Контрольная работа n1 по алгебре: Алгебра 8 Макарычев КР-1 Вариант 1

t = b2 / s2 = 0,087 / 0,046 = 1,89.

Эти значения t согласуются с нашими предыдущими вычислениями, выполненными без матричной алгебры в пределах ошибки округления.

Для проверки разницы между наклонами (например, b ₁ равно b ₂ ) включает члены как для дисперсии весов b , так и для ковариации весов b . В частности,

Этот тест аналогичен двухвыборочному t-критерию, в котором стандартная ошибка разницы определяется как

Разница в том, что дисперсия ошибок для двух средних независима, поэтому ковариация между ними равна нулю.Веса b являются зависимыми, поэтому нам нужно включить ковариацию, чтобы быть точными.

В нашем примере

Примечание. Этот тест имеет смысл только в том случае, если обе гири b одного типа и измеряются на одной шкале. Например, если бы один IV был очками, набранными командой хозяев, а другой был очками, набранными командой гостей за тот же тип игры, это было бы нормально. Но если бы один был за доллары, а другой — на несколько дней, это было бы неправильно, потому что размер блока влияет на размер веса b .

Два средних значения совокупности с неизвестными стандартными отклонениями — вводная статистика

1. Две независимые выборки представляют собой простые случайные выборки из двух различных популяций.
2. Для двух разных популяций:
   • если размеры выборки малы, распределения важны (должны быть нормальными)
   • если размер выборки большой, распределения не важны (не обязательно должны быть нормальными)

ПРИМЕЧАНИЕ

Тест, сравнивающий два независимых средних значения совокупности с неизвестными и, возможно, неравными стандартными отклонениями совокупности, называется t-критерием Аспина-Велча.Формула степеней свободы была разработана Аспином-Велчем.

Сравнение двух средних значений численности населения очень распространено. Разница между двумя образцами зависит как от средних значений, так и от стандартных отклонений. Совершенно разные средства могут возникнуть случайно, если между отдельными образцами есть большие различия. Чтобы учесть вариацию, мы берем разницу средних значений выборки — и делим на стандартную ошибку, чтобы стандартизировать разницу. Результатом является статистика теста t-score.

Поскольку нам неизвестны стандартные отклонения генеральной совокупности, мы оцениваем их, используя два стандартных отклонения выборки из наших независимых выборок. Для проверки гипотезы мы вычисляем оценочное стандартное отклонение или стандартную ошибку , разность средних значений выборки , -.

Статистика теста ( т -балл) рассчитывается следующим образом:

где:

• s ₁ и s ₂ , стандартные отклонения выборки, представляют собой оценки σ ₁ и σ ₂ , соответственно.
• σ ₁ и σ ₁ — неизвестные стандартные отклонения генеральной совокупности.
• и являются образцом. μ ₁ и μ ₂ — средние по совокупности.

Число степеней свободы ( df ) требует довольно сложного вычисления. Однако компьютер или калькулятор легко рассчитают. df не всегда целое число. Вычисленная ранее статистика теста аппроксимируется распределением Стьюдента t с df следующим образом:

Когда оба размера выборки n ₁ и n ₂ равны пяти или больше, приближение Стьюдента t будет очень хорошим.Обратите внимание, что выборочные отклонения ( s ₁ ) ² и ( s ₂ ) ² не объединяются. (Если возникает вопрос, не объединяйте отклонения.)

ПРИМЕЧАНИЕ

Нет необходимости вычислять это вручную. Калькулятор или компьютер легко вычислит это.

Независимые группы

Считается, что среднее количество времени, которое мальчики и девочки в возрасте от семи до 11 лет каждый день проводят за занятиями спортом, одинаково. Проведено исследование и собраны данные, в результате чего данные представлены на (Рисунок).Каждая популяция имеет нормальное распределение.

Есть ли разница в среднем количестве времени, которое мальчики и девочки в возрасте от семи до 11 лет занимаются спортом каждый день? Тест на 5% уровне значимости.

Стандартные отклонения населения неизвестны. Пусть g будет нижним индексом для девочек и b будет нижним индексом для мальчиков. Тогда μ _g — среднее значение для девочек и μ _b — среднее значение для мальчиков. Это тест двух независимых групп , две популяции означает .

Случайная переменная: = разница в среднем количестве времени, в течение которого девочки и мальчики занимаются спортом каждый день.
H ₀ : μ _g = μ _b H ₀ : μ _g — μ _b = 0
H _a : μ _g ≠ μ _b H _a : μ _g — μ _b ≠ 0
Слова «то же самое» говорят вам H ₀ имеет знак «=».Поскольку нет других слов для обозначения H _a , предположим, что здесь сказано, что «отличается». Это двусторонний тест.

Распределение для теста: Используйте t _df , где df рассчитывается с использованием формулы df для независимых групп, двух средних значений совокупности. Используя калькулятор, df составляет приблизительно 18,8462. Не объединять отклонения.

Вычислите значение p , используя распределение Стьюдента t : p -value = 0.0054

График:

Итак, = 2 — 3,2 = –1,2
Половина значения p ниже –1,2, а половина — выше 1,2.

Принять решение: Поскольку α > p -значение, отклонить H ₀ . Это означает, что вы отклоняете μ _g = μ _b . Средства разные.

Нажмите STAT . Перейдите к ТЕСТЫ и нажмите 4: 2-SampTTest .Перейдите к Статистике и нажмите ВВОД . Стрелкой вниз введите 2 для первого выборочного среднего, для Sx1, 9 для n1, 3,2 для второго выборочного среднего, 1 для Sx2 и 16 для n2. Стрелка вниз к µ1: и стрелка к не равняется µ2. Нажмите ENTER . Стрелка вниз к Pooled: и № . Нажмите ENTER . Стрелка вниз до Рассчитайте и нажмите ENTER . Значение p равно p = 0.0054, dfs составляет приблизительно 18,8462, а статистика теста -3,14. Повторите процедуру еще раз, но вместо «Вычислить» сделайте Draw.

Заключение: На уровне значимости 5% данные выборки показывают, что имеется достаточно доказательств, чтобы сделать вывод о том, что среднее количество часов, в течение которых девочки и мальчики в возрасте от семи до 11 лет занимаются спортом в день, различается (среднее количество часов мальчиков в от семи до 11 занятий спортом в день больше, чем среднее количество часов, которые играют девочки, ИЛИ среднее количество часов, которое девочки в возрасте от семи до 11 занимаются спортом в день, больше, чем среднее количество часов, которые играют мальчики).

