8 \ Equiv 13 \ pmod {15} \), что больше не соответствует действительности. Вместо этого мы также должны разделить модуль 15 на наибольший общий делитель \ (3 \) и \ (15 \ text {,} \), который равен \ (3 \ text {.} \) Снова получаем

\ begin {уравнение *} 8 \ эквив 13 \ pmod 5 \ текст {.} \ end {уравнение *}

Подраздел Решение сравнений

Теперь, когда у нас есть некоторые алгебраические правила для управления отношениями конгруэнции, мы можем попытаться найти неизвестное в конгруэнции. Например, существует ли значение \ (x \), которое удовлетворяет,

\ begin {уравнение *} 3x + 2 \ Equiv 4 \ pmod {5} \ text {,} \ end {уравнение *}

и если да, то что это?

В этом примере, поскольку модуль мал, мы могли бы просто попробовать все возможные значения для \ (x \ text {.} \) На самом деле нужно учитывать только 5, поскольку любое целое число, удовлетворяющее конгруэнтности, можно было бы заменить любым другим целым числом, которое соответствовало бы модулю 5. Здесь, когда \ (x = 4 \), мы получаем \ (3x + 2 = 14 \), что действительно сравнимо с 4 по модулю 5. Это означает, что \ (x = 9 \), \ (x = 14 \) и \ (x = 19 \) и так далее также будут решением, потому что, поскольку мы Как уже было сказано выше, замена любого числа в сравнении на совпадающее не меняет истинности сравнения.

Итак, в этом примере просто вычислите \ (3x + 2 \) для значений \ (x \ in \ {0,1,2,3,4 \} \ text {.} \) Это дает 2, 5, 8, 11 и 14 соответственно, из которых только 14 конгруэнтно 4.

Давайте также посмотрим, как вы можете решить эту проблему, используя наши правила алгебры сравнений. Такой подход был бы намного проще, чем метод проб и ошибок, если бы модуль упругости был больше. Во-первых, мы знаем, что можем вычесть 2 из обеих частей:

\ begin {уравнение *} 3x \ эквив 2 \ pmod {5} \ текст {.} \ end {уравнение *}

Затем, чтобы разделить обе стороны на 3, мы сначала прибавляем 0 к обеим сторонам. Конечно, в правой части мы хотим, чтобы 0 был равен 10 (да, \ (10 ​​\) действительно равен 0, поскольку они конгруэнтны по модулю 5).Это дает

\ begin {уравнение *} 3x \ эквив 12 \ pmod {5} \ текст {.} \ end {уравнение *}

Теперь разделите обе стороны на 3. Так как \ (\ gcd (3,5) = 1 \ text {,} \) нам не нужно изменять модуль:

\ begin {уравнение *} х \ эквив 4 \ pmod {5} \ текст {.} \ end {уравнение *}

Обратите внимание, что это фактически дает общее решение . : не только может \ (x = 4 \ text {,} \), но и \ (x \) может быть любым числом, которое конгруэнтно 4. Мы можем оставить это так. , или напишите «\ (x = 4 + 5k \) для любого целого числа \ (k \ text {.} \) ”

Пример 5.2.6.

Решите следующие сравнения для \ (x \ text {.} \)

1. \ (7x \ Equiv 12 \ pmod {13} \ text {.} \)
2. \ (84x — 38 \ эквив 79 \ pmod {15} \ text {.} \)
3. \ (20x \ Equiv 23 \ pmod {14} \ text {.} \)

1. Все, что нам нужно сделать, это разделить обе части на 7. Мы прибавляем 13 к правой части несколько раз, пока не получим число, кратное 7 (добавление 13 аналогично добавлению 0, поэтому это допустимо). Получаем \ (25 \ text {,} \) \ (38 \ text {,} \) \ (51 \ text {,} \) \ (64 \ text {,} \) \ (77 \) — получили .Итак, имеем:

   \ begin {уравнение *} \ begin {выровненный} 7x \ amp \ эквив 12 \ pmod {13} \\ 7x \ amp \ эквив 77 \ pmod {13} \\ х \ amp \ эквив 11 \ pmod {13}. \ end {выровнен} \ end {уравнение *}

2. Здесь, поскольку у нас есть числа, превышающие модуль, мы можем уменьшить их до применения какой-либо алгебры. Имеем \ (84 \ эквив 9 \ текст {,} \) \ (38 \ эквив 8 \) и \ (79 \ эквив 4 \ текст {.} \) Таким образом,

   \ begin {уравнение *} \ begin {align} 84x — 38 \ amp \ эквив 79 \ pmod {15} \\ 9x — 8 \ amp \ эквив 4 \ pmod {15} \\ 9x \ amp \ эквив 12 \ pmod {15} \\ 9x \ amp \ эквив 72 \ pmod {15}.\ end {выровнен} \ end {уравнение *}

   Мы получили 72, добавив \ (0 \ Equiv 60 \ pmod {15} \) к обеим сторонам сравнения. Теперь разделите обе части на 9. Однако, поскольку \ (\ gcd (9, 15) = 3 \ text {,} \), мы также должны разделить модуль на 3:

   \ begin {уравнение *} х \ экв 8 \ pmod 5 \ текст {.} \ end {уравнение *}

   Итак, решения — это те значения, которые сравнимы с 8 или, что эквивалентно 3, по модулю 5. Это означает, что в некотором смысле есть 3 решения по модулю 15: 3, 8 и 13. Мы можем записать решение:

   \ begin {уравнение *} х \ эквив 3 \ pmod {15}; ~~ х \ экв 8 \ pmod {15}; ~~ х \ эквив 13 \ pmod {15} \ текст {.} \ end {уравнение *}

3. Сначала уменьшите по модулю 14:

   \ begin {уравнение *} 20x \ эквив 23 \ pmod {14} \ end {уравнение *}

   \ begin {уравнение *} 6x \ Equiv 9 \ pmod {14} \ text {.} \ end {уравнение *}

   Теперь мы можем разделить обе стороны на 3 или попытаться увеличить 9 на 14, чтобы получить число, кратное 6. Если мы разделим на 3, мы получим

   \ begin {уравнение *} 2x \ Equiv 3 \ pmod {14} \ text {.} \ end {уравнение *}

   Теперь попробуйте сложить число, кратное 14, к 3, в надежде получить число, которое мы можем разделить на 2.Это не будет работать! Каждый раз, когда мы добавляем 14 к правой части, результат все равно будет нечетным. Мы никогда не получим четное число, поэтому мы никогда не сможем разделить его на 2. Таким образом, у сравнения нет решений.

Последнее сравнение выше иллюстрирует то, как сравнения могут не иметь решений. Фактически, мы могли это сразу увидеть. Посмотрите на исходное сравнение:

\ begin {уравнение *} 20x \ эквивалент 23 \ pmod {14} \ text {.} \ end {уравнение *}

Если мы запишем это в виде уравнения, мы получим

\ begin {уравнение *} 20x = 23 + 14k \ text {,} \ end {уравнение *}

или эквивалентно \ (20x — 14k = 23 \ text {.} \) Мы легко видим, что у этого уравнения не будет решения в целых числах. Левая часть всегда будет четной, а правая — нечетной. Аналогичная проблема возникла бы, если бы правая часть делилась на любого числа , которого не было бы в левой части.

Итак, в целом с учетом сравнения

\ begin {уравнение *} ах \ эквивалент б \ pmod {п} \ текст {,} \ end {уравнение *}

, если \ (a \) и \ (n \) делятся на число, на которое \ (b \) не делится, то решений не будет.Фактически, нам действительно нужно проверить только один делитель \ (a \) и \ (n \ text {:} \) наибольший общий делитель. Таким образом, более компактно это сказать:

Конгруэнций без решений.

Если \ (\ gcd (a, n) \ nmid b \ text {,} \), то \ (ax \ Equiv b \ pmod {n} \) не имеет решений.

Подраздел Решение линейных диофантовых уравнений

Дискретная математика имеет дело с целым рядом вещей. Поэтому, когда мы хотим решить уравнения, мы обычно ищем целых решений.2 \ text {.} \) Целочисленные решения этого уравнения называются тройками Пифагора . В общем, решение диофантовых уравнений сложно (на самом деле, очевидно, не существует общего алгоритма для определения того, имеет ли диофантово уравнение решение, результат, известный как теорема Матиясевича). Мы ограничим наше внимание линейными диофантовыми уравнениями, с которыми значительно легче работать.

Диофантовы уравнения.

Уравнение с двумя или более переменными называется диофантовым уравнением , если интерес представляют только целочисленные решения.Линейное диофантово уравнение принимает вид \ (a_1x_1 + a_2x_x + \ cdots + a_nx_n = b \) для констант \ (a_1, \ ldots, a_n, b \ text {.} \)

Решение диофантова уравнения — это решение уравнения, состоящее только из целых чисел.

У нас есть инструменты, необходимые для решения линейных диофантовых уравнений. Рассмотрим в качестве основного примера уравнение

\ begin {уравнение *} 51x + 87y = 123 \ текст {.} \ end {уравнение *}

Общая стратегия состоит в том, чтобы преобразовать уравнение в сравнение, а затем решить это сравнение. ⁴ Давайте рассмотрим этот конкретный пример, чтобы увидеть, как это может происходить.

Это, конечно, не единственный способ продолжить. Более распространенным методом было бы применение алгоритма Евклида . Наш путь может быть немного быстрее и представлен здесь в первую очередь для разнообразия.

Во-первых, проверьте, возможно, нет решений, потому что делитель \ (51 \) и \ (87 \) не является делителем \ (123 \ text {.} \). На самом деле, нам просто нужно проверить, \ ( \ gcd (51, 87) \ середина 123 \ текст {.} \) Этот наибольший общий делитель равен 3, и да \ (3 \ mid 123 \ text {.} \) На этом этапе мы могли бы также вычесть этот наибольший общий делитель. Вместо этого мы решаем:

\ begin {уравнение *} 17x + 29y = 41 \ текст {.} \ end {уравнение *}

Теперь заметьте, что если будут решения, то для этих значений \ (x \) и \ (y \ text {,} \) две стороны уравнения должны иметь одинаковый остаток друг от друга, независимо от на что мы делим. В частности, если мы разделим обе части на 17, мы должны получить тот же остаток.Таким образом, мы можем смело писать

\ begin {уравнение *} 17x + 29y \ эквив 41 \ pmod {17} \ text {.} \ end {уравнение *}

Мы выбрали 17, потому что \ (17x \) будет иметь остаток 0. Это позволит нам уменьшить сравнение до одной переменной. Мы также могли бы перейти к сравнению по модулю 29, хотя обычно есть веская причина выбрать меньший вариант, так как это позволит нам уменьшить другой коэффициент. В нашем случае мы сокращаем сравнение следующим образом:

\ begin {уравнение *} \ begin {align} 17x + 29y \ amp \ Equiv 41 \ pmod {17} \\ 0x + 12y \ amp \ эквив 7 \ pmod {17} \\ 12 лет \ amp \ эквив 24 \ pmod {17} \\ у \ amp \ эквив 2 \ pmod {17}.\ end {выровнен} \ end {уравнение *}

Теперь мы знаем, что \ (y = 2 + 17k \) будет работать для любого целого числа \ (k \ text {.} \). Если мы не ошиблись, мы сможем снова подключить это к нашему исходное диофантово уравнение, чтобы найти \ (x \ text {:} \)

\ begin {уравнение *} \ begin {align} 17x + 29 (2 + 17k) \ amp = 41 \\ 17x \ amp = -17 — 29 \ cdot 17k \\ х \ amp = -1-29к. \ end {выровнен} \ end {уравнение *}

Мы нашли все решения диофантова уравнения. Для каждого \ (k \ text {,} \) \ (x = -1-29k \) и \ (y = 2 + 17k \) будут удовлетворять уравнению.Мы можем проверить это в нескольких случаях. Если \ (k = 0 \ text {,} \), решением будет \ ((- 1,2) \ text {,} \) и да, \ (- 17 + 2 \ cdot 29 = 41 \ text {.} \) Если \ (k = 3 \ text {,} \), решение будет \ ((- 88, 53) \ text {.} \) Если \ (k = -2 \ text {,} \), мы получим \ ((57, -32) \ text {.} \)

Подводя итог этому процессу, для решения \ (ax + by = c \ text {,} \) мы,

1. Разделите обе части уравнения на \ (\ gcd (a, b) \) (если при этом правая часть не останется целым числом, решений нет). Предположим, что \ (ax + by = c \) уже уменьшено таким образом.

2. Выберите меньшее из \ (a \) и \ (b \) (здесь предположим, что это \ (b \)), и преобразуйте его в сравнение по модулю \ (b \ text {:} \)

   \ begin {уравнение *} ax + автор \ Equiv c \ pmod {b} \ text {.} \ end {уравнение *}

   Это сведется к конгруэнтности с одной переменной, \ (x \ text {:} \)

   \ begin {уравнение *} ах \ эквив с \ pmod {б} \ текст {.} \ end {уравнение *}

3. Решите сравнение, как мы делали в предыдущем разделе. Запишите решение в виде уравнения, например,

   \ begin {уравнение *} х = п + кб \ текст {.} \ end {уравнение *}

4. Вставьте это в исходное диофантово уравнение и решите относительно \ (y \ text {.} \)

5. Если мы хотим узнать решения в определенном диапазоне (например, \ (0 \ le x, y \ le 20 \)), выбирайте разные значения \ (k \), пока не получите все необходимые решения.

Вот еще пример:

Пример 5.2.7.

Как можно заработать 6,37 доллара, используя только 5-центовые и 8-центовые марки? Какое наименьшее и наибольшее количество марок вы могли бы использовать?

Во-первых, нам нужно диофантово уравнение.Мы будем работать в центах. Пусть \ (x \) — количество марок с ценой \ (5 \), а \ (y \) — количество марок по 8 центов. У нас:

\ begin {уравнение *} 5x + 8y = 637 \ текст {.} \ end {уравнение *}

Преобразуйте в сравнение и решите:

\ begin {уравнение *} \ begin {align} 8y \ amp \ Equiv 367 \ pmod {5} \\ 3у \ amp \ эквив 2 \ pmod 5 \\ 3у \ amp \ эквив 12 \ pmod 5 \\ у \ amp \ эквив 4 \ pmod 5. \ end {выровнен} \ end {уравнение *}

Таким образом \ (y = 4 + 5k \ text {.} \) Тогда \ (5x + 8 (4 + 5k) = 637 \ text {,} \), поэтому \ (x = 121 — 8k \ text {.} \)

Здесь говорится, что один из способов заработать 6,37 доллара — это взять 121 из 5-центовых марок и 4 из 8-центовых марок. Чтобы найти наименьшее и наибольшее количество штампов, попробуйте разные значения \ (k \ text {.} \)

Это неудивительно.Наличие наибольшего количества марок означает, что у нас есть как можно больше 5-центовых марок, а для получения наименьшего количества марок потребуется наименьшее количество 5-центовых марок. Чтобы минимизировать количество 5-центовых марок, мы хотим выбрать \ (k \) так, чтобы \ (121-8k \) было как можно меньше (но все равно положительным). Когда \ (k = 15 \ text {,} \) имеем \ (x = 1 \) и \ (y = 79 \ text {.} \)

Следовательно, чтобы заработать 6,37 доллара, вы можете использовать всего 80 марок (1 5-центовая марка и 79 8-центовых марок) или целых 125 марок (121 5-центовая и 4 8-центовых).

Используя этот метод, если вы можете решать линейные сравнения с одной переменной, вы можете решать линейные диофантовы уравнения с двумя переменными. Однако бывают случаи, когда решение линейного сравнения — это большая работа. Например, предположим, что вам нужно решить:

\ begin {уравнение *} 13x \ Equiv 6 \ pmod {51} \ text {.} \ end {уравнение *}

Вы, , могли бы продолжать прибавлять 51 к правой части, пока не получите кратное 13: вы получите 57, 108, 159, 210, 261, 312, а 312 — первое из них, которое делится на 13.Это работает, но на самом деле это слишком много. Вместо этого мы могли бы преобразовать обратно в диофантово уравнение:

\ begin {уравнение *} 13x = 6 + 51k \ text {.} \ end {уравнение *}

Теперь решите , это , как в этом разделе. Запишите это как сравнение по модулю 13:

\ begin {уравнение *} \ begin {align} 0 \ amp \ эквив 6 + 51k \ pmod {13} \\ -12k \ amp \ эквив 6 \ pmod {13} \\ 2к \ amp \ эквив -1 \ pmod {13} \\ 2к \ amp \ эквив 12 \ pmod {13} \\ к \ amp \ эквив 6 \ pmod {13}. \ end {выровнен} \ end {уравнение *}

так что \ (k = 6 + 13j \ text {.} \) Теперь вернитесь и найдите \ (x \ text {:} \)

\ begin {уравнение *} \ begin {align} 13x \ amp = 6 + 51 (6 + 13j) \\ х \ amp = 24 + 51j. \ end {выровнен} \ end {уравнение *}

Конечно, вы можете переключаться между сравнениями и диофантовыми уравнениями столько раз, сколько захотите. Если бы вы только использовали эту технику, вы бы по сути скопировали алгоритм Евклида, более стандартный способ решения диофантовых уравнений.

Упражнения Упражнения

1.

Предположим, что \ (a \ text {,} \) \ (b \ text {,} \) и \ (c \) — целые числа. Докажите, что если \ (a \ mid b \ text {,} \), то \ (a \ mid bc \ text {.} \)

Доказательство.

Предположим, \ (a \ mid b \ text {.} \) Тогда \ (b \) кратно \ (a \ text {,} \) или, другими словами, \ (b = ak \) для некоторого \ (k \ text {.} \) Но тогда \ (bc = akc \ text {,} \) и поскольку \ (kc \) является целым числом, это означает, что \ (bc \) кратно \ (a \ text {.} \) Другими словами, \ (a \ mid bc \ text {.} \)

2.

Предположим, что \ (a \ text {,} \) \ (b \ text {,} \) и \ (c \) — целые числа.Докажите, что если \ (a \ mid b \) и \ (a \ mid c \), то \ (a \ mid b + c \) и \ (a \ mid b-c \ text {.} \)

3.

Запишите оставшиеся классы для \ (n = 4 \ text {.} \)

\ (\ {\ ldots, -8, -4, 0, 4, 8, 12, \ ldots \} \ text {,} \) \ (\ {\ ldots, -7, -3, 1, 5, 9, 13, \ ldots \} \ text {,} \)

\ (\ {\ ldots, -6, -2, 2, 6, 10, 14, \ ldots \} \ text {,} \) и \ (\ {\ ldots, -5, -1, 3, 7 , 11, 15, \ ldots \} \ text {.} \)

4.

Какой самый большой \ (n \) такой, что \ (16 \) и \ (25 \) находятся в одном классе остатка по модулю \ (n \ text {?} \). Запишите остаточный класс, к которому они оба принадлежат, и приведите пример числа более 100 в этом классе.

5.

Пусть \ (a \ text {,} \) \ (b \ text {,} \) \ (c \ text {,} \) и \ (n \) будут целыми числами. Докажите, что если \ (a \ Equiv b \ pmod {n} \) и \ (c \ Equiv d \ pmod {n} \ text {,} \), то \ (ac \ Equiv bd \ pmod {n} \ text { .} \)

Доказательство.

Предположим, \ (a \ Equiv b \ pmod n \) и \ (c \ Equiv d \ pmod n \ text {.} \). Это означает \ (a = b + kn \) и \ (c = d + jn \ ) для некоторых целых чисел \ (k \) и \ (j \ text {.} \) Рассмотрим \ (ac \ text {.} \) Имеем:

\ begin {уравнение *} а-с = Ь + кн — (д + jn) = Ь-д + (к-j) п \ текст {.2 \ Equiv 2 \ pmod 4 \ text {.} \) Решение

Для всего этого просто вставьте все целые числа от 0 до модуля, чтобы увидеть, какие из них работают.

1. Нет решений.

2. \ (x = 2 \ text {,} \) \ (x = 5 \ text {,} \) \ (x = 8 \ text {.} \)

3. Нет решений.

9.

Определите, какие из следующих сравнений имеют решения, и найдите любые решения (от 0 до модуля) методом проб и ошибок.

1. \ (4x \ эквив 5 \ pmod 7 \ text {.2 \ Equiv 2 \ pmod 7 \ text {.} \)

10.

Решите следующее сравнение \ (5x + 8 \ Equiv 11 \ pmod {22} \ text {.} \), То есть опишите общее решение.

\ (x = 5 + 22k \) для \ (k \ in \ Z \ text {.} \)

11.

Решите сравнение: \ (6x \ Equiv 4 \ pmod {10} \ text {.} \)

12.

Решите сравнение: \ (4x \ Equiv 24 \ pmod {30} \ text {.} \)

\ (x = 6 + 15k \) для \ (k \ in \ Z \ text {.} \)

13,

Решите сравнение: \ (341x \ Equiv 2941 \ pmod {9} \ text {.} \)

Сначала уменьшите каждое число по модулю 9, что можно сделать, сложив цифры чисел.

14.

Я думаю о числе. Если вы умножите мое число на 7, прибавите 5 и разделите результат на 11, у вас останется остаток 2. Какой остаток вы получите, если разделите мое исходное число на 11?

Мы должны решить \ (7x + 5 \ Equiv 2 \ pmod {11} \ text {.} \). Это дает \ (x \ Equiv 9 \ pmod {11} \ text {.} \) В общем, \ ( x = 9 + 11k \ text {,} \), но когда вы разделите любой такой \ (x \) на 11, остаток будет равен 9.

15.

Решите следующее линейное диофантово уравнение, используя модульную арифметику (опишите общие решения).

\ begin {уравнение *} 6x + 10y = 32 \ текст {.} \ end {уравнение *}

Разделить на 2: \ (3x + 5y = 16 \ text {.} \) Преобразовать в сравнение по модулю 3: \ (5y \ Equiv 16 \ pmod 3 \ text {,} \), которое сводится к \ ( 2y \ Equiv 1 \ pmod 3 \ text {.} \) Итак \ (y \ Equiv 2 \ pmod 3 \) или \ (y = 2 + 3k \ text {.} \) Вставьте это обратно в \ (3x + 5y = 16 \) и решите для \ (x \ text {,} \), чтобы получить \ (x = 2-5k \ text {.} \) Таким образом, общее решение — \ (x = 2-5k \) и \ (y = 2 + 3k \) для \ (k \ in \ Z \ text {.} \)

16.

Решите следующее линейное диофантово уравнение, используя модульную арифметику (опишите общие решения).

\ begin {уравнение *} 17x + 8y = 31 \ текст {.} \ end {уравнение *}

17.

Решите следующее линейное диофантово уравнение, используя модульную арифметику (опишите общие решения).

\ begin {уравнение *} 35x + 47y = 1 \ текст {.} \ end {уравнение *}

18.

У вас есть 13 унций. бутылка и 20 унций. бутылка, с которой вы хотите отмерить ровно 2 унции. Однако у вас ограниченный запас воды. Если какая-либо вода попадет в любую бутылку, а затем вылита, она исчезнет навсегда. Какое наименьшее количество воды вы можете начать и при этом завершить задачу?

Решите диофантово уравнение \ (13x + 20 y = 2 \) (почему?). Затем рассмотрим, какое значение \ (k \) (параметр в решении) является оптимальным.