ГДЗ по математике 6 класс контрольные работы Дудницын, Кронгауз
Для организации результативной домашней подготовки к текущим плановым и итоговой контрольным шестиклассникам понадобится сам сборник и гдз по математике за 6 класс контрольные работы Дудницын. Если ежедневно уделять минимум час в день на проведение такой работы, и не делать длительных, свыше 10-14 дней, перерывов в ней, то уже спустя несколько недель можно будет увидеть высокий результат. Если материалы применяются для интенсивной подготовки, непосредственно перед контрольной, то время занятий рекомендуется увеличить до полутора-двух часов, а начинать их – не позднее чем за две недели до предстоящего контроля.
Кем и почему так востребованы онлайн справочники?
В числе тех, кто регулярно или системно применяет решебник к контрольным работам по математике для 6 класса Дудницына и Кронгауза:
— выпускники, готовящиеся к ЕГЭ, ОГЭ и вспоминающие курс классической математики, изучение которой завершается в шестом классе школы;
— дети, часто пропускающие уроки, имеющие длительные пропуски, например, по болезни, из-за поездок на творческие конкурсы и спортивные сборы. С помощью пособия они смогут эффективно подготовиться и хорошо написать проверочные работы;
— родители шестиклассников, стремящиеся проверить перед предстоящим контролем в классе уровень подготовленности своего ребенка, не вникая глубоко в суть и материал школьной программы;
— сами учителя, для быстрой проверки большого количества сданных ученических работ в условиях ограниченности времени, поскольку нагрузка у современных педагогов максимально высокая.
Очевидные преимущества применения решебников
Ряд специалистов и некоторые родители считают, что ГДЗ мешают детям учиться, не дают возможности самостоятельно найти ответ, так как его можно списать. Но это поверхностное мнение. На самом деле, плюсов у решебников очень много:
— возможность самостоятельной проверки в домашних условиях качества выполнения работ, без привлечения сторонней помощи;
— максимальная доступность источников в любое время суток, каждый день;
— с их помощью можно понять, как решаются трудные задания, что крайне важно перед предстоящей проверочной;
— удобство поиска, позволяющее оперативно найти нужный ответ в условиях ограниченного времени.
Сегодня ответы для контрольных работ по математике за 6 класс (авторы Дудницын и Кронгауз) – оптимальный источник для разработки своего собственного плана подготовки к предстоящим испытаниям. Освоив механизм и методику такой самостоятельной работы, шестиклассники научатся эффективно работать с математическими данными, что пригодится им и впоследствии, в средней и старшей школе и после ее окончания.
Страница не найдена
Новости
23 мар
Министерство просвещения России запланировало создать в школах 5 тыс. педагогических классов со следующего года, заявил министр просвещения Сергей Кравцов.
22 мар
В рамках старта второго этапа Всероссийского фестиваля «Футбол в школе» в московской школе №2109 прошла встреча учащихся с экс-футболистом сборной России Дмитрием Сычёвым и полузащитницей национальной команды страны Надеждой Смирновой.
Руководитель направления «Лаборатории Касперского» по детской онлайн-безопасности Андрей Сиденко прокомментировал последствия дистанционного обучения школьников.
21 мар
В Кабардино-Балкарии проведут проверку организации питания в школах и детсадах после сообщений об отравлении детей в одном из учреждений в Нальчике. Об этом сообщили в региональном Минпросвещения.
20 мар
Следователи возбудили уголовное дело после госпитализации школьников с признаками пищевого отравления в Смоленской области. Об этом информирует СУ СК России по региону.
20 мар
Центр по контролю и распространению заболеваний США (CDC) принял решение смягчить карантинные требования для школ США.
19 мар
В Татарстане по требованию прокурора Арского района возбудили уголовное дело по факту обрушения кровли в школе в селе Сюрда.
ГДЗ по математике 5 класс контрольные работы Дудницын, Кронгауз Решебник
Почему нужно применять ГДЗ по математике 5 класс контрольные работы Дудницына
Наша книга настолько необходима каждому школьнику, что тот, кто когда-то воспользовался ей, уже не может без нее обходиться. И это хорошо, нормально и правильно. Ведь наше пособие характеризуется только положительными сторонами, не имея минусов:
- все просто, понятно и доступно;
- сайт обладает навигацией;
- работать с интернет-порталом можно когда, кому и где угодно.
Все задания, представленные на страницах учебника, решены вручную нашими специалистами, которые хорошо разбираются в математической науке. Поэтому вы и ваш ребенок можете смело довериться ему, зная, что он вас не подведет. Помимо качественно выполненных заданий, решебник наполнен грамотными разъяснениями, формулами, таблицами, которые помогут лучше запомнить и выучить предмет. Эта книга создана не для поголовного списывания, а для образца, по которому каждый школяр сможет выполнить все упражнения, даже с повышенной сложностью.
Но вы как взрослый и ответственный человек должны осознавать, что нельзя допустить списывания, которым так часто любят заниматься дети, особенно младших возрастов. Вы должны обеспечить и проконтролировать весь процесс обучения и работы с онлайн-решебником по математике 5 класс контрольные работы авторов: Дудницын, Ю. П., Кронгауз, В. Л. Только в этом случае ваш подопечный получит качественные знания, подкрепленные практическим опытом.
Если же допустить «скатывание домашки», то говорить о благополучном завершении пятого класса не стоит. При такой учебе ребенок не наберется навыков и знаний в области математики. Соответственно, его образование будет неполным, некачественным и скудным. Разве вы хотите такой перспективы своему ребенку?
Математика 6 Итоговая контрольная | ГДЗ, ОТВЕТЫ
Математика 6 Итоговая контрольная (Дудницын)
Математика 6 Итоговая контрольная + ОТВЕТЫ. Цитаты годовой контрольной работы в 4-х вариантах из пособия для учащихся «Контрольные работы по математике 6 класс / Ю.П. Дудницын, В.Л. Кронгауз — М.: Издательство ЭКЗАМЕН», которое используется в комплекте с любым учебником по математике 6 класса общеобразовательных учреждений.
Цитаты из пособия указаны в учебных целях. В конце работы даны ОТВЕТЫ на все 4 варианта годовой контрольной за 6 класс.
Итоговая контрольная работа по математике за 6 класс
Ответы на контрольную за 6 класс
КР-16 (итоговая).
Вариант 1№ 1. –1
№ 2. 105
№ 3. 3
№ 4. (2; 0), (0; 4)
№ 5. 180 кг
№ 6. 30 %
КР-16 (итоговая).
Вариант 2№ 1. 1
№ 2. 23 т
№ 3. 3
№ 4. (3; 0), (0; –3)
№ 5. 28
№ 6. 75 %
КР-16 (итоговая).
Вариант 3№ 1. –1
№ 2. 92 га
№ 3. 4
№ 4. (–2; 0), (0; –1)
№ 5. 80
№ 6. 44 %
КР-16 (итоговая).
Вариант 4№ 1. –1,8
№ 2. 70 км
№ 3. 4
№ 4. (–1; 0), (0; 1)
№ 5. 40 л
№ 6. 19 %
Математика 6 Итоговая контрольная + ОТВЕТЫ. Цитаты годовой контрольной работы в 4-х вариантах из пособия для учащихся «Контрольные работы по математике 6 класс / Ю.П. Дудницын, В.Л. Кронгауз — М.: Издательство ЭКЗАМЕН», которое используется в комплекте с любым учебником по математике 6 класса общеобразовательных учреждений. Ответы даны для учителей и родителей с целью проверки правильности выполнения заданий.
▶▷▶ 6 класс контрольная работа по английскому языку enjoy english
▶▷▶ 6 класс контрольная работа по английскому языку enjoy english6 класс контрольная работа по английскому языку enjoy english — Yahoo Search Results Yahoo Web Search Sign in Mail Go to Mail» data-nosubject=»[No Subject]» data-timestamp=’short’ Help Account Info Yahoo Home Settings Home News Mail Finance Tumblr Weather Sports Messenger Settings Yahoo Search query Web Images Video News Local Answers Shopping Recipes Sports Finance Dictionary More Anytime Past day Past week Past month Anytime Get beautiful photos on every new browser window Download ГДЗ решебник по английскому языку 6 класс Биболетова gdzputinaco … Английский язык Здесь представлены ответы к учебнику (students book) по английскому языку (Enjoy English) Биболетова, Денисенко, Трубанева 6 класс контрольная работа enjoy english 5 6 класс unit 7 — Boomleru wwwboomleru/ контрольная — работа — enjoy Cached Инфоурок › Русский язык › Тесты › Контрольная работа по английскому языку по теме «Living together» для 6 класса к учебнику МЗ Биболетовой 5-6 класс (3 четверть)К учебнику “Enjoy English” Биболетовой МЗ 5- 6 класс Unit 7 Итоговая контрольная работа по английскому языку в 6 классе multiurokru/files/itoghovaia-kontrol-naia Cached Контрольная работа промежуточной аттестации (итоговая) по английскому языку в 6 классе (Rainbow English) I Прочитайте текст и закончите предложения после него 6 Класс Контрольная Работа По Английскому Языку Enjoy English — Image Results More 6 Класс Контрольная Работа По Английскому Языку Enjoy English images Тест по английскому языку для 6 класса Enjoy English multiurokru/files/tiest-po-anghliiskomu-iazyku Cached Итоговая контрольная работа (тест) на промежуточной аттестации по английскому языку 8 класс , (Учебник «Enjoy English», автор Биболетова МЗ, Трубанева НН) Административная контрольная работа по английскому языку в 6 kopilkaurokovru/angliiskiyYazik/testi/ Cached Контрольная работа позволит проверить знания учащихся за 3 четверть Разработана к учебнику «Enjoy English» Биболетовой МЗ Контрольная работа по английскому языку за I четверть, 9 kopilkaurokovru/angliiskiyYazik/testi/kontrol Cached Контрольная работа по английскому языку 9 класс , I четверть, УМК Биболетова Enjoy English-9 kopilka urokovru — сайт для учителей Итоговая контрольная работа по английскому языку (по УМК videourokinet/razrabotki/itogovaya-kontrolnaya Cached по английскому языку для 8 класса ( по УМК «Enjoy English» МЗ Биболетовой) Put a, the or no article It can be seen from __ Earth when it travels near the Sun Е В ДЗЮИНА ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО АНГЛИЙСКОМУ ЯЗЫКУ к УМК docplayerru/42030811-E-v-dzyuina-pourochnye Cached 1 Е В ДЗЮИНА ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО АНГЛИЙСКОМУ ЯЗЫКУ к УМК МЗ Биболетовой и др Enjoy English НОВОЕ ИЗДАНИЕ 6 класс МОСКВА «ВАКО» 2015 Решебник ГДЗ на Test Booklet Spotlight 6 класс (Ответы на 5urokovru/load/gdz_ 6 _klass/anglijskij_jazyk/ Cached Test Booklet — это тетрадь с тестами по английскому языку Она является составной частью комплекта к учебнику Spotlight за 6 класс Ваулиной Контрольная работа 4 класс к УМК “Enjoy English” Биболетова МЗ infourokru/kontrolnaya-rabota-klass-k-umk-enoy Cached Контрольная работа по английскому языку 4 класс 2 четверть Выбери нужный предлог There are two desks next to/in/on the room Promotional Results For You Free Download | Mozilla Firefox ® Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 29,800 results Settings Help Suggestions Privacy (Updated) Terms (Updated) Advertise About ads About this page Powered by Bing™
