Контрольная по геометрии 10 класс скрещивающиеся прямые: Контрольная работа по геометрии на тему «Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение прямых, прямой и плоскости» (10 класс)

Содержание

Контрольная работа по геометрии на тему «Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение прямых, прямой и плоскости» (10 класс)

10 класс Контрольная работа по геометрии № 1

Вариант 1

Часть 1.

Точка Р лежит на прямой МN. Назовите плоскость, которой принадлежит точка Р.

1) АВС 2) DBC 3) DAB 4) DAC

2.


Каким плоскостям принадлежит точка К?

1) АВС и ABD

2) ABD и BCD

3) ACD и ABD

4) ABC и BCD

3.

Выберите верные высказывания:

1) Любые три точки лежат в одной плоскости.

2) Если центр окружности и ее точка лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости.

3) Через три точки, лежащие на прямой, проходит только одна плоскость.

4) Через две пересекающихся прямые проходит плоскость , и притом только одна.

4.

Выберите неверные высказывания:

1) Если три прямые имеют общую точку, то они лежат в одной плоскости.

2) Прямая, пересекающая две стороны треугольника, лежит в плоскости этого треугольника.

3) Две плоскости могут имеет только две общие точки.

4) Три попарно пересекающиеся в разных точках прямые, лежат в одной плоскости.

5.

Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости A1BCи A1AD (рисунок).

1) DC 2) A1D1

3) D1D 4) D1C

6.

Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости DCC1 и A1AD (рисунок).

1) DC 2) A1D1

3) D1D 4) D1C

7.

Точки М, Р, К – середины ребер DA, DB, DC тетраэдра DABC. Назовите прямую, параллельную плоскости FАB.

1) МР 2) РК 3) МК 4) МК и РК

8. В тетраэдре DАВС AM = MD, AN = NB. Плоскости какой грани параллельна прямая MN?

1) DAB 2) DBC 3) DAC 4) ABC

9. Выберите верные высказывания:

1) Параллельные прямые не имеют общих точек.

2) Если прямая параллельна данной плоскости, то она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

3) Если прямая параллельна линии пересечения двух плоскостей и не принадлежит ни одной из них, то она параллельна каждой из этих плоскостей.

4) Если две прямые параллельны данной плоскости, то они параллельны.

10. Точки А, В, С и D – середины ребер прямоугольного

параллелепипеда. Назовите параллельные прямые.

1) a || n 2) a || b

3) b || c 4) a || c


11. Точки А и D – середины ребер параллелепипеда. Выберите верные высказывания:

1) Прямые СD и MN пересекаются.

2) Прямые АВ и MN скрещивающиеся

3) Прямые АВ и СD параллельные.

4) Прямые АВ и MN пересекаются


12. Определите взаимное расположение прямых.

1)

a и bпересекающиеся прямые

2) a и bпараллельные прямые

3) a и bскрещивающиеся прямые

13. Точки А и В – середины ребер параллелепипеда. Определите взаимное расположение прямых.

1) a и bпересекающиеся прямые

2) a и bпараллельные прямые

3) a и bскрещивающиеся прямые

10 класс Контрольная работа по геометрии № 1

Вариант 1

Часть 1.

Точка Р лежит на прямой МN. Назовите плоскость, которой принадлежит точка Р.

1) АВС 2) DBC 3) DAB 4) DAC

2.


Каким плоскостям принадлежит точка F?

1) АВС и ACD

2) ABD и BCD

3) ACD и BCD

4) ABC и BCD

3.

Выберите верные высказывания:

1) Любые четыре точки лежат в одной плоскости.

2) Через прямую и не лежащую на ней точку проходит только одна плоскость.

3) Если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости.

4) Две плоскости могут иметь только одну общую точку.

4.

Выберите неверные высказывания:

1) Две окружности, имеющие общий центр, лежат в одной плоскости .

2) Прямая, проходящая через вершину треугольника, лежит в плоскости этого треугольника.

3) Три вершины треугольника принадлежат одной плоскости.

4) Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.

5.

Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости DCC1 и A1BC (рисунок).

1) DC 2) A1D1

3) D1D 4) D1C

6.

Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости ABCи C1CB (рисунок).

1) BC 2) B1C1

3) A

1B 4) B1B

7.

Точки М, Р, К – середины ребер DA, DB, DC тетраэдра DABC. Назовите прямую, параллельную плоскости FBC.

1) МР 2) РК 3) МК 4) МК и РК

8. Выберите верные высказывания:

1) Две прямые в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются.

2) Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая либо так же ей параллельна, либо лежит в этой плоскости.

3) Существует такая прямая, которая лежит в плоскости и параллельна прямой, пересекающей данную плоскость.

4) Скрещивающиеся прямые не имеют общих точек.

9. Точки А, В, С и D – середины ребер прямоугольного

параллелепипеда. Назовите параллельные прямые.

1) a || n 2) a || b

3) b || c 4) a || c

10. Точки А и D – середины ребер параллелепипеда. Выберите верные высказывания:

1) Прямые СD и MN скрещивающиеся.

2) Прямые АВ и MN лежат в одной плоскости.

4) Прямые АВ и СD скрещивающиеся.

11. Определите взаимное расположение прямых.

1) a и bпересекающиеся прямые

2) a и bпараллельные прямые

3)

a и bскрещивающиеся прямые

12. Определите взаимное расположение прямых.

1) a и bпересекающиеся прямые

2) a и bпараллельные прямые

3) a и bскрещивающиеся прямые

13. В тетраэдре DАВС ВК = КС, DP = PC.

Плоскости какой грани параллельна прямая РК?

1) DAB 2) DBC 3) DAC 4) ABC

10 класс Контрольная работа по геометрии № 1

Вариант 1

Часть 2.

14. Плоскость, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках А

1 и С1 соответственно. Найдите длину отрезка А1С1, если АС = 15 см и АВ : АА1 = 10 : 3.

15. Точка О не лежит в плоскости параллелограмма ABCD. Как расположены прямые АВ и р, проходящая через середины отрезков ОС и ОD? Найдите угол между прямыми р и ВС, если угол BAD равен 1300.

________________________________________________________________________________

Вариант 2

Часть 2.

14. Плоскость, параллельная стороне ВС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и АС в точках В1 и С1 соответственно. Найдите длину отрезка В1С1

, если ВС = 16 см и СС1 : С1А = 3 : 5.

15. Точка О не принадлежит плоскости равнобедренной трапеции KMPT (KT║MP). Как расположены прямые, одна из которых содержит среднюю линию трапеции, а другая – середины отрезков OM и OP? Найдите угол между прямой MK и прямой, содержащей середины отрезков OM и OP, если угол MPT равен 1100.

10 класс Контрольная работа по геометрии № 1

Вариант 1

Часть 2.

14. Плоскость, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках А1 и С1 соответственно. Найдите длину отрезка А1С1, если АС = 15 см и АВ : АА1

 = 10 : 3.

15. Точка О не лежит в плоскости параллелограмма ABCD. Как расположены прямые АВ и р, проходящая через середины отрезков ОС и ОD? Найдите угол между прямыми р и ВС, если угол BAD равен 1300.

________________________________________________________________________________

Вариант 2

Часть 2.

14. Плоскость, параллельная стороне ВС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и АС в точках В1 и С1 соответственно. Найдите длину отрезка В1С1, если ВС = 16 см и СС1 : С1А = 3 : 5.

15. Точка О не принадлежит плоскости равнобедренной трапеции KMPT (KT║MP). Как расположены прямые, одна из которых содержит среднюю линию трапеции, а другая – середины отрезков OM и OP? Найдите угол между прямой и прямой, содержащей середины отрезков OM и OP, если угол MPT равен 110

0.

10 класс Контрольная работа по геометрии № 1

Вариант 1

Часть 2.

14. Плоскость, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках А1 и С1 соответственно. Найдите длину отрезка А1С1, если АС = 15 см и АВ : АА1 = 10 : 3.

15. Точка О не лежит в плоскости параллелограмма ABCD. Как расположены прямые АВ и р, проходящая через середины отрезков ОС и ОD? Найдите угол между прямыми р и ВС, если угол BAD равен 1300.

________________________________________________________________________________

Вариант 2

Часть 2.

14. Плоскость, параллельная стороне ВС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и АС в точках В1 и С1 соответственно. Найдите длину отрезка В1С1, если ВС = 16 см и СС1 : С1А = 3 : 5.

15. Точка О не принадлежит плоскости равнобедренной трапеции KMPT (KT║MP). Как расположены прямые, одна из которых содержит среднюю линию трапеции, а другая – середины отрезков OM и OP? Найдите угол между прямой и прямой, содержащей середины отрезков OM и OP, если угол MPT равен 1100.

