Контрольная координаты вектора 9 класс: Контрольная работа в 9 классе по теме :»Координаты вектора.»

Контрольная работа в 9 классе по теме :»Координаты вектора.»

Контрольная работа №2 по геометрии для учащихся 9 классов.

1.Найти координаты и длину вектора = * – , если (-3;6), (2;-2).

2.А(-4;7),В(16;22). Найти:

а) координаты вектора

б) длину вектора

в) координаты середины отрезка АВ

г) записать уравнение окружности с центром в точке А и радиуса АВ

д) уравнение прямой АВ

3. А(-6;1), В(2;4), С(2;-2). Доказать, что треугольник АВС равнобедренный и найти высоту АН

Вариант 2.

1. Найти координаты и длину вектора

= * – , если (3;-2), (-6;2)

2. С(-3;1), Д(9;6). Найти:

а) координаты вектора

б) длину вектора

в) координаты середины отрезка СД

г) записать уравнение окружности с центром в точке С и радиуса СД

д) уравнение прямой СД

3. А(-6;1), В(0;5), С(6;-4), Д(0;-8). Доказать, что четырёхугольник АВСД – прямоугольник.

Вариант 3.

1. Найти координаты и длину вектора

= -2 – 3, если (-3;4), (-1;-2)

2. К(-2; 5), Т(13;13). Найти:

а) координаты вектора

б) длину вектора

в) координаты середины отрезка КТ

г) записать уравнение окружности с центром в точке К и радиуса КТ

д) уравнение прямой КТ

3. А(-4;1), В(-2;4), С(0;1). Доказать, что треугольник АВС равнобедренный и найти высоту АН

Вариант 4.

1.Найти координаты и длину вектора =3 – 4, если (0;1), (-2;3).

2. С(-3;1), Д(0;5). Найти:

а) координаты вектора

б) длину вектора

в) координаты середины отрезка СД

г) записать уравнение окружности с центром в точке С и радиуса СД

д) уравнение прямой СД

3. А(4;1), В(3;5), С(-1;4), Д(0;0). Доказать, что четырёхугольник АВСД – прямоугольник.

Контрольная работа по геометрии «Векторы», ФГОС

1 вариант

Найдите координаты и длину вектора , если

Найдите координаты вектора , если A(1,-3), B(0,-6)

Начертите два неколлинеарных вектора и . Постройте

Найдите координаты вектора , если , если

В трапеции основания равны 9 и 14. Найдите среднюю линию трапеции

Напишите уравнение окружности с центром A(-1,2), проходящей через точку B(0,1)

2 вариант

Найдите координаты и длину вектора , если

Найдите координаты вектора , если A(6,-4), B(1,-6)

Начертите два неколлинеарных вектора и . Постройте

Найдите координаты вектора , если , если

В трапеции основания равны 12 и 7. Найдите среднюю линию трапеции

Напишите уравнение окружности с центром A(2,-3), проходящей через точку B(-1,-2)

1 вариант

Найдите координаты и длину вектора , если

Найдите координаты вектора , если A(1,-3), B(0,-6)

Начертите два неколлинеарных вектора и . Постройте

Найдите координаты вектора , если , если

В трапеции основания равны 9 и 14. Найдите среднюю линию трапеции

Напишите уравнение окружности с центром A(-1,2), проходящей через точку B(0,1)

2 вариант

Найдите координаты и длину вектора , если

Найдите координаты вектора , если A(6,-4), B(1,-6)

Начертите два неколлинеарных вектора и . Постройте

Найдите координаты вектора , если , если

В трапеции основания равны 12 и 7. Найдите среднюю линию трапеции

Напишите уравнение окружности с центром A(2,-3), проходящей через точку B(-1,-2)

1 вариант

Найдите координаты и длину вектора , если

Найдите координаты вектора , если A(1,-3), B(0,-6)

Начертите два неколлинеарных вектора и . Постройте

Найдите координаты вектора , если , если

В трапеции основания равны 9 и 14. Найдите среднюю линию трапеции

Напишите уравнение окружности с центром A(-1,2), проходящей через точку B(0,1)

2 вариант

Найдите координаты и длину вектора , если

Найдите координаты вектора , если A(6,-4), B(1,-6)

Начертите два неколлинеарных вектора и . Постройте

Найдите координаты вектора , если , если

В трапеции основания равны 12 и 7. Найдите среднюю линию трапеции

 Напишите уравнение окружности с центром A(2,-3), проходящей через точку B(-1,-2)

Контрольная работа для 9 класса по геометрии на тему «Координаты и Векторы»

Контрольная работа составлена для классов с базовым изучением математики. Содержит 2 варианта. Рассчитана на 2 урока. 

Каждый вариант — готовый бланк с чертежами и места для рисунков (размещается с двух сторон листа А4). Удобны при проверке и оценивании работы: каждый вариант содержит таблицу для результатов.

Проверяет следующие знания и умения:

• Найти длину векторов (по рисунку на клетчатой бумаге)
• Изобразить линейную комбинацию изображенных векторов
• Найти координаты вектора по рисунку
• Отложить вектор от заданной точки
• Найти середину отрезка
• Найти площадь треугольника по координатам вершин
• Задача на доказательство (в координатах) 

 

Просмотр содержимого документа
«Контрольная работа для 9 класса по геометрии на тему «Координаты и Векторы» »

Контрольная работа №1 по теме «Координаты и Векторы»

Выполнил ученик 9 класс ___________________________

Вариант I

1а	1б	2а	2б	2в	3а	3б	4	5	⅀	оц

№1 а) Найти длину векторов данных векторов

б) Изобразить вектора: и

№2 на плоскости даны вектора a, b, c.

а) Найти координаты этих векторов и их длины

б) Координаты векторов и

№3 Вектор а)отложить его от точки (-8;7) и найти середину отрезка, соответствующего вектору на рисунке

№4 Найти площадь треугольника АВС, где А(-2;-4), B(6;8), C(-1;4)

№5 Доказать, что четырехугольник ABCD является ромбом и найти его площадь.

A(2;0), B(3;7), C(-2;-2), D(-3;5)

Контрольная работа №1 по теме «Координаты и Векторы»

Выполнил ученик 9 класс ___________________________

Вариант II

1а 1б 2а 2б 2в 3а 3б 4 5 ⅀ оц

№1 а) Найти длину векторов данных векторов

б) Изобразить вектора: и

№2 на плоскости даны вектора a, b, c.

а) Найти координаты этих векторов и их длины

б) Координаты векторов и

№3 Вектор а)отложить его от точки (6;5) и найти середину отрезка, соответствующего вектору на рисунке

№4 Найти площадь треугольника АВС, где А(-4;5), B(4;1), C(4;6)

№5 Доказать, что четырехугольник

ABCD является ромбом и найти его площадь.

A(1;-2), B(2;5), C(-5;4), D(-6;-3)

Контрольная работа по теме: «Простейшие задачи в координатах»

Геометрия 9 класс

Контрольная работа по теме:

«Простейшие задачи в координатах»

I вариант

Найдите координаты вектора , если А(-10; 7), В(-4; 8).

Найдите длину вектора , если А(-17;1 6), В(-11; 12).

Найдите координаты точки К, которая является серединой отрезка MN , если М(16; -5), N(14; -8)

Найдите расстояние между точками M и N, т.е. длину отрезка MN, если М(6; -5), N(3; -9)

Составить уравнение окружности с центром в точке О(-2;3) и радиус которой равен 11.

Геометрия 9 класс

Контрольная работа по теме:

«Простейшие задачи в координатах»

II вариант

Найдите координаты вектора , если M(4; -7), N(9; -13).

Найдите длину вектора , если M(14; -15), N(17; -19).

Найдите координаты точки C, которая является серединой отрезка AB , если A(-2; 11), B(-10; -15)

Найдите расстояние между точками A и B, т.е. длину отрезка AB, если A(-2; 1), B(-10; -5)

5.Составить уравнение окружности с центром в точке О(-8;15) и радиус которой равен 12

.

Геометрия 9 класс

Контрольная работа по теме:

«Простейшие задачи в координатах»

III вариант

Найдите координаты вектора , если А(11; -6), В(4; 8).

Найдите длину вектора , если А(18; -15), В(12; -13).

Найдите координаты точки К, которая является серединой отрезка MN , если М(3; -5), N(-8; -11)

Найдите расстояние между точками M и N, т.е. длину отрезка MN, если М(1; -5), N(-2; -1)

5. Составить уравнение окружности с центром в точке О(-16;4) и радиус которой равен 16.

Геометрия 9 класс

Контрольная работа по теме:

«Простейшие задачи в координатах»

IV вариант

Найдите координаты вектора , если M(-14; -5), N(12; -6).

Найдите длину вектора , если M(-11; -17), N(12; -13).

Найдите координаты точки C, которая является серединой отрезка AB , если A(15; -9), B(-3; 12)

Найдите расстояние между точками A и B, т.е. длину отрезка AB, если A(5; -4), B(-3; 2)

5. Составить уравнение окружности с центром в точке О1(7;-13) и радиус которой равен 21.

Контрольная работа по теме:Метод координат9 класс

Контрольная работа по теме: «Метод координат в пространстве» Вариант 1 1 . Если А (4;-2) , В(-8;0) – координаты концов отрезка АВ, то его середина имеет координаты…. 2. Вектор а =-5i +12j. Длина вектора равна…… 3 . Вектор а имеет координаты а{-3;3} .Его разложение по координатным векторам равно… 4. А ( -3;5), В( 3;-2). Координаты вектора АВ равны…… 5. Даны точки А(0;1) и В ( 5;-3) . В – середина отрезка СA. Координаты точки С равны… 6. Найдите координаты и длину вектора n, если  n= c – d, c{6; -2} d{1;-2} 7.Напишите уравнение окружности с центром в точке С ( 2; 1 ), проходящей через точку D ( 5; 5 ). 8. Треугольник СDЕ задан координатами своих вершин: С (2; 2), D (6; 5), Е (5; — 2). а) Докажите, что ΔCDE- равнобедренный; б ) Найдите биссектрису, проведённую из вершины С. 9 . Даны векторы а{3; -2}, b{-2; 3} c{-3; 2}. Найти длину ветора р и q, если р=2а+3с и q =2 b — 3с

Контрольная работа по теме: «Метод координат в пространстве» Вариант 2 1. Если А(5;0) , В(3;-6) – координаты концов отрезка АВ, то его середина имеет координаты…. 2. Вектор а = 6 i –8 j. Длина вектора равна…… 3 Вектор а имеет координаты а(-3;1) .Его разложение по координатным векторам равно… 4 А ( 2;7), В( -2;1). Координаты вектора АВ равны…… 5. Даны точки А(0;3) и В ( 5;-3) . А – середина отрезка СВ. Координаты точки С равны….. 6 . Даны векторы а{3; -2}, b{-2; 1} c{ 2;1}. Найти р и q, если р = 2а+ 3с и q= 2 b — 3с; 7. Найдите координаты и длину вектора d, если  d = m – n, m{-3, 6} n {2; -2} 8. Напишите уравнение окружности с центром в точке А (- 3;2), проходящей через точку В (0; — 2). 9. Треугольник МNK задан координатами своих вершин: М (- 6; 1), N (2; 4), К (2; — 2). а) Докажите, что ΔMNK- равнобедренный; б) Найдите высоту, проведённую из вершины М.

Контрольная работа по теме: «Метод координат в пространстве» Вариант 1 1 . Если А (4;-2) , В(-8;0) – координаты концов отрезка АВ, то его середина имеет координаты…. 2. Вектор а =-5i +12j. Длина вектора равна…… 3 . Вектор а имеет координаты а{-3;3} .Его разложение по координатным векторам равно… 4. А ( -3;5), В( 3;-2). Координаты вектора АВ равны…… 5. Даны точки А(0;1) и В ( 5;-3) . В – середина отрезка СA. Координаты точки С равны… 6. Найдите координаты и длину вектора n, если  n= c – d, c{6; -2} d{1;-2} 7.Напишите уравнение окружности с центром в точке С ( 2; 1 ), проходящей через точку D ( 5; 5 ). 8. Треугольник СDЕ задан координатами своих вершин: С (2; 2), D (6; 5), Е (5; — 2). а) Докажите, что ΔCDE- равнобедренный; б ) Найдите биссектрису, проведённую из вершины С. 9 . Даны векторы а{3; -2}, b{-2; 3} c{-3; 2}. Найти длину ветора р и q, если р=2а+3с и q =2 b — 3с

Контрольная работа по теме: «Метод координат в пространстве» Вариант 2 1. Если А(5;0) , В(3;-6) – координаты концов отрезка АВ, то его середина имеет координаты…. 2. Вектор а = 6 i –8 j. Длина вектора равна…… 3 Вектор а имеет координаты а(-3;1) .Его разложение по координатным векторам равно… 4 А ( 2;7), В( -2;1). Координаты вектора АВ равны…… 5. Даны точки А(0;3) и В ( 5;-3) . А – середина отрезка СВ. Координаты точки С равны….. 6 . Даны векторы а{3; -2}, b{-2; 1} c{ 2;1}. Найти р и q, если р = 2а+ 3с и q= 2 b — 3с; 7. Найдите координаты и длину вектора d, если  d = m – n, m{-3, 6} n {2; -2} 8. Напишите уравнение окружности с центром в точке А (- 3;2), проходящей через точку В (0; — 2). 9. Треугольник МNK задан координатами своих вершин: М (- 6; 1), N (2; 4), К (2; — 2). а) Докажите, что ΔMNK- равнобедренный; б) Найдите высоту, проведённую из вершины М.

Контрольная Работа По Координатам Вектора 9 Класс – Telegraph

➡➡➡ ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ!

Контрольная Работа По Координатам Вектора 9 Класс
Контрольная работа № 1 по геометрии в 9 классе «Метод координат» с ответами и решениями (3 уровня сложности по 2 варианта). УМК Атанасян и др. (Просвещение). Поурочное планирование по геометрии для 7 класса (Н.Ф. Гаврилова, ВАКО). Урок 14. Геометрия 9 класс Контрольная № 2 «Метод координат».
Содержание (быстрый переход): Скрыть
Цель: проверить знания, умения и навыки учащихся по теме.

Тип урока: урок контроля, оценки и коррекции знаний.
Конкурс по биологии. Нацпроект «Наука»!
наука.национальныепроекты.рф
₽
Обучение: управление в образовании
intiu.ru
Отделка фасадов камнем.
archistyle.ru
Мотивация к учебной деятельности. Учитель сообщает тему урока, формулирует цели урока.
В конце урока учитель раздает на каждую парту краткую запись решения задач контрольной работы.
Домашнее задание: решить задачи, с которыми ученик не справился.
Вы смотрели: Геометрия 9 класс Контрольная № 2. Поурочное планирование по геометрии для 9 класса. УМК Атанасян (Просвещение). Урок 24. Контрольная работа по геометрии «Метод координат» + ОТВЕТЫ.
Вернуться к Списку уроков Тематического планирования в 9 классе.
Спасибо! Столько времени сэкономила. Варианты продуманы, очень здорово.
Сайт «УчительPRO» — некоммерческий школьный проект учеников, их родителей и учителей. Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie и других пользовательских данных в целях функционирования сайта, проведения статистических исследований и обзоров. Если вы не хотите, чтобы ваши данные обрабатывались, покиньте сайт.
(с) 2020 Учитель.PRO — Копирование информации с сайта только при указании активной ссылки на сайт!

Геометрия 9 класс Контрольная № 2 с ответами — УЧИТЕЛЬ.PRO
Контрольная работа по теме «Векторы . Метод координат»
Контрольная работа по геометрии 9 класс тема «Векторы.(2)= Геометрия. 9 класс. Самостоятельные и контрольные работы — Иченская М.А. cкачать в PDF. Учебное пособие содержит самостоятельные и контрольные работы, а также карточки к итоговым зачётам по курсу геометрии 9 класса.

Оно ориентировано на учебник «Геометрия. 7—9 классы» авторов Л. С. Атанасяна и др. Пособие адресовано школьникам, их родителям, учителям математики. Рубрика: Геометрия / 9 класс. Автор: Иченская М.А. Год: Для учеников: 9 класс. Язык учебника: Русский. Формат: PDF. Задания этого теста проверяют основные умения, которыми должен овладеть ученик 9 класса к концу учебного года. Не торопитесь, внимательно читайте условия заданий и всё получится. Желаем успехов! Тема 1.Правильные многоугольники.

Тема 2.Длина окружности, площадь круга. Тема 3.Координаты вектора. Тема 4.Теорема синусов. Контрольно — оценочные материалы. СБОРНИК КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ГЕОМЕТРИИ 7 -9 классы к УМК Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев. Пояснительная записка. Контрольные работы содержат задания на воспроизведение (40%), применение Читать еще.

eduportalru. pdf. Посмотреть. Геометрия. Методические рекомендации. 9 класс. Геометрия. Методические рекомендации. 9 класс: Г36 учеб. пособие для общеобразоват. организаций /. [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, Ю. А. Глазков и др.]. — М.: Просвещение, Відповіді до комплексного зошита для контролю знань з геометрії для 9 класу Стадник. рік.

Оно содержит проверочные работы по всем темам, изучаемым в 9 классе, и ориентировано на учебник Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия.  Метод координат Контрольная работа №1 Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов Контрольная работа №2 Длина окружности и площадь круга Контрольная работа №3 Движения Контрольная работа №4 Начальные сведения из стереометрии Контрольная работа №5 Итоговая работа за курс 9 класса Контрольная работа №6 Итоговая работа за курс основной школы ( классы) Контрольная работа №7 Ответы.

Рабочая тетрадь. Атанасян. Геометрия. 9 класс. Рабочая тетрадь. Атанасян.  Контрольная работа 1. В1. В2. В3. В4. Контрольная работа 2. В1. В2.

В3. В4. Контрольная работа 3. В1. В2. В3. В4. Контрольная работа 4. В1. В2. В3. В4. Контрольная работа 5. В1. В2. В3. В4. Контрольная работа 6. В1. В2. Рисунок-чертеж Полное решение: Входная диагностическая работа по геометрии. 9 класс. (Проверка остаточных знаний 8 класса). Фамилия И.  Система оценивания входной диагностической работы по геометрии, 9 класс. За правильный ответ с 1 по 5 задание ставится 1 балл, с 6 по 7 задание 2 балла.

1 вариант 2 вариант.

txt, djvu, djvu, txt

Похожее:

Презентація на тему некроз

Англійська мова книжка для вчителя

8 клас гдз біологія

Англійська мова граматичний практикум 2 скачать

Гдз 6 клас біологія робочий зошит мечник жаркова

Фізика 7 клас збірник задач гельфгат відповіді 2015 нова програма

2.2 Системы координат и компоненты вектора — Университетская физика Том 1

2.2 Системы координат и компоненты вектора

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Опишите векторы в двух и трех измерениях с точки зрения их компонентов, используя единичные векторы вдоль осей.
• Различайте векторные компоненты вектора и скалярные компоненты вектора.
• Объясните, как величина вектора определяется в терминах компонентов вектора.
• Определяет угол направления вектора на плоскости.
• Объясните связь между полярными координатами и декартовыми координатами на плоскости.

Векторы обычно описываются в терминах их компонентов в системе координат. Даже в повседневной жизни мы естественно обращаемся к концепции ортогональных проекций в прямоугольной системе координат. Например, если вы спросите кого-нибудь, как добраться до определенного места, вам, скорее всего, предложат пойти на 40 км на восток и 30 км на север, чем на 50 км в направлении 37 ° 37 ° к северу от востока.

В прямоугольной (декартовой) системе координат xy на плоскости точка на плоскости описывается парой координат ( x , y ). Аналогичным образом вектор A → A → на плоскости описывается парой его координат вектора . Координата x вектора A → A → называется его компонентой x , а координата y вектора A → A → называется его компонентом y . Компонент вектора x — это вектор, обозначаемый A → xA → x.Вектор y -компонент — это вектор, обозначенный A → yA → y. В декартовой системе компоненты вектора x и y являются ортогональными проекциями этого вектора на оси x и y соответственно. Таким образом, следуя правилу параллелограмма для сложения векторов, каждый вектор на декартовой плоскости может быть выражен как векторная сумма его векторных компонентов:

A → = A → x + A → y. A → = A → x + A → y.

2,10

Как показано на Рисунке 2.16 вектор A → A → — это диагональ прямоугольника, где x -компонента A → xA → x является стороной, параллельной оси x , а y -компонента A → yA → y — это сторона, параллельная оси x . сторона параллельна оси y . Компонента вектора A → xA → x ортогональна компоненту вектора A → yA → y.

Фигура 2,16 Вектор A → A → на плоскости в декартовой системе координат представляет собой векторную сумму его векторных компонент x и y . Компонента вектора x A → xA → x является ортогональной проекцией вектора A → A → на ось x ..

2,12

Если нам известны координаты b (xb, yb) b (xb, yb) начальной точки вектора (где b означает «начало») и координаты e (xe, ye) e (xe, ye ) конечной точки вектора (где e означает «конец»), мы можем получить скалярные компоненты вектора, просто вычитая координаты начальной точки из координат конечной точки:

{Ax = xe-xbAy = ye-yb. {Ax = xe-xbAy = ye-yb.

2,13

Пример 2.3

Смещение указателя мыши

Указатель мыши на мониторе компьютера в исходном положении находится в точке (6.на y — ось направлена ​​вертикально вверх. Начало вектора смещения находится в точке b (6.0, 1.6), а конец вектора смещения расположен в точке e (2.0, 4.5). Подставьте координаты этих точек в уравнение 2.13, чтобы найти скалярные компоненты DxDx и DyDy вектора смещения D → D →. Наконец, подставьте координаты в уравнение 2.12, чтобы записать вектор смещения в форме компонента вектора.

Решение

Отождествляем xb = 6.0xb = 6.0, xe = 2.)см.

2,14

Это решение показано на Рисунке 2.17.

Фигура 2,17 График вектора смещения. Вектор указывает от начальной точки на b до конечной точки на e .

Значение

Обратите внимание, что физическая единица — здесь 1 см — может быть размещена либо с каждым компонентом непосредственно перед единичным вектором, либо глобально для обоих компонентов, как в уравнении 2.14. Часто второй способ удобнее, потому что он проще., которая параллельна направлению оси + y . Следовательно, вектор D → yD → y, составляющий y , направлен вверх, как показано на рисунке 2.17. Скалярная y -компонента вектора D → D → равна Dy = + 2.9Dy = + 2.9. Вектор смещения D → D → является равнодействующим его двух составляющих вектора .

Форма векторной составляющей вектора смещения Уравнение 2.14 говорит нам, что указатель мыши был перемещен на мониторе на 4,0 см влево и 2,9 см вверх от своего исходного положения.

Проверьте свое понимание 2,4

Синяя муха приземляется на миллиметровую бумагу в точке, расположенной на 10 см справа от ее левого края и на 8,0 см выше ее нижнего края, и медленно идет к точке, расположенной на расстоянии 5,0 см от левого края и 5,0 см от нижнего края. край. Выберите прямоугольную систему координат с началом в левом нижнем углу листа и найдите вектор смещения мухи. Проиллюстрируйте свое решение графиком.

Зная скалярные компоненты AxAx и AyAy вектора A → A →, мы можем найти его величину A и угол направления θAθA.Угол направления — или, для краткости, направление — это угол, который вектор образует с положительным направлением на оси x . Угол θAθA измеряется в направлении против часовой стрелки от оси + x к вектору (рисунок 2.18). Поскольку длины A, , AxAx и AyAy образуют прямоугольный треугольник, они связаны теоремой Пифагора:

A2 = Ax2 + Ay2⇔A = Ax2 + Ay2. A2 = Ax2 + Ay2⇔A = Ax2 + Ay2.

2,15

Это уравнение работает, даже если скалярные компоненты вектора отрицательны.Направляющий угол θAθA вектора определяется через касательную функцию угла θAθA в треугольнике, показанном на рисунке 2.18:

tanθ = AyAxtanθ = AyAx

2,16

Фигура 2,18 Когда вектор лежит либо в первом квадранте, либо в четвертом квадранте, где компонент AxAx положительный (рисунок 2.19), угол направления θAθA в уравнении 2.16) идентичен углу θθ.

Когда вектор лежит либо в первом квадранте, либо в четвертом квадранте, где компонент AxAx положительный (рисунок 2.19), угол θθ в уравнении 2.16 идентичен дирекционному углу θAθA. Для векторов в четвертом квадранте угол θθ отрицательный, что означает, что для этих векторов угол направления θAθA измеряется на по часовой стрелке на от положительной оси x . Точно так же для векторов во втором квадранте угол θθ отрицателен. Когда вектор лежит во втором или третьем квадранте, где компонент AxAx отрицательный, угол направления равен θA = θ + 180 ° θA = θ + 180 ° (рисунок 2.19).

Фигура 2.19 Скалярные компоненты вектора могут быть положительными или отрицательными. Векторы в первом квадранте (I) имеют обе скалярные компоненты положительные, а векторы в третьем квадранте имеют обе скалярные компоненты отрицательные. Для векторов в квадрантах II и III угол направления вектора равен θA = θ + 180 ° θA = θ + 180 °.

Пример 2,4

Величина и направление вектора смещения

Вы перемещаете указатель мыши на мониторе из его исходного положения в точку (6,0 см, 1.6 см) к значку, расположенному в точке (2,0 см, 4,5 см). Каковы величина и направление вектора смещения указателя?

Стратегия

В примере 2.3 мы нашли вектор смещения D → D → указателя мыши (см. Уравнение 2.14). Мы идентифицируем его скалярные компоненты Dx = −4.0cmDx = −4.0cm и Dy = + 2.9cmDy = + 2.9cm и подставляем в Уравнение 2.15 и Уравнение 2.16, чтобы найти звездную величину D и направление θDθD соответственно.

Решение

Величина вектора D → D → равна D = Dx2 + Dy2 = (- 4.0 см) 2+ (2,9 см) 2 = (4,0) 2+ (2,9) 2 см = 4,9 см D = Dx2 + Dy2 = (- 4,0 см) 2+ (2,9 см) 2 = (4,0) 2+ (2,9) 2 см = 4,9 см.

Угол направления

tanθ = DyDx = + 2,9 см − 4,0 см = −0,725⇒θ = tan − 1 (−0,725) = -35,9 °. tanθ = DyDx = + 2,9 см − 4,0 см = −0,725⇒θ = tan − 1 (−0,725 ) = — 35,9 °.

Вектор D → D → лежит во втором квадранте, поэтому его угол направления равен

. θD = θ + 180 ° = −35,9 ° + 180 ° = 144,1 °. θD = θ + 180 ° = −35,9 ° + 180 ° = 144,1 °.

Проверьте свое понимание 2,5

Если вектор смещения синей мухи, идущей по листу миллиметровой бумаги, равен D → = (- 5.) см, найдите его величину и направление.

Во многих приложениях величины и направления векторных величин известны, и нам нужно найти равнодействующую многих векторов. Например, представьте 400 автомобилей, движущихся по мосту Золотые Ворота в Сан-Франциско под сильным ветром. Каждая машина толкает мост в разных направлениях, и мы хотели бы знать, насколько сильным может быть результирующий толчок. У нас уже есть некоторый опыт геометрического построения векторных сумм, поэтому мы знаем, что задача нахождения результирующей путем рисования векторов и измерения их длины и углов может довольно быстро стать неразрешимой, что приведет к огромным ошибкам.Подобные опасения не возникают, когда мы используем аналитические методы. Самый первый шаг в аналитическом подходе — найти компоненты вектора, когда направление и величина вектора известны.

Вернемся к прямоугольному треугольнику на рис. 2.18. Отношение смежной стороны AxAx к гипотенузе A является функцией косинуса угла направления θAθA, Ax / A = cosθAAx / A = cosθA, а отношение противоположной стороны AyAy к гипотенузе A является функцией синуса. из θAθA, Ay / A = sinθAAy / A = sinθA.Когда звездная величина A, и направление θAθA известны, мы можем решить эти соотношения для скалярных компонентов:

{Ax = AcosθAAy = AsinθA. {Ax = AcosθAAy = AsinθA.

2,17

При вычислении компонентов вектора по уравнению 2.17 следует соблюдать осторожность с углом. Направляющий угол θAθA вектора — это угол, измеренный против часовой стрелки на от положительного направления на оси x к вектору. Измерение по часовой стрелке дает отрицательный угол.

Пример 2.5

Компоненты векторов смещения

Группа спасения пропавшего ребенка следует за поисковой собакой по кличке Десантник. Солдат много блуждает и делает много пробных обнюхиваний разными путями. Солдат в конце концов находит ребенка, и у истории счастливый конец, но его перемещения на разных ногах кажутся действительно запутанными. оси y указывает на север.Десантник имеет пять ног, значит, есть пять векторов смещения. Мы начинаем с определения их величин и углов направления, затем используем уравнение 2.17 для нахождения скалярных компонентов смещений и уравнение 2.12 для векторов смещений.

Решение

На первом отрезке величина смещения L1 = 200.0mL1 = 200.0m, направление — юго-восток. В качестве угла направления θ1θ1 мы можем взять либо 45 ° 45 °, измеренное по часовой стрелке с восточного направления, либо 45 ° + 270 ° 45 ° + 270 °, измеренное против часовой стрелки с восточного направления.вдоль оси x и оси y соответственно. Декартова система координат очень удобна для описания перемещений и скоростей объектов, а также сил, действующих на них. Однако это становится громоздким, когда нам нужно описывать вращение объектов. При описании вращения мы обычно работаем в полярной системе координат..direction указывает, как угол φφ изменяется в направлении против часовой стрелки. Таким образом, точка P , имеющая координаты ( x , y ) в прямоугольной системе, может быть эквивалентно описана в полярной системе координат двумя полярными координатами (r, φ) (r, φ). Уравнение 2.17 справедливо для любого вектора, поэтому мы можем использовать его, чтобы выразить координаты x и y вектора r → r →. Таким образом, мы получаем связь между полярными координатами и прямоугольными координатами точки P :

{х = rcosφy = rsinφ.определяет положительное направление вращения на угол φφ.

Пример 2,6

Полярные координаты

Охотник за сокровищами находит одну серебряную монету на расстоянии 20,0 м от сухого колодца в направлении 20 ° 20 ° к северу от востока и находит одну золотую монету на расстоянии 10,0 м от колодца в направлении 20 ° 20 ° к северу от него. Запад. Каковы полярные и прямоугольные координаты этих находок относительно скважины?

Стратегия

Колодец отмечает начало системы координат, а восток — это направление + x .Мы определяем радиальные расстояния от местоположений до начала координат, которые составляют rS = 20.0mrS = 20.0 м (для серебряной монеты) и rG = 10.0mrG = 10.0 м (для золотой монеты). Чтобы найти угловые координаты, преобразуем 20 ° 20 ° в радианы: 20 ° = π20 / 180 = π / 920 ° = π20 / 180 = π / 9. Мы используем уравнение 2.18, чтобы найти координаты монет x и y .

Решение

Угловая координата серебряной монеты φS = π / 9φS = π / 9, тогда как угловая координата золотой монеты φG = π − π / 9 = 8π / 9φG = π − π / 9 = 8π / 9.Следовательно, полярные координаты серебряной монеты равны (rS, φS) = (20,0 м, π / 9) (rS, φS) = (20,0 м, π / 9), а координаты золотой монеты — (rG, φG) = (10,0 м, 8π / 9) (rG, φG) = (10,0 м, 8π / 9). Мы подставляем эти координаты в уравнение 2.18, чтобы получить прямоугольные координаты. Для золотой монеты координаты {xG = rGcosφG = (10,0 м) cos8π / 9 = −9,4myG = rGsinφG = (10,0 м) sin8π / 9 = 3,4 м⇒ (xG, yG) = (- 9,4 м, 3,4 м). {xG = rGcosφG = (10,0 м) cos8π / 9 = −9,4myG = rGsinφG = (10,0 м) sin8π / 9 = 3,4 м⇒ (xG, yG) = (- 9,4 м, 3,4 м).

Для серебряной монеты координаты

{xS = rScosφS = (20.0 м) cosπ / 9 = 18,9myS = rSsinφS = (20,0 м) sinπ / 9 = 6,8 м⇒ (xS, yS) = (18,9 м, 6,8 м). {XS = rScosφS = (20,0 м) cosπ / 9 = 18,9 myS = rSsinφS = (20,0 м) sinπ / 9 = 6,8 м⇒ (xS, yS) = (18,9 м, 6,8 м).

Векторы в трех измерениях

Чтобы указать положение точки в пространстве, нам нужны три координаты ( x , y , z ), где координаты x и y определяют местоположение на плоскости, а координата z дает вертикальное положение выше или ниже плоскости. Трехмерное пространство имеет три ортогональных направления, поэтому нам нужны не два, а три единичных вектора для определения трехмерной системы координат..

2,19

Если мы знаем координаты его начала b (xb, yb, zb) b (xb, yb, zb) и его конца e (xe, ye, ze) e (xe, ye, ze), то его скалярные компоненты равны полученные путем взятия их разностей: AxAx и AyAy задаются уравнением 2.13, а компонент z равен

Az = ze−zb.Az = ze − zb.

2,20

Величина A получается обобщением уравнения 2.15 на три измерения:

A = Ax2 + Ay2 + Az2. A = Ax2 + Ay2 + Az2.

2,21

Это выражение для величины вектора получено в результате двойного применения теоремы Пифагора.Как видно на рисунке 2.22, диагональ в плоскости xy имеет длину Ax2 + Ay2Ax2 + Ay2, и ее квадрат прибавляется к квадрату Az2Az2, чтобы получить A2A2. Обратите внимание, что когда -компонента z равна нулю, вектор полностью лежит в плоскости xy , и его описание сокращается до двух измерений.

Фигура 2,22 Вектор в трехмерном пространстве — это векторная сумма трех его векторных компонентов.

Пример 2,7

Взлет дрона

Во время взлета IAI Heron (рисунок 2.23), его положение по отношению к диспетчерской — 100 м над землей, 300 м к востоку и 200 м к северу. Минутой позже он находится на высоте 250 м над землей, 1200 м к востоку и 2100 м к северу. Каков вектор смещения дрона по отношению к диспетчерской вышке? Какова величина его вектора смещения?

Фигура 2,23 Дрон IAI Heron в полете. (Источник: SSgt Рейнальдо Рамон, ВВС США)

Стратегия

Возьмем начало декартовой системы координат за диспетчерскую вышку., который указывает вверх от земли. Первое положение дрона — это начало (или, что то же самое, начало) вектора смещения, а его второе положение — конец вектора смещения.

Решение

Мы идентифицируем b (300,0 м, 200,0 м, 100,0 м) и e (1200 м, 2100 м, 250 м) и используем уравнение 2.13 и уравнение 2.20, чтобы найти скалярные компоненты вектора смещения дрона. : {Dx = xe − xb = 1200,0 м − 300,0 м = 900,0 м, Dy = ye − yb = 2100,0 м − 200,0 м = 1900,0 м, Dz = ze − zb = 250.) м / с, какова величина вектора скорости дрона?

3.5: Системы координат и компоненты вектора (Часть 2)

Полярные координаты

Чтобы описать расположение точек или векторов на плоскости, нам нужны два ортогональных направления. В декартовой системе координат эти направления задаются единичными векторами \ (\ hat {i} \) и \ (\ hat {j} \) вдоль оси x и оси y, соответственно. Декартова система координат очень удобна для описания перемещений и скоростей объектов, а также сил, действующих на них.Однако это становится громоздким, когда нам нужно описывать вращение объектов. При описании вращения мы обычно работаем в полярной системе координат .

В полярной системе координат положение точки P на плоскости задается двумя полярными координатами (рисунок \ (\ PageIndex {1} \)). Первая полярная координата — это радиальная координата r, которая представляет собой расстояние точки P от начала координат. Вторая полярная координата — это угол \ (\ varphi \), который радиальный вектор образует с некоторым выбранным направлением, обычно положительным x-направлением.В полярных координатах углы измеряются в радианах или радах. Радиальный вектор прикреплен к началу координат и указывает от начала координат к точке P. Это радиальное направление описывается единичным радиальным вектором \ (\ hat {r} \). Второй единичный вектор \ (\ hat {t} \) — это вектор, ортогональный радиальному направлению \ (\ hat {r} \). Положительное направление + \ (\ hat {t} \) указывает, как угол \ (\ varphi \) изменяется в направлении против часовой стрелки. Таким образом, точка P, имеющая координаты (x, y) в прямоугольной системе, может быть эквивалентно описана в полярной системе координат двумя полярными координатами (r, \ (\ varphi \)).Уравнение 2.4.13 справедливо для любого вектора, поэтому мы можем использовать его для выражения x- и y-координат вектора \ (\ vec {r} \). Таким образом, мы получаем связь между полярными координатами и прямоугольными координатами точки P:

\ [\ begin {cases} x = r \ cos \ varphi \\ y = r \ sin \ varphi \ end {cases} \ ldotp \ label {2.18} \]

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Используя полярные координаты, единичный вектор \ (\ hat {r} \) определяет положительное направление вдоль радиуса r (радиальное направление) и ортогональный к нему единичный вектор \ ( \ hat {t} \) определяет положительное направление вращения на угол \ (\ varphi \).

Пример \ (\ PageIndex {1} \): полярные координаты

Охотник за сокровищами находит одну серебряную монету в 20,0 м от сухого колодца в направлении 20 ° к северу от востока и находит одну золотую монету в 10,0 м от колодца в направлении 20 ° к северу от запада. Каковы полярные и прямоугольные координаты этих находок относительно скважины?

Стратегия

Скважина отмечает начало системы координат, а восток — это направление + x.Мы определяем радиальные расстояния от местоположений до начала координат, которые равны r _S = 20,0 м (для серебряной монеты) и r _G = 10,0 м (для золотой монеты). Чтобы найти угловые координаты, мы конвертируем 20 ° в радианы: 20 ° = \ (\ frac {\ pi \; 20} {180} \) = \ (\ frac {\ pi} {9} \). Мы используем уравнение \ ref {2.18}, чтобы найти x- и y-координаты монет.

Решение

Угловая координата серебряной монеты равна \ (\ varphi_ {S} \) = \ (\ frac {\ pi} {9} \), а угловая координата золотой монеты — \ (\ varphi_ {G} \ ) = \ (\ pi \) — \ (\ frac {\ pi} {9} \) = \ (\ frac {8 \ pi} {9} \).Следовательно, полярные координаты серебряной монеты (r _S , \ (\ varphi_ {S} \)) = (20,0 м, \ (\ frac {\ pi} {9} \)), а координаты золотой монеты равны (r _G , \ (\ varphi_ {G} \)) = (10,0 м, \ frac {8 \ pi} {9} \)). Мы подставляем эти координаты в уравнение \ ref {2.18}, чтобы получить прямоугольные координаты. Для золотой монеты координаты

.

\ [\ begin {cases} x_ {G} = r_ {G} \ cos \ varphi_ {G} = (10,0 \; м) \ cos \ frac {8 \ pi} {9} = -9,4 \; m \\ y_ {G} = r_ {G} \ sin \ varphi_ {G} = (10.0 \; m) \ sin \ frac {8 \ pi} {9} = 3.4 \; m \ end {case} \ Rightarrow (x_ {G}, y_ {G}) = (-9.4 \; m, 3.4 \; m) \ ldotp \]

Для серебряной монеты координаты

\ [\ begin {cases} x_ {S} = r_ {S} \ cos \ varphi_ {S} = (20,0 \; м) \ cos \ frac {\ pi} {9} = 18,9 \; m \\ y_ {S} = r_ {S} \ sin \ varphi_ {S} = (20.0 \; m) \ sin \ frac {\ pi} {9} = 6.8 \; m \ end {case} \ Rightarrow (x_ {S}, y_ {S}) = (18.9 \; m, 6.8 \; m) \ ldotp \]

Векторы в трех измерениях

Чтобы указать положение точки в пространстве, нам нужны три координаты (x, y, z), где координаты x и y определяют положения на плоскости, а координата z задает положения по вертикали над или под плоскостью.Трехмерное пространство имеет три ортогональных направления, поэтому нам нужны не два, а три единичных вектора для определения трехмерной системы координат. В декартовой системе координат первые два единичных вектора — это единичный вектор оси x \ (\ hat {i} \) и единичный вектор оси y \ (\ hat {j} \). Третий единичный вектор \ (\ hat {k} \) — это направление оси z (рисунок \ (\ PageIndex {2} \)). Порядок, в котором помечены оси, то есть порядок, в котором появляются три единичных вектора, важен, потому что он определяет ориентацию системы координат.Порядок xyz, который эквивалентен порядку \ (\ hat {i} \) — \ (\ hat {j} \) — \ (\ hat {k} \), определяет стандартную правостороннюю систему координат (положительная ориентация).

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Три единичных вектора определяют декартову систему в трехмерном пространстве. Порядок, в котором появляются эти единичные векторы, определяет ориентацию системы координат. Показанный здесь порядок определяет правостороннюю ориентацию.

В трехмерном пространстве вектор \ (\ vec {A} \) имеет три компонента вектора: компонент x \ (\ vec {A} _ {x} \) = A _x \ (\ hat {i } \), которая является частью вектора \ (\ vec {A} \) по оси x; y-составляющая \ (\ vec {A} _ {y} \) = A _y \ (\ hat {j} \), которая является частью \ (\ vec {A} \) вдоль оси y ось; и z-компонента \ (\ vec {A} _ {z} \) = A _z \ (\ hat {k} \), которая является частью вектора вдоль оси z.Вектор в трехмерном пространстве — это векторная сумма трех его векторных компонентов (рисунок \ (\ PageIndex {3} \)):

\ [\ vec {A} = A_ {x} \ hat {i} + A_ {y} \ hat {j} + A_ {z} \ hat {k} \ ldotp \ label {2.19} \]

Если мы знаем координаты его начала b (x _b , y _b , z _b ) и его конца e (x _e y _e , z _e ), его скалярные компоненты получаются путем взятия их разностей: A _x и A _y даются как

\ [\ begin {cases} A_ {x} = x_ {e} — x_ {b} \ nonumber \\ A_ {y} = y_ {e} — y_ {b} \ ldotp \ nonumber \ end {cases} \ ]

, а z-компонент равен

.

\ [A_ {z} = z_ {e} — z_ {b} \ ldotp \ label {2.{2}} \), и его квадрат прибавляется к квадрату A _z ² , чтобы получить A ² . Обратите внимание, что когда z-компонента равна нулю, вектор полностью лежит в плоскости xy, и его описание сокращается до двух измерений.

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): Вектор в трехмерном пространстве — это векторная сумма трех его векторных компонентов.

Пример \ (\ PageIndex {2} \): Взлет дрона

Во время взлета IAI Heron (рисунок \ (\ PageIndex {4} \)) его положение по отношению к диспетчерской вышке составляет 100 м над землей, 300 м к востоку и 200 м к северу.Минутой позже он находится на высоте 250 м над землей, 1200 м к востоку и 2100 м к северу. Каков вектор смещения дрона по отношению к диспетчерской вышке? Какова величина его вектора смещения?

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): Дрон IAI Heron в полете. (Источник: SSgt Рейнальдо Рамон, ВВС США)

Стратегия

Возьмем начало декартовой системы координат за диспетчерскую вышку. Направление оси + x задается единичным вектором \ (\ hat {i} \) на восток, направление оси + y задается единичным вектором \ (\ hat {j} \) к точке север, а направление оси + z задается единичным вектором \ (\ hat {k} \), который указывает вверх от земли.Первое положение дрона — это начало (или, что то же самое, начало) вектора смещения, а его второе положение — конец вектора смещения. {2}} = \ sqrt {(0.{2}} = 4,44 \; км \ ldotp \]

Упражнение 2.7

Если вектор средней скорости дрона в смещении в примере 2.7 равен \ (\ vec {u} \) = (15.0 \ (\ hat {i} \) + 31.7 \ (\ hat {j} \) + 2.5 \ (\ hat {k} \)) м / с, какова величина вектора скорости дрона?

Вектор положения

— объяснение и примеры

Мы можем использовать вектор положения , чтобы сообщить нам положение одного объекта относительно другого. В частности, вектор положения:

«Вектор, который указывает местоположение или положение данной точки относительно произвольной контрольной точки, такой как начало координат.”

В этом разделе мы обсудим следующие аспекты векторов положения:

• Что такое вектор положения?
• Как найти вектор положения

Что такое вектор положения?

Часто векторы, которые начинаются в начале координат и заканчиваются в любой произвольной точке, называются векторами положения. Они используются для определения положения точки относительно начала координат.

Направление вектора положения указывает от начала координат к данной точке.В c \ декартовой системе координат, если точка O — начало координат, а Q — некоторая точка (x1, y1), тогда вектор положения, направленный из точки O в точку Q, представлен как OQ . В трехмерном пространстве, если O = (0,0,0) и Q = (x1, y1, z1), то вектор положения r точки Q представлен следующим образом:

r = x1i + y1j + z1k

Предположим, у нас есть два вектора, A и B, с векторами положения a = (2,4) и b = (3, 5) соответственно.Затем мы можем записать координаты векторов A и B как:

A = (2,4), B = (3, 5)

Как найти вектор положения

Перед определяя вектор положения точки, нам сначала нужно определить координаты этой точки. Предположим, у нас есть две точки, M и N, где M = (x1, y1) и N = (x2, y2). Затем мы хотим найти вектор положения из точки M в точку N, вектор MN . Чтобы определить этот вектор положения, мы вычитаем соответствующие компоненты M из N :

MN = (x2-x1, y2-y1)

Формула вектора положения

Используя информацию выше, мы можем обобщить формула, которая будет определять вектор положения между двумя точками, если бы мы знали положение точек в плоскости xy.

Например, рассмотрим точку P, которая имеет координаты (xk, yk) в плоскости xy, и другую точку Q, которая имеет координаты (xk + 1, yk + 1). Формула для определения вектора положения от P до Q:

PQ = ((xk + 1) -xk, (yk + 1) -yk)

Помните, что вектор положения PQ относится к вектору, который начинается в точке P и заканчивается в точке Q. Точно так же, если мы хотим найти вектор положения из точки Q в точку P, мы можем написать:

QP = (xk — (xk + 1), yk — (yk + 1))

Примеры

В этом разделе мы обсудим некоторые примеры задач вектора положения и их пошаговые решения.Это поможет глубже понять векторы позиций.

Пример 1

По двум точкам A = (-4, 6) и B = (5, 12) определите вектор положения AB. Затем , вычисляют величину вектора AB .

Решение

Учитывая две точки в системе координат xy, мы можем использовать следующую формулу, чтобы найти вектор положения AB :

AB = (x2-x1, y2-y1)

Где x1, y1 представляют координаты точки A, а x2, y2 представляют координаты точки B.Таким образом, просто подставив значения точек A и B в приведенное выше уравнение, мы можем найти вектор положения AB :

AB = (5 — (- 4), 12-6)

AB = ((5+ 4), 12-6)

AB = (9, 6)

Таким образом, вектор положения AB эквивалентен вектору, который начинается в начале координат и направлен в точку на 9 единиц, чтобы вправо по оси x и на 6 единиц вверх по оси y. 2

| AB | = √81 + 36

| AB | = √117

| AB | = 3√13

Пример 2

Учитывая две точки A = (-4, 6) и B = (5, 12), определите вектор положения BA. Затем вычислите величину вектора BA и опишите взаимосвязь между вектором положения AB и вектором положения BA .

Решение

Учитывая две точки в системе координат xy, мы можем использовать следующую формулу, чтобы найти вектор положения BA :

BA = (x1-x2, y1-y2)

Где x1, y1 представляют координаты точки A, а x2, y2 представляют координаты точки B.Обратите внимание, что вектор положения BA представляет собой вектор, направленный от точки B к точке A. Он отличается от вектора положения AB, , который направлен от A к B. Таким образом, просто помещая значения точек A и B в приведенном выше уравнении мы можем найти вектор положения BA:

BA = (-4-5), 6-12)

BA = (-9, -6)

Таким образом, вектор положения BA эквивалентен вектору, который начинается в начале координат и направлен в точку на 9 единиц влево по оси x и на 6 единиц вниз по оси y.2

| BA | = √81 + 36

| BA | = √117

| BA | = 3√13

Напомним, что в первом примере мы нашли вектор положения AB для тех же точек, а в этом примере мы определили вектор положения BA. Два вектора положения имеют одинаковую величину. Поскольку они имеют противоположные направления, отношения между ними следующие:

BA = -1 * (9, 6)

BA = -1 * AB

BA = — AB

Таким образом, два вектора положения параллельны друг другу и противоположны друг другу.То есть они отрицания друг друга.

Пример 3

Учитывая, что вектор положения точки, S1, равен OS1 = (2, 3), и что вектор S1S2 = (-3, 6), определить вектор положения точки точка S2, OS2 .

Решение

Сначала мы строим вектор OS1 с его начальной точкой в ​​начале координат (0,0) и конечной точкой в ​​точке (2,3). Мы также строим вектор OS2, , который начинается в начале координат и заканчивается в точке S2.Обозначим неизвестное положение S2 произвольными координатными точками (x, y). Поскольку мы знаем вектор положения S1S2 и знаем, что он дает связь между S1 и S2, мы также можем нарисовать S1S2. Это направленный вектор, начальная точка которого находится в S1 и направлен на три единицы влево и на шесть единиц вверх. Из изображения ниже видно, что у нас есть треугольник 0S1S2. Таким образом, теперь мы можем использовать закон треугольника (или правило «голова к хвосту») сложения векторов для определения координат точки S2 следующим образом:

S1S2 = OS1 + OS2

OS2 = S1S2 — OS1

Подставляя данные значения в это уравнение, мы получаем:

OS2 = (-3, 6) — (2, 3)

OS2 = (-3, 6) + ( -2, -3)

OS2 = (-3-2, 6-3)

OS2 = (-5, 3)

Таким образом, OS2 = (- 5, 3) является вектор положения для точки S2.

Пример 4

Учитывая две точки M = (4, m) и Q = (-n, -3), определите вектор положения QM.

Решение

Учитывая две точки в системе координат xy, мы можем использовать следующую формулу для определения вектора положения Q :

QM = (-n-4, -3-m) .

Поскольку нам неизвестны координаты QM или значения n и m, мы не можем упростить уравнение.2

| R | = √100 + 25 + 9

| R | = √100 + 25 + 9

| R | = √134

Пример 6

Учитывая точки, c = 5i + 6j + 3k и d = 2i + 5j — 2k в ортогональной системе, определите вектор положения между этими двумя точками, CD.

Решение

Учитывая две точки, мы можем использовать следующую формулу для определения вектора положения CD :

CD = (2-5, 5-5, -2-3)

CD = (-3, 0, -5)

CD = -3i + 0j -5k

Практические вопросы

1. Пусть u = (-1, 4) и v = (2 , 5).Определите вектор положения, представленный UV .
2. Пусть u = (-1, 4) и v = (2, 5). Определите вектор положения, представленный VU .
3. Пусть v = (3, 5) и VM = (-6, 3). Найдите вектор положения точки m.
4. Для данного b = (3,2,5) определите его вектор положения, R. Затем найдите длину вектора
5. Пусть вектор AB начинается с a = (1, 2) и заканчивается на Ь = (2, 3). Определите его вектор положения и его длину.
6. Пусть вектор OB начинается с o = (0,0) и заканчивается на b = (-2, 6). Определите его вектор положения.

Ответы

1. UV = (3,1). Направление UV на 3 единицы вправо по оси x и на 1 единицу вверх.
2. VU = (-3, -1). Направление VU — на 3 единицы влево по оси x и на 1 единицу вниз. Два вектора UV и VU, противоположны по направлению.
3. Вектор положения точки m может быть задан OM = (-9, -2)
4. R = 3i + 2j + 5k — вектор положения, и его длина | R | = √38
5. Вектор положения равен AB = (1,1), а его длина равна | AB | = √2
6. Вектор положения равен OB = (-2,6), а его длина равна | OB | = √40

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Сложение векторов — Векторы | Векторные компоненты | Уравнения

Темы

• Векторы
• Компоненты вектора
• Сложение векторов
• Уравнения

Описание

Исследуйте векторы в 1D или 2D и узнайте, как векторы складываются вместе.Задайте векторы в декартовых или полярных координатах и ​​посмотрите величину, угол и компоненты каждого вектора. Поэкспериментируйте с векторными уравнениями и сравните векторные суммы и разности.

Примеры целей обучения

• Опишите вектор своими словами
• Объясните метод сложения векторов
• Сравните и сопоставьте стили компонентов
• Разложите вектор на компоненты
• Опишите, что происходит с вектором, когда он умножается на скаляр
• Упорядочить векторы графически для представления сложения или вычитания векторов

Согласование стандартов

Общее ядро ​​- математика

HSN-VM.А.1

(+) Распознавать векторные величины как имеющие как величину, так и направление. Представляйте векторные величины направленными линейными сегментами и используйте соответствующие символы для векторов и их величин (например, v , | v |, || v ||, v ).

HSN-VM.A.2

(+) Найдите компоненты вектора, вычитая координаты начальной точки из координат конечной точки.

HSN-VM.B.4

(+) Сложение и вычитание векторов.

HSN-VM.B.4a

Складывайте векторы непрерывно, покомпонентно и по правилу параллелограмма. Поймите, что величина суммы двух векторов обычно не является суммой величин.

HSN-VM.B.4b

Имея два вектора по величине и направлению, определите величину и направление их суммы.

HSN-VM.B.4c

Понимание векторного вычитания v — w как v + (- w ), где — w — аддитив, обратный w той же величины, что и w , и указывает в противоположном направлении. Представьте вычитание вектора графически, соединив кончики в соответствующем порядке, и выполните вычитание вектора покомпонентно.

HSN-VM.B.5

(+) Умножьте вектор на скаляр.

HSN-VM.B.5a

Изобразить скалярное умножение графически путем масштабирования векторов и, возможно, изменения их направления; выполнить скалярное умножение покомпонентно, например, как c ( v _x , v _y ) = ( cv _x , cv 47 , cv 47 ).

HSN-VM.B.5b

Вычислить величину скалярного кратного c v , используя || c v || = | c | v . Вычислить направление c v , зная, что когда | c | v ≠ 0, направление c v либо вдоль v (для c > 0), либо против v (для c <0) .

Версия 1.0.1

HTML5 sims могут работать на iPad и Chromebook, а также в системах ПК, Mac и Linux в современных веб-браузерах. Если у вас возникли проблемы с использованием симулятора HTML5 на поддерживаемой платформе, отключите все расширения браузера.

iPad:
iOS 12+ Safari
iPad-совместимые sim-карты

Android:
Официально не поддерживается. Если вы используете симуляторы HTML5 на Android, мы рекомендуем использовать последнюю версию Google Chrome.

Chromebook:
Последняя версия Google Chrome
Симуляторы HTML5 и Flash PhET поддерживаются на всех устройствах Chromebook.
SIM-карты, совместимые с Chromebook

Системы Windows:
Microsoft Edge, последняя версия Firefox, последняя версия Google Chrome.

Системы Macintosh:
macOS 10.13+, Safari 13+, последняя версия Chrome.

Системы Linux:
Официально не поддерживается. Пожалуйста, свяжитесь с phethelp @ colorado.edu с проблемами устранения неполадок.

Величина и направление векторов

Величина вектора

Величина вектора п Q → это расстояние между начальной точкой п и конечная точка Q . В символах величина п Q → записывается как | п Q → | .

Если заданы координаты начальной и конечной точек вектора, то Формула расстояния можно использовать для определения его величины.

| п Q → | знак равно ( Икс 2 — Икс 1 ) 2 + ( у 2 — у 1 ) 2

Пример 1:

Найдите величину вектора п Q → чья начальная точка п Я сидел ( 1 , 1 ) и конечная точка находится в Q Я сидел ( 5 , 3 ) .

Решение:

Используйте формулу расстояния.

Подставьте значения Икс 1 , у 1 , Икс 2 , а также у 2 .

| п Q → | знак равно ( 5 — 1 ) 2 + ( 3 — 1 ) 2 знак равно 4 2 + 2 2 знак равно 16 + 4 знак равно 20 ≈ 4.5

Величина п Q → около 4.5 .

Направление вектора

Направление вектора — это мера угла, который он образует с горизонтальная линия .

Для определения направления вектора можно использовать одну из следующих формул:

загар θ знак равно у Икс , куда Икс горизонтальное изменение и у это вертикальное изменение

или

загар θ знак равно у 2 — у 1 Икс 2 — Икс 1 , куда ( Икс 1 , у 1 ) начальная точка и ( Икс 2 , у 2 ) конечная точка.

Пример 2:

Найдите направление вектора п Q → чья начальная точка п Я сидел ( 2 , 3 ) и конечная точка находится в Q Я сидел ( 5 , 8 ) .

Даны координаты начальной и конечной точек.Подставьте их в формулу загар θ знак равно у 2 — у 1 Икс 2 — Икс 1 .

загар θ знак равно 8 — 3 5 — 2 знак равно 5 3

Найдите обратный загар и воспользуйтесь калькулятором.

θ знак равно загар — 1 ( 5 3 ) ≈ 59 °

Вектор п Q → имеет направление около 59 ° .

Вектор

в форме компонентов

Вектор в форме компонентов — это координатная форма, в которой вектор может быть разбит на компоненты x и y.
$ \ vec {V} = $. этот представитель вектора v находится в стандартной позиции .
Вектор, начальная точка которого является началом координат, поэтому его координаты равны (0,0), а его конечная точка имеет координаты $ (v_ {1}, v_ {2} $, тогда компонент вектора v равен $ (v_ { 1}, v_ {2} $. Координаты $ (v_ {1} $ и $ v_ {2}) $ являются компонентами ‘v’. 2) $
$ \ left \ | PQ \ right \ | = \ sqrt (25 + 144) $
$ \ vec {PQ} $ = 13

Пример: 2 Найдите форму компонента и величину вектора v , начальная точка которого (-2,3) и конец балл (-7,9).2) $
$ \ left \ | PQ \ right \ | = \ sqrt (25 + 36) $
$ \ vec {PQ} = \ sqrt 61 $
$ \ vec {PQ} $ = 7,81

Математика в 11 классе

Дом

Covid-19 заставил мир пройти феноменальный переход.

Электронное обучение — это будущее уже сегодня.

Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

Датчики | Бесплатный полнотекстовый | На пути к надежному управлению роботами в декартовом пространстве с использованием безинфраструктурного интерфейса «голова и глаза»

Рисунок 1. Предлагаемый интерфейс головы ( a ) и отображение векторов головы и взгляда ( b ). Голова Интерфейс ( a ) состоит из бинокулярной гарнитуры с креплением USB-C и специального крепления камеры объединение камеры глубины ③, датчика MARG ① и лазера обратной связи ②. На изображении ( b ) изображены голова и вектор взгляда берет начало от границы раздела к мировой точке P.

Рисунок 1. Предлагаемый интерфейс головы ( a ) и отображение векторов головы и взгляда ( b ). Голова Интерфейс ( a ) состоит из бинокулярной гарнитуры с креплением USB-C и специального крепления камеры объединение камеры глубины ③, датчика MARG ① и лазера обратной связи ②. На изображении ( b ) изображены голова и вектор глаз-взгляд берет начало от границы раздела к точке мира стр.

Рисунок 2. Блок-схема общей настройки системы.Система состоит из трех основных программных и аппаратных компонентов, которые позволяют рассчитывать надежные управляющие сигналы для роботизированной телеоперации: ( A ) Точная оценка положения головы на основе визуально-инерциальной оценки положения и ориентации, ( B ) расчет трехмерных изображений глаз и головы из известных положений головы и точек взгляда из плотных трехмерных изображений глубины, а также ( C ) интерфейс приложения для управления роботом в 6D декартовом пространстве.

Рисунок 2. Блок-схема общей настройки системы. Система состоит из трех основных программных и аппаратных компонентов, которые позволяют рассчитывать надежные управляющие сигналы для роботизированной телеоперации: ( A ) Точная оценка положения головы на основе визуально-инерциальной оценки положения и ориентации, ( B ) расчет трехмерных изображений глаз и головы из известных положений головы и точек взгляда из плотных трехмерных изображений глубины, а также ( C ) интерфейс приложения для управления роботом в 6D декартовом пространстве.

Рисунок 3. Последовательность изображений, видимая с помощью фильтрованных выходов камеры. Слева , изображение без эмиттерного проектора, посередине , изображение с эмиттерным рисунком проектора (белые точки) и справа , глубинное изображение.

Рисунок 3. Последовательность изображений, видимая на выходе фильтрованной камеры. Слева , изображение без эмиттерного проектора, посередине , изображение с эмиттерным рисунком проектора (белые точки) и справа , глубинное изображение.

Рисунок 4. Блок-схема программного обеспечения слияния данных для оценки позы головы. Узел ORB SLAM 2 рассчитывает полную позу в кадре камеры, которая преобразуется в навигационную рамку датчиков MARG. Вектор переноса Ct → преобразуется в мировую систему координат, образуя Nt →, и напрямую используется как истинное положение головы. Оценка ориентации головы BNq основана на структуре фильтра MARG, включающей три разных вектора коррекции заголовка (визуальный заголовок, заголовок IMU, магнитный заголовок).Фильтр выбирает соответствующий источник курса на основе распознавания помех по отклонениям векторного скалярного произведения для надежной оценки ориентации.

Рисунок 4. Блок-схема программного обеспечения слияния данных для оценки позы головы. Узел ORB SLAM 2 рассчитывает полную позу в кадре камеры, которая преобразуется в навигационную рамку датчиков MARG. Вектор переноса Ct → преобразуется в мировую систему координат, образуя Nt →, и напрямую используется как истинное положение головы.Оценка ориентации головы BNq основана на структуре фильтра MARG, включающей три разных вектора коррекции заголовка (визуальный заголовок, заголовок IMU, магнитный заголовок). Фильтр выбирает соответствующий источник курса на основе распознавания помех по отклонениям векторного скалярного произведения для надежной оценки ориентации.

Рисунок 5. Блок-схема оценки 3D взгляда. Измерения глазных камер отображаются на инфракрасный поток для генерации пары пикселей, тогда как пара пикселей положения головы имеет фиксированное значение.Обе пары пикселей передаются преобразователю взгляда для перепроецирования двухмерного пикселя в трехмерные координаты локальной камеры. Наконец, этот локальный вектор преобразуется в мировую систему координат, образующую Nd →.

Рисунок 5. Блок-схема оценки 3D взгляда. Измерения глазных камер отображаются на инфракрасный поток для генерации пары пикселей, тогда как пара пикселей положения головы имеет фиксированное значение. Обе пары пикселей передаются преобразователю взгляда для перепроецирования двухмерного пикселя в трехмерные координаты локальной камеры.Наконец, этот локальный вектор преобразуется в мировую систему координат, образующую Nd →.

Рисунок 6. 3D-реконструкция вектора взгляда: ( a ) модель камеры-обскуры, адаптированная из [29] и ( b ) иллюстрация вектора глубины точки взгляда (P) Bd → преобразование координат из тела (B) в мир система координат (N), где N либо совпадает с началом координат робота, либо с преобразованием из N к происхождению роботов известен и включен в обратную кинематическую цепочку.Вектор Np → равен входная целевая точка для обратного кинематического расчета робототехнической системы. Рисунок 6. 3D-реконструкция вектора взгляда: ( a ) модель камеры-обскуры, адаптированная из [29] и ( b ) иллюстрация вектора глубины точки взгляда (P) Bd → преобразование координат из тела (B) в мир система координат (N), где N либо совпадает с началом координат робота, либо с преобразованием из N к происхождению роботов известен и включен в обратную кинематическую цепочку.Вектор Np → равен входная целевая точка для обратного кинематического расчета робототехнической системы.

Рис. 7. Блок-схема управления роботом с 6 степенями свободы. Сигнал запуска St переключает декартову ориентацию и управление положением. Переключатель устанавливается, когда происходит моргание глаз или другое дискретное событие. Декартово управление положением генерируется с помощью ПИД-регулятора с обратной связью с противовращением и насыщением. Член ошибки вычисляется на основе желаемого трехмерного изображения головы или взгляда (уставка) и положения EFF робота на основе его соответствующей прямой кинематики (FK).Ориентация EFF отображается на основе функции Гомперца, если углы головы превышают определенную мертвую зону. Либо насыщенное положение, либо приращение угла подается на бегунок, который вычисляет обратную кинематику (IK) и якобиан для постепенного приращения положения или ориентации робота, пока ввод не равен нулю.

Рисунок 7. Блок-схема управления роботом с 6 степенями свободы. Сигнал запуска St переключает декартову ориентацию и управление положением. Переключатель устанавливается, когда происходит моргание глаз или другое дискретное событие.Декартово управление положением генерируется с помощью ПИД-регулятора с обратной связью с противовращением и насыщением. Член ошибки вычисляется на основе желаемого трехмерного изображения головы или взгляда (уставка) и положения EFF робота на основе его соответствующей прямой кинематики (FK). Ориентация EFF отображается на основе функции Гомперца, если углы головы превышают определенную мертвую зону. Либо насыщенное положение, либо приращение угла подается на бегунок, который вычисляет обратную кинематику (IK) и якобиан для постепенного приращения положения или ориентации робота, пока ввод не равен нулю.

Рисунок 8. Экспериментальная установка. Пользователь носит интерфейс и сидит за столом перед системой захвата движения Qualisys. Пользователь указывает на цель либо взглядом головы, либо взглядом. Интерфейс оснащен жестким деревом маркеров, которое прикрепляется к корпусу пользовательской камеры для сбора достоверных данных.

Рисунок 8. Экспериментальная установка. Пользователь носит интерфейс и сидит за столом перед системой захвата движения Qualisys.Пользователь указывает на цель либо взглядом головы, либо взглядом. Интерфейс оснащен жестким деревом маркеров, которое прикрепляется к корпусу пользовательской камеры для сбора достоверных данных.

Рисунок 9. Оценка угла рыскания и соответствующая абсолютная ошибка для одной попытки: ( a ) угол рыскания. сравнения между наземной истиной (Qualisys, черный), только инерциальной оценкой ориентации (желтый), только визуальная оценка ориентации SLAM (синий) и предлагаемая оценка ориентации с визуальным заменитель заголовка вектора (оранжевый).На рисунке ( b ) изображена соответствующая ошибка направления. к системе Qualisys только для визуального (синий), только для инерционного (желтый) или для визуального и инерционного рыскания оценки углов (оранжевый).

Рисунок 9. Оценка угла рыскания и соответствующая абсолютная ошибка для одной попытки: ( a ) угол рыскания. сравнения между наземной истиной (Qualisys, черный), только инерциальной оценкой ориентации (желтый), только визуальная оценка ориентации SLAM (синий) и предлагаемая оценка ориентации с визуальным заменитель заголовка вектора (оранжевый).На рисунке ( b ) изображена соответствующая ошибка направления. к системе Qualisys только для визуального (синий), только для инерционного (желтый) или для визуального и инерционного рыскания оценки углов (оранжевый).

Рисунок 10. Последовательность оценки угла рыскания при полной потере визуальных данных. Оценка угла рыскания: истинное положение (черный), предлагаемая оценка ориентации (оранжевый), оценка только инерционной ориентации (желтый) и оценка только визуальной ориентации (синий).Во время полной потери визуальной обратной связи (заштрихованные области) фильтр переключает источник входного заголовка на вектор заголовка IMU для расчета надежных данных до тех пор, пока визуальные данные снова не станут доступными.

Рисунок 10. Последовательность оценки угла рыскания при полной потере визуальных данных. Оценка угла рыскания: истинное положение (черный), предлагаемая оценка ориентации (оранжевый), оценка только инерционной ориентации (желтый) и оценка только визуальной ориентации (синий). Во время полной потери визуальной обратной связи (заштрихованные области) фильтр переключает источник входного заголовка на вектор заголовка IMU для расчета надежных данных до тех пор, пока визуальные данные снова не станут доступными.

Рисунок 11. Результаты оценок траектории движения головы для одного испытания: ( a ) Точная траектория движения головы. измеряется с помощью системы Qualisys (синий) и оценка положения на основе визуального положения оценка (оранжевый). На рисунке ( b ) показаны соответствующие абсолютные разности траекторий для каждого отдельная ось между наземными данными Qualisys и визуальной оценкой местоположения. Максимум погрешность по одной оси составляет 130 мм по оси z.

Рисунок 11. Результаты оценок траектории движения головы для одного испытания: ( a ) Точная траектория движения головы. измеряется с помощью системы Qualisys (синий) и оценка положения на основе визуального положения оценка (оранжевый). На рисунке ( b ) показаны соответствующие абсолютные разности траекторий для каждого отдельная ось между наземными данными Qualisys и визуальной оценкой местоположения. Максимум погрешность по одной оси составляет 130 мм по оси z.

Рис. 12. Результаты измерения точности взгляда головы: ( a ) Абсолютное положение взгляда головы на цель. позиция.Точное положение мишеней (красные кружки) основано на предварительно записанных данных Qualisys. измерения. Положения взгляда на голову изображены синими кругами. Траектория взгляда головы (переключение между целями) отмечено черной пунктирной линией. Примерное положение пользователей: представлен в виде черного круга. На рисунке ( b ) показана средняя ошибка взгляда головы для каждой отдельной оси вдоль целевые точки на протяжении всех испытаний. Черные пунктирные линии показывают разделение целевых групп для все четыре ряда.

Рисунок 12. Результаты измерения точности взгляда головы: ( a ) Абсолютное положение взгляда головы на цель. позиция. Точное положение мишеней (красные кружки) основано на предварительно записанных данных Qualisys. измерения. Положения взгляда на голову изображены синими кругами. Траектория взгляда головы (переключение между целями) отмечено черной пунктирной линией. Примерное положение пользователей: представлен в виде черного круга. На рисунке ( b ) показана средняя ошибка взгляда головы для каждой отдельной оси вдоль целевые точки на протяжении всех испытаний.Черные пунктирные линии показывают разделение целевых групп для все четыре ряда.

Рисунок 13. Типичные результаты измерения точности взгляда: ( a ) Абсолютное положение пристального взгляда на целевая позиция. Точное положение мишеней (красные кружки) основано на предварительно записанных данных Qualisys. измерения. Абсолютное положение взгляда на цель обозначено синими кружками. Последовательность одного полный переход между целями через взгляд обозначается пунктирной черной линией.Пользователи примерное положение представлено черным кружком. На рисунке ( b ) изображена средняя ошибка взгляда. для каждой отдельной оси вдоль целевых точек на протяжении всех испытаний. Черные пунктирные линии обозначают разделение целевых групп по всем четырем рядам.

Рисунок 13. Типичные результаты измерения точности взгляда: ( a ) Абсолютное положение пристального взгляда на целевая позиция. Точное положение мишеней (красные кружки) основано на предварительно записанных данных Qualisys. измерения.Абсолютное положение взгляда на цель обозначено синими кружками. Последовательность одного полный переход между целями через взгляд обозначается пунктирной черной линией. Пользователи примерное положение представлено черным кружком. На рисунке ( b ) изображена средняя ошибка взгляда. для каждой отдельной оси вдоль целевых точек на протяжении всех испытаний. Черные пунктирные линии обозначают разделение целевых групп по всем четырем рядам.

Рисунок 14. Приложение для управления роботом 3D точки взгляда.( a ) изображает повторное проецирование точек взгляда. (синие кружки), целевые точки (красные кружки) и TCP роботов (черная линия) на фактическую рабочую область изображение. ( b ) показывает приложение рабочей области робота. Пользователь сидит перед двойной рукой UR5 роботизированная система. Пользователь нацеливается на цели взглядом головой. Моргнув глазом (слева eye) точка взгляда переносится на конвейер управления роботом.

Рисунок 14. Приложение для управления роботом 3D точки взгляда.( a ) изображает повторное проецирование точек взгляда. (синие кружки), целевые точки (красные кружки) и TCP роботов (черная линия) на фактическую рабочую область изображение. ( b ) показывает приложение рабочей области робота. Пользователь сидит перед двойной рукой UR5 роботизированная система. Пользователь нацеливается на цели взглядом головой. Моргнув глазом (слева eye) точка взгляда переносится на конвейер управления роботом.

Рисунок 15. Средняя среднеквадратичная ошибка взгляда головы для каждой отдельной оси вдоль целевых точек на протяжении пяти испытаний во время телеоперации робота.

Рисунок 15. Средняя среднеквадратичная ошибка взгляда головы для каждой отдельной оси вдоль целевых точек на протяжении пяти испытаний во время телеоперации робота.

Таблица 1. Среднее значение RMSE для инерционной и предлагаемой визуально-инерциальной оценки ориентации [Среднее ± стандартное отклонение].

Таблица 1. Среднее значение RMSE для инерциальной и предлагаемой визуально-инерциальной оценки ориентации [Среднее ± стандартное отклонение].

	Крен [∘]	Шаг []	Рыскание [∘]
визуально-инерционный	0.76 ± 0,27	0,97 ± 0,48	0,81 ± 0,44
инерционный	0,76 ± 0,27	0,97 ± 0,48	12,49 ± 8,48

Таблица 2. Среднее значение RMSE для визуальной оценки положения [Среднее ± стандартное отклонение].

Таблица 2. Среднее значение RMSE для визуальной оценки положения [Среднее ± стандартное отклонение].

	x [мм]	y [мм]	z [мм]	Всего [мм]
Визуальный поз.	16,8 ± 18,6	20,8 ± 21,0	8,2 ± 5,2	28,0 ± 28,5

Таблица 3. Среднее значение RMSE для оценок положения взгляда [Среднее ± стандартное отклонение].

Таблица 3. Среднее значение RMSE для оценок положения взгляда [Среднее ± стандартное отклонение].

Таблица 4.

No related posts.

Leave a Reply

Добавить комментарий Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Комментарий *

Имя *

Email *

Сайт

	x [мм]	y [мм]	z [мм]	Всего [мм]
Head-Gaze ​​	14.2 ± 11,4	9,4 ± 9,0	8,5 ± 6,0	19,0 ± 15,7
Eye-Gaze ​​	17,7 ± 12,3	15,4 ± 12,7	14,2 ± 12,7	27,4 ± 216078
27,4 ± 216078