Алгебра 11 клас контрольна робота інтеграл
Скачать алгебра 11 клас контрольна робота інтеграл fb2
Інтеграл, контрольні роботи, 11 клас. В даній контрольні роботі завдання 4-рівнів складності.. Інші методичні матеріали на урок Алгебра скачати. Контрольная работа по теме «Интеграл», 11 класс учебно-методический материал по алгебре (11 класс) на тему. Опубликовано — — Чехлова Ольга Юрьевна. Контрольная работа по теме «Интеграл», 11 класс. Скачать: Вложение. Контрольная работа разработана для обучающихся 7-х классов, эта работа проводится после 3-й главы.
Контрольная работа для 7 класса по физике «Механическая работа. Простые механизмы. Энергия». Контрольная работа 11 профильного класса проверочная работа по теории паскаля Контрольная работа физика 7 класс по теме «Работа и мощность».
Контрольная работа взята из ФГОС УМК О.И.Громцева Контрольные и самостоятельные работы по физике. Контрольная работа по алгебре «Первообразная и интеграл» 11 класс.
×. Код для использования на сайте Алгебра — еще материалы к урокам: Контрольные работы по алгебре 8 класс Макарычев. Контрольная работа по алгебре «Степень с натуральным показателем» 7 класс. Контрольная работа №9 (итоговая) 9 класс (Макарычев). Контрольные работы по алгебре 9 класс (учебник Алимов). Конспект урока «Музыкальная речь. Музыкальные звуки» 2 класс.
Презентация «Построение графиков тригонометрических функций». Предметы. 11 класс. Контрольные работы для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / В. И. Глизбург ; под ред. А. Г. Мордковича. — М., — 32 с. В пособии приведено примерное планирование курса алгебры и начал математического анализа для го класса (базового уровня) и контрольные работы в четырех вариантах по всем темам курса.
Каждая работа имеет три уровня сложности. Каждый вариант контрольной работы выстроен по одной и той же схеме: задания обязательного минимума — до первой черты, задания среднего уровня — между первой и второй чертой, задания уровня выше среднего — после втор.
Головна» Статті» Контрольні роботи» 11 клас. Алгебра. Контрольна робота №6 «Інтеграл та його застосування». cosplayfest.ru Категорія: 11 клас | Додав: Январь ().
Переглядів: | Коментарі: 1 | Рейтинг: / 11 класс. Контрольные работы для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / В.
И. Глизбург ; под ред. А. Г. Мордковича. — М., — 32 с. В пособии приведено примерное планирование курса алгебры и начал математического анализа для го класса (базового уровня) и контрольные работы в четырех вариантах по всем темам курса. Каждая работа имеет три уровня сложности. Каждый вариант контрольной работы выстроен по одной и той же схеме: задания обязательного минимума — до первой черты, задания среднего уровня — между первой и второй чертой, задания уровня выше среднего — после втор.
8 клас 9 клас 10 клас 11 клас. Позакласна робота. Алгебра Геометрія Логічні задачі Розбір різних задач. Презентації. Завдання контрольних робіт Матеріали для підготовки до захисту Матеріали для підготовки до контрольної Матеріали для підготовки до написання Орієнтовні теми робіт.
Задачі. Розв’язування олімпіадних задач по темам.
doc, djvu, PDF, PDFПохожее:
Контрольная работа 8 первообразная и интеграл
Ищешь, кто сделает за тебя задание?
Тогда заходи и мы обязательно поможем!
Внимание! В связи с большим количеством обрашений мы переехали на новый VIP сервер
Пожалуйста, подождите…
Если сайт долго не загружается,
перейдите по ЭТОЙ ссылке
самостоятельно.
Контрольная работа 8 первообразная и интеграл
Первообразная и интеграл интернет ресурсы; поурочные планы алгебра 7 класс по учебнику г.
Дорофеева; поурочные планы. Контрольные работы от 120 руб/стр любой предмет и сложность. Высокое качество. Доступно и точно в срок! , математика — википедия матема́тика (от др. Μάθημα — изучение, наука) — наука о структурах, порядке и — , хотите сдать курсовую на отлично? Подробности здесь! , самостоятельные и контрольные. Скачать: самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. Изучение алгебры и начал математического анализа в 11 классеконтрольные работы! Выполнение контрольных работ.
Скидки 15%, алгебра и начала математического — скачать pdf, djvu: алгебра и начала математического анализа. Самостоятельные работы. Программа изучения математики в x. Программа изучения математики в x и xi классах. Зарабатывай сидя дома! Практическое пособие по заработку в интернете, для тех кто думает головой. Тестовые контрольные работы — предлагаются контрольные работы по всем темам 10-11-х классов. Уровень тестов и задач — решение задач на заказ! Быстрые сроки решения задач.
Мордкович алгебра 7класс тест оформлен в программе excel. Алгебра и начала анализа для 10-11. Алгебра и начала анализа для 10-11 классов. Настоящая программа по алгебре. Календарно-тематическое. Рабочая программа. Никольского и др. Алгебра и начала анализа, 11 класс. Контрольные на заказ. Спб сделаем для вас контрольную по любому предмету. Офис центр, обучение закупкам по 223-фз индивидуальные программы группам от 5чел. Выезд лекторов в регион заказчика, контрольные на заказ от 200 руб! Срочное выполнение контрольных работ без посредников! От 4 часовможно ли заработать на форекс? Может ли начинающий зарабатывать на валютном рынке?
Контрольная работа 8 первообразная и интеграл
Количество комментариев: 17Контрольная работа по теме Интеграл, 11 класс
Контрольная работа по теме «Интеграл» 11 класс
Контрольная работа №5
Вариант 1
№1.
№2.Вычислите интеграл:
а) 01(2×2+3) dxб) -π πsin 2x dxв) 0 22x-12x+1 dx№3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) параболой у=(х-1)2, прямой у=х+1 и осью Ох.
б) графиком функции у = 4х при х>0, параболой
у = -х2+ 4х+1.
Контрольная работа №5
Вариант 2
№1. Для функции f(x) = 3×2-5 найдите первообразную, график которой проходит через точку А(-1;3)
№2.Вычислите интеграл:
а) 01(3×2-x) dxб) -π π cosx2 dxв) 0 33x-23x+1 dx№3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
б) графиком функции у = 4х при х
у = х2+ 4х-1.
Контрольная работа №5
Вариант 1
№1. Для функции f(x) = 2×2+x найдите первообразную, график которой проходит через точку А(1;1)
№2.Вычислите интеграл:
а) 01(2×2+3) dxб) -π πsin 2x dxв) 0 22x-12x+1 dx№3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) параболой у=(х-1)2, прямой у=х+1 и осью Ох.
б) графиком функции у = 4х при х>0, параболой
у = -х2+ 4х+1. Контрольная работа №5
Вариант 2
№1. Для функции f(x) = 3×2-5 найдите первообразную, график которой проходит через точку А(-1;3)
а) 01(3×2-x) dxб) -π π cosx2 dxв) 0 33x-23x+1 dx№3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) параболой у=(2-х)2, прямой у=2х+4 и осью Ох.
б) графиком функции у = 4х при х
у = х2+ 4х-1.
Контрольная работа №5
Вариант 1
№1. Для функции f(x) = 2×2+x найдите первообразную, график которой проходит через точку А(1;1)
№2.Вычислите интеграл:
а) 01(2×2+3) dxб) -π πsin 2x dxв) 0 22x-12x+1 dx№3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) параболой у=(х-1)2, прямой у=х+1 и осью Ох.
б) графиком функции у = 4х при х>0, параболой
у = -х2+ 4х+1. Контрольная работа №5
Вариант 2
№2.
Вычислите интеграл:а) 01(3×2-x) dxб) -π π cosx2 dxв) 0 33x-23x+1 dx№3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) параболой у=(2-х)2, прямой у=2х+4 и осью Ох.
б) графиком функции у = 4х при х
у = х2+ 4х-1.
поурочные планы по учебнику Мордко
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 3
Структура планирования учебного материала в 11 классе 4
Повторение курса 10 класса (6 часов) 6
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ.
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ. НЕРАВЕНСТВА 6
Уроки 1-2 6
Уроки 5-6 13
Глава V. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ (9 часов) 16
Тема: Первообразная и неопределенный интеграл (3 часа) 16
Тема: Определенный интеграл (5 часов) 19
Тема: Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла (2 часа) 22
Контрольная работа № 8 27
Глава VI. СТЕПЕНИ И КОРНИ. СТЕПЕННЫЕ ФУНКЦИИ (20 часов) 30
Тема: Понятие корня n-й степени из действительного числа (3 часа) 30
Тема: Функции у . Их свойства и графики (3 часа) 32
Тема: Свойства корня n-й степени 36
Тема: Преобразование выражений, содержащих радикалы (3 часа) 39
Контрольная работа № 9 43
Тема: Обобщение понятия о показателе степени (3 часа) 45
Тема: Степенные функции, их свойства и графики (4 часа) 48
Контрольная работа № 10 54
Глава VII.
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ (29 часов) 56Тема: Показательная функция, ее свойства и график (3 часа) 56
Тема: Показательные уравнения (3 часа) 60
Тема: Показательные неравенства (2 часа) 65
Тема: Понятие логарифма (2 часа) 68
Тема: Логарифмическая функция, ее свойства и график (3 часа) 70
Контрольная работа № 11 73
Тема: Свойства логарифмов (3 часа) 75
Тема: Логарифмические уравнения (3 часа) 78
Тема: Логарифмические неравенства (3 часа) 80
Тема: Переход к новому основанию логарифма (2 часа) 83
Тема: Дифференцирование показательной и логарифмической функций (3 часа) 86
Контрольная работа № 12 92
Глава VIII. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ (20 часов) 93
Тема: Равносильность уравнений (3 часа) 93
Тема: Общие методы решения уравнений (4 часа) 96
Тема: Решение неравенств с одной переменной (5 часов) 104
Контрольная работа № 13 111
Тема: Системы уравнений (4 часа) 113
Тема: Уравнения и неравенства с параметрами (3 часа) 118
ПОВТОРЕНИЕ (18 часов) 122
Примерные варианты итоговой контрольной работы (использованы варианты ЕГЭ 2003 г.
) 122Решения к итоговой контрольной работе 142
Приложения 149
Литература 157
В пособии представлены поурочные планы, составленные в соответствии с учебником: Мордкович Л. Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. М.: Мнемозина. 2004. Наряду с кратким изложением теоретического материала даются практические задания (базовые и повышенного уровня), способствующие лучшему усвоению темы урока. Кроме того, по каждой теме подобран дидактический материал.
Предназначено учителям-предметникам старших классов общеобразовательных школ в помощь при подготовке и проведении уроков.
\ infty {\ dfrac {1} {{x \ ln x \ ln (\ ln x)}}} dx $, сделайте замену $ u = \ ln (\ ln x) $.Что дает производную от $ u $ как $ du = \ dfrac {1} {{x \ ln x}} dx $. Затем измените предельное интегрирование $ u $ с $ \ ln (\ ln 3) $ на $ \ infty $.
Решите интегрирование по формуле $ \ int {\ dfrac {1} {x} dx} = \ ln x + C $ и запомните $ \ mathop {\ lim} \ limits_ {u \ to \ infty} \ ln u \ to \ infty $.
\ infty {\ dfrac {1} {u}} du $ Примените формулу интегрирования $ \ int {\ dfrac {1} {x} dx} = \ ln x + C $.\ infty {\ dfrac {1} {{n \ ln n \ ln (\ ln n)}}} $ расходится.
Примечание:
Студенты всегда забывают изменить предел интегрирования всякий раз, когда мы подставляем значение в определенный интеграл, чтобы найти пределы для замены.
Интегрирование $ \ int {\ dfrac {1} {x} dx} = \ ln x + C $, не используйте формулы мощности для интегрирования.
Цепное правило: если $ f (t) $ и $ g (t) $ являются функциями от $ t $, то производная его составной функции задается выражением $ \ dfrac {d} {{dx}} [f ( g (t)] = g ‘(t) f’ (g (t)) $
Расчет 1 Практические тесты
Пройдите бесплатный диагностический тест Varsity Learning Tools для Calculus 1, чтобы определить, какой академический
концепции, которые вы понимаете, а какие требуют вашего постоянного внимания.Каждая проблема Calculus 1 привязана к основной, базовой концепции, которая проходит тестирование.
Результаты диагностического теста Calculus 1 показывают, как вы выполнили каждую часть теста.
Затем вы можете использовать результаты для создания индивидуального учебного плана, основанного на вашей конкретной области потребностей.
Calculus I предоставляют студентам углубленное введение в основные концепции пределов, производных и интегралов, основываясь на предварительном понимании этих концепций, которое студенты получили на курсах Pre-Calculus при подготовке их к более сложному материалу Calculus. II, Исчисление II и дифференциальные уравнения.Курсы исчисления часто необходимы студентам, чтобы иметь возможность заниматься не только этими курсами математики более высокого уровня, но и продвинутым материалом по естественным наукам. Если вы планируете получить специализацию в области математики, естественных наук или любой другой количественной области, изучение математики до поступления в колледж может быть настоящим благом, поскольку курсы математики в старших классах школы часто изучают материал несколько медленнее, чем университетские курсы, поэтому студенты должны полностью изучать математику.
понять каждую концепцию, прежде чем двигаться дальше. Нужны ли вам лучшие преподаватели математического анализа в Нью-Йорке, преподаватели математического анализа в Чикаго или лучшие преподаватели математического анализа в Лос-Анджелесе, работа с профессионалом может вывести ваше обучение на новый уровень.
Материал, преподаваемый на курсах «Исчисление I», можно разбить на три основные категории: пределы, производные и интегралы; однако большинство курсов по исчислению I начинается с обзора основных характеристик функций, отображаемых на координатной плоскости, включая непрерывность, асимптоты, а также абсолютные и локальные экстремумы. При рассмотрении этих понятий учащихся могут попросить найти наклон линии или уклона в точке.
Углубляясь в концепцию пределов функций, курсы исчисления обычно начинаются с процесса вычисления и оценки простых пределов и переходят к введению понятий асимптот и непрерывности, вычисления пределов до бесконечности и других сложностей.
Обсуждение деривативов — основная часть каждого курса Calculus I.
Студенты знакомятся с производными посредством обсуждения определения производной, предельного определения производной и дифференциальных уравнений, чтобы поддержать концептуальное понимание производных производных. Крайне важно, чтобы учащиеся полностью понимали, что представляют собой производные, по мере их продвижения в исчислении I, поскольку вскоре их просят применить эти знания, вычисляя производные в точке и функции, а также вторые производные.Их также учат правилу цепочки. Студентов также просят построить графики производных и вторых производных, а также линейные аппроксимации производных. По мере увеличения знаний учащихся о производных, Calculus I вводит концепции увеличения и уменьшения интервалов, вогнутости и выпуклости, точек перегиба и полей наклона. Студентов также просят использовать теорему о среднем значении. Обучаются конкретные производные, такие как производные логарифмов, показателей степени, суммы, частные, произведения и тригонометрические функции, а также неявное дифференцирование.
Последняя основная тема каждого курса «Исчисление I» — интегралы. Интегралы вводятся, говоря об определении интеграла, интегральных обозначений, определенных интегралов и сумм Римана. После подробного ознакомления с концепцией интеграла студенты изучают фундаментальную теорему исчисления, как вычислить интеграл от функции и как построить график интегралов. Вероятно, возникнут все более сложные проблемы, поскольку учащихся просят взять интеграл от более сложных функций, таких как суммы, частные и произведения, логарифмы, показатели и тригонометрические функции.Varsity Tutors предлагает такие ресурсы, как бесплатные диагностические тесты Calculus 1, чтобы помочь вам в самостоятельном обучении, или вы можете выбрать репетитора Calculus 1.
Из всех математических курсов, которые студенты имеют возможность пройти в старших классах школы, Calculus I получил репутацию заведомо сложного. Если вы в настоящее время участвуете в курсе Calculus I и вам нужно пройти повторение или подготовиться к экзамену, или вы изучаете более продвинутый курс математики и вам нужно пересмотреть фундаментальные концепции, преподаваемые в Calculus I, используйте бесплатные практические тесты Calculus I от Varsity Tutors, чтобы освежите свои знания в области исчисления I.
Каждый бесплатный практический тест «Исчисление I» содержит дюжину задач «Исчисление I» и ответы с несколькими вариантами ответов. Вы получите подробные результаты после выполнения каждого из них, а также доступ к пошаговым объяснениям того, как прийти к правильному ответу для каждой проблемы. Если вы обнаружите, что вам нужно сосредоточиться на задачах, касающихся одной конкретной темы, такой как Фундаментальная теорема исчисления, вы можете сделать это, поскольку задачи организованы в практические тесты по концепции. В дополнение к практическим тестам по исчислению 1 и урокам по математическому анализу 1 вы также можете рассмотреть возможность использования некоторых из наших карточек по исчислению 1.
Вы также можете попробовать один из бесплатных полных практических тестов по исчислению I, в которых вам задают вопросы по всему спектру тем, с которыми вы столкнетесь в ходе курса. Полные практические тесты — отличный способ попрактиковаться в проверке своих навыков. По завершении теста вам будет показан ваш результат с подробным объяснением правильного ответа на каждый вопрос и ссылками на дополнительные упражнения для проверки.
Эти бесплатные практические онлайн-тесты также помогут вам составить индивидуальное учебное пособие по исчислению.Показав вам, на каких концепциях вам следует сосредоточиться, вы сможете упростить свой обзор. После ознакомления с некоторыми другими инструментами обучения вы можете отслеживать свой рост, пройдя еще один практический тест «Исчисление I полной длины».
Используя различные бесплатные ресурсы по исчислению, которые предлагает веб-сайт инструментов обучения Varsity Tutors, вы можете побороть свой страх перед математикой и направить нервозность на изучение, чтобы полностью овладеть предметом.
Наши совершенно бесплатные практические тесты Calculus 1 — идеальный способ освежить свои навыки.Брать
один из наших многочисленных практических тестов Calculus 1 для ответов на часто задаваемые вопросы. Ты
получат невероятно подробные результаты подсчета очков в конце вашего практического теста Calculus 1, чтобы
поможет вам определить свои сильные и слабые стороны.
Выберите один из наших практических тестов Calculus 1 прямо сейчас
и начнем!
Практические тесты по концепции
clep_calculus-functionsВопросы : 40
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 1 час 20 минут
clep_calculus-дифференциал-функцииВопросы : 40
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 19 минут
clep_calculus-midpoint-riemann-суммыВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 2 минуты 49 секунд
clep_calculus-как-найти-середину-суммы РиманаВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 3 минуты
clep_calculus-другие-дифференциальные-функцииВопросы : 40
Сложность теста :
Среднее время работы : 47 минут
clep_calculus-как-найти-дифференциальные-функцииВопросы : 40
Сложность теста :
Среднее время работы : 2 часа 13 минут
clep_calculus-уравненияВопросы : 13
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 14 минут
clep_calculus-дифференциальные уравненияВопросы : 6
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 3 минуты
clep_calculus-графика-дифференциальные-уравненияВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 56 минут
clep_calculus-local-maximumВопросы : 3
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 2 минуты 23 секунды
clep_calculus-как-найти-локальный-максимум-по-графику-дифференциальным-уравнениямВопросы : 3
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 5 минут
clep_calculus-local-minimumВопросы : 2
Сложность теста :
clep_calculus-как-найти-локальный-минимум-графическим-дифференциальным-уравнениямВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 2 минуты 8 секунд
clep_calculus-другое-графическое-дифференциальные-уравненияВопросы : 1
Сложность теста :
clep_calculus-как-граф-дифференциальные-уравненияВопросы : 1
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 47 секунд
clep_calculus-решения-дифференциальные-уравненияВопросы : 6
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 11 минут
clep_calculus-как-найти-решения-дифференциальных-уравненийВопросы : 6
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 3 минуты
clep_calculus-написание-уравненийВопросы : 7
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 4 минуты
clep_calculus-интегральные-выраженияВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 2 минуты 42 секунды
clep_calculus-как-найти-интегральные-выраженияВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 8 минут
clep_calculus-другое-написание-уравненийВопросы : 7
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 23 минуты
clep_calculus-как-писать-уравненияВопросы : 7
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 4 минуты
clep_calculus-графики-функцииВопросы : 7
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 9 минут
clep_calculus-areaВопросы : 5
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 4 минуты
clep_calculus-как-граф-функции-площадиВопросы : 5
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 3 минуты
clep_calculus-кривыеВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 2 минуты 5 секунд
clep_calculus-local-maximumВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 2 часа 45 минут
clep_calculus-как-найти-локальный-максимальный-график-функции-кривыхВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 2 минуты 15 секунд
clep_calculus-local-minimumВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 2 минуты 42 секунды
clep_calculus-как-найти-локальный-минимальный-график-функции-кривыхВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 1 минута 53 секунды
clep_calculus-другие-кривыеВопросы : 3
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 3 минуты
clep_calculus-how-to-graph-functions-of-кривыеВопросы : 3
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 4 минуты
clep_calculus-intervalВопросы : 1
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 2 минуты 26 секунд
clep_calculus-вогнутые-вниз-интервалыВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 2 минуты 10 секунд
clep_calculus-как-найти-вогнутые-вниз-интервалы-по-графическим-функциямВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 2 минуты 17 секунд
clep_calculus-continuous-on-the-intervalВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 4 минуты
clep_calculus-how-to-find-continuous-on-the-interval-by-graphing-functionsВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 21 секунда
clep_calculus-уменьшение-интервалыВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 2 минуты 45 секунд
clep_calculus-как-найти-уменьшение-интервалов-функций-графиковВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 6 минут
clep_calculus-возрастающие интервалыВопросы : 1
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 52 секунды
clep_calculus-как-найти-увеличивающие-интервалы-по-графическим-функциямВопросы : 1
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 1 минута 15 секунд
clep_calculus-relative-extremumВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 1 минута 52 секунды
clep_calculus-relative-maximumВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 1 минута 3 секунды
clep_calculus-how-to-find-relative-maximum-on-the-interval-by-graphing-functionsВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 1 минута 26 секунд
clep_calculus-relative-minimumВопросы : 1
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 1 час 24 минуты
clep_calculus-how-to-find-relative-minimum-on-the-interval-by-graphing-functionsВопросы : 1
Сложность теста :
clep_calculus-трапециевидное-приближениеВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 1 мин.
49 сек.
Вопросы : 2
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 3 минуты
clep_calculus-linesВопросы : 3
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 1 минута 5 секунд
clep_calculus-уравнение-линииВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 1 минута 46 секунд
clep_calculus-как-найти-уравнение-линии-графика-функцииВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 1 минута 22 секунды
clep_calculus-length-of-lineВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 1 минута 46 секунд
clep_calculus-how-to-find-length-of-line-by-graphing-functionsВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 3 минуты
clep_calculus-slopeВопросы : 1
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 1 минута 8 секунд
clep_calculus-how-to-find-slope-by-graphing-functionsВопросы : 1
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 2 минуты 6 секунд
clep_calculus-pointsВопросы : 1
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 2 мин 31 сек
clep_calculus-описывающие точкиВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 1 минута 20 секунд
clep_calculus-how-to-describe-points-by-graphing-functionsВопросы : 2
Сложность теста :
clep_calculus-other-pointsВопросы : 1
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 2 минуты 58 секунд
clep_calculus-how-to-graph-functions-pointsВопросы : 1
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 1 минута 26 секунд
clep_calculus-points-of-inflectionВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 1 минута 5 секунд
clep_calculus-how-to-graph-functions-of-points-of-перегибВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 3 минуты
clep_calculus-значение-функцийВопросы : 9
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 17 минут
clep_calculus-как-найти-значение-функцийВопросы : 9
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 19 минут
clep_calculus-rateВопросы : 5
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 58 минут
clep_calculus-приближение-скоростиВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 5 минут
clep_calculus-как-найти-приближение-скоростиВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 2 минуты 58 секунд
clep_calculus-постоянная-пропорциональностиВопросы : 3
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 1 минута 41 секунда
clep_calculus-как-найти-константа-пропорциональности-скоростиВопросы : 3
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 2 минуты 18 секунд
clep_calculus-дифференцируемая-ставкаВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 17 секунд
clep_calculus-как-найти-дифференцируемый-скоростиВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 4 минуты
clep_calculus-модели прогнозированияВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 4 минуты
clep_calculus-как-найти-модели-предсказанияВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 2 минуты 3 секунды
clep_calculus-rate-of-changeВопросы : 1
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 2 минуты 7 секунд
clep_calculus-как-найти-скорость-измененияВопросы : 1
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 1 минута 54 секунды
clep_calculus-rate-of-flowВопросы : 1
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 1 минута 2 секунды
clep_calculus-как-найти-скорость-потокаВопросы : 1
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 1 минута 38 секунд
clep_calculus-solution-for-timeВопросы : 3
Сложность теста :
Среднее затраченное время : 2 минуты 3 секунды
clep_calculus-как-решить-за-времяВопросы : 3
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 7 минут
clep_calculus-регионыВопросы : 12
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 55 минут
clep_calculus-areaВопросы : 10
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 33 минуты
clep_calculus-как-найти-область-в-регионеВопросы : 10
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 18 минут
clep_calculus-volumeВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 17 минут
clep_calculus-как-найти-объем-областиВопросы : 2
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 4 минуты
clep_calculus-пространственное исчислениеВопросы : 25
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 49 минут
clep_calculus-ускорениеВопросы : 11
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 20 минут
clep_calculus-как-найти-ускорениеВопросы : 11
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 15 минут
clep_calculus-distanceВопросы : 3
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 5 минут
clep_calculus-как-найти-расстояниеВопросы : 3
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 3 минуты
clep_calculus-positionВопросы : 4
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 6 минут
clep_calculus-как-найти-позициюВопросы : 4
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 4 минуты
clep_calculus-velocityВопросы : 7
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 5 минут
clep_calculus-как-найти-скоростьВопросы : 7
Сложность теста :
Среднее время нахождения : 4 минуты
5.
3 Тесты на расхождение и интегральность — Calculus Volume 2Цели обучения
- 5.3.1 Используйте тест на расхождение, чтобы определить, сходится ли ряд или расходится.
- 5.3.2 Используйте интегральный тест для определения сходимости ряда.
- 5.3.3 Оцените ценность ряда, найдя границы его остаточного члена.
В предыдущем разделе мы определили сходимость или расхождение нескольких рядов, явно вычислив предел последовательности частичных сумм {Sk}.{Sk}. На практике точное вычисление этого предела может быть затруднено или невозможно. К счастью, существует несколько тестов, которые позволяют нам определять сходимость или расхождение для многих типов рядов. В этом разделе мы обсудим два из этих тестов: тест дивергенции и интегральный тест. В оставшейся части этой главы мы рассмотрим несколько других тестов, а затем подытожим, как и когда их использовать.
Тест дивергенции
Чтобы ряд ∑n = 1∞an∑n = 1∞an сходился, n-й член anan должен удовлетворять условию → 0an → 0 при n → ∞.
п → ∞.
Следовательно, из алгебраических предельных свойств последовательностей
limk → ∞ak = limk → ∞ (Sk − Sk − 1) = limk → ∞Sk − limk → ∞Sk − 1 = S − S = 0. limk → ∞ak = limk → ∞ (Sk − Sk − 1) = limk → ∞Sk − limk → ∞Sk − 1 = S − S = 0.Следовательно, если ∑n = 1∞an∑n = 1∞an сходится, n-й член an → 0an → 0 при n → ∞.n → ∞. Важным следствием этого факта является следующее утверждение:
Еслиan↛0asn → ∞, ∑n = 1∞ расходится. Еслиan↛0asn → ∞, n = 1∞ расходится.5,8
Этот тест известен как тест дивергенции, потому что он обеспечивает способ доказательства расхождения ряда.
Теорема 5.8
Проверка расходимости
Если limn → ∞an = c ≠ 0limn → ∞an = c ≠ 0 или limn → ∞anlimn → ∞an не существует, то ряд ∑n = 1∞an∑n = 1 ∞an расходится.
Важно отметить, что обратное утверждение этой теоремы неверно. То есть, если limn → ∞an = 0, limn → ∞an = 0, мы не можем сделать никаких выводов о сходимости ∑n = 1∞an.∑n = 1∞an.
Например, limn → 0 (1 / n) = 0, limn → 0 (1 / n) = 0, но гармонический ряд ∑n = 1∞1 / n∑n = 1∞1 / n расходится. В этом разделе и остальных разделах этой главы мы покажем еще много примеров из таких серий.Следовательно, хотя мы можем использовать тест дивергенции, чтобы показать, что ряд расходится, мы не можем использовать его для доказательства того, что ряд сходится. В частности, если an → 0, an → 0, проверка дивергенции неубедительна.
Пример 5.13
Использование теста расхождения
Для каждой из следующих серий примените тест дивергенции. Если тест на расхождение доказывает, что ряд расходится, укажите это. В противном случае укажите, что тест дивергенции не дает результатов.
- ∑n = 1∞n3n − 1∑n = 1∞n3n − 1
- ∑n = 1∞1n3∑n = 1∞1n3
- ∑n = 1∞e1 / n2∑n = 1∞e1 / n2
Решение
- Поскольку n / (3n − 1) → 1/3 ≠ 0, n / (3n − 1) → 1/3 ≠ 0, по критерию дивергенции мы можем заключить, что
∑n = 1∞n3n − 1∑n = 1∞n3n − 1
расходится.
- Поскольку 1 / n3 → 0,1 / n3 → 0, проверка дивергенции неубедительна.
- Так как e1 / n2 → 1 ≠ 0, e1 / n2 → 1 ≠ 0, по критерию расходимости ряд
∑n = 1∞e1 / n2∑n = 1∞e1 / n2
расходится.
КПП 5.12
Что тест расходимости говорит нам о ряду ∑n = 1∞cos (1 / n2)? ∑n = 1∞cos (1 / n2)?
Интегральный тест
В предыдущем разделе мы доказали, что гармонический ряд расходится, рассматривая последовательность частичных сумм {Sk} {Sk} и показывая, что S2k> 1 + k / 2S2k> 1 + k / 2 для всех натуральных чисел k.k. В этом разделе мы используем другую технику, чтобы доказать расходимость гармонического ряда. Этот метод важен, потому что он используется для доказательства расходимости или сходимости многих других рядов. Этот тест, называемый интегральным тестом, сравнивает бесконечную сумму с неправильным интегралом. Важно отметить, что этот тест может применяться только тогда, когда мы рассматриваем ряд, все члены которого положительны.
Чтобы проиллюстрировать, как работает интегральный тест, используйте в качестве примера гармонический ряд.На рисунке 5.12 мы изобразили гармонический ряд, нарисовав последовательность прямоугольников с областями 1,1 / 2,1 / 3,1 / 4,… 1,1 / 2,1 / 3,1 / 4,… вместе с функция f (x) = 1 / xf (x) = 1 / x. Из графика мы видим, что
∑n = 1k1n = 1 + 12 + 13 + ⋯ + 1k> ∫1k + 11xdx. N = 1k1n = 1 + 12 + 13 + ⋯ + 1k> ∫1k + 11xdx.Следовательно, для каждого k, k k-я частичная сумма SkSk удовлетворяет условию
Sk = ∑n = 1k1n> ∫1k + 11xdx = lnx | 1k + 1 = ln (k + 1) −ln (1) = ln (k + 1). Sk = ∑n = 1k1n> ∫1k + 11xdx = lnx | 1k + 1 = ln (k + 1) — ln (1) = ln (k + 1).Поскольку limk → ∞ln (k + 1) = ∞, limk → ∞ln (k + 1) = ∞, мы видим, что последовательность частичных сумм {Sk} {Sk} неограничена.Следовательно, {Sk} {Sk} расходится, и, следовательно, расходится и ряд ∑n = 1∞1n∑n = 1∞1n.
Рисунок 5.12 Сумма площадей прямоугольников больше площади между кривой f (x) = 1 / xf (x) = 1 / x и осью xx для x≥1.
x≥1. Поскольку площадь, ограниченная кривой, бесконечна (вычисленная с помощью неправильного интеграла), сумма площадей прямоугольников также бесконечна.Теперь рассмотрим ряд ∑n = 1∞1 / n2.n = 1∞1 / n2. Мы покажем, как можно использовать интеграл для доказательства сходимости этого ряда.На рис. 5.13 мы зарисовываем последовательность прямоугольников с областями 1,1 / 22,1 / 32,… 1,1 / 22,1 / 32,… вместе с функцией f (x) = 1 / x2.f (x ) = 1 / х2. Из графика видим, что
∑n = 1k1n2 = 1 + 122 + 132 + ⋯ + 1k2 <1 + ∫1k1x2dx. N = 1k1n2 = 1 + 122 + 132 + ⋯ + 1k2 <1 + ∫1k1x2dx.Следовательно, для каждого k, k k-я частичная сумма SkSk удовлетворяет условию
Sk = ∑n = 1k1n2 <1 + ∫1k1x2dx = 1−1x | 1k = 1−1k + 1 = 2−1k <2. Sk = ∑n = 1k1n2 <1 + ∫1k1x2dx = 1−1x | 1k = 1− 1к + 1 = 2−1к <2.Мы заключаем, что последовательность частичных сумм {Sk} {Sk} ограничена.Мы также видим, что {Sk} {Sk} — возрастающая последовательность:
Sk = Sk − 1 + 1k2fork≥2. Sk = Sk − 1 + 1k2fork≥2.
Поскольку {Sk} {Sk} возрастает и ограничено, по теореме о монотонной сходимости оно сходится. Следовательно, ряд ∑n = 1∞1 / n2∑n = 1∞1 / n2 сходится.
Рисунок 5.13 Сумма площадей прямоугольников меньше суммы площади первого прямоугольника и площади между кривой f (x) = 1 / x2f (x) = 1 / x2 и осью xx для x. ≥1.x≥1. Поскольку площадь, ограниченная кривой, конечна, сумма площадей прямоугольников также конечна.Мы можем расширить эту идею, чтобы доказать сходимость или расхождение для многих различных рядов. Предположим, что ∑n = 1∞an∑n = 1∞an — это ряд с положительными членами anan такой, что существует непрерывная положительная убывающая функция ff, где f (n) = anf (n) = an для всех натуральных чисел. Тогда, как на рис. 5.14 (a), для любых целых k, k k-я частичная сумма SkSk удовлетворяет условию
Sk = a1 + a2 + a3 + ⋯ + ak
Поскольку {Sk} {Sk} — возрастающая последовательность, если она также является ограниченной последовательностью, то по теореме о монотонной сходимости она сходится. Мы заключаем, что если ∫1∞f (x) dx∫1∞f (x) dx сходится, то ряд seriesn = 1∞an∑n = 1∞an также сходится. С другой стороны, из рисунка 5.14 (b) для любого целого числа k, k k-я частичная сумма SkSk удовлетворяет условию Sk = a1 + a2 + a3 + ⋯ + ak> ∫1k + 1f (x) dx. Sk = a1 + a2 + a3 + ⋯ + ak> ∫1k + 1f (x) dx.Если limk → ∞∫1k + 1f (x) dx = ∞, limk → ∞∫1k + 1f (x) dx = ∞, то {Sk} {Sk} является неограниченной последовательностью и поэтому расходится.В результате расходится и ряд ∑n = 1∞an∑n = 1∞an. Мы заключаем, что если ∫1∞f (x) dx∫1∞f (x) dx расходится, то n = 1∞an∑n = 1∞an расходится.
Рис. 5.14 (a) Если мы можем вписать прямоугольники внутри области, ограниченной кривой y = f (x) y = f (x) и осью xx, а площадь, ограниченная этими кривыми для x≥1x≥1, будет конечной , то сумма площадей прямоугольников также конечна.
(b) Если набор прямоугольников описывает область, ограниченную y = f (x) y = f (x) и осью xx для x≥1x≥1, и область имеет бесконечную площадь, то сумма площадей прямоугольники тоже бесконечны.Теорема 5.9
Интегральный тест
Предположим, что ∑n = 1∞an∑n = 1∞an — это ряд с положительными членами an.an. Предположим, что существуют функция ff и натуральное число NN такие, что выполняются следующие три условия:
- ff непрерывный,
- ff уменьшается, а
- f (n) = anf (n) = an для всех целых чисел n≥N.n≥N.
Тогда
N = 1∞an и N∞f (x) dx∑n = 1∞an и N∞f (x) dx
оба сходятся или оба расходятся (см. рисунок 5.14).
Хотя сходимость N∞f (x) dx∫N∞f (x) dx подразумевает сходимость соответствующего ряда ∑n = 1∞an, ∑n = 1∞an, это не означает, что значение интеграла и серии такие же.Они могут быть разными, и часто бывают такими. Например,
∑n = 1∞ (1e) n = 1e + (1e) 2+ (1e) 3 + ⋯ ∑n = 1∞ (1e) n = 1e + (1e) 2+ (1e) 3 + ⋯— геометрический ряд с начальным членом a = 1 / ea = 1 / e и отношением r = 1 / e, r = 1 / e, который сходится к
1 / e1− (1 / e) = 1 / e (e − 1) /e=1e−1.
1/e1− (1 / e) = 1 / e (e − 1) / e = 1e − 1.Однако соответствующий интеграл ∫1∞ (1 / e) xdx∫1∞ (1 / e) xdx удовлетворяет условию
∫1∞ (1e) xdx = ∫1∞e − xdx = limb → ∞∫1be − xdx = limb → ∞ − e − x | 1b = limb → ∞ [−e − b + e − 1] = 1e.∫ 1∞ (1e) xdx = ∫1∞e − xdx = limb → ∞∫1be − xdx = limb → ∞ − e − x | 1b = limb → ∞ [−e − b + e − 1] = 1e.Пример 5.14
Использование интегрального теста
Для каждого из следующих рядов используйте интегральный тест, чтобы определить, сходится ли ряд или расходится.
- ∑n = 1∞1 / n3∑n = 1∞1 / n3
- ∑n = 1∞1 / 2n − 1∑n = 1∞1 / 2n − 1
Решение
- Сравнить
∑n = 1∞1n3 и 1∞1x3dx. N = 1∞1n3 и 1∞1x3dx.
У нас
∫1∞1x3dx = limb → ∞∫1b1x3dx = limb → ∞ [−12×2 | 1b] = limb → ∞ [−12b2 + 12] = 12. 1∞1x3dx = limb → ∞∫1b1x3dx = limb → ∞ [−12×2 | 1b] = конечность → ∞ [−12b2 + 12] = 12.
Таким образом, интеграл ∫1∞1 / x3dx∫1∞1 / x3dx сходится, а значит, и ряд
∑n = 1∞1n3. ∑n = 1∞1n3. - Сравнить
∑n = 1∞12n − 1 и 1∞12x − 1dx. N = 1∞12n − 1 и 1∞12x − 1dx.
С
∫1∞12x − 1dx = limb → ∞∫1b12x − 1dx = limb → ∞2x − 1 | 1b = limb → ∞ [2b − 1−1] = ∞, ∫1∞12x − 1dx = limb → ∞∫1b12x− 1dx = конечность → ∞ 2x − 1 | 1b = конечность → ∞ [2b − 1−1] = ∞,
интеграл ∫1∞1 / 2x − 1dx∫1∞1 / 2x − 1dx расходится, поэтому
∑n = 1∞12n − 1∑n = 1∞12n − 1
расходится.
∑n = 1∞1n3.КПП 5.13
Используйте интегральный тест, чтобы определить, сходится или расходится ряд ∑n = 1∞n3n2 + 1∑n = 1∞n3n2 + 1.
p — серияГармонический ряд ∑n = 1∞1 / n∑n = 1∞1 / n и ряд ∑n = 1∞1 / n2∑n = 1∞1 / n2 оба являются примерами типа ряда, называемого р — серия.
Определение
Для любого действительного числа p, p серия
называется серией p .
Мы знаем, что серия p сходится, если p = 2p = 2, и расходится, если p = 1.
p = 1. А как насчет других значений p? P? В общем, трудно, если не невозможно, вычислить точное значение большинства pp-серий.Однако мы можем использовать представленные до сих пор тесты, чтобы доказать, сходится ли pp-ряд или расходится.
Если p <0, p <0, то 1 / np → ∞, 1 / np → ∞, а если p = 0, p = 0, то 1 / np → 1.1 / np → 1. Следовательно, по тесту дивергенции
∑n = 1∞1 / np расходится, если p≤0. N = 1∞1 / np расходится, еслиp≤0.Если p> 0, p> 0, то f (x) = 1 / xpf (x) = 1 / xp — положительная непрерывная убывающая функция. Поэтому при p> 0, p> 0 используем интегральный тест, сравнивая
N = 1∞1npand∫1∞1xpdx. N = 1∞1npand∫1∞1xpdx.Мы уже рассматривали случай, когда p = 1.р = 1. Здесь мы рассматриваем случай, когда p> 0, p ≠ 1. p> 0, p ≠ 1. В этом случае
∫1∞1xpdx = limb → ∞∫1b1xpdx = limb → ∞11 − px1 − p | 1b = limb → ∞11 − p [b1 − p − 1]. 1∞1xpdx = limb → ∞∫1b1xpdx = limb → ∞ 11 − px1 − p | 1b = конечность → ∞11 − p [b1 − p − 1].Потому что
b1 − p → 0 ifp> 1 и b1 − p → ∞ifp <1, b1 − p → 0 ifp> 1 и b1 − p → ∞ifp <1,заключаем, что
∫1∞1xpdx = {1p − 1ifp> 1∞ifp≤1.
∫1∞1xpdx = {1p − 1ifp> 1∞ifp≤1.Следовательно, ∑n = 1∞1 / np∑n = 1∞1 / np сходится, если p> 1p> 1, и расходится, если 0
Таким образом,
∑n = 1∞1np {сходится, если p> 1, расходится, если p≤1.∑n = 1∞1np {сходится, если p> 1, расходится, если p≤1.5,9
Пример 5.15
Тестирование на сходимость
p -серииДля каждого из следующих рядов определите, сходится он или расходится.
- ∑n = 1∞1n4∑n = 1∞1n4
- ∑n = 1∞1n2 / 3∑n = 1∞1n2 / 3
Решение
- Это серия p с p = 4> 1, p = 4> 1, поэтому серия сходится.
- Так как p = 2/3 <1, p = 2/3 <1, ряд расходится.
КПП 5.14
Сходится или расходится ряд ∑n = 1∞1n5 / 4∑n = 1∞1n5 / 4?
Оценка стоимости серии
Предположим, мы знаем, что ряд ∑n = 1∞an∑n = 1∞an сходится, и хотим оценить сумму этого ряда.
Конечно, мы можем аппроксимировать эту сумму, используя любую конечную сумму ∑n = 1Nan∑n = 1Nan, где NN — любое положительное целое число. Вопрос, который мы здесь рассматриваем, заключается в следующем: для сходящегося ряда ∑n = 1∞an, ∑n = 1∞an, насколько хорошо приближение ∑n = 1Nan? ∑n = 1Nan? Точнее, если мы допустим
будет остатком, когда сумма бесконечного ряда аппроксимируется N-йN-й частичной суммой, насколько велико RN? RN? Для некоторых типов рядов мы можем использовать идеи интегрального теста для оценки RN.РН.
Теорема 5.10
Оценка остатка из интегрального теста
Предположим, что ∑n = 1∞an∑n = 1∞an — сходящийся ряд с положительными членами. Предположим, что существует функция ff, удовлетворяющая следующим трем условиям:
- ff непрерывный,
- ff уменьшается, а
- f (n) = anf (n) = an для всех целых чисел n≥1.n≥1.
Пусть SNSN будет N -й частичной суммой ∑n = 1∞an.
∑n = 1∞an. Для всех натуральных чисел N, N,
Это известно как оценка остатка.
Мы иллюстрируем оценку остатка от интегрального теста на рисунке 5.15. В частности, представляя остаток RN = aN + 1 + aN + 2 + aN + 3 + ⋯ RN = aN + 1 + aN + 2 + aN + 3 + ⋯ как сумму площадей прямоугольников, мы видим, что площадь прямоугольников ограничено сверху N∞f (x) dx∫N∞f (x) dx и ограничено снизу N + 1∞f (x) dx.∫N + 1∞f (x) dx. Другими словами,
RN = aN + 1 + aN + 2 + aN + 3 + ⋯> ∫N + 1∞f (x) dxRN = aN + 1 + aN + 2 + aN + 3 + ⋯> ∫N + 1∞f (x) dxи
RN = aN + 1 + aN + 2 + aN + 3 + ⋯ <∫N∞f (x) dx. RN = aN + 1 + aN + 2 + aN + 3 + ⋯ <∫N∞f (x) dx.Делаем вывод, что
N + 1∞f (x) dx
N + 1∞f (x) dx , где SNSN — N-я частичная сумма, мы заключаем, что
SN + ∫N + 1∞f (x) dx <∑n = 1∞anПример 5.16
Оценка стоимости серии
Рассмотрим ряд ∑n = 1∞1 / n3.∑n = 1∞1 / n3.
- Вычислите S10 = ∑n = 1101 / n3S10 = ∑n = 1101 / n3 и оцените ошибку.
- Определите наименьшее необходимое значение NN, чтобы SNSN оценил ∑n = 1∞1 / n3∑n = 1∞1 / n3 с точностью до 0,001. 0.001.
0.001.Решение
- Используя вычислительную утилиту, имеем
S10 = 1 + 123 + 133 + 143 + ⋯ + 1103≈1.19753.S10 = 1 + 123 + 133 + 143 + ⋯ + 1103≈1,19753.
По оставшейся оценке мы знаем
RN <∫N∞1x3dx.RN <∫N∞1x3dx.
У нас
∫10∞1x3dx = limb → ∞∫10b1x3dx = limb → ∞ [−12×2] Nb = limb → ∞ [−12b2 + 12N2] = 12N2.10∞1x3dx = limb → ∞∫10b1x3dx = limb → ∞ [−12×2] Nb = конечность → ∞ [−12b2 + 12N2] = 12N2.
Следовательно, ошибка R10 <1/2 (10) 2 = 0,005. R10 <1/2 (10) 2 = 0,005. - Найдите такой NN, что RN <0,001.RN <0,001. В части а. мы показали, что RN <1 / 2N2.RN <1 / 2N2. Следовательно, остаток RN <0,001RN <0.001, пока 1 / 2N2 <0,001,1 / 2N2 <0,001. То есть нам нужно 2N2> 1000, 2N2> 1000. Решая это неравенство для N, N, мы видим, что нам нужно N> 22,36.N> 22,36. Чтобы убедиться, что остаток находится в пределах желаемой суммы, нам нужно округлить до ближайшего целого числа. Следовательно, минимально необходимое значение N = 23. N = 23.
N = 23.КПП 5.15
Для ∑n = 1∞1n4, ∑n = 1∞1n4 вычислите S5S5 и оцените ошибку R5.R5.
Раздел 5.3. Упражнения
Для каждой из следующих серий, если применяется тест дивергенции, либо укажите, что limn → ∞anlimn → ∞an не существует, либо найдите limn → ∞an.limn → ∞an. Если тест дивергенции неприменим, укажите, почему.
141.an = (2n + 1) (n — 1) (n + 1) 2an = (2n + 1) (n — 1) (n + 1) 2
142.an = (2n + 1) 2n (3n2 + 1) nan = (2n + 1) 2n (3n2 + 1) n
144.an = 2n + 3n10n / 2an = 2n + 3n10n / 2
148.an = 1 − cos2 (1 / n) sin2 (2 / n) an = 1 − cos2 (1 / n) sin2 (2 / n)
149.an = (1−1n) 2nan = (1−1n) 2n
Укажите, сходится ли данный pp-ряд.
154.∑n = 1∞1n23∑n = 1∞1n23
155.∑n = 1∞1n43∑n = 1∞1n43
156.n = 1∞nenπ∑n = 1∞nenπ
157.∑n = 1∞nπn2e∑n = 1∞nπn2e
Используйте интегральный тест, чтобы определить, сходятся ли следующие суммы.
∑n = 1∞1n + 5∑n = 1∞1n + 5
159.∑n = 1∞1n + 53∑n = 1∞1n + 53
160.∑n = 2∞1nlnn∑n = 2∞1nlnn
161.∑n = 1∞n1 + n2∑n = 1∞n1 + n2
162.∑n = 1∞en1 + e2n∑n = 1∞en1 + e2n
163.∑n = 1∞2n1 + n4∑n = 1∞2n1 + n4
164.∑n = 2∞1nln2n∑n = 2∞1nln2n
Выразите следующие суммы как pp-ряды и определите, сходится ли каждая.
165.∑n = 1∞2 − lnn∑n = 1∞2 − lnn ( Подсказка: 2 − lnn = 1 / nln22 − lnn = 1 / nln2.)
166.∑n = 1∞3 − lnn∑n = 1∞3 − lnn ( Подсказка: 3 − lnn = 1 / nln33 − lnn = 1 / nln3.)
167.∑n = 1∞n2−2lnn∑n = 1∞n2−2lnn
168.∑n = 1∞n3−2lnn∑n = 1∞n3−2lnn
Используйте оценку RN≤∫N∞f (t) dtRN≤∫N∞f (t) dt, чтобы найти оценку остатка RN = ∑n = 1∞an − ∑n = 1NanRN = ∑n = 1∞an −n = 1Nan, где an = f (n) .an = f (n).
169.∑n = 110001n2∑n = 110001n2
170.∑n = 110001n3∑n = 110001n3
171.
∑n = 1100011 + n2∑n = 1100011 + n2
172.∑n = 1100n / 2n∑n = 1100n / 2n
[T] Найдите минимальное значение NN, такое, что оценка остатка ∫N + 1∞f an = 1n2, an = 1n2, погрешность <10−4 <10−4 an = 1n1.1, an = 1n1.1, ошибка <10−4 <10−4 an = 1n1.01, an = 1n1.01, погрешность <10−4 <10−4 an = 1nln2n, an = 1nln2n, ошибка <10-3 <10-3 an = 11 + n2, an = 11 + n2, ошибка <10−3 <10−3 В следующих упражнениях найдите такое значение NN, чтобы RNRN было меньше желаемой ошибки. Вычислите соответствующую сумму ∑n = 1Nan∑n = 1Nan и сравните ее с данной оценкой бесконечного ряда. an = 1n11, an = 1n11, погрешность <10−4, <10−4, ∑n = 1∞1n11 = 1.000494… ∑n = 1∞1n11 = 1.000494… an = 1en, an = 1en, ошибка <10−5, <10−5, ∑n = 1∞1en = 1e − 1 = 0. an = 1en2, an = 1en2, ошибка <10-5, <10-5, ∑n = 1∞n / en2 = 0,40488139857… ∑n = 1∞n / en2 = 0,40488139857… an = 1 / n4, an = 1 / n4, ошибка <10−4, <10−4, ∑n = 1∞1 / n4 = π4 / 90 = 1.08232 ... ∑n = 1∞1 / n4 = π4 / 90 = 1,08232 ... an = 1 / n6, an = 1 / n6, ошибка <10−6, <10−6, ∑n = 1∞1 / n4 = π6 / 945 = 1.01734306 ..., ∑n = 1∞1 / n4 = π6 / 945 = 1,01734306 ..., Найдите предел при n → ∞n → ∞ для 1n + 1n + 1 + ⋯ + 12n.1n + 1n + 1 + ⋯ + 12n. ( Подсказка: Сравните с ∫n2n1tdt.) ∫n2n1tdt.) Найдите предел при n → ∞n → ∞ для 1n + 1n + 1 + ⋯ + 13n1n + 1n + 1 + ⋯ + 13n Следующие несколько упражнений призваны дать представление о приложениях, в которых возникают частичные суммы гармонических рядов. В некоторых приложениях вероятности, таких как так называемая оценка Уоттерсона для прогнозирования частоты мутаций в популяционной генетике, важно иметь точную оценку числа Hk = (1 + 12 + 13 + + 1k). [T] Полная выборка с заменой, иногда называемая проблемой сборщика купонов , формулируется следующим образом: Предположим, у вас есть NN уникальных элементов в корзине. На каждом этапе предмет выбирается случайным образом, идентифицируется и кладется обратно в корзину. Задача спрашивает, каково ожидаемое количество шагов E (N) E (N), которое требуется, чтобы нарисовать каждый уникальный элемент хотя бы один раз.Оказывается, E (N) = NE (N) = N. HN = N (1 + 12 + 13 + + 1N) HN = N (1 + 12 + 13 + ⋯ + 1N). Найдите E (N) E (N) для N = 10,20 и 50N = 10,20 и 50. [T] Самый простой способ перемешать карты — это взять верхнюю карту и вставить ее в случайное место в колоде, что называется случайной вставкой сверху, а затем повторить. Предположим, скутер может проехать 100–100 км с полным баком топлива. Покажите, что для применения оценки остатка на [N, ∞) [N, ∞) достаточно, чтобы f (x) f (x) убывала на [N, ∞), [N, ∞), но для ff требуется не убывает на [1, ∞). [1, ∞). [T] Используйте оценку остатка и интегрирование по частям, чтобы аппроксимировать ∑n = 1∞n / en∑n = 1∞n / en с погрешностью меньше 0,0001.0,0001. Сходится ли ∑n = 2∞1n (lnn) p∑n = 2∞1n (lnn) p, если pp достаточно велико? Если да, то для какого p? P? [T] Предположим, что компьютер может суммировать один миллион членов в секунду расходящегося ряда ∑n = 1N1n.∑n = 1N1n. Используйте интегральный тест, чтобы приблизительно определить, сколько секунд потребуется, чтобы сложить достаточно членов, чтобы частичная сумма превысила 100.
581976… ∑n = 1∞1en = 1e − 1 = 0,581976…
Hk = (1 + 12 + 13 + ⋯ + 1к). Напомним, что Tk = Hk − lnk Tk = Hk − lnk убывает.Вычислите T = limk → ∞TkT = limk → ∞Tk с точностью до четырех десятичных знаков. ( Подсказка: 1k + 1 <∫kk + 11xdx1k + 1 <∫kk + 11xdx.)
Мы будем считать, что колода перемешивается случайным образом после того, как будет сделано достаточно случайных верхних вставок, чтобы карта, изначально находившаяся внизу, достигла верха, а затем была вставлена случайным образом. Если в колоде nn карт, то вероятность того, что вставка будет ниже карты, изначально внизу (назовите эту карту B) B), равна 1 / n.1 / п. Таким образом, ожидаемое количество случайных вставок вверху, прежде чем BB перестанет быть внизу, равно n . Как только одна карта окажется ниже B, B, есть два места ниже BB, и вероятность того, что случайно вставленная карта окажется ниже BB, равна 2 / n.2 / n. Ожидаемое количество верхних случайных вставок до того, как это произойдет, будет n / 2.n / 2. Две карты под BB теперь расположены в случайном порядке. Продолжая таким же образом, найдите формулу для ожидаемого числа случайных вставок сверху, необходимых для того, чтобы колода была перемешана случайным образом.
Предполагая, что топливо может передаваться от одного скутера к другому, но может перевозиться только в баке, представьте процедуру, которая позволит одному из скутеров проехать 100HN100HN км, где HN = 1 + 1/2 + ⋯ + 1 / N. HN = 1 + 1/2 + ⋯ + 1 / N.