______________________________________________________________________________________

Контрольная работа по геометрии для 10 класса по теме «Взаимное расположение прямых в пространстве»

Контрольная работа «Взаимное расположение прямых в пространстве».

Вариант 1.

1.Прямая а, параллельная прямой b, пересекает плоскость α. Прямая с параллельна прямой b, тогда:

а) прямые а и с пересекаются;                          б) прямая с лежит в плоскости α;

в) прямые а и с скрещиваются;                         г) прямые а и с параллельны.

2. Каким может быть взаимное расположение прямых а и b, если через прямую  а можно провести плоскость, параллельную прямой b?

а) скрещиваются или пересекаются;                 

б) скрещиваются или параллельны;                      

в) только скрещиваются;

г) только параллельны.

3. Прямые а и  в лежат в параллельных плоскостях, следовательно эти прямые                                                                                                                                

 а) скрещиваются или пересекаются;          б) скрещиваются или параллельны;                    

 в) только скрещиваются;                             г) только параллельны.

4. Каким может быть взаимное расположение двух прямых, если обе они параллельны одной плоскости?

а) только параллельны;                          б) все случаи взаимного расположения;

в) только скрещиваются;                         г) только пересекаются.

5. Прямая а параллельна плоскости α. Какое из следующих утверждений верно?

 а) Прямая а параллельна любой прямой, лежащей в плоскости α;

 б) прямая а не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости α; 

 в) прямая а скрещивается со всеми прямыми плоскости α;

          г) прямая а имеет общую точку с плоскостью α.

6.Плоскость  проходит через середины боковых сторон АВ и CD трапеции  ABCD – точки  М и N.

а) Докажите, что AD || плоскости.

б) Найдите ВС, если AD = 10 см, MN = 8 см.

7. Прямая MA проходит через вершину квадрата ABCD и не лежит в плоскости  квадрата.

Докажите, что МА и ВС – скрещивающиеся прямые.

8. Точка М не лежит в плоскости трапеции ABCD (AD ||  BC).

а) Докажите, что треугольники МАD и МВС имеют параллельные средние линии.

б) Найдите длины этих средних линий, если AD : BC = 5 : 3, а средняя линия трапеции равна 16 см.

Контрольная работа «Взаимное расположение прямых в пространстве».

Вариант 2

1.Прямая с, параллельная прямой а, пересекает плоскость β. Прямая параллельна прямой а, тогда:

 а) прямые b и с пересекаются;                  б) прямая b лежит в плоскости β;

 в) прямые и с скрещиваются;                  г) прямые и с параллельны.

2.Каким может быть взаимное расположение прямых а и b, если любая плоскость, проходящая через а, не параллельна b?

  а) скрещиваются;         б) параллельны;         в) пересекаются;         г)  определить нельзя.

3.Прямые а  и  в лежат в параллельных плоскостях, следовательно эти прямые                                                                                                                          

 а)скрещиваются или пересекаются;        б) скрещиваются или параллельны;                      

 в) только скрещиваются;                             г) только параллельны.

4.Прямая а параллельна плоскости α. Какое из следующих утверждений верно?

 а) Прямая а параллельна любой прямой, лежащей в плоскости α;

 б) прямая а не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости α;

 в) прямая а скрещивается со всеми прямыми плоскости α; 

 г) прямая а имеет общую точку с плоскостью α.

5.Каким может быть взаимное расположение прямых а и b, если прямая  а       лежит в плоскости α, а прямая b параллельна этой плоскости?

а) Параллельны или пересекаются;

б) скрещиваются или пересекаются;

в) параллельны или скрещиваются;

г) определить нельзя.

6. Плоскость  проходит через основание AD трапеции ABCD. M и N – середины боковых сторон трапеции.

а) Докажите, что MN || плоскости.

б) Найдите AD, если ВС = 4 см, MN = 6 см.

7. Прямая CD проходит через вершину треугольника АВС и не лежит в плоскости АВС. E и F – середины отрезков АВ и ВС.

Докажите, что CD и EF – скрещивающиеся прямые.

8. Треугольник АВС и трапеция KMNP имеют общую среднюю линию EF, причем KP || MN, EF || AC.

а) Докажите, что АС || К Р.

б) Найдите КР и MN, если КР : MN = 3 : 5, AC = 16 см.

Учебно-методический материал по геометрии (10 класс) на тему: Контрольные и самостоятельные работы по геометрии 10 класс (1 четверть)

Контрольная работа по геометрии № 1.                           10 класс

Тема: Аксиомы стереометрии, взаимное расположение прямых и плоскости.

 1 вариант

1. Точка Р лежит на прямой  МN. Назовите плоскость, которой принадлежит точка Р.

1) АВС             2) DBC            

3) DAB             4)  DAC

2. Каким плоскостям принадлежит точка К?

1) АВС и  ABD            

2) ABD и BCD            

3) ACD  и  ABD              

4)  ABC и BCD

3. Выберите верные высказывания:

1) Любые три точки лежат в одной плоскости.

2) Если центр окружности и ее точка лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости.

3) Через три точки, лежащих на прямой, проходит только одна плоскость.

4)  Через две пересекающихся прямые проходит плоскость , и притом только одна

4. Выберите неверные высказывания:

1) Если три прямые имеют общую точку, то они лежат в одной плоскости.

2) Прямая, пересекающая две стороны треугольника, лежит в плоскости этого треугольника.

3) Две плоскости могут имеет только две общие точки.

4)  Три попарно пересекающиеся в разных точках прямые, лежат в одной плоскости.

5. Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости (A1BC)  и  (A1AD).

1) DC                           2) A1D1               

3) D1D                         4)  D1C

6. а) Прямые  a и b пересекаются. Прямая с скрещивающаяся с прямой  а. Могут ли прямые b и c быть параллельными? Ответ обоснуйте.

б) Прямая а параллельна плоскости α, а прямая b лежит в плоскости  α. Определите, могут ли прямые а и  b быть:  а) параллельными    б) пересекаться   в) быть скрещивающимися    

7. Плоскость α проходит через середины боковых сторон АВ и CD трапеции  ABCD – точки  M и N соответственно.

а) докажите, что  AD //  α ;    б) Найдите ВС, если AD = 10 см,  MN = 8 см.

       

8. Прямая МА проходит через вершину квадрата  ABCD и не лежит в плоскости квадрата.

а) Докажите, что  МА и ВС – скрещивающиеся прямые.

б) Найдите угол между прямыми МА и ВС, если угол MAD равен 45 градусов.

9. Две прямые параллельны, если они…..

1) не пересекаются        2) перпендикулярны некоторой прямой    

3) не пересекаются  и лежат в одной плоскости    

10. Какое утверждение неверно?

1) две прямые называются параллельными, если они не имеют общих точек

2) две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны

3) две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.

11. а) Какое утверждение о прямых верное?

1)

2)

3)

б) укажите прямые скрещивающиеся с прямой АС.

Контрольная работа по геометрии № 1.                           10 класс

Тема: Аксиомы стереометрии, взаимное расположение прямых и плоскости.

  1. вариант

1. Точка Р лежит на прямой  МN. Назовите плоскость, которой принадлежит точка Р.

1) АВС             2) DBC             3) DAB              4)  DAC

2. Каким плоскостям принадлежит точка F?

1) АВС и ACD            

2) ABD и BCD            

3) ACD и BCD              

4) ABC и BCD

3. Выберите верные высказывания:

1) Любые четыре точки лежат в одной плоскости.

2) Через прямую и не лежащую на ней точку проходит только одна плоскость.

3) Если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости .

4)  Две плоскости могут иметь только одну общую точку.

4. Выберите неверные высказывания:

1) Две окружности, имеющие общий центр, лежат в одной плоскости .

2) Прямая, проходящая через вершину треугольника, лежит в плоскости этого треугольника.

3) Три вершины треугольника принадлежат одной плоскости.

4)  Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.

5.  Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости DCC1  и  A1BC.

1) DC                           2) A1D1               

3) D1D                         4)  D1C

6. а) Прямые a и b пересекаются. Прямые а и с параллельны. Могут ли прямые b и с, быть скрещивающимися. Ответ обоснуйте.

б) Прямая а параллельна плоскости α, а прямая b пересекает плоскость α. Определите, могут ли прямые а и b быть:  а) параллельными    б) пересекающимися    в) скрещивающимися. Ответ обоснуйте.

7. Плоскость α проходит через основание трапеции ABCD. Точки М и N —  середины боковых сторон трапеции.