Попробуй

Два образца показаны на (Рисунок). Оба имеют нормальное распределение. Считается, что средства для двух популяций одинаковы. Есть разница в средствах? Тест на 5% уровне значимости.

ПРИМЕЧАНИЕ

Когда сумма размеров выборки больше 30 ( n ₁ + n ₂ > 30), вы можете использовать нормальное распределение для аппроксимации t Стьюдента.

Группа сообщества в двух соседних колледжах проводит исследование, чтобы определить, какой из них выпускает студентов с большим количеством классов математики. Колледж А составляет 11 выпускников Их среднее значение — четыре класса математики со стандартным отклонением 1.5 классов математики. Колледж Б отбирает девять выпускников. В среднем они составляют 3,5 урока по математике со стандартным отклонением в один класс по математике. Общественная группа считает, что студент, окончивший колледж A , посещал больше уроков математики, в среднем человек. Обе популяции имеют нормальное распределение. Проверьте уровень значимости 1%. Ответьте на следующие вопросы.

а. Это проверка двух средств или двух пропорций?

г. Известны или неизвестны стандартные отклонения популяций?

г.Какой дистрибутив вы используете для проведения теста?

г. Что такое случайная величина?

г.

e. Каковы нулевая и альтернативная гипотезы? Напишите нулевую и альтернативную гипотезы словами и символами.

e.

ф. Это тест: правосторонний, левосторонний или двусторонний?

ф.

правый

ч. Вы отвергаете или не отвергаете нулевую гипотезу?

и.На уровне значимости 1%, исходя из данных выборки, нет достаточных доказательств, чтобы сделать вывод о том, что студент, окончивший колледж A, в среднем посещал больше уроков математики, чем студент, окончивший колледж B.

Попробуй

Было проведено исследование, чтобы определить, удерживает ли компания A своих работников дольше, чем компания B. Компания A отбирает 15 работников, и их среднее время работы в компании составляет пять лет со стандартным отклонением 1,2. Компания B отбирает 20 рабочих, и их среднее время работы в компании составляет 4 человека.5 лет со стандартным отклонением 0,8. Популяции распределены нормально.

1. Известны ли стандартные отклонения населения?
2. Проведите соответствующую проверку гипотезы. Каков ваш вывод на уровне значимости 5%?

Профессор крупного местного колледжа хотел определить, есть ли разница в средних оценках итоговых экзаменов между студентами, которые посещали его онлайн-курс статистики, и студентами, которые посещали его очные статистические занятия.Он считал, что средний балл итоговых экзаменов в онлайн-классе будет ниже, чем в очном. Прав ли профессор? 30 произвольно выбранных финальных экзаменов из каждой группы перечислены на (Рисунок) и (Рисунок).

Является ли средняя оценка за итоговый экзамен онлайн-класса ниже, чем средняя оценка за итоговый экзамен очного занятия? Проверьте уровень значимости 5%. Ответьте на следующие вопросы:

1. Это проверка двух средних или двух пропорций?
2. Известны или неизвестны стандартные отклонения генеральной совокупности?
3. Какой дистрибутив вы используете для тестирования?
4. Что такое случайная величина?
5. Каковы нулевая и альтернативная гипотезы? Запишите нулевую и альтернативную гипотезы словами и символами.
6. Этот тест правый, левый или двусторонний?
7. Что такое значение p ?
8. Вы отвергаете или не отвергаете нулевую гипотезу?
9. На уровне значимости ___, из выборочных данных, ______ (есть / нет) достаточных доказательств, чтобы сделать вывод, что ______.

(см. Заключение на (рисунок) и напишите свое аналогичным образом)

Сначала поместите данные для каждой группы в два списка (например, L1 и L2). Нажмите STAT. Перейдите к ТЕСТЫ и нажмите 4: 2SampTTest.Убедитесь, что данные выделены, и нажмите ENTER. Стрелка вниз и введите L1 для первого списка и L2 для второго списка. Стрелка вниз на μ ₁ : и стрелка на ≠ μ ₂ (не равно). Нажмите Ввод. Стрелка вниз к объему: Нет. Нажмите ENTER. Стрелка вниз, чтобы рассчитать, и нажмите ENTER.

Примечание

Будьте осторожны, чтобы не перепутать информацию для группы 1 и группы 2!

1. два средства
2. неизвестно
3. Студенческая т
5. 1. H ₀ : μ ₁ = μ ₂ Нулевая гипотеза: средние оценки итоговых экзаменов равны для классов онлайн-статистики и очной статистики.
   2. H _a : μ ₁ < μ ₂ Альтернативная гипотеза: средняя оценка итоговых экзаменов в онлайн-классе меньше, чем средняя оценка итоговых экзаменов очных занятий класс лица.
6. левый хвост
7. p -значение = 0,0011
8. Отклонить нулевую гипотезу
9. Профессор был прав. Факты показывают, что средний балл итоговых экзаменов в онлайн-классе ниже, чем в очном.
   На уровне значимости 5% , исходя из выборочных данных, есть (есть / нет) достаточные доказательства, чтобы сделать вывод о том, что среднее значение итоговых экзаменов для онлайн-класса меньше среднего итогового экзаменационного результата. очного занятия.

Коэна для малых, средних и больших размеров эффекта Стандарты Коэна d — это мера величины эффекта, основанная на разнице между двумя средними значениями. Коэн d , названный в честь статистика США Джейкоба Коэна, измеряет относительную силу различий между средними значениями двух популяций на основе данных выборки.Рассчитанное значение величины эффекта затем сравнивается со стандартами Коэна для малых, средних и больших величин эффекта.

d Коэна — это мера разницы между двумя средними, деленная на объединенное стандартное отклонение: где

Рассчитайте d Коэна для (Рисунок).Размер эффекта маленький, средний или большой? Объясните, что означает размер эффекта для этой проблемы.

