Контрольная работа по геометрии на тему векторы: Учебно-методический материал по геометрии (9 класс): Контрольная работа по теме «Векторы»

Учебно-методический материал по геометрии (9 класс): Контрольная работа по теме «Векторы»

1 вариант. 1.  Начертите два неколлинеарных вектора и . Постройте векторы, равные: а)  ; б)   2. На стороне ВС ромба АВСD лежит точкаК такая, что ВК = КС, О – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы  через векторы и . 3. В равнобедренной трапеции высота делит большее основание на отрезки, равные 5 и 12 см. Найдите среднюю линию трапеции. 4.* В треугольнике АВС О – точка пересечения медиан. Выразите вектор  через векторы  и . 5. Е∈АD, F∈BC, ABCD   параллелограмм, AE= ED, BF:FC=4:3. а) Выразить   через =,  = . б) Коллинеарны ли вектора  и ?

2 вариант 1. Начертите два неколлинеарных вектора и . Постройте векторы, равные: а)  ; б) 2. На стороне СD квадрата АВСD лежит точка Р такая, что СР = РD , О – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы  через векторы и 3.  В равнобедренной трапеции один из углов равен 600, боковая сторона равна 8 см, а меньшее основание 7 см. Найдите среднюю линию трапеции. 4.  * В треугольнике МNK  О – точка пересечения медиан, . Найдите число k. 5. K∈AB, M∈CD, ABCD параллелограмм, AK= KB,CM:MD=2:5. а) Выразить  через  = ,  = . б) Коллинеарны ли вектора  и ?

Контрольная работа по теме: «Векторы»

Контрольная работа по теме: «Векторы»

Вариант 1

1. Найдите сумму координат вектора  + .

2. Вектор с началом в точке имеет координаты . Найдите абсциссу точки B.

3.  Вектор  с началом в точке  имеет координаты . Найдите ординату точки B.

4. Вектор с концом в точке имеет координаты . Найдите сумму координат точки A.

5.  Вектор  с концом в точке  имеет координаты . Найдите сумму координат точки A.

6. Вектор  с концом в точке  имеет координаты . Найдите ординату точки A.

7. Вектор с началом в точке имеет координаты . Найдите сумму координат точки B.

8. Вектор с началом в точке имеет координаты . Найдите сумму координат точки B.

9. Стороны правильного треугольника ABC равны . Найдите длину вектора .

10. Стороны правильного треугольника

ABC равны 38. Найдите длину вектора

Контрольная работа по теме: «Векторы»

Вариант 2

1.Найдите сумму координат вектора .

2. Вектор с началом в точке имеет координаты . Найдите абсциссу точки B.

3. Вектор  с началом в точке  имеет координаты . Найдите ординату точки B.

4. Вектор  с концом в точке B(5, 4) имеет координаты (3, 1). Найдите сумму координат точки A. 

5.  Вектор  с концом в точке  имеет координаты . Найдите абсциссу точки A.

6.  Вектор  с началом в точке  имеет координаты . Найдите сумму координат точки 

B.

7. Вектор с началом в точке имеет координаты . Найдите сумму координат точки B.

8. Вектор с началом в точке имеет координаты . Найдите сумму координат точки B.

Материал для подготовки к ЕГЭ (ГИА) по алгебре (9 класс) на тему: Домашняя контрольная работа по геометрии по теме «Векторы»

1 вариант Задание № 1 На стороне ВС параллелограмма АВСД взята точка К так, что ВК : КС = 1 : 4. Выразите векторы АС, ВК, СК, АК, КД через АВ = р и АД = к. Выразите АS, если точка S – середина КД. Задание № 2 В равнобедренной трапеции острые углы равны 450, меньшее основание равно 5 см, а расстояние между основаниями 4 см. Найдите большее основание и среднюю линию трапеции.

2 вариант Задание № 1 На стороне НК ромба МНКС взята точка Е так, что КЕ : НЕ = 1 : 6. Выразите векторы СН, КЕ, НЕ, СЕ, ЕМ через СК = р и СМ = q. Выразите CД, если точка Д – середина МЕ. Задание № 2 В равнобедренной трапеции острые углы равны 600, большая сторона равна 10 см, а большее основание 15 см. Найдите меньшее основание и среднюю линию трапеции

3 вариант Задание № 1 В параллелограмме АВСД  точка К – середина АВ,  точка Р — середина ВС. Выразите векторы АС, ВД, АК, СР, СО, АР через векторы АВ = а, АД = в. Задание № 2 В               С А            К           Д АВСД – трапеция, ВС║АД, СД = 6 см, угол Д равен 300, ВС = 4 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Геометрия 10 класс Контрольная № 5 с ответами

Контрольная работа по геометрии в 10 классе «Векторы в пространстве» в форме зачета с ответами и решениями (2 уровня сложности по 2 варианта). УМК Атанасян и др. (Просвещение). Поурочное планирование по геометрии для 10 класса (В.А. Яровенко, ВАКО). Урок 62. Геометрия 10 класс Контрольная № 5 «Векторы в пространстве».

Смотреть Список всех контрольных по геометрии в 10 классе (Атанасян)

---

 

Контрольная работа № 5 (зачет)
«Векторы в пространстве»

Цель: проверить знания, умения и навыки учащихся по теме.
Тип урока: урок контроля, оценки и коррекции знаний.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Мотивация к учебной деятельности. Учитель сообщает тему урока, формулирует цели урока.

2. Контрольная работа

   Задания I уровня сложности

Вариант 1

1. Вопрос. Сформулируйте определения вектора, его длины, коллинеарности двух ненулевых векторов, равенства векторов. Проиллюстрируйте их, используя изображения параллелепипеда.
2. Задача. На рисунке изображен тетраэдр АВС, ребра которого равны. Точки М, N, P и Q — середины сторон АВ, AD, DC, ВС;
   а) выпишите все пары равных векторов, изображенных на этом рисунке;
   б) определите вид четырехугольника MNPQ.
3. Задача. Дан параллелепипед MNPQM₁N₁P₁Q₁. Докажите, что .

Вариант 2

1. Вопрос. Расскажите о правиле треугольника сложения двух векторов. Проиллюстрируйте эти правила на рисунке.
2. Задача. Упростите выражение: .
3. Задача. Дан параллелепипед MNPQM₁N₁P₁Q₁. Докажите, что

 

   Задания II уровня сложности

Вариант 1

1. Вопрос. Расскажите о правиле параллелограмма сложения двух векторов. Проиллюстрируйте это правило на рисунке.
2. Задача. Дана треугольная призма АВСА₁В₁С₁. Укажите вектор х, начало и конец которого являются вершинами призмы, такой, что .
3. Задача. Основанием пирамиды с вершиной О является параллелограмм ABCD, диагонали которого пересекаются в точке М. Разложите векторы  по векторам .

Вариант 2

1. Вопрос. Расскажите о правиле многоугольника сложения нескольких векторов. Проиллюстрируйте его на рисунке.
2. Задача. Дана треугольная призма АВСА₁В₁С₁. Укажите вектор х, начало и конец которого являются вершинами призмы, такой, что .
3. Задача. Точка К — середина ребра В₁С₁ куба ABCDA₁B₁C₁D. Разложите вектор  по векторам  и найдите длину этого вектора, если ребро куба равно
   m.

 

   Задания III уровня сложности

Вариант 1

1. Вопрос. Сформулируйте определение произведения вектора а на число k, сочетательный, первый и второй распределительные законы умножения вектора на число. Проиллюстрируйте их на примерах.
2. Задача. На рисунке изображен правильный октаэдр. Докажите, что .
3. Задача. Точки А₁, В₁, С₁ — середины сторон ВС, АС, АВ треугольника АВС, точка О — произвольная точка пространства. Докажите, что .

Вариант 2

1. Вопрос. Сформулируйте определение компланарных векторов. Приведите примеры компланарных и некомпланарных векторов, используя изображение параллелепипеда.
2. Задача. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите сумму векторов .
3. Задача. В тетраэдре ABCD точка К — середина медианы ВВ₁ грани BCD. Разложите вектор  по векторам .

 

3. Рефлексия учебной деятельности (Решения и Ответы)

В конце урока учитель раздает на каждую парту краткую запись решения задач контрольной работы.

Домашнее задание: решить задачи, с которыми ученик не справился.

   Решение задач I уровня сложности.
Вариант 1

---

 

   Решение задач I уровня сложности.
Вариант 2

---

 

   Решение задач II уровня сложности.
Вариант 1

---

 

   Решение задач II уровня сложности.
Вариант 2

---

 

   Решение задач III уровня сложности.
Вариант 1

---

 

   Решение задач III уровня сложности.
Вариант 2

 

---

Вы смотрели: Геометрия 10 класс Контрольная № 5. Поурочное планирование по геометрии для 10 класса. УМК Атанасян (Просвещение). Урок 62. Контрольная работа по геометрии «Векторы в пространстве» + ОТВЕТЫ.

Смотреть Список всех контрольных по геометрии в 10 классе по УМК Атанасян.

 

ОТВЕТЫ на КР-6 Геометрия 8 (Зив)

ОТВЕТЫ на КР-6 Геометрия 8 (Зив)

Контрольная работа по геометрии «Векторы» (8 класс)

ОТВЕТЫ на КР-6 Геометрия 8 (Зив) — это решения и ответы на контрольную работу № 6 «Векторы» (в 4-х вариантах) из пособия для учащихся «Геометрия. Дидактические материалы. 8 класс / Б.Г. Зив, В.М. Мейлер — М.: Просвещение», которое используется в комплекте с учебником «Геометрия. 7-9 классы» авторов: Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева, Э.Г. Позняка, И.И. Юдиной.

 

---

Геометрия 8 класс (УМК Атанасян и др.)
Контрольная работа № 6 «Векторы». 

К–6 Вариант 1

1. Начертите параллелограмм ABCD и постройте векторы .
2. В треугольнике АВС В1 – середина АС, М – точка пересечения медиан.

г)* Используя векторы, покажите, что середина отрезка ВВ1 лежит на прямой АА1, если А1 ∈ ВС и ВА1 : А1С = 1 : 2.

К–6 Вариант 2

1. Начертите два неколлинеарных вектора а̅ и b̅, отложенных от разных точек. Постройте векторы 
2. В трапеции ABCD основания AD и ВС относятся как 3 : 1. Диагонали трапеции пересекаются в точке О.

г)* Докажите, что DE < (2/3 DA + 1/2 DC), если точка Е – середина стороны АВ.

К–6 Вариант 3

1. Начертите треугольник АВС и постройте векторы 
2. В параллелограмме ABCD точка М – середина стороны ВС, отрезки BD и AM пересекаются в точке О.

г)* Докажите, что OP < (2/3 AD + 1/6 АВ), если Р – середина отрезка CD.

К–6 Вариант 4

1. Начертите два неколлинеарных вектора а̅ и b̅, отложенных от разных точек. Постройте векторы 
2. Основания ВС и АВ трапеции ABCD относятся как 1 : 2, Е – середина стороны CD, О – точка пересечения диагоналей.

г)* Используя векторы, докажите, что точка М, делящая отрезок АЕ в отношении 1 : 4, считая от точки Е, принадлежит прямой BD.

 

---

Геометрия 8 класс (УМК Атанасян и др.) 
ОТВЕТЫ на КР-6 Геометрия 8 (Зив)

Контрольные работы по геометрии 8 класс (Атанасян) Векторы. Ответы и решения КР-6

 

---

ОТВЕТЫ на КР-6 Геометрия 8 (Зив) — это решения и ответы на контрольную работу № 6 «Векторы» (в 4-х вариантах) из пособия для учащихся «Геометрия. Дидактические материалы. 8 класс / Б.Г. Зив, В.М. Мейлер — М.: Просвещение», которое используется в комплекте с учебником «Геометрия. 7-9 классы» авторов: Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева, Э.Г. Позняка, И.И. Юдиной.

Методическая разработка по геометрии (10 класс) на тему: Контрольная работа по теме «Векторы в пространстве» для студентов 1 курса СПО

ВАРИАНТ 1

1. а) Дано:                                           б) Дано:

     а (2;4;-6)                                         а (2;-4;0)       2а – 3b и с (m+n;m-n;2) — коллинеарны

     b (-9;-3;6)                                       b (3;-1;-2)

     с (3;0;-1)                                         Найти:

     Найти:                                            m, n — ?

     р = —   + а + 2с                                      

2. Изобразить систему координат OXYZ и построить точку  А(-2;-3;4). Найти расстояние от этой точки до координатных плоскостей.
3. Даны векторы b(1;4;-3) и а(-2;3;1). Определите значения k, при которых угол  между векторами а+kb и b является: острым, тупым, прямым.
4. Даны точки М(-4;7;0), N(0;-1;2). Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка MN.
5. Найдите координаты вектора 3b+2а, если а = 2i – 3j+k, b(3;0;2).
6. Определите, лежат ли в одной плоскости точки: А(1;1;1), В(-1;0;1), С(0;2;2), D(2;0;0).
7. Компланарны ли векторы: b(2;1;1,5), i+j+k и i-j?
8. В параллелепипеде АВСDА1В1С1D1  ВАА1 = ВАD = DАА1 =60, АВ=АА1 =АD=1. Вычислите длины векторов АС1  и BD1.

ВАРИАНТ 2

1. а) Дано:                                           б) Дано:

     а (1;-3;-1)                                        а (1;-2;m)       a и b — коллинеарны

     b (-1;2;0)                                         b (n;6;3)

     Найти:                                            Найти:                                        

     с = а + 2b                                         m, n — ?

                                   

2. Изобразить систему координат OXYZ и построить точку  А(1;-2;-4). Найти расстояние от этой точки до координатных плоскостей.
3. Даны векторы b(3; m;2) и а(4;1;-2). Определите значения m, при которых угол  между векторами а и b является: острым, тупым, прямым.
4. Даны точки М(-4;7;0), N(0;-1;2). Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка MN.
5. Даны векторы а и b. Найдите b(a+b), если а = -2i + 3j + 6k, b(6;0;-8).
6. Определите, лежат ли в одной плоскости точки: А(1;0;-1), В(-2;-1;0), С(0;-2;-1), D(1;5;0).
7. Компланарны ли векторы: b(-1;2;3), i+j и i-k?
8. В параллелепипеде АВСDА1В1С1D1  ВАА1 = ВАD = DАА1 =60, АВ=АА1 =АD=1. Вычислите длины векторов АС1  и BD1.

ВАРИАНТ 3

1. а) Дано:                                           б) Дано:

     а (4;-3;5)                                         а (1;-2;0)       2а – 3b и с (m;8;n) — коллинеарны

     b (-3;1;2)                                         b (-2;0;4)

     Найти:                                            Найти:                                        

     с = 2а – 3b                                       m, n — ?

                                   

2. Даны точки А(-1;5;3), В(7;-1;3), С(3;-2;6). Доказать, что       АВС – прямоугольный.
3. Вершины     АВС имеют координаты А(m;-3;2), В(9;-1;3), С(12;-5;-1). Определите значения m, при которых угол  С треугольника тупой.
4. Даны точки М(-4;7;0), N(0;-1;2). Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка MN.
5. Найдите координаты вектора с = 2а – 3b, если а = 4i – 3j, b(-3;1;2).
6. Докажите, что точки A, B, C лежат на одной прямой: А(6;-1;2), В(0;3;-2), С(3;1;-1).
7. Компланарны ли векторы: b(2;1;1,5), i+j+k и i-j?
8. В параллелепипеде АВСDА1В1С1D1  ВАА1 = ВАD = DАА1 =60, АВ=АА1 =АD=1. Вычислите длины векторов АС1  и BD1 .

ВАРИАНТ 4

1. а) Дано:                                           б) Дано:

     а (2;-1;0)                                          а (2;-4;0)       а – 3b и с (m+n;-3;m-n) — коллинеарны

     b (-3;2;1)                                          b (3;-1;-2)

     с (1;1;4)                                            Найти:                                        

     Найти:                                             m, n — ?

     р = а + 3b – 2с                                    

                                   

2. Даны точки А(-1;5;3), В(-1;3;9), С(3;-2;6). Доказать, что       АВС – прямоугольный.
3. Дан куб АВСDА1В1С1D1. Используя метод координат, найдите угол между прямыми АВ1 и А1D.
4. Даны точки М(-4;7;0), N(0;-1;2). Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка MN.
5. Векторы а и АВ равны. Найдите координаты точки В, если а = 2i – 3j + k и А(1;4;0).
6. Докажите, что точки A, B, C лежат на одной прямой: А(0;0;-1), В(5;-3;1), С(-5;3;-3). Какая из них лежит между двумя другими?
7. Компланарны ли векторы: b(-1;2;3), i+j и i-k?
8. В параллелепипеде АВСDА1В1С1D1  ВАА1 = ВАD = DАА1 =60, АВ=АА1 =АD=1. Вычислите длины векторов АС1  и BD1.

КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ

Работа содержит 8 заданий

Оценка «5» ставится за верно выполненные 8 заданий

Оценка «4» ставится за верно выполненные 6-7 заданий

Оценка «3» ставится за верно выполненные 4-5 заданий

При выполнении менее 4 заданий ставится оценка «2»

операций над векторами, сложение векторов, умножение вектора на вещественное число.

Рассмотрим вектор v, начальная точка которого

в системе координат xy, а конечной точкой является. Мы говорим, что вектор находится в стандартной позиции , и называем его вектором позиции. Обратите внимание, что упорядоченная пара однозначно определяет вектор. Таким образом, мы можем использовать для обозначения вектора. Чтобы подчеркнуть, что мы думаем о векторе, и чтобы избежать путаницы с обозначениями упорядоченных пар и интервалов, мы обычно пишем
v =.

Координата a — это скаляр , горизонтальный компонент вектора, а координата b — это скаляр , вертикальный компонент вектора. Под скаляром мы подразумеваем числовую величину , а не вектор . Таким образом, компонент

считается формой из v. Обратите внимание, что a и b НЕ являются векторами, и их не следует путать с определением компонента вектора.

Теперь рассмотрим с A = (x ₁ , y ₁ ) и C = (x ₂ , y ₂ ).Давайте посмотрим, как найти вектор положения, эквивалентный. Как вы можете видеть на рисунке ниже, начальная точка A перемещена в начало координат (0, 0). Координаты P находятся путем вычитания координат A из координат C. Таким образом, P = (x ₂ — x ₁ , y ₂ — y ₁ ) и вектор положения равен.

Можно показать, что и имеют одинаковую величину и направление и, следовательно, эквивалентны. Таким образом, = = 2 — x

1 , y ₂ — y ₁ >.

Компонент формирует of с A = (x ₁ , y ₁ ) и C = (x ₂ , y ₂ ) равен
= 2 — x ₁ , y ₂ — y ₁ >.

Пример 1 Найдите форму компонента, если C = (- 4, — 3) и F = (1, 5).

Решение У нас
= =.

Обратите внимание, что вектор эквивалентен вектору положения, как показано на рисунке выше.

Теперь, когда мы знаем, как записывать векторы в компонентной форме, давайте еще раз сформулируем некоторые определения.
Длину вектора v легко определить, когда известны компоненты вектора. Для v = 1, v

2 > имеем
| v | ² = v ² ₁ + v ² ₂ Использование теоремы Пифагора
| v | = √v ² ₁ + v ² ₂ .

Длина или величина вектора v = 1, v ₂ > задается как | v | = √v ² ₁ + v ² ₂ .

Два вектора эквивалентны , если они имеют одинаковую величину и одинаковое направление.

Пусть u = 1, u ₂ > и v = 1, v ₂ >. Тогда
1, u ₂ > = 1, v ₂ > тогда и только тогда, когда u ₁ = v ₁ и u ₂ = v ₂ .

Операции над векторами

Чтобы умножить вектор v на положительное действительное число, мы умножаем его длину на число. Его направление остается прежним.Когда вектор v умножается, например, на 2, его длина удваивается и его направление не изменяется. Когда вектор умножается на 1,6, его длина увеличивается на 60%, а его направление остается прежним. Чтобы умножить вектор v на отрицательное действительное число, мы умножаем его длину на число и меняем его направление. Когда вектор умножается на 2, его длина удваивается, а его направление меняется на противоположное. Поскольку действительные числа работают как коэффициенты масштабирования при векторном умножении, мы называем их скалярами , а произведения kv называем скалярными кратными v.

Для действительного числа k и вектора v = 1, v ₂ >, скалярное произведение k и v составляет
kv = k.1, v ₂ > = 1, kv ₂ >.
Вектор kv является скалярным , кратным вектора v.

Пример 2 Пусть u = и w =. Найти — 7w, 3u и — 1w.

Решение
— 7w = — 7. =,
3u = 3. =,
— 1w = — 1. =.

Теперь мы можем сложить два вектора с помощью компонентов.Чтобы сложить два вектора, представленных в форме компонентов, мы добавляем соответствующие компоненты. Пусть u = 1, u ₂ > и v = 1, v ₂ >. Тогда
u + v = 1 + v ₁ , u ₂ + v ₂ >

Например, если v = и w =, то
v + w = ​​=

Если u = 1, u ₂ > и v = 1, v ₂ >, то
u + v = 1 + v ₁ , u ₂ + v ₂ >.

Прежде чем мы определим вычитание векторов, нам нужно определить — v.Противоположность v = 1, v ₂ >, показанная ниже, это
— v = (- 1) .v = (- 1) 1, v ₂ > = 1, — v ₂ >

Вычитание вектора, такое как u — v, включает вычитание соответствующих компонентов. Покажем это, переписав u — v как u + (- v). Если u = 1, u ₂ > и v = 1, v ₂ >, то
u — v = u + (- v) = 1, u ₂ > + 1, — v ₂ > = 1 + (- v ₁ ), u ₂ + (- v ₂ )> = 1 — v ₁ , u ₂ — v ₂ >

Мы можем проиллюстрировать векторное вычитание с помощью параллелограммов, точно так же, как мы делали векторное сложение.

Вычитание вектора

Если u = 1, u ₂ > и v = 1, v ₂ >, то
u — v = 1 — v ₁ , u ₂ — v ₂ >.

Интересно сравнить сумму двух векторов с разностью тех же двух векторов в одном параллелограмме. Векторы u + v и u — v — диагонали параллелограмма.

Пример

.

векторов, графическое представление векторов, величина вектора, направление вектора

Векторы могут быть графически представлены направленными линейными сегментами. Длина выбирается в соответствии с некоторым масштабом, чтобы представить величину вектора , а направление направленного сегмента линии представляет направление вектора . Например, если мы допустим, что 1 см представляет 5 км / ч, то ветер со скоростью 15 км / ч с северо-запада будет представлен направленным отрезком линии длиной 3 см, как показано на рисунке слева.

Вектор на плоскости — это направленный отрезок прямой. Два вектора равны , эквивалент , если они имеют одинаковую величину и направление .

Рассмотрим вектор, проведенный из точки A в точку B. Точка A называется начальной точкой вектора, а точка B называется конечной точкой . Символическое обозначение этого вектора (читай «вектор AB»). Векторы также обозначаются жирными буквами, такими как u, v и w.Четыре вектора на рисунке слева имеют одинаковую длину и направление. Таким образом, они представляют эквивалентных векторов; то есть

В контексте векторов мы используем = для обозначения эквивалента.

Длина, или звездной величины , выражается как ||. Чтобы определить, эквивалентны ли векторы, мы находим их величины и направления.

Пример 1 Векторы u, и w показаны на рисунке ниже. Покажем, что u = = w.

Решение Сначала мы находим длину каждого вектора, используя формулу расстояния:
| u | = √ [2 — (-1)] ² + (4 — 3) ² = √9 + 1 = √10,
|| = √ [0 — (-3)] ² + [0 — (-1)] ² = √9 + 1 = √10,
| w | = √ (4-1) ² + [-1 — (-2)] ² = √9 + 1 = √10.
Таким образом,
| u | = | = | ш |.
Кажется, что векторы u, и w движутся в одном направлении, поэтому мы проверяем их наклон. Если все линии имеют одинаковый наклон, векторы имеют одинаковое направление.Вычисляем наклоны:
Поскольку u, и w имеют одинаковую величину и одинаковое направление,
u = = w.

Имейте в виду, что эквивалентность векторов требует только одинаковой величины и одного направления, а не одного и того же местоположения. На иллюстрациях слева каждая из первых трех пар векторов не эквивалентна. Четвертый набор векторов является примером эквивалентности.

Предположим, человек делает 4 шага на восток, а затем 3 шага на север. Затем он или она будет в 5 шагах от начальной точки в направлении, показанном слева.Вектор длиной 4 единицы, указывающий вправо, представляет 4 шага на восток, а вектор длиной 3 единицы и направленный вверх представляет 3 шага на север. Сумма двух векторов представляет собой 5 шагов вектора по величине и в показанном направлении. Сумма также называется , равным двух векторов.

В общем, два ненулевых вектора u и v можно сложить геометрически, поместив начальную точку v в конечную точку u и затем найдя вектор, который имеет ту же начальную точку, что и u, и ту же конечную точку, что и v, как показано на следующем рисунке.

Сумма — это вектор, представленный направленным отрезком прямой от начальной точки A на u до конечной точки C на v. То есть, если u = и v =, то
u + v = + =

Мы также можем описать сложение векторов, сложив начальные точки векторов вместе, завершив параллелограмм и найдя диагональ параллелограмма. (См. Рисунок слева внизу.) Это описание сложения иногда называют законом параллелограмма сложения векторов.Сложение векторов коммутативно. Как показано на рисунке справа ниже, u + v и v + u представлены одним и тем же направленным отрезком линии.

Если две силы F ₁ и F ₂ действуют на объект, комбинированный эффект является суммой или равнодействующей F ₁ + F ₂ отдельных сил.

Пример 2 Силы в 15 и 25 ньютонов действуют на объект под прямым углом друг к другу. Найдите их сумму или равнодействующую, указав величину равнодействующей и угол, который она образует с большей силой.

Решение Мы рисуем рисунок — на этот раз прямоугольник — используя v или для представления результата. Чтобы найти величину, воспользуемся теоремой Пифагора:
| v | ² = 15 ² + 25 ² Здесь | v | обозначает длину или величину v.
| v | = √15 ² + 25 ²
| v | ≈ 29,2.
Чтобы найти направление, отметим, что, поскольку OAB — прямоугольный треугольник,
tanθ = 15/25 = 0,6.
С помощью калькулятора находим θ, угол, который образует равнодействующая с большей силой:
θ = tan ^{— 1} (0,6) ≈ 31 °
Результирующая имеет величину 29,2 и составляет угол 31 ° с большей силой.

Пилоты должны корректировать направление своего полета при боковом ветре. И ветер, и скорость самолета могут быть описаны векторами.

Пример 3 Скорость и направление самолета. Самолет летит по пеленгу 100 ° со скоростью 190 км / ч, а ветер дует 48 км / ч со скоростью 220 °. Найдите путевую скорость самолета и направление его траектории или курса относительно земли.

Решение Сначала делаем рисунок. Ветер представлен как, а вектор скорости самолета — как.Результирующий вектор скорости равен v, сумме двух векторов. Угол θ между v и называется углом сноса .

Обратите внимание, что размер COA = 100 ° — 40 ° = 60 °. Таким образом, размер CBA также составляет 60 ° (противоположные углы параллелограмма равны). Так как сумма всех углов параллелограмма равна 360 °, а COB и OAB имеют одинаковое значение

.

Тестовые изображения геометрии, фотографии и векторные изображения

В настоящее время вы используете старую версию браузера, и ваш опыт работы может быть не оптимальным. Пожалуйста, подумайте об обновлении. Учить больше. ImagesImages homeCurated collectionsPhotosVectorsOffset ImagesCategoriesAbstractAnimals / WildlifeThe ArtsBackgrounds / TexturesBeauty / FashionBuildings / LandmarksBusiness / FinanceCelebritiesEditorialEducationFood и DrinkHealthcare / MedicalHolidaysIllustrations / Clip-ArtIndustrialInteriorsMiscellaneousNatureObjectsParks / OutdoorPeopleReligionScienceSigns / SymbolsSports / RecreationTechnologyTransportationVectorsVintageAll categoriesFootageFootage homeCurated collectionsShutterstock SelectShutterstock ElementsCategoriesAnimals / WildlifeBuildings / LandmarksBackgrounds / TexturesBusiness / FinanceEducationFood и DrinkHealth CareHolidaysObjectsIndustrialArtNaturePeopleReligionScienceTechnologySigns / SymbolsSports / RecreationTransportationEditorialAll categoriesEditorialEditorial ГлавнаяРазвлеченияНовостиРоялтиСпортМузыкаМузыка домойПремиумBeatИнструментыShutterstock EditorМобильные приложенияПлагиныИзменение размера изображенияКонвертер файловСоздатель коллажейЦветовые схемыБлог Главная страница блогаДизайнВидеоКонтроллерНовости

---

PremiumBeat blogEnterpriseЦена ing

Войти

Зарегистрироваться

Меню

ФильтрыВсе изображения

• Все изображения
• Фото
• Векторы
• Иллюстрации
• Редакционные
• Кадры
• Музыка

---

• Поиск по изображению

тест геометрии

Сортировать по

Самое актуальное

Свежее содержание

Тип изображения

Все изображения

Фото

Векторы

Иллюстрации

Ориентация

Все ориентации

По горизонтали

По вертикали

Цвет .

Геометрия

Геометрия — это всего около фигур и их свойств.

Если вам нравится играть с объектами или рисовать, то геометрия для вас!

Геометрию можно разделить на:

Плоская геометрия — это плоские формы, такие как линии, круги и треугольники … формы, которые можно нарисовать на листе бумаги

Solid Geometry — это трехмерные объекты, такие как кубы, призмы, цилиндры и сферы.

Подсказка: попробуйте нарисовать некоторые формы и углы по мере изучения … это помогает.

Точка, линия, плоскость и твердое тело

Точка не имеет размеров, только позиция
Линия одномерная
Самолет двумерный (2D)
Твердое тело трехмерное (3D)

Почему?

Почему мы делаем геометрию? Чтобы открывать закономерности, находить площади, объемы, длины и углы, а также лучше понимать мир вокруг нас.

Плоская геометрия

Плоская геометрия — это все о формах на плоской поверхности (например, на бесконечном листе бумаги).

Полигоны

Многоугольник — это двухмерная фигура, состоящая из прямых линий. Треугольники и прямоугольники — это многоугольники.

Вот еще несколько:

Круг

Теоремы о круге (расширенная тема)

Символы

В геометрии используется много специальных символов.Вот вам краткая справка:

Геометрические символы

Конгруэнтные и похожие

Уголки

Типы углов

Преобразования и симметрия

Преобразований:

Симметрия:

Координаты

Дополнительные разделы по геометрии плоскости

Пифагор

Конические секции

Теоремы о круге

Центры треугольника

Тригонометрия

Тригонометрия — отдельная тема, поэтому вы можете посетить:

Твердая геометрия

Solid Geometry — это геометрия трехмерного пространства, в котором мы живем…

… начнем с самых простых форм:

Общие 3D-формы

Многогранники и неполигранники

Есть два основных типа твердых тел: «Многогранники» и «Неполиэдры»:

Многогранники (должны иметь плоские грани) :

Non-Polyhedra (когда любая поверхность не плоский) :

.