Контрольная работа 1 6 класс делимость чисел: Контрольная работа № 1 по теме «Делимость чисел». 6 класс | Методическая разработка по математике (6 класс):

Контрольная работа № 1 по теме «Делимость чисел». 6 класс | Методическая разработка по математике (6 класс):

1 вариант. 1). Разложите на простые множители число 990, 1655. 2). Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 192 и 108. 3). Докажите, что числа: а). 260 и 285 не взаимно простые; б). 301 и 585 взаимно простые. 4). Выполните действия: 355,1 : 0,67 + 0,83 ∙ 15. 5). Найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби  и сократите эту дробь. 6).  В классе 30 учеников. Все они являются читателями школьной и районной библиотек. Из них 20 ребят берут книги в школьной библиотеке,  15 — в районной. Сколько учеников не являются читателями школьной библиотеки?

2 вариант. 1). Разложите на простые множители число 660, 1550. 2). Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 144 и 216. 3). Докажите, что числа: а). 255 и 240 не взаимно простые; б). 392 и 675 взаимно простые. 4). Выполните действия: 268,8 : 0,56 + 6,44 ∙ 12. 5). Найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби  и сократите эту дробь. 6). Каждый ученик в классе изучает английский или немецкий язык, или оба этих языка. Английский язык изучают 25 человек, немецкий — 27 человек, а тот и другой — 18 человек. Сколько всего учеников в классе?

1 вариант. 1). Разложите на простые множители число 990, 1655. 2). Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 192 и 108. 3). Докажите, что числа: а). 260 и 285 не взаимно простые; б). 301 и 585 взаимно простые. 4). Выполните действия: 355,1 : 0,67 + 0,83 ∙ 15. 5). Найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби  и сократите эту дробь. 6).  В классе 30 учеников. Все они являются читателями школьной и районной библиотек. Из них 20 ребят берут книги в школьной библиотеке,  15 — в районной. Сколько учеников не являются читателями школьной библиотеки?

2 вариант. 1). Разложите на простые множители число 660, 1550. 2). Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 144 и 216. 3). Докажите, что числа: а). 255 и 240 не взаимно простые; б). 392 и 675 взаимно простые. 4). Выполните действия: 268,8 : 0,56 + 6,44 ∙ 12. 5). Найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби  и сократите эту дробь. 6). Каждый ученик в классе изучает английский или немецкий язык, или оба этих языка. Английский язык изучают 25 человек, немецкий — 27 человек, а тот и другой — 18 человек. Сколько всего учеников в классе?

Контрольная работа по математике 6 клаасс тема Делимость | Учебно-методический материал по математике (6 класс) на тему:

Контрольная работа № 2                                                           6 класс

Тема: Делимость чисел

1 вариант

1. Какое из чисел 4, 6, 8 и 21 не является делителем числа 72?

1) 4      2) 6      3) 8      4) 21

2. Какое из чисел 2, 6, 24 и 50 является кратным числа 12?

1) 2      2)6      3)24      4) 50

3. Запишите все однозначные делители числа 24.

4. Запишите все двузначные числа кратные числу 15.

5. Выпишите из чисел 121333, 133050, 411148, 55554, 222229, 121116, 123123 числа:

1) кратные 2        2) кратные 5   3) кратные 9     4) кратные 3

6. Разложите число 546 на простые множители.

7. Найдите наибольший общий делитель чисел:

1) 36 и 63     2) 180 и 312     3)* 27, 72 и 108

8. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

1) 6 и 24     2) 28 и 9     3)* 15, 20 и 24

9)* Докажите что числа 969 и 364 — взаимно простые.

10)** Найдите такое четырехзначное число, которое бы делилось на 9 и на 2. Обоснуйте почему.

Контрольная работа № 2                                                           6 класс

Тема: Делимость чисел

2 вариант

1. Какое из чисел 2, 4, 6 и 34  не является делителем числа 68?

1) 2      2) 4      3) 6      4) 34

2. Какое из чисел 6, 12, 36 и 72 является кратным числа 72?

1) 6      2) 12      3) 36      4) 72

3. Запишите все однозначные делители числа 36.

4. Запишите все двузначные числа кратные числу 15.

5. Выпишите из чисел 7779, 15003, 10154, 10072, 99991, 3024, 414123 числа:

1) кратные 2        2) кратные 5   3) кратные 9     4) кратные 3

6. Разложите число 624 на простые множители.

7. Найдите наибольший общий делитель чисел

1) 24 и 24     2) 280 и 588     3)* 32, 96 и 112

8. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

1) 12 и 22     2) 27 и 8     3)* 12, 20 и 36

9)* Докажите что числа 644 и 495 — взаимно простые.

10)** Найдите такое четырехзначное число, которое бы делилось и на 5 и на 3. Обоснуйте почему.

Контрольная работа № 2                                                           6 класс

Тема: Делимость чисел

3 вариант

1. Какое из чисел 3, 8, 6 и 33  не является делителем числа 96?

1) 3      2) 8      3) 6      4) 33

2. Какое из чисел 5, 9, 15 и 90 является кратным числа 45?

1) 5      2) 9      3) 15      4) 90

3. Запишите все однозначные делители числа 48.

4. Запишите все двузначные числа кратные числу 14.

5. Выпишите из чисел 121334, 233055, 411048, 44448, 22339, 121115, 223223 числа:

1) кратные 2        2) кратные 5   3) кратные 9     4) кратные 3

6. Разложите число 510 на простые множители.

7. Найдите наибольший общий делитель чисел

1) 18 и 72     2) 2168 и 784    3)* 36, 72 и 90

8. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

1) 15 и 20     2) 8 и 35     3)* 10, 16 и 20

9)* Докажите что числа 6715 и 4567 — взаимно простые.

10)** Найдите такое четырехзначное число, которое бы делилось на 5 и на 9. Обоснуйте почему.

Математика 6 Виленкин Попов КР-01 . Контрольная + ОТВЕТЫ

Контрольная 1 по математике 6 класс (УМК Виленкин).

Математика 6 Виленкин Попов КР-01 + ОТВЕТЫ. Цитаты из пособия «Дидактические материалы по математике 6 класс к новому учебнику Н.Я. Виленкина. ФГОС / М.А. Попов — М.: Издательство Экзамен», которое используется в комплекте с учебником Н.Я. Виленкина и др. «Математика 6 класс» издательства «Мнемозина». Цитаты из пособия указаны в учебных целях.

---

 

Контрольная работа по математике КР-01.

Делители и кратные. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2. Признаки делимости на 9 и на 3. Простые и составные числа. Разложение на простые множители. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа. Наименьшее общее кратное

OCR-версия контрольной

ВАРИАНТ 1

1. Напишите все делители числа 28.
2. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 125 и 150; б) 39 и 520.
3. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 13 и 26; б) 2, 5 и 12.
4. Какую цифру следует поставить в записи 26*, чтобы получившееся число делилось одновременно на 2 и на 3?
5. Найдите сумму всех трехзначных чисел, кратных одновременно 112 и 3.
6. Сколько четных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3?

ВАРИАНТ 2

1. Напишите все делители числа 34.
2. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 46 и 69; б) 34 и 680.
3. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 32 и 48; б) 4, 7 и 12.
4. Какую цифру следует поставить в записи 34*, чтобы получившееся число делилось одновременно на 3 и на 5?
5. Найдите сумму всех трехзначных чисел, кратных одновременно 77 и 5.
6. Сколько четных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 4, 5?

ВАРИАНТ 3

1. Напишите все делители числа 42.
2. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 32 и 84; б) 51 и 170.
3. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 24 и 18; б) 3, 8 и 12.
4. Какую цифру следует поставить в записи 28*, чтобы получившееся число делилось одновременно на 2 и 5?
5. Найдите сумму всех трехзначных чисел, кратных одновременно 49 и 9.
6. Сколько нечетных пятизначных чисел можно составить из цифр 3, 5, 6?

 ВАРИАНТ 4

1. Напишите все делители числа 56.
2. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 26 и 130; б) 48 и 66.
3. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 35 и 14; б) 4, 5 и 12.
4. Какую цифру следует поставить в записи числа 3*8, чтобы получившееся число делилось на 9?
5. Найдите наибольшее трехзначное число, кратное одновременно 2, 5 и 17.
6. Сколько нечетных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 3, 4?

ВАРИАНТ 1

1. Напишите все делители числа 28.
2. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 125 и 150; б) 39 и 520.
3. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 13 и 26; б) 2, 5 и 12.
4. Какую цифру следует поставить в записи 26*, чтобы получившееся число делилось одновременно на 2 и на 3?
5. Найдите сумму всех трехзначных чисел, кратных одновременно 112 и 3.
6. Сколько четных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3?

ВАРИАНТ 2

1. Напишите все делители числа 34.
2. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 46 и 69; б) 34 и 680.
3. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 32 и 48; б) 4, 7 и 12.
4. Какую цифру следует поставить в записи 34*, чтобы получившееся число делилось одновременно на 3 и на 5?
5. Найдите сумму всех трехзначных чисел, кратных одновременно 77 и 5.
6. Сколько четных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 4, 5?

ВАРИАНТ 3

1. Напишите все делители числа 42.
2. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 32 и 84; б) 51 и 170.
3. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 24 и 18; б) 3, 8 и 12.
4. Какую цифру следует поставить в записи 28*, чтобы получившееся число делилось одновременно на 2 и 5?
5. Найдите сумму всех трехзначных чисел, кратных одновременно 49 и 9.
6. Сколько нечетных пятизначных чисел можно составить из цифр 3, 5, 6?

 ВАРИАНТ 4

1. Напишите все делители числа 56.
2. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 26 и 130; б) 48 и 66.
3. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 35 и 14; б) 4, 5 и 12.
4. Какую цифру следует поставить в записи числа 3*8, чтобы получившееся число делилось на 9?
5. Найдите наибольшее трехзначное число, кратное одновременно 2, 5 и 17.
6. Сколько нечетных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 3, 4?

 

ОТВЕТЫ на Контрольную работу

 

Вернуться к Списку контрольных работ по математике 6 класс (УМК Виленкин, ДМ Попов)

---

Математика 6 Виленкин Попов КР-01. Цитаты контрольной работы и ответов на нее (ГДЗ) из пособия для учащихся «Дидактические материалы по математике 6 класс к новому учебнику Н.Я. Виленкина ФГОС / М.А. Попов — М.: Издательство Экзамен», которое используется в комплекте с учебником Н.Я. Виленкина и др. «Математика 6 класс» издательства «Мнемозина». Цитаты из пособия указаны в учебных целях.

Математика 6 класс Виленкин К-01

Контрольная работа по математике в 6 классе с ответами «Делители и кратные. Признаки делимости» по УМК Виленкин и др. (4 варианта). Цитаты из пособия «Дидактические материалы по математике 6 класс к учебнику Н.Я. Виленкина и др. «Математика 6 класс» ФГОС / М.А. Попов — М.: Издательство Экзамен» использованы в учебных целях. Проверочные работы ориентированы на школьный учебник Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. Математика 6 класс Виленкин К-01. Ответы на контрольные работы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания.

 

Математика 6 класс (УМК Виленкин)
Контрольная работа № 1 (4 варианта)

Тема контрольной: Делители и кратные. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2. Признаки делимости на 9 и на 3. Простые и составные числа. Разложение на простые множители. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа. Наименьшее общее кратное.

К-01. Вариант 1

1. Напишите все делители числа 28.
2. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 125 и 150; б) 39 и 520.
3. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 13 и 26; б) 2, 5 и 12.
4. Какую цифру следует поставить в записи 26*, чтобы получившееся число делилось одновременно на 2 и на 3?
5. Найдите сумму всех трехзначных чисел, кратных одновременно 112 и 3.
6. Сколько четных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3?

ОТВЕТЫ:

ВАРИАНТ 1.       1. 1, 2, 4, 7, 14, 28.   

    2. а) 25; б) 13.       3. а) 26; б) 60.       4. 4.      5. 1008.      6. 81.

---

 

К-01. Вариант 2

1. Напишите все делители числа 34.
2. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 46 и 69; б) 34 и 680.
3. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 32 и 48; б) 4, 7 и 12.
4. Какую цифру следует поставить в записи 34*, чтобы получившееся число делилось одновременно на 3 и на 5?
5. Найдите сумму всех трехзначных чисел, кратных одновременно 77 и 5.
6. Сколько четных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 4, 5?

ОТВЕТЫ:

ВАРИАНТ 2.

      1. 1, 2, 17, 34.      2. а) 23; б) 34.      3. а) 96; б) 84.      4. 5.      5. 1155.    6. 108.

 

---

 

К-01. Вариант 3

1. Напишите все делители числа 42.
2. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 32 и 84; б) 51 и 170.
3. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 24 и 18; б) 3, 8 и 12.
4. Какую цифру следует поставить в записи 28*, чтобы получившееся число делилось одновременно на 2 и 5?
5. Найдите сумму всех трехзначных чисел, кратных одновременно 49 и 9.
6. Сколько нечетных пятизначных чисел можно составить из цифр 3, 5, 6?

ОТВЕТЫ:

ВАРИАНТ 3.       1. 1, 2, 3, 6, 7,14, 21, 42.      2. а) 4; б) 17.      3. а) 72; б) 24.      4. 0.      5.1 323.      6. 162.

 

---

 

К-01. Вариант 4

1. Напишите все делители числа 56.
2. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 26 и 130; б) 48 и 66.
3. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 35 и 14; б) 4, 5 и 12.
4. Какую цифру следует поставить в записи числа 3*8, чтобы получившееся число делилось на 9?
5. Найдите наибольшее трехзначное число, кратное одновременно 2, 5 и 17.
6. Сколько нечетных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 3, 4?

ОТВЕТЫ:

ВАРИАНТ 4.       1. 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56.      2. а) 26; б) 6.      3. а) 70; б) 60.      4. 7.      5. 850.      6. 54.

 

---

Вы смотрели: Контрольная работа по математике в 6 классе с ответами «Делители и кратные. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2. Признаки делимости на 9 и на 3. Простые и составные числа. Разложение на простые множители. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа.

Наименьшее общее кратное» (4 варианта). Проверочные работы ориентированы на школьный учебник Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. Математика 6 класс Виленкин К-01. Ответы на контрольные работы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания.

Вернуться к Списку контрольных работ по математике в 6 классе (УМК Виленкин и др.)

 

Контрольная работа по теме «Целые числа. Делимость чисел»

Вариант 1	Вариант 2
1. Вместо звездочек поставьте цифры так, чтобы число
1) 261*6 делилось на 4 2) 2314* делилось на 6 3) 24*139 делилось на 11	1) 325*2 делилось на 4 2) 4231* делилось на 6 3) 76*251 делилось на 11
2. С помощью алгоритма Евклида найдите НОД чисел
42628 и 33124	71004 и 154452
3. Какие из следующих высказываний истинны? Номера запишите в порядке возрастания без запятых и других дополнительных символов.
1) Если произведение двух натуральных чисел делится на 5, то хотя бы один из множителей делится на 5. 2) Если ни одно из натуральных чисел не делится на 36, то и их произведение не делится на 36. 3) Если произведение нескольких натуральных чисел делится на 12, то хотя бы один множитель делится на 3 и хотя бы один из множителей четный.	1) Если произведение двух натуральных чисел делится на 36, то хотя бы один из множителей делится на 36. 2) Если ни одно из двух натуральных чисел не делится на 11, то и их произведение не делится на 11. 3) Если произведение нескольких натуральных чисел делится на 12, то среди этих чисел есть четное число, делящееся на 3
4.Остаток от деления числа a на 13 равен 2. Найдите остаток от деления на 13 числа  8a — а2 .	4.Остаток от деления числа a на 11 равен 3. Найдите остаток от деления на 11 числа  8a — а2 .
5. Найдите все значения nЄN, при которых значение функции f(n) является: 1) целым числом, 2) натуральным числом, если
6.Решите задачу
12 человек несут 12 хлебов. Каждый мужчина несет 2 хлеба, каждая женщина – 0. 5 хлеба, а ребенок – по четверти хлеба. Сколько было мужчин, женщин, детей?	Студент за 5 лет учебы сдал 31 экзамен. В каждом следующем году он сдавал больше экзаменов, чем в предыдущем. На пятом курсе экзаменов было втрое больше, чем на первом. Сколько экзаменов было на четвертом курсе?
7.Решите задачу
Из 24 учащихся класса 17 изучают английский язык и 12 – французский. Сколько учащихся изучают и английский, и французский язык?	Из 35 хозяйств деревни в 27 хозяйствах занимаются животноводством и в 33 – растениеводством. Сколько хозяйств в деревне занимаются и тем и другим видом сельскохозяйственной деятельности?
8. Даны два множества точек: А= Изобразите эти множества в координатной плоскости и выделите цветом их пересечение.	8. Даны два множества точек: А= Изобразите эти множества в координатной плоскости и выделите цветом их пересечение.
9. Из выражений выпишите те, которые: 1) делятся на 3 при любом значении nЄZ; 2) не делятся на 3 при любом значении nЄZ; 3) делятся на 3 при некоторых (при каких?) значениях nЄZ.	9. Из выражений выпишите те, которые: 1) делятся на 5 при любом значении nЄZ; 2) не делятся на 5 при любом значении nЄZ; 3) делятся на 5 при некоторых (при каких?) значениях nЄZ.
10. Докажите, что
1)  делится на 57 2) кратно 3	1) делится на 48 2) кратно 4

Тесты на делимость

Кратное 2 и 5

Самые простые тесты на делимость — для 2 и 5 долларов. Число делится на 2 доллара, если его последняя цифра четная, на 5 долларов, если последняя цифра цифра — 0 или 5 долларов.

(В этой статье число всегда будет означать положительное целое число ‘)

Эти тесты относятся к ‘цифрам’ в (обычной) базе $ 10 $. представление числа, так что (например) $ 2645 $ представляет собой число $ (5 \ times 1) + (4 \ times 10) + (6 \ times 100) + (2 \ умножить на 1000) $.Тесты на 2 и 5 долларов работают, потому что остальная часть числа (кроме последней цифры) кратна 10, и поэтому всегда делится на 2 доллара и 5 долларов. Если последняя цифра — это кратно 2 $ (или 5 $), тогда должно быть целое число.

Кратное 4 и 8

Поскольку 100 долларов, 1000 долларов и т. Д. Кратны 4 долларам, отсюда следует (как для $ 2 $), что число делится на $ 4 $, если число представленные двумя последними цифрами, кратны 4 долларам.

Пример: 3728 долларов делятся на 4 доллара, потому что 28 долларов делятся.

Полномочия в размере 10 долларов США, начиная с 1000 долларов США, делятся на 8 долларов США, поэтому из этого следует, что число делится на 8 $, если число представленный его последними тремя цифрами, кратен 8 $.
Пример: 3728 долларов делятся на 8 долларов, потому что 728 долларов делятся.

Примечание: если считаете, что вам нужен калькулятор чтобы решить, делится ли (например) 728 на 8, тогда он будет поможет вам изучить таблицу умножения на 8 и попрактиковаться в некоторых делениях который вы можете проверить на своем калькуляторе, пока не убедитесь, что вы можете разделить на 8, и калькулятор не нужен.

, кратное 3 и 9

Несколько более сложная версия такого рассуждения дает повод к тесту на делимость на 3 $.

Теперь $ 10 $ равняется $ (3 \ times 3) + 1 $, поэтому (например) $ 50 $ равняется $ (15 \ times 3) + 5 $. Чтобы решить, делится ли 57 на 3 доллара, мы можем взять лоты по 15 долларов из 3 долларов в 57 долларов и просто проверьте, $ 5 + 7 $ делится на $ 3 $: так оно и есть, поскольку $ 5 + 7 = 12 $.

Другими словами, мы считаем, что 57 долларов = (кратно $ 3) + (5 + 7) $.

Следовательно, 57 $ кратно 3 $ тогда и только тогда, когда 12 $.

Для 257 долларов США отметим, что 100 долларов равны (33 \ times 3) + 1 $, поэтому 200 долларов = (66 \ раз 3) + 2 доллара. Мы смотрели на 57 $ выше.

Следовательно, 257 долларов = (кратное 3 долларам) + (2 + 5 + 7) долларов.

Еще раз, 257 долларов делятся на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифры кратны 3 долларам.

На самом деле, эта сумма составляет 14 долларов, что кратно 3 долларам, если и только если есть $ 1 + 4 $.

Поскольку 5 долларов не делятся на 3 доллара, то и 257 долларов тоже не делятся.

В общем, 10 долларов = 9 + 1 доллар, 100 долларов = 99 + 1 доллар, 1000 долларов = 999 + 1 доллар и так далее:

каждая «мощность» 10 долларов (например, 10 долларов, 100 долларов, 1000 долларов, 10000 долларов и т. on) всего на 1 доллар больше, чем кратное 3 долларам, поэтому метод для делимость может применяться к числу с любым количеством цифры.

Пример: $ 1997 $ делится на 3 доллара?

Теперь $ 1 + 9 + 9 + 7 = 26 $, а $ 2 + 6 = 8 $, что не делится на 3 $.

Следовательно, 1997 $ не делится на 3 $.

Примечание: в этом примере мы добавили цифры 1997 $, затем мы добавили цифры ответ и так далее, пока мы не пришли к ответу с одним цифра, которую иногда называют «цифровым корнем» исходного числа.Таким образом, мы можем сказать, что число делится на 3 доллара, если и только если его цифровой корень стоит 3, 6 или 9 долларов.

Поскольку 10 долларов = 9 + 1 доллар, 100 долларов = 99 + 1 доллар, 1000 долларов = 999 + 1 доллар и т. Д., Мы можем видеть что каждая степень в 10 долларов всего лишь на 1 доллар больше, чем кратное 9 долларам, и поэтому метод делимости на 3 доллара фактически переходит в 9 долларов. тоже: число делится на 9 долларов тогда и только тогда, когда его цифровой корень составляет 9 $.

Кратное 6 и 12

Число делится на 6 долларов тогда и только тогда, когда оно делится на и 2 доллара, и 3 доллара.

Это вовсе не очевидно: это правда, потому что $ 2 \ times 3 = 6 $ и потому что 2 и 3 взаимно просты, т. е. у них нет общего делителя (кроме $ 1 $).

Пример: 1638 $ четное, а его цифровой корень равен 9 $. Следовательно это кратно 6 $.

Точно так же число делится на 12 долларов тогда и только тогда, когда оно делится как на $ 3 $, так и на $ 4 $ — потому что $ 3 \ times 4 = 12 $, а $ 3 $ и $ 4 $ взаимно просты.

Кратное 11

Тест на 11 долларов представляет собой модифицированную версию теста на 3 доллара и 9 долларов.

Принимая во внимание, что каждая степень в 10 долларов на 1 доллар больше, чем кратное 3 долларам. (или 9 долларов), при кратных 11 долларах возникает чередующаяся картина. То есть 10 долларов на 1 доллар меньше, чем 11 долларов, 100 долларов на 1 доллар больше, чем $ 9 \ times 11 $, $ 1000 $ на 1 доллар меньше, чем $ 91 \ times 11 $, $ 10000 $ равно 1 $ больше 909 $ \ раз 11 $ и тд. Если мы напишем `$ m11 $ ‘как сокращение от «кратного 11 $», мы видим, что нечетные степени 10 $ равны $ m11-1 $, а даже степени $ 10 $ равны $ m11 + 1 $.

Пример:

Делится ли 54637 долларов на 11 долларов?

Решение: Начните с цифры единиц и работайте ‘left’:

$ 54637 = 7 + 3 \ times (m11-1) +6 \ times (m11 + 1) +4 \ times (m11-1) +5 \ times (m11 + 1) $,

, что равняется $ m11 + (7-3 + 6-4 + 5) $ или $ m11 + 11 $.{10} -7 = 282475242 $, чей переменный цифровой корень 2-4 $ + 2-5 + 7-4 + 2-8 + 2 = -6 $. Наше число на 6 долларов меньше, чем кратное $ 11 $, поэтому, если мы разделим его на $ 11 $, остаток будет $ 5 $.

Число делится на 11 долларов, если его чередующийся цифровой корень равен 0 долларов США или 11 долларов США (или любое другое число, кратное 11 долларам США).

INTERLUDE: арифметика остатка

Смотрите также статью Модульные Арифметика.

Какова последняя цифра 34 $ \ умножить на 57 $?

Не производя полного умножения, мы знаем, что это должно быть 8 долларов, потому что $ 8 $ — последняя цифра в $ 4 \ умножить на 7 $.

Но откуда мы знаем?

Потому что $ 34 \ times 57 = (30 \ times 57) + (4 \ times 57) = m10 + (4 \ times 50) + (4 \ умножить на 7) = m10 + 200 + 8 = m10 + 8 $.

В этом примере «последняя цифра» означает «остаток от деления на $ 10 $ ‘. Чтобы найти остаток в произведении (34 и 57 долларов), мы нужно только найти произведение остатков (4 доллара и 7 долларов). Этот правило работает, по сути, по той же причине, для остатков, когда мы разделить на числа, отличные от 10 $.

Когда-то школьников учили особому случаю это называется «изгнанием девяток».Предположим, например, я тренируюсь 256 $ \ умножить на 77 $ долгим умножением, и я получаю ответ 19612 $. Остаток, когда я делю 256 долларов и 77 долларов на 9 долларов, составляет их цифровые корни: 4 доллара и 5 долларов соответственно. Товар от 4 $ и 5 долларов — это 20 долларов, с цифровым корнем (остаток) 2 доллара. Мой ответ $ 19612 $ также должен иметь цифровой корень в $ 2 $; на самом деле у него есть цифровой корень в 1 доллар, так что я, должно быть, ошибся в своем длинном умножение!

Осторожно: выброс девяток может обнаружить неправильный ответ (как указано выше), но он не может гарантировать правильный ответ. За Например, $ 19721 $ имеет цифровой корень $ 2 $, но «тест последней цифры» (что можно было бы назвать изгнанием десятков) показывает, что это не может быть ответ на 256 $ \ раз 77 $.

[Обращение к остаткам — суть «модульной арифметики». Гений К. Ф. Гаусс впервые официально описал это в своей 1801 г. книга Disquitiones Arithmeticae, которую он опубликовал в возрасте из 24].

, кратное 7

Тест на делимость на 7 долларов (или любое другое число, в принципе) может можно разработать с использованием арифметики остатка следующим образом.3 = (m7 + 3) (m7 + 2) = m7 + 6 $]

$ 10000 = m7-1 \ times 3 = m7-3 $ и так далее.

Пример:
Чтобы показать, что 18956 долларов делятся на 7 долларов.

Работая справа налево,

$ 18956 = m7 + [6+ (5 \ times 3) + (9 \ times 2) — (8 \ times 1) — (1 \ times 3)] = $
$ = m7 + 28 = m7 + 4 \ times 7 $

Число `$ a b c d e $ ‘делится на $ 7 $, если $ e + 3d + 2c-b-3a $ равно делится на 7 долларов.
Не очень-то легко запомнить!

[Этот метод, использующий «арифметику остатков», может быть адаптирован к любому делитель.n = m11-1 $ для нечетных степеней $ n $ и $ m11 + 1 $ для четных степеней $ n $.

Тест на 13 долларов будет использовать тот факт, что 10 долларов = m13-3 $, и связать степень $ -3 $ с каждой цифрой.]

Т.Р. Мукундан написал нам, чтобы рассказать нам о другом тесте на делимость на 7 долларов, о которых он подумал. Увидеть примечания для деталей.

Специальные тесты

Проявив некоторую изобретательность, для некоторых целые числа, например:

• 7: «Удвойте единицы и вычтите из время.грамм. $ 1365 \ rightarrow 136- (2 \ раз 5) = 126 \ rightarrow 12- (2 \ раз 6) = 0 $. Если цепочка заканчивается на 0 долларов США или кратном 7 долларам, то исходное число делится на 7 $.
• 11: «Вычтите единицы из десятков», например $ 1364 \ rightarrow 136-4 $ и т. Д.
  Если цепочка заканчивается на $ 0 $, то исходное число делится на 11 $.
• 13: «Добавьте десятки к 4 долларам, умноженным на единицы», например $ 1365 \ rightarrow 136 + 20 $ и т. Д.
  Если цепочка заканчивается кратным 13 $, то исходное число делится на 13 $.
• 19: «Добавьте сотни долларов к сумме 4 доллара, умноженной на остаток», например $ 1311 \ rightarrow 13 + 44 $ и т. Д.
  Если цепочка заканчивается кратным 19 $, то исходное число делится на 19 $.

Вызов:

Вы можете объяснить, почему каждый из этих четырех тестов работает?

По счастливому «совпадению» 1001 доллар — это произведение 7 долларов, 11 долларов и 13 $. Этот факт лежит в основе другого теста на делимость этих три простых числа: см. запись «1001» в книге Дэвида Уэллса » увлекательная книга «Пингвинский словарь любопытного и интересного» Цифры ».

Составные числа

Предположим, что $ m $ составное (т. е. не простое число) и $ m = a b $, где $ a $, $ b $ взаимно просты.

Как отмечалось выше (для $ 6 $, $ 12 $), $ N $ делится на $ m $, если $ N $ делится как на $ a $, так и на $ b $. Это можно расширить до записывая $ N $ как произведение более чем двух факторов, как в следующее:

Пример:

Покажите, что 351 доллар 648 долларов 792 доллара делятся на 396 долларов.

$ 396 = 4 \ times 9 \ times 11 $, и каждая пара этих факторов $ 4 $, $ 9 $, $ 11 $ взаимно просты.

Применение каждого из тестов для 4, 9 и 11 долларов показывает, что 351 доллар $ 648 $ 792 $ делится на каждый из этих трех факторов, и следовательно на $ 396 $.

Окончательная задача: Если цифры 5 $, 6 $, 7 $ и $ 8 $ вставляются случайным образом в $ 3 $ _ $ 1 $ _ $ 4 $ _ $ 0 $ _ $ 92 $ (по одному в каждом пробел), какова вероятность того, что созданное число будет кратно 396 долларам?

Правила делимости

• Мои предпочтения
• Мой список чтения

• Литературные заметки
• Подготовка к тесту
• Учебные пособия

!

• Дом
• Учебные пособия
• Алгебра I
• Правила делимости

Все темы

• Предварительные сведения и основные операции
  • Свойства основных математических операций
  • Викторина: свойства основных математических операций
  • Умножение и деление с использованием нуля
  • Тест: умножение и деление с использованием нуля
  • Степени и экспоненты
  • Предварительные испытания
  • Тест: степени и экспоненты
  • Тест: отборочные испытания
  • Квадратные корни и кубические корни
  • Викторина: квадратные корни и кубические корни
  • Группировка символов
  • Тест: группирование символов
  • Правила делимости
  • Тест: правила делимости
• Числа со знаком, дроби и проценты
  • Викторина: числа со знаком (положительные числа и отрицательные числа)
  • Фракции
  • Тест: дроби
  • Упрощение дробей и сложных дробей
  • Тест: упрощение дробей и сложных дробей
  • Десятичные числа
  • Числа со знаком (положительные и отрицательные числа)
  • Quiz: Decimals
  • процентов
  • Тест: процент
  • Научная запись
  • Тест: научная нотация
• Терминологические наборы и выражения
  • Тест: теория множеств
  • Переменные и алгебраические выражения
  • Викторина: переменные и алгебраические выражения
  • Вычисление выражений
  • Тест: оценка выражений
  • Теория множеств
• Соотношения и пропорции уравнений
  • Тест: пропорции и пропорции
  • Уравнения
  • Тест: уравнения
  • Соотношения и пропорции
• Уравнения с двумя переменными
  • Викторина: решение систем уравнений (одновременных уравнений)

JEE Main, JEE Advanced, CBSE, NEET, IIT, бесплатные учебные пакеты, контрольные работы, консультации, спросите экспертов

Переключить навигацию 0

0

• Железные дороги
• UPSC
• Банковское дело
• SSC
• CLAT
• JEE Main & Advanced
• NEET
• NTSE
• KVPY
• Обучение
• Государственный экзамен депутата
• Государственные экзамены UP
• 12 класс
• 11-й класс
• 10 класс
• 9 класс
• 8-й класс
• 7 класс
• 6-й класс
• 5 класс
• 4 класс
• 3-й класс
• 2-й класс
• 1-й класс
• Другой экзамен
• Дошкольное образование
• Ролики
• Учебные пакеты
• Серия испытаний
• Решения Ncert
• Образцы статей
• Банк вопросов
• Примечания
• Решенные статьи
• Текущие дела

Авторизоваться Подписаться Демо-видео андроид Приложение для Android shopping_cart Покупка курсов android приложение для Android video_library Демо-видео —- человек Моя учетная запись 0 Товаров — 0

• Железные дороги
• UPSC
• Банковское дело
• SSC
• CLAT
• JEE Main & Advanced
• NEET
• NTSE
• KVPY
• Обучение
• Государственный экзамен депутата


• Государственные экзамены UP
• 12-й
• 11-й
• 10-й
• 9-й
• 8-й
• 7-й
• 6-й
• 5-й
• 4-й
• 3-й
• 2-й
• 1-й
• Дошкольное образование

.

No related posts.