а) Докажите, что MN // α

б) найдите  AD, если ВС = 4 см,  MN = 6 см.

8. Прямая СD проходит через вершину С треугольника АВС и не лежит в плоскости (АВС). Точки Е и  F – середины отрезков АВ и ВС.

а)  докажите, что  CD и  EF – скрещивающиеся прямые

б) найдите угол между прямыми  CD и EF, если угол  DCA равен 60 градусов.

9. Нельзя провести плоскость через две прямые, если они….

1) параллельные    2) пересекающиеся     3) скрещивающиеся

10. Какое утверждение неверное?

1) если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость

2) если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то и другая прямая параллельна данной плоскости

3) если две прямые параллельны данной плоскости, то они параллельны друг другу

11. а) Какое утверждение о прямых верное?

1)

2)

3)

б) укажите прямые, скрещивающиеся с прямой А1С1

Самостоятельные работы по геометрии 10 класс

Самостоятельная работа «Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью. Теорема о трёх перпендикулярах». 10 класс Вариант №1.

1. Концы отрезка АВ лежат в двух параллельных плоскостях. Найдите длину отрезка АВ, если он образует со своей проекцией на одну из плоскостей угол 450, а расстояние между данными плоскостями равно дм.

2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите расстояние от данной точки до плоскости, если наклонные имеют равные длины по см, угол между ними равен 600. а угол между их проекциями – прямой.

3. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. ОS – перпендикуляр к плоскости квадрата, SO= см.

а) Докажите равенство углов образуемых прямыми SA, SB, SC, SD с плоскостью квадрата.

б) Найдите эти углы, если периметр АВСD равен 32 см.

Самостоятельная работа «Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью. Теорема о трёх перпендикулярах». 10 класс Вариант №2.

1. Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно 4 дм. Точки А и В лежат в данных плоскостях, а угол между отрезком АВ и его проекцией на одну их плоскостей равен 300. Найдите АВ.

2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите расстояние от данной точки до плоскости, если угол между данными наклонными равен 600, а их проекции равны по 3 см каждая и взаимно перпендикулярны.

3. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. ОS – перпендикуляр к плоскости квадрата, SO= 4см. Точки К,L,M,N –середины сторон квадрата.

а) Докажите равенство углов образуемых прямымиSK, SL, SM, SN с плоскостью квадрата.

б) Найдите эти углы, если площадь АВСD равна 64 см2.

Самостоятельная работа «Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью. Теорема о трёх перпендикулярах». 10 класс Вариант №1.

1. Концы отрезка АВ лежат в двух параллельных плоскостях. Найдите длину отрезка АВ, если он образует со своей проекцией на одну из плоскостей угол 450, а расстояние между данными плоскостями равно дм.

2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите расстояние от данной точки до плоскости, если наклонные имеют равные длины по см, угол между ними равен 600. а угол между их проекциями – прямой.

3. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. ОS – перпендикуляр к плоскости квадрата, SO= см.

а) Докажите равенство углов образуемых прямыми SA, SB, SC, SD с плоскостью квадрата.

б) Найдите эти углы, если периметр АВСD равен 32 см.

Самостоятельная работа «Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью. Теорема о трёх перпендикулярах». 10 класс Вариант №2.

1. Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно 4 дм. Точки А и В лежат в данных плоскостях, а угол между отрезком АВ и его проекцией на одну их плоскостей равен 300. Найдите АВ.

2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите расстояние от данной точки до плоскости, если угол между данными наклонными равен 600, а их проекции равны по 3 см каждая и взаимно перпендикулярны.

3. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. ОS – перпендикуляр к плоскости квадрата, SO= 4см. Точки К,L,M,N –середины сторон квадрата.

а) Докажите равенство углов образуемых прямымиSK, SL, SM, SN с плоскостью квадрата.

б) Найдите эти углы, если площадь АВСD равна 64 см2.

Контрольная работа по геометрии для 10 класса по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей»

10 класс КР. Перпендикулярность прямых и плоскостей. В – 1
І часть (5 баллов)

При выполнении заданий 1 – 5 следует записать только ответ.
Правильное решение каждого задания оценивается
одним баллом

К плоскости ромба АВСD проведен перпендикуляр МА (см. рис).

  1. Какой из прямых (DМ, ВМ, ОМ)
    перпендикулярна прямая DВ?
    Ответ: _____________________

  2. Какой из плоскостей (DАМ, DАВ, АВМ)
    перпендикулярна плоскость МАО?
    Ответ: _____________________

  3. Чему равна проекция наклонной на плоскость, если наклонная, длина которой равна 4 см, составляет с плоскостью угол 30°?

Ответ: _____________________

  1. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 2 см, 4 см, 4 см.
    Ответ: _____________________

  2. В кубе АВСDА1В1С1D1 найдите угол между плоскостями АВС и СDА1.

Ответ: _____________________


ІІ часть (4 балла)
Решение заданий 6 – 7 может иметь краткую запись без обоснования. Правильное решение каждого задания оценивается двумя баллами.

  1. В тетраэдре DАВС все ребра равны, точка К – середина ребра АС. Докажите, что КВ – линейный угол двугранного угла DАСВ.

  2. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены
    перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите
    длину отрезка АВ, если АС = 4 см, ВD = 5 см, СD = 2 см.


ІІІ часть (3 балла)

Решение 8 задания должно иметь обоснование, необходимо записать
последовательные логические действия и объяснения. Правильное решение задания оценивается
тремя баллами.

  1. Вершина С равностороннего треугольника АВС со стороной 8 см удалена от плоскости на расстояние 2 см. Вычислить угол между плоскостями треугольника АВС и , если сторона АВ лежит в плоскости .

10 класс КР. Перпендикулярность прямых и плоскостей. В – 2
І часть (5 баллов)

При выполнении заданий 1 – 5 следует записать только ответ.
Правильное решение каждого задания оценивается
одним баллом

К плоскости прямоугольного треугольника АВС (С = 90°) проведен
перпендикуляр МА (см. рис).

  1. Какой из прямых (АВ, МВ, МС)
    перпендикулярна прямая ВС?
    Ответ: _____________________

  2. Какой из плоскостей (АВС, МАВ, МВС)
    перпендикулярна плоскость МАС?
    Ответ: _____________________

  3. Чему равна проекция наклонной на плоскость, если наклонная, длина которой равна 2 см, составляет с плоскостью угол 45°?

Ответ: _____________________

  1. Найдите диагональ куба, ребро которого равно 2 см.

Ответ: _____________________

  1. В кубе АВСDА1В1С1D1 найдите угол между плоскостями АВС и СDD1.
    Ответ: _____________________

ІІ часть (4 балла)
Решение заданий 6 – 7 может иметь краткую запись без обоснования. Правильное решение каждого задания оценивается двумя баллами.

  1. В тетраэдре DАВС все ребра равны, точка Р – середина ребра АВ. Докажите, что DРС – линейный угол двугранного угла DАВС.

  2. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка СD, если АС = 6 см, ВD = 7 см,
    АВ = см.

ІІІ часть (3 балла)

Решение 8 задания должно иметь обоснование, необходимо записать
последовательные логические действия и объяснения. Правильное решение задания оценивается
тремя баллами.

  1. Сторона АС равностороннего треугольника АВС лежит в плоскости , а основание перпендикуляра, проведенного из точки В к плоскости , удалено от стороны АС на 6 см. Вычислить угол между плоскостями треугольника АВС и, если АВ = 8 см.

Учебно-методический материал по геометрии (10 класс) на тему: Контрольная работа по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей». Геометрия. 10 класс

Контрольная работа по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей». Геометрия. 10 класс

Вариант 1.

1. Какое из следующих утверждений верно?

а) Две прямые перпендикулярные третьей перпендикулярны между собой;

б) прямая называется перпендикулярной  плоскости, если она перпендикулярна хотя бы одной прямой, лежащей в этой плоскости;

в)  две прямые, перпендикулярные к плоскости, перпендикулярны между собой;

г) прямая называется перпендикулярной  плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. 

Ответ обосновать.

2.  Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 4см (рис. 2). Найдите расстояние от точки M до плоскости ABC, если AB = 6см.

             Рис.2                           М

                     

                            А                                               В

                                                О

                                             С

3.  Плоскости    и    пересекаются  по прямой с. Точка, лежащая в плоскости ,  удалена от плоскости   на  см, а от прямой с – на 4см.  Найти угол  между    и  .

 

4.  АВСДА1В1С1Д1   прямоугольный параллелепипед в основании которого лежит квадрат АВСД .  Боковая грань АА1В1В  и диагональное сечение        ВВ1 Д 1Д  образуют угол равный   а) )  300;  б)  450;  в)  600;  г)  1350.         