6 класс контрольная работа по английскому языку enjoy english — Все результаты Итоговая контрольная работа по английскому языку в 6 классе по › Иностранные языки 23 мая 2017 г — Cкачать: Итоговая контрольная работа по английскому языку в 6 классе по учебнику » Enjoy English » Биболетова Итоговая контрольная работа за 6 класс по английскому языку к › Иностранные языки Похожие 27 апр 2015 г — Скачать: Итоговая контрольная работа за 6 класс по английскому языку к учебнику Биболетовой » Enjoy English -6″ Тест по английскому языку (6 класс) на тему: Контрольная работа 13 янв 2017 г — Тест по английскому языку ( 6 класс ) на тему: Контрольная работа 6 класс 3 четверть (УМК Enjoy English 6 Биболетова МЗ ) Тест по английскому языку (6 класс) на тему: Контрольные работы 1 мар 2015 г — Контрольные работы для 6 класса УМК « Enjoy English » М В Биболетовой Test to Unit 5 I Fill in the gaps using one of the options Тест по английскому языку (6 класс) по теме: контрольные работы 8 июн 2014 г — Контрольные работы по английскому языку для учащихся 6 класса (УМК М З Биболетовой и др Enjoy English 5 – 6 кл) 6th form Контрольная работа по английскому языку для 6 класса к учебнику Контрольная работа по английскому языку к учебнику “ Enjoy English ” Биболетовой МЗ 6 класс Unit 7 Variant 1 1Choose the correct item 1Peter never Контрольная работа к УМК Биболетовой МЗ «Enjoy English»6 Контрольная работа к УМК Биболетовой МЗ « Enjoy English » 6 класс Unit 3 — в разделе Контроль знаний, по направлениям Английский язык , Контрольная работа по английскому языку 6 класс по учебнику МЗ 12 мар 2015 г — Контрольная работа по английскому языку 6 класс по учебнику МЗ Биболетова К учебнику “ Enjoy English ” Биболетовой МЗ 6 класс Видео 2:20 Unit 3 Section 6 Задание №129 — Английский язык «Enjoy English» 6 UrokiTV YouTube — 7 февр 2016 г 3:31 Unit 3 Section 7 Задание №137 — Английский язык «Enjoy English» 6 UrokiTV YouTube — 7 февр 2016 г 7:24 Unit 4 Section 4 Задание №83 — Английский язык «Enjoy English» 6 UrokiTV YouTube — 8 мая 2016 г Все результаты Контрольная работа 2 четверть 6 класс «Enjoy English Похожие Контрольная работа 2 четверть 6 класс » Enjoy English » Биболетова МЗ Категория: Английский язык 04032015 16:59 Контрольная работа расчитана Проверочная работа в 6 классе за 4 четверть — Урокрф Похожие 5 февр 2016 г — Контрольная / проверочная работа для учителя-предметника для 6 класса Учебно-дидактические материалы по Английскому языку для 6 класса Проверочная работа 6 класс , 4 четверть / УМК « Enjoy English », Проверочная работа по циклу 5, 6 класс Биболетова МЗ — Урокрф Похожие 27 февр 2016 г — Контрольная / проверочная работа для учителя-предметника для 6 класса Учебно-дидактические материалы по Английскому языку для 6 класса по УМК Биболетова Материал размещён в группе «Урок английского ( English lesson)» Do you like to travel by … plane or by … car? We had Гдз по английскому языку 6 класс Биболетова, Денисенко › ГДЗ › 6 класс › Английский язык › Биболетова Похожие Условия заданий, ответы на тесты, работа с картинками и прочие решения решебники Ответы к рабочей тетради Enjoy English workbook 6 класс Биболетова ГДЗ Рабочая тетрадь английский язык 6 класс МЗ Биболетова Английский язык Enjoy English 6 класс Биболетова — ГДЗ ЛОЛ Если у вас возникли трудности с выполнением домашней работы по учебнику английского языка Биболетовой, тогда вы пришли по адресу На нашем Книга: «Английский язык 6 класс Enjoy English Рабочая тетрадь с › › Английский язык (5-9 классы) 6 класс Enjoy English Рабочая тетрадь с контрольными работами ФГОС Автор: 6 класс Рабочая тетрадь № Английский язык Enjoy English 6 класс 6 класс ФГОС обложка книги Все домашние работы 6 класс ФГОС 1 рец [PDF] «Английский язык» 6 класс, базовый уровень на 2017/2018 учебный art-lyceumru/Docs/rab_prog/rab_prog_osn_obch/rab_prog_engl6-17pdf Рабочая программа курса « Английский язык » для 6 классов разработана на Английский язык : Английский с удовольствием ( Enjoy English ): Учебник За письменные работы ( контрольные работы , самостоятельные работы, Картинки по запросу 6 класс контрольная работа по английскому языку enjoy english «id»:»AJ1TSkmX2C3DbM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:58,»oh»:340,»ou»:» «,»ow»:220,»pt»:»img1labirintru/books/546785/bigjpg»,»rh»:»labirintru»,»rid»:»n77-cMhYrCgEvM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»Лабиринт»,»th»:104,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcQz2wHxAVsCpRG2z4Zm5KU5Bct48QJYd044R817JB3Gw4wziTdf3Ujbzw»,»tw»:67 «id»:»OE8xT4GkjakEDM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:58,»oh»:340,»ou»:» «,»ow»:220,»pt»:»img1labirintru/books/408353/bigjpg»,»rh»:»labirintru»,»rid»:»MZsWkOBwFFzSJM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»Лабиринт»,»th»:104,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcRhgdak7TP4IkIZjKFp4CX9NxTR9hvSoe2nD27tqFZQW4nnHeGi8-cDvg»,»tw»:67 «cb»:3,»cl»:3,»cr»:3,»id»:»lGlrwM4RlwKnuM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:114,»oh»:548,»ou»:» «,»ow»:700,»pt»:»gdzlolbiz/gdzimg/6klass/english/biboletova/unit1/»,»rh»:»gdzlolbiz»,»rid»:»1sAglMUDxsL0lM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»ГДЗ ЛОЛ»,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcTwQ3g_K01W1934EZD9ewJ00bIXwyH-tr6WYP5mDM2yhqHwQNGmd02nGDE»,»tw»:115 «id»:»68O2tdjWFwiTqM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:53,»oh»:1183,»ou»:» «,»ow»:700,»pt»:»gdzlolbiz/gdzimg/6klass/english/biboletova/unit1/»,»rh»:»gdzlolbiz»,»rid»:»1sAglMUDxsL0lM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»ГДЗ ЛОЛ»,»th»:109,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcSdpuECcmJCzAZ8aQzV_9khDAWsEC6ovmioelaZgdzUqSI5RSxJ0_vhH0c»,»tw»:64 «cb»:3,»cl»:3,»cr»:3,»id»:»YMQqimKZKowDWM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:93,»oh»:669,»ou»:» «,»ow»:700,»pt»:»gdzlolbiz/gdzimg/6klass/english/biboletova/unit1/»,»rh»:»gdzlolbiz»,»rid»:»1sAglMUDxsL0lM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»ГДЗ ЛОЛ»,»th»:94,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcRUbYPl5xChIj-zU1UksL46c9YbF4UVeAkwNz6_datnVQko8TVlc68jyg»,»tw»:99 «cl»:3,»cr»:6,»ct»:3,»id»:»LLyZ9YhmamZWSM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:63,»oh»:708,»ou»:» «,»ow»:500,»pt»:»znanioru/static/files/cache/b1/0e/b10e2df64d54eb6″,»rh»:»znanioru»,»rid»:»aPOmr2O7CyKnxM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»Знанио»,»th»:99,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcT0UUZiAo5KhdKDkIzYO9w_6g6Tx9SaX0x0amt_PT3Ojsua2T9O42yKEQ»,»tw»:70 «cb»:3,»cl»:6,»cr»:6,»ct»:3,»id»:»BxivLhQ1OpKHkM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:83,»oh»:745,»ou»:» «,»ow»:700,»pt»:»gdzlolbiz/gdzimg/6klass/english/biboletova/unit1/»,»rh»:»gdzlolbiz»,»rid»:»1sAglMUDxsL0lM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»ГДЗ ЛОЛ»,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcSiIOfH-j-6GNruEP0lbaz4vcc1XqYPAlesKefZXlPkzUDrEAHKg5LjIWA»,»tw»:85 «id»:»f6ccOVdZa_lePM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:50,»oh»:1247,»ou»:» «,»ow»:700,»pt»:»gdzlolbiz/gdzimg/6klass/english/biboletova/unit1/»,»rh»:»gdzlolbiz»,»rid»:»1sAglMUDxsL0lM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»ГДЗ ЛОЛ»,»th»:111,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcTF79QJcU-6eYKJYmrjKLd1vTbSh4ZiaZKdG6xrOCX73JVytial8-uCkA»,»tw»:62 Другие картинки по запросу «6 класс контрольная работа по английскому языку enjoy english» Жалоба отправлена Пожаловаться на картинки Благодарим за замечания Пожаловаться на другую картинку Пожаловаться на содержание картинки Отмена Пожаловаться Все результаты [PDF] 6 класс — My-shopru 6 класс ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО АНГЛИЙСКОМУ ЯЗЫКУ Е В ДЗЮИНА к УМК МЗ Биболетовой и др “ Enjoy English ” НОВОЕ ИЗДАНИЕ [DOC] 6 класс Пояснительная записка Примерная рабочая программа ,%2 Похожие Enjoy English : Рабочая тетрадь к учебнику английского языка для 5- 6 классов Аудиокассета к учебнику английского языка Биболетовой М 3 тесты, письменные контрольные работы , учебные проекты, монологические и [PDF] Английский язык 6 класс educationsimcatru/school81/files/1489679689_angliyskiy_yazik_6_klasspdf Рабочая программа учебного курса « Английский язык » для 6 класса на 2016 Программы курса английского языка к УМК « EnjoyEnglish » для учащихся 2 -11 классов общеобразовательных учреждений планировать и осуществлять учебно-исследовательскую работу: выбор Контрольные работы 23 контрольная работа 8 класс 2 четверть английский язык биболетова wwwocptecnologycom//kontrolnaia-rabota-8-klass-2-chetvert-angliiskii-iazyk-bib контрольная работа 8 класс 2 четверть английский язык биболетова 8 класс , УМК « Enjoy English ” Контрольная работа по английскому языку за вторую языка 6 класс биболетова трубанева Административная работа по ▷ гдз по контрольной работе по английскому языку 4 класс spotlight esareunioncom//gdz-po-kontrolnoi-rabote-po-angliiskomu-iazyku-4-klass-spotlight гдз по контрольной работе по английскому языку 4 класс spotlight 6 класс Spotlight Test Booklet ГДЗ Контрольные задания по английскому языку 4 в выполнении домашней работы по Английский язык Enjoy English 4 класс ГДЗ по английскому языку за 6 класс Enjoy English МЗ Биболетова › ГДЗ › 6 класс › Английский язык › Биболетова ГДЗ Enjoy English по английскому языку 6 класс МЗ Биболетова, ОА Домашняя работа требует к себе особое внимание и каждое задание Английский язык Enjoy English 6 класс Аудиоприложение к — lecta Английский язык Enjoy English 6 класс Аудиоприложение к учебнику Биболетова М З Денисенко О А Трубанева Н Н скачать электронную версию [PDF] Рабочая программа по английскому языку 6 класс uni-schoolru/BIV/pojasnitelnaja_zapiska_6_klasspdf Рабочая программа по английскому языку 6 класса 3 часа в неделю (всего 102 НН Программа курса английского языка к УМК « Enjoy English » для учащихся 2-9 классов промежуточные и 1 итоговую контрольные работы рабочая программа по УМК Enjoy English для 6 класса (новая › › Ресурсы к учебникам Enjoy English 3 сент 2013 г — 19 сообщений — 15 авторов В каждой четверти проводится 4 контрольных работы по всем у нас в школе приобрели учебники 5- 6 класс Биболетовой тираж 2015 Контрольная за 4 четверть и итоговая контрольная работы для 6 pedsovetsu › › Иностранные языки › Оценка знаний учащихся 13 апр 2013 г — Должность: учитель английского языка Квалификация: 1 Enjoy English – 3: Учебник англ яз для 5-6 кл общеобраз учрежд – 2-е изд, Итоговая контрольная работа ( 6 класс , учебник МЗБиболетовой) Task 1 ГДЗ английский язык 6 класс enjoy english 6 student’s book › Английский › 6 класс Похожие Решебник по английскому языку за 6 класс авторы Биболетова, Денисенко ГДЗ английский язык 6 класс enjoy english 6 student’s book Биболетова, Контрольные работы по математике 6 класс Дудницын, Кронгауз Экзамен Контрольная работа 6 класс 3 четверть к УМК Биболетова «Enjoy wwwzavuchru/methodlib/229/98300/ Похожие 6 нояб 2013 г — Контрольная работа 6 класс 3 четверть к УМК Биболетова » Enjoy English » Данная Раздел: Английский язык — Разработки уроков [RTF] Контрольный срез по английскому языку для 6 класса desnobradmin-smolenskru/files/383/6-klass-angl-yazrtf Контрольная работа (тестирование) составлена на основе допущенной курса английского языка к УМК « ENJOY ENGLISH » для учащихся 2-9 классов Календарно тематическое планирование по английскому языку Похожие 18 нояб 2014 г — Данная рабочая программа по английскому языку для 6 классов составлена на учебником «Английский с удовольствием/ Enjoy English 5-6» Биболетова Контрольная работа по теме «Домашние обязанности» [PDF] Рабочая программа представляет собой нормативно-правовой shsoshucozru/ang_pz_6pdf Авторской программы курса английского языка для 6 классов календарно- тематическое планирование, приложение ( контрольные работы ) В процессе обучения курсу « Enjoy English » в 6 классе (учебник « Enjoy English — 6 ) Решебник (ГДЗ) Английский язык 6 класс МЗ Биболетова, ОА › Решебники за 6 класс › Английский язык Предмет: Английский язык | Похожие ГДЗ (2) + Английский язык Enjoy English 6 класс МЗ Биболетова, НВ Добрынина, НН Трубанева (2007 год) Enjoy English 6: Teacher’s Book / Английский с удовольствием 6 › Книги › Учебная литература › Иностранные языки Enjoy English 6: Student`s Book / Английский с удовольствием 6 класс рекомендации для достижения результатов владения английским языком на уровне, описание содержания и организации проектной работы; характеристику Итоговые контрольные работы для выпускников начальной школы купить Enjoy English — KnigiToday wwwknigitodayru › Издательства › Титул Биболетова Английский язык Enjoy English Рабочая тетрадь 5- 6 класс Цена: 263 Р язык Enjoy English Рабочая тетрадь №2 Контрольные работы Книга Enjoy English Английский с удовольствием 6 класс Учебник › › Школьная литература › Иностранные языки Книга Enjoy English Английский с удовольствием 6 класс Учебник 2 класс Контрольные работы к учебнику по английскому языку Rainbow English 0 