μ ₁ = 4 с ₁ = 1,5 n ₁ = 11
μ ₂ = 3,5 с ₂ = 1 n ₂ = 9
d = 0,384
Эффект небольшой, потому что 0,384 находится между значением Коэна 0,2 для небольшого размера эффекта и 0,5 для среднего размера эффекта.Размер различий средних значений для двух колледжей невелик, что указывает на то, что между ними нет существенной разницы.

Рассчитайте d Коэна для (Рисунок). Размер эффекта маленький, средний или большой? Объясните, что означает размер эффекта для этой проблемы.

d = 0,834; Большой, потому что 0,834 больше, чем 0,8 по Коэну для большого размера эффекта. Разница между средними показателями итогового экзамена онлайн-студентов и студентов очного обучения велика, что указывает на значительную разницу.

Попробуй

Взвешенная альфа — это показатель доходности акций с поправкой на риск за год. Высокая положительная взвешенная альфа означает, что цена акции выросла, а небольшая положительная взвешенная альфа указывает на неизменную цену акций в течение периода времени. Взвешенная альфа используется для выявления компаний с сильными восходящими или нисходящими тенденциями. Взвешенная альфа для 30 крупнейших акций банков на северо-востоке и западе, определенная Nasdaq 24 мая 2013 г., указана на (Рисунок) и (Рисунок), соответственно.

Есть ли разница в взвешенной альфе акций 30 крупнейших банков на северо-востоке и западе? Проверьте уровень значимости 5%. Ответьте на следующие вопросы:

1. Это проверка двух средних или двух пропорций?
2. Известны или неизвестны стандартные отклонения генеральной совокупности?
3. Какой дистрибутив вы используете для тестирования?
4. Что такое случайная величина?
5. Каковы нулевая и альтернативная гипотезы? Запишите нулевую и альтернативную гипотезы словами и символами.
6. Этот тест правый, левый или двусторонний?
7. Что такое значение p ?
8. Вы отвергаете или не отвергаете нулевую гипотезу?
9. На уровне значимости ___, из выборочных данных, ______ (есть / нет) достаточных доказательств, чтобы сделать вывод, что ______.
10. Вычислите d Коэна и интерпретируйте его.

Обзор главы

Два средних значения совокупности из независимых выборок, где стандартные отклонения генеральной совокупности неизвестны

• Случайная переменная: = разница средств выборки
• Распределение: t -распределение Стьюдента со степенями свободы (отклонения не объединяются)

Обзор формулы

Стандартная ошибка: SE =

Статистика теста ( т -балл): т =

степеней свободы:

где:

s ₁ и s ₂ — стандартные отклонения выборки, а n ₁ и n ₂ — размеры выборки.

и являются образцом.

Коэна d — мера величины эффекта:

где

Используйте следующую информацию, чтобы ответить на следующие 15 упражнений: Укажите, предназначена ли проверка гипотезы для

1. известные средние по независимой группе, стандартные отклонения и / или дисперсии
2. средние значения независимых групп, стандартные отклонения совокупности и / или дисперсии неизвестны
3. сопоставленные или парные образцы
4. среднее значение
5. две пропорции
6. одинарная пропорция

Считается, что 70% мужчин сдают тест водителей с первой попытки, а 65% женщин сдают тест с первой попытки.Интересно, равны ли на самом деле пропорции.

Новый стиральный порошок протестирован на потребителях. Обращает на себя внимание доля потребителей, которые предпочитают новый бренд лидирующему конкуренту. Для проверки этого проводится исследование.

Новая обработка лобового стекла утверждает, что она более эффективно отталкивает воду. Десять ветровых стекол испытываются путем имитации дождя без новой обработки. Затем обрабатываются те же лобовые стекла, и эксперимент проводится снова. Проводится проверка гипотез.

совпадающих или парных выборок

Известное стандартное отклонение в заработной плате для всех профессионалов среднего звена в финансовой индустрии составляет 11 000 фунтов стерлингов. Компания A и компания B работают в финансовой сфере. Предположим, что взяты образцы профессионалов среднего звена из компании A и из компании B. Выборочная средняя заработная плата профессионалов среднего звена в компании A составляет 80 000 фунтов стерлингов. Выборочная средняя заработная плата для специалистов среднего звена в компании B составляет 96 000 фунтов стерлингов. Руководство компании A и компании B хочет знать, по-разному ли в среднем платят их специалистам среднего звена.

Средний рабочий в Германии получает восемь недель оплачиваемого отпуска.

Согласно телевизионной рекламе, 80% стоматологов согласны с тем, что зубная паста Ultrafresh — лучшая на рынке.

Считается, что средняя оценка за сочинение по английскому языку в определенной школьной системе у женщин выше, чем у мужчин. Случайная выборка из 31 женщины имела средний балл 82 со стандартным отклонением три, а случайная выборка из 25 мужчин имела средний балл 76 со стандартным отклонением четыре.

средние по независимой группе, стандартные отклонения и / или дисперсии по совокупности неизвестны

Среднее значение по лиге составляет 0,280 с известным стандартным отклонением 0,06. Гремучители и Викинги принадлежат к лиге. Среднее значение ватина для выборки из восьми Rattlers составляет 0,210, а среднее значение ватина для выборки из восьми викингов — 0,260. 24 игрока на Rattlers и 19 игроков на Vikings. Различаются ли статистически средние показатели Рэттлеров и Викингов?

В случайной выборке из 100 лесов в США 56 были хвойными или содержали хвойные породы.В случайной выборке из 80 лесов в Мексике 40 были хвойными или содержали хвойные породы. Является ли доля хвойных пород в США статистически больше, чем доля хвойных пород в Мексике?

Говорят, что новое лекарство улучшает сон. Случайным образом выбираются восемь субъектов, которым дается лекарство. Среднее количество часов сна каждого человека регистрировалось до начала приема лекарства и после него.

Считается, что подростки в среднем спят больше взрослых. Для подтверждения этого проводится исследование.Выборка из 16 подростков имеет среднее время сна 8,9 часа и стандартное отклонение 1,2. Выборка из 12 взрослых имеет среднее время сна 6,9 часа и стандартное отклонение 0,6.

средние по независимой группе, стандартные отклонения и / или дисперсии по совокупности неизвестны

Универсиады тренируются в среднем пять раз в неделю.

Выборка из 12 государственных программ аспирантуры в школе A имеет среднюю плату за обучение в размере 64 000 фунтов стерлингов со стандартным отклонением 8 000 фунтов стерлингов. В школе B выборка из 16 программ магистратуры штата имеет среднее значение 80 000 фунтов стерлингов со стандартным отклонением 6 000 фунтов стерлингов.В среднем отличается ли средняя плата за обучение?

средние по независимой группе, стандартные отклонения и / или дисперсии по совокупности неизвестны

Потребителям предлагается новый усилитель диапазона Wi-Fi. Исследователь тестирует собственный диапазон 12 различных маршрутизаторов в одинаковых условиях. Диапазоны записываются. Затем исследователь использует новый усилитель диапазона WiFi и записывает новые диапазоны. Лучше ли работает новый усилитель диапазона Wi-Fi?

Директор средней школы утверждает, что 30% студентов-спортсменов едут в школу сами, а 4% не-спортсменов едут в школу сами.В выборке из 20 студентов-спортсменов 45% ездят в школу сами. В выборке из 35 студентов, не занимающихся спортом, 6% ездят в школу самостоятельно. Является ли процент студентов-спортсменов, которые ездят в школу самостоятельно, больше, чем процент не спортсменов?

Используйте следующую информацию, чтобы ответить на следующие три упражнения: Проводится исследование, чтобы определить, какой из двух безалкогольных напитков содержит больше сахара. В образце 13 банок напитка А и шесть банок напитка Б. Среднее количество сахара в напитке А составляет 36 граммов со стандартным отклонением 0.6 грамм. Среднее количество сахара в напитке B составляет 38 граммов со стандартным отклонением 0,8 грамма. Исследователи считают, что в напитке B в среднем больше сахара, чем в напитке A. Обе популяции имеют нормальное распределение.

Стандартные отклонения известны или неизвестны?

Что такое случайная величина?

Случайная величина — это разница между средним количеством сахара в двух безалкогольных напитках.

Это односторонний или двусторонний тест?

Используйте следующую информацию, чтобы ответить на следующие 12 упражнений: The U.Центр контроля заболеваний С. сообщает, что средняя продолжительность жизни составляла 47,6 года для белых, родившихся в 1900 году, и 33,0 года для небелых. Предположим, вы произвольно просматриваете записи о смерти людей, родившихся в 1900 году в определенном округе. Из 124 белых средняя продолжительность жизни составила 45,3 года со стандартным отклонением 12,7 года. Средняя продолжительность жизни из 82 небелых составила 34,1 года со стандартным отклонением 15,6 года. Проведите проверку гипотезы, чтобы увидеть, была ли средняя продолжительность жизни в округе одинаковой для белых и небелых.

Это тест на средства или пропорции?

Сформулируйте нулевую и альтернативную гипотезы.

1. H ₀ : __________
2. H _a : __________

Это правосторонний, левосторонний или двусторонний тест?

В символах, какая случайная переменная представляет интерес для этого теста?

На словах определите интересующую случайную переменную для этого теста.

разница между средней продолжительностью жизни белых и небелых

Какое распределение (нормальное или распределение Стьюдента t ) вы бы использовали для этой проверки гипотезы?

Объясните, почему вы выбрали именно тот дистрибутив (рисунок).

Это сравнение двух средних значений совокупности с неизвестными стандартными отклонениями совокупности.

Рассчитайте статистику теста и значение p .

Нарисуйте график ситуации. Обозначьте горизонтальную ось. Отметьте предполагаемую разницу и разницу в выборке. Заштрихуйте область, соответствующую значению p .

Проверить решение учащегося.

При заранее заданном α = 0,05, каково ваше:

1. Решение:
2. Причина решения:
3. Заключение (выпишите полным предложением):

1. Отклонить нулевую гипотезу
2. p -значение <0.05
3. Недостаточно доказательств на уровне значимости 5%, чтобы поддержать утверждение о том, что продолжительность жизни в 1900-х годах различается между белыми и небелыми.

Похоже, что средства те же? Почему или почему нет?

Домашнее задание

УКАЗАНИЯ: Для каждой задачи со словом используйте лист с решениями для проверки гипотезы. Лист решения находится в Приложении E. Пожалуйста, делайте копии листов решения. Для онлайн-версии книги рекомендуется скопировать файл.doc или файлы .pdf.

ПРИМЕЧАНИЕ

Если вы используете распределение ученика t для следующей задачи домашнего задания, в том числе для парных данных, вы можете предположить, что основная совокупность распределена нормально. (Однако при использовании этих тестов в реальной ситуации вы должны сначала доказать это предположение.)

Считается, что среднее количество курсов английского языка, которые проходят за двухлетний период студентами колледжей мужского и женского пола, примерно одинаково.Проведен эксперимент и собраны данные от 29 мужчин и 16 женщин. Мужчины прошли в среднем три курса английского языка со стандартным отклонением 0,8. Женщины прошли в среднем четыре курса английского языка со стандартным отклонением 1,0. Статистически ли средние значения одинаковы?

Студент четырехлетнего колледжа утверждает, что средний набор в четырехлетние колледжи выше, чем в двухгодичных колледжах в Соединенных Штатах. Проведены два опроса. Из 35 обследованных двухгодичных колледжей среднее число учащихся составило 5 068 человек со стандартным отклонением 4 777 человек.Из 35 опрошенных четырехлетних колледжей среднее число учащихся составило 5 466 человек со стандартным отклонением 8 191 человек.

Индексы: 1: двухгодичные колледжи; 2: четырехлетние колледжи

1. H ₀ : μ ₁ ≥ μ ₂
2. H _a : μ ₁ < μ ₂
3. — это разница между средней посещаемостью двухгодичных и четырехлетних колледжей.
4. Студенческая — т
5. статистика теста: -0,2480
6. p -значение: 0,4019
7. Проверить решение учащегося.
8. 1. Альфа: 0,05
   2. Решение: не отклонять
   3. Причина решения: p -значение> альфа
   4. Заключение. При уровне значимости 5% имеется достаточно доказательств, чтобы сделать вывод о том, что средний набор учащихся в четырехлетние колледжи выше, чем в двухгодичных колледжах.

На вечеринке по случаю дня рождения Рэйчел 11 ^th восемь девушек были приурочены к тому, чтобы посмотреть, как долго (в секундах) они смогут задерживать дыхание в расслабленном положении.После двухминутного отдыха они рассчитали время во время прыжка. Девочки думали, что средняя разница между их прыжками и расслаблением будет равна нулю. Проверьте свою гипотезу.

Предполагается, что средняя заработная плата начального уровня выпускников колледжей со степенью инженера-механика и инженера-электрика примерно одинакова.Военкомат считает, что средняя зарплата инженера-механика на самом деле ниже средней зарплаты инженера-электрика. Кадровая служба произвольно опрашивает 50 инженеров-механиков начального уровня и 60 инженеров-электриков начального уровня. Их средняя заработная плата составляла 46 100 и 46 700 евро соответственно. Их стандартные отклонения составили 3450 и 4210 фунтов соответственно. Проведите проверку гипотез, чтобы определить, согласны ли вы с тем, что средняя зарплата начинающего инженера-механика ниже, чем средняя зарплата электротехника начального уровня.

Индексы: 1: машиностроение; 2: электротехника

1. H ₀ : µ ₁ ≥ µ ₂
2. H _a : µ ₁ < µ ₂
3. — это разница между средней заработной платой инженеров-механиков и инженеров-электриков начального уровня.
4. т ₁₀₈
Статистика теста
5. : т = –0.82
6. p -значение: 0.2061
7. Проверить решение учащегося.
8. 1. Альфа: 0,05
   2. Решение: Не отвергать нулевую гипотезу.
   3. Причина решения: p -значение> альфа
   4. Заключение. При уровне значимости 5% недостаточно доказательств, чтобы сделать вывод о том, что средняя начальная заработная плата инженеров-механиков ниже, чем у инженеров-электриков.

Маркетинговые компании собрали данные, свидетельствующие о том, что девочки-подростки используют больше рингтонов на своих сотовых телефонах, чем мальчики.В одном конкретном исследовании с участием 40 случайно выбранных девочек и мальчиков-подростков (по 20 каждого) с сотовыми телефонами среднее количество мелодий звонка для девочек составило 3,2 со стандартным отклонением 1,5. Среднее значение для мальчиков составило 1,7 при стандартном отклонении 0,8. Проведите проверку гипотезы, чтобы определить, совпадают ли средние значения или среднее значение девочек выше среднего значения мальчиков.

Используйте информацию из (Рисунок), чтобы ответить на следующие четыре упражнения.

Используя данные только первого круга, проведите проверку гипотезы, чтобы определить, является ли среднее время прохождения круга в гонках таким же, как и на практике.

1. H ₀ : µ ₁ = µ ₂
2. H _a : µ ₁ ≠ µ ₂
3. — это разница между средним временем прохождения круга в гонках и на тренировках.
4. т _20,32
5. статистика теста: –4,70
6. p -значение: 0,0001
7. Проверить решение учащегося.
8. 1. Альфа: 0,05
   2. Решение: отклонить нулевую гипотезу.
   3. Причина решения: p -значение <альфа
   4. Заключение: При уровне значимости 5% имеется достаточно доказательств, чтобы сделать вывод о том, что среднее время прохождения круга в гонках отличается от такового на практике.

Повторите тест из упражнения 10.83, но на этот раз объедините данные из 1 и 5 кругов.

1. H ₀ : µ ₁ = µ ₂
2. H _a : µ ₁ ≠ µ ₂
3. — это разница между средним временем прохождения круга в гонках и на тренировках.
4. т _40.94
5. статистика теста: –5,08
6. p -значение: ноль
7. Проверить решение учащегося.
8. 1. Альфа: 0,05
   2. Решение: отклонить нулевую гипотезу.
   3. Причина решения: p -значение <альфа
   4. Заключение: При уровне значимости 5% имеется достаточно доказательств, чтобы сделать вывод о том, что среднее время прохождения круга в гонках отличается от такового на практике.

В двух-трех полных предложениях подробно объясните, как вы можете использовать данные Терри Фогель, чтобы ответить на следующий вопрос. «Терри Фогель едет быстрее на гонках, чем на тренировках?»

Используйте следующую информацию, чтобы ответить на следующие два упражнения. В конференциях Высшей и Западной футбольной лиги есть новый резервный дивизион, который позволяет новым игрокам развивать свои навыки. Данные за случайно выбранную дату показали следующие годовые цели.

Проведите проверку гипотез, чтобы ответить на следующие два упражнения.

точное распределение для проверки гипотезы:

1. нормальное распределение
2. Студенческая т -распределение
3. равномерное распределение
4. экспоненциальное распределение

Если уровень значимости 0,05, вывод:

1. Имеется достаточно доказательств, чтобы сделать вывод о том, что команды W в среднем забивают меньше голов, чем команды E
2. Недостаточно доказательств, чтобы сделать вывод о том, что команды W в среднем забивают больше голов, чем команды E .
3. Недостаточно доказательств, чтобы сделать вывод о том, что команды W в среднем забивают меньше голов, чем команды E .
4. Невозможно определить

Предположим, инструктор по статистике считает, что нет существенной разницы между средними баллами дневных студентов по статистике на Экзамене 2 и статистических вечерних студентов на Экзамене 2. Она берет случайные выборки из каждой популяции. Среднее значение и стандартное отклонение для 35 студентов дневного отделения статистики составили 75.86 и 16.91. Среднее значение и стандартное отклонение для 37 студентов-статистиков-вечерников составили 75,41 и 19,73. Нижний индекс «день» относится к студентам-дневникам статистики. Нижний индекс «ночь» относится к статистике вечерних школьников. Заключительное заявление:

1. Имеется достаточно доказательств, чтобы сделать вывод о том, что статистические данные среднего учащихся дневного отделения по экзамену 2 лучше, чем статистические данные среднего учащихся дневного отделения по экзамену 2.
2. Недостаточно доказательств, чтобы сделать вывод о том, что статистика дневных учеников по Экзамену 2 лучше, чем статистика ночных учеников по экзамену 2.
3. Недостаточно доказательств, чтобы сделать вывод о значительном различии между средними значениями статистики дневных и вечерних студентов на экзамене 2.
4. Имеется достаточно доказательств, чтобы сделать вывод о значительном различии между средними значениями статистики дневных и вечерних учащихся на экзамене 2.

Исследователи опросили уличных проституток в Канаде и США. Средний возраст 100 канадских проституток на момент занятия проституцией составлял 18 лет со стандартным отклонением шесть.Средний возраст 130 проституток в США, когда они начали заниматься проституцией, составлял 20 лет со стандартным отклонением восемь. Является ли средний возраст занятия проституцией в Канаде ниже, чем средний возраст в Соединенных Штатах? Проверьте уровень значимости 1%.

Тест: два независимых средних значения выборки, стандартные отклонения генеральной совокупности неизвестны.

Случайная переменная:

Распределение: H ₀ : μ ₁ = μ ₂ H _a : μ ₁ < μ ₂ Средний возраст начала проституции в Канада ниже среднего возраста в Соединенных Штатах.

График: левосторонний

p -значение: 0,0151

Решение: Не отклонять H ₀ .

Заключение. При уровне значимости 1%, основанном на данных выборки, нет достаточных доказательств, чтобы сделать вывод о том, что средний возраст начала проституции в Канаде ниже, чем средний возраст в Соединенных Штатах.

Порошковая диета протестирована на 49 человек, а жидкая диета — на 36 различных людях. Интересно, приводит ли жидкая диета к более высокой средней потере веса, чем порошковая диета.В группе с порошковой диетой средняя потеря веса составила 42 фунта со стандартным отклонением 12 фунтов. В группе с жидкой диетой средняя потеря веса составила 45 фунтов со стандартным отклонением 14 фунтов.

Предположим, инструктор по статистике считает, что нет существенной разницы между средними баллами дневных студентов по статистике на Экзамене 2 и статистических вечерних студентов на Экзамене 2. Она берет случайные выборки из каждой популяции. Среднее значение и стандартное отклонение для 35 студентов дневного отделения статистики составили 75.86 и 16,91 соответственно. Среднее значение и стандартное отклонение для 37 студентов-статистиков-вечерников составили 75,41 и 19,73. Нижний индекс «день» относится к студентам-дневникам статистики. Нижний индекс «ночь» относится к статистике вечерних школьников. Подходящая альтернативная гипотеза для проверки гипотезы:

1. мкм _день > мкм _ночь
2. мкм _день < мкм _ночь
3. мкм _день = мкм _ночь
4. мкм _день ≠ мкм _ночь

Глоссарий

Степени свободы ( df )

количество объектов в выборке, которые могут изменяться.

Стандартное отклонение

Число, равное квадратному корню из дисперсии и измеряющее, насколько далеко значения данных отличаются от своего среднего; обозначение: s для стандартного отклонения выборки и σ для стандартного отклонения генеральной совокупности.

Переменная (случайная переменная)

характеристика интереса к изучаемому населению. Общее обозначение переменных — заглавные латинские буквы X , Y , Z ,… Общее обозначение для определенного значения из домена (набор всех возможных значений переменной) — строчные латинские буквы x , y , z ,….Например, если X — это количество детей в семье, тогда x представляет собой конкретное целое число 0, 1, 2, 3,…. Переменные в статистике отличаются от переменных в промежуточной алгебре двумя следующими способами.

• Область случайной величины (RV) не обязательно является числовым набором; домен может быть выражен словами; например, если X = цвет волос, то домен будет {черный, светлый, серый, зеленый, оранжевый}.
• Мы можем сказать, какое именно значение x случайной величины X принимает только после проведения эксперимента.

страница не найдена — Williams College

Статистика: сила из данных! Организационные данные: стеблевые и листовые участки

Архивный контент

Информация, помеченная как архивная, предназначена для справки, исследования или ведения записей.Он не регулируется веб-стандартами правительства Канады и не изменялся и не обновлялся с момента его архивирования. Свяжитесь с нами, чтобы запросить формат, отличный от доступных.

График стебля и листа или график ствола — это метод, используемый для классификации дискретных или непрерывных переменных . График стебля и листа используется для организации данных по мере их сбора.

График стебля и листа выглядит как гистограмма. Каждое число в данных разбито на стержень и лист, отсюда и название.Основа числа включает все цифры, кроме последней. Лист числа всегда будет однозначным.

Хороший стебельно-листовой участок

• показывает первые цифры числа (тысячи, сотни или десятки) как основание и показывает последнюю цифру (единицы) как лист .
  
• обычно использует целые числа. Все, что имеет десятичную точку, округляется до ближайшего целого числа. Например, результаты испытаний, скорости, высоты, веса и т. Д.
  
• выглядит как гистограмма, когда он повернут на бок.
  
• показывает, как распределяются данные — то есть наибольшее число, наименьшее число, наиболее распространенное число и выбросы (число, лежащее за пределами основной группы чисел).

После того, как вы решили, что график стебля и листа — лучший способ показать ваши данные, нарисуйте его следующим образом:

• В левой части страницы запишите тысячи, сотни или десятки (все цифры, кроме последней).Это будут ваши стебли.
• Проведите линию справа от этих стержней.
• На другой стороне линии запишите единицы (последняя цифра числа). Это будут твои листья.

Например, если наблюдаемое значение равно 25, тогда стебель равен 2, а лист — 5. Если наблюдаемое значение равно 369, то стебель равен 36, а лист равен 9. Если наблюдения точны до одного или нескольких десятичных разрядов, например 23,7, стержень равен 23, а лист — 7. Если диапазон значений слишком велик, число 23.7 можно округлить до 24, чтобы ограничить количество стержней.

На делянках стволов и листьев отметки не требуются, поскольку используются фактические данные.

Не совсем понимаете? Попробуйте выполнить упражнения.

Пример 1 — Создание участка стебля и листа

Каждое утро учитель задавал в классе 20 вопросов по географии. Класс ставил их вместе, и каждый записывал свои личные баллы. По прошествии года каждый студент пытался улучшить свои оценки викторины.Каждый день Эллиот записывал свои контрольные отметки на участке стебля и листа. Вот как выглядели его отметки на графике:

Проанализируйте график стебля и листа Эллиота. Какой у него самый частый результат в викторинах по географии? Какая у него самая высокая оценка? Его самый низкий балл? Поверните участок стебля и листа на бок так, чтобы он выглядел как гистограмма.Большинство оценок Эллиота составляют 10, 20 или меньше 10? По сюжету трудно понять, улучшился ли Эллиот или нет, потому что мы не знаем порядок этих оценок.

Попробуйте сделать свой собственный участок стебля и листа. Используйте оценки чего-то вроде всех ваших результатов экзаменов в прошлом году или очков, набранных вашей спортивной командой в этом сезоне.

Основное преимущество графика ствола и листа заключается в том, что данные сгруппированы, а также отображаются все исходные данные.В Примере 3 о сроке службы батареи в разделе Таблицы распределения частот таблица показывает, что два наблюдения произошли в интервале от 360 до 369 минут. Однако таблица не сообщает вам, что это за фактические наблюдения. График стебля и листа покажет эту информацию. Без графика ствола и листа два значения (363 и 369) можно найти только путем поиска по всем исходным данным — утомительная задача, когда у вас много данных!

При просмотре набора данных каждое наблюдение можно рассматривать как состоящее из двух частей — стебля и листа.Чтобы построить график стебля и листа, каждое наблюдаемое значение необходимо сначала разделить на две части:

• Основа — это первая цифра или цифры;
• Лист — это последняя цифра значения;
• Каждая основа может состоять из любого количества цифр; но
• На каждом листе может быть только одна цифра.

Пример 2 — Создание участка стебля и листа

Учительница спросила 10 своих учеников, сколько книг они прочитали за последние 12 месяцев.Их ответы были следующие:

12, 23, 19, 6, 10, 7, 15, 25, 21, 12

Подготовьте график стебля и листа для этих данных.

Совет: Число 6 можно записать как 06, что означает, что у него на ножке 0 и на листе 6.

Участок стебля и листа должен выглядеть так:

В таблице 2:

• стержень 0 представляет интервал классов от 0 до 9;
• шток 1 представляет интервал классов от 10 до 19; и
• стержень 2 представляет интервал классов от 20 до 29.

Обычно участок стебля и листа имеет порядок как , что просто означает, что листья расположены в порядке возрастания слева направо. Кроме того, нет необходимости разделять листья (цифры) знаками препинания (запятыми или точками), поскольку каждый лист всегда представляет собой одну цифру.

Используя данные из Таблицы 2, мы сделали заказанный участок стебля и листа , показанный ниже:

Пример 3 — Создание упорядоченного участка стебля и листа

Пятнадцать человек спросили, как часто они ездят на работу более 10 рабочих дней.Каждый человек водил машину следующим образом:

5, 7, 9, 9, 3, 5, 1, 0, 0, 4, 3, 7, 2, 9, 8

Сделайте для этого стола заказанный участок стебля и листа.

Его необходимо нарисовать следующим образом:

Организация этого участка стебля и листа не дает много информации о данных.Имея только один стебель, листья переполнены. Если листья становятся слишком скученными, может быть полезно разделить каждый стебель на два или более компонентов. Таким образом, интервал 0–9 можно разделить на два интервала 0–4 и 5–9. Точно так же стержень 0–9 можно разделить на пять интервалов: 0–1, 2–3, 4–5, 6–7 и 8–9.

В этом случае участок стебля и листа должен выглядеть следующим образом:

Примечание: Стержень 0 ⁽⁰⁾ означает все данные в интервале 0–4.Ствол 0 ⁽⁵⁾ означает все данные в интервале 5–9.

Пример 4 — Разделение стеблей

Бритни готовится к соревнованиям по плаванию. Количество 50-метровых кругов, которые она проплавала каждый день в течение 30 дней, составляет:

22, 21, 24, 19, 27, 28, 24, 25, 29, 28, 26, 31, 28, 27, 22, 39, 20, 10, 26, 24, 27, 28, 26, 28, 18 , 32, 29, 25, 31, 27

1. Подготовить заказанный участок стебля и листа. Кратко прокомментируйте, что он показывает.
2. Нарисуйте участок стебля и листа заново, разделив стебли на интервалы по пять единиц. Кратко прокомментируйте, что показывает новый сюжет.

1. Диапазон наблюдений составляет от 10 до 39, поэтому на участке стебля и листа должны быть стебли 1, 2 и 3. Упорядоченный участок стебля и листа показан ниже:

   Таблица 6. Круги, пройденные Бритни за 30 дней

   1	0 8 9
   2	0 1 2 2 4 4 4 5 5 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 8 9 9
   3	1 1 2 9

   График стебля и листа показывает, что Бритни обычно проплывает от 20 до 29 кругов на тренировке каждый день.
2. Разделение стеблей на интервалы по пять единиц дает следующий участок стебля и листа:

   Таблица 7. Круги, пройденные Бритни за 30 дней

   1 (0)	0
   1 (5)	8 9
   2 (0)	0 1 2 2 4 4 4
   2 (5)	5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 9 9
   3 (0)	1 1 2
   3 (5)	9

   Примечание: Стержень 1 ⁽⁰⁾ означает все данные от 10 до 14, 1 ⁽⁵⁾ означает все данные от 15 до 19 и т. Д.

   Пересмотренный график стебля и листа показывает, что Бритни обычно плавает от 25 до 29 кругов на тренировках каждый день. Значения 1 ⁽⁰⁾ 0 = 10 и 3 ⁽⁵⁾ 9 = 39 можно рассматривать как выбросы — концепция, которая будет описана в следующем разделе.

Пример 5 — Разделение стержней с использованием десятичных значений

Вес (с точностью до десятых килограмма) 30 студентов был измерен и записан следующим образом:

59.2, 61.5, 62.3, 61.4, 60.9, 59.8, 60.5, 59.0, 61.1, 60.7, 61.6, 56.3, 61.9, 65.7, 60.4, 58.9, 59.0, 61.2, 62.1, 61.4, 58.4, 60.8, 60.2, 62.7, 60.0, 59,3, 61,9, 61,7, 58,4, 62,2

Подготовьте упорядоченный график стебля и листа для данных. Кратко прокомментируйте, что показывает анализ.

Ответ

В этом случае стебли будут целыми числами, а листья — десятичными значениями. Диапазон данных от 56,3 до 65,7, поэтому стержни должны начинаться с 56 и заканчиваться на 65.

В этом примере не было необходимости разделять стебли, потому что листья не скапливаются на слишком малом количестве стеблей; также не было необходимости округлять значения, поскольку диапазон значений невелик.Этот график стебля и листа показывает, что группа с наибольшим количеством зарегистрированных наблюдений — это группа от 61,0 до 61,9.

Выброс — это экстремальное значение данных. Это значение наблюдения, которое значительно отличается от остальных данных. В наборе данных может быть несколько выбросов.

Иногда выбросы являются важной информацией, и их не следует игнорировать. В других случаях они возникают из-за ошибки или дезинформации, и их следует игнорировать.

В предыдущем примере 56,3 и 65,7 можно было считать выбросами, поскольку эти два значения сильно отличаются от других значений.

Игнорируя эти два выброса, график стебля и листа из предыдущего примера можно перерисовать, как показано ниже:

При использовании участка стебля и листа определение выброса часто является вопросом суждения.Это связано с тем, что, за исключением случаев использования коробчатых диаграмм (объясненных в разделе, посвященном прямоугольным диаграммам и диаграммам усов), нет строгого правила относительно того, насколько далеко должно быть значение от остальной части набора данных, чтобы считаться выбросом.

Когда вы оцениваете общий образец любого распределения (который представляет собой образец, сформированный всеми значениями конкретной переменной), обратите внимание на следующие особенности:

• количество вершин
• общая форма (косая или симметричная)
• центр
• спред

Количество вершин

Линейные графики полезны, потому что они легко показывают некоторые характеристики данных.(Подробнее об этом типе графиков см. В разделе о линейных графиках.)

Первая характеристика, которую можно легко увидеть на линейном графике, — это количество высших точек или пиков, которые имеет распределение.

В то время как большинство распределений, которые встречаются в статистических данных, имеют только один главный пик (одномодальный), другие распределения могут иметь два пика (бимодальный) или более двух пиков (мультимодальный).

Примеры унимодальных, бимодальных и мультимодальных линейных графиков показаны ниже:

Общая форма

Вторая основная характеристика распределения — это степень симметричности .

Совершенно симметричная кривая — это такая кривая, в которой обе стороны распределения будут точно соответствовать друг другу, если фигура будет сложена над ее центральной точкой. Пример показан ниже:

Симметричное унимодальное колоколообразное распределение — относительно обычное явление — называется нормальным распределением.

Если распределение является асимметричным, говорят, что оно искажено .

Говорят, что распределение смещено вправо или смещено положительно, , когда большая часть данных сосредоточена в левой части распределения.Распределения с положительным перекосом встречаются чаще, чем с отрицательным перекосом.

Доход является одним из примеров положительно искаженного распределения. Большинство людей зарабатывают менее 40 000 долларов в год, но некоторые зарабатывают немного больше, а меньшее число зарабатывает многие миллионы долларов в год. Следовательно, положительный (правый) хвост на линейном графике дохода простирается довольно далеко, тогда как отрицательный (левый) косой хвост останавливается на нуле. Правый хвост явно идет дальше от центра распределения, чем левый, как показано ниже:

Говорят, что распределение смещено влево или смещено отрицательно, , если большая часть данных сосредоточена справа от распределения.Левый хвост явно простирается дальше от центра распределения, чем правый, как показано ниже:

Центр и разворот

Определение центра (медиана , ) распределения можно выполнить, отсчитав половину наблюдений от наименьшего. Очевидно, что этот метод неприменим для очень больших наборов данных. Однако диаграмма ствола и листа упрощает это, поскольку данные расположены в порядке возрастания. Среднее значение — еще одна мера центральной тенденции.(Подробнее см. Главу о центральной тенденции.)

Величину разброса распределения и любые большие отклонения от общей картины (выбросы) можно быстро определить на графике.

График стебля и листа — это простой вид графика, который состоит из самих чисел. Это средство отображения основных характеристик дистрибутива. Если график стебля и листа повернуть на бок, он будет напоминать гистограмму или гистограмму и предоставлять аналогичную визуальную информацию.

Пример 6 — Использование графиков стебля и листьев в качестве графика

Результаты тестов по математике 41 студента (с максимальным баллом 70) приведены ниже:

31, 49, 19, 62, 50, 24, 45, 23, 51, 32, 48, 55, 60, 40, 35, 54, 26, 57, 37, 43, 65, 50, 55, 18, 53 , 41, 50, 34, 67, 56, 44, 4, 54, 57, 39, 52, 45, 35, 51, 63, 42

1. Является ли переменная дискретной или непрерывной? Объяснять.
2. Подготовьте упорядоченный график стебля и листа для данных и кратко опишите, что на нем показано.
3. Есть ли выбросы? Если да, то какие?
4. Посмотрите на участок стебля и листа сбоку. Опишите основные особенности дистрибутива, такие как:
   1. количество вершин
   2. симметрия
   3. значение в центре распределения

Ответы

1. Оценка за тест — это дискретная переменная. Например, невозможно получить результат теста 35.74542341 ….
2. Наименьшее значение — 4, а максимальное — 67. Таким образом, график стебля и листа, охватывающий этот диапазон значений, выглядит следующим образом:
   

   Таблица 10. Баллы 41 студента по математике

   0	4
   1	8 9
   2	3 4 6
   3	1 2 4 5 5 7 9
   4	0 1 2 3 4 5 5 8 9
   5	0 0 0 1 1 2 3 4 4 5 5 6 7 7
   6	0 2 3 5 7

   Примечание: Обозначения 2 | 4 представляют стержень 2 и лист 4.

   График стебля и листа показывает, что большинство студентов набрали от 50 до 59 баллов. Большое количество студентов, получивших высокие результаты, может означать, что тест был слишком легким, что большинство студентов хорошо знали материал, или сочетание того и другого. .

3. Результат 4 может быть выбросом, поскольку существует большой разрыв между этим и следующим результатом, 18.
4. Если перевернуть стебель и листовой участок на бок, он будет выглядеть следующим образом:

   Распределение имеет единственный пик в интервале 50–59.

   Хотя имеется всего 41 наблюдение, распределение показывает, что большинство данных сгруппированы справа. Левый хвост простирается дальше от центра обработки данных, чем правый. Следовательно, распределение смещено влево или отклонено на отрицательно.

   Поскольку имеется 41 наблюдение, центр распределения (медианное значение) будет находиться в 21-м наблюдении. Если отсчитать 21 наблюдение от наименьшего, центр будет 48.

   No related posts.