Ответ обосновать.

Вариант 2.

1.  Две скрещивающиеся прямые взаимно перпендикулярны. Чему равен угол между ними?

            а) 900;  б)  00;  в)  1800;  г)  450. 

Ответ обосновать.

  1. Отрезок КА – перпендикуляр к плоскости квадрата АВСД, площадь которого  36 см 2 (рис. 3). Найти расстояние между прямыми КА и ВС.

а)  6см;  б)  12 см;  в)  определить нельзя, не хватает данных;  г)  6 см.

                                   К                                                              Рис. 3

                             

                               А                                 В

                     Д                                   С

  1. Прямая ДА перпендикулярна сторонам АВ и АС треугольника АВС и не лежит в его плоскости (рис. 1). Перпендикулярными являются плоскости  

 а)  ДАС и АВС;  б)  ДАВ и ДВС;  в)  ДАС и ДВС;   г)  ДВС и АВС.

                                                               Д           Рис. 1

                        С                                     А

                                  В

Ответ обосновать.

4.  Через точку А, удаленную от плоскости α на 4см, проходит прямая, пересекающая плоскость α в точке В. Найдите угол между прямой АВ и плоскостью α, если длина отрезка АВ равна 6см. 

     а) arccos2/3;     б) arcsin2/3;     в) arcsin3/2;    г) arctg2/3.

Вариант 3.

1.  Через вершину квадрата  ABCD проведена прямая  ВM, перпендикулярная его плоскости (рис.1). Какое из следующих утверждений неверно?

а)  MD CD;   б)  MBBC;  в)  MААД;  г)   MВAC .                                               

                                М                                                            Рис. 1

                           

                                 В                                         С

                   

                     А                                         Д

Ответ обосновать.

2.  Дан правильный треугольник ABC со стороной, равной 3. Точка O – центр треугольника,  OM – перпендикуляр к его плоскости (рис.2), OM = 1. Найдите расстояния от точки M до вершин треугольника.                                                         

                                   М                                        Рис. 2

                   А                                                 В

                                        О

                                         С

3.  Равнобедренные треугольники АВС и АДС имеют общее основание АС, причем ВД  АВС. ВМ – медиана треугольника АВС  (рис. 2). Линейным углом для двугранного угла ДАСВ   является угол   а)  ДАВ;  б)  ДСВ;  в)  ДМС; г)  ДАС.

                                                                  Д             Рис.2

           

               А                                                   В

                        М    

                                   С

4.  Через точку А, удаленную от плоскости α на 3см, проходит прямая, пересекающая плоскость α в точке В.  Угол между прямой АВ и плоскостью α равен  30 0. Найдите длину отрезка АВ. 

Вариант 4.

1.  Прямая m перпендикулярна к прямым a и b, лежащим в плоскости α, но m не перпендикулярна к плоскости α. Выясните взаимное расположение прямых a и b.

а) параллельны;   б) пересекаются;   в) скрещиваются;   г) определить нельзя.

Ответ обосновать.

2.  Отрезок AB, равный 5см, не имеет общих точек с плоскостью α. Прямые  AC и  BD, перпендикулярные к этой плоскости, пересекают ее в точках C и  D соответственно. Найдите BD, если CD = 3см,  AC = 17см,   BD .

3.  Через вершину А параллелограмма АВСД проведён к его плоскости перпендикуляр АМ (рис. 4). Линейным углом между плоскостями МАД и МАВ является угол    а)  МДА;  б)  ДАВ;  в)  МВА;  г)  МАД.

                          М                    Рис. 4

 

                         А                                               В

                                          Д                                     С

4. АВСДА1В1С1Д1  — куб.  Тангенс угла  образованного основанием АВСД и плоскостью АВ1С (рис. 7) равен 

   а)  ;   б)  ;  в)  ;  г)  .

                                      Рис. 7

                             В1                                      С1

                                         А1                              Д1

                                          В                                   С

                                             О

                     А                               Д

Вариант 5.

1.  В тетраэдре DABC   AD  AC, AD  AB, DC  BC. Тогда прямая BC и плоскость ADC: а) параллельны;   б) прямая ВС  лежит в плоскости;    в) прямая ВС пересекает плоскость, но не перпендикулярна к плоскости;     г) перпендикулярны.  

Ответ обосновать.

2.  Прямая CD перпендикулярна к плоскости остроугольного треугольника ABC, у которого CK – высота  (рис. 5). Найдите расстояние от точки A до плоскости CDK, если DA = 8 см, а DAK = 450.

                       Д              Рис. 5

                 С                                                   А

                               В              К

3.  Расстояние от некоторой точки до плоскости квадрата равно 4см, а до каждой из его вершин – 6см. Найдите диагональ квадрата.

4.  КАВС –  пирамида , КС  АВС. Основание АВС – равнобедренный треугольник, АС = ВС.  СМ – медиана  этого треугольника ( рис. 9).  Линейным углом для двугранного  КАВС является угол

а)  КАС;  б)  КМС;  в)  МКС;  г)  КВС.

                                                                      К               Рис. 9

                          А                                                      С

                               М

                                                В

Ответ обосновать.

Вариант 6.

1. В треугольнике АВС . Точка Д не лежит в плоскости АВС, причем ДСАС (рис. 3).   Плоскости  ДСВ  перпендикулярна прямая а)  АВ;   б)  АС;  в)  АД;  г)определить нельзя. Ответ обосновать.

                               Д                                 Рис. 3  

                       С                                                  В

                                   А

 2.  Отрезок НВ перпендикулярен плоскости квадрата АВСД  (рис. 4). Угол между прямой НД и плоскостью квадрата АВСД это угол   а) НВД;  б) НДС;  в) НДВ; г) НДА.  Ответ обосновать.

                         Н             Рис. 4

                         В                                           С

                 А                                               Д

3.  Катет АВ прямоугольного треугольника АВС  у  которого  А = 900  лежит в плоскости  .  СН (рис.6) .  Линейным  углом  двугранного, образованного плоскостью  и  плоскостью АВС, является угол                                                                                                      

   а)  САН;  б)  СВН;  в)  САВ;  г)  СВА.                  С                                        Рис. 6

                                                                                       

                                     А                                                 Н

                                                     

                                                           В                    

Ответ обосновать.

4.  АВСДА1В1С1Д1  — куб .  Боковая грань АА1В1В  и диагональное сечение   ВВ1 Д 1Д  образуют угол равный   а)  300;  б)  450;  в)  600;  г)  1350. 

Ответ обосновать.

 Вариант 7.

1  Точка К не лежит в плоскости ромба АВСД. Известно, что  КВАВ КВВД (рис. 4). Плоскости КВД перпендикулярна прямая      а)   АВ;  б)  АД;   в)  АС;  г)  АК. Ответ обосновать.

                                               К                                                Рис. 4

                                         

                                           В                                       С

                          А                                 Д

2. Из точки М к плоскости α проведены две наклонные, длины которых 20см и 15см. Их проекции на эту плоскость относятся как 16 : 9 (рис. 1). Найдите расстояние от точки М до плоскости α.

                                                                                     Рис. 1

                                                                                    М

                                                             

                                                                                         О                             А

                                                            С                                                

3.  Через вершину В  треугольника АВС  проведён к его плоскости перпендикуляр ВК (рис. 4). Линейным углом между плоскостями СКВ и АКВ является угол            а)КСА;  б)  КАС ;  в)  СВА;  г)  ВСА.  Ответ обосновать.

                                                                            К            Рис. 4

                                                               

                            С                                                В

                                   

                                                А

4.  Через точку А, удаленную от плоскости α на 3см, проходит прямая, пересекающая плоскость α в точке В.  Угол между прямой АВ и плоскостью α равен  30 0. Найдите длину отрезка АВ. 

Вариант 8.

1.  Какое из следующих утверждений неверно?

а) Если прямая перпендикулярна к двум прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости;

б)  если прямая перпендикулярна к плоскости, то она ее пересекает;

в)  если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны;

г)  если две прямые перпендикулярны к плоскости ,то они параллельны; 

2.Из точки М к плоскости α проведены две наклонные (рис. 1), длины которых  относятся как 13 : 15 . Их проекции на эту плоскость равны  10 см и 18 см . Найдите расстояние от точки М до плоскости α.

                                                                   М                             Рис. 1

                                                           

                                                                     О                        К

                                               Д                            

3. ДАВС – треугольная пирамида, АЕ  ДС и ВЕ  ДС (рис. 8). Линейным углом для двугранного ВДСА является угол а)  АДВ;  б)  АСВ;  в)  ЕАВ;  г)  АЕС. Ответ обосновать.

