Контрольная работа 9 класс системы уравнений мордкович: Все контрольные работы по алгебре 9 класс Мордкович А.Г.

Содержание

Самостоятельная работа «Системы уравнений» 9 класс в 2х вариантах по учебнику Мордковича

Вариант№1

1)Является ли пара чисел (-2;3) решением уравнения (х-1)22=18.

2)Решите графически систему уравнений .

3)Решите методом алгебраического сложения систему уравнений

Составьте математические модели реальных ситуаций и решите их.

4) Сумма двух чисел равна 46, а сумма их квадратов равна 1130. Найдите эти числа.

5) Расстояние между двумя пунктами по реке равно 14км. Лодка проходит этот путь по течению за 2ч, а против течения за 2ч 48минут. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.

6)Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 49м,а его гипотенуза равна 41м. найдите площадь треугольника.

Вариант№2

1) Является ли пара чисел решением уравнения 2ч22=1.

2)Решите графически систему уравнений .

3)Решите методом алгебраического сложения систему уравнений

Составьте математические модели реальных ситуаций и решите их.

4) Сумма двух чисел равна 12, а их произведение равно 35. Найдите эти числа.

5) Моторная лодка против течения реки проплыла 10 км, а по течению реки 9 км, при этом по течению она шла 45мин, а против течения – 1 час 15мин. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.

6)Разность катетов прямоугольного треугольника равна 23дм, а его гипотенуза равна 37дм. Найдите периметр треугольника.

Вариант№1

1)Является ли пара чисел (-2;3) решением уравнения (х-1)22=18.

2)Решите графически систему уравнений .

3)Решите методом алгебраического сложения систему уравнений

Составьте математические модели реальных ситуаций и решите их.

4) Сумма двух чисел равна 46, а сумма их квадратов равна 1130. Найдите эти числа.

5) Расстояние между двумя пунктами по реке равно 14км. Лодка проходит этот путь по течению за 2ч, а против течения за 2ч 48минут. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.

6)Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 49м,а его гипотенуза равна 41м. найдите площадь треугольника.

Вариант№2

1) Является ли пара чисел решением уравнения 2ч22=1.

2)Решите графически систему уравнений .

3)Решите методом алгебраического сложения систему уравнений

Составьте математические модели реальных ситуаций и решите их.

4) Сумма двух чисел равна 12, а их произведение равно 35. Найдите эти числа.

5) Моторная лодка против течения реки проплыла 10 км, а по течению реки 9 км, при этом по течению она шла 45мин, а против течения – 1 час 15мин. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.

6)Разность катетов прямоугольного треугольника равна 23дм, а его гипотенуза равна 37дм. Найдите периметр треугольника.

Вариант№1

1)Является ли пара чисел (-2;3) решением уравнения (х-1)

2+у2=18.

2)Решите графически систему уравнений .

3)Решите методом алгебраического сложения систему уравнений

Составьте математические модели реальных ситуаций и решите их.

4) Сумма двух чисел равна 46, а сумма их квадратов равна 1130. Найдите эти числа.

5) Расстояние между двумя пунктами по реке равно 14км. Лодка проходит этот путь по течению за 2ч, а против течения за 2ч 48минут. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.

6)Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 49м,а его гипотенуза равна 41м. найдите площадь треугольника.

Вариант№2

1) Является ли пара чисел решением уравнения 2ч22=1.

2)Решите графически систему уравнений .

3)Решите методом алгебраического сложения систему уравнений

Составьте математические модели реальных ситуаций и решите их.

4) Сумма двух чисел равна 12, а их произведение равно 35. Найдите эти числа.

5) Моторная лодка против течения реки проплыла 10 км, а по течению реки 9 км, при этом по течению она шла 45мин, а против течения – 1 час 15мин. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.

6)Разность катетов прямоугольного треугольника равна 23дм, а его гипотенуза равна 37дм. Найдите периметр треугольника.

Тест по алгебре (9 класс) по теме: контрольные работы по алгебре в 9 — ом классе ( автор А.Г.Мордкович)

                                       КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5.

                                                        1В.

А18г. Найдите седьмой член последовательности уn =  ;

а)  ;               б)  ;            в) — ;              г) — .

А2. Найдите шестой член последовательности, заданной рекуррентным способом у1=2 , уn = уn-1+4     ( n= 2, 3, 4, …).

а) 30 ;            б) 18 ;             в) 22              г) 26.

А3. Дана арифметическая прогрессия: -1, 1, 3, 5, 7, ….её первый член и разность равны:

а) а1=1, d=7 ;     б) а1=-1, d=2 ;        в) а1=-1, d=-2 ;            г) а1=-1, d=6 .

