Контрольная работа метод координат 9 класс геометрия: Контрольная работа по геометрии по теме «Метод координат» (9 класс)

Это важная идея геометрии: любая точка на серединном перпендикуляре сегмента автоматически равноудалена от двух конечных точек сегмента. Это означает, что мы могли бы выбрать абсолютно любую точку на прямой y = 2, назвать ее R, и эта точка R будет равноудалена от P и Q, что сделает PQR равнобедренным треугольником.Точка R = (–117, 2) находится на этом срединном перпендикуляре, поэтому она равноудалена от P и Q, и поэтому PQR должен быть равнобедренным.

Вариант III работает.

Каждый из трех вариантов работает. Ответ = (E) .

5) Что ж, если мы переместимся на 5 единиц влево от (5, 3), мы окажемся в (0, 3): это единственная точка пересечения круга по оси Y.

Теперь подумайте о двух пересечениях по оси x. Каждый из них представляет собой диагональное расстояние r = 5 от (5, 3), и, если мы можем прямоугольный треугольник с любой стороны, вертикальный отрезок — это расстояние от (5, 3) по прямой до оси x, которая из курс 3.

Эти два фиолетовых треугольника должны быть 3-4-5 треугольниками, что означает, что у каждого из них основание 4, а расстояние между ними равно 8. Один находится в точке (1, 0), а другой — в точке (9). , 0).

Теперь подумайте о треугольнике, образованном этими тремя точками пересечения. База от (1,0) до (9, 0) равна 8, и хотя третья вершина смещена по центру, это не имеет значения — высота h = 3. A = (0,5) bh = (0,5 ) (8) (3) = 12. Ответ = (B)

6) Ну, для начала, ноль является кратным каждому числу, а линия с нулевым наклоном, горизонтальная линия y = –4 проходит ниже (4, –1) и выше (5, –6).Это горизонтальная линия — наша отправная точка.

Точка (4, –1) больше 4, на 3 больше от точки пересечения оси Y (0, –4). Линия с наклоном +3/4 будет идти прямо от (0, –4) до (4, –1). Таким образом, нам нужен наклон меньше +3/4. Обратите внимание, что 3/4 = 21/28. Обратите внимание, что 5/7 = 20/28, поэтому это будет меньше 3/4. Следовательно, от +1/7 до +5/7 все будут иметь наклон вверх, очевидно, выше (5, –6), и все будут проходить ниже (4, –1). Это пять наклонных вверх линий.

Точка (5, –6) больше 5, меньше 2, от точки пересечения оси y (0, –4).Линия с наклоном –2/5 будет идти прямо от (0, –4) к (5, –6). Таким образом, нам нужен наклон больше –2/5; Другими словами, нам нужен отрицательный наклон, абсолютное значение которого меньше +2/5. Итак, 2/5 = 14/35, а 2/7 = 10/35 и 3/7 = 15/35, поэтому (2/7) <(2/5) <(3, 7). Очевидно, что отрицательно наклонные линии проходят ниже (4, –1), но только две из них, –1/7 и –2/7, проходят выше (5, –6).

Это одна горизонтальная линия, пять восходящих линий и две нисходящие линии, всего восемь.Ответ = (С) .

7) Прежде всего, строка Q 5y — 3x = 45, переписанная в форме пересечения с наклоном, имеет вид y = (3/5) x + 9. Линия Q имеет точку пересечения по оси y +9, поэтому, если строка S также имеет точку пересечения y +9, они будут пересекаться по оси y, а не во втором квадранте. Следовательно, точка пересечения по оси Y линии S должна быть меньше 9, а максимальное значение, которое она может иметь, — точка пересечения по оси Y, равная 8.

Теперь давайте подумаем о нижней части. Линия Q имеет точку пересечения по оси Y +9 и точку пересечения по оси X -15.Линия S, перпендикулярная линии Q, должна иметь наклон –5/3, отрицательный обратный наклон линии Q. Если мы начнем с пересечения с осью X точки Q, точки (–15, 0), мы будем следовать наклону –5/3 через 15 и вниз 25 до (0, –25). Если бы линия S имела точку пересечения оси y, равную –25, она пересекала бы линию Q в точке (–15, 0) по оси x, а не во втором квадранте. Следовательно, точка пересечения по оси Y, равная –25, не работает, и самое низкое значение, которое будет работать, находится выше нее, точка пересечения по оси Y равна –24.