                                                         Д                 Рис. 8

                                                                    Е

                             А                                               С

                                           В

                                                             

4.  АВСДА1В1С1Д1   прямоугольный параллелепипед в основании которого лежит квадрат АВСД .  Боковая грань АА1В1В  и диагональное сечение        ВВ1 Д 1Д  образуют угол равный   а) )  300;  б)  450;  в)  600;  г)  1350.         

Ответ обосновать.

Вариант 9.

1.  Если одна из двух скрещивающихся прямых перпендикулярна к плоскости, то будет ли  перпендикулярна к этой плоскости вторая прямая?  а) Да; б) да, но при определенных условиях; в) определить нельзя;  г) нет. Ответ обосновать.

2.  ABCD – квадрат со стороной, равной  , O – точка пересечения его диагоналей, OE – перпендикуляр к плоскости ABC, OE =. Найдите расстояние от точки  E до вершин квадрата.                                                                

                                        Е                                               Рис. 1

                             В                                    С

                                   

                                        О  

                   А                               Д

3.  Равнобедренные треугольники АВС и АВД имеют общее основание АВ, причем СД  АВС. СК – медиана треугольника АВС  (рис. 2). Линейным углом для двугранного угла САВД   является угол   а)  ДАВ;  б)  ДВС;  в)  ДАС; г)  СКД.

   Ответ обосновать.                               С

                    А                                                  Д

                            К

                                              В

4. АВСДА1В1С1Д1  — куб.  Тангенс угла  образованного основанием АВСД и плоскостью ВС1Д (рис. 7) равен     а)  ;   б)  ;  в)  ;  г)  . Ответ обосновать.

                                      Рис. 7

                              В1                                      С1

                                  А1                                                    Д1

                              В                                       С

                                              О

                      А                                    Д

Вариант 10.

1.  Через вершину квадрата  ABCD проведена прямая  ВК, перпендикулярная его плоскости (рис.2). Какое из следующих утверждений неверно? а)  КD CD;  

б)  КBBC;  в)  КААД;  г)   КВAC ..                                     К               Рис. 2

Ответ обосновать

                                                                                                       В                                   С

                                                                                         А                                           Д

2.  Расстояние от точки К до каждой из вершин квадрата ABCD равно 5см  (рис.2) Найдите расстояние от точки K до плоскости ABC, если  AB =3см.

                                     К               Рис. 2

               

                         А                                     В

                                       Н

                 С                                     Д

3.В треугольнике АВС С = 900 ,  МО // ВС.  ДО – перпендикуляр к плоскости АВС  (рис. 5).  Линейным углом между плоскостями АВС и ДАС является угол       а)  ДАО;  б)  ДМО;  в)  ДСО;  г)  ДАС. Ответ обосновать.

                                                       Д                Рис.5

Проверочная работа «Скрещивающиеся прямые»

Вариант № 1.

1. Точки А,В,С,Д не лежат в одной плоскости. Среди прямых, проходящих через любые две из данных точек, укажите прямую, которая является скрещивающейся с прямой АВ. Ответ обоснуйте.

2. Прямые a и b — скрещивающиеся. Известно, что прямая a лежит в плоскости . Определите, может ли прямая b :

а) лежать в плоскости ;

б) быть параллельной плоскости ;

в) пересекать плоскость .

Ответы подтвердите чертежами и обоснованиями.

3.Дан куб АВСДА1В1С1Д1. Укажите три прямые, проходящие через точку Д и скрещивающиеся с прямой АВ1.

Вариант № 2.

1. Точки А,В,С,Д не лежат в одной плоскости. Среди прямых, проходящих через любые две из данных точек, укажите прямую, которая является скрещивающейся с прямой ВС. Ответ обоснуйте.

2. Прямые a и b — скрещивающиеся. Известно, что прямая a параллельна плоскости . Определите, может ли прямая b :

а) лежать в плоскости ;

б) быть параллельной плоскости ;

в) пересекать плоскость .

Ответы подтвердите чертежами и обоснованиями.

3.Дан куб АВСДА1В1С1Д1. Укажите три прямые, проходящие через точку В1 и скрещивающиеся с прямой А1Д.

Вариант № 1.

1. Точки А,В,С,Д не лежат в одной плоскости. Среди прямых, проходящих через любые две из данных точек, укажите прямую, которая является скрещивающейся с прямой АВ. Ответ обоснуйте.

2. Прямые a и b — скрещивающиеся. Известно, что прямая a лежит в плоскости . Определите, может ли прямая b :

а) лежать в плоскости ;

б) быть параллельной плоскости ;

в) пересекать плоскость .

Ответы подтвердите чертежами и обоснованиями.

3.Дан куб АВСДА1В1С1Д1. Укажите три прямые, проходящие через точку Д и скрещивающиеся с прямой АВ1.

Вариант № 2.

1. Точки А,В,С,Д не лежат в одной плоскости. Среди прямых, проходящих через любые две из данных точек, укажите прямую, которая является скрещивающейся с прямой ВС. Ответ обоснуйте.

2. Прямые a и b — скрещивающиеся. Известно, что прямая a параллельна плоскости . Определите, может ли прямая b :

а) лежать в плоскости ;

б) быть параллельной плоскости ;

в) пересекать плоскость .

Ответы подтвердите чертежами и обоснованиями.

3.Дан куб АВСДА1В1С1Д1. Укажите три прямые, проходящие через точку В1 и скрещивающиеся с прямой А1Д.

Вариант № 1.

1. Точки А,В,С,Д не лежат в одной плоскости. Среди прямых, проходящих через любые две из данных точек, укажите прямую, которая является скрещивающейся с прямой АВ. Ответ обоснуйте.

2. Прямые a и b — скрещивающиеся. Известно, что прямая a лежит в плоскости . Определите, может ли прямая b :

а) лежать в плоскости ;

б) быть параллельной плоскости ;

в) пересекать плоскость .

Ответы подтвердите чертежами и обоснованиями.

3.Дан куб АВСДА1В1С1Д1. Укажите три прямые, проходящие через точку Д и скрещивающиеся с прямой АВ1.

Вариант № 2.

1. Точки А,В,С,Д не лежат в одной плоскости. Среди прямых, проходящих через любые две из данных точек, укажите прямую, которая является скрещивающейся с прямой ВС. Ответ обоснуйте.

2. Прямые a и b — скрещивающиеся. Известно, что прямая a параллельна плоскости . Определите, может ли прямая b :

а) лежать в плоскости ;

б) быть параллельной плоскости ;

в) пересекать плоскость .

Ответы подтвердите чертежами и обоснованиями.

3.Дан куб АВСДА1В1С1Д1. Укажите три прямые, проходящие через точку В1 и скрещивающиеся с прямой А1Д.

пересекающихся линий. (Координатная геометрия) — Math Open Reference

Пересекающиеся линии. (Координатная геометрия) — Открытый справочник по математике Смысл пересечение из двух непараллельный линии можно найти из
уравнения двух линий.

Попробуй это Перетащите любую из 4 точек ниже, чтобы переместить линии. Отметьте, где они пересекаются.

Чтобы найти пересечение двух прямых:

  1. Для начала нам нужны уравнения двух линий.Если у вас нет уравнений, см. Уравнение прямой — форма наклона / пересечения а также Уравнение линии — форма точки / уклона (Если одна из линий вертикальная, см. Раздел ниже).
  2. Тогда, поскольку в точке пересечения два уравнения будут иметь одинаковые значения x и y, мы полагаем два уравнения равными друг другу. Это дает уравнение, которое мы можем решить относительно x
  3. Мы подставляем это значение x в одно из линейных уравнений (неважно какое) и решаем его относительно y.
Это дает нам координаты x и y перекрестка.

Пример

Так, например, если у нас есть две линии, которые имеют следующие уравнения (в форме пересечения наклона):

г = 3х-3

у = 2,3x + 4

В точке пересечения они оба будут иметь одинаковое значение координаты y, поэтому мы устанавливаем уравнения равными друг другу:

3x-3 = 2,3x + 4

Это дает нам уравнение с одним неизвестным ( x ), которое мы можем решить: Измените порядок, чтобы осталось x терминов

3х — 2.3х = 4 + 3

Объединение похожих терминов

0,7x = 7

Давать

х = 10

Чтобы найти y, просто установите x равным 10 в уравнении любой строки и решите относительно y: Уравнение для линии (подойдет любая линия)

у = 3х — 3

Установите x равным 10

г = 30 — 3

Давать

г = 27

Теперь у нас есть как x, так и y, поэтому точка пересечения равна (10, 27)

Какую форму уравнения использовать?