А4. Дана арифметическая прогрессия, у которой: а1= , d= . Её семнадцатый член равен:

а) 12 ;             б) -11 ;            в) -12 ;               г)  .

А5.  Сумма второго и третьего членов арифметической прогрессии равна 16, а разность прогрессии равна 4. Найдите первый член прогрессии.    

а)  2 ;          б) 4 ;          в) 5 ;                 г) 6.

А6. Дана конечная арифметическая прогрессия, у которой а1 = 5 , аn = 1 , n = 36. Разность этой прогрессии равна:

а) 0,125 ;            б) 1,25 ;          в)  ;              г) — .

В1. Проверьте, является ли число 4,5 членом арифметической прогрессии -1,5, -1, -0,5,… Найти S13.

В2. Начиная с какого номера все члены заданной арифметической прогрессии (аn) , где а1 = 4, d = 2,2 , будут больше числа 14,7?

С1. Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 27,5 , сумма следующих пяти её членов равна 90 . Найдите сумму членов этой прогрессии с 11-го по 15-й включительно.

С2. Три числа образуют возрастающую арифметическую прогрессию , а их квадраты составляют геометрическую прогрессию. Найдите эти числа, если их сумма равна 42.

                                 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №5.

                                         2В.

А1. Найдите шестой член последовательности уn =  :

а)  ;           б)  ;             в) —  ;            г) —  .

А2. Найдите седьмой член последовательности, заданной рекуррентным способом у1 = 1, уn = 2уn-1+2 ( n = 2, 3, 4, …):

а) 10 ;            б) 170 ;            в) 190 ;             г) 130 .

А3. Дана арифметическая прогрессия : 9, 7, 5, 3, 1, … . Её первый член и разность равны :

а) а1 = 2, d = 3 ;     б) а1 = 9, d = 2 ;             в) а1 = 9, d = -2 ;           г) а1 = 9, d = 16 .  

А4. Дана арифметическая прогрессия, у которой : а1 =0,2, d =  . Её тринадцатый член равен :

а) -4,2 ;              б) 4,2 ;              в) -3,8 ;            г) 36,2 .

А5. Третий член арифметической прогрессии равен 6, а пятый равен 10. Найдите первый член прогрессии.

а) 1 ;             б) 2 ;           в) -1 ;          г) 0 .

А6. Дана конечная арифметическая прогрессия , у которой а1 = 3,6, аn = 0, n = 37 . Разность этой прогрессии равна

а)  10 ;              б)  ;            в) 0,1 ;              г) -0,1 .

В1. Проверьте, является ли число 43,5 членом арифметической прогрессии 7,5 ; 11; 14,5; … . Найти сумму первых 11 членов .

В2. Начиная с какого номера все члены арифметической прогрессии (аn), где а1 = 14,5 , d = 0,7 будут больше числа 22,9?

С1. Сумма первых десяти членов арифметической прогрессии равна 95, сумма следующих десяти её членов равна 295. Найдите сумму членов этой прогрессии с 21-го по 30-й включительно.

С2. Три числа образуют убывающую арифметическую прогрессию, а их квадраты составляют геометрическую прогрессию. Найдите эти числа, если их сумма равна 36.

           

         

Материал (9 класс) по теме: Разноуровневая контрольная работа «Решение систем уравнений», 9 класс

1 вариант

  1. Решите систему уравнений:  
  2. Решите задачу с помощью системы уравнений.

Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 144. Найдите эти числа.

  1. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы у = х2 + 4 и прямой х + у = 6.

2 вариант

  1. Решите систему уравнений:  
  2. Решите задачу с помощью системы уравнений.

Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 84. Найдите эти числа.

  1. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы у = х2 – 8 и прямой х + у = 4.

1 вариант

  1. Решите систему уравнений:

А)             Б)  

  1. Решите задачу с помощью системы уравнений.

Одна из сторон прямоугольника на 2 м больше другой стороны. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 120 м2.

  1. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения окружности  х2 + у2 = 10 и прямой х + 2у = 5.

1 вариант

  1. Решите систему уравнений:

А)            Б)  

  1. Решите задачу с помощью системы уравнений.

Одна из сторон прямоугольника на 4 м больше другой стороны. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 45 м2.

  1. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения окружности  х2 + у2 = 17 и прямой 5х – 3у = 17.

1 вариант

  1. Решите систему уравнений:

А)    Б)  

  1. Решите задачу с помощью системы уравнений.

Из пункта А в пункт В одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Скорость первого на 1 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибыл в пункт В на 1 ч раньше, чем второй в пункт А. Найдите скорости пешеходов, если расстояние между пунктами А и В равно 20 км.

  1. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения окружности  х2 + (у – 2)2 = 5 и параболы у = х2 – 1.

1 вариант

  1. Решите систему уравнений:

А)    Б)  

  1. Решите задачу с помощью системы уравнений.

Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 18 км, вышли одновременно навстречу друг другу две группы туристов и встретились через 2 ч. Определите, с какой скоростью шла каждая группа, если известно, что на прохождение всего пути одной из них потребовалось на 54 мин больше, чем другой.

  1. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения окружности  х2 +(у – 1)2= 13 и параболы у = х2 – 10.

Методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме: Контрольная работа по теме «Решение уравнений второй степени» (9 класс)

9 класс

Контрольная работа № 2 по теме «Системы уравнений»

Вариант 1.

№ 1. Решите систему уравнений методом подстановки

№ 2. Решите систему методом алгебраического сложения

№ 3. Решите систему уравнений

№ 4. Найдите решения системы

№ 5. Решите графически систему уравнений

№ 6. Решите задачу:

Сумма двух чисел равна 12, а их произведение равно 32. Найдите эти числа.

Контрольная работа № 2 по теме «Системы уравнений»

Вариант 2.

№ 1. Решите систему уравнений методом подстановки

№ 2. Решите систему методом алгебраического сложения

№ 3. Решите систему уравнений

№ 4. Найдите решения системы

№ 5. Решите графически систему уравнений

№ 6. Решите задачу:

Разность двух натуральных  чисел равна 7, а их произведение равно 18. Найдите эти числа.

Алгебра 9 Мордкович — Попов

Контрольные работы по алгебре 9 класс (УМК Мордкович и др.)

Алгебра 9 Мордкович — Попов. Контрольные работы (цитаты) из пособия для учащихся «Контрольные и самостоятельные работы по алгебре 9 класс к учебнику А.Г. Мордковича/ М.А. Попов» — М.: Издательство «Экзамен», 2011г, которое используется в комплекте с учебником А.Г. Мордковича «Алгебра 9 класс».

Цитаты из пособия указаны в учебных целях, а также во избежание редакционных ошибок (в разных изданиях книги встречаются разные вопросы). При постоянном использовании контрольных работ в 9 классе рекомендуем купить книгу:  Максим Попов: Алгебра. 9 класс. Контрольные и самостоятельные работы к уч. А. Г. Мордковича. ФГОС, в которой кроме контрольных работ в 4-х вариантах есть еще 21 самостоятельная работа в 2-х вариантах.

Для увеличения изображения — нажмите на картинку !
Чтобы скачать работу — нажмите на правую кнопку мыши и выберите «Сохранить изображение как …»

 


Контрольная работа № 1.

Линейные и квадратные неравенства. Рациональные неравенства.
Множества и операции над ними. Системы неравенств

Алгебра 9 Мордкович — Попов. Контрольная работа 1

  смотреть ОТВЕТЫ на КР-1


 

Контрольная работа № 2.

Системы уравнений. Основные понятия. Методы решения систем уравнений.
Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

Алгебра 9 Мордкович — Попов. Контрольная работа 2

смотреть ОТВЕТЫ на КР-2


 

Контрольная работа № 3.

Определение числовой функции. Область определения, область значений функции. Способы задания функций. Свойства функций. Четные и нечетные функции. Функции у = хn (n ∈ N) , их свойства и графики.
Функции у = хn (n ∈ N), их свойства и графики. Функции , их свойства и графики.

Алгебра 9 Мордкович — Попов. Контрольная работа 3

 


 

Контрольная работа № 4.

Числовые последовательности. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия

Алгебра 9 Мордкович — Попов. Контрольная работа 4

 


 

Контрольная работа № 5.

Комбинаторные задачи. Статистика — дизайн информации. Простейшие вероятностные задачи. Экспериментальные данные и вероятности событий

Алгебра 9 Мордкович — Попов. Контрольная работа 5

 


Вы смотрели Алгебра 9 Мордкович — Попов. Контрольные работы (цитаты) из пособия для учащихся «Контрольные и самостоятельные работы по алгебре 9 класс к учебнику А.Г. Мордковича/ М.А. Попов»

Учебно-методический материал по алгебре (9 класс) на тему: Проверочные работы 9 класс УМК Мордкович

                           1 вариант

                           2 вариант

1.Найдите область определения функции:

(1,1,1,2,2,2,3)

а) y=     б)y=    в)y=

г) y=   д) y=        е)y= 

ж)y=

2.(3)Исследуйте функцию на четность:

а) y=       б) y=     в) y=

3.(4) Постройте график функции и прочитайте его:

                   y= -|x-2|+3

1.Найдите область определения функции:

(1,1,1,2,2,2,3)

а) y=     б)y=    в)y=

г) y=   д) y=        е)y= 

ж)y=

2.(3)Исследуйте функцию на четность:

а) y=       б) y=     в) y=

3.(4) Постройте график функции и прочитайте его:

                   y= —

Поурочные разработки по Алгебре 9 класс к учебнику А. Г. Мордковича

Предисловие

Тематическое планирование учебного материала

Глава 1. Рациональные неравенства и их системы

Урок 1. Основные понятия и свойства неравенств

Уроки 2-3. Линейные и квадратные неравенства

Уроки 4-6. Рациональные неравенства

Уроки 7-8. Множества и операции над ними

Уроки 9-11. Системы неравенств

Уроки 12-13. Контрольная работа по теме «Неравенства и системы неравенств»

Урок 14. Итоги контрольной работы

Уроки 15-16. Зачетная работа по теме «Неравенства и системы неравенств»

Глава 2. Системы уравнений

Уроки 17-18. Основные понятия

Уроки 19-20. Основные понятия (продолжение)

Уроки 21-22. Методы решения систем уравнений

Уроки 23-24. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

Уроки 25-26. Основные типы систем уравнений

Уроки 27-28. Контрольная работа по теме «Системы уравнений»

Урок 29. Итоги контрольной работы

Уроки 30-31. Зачетная работа по теме «Системы уравнений»

Глава 3. Числовые функции

Уроки 32-33. Определение числовой функции. Область определения, область значений функции

Уроки 34-35. Способы задания функции

Уроки 36-39. Свойства функций

Уроки 40-43. Свойства и графики элементарных функций

Уроки 44-45. Функция у = xn (n ∈ N), ее свойства и графики

Уроки 46-47. Функции у = х-n (n ∈ N), их свойства и графики

Уроки 48-49. Функция y = n√x (n ∈ N, n ≥ 2), ее свойства и график (факультативное занятие)

Уроки 50-51. Дробно-линейная функция и ее график (факультативное занятие)

Уроки 52-53. Контрольная работа по теме «Числовые функции»

Урок 54. Итоги контрольной работы

Уроки 55-56. Зачетная работа по теме «Числовые функции»

Глава 4. Прогрессии

Уроки 57-58. Числовые последовательности

Уроки 59-61. Арифметическая прогрессия

Уроки 62-65. Геометрическая прогрессия

Уроки 66-67. Смешанные задачи на прогрессии (факультативное занятие)

Уроки 68-69. Контрольная работа по теме «Прогрессии»

Урок 70. Итоги контрольной работы

Уроки 71-72. Зачетная работа по теме «Прогрессии»

Глава 5. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей

Уроки 73-75. Комбинаторные задачи

Уроки 76-77. Статистика — дизайн информации

Уроки 78-79. Простейшие вероятностные задачи

Уроки 80-81. Экспериментальные данные и вероятности событий

Уроки 82-83. Контрольная работа по теме «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей»

Итоговое повторение

Уроки 84-85. Числовые выражения

Уроки 86-87. Алгебраические выражения

Уроки 88-89. Функции и графики

Уроки 90-91. Уравнения и системы уравнений

Уроки 92-93. Неравенства и системы неравенств

Уроки 94-95. Задачи на составление уравнений или систем уравнений

Уроки 96-97. Арифметическая и геометрическая прогрессии

Уроки 98-99. Итоговая контрольная работа

Урок 100. Подведение итогов обучения

Государственная итоговая аттестация по алгебре (ГИА)

Уроки 101-102. Государственная итоговая аттестация по алгебре (факультативное занятие)

Уроки 103-104. Демонстрационный вариант ГИА (факультативное занятие)

Решения заданий работы

Литература

задач со словами системы уравнений | Purplemath

Purplemath

Многие задачи можно решить с помощью систем линейных уравнений. В «реальной жизни» эти проблемы могут быть невероятно сложными. Это одна из причин, почему линейная алгебра (изучение линейных систем и связанных с ними понятий) является отдельным разделом математики.

Однако в процессе обучения вы обычно будете сталкиваться с гораздо более простыми задачами.Ниже приведены некоторые типичные примеры.


  • Плата за вход на небольшую ярмарку составляет 1,50 доллара для детей и 4 доллара для взрослых. В определенный день на ярмарку заходят 2200 человек и собирают 5050 долларов. Сколько детей и сколько взрослых посетили?