Подойдет любое пересечение по оси Y, меньшее или равное +8 и большее или равное –24.Это 8 положительных точек пересечения по оси Y, точка пересечения с нулем в начале координат и 24 отрицательных точки пересечения, всего 8 + 1 + 24 = 33. Ответ = (B)

8) Сложный вопрос. Прежде всего, очевидно, центр — это точка решетки в окружности. Если мы перемещаемся по горизонтали или вертикали, первые 5 точек решетки будут внутри круга, а шестая — на окружности, поэтому точки на круга не считаются находящимися «внутри» круга.

Теперь мы сосредоточимся на одном квадранте круга, верхнем правом квадранте.Предположим, мы прошли одну единицу и поднялись по кругу.

Итак, это прямоугольный треугольник с гипотенузой r = 6 и горизонтальным катетом 1, поэтому, если вертикальный катет равен x, то

Итак, квадратный корень из 35 больше 5, поэтому пять точек в этом столбце находятся внутри круга. Теперь переместите два юнита вправо. Опять же, гипотенуза r = 6, короткий отрезок = 2, вертикальный отрезок = x, поэтому

По-прежнему больше 5, поэтому во втором столбце пять точек.Теперь переместите три единицы вправо. Опять же, гипотенуза r = 6, короткий отрезок = 3, вертикальный отрезок = x, поэтому

По-прежнему больше 5, поэтому в этом третьем столбце пять точек. Вот где мы находимся:

Ясно, что с помощью симметрии мы можем отразить этот массив по линии 45 °, чтобы получить больше точек в круге:

Поскольку эта строка на высоте 5 имеет ширину всего 3 пункта, мы знаем, что высота столбца 5 единиц справа может быть только высотой 3 пункта.Мы должны проверить эту наивысшую точку в столбце 4 справа. Опять же, гипотенуза r = 6, короткий отрезок = 4, вертикальный отрезок = x, поэтому

Очевидно, что это больше 4, так что четвертый столбец может иметь высоту в четыре пункта.

На этом квадрант завершен. Внутри квадранта это 5 + 5 + 5 + 4 + 3 = 22 балла. Умножьте это на четыре, и вы получите 88 очков в четырех квадрантах. Добавьте 20 точек на вертикальном и горизонтальном сегментах и ​​одну точку в центре, и мы получим 88 + 20 + 1 = 109.Ответ = (E) .

Самые популярные ресурсы

Координатная геометрия — Математика A-Level Версия

В этом разделе рассматривается координатная геометрия.

Расстояние между двумя точками

Проведите линию между двумя точками. Составьте прямоугольный треугольник и используйте теорему Пифагора, чтобы определить длину линии.

Между точками A и B:

AB ² = (Bx — Ax) ² + (By — Ay) ²

Середина линии, соединяющей две точки

Средняя точка линии, соединяющей точки (x ₁ , y ₁ ) и (x ₂ , y ₂ ), составляет:

• [½ (x ₁ + x ₂ ), ½ (y ₁ + y ₂ )]

Пример

Найдите координаты средней точки линии, соединяющей (1, 2) и (3, 1).

Средняя точка = [½ (3 + 1), ½ (2 + 1)] = (2, 1,5)

Градиент линии, соединяющей две точки

Градиент линии, соединяющей точки (x ₁ , y ₁ ) и (x ₂ , y ₂ ), равен (y ₂ — y ₁ ) / (x ₂ — х ₁ ).

Параллельные и перпендикулярные линии

Если две линии параллельны, они имеют одинаковый градиент.

Если две линии перпендикулярны, то произведение градиентов этих двух линий равно -1.

Пример

a) y = 2x + 1
b) y = -½ x + 2
c) ½y = x — 3

Градиенты линий равны 2, –½ и 2 соответственно. Следовательно, (a) и (b) и перпендикулярны, (b) и (c) перпендикулярны, а (a) и (c) параллельны.

Уравнение линии с использованием одной точки и градиента

Уравнение прямой с градиентом m, проходящей через точку (x ₁ , y ₁ ):

Пример

Найдите уравнение прямой с градиентом 2, проходящей через (1, 4).

y — 4 = 2 (x — 1)
y — 4 = 2x — 2
y = 2x + 2

Поскольку m = y ₂ — y ₁
x ₂ — x ₁

Уравнение прямой, проходящей через (x ₁ , y ₁ ) и (x ₂ , y ₂ ), можно записать как:
y — y ₁ = y ₂ — y ₁
x — x ₁ x ₂ — x ₁

14.ГЕОМЕТРИЯ И КООРДИНАТЫ — Скачать PDF

1 14. ГЕОМЕТРИЯ И КООРДИНАТЫ Определяем. Мы говорим, что координата x равна, а координата y -. Мы можем рассматривать координаты как сопоставления от к: Координаты принимают точку на плоскости и выводят действительное число.Наша цель в этой главе выходит за рамки декартовых координат плоскости. Есть ли другие полезные описания? Как эти другие системы координат соотносятся со стандартной декартовой системой координат? Геометрически декартовы координаты точки соответствуют горизонтальному смещению -единиц и вертикальному смещению -единиц, которые достигаются от начала координат до точки. В основном, декартовы координаты строятся из движущихся линий от начала координат. Причем эти линии перпендикулярны.Мы узнаем, что мы можем построить другие системы координат, которые основаны не только на перпендикулярных линиях. Мы можем использовать круги, гиперболы, параболы, эллипсы и многие другие кривые, а также линии. Координаты будут прописаны в соответствии с тем, как точка будет достигнута при движении от (новой) исходной точки по этим кривым. Мы определяем начало координат для конкретной системы координат как точку, в которой обе координаты равны нулю. Это может совпадать или не совпадать с началом декартовой системы координат.Например, в точку помещается исходная точка. Другими словами,. Очевидно, здесь есть опасность путаницы, что имеется в виду? Начало отсчета в -координатах или это начало в -координатной системе? Решение — контекст, при работе с несколькими системами координат одновременно важно сказать, какие координаты используются для конкретного оператора. Мы обсудим различные системы координат. Мы более подробно рассмотрим полярные координаты, поскольку они больше всего используются в курсовых работах бакалавриата.Для начала определим конические сечения. Это поможет нам запомнить те графики, кроме линий, с которыми мы не сталкивались недавно. Тем не менее, это должен быть обзор, ваша школьная математика должна была охватывать конические разделы в некоторой степени. Кстати, понятие системы координат в физике немного шире. Я бы сказал, что система координат в физике — это наблюдатель. Наблюдатель — это отображение в пространство всех координат на. Каждый раз, когда мы получаем другую систему координат, начало координат наблюдателя может перемещаться.Я подробно описываю эти идеи в своих заметках ma430. Позвольте мне просто сказать для концептуальной ясности, что наши системы координат неподвижны и неподвижны. 331

2 14.1. КОНИЧЕСКИЕ РАЗРЕЗЫ Взгляните на Стюарта, у него есть хорошая картина того, как конус может быть разрезан плоскостью, чтобы получилась парабола, гипербола или эллипс. Напомню основные определения и канонические (стандартные) формулы для конических сечений.Я избавился от задачи вывести формулу из геометрического определения домашнего задания. Каждый вывод — хорошее упражнение по алгебре, и его можно найти во многих учебниках. Определение (парабола): парабола — это совокупность всех точек в некоторой плоскости, которые равноудалены от данной линии и точки в этой плоскости. Данная линия называется направлением, а точка — фокусом. Предполагается, что фокус — это не точка на директории. Перпендикуляр к директрисе, который пересекает фокус, называется осью параболы.Вершина находится на пересечении оси и параболы. Теорема: парабола в плоскости xy с фокусом и направлением — это множество всех точек, удовлетворяющих уравнению. Доказательство: см. Домашнее задание. Есть аналогичные уравнения для парабол, построенных из вертикального направления. Если вы понимаете это уравнение, очень просто повернуть его, чтобы получить уравнение боковой параболы. Определение (эллипс): эллипс — это совокупность всех точек в некоторой плоскости, для которых сумма расстояний до пары неподвижных точек постоянна.Каждая из точек (которая должна находиться в плоскости) называется фокусом эллипса. Линия, проходящая через точки фокусировки, пересекает эллипс в его вершинах. Большая ось — это отрезок линии, соединяющий вершины. Малая ось — это отрезок прямой, который является серединным перпендикуляром большой оси с концами на эллипсе. Теорема: Пусть. Задайте эллипс в плоскости xy с фокусами, взяв набор всех точек, у которых сумма расстояний от и расстояния от равна.Учитывая эти предположения, существует такое, что и. Более того, уравнение такого эллипса — Доказательство: см. Домашнее задание. 332

3 И снова нетрудно имитировать доказательство для случая, когда фокусы лежат в точке, а сумма расстояний равна. Это дает с и который представляет собой эллипс с вершинами. (сравните мои обозначения со Стюартом, я держу в том же месте) Я обычно просто думаю об эллипсе в геометрическом месте точек, удовлетворяющих различным значениям для получения разных типов эллипсов.Например, получается специальный эллипс, который мы называем кругом. Приятно, что мы разбили его на случаи горизонтального и вертикального эллипса, так что доказательство теоремы не касается случаев. Определение (Гипербола): Гипербола — это совокупность всех точек в некоторой плоскости, для которых разница между расстояниями до пары неподвижных точек постоянна. Каждая из точек (которая должна находиться в плоскости) называется фокусом гиперболы. Линия, соединяющая фокусы, пересекает гиперболу в вершинах гиперболы.Теорема: если гипербола с фокусами и образована из набора точек, для которых разница между расстоянием до и расстоянием до является постоянным значением, тогда существует такое, что и гипербола состоит из точек, удовлетворяющих уравнению. Доказательство: см. Домашнее задание . Примечание. Теорема s, приведенная в этом разделе, дает стандартные уравнения, которые мы отождествляем с эллипсом, параболой или гиперболой. Эти базовые графики можно сдвигать и / или вращать, и результирующий график останется той же формы.Я привел несколько примеров в решаемых домашних задачах. Однако на самом деле это должен быть просто обзор. Я не ожидаю, что все вы прошли через шаги, связывающие геометрическое определение конических сечений с уравнениями, которые их определяют более эффективно. Вот почему это входит в вашу домашнюю работу. 333

4 14.2. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ Обозначены полярные координаты.Строго говоря, мы должны настаивать на том, чтобы и. Радиус — это расстояние от начала координат. Стандартный угол — это угол, измеряемый в радианах против часовой стрелки от оси x. Это означает, что и. Мы должны нарисовать картину, чтобы лучше понять эти уравнения: давайте потратим немного времени на обсуждение довольно тонкого момента. Обратите внимание, что, поскольку область определения касательной функции относительно нуля и есть тот самый интервал. Таким образом, формула не дает углов в стандартном интервале для.К счастью, мы можем сделать определенные естественные геометрические идентификации. В частности, если мы заменяем, мы описываем то же направление. Поэтому, хотя я хотел бы сделать полярные координаты однозначными, я допущу естественные геометрические отождествления. Мы можем обменять на или. Это означает, что для одного направления на плоскости у нас есть много значений, которые задают это направление. В этом смысле полярные координаты многозначны. Мы также можем торговать, если расширим значения, чтобы включить отрицательные значения.Эта идентификация не так распространена в приложениях. Я бы старался избегать этого, если это не было действительно удобным. Этой переписке у Стюарта посвящено несколько домашних заданий. Я предполагаю, что мы работаем со строгой версией полярных координат, если не указано иное. Я упоминаю о других версиях, потому что в отношении приложений нет единого мнения. 334

5 Основные уравнения для полярных координат Третий столбец требует наибольшего внимания.Когда мы переводим из декартовых координат в полярные, мы должны думать об угле. Мы должны убедиться, что он соответствует правильному квадранту. Напомню, как ведут себя синус и косинус в разных квадрантах. обозначение имя Нули График Синус Эквивалентно ,, косинус Эквивалентно ,, тангенс То же, что и синус. Зеленые линии — это вертикальные асимптоты, которые происходят там, где косинус равен нулю. 335

6 См. Ниже, как синус и косинус стандартного угла дают необходимые знаки.Или, возможно, следующие диаграммы более понятны для вас, поскольку мы видим, что формулы и воспроизводят правильные знаки для декартовых координат и. Предупреждение калькулятора: учитывая декартовы координаты точки, это обычная задача найти стандартный угол, который мы можем решить, взяв арктангенс для получения. Позвольте мне объяснить некоторые опасности этой формулы. Обратите внимание, что это положительно в квадрантах I и III и отрицательно в квадрантах II и IV. Если вы попытаетесь найти с помощью калькулятора, он не сможет обнаружить разницу между I и III или II и IV.Давайте посмотрим, насколько неоднозначна формула, если вы не будете осторожны, i.) Предположим, тогда. Мы можем решить, взяв арктангенс обеих сторон, теперь большинство научных калькуляторов вычисляют арктангенс, это дает. При этом калькулятор не ввел в заблуждение, стандартный угол есть. ii.) Предположим тогда. Мы можем найти, взяв арктангенс обеих сторон. Теперь научный калькулятор снова рассчитает это. Но в этом случае калькулятор может ввести нас в заблуждение, стандартный угол — нет.Фактически стандартный угол здесь лежит в квадранте III, и поэтому мы должны прибавить к углу, найденному калькулятором, чтобы получить правильный угол ;. 336

7 Примечание: последние пару страниц частично заимствованы из раздела моих расчетов, который я записал. Думаю, здесь нужно повторить. Пример Найдите полярные координаты точки (1,1). Если касательная одна, это означает, что в квадранте I мы находим решение.Следовательно, полярные координаты этой точки равны. Пример. Найдите полярные координаты точки. Таким образом, данная точка находится во втором квадранте. Следовательно, полярные координаты этой точки — это График в полярных координатах: цель остальной части этого раздела — научиться строить график в полярных координатах. Мы работаем над несколькими чисто полярными задачами. Мы также пытаемся перевести несколько стандартных декартовых графиков. Общая история заключается в том, что и полярные, и декартовы координаты имеют свои достоинства.Вообще говоря, полярные координаты помогают упростить уравнения окружностей, в то время как декартовы координаты делают уравнения линий особенно хорошими. Пример Найдите уравнение уравнений преобразования линии в полярных координатах. Мы просто заменяем, чтобы получить: Нам необязательно определять радиус. Мне нравится решать его, когда это возможно, поскольку легко думать о построении графика. Логически угол такой же первичный. В том же смысле это, по сути, вопрос привычки и удобства, что мы почти всегда решаем для y в декартовых координатах.Пример Рассмотрим полярное уравнение. Найдите эквивалентное декартово уравнение: это круг радиуса два с центром в начале координат. 337

8 Вопрос: каковы координаты начала координат в полярных координатах? Ясно, что я возьму легкую часть. Неопределенность возникает, когда мы пытаемся определить значение в исходной точке. Стандартный угол в начале координат не определен.Это не из-за реального расхождения. Скорее, мы называем проблему такого рода координационным дефектом. Обычно этого не избежать. В теории многообразий есть точное и довольно точное определение координатного отображения. Как минимум, карта координат должна быть везде однозначной. Чтобы охватить большинство пространств, необходимо использовать несколько карт координат, чтобы они хорошо склеивались. К счастью, вся эта суетливая теория многообразий не нужна для вычислений над или. Мы можем рассчитывать, не беспокоясь об этих дефектах координат.Напротив, когда подынтегральная функция имеет вертикальную асимптоту, мы должны приближаться к асимптоте через предел, и в результате интеграл часто будет расходиться. Во всяком случае, этот вопрос более или менее игнорируется в большей части Стюарта и моих заметок по этому поводу. Я действительно думаю, что дефекты координат могут привести к неправильному ответу при расчетах, но у меня нет убедительного примера, который заставил бы нас волноваться. Если этот абзац не имеет для вас никакого смысла, не переживайте, я сейчас думаю вслух. Пример Если тогда какое уравнение в полярных координатах? Подставьте как обычно. Когда круг не находится в центре в начале координат, уравнение для круга в полярных координатах будет включать стандартный угол нетривиальным образом.Пример Чему эквивалентно декартово уравнение? У нас есть два уравнения: Мы исключаем радиус, разделив приведенные выше уравнения: Чтобы быть осторожным, я должен подчеркнуть, что это справедливо только в квадранте I. Другая половина линии идет с. Другими словами, график представляет собой луч, основанный в начале координат. Если бы мы допустили отрицательный радиус, это была бы вся линия. Замечание: если мы зафиксируем стандартный угол как некоторую постоянную, как мы видели, он дает нам луч из начала координат. Если мы установим радиус как некоторую константу, мы получим круг.Сравните это с декартовым случаем; это вертикальная линия, это горизонтальная линия. 338

9 График упражнений в классе. Для начала составьте таблицу значений, а затем используйте алгебраический аргумент, чтобы подтвердить свои подозрения относительно идентичности этой кривой. Не все полярные кривые соответствуют известным декартовым кривым. Иногда нам просто нужно составить таблицу значений и график, соединив точки, или Mathematica.График упражнений в классе. Рассмотрите возможность использования графика на плоскости для создания графика данной кривой на плоскости xy. (Стюарт называет плоскость декартовыми координатами, см. Рис. 10 или 12 на стр. 679) Я полагаю, что всем нам потребовалось несколько примеров, прежде чем мы действительно поняли декартовы координаты. То же верно и для других систем координат. В вашем домашнем задании есть еще несколько примеров, которые, надеюсь, помогут вам лучше понять полярные координаты. Полярная форма комплексных чисел Напомним, что мы узнали, что комплексное число соответствует точке.Каковы полярные координаты этой точки и как здесь играет роль мнимая экспонента? Обратите внимание: приведенный выше расчет оправдывает утверждение, что комплексное число может быть представлено в его полярной форме. В частности, мы определяем, Определение: (Полярная форма комплексного числа) Пусть — это где, а — стандартный угол. Здесь можно сказать о полярной форме Многое, но мы оставим это обсуждение для курса комплексных переменных. Если вас это интересует, у меня есть вполне читаемая книга по этой теме.Просто спроси. Упражнение в классе Найдите полярную форму комплексного числа. Найдите полярную форму комплексного числа. Найдите полярную форму комплексного числа. График как и в комплексной плоскости. Как связаны баллы? Примечание. В электротехнике для моделирования импеданса используются комплексные числа. Замечательно то, что цепи переменного тока можно рассматривать как цепи постоянного тока, если источник напряжения синусоидальный. Это называется методом фазора. Короче говоря, сопротивления дают реальный импеданс, в то время как конденсаторы и катушки индуктивности дают чисто воображаемый импеданс.Чистый импеданс цепи обычно сложен. 339

10 14,3. ПОВЕРНУТЫЕ КООРДИНАТЫ Если нам нужны новые координаты, которые повернуты на угол против часовой стрелки относительно стандартных координат, тогда нам нужно. Давайте проверим, находится ли положительная часть оси под углом в координатах xy. Уравнение -оси просто так, по определению повернутой координаты, заключенной в рамку выше, у нас есть, Таким образом, точка на -оси имеет.Пример. Давайте вращаемся на, поскольку и у нас есть довольно простые законы преобразования: Теперь давайте посмотрим, как выглядит парабола в повернутых координатах. Чтобы ответить на такой вопрос, мы просто заменим его следующим образом: Таким образом, в повернутой системе координат парабола является параболой бокового движения. Практическое упражнение Найдите уравнение круга в повернутых координатах. Вы получите то же уравнение для любого значения. Пожалуйста, рассчитайте это для произвольного. 340

11 Обратные преобразования Мы можем связать повернутые координаты с xy-координатами следующим образом: Пример Давайте рассмотрим случай.Мы находим, или, другими словами, теперь мы можем задаться вопросом, как стандартная парабола в повернутых координатах выглядит в координатах xy? Давайте преобразуем их в координаты xy: Примечание. Выглядит ли уравнение в рамке как парабола? Это. В этом прелесть повернутых координат. Переверните этот пример, начните с уравнения в рамке и задайте вопрос, какая система координат делает уравнение простым? Нам нужно потратить некоторое время, чтобы научиться отвечать на такие вопросы. Моя цель здесь — просто предупредить вас о том, что повернутые координаты заслуживают внимания при ответе на сложные вопросы.По сути, идея заключается в следующем: если данная проблема выглядит как стандартная задача, просто немного повернутая, тогда используйте повернутые координаты, чтобы упростить задачу. Используйте повернутые координаты, чтобы выявить истинную природу проблемы. Иногда наш первоначальный выбор координат неудачен, мы создаем себе проблемы просто из-за неправильного выбора координат. Если мы используем координаты, которые учитывают симметрию данной задачи, математика имеет тенденцию становиться на свои места намного проще. Просто сравните уравнение в рамке с.Этот принцип становится очень важным в исчислении III, мы должны выбрать координаты, которые лучше всего подходят для задачи. В противном случае мы можем сделать простые проблемы ненужными. 341

12 14,4. ДРУГИЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ В этом разделе рассматриваются различные нестандартные системы координат. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИ ВРАЩАЕМЫЕ КООРДИНАТЫ Мы можем определить гиперболические координаты следующим образом: для некоторых, обратите внимание, что гиперболические повернутые координаты имеют одинаковую форму в гиперболических кругах имеют одинаковую форму уравнения в xy и повернутых координатах.При гиперболических координатах форма уравнения гиперболы сохраняется для гиперболически повернутых координат. ПЕРЕВОДНЫЕ КООРДИНАТЫ Переведенные координаты определяются следующим образом: let. Источник находится в точке. Иногда полезно комбинировать их с другими преобразованиями координат. Например, эти координаты позволяют нам взять что-то вроде смещенной и повернутой параболы в системе координат xy и преобразовать ее в стандартную параболу в начале координат преобразованного изображения координат.342

13 ЛИНЕЙНО-КОКОРДИНАТЫ Переведенные координаты определяются следующим образом: let. Мы требуем, чтобы покрывала всю плоскость .. Это требование необходимо для обеспечения координат. Упражнение в классе: Найдите такие условия, которые: Какая система координат является частным случаем косолинейных координат? ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ Предупреждение: приведенные здесь уравнения могут быть нестандартными, это могут быть не естественные координаты, я думаю, они могут быть двузначными.Гиперболические координаты будут иметь гиперболы, играющие ту же роль, что и окружности для полярных координат. Их можно перевернуть, чтобы выявить это: для. В этих координатах находим то, что соответствует гиперболам. С другой стороны, если мы посмотрим, то обнаружим, что точки вдоль этой кривой находятся под постоянным гиперболическим углом. Вы можете убедиться, что уравнение в рамке является ортогональной траекторией гипербол, точно так же, как лучи из начала координат являются ортогональными траекториями к окружностям с центром в начале координат.343

14 Замечание: Я не ожидаю, что вы понимаете каждый тип системы координат, который я представил в этой главе. Конечно, вы должны понимать полярные координаты в некоторой степени, но эти другие примеры были в значительной степени попыткой с моей стороны расширить ваше представление о том, какой может быть система координат. Существует геометрическое предположение, которое распространяется повсюду.Самолет существует независимо от координат, которые его описывают. Мы видели, что есть много способов нанести координаты на плоскость. Карты координат на поверхности (окно в высшую математику) В абстрактной теории многообразий мы считаем необходимым усовершенствовать нашу концепцию отображения координат, чтобы соответствовать следующему довольно техническому предписанию. Координаты, обсуждаемые в этой главе, не совсем подходят для оценки. Мы понимаем, что некоторые координаты не совпадают. Есть несколько значений координаты, которые соответствуют одной и той же точке на поверхности.Также мы даже не стали беспокоиться о плавности. Нам нужны инструменты из исчисления III, чтобы решить этот вопрос, и даже тогда эта тема немного выходит за рамки исчисления III. Позвольте быть поверхности. Фактически, пусть — двумерное многообразие. Это означает, что существует семейство открытых наборов, для которых предусмотрена крышка. Для каждого из этих открытых множеств существует взаимно однозначное отображение, которое называется координатной картой. Эти карты координат должны быть совместимы. Это означает плавное отображение на. На следующем рисунке показана концепция: (обозначения не согласованы, на рисунке ниже x и y являются картами координат и представляют собой функцию плавного перехода) 344