Напомним, что линии можно описать форма уклона / пересечения а также форма точки / наклона уравнения.Поиск пересечения работает одинаково для обоих. Просто установите уравнения, как указано выше. Например, если у вас есть два уравнения в форме точечного уклона:

у = 3 (х-3) + 9

у = 2,1 (х + 2) — 4

просто установите их равными:

3 (х-3) + 9 = 2,1 (х + 2) — 4

и действуйте, как указано выше, решая для x, а затем подставляя это значение в любое уравнение, чтобы найти y.

Два уравнения не обязательно должны быть в одной и той же форме. Просто приравняйте их друг к другу и действуйте обычным образом.

Когда одна линия вертикальная

Когда одна из линий вертикальна, у нее нет определенного наклона, поэтому ее уравнение будет выглядеть примерно как x = 12. См. Раздел Вертикальные линии (координатная геометрия). Мы находим пересечение несколько иначе. Предположим, у нас есть прямые, уравнения которых
y = 3x-3 Линия с уклоном вверх и вправо
х = 12 Вертикальная линия

На вертикальной линии все точки на ней имеют x-координату 12 (определение вертикальной линии), поэтому мы просто устанавливаем x равным 12 в первом уравнении и решаем его относительно y.
Уравнение для линии:

у = 3х — 3

Установите x равным 12 Используя уравнение второй (вертикальной) линии

г = 36 — 3

Давать

г = 33


Итак, точка пересечения находится в (12,33).

Если , обе линии вертикальные, они параллельны и не пересекаются (см. Ниже).

Когда они параллельны

Когда две прямые параллельны, они нигде не пересекаются. Если вы попытаетесь найти пересечение, уравнения будут абсурдными.Например, строки y = 3x + 4 и y = 3x + 8 параллельны, потому что их наклоны (3) равны. См. Параллельные линии (координатная геометрия). Если вы попробуете описанный выше процесс, вы напишете 3х + 4 = 3х + 8. Очевидная невозможность.

Сегменты и лучи могут вообще не пересекаться

Рис 1. Сегменты не пересекаются

В случае двух непараллельных линий пересечение всегда будет где-то на линиях. Но в случае сегменты линии или лучи которые имеют ограниченную длину, они могут не пересекаться.

На рис. 1 мы видим два отрезка, которые не перекрываются и поэтому не имеют точки пересечения. Однако если вы примените к ним описанный выше метод, вы найдете точку, где они пересеклись бы, если бы они были достаточно длинными.

Что попробовать

  1. На приведенной выше диаграмме нажмите «сброс».
  2. Перетащите любую из точек A, B, C, D и обратите внимание на место пересечения линий.
  3. Перетащите точку, чтобы получить две параллельные линии, и обратите внимание, что они не пересекаются.
  4. Нажмите «скрыть детали» и «показать координаты». Переместите точки в любое новое место, где перекресток еще виден. Рассчитайте наклоны линий и точки пересечения. Нажмите «Показать подробности», чтобы проверить результат.

Ограничения

Для большей ясности в приведенном выше апплете координаты округлены до целых чисел, а длины округлены до одного десятичного знака. Это может привести к небольшому отклонению расчетов.

Подробнее см. Учебные заметки

Прочие темы о координатной геометрии

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

.Координатная геометрия

— примечания к редакции прямых линий для IIT JEE и технических экзаменов


 

Длина PQ = √ (x 2 — x 1 ) 2 + (y 2 — y 1 ) 2

1.Для двух точек A (x 1 , y 1 ) и B (x 2 , y 2 ) координаты точки, разделяющей отрезок AB в соотношении m: n, равны [(nx 1 + mx 2 ) / (m + n), (ny 1 + my 2 ) / (m + n)] (Для внутреннего подразделения)

2. Отношение m: n также можно записать как m / n или λ: 1. Таким образом, любая точка на линии, соединяющей A и B, будет P ((λx 2 + x 1 ) / (λ + 1), (λy 2 + y 1 ) / (λ + 1)).

  • Центроид G треугольника ABC делит медианное значение AD в соотношении 2: 1.
  • Если вершины треугольника ABC равны A (x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 ), C (x 3 , y 3 ), то координаты центра задаются как x = ax 1 + bx 2 + cx 3 ) / (a ​​+ b + c), y = (ay 1 + by 2 + cy 3 ) / (а + Ь + с).

  • Эксцентр треугольника — это точка совпадения биссектрис двух внешних и третьего внутреннего угла.Следовательно, треугольник имеет три выступа, по одному напротив каждой его вершины.

  • Рассмотрим треугольник ABC с вершинами A (x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 ) и C (x 3 , y 3 ). Как показано на рисунке ниже, I 1 , I 2 и I 3 являются центрами бывших окружностей напротив вершин A, B и C соответственно.

  • Координаты I 1 , I 2 и I 3 задаются как

I 1 (x, y) = (–ax 1 + bx 2 + cx 3 ) / (a ​​+ b + c), (–ay 1 + by 2 + cy 3 ) / (–a + b + c)

I 2 (x, y) = (ax 1 –bx 2 + cx 3 / a – b + c, ay 1 –by 2 + cy 3 / a– б + в)

I 3 (x, y) = (ax 1 + bx 2 –cx 3 / a + b – c, ay 1 + by 2 –cy 3 / a + б – в)

  • Пусть (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) и (x 3 , y 3 ) соответственно будут координатами вершин A, B, C треугольника ABC.Тогда площадь треугольника ABC определяется модулем
  • = 1/2 | [x 1 (y 2 — y 3 ) + x 2 (y 3 + y 1 ) + x 3 (y 1 — y 2 )] |
  • Площадь многоугольника n сторон:

    1. Нанесите точки и проверьте их фактический порядок.

    2.LetA 1 (x 1 , y 1 ), A 2 (x 2 , y 2 ),….…, A n (x n , y n ) — вершины многоугольника, взятые против часовой стрелки.

    3. Площадь многоугольника равна половине значения

    .

  • Площадь треугольника также можно выразить как

  • Площадь треугольника положительна, когда вершины взяты против часовой стрелки, и отрицательна, когда вершины взяты по часовой стрелке.

  • Площадь треугольника, образованного тремя коллинеарными точками P 1 , P 2 и P 3 , равна нулю, т.е. их определитель должен исчезнуть.

  • Если θ — это угол, под которым прямая линия наклонена к положительному направлению оси x, то m = tan θ, (0 <θ <180 o ) — это наклон прямой.

  • Уравнения прямой в различных формах:

1.Угол пересечения от: y = mx + c, где m = наклон линии, а c — точка пересечения оси y

2. Форма пересечения: x / a + y / b = 1, где точка пересечения x = a и точка пересечения y = b

3. Форма точки наклона: y — y 1 = m (x — x 1 ), где (x 1 , y 1 ) — точка на прямой, а m — наклон .

4. Форма двух точек: Рассмотрим две точки A (x 1 , y 1 ) и B (x 2 , y 2 ) в координатной плоскости.Если любая точка P (x, y) лежит на прямой, соединяющей A и b, то m = tan θ = (y – y 1 ) / (x – x 1 ) = (y 2 — y 1 ) / (х 2 — х 1 )

5. Параметрическая форма: Рассмотрим прямую PQ с точками Q (x 1 , y 1 ). Тогда Координаты любых точек P (x, y) равны

x = x 1 + r cos θ и y = y 1 + r sin θ

Тогда уравнение прямой получается как

⇒ x – x 1 / cos θ = y – y 1 / sin θ = r

6.Нормальная форма: Рассмотрим линию l, как показано на рисунке ниже


A и B — точки пересечения прямой l. Таким образом, точки пересечения по осям x и y равны p / cos α и p / sin α соответственно.
Уравнение прямой l: x cos α / p + y sin α / p = 1

⇒ x cos α + y sin α = p, где p — расстояние по перпендикуляру от начала координат.

  • Биссектриса угла двух прямых — это геометрическое место точки, которая равноудалена (имеет одинаковое перпендикулярное расстояние) от двух прямых.

  • Даны две строки L 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и L 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, если точка R (p, q) лежит на биссектрисе, то длина перпендикуляра от P, чтобы обе прямые были равны, и, следовательно, уравнение биссектрисы угла имеет вид (A 1 x + B 1 y + C 1 ) / √A 1 2 + B 1 2 = + (A 2 x + B 2 y + C 2 ) / √A 2 2 + B 2 2 .

  • Вышеприведенное уравнение дает две биссектрисы, одну биссектрису с острым углом и другую биссектрису с тупым углом.

  • Как определить конкретную биссектрису:

1. Рассмотрим две строки L 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и L 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0,

2. Чтобы определить биссектрису, которая находится в том же относительном положении по отношению к линиям, что и данная точка S (x 3 , y 3 ), сделайте знаки выражений A 2 x 3 + B 1 y 3 + C 1 и A 2 x 3 + B 2 y 3 + C 2 идентично.(скажем положительно)

3. Теперь (A 1 x + B 1 y + C 1 ) / √A 1 2 + B 1 2 = + (A 2 x + B 2 y + C 2 ) / √A 2 2 + B 2 2 дает биссектрису к этой точке.

4. Если знаки разные, умножьте одно из уравнений на «–1» повсюду, чтобы получить положительный знак. Тогда приведенное выше уравнение с измененными уравнениями линий даст требуемую биссектрису.

5. Если (x 3 , y 3 ) ≡ (0, 0) и A 2 A 1 + B 2 B 1 > 0, то биссектриса к началу координат тупая. биссектриса угла.

  • Как определить, является ли биссектриса острым или тупым углом:

1. Сначала определите обе биссектрисы.

2. Затем вычислите угол между одним из них и исходной линией.

3. Уравнение геометрического места — это отношение, которое существует между координатами всех точек на пути и которое не выполняется ни для каких других точек, кроме тех, которые лежат на пути.

  • Как найти уравнение геометрического места точки:

1. Если мы находим уравнение геометрического места точки P, присвойте координаты (h, k) точке P.

2. Постарайтесь сформулировать данные условия в виде уравнений в терминах известных величин и неизвестных параметров.

3. Удалите параметры, чтобы остались только h, k и известные величины.

4. Заменить h на x и k на y в полученном уравнении.Полученное уравнение — это уравнение геометрического места p.

  • Если две прямые перпендикулярны друг другу, то m 1 m 2 = –1, т.е. произведение их угловых коэффициентов равно -1.

  • Любая прямая, перпендикулярная ax + by + c = 0, имеет вид bx — ay + k = 0.

  • Если две прямые параллельны или совпадают, тогда m 1 = m 2 .

  • Любая прямая, параллельная ax + by + c = 0, имеет форму ax + by + k = 0.

  • Пусть будет две линии l 1 и l 2 с уклонами m 1 и m 2 соответственно. Таким образом, tan α = m 1 , tan β = m 2 . Угол между ними составляет либо α — β, либо π — (α — β), в зависимости от рассматриваемой стороны.

  • Строки a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 …… (i)

a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 …… (ii) представляет

1.пересекающиеся линии, если a 1 / a 2 ≠ b 1 / b 2
2. параллельные прямые, если a 1 / a 2 = b 1 / b 2
3. Совпадающие линии, если a 1 / a 2 = b 1 / b 2 = c 1 / c 2

  • Обычное уравнение можно использовать, чтобы найти расстояние от точки до прямой.

  • Чтобы найти расстояние точки P (x 1 , y 1 ) от прямой l 1 , уравнение которой x cos α + y sin α = p:

1.Пусть l 2 будет прямой, проходящей через P, параллельной прямой l 1 .

2. Пусть d — расстояние P от l 1 .

3. Тогда нормаль от O до l 2 имеет длину p + d. Следовательно, уравнение l 2 : x cos α + y sin α = p + d.

4. Поскольку P (x 1 , y 1 ) лежит на нем, он должен удовлетворять уравнению

∴ x  1  cos α + y  1  sin α = p + d 
∴ d = x  1  cos α + y  1  sin α - p.
  • Полная формула расстояния:

Если точка P и начало координат O лежат на одной стороне линии, как показано на рисунке ниже, тогда

d = — (x 1 cos α + y 1 sin α — p)

Следовательно, формула полного расстояния равна

d = + (x 1 cos α + y 1 sin α — p)

Это дает d = + (ax 1 + by 1 + c) / √a 2 + b 2

  • Чтобы найти расстояние от точки до заданной линии, в левой части уравнения (правая часть равна нулю) подставьте координаты точки и разделите результат на √ (коэффициент при x) 2 + (коэффициент y) 2 .

  • Формула полного перпендикулярного расстояния используется, когда задана длина перпендикуляра к линии.

  • Рассмотрим две параллельные прямые y = mx + c 1 и y = mx + c 2 . Затем найти расстояние между этими двумя линиями:

    1. Прямая y = mx + c 1 пересекает ось x в точке A (–c 1 / m, 0).

    2. Расстояние между этими двумя линиями равно длине перпендикуляра от точки A до линии (2).Следовательно, расстояние между этими линиями равно

    .

    | (–m) (- c 1 / m) + (- c 2 ) | / √1 + m 2 или d = | c 1 –c 2 | / √1 + м 2 .

    Таким образом, расстояние d между двумя параллельными линиями y = mx + c 1 и y + mx + c 2 определяется как d = | c 1 –c 2 | / √A 2 + B 2 .

  • Общее уравнение семейства прямых, проходящих через точку пересечения двух заданных прямых, имеет вид L + λL ’= 0, где L = 0 и L’ = 0 — две заданные прямые, а λ — параметр.

  • Чтобы найти уравнения прямой линии, которые проходят через данную точку (x 1 , y 1 ) и образуют равные углы с данной прямой y = m 1 x + c:

1. Если m — наклон требуемой линии, а α — угол, который эта линия составляет с данной линией, то tan α = + (m 1 –m) / (1 + m 1 m) .

2. Вышеприведенное выражение для tan α дает два значения m, скажем, m A и m B .

3. Требуемые уравнения прямых, проходящих через точку (x 1 , y 1 ) и составляющих равные углы α с данной линией, равны

y — y 1 = m A (x — x 1 ), y — y 1 = m B (x — x 1 ).

  • Условие одновременности трех строк:

1. Пусть три данные строки будут

a 1 x + b 1 y + c 1 = 0, a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 и a 3 x + b 3 y + с 3 = 0.


3. Существуют 3 константы l, m, n (не все равны нулю одновременно), такие что IL 1 + mL 2 + nL 3 = 0, где L 1 = 0, L 2 = 0 и L 3 = 0 — три заданные прямые линии.

4. Три линии являются параллельными, если одна из линий проходит через точку пересечения двух других линий.

  • Если L 1 = 0 и L 2 = 0 — две прямые, то уравнение семейства прямых, проходящих через их пересечение, определяется как L 1 + λ L 2 = 0

  • Рассмотрим прямую ax + by + c = 0 и P (x 1 , y 1 ), Q (x 2 , y 2 ) двумя точками.

1. Если P (x 1 , y 1 ) и Q (x 2 , y 2 ) находятся на противоположных сторонах прямой ax + by + c = 0, то точка R на линии ax + на + c = 0 внутренне делит линию PQ в соотношении m 1 : m 2 , где m 1 / m 2 должно быть положительным.

2. Координаты R равны (m 1 x 2 + m 2 x 1 / m 1 + m 2 , m 1 y 2 + m 2 л 1 / м 1 + м 2 ).

3. Точка R лежит на прямой ax + by + c = 0

⇒ m 1 / m 2 = (ax 1 + by 1 + c) / (ax 2 + by 2 + c)> 0

4. Если ax 1 + на 1 + c и ax 2 + на 2 + c имеют одинаковые знаки, то m 1 / m 2 = –ve, так что точка R на прямой ax + by + c = 0 будет делить линию PQ внешне в соотношении m 1 : m 2 , а точки P (x 1 , y 1 ) и Q (x 2 ) , y 2 ) находятся по ту же сторону от прямой ax + by + c = 0.

  • Если у нас есть две строки с уравнениями a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 и a 2 x + b 2 y + c 2 = 0, тогда уравнения биссектрисы равны (a 1 x + b 1 y + c 1 ) / √a 1 2 + b 1 2 = + (a 2 x + b 2 y + c 2 ) / √a 2 2 + b 2 2

1.Если c 1 и c 2 имеют один и тот же знак, тогда оцените a 1 a 2 + b 1 b 2 . Если это значение отрицательное, то биссектриса острого угла равна

.

(a 1 x + b 1 y + c 1 ) / √a 1 2 + b 1 2 = + (a 2 x + b 2 y + c 2 ) / √a 2 2 + b 2 2 .

2. Если и c 1 , и c 2 имеют одинаковый знак, то и в этом случае уравнение биссектрисы угла, которое содержит начало координат, такое же, как и в предыдущем случае.

  • Однородное уравнение второй степени вида ax 2 + 2hxy + by 2 = 0 представляет собой пару прямых, проходящих через начало координат, при соблюдении следующих условий:

1. Если h 2 > ab, то линии настоящие и четкие.

2. Если h 2 = ab, линии совпадают

3. Если h 2

4. Если y = m 1 x и y = m 2 x — два уравнения, характеризуемые как ax 2 + 2hxy + by 2 = 0, то два значения y подобны решениям уравнения и, следовательно, m 1 + m 2 = -2h / b и m 1 m 2 = a / b.

abc + 2fgh –af 2 — bg 2 — ch 2 = 0.

  • Уравнение прямой, разделяющей пополам угол между прямыми ax 2 + 2hxy + на 2 = 0, имеет вид (x 2 — y 2 ) / (a-b) = xy / h.

  • Любая кривая второй степени, проходящая через четыре точки пересечения f (xy) = 0 и xy = 0, задается соотношением f (xy) + μxy = 0, где f (xy) = 0 также является кривой второй степени .


Особенности курса

  • 728 Видео-лекции
  • Примечания к редакции
  • Документы за предыдущий год
  • Интеллектуальная карта
  • Планировщик исследования
  • Решения NCERT
  • Обсуждение Форум
  • Тестовая бумага с видео-решением

.

Инструменты и ресурсы: Глоссарий по геометрии | Подготовка к испытаниям

острый угол угол, размер которого меньше 90 °.

острый треугольник треугольник, содержащий все острые углы.

смежных угла: углов, имеющих общую сторону и общую вершину.

угол , образованный двумя лучами с общим концом.

arc набор точек на окружности, лежащих внутри центрального угла.

площадь пространство внутри фигуры; измеряется в квадратных единицах.

пополам делится на две равные части.

центральный угол угол, вершиной которого является центр окружности. Мера центрального угла равна длине его дуги.

хорда отрезок прямой, соединяющий любые две точки на окружности.

окружность на плоскости, множество точек на одинаковом расстоянии от данной точки.

окружность расстояние по окружности; равно 2 x π x радиус или π x диаметр (C = 2πr или πd.).

дополнительных углов два угла, сумма размеров которых равна 90 °.

вогнутый многоугольник многоугольник, который содержит по крайней мере одну диагональ за пределами фигуры.

концентрических окружностей окружностей с одинаковым центром.

конгруэнт точно так же. Идентичны по форме и размеру.

подряд рядом

выпуклый многоугольник многоугольник, все диагонали которого лежат внутри фигуры.

соответствует в той же позиции. Совпадают.

куб шестигранник. Все стороны равны квадратам и все стороны равны.

десятиугольник плоская замкнутая фигура с десятью сторонами и десятью углами.

градус единица измерения угла.

диагональ многоугольника линейный сегмент, соединяющий одну вершину с другой вершиной, а не сторону многоугольника.

диаметр отрезок прямой, который содержит центр и имеет концы на окружности. Также длина этого отрезка. (Хорда, проходящая через центр круга.)

равносторонний треугольник треугольник, в котором все три угла равны по размеру и все три стороны имеют одинаковую длину.

внешний угол угол, образованный за пределами многоугольника за счет продолжения одной стороны.В треугольнике размер внешнего угла равен сумме измерений двух удаленных внутренних углов.

высота высота. С самой высокой точки проводится перпендикуляр к основанию.

семиугольник плоская замкнутая фигура с семью сторонами и семью углами.

шестиугольник плоская замкнутая фигура с шестью сторонами и шестью углами.

гипотенуза в прямоугольном треугольнике со стороной, противоположной углу 90 °.

вписанный угол в круг, угол, образованный двумя хордами. Его вершина находится на окружности. Размер вписанного угла равен половине его дуги.

внутренних углов углов, образованных внутри формы или в пределах двух параллельных линий.

пересекающихся прямых прямых, пересекающихся в одной точке.

равнобедренный прямоугольный треугольник треугольник, имеющий две равные стороны, два равных угла и один угол 90 °.Его стороны всегда находятся в соотношении 1, 1, √2.

равнобедренный треугольник треугольник, имеющий две равные стороны (и, следовательно, два равных угла поперек этих сторон).

ножки в прямоугольном треугольнике, две стороны образуют угол 90 °. У трапеции непараллельные стороны.

отрезок линии часть линии; имеет две конечные точки

медиана в треугольнике, отрезок линии, проведенный от вершины до середины противоположной стороны.

медиана в форме трапеции, отрезок прямой, параллельный основаниям и разделяющий ноги пополам.

средняя точка средняя точка линейного сегмента, равноудаленная от каждой конечной точки.

минута деление угла в одну шестидесятую градуса.

nonagon плоская замкнутая фигура с девятью сторонами и девятью углами

тупой угол угол больше 90 °, но меньше 180 °

тупой треугольник треугольник, содержащий тупой угол

восьмиугольник плоская замкнутая фигура с восемью сторонами и восемью углами

параллельных прямых две или более прямых, всегда на одинаковом расстоянии друг от друга.Параллельные линии никогда не встречаются.

параллелограмм четырехгранная плоская замкнутая фигура, противоположные стороны которой равны и параллельны. (Противоположные углы равны, а последовательные углы являются дополнительными.)

пятиугольник пятиугольная плоская замкнутая фигура. Сумма его пяти углов составляет 540 °.

периметр общее расстояние вокруг любого многоугольника. Общая длина всех сторон.

перпендикулярные прямые две прямые, пересекающиеся под прямым углом.

пи (π) константа, используемая для определения площади или длины окружности круга. Приблизительно равно 3,14 или 22/7

плоскость часто описывается как плоская поверхность.

плоская фигура форма, имеющая только длину и ширину (двумерная).

плоская геометрия исследование форм и фигур в двух измерениях.

точка базовый элемент геометрии, локация. Если две линии пересекаются, они пересекаются в одной точке.

многоугольник многогранная плоская замкнутая фигура. Треугольник, четырехугольник, пятиугольник и так далее.

призма трехмерная форма, ограниченная конгруэнтными параллельными гранями и набором параллелограммов, образованных путем соединения соответствующих вершин оснований.

Теорема Пифагора теорема, применимая к прямоугольным треугольникам. Сумма квадратов двух катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы (a 2 + b 2 = c 2 ).

четырехугольник четырехгранная плоская замкнутая фигура. Сумма его четырех углов равна 360 °.

радиусов во множественном числе радиусов.

радиус отрезок прямой, концы которого лежат одна в центре окружности, а другая — в окружности. Также длина этого отрезка.

луч полупрямой. Всегда продолжается в одном направлении. Имеет одну конечную точку.

прямоугольник четырехгранная плоская замкнутая фигура, имеющая равные и параллельные противоположные стороны и четыре прямых угла.

правильный многоугольник многоугольник, в котором стороны и углы равны. Например, у правильного пятиугольника пять равных углов и пять равных сторон.

ромб параллелограмм с четырьмя равными сторонами.

прямой угол угол, размер которого равен 90 °.

Правый круговой цилиндр твердое тело в форме консервной банки. Основание встречается со стороной под прямым углом.

прямоугольный треугольник треугольник с углом 90 °.

разносторонний треугольник треугольник, у которого ни одна из сторон не равна (или не имеет равных углов).

аналогичный , имеющий ту же форму, но не одинаковый размер, в пропорции.

сплошная геометрия исследование форм и фигур в трех измерениях: длина, ширина и толщина.

квадрат четырехгранная плоская замкнутая фигура, имеющая равные стороны и четыре прямых угла. Его противоположные стороны параллельны.

прямой угол угол, равный 180 °.Часто называется линией.

прямая линия часто описывается как кратчайшее расстояние между двумя точками. Продолжается вечно в обоих направлениях. (Линия означает прямую линию.)

дополнительных углов два угла, сумма которых составляет 180 °.

площадь поверхности общая площадь всех сторон твердого тела или общая площадь граней.

касательная к окружности прямая, отрезок или луч, касающийся окружности в одной точке (не может проходить внутри окружности).

поперечная линия, пересекающая две или более параллельных или непараллельных прямых на плоскости.

трапеция четырехсторонняя плоская замкнутая фигура только с одной парой параллельных сторон, называемых основаниями.

треугольник трехсторонняя плоская замкнутая фигура. Содержит три угла, сумма размеров которых равна 180 °.

вершина точка, в которой два луча встречаются и образуют угол, или точка, в которой две стороны встречаются в многоугольнике.

вертикальных углов противоположных углов, образованных пересечением двух прямых. Вертикальные углы в меру равны.

вершин множества вершин.

объем вместимость, измеряется в кубических единицах. Объем прямоугольной призмы = длина x ширина x высота.

.
Leave a Reply

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *