Тест по геометрии 10 класс на тему «Введение в стереометрию»
Тест № 1
1 вариант
1. Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются ______________________
____________________________________________________________________________
2. Основные фигуры в пространстве — ___________________________________________
_____________________________________________________________________________
3. Установите соответствие между фигурами в пространстве и их обозначениями.
1) Точка а) α, β, γ
2) Прямая б) А, В, М
3) Плоскость в) а, b, АВ
Ответ: ___________________________________
4. Основные свойства точек, прямых и плоскостей выражены в ______________________
_____________________________________________________________________________
5. Дополните формулировку аксиомы А1: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, ______________________________________________________________________
6. Дополните формулировку аксиомы А2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то __
_____________________________________________________________________________7. Дополните формулировку аксиомы А3: Если две плоскости имеют общую точку, _____
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
8. Любые три точки лежат в одной плоскости.
1) Утверждение не верно.
2) Утверждение верно.
3) Утверждение верно не всегда.
9. Верно ли, что на любой плоскости справедливы все теоремы планиметрии?
1) Нет 2) Да 3) Не знаю
10. Могут ли две плоскости иметь ровно две общие точки?
1) Нет 2) Да 3) Иногда
11. Если прямая пересекает две стороны треугольника в точках, отличных от его вершин, то она лежит в плоскости данного треугольника.
1) Утверждение не верно.
2) Утверждение верно.
3) Утверждение верно не всегда.
Тест № 1
2 вариант
1. Стереометрия изучает________________________________ ______________________
____________________________________________________________________________
2. Перечислите все основные фигуры в пространстве — _____________________________
_____________________________________________________________________________
3. Точки обозначаются ________________________________________________________, прямые обозначаются _________________________________________________________, плоскости обозначаются _______________________________________________________
4. Для выражения основных свойств взаимного расположения точек, прямых и плоскостей служат ________________________________________________ ______________________
5. Дополните формулировку аксиомы А1: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, ______________________________________________________________________
6. Дополните формулировку аксиомы А2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то __
_____________________________________________________________________________7. Дополните формулировку аксиомы А3: Если две плоскости имеют общую точку, _____
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
8. Любые четыре точки не лежат в одной плоскости.
1) Утверждение не верно.
2) Утверждение верно.
3) Утверждение верно не всегда.
9. Могут ли две различные плоскости иметь ровно три общие точки?
1) Нет 2) Да 3) Не знаю
10. Через любые три точки проходит плоскость и только одна.
1) Утверждение не верно.
2) Утверждение верно.
3) Истинность утверждения невозможно установить.
11. Верно ли, что через любые три точки проходит плоскость?
1) Нет 2) Да
Контрольная работа по теме «Начальные сведения из стереометрии» (9 класс)
Контрольная работа по теме «Начальные сведения из стереометрии» Вариант 1
1.Основание прямой призмы – параллелограмм со сторонами 7 и 10 см и углом 30º, высота призмы равна 9 см. Найти площадь поверхности и объем призмы.
2.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см, высота 4 см, апофема 5 см. Найти площадь поверхности и объем пирамиды.
3.Найти площадь поверхности и объем цилиндра, радиус которого равен 5 см, высота 9 см.
4.Прямоугольный треугольник с катетами 15 и 8 см вращают вокруг оси, содержащей катет 15 см. Найти площадь поверхности и объем конуса.
5.Найти площадь сферы и объем шара радиуса 9 см.
Контрольная работа по теме «Начальные сведения из стереометрии» Вариант 2
1.Основание прямой призмы – ромб со стороной 12 см и углом 30º, высота призмы равна 7 см. Найти площадь поверхности и объем призмы.
2.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 12 см, высота 8 см, апофема 10 см. Найти площадь поверхности и объем пирамиды.
3.Найти площадь поверхности и объем цилиндра, радиус которого равен 3 см, высота 5 см.
4.Прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5 см вращают вокруг оси, содержащей катет 12 см. Найти
площадь поверхности и объем конуса.
5. Найти площадь сферы и объем шара радиуса 6 см.
Контрольная работа по теме «Начальные сведения из стереометрии» Вариант 1
1.Основание прямой призмы – параллелограмм со сторонами 7 и 10 см и углом 30º, высота призмы равна 9 см. Найти площадь поверхности и объем призмы.
2.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см, высота 4 см, апофема 5 см. Найти площадь поверхности и объем пирамиды.
3.Найти площадь поверхности и объем цилиндра, радиус которого равен 5 см, высота 9 см.
4.Прямоугольный треугольник с катетами 15 и 8 см вращают вокруг оси, содержащей катет 15 см. Найти площадь поверхности и объем конуса.
5.Найти площадь сферы и объем шара радиуса 9 см.
Контрольная работа по теме «Начальные сведения из стереометрии» Вариант 1
1.Основание прямой призмы – параллелограмм со сторонами 7 и 10 см и углом 30º, высота призмы равна 9 см. Найти площадь поверхности и объем призмы.
2.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см, высота 4 см, апофема 5 см. Найти площадь поверхности и объем пирамиды.
3.Найти площадь поверхности и объем цилиндра, радиус которого равен 5 см, высота 9 см.
4.Прямоугольный треугольник с катетами 15 и 8 см вращают вокруг оси, содержащей катет 15 см. Найти площадь поверхности и объем конуса.
5.Найти площадь сферы и объем шара радиуса 9 см.
Контрольная работа по теме «Начальные сведения из стереометрии» Вариант 2
1.Основание прямой призмы – ромб со стороной 12 см и углом 30º, высота призмы равна 7 см. Найти площадь поверхности и объем призмы.
2.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 12 см, высота 8 см, апофема 10 см. Найти площадь поверхности и объем пирамиды.
3.Найти площадь поверхности и объем цилиндра, радиус которого равен 3 см, высота 5 см.
4.Прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5 см вращают вокруг оси, содержащей катет 12 см. Найти
площадь поверхности и объем конуса.
5. Найти площадь сферы и объем шара радиуса 6 см.
Контрольная работа по теме «Начальные сведения из стереометрии» Вариант 2
1.Основание прямой призмы – ромб со стороной 12 см и углом 30º, высота призмы равна 7 см. Найти площадь поверхности и объем призмы.
2.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 12 см, высота 8 см, апофема 10 см. Найти площадь поверхности и объем пирамиды.
3.Найти площадь поверхности и объем цилиндра, радиус которого равен 3 см, высота 5 см.
4.Прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5 см вращают вокруг оси, содержащей катет 12 см. Найти
площадь поверхности и объем конуса.
5. Найти площадь сферы и объем шара радиуса 6 см.
Контрольная работа по теме «Начальные сведения из стереометрии» Вариант 1
1.Основание прямой призмы – параллелограмм со сторонами 7 и 10 см и углом 30º, высота призмы равна 9 см. Найти площадь поверхности и объем призмы.
2.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см, высота 4 см, апофема 5 см. Найти площадь поверхности и объем пирамиды.
3.Найти площадь поверхности и объем цилиндра, радиус которого равен 5 см, высота 9 см.
4.Прямоугольный треугольник с катетами 15 и 8 см вращают вокруг оси, содержащей катет 15 см. Найти площадь поверхности и объем конуса.
5.Найти площадь сферы и объем шара радиуса 9 см.
Контрольная работа по теме «Начальные сведения из стереометрии» Вариант 2
1.Основание прямой призмы – ромб со стороной 12 см и углом 30º, высота призмы равна 7 см. Найти площадь поверхности и объем призмы.
2.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 12 см, высота 8 см, апофема 10 см. Найти площадь поверхности и объем пирамиды.
3.Найти площадь поверхности и объем цилиндра, радиус которого равен 3 см, высота 5 см.
4.Прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5 см вращают вокруг оси, содержащей катет 12 см. Найти
площадь поверхности и объем конуса.
5. Найти площадь сферы и объем шара радиуса 6 см.
Контрольная работа по теме «Начальные сведения из стереометрии» Вариант 1
1.Основание прямой призмы – параллелограмм со сторонами 7 и 10 см и углом 30º, высота призмы равна 9 см. Найти площадь поверхности и объем призмы.
2.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см, высота 4 см, апофема 5 см. Найти площадь поверхности и объем пирамиды.
3.Найти площадь поверхности и объем цилиндра, радиус которого равен 5 см, высота 9 см.
4.Прямоугольный треугольник с катетами 15 и 8 см вращают вокруг оси, содержащей катет 15 см. Найти площадь поверхности и объем конуса.
5.Найти площадь сферы и объем шара радиуса 9 см.
Контрольная работа по теме «Начальные сведения из стереометрии» Вариант 1
1.Основание прямой призмы – параллелограмм со сторонами 7 и 10 см и углом 30º, высота призмы равна 9 см. Найти площадь поверхности и объем призмы.
2.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см, высота 4 см, апофема 5 см. Найти площадь поверхности и объем пирамиды.
3.Найти площадь поверхности и объем цилиндра, радиус которого равен 5 см, высота 9 см.
4.Прямоугольный треугольник с катетами 15 и 8 см вращают вокруг оси, содержащей катет 15 см. Найти площадь поверхности и объем конуса.
5.Найти площадь сферы и объем шара радиуса 9 см.
Контрольная работа по теме «Начальные сведения из стереометрии» Вариант 2
1.Основание прямой призмы – ромб со стороной 12 см и углом 30º, высота призмы равна 7 см. Найти площадь поверхности и объем призмы.
2.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 12 см, высота 8 см, апофема 10 см. Найти площадь поверхности и объем пирамиды.
3.Найти площадь поверхности и объем цилиндра, радиус которого равен 3 см, высота 5 см.
4.Прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5 см вращают вокруг оси, содержащей катет 12 см. Найти
площадь поверхности и объем конуса.
5. Найти площадь сферы и объем шара радиуса 6 см.
Контрольная работа по теме «Начальные сведения из стереометрии» Вариант 1
1.Основание прямой призмы – параллелограмм со сторонами 7 и 10 см и углом 30º, высота призмы равна 9 см. Найти площадь поверхности и объем призмы.
2.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см, высота 4 см, апофема 5 см. Найти площадь поверхности и объем пирамиды.
3.Найти площадь поверхности и объем цилиндра, радиус которого равен 5 см, высота 9 см.
4.Прямоугольный треугольник с катетами 15 и 8 см вращают вокруг оси, содержащей катет 15 см. Найти площадь поверхности и объем конуса.
5.Найти площадь сферы и объем шара радиуса 9 см.
Контрольная работа по теме «Начальные сведения из стереометрии» Вариант 1
1.Основание прямой призмы – параллелограмм со сторонами 7 и 10 см и углом 30º, высота призмы равна 9 см. Найти площадь поверхности и объем призмы.
2.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см, высота 4 см, апофема 5 см. Найти площадь поверхности и объем пирамиды.
3.Найти площадь поверхности и объем цилиндра, радиус которого равен 5 см, высота 9 см.
4.Прямоугольный треугольник с катетами 15 и 8 см вращают вокруг оси, содержащей катет 15 см. Найти площадь поверхности и объем конуса.
5.Найти площадь сферы и объем шара радиуса 9 см.
Контрольная работа по теме «Начальные сведения из стереометрии» Вариант 2
1.Основание прямой призмы – ромб со стороной 12 см и углом 30º, высота призмы равна 7 см. Найти площадь поверхности и объем призмы.
2.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 12 см, высота 8 см, апофема 10 см. Найти площадь поверхности и объем пирамиды.
3.Найти площадь поверхности и объем цилиндра, радиус которого равен 3 см, высота 5 см.
4.Прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5 см вращают вокруг оси, содержащей катет 12 см. Найти
площадь поверхности и объем конуса.
5. Найти площадь сферы и объем шара радиуса 6 см.
Контрольная работа по теме «Начальные сведения из стереометрии» Вариант 2
1.Основание прямой призмы – ромб со стороной 12 см и углом 30º, высота призмы равна 7 см. Найти площадь поверхности и объем призмы.
2.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 12 см, высота 8 см, апофема 10 см. Найти площадь поверхности и объем пирамиды.
3.Найти площадь поверхности и объем цилиндра, радиус которого равен 3 см, высота 5 см.
4.Прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5 см вращают вокруг оси, содержащей катет 12 см. Найти
площадь поверхности и объем конуса.
5. Найти площадь сферы и объем шара радиуса 6 см.
Контрольная работа по теме «Начальные сведения из стереометрии» Вариант 1
1.Основание прямой призмы – параллелограмм со сторонами 7 и 10 см и углом 30º, высота призмы равна 9 см. Найти площадь поверхности и объем призмы.
2.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см, высота 4 см, апофема 5 см. Найти площадь поверхности и объем пирамиды.
3.Найти площадь поверхности и объем цилиндра, радиус которого равен 5 см, высота 9 см.
4.Прямоугольный треугольник с катетами 15 и 8 см вращают вокруг оси, содержащей катет 15 см. Найти площадь поверхности и объем конуса.
5.Найти площадь сферы и объем шара радиуса 9 см.
Контрольная работа по теме «Начальные сведения из стереометрии» Вариант 2
1.Основание прямой призмы – ромб со стороной 12 см и углом 30º, высота призмы равна 7 см. Найти площадь поверхности и объем призмы.
2.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 12 см, высота 8 см, апофема 10 см. Найти площадь поверхности и объем пирамиды.
3.Найти площадь поверхности и объем цилиндра, радиус которого равен 3 см, высота 5 см.
4.Прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5 см вращают вокруг оси, содержащей катет 12 см. Найти
площадь поверхности и объем конуса.
5. Найти площадь сферы и объем шара радиуса 6 см.
Контрольная работа по теме «Начальные сведения из стереометрии» Вариант 2
1.Основание прямой призмы – ромб со стороной 12 см и углом 30º, высота призмы равна 7 см. Найти площадь поверхности и объем призмы.
2.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 12 см, высота 8 см, апофема 10 см. Найти площадь поверхности и объем пирамиды.
3.Найти площадь поверхности и объем цилиндра, радиус которого равен 3 см, высота 5 см.
4.Прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5 см вращают вокруг оси, содержащей катет 12 см. Найти
площадь поверхности и объем конуса.
5. Найти площадь сферы и объем шара радиуса 6 см.
Контрольная работа тестового типа по геометрии на тему «Геометрия в пространстве» (10 класс)
ИТОГОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ТЕСТОВОГО ТИПА ПО ТЕМЕ «ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ» ( 10 КЛАСС )
№1. Каково взаимное расположение прямых КМ и ЕН? ( рис. 1 )
а) пересекаются; б) параллельны; в) скрещиваются;
г) могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися.
№2. Каково взаимное расположение прямых АD и КМ? ( рис. 1 )
а) пересекаются; б) параллельны; в) скрещиваются;
г) могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися.
№3. Какие из прямых: ВС; СС1; А1D1 скрещиваются с прямой АА1? ( рис. 2 )
а) только ВС; б) только СС1; в) только ВС и СС1; г) только ВС и А1D1;
д) все три прямые: ВС, СС1 и А1D1.
№4. Каково взаимное расположение плоскостей ( АВ1D ) и ( ВСD )? ( рис. 2 )
а) параллельны; б) пересекаются; в) пересекаются или параллельны;
г) ответ отличен от предложенных.
№5. В пространстве даны прямая и точка М вне прямой . Сколько существует
плоскостей, проходящих через точку М и параллельных прямой ?
а) ни одной; б) одна; в) бесконечно много; г) одна или ни одной;
д) бесконечно много или ни одной.
№6. Даны плоскость и точка М вне плоскости . Сколько существует плоскостей,
проходящих через точку М и параллельных плоскости ?
а) ни одной; б) одна; в) бесконечно много; г) одна или ни одной;
д) бесконечно много или ни одной.
№7. Даны две скрещивающиеся прямые и . Сколько существует плоскостей,
проходящих через прямую и параллельных прямой ?
а) ни одной; б) одна; в) бесконечно много; г) одна или ни одной;
д) бесконечно много или ни одной.
№8. Даны две параллельные плоскости и и не лежащая на них точка М. Сколько
существует прямых, проходящих через прямую М и параллельных плоскостям
и ?
а) ни одной; б) одна; в) бесконечно много; г) одна или ни одной;
д) бесконечно много или ни одной.
№9. Даны плоскость и не лежащая на ней прямая . Сколько существует плоскостей,
проходящих через прямую и параллельных плоскости ?
а) ни одной; б) одна; в) бесконечно много; г) одна или ни одной;
д) бесконечно много или одна.
№10. В пространстве даны две параллельные прямые и и не лежащая на них точка М.
Сколько существует плоскостей, проходящих через точку М и параллельных
прямым и ?
а) ни одной; б) одна; в) бесконечно много; г) одна или ни одной;
д) бесконечно много или ни одной.
№11. Известно, что прямая пересекает плоскость , а плоскость параллельна
плоскости . Каково взаимное расположение прямой и плоскости ?
а) обязательно пересекаются; б) обязательно параллельны;
в) параллельны или пересекаются; г) ответ отличен от предложенных.
№12. Известно, что прямая параллельна плоскости , а плоскость параллельна
прямой , отличной от прямой . Каково взаимное расположение прямых и ?
а) обязательно параллельны; б) обязательно скрещиваются;
в) параллельны или скрещиваются;
г) параллельны, скрещиваются или пересекаются;
д) скрещиваются или пересекаются.
№13. Известно, что плоскость параллельна плоскости , а плоскость параллельна
плоскости , отличной от плоскости . Каково взаимное расположение плоскостей
и ?
а) обязательно параллельны; б) обязательно пересекаются;
в) параллельны или пересекаются; г) ответ отличен от предложенных.
№14. Известно, что плоскость параллельна плоскости , а плоскость параллельна
прямой . Каково взаимное расположение плоскости и прямой ?
а) обязательно параллельны; б) обязательно пересекаются;
в) параллельны или пересекаются; г) ответ отличен от предложенных.
№15. В пространстве даны прямая и две различные не лежащие на ней точки А и В.
Сколько существует плоскостей, проходящих через точки А и В и параллельных
прямой ?
а) одна; б) одна или ни одной; в) одна, ни одной или бесконечно много;
г) бесконечно много или ни одной; д) бесконечно много или одна.
контрольная работа по геометрии для обучающихся 9 класса по теме «Начальные сведения стереометрии»
Г – 9 Контрольная работа «Начальные сведения стереометрии»
Сколько рёбер имеет n-угольная пирамида?
В-1 | n=3 |
В-3 | n=4 |
В-5 | n=5 |
В-7 | n=6 |
В-9 | n=7 |
Сколько граней имеет n-угольная призма?
В-1 | n=7 |
В-3 | n=6 |
В-5 | n=3 |
В-7 | n=4 |
В-9 | n=5 |
В конусе угол между образующей и высотой равен α. Найти радиус основания, если образующая равна в.
В-1 | α = 30° | в=7 |
В-3 | α = 45° | в=9 |
В-5 | α = 60° | в=10 |
В-7 | α = 30° | в=12 |
В-9 | α = 45° | в=15 |
Найти высоту правильной четырёхугольной пирамиды, если сторона основания равнаα, а боковое ребро равно в.
В-1 | в = 26 | |
В-3 | в = 39 | |
В-5 | в = 15 | |
В-7 | в = 10 | |
В-9 | в = 5 |
Найти длину диагонали правильной четырёхугольной призмы, если сторона основания равнаα, а боковое ребро равно в.
В-1 | в = 6 | |
В-3 | в = 9 | |
В-5 | в = 16 | |
В-7 | в = 12 | |
В-9 | в = 24 |
Г-9 Контрольная работа «Начальные сведения стереометрии»
Сколько рёбер имеет n-угольная призма?
В-2 | n=3 |
В-4 | n=4 |
В-6 | n=5 |
В-8 | n=6 |
В-10 | n=7 |
Сколько граней имеет n-угольная пирамида?
В-2 | n=7 |
В-4 | n=6 |
В-6 | n=3 |
В-8 | n=4 |
В-10 | n=5 |
В конусе угол между образующей и высотой равен α. Найти высоту конуса, если радиус основания равен в.
В-2 | α = 30° | в=7 |
В-4 | α = 45° | в=9 |
В-6 | α = 60° | в=10 |
В-8 | α = 30° | в=12 |
В-10 | α = 45° | в=15 |
Найти длину диагонали правильной четырёхугольной призмы, если сторона основания равнаα, а боковое ребро равно в.
В-2 | в = 24 | |
В-4 | в = 12 | |
В-6 | в = 9 | |
В-8 | в = 16 | |
В-10 | в = 6 |
Найти высоту правильной четырёхугольной пирамиды, если сторона основания равнаα, а боковое ребро равно в.
В-2 | в = 5 | |
В-4 | в = 15 | |
В-6 | в = 10 | |
В-8 | в = 39 | |
В-10 | в = 26 |
Математический диктант «Введение в стереометрию. Аксиомы стереометрии»
ФИ __________________________________________ Класс ___________
Вариант 1
Как называется раздел геометрии, изучающий свойства фигур в пространстве?
Ответ: ____________________________________________________________
Перечислите основные понятия планиметрии.
Ответ: ____________________________________________________________________________________________________________________________________
Сформулируйте аксиому А 1.
Ответ:___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Сформулируйте аксиому А 3.
Ответ: ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Сформулируйте первое следствие из аксиом стереометрии.
Ответ:___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Могут ли прямая и плоскость иметь только две общие точки?
Ответ: ____________________________________________________________
Верны ли следующие утверждения:
а) Если прямая пересекает две смежные стороны квадрата, то она лежит в плоскости этого квадрата.
Ответ: ____________________________________________________________
б) Если две противоположные вершины параллелограмма лежат в одной плоскости, то и весь параллелограмм лежит в этой плоскости.
Ответ: ____________________________________________________________
Изобразите пересечение прямой и плоскости.
Могут ли две плоскости иметь только одну общую точку?
Ответ: ____________________________________________________________
ФИ ____________________________________________ Класс_____________
Вариант 2
Как называется раздел геометрии, изучающий свойства фигур на плоскости?
Ответ: ___________________________________________________________
Перечислите основные понятия стереометрии.
Ответ: ___________________________________________________________
Сформулируйте аксиому А 2.
Ответ: ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Сколько плоскостей можно провести через прямую и не лежащую на ней точку?
Ответ: ____________________________________________________________
Сформулируйте второе следствие из аксиом стереометрии.
Ответ: ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Могут ли прямая и плоскость иметь одну общую точку?
Ответ: ____________________________________________________________
Верны ли следующие утверждения:
а) Если две прямые пересекаются в точке А, то все прямые, не проходящие через точку А и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости.
Ответ: ____________________________________________________________
б) Если две точки окружности лежат в одной плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости.
Ответ: ____________________________________________________________
Изобразите пересечение двух плоскостей.
Могут ли две плоскости иметь только две общие точки?
Ответ: ____________________________________________________________
Проверочная самостоятельная работа по теме «»Аксиомы стереометрии и следствия из них»
Самостоятельная работа по теме:
«Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия»
Вариант 1
1. Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве, называется:
а) планиметрией; б) стереометрией; в) видеометрией; г) сферометрией.
2. Какие из изображенных фигур являются основными в пространстве?
а) прямая
б) точка
в) отрезок
г) плоскость
3. Перепишите утверждения, вставьте пропущенные слова в утверждениях:
«Через любые ___ точки, не лежащие на одной ________, проходит ______, и притом только одна. Если ____ точки прямой лежат в _________, то все точки ______ лежат в этой ____. Если две _________ имеют общую точку, то они имеют общую ______, на которой лежат все общие точки этих ________.»
4. Какое наименьшее число точек определяет прямую в пространстве?
а) одна точка; б) две точки; в) три точки; г) четыре точки.
5. Сколько плоскостей можно провести через две точки в пространстве?
а) одну; б) две; в) три; г) бесконечно много.
6. Что называют аксиомой в геометрии?
7. Какие из ученых являются основоположниками Неевклидовой геометрии?
8. Сколько аксиом в стереометрии Евклидовой геометрии?
9. Сформулировать аксиомы стереометрии группы С. Проиллюстрировать каждую аксиому.
10. Сформулировать теоремы, которые являются следствием из аксиом. Доказать любую из них.
11.. Назовите 4 способа задания плоскости и выполните чертеж к каждому способу.
12. Изобразите тетраэдр. Пользуясь рисунком, назовите:
а) точку, не принадлежащую плоскости (АВС)
б) прямую, по которой пересекаются плоскости (BCD) и (ABD)
в) плоскость, проходящую через прямые AD и CD
Самостоятельная работа по теме:
«Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия»
Вариант 2
1. Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства:
а) прямых в пространстве; б) фигур в пространстве; в) фигур на плоскости;
г) плоскостей в пространстве.
2. Какие три из изображенных фигур не являются основными в пространстве?
а) треугольник
б) отрезок
в) плоскость
г) куб
3. Перепишите утверждения, вставьте пропущенные слова в утверждениях:
«Через любые ___ точки, не лежащие на одной ________, проходит ______, и притом только одна. Если ____ точки прямой лежат в ____, то все точки _________ лежат в этой _____. Если две _______ имеют общую точку, то они имеют общую ______, на которой лежат все общие точки этих ________.»
4. Какое наименьшее число точек определяет прямую в пространстве?
а) одна точка; б) две точки; в) три точки; г) четыре точки.
5. Сколько плоскостей можно провести через прямую в пространстве?
а) одну; б) две; в) три; г) бесконечно много.
6. Что называют теоремой в геометрии?
7. Какой ученый является основоположником геометрии?
8. Сколько аксиом в планиметрии в Евклидовой геометрии?
9. Сформулировать аксиомы стереометрии группы С. Проиллюстрировать каждую аксиому.
10. Сформулировать теоремы, которые являются следствием из аксиом. Доказать любую из них.
11.. Назовите 4 способа задания плоскости и выполните чертеж к каждому способу.
12. Изобразите тетраэдр. Пользуясь рисунком, назовите:
а) точку, не принадлежащую плоскости (BCD)
б) прямую, по которой пересекаются плоскости (BCD) и (ABС)
в) плоскость, проходящую через прямые AС и CD
Ответы:
Вариант 1
1) б
2) а, б, г
3)а) 1 – три, 2 – прямой, 3 – плоскость;
б) 1 – две, 2 – плоскости, 3 – прямой, 4 – плоскости;
в) 1 – плоскости; 2 – прямую, 3 – плоскости.
4) б
5) г
6) утверждение, не требующее доказательства
7) Лобачевский
8) 13
12) D BD ACD
Вариант 2
1) б
2) а б г
3) а) 1 – три, 2 – прямой, 3 – плоскость;
б) 1 – две, 2 – плоскости, 3 – прямой, 4 – плоскости;
в) 1 – плоскости; 2 – прямую, 3 – плоскости.
4) б
5) г
6) утверждение, требующее доказательство
7) Евклид
8) 10
12) А ВС ACD
Геометрия Киселева, Книга II: Стереометрия
Адаптировано с русского А. Гивенталя, Стереометрия — вторая часть легендарной Геометрии Киселева . Впервые он появился в 1892 году как вторая половина единого учебника, и долгое время они сосуществовали между одними и теми же обложками. Действительно, идея плоскости была представлена на странице 1, в то время как последняя глава книги (которая следовала за стереометрической частью) была посвящена геометрическим построениям в двух измерениях. Геометрия Киселева продемонстрировала необычную выносливость, находясь в непрерывном обращении большую часть века. (Исторический очерк см. В обзоре первой части.) На самом деле первая часть книги встретила более жесткую конкуренцию, так что, хотя ее власть ослабла в 1960-х годах, вторая часть преобладала в учебнике. рынок в 1970-х.
Объединенное издание 1980 года вышло под названием Элементарная геометрия для педагогических колледжей с предисловием А.Н. Тихонов, отмечавший, хотя и с некоторыми оговорками, что педагогическое мастерство, с которым была написана книга, простота и последовательность изложения, не дали книге устареть.
В 1980-е годы в России начались огромные потрясения, кульминацией которых стала Перестройка и, в конечном итоге, распад СССР. Образовательная система стала децентрализованной, либерализация рынка привела к созданию и распространению частных школ, каждая из которых имела возможность выбирать и даже публиковать свои собственные учебники.В этом поколении тоже была своя доля талантливых авторов. Выдающийся геометр и педагог, ныне покойный И. Ф. Шарыгин, создал десяток учебных пособий и сборников по геометрии для всех школьных уровней. К 2004 году «Геометрия » Киселева стала библиографической редкостью (хотя было издание 1998 года) и была снова переиздана как учебник для педагогических вузов. В последнем рекламном материале говорится: «Дальнейшее совершенствование преподавания математики невозможно, если учителя не ознакомятся с прежними основными элементами математического образования.«
Тот же аргумент применим к англоязычному рынку. Хороший учитель должен иметь глубокое понимание предмета, основанное на знакомстве с множеством педагогических взглядов и подходов. Геометрия Киселева — бесценный источник вдохновения для учителей геометрии.
Лаконичность Киселева известна. Предложения были отшлифованы путем множества исправлений и прилежания к советам поколений рецензентов, учителей и студентов.В этом отношении у меня есть лишь незначительные претензии. В обеих частях книги всякий раз, когда возникает вопрос о параллельности линий или плоскостей, автор последовательно добавляет к фразе «… не пересекайте друг друга» повторяющееся выражение «независимо от того, как далеко они растянуты», вероятно, пытаясь апеллировать к силе визуального восприятия. Эта практика, на мой взгляд, может привести к путанице: возможно ли , а не , «сколь угодно далеко» продолжить прямую линию (в отличие от отрезка линии)? Может ли линия быть растянутой? (Я действительно считаю, что это употребление — не оговорка, но, вероятно, имеет педагогическую причину, подтвержденную опытом.)
Стремление к краткости также проявляется в превосходном балансе между тем, что фактически доказано в тексте, тем, что остается доказать читателю, и тем, что предполагается. Киселев никогда не бывает догматиком. Его книги являются воплощением логической структуры, а доказательство является основным средством создания материала, как в книге Евклида Elements . Диаграмм — недавно созданных переводчиком — предостаточно. В целом, экономия на презентации просто замечательная.
Возьмем один пример: Принцип Кавальери . Киселев справедливо замечает (с. 45), что для его обоснования нужны методы, выходящие за рамки элементарной математики. Однако этот принцип элегантен и полезен, и упоминание о нем дает интересную историческую справку, а также жизнеспособную демонстрацию непрерывности эволюции математики во времени. Итак, на основе теории пределов, разработанной в первой части (Планиметрия), Киселев доказывает (хотя и без использования символа lim ) принцип треугольных пирамид и использует повод упомянуть третью проблему Гильберта.Позднее он применяет этот принцип для определения объема шара (но теперь без доказательств) и использует возможность упомянуть работу Архимеда и восстановление его гробницы Цицероном.
Книга состоит из трех исходных глав (Линии и плоскости, Многогранники, Круглые тела) и одной (Векторы и Основы), добавленных переводчиком, который также написал послесловие. Дополнительная глава — отличное введение в векторные пространства и пространственное измерение, которое отлично вписывается в текст и стиль Киселева.Глава из 50+ страниц (фактически одна треть книги) закладывает прочную основу для геометрии Киселева и образует дополнительную связь между частями планиметрии и стереометрии. Например, здесь мы встречаемся с понятиями материальной точки и барицентра , которые приводят к плоским теоремам Чевы и Менелая. В главе также приводится несколько примеров взглядов, выраженных позже в послесловии. Одна из таких проблем связана с ролью аксиом: в настоящее время аксиомы используются в целях унификации, чтобы сразу изучить похожие статьи.Например, аксиомы внутреннего произведения лежат в основе геометрии как евклидова пространства, так и пространства Минковского. Глава также включает введение в другие неевклидовы геометрии: сферическую и гиперболическую.
Каждый раздел книги сопровождается продуманным подбором упражнений (около 250 из которых добавлено в перевод). Многие задачи решены в основной части книги, но упражнения не имеют решения. Переводчиком дополнены главы о пространственных симметриях и правильных многогранниках; это единственная известная мне книга по стереометрии, в которой обсуждается симметрия относительно линии, а также центральная и зеркальная симметрии в пространстве.
В послесловии Гивенталь предлагает свои мысли об изменяющейся роли аксиоматики (со ссылкой на главу 4) в современной математике и современной идеологии математического образования в отношении преподавания геометрии. Его анализ модели van Hiele и сопутствующие исследования замечательны. Модель Ван Хиле предполагает, что способность учащегося обрабатывать геометрические знания определяется уровнем геометрической абстракции, достигнутым учащимся. Необходимым условием для перехода на следующий уровень является овладение предыдущим.Пять уровней:
- Визуализация : учащийся определяет формы.
- Анализ : учащийся приписывает свойства фигурам.
- Абстракция : студент выводит отношения между свойствами форм.
- Вывод : учащийся развивает понимание логической структуры, которая отслеживает свойства форм в соответствии с аксиомами.
- Rigor : ученик способен справиться с любым аксиоматическим подходом, не полагаясь на интуицию.
С момента своего появления в 1957 году теория ван Хиле была подтверждена исследованиями и многочисленными полевыми исследованиями. Гивенталь отмечает, что теория ван Хиле состоит из четырех независимых утверждений о возможности четырех переходов между пятью уровнями. Утверждения относительно последних двух переходов содержат , логически , из определения просто потому, что многие из них больше одного . Способность справиться с аксиоматическим подходом в целом (уровень 4) подразумевает способность справиться с одним из них (уровень 3).Точно так же способность вывести всех свойств форм из аксиом (уровень 3) подразумевает возможность вывести примерно из них (уровень 2).
Пожалуй, можно оправдать необходимость исследования первых двух переходов: теория утверждает, что способность к абстрагированию может быть достигнута только после двух предварительных этапов. Гивенталь, однако, утверждает, что любое значимое исследование или деятельность, в которой дети участвуют в школе или в других местах, принесет тот же результат, подразумевая, что неформальная геометрия не должна предшествовать более тщательному изучению.Этот вывод подкрепляется тем фактом, что обычный подход к неформальной геометрии в основном сосредоточен на именовании объектов и тавтологических вопросах об их именах. Гивенталь приводит несколько убедительных примеров, чтобы проиллюстрировать это положение.
Я хочу закончить обзор общим замечанием. Хотя английское издание Геометрия Киселева мы обязаны частной инициативе одного человека, его появление следует рассматривать в более широком контексте изменений в школьных программах, которые снова потрясают математический образовательный институт США.
Какой бы хорошей или теоретически оправданной ни была конкретная реформа, ее провал практически предрешен, если ее массово навязывать неподготовленной группе студентов и учителей. История реформы математического образования в США в 20 годах представляет собой череду неудачных нововведений. Настолько, что преподаватели из США начали искать успешные практики в других местах. Сингапурские учебники теперь широко используются индивидуальными репетиторами и толпами учителей в независимых школах. Уроки геометрии Жака Адамара находятся на стадии подготовки в Центре развития образования и должны быть сданы в декабре 2008 года. Геометрия Киселева была одним из краеугольных камней советской школы математического образования — по общему признанию, одной из лучших в мире. На протяжении поколений это влияло на преподавание геометрии в Восточной Европе и Китае. Его появление в США должно быть воспринято каждым учителем и педагогическим колледжем: текст хорошо работал для поколений советских юношей и девушек и их учителей.Его знакомство с американским пользователем произойдет не скоро.
Обратите внимание, что, хотя прейскурантная цена книги составляет 30 долларов, ее можно купить непосредственно на Sumizdat за 20 долларов. Две книги продаются по цене 45 долларов.
Алекс Богомольный — разработчик программного обеспечения для бизнеса и образования, который живет с женой и маленьким сыном в Восточном Брансуике, штат Нью-Джерси. Его популярный веб-сайт Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles собирается приветствовать 30 000 000 -х посетителей.
.
Введение в геометрию | SkillsYouNeed
Когда вы начинаете изучать геометрию, важно знать и понимать некоторые основные концепции.
Эта страница поможет вам понять концепцию размеров в геометрии и понять, работаете ли вы в одном, двух или трех измерениях.
Он также объясняет некоторые основные термины и указывает вам на другие страницы для получения дополнительной информации.
На этой странице представлены точки, линии и плоскости.
На других страницах этой серии рассказывается об углах и формах, включая многоугольники, круги и другие изогнутые формы, а также трехмерные формы.
Что такое геометрия?
Геометрия , н. та часть математики, которая рассматривает свойства точек, линий, поверхностей и твердых тел…
Chambers English Dictionary, издание 1989 г.
Геометрия происходит от греческого слова «измерение земли» и представляет собой визуальное изучение форм, размеров и узоров, а также того, как они сочетаются друг с другом в пространстве.Вы обнаружите, что наши страницы геометрии содержат множество диаграмм, которые помогут вам понять предмет.
Когда вы столкнулись с проблемой, связанной с геометрией, может быть очень полезно нарисовать диаграмму самостоятельно.
Работа в разных размерах
Нет, не континуум пространства-времени! Мы говорим о фигурах в одном, двух и трех измерениях.
То есть объекты, имеющие длину (одно измерение), длину и ширину (два измерения) и длину, ширину и глубину или высоту (три измерения).
очков: особый случай: без размеров
точка — это отдельная точка в пространстве. Он часто представлен точкой на странице, но на самом деле не имеет реального размера или формы.
Вы не можете описать точку с точки зрения длины, ширины или высоты, поэтому она является безразмерной . Однако точка может быть описана координатами. Координаты не определяют ничего о точке, кроме ее положения в пространстве по отношению к контрольной точке с известными координатами.Вы встретите координаты точек во многих приложениях, например, когда вы рисуете графики или читаете карты.
Практически все в геометрии начинается с точки, будь то линия или сложная трехмерная форма.
линий: одно измерение
Линия — это кратчайшее расстояние между двумя точками. Он имеет длину, но не ширину, что делает его одномерным.
Везде, где встречаются или пересекаются две или более прямых, есть точка, и говорят, что две линии имеют общую точку:
Сегменты и лучи
Есть два типа линий: те, у которых есть определенная начальная и конечная точки, и те, которые продолжаются вечно.
Линии, которые перемещаются между двумя точками, называются отрезками линии . Они начинаются с определенной точки и переходят к другой, конечной точке. Как и следовало ожидать, они нарисованы как линия между двумя точками.
Второй тип линий называется луч , и они продолжаются вечно. Их часто проводят в виде линии, начинающейся от точки со стрелкой на другом конце:
Параллельные и перпендикулярные линии
Есть два типа линий, которые особенно интересны и / или полезны в математике. Параллельные линии никогда не пересекаются и не пересекаются. Они просто идут вечно бок о бок, как железнодорожные пути. Условием показа параллельности линий на диаграмме является добавление «перьев», которые выглядят как наконечники стрелок.
Перпендикулярные линии пересекаются под прямым углом, 90 °:
Плоскости и двумерные формы
Теперь, когда мы разобрались с одним измерением, пора перейти к двум.
Плоскость — это плоская поверхность, также известная как двумерная.Технически он неограничен, что означает, что он продолжается вечно в любом заданном направлении, и поэтому его невозможно нарисовать на странице.
Одним из ключевых элементов геометрии является количество измерений, с которыми вы работаете в любой момент времени. Если вы работаете в одной плоскости, то это либо одна (длина), либо две (длина и ширина). При наличии более чем одной плоскости он должен быть трехмерным, потому что высота / глубина также учитываются.
Двумерные фигуры включают многоугольники, такие как квадраты, прямоугольники и треугольники, у которых есть прямые линии и точки в каждом углу.
Больше о полигонах можно узнать на нашей странице Полигоны . Другие двумерные формы включают круги и любую другую форму, которая включает кривую. Вы можете узнать больше об этом на нашей странице Curved Shapes .
Три измерения: многогранники и изогнутые формы
Наконец, есть также трехмерных фигур , таких как кубы, сферы, пирамиды и цилиндры.
Чтобы узнать больше об этом, посетите нашу страницу Трехмерные фигуры .
Знаки, символы и терминология
Форма, показанная здесь, представляет собой неправильный пятиугольник, пятиугольный многоугольник с разными внутренними углами и длинами линий (подробнее об этих формах см. Нашу страницу о Многоугольники ).
Градусы ° — это мера вращения, определяющая величину угла между двумя сторонами.
Углы обычно обозначаются в геометрии с использованием сегмента окружности (дуги), если только они не являются прямым углом, когда они «возведены в квадрат».В приведенном здесь примере угловые метки обозначены зеленым цветом. Смотрите нашу страницу Уголки для получения дополнительной информации.
Отметки (показаны оранжевым цветом) обозначают стороны формы, которые имеют одинаковую длину (стороны формы, совпадающие с или совпадающие). Одиночные линии показывают, что две вертикальные линии имеют одинаковую длину, а двойные линии показывают, что две диагональные линии имеют одинаковую длину. Нижняя горизонтальная линия в этом примере отличается по длине от остальных 4 линий и поэтому не отмечена.Отметки также могут называться « штриховок ».
Вершина — это точка пересечения линий (линии также называются лучами или ребрами). Множественное число вершин — это вершины. В этом примере пять вершин помечены как A, B, C, D и E. Называть вершины буквами — обычное дело в геометрии.
В замкнутой форме, такой как в нашем примере, математическое соглашение гласит, что буквы всегда должны располагаться в порядке по часовой стрелке или против часовой стрелки.Нашу форму можно описать как «ABCDE», но было бы неправильно обозначать вершины так, чтобы форма была, например, «ADBEC». Это может показаться несущественным, но в некоторых сложных ситуациях важно избегать путаницы.
Символ угла ‘’ используется в качестве сокращенного символа в геометрии при описании угла. Выражение ∠ABC является сокращением для описания угла между точками A и C в точке B. Средняя буква в таких выражениях всегда является вершиной угла, который вы описываете — порядок сторон не важен. ∠ABC совпадает с ∠CBA, , и оба описывают вершину B в этом примере.
Если вы хотите записать измеренный угол в точке B в сокращенном виде, вы должны использовать:
m∠ABC = 128 ° (m просто означает «мера»)
или
м∠CBA = 128 °
В нашем примере мы также можем сказать:
м∠EAB = 90 °
м∠BCD = 104 °
Почему эти концепции имеют значение?
Точки, линии и плоскости лежат в основе почти всех других геометрических концепций.Углы образуются между двумя линиями, начиная с общей точки. Фигуры, двухмерные или трехмерные, состоят из линий, соединяющих точки. Плоскости важны, потому что двумерные формы имеют только одну плоскость; у трехмерных их два и более.
Другими словами, вам действительно нужно понять идеи на этой странице, прежде чем вы сможете перейти к любой другой области геометрии.
.