MathHelp.com

Раньше я устанавливал это, выбирая переменную для одной из групп (скажем, « c » для «детей»), а затем использовал «(всего) меньше (что я уже учел). «(в данном случае» 2200 — c «) для другой группы.Однако использование системы уравнений позволяет мне использовать две разные переменные для двух разных неизвестных.

количество взрослых: а

количество детей: c

С этими переменными я могу составить уравнения для итогов, которые они мне дали:

общее количество: a + c = 2200

общий доход: 4 a + 1.5 с = 5050

Теперь я могу решить систему по количеству взрослых и количеству детей. Я решу первое уравнение для одной из переменных, а затем подставлю результат в другое уравнение:

a = 2200 — c

4 (2200 — c ) + 1,5 c = 5050

8800 — 4 c + 1.5 с = 5050

8800 — 2,5 c = 5050

–2,5 c = –3750

с = 1500

Теперь я могу вычислить значение другой переменной:

a = 2200 — (1500) = 700

У меня есть значения для двух моих переменных. Я могу вернуться к своим определениям переменных, чтобы интерпретировать эти значения.Чтобы ответить на исходный вопрос, их было:

1500 детей и 700 взрослых.


Вы, вероятно, начнете с проблем, которые, как и выше, кажутся вам очень знакомыми. Но тогда вы перейдете к более сложным задачам.

  • Сумма цифр двузначного числа равна 7. Когда цифры меняются местами, число увеличивается на 27.Найдите номер.

Хитрость здесь в том, чтобы работать с цифрами явно. Я буду использовать « t » для цифры «десятки» исходного числа и « u » для цифры «единиц» (или «единиц»). У меня тогда:

Цифра десяти означает «десятикратное значение этой цифры». Точно так же, как «26» равно «10 умножить на 2, плюс 6 умножить на 1», так и двузначное число, которое они мне дали, будет в десять раз больше цифры «десятки» плюс один раз цифры «единицы».Другими словами:

оригинальный номер: 10 t + 1 u

Новое число имеет значения цифр (представленных переменными) в обратном порядке. Это дает мне:

И это новое число на двадцать семь больше, чем исходное число. Ключевое слово «равно» означает «равно», поэтому я получаю:

(новый номер) — (старый номер) увеличен на (двадцать семь)

10 u + 1 t = (10 t + 1 u ) + 27

Теперь у меня есть система уравнений, которую я могу решить:

т + u = 7

10 u + t = 10 t + u + 27

Сначала я упрощу второе уравнение:

10 u + t = 10 t + u + 27

9 u — 9 т = 27

u т = 3

После перестановки переменных в первом уравнении у меня теперь есть:

Складывая, получаем:

Тогда t = 2.Обратное решение, это означает, что исходное число было 25, а новое число (полученное переключением цифр) — 52. Поскольку 52-25 = 27, это решение проверяется.


  • Найдите уравнение параболы, проходящей через точки (–1, 9), (1, 5) и (2, 12).

Вспоминая, что уравнение параболы имеет квадратичное уравнение, я знаю, что ищу уравнение вида ax 2 + bx + c = y .Кроме того, я знаю, что точки имеют форму ( x , y ). На практике это означает, что в каждой из этих точек мне были даны значения x и y , которые делают квадратное уравнение истинным. Подставляя три точки в общее уравнение для квадратичного, я получаю систему из трех уравнений, где переменные обозначают неизвестные коэффициенты этого квадратичного уравнения:

a (–1) 2 + b (–1) + c = 9

a (1) 2 + b (1) + c = 5

a (2) 2 + b (2) + c = 12

Упрощая три уравнения, получаем:

1 a b + c = 9

1 a + b + c = 5

4 a + 2 b + c = 12

Я не буду отображать решение этой проблемы, но результат таков, что a = 3, b = –2 и c = 4, поэтому им нужно уравнение:


Вы также можете увидеть похожие упражнения, относящиеся к кругам, используя:

x 2 + y 2 + bx + cy + d = 0

…или другие коники, хотя параболы являются наиболее распространенными. Имейте в виду, что проблемы со снарядами (например, запуск стрелы в воздух или падение пенни с крыши высокого здания) также являются проблемами параболы, используя:

— ( 1 / 2 ) gt 2 + v 0 t + h 0 = s

… где h 0 — исходная высота, v 0 — начальная скорость, с — высота в момент времени t , обычно измеряется в секундах, а g обозначает гравитация, будучи 9.8, если вы работаете в метрах и 32, если вы работаете в футах).

Все эти различные перестановки в приведенном выше примере работают одинаково: возьмите общее уравнение для кривой, вставьте заданные точки и решите полученную систему уравнений для значений коэффициентов. Предупреждение: если вы видите подобное упражнение в домашнем задании, имейте в виду, что вы, возможно, ожидали, что знают формы общих уравнений (например, « ax 2 + bx + c = y «для парабол) в следующем тексте.


URL: https://www.purplemath.com/modules/systprob.htm

.

PSAT Math: Systems of Equations

Линейные уравнения на PSAT хорошо подходят для моделирования различных сценариев и для решения одной переменной в терминах другой, которая четко определена (например, какова стоимость плана данных, если вы потребляете 4 ГБ данных в месяц). Однако иногда вам будет предложен набор из нескольких уравнений с несколькими взаимозависимыми переменными. Например, предположим, что тарифный план сотовой связи 50 долларов в месяц включает текстовые сообщения 0,05 доллара и голосовые вызовы 0,40 доллара с ограничением 1000 комбинированных текстовых сообщений и голосовых вызовов.

Этот сценарий может быть представлен следующей системой уравнений:

0,05 долл. США t + 0,40 долл. США v = 50 долл. США

т + v = 1000

Решение такой системы позволило бы вам определить максимальное количество текстовых сообщений и голосовых вызовов, которое вы могли бы сделать в рамках этого плана, при оптимизации общего использования. Чтобы решить системы уравнений, вам понадобится другой набор инструментов, основанный на уже знакомой вам алгебре.В следующем вопросе показан пример такой системы в контексте вопроса, похожего на тест.

У вас может возникнуть соблазн включить математический автопилот на этом этапе и применить замену, решив второе уравнение для s в терминах r :

с = 12 — r

Вы можете вставить полученное выражение обратно в другое уравнение и в конечном итоге решить для r , но помните, PSAT проверяет вашу способность решать математические задачи наиболее эффективным способом.

Следующая таблица содержит некоторые стратегические идеи, призванные помочь вам найти наиболее эффективный способ решения этой проблемы в день тестирования, а также некоторые предлагаемые скетчи.

Стратегическое мышление Математика Scratchwork
Шаг 1. Прочтите вопрос, идентифицируя и систематизируя важную информацию по ходу дела. В этом случае вы ищете значение r . Есть два уравнения, которые включают r и s . 3 r + 2 с = 24

r + с = 12

Шаг 2: Выберите лучшую стратегию для ответа на вопрос Есть ли способ сделать первое уравнение похожим на второе? Существует ли в каком-либо виде величина r + s в первом уравнении? Как эффективно использовать оба уравнения? После того, как вы запишете первое уравнение в виде r + s , подставьте значение r + s (которое равно 12) во второе уравнение и решите относительно r . 3 r + 2 с = 24

r + 2 r + 2 с = 24

r + 2 ( r + с ) = 24

r + 2 (12) = 24

r = 0

Шаг 3: Убедитесь, что вы ответили на вопрос правильно Будьте осторожны! Вопрос не в цене р . Добавьте 6 к вашему результату, и вы увидите, что (C) — правильный ответ. г + 6 = 0 + 6

r + 6 = 6

Сравнение независимых и зависимых уравнений

Обычно, когда у вас есть система, включающая n переменных, вам нужно n независимых уравнений для решения этих переменных. Таким образом, если у вас есть система двух переменных, вам нужны два независимых уравнения. Для трех переменных потребуются три независимых уравнения и так далее.

Системы уравнений чрезвычайно полезны при моделировании и симуляции.Сложные математические задачи, такие как прогноз погоды или прогнозы борьбы с толпой, часто требуют одновременного решения 10 или более уравнений для нескольких переменных. К счастью, в день испытаний вы не встретите ничего более страшного.

Прежде чем описывать процесс решения систем уравнений с двумя переменными, поясним одно из ключевых требований. Ранее было сказано, что вам нужны два независимых уравнения для решения двух переменных, но что именно такое независимое уравнение? Рассмотрим уравнение 4 x + 2 y = 8.Вы можете использовать свойства равенства, чтобы преобразовать это уравнение разными способами. Например, вы можете умножить обе стороны на 2, в результате получится уравнение 8 x + 4 y = 16.

Хотя кажется, что мы только что создали дополнительное уравнение, это вводит в заблуждение, поскольку второе уравнение имеет те же основные переменные и взаимосвязи, что и первое уравнение. Это называется зависимым уравнением, и два зависимых уравнения не могут использоваться для решения двух переменных.Посмотрите, что происходит, когда мы пытаемся использовать замену. Начните с выделения y в исходном уравнении; результат: y = 4-2 x.

Подставляя это во второе уравнение, обратите внимание, что происходит:

8 x + 4 (4-2 x ) = 16

8 x + 16-8 x = 16

16 = 16

Хотя на самом деле 16 равно 16, это не приближает нас к решению для любой из переменных.Фактически, если вы получите такой результат при решении системы уравнений, то два уравнения будут зависимыми . В этом случае система имеет бесконечно много решений, потому что вы можете выбрать любое количество возможных значений для x и y .

Примечание:

Когда два уравнения являются зависимыми, одно уравнение может быть получено путем алгебраической обработки другого уравнения. Графически зависимые уравнения описывают одну и ту же линию в координатной плоскости и, следовательно, имеют одинаковый наклон и одинаковое пересечение y .

В других случаях вы встретите уравнения, которые принципиально несовместимы друг с другом. Например, если у вас есть два уравнения: 4 x + 2 y = 8 и 4 x + 2 y = 9, должно быть очевидно, что нет значений для x и y . который будет удовлетворять обоим уравнениям одновременно. Это нарушит фундаментальные законы математики. В этом случае у вас будет система уравнений, которая не имеет решения. Эти два уравнения определяют параллельные линии, которые по определению никогда не пересекаются.

Зная, сколько решений имеет система уравнений, вы узнаете, как должно выглядеть их графическое отображение в одной и той же координатной плоскости. Помните, решение системы уравнений состоит из точки или точек пересечения их графиков.

Если в вашей системе… … тогда график будет следующим: Рассуждения
нет решения две параллельные линии Параллельные линии никогда не пересекаются.
одно решение две линии, пересекающиеся в одной точке Две прямые имеют только одно пересечение.
бесконечно много решений одинарная строка (одна строка непосредственно поверх другой) Одно уравнение является манипуляцией другого — их графики представляют собой одну линию.

Поскольку вы можете столкнуться с любой из этих трех ситуаций в день тестирования, убедитесь, что вы знакомы со всеми из них.

Практический вопрос по математике PSAT: система уравнений

Давайте рассмотрим пример задачи, чтобы исследовать требования для решения системы уравнений:

(1/8) q + (1/5) с = 40

zq + 8 с = 1,600

В показанной системе линейных уравнений z представляет собой константу. Если система уравнений имеет бесконечно много решений, каково значение z ?
A. 1/8
B. 5
C.8
Д. 40

Выполните пошаговые инструкции по математическому методу Каплана, чтобы решить этот вопрос. В следующей таблице слева показано стратегическое мышление Каплана, а справа — предлагаемые математические задания.

.

Система уравнений

Итак, что такое система уравнений? Это может быть новый термин для вас, если вы только начинаете изучать алгебру.

Система уравнений — это набор из двух или более уравнений, с которыми вы работаете. с в одно время. При решении системы вы должны учитывать все уравнения и найти решение, которое удовлетворяет всем уравнения.

Работа с более чем одним уравнением — вот что пугает некоторых студенты, но это действительно не так сложно.

Этот график является примером Системы уравнений. Эти два линейных графики представляют стоимость поездки на такси по городу на основе количество пройденных миль.

Поскольку мы работаем с системой, мы должны изобразить оба уравнения на одном графике.

При построении графика системы точка пересечения является решение. Точка пересечения на этом графике — (3,8). Это значит что обе компании будут взимать одинаковую сумму, 8 долларов за 3 мили.

Это единственный раз, когда две компании взимают одинаковую сумму. Следовательно, точка (3,8) является решением.

Линейная система уравнений будет иметь только одно решение, и это точка пересечения. Хотя, как всегда, бывают времена когда вы не найдете решения или бесконечное количество решений, и мы мы рассмотрим эти особые ситуации на уроках ниже.

Система уравнений может быть решена несколькими различными методами.Этот модуль научит вас трем различным методам решения системы уравнений.

Ниже вы найдете все уроки и практические задачи для решения Системы уравнений. Нажмите на концепцию, с которой вам нужна помощь, или следуйте каждому уроку в указанном порядке, чтобы полностью изучить Системы уравнений.


.

Системы линейных уравнений: предупреждения

Системы линейных уравнений: предупреждения (стр. 3 из 7)

Разделы: Определения, Построение графиков, Подстановка, Исключение / добавление, Гауссовский устранение.


Большинство задач, решаемых с помощью графического представления работают хорошо, но иногда дают непоследовательную систему ( есть две параллельные линии) или зависимая система (то есть две формы то же линейное уравнение).Вот как будут выглядеть эти кейсы:

  • Решите следующие проблемы система путем построения графиков.
  • Как обычно, я сначала решу уравнения для « y =». Первое уравнение в данном случае уже решено, поэтому теперь я решу второй: Авторские права © Элизабет Стапель 2003-2011 Все права защищены

    Когда оба уравнения решены относительно « y =», я вижу, что эти два уравнения действительно являются одной и той же строкой! Итак, алгебра говорит мне, что это — зависимая система, а решение — вся линия.Конечно, это проблема «решения с помощью графического представления», поэтому мне все еще нужно сделайте график, но я уже знаю ответ.

Решением этой системы является строка, поэтому в моих классах вы могли бы дать ответ как « y = 36 — 9 x ». Однако большинство книги делают что-то вроде этого: вы ищете решение x , y , и в данном случае x = x и y = 36 — 9 x , поэтому решение «точка» имеет форму ( x , 36 — 9 х ).Но тогда книга делает эту странную вещь с « a » (или « т » или « с » или какая-то другая переменная). Вместо использования x , что является совершенно хорошей переменной, они извлекают эту новую переменную из-за левого уха и дайте решение как « ( a , 36 — 9 a ) «.Я понятия не имею, почему они это делают, но если ваша книга делает это, то (Предупреждение!) это тот формат, который ваш учитель захочет на экзамене. Убедиться вы запоминаете переменную, которую использует ваша книга (« a » в этом примере).

  • Решите следующие проблемы система путем построения графиков.
  • Как обычно, я сначала решу каждое уравнение для « y =»:

      7 x + 2 y = 16
      2 y = –7 x + 16
      y = — ( 7 / 2 ) x + 8

      –21 x — 6 y = 24
      –21 x — 24 = 6 y
      — ( 21 / 6 ) x — 4 = y
      — ( 7 / 2 ) x — 4 = y

    Эти линии имеют одинаковый наклон, а именно, м = -7 / 2 , но разные y -пересечения, так что они параллельны.Поскольку параллельные прямые никогда не пересекаются, алгебра говорит мне, что это несовместимая система; то есть решения нет. Но это проблема «решения путем построения графиков», поэтому у меня все еще есть нарисовать картинку.

Предупреждение: когда алгебра говорит вам, что у вас есть две параллельные линии, ради бога, нарисуйте их на своем график так что они выглядят параллельно!


Примечание: Решение зависимого система, будучи всеми точками на прямой, содержит бесконечно много точки.Но не заблуждайтесь, думая, что «бесконечно много» означает «все». Любая точка вне линии — это , а не решение; только бесконечность точек фактически на линия будет решать зависимая система.


Также примечание: изображения на первая страница этого урока очень полезна для объяснения того, «что происходит на «с линейными системами, но картинки не особо полезны для поиска актуальных решений систем.Например, на картинке справа — точка решения в (–3, 2) или при (–3,15, 1.97)?

Вы не можете сказать!


Или, как на картинке справа, действительно ли линии параллельны, поэтому решения нет?

Или вы просто смотрите на бесполезной части графика?

Вы не можете сказать!


В этом случае масштабирование out показывает, что линии на предыдущем рисунке действительно пересекаются, в точке (450, 449.5). Но это вообще не было видно в «стандартном» окне просмотра показано выше.


Итак, вы видите, что картинки могут быть полезны, особенно для концепций, но вы должны взять «решение путем построения графиков» с недоверием, и следует сохранить имея в виду, что алгебраические методы (а не просто картинки) инструменты, необходимые для надежных ответов.


Вышеупомянутое обсуждение было специфичен для случая с двумя уравнениями и двумя переменными, потому что вы можете рисовать изображения случая с двумя переменными, чтобы проиллюстрировать, что происходит. Но терминология и основные понятия одинаковы, независимо от того, сколько переменных у тебя есть. У вас может быть четыре уравнения с четырьмя переменными или двенадцать уравнений в двенадцать переменных, и вы все равно будете искать, где «линии» «пересекаются» — вы просто не могли это нарисовать.

Примечание по форматированию: по причинам, которые будут становятся очевидными, когда вы начинаете работать с матрицами, уравнения в системах уравнений обычно записываются с переменными слева от знака «равно» и цифр на правая часть. Иногда вы можете встретить вопрос в другом формате, но переменные слева будут нормой.

<< Предыдущий Наверх | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | Вернуться к оглавлению Далее >>

Цитируйте эту статью как:

Стапель, Елизавета.«Системы линейных уравнений: предупреждения». Purplemath . Доступна с
https://www.purplemath.com/modules/systlin3.htm . Доступ [Дата] [Месяц] 2016 г.

.
Leave a Reply

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *