Алгебра 9 Макарычев К-2 В-2
Контрольная работа по алгебре в 9 классе «Квадратичная функция и её график. Степенная функция. Корень n-й степени» с ответами и решениями. Алгебра 9 Макарычев К-2 В-2.
Алгебра 9 класс (Макарычев)
Контрольная работа № 2. Вариант 2
§ 3. Квадратичная функция и её график. § 4. Степенная функция. Корень n-й степени.
КР-2. Вариант 2 (транскрипт заданий)
1. Постройте график функции у = х2 – 8х + 13. Найдите с помощью графика:
а) значение у при х = 1,5;
б) значения х, при которых у = 2;
в) нули функции; промежутки, в которых у > 0 и в которых у < 0;
г) промежуток, в котором функция убывает.
2. Найдите наибольшее значение функции у = –х2 + 6х – 4.
3. Найдите область значений функции у = х2 – 4х – 7, где х ∈ [–1; 5].
4. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола у = х2/5 и прямая у = 20 – 3х. Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.
5. Найдите значение выражения 3√[–2 10/27] + 8 4
Алгебра 9 Макарычев К-2 В-2 ОТВЕТЫ:
КР-2. Ответы на Вариант 2.
№2. 5.
№3. [–11; –2].
№4. Пересекаются в точках (–20; 80) и (5; 5).
№5. 10 2/3.
Смотреть РЕШЕНИЯ заданий Варианта 2 в тетради
Алгебра 9 Макарычев К-2 В-2. Контрольная работа по алгебре 9 класс «Квадратичная функция и её график. Степенная функция. Корень n-й степени» с ответами и решениями.
Другие варианты: К-2 Вариант 1 К-2 Вариант 3 К-2 Вариант 4
В учебных целях использованы цитаты из пособия: «Алгебра. Дидактические материалы 9 класс / Макарычев, Миндюк, Крайнева — М.: Просвещение». Представленная контрольная работа ориентирована на УМК Макарычева. Ответы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения заданий. Цитаты представлены в учебных целях, а также для ознакомления и покупки указанного учебного пособия.
Список контрольных работ по алгебре в 9 классе для УМК Макарычев (Оглавление)
Контрольная работа № 2 по алгебре по теме «Квадратичная функция и её график».
Контрольная работа № 2 по алгебре
по теме
«Квадратичная функция и её график».
Вариант 1.
1. Разложите на множители квадратный трёхчлен:
а) х2-14х+45; б) 3у2+7у-6.
2. Постройте график функции у = х2-2х-8.
найдите с помощью графика:
а) значение у при х = -1,5;
б) значения х, при которых у = 3;
в) нули функции;
г) промежутки, в которых у>0 и в которых у<0;
д) промежуток, в котором функция возрастает.
3. Сократите дробь
3р2+р-2
4-9р2
4. Найдите наименьшее значение квадратного трёхчлена
х2-6х+11.
5. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола у= 1/3 х2 и прямая
у= 6х -15.
Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.
Контрольная работа № 2 по алгебре
по теме
«Квадратичная функция и её график».
Вариант 2
1. Разложите на множители квадратный трёхчлен:
а) х2-10х+21; б) 5у2+9у-2.
2. Постройте график функции у = х2-4х-5.
найдите с помощью графика:
а) значение у при х = 0,5;
б) значения х, при которых у = 3;
в) нули функции;
г) промежутки, в которых у>0 и в которых у<0;
д) промежуток, в котором функция убывает.
3. Сократите дробь
4р2+7р-2
1-16р2
4. Найдите наименьшее значение квадратного трёхчлена
-х2+4х+3.
5. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола у= 1/2 х2 и прямая
у= 12-х.
Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.
Контрольная работа № 2 по алгебре
по теме
«Квадратичная функция и её график».
1. Разложите на множители квадратный трёхчлен:
а) х2-14х+45; б) 3у2+7у-6.
2. Постройте график функции у = х2-2х-8.
найдите с помощью графика:
а) значение у при х = -1,5;
б) значения х, при которых у = 3;
в) нули функции;
г) промежутки, в которых у>0 и в которых у<0;
д) промежуток, в котором функция возрастает.
3. Сократите дробь
3р2+р-2
4-9р2
4. Найдите наименьшее значение квадратного трёхчлена
х2-6х+11.
5. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола у= 1/3 х2 и прямая
Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.
Контрольная работа № 2 по алгебре
по теме
«Квадратичная функция и её график».
Вариант 2
1. Разложите на множители квадратный трёхчлен:
а) х2-10х+21; б) 5у2+9у-2.
2. Постройте график функции у = х2-4х-5.
найдите с помощью графика:
а) значение у при х = 0,5;
б) значения х, при которых у = 3;
в) нули функции;
г) промежутки, в которых у>0 и в которых у<0;
д) промежуток, в котором функция убывает.
3. Сократите дробь
4р2+7р-2
1-16р2
4. Найдите наименьшее значение квадратного трёхчлена
-х2+4х+3.
5. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола у= 1/2 х2 и прямая
у= 12-х.
Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.
Контрольная работа по алгебре 9 класс по теме «Квадратичная функция и ее график»
Контрольная работа №2
«Квадратичная функция и ее график»
Вариант 1
1. Постройте график функции у = х2 — 6х + 5. Найдите с помощью графика:
а) значение у при х
б) значения х, при которых у = -1;
в) нули функции;
г) промежуток, на котором функция возрастает.
2. Найдите наименьшее значение функции у = х2 — 8х + 7.
3. Найдите область значений функции у = х2 — 6х — 13, где x [-2; 7].
4. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола у = х2 и прямая у = 5х -16. Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.
5. Найдите значение выражения .
Контрольная работа №2
«Квадратичная функция и ее график»
Вариант 2
1. Постройте график функции у = х2 — 8х + 13. Найдите с помощью графика:
а) значение у при х = 1,5;
б) значения х, при которых у = 2;
в) нули функции;
г) промежуток, в котором функция убывает.
2. Найдите наибольшее значение функции у = — х2 + 6х – 4.
3. Найдите область значений функции у = x2 — 4х — 7, где х [-1; 5].
4. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола
5. Найдите значение выражения .
Контрольная работа №2
«Квадратичная функция и ее график»
Вариант 1
1. Постройте график функции у = х2 — 6х + 5. Найдите с помощью графика:
а) значение у при х = 0,5;
б) значения х, при которых у = -1;
в) нули функции;
г) промежуток, на котором функция возрастает.
2. Найдите наименьшее значение функции
3. Найдите область значений функции у = х2 — 6х — 13, где x [-2; 7].
4. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола у = х2 и прямая у = 5х -16. Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.
5. Найдите значение выражения .
Контрольная работа №2
«Квадратичная функция и ее график»
Вариант 2
1. Постройте график функции у = х2 — 8х + 13. Найдите с помощью графика:
а) значение у при х = 1,5;
б) значения х, при которых у = 2;
в) нули функции;
г) промежуток, в котором функция убывает.
2. Найдите наибольшее значение функции у = — х2 + 6х – 4.
3. Найдите область значений функции у = x2 — 4х — 7, где х [-1; 5].
4. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола у =х2 и прямая у =20-3х. Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.
5. Найдите значение выражения .
Алгебра 9 Макарычев К-2 В-3
Контрольная работа по алгебре в 9 классе «Квадратичная функция и её график. Степенная функция. Корень
Алгебра 9 класс (Макарычев)
Контрольная работа № 2. Вариант 3
§ 3. Квадратичная функция и её график. § 4. Степенная функция. Корень n-й степени.
КР-2. Вариант 3 (транскрипт заданий)
1. Постройте график функции у = х2 – 4х – 5. Найдите с помощью графика:
а) значение у при х = 0,5;
б) значения х, при которых у = 3;
в) нули функции; промежутки, в которых у > 0 и в которых у < 0;
г) промежуток, в котором функция возрастает.
2. Найдите наименьшее значение функции у = х2 + 2х – 24.
3. Найдите область значений функции у = х2 – 2х – 8, где х ∈ [–1; 3].
4. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола у = х2/3 и прямая у = 6х – 15. Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.
5. Найдите значение выражения 3√[–4 17/27] + 6 4√[3 13/81].
Алгебра 9 Макарычев К-2 В-3 ОТВЕТЫ:
КР-2. Ответы на Вариант 3.
№2. –25.
№3. [–9;–5].
№4. Пересекаются в точках (3; 3) и (15; 75).
№5. 6 1/3.
Смотреть РЕШЕНИЯ заданий Варианта 3 в тетради
Алгебра 9 Макарычев К-2 В-3. Контрольная работа по алгебре 9 класс «Квадратичная функция и её график. Степенная функция. Корень n-й степени» с ответами и решениями.
Другие варианты: К-2 Вариант 1 К-2 Вариант 2 К-2 Вариант 4
В учебных целях использованы цитаты из пособия: «Алгебра. Дидактические материалы 9 класс / Макарычев, Миндюк, Крайнева — М.: Просвещение». Представленная контрольная работа ориентирована на УМК Макарычева. Ответы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения заданий. Цитаты представлены в учебных целях, а также для ознакомления и покупки указанного учебного пособия.
Список контрольных работ по алгебре в 9 классе для УМК Макарычев (Оглавление)
Алгебра 9 Дорофеев К-2 . Контрольная работа и ответы
Контрольная работа по алгебре № 2.
9 класс (УМК Дорофеев и др.).
Алгебра 9 Дорофеев К-2. Контрольная работа по алгебре в 9 классе «Квадратичная функция» с ОТВЕТАМИ. В учебных целях использованы цитаты из пособия «Алгебра. Контрольные работы 9 класс» (авт. Л.В. Кузнецова и др.), которое используется в комплекте с учебником «Алгебра 9 класс / Г.В. Дорофеев и др. — М.: Просвещение». При постоянном использовании контрольных необходимо купить указанное пособие.
Контрольная работа «Квадратичная функция»
В контрольной работе проверяются умения:
- использовать функциональную терминологию и символику;
- читать график, описывающий реальный процесс;
- находить нули функции, заданной формулой;
- строить график квадратичной функции;
- по графику отвечать на вопросы, касающиеся свойств квадратичной функции;
- находить область определения функции, заданной формулой;
- решать квадратные неравенства.
Контрольная работа по алгебре К-2
OCR-версия заданий (транскрипт)
Алгебра 9 Дорофеев К-2. Вариант 1
1. Мяч подбросили вертикально вверх с высоты 1,5 м, придав ему начальную скорость 10 м/с. По графику изменения высоты его полёта в зависимости от времени движения ответьте на вопросы: а) Через какое время мяч достиг максимальной высоты? б) На какой высоте находился мяч через 0,5 с после начала полёта?
2. Функция задана формулой у = 3х2 + 2х — 5. а) Найдите значение функции при х = -2. б) При каких значениях х функция принимает значение, равное -5? в) Найдите нули функции.
3. а) Постройте график функции у = х2 + 2х — 8. б) Укажите значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения. в) Укажите промежуток, на котором функция убывает.
4. Решите неравенство х2 — 3х + 2 > 0.
5. Найдите область определения выражения
6. Запишите уравнение параболы, если известно, что она получена сдвигом параболы у = -х2 вдоль оси х на 4 единицы вправо и вдоль оси у на 2 единицы вверх.
7. При каких значениях b и с вершина параболы у = 2х2 + bх + с находится в точке (-1; 3)?
Дополнительное задание
8. На рисунке изображён график функции у = ах2 + bх + с. Определите знаки коэффициентов а, b и с.
Алгебра 9 Дорофеев К-2. Вариант 1
1. Мяч подбросили вертикально вверх с высоты 1,5 м, придав ему начальную скорость 10 м/с. По графику изменения высоты его полёта в зависимости от времени движения ответьте на вопросы: а) Через какое время мяч достиг максимальной высоты? б) На какой высоте находился мяч через 0,5 с после начала полёта?
2. Функция задана формулой у = 3х2 + 2х — 5. а) Найдите значение функции при х = -2. б) При каких значениях х функция принимает значение, равное -5? в) Найдите нули функции.
3. а) Постройте график функции у = х2 + 2х — 8. б) Укажите значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения. в) Укажите промежуток, на котором функция убывает.
4. Решите неравенство х2 — 3х + 2 > 0.
5. Найдите область определения выражения
6. Запишите уравнение параболы, если известно, что она получена сдвигом параболы у = -х2 вдоль оси х на 4 единицы вправо и вдоль оси у на 2 единицы вверх.
7. При каких значениях b и с вершина параболы у = 2х2 + bх + с находится в точке (-1; 3)?
Дополнительное задание
8. На рисунке изображён график функции у = ах2 + bх + с. Определите знаки коэффициентов а, b и с.
Решения и ОТВЕТЫ
на контрольную работу
Вариант 1. Смотреть ответы
Вариант 2. Смотреть ответы
Вариант 3. Смотреть ответы
Вариант 4. Смотреть ответы
Вернуться к Списку контрольных работ по алгебре 9 класс (УМК Дорофеев)
Алгебра 9 Дорофеев К-2. Контрольная работа по алгебре «Квадратичная функция» в 9 классе с ответами. Цитаты из пособия для учащихся «Алгебра. Контрольные работы» (авт. Л.В. Кузнецова и др.) использованы в учебных целях.
Контрольная работа по теме «Квадратичная функция»
Контрольная работа по теме «Квадратичная функция».
Вариант 1.
При каких значениях х функция у = -2х+ 5х + 3 принимает значение, равное -4?
Постройте график функции у = х- 2х – 8. Найдите с помощью графика:
а) значение у при х = -1,5;
б) значения х , при которых у = 3;
в) значения х, при которых у > 0;
г) промежуток, в котором функция убывает.
Не выполняя построения графика функции у = -5х+ 6х, найти её наибольшее или наименьшее значение.
Периметр прямоугольника 80 см. Какими должны быть его длина и ширина, чтобы площадь прямоугольника была наибольшей?
Контрольная работа по теме «Квадратичная функция».
Вариант 1.
При каких значениях х функция у = -2х+ 5х + 3 принимает значение, равное -4?
Постройте график функции у = х- 2х – 8. Найдите с помощью графика:
а) значение у при х = -1,5;
б) значения х , при которых у = 3;
в) значения х, при которых у > 0;
г) промежуток, в котором функция убывает.
Не выполняя построения графика функции у = -5х+ 6х, найти её наибольшее или наименьшее значение.
Периметр прямоугольника 80 см. Какими должны быть его длина и ширина, чтобы площадь прямоугольника была наибольшей?
Контрольная работа по теме «Квадратичная функция».
Вариант 2.
При каких значениях х функция у = -3х+ 7х + 1 принимает значение, равное -5?
Постройте график функции у = х+ 4х – 2. Найдите с помощью графика:
а) значение у при х = 1,5;
б) значения х , при которых у = 4;
в) значения х, при которых у < 0;
г) промежуток, в котором функция возрастает.
Не выполняя построения графика функции у = 7х- 4х, найти её наибольшее или наименьшее значение.
Число 140 представить в виде суммы двух чисел так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.
Контрольная работа по теме «Квадратичная функция».
Вариант 2.
При каких значениях х функция у = -3х+ 7х + 1 принимает значение, равное -5?
Постройте график функции у = х+ 4х – 2. Найдите с помощью графика:
а) значение у при х = 1,5;
б) значения х , при которых у = 4;
в) значения х, при которых у < 0;
г) промежуток, в котором функция возрастает.
Не выполняя построения графика функции у = 7х- 4х, найти её наибольшее или наименьшее значение.
Число 140 представить в виде суммы двух чисел так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.
Контрольная работа по теме «Квадратичная функция» (9 класс)
Контрольная работа по теме «Квадратичная функция, ее график. Степенная функция. Корень n-ой степени»
Вариант 1
Найдите нули функции y=2x2+3x-2.
Найдите координаты точки пересечения графика функции
y=-3x2+10x-7 с осью ординат.
На рисунке изображены графики функций вида y=ax2+bx+c. Установите соответствие между знаками коэффициентов а и с и графиками функций.
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Проходит ли график функции y=x5 через точку А(3; 243), В(-3; 243),
С (5; 3125)?
Вычислите: а) ; б) ; в) .
Постройте график функции y=6+4x-2x2. Найдите:
а) область значений функции;
б) при каких значениях аргумента функция убывает.
Вариант 2
Найдите нули функции y=x2+4x-21.
Найдите координаты точки пересечения графика функции
y=4x2+3x-7 с осью ординат.
На рисунке изображены графики функций вида y=ax2+bx+c. Установите соответствие между знаками коэффициентов а и с и графиками функций.
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Проходит ли график функции y=x7 через точку А(2; 128), В(-2; -128),
С (-3; 2187)?
Вычислите: а) ; б) ; в)
Постройте график функции y=6-4x-2x2. Найдите:
а) область значений функции;
б) при каких значениях аргумента функция возрастает.
BioMath: квадратичные функции
В этом разделе мы узнаем, как найти корень (корень) квадратного уравнения. Корни также называются перехватами x или нулями. Квадратичная функция графически представлена параболой с вершиной, расположенной в начале координат, ниже оси x или выше оси x . Следовательно, квадратичная функция может иметь один, два или нулевой корень.
Когда нас просят решить квадратное уравнение, нас действительно просят найти корни.Мы уже видели, что завершение квадрата — полезный метод решения квадратных уравнений. Этот метод можно использовать для вывода квадратной формулы, которая используется для решения квадратных уравнений. Фактически, корни функции
f ( x ) = ax 2 + bx + c
даются по квадратичной формуле. Корни функции — это перехваты x . По определению, координата y точек, лежащих на оси x , равна нулю.Поэтому, чтобы найти корни квадратичной функции, мы полагаем f ( x ) = 0 и решаем уравнение
ax 2 + bx + c = 0.
Мы можем сделать это, заполнив квадрат как,
Решая x и упрощая, получаем
Таким образом, корни квадратичной функции имеют вид,
Эта формула называется квадратной формулой , и ее вывод включен, чтобы вы могли видеть, откуда она взялась.Мы называем термин b 2 −4 ac дискриминантом . Дискриминант важен, потому что он говорит вам, сколько корней имеет квадратичная функция. В частности, если
1. b 2 −4 ac <0 Настоящих корней нет. 2. b 2 −4 ac = 0 Существует один действительный корень. 3. b 2 −4 ac > 0 Есть два действительных корня. |
Рассмотрим каждый случай индивидуально.
Случай 1: Нет настоящих корней
Если дискриминант квадратичной функции меньше нуля, эта функция не имеет действительных корней, а парабола, которую она представляет, не пересекает ось x . Поскольку квадратная формула требует извлечения квадратного корня из дискриминанта, отрицательный дискриминант создает проблему, потому что квадратный корень из отрицательного числа не определяется по действительной прямой.Пример квадратичной функции без действительных корней дается формулой
f ( x ) = x 2 — 3 x + 4.
Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) отрицательный,
b 2 −4 ac = (−3) 2 — 4 · 1 · 4 = 9 — 16 = −7.
Эта функция графически представлена открывающейся вверх параболой, вершина которой находится выше оси x.Таким образом, график никогда не может пересекать ось x и не имеет корней, как показано ниже,
Случай 2: Один настоящий корень
Если дискриминант квадратичной функции равен нулю, эта функция имеет ровно один действительный корень и пересекает ось x в одной точке. Чтобы увидеть это, мы установили b 2 −4 ac = 0 в формулу корней квадратного уравнения, чтобы получить
Обратите внимание, что это координата x вершины параболы.Таким образом, парабола имеет ровно один действительный корень, когда вершина параболы лежит прямо на оси x . Простейший пример квадратичной функции, имеющей только один действительный корень, —
y = x 2 ,
, где действительный корень равен x = 0.
Другой пример квадратичной функции с одним действительным корнем:
f ( x ) = −4 x 2 + 12 x — 9.
Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) равен нулю,
b 2 −4 ac = (12) 2 — 4 · −4 · −9 = 144 — 144 = 0.
Эта функция графически представлена параболой, которая открывается вниз и имеет вершину (3/2, 0), лежащую на оси x . Таким образом, график пересекает ось x ровно в одной точке (т.е. имеет один корень), как показано ниже,
Случай 3: два настоящих корня
Если дискриминант квадратичной функции больше нуля, эта функция имеет два действительных корня ( x -перехвата).Извлечение квадратного корня из положительного действительного числа хорошо определено, и два корня равны,
Пример квадратичной функции с двумя действительными корнями:,
f ( x ) = 2 x 2 — 11 x + 5.
Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) больше нуля,
b 2 — 4 ac = (−11) 2 — 4 · 2 · 5 = 121 — 40 = 81.
Эта функция графически представлена открывающейся вверх параболой, вершина которой лежит ниже оси x . Таким образом, график должен пересекать ось x в двух местах (т.е. иметь два корня), как показано ниже,
*****
В следующем разделе мы будем использовать квадратную формулу для решения квадратных уравнений.
Решение квадратных уравнений
.Квадратные уравнения
Пример квадратного уравнения :
Квадратные уравнения образуют красивые кривые, такие как эта:
Имя
Название Quadratic происходит от «quad», что означает квадрат, потому что переменная возводится в квадрат (например, x 2 ).
Его также называют «уравнением степени 2» (из-за «2» на x )
Стандартная форма
Стандартная форма квадратного уравнения выглядит так:
- a , b и c — известные значения. a не может быть 0.
- « x » — это переменная или неизвестно (мы еще этого не знаем).
Вот несколько примеров:
| 2x 2 + 5x + 3 = 0 | В этом a = 2 , b = 5 и c = 3 | |
| x 2 — 3x = 0 | Это немного сложнее:
| |
| 5x — 3 = 0 | Ой! Это , а не квадратное уравнение: оно отсутствует x 2 (другими словами a = 0 , что означает, что оно не может быть квадратичным) |
Поиграйте с ним
Поиграйте с «Проводником квадратного уравнения», чтобы увидеть:
- график, а
- решений (называемых «корнями»).
Скрытые квадратные уравнения!
Как мы видели ранее, Стандартная форма квадратного уравнения — это
Но иногда квадратное уравнение так не выглядит!
Например:
| Скрытый | в стандартной форме | a, b и c | |
|---|---|---|---|
| x 2 = 3x — 1 | Переместить все термины в левую часть | x 2 — 3x + 1 = 0 | a = 1, b = −3, c = 1 |
| 2 (w 2 — 2w) = 5 | Развернуть (снять скобки), и переместите 5 влево | 2 Вт 2 — 4 Вт — 5 = 0 | a = 2, b = −4, c = −5 |
| z (z − 1) = 3 | Разверните и переместите 3 влево | z 2 — z — 3 = 0 | а = 1, b = -1, с = -3 |
Как их решить?
В « решениях » квадратного уравнения равно нулю .
Их также называют « корней », или иногда « нулей »
Обычно существует 2 решения (как показано на этом графике).
И есть несколько разных способов найти решения:
Или мы можем использовать специальную квадратичную формулу :Просто введите значения a, b и c и выполняйте вычисления.
Сейчас мы рассмотрим этот метод более подробно.
О квадратичной формуле
Плюс / Минус
Прежде всего, что это за плюс / минус, который выглядит как ±?
± означает, что есть ДВА ответа:
x = −b + √ (b 2 — 4ac) 2a
x = −b — √ (b 2 — 4ac) 2a
Вот пример с двумя ответами:
Но не всегда так получается!
- Представьте, что кривая «просто касается» оси x.
- Или представьте, что кривая настолько высока , что даже не пересекает ось x!
Вот тут-то нам и помогает «Дискриминант» …
Дискриминант
Вы видите b 2 — 4ac в приведенной выше формуле? Он называется Дискриминант , потому что он может «различать» возможные типы ответов:
- когда b 2 — 4ac положительный, мы получаем два Реальных решения
- , когда он равен нулю, мы получаем только ОДНО реальное решение (оба ответа одинаковы)
- при отрицательном значении получаем пару Комплексных решений
Комплексные решения? Давайте поговорим о них после того, как мы увидим, как использовать формулу.
Использование квадратичной формулы
Просто введите значения a, b и c в квадратную формулу и выполните вычисления.
Пример: Решить 5x 2 + 6x + 1 = 0
Коэффициенты: a = 5, b = 6, c = 1
Квадратичная формула: x = −b ± √ (b 2 — 4ac) 2a
Вставьте a, b и c: x = −6 ± √ (6 2 — 4 × 5 × 1) 2 × 5
Решить: x = −6 ± √ (36 -20) 10
х = −6 ± √ (16) 10
х = −6 ± 4 10
х = -0.2 или −1
Ответ: x = −0,2 или x = −1
И мы их видим на этом графике.
| Чек -0,2 : | 5 × ( −0,2 ) 2 + 6 × ( −0,2 ) + 1 = 5 × (0,04) + 6 × (-0,2) + 1 = 0,2 — 1,2 + 1 = 0 | |
| Чек -1 : | 5 × ( −1 ) 2 + 6 × ( −1 ) + 1 = 5 × (1) + 6 × (-1) + 1 = 5–6 + 1 = 0 |
Вспоминая формулу
Добрый читатель предложил спеть это к «Pop Goes the Weasel»:
| ♫ | «x равно минус b | ♫ | «Вокруг тутового куста | |
| плюс или минус квадратный корень | Обезьяна погналась за лаской | |||
| квадрата b минус четыре a c | Обезьяна думала, что все было весело | |||
| ВСЕ более двух а « | Поп! идет ласка » |
Попробуйте спеть его несколько раз, и он застрянет у вас в голове!
Или вы можете вспомнить эту историю:
х = −b ± √ (b 2 — 4ac) 2a
«Негативный мальчик думал, да или нет, о том, чтобы пойти на вечеринку,
на вечеринке он разговаривал с квадратным мальчиком, но не с четырьмя классными цыпочками.
В 2 часа ночи все закончилось. «
Комплексные решения?
Когда Дискриминант (значение b 2 — 4ac ) отрицательный, мы получаем пару Комплексных решений … что это означает?
Это означает, что наш ответ будет включать в себя мнимые числа. Вау!
Пример: Решить 5x 2 + 2x + 1 = 0
Коэффициенты равны : a = 5, b = 2, c = 1
Обратите внимание, что дискриминант отрицательный: b 2 — 4ac = 2 2 — 4 × 5 × 1
= −16
Используйте квадратичную формулу : x = −2 ± √ (−16) 10
√ (-16) = 4 i
(где i — мнимое число √ − 1)
Итак: x = −2 ± 4 и 10
Ответ: x = −0.2 ± 0,4 и
График не пересекает ось абсцисс. Вот почему мы получили комплексные числа.
В некотором смысле это проще: нам не нужно больше вычислений, просто оставьте -0,2 ± 0,4 i .
Пример: Решить x 2 — 4x + 6,25 = 0
Коэффициенты равны : a = 1, b = −4, c = 6,25
Обратите внимание, что дискриминант отрицательный: b 2 — 4ac = (−4) 2 — 4 × 1 × 6.25
= −9
Используйте квадратичную формулу : x = — (- 4) ± √ (−9) 2
√ (−9) = 3 i
(где i — мнимое число √ − 1)
Итак: x = 4 ± 3 i 2
Ответ: x = 2 ± 1,5 i
График не пересекает ось абсцисс.Вот почему мы получили комплексные числа.
НО перевернутое зеркальное отображение нашего уравнения действительно пересекает ось x в 2 ± 1,5 (примечание: отсутствует i ).
Просто интересный факт для вас!
Сводка
- Квадратное уравнение в стандартной форме: ax 2 + bx + c = 0
- Квадратичные уравнения могут быть разложены на множители
- Квадратичная формула: x = −b ± √ (b 2 — 4ac) 2a
- Когда дискриминант ( b 2 −4ac ) равен:
- положительный, есть 2 реальных решения
- ноль, есть одно реальное решение
- негатив, есть 2 комплексных решения
Объяснение квадратичной формулы | Purplemath
Purplemath
Часто самый простой способ решить « ax 2 + bx + c = 0» для значения x — это разложить на множители квадратичный коэффициент, установить каждый коэффициент равным нулю и затем решить каждый фактор. Но иногда квадратичность слишком беспорядочная, или она вообще не учитывается, или вам просто не хочется вводить множители.Хотя факторинг не всегда может быть успешным, квадратная формула всегда может найти решение.
Квадратичная формула использует « a », « b » и « c » из « ax 2 + bx + c », где « a », » b «и c » — это просто числа; они представляют собой «числовые коэффициенты» квадратного уравнения, которые они дали вам решить.
MathHelp.com
Квадратичная формула выводится из процесса завершения квадрата и официально записана как:
Квадратичная формула: для ax 2 + bx + c = 0, значения x , которые являются решениями уравнения, даются как:
Чтобы квадратичная формула работала, ваше уравнение должно иметь форму «(квадратичная) = 0».Кроме того, «2 a » в знаменателе Формулы находится под всем, что указано выше, а не только под квадратным корнем. И внизу это «2 a «, а не просто «2». Убедитесь, что вы осторожны, чтобы не уронить квадратный корень или «плюс / минус» в середине ваших вычислений, иначе я могу гарантировать, что вы забудете «вставить их обратно» в свой тест, и вы запутаетесь себя вверх. Помните, что « b 2 » означает «квадрат ВСЕГО из b , включая его знак», поэтому не оставляйте b 2 отрицательным, даже если b отрицательно, потому что квадрат негатива — это позитив.
Другими словами, не будьте небрежны и не пытайтесь сокращать путь, потому что это только навредит вам в долгосрочной перспективе. Поверьте мне в этом!
Вот несколько примеров того, как работает квадратичная формула:
Это квадратичное значение множителя:
x 2 + 3 x — 4 = ( x + 4) ( x — 1) = 0
… так что я уже знаю, что решения: x = –4 и x = 1. Как мое решение будет выглядеть в квадратичной формуле? Используя a = 1, b = 3 и c = –4, мое решение выглядит так:
Тогда, как и ожидалось, решение будет x = –4, x = 1.
Предположим, у вас есть ax 2 + bx + c = y , и вам предлагается вставить ноль для y .Соответствующие значения x являются интерцепциями x на графике. Таким образом, решение ax 2 + bx + c = 0 для x означает, среди прочего, что вы пытаетесь найти x -перехватов. Поскольку было два решения для x 2 + 3 x — 4 = 0, тогда на графике должно быть два интерцепта x . Построив график, мы получим кривую ниже:
Как видите, точки пересечения x (красные точки выше) соответствуют решениям, пересекая ось x на x = –4 и x = 1.Это показывает связь между построением графиков и решением: когда вы решаете «(квадратичный) = 0», вы находите пересечения графика x . Это может быть полезно, если у вас есть графический калькулятор, потому что вы можете использовать квадратичную формулу (при необходимости) для решения квадратичной, а затем использовать свой графический калькулятор, чтобы убедиться, что отображаемые интервалы x имеют те же десятичные значения, что и делать решения, предоставленные квадратной формулой.
Обратите внимание, однако, что отображение графика калькулятором, вероятно, будет иметь некоторую ошибку округления, связанную с пикселями, поэтому вы должны проверить, чтобы вычисленные и отображенные значения были достаточно близки; не ожидайте точного совпадения.
Решите 2 x 2 — 4 x — 3 = 0. При необходимости округлите ответ до двух десятичных знаков.
Нет множителей (2) (- 3) = –6, которые в сумме дают –4, поэтому я знаю, что эту квадратичную нельзя разложить на множители. Я буду применять квадратичную формулу. В этом случае a = 2, b = –4 и c = –3:
Тогда ответ: x = –0.58, x = 2,58 с округлением до двух десятичных знаков.
Предупреждение: «Решение», «корни» или «нули» квадратичной функции обычно должны быть в «точной» форме ответа. В приведенном выше примере точная форма — это квадратный корень из десяти. Вам нужно будет получить аппроксимацию калькулятора, чтобы построить график пересечений по оси x или упростить окончательный ответ в текстовой задаче. Но если у вас нет веских причин думать, что ответ должен быть округленным, всегда используйте точную форму.
Сравните решения 2 x 2 — 4 x — 3 = 0 с интерцепциями x на графике:
Как и в предыдущем примере, интервалы x соответствуют нулям из квадратичной формулы. Это всегда правда. «Решения» уравнения — это также точки пересечения x соответствующего графика.
URL: https: // www.purplemath.com/modules/quadform.htm
. Графики
Квадратичные функции: Разделы: Введение, Значение ведущего коэффициента / Вершина, Примеры Общий вид квадратичной это « y = ax 2 + bx + c «.Для построения графиков используется старший коэффициент « a ». указывает, насколько «толстой» или «худой» будет парабола. быть. для | а | > 1 (такой
как a = 3 или a = –4) парабола
будет «худым», потому что он быстрее разрастается (в три раза
так быстро или в четыре раза быстрее, соответственно, в случае нашего образца
значения для | а | <1 (такой как a = 1 / 3 или a = –1 / 4 ), парабола будет «толстой», потому что она растет медленнее (треть так же быстро или на четверть от скорости соответственно в примерах). Кроме того, если a отрицательно, парабола перевернута.
Как видите, как ведущий коэффициент изменяется от очень отрицательного до слегка отрицательного до нуля (не совсем квадратичный) от слегка положительного до очень положительного, парабола переходит от худого перевернутого к толстому перевернутому к прямой (называемой «вырожденная» парабола) к толстому правому боку к худому правой стороной вверх.Авторские права © Элизабет Стапель 2002-2011 Все права защищены Есть простой, хотя и немного «тупой», способ запомнить разницу между правой стороной вверх параболы и перевернутые параболы:
Это может быть полезная информация: Если, например, у вас есть уравнение, в котором на отрицательно, но вы каким-то образом придумываете точки на графике, которые делают это выгляди так, будто квадратичная правая сторона вверх, тогда ты будешь знать, что ты нужно вернуться и проверить свою работу, потому что что-то не так с . Параболы всегда имеют самая низкая точка (или самая высокая точка, если парабола перевернута). Эта точка, в которой парабола меняет направление, называется «вершиной». Если квадратичная записана в виде y = a ( x — h ) 2 + k, тогда вершина — это точка ( h , k ).Это делает смысл, если задуматься. Квадрат всегда положителен (для парабола справа вверх), если она не равна нулю. Так что у тебя всегда будет это фиксированное значение k , и тогда вы всегда будете что-то добавлять к нему, чтобы сделать на больше, если, конечно, квадрат не равен нулю. Таким образом, наименьшее значение y может быть y = k , и это наименьшее значение будет, когда часть в квадрате, x — h , равна нуль.А часть в квадрате равна нулю, когда x — h = 0, или когда x = ч . Такой же рассуждение работает, где k является наибольшим значением, и квадратная часть всегда вычитается из него, для перевернутых парабол. (Примечание: « a »
в форме вершины « y = a ( x — h ) 2 + k »
квадратичной такой же, как « а »
в общей форме квадратного уравнения: « y = ax 2 + bx + c ».) Поскольку вершина полезна точки, и поскольку вы можете «считать» координаты для вершина из вершины формы квадратичной, вы можете видеть, где вершина форма квадратичной может быть полезной, особенно если вершина не одна ваших значений T-диаграммы. Однако квадратичные обычно не пишут на форма вершины. Вы можете заполнить квадрат для преобразования ax 2 + bx + c в форму вершины, но для нахождения вершины проще использовать формулу.(Формула вершины выводится из процесса завершения квадрата, так же как квадратичный Формула. В любом случае запоминание, вероятно, проще, чем завершение кв.) Для данного квадратичного y = ax 2 + bx + c , вершина ( h , k ) найдена путем вычисления h = — b / 2 a , а затем оценивая y на h , чтобы найти k .Если вы уже выучили квадратичный Формула, вы можете легко запомнить формулу для k , поскольку он связан как с формулой для h , так и с дискриминантом в квадратичной формуле: k = (4 ac — b 2 ) / 4 а .
Чтобы найти вершину, я посмотрите на коэффициенты a , b , и c . Формула для вершины дает мне: Тогда я могу найти k , оценив y при h = –1 / 6 : k = 3 ( –1 / 6 ) 2 + ( –1 / 6 ) — 2 = 3 / 36 — 1 / 6 — 2 = 1 / 12 — 2 / 12 — 24 / 12 = –25 / 12 Итак, теперь я знаю, что вершина находится в точке ( –1 / 6 , –25 / 12 ) .С помощью формула была полезна, потому что это не та точка, которую я, вероятно, попасть в мою Т-диаграмму.
Когда вы записываете вершины в домашнем задании запишите точные координаты: «( –1 / 6 , –25 / 12 )».Но для целей построения графиков десятичное приближение «(–0,2, –2.1) «может быть более полезно, так как его легче определить по осям. Единственное другое соображение относительно вершины находится «ось симметрии». Если вы посмотрите на параболе вы заметите, что можете провести вертикальную линию вправо через середину, что разделило бы параболу на два зеркальных половинки.Эта вертикальная линия, проходящая прямо через вершину, называется осью симметрии. Если вас спросят об оси, запишите строку « x = h «, где h — это только координата x вершины. Итак, в приведенном выше примере ось будет вертикальной. строка x = h = –1 / 6 . Полезное примечание: если ваш квадратичный x -перехватывает оказываются красивыми аккуратными числами (так что с ними относительно легко работать), ярлык для поиска оси симметрии — отметить, что эта вертикальная линия всегда находится точно между двумя перехватами x .Таким образом, вы можете просто усреднить два перехвата, чтобы получить местоположение ось симметрии и координата x вершины. Однако, если у вас беспорядочные перехваты x (как в примере выше), или если квадратичная диаграмма фактически не пересекает ось x (как вы увидите на следующей странице), тогда вам нужно будет использовать формулу найти вершину. << Предыдущий Наверх | 1 | 2 | 3 | 4 | Вернуться к оглавлению Далее >>
|