Контрольная работа для 6 класса «Enjoy English» globuss24ru/doc/kontrolynaya-rabota-dlya-6-klassa-enjoy-english Контрольная работа для 6 класса » Enjoy English » 6 класс Unit 7 Грамматика Английского языка , Сборник упражнений, Часть 2, 5- 6 классы Е А ГДЗ по английскому языку 6 класс Биболетова рабочая тетрадь › 6 класс › Английский язык ГДЗ ответы на вопросы рабочей тетради, учебника Биболетова 6 класс Enjoy English , а также прогресс чек (Progress Check) ФГОС решебник от Путина Определение Московского городского суда от 04102016 N 2и basegarantru/144875350/ язык : Английский с удовольствием / Enjoy English : учебник для 6 класса Enjoy English : Рабочая тетрадь N 2 » Контрольные работы » к учебнику для Календарно-тематическое планирование уроков английского › › Английский язык › К учебнику Enjoy English уроков английского языка в 6 классе : к учебнику МЗ Биболетовой Enjoy English Контрольные работы расположены в конце каждого семестра Контрольная работа по английскому языку по УМК Биболетовой М uchitelyacom//8393-kontrolnaya-rabota-po-angliyskomu-yazyku-po-umk-biboleto Контрольная работа по английскому языку для учащихся 5 класса (УМК М З Биболетовой Enjoy English 5 – 6 кл) Составлена учителем английского Ответы к рабочей тетради №1 Enjoy English 6 класс (Биболетова Ответы на вопросы к рабочей тетради №1 по английскому языку Enjoy English для 6 класса Авторы: МЗ Биболетова, ОА Денисенко и НН Трубанева Е В ДЗЮИНА ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО АНГЛИЙСКОМУ docplayerru/42030811-E-v-dzyuina-pourochnye-razrabotki-po-angliyskomu-yazyk Enjoy English НОВОЕ ИЗДАНИЕ 6 класс МОСКВА «ВАКО» 2015 УДК ББК Д43 Д43 Дзюина ЕВ Поурочные разработки по английскому языку 6 класс чтения 2 25, 26 Контрольная работа 1 27, 28 Проектная работа 1 Unit 2 Английский язык Контрольные работы для 2-4 классов» к УМК МЗ extspbru › Публикации в журнале › Начальная школа Иностранные языки Похожие Рейтинг: 4 — 230 голосов 16 мая 2013 г — « Enjoy English » Контрольная работа по английскому языку V-1 six , cat, sing, ten, has, sit, pen, is, fat, his, skip, swim, Ann, and, hen, can 6 ОА, Трубанева НН УМК “ Enjoy English ” 2 класс обнинск: титул, 2006 Английский язык Enjoy English 2-4 классы Рабочая программа Мерем Биболетова , Наталия Трубанева — 2018 — Foreign Language Study по английскому языку для 2—4 классов учебного курса “ Enjoy English ”: Английский материалы по английскому языку ( контрольные работы , тесты и пр) 3 Двуязычные словари 4 Толковые словари (одноязычные) 6 7 8 9 Английский язык — Школьные Знанияcom Похожие Английский язык ; 50 б; 5 минут назад Газета ПО АНГЛ-ЯЗ Английский язык ; 5 б; 12 минут назад Упражнение 3 Помогите 6 класс Пожалуйста:) 1 Гдз по Английскому языку Enjoy English за 6 класс, авторы МЗ Похожие С этой целью прекрасно справится ГДЗ к учебнику по английскому языку Enjoy English student’s book 6 класс Биболетова, Денисенко, Трубанева ГДЗ по Английскому языку для 6 класса Enjoy English МЗ — na5ru Решебник (ГДЗ) для 6 класса по английскому языку Enjoy English ФГОС Авторы учебника: МЗ Биболетова, ОА Денисенко, НН Трубанева Содержит в Пояснения к фильтрации результатов Мы скрыли некоторые результаты, которые очень похожи на уже представленные выше (50) Показать скрытые результаты Ссылки в нижнем колонтитуле Россия — Подробнее… Справка Отправить отзыв Конфиденциальность Условия Аккаунт Поиск Карты YouTube Play Новости Почта Контакты Диск Календарь Google+ Переводчик Фото Ещё Документы Blogger Hangouts Google Keep Подборки Другие сервисы Google
Контрольные работы по алгебре. 7 класс. Дудницын Ю.П., Кронгауз В.Л. 2017 г
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО АЛГЕБРЕ. 7 КЛАСС
ДУДНИЦЫН Ю.П., КРОНГАУЗ В.Л.
2016 г.
Скачать пособие бесплатно в формате PDF можно по ссылке ниже (кнопка).
Издательство «Экзамен» Москва — 2017
Данное пособие полностью соответствует федеральному государственному образовательному стандарту (второго поколения). Пособие является необходимым дополнением к школьным учебникам для 7 класса по алгебре, рекомендованным Министерством образования и науки Российской Федерации и включенным в Федеральный перечень учебников. Пособие содержит комплект контрольных работ на весь учебный год. Содержание контрольных работ соответствует программе и учебникам по алгебре для 7 класса основной школы, используемым последние годы в большинстве школ России. Контрольные работы содержат разноуровневые задания и приведены в 4-х вариантах; даны рекомендации для оценивания их выполнения учащимися. Регулярное выполнение самостоятельных и контрольных работ поможет школьникам освоить программный материал и получать своевременную информацию о полноте его усвоения.
Рекомендовано учителям, а также семиклассникам и их родителям для самостоятельного контроля знаний.
Основной целью создания сборника контрольных работ по алгебре для 7 класса является оказание методической помощи молодому учителю в организации учебного процесса, обеспечивающего благоприятные условия для:
1) достижения всеми семиклассниками базового уровня подготовки по алгебре, соответствующего государственному стандарту математического образования;
2) усвоения курса алгебры 7 класса на более высоком уровне учащимися, проявляющими интерес и способности к предмету;
3) реализации основных принципов уровневого обучения.
СОДЕРЖАНИЕ:
Тематика контрольных работ
К учителю
Выражения. Преобразование выражений
Контрольная работа № 1
Линейные уравнения с одной переменной
Контрольная работа № 2
Линейная функция
Контрольная работа № 3
Степень и её свойства. Одночлены
Контрольная работа № 4
Сумма и разность многочленов. Произведение одночлена и многочлена
Контрольная работа № 5
Произведение многочленов
Контрольная работа № 6
Формулы сокращенного умножения
Контрольная работа № 7
Преобразование целых выражений. Применение различных способов разложения на множители
Контрольная работа № 8
Линейные уравнения с двумя переменными и их системы
Контрольная работа № 9
Итоговая контрольная работа
Контрольная работа № 10
Ответы
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
%d0%b3%d0%b4%d0%b7 %d0%bf%d0%be %d1%80%d1%83%d1%81%d1%81%d0%ba%d0%be%d0%bc%d1%83 %d1%8f%d0%b7%d1%8b%d0%ba%d1%83 6 %d0%ba%d0%bb%d0%b0%d1%81%d1%81 %d0%ba%d0%be%d0%bc%d0%bf%d0%bb%d0%b5%d0%ba%d1%81%d0%bd
гобелены по эскизам художника бернарда ван орлея Mizantrop 1943 Livejournal
Save on diehard silver battery, group size 25, 550 cca 25 1 at advance auto parts. buy online, pick up in store in 30 minutes. Part number: 6158050170 : model: 25df : ergonomics: yes : features: reaction free: holds the load weightless throughout the entire cable length rigid and impactresistant plastic housing 360° swiveling safety hook for isolated suspension screw type safety hook for load suspension standard safety chain spring fracture safeguard, integrated drum lock capacity: 15 25 kg (33,1 55,1 lb) cable. This rating reflects the overall rating of us army and is not affected by filters. this category could use your help. we’re a little short on data, but you can help. take 30 seconds to share your demographic info so we can provide more data like this in the future. $6.03 buy surplus as low as $3.02 $3.02 view buying options. 800t xa. allen bradley . contact block, standard contact, 1 no 1 nc, type 4 13, 30 mm, screw attachment, base mount, 600 vac max in stock! $48.00 buy surplus. 250 25 0030 from protective industrial products at allied electronics & automation.
дайджест тициан Tициан вечеллио Tiziano Vecellio Ca 1488 1576 Italian портретная галерея 1
25df etn stn0.4(400 230) iec industrial traffic sensor corp 25df. 25b d2p3n104 drives from allen bradley in stock, order now! same day shipping, 2 year warranty, radwell repairs ac drive, powerflex 525, 3 phase, 1.0 hp, 0.75 kw normal duty, 2.3 a, frame a, ip20 nema open type, no filter,. Mos 25b maintain, process, and troubleshoot army computer systems and operations. image: army army information technology specialists have a huge responsibility in maintaining and troubleshooting military computer systems and operations. 25b4 datasheet, 25b4 pdf, 25b4 data sheet, 25b4 manual, 25b4 pdf, 25b4, datenblatt, electronics 25b4, alldatasheet, free, datasheet, datasheets, data sheet, datas. Lan manager. senior lan manager alternate cam serves as senior lan manager for 35th air defense artillery brigade; supervises, trains, and mentors two soldiers in operator tasks; acts as an operator during periods when the designated operator is unavailable; performs pre combat inspections and inventories of all section equipment and materials (comsec and cci fill devices, batteries, and long.
фламандский живописец пейзажист теобальд мишо Theobald Michau Micho 1676 1765 Flanders
Performs the duties associated with the five computer network defense (cnd) specialties (i.e., infrastructure support (is), analyst (an), incident responder (ir), auditor (au) and manager (mgr)), information assurance technical (iat) levels i iii functions, information assurance management (iam) levels ii iii functions, as required by skill level iaw ar 25 2 and dod 8570.01 m. cnd protects. This credential validates a candidate’s world class vsphere and nsx 6.x skills and prove he or she can deliver true business value through designing a vmware nsx® platform based data center networking infrastructure that meets customer objectives and constraints. candidates must hold the vcp nv 2020 certification and the vcix nv 2020 badge. 25b25, roller chain sprocket, steel. learn more about 25b25 roller chain sprockets and b&b manufacturing, inc. view product specifications, download a cad file in your preferred format, or purchase online. Course information: course title: cyber network defender (cert) course number: 230 25d30 (cp) college: signal leader development college (sldc). Results. search results for: 25d0 259f 25d0 25b5 25d1 2582 25d1 2580 2b 25d0 259d 25d0 25b0 25d0 25bb 25d0 25b8 25d1 2587 &paged=2.
Отговарям на вашите въпроси #2
Looking for connector, 0.669 in., black, nylon? find it at grainger ®. with over 1.6m products and 24 7 customer service we have supplies and solutions for every industry. Cmf 14, air defense artillery (6) cmf 15, aviation (20) cmf 18, special forces (5) cmf 19, armor (2) cmf 25, communication and information systems operation (16) cmf 27, paralegal (1) cmf 31, military police (3) cmf 35, military intelligence (2) cmf 36, financial management (1) cmf 37, psychological operations (1) cmf 38, civil affairs (1). Yes it is on corsairs website for this particular psu. on idle 325 load its 25db. 325w 650w load its going up to about 42db on full load. its just that i hear this sound, like air moving but nothing mechanical. Vb025d1(6) 15 : 621853 : 12 part information. description. the utc is a pulse width modulator ic and designed for switching power supplies application to improve performance and reduce external parts usage. a shutdown terminal controls both the soft start circuitry and the output stages, providing instantaneous turn off through the pwm. Requirements those who want to serve must first take the armed services vocational aptitude battery, a series of tests that helps you better understand your strengths and identify which army jobs are best for you.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Косинус суммы трех углов.Тригонометрические тождества и преобразования. Основные тригонометрические тождества
Проще говоря, это овощи, приготовленные на воде по особому рецепту. Я буду рассматривать два исходных компонента (овощной салат и воду) и готовый результат — борщ. Геометрически это можно представить в виде прямоугольника, в котором одна сторона обозначает салат, а вторая — воду. Сумма этих двух сторон будет обозначать борщ. Диагональ и площадь такого «борщевого» прямоугольника — чисто математические понятия и никогда не используются в рецептах приготовления борща.
Как салат и вода превращаются в борщ с точки зрения математики? Как сумма двух отрезков может превратиться в тригонометрию? Чтобы понять это, нам нужны линейные угловые функции.
В учебниках математики вы не найдете ничего о линейных угловых функциях. Но без них не может быть математики. Законы математики, как и законы природы, работают независимо от того, знаем мы об их существовании или нет.
Линейные угловые функции — это законы сложения. Посмотрите, как алгебра превращается в геометрию, а геометрия — в тригонометрию.
Можно ли обойтись без линейных угловых функций? Это возможно, потому что математики до сих пор обходятся без них. Уловка математиков в том, что они всегда говорят нам только о задачах, которые они могут решить сами, и никогда не говорят о тех задачах, которые они не могут решить. Взглянуть. Если мы знаем результат сложения и один термин, мы используем вычитание для поиска другого термина. Все. Других задач мы не знаем и решить не умеем.Что делать, если мы знаем только результат сложения, а оба члена не известны? В этом случае результат сложения должен быть разложен на два члена с использованием линейных угловых функций. Далее, мы сами выбираем, каким может быть один член, а линейные угловые функции показывают, каким должен быть второй член, так что результат сложения — именно то, что нам нужно. Таких пар терминов может быть бесконечное количество. В повседневной жизни мы хорошо справляемся, не разбирая суммы, нам нужен только вычет.Но в научных исследованиях законов природы разложение суммы на члены может быть очень полезным.
Другой закон сложения, о котором математики не любят говорить (еще одна уловка), требует, чтобы члены имели одинаковые единицы измерения. Для салата, воды и борща это могут быть единицы веса, объема, стоимости или единицы.
На рисунке показаны два уровня различий по математике. Первый уровень — это различия в поле чисел, которые обозначаются a , b , c .Это то, что делают математики. Второй уровень — это различия в области единиц измерения, которые показаны в квадратных скобках и обозначены буквой U . Этим занимаются физики. Мы можем понять третий уровень — различия в области описываемых объектов. У разных объектов может быть одинаковое количество одинаковых юнитов. Насколько это важно, мы можем увидеть на примере тригонометрии борща. Если мы добавим индексы к одному и тому же обозначению единиц измерения разных объектов, мы сможем точно сказать, какая математическая величина описывает конкретный объект и как она изменяется со временем или в связи с нашими действиями.Буквой W обозначу буквой S обозначу салат и буквой B — борщ. Вот как будут выглядеть линейные угловые функции для борща.
Если взять часть воды и часть салата, вместе они превратятся в одну порцию борща. Здесь я предлагаю вам отдохнуть от борща и вспомнить свое далекое детство. Помните, как нас учили собирать зайчиков и уток? Необходимо было узнать, сколько всего животных вышло.Что нас тогда учили делать? Нас учили отрывать единицы измерения от чисел и складывать числа. Да, любой один номер можно добавить к другому любым числом. Это прямой путь к аутизму современной математики — мы не понимаем что, непонятно почему и очень плохо понимаем, как это соотносится с реальностью, из-за трех уровней различия математика оперирует только на одном. Правильнее будет научиться переходить от одной единицы измерения к другой.
И кроликов, и уток, и животных можно сосчитать по частям.Одна общая единица измерения для разных объектов позволяет нам объединять их. Это детский вариант задания. Давайте рассмотрим аналогичную задачу для взрослых. Что будет, если добавить зайчиков и деньги? Здесь можно предложить два решения.
Первый вариант . Определяем рыночную стоимость кроликов и прибавляем ее к имеющейся сумме денег. Мы получили полную стоимость нашего богатства наличными.
Второй вариант . Вы можете добавить количество зайчиков к количеству банкнот, которые у нас есть.Получим количество движимого имущества в штуках.
Как видите, один и тот же закон сложения позволяет получить разные результаты. Все зависит от того, что мы хотим знать.
Но вернемся к нашему борщу. Теперь мы можем увидеть, что будет при разных значениях угла линейных угловых функций.
Угол равен нулю. У нас есть салат, но нет воды. Мы не умеем готовить борщ. Количество борща тоже равно нулю. Это не значит, что нулевой борщ равен нулю воды.Нулевой борщ можно и при нулевом салате (прямой угол).
Лично для меня это основное математическое доказательство того, что. Ноль не меняет число при добавлении. Это связано с тем, что само сложение невозможно, если есть только один член, а второй член отсутствует. Вы можете относиться к этому как угодно, но помните — все математические операции с нулем придумали сами математики, так что отбросьте свою логику и тупо впихните придуманные математиками определения: «деление на ноль невозможно», «любое число умноженное на ноль». равно нулю »,« за нулевой точкой »и прочей чепухе.Достаточно один раз вспомнить, что ноль — это не число, и у вас никогда не возникнет вопроса, является ли ноль натуральным числом или нет, потому что такой вопрос обычно не имеет смысла: как можно рассматривать число как то, что не является числом? номер. Это все равно, что спрашивать, какого цвета невидимый цвет. Добавление нуля к числу аналогично рисованию несуществующей краской. Они махают сухой кистью и всем говорят, что «мы нарисовали». Но я немного отвлекся.
Угол больше нуля, но меньше сорока пяти градусов.У нас много салата, но мало воды. В итоге получаем густой борщ.
Угол составляет сорок пять градусов. У нас равное количество воды и салата. Это идеальный борщ (уж простите, это просто математика).
Угол больше сорока пяти градусов, но меньше девяноста градусов. У нас есть много воды и немного салата. Приобретите жидкий борщ.
Угол прямой. У нас есть вода. От салата остались одни воспоминания, так как мы продолжаем измерять угол от линии, которая когда-то обозначала салат.Мы не умеем готовить борщ. Количество борща нулевое. В таком случае держись и пей воду, пока она есть)))
Вот. Что-то вроде этого. Я могу рассказать здесь другие истории, которые будут здесь более чем уместны.
Два друга имели свои доли в общем бизнесе. После убийства одного из них все перешло к другому.
Возникновение математики на нашей планете.
Все эти истории на языке математики рассказываются с использованием линейных угловых функций.В другой раз я покажу вам реальное место этих функций в структуре математики. А пока вернемся к тригонометрии борща и рассмотрим проекцию.
суббота, 26 октября 2019 г.
Смотрел интересное видео про grandi series Один минус один плюс один минус один — Numberphile. Математики лгут. В ходе своих рассуждений они не проводили проверки на равенство.
Это перекликается с моими рассуждениями о.
Давайте подробнее рассмотрим признаки того, что математики обманывают. В самом начале обсуждения математики говорят, что сумма последовательности ЗАВИСИТ от того, четное количество элементов в ней или нет. Это ОБЪЕКТИВНО УСТАНОВЛЕННЫЙ ФАКТ. Что произойдет дальше?
Далее математики вычитают последовательность из единицы. К чему это приводит? Это приводит к изменению количества элементов в последовательности — четное число меняется на нечетное, нечетное меняется на четное.Ведь мы добавили в последовательность один элемент, равный единице. Несмотря на все внешнее сходство, последовательность до преобразования не равна последовательности после преобразования. Даже если мы говорим о бесконечной последовательности, мы должны помнить, что бесконечная последовательность с нечетным числом элементов не равна бесконечной последовательности с четным числом элементов.
Ставя знак равенства между двумя разными последовательностями с точки зрения количества элементов, математики утверждают, что сумма последовательности НЕ ЗАВИСИТ от количества элементов в последовательности, что противоречит ОБЪЕКТИВНО УСТАНОВЛЕННОМУ ФАКТУ.Дальнейшие рассуждения о сумме бесконечной последовательности неверны, потому что они основаны на ложном равенстве.
Если вы видите, что в ходе доказательств математики ставят скобки, переставляют элементы математического выражения, что-то добавляют или убирают, будьте очень осторожны, скорее всего они пытаются вас обмануть. Как карточные маги, математики различными манипуляциями с выражением отвлекают ваше внимание, чтобы подсунуть вам ложный результат. Если вы не можете повторить карточный фокус, не зная секрета обмана, то в математике все намного проще: вы даже ничего не подозреваете в обмане, но повторение всех манипуляций с математическим выражением позволяет убедить других в обмане. правильность результата, как тогда, когда вас убедили.
Вопрос из зала: А бесконечность (как количество элементов в последовательности S) четная или нечетная? Как можно изменить четность того факта, что у нее нет четности?
Бесконечность для математиков, как Царство Небесное для священников — там никто никогда не был, но все точно знают, как там все устроено))) Согласен, после смерти тебе будет абсолютно безразлично, ты прожил ровно нечетное количество дней, но … Добавив всего один день в начале своей жизни, мы получим совершенно другого человека: его фамилия, имя и отчество точно такие же, только дата рождения у него совсем другая. — он родился за день до вас.
А теперь по существу))) Предположим, что конечная последовательность, имеющая четность, теряет эту четность при уходе в бесконечность. Тогда любой конечный отрезок бесконечной последовательности должен потерять четность. Мы этого не наблюдаем. Тот факт, что мы не можем с уверенностью сказать, четное или нечетное количество элементов в бесконечной последовательности, вовсе не означает, что четность исчезла. Четность, если она есть, не может бесследно исчезнуть в бесконечности, как в рукаве фломастера. Для этого случая есть очень хорошая аналогия.
Вы когда-нибудь спрашивали кукушку, сидящую в часах, в каком направлении они поворачиваются? Для нее стрелка вращается в направлении, противоположном тому, что мы называем «по часовой стрелке». Как это ни парадоксально звучит, но направление вращения зависит исключительно от того, с какой стороны мы наблюдаем вращение. Итак, у нас есть одно вращающееся колесо. Мы не можем сказать, в каком направлении происходит вращение, так как мы можем наблюдать его как с одной стороны плоскости вращения, так и с другой. Мы можем только засвидетельствовать факт вращения.Полная аналогия с четностью бесконечной последовательности S .
Теперь добавим второе вращающееся колесо, плоскость вращения которого параллельна плоскости вращения первого вращающегося колеса. Мы до сих пор не можем точно сказать, в каком направлении вращаются эти колеса, но мы можем абсолютно точно сказать, вращаются ли оба колеса в одном направлении или в противоположном. Сравнивая две бесконечные последовательности S и 1-s , я с помощью математики показал, что эти последовательности имеют разную четность и ставить между ними знак равенства — ошибка.Лично я верю в математику, математикам не верю))) Кстати, чтобы полностью разобраться в геометрии преобразований бесконечных последовательностей, необходимо ввести понятие «одновременность» . Это нужно будет нарисовать.
среда, 7 августа 2019 г.
Завершая разговор о том, нужно считать бесконечное число. Дело в том, что понятие «бесконечность» действует на математиков, как удав на кролика. Дрожащий ужас бесконечности лишает математиков здравого смысла.Вот пример:
Источник находится. Альфа обозначает действительное число. Знак равенства в приведенных выше выражениях означает, что если вы добавите число или бесконечность к бесконечности, ничего не изменится, результатом будет та же бесконечность. Если мы возьмем бесконечное количество натуральных чисел в качестве примера, то рассматриваемые примеры можно представить в следующем виде:
Чтобы проиллюстрировать свою точку зрения, математики придумали много разных методов. Лично я смотрю на все эти приемы, как на танцы шаманов с бубнами.По сути, все они сводятся к тому, что либо часть комнат не занята и в них размещаются новые гости, либо часть посетителей выбрасывается в коридор, чтобы освободить место для гостей (очень по-человечески). Я изложил свои взгляды на такие решения в форме фантастического рассказа о Блондинке. На чем основаны мои рассуждения? Перемещение бесконечного количества посетителей требует бесконечно много времени. После того, как мы освободили первую комнату для гостя, один из посетителей всегда будет идти по коридору из своей комнаты в следующую до конца века.Конечно, фактор времени можно тупо игнорировать, но он уже будет из разряда «дураки, не написавшие закон». Все зависит от того, что мы делаем: настраиваем реальность под математические теории или наоборот.
Что такое «бесконечный отель»? Бесконечная гостиница — это гостиница, в которой всегда есть любое количество свободных мест, независимо от того, сколько комнат занято. Если все комнаты в бесконечном коридоре для посетителей заняты, остается еще один бесконечный коридор с номерами для гостей.Таких коридоров будет бесконечное количество. Более того, «бесконечный отель» имеет бесконечное количество этажей в бесконечном количестве зданий на бесконечном количестве планет в бесконечном количестве вселенных, созданных бесконечным числом Богов. Однако математики не могут дистанцироваться от обыденных повседневных проблем: Бог-Аллах-Будда всегда только один, гостиница — одна, коридор — только один. Это математики пытаются манипулировать номерами номеров в отелях, убеждая нас, что вы можете «засунуть нежелательное».
