Контрольная работа геометрия 9 векторы: Контрольная работа по геометрии на тему Векторы (9 класс)

Содержание

Страница не найдена

Новости

20 авг

Психолог, специалист по развитию детей Олеся Васильева рассказала, как подготовить первоклассников к школе.

20 авг

Директор департамента образования и молодёжной политики Алексей Дренин заявил, что во всех школах в Ханты-Мансийском автономном округе (ХМАО) родительские собрания будут проходить в онлайн-формате до 1 января 2022 года.

20 авг

В Севастополе из-за пандемии коронавируса торжественные линейки по случаю 1 сентября пройдут для учеников первых классов и выпускников.

19 авг

Директор петербургского Президентского физико-математического лицея №239, заслуженный учитель России Максим Пратусевич рассказал об особенностях обучения экстерном.

19 авг

Заместитель председателя правительства Московской области Ирина Каклюгина заявила, что регион не планирует переходить на дистанционное обучение в новом учебном году. Запланирован традиционный очный формат занятий.

19 авг

Дети приступят к учёбе с 1 сентября в очном формате, переводить школьников на удалённый формат не планируется, заявила уполномоченный при президенте России по правам ребёнка Анна Кузнецова.

18 авг

Власти Крыма рассказали о ходе реализации программы «Земский учитель».

Контрольная работа для 9 класса на тему «Векторы»

1 вариант.

1. Начертите два неколлинеарных вектора и . Постройте векторы, равные:

а) ; б)

2. На стороне ВС ромба АВСD лежит точкаК такая, что ВК = КС, О – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы через векторы и .

3. В равнобедренной трапеции высота делит большее основание на отрезки, равные 5 и 12 см. Найдите среднюю линию трапеции.

4.* В треугольнике АВС О – точка пересечения медиан. Выразите вектор через векторы и .

2 вариант

1. Начертите два неколлинеарных вектора и . Постройте векторы, равные:

а) ; б)

2. На стороне СD квадрата АВСD лежит точка Р такая, что СР = РD , О – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы через векторы и

3. В равнобедренной трапеции один из углов равен 60⁰, боковая сторона равна 8 см, а меньшее основание 7 см. Найдите среднюю линию трапеции.

4. * В треугольнике МNK О – точка пересечения медиан, . Найдите число k.

1 вариант.

1. Найдите координаты и длину вектора , если .

2. Напишите уравнение окружности с центром в точкеА (- 3;2), проходящей через точку В (0; — 2).

3. Треугольник МNK задан координатами своих вершин: М (- 6; 1), N (2; 4), К (2; — 2).

а) Докажите, что _Δ— равнобедренный;

б) Найдите высоту, проведённую из вершины М.

4. * Найдите координаты точки N, лежащей на оси абсцисс и равноудалённой от точек Р и К, если Р( — 1; 3 ) и К( 0; 2 ).

2 вариант.

1). Найдите координаты и длину вектора , если .

2). Напишите уравнение окружности с центром в точке С ( 2; 1 ), проходящей через точку D ( 5; 5 ).

3). Треугольник СDЕ задан координатами своих вершин: С (2; 2), D (6; 5), Е (5; — 2).

а) Докажите, что _Δ— равнобедренный;

б) Найдите биссектрису, проведённую из вершины С.

4. * Найдите координаты точки А, лежащей на оси ординат и равноудалённой от точек В и С, если В( 1; — 3 ) и С( 2; 0 ).

1 вариант

В треугольнике АВС А = 45⁰,

В = 60⁰, ВС = Найдите АС.

Две стороны треугольника равны

7 см и 8 см, а угол между ними равен 120⁰. Найдите третью сторону треугольника.

Определите вид треугольника АВС, если

А ( 3;9 ), В ( 0; 6 ), С ( 4; 2 ).

* В _ΔАВС АВ = ВС, САВ = 30⁰, АЕ – биссектриса, ВЕ = 8 см. Найдите площадь треугольника АВС.

2 вариант

В треугольнике СDEС = 30⁰,

D = 45⁰, СЕ =Найдите DE.

Две стороны треугольника равны

5 см и 7 см, а угол между ними равен 60⁰. Найдите третью сторону треугольника.

Определите вид треугольника АВС, если

А ( 3;9 ), В ( 0; 6 ), С ( 4; 2 ).

* В ромбе АВСD АК – биссектриса угла САВ, ВАD = 60⁰, ВК = 12 см. Найдите площадь ромба.

1 вариант

1. Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окружности, если сторона правильного треугольника, вписанного в него, равна

2. Вычислите длину дуги окружности с радиусом 4 см, если её градусная мера равна 120⁰. Чему равна площадь соответствующего данной дуге кругового сектора?

3. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен Найдите периметр правильного шестиугольника, описанного около той же окружности.

2 вариант

1. Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окружности, если сторона квадрата, описанного около него, равна 6 см.

2. Вычислите длину дуги окружности с радиусом 10 см, если её градусная мера равна 150⁰. Чему равна площадь соответствующего данной дуге кругового сектора?

3. Периметр квадрата, описанного около окружности, равен 16 дм. Найдите периметр правильного пятиугольника, вписанного в эту же окружность.

1 вариант

1. Начертите ромб АВСD. Постройте образ этого ромба:

а) при симметрии относительно точки С;

б) при симметрии относительно прямой АВ;

в) при параллельном переносе на вектор ;

г) при повороте вокруг точки D на 60⁰ по часовой стрелке.

2. Докажите, что прямая, содержащая середины двух параллельных хорд окружности, проходит через её центр.

3. ^* Начертите два параллельных отрезка, длины которых равны.начертите точку, являющуюся центром симметрии, при котором один отрезок отображается на другой.

2 вариант

1. Начертите параллелограмм АВСD. Постройте образ этого параллелограмма:

а) при симметрии относительно точки D;

б) при симметрии относительно прямой CD;

в) при параллельном переносе на вектор ;

г) при повороте вокруг точки А на 45⁰ против часовой стрелки.

2. Докажите, что прямая, содержащая середины противоположных сторон параллелограмма, проходит через точку пересечения его диагоналей.

3.^* Начертите два параллельных отрезка, длины которых равны. Постройте центр поворота, при котором один отрезок отображается на другой.

ГДЗ самостоятельные и контрольные работы по геометрии 9 класс Иченская Просвещение

Чтобы эффективно сдать ОГЭ по математике в девятом классе, очень важно детально изучить все разделы школьной программы, которые входят в перечень экзаменационный заданий. Много сложностей у детей возникает во время обучения дисциплине геометрия. Систематически контролируя свои навыки с помощью

гдз по геометрии самостоятельные и контрольные работы за 9 класс Иченская можно осуществлять самоконтроль своих знаний во время учебного года. Чтобы хорошо сдать итоговые экзамены школьник должен быть уверен в собственных силах. В учебнике упор сделан на штудирование сложных тем, которые взаимосвязаны с базовыми теоремами и аксиомами.

Приоритетные группы пользователей онлайн справочника

Имея доступ к сборнику решений к самостоятельным и контрольным работам по геометрии для 9 класса Иченской, хорошо подготовиться и получить эффективный результат в обучении, могут следующие категории людей:

ученики девятых классов, которые в текущем году будут сдавать итоговые экзамены. Школьники смогут повторить основы геометрии, нужные правила и формулы, на основе которых придется решать задачи. После использования решебника ученик будет чувствовать себя на экзамене намного увереннее;
ребята, которые занимаются по усиленной программе с целью достичь хороших результатов в дисциплине. Можно освоить самые сложные темы досконально, чтобы поучаствовать в важном состязании и получить высокий результат;
учащиеся десятых и девятых классов, которым нужно еще раз повторить пройденные разделы, которые нужны для написания ЕГЭ;
абитуриенты, которые поступают в профильное высшее заведение, смогут воспользоваться источником в качестве справочника и сдать вступительные экзамены на высокий балл;

дети, которые обучаются на дому. Можно самостоятельно ознакомиться с темами, которые предусмотрены школьной программой;
педагоги и репетиторы, которые применяют информацию из пособия для составления интересных и ярких занятий, и оказать помощь детям, которым сложно освоить некоторые темы;
родители девятиклассников, которые не так хорошо ориентируются в дисциплине, смогут помочь ребенку, поговорив с ними о пройденной на уроке теме или проверив домашнее задание.

Неоспоримые плюсы регулярной работы с учебно-практическими пособиями

Использующие решебник по геометрии к самостоятельным и контрольным работам 9 класс автор Иченская

учителя и дети выделяют ряд достоинств по сравнению с другими источниками:

с помощью решебника можно хорошо сэкономить время и силы, особенно ученикам выпускных классов;
можно проверить домашнее задание перед тем, как сдать тетрадь на проверку;
все ответы оформлены в полном соответствии со структурой учебник;
доступ к решебнику есть с любого гаджета;
при низком семейном бюджете можно использовать сборник, так как он совершенно бесплатный.

Дети, которые любят математику, с удовольствием будут заниматься по индивидуальному плану с использованием решебника и осуществляя регулярный самоконтроль. Благодаря платформе еуроки ГДЗ обучение станет легким и комфортным, а количество хороших оценок в дневнике резко увеличиться.

Контрольная работа по геометрии. 9 класс. Тема: Векторы

Подробности: Категория: Контрольные работы по геометрии. 9 класс

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ГЕОМЕТРИИ

9 КЛАСС

ТЕМА: ВЕКТОРЫ

ВАРИАНТ 1

1. ABCD — параллелограмм,

K принадлежит ВС, L принадлежит AD, BK : KC = 2 : 3, AL : LD = 3 : 2. Найдите разложение вектора

по неколлинеарным векторам

Ответ:

2. Дана трапеция ABCD с основаниями AD = 20 и ВС = 8, О — точка пересечения диагоналей. Разложите вектор

по векторам

Ответ:

3. Диагонали ромба АС = а, BD = b. Точка К принадлежит BD и ВК : KD = 1 : 3. Найдите величину

Ответ:

4. В равнобедренной трапеции острый угол равен 60^°, боковая сторона равна 12 см, большее основание равно 30 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Ответ: 24 см.

5. В прямоугольнике ABCD известно, что AD = a, DC = b, O — точка пересечения диагоналей. Найдите величину

Ответ:

ВАРИАНТ 2

1. ABCD — параллелограмм,

К принадлежит ВС, L принадлежит AD, BK : KC = 3 : 4, AL : LD = 4 : 3. Найдите разложение вектора

по неколлинеарным векторам

Ответ:

2. Дана трапеция ABCD с основаниями AD = 15 и ВС = 10, О — точка пересечения диагоналей. Разложите вектор

по векторам

Ответ:

3. Диагонали ромба АС = а, BD = b. Точка К принадлежит АС и АК : КС = 2 : 3. Найдите величину

Ответ:

4. В равнобедренной трапеции острый угол равен 60^°, боковая сторона равна 10 см, меньшее основание равно 14 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Ответ: 19 см.

5. В прямоугольнике ABCD известно, что АВ = а, ВС = b, О — точка пересечения диагоналей. Найдите величину

Ответ:

▶▷▶ метод координат геометрия 9 класс контрольная работа по

Интерфейс	Русский/Английский
Тип лицензия	Free
Кол-во просмотров	257
Кол-во загрузок	132 раз
Обновление:	14-11-2018

метод координат геометрия 9 класс контрольная работа по — Yahoo Search Results Yahoo Web Search Sign in Mail Go to Mail» data-nosubject=»[No Subject]» data-timestamp=’short’ Help Account Info Yahoo Home Settings Home News Mail Finance Tumblr Weather Sports Messenger Settings Want more to discover? Make Yahoo Your Home Page See breaking news more every time you open your browser Add it now No Thanks Yahoo Search query Web Images Video News Local Answers Shopping Recipes Sports Finance Dictionary More Anytime Past day Past week Past month Anytime Get beautiful photos on every new browser window Download Контрольная работа № 2 Метод координат геометрия 9 класс к infourokru/kontrolnaya-rabota-metod-koordinat Cached › Другие методич материалы › Контрольная работа № 2 Метод координат геометрия 9 класс к учебнику Атанасян Контрольная работа № 2 Метод координат геометрия 9 класс к учебнику Атанасян Контрольная работа по теме «Векторы Метод координат» (9 класс) infourokru/kontrolnaya-rabota-po-teme-vektori Cached › Другие методич материалы › Контрольная работа по теме «Векторы Метод координат » Метод координат » ( 9 класс ) Геометрия 9 класс Контрольная работа №2 по теме: «Метод kopilkaurokovru/matematika/prochee/gieomietriia Cached Контрольная работа №2 по теме: « Метод координат » Вариант 1 Найдите координаты и длину вектора , если Метод Координат Геометрия 9 Класс Контрольная Работа По — Image Results More Метод Координат Геометрия 9 Класс Контрольная Работа По images Контрольная работа «Метод координат» 9 класс (Атанасян) uchitelyacom/geometriya/128700-kontrolnaya-rabota-metod Cached Скачать Контрольная работа » Метод координат » 9 класс (Атанасян) После того как вы поделитесь материалом внизу появится ссылка для скачивания Контрольная работа по геометрии Метод координат 9 класс metodtestru/indexphp/kontrolnye-raboty/53-kontrolnye Cached Категория: Контрольные работы по геометрии для 7-11 классов Контрольная работа по геометрии 9 класс Контрольная работа по геометрии в 9 классе по теме «Метод pedportalnet/starshie-klassy/geometriya/ Cached Контрольная работа по геометрии в 9 классе по теме « Метод координат » ( Геометрия ) Учебное пособие для учителей Контрольная работа по геометрии в 9 классе по теме «Метод kopilkaurokovru/matematika/uroki/ Cached Контрольная работа по геометрии в 9 классе по теме « Метод координат » Геометрия 8 класс Контрольная работа по геометрии для 11 класса по теме: «Метод multiurokru/files/kontrol-naia-rabota-po Cached Контрольная работа по геометрии для 11 класса по теме: » Метод координат в пространстве» составлена в двух вариантах, каждый из которых содержит 6 разноуровневых заданий Простейшие задачи в координатах Контрольная работа № 1 compendiumsu/mathematics/geometry11/8html Cached Простейшие задачи в координатах Контрольная работа № 1 — Координаты точки и координаты вектора — МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ — ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО ГЕОМЕТРИИ 11 класс — основные темы стереометрии — раздела Презентация по теме «Метод координат» — Геометрия pedportalnet/starshie-klassy/geometriya/ Cached Контрольная работа по геометрии по теме » Метод координат » ( 9 класс ) Попова Марина Николаевна 21 Мар 2015 Promotional Results For You Free Download | Mozilla Firefox ® Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 27,200 results Settings Help Suggestions Privacy (Updated) Terms (Updated) Advertise About ads About this page Powered by Bing™

В(-2; 7) а) Найдите координаты вектора
7-е изд
ЕГЭ Формат: pdf (2016

В(-2; 2) Найдите координаты середины этого отрезка Даны точки А(2; 7)

б) Найдите длину вектора Уравнение окружности имеет вид Скрыть 4 Контрольная работа по геометрии 9 класс » Метод » multiurokru › …kontrolnaia-rabota-po…9-klass-metod… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Контрольная работа по геометрии 9 класс » Метод координат » состоит из двух вариантов Каждый вариант содержит десять разноуровневых заданий 5 ГДЗ по геометрии 9 класс самостоятельные eurokiorg › gdz…geometriya/9_klass…po…9-klass…933 Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Решебник по геометрии за 9 класс авторы Иченская издательство Просвещение ГДЗ самостоятельные и контрольные работы по геометрии 9 класс Иченская Просвещение Контрольные работы КР-1 Глава X Метод координат Читать ещё Решебник по геометрии за 9 класс авторы Иченская издательство Просвещение ГДЗ самостоятельные и контрольные работы по геометрии 9 класс Иченская Просвещение Для планомерной и эффективной подготовки к сдаче итоговой аттестации в 9 -м классе (ОГЭ по математике) важно глубоко и полно проработать все темы входящих в экзамен дисциплин Особенно много трудностей вызывают задания по геометрии Проводя регулярный самостоятельный контроль своих знаний в течение года

easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 27
easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 27
smarter

Яндекс Яндекс Найти Поиск Поиск Картинки Видео Карты Маркет Новости ТВ онлайн Музыка Переводчик Диск Почта Коллекции Все Ещё Дополнительная информация о запросе Показаны результаты для Нижнего Новгорода Москва 1 Контрольная работа № 2 Метод координат геометрия infourokru › …metod-koordinat-geometriya-klass-k… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Сайт – выбор пользователей Подробнее о сайте Инфоурок › Математика › Другие методич материалы › Контрольная работа № 2 Метод координат геометрия 9 класс к учебнику Атанасян Контрольная работа № 2 « Метод координат » Вариант 1 1 Найдите координаты и длину вектора , если Читать ещё Инфоурок › Математика › Другие методич материалы › Контрольная работа № 2 Метод координат геометрия 9 класс к учебнику Атанасян Контрольная работа № 2 Метод координат геометрия 9 класс к учебнику Атанасян библиотека материалов Контрольная работа № 2 « Метод координат » Вариант 1 1 Найдите координаты и длину вектора , если 2Напишите уравнение окружности с центром в точке Т(3;-2), проходящей через точку B(-2;0) 3Треугольник MNK задан координатами своих вершин: M(-6;1), N(2;4), K(2;-2) а) Докажите, что треугольник MNK – равнобедренный б) Найдите высоту, проведенную из вершины M Скрыть 2 Контрольная работа « Метод координат », 9 класс урокрф › …kontrolnaya…metod_koordinat_9_klass… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Контрольная / проверочная работа для учителя-предметника для 9 класса Учебно-дидактические материалы по Геометрии Вариант 1 1 Концы отрезка АВ имеют координаты А(2; -2), В(-2; 2) Найдите координаты середины этого отрезка 2 Даны точки А(2; 7), В(-2; 7) а) Найдите координаты вектора Читать ещё Контрольная / проверочная работа для учителя-предметника для 9 класса Учебно-дидактические материалы по Геометрии для 9 класса по УМК Атанасян ЛС, Бутузов ВФ и др Вариант 1 1 Концы отрезка АВ имеют координаты А(2; -2), В(-2; 2) Найдите координаты середины этого отрезка 2 Даны точки А(2; 7), В(-2; 7) а) Найдите координаты вектора , б) Найдите длину вектора 3 Уравнение окружности имеет вид Скрыть 3 Методическая разработка по геометрии ( 9 класс ) на тему nsportalru › …geometriya…po…metod-koordinat-9-klass Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Сайт – выбор пользователей Подробнее о сайте Контрольная работа по геометрии для 9 класса по теме » Метод координат » Контрольная работа по геометрии №2 « Метод координат » 9 класс I вариант Концы отрезка АВ имеют координаты А(2; -2), В(-2; 2) Найдите координаты середины этого отрезка Даны точки А(2; 7), В(-2; 7) а) Найдите Читать ещё Контрольная работа по геометрии для 9 класса по теме » Метод координат » Контрольная работа по геометрии №2 « Метод координат » 9 класс I вариант Концы отрезка АВ имеют координаты А(2; -2), В(-2; 2) Найдите координаты середины этого отрезка Даны точки А(2; 7), В(-2; 7) а) Найдите координаты вектора , б) Найдите длину вектора Уравнение окружности имеет вид Скрыть 4 Контрольная работа по геометрии 9 класс » Метод » multiurokru › …kontrolnaia-rabota-po…9-klass-metod… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Контрольная работа по геометрии 9 класс » Метод координат » состоит из двух вариантов Каждый вариант содержит десять разноуровневых заданий 5 ГДЗ по геометрии 9 класс самостоятельные eurokiorg › gdz…geometriya/9_klass…po…9-klass…933 Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Решебник по геометрии за 9 класс авторы Иченская издательство Просвещение ГДЗ самостоятельные и контрольные работы по геометрии 9 класс Иченская Просвещение Контрольные работы КР-1 Глава X Метод координат Читать ещё Решебник по геометрии за 9 класс авторы Иченская издательство Просвещение ГДЗ самостоятельные и контрольные работы по геометрии 9 класс Иченская Просвещение Для планомерной и эффективной подготовки к сдаче итоговой аттестации в 9 -м классе (ОГЭ по математике) важно глубоко и полно проработать все темы входящих в экзамен дисциплин Особенно много трудностей вызывают задания по геометрии Проводя регулярный самостоятельный контроль своих знаний в течение года, девятиклассники будут более уверены, успешно подготовятся к испытанию Контрольные работы КР-1 Глава X Метод координат Скрыть 6 Контрольная работа » Метод координат » 9 класс uchitelyacom › Геометрия › …metod-koordinat-9-klass… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Контрольная работа № 2 « Метод координат » Вариант 2 1 Найдите координаты и длину вектора  Геометрия — еще материалы к урокам: Тематические контрольные работы по геометрии 11 класс УМК Атанасян Читать ещё Контрольная работа № 2 « Метод координат » Вариант 2 1 Найдите координаты и длину вектора  Геометрия — еще материалы к урокам: Тематические контрольные работы по геометрии 11 класс УМК Атанасян Презентация «Симметрия в окружающем мире» 5-6 класс Тест «Соотношения между сторонами и углами треугольника» 7 класс Контрольная работа «Прямоугольные треугольники» 7 класс Контрольная работа «Длина окружности Площадь круга» 9 класс Итоговая контрольная работа по геометрии 7 класс Предметы Алгебра Скрыть 7 Геометрия 9 класс Контрольная работа № 2 по теме kopilkaurokovru › …9_klass…naia_rabota…po…koordinat Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Контрольная работа № 2 по теме: Метод координат Вариант 1 Найдите координаты и длину вектора , если Напишите Просмотр содержимого документа « Геометрия 9 класс Контрольная работа № 2 по теме: « Метод координат »» Контрольная работа № 2 по теме: « Метод координат » Читать ещё Контрольная работа № 2 по теме: Метод координат Вариант 1 Найдите координаты и длину вектора , если Напишите уравнение окружности с центром в точке А (-3; 2) Просмотр содержимого документа « Геометрия 9 класс Контрольная работа № 2 по теме: « Метод координат »» Контрольная работа № 2 по теме: « Метод координат » Вариант 1 Найдите координаты и длину вектора , если Скрыть 8 Метод координат геометрия 9 класс контрольная работа по — смотрите картинки ЯндексКартинки › метод координат геометрия 9 класс контрольная Пожаловаться Информация о сайте Ещё картинки 9 Контрольная работа по геометрии в 9 классе по теме studydocru › doc…rabota-po…v-9-klasse-po…metod Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Контрольная работа по геометрии в 9 классе по теме « Метод координат » Нетикова Маргарита Анатольевна, учитель математики ГБОУ школа №471 Выборгского района Санкт-Петербург Контрольная работа для 9 класса общеобразовательной школы, рассчитана на 1 час Читать ещё Контрольная работа по геометрии в 9 классе по теме « Метод координат » Нетикова Маргарита Анатольевна, учитель математики ГБОУ школа №471 Выборгского района Санкт-Петербург Контрольная работа для 9 класса общеобразовательной школы, рассчитана на 1 час Учебник: Геометрия 7- 9 , ЛСАтанасян, М, «Просвещение», 2011 Цель работы – проверить умения находить координаты вектора по координатам его начала и конца; длину вектора и расстояние между двумя точками координаты Скрыть 10 Тесты по геометрии 9 класс : к учебнику Атанасяна allengorg › d/math/math813htm Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте » Геометрия 7- 9 классы «, но могут быть использованы учителями, работающими по другим учебникам Все тесты составлены в 4 вариантах Пособие предназначено для учителей математики; его могут использовать и учащиеся 9 класса для подготовки Читать ещё » Геометрия 7- 9 классы «, но могут быть использованы учителями, работающими по другим учебникам Все тесты составлены в 4 вариантах Пособие предназначено для учителей математики; его могут использовать и учащиеся 9 класса для подготовки к контрольным работам , зачетам, ЕГЭ Формат: pdf (2016, 7-е изд, пер и доп, 96с) Размер: 1,2 Мб Содержание Введение 6 Инструкция для учащихся 8 Тема I Векторы 9 Вариант 1 9 Часть 1 9 Часть 2 10 Часть 3 12 Вариант II 12 Часть 1 12 Часть 2 14 Часть 3 15 Вариант III 16 Часть 1 16 Часть 2 18 Часть 3 19 Вариант IV 19 Часть 1 19 Часть 2 21 Часть 3 23 Тема II Скрыть Контрольная работа по геометрии по теме » Метод » pedportalnet › …geometriya…metod-koordinat…9-klass… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Контрольная работа по геометрии лоя 9 класса по теме » Метод координат «, состоит из 4-х вариантов, с ответами Читать ещё Контрольная работа по геометрии лоя 9 класса по теме » Метод координат «, состоит из 4-х вариантов, с ответами Автор: Попова Марина Николаевна Похожие материалы Тип Название материала Автор Опубликован Скрыть Вместе с « метод координат геометрия 9 класс контрольная работа по » ищут: метод рационализации расстояние от точки до плоскости теорема косинусов угол между прямой и плоскостью угол между прямой и плоскостью координатный метод уравнение плоскости dapubg координаты вектора теорема менелая что такое метод координат 1 2 3 4 5 дальше Браузер Интересное в ленте рекомендаций лично для вас 0+ Скачать

1 контрольная работа по геометрии 9 кл

К — 1

Вариант 1

• 1. Начертите два неколлинеарных вектора a и b. Постройте векторы, равные: а) — a + 3 b;

б) 2 b – a.

2. На стороне BC ромба ABCD лежит точка K так, что BK = KC, O – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы AO, AK через векторы a = AB и b = AD

К — 1

Вариант 1

• 1. Начертите два неколлинеарных вектора a и b. Постройте векторы, равные: а) — a + 3 b;

б) 2 b – a.

К — 1

Вариант 1

• 1. Начертите два неколлинеарных вектора a и b. Постройте векторы, равные: а) — a + 3 b;

б) 2 b – a.

К — 1

Вариант 1

• 1. Начертите два неколлинеарных вектора a и b. Постройте векторы, равные: а) — a + 3 b;

б) 2 b – a.

К — 1

Вариант 2

• 1. Начертите два неколлинеарных вектора m и n. Постройте векторы, равные: а) — m + 2 n;

б) 3 n – m.

2. На стороне CD квадрата ABCD лежит точка P так, что CP = PD, O – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы BO, BP, PA через векторы x = BA и y = BC

3. В равнобедренной трапеции один из углов равен 60⁰, боковая сторона равна 8 см, а меньшее основание 7 см. Найдите среднюю линию трапеции.

К — 1

Вариант 2

• 1. Начертите два неколлинеарных вектора m и n. Постройте векторы, равные: а) — m + 2 n;

б) 3 n – m.

К — 1

Вариант 2

• 1. Начертите два неколлинеарных вектора m и n. Постройте векторы, равные: а) — m + 2 n;

б) 3 n – m.

К — 1

Вариант 2

• 1. Начертите два неколлинеарных вектора m и n. Постройте векторы, равные: а) — m + 2 n;

б) 3 n – m.

Решебник (ГДЗ) дидактические материалы по геометрии 9 класс Зив

Автор: Б.Г. Зив.

Как и домашнее задание для школьников, подготовка учителей к урокам достаточно трудоёмка и требует немало времени, поэтому нужна помощь в виде ГДЗ к дидактическим материалам по геометрии 9 класс Зив. Существует множество методических пособий, предназначенных для учителей, с помощью которых они могут разработать план урока, интересно преподнести новый материал, организовать контроль знаний учеников.

Методическое пособие для учителя геометрии

Для учителей, преподающих геометрию по программе Атанасяна, разработан сборник «Геометрия 9 класс Дидактические материалы, Зив Просвещение». Сборник Дидактических материалов состоит из:

самостоятельных работ;
самостоятельных работ, направленных на повторение изученного материала;
математических диктантов;
контрольных работ;
набора задач с уровнем повышенной сложности.

Все работы пособия направлены на проверку знаний школьников, и соответствуют изучаемым в 9 классе вопросам. В дополнение к дидактическим материалам, учителям рекомендуется использовать Решебник к дидактическим материалам по геометрии 9 класс автор: Б.Г. Зив.

Для чего нужен решебник

В решебнике собраны ответы на задачи дидактических материалов, включая их полные решения с пояснениями. Используя Готовые Домашние Задания, учителя смогут оперативно проверить выполненные учениками работы, сократить время прорешивания задач, объяснить новый материал более простым и понятным языком. Онлайн-решебник прост в использовании благодаря своей структуре. Его текст разбит на 4 раздела, соответствующих разделам дидактических материалов. В готовых решения задач используются необходимые чертежи и доказательства.

Для кого предназначен решебник дидактические материалы по геометрии 9 класс от Зив

Несмотря на то, что сборник дидактических материалов и решебник к нему предназначены для учителей, воспользоваться ими полезно также и ученикам девятых классов. Готовые Домашние Задания подойдут в качестве дополнительного учебно-методического пособия, для самостоятельного изучения новых тем, повторения пройденного материала, проверки собственных решений, подготовки к ГИА. Готовые Домашние Задания станут помощником в образовательном процессе, и сделают изучение геометрии ещё интереснее и увлекательнее.

операций над векторами, сложение векторов, умножение вектора на действительное число.

Рассмотрим вектор v, начальная точка которого в системе координат xy, а конечной точкой является. Мы говорим, что вектор находится в стандартной позиции и называем его вектором позиции. Обратите внимание, что упорядоченная пара однозначно определяет вектор. Таким образом, мы можем использовать для обозначения вектора. Чтобы подчеркнуть, что мы думаем о векторе, и чтобы избежать путаницы в нотации с нотацией упорядоченных пар и интервалов, мы обычно пишем
v =.

Координата a — это скаляр , горизонтальный компонент вектора, а координата b — это скаляр , вертикальный компонент вектора. Под скаляром мы подразумеваем числовую величину , а не вектор . Таким образом, компонент считается формой из v. Обратите внимание, что a и b НЕ являются векторами, и их не следует путать с определением компонента вектора.

Теперь рассмотрим с A = (x ₁, y ₁) и C = (x ₂, y ₂).Давайте посмотрим, как найти вектор положения, эквивалентный. Как вы можете видеть на рисунке ниже, начальная точка A перемещена в начало координат (0, 0). Координаты P находятся путем вычитания координат A из координат C. Таким образом, P = (x ₂ — x ₁, y ₂ — y ₁) и вектор положения равен.

Можно показать, что и имеют одинаковую величину и направление и, следовательно, эквивалентны. Таким образом, = = 2 — x ₁, y ₂ — y ₁>.

Компонент формирует of с A = (x ₁, y ₁) и C = (x ₂, y ₂) равен
= 2 — x ₁, y ₂ — y ₁>.

Пример 1 Найдите форму компонента, если C = (- 4, — 3) и F = (1, 5).

Решение У нас
= =.

Обратите внимание, что вектор эквивалентен вектору положения, как показано на рисунке выше.

Теперь, когда мы знаем, как записывать векторы в компонентной форме, давайте еще раз сформулируем некоторые определения.
Длину вектора v легко определить, когда известны компоненты вектора. Для v = 1, v ₂> имеем
| v | ² = v ² ₁ + v ² ₂ Использование теоремы Пифагора
| v | = √v ² ₁ + v ² ₂.

Длина , или величина вектора v = 1, v ₂> задается как | v | = √v ² ₁ + v ² ₂.

Два вектора эквивалентны , если они имеют одинаковую величину и одинаковое направление.

Пусть u = 1, u ₂> и v = 1, v ₂>. Тогда
1, u ₂> = 1, v ₂> тогда и только тогда, когда u ₁ = v ₁ и u ₂ = v ₂.

Операции над векторами

Чтобы умножить вектор v на положительное действительное число, мы умножаем его длину на число. Его направление остается прежним.Например, когда вектор v умножается на 2, его длина удваивается и его направление не изменяется. Когда вектор умножается на 1,6, его длина увеличивается на 60%, а его направление остается прежним. Чтобы умножить вектор v на отрицательное действительное число, мы умножаем его длину на число и меняем его направление на обратное. Когда вектор умножается на 2, его длина удваивается, а его направление меняется на противоположное. Поскольку действительные числа работают как коэффициенты масштабирования при векторном умножении, мы называем их скалярами , а произведения kv называются скалярными кратными v.

Для действительного числа k и вектора v = 1, v ₂>, скалярное произведение для k и v равно
kv = k.1, v ₂> = 1, kv ₂ >.
Вектор kv является скалярным , кратным вектора v.

Пример 2 Пусть u = и w =. Найти — 7w, 3u и — 1w.

Решение
— 7w = — 7. =,
3u = 3. =,
— 1w = — 1. =.

Теперь мы можем сложить два вектора с помощью компонентов.Чтобы сложить два вектора, представленных в форме компонентов, мы добавляем соответствующие компоненты. Пусть u = 1, u ₂> и v = 1, v ₂>. Тогда
u + v = 1 + v ₁, u ₂ + v ₂>

Например, если v = и w =, то
v + w = =

Если u = 1, u ₂> и v = 1, v ₂>, то
u + v = 1 + v ₁, u ₂ + v ₂>.

Прежде чем мы определим вычитание векторов, нам нужно определить — v.Противоположность v = 1, v ₂>, показанная ниже, это
— v = (- 1) .v = (- 1) 1, v ₂> = 1, — v ₂>

Вычитание вектора, такое как u — v, включает вычитание соответствующих компонентов. Покажем это, переписав u — v как u + (- v). Если u = 1, u ₂> и v = 1, v ₂>, то
u — v = u + (- v) = 1, u ₂> + 1, — v ₂> = 1 + (- v ₁), u ₂ + (- v ₂)> = 1 — v ₁, u ₂ — v ₂>

Мы можем проиллюстрировать векторное вычитание с помощью параллелограммов, точно так же, как мы делали векторное сложение.

Вычитание вектора

Если u = 1, u ₂> и v = 1, v ₂>, то
u — v = 1 — v ₁, u ₂ — v ₂>.

Интересно сравнить сумму двух векторов с разностью тех же двух векторов в одном параллелограмме. Векторы u + v и u — v — диагонали параллелограмма.

Пример 3 Выполните следующие вычисления, где u = и v =.
a) u + v
b) u — 6v
c) 3u + 4v
d) | 5v — 2u |

Решение
а) u + v = + = =;
б) и — 6в = — 6. = — =;
в) 3u + 4v = 3. + 4. = + =;
d) | 5v — 2u | = | 5. — 2. | = | — | = || = √ (- 29) ² + 21 ² = √1282 ≈ 35,8

Прежде чем мы сформулируем свойства сложения векторов и скалярного умножения, нам нужно определить другой специальный вектор — нулевой вектор. Вектор, у которого обе точки являются начальной и конечной, — это нулевой вектор , обозначенный буквой O или.Его величина равна 0. Помимо векторов, нулевой вектор является аддитивным вектором идентичности:
v + O = v. 1, v ₂> + = 1, v ₂>
Операции над векторами имеют много общего. свойства как операции с действительными числами.

Свойства сложения векторов и скалярного умножения

Для всех векторов u, v и w и для всех скаляров b и c:
1. u + v = v + u.
2. и + (v + w) = (u + v) + w.
3. v + O = v.
4 1.v = v; 0. v = 0.
5. v + (- v) = 0.
6. b (cv) = (bc) v.
7. (b + c) v = bv + cv.
8. b (u + v) = bu + bv.

Единичные векторы

Вектор величины или длины 1 называется единичным вектором . Вектор v = является единичным вектором, поскольку
| v | = || = √ (- 3/5) ² + (4/5) ² = √9 / 25 + 16/25 = √25 / 25 = √1 = 1.

Пример 4 Найдите единичный вектор, который имеет то же направление, что и вектор w =.

Решение Сначала мы находим длину w:
| w | = √ (- 3) ² + 5 ² = √34. Таким образом, нам нужен вектор, длина которого равна 1 / √34 от w, а направление совпадает с направлением вектора w. Этот вектор равен
u = w / √34 = / √34 = 34, 5 / √34>.
Вектор u является единичным вектором, поскольку
| u | = | w / √34 | = = √34 / 34 = √1 = 1.

Если v — вектор и v ≠ O, то
(1 / | v |) • v или v / | v |,
— единичный вектор в направлении v.

Хотя единичные векторы могут иметь любое направление, единичные векторы, параллельные осям x и y, особенно полезны. Они определены как
i = и j =.

Любой вектор может быть выражен как линейная комбинация единичных векторов i и j. Например, пусть v = 1, v ₂>. Тогда
v = 1, v ₂> = 1, 0> + 2> = v ₁ + v ₂ = v ₁ i + v ₂ j.

Пример 5 Выразите вектор r = как линейную комбинацию i и j.

Решение
r = = 2i + (- 6) j = 2i — 6j.

Пример 6 Запишите вектор q = — i + 7j в компонентной форме.

Решение q = — i + 7j = -1i + 7j =

Операции с векторами также могут выполняться, когда векторы записываются как линейные комбинации i и j.

Пример 7 Если a = 5i — 2j и b = -i + 8j, найти 3a — b.

Решение
3a — b = 3 (5i — 2j) — (- i + 8j) = 15i — 6j + i — 8j = 16i — 14j.

Углы направления

Конечная точка P единичного вектора в стандартном положении — это точка на единичной окружности, обозначенная (cosθ, sinθ). Таким образом, единичный вектор может быть выражен в форме компонентов,
u =,
или как линейная комбинация единичных векторов i и j,
u = (cosθ) i + (sinθ) j,
, где компоненты u являются функциями угла направления θ, измеренного против часовой стрелки от оси x к вектору. Поскольку θ изменяется от 0 до 2π, точка P описывает окружность x ² + y ² = 1.Это принимает все возможные направления для единичных векторов, поэтому уравнение u = (cosθ) i + (sinθ) j описывает все возможные единичные векторы на плоскости.

Пример 8 Вычислите и нарисуйте единичный вектор u = (cosθ) i + (sinθ) j для θ = 2π / 3. Включите единичный круг в свой эскиз.

Решение
u = (cos (2π / 3)) i + (sin (2π / 3)) j = (- 1/2) i + (√3 / 2) j

Пусть v = 1, v ₂> с направленным углом θ. Используя определение касательной функции, мы можем определить угол направления из компонентов v:

Пример 9 Определите угол направления θ вектора w = — 4i — 3j.

Решение Мы знаем, что
w = — 4i — 3j =.
Таким образом, мы имеем
tanθ = (- 3) / (- 4) = 3/4 и θ = tan ^{— 1} (3/4).
Поскольку w находится в третьем квадранте, мы знаем, что θ — угол третьего квадранта. Базовый угол составляет
tan ^{— 1} (3/4) ≈ 37 °, а θ ≈ 180 ° + 37 °, или 217 °.

Для работы с прикладными задачами и для последующих курсов, таких как математика, удобно иметь способ выразить вектор так, чтобы его величину и направление можно было легко определить или прочитать.Пусть v вектор. Тогда v / | v | является единичным вектором в том же направлении, что и v. Таким образом, мы имеем
v / | v | = (cosθ) i + (sinθ) j
v = | v | [(cosθ) i + (sinθ) j] Умножение на | v |
v = | v | (cosθ) i + | v | (sinθ) j.

Пример 10 Скорость и направление самолета. Самолет летит по пеленгу 100 ° со скоростью 190 км / ч, а ветер дует со скоростью 48 км / ч со скоростью 220 °. Найдите путевую скорость самолета и направление его траектории или курса относительно земли.

Решение Сначала делаем рисунок. Ветер представлен как, а вектор скорости самолета — как. Результирующий вектор скорости равен v, сумме двух векторов:
v = +.

Пеленг (отсчитываемый от севера) вектора воздушной скорости равен 100 °. Угол направления (измеренный против часовой стрелки от положительной оси x) составляет 350 °. Пеленг (отсчитываемый от севера) вектора ветра составляет 220 °. Угол направления (измеренный против часовой стрелки от положительной оси x) составляет 50 °.Величины и равны 190 и 48 соответственно. Имеем
= 190 (cos350 °) i + 190 (sin350 & deg) j и
= 48 (cos50 °) i + 48 (sin50 & deg) j.
Таким образом,
v = +
= [190 (cos350 °) i + 190 (sin350 & deg) j] + [48 (cos50 °) i + 48 (sin50 & deg) j]
= [190 (cos350 °) i + 48 ( cos50 °) i] + [190 (sin350 & deg) j + 48 (sin50 & deg) j]
≈ 217,97i + 3,78j.
Из этой формы мы можем определить путевую скорость и курс:
Путевая скорость ≈ √ (217,97) ² + (3,78) ² ≈ 218 км / ч.
Пусть α будет направленным углом v. Тогда
tanα = 3,78 / 217,97
α = tan ^{— 1} 3,78 / 217,97 ≈ 1 °.
Таким образом, курс самолета (направление с севера) составляет 90 ° — 1 °, или 89 °.

Угол между векторами

Когда вектор умножается на скаляр, результатом является вектор. Когда два вектора складываются, результат также является вектором. Таким образом, мы могли бы ожидать, что произведение двух векторов также будет вектором, но это не так. скалярное произведение двух векторов является действительным числом или скаляром.Этот продукт полезен при нахождении угла между двумя векторами и при определении того, перпендикулярны ли два вектора.

Точечный продукт двух векторов u = 1, u ₂> и v = 1, v ₂> равен
u • v = u ₁ .v ₁ + u ₂ .v. ₂
(Обратите внимание, что u ₁ v ₁ + u ₂ v ₂ — это скаляр , а не вектор.)

Пример 11 Найдите указанное скалярное произведение, когда
u =, v = и w =.
a) u • w
b) w • v

Решение
а) u • w = 2 (- 3) + (- 5) 1 = — 6 — 5 = — 11;
б) w • v = (- 3) 0 + 1 (4) = 0 + 4 = 4.

Скалярное произведение можно использовать для определения угла между двумя векторами. Угол между двумя векторами — это наименьший положительный угол, образованный двумя направленными отрезками прямой. Таким образом, угол θ между u и v равен углу между v и u, а 0 ≤ θ ≤ π.

Если θ — угол между двумя ненулевыми векторами u и v, то
cosθ = (u • v) / | u || v |.

Пример 12 Найдите угол между u = и v =.

Решение Начнем с нахождения u • v, | u | и | v |:
u • v = 3 (- 4) + 7 (2) = 2,
| u | = √3 ² + 7 ² = √58 и
| v | = √ (- 4) ² + 2 ² = √20.
Тогда
cosα = (u • v) / | u || v | = 2 / √58.√20
α = cos ^{— 1} (2 / √58.√20)
α ≈ 86,6 °.

Силы в равновесии

Когда несколько сил действуют через одну и ту же точку на объект, их векторная сумма должна быть равна нулю, чтобы произошло равновесие.Когда происходит равновесие, объект либо неподвижен, либо движется по прямой без ускорения. Тот факт, что векторная сумма должна быть равна нулю для баланса, и наоборот, позволяет нам решать многие прикладные задачи, связанные с силами.

Пример 13 Подвесной блок. Блок весом 350 фунтов подвешен на двух тросах, как показано слева. В точке A действуют три силы: W, тянущий вниз блок, и R и S, два троса, тянущие вверх и наружу. Найдите натяжение каждого троса.

Решение Нарисуем диаграмму сил с начальными точками каждого вектора в начале координат. Для обеспечения баланса векторная сумма должна быть вектором O:

R + S + W = O.
Мы можем выразить каждый вектор через его величину и угол направления:
R = | R | [( cos125 °) i + (sin125 °) j],
S = | S | [(cos37 °) i + (sin37 °) j] и
W = | W | [(cos270 °) i + (sin270 °) j]
= 350 (cos270 °) i + 350 (sin270 °) j
= -350j cos270 ° = 0; sin270 ° = — 1.
Подставляя R, S и W в R + S + W + O, получаем
[| R | (cos125 °) + | S | (cos37 °)] i + [| R | (sin125 °) + | S | (sin37 °) — 350] j = 0i + 0j.
Это дает нам систему уравнений:
| R | (cos125 °) + | S | (cos37 °) = 0,
| R | (sin125 °) + | S | (sin37 °) — 350 = 0.
Решая эту систему, получаем
| R | ≈ 280 и | S | ≈ 201.
Натяжение тросов составляет 280 фунтов и 201 фунт.

векторов, графическое представление векторов, величина вектора, направление вектора

Векторы могут быть графически представлены направленными линейными сегментами.Длина выбирается в соответствии с некоторым масштабом, чтобы представить величину вектора , а направление направленного отрезка линии представляет направление вектора . Например, если мы допустим, что 1 см представляет 5 км / ч, то ветер со скоростью 15 км / ч с северо-запада будет представлен направленным отрезком линии длиной 3 см, как показано на рисунке слева.

Вектор на плоскости — это направленный отрезок прямой. Два вектора эквивалентны , если они имеют одинаковую величину и направление .

Рассмотрим вектор, проведенный из точки A в точку B. Точка A называется начальной точкой вектора, а точка B называется конечной точкой . Символическое обозначение этого вектора (читай «вектор AB»). Векторы также обозначаются жирными буквами, такими как u, v и w. Четыре вектора на рисунке слева имеют одинаковую длину и направление. Таким образом, они представляют эквивалентных векторов; то есть

В контексте векторов мы используем = для обозначения эквивалента.

Длина, или звездной величины , выражается как ||. Чтобы определить, эквивалентны ли векторы, мы находим их величины и направления.

Пример 1 Векторы u, и w показаны на рисунке ниже. Покажем, что u = = w.

Решение Сначала мы находим длину каждого вектора, используя формулу расстояния:
| u | = √ [2 — (-1)] ² + (4 — 3) ² = √9 + 1 = √10,
|| = √ [0 — (-3)] ² + [0 — (-1)] ² = √9 + 1 = √10,
| w | = √ (4-1) ² + [-1 — (-2)] ² = √9 + 1 = √10.
Таким образом,
| u | = | = | ш |.
Кажется, что векторы u, и w движутся в одном направлении, поэтому мы проверяем их наклон. Если линии, на которых они находятся, имеют одинаковый наклон, векторы имеют одинаковое направление. Мы вычисляем наклоны:
Так как u, и w имеют одинаковую величину и одинаковое направление,
u = = w.

Имейте в виду, что эквивалентность векторов требует только одинаковой величины и одного направления, а не одного и того же местоположения. На иллюстрациях слева каждая из первых трех пар векторов не эквивалентна.Четвертый набор векторов является примером эквивалентности.

Предположим, человек делает 4 шага на восток, а затем 3 шага на север. Затем он или она будет в 5 шагах от начальной точки в направлении, показанном слева. Вектор длиной 4 единицы, указывающий вправо, представляет 4 шага на восток, а вектор длиной 3 единицы и направленный вверх представляет 3 шага на север. Сумма двух векторов представляет собой вектор с 5 шагами по величине и в показанном направлении. Сумма также называется , равным двух векторов.

В общем, два ненулевых вектора u и v можно сложить геометрически, поместив начальную точку v в конечную точку u, а затем найдя вектор, который имеет ту же начальную точку, что и u, и ту же конечную точку, что и v, как показано на следующем рисунке.

Сумма — это вектор, представленный направленным отрезком прямой от начальной точки A отрезка u до конечной точки C отрезка v. То есть, если u = и v =, то
u + v = + =

Мы также можем описать сложение векторов, сложив начальные точки векторов вместе, завершив параллелограмм и найдя диагональ параллелограмма.(См. Рисунок слева внизу.) Это описание сложения иногда называют законом параллелограмма сложения векторов. Сложение векторов коммутативно. Как показано на рисунке справа внизу, и u + v, и v + u представлены одним и тем же направленным отрезком линии.

Если две силы F ₁ и F ₂ действуют на объект, комбинированный эффект является суммой или равнодействующей F ₁ + F ₂ отдельных сил.

Пример 2 Силы в 15 и 25 ньютонов действуют на объект под прямым углом друг к другу. Найдите их сумму или равнодействующую, указав величину равнодействующей и угол, который она образует с большей силой.

Решение Мы рисуем рисунок — на этот раз прямоугольник — используя v или для представления результата. Чтобы найти величину, воспользуемся теоремой Пифагора:
| v | ² = 15 ² + 25 ² Здесь | v | обозначает длину или величину v.
| v | = √15 ² + 25 ²
| v | ≈ 29,2.
Чтобы найти направление, отметим, что, поскольку OAB — прямоугольный треугольник,
tanθ = 15/25 = 0,6.
С помощью калькулятора находим θ, угол, который образует равнодействующая с большей силой:
θ = tan ^{— 1} (0,6) ≈ 31 °
Результирующая имеет величину 29,2 и составляет угол 31 ° с большей силой.

Пилоты должны корректировать направление своего полета при боковом ветре. И ветер, и скорость самолета можно описать векторами.

Пример 3 Скорость и направление самолета. Самолет летит по пеленгу 100 ° со скоростью 190 км / ч, а ветер дует 48 км / ч со скоростью 220 °. Найдите путевую скорость самолета и направление его траектории или курса относительно земли.

Решение Сначала делаем рисунок. Ветер представлен как, а вектор скорости самолета — как. Результирующий вектор скорости равен v, сумме двух векторов. Угол θ между v и называется углом сноса .

Обратите внимание, что размер COA = 100 ° — 40 ° = 60 °. Таким образом, размер CBA также составляет 60 ° (противоположные углы параллелограмма равны). Поскольку сумма всех углов параллелограмма составляет 360 °, а COB и OAB имеют одинаковую величину, каждый должен быть 120 °. По закону косинусов в автономной адресной книге мы имеем
| v | ² = 48 ² + 190 ² — 2.48.190.cos120 °
| v | ² = 47 524
| v | = 218
Таким образом, | v | 218 км / ч. По закону синусов в том же треугольнике
48 / sinθ = 218 / sin 120 ° ,
или
sinθ = 48.sin120 ° / 218 ≈ 0,1907
θ ≈ 11 °
Таким образом, θ = 11 ° с точностью до градуса. Путевая скорость самолета составляет 218 км / ч, а его колея идет в направлении 100 ° — 11 °, или 89 °.

Для вектора w мы можем найти два других вектора u и v, сумма которых равна w. Векторы u и v называются компонентами вектора w, а процесс их нахождения называется , разрешающим или представляющим вектор на его компоненты вектора.

При разрешении вектора мы обычно ищем перпендикулярные компоненты.Чаще всего один компонент будет параллелен оси x, а другой — оси y. По этой причине их часто называют горизонтальными и вертикальными компонентами вектора. На рисунке ниже вектор w = разрешен как сумма u = и v =.

Горизонтальная составляющая w равна u, а вертикальная составляющая v.

Пример 4 Вектор w имеет величину 130 и наклонен на 40 ° относительно горизонтали.Разложите вектор на горизонтальные и вертикальные компоненты.

Решение Сначала мы рисуем горизонтальный и вертикальный векторы u и v, сумма которых равна w.

Из ABC находим | u | и | v | используя определения функций косинуса и синуса:
cos40 ° = | u | / 130 или | u | = 130.cos40 ° ≈ 100,
sin40 ° = | v | / 130, или | v | = 130.sin40 ° ≈ 84.
Таким образом, горизонтальный компонент w равен 100 вправо, а вертикальный компонент w равен 84 вверх.

Трехмерная координатная геометрия — Уравнение плоскости

Когда мы знаем три точки на плоскости, мы можем найти уравнение плоскости, решая совместные уравнения.

Пусть ax + by + cz + d = 0 ax + by + cz + d = 0ax + by + cz + d = 0 будет уравнением плоскости, на которой есть следующие три точки: A = (1,0, 2), B = (2,1,1), A = (1,0,2), B = (2,1,1), A = (1,0,2), B = (2,1, 1) и C = (- 1,2,1). C = (- 1,2,1). С = (- 1,2,1). Тогда уравнение плоскости устанавливается следующим образом:

У нас уже есть уравнение плоскости с 4 неизвестными константами:

топор + по + cz + d = 0.(1) ax + by + cz + d = 0. \ qquad (1) ax + by + cz + d = 0. (1)

Мы также получаем следующие 3 уравнения, подставляя координаты A, B, A, B, A, B и CCC в (1) 🙁 1) 🙁 1):

a⋅1 + b⋅0 + c⋅2 + d = 0a⋅2 + b⋅1 + c⋅1 + d = 0a⋅ (−1) + b⋅2 + c⋅1 + d = 0, \ begin {выровнено} а \ cdot 1 + b \ cdot 0 + c \ cdot 2 + d & = 0 \\ а \ cdot 2 + b \ cdot 1 + c \ cdot 1 + d & = 0 \\ а \ cdot (-1) + b \ cdot 2 + c \ cdot 1 + d & = 0, \ end {align} a⋅1 + b⋅0 + c⋅2 + da⋅2 + b⋅1 + c⋅1 + da⋅ (−1) + b⋅2 + c⋅1 + d = 0 = 0 = 0,

, что дает b = 3a, c = 4a, d = −9a.(2) b = 3a, c = 4a, d = -9a. \ qquad (2) b = 3a, c = 4a, d = −9a. (2)

Подставляя (2) (2) (2) в (1), (1), (1), получаем

ax + 3ay + 4az − 9a = 0x + 3y + 4z − 9 = 0. \ begin {выровнено} ах + 3ay + 4az -9a & = 0 \\ х + 3у + 4z — 9 & = 0. \ end {align} ax + 3ay + 4az − 9ax + 3y + 4z − 9 = 0 = 0.

Следовательно, уравнение плоскости, проходящей через три точки A = (1,0,2), B = (2,1,1), A = (1,0,2), B = (2,1, 1), A = (1,0,2), B = (2,1,1) и C = (- 1,2,1) C = (- 1,2,1) C = (- 1, 2,1) — это

х + 3у + 4z − 9 = 0. х + 3у + 4z — 9 = 0.х + 3у + 4z − 9 = 0.

Используя этот метод, мы можем найти уравнение плоскости, если нам известны три точки. Вот пара примеров:

Если самолет проходит через три точки A = (0,0,2), B = (1,0,1), A = (0,0,2), B = (1,0,1), A = (0,0,2), B = (1,0,1) и C = (3,1,1), C = (3,1,1), C = (3,1,1), тогда что такое уравнение плоскости?
Пусть уравнение плоскости имеет вид ax + by + cz + d = 0. (1) ax + by + cz + d = 0. \ qquad (1) ax + by + cz + d = 0. (1)
Тогда, поскольку эта плоскость включает три точки A = (0,0,2), B = (1,0,1), A = (0,0,2), B = (1,0,1), A = (0,0,2), B = (1,0,1) и C = (3,1,1), C = (3,1,1), C = (3,1,1), у нас есть
a⋅0 + b⋅0 + c⋅2 + d = 0a⋅1 + b⋅0 + c⋅1 + d = 0a⋅3 + b⋅1 + c⋅1 + d = 0, \ begin {выровнено} а \ cdot 0 + b \ cdot 0 + c \ cdot 2 + d & = 0 \\ а \ cdot 1 + b \ cdot 0 + c \ cdot 1 + d & = 0 \\ а \ cdot 3 + b \ cdot 1 + c \ cdot 1 + d & = 0, \ end {align} a⋅0 + b⋅0 + c⋅2 + da⋅1 + b⋅0 + c⋅1 + da⋅3 + b⋅1 + c⋅1 + d = 0 = 0 = 0,
, что дает b = −2a, c = a, d = −2a.(2) b = -2a, c = a, d = -2a. \ qquad (2) b = −2a, c = a, d = −2a. (2)
Подставляя (2) (2) (2) в (1), (1), (1), получаем
ax + −2ay + az − 2a = 0x − 2y + z − 2 = 0. \ begin {выровнено} ах + -2ay + аз -2а & = 0 \\ х -2у + г — 2 & = 0. \ end {align} ax + −2ay + az − 2ax − 2y + z − 2 = 0 = 0.
Следовательно, уравнение плоскости, проходящей через три точки A = (0,0,2), B = (1,0,1), A = (0,0,2), B = (1,0,1 ) A = (0,0,2), B = (1,0,1) и C = (3,1,1) C = (3,1,1) C = (3,1,1) равно
х-2у + г-2 знак равно 0. □ х -2y + z — 2 = 0. \ _ \ квадрат х-2у + г-2 знак равно 0.□

Если самолет проходит через три точки A = (3,1,2), B = (6,1,2), A = (3,1,2), B = (6,1,2), A = (3,1,2), B = (6,1,2) и C = (0,2,0), C = (0,2,0), C = (0,2,0), тогда какое уравнение плоскости?
Пусть уравнение плоскости имеет вид ax + by + cz + d = 0. (1) ax + by + cz + d = 0. \ qquad (1) ax + by + cz + d = 0. (1)
Тогда, поскольку эта плоскость включает три точки A = (0,0,2), B = (1,0,1), A = (0,0,2), B = (1,0,1), A = (0,0,2), B = (1,0,1) и C = (3,1,1), C = (3,1,1), C = (3,1,1), у нас есть
a⋅3 + b⋅1 + c⋅2 + d = 0a⋅6 + b⋅1 + c⋅2 + d = 0a⋅0 + b⋅2 + c⋅0 + d = 0, \ begin {выровнено} а \ cdot 3 + b \ cdot 1 + c \ cdot 2 + d & = 0 \\ а \ cdot 6 + b \ cdot 1 + c \ cdot 2 + d & = 0 \\ а \ cdot 0 + b \ cdot 2 + c \ cdot 0 + d & = 0, \ end {align} a⋅3 + b⋅1 + c⋅2 + da⋅6 + b⋅1 + c⋅2 + da⋅0 + b⋅2 + c⋅0 + d = 0 = 0 = 0,
, что дает a = 0, c = 12b, d = −2b.(2) a = 0, c = \ frac {1} {2} b, d = -2b. \ qquad (2) a = 0, c = 21 b, d = −2b. (2)
Подставляя (2) (2) (2) в (1), (1), (1), получаем
0x + −by + 12bz − 2b = 0x − y + 12z − 2 = 02x − 2y + z − 4 = 0. \ begin {выровнено} 0x + -by + \ frac {1} {2} bz -2b & = 0 \\ x -y + \ frac {1} {2} z — 2 & = 0 \\ 2x — 2y + z-4 & = 0. \ end {align} 0x + −by + 21 bz − 2bx − y + 21 z − 22x − 2y + z − 4 = 0 = 0 = 0.
Следовательно, уравнение плоскости, проходящей через три точки A = (0,0,2), B = (1,0,1), A = (0,0,2), B = (1,0, 1), A = (0,0,2), B = (1,0,1) и C = (3,1,1) C = (3,1,1) C = (3,1,1 ) составляет
2x − 2y + z − 4 знак равно 0.□ 2x — 2y + z-4 = 0. \ _ \ квадрат 2x − 2y + z − 4 знак равно 0. □

Попробуйте решить следующую проблему:

х = 1х = 1х = 1 х + у = 3х + у = 3х + у = 3 у-х = 1у-х = 1у-х = 1 Ни один из вышеперечисленных

Найдите уравнение плоскости, проходящей через (1,2,3) (1,2,3) (1,2,3) и (1, −3,2) (1, -3,2) (1, −3,2) и параллельно оси zzz.

векторный анализ | математика | Британника

Полная статья

векторный анализ , раздел математики, который имеет дело с величинами, имеющими как величину, так и направление. Некоторые физические и геометрические величины, называемые скалярами, можно полностью определить, указав их величину в подходящих единицах измерения. Таким образом, масса может быть выражена в граммах, температура — в градусах по некоторой шкале, а время — в секундах.Скаляры могут быть представлены графически точками на некоторой числовой шкале, такой как часы или термометр. Также существуют величины, называемые векторами, которые требуют указания направления, а также величины. Скорость, сила и смещение являются примерами векторов. Векторная величина может быть представлена графически направленным линейным сегментом, обозначенным стрелкой, указывающей в направлении векторной величины, при этом длина сегмента представляет величину вектора.

Векторная алгебра.

Прототипом вектора является направленный отрезок линии A  B ( см. Рисунок 1), который, как можно представить, представляет смещение частицы из ее исходного положения A  в новое положение B . Чтобы отличать векторы от скаляров, принято обозначать векторы жирными буквами. Таким образом, вектор A  B на рисунке 1 может быть обозначен как a , а его длина (или величина) — как | а |.Во многих задачах положение начальной точки вектора несущественно, поэтому два вектора считаются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

Подробнее по этой теме

аналитическая геометрия: векторный анализ

В евклидовом пространстве любой размерности векторы — направленные отрезки прямых — можно задавать координатами. Набор из n элементов (a1, …

Равенство двух векторов a и b обозначается обычным символическим обозначением a = b , а полезные определения элементарных алгебраических операций над векторами подсказывает геометрия.Таким образом, если A  B = , то на рисунке 1 представляет смещение частицы от A  к B , а затем частица перемещается в положение C , так что B C = b , ясно, что смещение от A  до C может быть выполнено за одно смещение A  C = c . Таким образом, логично записать a + b = c .Это построение суммы c a и b дает тот же результат, что и закон параллелограмма, в котором результирующий c задается диагональю A  C параллелограмма, построенного на векторах. A  B и A  D в качестве сторон. Поскольку положение начальной точки B вектора B C = b несущественно, следует, что B C = A  D .На рисунке 1 показано, что A  D + D C = A  C , так что коммутативный закон сохраняется для сложения векторов. Кроме того, легко показать, что ассоциативный закон верен, и, следовательно, скобки в (2) могут быть опущены без каких-либо двусмысленностей.

Если s — скаляр, s a или a s определяется как вектор, длина которого | s || a | и направление которого совпадает с направлением a , когда s положительно, и противоположным направлению a , если s отрицательно.Таким образом, a и — a — это векторы, равные по величине, но противоположные по направлению. Приведенные выше определения и хорошо известные свойства скалярных чисел (представленных s и t ) показывают, что

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас
Поскольку законы (1), (2) и (3) идентичны законам, встречающимся в обычной алгебре, вполне уместно использовать знакомые алгебраические правила для решения систем линейных уравнений, содержащих векторы.Этот факт позволяет вывести чисто алгебраическими средствами многие теоремы синтетической евклидовой геометрии, требующие сложных геометрических построений.
Произведения векторов.
Умножение векторов приводит к двум типам произведений: скалярному произведению и перекрестному произведению.
Точечное или скалярное произведение двух векторов a и b , записанное a · b , является действительным числом | a || b | cos ( a , b ), где ( a , b ) обозначает угол между направлениями a и b .Геометрически
Если a и b расположены под прямым углом, тогда a · b = 0, и если ни a , ни b не являются нулевым вектором, то исчезновение скалярного произведения показывает, что векторы быть перпендикулярными. Если a = b , то cos ( a , b ) = 1, и a · a = | a | ² дает квадрат длины на .
Ассоциативные, коммутативные и дистрибутивные законы элементарной алгебры действительны для умножения векторов на точки.
Перекрестное или векторное произведение двух векторов a и b , записанное a × b , является вектором, где n — вектор единичной длины, перпендикулярный плоскости a и b и направлен таким образом, что правый винт, повернутый от на к b , будет продвигаться в направлении n ( см. Рисунок 2). Если a и b параллельны, a × b = 0.Величина a × b может быть представлена площадью параллелограмма, имеющей a и b в качестве смежных сторон. Кроме того, поскольку вращение от b к a противоположно вращению от a к b ,
Рисунок 2: Перекрестное произведение, образованное умножением двух векторов
Encyclopædia Britannica, Inc.
Это показывает, что перекрестное произведение не коммутативно, но закон ассоциации ( s a ) × b = s ( a × b ) и закон распределения справедливы для перекрестных произведений.
Системы координат.
Поскольку эмпирические законы физики не зависят от специального или случайного выбора систем отсчета, выбранных для представления физических отношений и геометрических конфигураций, векторный анализ является идеальным инструментом для изучения физической вселенной. Введение специальной системы отсчета или системы координат устанавливает соответствие между векторами и наборами чисел, представляющими компоненты векторов в этой системе координат, и вводит определенные правила работы с этими наборами чисел, которые следуют из правил операций на линии сегменты.
Если выбран какой-то конкретный набор из трех неколлинеарных векторов (называемых базовыми векторами), то любой вектор A  может быть однозначно выражен как диагональ параллелепипеда, ребра которого являются компонентами A  в направлениях базовых векторов. . Обычно используется набор из трех взаимно ортогональных единичных векторов (, т. Е. векторов длины 1) i , j , k , направленных вдоль осей знакомой декартовой системы отсчета ( см. Рисунок 3) .В этой системе выражение принимает вид где x , y и z — это проекции A  на оси координат. Когда два вектора A  ₁ и A  ₂ представлены как тогда использование законов (3) дает для их суммы
Рисунок 3: Разрешение вектора на три взаимно перпендикулярных компонента
Encyclopædia Britannica, Inc.
Таким образом, в декартовой системе отсчета сумма A  ₁ и A  ₂ является вектором, определяемым соотношением ( x ₁ + y ₁, x ₂ + y ₂, x ₃ + y ₃).Кроме того, скалярное произведение может быть записано с
. Использование закона (6) дает результат для того, чтобы векторное произведение было вектором, определяемым тройкой чисел, появляющихся как коэффициенты i , j и k в (9).
Если векторы представлены матрицами 1 × 3 (или 3 × 1), состоящими из компонентов ( x ₁, x ₂, x ₃) векторов, это возможно перефразировать формулы (7) — (9) на языке матриц.Такая перефразировка предполагает обобщение концепции вектора на пространства размерности выше трех. Например, состояние газа обычно зависит от давления p , объема v , температуры T и времени t . Четверка чисел ( p , v , T , t ) не может быть представлена точкой в трехмерной системе отсчета. Но поскольку геометрическая визуализация не играет роли в алгебраических вычислениях, образный язык геометрии все еще можно использовать, введя четырехмерную систему отсчета, определяемую набором базовых векторов a ₁, a ₂, a ₃, a ₄ с компонентами, определяемыми строками матрицы
Затем вектор x представляется в такой форме, что в четырехмерном пространстве каждый вектор определяется четверкой компоненты ( x ₁, x ₂, x ₃, x ₄).
Исчисление векторов.
Частица, движущаяся в трехмерном пространстве, может быть расположена в каждый момент времени t с помощью вектора положения r , проведенного из некоторой фиксированной опорной точки O . Поскольку положение конечной точки r зависит от времени, r является векторной функцией t . Его компоненты в направлениях декартовых осей, представленные на O , являются коэффициентами i , j и k в представлении
Если эти компоненты являются дифференцируемыми функциями, производная r с относительно t определяется формулой, которая представляет скорость v частицы.Декартовы компоненты v появляются как коэффициенты i , j и k в (10). Если эти компоненты также дифференцируемы, ускорение a = d v / d t получается путем дифференцирования (10):
Правила дифференцирования произведений скалярных функций остаются в силе для производных от точечные и кросс-произведения векторных функций, а также подходящие определения интегралов векторных функций позволяют построить исчисление векторов, которое стало основным аналитическим инструментом в физических науках и технологиях.
Узнайте больше в этих связанных статьях Britannica:
аналитическая геометрия: векторный анализ
В евклидовом пространстве любой размерности векторы — направленные отрезки прямых — можно задавать координатами. Кортеж из n элементов (₁,…, _n) представляет вектор в n-мерном пространстве, который проецируется на действительные числа a ₁,…, _n на осях координат.…
математика: линейная алгебра
Уиллард Гиббс занялся векторным анализом и смог распространить векторные методы на вычисления. Таким образом, они ввели меры бесконечно малых изменений векторного поля, которые под названиями div, grad и curl стали стандартными инструментами в изучении электромагнетизма и потенциала …
механика: Векторы
… и Британия соответственно) каждый из них применил векторный анализ , чтобы помочь выразить новые законы электромагнетизма, предложенные Джеймсом Клерком Максвеллом.…
OCR Maths: Foundation GCSE — Check In Test 9.03 Плоская векторная геометрия
Последнее обновление
22 мая 2018 г.
Поделиться
Тест из 10 вопросов по векторной геометрии на плоскости, включающий: 5 вопросов по процедурным вычислениям; 3 вопроса о рассуждении и математическом общении; и 2 вопроса о решении проблем. В конце теста есть дополнительное упражнение, которое позволит более способным ученикам размяться.Этот ресурс идеально подходит как для формирующей, так и для итоговой оценки и может использоваться во время урока в качестве тематической оценки, вводного или общего задания, а также для домашнего задания или повторения.
Темы включают:
Векторная арифметика: понимание сложения, вычитания и скалярного умножения векторов.
Векторы-столбцы: представляют двумерный вектор как вектор-столбец и рисуют векторы-столбцы на квадратной или координатной сетке.
Посетите http://www.ocr.org.uk/qualifications/by-subject/mat Mathematics/ для получения дополнительных идей по ресурсам.
Creative Commons «Без производных»
Выберите общий рейтинг
(нет рейтинга)
Ваша оценка необходима, чтобы отражать ваше счастье.
Написать отзывОтменить
Хорошо оставлять отзыв.
Что-то пошло не так, повторите попытку позже.
Чрезвычайно полезный ресурс от экзаменационной комиссии, который дает рекомендации относительно необходимого понимания студентами и оценивает предыдущие знания.Может использоваться в качестве инструмента для повторения или упражнения во время обучения.
Показать ответы
Спасибо за ваш обзор, и мы очень рады, что вы нашли наш ресурс полезным. Эти ресурсы были созданы специально для нового экзамена GCSE, чтобы учесть изменения в задачах оценивания. Это не переработанные материалы из устаревшего GCSE.
Скрыть ответы
Пустой ответ не имеет смысла для конечного пользователя
Отправить ответОтменить
Сообщить об этом ресурсе, чтобы сообщить нам, если он нарушает наши условия.
Наша служба поддержки клиентов рассмотрит ваш отчет и свяжется с вами.
Векторная геометрия — линейная алгебра с приложениями
В этой главе мы изучаем геометрию трехмерного пространства. Мы рассматриваем точку в 3-м пространстве как стрелку от начала координат к этой точке. Так вы получите «картину», которая действительно стоит тысячи слов.
Векторов в
Представьте систему координат в трехмерном пространстве обычным способом. Сначала выберите точку, которая называется, затем выберите три взаимно перпендикулярные линии, проходящие через, и, и установите числовую шкалу на каждой оси с нулем в начале координат.Данной точке в -пространстве мы связываем три числа, и, как показано на рисунке 4.1.1.
Эти числа называются of, и мы обозначаем точку как, или, чтобы подчеркнуть этикетку. Результат называется системой координат для 3-мерного пространства, а получившееся описание 3-пространства называется.
Как и на плоскости, мы вводим векторы, идентифицируя каждую точку с вектором
in, представленным от начала координат до, как показано на рисунке 4.1.1. Неформально мы говорим, что у точки есть вектор, а у этого вектора есть точка.Таким образом, 3-пробел отождествляется с, и это отождествление будет происходить на протяжении всей главы, часто без комментариев. В частности, термины «вектор» и «точка» взаимозаменяемы. Полученное описание 3-пространства называется. Обратите внимание, что происхождение.
Длина и направление
Мы собираемся обсудить два основных геометрических свойства векторов в: длину и направление. Во-первых, если это вектор с точкой, вектор определяется как расстояние от начала координат до, то есть длина представляющей стрелки.Следующие свойства длины будут использоваться часто.
Проба:
Пусть есть точка.
На рис. 4.1.2 — гипотенуза прямоугольного треугольника, и так по теореме Пифагора. Но это гипотенуза прямоугольного треугольника, так что. Теперь (1) следует путем исключения и извлечения положительных квадратных корней.
Если = 0, то по (1). Поскольку квадраты действительных чисел неотрицательны, отсюда следует то, а значит, и то. Обратное потому, что.
У нас так (1) дает
Значит, и мы закончили, потому что для любого действительного числа.
Если
, то. Аналогично, если
в 2-м пространстве, тогда.
Когда мы рассматриваем два ненулевых вектора как стрелки, исходящие из начала координат, геометрически ясно, что мы имеем в виду, говоря, что у них одинаковые или противоположные. Это приводит к принципиально новому описанию векторов.
Проба:
Если, они явно имеют одинаковое направление и длину. Наоборот, позвольте и быть векторами с точками и соответственно.Если и имеют одинаковую длину и направление, то геометрически и должна быть одна и та же точка.
Следовательно, и, то есть.
Обратите внимание, что длина и направление вектора зависят от выбора системы координат в. Такие описания важны в приложениях, потому что физические законы часто формулируются в терминах векторов, и эти законы не могут зависеть от конкретной системы координат, используемой для описания ситуации.
Геометрические векторы
Если и — разные точки в пространстве, стрелка от до имеет длину и направление.
Следовательно,
Обратите внимание, что если любой вектор в точке с точкой, то сам является геометрическим вектором, где находится начало координат. Ссылка на «вектор» кажется оправданной теоремой 4.1.2, потому что у него есть направление (от до) и длина. Однако возникает проблема, потому что два геометрических вектора могут иметь одинаковую длину и направление, даже если концы и хвосты разные.
Например, и на рис. 4.1.5 имеют одинаковую длину и одинаковое направление (1 единица влево и 2 единицы вверх), поэтому по теореме 4.1.2 они же вектора! Лучший способ понять этот очевидный парадокс — увидеть один и тот же базовый вектор как разные. Как только это будет прояснено, это явление станет большим преимуществом, потому что, благодаря теореме 4.1.2, оно означает, что один и тот же геометрический вектор может быть расположен где угодно в пространстве; важны длина и направление, а не расположение кончика и хвоста. Эта способность перемещать геометрические векторы очень полезна.
Закон параллелограмма
Теперь мы даем внутреннее описание суммы двух векторов и in, то есть описание, которое зависит только от длин и направлений, а не от выбора системы координат.Используя теорему 4.1.2, мы можем думать, что эти векторы имеют общий хвост. Если их кончики имеют размеры и соответственно, то они оба лежат в плоскости, содержащей, и, как показано на рисунке 4.1.6. Векторы и образуют параллелограмм в, заштрихованный на рис. 4.1.6, который называется параллелограммом с помощью и.
Если теперь мы выберем систему координат на плоскости с началом координат, то закон параллелограмма на плоскости показывает, что их сумма является диагональю параллелограмма, который они определяют с хвостом.Это внутреннее описание суммы, поскольку оно не ссылается на координаты. Это обсуждение доказывает:
Поскольку вектор может быть расположен хвостом в любой точке, закон параллелограмма приводит к другому способу рассмотрения сложения векторов. На рис. 4.1.7 (а) сумма двух векторов и показана как заданная законом параллелограмма. Если его передвинуть так, чтобы его хвост совпадал с концом (показано на (b)), тогда сумма будет выглядеть как «сначала, а затем». Точно так же перемещение хвоста к кончику показывает в (c), что «сначала, а потом.Он будет называться, и он дает графическую иллюстрацию того, почему.
Так как обозначает вектор от точки к точке, правило кончика к хвосту принимает легко запоминаемую форму
для любых точек,, и.
Одна из причин важности правила «кончик к хвосту» состоит в том, что оно означает, что два или более вектора могут быть добавлены путем последовательного размещения их «кончик к хвосту». Это дает полезную «картину» суммы нескольких векторов, которая проиллюстрирована для трех векторов на рисунке 4.1.8 где сначала рассматривается, потом, потом.
Существует простой геометрический способ визуализировать (матрицу) двух векторов. Если и расположены так, что у них общий хвост, и если и являются их соответствующими кончиками, тогда правило кончика к хвосту дает. Отсюда вектор от кончика к кончику. Таким образом, оба и отображаются как диагонали в параллелограмме, определяемом и (см. Рисунок 4.1.9.
Одним из наиболее полезных применений вычитания векторов является то, что оно дает простую формулу для вектора от одной точки к другой и для расстояния между точками.
Можете ли вы доказать эти результаты?
Следующая теорема говорит нам, что происходит с длиной и направлением скалярного кратного данного вектора.
Если a — действительное число и вектор, то:
Проба:
Первое утверждение верно в силу теоремы 4.1.1.
Чтобы доказать второе утверждение, позвольте обозначить начало координат в Let have point и выбрать любую плоскость, содержащую и. Если мы настроим систему координат на этой плоскости с началом координат, тогда результат будет следовать из скалярного закона множественных чисел на плоскости.
Вектор называется if. Тогда
, и
— это единичные векторы, называемые векторами.
Если показать, что это уникальный единичный вектор в том же направлении, что и
Решение:
Векторы в том же направлении, что и скалярные кратные где. Но когда, то есть единичный вектор тогда и только тогда, когда.
Два ненулевых вектора вызываются, если они имеют одинаковое или противоположное направление.
Два ненулевых вектора и параллельны тогда и только тогда, когда один является скалярным, кратным другому.
Решение:
По теореме 4.1.3, и. Если
, значит, и, что невозможно. Следовательно, является скалярным кратным, поэтому эти векторы не параллельны по теореме 4.1.5.
линий в космосе
Эти векторные методы можно использовать для очень простого описания прямых линий в пространстве. Для этого нам сначала нужен способ, чтобы
указать ориентацию такой линии.
Мы называем ненулевой вектор вектором направления для линии, если он параллелен некоторой паре различных точек и на прямой.
Обратите внимание, что любое ненулевое скалярное кратное также будет служить вектором направления линии.
Мы используем тот факт, что есть ровно одна линия, которая проходит через конкретную точку и имеет заданный вектор направления
. Мы хотим описать эту линию, задав условие, и что точка лежит на этой линии. Обозначим

и векторы из и соответственно.
Рисунок 4.1.10
Затем
Следовательно, лежит на прямой тогда и только тогда, когда она параллельна, то есть тогда и только тогда, когда для некоторого скаляра по теореме 4.1.5. Таким образом является вектор точки на прямой тогда и только тогда, когда для некоторого скаляра.
В компонентной форме векторное уравнение принимает вид
Приравнивание компонентов дает другое описание линии.
Найдите уравнения прямой, проходящей через точки и.
Решение:
Пусть

обозначает вектор от до. Затем он параллелен линии (и на линии ), поэтому служит вектором направления для линии.Использование точки на линии приводит к параметрическим уравнениям
Обратите внимание, что если используется (а не), уравнения будут
Они отличаются от предыдущих уравнений, но это просто результат изменения параметра. По факту, .
Определите, пересекаются ли следующие линии, и, если да, найдите точку пересечения.
Решение:
Допустим, вектор лежит на обеих линиях.Тогда
, где первое (второе) уравнение находится в первой (второй) строке. Следовательно, прямые пересекаются тогда и только тогда, когда три уравнения
есть решение. В этом случае и удовлетворить все три уравнения, так что линии действительно пересекаются, а точка пересечения —
с использованием. Конечно, эту точку можно найти и в
, используя.
Предположим, что заданы точка и плоскость и требуется найти точку, которая лежит в плоскости и является ближайшей к ней, как показано на рисунке 4.2.1.
Рисунок 4.2.1
Очевидно, что требуется найти прямую, проходящую через которую перпендикулярно плоскости, а затем получить точку пересечения этой прямой с плоскостью. Чтобы найти прямую , перпендикулярную плоскости, требуется способ определить, когда два вектора перпендикулярны. Это можно сделать, используя идею скалярного произведения двух векторов.
Точечное произведение и углы
Для векторов
и
их скалярное произведение представляет собой определенное число
Поскольку это число, его иногда называют скалярным произведением и
Читателям предлагается доказать эти свойства, используя определение скалярных произведений.
Проверить, что когда, и.
Решение:
Применим теорему 4.2.1 несколько раз:
Существует внутреннее описание скалярного произведения двух ненулевых векторов в. Чтобы понять это, нам потребуется следующий результат из тригонометрии.
Рисунок 4.2.2
Проба:
Мы доказываем это, когда остро, то есть; тупой случай аналогичен. На рисунке 4.2.2 у нас есть и.
Следовательно, теорема Пифагора дает
Закон косинусов следует, потому что для любого угла.
Обратите внимание, что закон косинусов сводится к теореме Пифагора, если угол прямой (потому что).
Пусть теперь и — ненулевые векторы, расположенные с общим хвостом. Затем они определяют уникальный угол в диапазоне
.
Этот угол будет называться углом между и. Ясно и параллельны, если есть или. Обратите внимание, что мы не определяем угол между и, если один из этих векторов.
Следующий результат дает простой способ вычислить угол между двумя ненулевыми векторами с помощью скалярного произведения.
Рисунок 4.2.4
Проба:
Рассчитываем двумя способами. Сначала примените закон косинусов к треугольнику на рисунке 4.2.4, чтобы получить:
С другой стороны, мы используем теорему 4.2.1:
Сравнивая их, мы видим это, и результат следует.
Если и являются ненулевыми векторами, теорема 4.2.2 дает внутреннее описание, потому что, и угол между и не зависят от выбора системы координат.Более того, поскольку и отличны от нуля (и являются ненулевыми векторами), это дает формулу для косинуса угла:
Так как это можно использовать для поиска.
Вычислите угол между
и
.
Решение:
Вычислить. Теперь напомним, что и определены так, что (,) — это точка на единичной окружности, определяемая углом (проведенным против часовой стрелки, начиная с положительной оси). В данном случае мы знаем то и то.Потому что из этого следует.
Если и отличны от нуля, предыдущий пример показывает, что имеет тот же знак, что и, поэтому
В этом последнем случае (ненулевые) векторы перпендикулярны. В линейной алгебре используется следующая терминология:
Так как если либо, либо, то справедлива следующая теорема:
Два вектора и ортогональны тогда и только тогда, когда.
Покажите, что точки, и являются вершинами прямоугольного треугольника.
Решение:
Векторов по сторонам треугольника равны
.
Очевидно, так и являются ортогональными векторами. Это означает, что стороны и перпендикулярны, то есть угол при прямой.
Прогнозы
В приложениях векторов часто бывает полезно записать вектор как сумму двух ортогональных векторов.
Рисунок 4.2.5
Если указан ненулевой вектор, основная идея состоит в том, чтобы иметь возможность записать произвольный вектор как сумму двух векторов,
, где параллельно и ортогонально.Предположим, что и происходит из общего хвоста (см. Рис. 4.2.5). Позвольте быть вершиной, и позвольте обозначить основание перпендикуляра от к линии, проходящей параллельно к.
Тогда имеет необходимые свойства:
1. параллельно .
2. ортогонален .
3..
Вектор на рисунке 4.2.6 называется проекцией на.
Обозначается
На рисунке 4.2.5 (а) вектор имеет то же направление, что и; однако, и имеют противоположные направления, если угол между и больше чем (см. Рисунок 4.2.5 (b)). Обратите внимание, что проекция равна нулю тогда и только тогда, когда и ортогональны.
Вычислить проекцию на очень просто.
Проба:
Вектор параллелен некоторому скаляру и поэтому имеет вид. Требование ортогональности и определяет. Фактически это означает, что по теореме 4.2.3. Если здесь подставлено, то условие —
Отсюда следует, что, где предположение, которое гарантирует, что.
Решение:
Проекция на
Следовательно, и это ортогонально по теореме 4.2.4 (в качестве альтернативы, заметим, что). Так как мы закончили.
Обратите внимание, что идея проекций может использоваться для нахождения кратчайшего расстояния от точки до прямой линии, в которой длина вектора ортогональна вектору направления линии.
Самолеты
Ненулевой вектор называется нормалью для плоскости, если он ортогонален каждому вектору на плоскости.
Например, единичный вектор является нормальным вектором для плоскости.
Рис. 4.2.6
Для точки и ненулевого вектора имеется уникальная сквозная плоскость с нормалью, заштрихованная на рис. 4.2.6. Точка лежит на этой плоскости тогда и только тогда, когда вектор ортогонален, то есть тогда и только тогда, когда. Потому что это дает следующий результат:
Найдите уравнение плоскости, проходящей через
, как обычно.
Решение:
Здесь общее скалярное уравнение принимает вид
Это упрощает до.
Если мы напишем, скалярное уравнение показывает, что каждая плоскость с нормалью
имеет линейное уравнение вида
(4,2)
для некоторой константы. И наоборот, график этого уравнения представляет собой плоскость с вектором нормали (при условии, что, и не все равны нулю).
Найдите уравнение плоскости, проходящей через параллельную плоскости с уравнением.
Решение:
Плоскость с уравнением имеет нормаль. Поскольку две плоскости параллельны, она служит нормалью к плоскости, которую мы ищем, поэтому уравнение для некоторых соответствует (4.2). Настаивая на том, что лежит в плоскости, определяет; то есть, . Следовательно, уравнение есть.
Рассмотрим точки и с векторами
и
.
Учитывая ненулевой вектор, скалярное уравнение сквозной плоскости с нормалью принимает векторную форму:
Кроме того, уравнение (4.2) переводится следующим образом:
Каждая плоскость с нормалью имеет векторное уравнение для некоторого числа.
Найдите кратчайшее расстояние от точки до плоскости с помощью уравнения. Также найдите точку на этой плоскости, ближайшую к.
Решение:
У рассматриваемого самолета нормальный. Выберите любую точку на плоскости, скажем, и пусть это будет ближайшая к ней точка на плоскости (см. Диаграмму). Вектор от до есть. Теперь прямо хвостиком. Тогда и является проекцией на:
Значит расстояние есть. Чтобы вычислить точку, пусть
и

будут векторами и. Тогда
Это дает координаты.
Перекрестное произведение
Если, и — три различные точки в, которые не все находятся на некоторой прямой, геометрически ясно, что существует единственная плоскость, содержащая все три.Векторы и оба лежат в этой плоскости, поэтому нахождение нормали сводится к нахождению ненулевого вектора, ортогонального обоим и. Перекрестное произведение обеспечивает систематический способ сделать это.
Учитывая векторы и, определите кросс-произведение на
Поскольку это вектор, его часто называют векторным произведением . Есть простой способ запомнить это определение с помощью векторов координат :
Это векторы длины, направленные вдоль положительных осей, и.Причина названия в том, что любой вектор можно записать как
Таким образом, перекрестное произведение можно описать следующим образом:
Если и — два вектора, то
, где определитель раскрывается по первому столбцу.
Обратите внимание, что он ортогонален обоим и в Примере 4.2.11. В общем, это справедливо, что можно проверить напрямую, вычислив и, и записано как первая часть следующей теоремы.Это будет следовать из более общего результата, который вместе со второй частью будет доказан позже.
Напомним, что
Найдите уравнение плоскости через, и.
Решение:
Векторы
и

лежат в плоскости, поэтому
— нормаль к плоскости (ортогональна обоим и). Следовательно, плоскость имеет уравнение
Так как лежит в самолете у нас.Отсюда и уравнение. Можете ли вы проверить, что то же уравнение можно получить, если использовать и, или, в качестве векторов на плоскости?
Перекрестное произведение двух -векторов и
было определено в разделе 4.2, где мы заметили, что его лучше всего запомнить с помощью определителя:
(4,3)
Здесь, и
— векторы координат, а определитель раскладывается по первому столбцу.Мы наблюдали (но не доказали) в теореме 4.2.5, которая ортогональна обоим и. Это легко следует из следующего результата.
Проба:
Напомним, что вычисляется путем умножения соответствующих компонентов и последующего сложения. Используя уравнение (4.3), результат:
, где последний определитель раскрывается по столбцу 1.
Результат теоремы 4.3.1 можно кратко сформулировать следующим образом: Если, и — три вектора в, то
где обозначает матрицу с, и в качестве столбцов.Теперь ясно, что он ортогонален обоим и потому, что определитель матрицы равен нулю, если два столбца идентичны.
В силу (4.3) и теоремы 4.3.1 некоторые из следующих свойств перекрестного произведения вытекают из
свойств определителей (они также могут быть проверены напрямую).
Мы видели некоторые из этих результатов в прошлом; вы можете доказать 6,7 и 8?
Теперь мы подошли к фундаментальной взаимосвязи между скалярными и перекрестными произведениями.
Если и — любые два вектора в, то
Проба:
Учитывая и, введите систему координат и запишите
и
в форме компонентов. Тогда все члены тождества могут быть вычислены в терминах компонентов.
Выражение для величины вектора может быть легко получено из тождества Лагранжа. Если — угол между и, подстановка в тождество Лагранжа дает
с учетом того, что.Но является неотрицательным по диапазону, поэтому извлечение положительного квадратного корня из обеих сторон дает
.
Рисунок 4.3.1
Это выражение для не ссылается на систему координат и, более того, имеет красивую геометрическую интерпретацию. Параллелограмм определяется векторами и имеет длину основания и высоту. Следовательно, площадь параллелограмма, образованного и равна
.
Доказательство 2:
По (1) тогда и только тогда, когда площадь параллелограмма равна нулю.Площадь исчезает тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое или противоположное направление, то есть тогда и только тогда, когда они параллельны.
Найдите площадь треугольника с вершинами, и.
Решение:
У нас есть
и. Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, образованного этими векторами, и поэтому равна. У нас
, поэтому площадь треугольника равна
Рисунок 4.3.2
Если заданы три вектора, и, они определяют «сжатое» прямоугольное тело, называемое параллелепипедом (рисунок 4.3.2), и часто бывает полезно определить объем такого твердого тела. Основание твердого тела — это параллелограмм, определяемый знаком и, поэтому у него есть площадь. Высота твердого тела равна длине выступа на. Следовательно,
Таким образом, объем параллелепипеда равен. Это доказывает
Объем параллелепипеда определяется тремя векторами, и определяется выражением.
Найдите объем параллелепипеда, определяемый векторами
Решение:
По теореме 4.3.1,.
Следовательно, объем соответствует теореме 4.3.5.
Теперь мы можем дать внутреннее описание кросс-произведения.
Чтобы указать, почему это так, введите координаты следующим образом: Пусть и имеют общий хвост, выберите начало координат, выберите ось так, чтобы она указывала в положительном направлении, а затем выберите ось так, чтобы она находилась в плоскости — и положительная ось находится с той же стороны от оси, что и. Затем в этой системе и есть компоненты формы
и
, где и.Можете ли вы нарисовать график на основе приведенного здесь описания?
Правило правой руки утверждает, что это должно указывать в положительном направлении. Но наше определение дает
и имеет положительное направление, т.к.
Геометрические и алгебраические представления векторов
Что такое вектор?
Мы можем представить вектор как отрезок линии, ориентированный от начальной точки, называемой хвостом, до конечной точки, называемой головой.
Каждый вектор представляет собой числовое значение. С векторами мы можем лучше объяснить проблемы, связанные со скоростями, перемещениями, силами и ускорениями.
Типы векторов
Мы можем представить вектор как отрезок прямой, ориентированный от начальной точки, называемой хвостом, до конечной точки, называемой головой.
Геометрические векторы
Геометрические векторы не связаны ни с какой системой координат.
Геометрический вектор не связан ни с какой системой координат.А — хвост, В — голова.
Алгебраические векторы
Алгебраические векторы связаны с системой координат.
(1,2) — это точка, расположенная в системе координат, где 1 соответствует x, а 2 — y.
Внутри этих алгебраических векторов у нас может быть вектор положения , который соединяет начало системы координат (O) с любой точкой (P), и мы записываем его так:
Например:
Вектор соединяет начало координат с точкой A (2,3).
Алгебраические векторы также могут быть вектором смещения , который является вектором из одной точки (A) в другую (B), и мы записываем его так:
Например:
Вектор соединяет точку A с точкой B.
Свойства вектора
Все векторы имеют два основных свойства; у них есть величина и направление.Величина — это длина, размер и норма вектора, и мы можем обозначить его как:
.
Чтобы вычислить его, нам нужно запомнить теорему Пифагора: a2 + b2 = c2. Итак, если у нас есть две точки, A ( x 0, y 0) и B ( x 1, y 1), величина вектора AB будет:
Например, если у нас есть вектор AB с A (1,2) и B (3,5), величина будет:
С другой стороны, направление является мерой угла, который оно образует с горизонтальной линией.Затем, если есть два вектора с одинаковой величиной и направлением, мы говорим, что они эквивалентны .
В этом случае все векторы имеют одинаковую величину и направление. Итак, они эквивалентны.
В то время как, если они имеют одинаковую величину и противоположное направление, они равны напротив .
Итак,
Пример преобразования
Что мы можем сделать, чтобы преобразовать вектор смещения в вектор положения? Ответим на это на примере:
Допустим, у нас есть вектор, который идет от A (2,3) к B (5,7).Нам нужна точка P, чтобы создать вектор положения, идущий от начала координат к P. Мы знаем, что 2 вектора эквивалентны, если они имеют одинаковое направление и величину.
Можно сказать, что векторы AB и OP эквивалентны, и длины сторон треугольников должны быть равны. В примере длина сторон задается как:
c = 5-2 = 3
d = 7 — 3 = 4.
Итак, координаты точки P равны (3, 4) .Следовательно, это точка P (3, 4).
Резюме урока
Вектор — это отрезок прямой, ориентированный от начальной точки до конечной точки.
No related posts.

Контрольная работа геометрия 9 векторы: Контрольная работа по геометрии на тему Векторы (9 класс)

Страница не найдена

Новости

Контрольная работа для 9 класса на тему «Векторы»

ГДЗ самостоятельные и контрольные работы по геометрии 9 класс Иченская Просвещение

Приоритетные группы пользователей онлайн справочника

Неоспоримые плюсы регулярной работы с учебно-практическими пособиями

Контрольная работа по геометрии. 9 класс. Тема: Векторы

▶▷▶ метод координат геометрия 9 класс контрольная работа по

1 контрольная работа по геометрии 9 кл

Решебник (ГДЗ) дидактические материалы по геометрии 9 класс Зив

Методическое пособие для учителя геометрии

Для чего нужен решебник

Для кого предназначен решебник дидактические материалы по геометрии 9 класс от Зив

операций над векторами, сложение векторов, умножение вектора на действительное число.

Операции над векторами

Вычитание вектора

Единичные векторы

Углы направления

Угол между векторами

Силы в равновесии

векторов, графическое представление векторов, величина вектора, направление вектора

Трехмерная координатная геометрия — Уравнение плоскости

векторный анализ | математика | Британника

Векторная алгебра.

Произведения векторов.

Системы координат.

Исчисление векторов.

Узнайте больше в этих связанных статьях Britannica:

OCR Maths: Foundation GCSE — Check In Test 9.03 Плоская векторная геометрия

Поделиться

Векторная геометрия — линейная алгебра с приложениями

Векторов в

Длина и направление

Геометрические векторы

Закон параллелограмма

линий в космосе

Точечное произведение и углы

Прогнозы

Самолеты

Перекрестное произведение

Геометрические и алгебраические представления векторов

Что такое вектор?

Типы векторов

Геометрические векторы

Алгебраические векторы

Свойства вектора

Пример преобразования

Резюме урока

Добавить комментарий Отменить ответ