Контрольная работа по алгебре определение тригонометрических функций: Контрольная работа «Определение тригонометрических функций» 10 класс скачать

Контрольная работа по математике на тему «Основы тригонометрии»

Контрольная работа

по теме «Основы тригонометрии»

ВАРИАНТ 1

Обязательная часть

1. Найдите значение cosα, если известно, что sinα= и α II четверти.

2. Вычислите: .

3. Решите уравнение: .

4. Решите уравнение: .

5. Решите уравнение: sin² + cos = – cos² .

Дополнительная часть

А 1. Найдите значение выражения: 2sin 30˚+6 cos 60˚ — 3ctg 30˚ + 9 tg 30˚.

А 2. Упростите, используя формулы приведения: cos(π-α)∙cos(2π-α)+cos²α.

А 3. Постройте график функции y = 3sinx и укажите область определения

и область значений функции.

А 4. Определите знак выражения: sin110˚·cos 110˚.

А 5. По заданному значению тригонометрической функции, найдите значение

ctg α, если sin α=0,8 и < α < π.

А 6. Вычислите: arcsin 0 + arctg .

А 7. Решите неравенства:

а) sin x ≥ ; б) .

Контрольная работа

по теме «Основы тригонометрии»

ВАРИАНТ 2

Обязательная часть

1. Найдите значение cosα, если известно, что sinα= и α I четверти.

2. Вычислите: .

3. Решите уравнение: .

4. Решите уравнение: .

5. Решите уравнение:

sin² — sin = – cos² .

Дополнительная часть

А 1. Найдите значение выражения: 2 cos 30˚- 6 sin 30˚ — ctg 30˚ + 9 tg 45˚.

А 2. Упростите, используя формулы приведения: sin (π-α)∙cos( — α)+cos²α.

А 3. Постройте график функции y = 1 + cosx и укажите область определения

и множество значений функции.

А 4. Определите знак выражения: sin100˚· cos 100˚.

А 5. По заданному значению тригонометрической функции, найдите значение

tg α, если cos α= 0,8 и < α < π.

А 6. Вычислите: arcos 0 + arctg 1.

А 7. Решите неравенства:

а) cos x ≥ ; б) .

Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 10 класс

Контрольная работа по теме А — 10

«Логарифмические уравнения и неравенства»

1 вариант.

1. Решить уравнения: 1) log _0,2 ( 3х – 2) – 1 = log _0,2 5 2) 2 log ²₁₆ х- log ₁₆ х – 1 = 0

3) log ₂ ( 9 ^х-1 + 7 ) = 2 + log ₂ ( 3 ^{х – 1} + 1 )

2. Решить неравенства: 1) 0,5 log _⅓ ( 6 – 0,3 х ) ≥ — 1 2) log

0,3 ( х² – 5 х + 7 ) ≥0

3) log ₂ ( — х ² + 2х + 3 ) ≥ log ₂ ( х ² – х – 2 )

2 вариант

1. Решить уравнения: 1) log ₂ ( 3х – 2) =1 + log ₂ 5 2) 3 lg ² _{(х- 10) — lg (х – 10) = 2}

3) log ₇ ( 7 ^х-1 – 6 ) = 2 — х

2. Решить неравенства: 1) log _0,2 ( 1 – 2,4 х ) ≥ — 2 2) log ₅ ( х² – 11 х + 43 ) ≥ 2

3) log ₃ 0

Контрольная работа по теме А — 10

«Логарифмические уравнения и неравенства»

1 вариант.

1. Решить уравнения: 1) log _0,2 ( 3х – 2) – 1 = log _0,2 5 2) 2 log ²₁₆ х- log ₁₆ х – 1 = 0

3) log ₂ ( 9 ^х-1 + 7 ) = 2 + log ₂ ( 3 ^{х – 1} + 1 )

2. Решить неравенства: 1) 0,5 log _⅓ ( 6 – 0,3 х ) ≥ — 1 2) log _0,3 ( х² – 5 х + 7 ) ≥0

3) log ₂ ( — х ² + 2х + 3 ) ≥ log ₂ ( х ² – х – 2 )

2 вариант

1. Решить уравнения: 1) log ₂ ( 3х – 2) =1 + log ₂ 5 2) 3 lg ² _{(х- 10) — lg (х – 10) = 2}

3) log ₇ ( 7 ^х-1 – 6 ) = 2 — х

2. Решить неравенства: 1) log

0,2 ( 1 – 2,4 х ) ≥ — 2 2) log ₅ ( х² – 11 х + 43 ) ≥ 2

3) log ₃ 0

Контрольная работа по теме А — 10

«Логарифмические уравнения и неравенства»

1 вариант.

1. Решить уравнения: 1) log _0,2 ( 3х – 2) – 1 = log _0,2 5 2) 2 log ²₁₆ х- log ₁₆ х – 1 = 0

3) log ₂ ( 9 ^х-1 + 7 ) = 2 + log ₂ ( 3 ^{х – 1} + 1 )

2. Решить неравенства: 1) 0,5 log _⅓ ( 6 – 0,3 х ) ≥ — 1 2) log _0,3 ( х² – 5 х + 7 ) ≥0

3) log ₂ ( — х ² + 2х + 3 ) ≥ log

2 ( х ² – х – 2 )

2 вариант

1. Решить уравнения: 1) log ₂ ( 3х – 2) =1 + log ₂ 5 2) 3 lg ² _{(х- 10) — lg (х – 10) = 2}

3) log ₇ ( 7 ^х-1 – 6 ) = 2 — х

2. Решить неравенства: 1) log _0,2 ( 1 – 2,4 х ) ≥ — 2 2) log ₅ ( х² – 11 х + 43 ) ≥ 2

3) log ₃ 0

Тренажёр по алгебре (10 класс) на тему: Самостоятельная работа по математике «Определение тригонометрических функций»

№ п/п	Вариант 1.	№ п/п	Вариант 2.
1	Вычислите: а)   б)     в)   г)	1	Вычислите: а)   б)     в)   г)
2	Найдите значение выражения: а) б)	2	Найдите значение выражения: а) б)
№ п/п	Вариант 3.	№ п/п	Вариант 4.
1	Вычислите: а)   б)     в)   г)	1	Вычислите: а)   б)     в)   г)
2	Найдите значение выражения: а) б)	2	Найдите значение выражения: а) б)
№ п/п	Вариант 1.	№ п/п	Вариант 2.
1	Вычислите: а)   б)     в)   г)	1	Вычислите: а)   б)     в)   г)
2	Найдите значение выражения: а) б)	2	Найдите значение выражения: а) б)
№ п/п	Вариант 3.	№ п/п	Вариант 4.
1	Вычислите: а)   б)     в)   г)	1	Вычислите: а)   б)     в)   г)
2	Найдите значение выражения: а) б)	2	Найдите значение выражения: а) б)

Алгебра Самостоятельные и контрольные работы 10-11 класс Ершова Голобородько

Алгебра Самостоятельные и контрольные работы 10-11 класс Ершова Голобородько — 2014-2015-2016-2017 год:

---

---

Читать онлайн (cкачать в формате PDF) — Щелкни!

---

<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?> Пояснение: Для скачивания книги (с Гугл Диска), нажми сверху справа — СТРЕЛКА В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ . Затем в новом окне сверху справа — СТРЕЛКА ВНИЗ . Для чтения — просто листай колесиком страницы вверх и вниз.

---

Текст из книги:

АЛГЕБРА НАЧАЛА АНАЛИЗА сс 4^Uue ^Ьлбси^Нс ИЛЕКСА АЛ. Ершова, В.В. Голобородько САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА ДЛЯ 10-11 КЛАССОВ 5-е издание, исправленное Рекомендовано Научно-методическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для общеобразовательных учебных учреждений Москва ИЛЕКСА 2013 УДК 372.8:514 ББК 74.262.21-26+74.202 Е80 Рецензенты: Ю.В. Ганделъ, доктор физико-математических наук, профессор Харьковского Национального университета им. В.Н. Каразина; Е.Е. Харик, Заслуженный учитель Украины, преподаватель математики ФМЛ № 27 г. Харькова А.Ф. Крижановский, Заслуженный учитель Украины, преподаватель математики СОУВК № 45 «Академическая гимназия» г. Харькова Перепечатка отдельных разделов и всего издания — запрещена. Любое коммерческое использование данного издания возможно только с разрешения издателя Ершова А.П., Голобородько В.В. Е80 Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов.— 5-е изд., испр.— М.: ИЛЕКСА, — 2013, — 224 с. ISBN 978-5-89237-322-7 Пособие содержит самостоятельные и контрольные работы по всем важнейшим темам курса математики 10-11 классов. Работы состоят из 6 вариантов трех уровней сложности. Дидактические материалы предназначены для организации дифференцированной самостоятельной работы учащихся. УДК 372.8:514 ББК 74.262.21-26+74.202 ISBN 978-5-89237-322-7 © Ершова А.П., Голобородько В.В., 2010 ©ИЛЕКСА, 2010 ПРЕДИСЛОВИЕ Основные особенности предлагаемого сборника самостоятельных и контрольных работ: 1. Сборник содержит полный набор самостоятельных и контрольных работ по всему курсу алгебры и начал анализа 10— 11 классов, как основному, так и углубленному. Контрольные работы рассчитаны на один урок, самостоятельные работы — на 25—40 минут, в зависимости от темы и уровня подготовки учащихся. 2. Сборник позволяет осуществить дифференцированный контроль знаний, так как задания распределены по трем уровням сложности А, Б и В. Уровень А соответствует обязательным программным требованиям, Б — среднему уровню сложности, задания уровня В предназначены для учеников, проявляющих повышенный интерес к математике, а также для использования в классах, школах, гимназиях и лицеях с углубленным изучением математики. Для каждого уровня приведено два расположенных рядом равноценных варианта (как они обычно записываются на доске), поэтому на уроке достаточно одной книги на парте. 3. Как правило, на одном развороте книги приводятся оба варианта всех трех уровней сложности. Благодаря этому учащиеся могут сравнить задания различных уровней и, с разрешения учителя, выбрать подходящий для себя уровень сложности. 4. В книгу включены домашние самостоятельные и практические работы, содержащие творческие, нестандартные задачи по каждой изучаемой теме, а также задачи повышенной сложности. Эти задания могут в полном объеме или частично предлагаться учащимся в качестве зачетных, а также использоваться как дополнительные задания для проведения контрольных работ. По усмотрению учителя выполнение нескольких или даже одного такого задания может оцениваться отличной оценкой. Ответы к контрольным и домашним самостоятельным работам приводятся в конце книги. 5. Тематика и содержание работ охватывают требования всех основных отечественных учебников алгебры и начал анализа 10—11 класса. Для удобства пользования книгой приводится таблица тематического распределения работ по учебникам А. Н. Колмогорова и др., Н. Я. Виленкина и др. Наш адрес в Интернете: www.ilexa.ru. ТРИГОНОМЕТРИЯ с-1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. ГРАДУСНАЯ И РАДИАННАЯ МЕРЫ УГЛА* Вариант А1 Вариант А2 О Вычислите: а) 2 cos 60° — tg —; 4 б) sin (-420°). 71 а) ctg 45° — 2 sin —; 6 б) cos (-750°). е Сравните значения выражений: 8т1 а) sin— и cos 90°; 7 . 71 К б) sin— и —. 2 2 0 4я а) cos— и sin 180°; 7 б) — и cos —. 3 3 Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения: о, 5 cos а + 2. Вариант Б1 О Вычислите: Зя а) 2 cos 30° ctg 60° — sin —; 2 3 sin а — 1. Вариант Б2 а) 2 sin 60° tg 30° — cos я; Авторы обращают внимание на то, что работы по тригонометрии по уровню сложности ориентированы на учащихся, изучавших начала тригонометрии в 9 классе. Для учащихся, впервые изучающих основные формулы тригонометрии, рекомендуем набор самостоятельных работ, предложенный в сборнике авторов для 9 класса. 6 ТРИГОНОМЕ TP ИЯ б) sin390°-sin(-390°) б) ctg405°-ctg(-405°) tg(-765°) ■ 2 sin (-750°) О Сравните значения выражений: , 25я, 11я а) cos—tg—- и a)sinl, 2я ctg^ и cos (-300°) tg 110°; б) sin 4 и sin 4°. 13 10 sin (-330°) ctg 100°; 6) cos 2° и cos 2. О При каких значениях а возможно равенство: sin X = + 1 ? Вариант В1 COSX = -1 — ? Вариант В2 О Вычислите: а) sin (-45°) tg — + 3 я а) cos — tg45° + б) + cos (-45°) ctg cos 540° — sin 810° , 5я , ( 9я ^ ctg Y — tg я + sin я ctg 45°; V V 4, 6) • a sin—-cos ОЯ 2___________ f 9я ^ tg540°-ctg — — О Сравните значения выражений: а) sin 2 cos 3 tg 4 и cos 5; a) cos 1 tg 2 ctg 3 и sin 4; б) sin 200° и sin (-200°). 6) tg(-100°) и tgl00°. О При каких значениях а неравенство Самостоятельная работа С-2 sin X а — За 4-1 выполняется при любом значении х? С-2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА Вариант А1 О Известно, что К sinа = 0,8 и 0

8.3 Обратные тригонометрические функции — алгебра и тригонометрия

Для любого прямоугольного треугольника, учитывая еще один угол и длину одной стороны, мы можем выяснить, каковы другие углы и стороны. Но что, если нам даны только две стороны прямоугольного треугольника? Нам нужна процедура, которая ведет нас от отношения сторон к углу. Здесь вступает в игру понятие обратной тригонометрической функции. В этом разделе мы исследуем обратные тригонометрические функции.

Понимание и использование функций обратного синуса, косинуса и тангенса

Чтобы использовать обратные тригонометрические функции, мы должны понимать, что обратная тригонометрическая функция «отменяет» то, что «делает» исходная тригонометрическая функция, как в случае с любая другая функция и ее обратная.Другими словами, область определения обратной функции — это диапазон исходной функции, и наоборот, как показано на рисунке 1.

Рисунок 1

Например, если f (x) = sin x, f (x) = sin x, то мы должны написать f − 1 (x) = sin − 1x. f − 1 (x) = sin − 1x. Имейте в виду, что sin − 1x sin − 1x не означает 1sinx. 1sinx. Следующие примеры иллюстрируют обратные тригонометрические функции:

• Поскольку sin (π6) = 12, sin (π6) = 12, то π6 = sin − 1 (12). π6 = sin − 1 (12).
• Поскольку cos (π) = — 1, cos (π) = — 1, то π = cos − 1 (−1).π = cos − 1 (−1).
• Поскольку tan (π4) = 1, tan (π4) = 1, то π4 = tan − 1 (1). π4 = tan − 1 (1).

В предыдущих разделах мы оценивали тригонометрические функции под разными углами, но иногда нам нужно знать, какой угол даст определенное значение синуса, косинуса или тангенса. Для этого нам потребуются обратные функции. Напомним, что для взаимно однозначной функции, если f (a) = b, f (a) = b, то обратная функция будет удовлетворять f − 1 (b) = a. f − 1 (b) = а.

Имейте в виду, что функции синуса, косинуса и тангенса не взаимно однозначны.График каждой функции не прошел бы тест горизонтальной линии. Фактически, никакая периодическая функция не может быть взаимно однозначной, потому что каждый выход в своем диапазоне соответствует по крайней мере одному входу в каждом периоде, а количество периодов бесконечно. Как и в случае с другими функциями, которые не являются взаимно однозначными, нам нужно будет ограничить область определения каждой функции, чтобы получить новую функцию, которая является взаимно однозначной. Мы выбираем область для каждой функции, которая включает число 0. На рис. 2 показан график синусоидальной функции, ограниченной [−π2, π2] [−π2, π2], и график косинусной функции, ограниченной [0, π] .[0, π].

Рис. 2 (а) Синусоидальная функция в ограниченной области [−π2, π2]; [−π2, π2]; (b) Косинусная функция в ограниченной области [0, π] [0, π]

На рисунке 3 показан график касательной функции, ограниченной (−π2, π2). (−π2, π2).

Рис. 3. Касательная функция в ограниченной области (−π2, π2) (−π2, π2)

Эти обычные варианты выбора для ограниченной области несколько произвольны, но они имеют важные полезные характеристики. Каждый домен включает начало координат и некоторые положительные значения, и, что наиболее важно, каждый результат дает обратимую функцию «один к одному».Обычный выбор для ограниченной области касательной функции также имеет то полезное свойство, что она простирается от одной вертикальной асимптоты к другой вместо того, чтобы быть разделенной на две части асимптотой.

В этих ограниченных областях мы можем определить обратные тригонометрические функции.

• Обратная функция синуса y = sin − 1x y = sin − 1x означает x = sin y. х = грех у. Функция обратного синуса иногда называется функцией арксинуса и обозначается как арксинкс. arcsinx.y = sin − 1x имеет домен [−1,1] и диапазон [−π2, π2] y = sin − 1x имеет домен [−1,1] и диапазон [−π2, π2]
• Функция обратного косинуса y = cos − 1x y = cos − 1x означает x = cos y.х = соз у. Функция обратного косинуса иногда называется функцией арккосинуса и обозначается как arccos x. arccos x.y = cos − 1x имеет домен [−1,1], а диапазон [0, π] y = cos − 1x имеет домен [−1,1] и диапазон [0, π]
• Функция обратной тангенса y = tan − 1x y = tan − 1x означает x = tan y. х = загар у. Функция арктангенса иногда называется функцией арктангенса и обозначается как арктангенс x. arctan x.y = tan − 1x имеет область определения (−∞, ∞) и диапазон (−π2, π2) y = tan − 1x имеет область определения (−∞, ∞) и диапазон (−π2, π2)

Графики обратных функций показаны на рисунках 4, 5 и 6.Обратите внимание, что на выходе каждой из этих обратных функций будет число , угол в радианах. Мы видим, что sin − 1x sin − 1x имеет область определения [−1,1] [−1,1] и диапазон [−π2, π2], [−π2, π2], cos − 1x cos − 1x имеет область определения [−1 , 1] [−1,1] и диапазон [0, π], [0, π], а tan − 1x tan − 1x имеет область определения всех действительных чисел и диапазон (−π2, π2). (−π2, π2). Чтобы найти область и диапазон обратных тригонометрических функций, переключите область и диапазон исходных функций. Каждый график обратной тригонометрической функции является отражением графика исходной функции относительно прямой y = x.у = х.

Рисунок 4 Функция синуса и функция обратного синуса (или арксинуса)

Рисунок 5 Функция косинуса и функция обратного косинуса (или арккосинуса)

Рисунок 6 Функция тангенса и функция арктангенса (или арктангенса)

Соотношения для функций обратного синуса, косинуса и тангенса

Для углов в интервале [−π2, π2], [−π2, π2], если sin y = x, sin y = x, то sin − 1x = y. грех-1x = у.

Для углов в интервале [0, π], [0, π], если cos y = x, cos y = x, то cos − 1x = y.cos − 1x = y.

Для углов в интервале (−π2, π2), (−π2, π2), если tan y = x, tan y = x, то tan − 1x = y. tan − 1x = y.

Пример 1

Запись отношения для обратной функции

Для заданных sin (5π12) ≈0.96593, sin (5π12) ≈0.96593 запишите соотношение, включающее обратный синус.

Решение

Используйте соотношение для обратного синуса. Если sin y = x, sin y = x, то sin − 1x = y sin − 1x = y.

В этой задаче x = 0.96593, x = 0,96593 и y = 5π12. у = 5π12.

sin − 1 (0,96593) ≈5π12 sin − 1 (0,96593) ≈5π12

Попробуй # 1

Учитывая cos (0,5) ≈0,8776, cos (0,5) ≈0,8776, запишите соотношение, включающее обратный косинус.

.

Введение в 6 функций тригонометрии

Введение в 6 функций тригонометрии — Math Open Reference

В основе тригонометрии лежат шесть функций. Вам необходимо полностью понять три основных вопроса:

• Синус (sin)
• Косинус (cos)
• Касательная (загар)

Остальные три используются не так часто и могут быть производными от трех основных функций. Поскольку их легко получить, в калькуляторах и электронных таблицах их обычно нет.

• Секанс (сек)
• Косеканс (csc)
• Котангенс (детская кроватка)

Все шесть функций имеют трехбуквенные сокращения (показаны в скобках выше).

Определения шести функций

Рассмотрим прямоугольный треугольник над. Для каждого угла P или Q есть шесть функций, каждая функция — это соотношение двух сторон треугольника. Единственная разница между шестью функциями заключается в том, какую пару сторон мы используем.

В следующей таблице

• a — длина стороны a , расположенной рядом с рассматриваемым углом (x).
• o — длина стороны o p, положенный угол.
• h — длина ч ypotenuse.

« x » представляет собой меру угла в градусах или радианах.

В следующей таблице обратите внимание, как каждая функция является обратной величиной одной из основных функций sin, cos, tan.

Например, на рисунке выше косинус x — это сторона, примыкающая к x (обозначенная a) над гипотенуза (помечено h): Если a = 12 см и h = 24 см, то cos x = 0.5 (12 из 24).

Soh Cah Toa

Эти 9 букв помогают запомнить соотношения трех основных функций — sin, cos и tan. Произносится как «соака-тава». См. Sohcahtoa.

Передаточные числа постоянные

Поскольку функции имеют соотношение двух сторон, они всегда дают одинаковый результат для заданного угла, независимо от размера треугольника.

На рисунке выше перетащите точку C.Треугольник отрегулируется так, чтобы угол C составлял 30 °. Обратите внимание, как соотношение сторона, противоположная гипотенузе, не меняется, даже если их длина. Из-за этого не меняется и синус 30 °. Всегда 0,5.

Помните: Когда вы применяете функцию триггера к заданному углу, она всегда дает один и тот же результат. Например, tan 60 ° всегда 1,732.

С помощью калькулятора

В большинстве калькуляторов есть кнопки для определения sin, cos и tan угла.Обязательно установите калькулятор в режим градусов или радианов в зависимости от того, какие единицы вы используете.

Обратные функции

Для каждой из шести функций существует обратная функция, которая работает в обратном порядке. Перед обратной функцией стоят буквы «ARC».

Например, функция, обратная COS, — это ARCCOS. В то время как COS сообщает вам косинус угла, ARCCOS сообщает вам, какой угол имеет данный косинус. См. Обратные тригонометрические функции.

В калькуляторах и таблицах обратные функции иногда записано acos (x) или cos ^-1 (x) .

Тригонометрические функции больших и / или отрицательных углов

Шесть функций также можно определить в прямоугольном система координат. Это позволяет им выходить за рамки прямоугольных треугольников, где углы могут иметь любую меру, даже за 360 °, и может быть как положительным, так и отрицательным. Подробнее об этом см. Тригонометрические функции больших и отрицательных углов.

Идентичности — замена функции другими

Тригонометрические тождества — это просто способы написания одной функции с использованием других.Например, из таблицы выше мы видим, что Эта эквивалентность называется тождеством. Если бы у нас было уравнение с сек x , мы могли бы заменить sec x с
на единицу по cos x , если это помогает нам достичь наших целей. Таких отождествлений много. Для получения дополнительной информации см. Тригонометрические тождества.

Не только прямоугольные треугольники

Эти функции определены с помощью прямоугольного треугольника, но их можно использовать и в других треугольниках.Например, Закон синуса и Закон косинусов можно использовать для решить любой треугольник, а не только прямоугольные.

Графическое изображение функций

Функции можно изобразить в виде графиков, а некоторые, в частности функция SIN, создают формы, которые часто встречаются в природе. Например, см. Выше график функции SIN, часто называемой синусоидой. Подробнее см.

Чистые звуковые тона и радиоволны являются синусоидальными волнами в соответствующей среде.

Производные триггерных функций

Каждую из функций можно дифференцировать в исчислении.Результатом является другая функция, которая указывает скорость ее изменения (наклон) при определенных значениях x . Эти производные функции выражаются в терминах других триггерных функций. Подробнее об этом см. Производные тригонометрических функций. См. Также Оглавление по исчислению.

Другие темы по тригонометрии

Уголки

Тригонометрические функции

Решение задач тригонометрии

Исчисление

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

.

8.2 Графики других тригонометрических функций — Алгебра и тригонометрия

Задачи обучения

В этом разделе вы:

• Проанализируйте график y = tan x.
• График изменения y = tan x.
• Проанализируйте графики y = sec x и y = csc x.
• График изменения y = sec x и y = csc x.
• Проанализируйте график y = cot x.
• График изменения y = cot x.

Мы знаем, что функцию касательной можно использовать для определения расстояний, например, высоты здания, горы или флагштока.Но что, если мы хотим измерить повторяющиеся расстояния? Представьте себе, например, полицейскую машину, припаркованную рядом со складом. Вращающийся свет полицейской машины через равные промежутки времени пересекал стену склада. Если на входе время, на выходе будет расстояние, которое проходит луч света. Луч света будет повторять расстояние через равные промежутки времени. Для аппроксимации этого расстояния можно использовать функцию касательной. Асимптоты понадобятся для иллюстрации повторяющихся циклов, когда луч идет параллельно стене, потому что, казалось бы, луч света может длиться вечно.График функции касательной ясно иллюстрирует повторяющиеся интервалы. В этом разделе мы исследуем графики касательной и других тригонометрических функций.

Анализ графика y = tan x

Мы начнем с графика функции касательной, вычерчивая точки, как мы делали для функций синуса и косинуса. Напомним, что

tan x = sin xcos xtan x = sin xcos x

Период касательной функции равен π π, потому что график повторяется на интервалах kπ kπ, где k k — константа.Если мы построим график касательной функции на −π2 −π2 к π2, π2, мы сможем увидеть поведение графика на одном полном цикле. Если мы посмотрим на любой больший интервал, мы увидим, что характеристики графика повторяются.

Мы можем определить, является ли тангенс четной или нечетной функцией, используя определение тангенса.

tan (−x) = sin (−x) cos (−x) Определение касательной. = −sin xcos xSine — нечетная функция, косинус четный. = −sin xcos x Частное нечетной и четной функций является нечетным.= −tan x Определение касательной. Tan (−x) = sin (−x) cos (−x) Определение касательной. = −sin xcos xSine — нечетная функция, косинус четный. = −sin xcos x Частное нечетной и четной функций является нечетным. = −tan x Определение касательной.

Следовательно, касательная — нечетная функция. Мы можем дополнительно проанализировать графическое поведение тангенциальной функции, посмотрев значения для некоторых специальных углов, как указано в таблице 1.

xx	−π2 − π2	−π3 − π3	−π4 − π4	−π6 − π6	0	π6π6	π4π4	π3π3	π2π2
желто-коричневый (x) коричневый (x)	undefined	−3−3	–1	−33−33	0	3333	1	33	undefined

Таблица 1

Эти точки помогут нам нарисовать наш график, но нам нужно определить, как график ведет себя там, где он не определен.Если мы более внимательно рассмотрим значения, когда π3

хх	1,3	1,5	1,55	1,56
tan xtan x	3,6	14,1	48,1	92.6

Таблица 2

По мере приближения x x к π2, π2 выходы функции становятся все больше и больше. Поскольку y = tan x y = tan x — нечетная функция, мы видим соответствующую таблицу отрицательных значений в таблице 3.

xx	-1,3	-1,5	-1,55	-1,56
tan xtan x	−3,6	−14,1	−48,1	−92.6

Таблица 3

Мы можем видеть, что, когда x x приближается к −π2, −π2, выходные данные становятся все меньше и меньше. Помните, что есть некоторые значения x x, для которых cos x = 0. соз х = 0. Например, cos (π2) = 0 cos (π2) = 0 и cos (3π2) = 0. соз (3π2) = 0. При этих значениях касательная функция не определена, поэтому график y = tan x y = tan x имеет разрывы при x = π2 и 3π2. х = π2 и 3π2. При этих значениях график касательной имеет вертикальные асимптоты. На рисунке 1 представлен график y = tan x.у = загар х. Касательная положительна от 0 до π2 π2 и от π π до 3π2, 3π2, соответствующих квадрантам I и III единичной окружности.

Рисунок 1 График касательной функции

Графические вариации y = tan x

Как и в случае с функциями синуса и косинуса, функция тангенса может быть описана с помощью общего уравнения.

Мы можем идентифицировать горизонтальные и вертикальные растяжения и сжатия, используя значения A A и B. B. Горизонтальное растяжение обычно можно определить по периоду графика.При использовании касательных графиков часто необходимо определить вертикальное растяжение, используя точку на графике.

Поскольку нет максимальных или минимальных значений касательной функции, термин амплитуда не может быть интерпретирован так же, как для функций синуса и косинуса. Вместо этого мы будем использовать фразу , коэффициент растяжения / сжатия , когда будем ссылаться на константу A. A.

Характеристики графика y = A tan ( Bx )

• Коэффициент растяжения | A |.| А |.
• Период равен P = π | B |. P = π | B |.
• Область — это все действительные числа x, x, где x ≠ π2 | B | + π | B | k x ≠ π2 | B | + π | B | k такие, что k k является целым числом.
• Диапазон составляет (−∞, ∞). (−∞, ∞).
• Асимптоты встречаются при x = π2 | B | + π | B | k, x = π2 | B | + π | B | k, где k k — целое число.
• y = Atan (Bx) y = Atan (Bx) — нечетная функция.

Построение одного периода растянутой или сжатой функции касательной

Мы можем использовать то, что мы знаем о свойствах функции касательной, чтобы быстро нарисовать график любой растянутой и / или сжатой функции касательной в форме f (x) = Atan (Bx).f (x) = Атан (Bx). Мы фокусируемся на одном периоде функции, включая начало координат, потому что свойство периодичности позволяет нам расширить график на остальную часть области определения функции, если мы хотим. Тогда наша ограниченная область является интервалом (−P2, P2) (−P2, P2), и график имеет вертикальные асимптоты в ± P2 ± P2, где P = πB. P = πB. На (−π2, π2), (−π2, π2) график выйдет из левой асимптоты в точках x = −π2, x = −π2, пересечет начало координат и продолжит увеличиваться по мере приближения к правой асимптоте. при x = π2.х = π2. Чтобы функция приближалась к асимптотам с правильной скоростью, нам также необходимо установить вертикальный масштаб, фактически оценив функцию по крайней мере для одной точки, через которую будет проходить график. Например, мы можем использовать

f (P4) = Atan (BP4) = Atan (Bπ4B) = Af (P4) = Atan (BP4) = Atan (Bπ4B) = A

, потому что tan (π4) = 1. загар (π4) = 1.

Как к

Для функции f (x) = Atan (Bx), f (x) = Atan (Bx), на графике один период.

1. Определите коэффициент растяжения, | A |.| А |.
2. Определите B B и определите период, P = π | B |. P = π | B |.
3. Нарисуйте вертикальные асимптоты в точках x = −P2 x = −P2 и x = P2. х = P2.
4. Для A> 0, A> 0 график приближается к левой асимптоте при отрицательных выходных значениях и к правой асимптоте при положительных выходных значениях (обратное направление для A <0 A <0).
5. Постройте контрольные точки в (P4, A), (P4, A), (0,0), (0,0) и (−P4, −A), (−P4, −A) и начертите график через эти точки.

Пример 1

Построение сжатой касательной

Нарисуйте график одного периода функции y = 0.5тан (π2x). y = 0,5tan (π2x).

Решение

Сначала мы идентифицируем A A и B. B.

Поскольку A = 0,5, A = 0,5 и B = π2, B = π2, мы можем найти коэффициент растяжения / сжатия и период. Период равен ππ2 = 2, ππ2 = 2, поэтому асимптоты находятся в точке x = ± 1. х = ± 1. На четверти периода от начала координат имеем

f (0,5) = 0,5tan (0,5π2) = 0,5tan (π4) = 0,5f (0,5) = 0,5tan (0,5π2) = 0,5tan (π4) = 0,5

Это означает, что кривая должна проходить через точки (0.5,0,5), (0,5,0,5), (0,0), (0,0) и (-0,5, -0,5). (-0,5, -0,5). Единственная точка перегиба находится в начале координат. На рисунке 2 показан график одного периода функции.

Рисунок 2

Попробуй # 1

Нарисуйте график f (x) = 3tan (π6x). f (x) = 3tan (π6x).

Построение одного периода функции смещенной касательной

Теперь, когда мы можем построить график растянутой или сжатой функции касательной, мы добавим вертикальный и / или горизонтальный (или фазовый) сдвиг. В этом случае мы добавляем C C и D D к общему виду касательной функции.

f (x) = Atan (Bx − C) + Df (x) = Atan (Bx − C) + D

График преобразованной функции тангенса отличается от базовой функции тангенса tan x tan x несколькими способами:

Характеристики графика y = A tan ( Bx — C ) + D

• Коэффициент растяжения равен | A |. | А |.
• Период равен π | B |. π | B |.
• Область: x ≠ CB + π | B | k, x ≠ CB + π | B

.

Тригонометрия: тригонометрические функции: функции в квадрантах

Знак тригонометрической функции зависит от знаков координаты точек на терминале сторона угла. Зная, в каком квадранте конечная сторона угол лежит, вы тоже знаете знаки всех тригонометрических функций. Конечная сторона угла может находиться в восьми областях: в любом четырех квадрантов или по осям в либо положительное, либо отрицательное направление ( квадрантные углы).Каждая ситуация означает что-то другое для знаков тригонометрических функций.

Знаки углов в квадрантах

Расстояние от точки до начала координат всегда положительный, но знаки координат x и y могут быть положительными или отрицательными. Таким образом, в первом квадранте, где координаты x и y положительны, все шесть тригонометрические функции имеют положительные значения. Во втором квадранте только синус и косеканс (величина, обратная синусу) положительны.В третьем квадрант, положительны только тангенс и котангенс. Наконец, в в четвертом квадранте положительны только косинус и секанс. Последующий диаграмма может помочь прояснить ситуацию.

Рисунок%: Знаки функций в четырех квадрантах

Значения квадрантных углов

Когда угол лежит вдоль оси, значения тригонометрических функций равны либо 0, 1, -1, либо не определено. Когда значение тригонометрической функции равно undefined, это означает, что соотношение для данной функции включает деление на нуль.Ниже представлена ​​таблица со значениями функций для квадрантных углов.

Рисунок%: Значения квадрантных углов

Точки, в которых значения функции не определены, технически не в области этой функции. Следовательно, область синуса и косинуса равна все реальные числа. Область тангенса и секанса — все действительные числа, кроме + kΠ , где k — целое число. Область косеканса и котангенс — это все действительные числа, кроме kΠ , где k — целое число.

.