Я продемонстрирую вам логику своих рассуждений на примере бесконечного числа натуральных чисел. Для начала вам нужно ответить на очень простой вопрос: сколько существует наборов натуральных чисел — один или несколько? Правильного ответа на этот вопрос не существует, поскольку числа мы придумали сами; в Природе нет чисел. Да, Природа умеет считать, но для этого она использует другие математические инструменты, которые нам не знакомы. Как считает Природа, расскажу в другой раз.Поскольку мы придумали числа, мы решим, сколько существует наборов натуральных чисел. Рассмотрим оба варианта, как и положено настоящему ученому.
Вариант первый. «Дадим нам» один-единственный набор натуральных чисел, который спокойно лежит на полке. Берем этот набор с полки. Все, других натуральных чисел на полке нет и брать негде. Мы не можем добавить один к этому набору, так как он у нас уже есть. А если очень хочется? Без проблем. Мы можем взять агрегат из уже взятого нами набора и вернуть его на полку.После этого мы можем взять единицу с полки и добавить ее к тому, что у нас осталось. В результате мы снова получаем бесконечное количество натуральных чисел. Все наши манипуляции можно записать так:
Я записал действия в алгебраических обозначениях и обозначениях, принятых в теории множеств, с подробным перечислением элементов множества. Нижний индекс указывает, что набор положительных целых чисел — один и только. Получается, что набор натуральных чисел останется неизменным, только если вы вычтете из него единицу и прибавите ту же единицу.
Вариант второй. У нас есть на полке множество различных бесконечных наборов натуральных чисел. Подчеркиваю — РАЗНЫЕ, несмотря на то, что практически неотличимы. Берем один из таких наборов. Затем мы берем одно из другого набора натуральных чисел и добавляем к уже взятому набору. Мы даже можем сложить два набора натуральных чисел. Вот что мы получаем:
Нижние индексы «один» и «два» указывают, что эти элементы принадлежали разным наборам. Да, если вы добавите единицу к бесконечному набору, результатом также будет бесконечный набор, но он не будет таким же, как исходный набор.Если мы добавим еще один бесконечный набор к одному бесконечному набору, результатом будет новый бесконечный набор, состоящий из элементов первых двух наборов.
Многие натуральные числа используются для счета так же, как линейка для измерений. А теперь представьте, что вы прибавили к линейке один сантиметр. Это будет другая строка, не равная исходной.
Вы можете принять или не принять мои доводы — это ваше личное дело. Но если вы когда-нибудь столкнетесь с математическими проблемами, подумайте, не идете ли вы по пути ложных рассуждений, по которому шли поколения математиков.Ведь занятия математикой в первую очередь формируют у нас устойчивый стереотип мышления, а уже потом добавляют нам умственные способности (или наоборот, лишают свободы мышления).
pozg.ru
воскресенье, 4 августа 2019 г.
Я добавил постскриптум к статье о и увидел этот замечательный текст в Википедии:
Мы читаем: «… богатая теоретическая основа математики Вавилона не имела целостного характера и сводилась к набору разрозненных методов. лишены единой системы и доказательной базы.«
Вау! Насколько мы умны и насколько хорошо мы можем видеть недостатки других. Разве для нас это слабый взгляд на современную математику в том же контексте? Слегка перефразируя текст выше, я лично получил следующее:
The Богатая теоретическая основа современной математики не является целостной и сводится к набору разрозненных разделов, лишенных общей системы и доказательной базы.
Я не буду далеко заходить в подтверждении своих слов — он имеет язык и условные обозначения, отличные от общепринятых. язык и условности многих других разделов математики.Одни и те же имена в разных разделах математики могут иметь разное значение. Я хочу посвятить целую серию публикаций наиболее очевидным ошибкам современной математики. До скорой встречи.
суббота, 3 августа 2019 г.
Как разделить набор на подмножества? Для этого необходимо ввести новую единицу измерения, которая присутствует в некоторых элементах выбранного набора. Рассмотрим пример.
Пусть у нас будет много И состоящих из четырех человек.Этот набор сформирован по принципу «люди». Обозначим элементы этого набора буквами и , нижний индекс с номером будет указывать порядковый номер каждого человека в этом наборе. Введем новую единицу измерения «пол» и обозначим ее буквой b . Поскольку половые признаки являются общими для всех людей, мы умножаем каждый элемент набора И на пол b . Обратите внимание, теперь наша масса «людей» превратилась во множество «людей с половыми признаками».После этого мы можем разделить половые признаки на мужские bm и женские bw сексуальные характеристики. Теперь мы можем применить математический фильтр: мы выбираем одно из этих половых признаков, независимо от того, какое — мужское или женское. Если он присутствует в человеке, то умножаем его на единицу; если такого знака нет, умножаем его на ноль. Затем мы используем обычную школьную математику. Посмотри, что случилось.
После умножения, редукций и перегруппировок мы получили два подмножества: подмножество мужчин Bm и подмножество женщин Bw .То же самое рассуждают и математики, применяя теорию множеств на практике. Но они не посвящают нас подробно, а дают готовый результат: «многие люди состоят из подмножества мужчин и подмножества женщин». Естественно, вы можете задаться вопросом, насколько правильно математика применяется в приведенных выше преобразованиях? Смею вас заверить, что, по сути, все было сделано правильно; достаточно знать математическое обоснование арифметики, булевой алгебры и других разделов математики. Что это? Как-нибудь в другой раз я вам об этом расскажу.
Что касается расширенных наборов, можно объединить два набора в один расширенный набор, выбрав единицы измерения, присутствующие в элементах этих двух наборов.
Как видите, единицы измерения и обычная математика превращают теорию множеств в пережиток прошлого. Признаком того, что с теорией множеств не все в порядке, является то, что математики для теории множеств придумали свой собственный язык и свои собственные обозначения. Математики сделали то, что когда-то делали шаманы. Только шаманы умеют правильно «применять» свои «знания».Они учат нас этому «знанию».
В заключение я хочу показать вам, как математики манипулируют
Предположим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее черепахи и отстает от нее на тысячу шагов. За то время, пока Ахиллес пробегает это расстояние, черепаха ползет сотню шагов в том же направлении. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползет еще десять шагов и так далее. Процесс будет продолжаться бесконечно, Ахиллес никогда не догонит черепаху.
Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений.Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт … Все они так или иначе считались апорией Зенона. Шок был настолько сильным, что « … дискуссии продолжаются в настоящее время, научное сообщество еще не смогло прийти к единому мнению о природе парадоксов … математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы были задействованы в исследовании вопроса, ни один из них не стал общепринятым решением вопроса … »[Википедия, Апория Зенона]].Все понимают, что их обманывают, но никто не понимает, что такое ложь.
С точки зрения математики Зенон в своей апории ясно продемонстрировал переход от величины к. Этот переход подразумевает применение вместо констант. Насколько я понимаю, математический аппарат для применения переменных единиц измерения либо еще не разработан, либо он не применялся к апории Зенона. Применение нашей обычной логики ставит нас в ловушку. Мы по инерции мышления применяем постоянные единицы времени к обратной величине.С физической точки зрения это похоже на замедление времени, пока оно полностью не остановится в тот момент, когда Ахиллес сравняется с черепахой. Если время остановится, Ахиллес больше не сможет догнать черепаху.
Если обратиться к привычной нам логике, все становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применить в данной ситуации понятие «бесконечность», то будет правильным сказать: «Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху.«
Как избежать этой логической ловушки? Оставайтесь в постоянных единицах времени и не возвращайтесь к обратным значениям. На языке Зенона это выглядит так:
За время, в течение которого Ахиллес пробегает тысячу шагов, черепаха ползет сто шагов в том же направлении. В течение следующего интервала времени, равного первому, Ахиллес пробежит еще тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов впереди черепахи.
Такой подход адекватно описывает реальность без каких-либо логических парадоксов.Но это не полное решение проблемы. Апория Зенона Ахилл и Черепаха очень похожа на утверждение Эйнштейна о непреодолимой скорости света. Нам еще предстоит изучить, переосмыслить и решить эту проблему. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.
Другая интересная апория Зенона рассказывает о летящей стреле:
Летящая стрела неподвижна, потому что в каждый момент времени она находится в состоянии покоя, а поскольку она находится в каждый момент времени, она всегда находится в покое.
В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто — достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела упирается в разные точки пространства, что, по сути, является движением. Здесь следует отметить еще один момент. По одной фотографии машины на дороге невозможно определить ни факт ее движения, ни расстояние до нее. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но расстояние от них определить нельзя.Для определения расстояния до машины нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (конечно, вам еще нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь ). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве — это разные вещи, которые не следует путать, потому что они предоставляют разные возможности для исследования.
Покажу процесс на примере.Подбираем «красное твердое тело в прыщик» — это наше «целое». При этом мы видим, что эти вещи с луком, а есть без лука. После этого выделяем часть «целого» и формируем набор «с бантиком». Так шаманы добывают себе пищу, привязывая свою теорию множеств к реальности.
А теперь сделаем небольшой подвох. Возьмите «сплошной прыщик с бантиком» и объедините эти «целые» по цвету, выделив красные элементы. У нас много красного. Теперь вопрос под засыпку: получившиеся наборы «с бантиком» и «красный» — это один и тот же набор или два разных набора? Только шаманы знают ответ.Точнее они сами ничего не знают, но, как говорится, так и будет.
Этот простой пример показывает, что теория множеств совершенно бесполезна, когда дело касается реальности. В чем секрет? Мы сформировали набор «красное твердое тело в шишке с бантиком». Формирование происходило в четырех различных единицах: цвет (красный), сила (твердый), шероховатость (в шишке), украшения (с луком). Только набор единиц измерения позволяет адекватно описывать реальные объекты на языке математики .Вот как это выглядит.
Буква «а» с разными индексами обозначает разные единицы. В скобках выделены единицы измерения, которыми на предварительном этапе выделено «целое». Единица измерения, по которой формируется набор, вынесена за скобки. Последняя строка показывает конечный результат — элемент набора. Как видите, если мы используем единицы измерения для формирования набора, то результат не зависит от порядка наших действий. И это математика, а не танцы шаманов с бубнами.Шаманы могут «интуитивно» прийти к такому же результату, аргументируя это «свидетельством», потому что единицы измерения не входят в их «научный» арсенал.
Используя единицы измерения, очень легко разделить один или объединить несколько наборов в один расширенный. Давайте подробнее рассмотрим алгебру этого процесса.
Формулы суммы и разности синусов и косинусов для двух углов α и β позволяют нам перейти от суммы указанных углов к произведению углов α + β 2 и α — β 2.Сразу отметим, что не следует путать формулы суммы и разности синусов и косинусов с формулами синусов и косинусов суммы и разности. Ниже мы перечислим эти формулы, дадим их выводы и покажем примеры применения для конкретных задач.
Формулы суммы и разности синусов и косинусов
Напишем, как выглядят формулы суммы и разности для синусов и косинусов
Формулы синусов и разностей для синусов
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α — β 2 sin α — sin β \ u003d 2 sin α — β 2 cos α + β 2
Формулы суммы и разности для косинусов
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α — β 2 cos α — cos β = — 2 sin α + β 2 cos α — β 2, cos α — cos β = 2 sin α + β 2 — α 2
Эти формулы верны для любых углов α и β.Углы α + β 2 и α — β 2 называются полусуммой и половинной разностью углов альфа и бета соответственно. Даем формулировку каждой формулы.
Определения формул для сумм и разностей синусов и косинусов
Сумма синусов двух углов , равная двойному произведению полусуммы синусов этих углов на косинус полуразности.
Разница между синусами двух углов равна двойному произведению полураспада синусов этих углов на косинус полусуммы.
Сумма косинусов двух углов равна двойному произведению косинуса полусуммы и косинуса полувеличины этих углов.
Разность косинусов двух углов равна двойному произведению полусуммы синуса и косинуса полувыведения этих углов, взятых со знаком минус.
Вывод формул суммы и разности синусов и косинусов
Чтобы вывести формулы для суммы и разности синуса и косинуса двух углов, используются формулы сложения.Приводим их ниже
sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α — β) = sin α · cos β — cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β — sin α sin cos (α — β) = cos α cos β + sin α sin β
Мы также представляем сами углы как сумму полусумм и полусумм.
α = α + β 2 + α — β 2 = α 2 + β 2 + α 2 — β 2 β = α + β 2 — α — β 2 = α 2 + β 2 — α 2 + β 2
Перейдем непосредственно к выводу формул суммы и разности для sin и cos.
Вывод формулы суммы синусов
В итоге sin α + sin β заменяем α и β выражениями для этих углов, приведенными выше. Получаем
sin α + sin β = sin α + β 2 + α — β 2 + sin α + β 2 — α — β 2
Теперь применим формулу сложения к первому выражению и формулу для синуса разности углов ко второму выражению (см. Формулы выше)
sin α + β 2 + α — β 2 = sin α + β 2 cos α — β 2 + cos α + β 2 sin α — β 2 sin α + β 2 — α — β 2 = sin α + β 2 cos α — β 2 — cos α + β 2 sin α — β 2 sin α + β 2 + α — β 2 + sin α + β 2 — α — β 2 = sin α + β 2 cos α — β 2 + cos α + β 2 sin α — β 2 + sin α + β 2 cos α — β 2 — cos α + β 2 sin α — β 2 Раскроем скобки, дадим аналогичные термины и получим искомую формулу
sin α + β 2 cos α — β 2 + cos α + β 2 sin α — β 2 + sin α + β 2 cos α — β 2 — cos α + β 2 sin α — β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α — β 2
Шаги для вывода остальных формул аналогичны.
Вывод формулы разности синусов
sin α — sin β = sin α + β 2 + α — β 2 — sin α + β 2 — α — β 2 sin α + β 2 + α — β 2 — sin α + β 2 — α — β 2 = sin α + β 2 cos α — β 2 + cos α + β 2 sin α — β 2 — sin α + β 2 cos α — β 2 — cos α + β 2 sin α — β 2 = = 2 sin α — β 2 cos α + β 2
Вывод формулы суммы косинусов
cos α + cos β = cos α + β 2 + α — β 2 + cos α + β 2 — α — β 2 cos α + β 2 + α — β 2 + cos α + β 2 — α — β 2 = cos α + β 2 cos α — β 2 — sin α + β 2 sin α — β 2 + cos α + β 2 cos α — β 2 + sin α + β 2 sin α — β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α — β 2
Вывод формулы разности косинусов
cos α — cos β = cos α + β 2 + α — β 2 — cos α + β 2 — α — β 2 cos α + β 2 + α — β 2 — cos α + β 2 — α — β 2 = cos α + β 2 cos α — β 2 — sin α + β 2 sin α — β 2 — cos α + β 2 cos α — β 2 + sin α + β 2 sin α — β 2 = = — 2 грех α + β 2 грех α — β 2
Примеры решения практических задач
Для начала проверим одну из формул, подставив в нее конкретные углы.Пусть α = π 2, β = π 6. Вычисляем значение суммы синусов этих углов. Сначала воспользуемся таблицей основных значений тригонометрических функций, а затем применим формулу суммы синусов.
Пример 1. Проверка формулы суммы синусов двух углов
α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 — π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 · 3 2 · 3 2 = 3 2
Рассмотрим теперь случай, когда значения углов отличаются от базовых значений, представленных в таблице.Пусть α = 165 °, β = 75 °. Рассчитываем величину разницы синусов этих углов.
Пример 2. Использование формулы разности синусов
α = 165 °, β = 75 ° sin α — sin β = sin 165 ° — sin 75 ° sin 165 — sin 75 = 2 · Sin 165 ° — 75 ° 2 cos 165 ° + 75 ° 2 = = 2 · sin 45 ° · cos 120 ° = 2 · 2 2 · — 1 2 = 2 2
Используя формулы для суммы и разности синусов и косинусов, можно перейти от суммы или разности к произведению тригонометрических функций.Часто эти формулы называют формулами перехода от суммы к произведению. Формулы суммы и разности синусов и косинусов широко используются при решении тригонометрических уравнений и преобразовании тригонометрических выражений.
Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl + Enter
Соотношения между основными тригонометрическими функциями — синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом — задаются тригонометрическими формулами . А поскольку между тригонометрическими функциями много связей, этим объясняется обилие тригонометрических формул.Некоторые формулы связывают тригонометрические функции одного и того же угла, другие — функции кратного угла, третьи — позволяют понижать градус, четвертые — выражают все функции через тангенс половинного угла и т. Д.
В этой статье мы перечислим по порядку все основные тригонометрические формулы, которых достаточно для решения подавляющего большинства задач тригонометрии. Для удобства запоминания и использования мы сгруппируем их по назначению и внесем в таблицы.
Навигация по страницам.
Основные тригонометрические тождества
Основные тригонометрические тождества определяют соотношение между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Они вытекают из определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также концепции единичной окружности. Они позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.
Подробное описание этих формул тригонометрии, их происхождение и примеры применения см. В статье.
Формулы для литья
Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса, то есть они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметрии, а также свойство сдвига на заданный угол. Эти тригонометрические формулы позволяют перейти от работы с произвольными углами к работе с углами от нуля до 90 градусов.
Обоснование этих формул, мнемоническое правило их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье.
Формулы сложения
Тригонометрические формулы сложения показывают, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов. Эти формулы служат основой для вывода следующих тригонометрических формул.
Формулы двойного, тройного и др. Угла
Формулы двойного, тройного и т. Д. Угла (их также называют формулами множественных углов) показывают, как тригонометрические функции двойных, тройных и т. Д.angles () выражаются через тригонометрические функции одного угла. Их вывод основан на формулах сложения.
Более подробная информация собрана в статье формулы двойного, тройного и др. Угла.
Формулы половинных углов
Формулы полуугла показывают, как тригонометрические функции полуугла выражаются через косинус целого угла. Эти тригонометрические формулы следуют из формул двойного угла.
Их заключение и примеры применения можно найти в статье.
Формулы деградации
Формулы тригонометрического приведения предназначены для облегчения перехода от естественных степеней тригонометрических функций к синусам и косинусам первой степени, но с несколькими углами. Другими словами, они позволяют снизить степень тригонометрических функций до первой.
Формулы суммы и разности тригонометрических функций
Основное назначение формулы суммы и разности тригонометрических функций состоит в переходе к произведению функций, что очень полезно при упрощении тригонометрических выражений.Эти формулы также широко используются при решении тригонометрических уравнений, поскольку они позволяют нам разложить на множители сумму и разность синусов и косинусов.
Формулы произведения синусов, косинусов и синусов на косинус
Переход от произведения тригонометрических функций к сумме или разности осуществляется с помощью формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.
Универсальная тригонометрическая подстановка
Обзор основных формул тригонометрии дополнен формулами, выражающими тригонометрические функции через касательную половину угла.Эта замена называется универсальной тригонометрической заменой . Его удобство заключается в том, что все тригонометрические функции выражаются через тангенс полуугла рационально без корней.
Библиография.
- Алгебра: Учебник для 9 кл. среда в школе. / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Эд. Теляковский С.А. — М .: Просвещение, 1990. — 272 с .: Илл. — ISBN 5-09-002727-7 .
- Башмаков М.I. Алгебра и начало анализа: Учебник. для 10-11 кл. средней школы — 3-е изд. — М .: Просвещение, 1993. — 351 с .: Илл. — ISBN 5-09-004617-4.
- Алгебра и начало анализа: Учебное пособие. на 10-11 кл. общеобразовательные. учреждений / А. Колмогоров, А. Абрамов, Ю.П. Дудницын и другие; Эд. А.Н. Колмогорова. — 14 изд. — М .: Просвещение, 2004. — 384 с., Илл. — ISBN 5-09-013651-3.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в вуз): Учебное пособие. пособие.- М .; Высшая школа., 1984.-351 с., Ил.
Авторские права составляют cleverstudents
Все права защищены.
Защищено законом об авторском праве. Никакая часть сайта, включая внутренние материалы и внешний дизайн, не может быть воспроизведена в какой-либо форме или использована без предварительного письменного разрешения правообладателя.
Тригонометрия — один из важнейших разделов, который изучается в курсе алгебры в 10 классе.Ему дают довольно много уроков. Ведь для того, чтобы правильно разбираться в тригонометрии как в теории, так и на практике, необходимо постоянно решать огромное количество примеров, которые укрепят теорию и позволят расширить навыки для выполнения той или иной работы: домашней, контрольной, самостоятельной или просто круто.
Видеоурок составлен грамотно, все логично и логично. Структура понятная, текст составлен грамотно и понятно для школьного уровня.Этот ресурс поможет сделать процесс изучения темы «Формулы понижения диплома» намного интереснее и эффективнее. Благодаря визуализации ученики смогут лучше запоминать формулы, а в сопровождении спокойного голоса диктора видео запоминание ускорится.
Материал, который рассказывается и рассматривается в ресурсе, составлен специалистами таким образом, чтобы полностью раскрыть тему, не упустить ни одного важного момента. Это говорит о том, что его смело можно использовать при составлении абстрактных планов уроков, что молодые учителя делают в обязательном порядке.
Ранее уже рассматривались формулы косинуса, синуса, тангенса суммы аргументов, двойного аргумента. Котангенс отдельно не рассматривался, так как его всегда можно представить как обратную дробь тангенса. В этом видео будет рассмотрена еще одна важная формула, с помощью которой вы можете понизить степень.
Прежде всего выводятся формулы приведения к квадрату. Мы видим, как легко избавиться от второй степени косинуса и синуса. Чтобы учащиеся поняли, откуда взялись эти формулы, следующим шагом диктор подробно расскажет обо всех шагах.Прежде всего, стоит вспомнить основную формулу тригонометрии, которая гласит, что сумма квадрата синуса и косинуса дает нам единицу. Из этого тождества мы можем отдельно вывести квадрат синуса и косинуса. Вспоминая формулу косинуса и синуса двойного аргумента, мы можем понять, откуда взялись новые правила.
Заметно, что при выполнении любого шага мы обращаемся к ранее изученному материалу. Это указывает на важность и взаимосвязанность тем в тригонометрии.Ни в коем случае нельзя упускать ту или иную тему и начинать новые. Материал станет непонятным, потому что не будет известно, откуда взялись те или иные значения и преобразования. Поскольку тригонометрия содержит большое количество формул, без которых невозможно двигаться дальше, стоит постепенно их запоминать и изучать новые. Также необходимо закрепить материал на практике и получить новые навыки, которые пригодятся в будущем при написании контрольных и семестровых работ.
После ознакомления с формулами видео-урок «Формулы понижения степени» переходит к практическому разбору примеров, что, как уже было сказано, очень важно. Примеры будут наглядными, если вы внимательно посмотрите сами или с учителем.
В первом примере необходимо найти значение некоторого выражения при определенных условиях. При ее решении используется формула понижения степени косинуса. Чтобы он был на виду, видео отображается с правой стороны.Таким образом, у студентов будет возможность повторить и использовать его.
После этого диктор предлагает решить аналогичный пример, в котором используется формула уменьшения степени синуса. Его ученики могут решить сами. Если они поняли предыдущий пример, то они справятся и с этим.
Это еще один более сложный пример. При ее решении используется касательная формула. Диктор подробно объясняет решение, после чего отображается ответ.
За короткое время видеоруководство полностью расскажет, какие есть формулы понижения степени и как их нужно использовать на практике.
РАСШИФРОВКА ТЕКСТА:
Формулы разложения
называется формулой приведения степени.
Выводим эти формулы:
Из формулы cos 2 x + sin 2 x = 1, из находим sin 2 x:
sin 2 x = 1-cos 2 x
В формуле cos 2x = cos 2 x — sin 2 x заменим sin 2 x на 1- cos 2 x и получим cos 2 x — (1- cos 2 x)
при раскрытии скобок получаем cos 2 x — 1+ cos 2 x
, так как cos 2 x + cos 2 x всего 2cos 2 x
получаем, что cos 2x = 2 cos 2 x — 1.
cos 2x = cos 2 x — sin 2 x = cos 2 x — (1-cos 2 x) = 2 cos 2 x — 1.
Отсюда мы выражаем cos 2 x
cos 2x +1 = 2 cos 2 x
cos 2 x = (квадрат косинуса x равен полусумме единицы и косинуса двойного аргумента).
Мы вывели формулу редукции первой степени для cos 2 x.
Аналогичным образом мы выводим формулу редукции второй степени для sin 2 x:
Из формулы cos 2 x + sin 2 x = 1 находим cos 2 x:
cos 2 x = 1 — sin 2 x
В формуле cos 2x = cos 2 x — sin 2 x, значение cos 2 x:
заменить на 1 — sin 2 x
и получаем 1 — sin 2 x — sin 2 x
Поскольку -sin 2 x -sin 2 x в сумме дает -2 sin 2 x,
получаем, что cos 2x = 1-2 sin 2 x.
Отсюда мы выражаем sin 2 x:
блок передачи с обратным знаком
cos 2x-1 = -2 sin 2 x
поменять знаки на противоположные
1- cos 2x = 2 sin 2 x
делим на 2 обе части равенства:
sin 2 x = (квадрат синуса x равен полуразности единицы и косинусу двойного аргумента).
Помните, полученные нами формулы называются формулами приведения степеней.
Это название было дано из-за того, что левая часть обоих тождеств содержит вторую степень косинуса и синуса, а правая часть содержит первую степень, т.е.е. наблюдается снижение степени.
Рассмотрим решение примеров с использованием формул приведения степеней.
ПРИМЕР 1. Зная, что cosx = — и хϵ (π;) (x принадлежит интервалу от пи до трех пи на два), вычислить cos.
Воспользуемся формулой редукции степени
квадрат косинуса x cos 2 x =, поскольку, получаем:
по условию cosx = — подставляя данные в формулу, имеем:
cos 2 =, производя вычисления в правой части выражения, получаем
cos 2 =, извлекаем корень квадратный из, получаем
Следовательно, по условию π x.Это означает, что аргумент x, деленный на два, принадлежит второй четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, cos = -.
Ответ: cos = -.
ПРИМЕР 2. Зная, что cosx = — и хϵ (π;)
(x принадлежит интервалу от пи до трех пи на два), вычислить sin.
Решение. Воспользуемся формулой уменьшения степени sin 2 x =
sin 2 =, так как по условию cosx = —
Имеем: sin 2 = =, извлекаем квадратный корень и получаем
Следовательно, по условию π x.Это означает, что аргумент x, деленный на два, принадлежит второй четверти, где синус положительный. Следовательно, грех =.
Ответ: грех =.
ПРИМЕР 3. Зная, что cosx = — и хϵ (π;) (x принадлежит интервалу от пи до трех пи на два), вычисляем tg.
Решение. Зная, что тангенс X является отношением синуса X к косинусу X, мы имеем
в примерах 1 и 2 мы обнаружили, что sin = и cos = -, следовательно,
Основные формулы тригонометрии — это формулы, которые устанавливают отношения между основными тригонометрическими функциями.Синус, косинус, тангенс и котангенс связаны множеством соотношений. Ниже мы приводим основные тригонометрические формулы и для удобства группируем их по назначению. С помощью этих формул можно решить практически любую задачу из стандартного курса тригонометрии. Сразу отметим, что ниже представлены только сами формулы, а не их выводы, которым будут посвящены отдельные статьи.
Основные тригонометрические тождества
Тригонометрические тождества устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, позволяя выразить одну функцию через другую.
Тригонометрические тождества
sin 2 a + cos 2 a = 1 tg α = sin α cos α, ctg α = cos α sin α tan α 2 α
Эти тождества вытекают непосредственно из определений единичной окружности, синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg).
Формулы для литья
Формулы литья позволяют переключаться с работы с произвольными и сколь угодно большими углами на работу с углами от 0 до 90 градусов.
Формулы литья
sin α + 2 π z = sin α, cos α + 2 π z = cos α tg α + 2 π z = tg α, ctg α + 2 π z = ctg α sin — α + 2 π z = — sin α, cos — α + 2 π z = cos α tg — α + 2 π z = — tg α, ctg — α + 2 π z = — ctg α sin π 2 + α + 2 π z = cos α, cos π 2 + α + 2 π z = — sin α tg π 2 + α + 2 π z = — ctg α, ctg π 2 + α + 2 π z \ u003d — tg α sin π 2 — α + 2 π z = cos α, cos π 2 — α + 2 π z = sin α tg π 2 — α + 2 π z = ctg α, ctg π 2 — α + 2 π z = tg α sin π + α + 2 π z = — sin α, cos π + α + 2 π z = — cos α tg π + α + 2 π z = tg α, ctg π + α + 2 π z = ctg α sin π — α + 2 π z = sin α, cos π — α + 2 π z = — cos α tg π — α + 2 π z = — tg α, ctg π — α + 2 π z = — ctg α sin 3 π 2 + α + 2 π z = — cos α, cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α tg 3 π 2 + α + 2 π z = — ctg α, ctg 3 π 2 + α + 2 π z = — tg α sin 3 π 2 — α + 2 π z = — cos α, cos 3 π 2 — α + 2 π z = — sin α t g 3 π 2 — α + 2 π z = c t g α, c t g 3 π 2 — α + 2 π z = t g α
Формулы приведения являются следствием периодичности тригонометрических функций.
Тригонометрические формулы сложения
Формулы сложения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрическую функцию суммы или разности углов через тригонометрические функции этих углов.
Тригонометрические формулы сложения
sin α ± β = sin α cos β ± cos α sin β cos α + β = cos α cos β — sin α sin β cos α — β = cos α cos β + sin α sin β tg α ± β = tg α ± tg β 1 ± tg α · tg β ctg α ± β = — 1 ± ctg α · ctg β ctg α ± ctg β
На основе формул сложения выводятся тригонометрические формулы кратного угла.
Формулы множественных углов: двойные, тройные и т. Д.
Формулы двойных и тройных угловsin 2 α = 2 sin sin tan α 1 — tan 2 α с tan 2 α = s tan 2 α — 1 2 · s tan α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α — sin 3 α, sin 3 α = 3 sin α — 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α — 3 sin 2 α cos α, cos 3 α \ u003d — 3 cos α + 4 cos 3 α tg 3 α = 3 tg α — tg 3 α 1-3 tg 2 α ctg 3 α = ctg 3 α — 3 ctg α 3 ctg 2 α — 1
Формулы половинных углов
Формулы полуугла в тригонометрии являются следствием формул двойного угла и выражают отношения между основными функциями полуугла и косинуса полного угла.
Формулы половинного угла
sin 2 α 2 = 1 — cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 tg 2 α 2 = 1 — cos α 1 + cos α ctg 2 α 2 = 1 + cos α 1 — cos α
Формулы деградации
Формулы деградацииsin 2 α = 1 — cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α — sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3-4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8
При расчетах часто бывает неудобно действовать с громоздкими градусами.Формулы приведения степеней позволяют понизить степень тригонометрической функции от произвольно большой до первой. Вот их общий вид:
Общий вид формул приведения степеней
для четных n
sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n — 1 ∑ k = 0 n 2 — 1 (- 1) n 2 — k · C kn · cos ((n — 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n — 1 ∑ k = 0 n 2 — 1 C kn · cos ((n — 2 k) α)
для нечетных n
sin n α = 1 2 n — 1 ∑ k = 0 n — 1 2 (- 1) n — 1 2 — k · C kn · sin ((n — 2 k) α) cos n α = 1 2 n — 1 ∑ k = 0 n — 1 2 C kn cos ((n — 2 k) α)
Сумма и разность тригонометрических функций
Разность и сумму тригонометрических функций можно представить как произведение.Факторизацию разностей синусов и косинусов очень удобно применять при решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений.
Сумма и разность тригонометрических функций
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α — β 2 sin α — sin β = 2 sin α — β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α — β 2 cos α — cos β = — 2 sin α + β 2 sin α — β 2, cos α — cos β = 2 sin α + β 2 sin β — α 2
Произведение тригонометрических функций
Если формулы суммы и разности функций позволяют перейти к их произведению, то формулы произведения тригонометрических функций осуществляют обратный переход от произведения к сумме.Рассмотрены формулы произведения синусов, косинусов и синусов на косинус.
Формулы произведения тригонометрических функций
sin α · sin β = 1 2 · (cos (α — β) — cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α — β) + cos (α + β)) sin α Cos β = 1 2 (sin (α — β) + sin (α + β))
Универсальная тригонометрическая подстановка
Все основные тригонометрические функции — синус, косинус, тангенс и котангенс — могут быть выражены через тангенс половинного угла.
Универсальная тригонометрическая подстановка
sin α = 2 tan α 2 1 + tan 2 α 2 cos α = 1 — tan 2 α 2 1 + tan 2 α 2 tan α = 2 tan α 2 1 — tan 2 α 2 ctg α = 1 — tg 2 α 2 2 tg α 2
Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl + Enter
Урок математики на тему «Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов» (11 класс)
Преобразование суммы (разности) косинусов двух углов в произведение
Для суммы и разности косинусов двух углов действительны следующие формулы:
Сумма косинусов двух углов равна двойному произведению косинуса полусуммы и косинуса половинной разности этих углов.
Разница между косинусами двух углов равна минус двойному произведению синуса полусуммы и синуса половинной разности этих углов.
Примеры
Формулы (1) и (2) можно получить разными способами. Докажем, например, формулу (1).
cos α cos β = 1/2 .
Вера в нее (α + β) = x , (α — β) = при , приходим к формуле (1).Этот метод аналогичен тому, по которому формула суммы синусов двух углов была получена в предыдущем абзаце.
2-й путь. В предыдущем разделе мы доказали формулу
Вера в нее α = x + π / 2 , β = при + π / 2 , получаем:
А по формулам приведения sin ( x + π / 2) = = cos x , sin (y + π / 2) = cos y ;
Следовательно,
г.E.D.
Приглашаем студентов доказать формулу (2) самостоятельно. Попробуйте найти хотя бы два разных способа доказательства!
Упражнения
1. Вычислить без таблиц по формулам суммы и разности косинусов двух углов:
и). cos 105 ° + cos 75 °. г). cos 11π / 12 — cos 5π / 12 ..
б). cos 105 ° — cos 75 °. д). cos 15 ° -sin 15 °.
дюймов). cos 11π / 12 + cos 5π / 12 .. е). sin π / 12 + cos 11π / 12 .
2 … Упростите эти выражения:
и). cos ( π / 3 + α ) + cos ( π / 3 — α ).
б). cos ( π / 3 + α ) — cos ( π / 3 — α ).
3. Каждый из удостоверений
грех α + cos α = \ / 2 грех ( α + π / 4 )
грех α — cos α = \ / 2 грех ( α — π / 4 )
доказать, по крайней мере, двумя разными способами.
4. Изобразите эти выражения в виде работ:
и). \ / 2 + 2cos α … дюйм). грех x + cos г.
б). \ / 3 — 2 cos α … г). грех x — cos y .
5 … Упростим выражение sin 2 ( α — π / 8 ) — cos 2 ( α + π / 8 ).
6 .Следуйте этим выражениям (№ 1156-1159):
и). 1 + грех α — cos α
б). грех α + грех (α + β) + грех β .
дюймов). cos α + cos 2α + cos 3α
г). 1 + грех α + cos α
7. Подтвердите данные тождества
8. Докажите, что косинусы углов α и β равны тогда и только тогда, когда
α = ± β + 2 nπ,
, где n — некоторое целое число.
). Эти формулы позволяют из суммы или разности синусов и косинусов углов перейти к произведению синусов и / или косинусов углов и. В этой статье мы сначала перечисляем эти формулы, затем показываем их вывод и в заключение рассмотрим несколько примеров их применения.
Навигация по страницам.
Список формул
Запишем формулы для суммы и разности синусов и косинусов. Как вы понимаете, их четыре: два для синусов и два для косинусов.
А теперь приведем их формулировки. При формулировании формул для суммы и разности синусов и косинусов угол называют полусуммой углов и, а угол называют половинной разностью. Итак,
Следует отметить, что формулы суммы и разности синусов и косинусов действительны для любых углов и.
Получение формул
Чтобы вывести формулы для суммы и разности синусов, вы можете использовать формулы сложения, в частности, формулы
синусоидальной суммы,
синусоидальной разности,
косинуса суммы и
косинуса разности.
Еще нам нужно представление углов в виде и … Это представление справедливо, как и для любых углов и.
Теперь разберем подробно вывод формулы суммы синусов двух углов вида.
Сначала в сумме заменяем на и далее, и получаем. Теперь к нам применим формулу синуса суммы, а к — формулу синуса разности:
Сокращая такие слагаемые, получаем … В результате имеем формулу суммы синусов вида.
Чтобы отобразить остальные формулы, вам просто нужно сделать то же самое. Приведем вывод формул для разности синусов, а также суммы и разности косинусов:
Для разности косинусов мы привели формулы двух типов, или … Они эквивалентны, поскольку, что следует из свойств синусов противоположных углов.
Итак, мы проанализировали доказательство всех формул для суммы и разности синусов и косинусов.
Примеры использования
Давайте рассмотрим несколько примеров использования формул для суммы синусов и косинусов, а также разницу между синусами и косинусами.
Например, проверим справедливость формулы суммы синусов вида, взяв и. Для этого вычисляем значения левой и правой частей формулы для этих углов. Поскольку и (при необходимости см. Таблицу основных значений синусов и косинусов), то. Ибо и у нас есть, а потом. Таким образом, значения левой и правой частей формулы суммы синусов для и совпадают, что подтверждает справедливость данной формулы.
В некоторых случаях использование формул суммы и разности синусов и косинусов позволяет вычислить значения тригонометрических выражений при углах, отличных от основных углов (). Приведем решение примера, подтверждающего эту идею.
Пример.
Вычислите точное значение разницы между синусами 165 и 75 градусов.
Решение.
Мы не знаем точных значений синусов 165 и 75 градусов, поэтому не можем напрямую вычислить значение данной разности.Но формула разности синусов позволяет нам ответить на вопрос проблемы. Действительно, полусумма углов 165 и 75 градусов равна 120, а полусумма — 45, а точные значения синуса 45 градусов и косинуса 120 градусов известны.
Таким образом, имеем
Ответ:
.
Несомненно, главное значение формул суммы и разности синусов и косинусов в том, что они позволяют перейти от суммы и разности к произведению тригонометрических функций (по этой причине эти формулы часто называют формулами перехода от суммы к произведению тригонометрических функций).А это, в свою очередь, может быть полезно, например, при преобразовании тригонометрических выражений или в решении тригонометрических уравнений … Но эти темы требуют отдельного обсуждения.
Список использованной литературы.
- Алгебра: Учебник. за 9 кл. Среда школа / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Эд. С. А. Теляковский. — М .: Просвещение, 1990. — 272 с .: ил. — ISBN 5-09-002727-7
- Башмаков М.I. Алгебра и начало анализа: Учебное пособие. за 10-11 кл. Среда шк. — 3-е изд. — М .: Просвещение, 1993. — 351 с .: Илл. — ISBN 5-09-004617-4.
- Алгебра и начало анализа: Учебное пособие. за 10-11 кл. общее образование. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и другие; Эд. Колмогоров А.Н. — 14-е изд. — М .: Просвещение, 2004. — 384 с .: ил. — ISBN 5-09-013651-3.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учебное пособие.руководство. — М .; Выше. шк., 1984.-351 с., ил.
Тема урока. Сумма и разность пазух. Сумма и разность косинусов.
(Урок усвоения новых знаний.)
Задачи урока.
Дидактическое :
выводят формулы для суммы синусов и суммы косинусов и облегчают их усвоение в процессе решения задач;
продолжить формирование навыков использования тригонометрических формул;
контролируют степень усвоения материала по теме.
Разработка:
способствуют развитию навыка самостоятельного применения знаний;
развивать навыки самоконтроля и взаимного контроля;
продолжить работу по развитию логического мышления и устной математической речи в поисках решения проблемы.
Образовательные:
, чтобы научить умению общаться и слушать других;
воспитывать внимательность и наблюдательность;
стимулировать мотивацию и интерес к изучению тригонометрии.
Оборудование: презентации, интерактивная доска, формулы.
Во время занятий:
Организационное время. — 2 минуты.
Обновление базовых знаний. Повторение. — 12 минут
Постановка цели. — 1 мин.
Восприятие и осмысление новых знаний. — 3 мин.
Применение полученных знаний. — 20 минут.
Анализ достижений и корректировка деятельности. — 5 минут.
Отражение. — 1 мин.
Домашнее задание. — 1 мин.
1. Организация времени. (слайд 1)
— Здравствуйте! Тригонометрия — один из самых интересных разделов математики, но почему-то большинству студентов он кажется самым сложным. Скорее всего, это можно объяснить тем, что в этом разделе формул больше, чем в любом другом. Чтобы успешно решать задачи тригонометрии, нужно уверенно владеть многочисленными формулами.Многие формулы уже изучены, но оказывается, не все. Поэтому девизом этого урока будет изречение Пифагора: «Дорогой овладеет тот, кто ходит, а математикой — мыслящий». Давай подумаем!
2. Обновление базовых знаний. Повторение.
1) математический диктант с перекрестной проверкой (слайды 2-5)
Первое задание. Используя выученные формулы вычислите:
Вариант 1
Вариант 2
sin 390 0
cos 420 0
1 — cos 2 30 0
1 — sin 2 60 0
сos 120 0 ∙ cos 30 0 + sin 120 0 ∙ sin 30 0
sin 30 0 ∙ cos 150 0 + cos 30 0 ∙ sin 150 0
Ответы :; один ; -; ; -; — один ; один ; ; ; 0; ; 3.- взаимная проверка.
Критерии оценки: (работы передаются преподавателю)
2) проблемное задание (слайд 6) — отчет студента.
Упростим выражение с помощью тригонометрических формул:
Можно ли решить эту задачу по-другому? (Да, с новыми формулами.)
3. Постановка цели (слайд 7)
Тема урока:
Сумма и разность пазух. Сумма и разность косинусов. — запись в тетрадь
Задачи урока:
вывести формулы для суммы и разности синусов, суммы и разности косинусов;
4.Восприятие и осмысление новых знаний. ( слайд 8-9)
Выводим формулу для суммы синусов: — учитель
Остальные формулы доказываются аналогично: (формулы для преобразования суммы в произведение)
Правила запоминания!
При доказательстве каких еще тригонометрических формул использовались формулы сложения?
5. Применение полученных знаний. (слайды 10-11)
С новыми формулами:
1) Рассчитайте: (у доски) — Какой будет ответ? (номер)
Под диктовку учителя
6.Анализ достижений и корректировка деятельности. (слайд 13)
Дифференцированное самотестирование с самотестированием
Рассчитать:
7. Отражение. (слайд 14)
Довольны ли вы своей работой на уроке?
Как бы вы оценили себя за весь урок?
Какой момент урока был самым интересным?
Где вам нужно было сосредоточиться больше всего?
8. Домашнее задание: разучить формулы, индивидуальные задания по карточкам.
Формулы приведения
Формулы приведения позволяют находить значения тригонометрических функций для любых углов (не только острых). С их помощью можно выполнять преобразования, упрощающие форму тригонометрических выражений.
Рисунок 1.
Помимо формул приведения, при решении задач используются следующие основные формулы.
1) Формулы для одного угла:
2) Выражение одних тригонометрических функций через другие:
Комментарий
В этих формулах знак корня должен предшествовать знаку $ «+» $ или $ «-» $, в зависимости от того, в какой четверти находится угол.
Сумма и разность синусов, сумма и разность косинусов
Формулы для суммы и разности функций:
Помимо формул для суммы и разности функций, формулы для произведения функций полезны при решении задач :
Основные соотношения между элементами наклонных треугольников
Условные обозначения:
$ a $, $ b $, $ c $ — стороны треугольника;
$ A $, $ B $, $ C $ — углы, противоположные указанным сторонам;
$ p = \ frac (a + b + c) (2) $ — полупериметр;
$ S $ — площадь;
$ R $ — радиус описанной окружности;
$ r $ — радиус вписанной окружности.(2) -2 \ cdot b \ cdot c \ cdot \ cos A $ — теорема косинусов;
3) $ \ frac (a + b) (ab) = \ frac (tg \ frac (A + B) (2)) (tg \ frac (AB) (2)) $ — касательная теорема;
4) $ S = \ frac (1) (2) \ cdot a \ cdot b \ cdot \ sin C = \ sqrt (p \ cdot \ left (pa \ right ) \ cdot \ left (pb \ right) \ cdot \ Решение косых треугольников
Решение косых треугольников включает в себя определение всех его элементов:
сторон и углов . \ circ — \ left (A + B \ right) $.
Формулы суммы и разности синусов и косинусов для двух углов α и β позволяют перейти от суммы указанных углов к произведению углов α + β 2 и α — β 2. Сразу отметим, что не следует путать формулы для суммы и разности синусов и косинусов с формулами для синусов и косинусов суммы и разности. Ниже мы перечислим эти формулы, дадим их вывод и покажем примеры применения для конкретных задач.
Формулы суммы и разности синусов и косинусов
Запишем, как выглядят формулы суммы и разности для синусов и косинусов
Формулы суммы и разности для синусов
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α — β 2 sin α — sin β = 2 sin α — β 2 cos α + β 2
Формулы суммы и разности для косинусов
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α — β 2 cos α — cos β = — 2 sin α + β 2 cos α — β 2, cos α — cos β = 2 sin α + β 2 β — α 2
Эти формулы верны для любых углов α и β.Углы α + β 2 и α — β 2 называются, соответственно, полусуммой и половинной разностью углов альфа и бета. Приведем формулировку каждой формулы.
Определения формул для суммы и разности синусов и косинусов
Сумма синусов двух углов равна двойному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус половины -разница.
Разность синусов двух углов равна двойному произведению синуса полувеличины этих углов на косинус полусуммы.
Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы и косинуса половинной разности этих углов.
Разность косинусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы и косинуса полувеличины этих углов, взятых со знаком минус.
Вывод формул суммы и разности синусов и косинусов
Чтобы вывести формулы для суммы и разности синуса и косинуса двух углов, используются формулы сложения.Представляем их ниже
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α — β) = sin α cos β — cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β — sin α sin β cos (α — β) = cos α cos β + sin α sin β
Мы также представляем сами углы как сумму полусумм и полувеличин.
α = α + β 2 + α — β 2 = α 2 + β 2 + α 2 — β 2 β = α + β 2 — α — β 2 = α 2 + β 2 — α 2 + β 2
Перейдем непосредственно к выводу формул суммы и разности для sin и cos.
Вывод формулы суммы синусов
В сумме sin α + sin β замените α и β приведенными выше выражениями для этих углов. Получаем
sin α + sin β = sin α + β 2 + α — β 2 + sin α + β 2 — α — β 2
Теперь применим формулу сложения к первому выражению и формулу синуса угловых разностей ко второму (см. Формулы выше)
sin α + β 2 + α — β 2 = sin α + β 2 cos α — β 2 + cos α + β 2 sin α — β 2 sin α + β 2 — α — β 2 = sin α + β 2 cos α — β 2 — cos α + β 2 sin α — β 2 sin α + β 2 + α — β 2 + sin α + β 2 — α — β 2 = sin α + β 2 cos α — β 2 + cos α + β 2 sin α — β 2 + sin α + β 2 cos α — β 2 — cos α + β 2 sin α — β 2 Раскройте скобки, представьте аналогичные термины и получите требуемую формулу
sin α + β 2 cos α — β 2 + cos α + β 2 sin α — β 2 + sin α + β 2 cos α — β 2 — cos α + β 2 sin α — β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α — β 2
Шаги для вывода остальных формул аналогичны.
Вывод формулы разности синусов
sin α — sin β = sin α + β 2 + α — β 2 — sin α + β 2 — α — β 2 sin α + β 2 + α — β 2 — sin α + β 2 — α — β 2 = sin α + β 2 cos α — β 2 + cos α + β 2 sin α — β 2 — sin α + β 2 cos α — β 2 — cos α + β 2 sin α — β 2 = = 2 sin α — β 2 cos α + β 2
Вывод формулы суммы косинусов
cos α + cos β = cos α + β 2 + α — β 2 + cos α + β 2 — α — β 2 cos α + β 2 + α — β 2 + cos α + β 2 — α — β 2 = cos α + β 2 cos α — β 2 — sin α + β 2 sin α — β 2 + cos α + β 2 cos α — β 2 + sin α + β 2 sin α — β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α — β 2
Вывод формулы для разности косинусов
cos α — cos β = cos α + β 2 + α — β 2 — cos α + β 2 — α — β 2 cos α + β 2 + α — β 2 — cos α + β 2 — α — β 2 = cos α + β 2 cos α — β 2 — sin α + β 2 sin α — β 2 — cos α + β 2 cos α — β 2 + sin α + β 2 sin α — β 2 = = — 2 грех α + β 2 грех α — β 2
Примеры решения практических задач
Для начала проверим одну из формул, подставив в нее конкретные углы.Пусть α = π 2, β = π 6. Рассчитаем значение суммы синусов этих углов. Сначала воспользуемся таблицей основных значений тригонометрических функций, а затем применим формулу суммы синусов.
Пример 1. Проверка формулы суммы синусов двух углов
α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 — π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2
Рассмотрим теперь случай, когда углы отличаются от базовых значений, представленных в таблице.Пусть α = 165 °, β = 75 °. Рассчитаем величину разницы синусов этих углов.
Пример 2. Применение формулы разности синусов
α = 165 °, β = 75 ° sin α — sin β = sin 165 ° — sin 75 ° sin 165 — sin 75 = 2 sin 165 ° — 75 ° 2 cos 165 ° + 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 — 1 2 = 2 2
Используя формулы для суммы и разности синусов и косинусов, вы можете перейти от суммы или разности к произведению тригонометрических функций.Эти формулы часто называют формулами перехода от суммы к произведению. Формулы суммы и разности синусов и косинусов широко используются при решении тригонометрических уравнений и при преобразовании тригонометрических выражений.
Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl + Enter
| ||||||||||||||||
| ||||||||||||||||
| ||||||||||||||||
| ||||||||||||||||
| ||||||||||||||||
| ||||||||||||||||
| ||||||||||||||||
| ||||||||||||||||
| ||||||||||||||||
| ||||||||||||||||
| ||||||||||||||||
| ||||||||||||||||
| ||||||||||||||||
| ||||||||||||||||
| ||||||||||||||||
| ||||||||||||||||
| ||||||||||||||||
| ||||||||||||||||