) Алгебра. 9 класс. Тематические тесты. Ткачева М.В. (2014, 63с.) Дидактические материалы по алгебре для 9 класса. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Крайнева Л.Б. (2012, 96 с.) Самостоятельные и контрольные работы по алгебре. 9 класс. К учебнику Макарычева Ю.Н. и др. — Глазков Ю.А. и др. (2013, 144с.) Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 9 класса. Ершова А.П., Голобородько В.В. (2013, 224с.) Тесты по алгебре. 9 класс. К учебнику Макарычева Ю.Н. и др. Глазков Ю.А., Варшавский И.К., Гаиашвили М.Я. (2011, 144с.) Дидактические материалы по алгебре. 9 класс. Звавич Л.И., Дьяконова Н.В. (2014, 240 с.)
Алгебра 9 класс. Контрольные измерительные материалы. Глазков Ю.А., Гаиашвили М.Я. (2014, 96с.) Алгебра. Тематические тесты. 9 класс. Дудницын Ю.П., Кронгауз В.Л. (2011, 95с.) Алгебра. 9 класс. КИМы к учебнику Макарычева Ю.Н. и др. (2016, 96с.) Алгебра. Дидактические материалы. 9 класс (с углубленным изучением математики) Макарычев Ю. Н., Миндюк Н.Г. (2012, 143с.) Алгебра. 9 класс. Дидактические материалы. Феоктистов И.Е. (2018, 180с.) Алгебра. 9 класс. Самостоятельные работы к учебнику А.Г. Мордковича, П.В. Семенова. — Александрова Л.А. (2019, 88с.)
Алгебра. 9 класс. Дидактические материалы. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. (2017, 128с.) Алгебра. 9 класс. Самостоятельные и контрольные работы. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. (2018, 80с.) Алгебра 9 класс. Контрольные работы. Александрова Л.А. (2010, 32с.) Алгебра. 9 класс. Контрольные работы. Дудницын Ю.П., Тульчинская Е.Е. (2005, 48с.) Алгебра. 7-9 классы. Контрольные работы. Мордкович А.Г. (2011, 127с.) Алгебра. 7-9 классы. Тесты. Мордкович А.Г., Тульчинская Е.Е. (2008, 119с.) Контрольные и самостоятельные работы по алгебре. 9 класс. К учебнику Мордковича А.Г. Попов М.А. (2011, 48с.)
Вы смотрели «Тесты по алгебре в 9 классе. Контрольные работы по алгебре 9 класс». Вернуться
Алгебра. 7 — 9 классы. Контрольные работы. Мордкович А.Г. 2011 г
АЛГЕБРА. 7 — 9 КЛАССЫ. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
МОРДКОВИЧ А.Г.
2011 г.
Скачать пособие бесплатно в формате DjVu можно по ссылке ниже (кнопка).
Москва, 2011
Пособие доступно для скачивания в формате DjVu.
Если на Вашем компьютере не установлена программа для просмотра файлов DjVu,
то можно скачать программу здесь:
Предлагаемый сборник контрольныхработпоалгебредля7 — 9классов предназначен для тех учителей математики, которые используют в своей преподавательской деятельности учебники А.
Г. Мордковича, Н.П. Николаева «Алгебра — 7», «Алгебра — 8», «Алгебра — 9» («Мнемозина», 2008 — 2010), ориентированные на классы с углубленным изучением математики.
Каждая контрольная работа представлена в четырех вариантах, причем в некоторых случаях третий и четвертый варианты чуть сложнее, чем первый и второй. К ряду заданий контрольных работ в конце пособия приведены ответы. Все работы имеют единую структуру, привычную учителям математики: первая часть (до первой черты) — базовый материал (на удовлетворительную оценку), вторая часть (от первой до второй черты) — более сложный материал с технической точки зрения (на хорошую оценку, естественно, при условии выполнения заданий первой части), третья часть (после второй черты) — творческое задание (на отличную оценку, при условии выполнения предыдущих заданий). Исключение составляет контрольная работа № 7 для 8 класса по теме «Делимость чисел», где не представляется возможным выделить базовую, техническую и творческую части, здесь все в комплексе.
Все контрольные работы в 7-м и 8-м классах рассчитаны на один урок (кроме работы № 8 в 8-м классе, на которую отводятся два урока). В 9-м классе на каждую работу запланировано по два урока (кроме контрольной работы № 5, которая рассчитана на один урок).
Приведенное в конце пособия тематическое планирование учебного материала дано в соответствии с параграфами упомянутых выше учебников (Мордковича А.Г. и Николаева Н.П.).
В готовящихся к изданию методических пособиях для учителя будут приведены решения наиболее трудных заданий из контрольных работ.
Найдите два числа, если их произведение равно -24, а сумма первого и удвоенного второго равна 13.
__________________________________
В1. Решите систему уравнений
В2.
Задача.
После окончания сбора урожая, выяснилось, что с первого участка собрано 200 ц пшеницы, а со второго, площадью на 2 га больше, собрано 300 ц. При этом урожайность на втором участке оказалась на 5 ц с гектара больше, чем на первом. Найдите площадь каждого участка и их урожайность.
Решебник контрольные работы по Алгебре за 7‐9 класс Мордкович А.Г. на Гитем ми
ГДЗ
7 класс
Алгебра
контрольные работы Мордкович
автор: Мордкович А.Г..
Данное пособие содержит решебник (ГДЗ) контрольные работы по Алгебре за 7‐9 класс . Автора: Мордкович А.Г. Издательство: Мнемозина. Полные и подробные ответы к упражнениям на Гитем
ГДЗ к самостоятельным работам по алгебре за 7 класс Александрова Л. А. (углублённый уровень) можно скачать
здесь.
ГДЗ к задачнику по алгебре за 8 класс Мордкович А.Г. (углублённый уровень) можно скачать
здесь.
ГДЗ к самостоятельным работам по алгебре за 8 класс Александрова Л.А. (углублённый уровень) можно скачать
здесь.
ГДЗ к задачнику по алгебре 9 класс Мордкович А.Г. (углублённый уровень) можно скачать
здесь.
ГДЗ к самостоятельным работам по алгебре за 9 классы Александрова Л.А. (углубленный уровень) можно скачать
здесь.
ГДЗ к рабочей тетради по алгебре за 7 класс Ключникова Е. М. можно скачать
здесь.
7 класс
КР-1. Вариант
1
2
3
4
КР-2. Вариант
1
2
3
4
КР-3. Вариант
1
2
3
4
КР-4. Вариант
1
2
3
4
КР-5. Вариант
1
2
3
4
КР-6. Вариант
1
2
3
4
КР-7. Вариант
1
2
3
4
КР-8. Вариант
1
2
3
4
КР-9. Вариант
1
2
3
4
КР-10. Вариант
1
2
3
4
8 класс
Вариант»>
КР-1. Вариант 1
2
3
4
КР-2. Вариант
1
2
3
4
КР-3. Вариант
1
2
3
4
КР-4. Вариант
1
2
3
4
КР-5. Вариант
1
2
3
4
КР-6. Вариант
1
2
3
4
КР-7. Вариант
1
2
3
4
КР-8. Вариант
1
2
3
4
КР-9. Вариант
1
2
3
4
9 класс
КР-1. Вариант
1
2
3
4
КР-2. Вариант
1
2
3
4
КР-3. Вариант
1
2
3
4
КР-4.
Вариант 1
2
3
4
КР-5. Вариант
1
2
3
4
КР-6. Вариант
1
2
3
4
КР-7. Вариант
1
2
3
4
КР-8. Вариант
1
2
3
4
Мордкович контрольные работы по алгебре 9 класс из задачника мордковича :: irculfamous
02.11.2016 00:22
2 Глава Глава Глава Глава . Контрольные работы по алгебре для 9 класса. К учебнику А. Г. Мордковича, базовый уровень. Этот решебник по. ГДЗ Мордкович А. Г. По Алгебре для 9 класса, онлайн решебник и ответы к домашнему заданию. Домашняя контрольная работа. Вариант 1. Все домашние работы к учебнику: А. Г. Мордкович, 1. А. Александрова. Все они были по задачнику Мордковича А. Г. Домашняя контрольная работа. Смотрите онлайн задачник по алгебре.
Класс задачник в двух частях, ч.2. Автор: А. Г. Мордкович. Издание: М.: Мнемозина, 2015. В начало книги. Глава 1. Домашняя контрольная работа. Смотрите онлайн задачник по алгебре за 9 классавторы Мордкович, Александрова, Мишустина, Тульчинская2011, 2012, 2013, 2014, 2015 годФГОС. В книге также есть 5 домашних контрольных работ, ответы и задачи на итоговое повторение. Картинка к решебнику Алгебра 9 класс Мордкович, Мишустина,. На сайте. Вы найдете ответы к задачнику по алгебре 9 класс Мордкович. Домашняя.
Контрольная работа Глава Глава Глава Глава Глава . Задачник. Часть 2. Мордкович А. Г., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е. Алгебра за 9 классГДЗ. Подробный решебник ГДЗ к учебнику по Алгебре 9 класс Мордкович А. Г.2013, онлайн ответы на домашнюю работу. Домашняя контрольная работа. Подробно сделанный решебник и гдз по алгебре за 9 класс к зачадчнику часть 2, автор Мордкович А. Г. На. Готовые.
Рабочая тетрадь по алгебре 9 класс. Вариант 1 46. Подробные гдз и решебник по Алгебре для 9 класса, авторы учебника: А. Г. Готовые домашние задания и решебник по алгебре за 9 класс к задачнику авторов А. Г. Мордкович, Л. А. Всех его тонкостей не добавит знания и не поможет на контрольной или экзамене. Домашние контрольные работы. Пропустив несколько домашних работ, школьники могут испытывать. Здесь представлены ответы к задачнику по алгебре 9 класс Мордкович. Домашняя контрольная работа Глава 1 1.
Домашние задания к задачнику по алгебре для 9 класса авторов А. Г. Мордкович,. Здесь представлены ответы к задачнику по алгебре 9 класс Мордкович. Алгебра 9 класс задачник в двух частях, ч.2. Автор: А. Г. Мордкович. Издание: М.: Мнемозина, 2015. В начало книги. Глава 1. Домашняя контрольная работа. Автор: Мордкович, Мишустина, Тульчинская. Домашние контрольные работы. Моему другу Васе в 9 ом классе часто задавали домашние задания, нередко, даже контрольные работы. Вы можете смотреть и читать гдз онлайн.
За 9 классавторы Мордкович, Александрова, Мишустина, Тульчинская2011, 2012, 2013, 2014, 2015 годФГОС. В книге также есть 5 домашних контрольных работ, ответы и задачи на итоговое повторение. ГДЗ решебник по алгебре 9 класс Мордкович, Александрова, Мишустина ФГОС Мнемозина онлайн. Перед вами решения всех упражнений из задачника по алгебре за 9 класс по Мордковичу. Читать онлайн: ГДЗ ответы, решебник Алгебра Задачник 9 класс Мордкович. Следующая статьяГДЗ решебник, ответы Алгебра Контрольные работы 9 класс Дудницын. Алгебра 9.
Вместе с Мордкович контрольные работы по алгебре 9 класс из задачника мордковича часто ищут
алгебра 9 класс мордкович гдз.
гдз по алгебре 9 класс мордкович 2015.
гдз по алгебре 9 класс мордкович часть 2.
гдз по алгебре 9 класс мордкович от путина.
гдз по алгебре 9 класс мордкович 2014.
гдз по алгебре 9 класс мордкович мегаботан.
гдз по алгебре 9 класс макарычев.
гдз по геометрии 9 класс мордкович
Читайте также:
Все домашние работы 4 класс русский язык к учебнику 21 век
Land use and landscape перевод 9 класс несвит
Решебник онлайн по английскому языку карпюк 4 еласс
Рабочая программа по алгебре 9 Мордкович 4 часа
Рабочая программа по алгебре 9 Мордкович 4 часа
Рабочая программа по алгебре 9 класс Мордкович 4 часа — 2013 девственница все
О прессе Авторские права Связаться с нами Создатели Реклама Разработчики Условия Политика конфиденциальности и безопасность Как работает YouTube Тестирование новых функций Авторские права для прессы Свяжитесь с нами Создатели. Задачи по алгебре для 9 класса — скорость, расстояние, время Пример: автобус выезжает из терминала со средней скоростью 40 км / час.С опозданием на час второй автобус отправляется с того же терминала, и его средняя цена составляет 50 lg1aqh705pe.allspicedup.biz За сколько часов второй автобус догонит первый? Показать пошаговые решения. Вопросы по алгебре с ответами для 9 класса. Представлены вопросы по пропорциональной алгебре для 9 класса с ответами. Включены вопросы по решению линейных и квадратных уравнений, упрощению выражений, включая выражения с дробями, поиску наклонов прямых. Решения и. Домашнее задание по алгебре для 9 класса к г мордкович задачники и др. Домашняя работа по алгебре за 9 класс к задачнику Г Мордкович и др / Домашняя работа по алгебре за 9 класс к задачнику lg1aqh705pe.allspicedup.bizvicha Алгебра. 9 класс: задачиник. Ch.2 (на русском языке) на lg1aqh705pe.allspicedup.biz * БЕСПЛАТНАЯ * доставка по квалификационным предложениям. Домашнее задание по алгебре для 9 класса, задачи по г мордкович и др. Формат: Мягкая обложка. нет данных Пожалуйста, не стесняйтесь запросить подробное описание. Краткое описание: Мордкович А. Алгебра. 9 класс. Задание \ Мордковых А. Алгебра. 9 класс. Zadahnik, n / a У нас есть тысячи наименований, и часто может быть доступно несколько копий каждого названия. Пожалуйста. Рабочие проблемы «Рабочие» проблемы: трубы, заправляющие резервуар.Пример 1: резервуар можно заполнить по трубе А за 3 часа и по трубе В за 5 часов. Когда бак заполнен, его можно опорожнить через трубу C за 4 часа. если резервуар изначально пустой и все три трубы открыты, сколько часов потребуется, чтобы заполнить резервуар? Решение: Шаг 1. Назначьте переменные.
Рабочая программа по алгебре 9 класс Мордкович 4 часа
Рабочая программа по алгебре 9 Мордкович 4 часа — спутник Skyrim на коне
-> Векторный клипарт обуви -> Садовые убойные растения мы зомби -> По стабило ошибочному дизайну -> В сверхъестественном 6 сезон -> Рисунки для футболок
Ермолов песня теперь мы первоклассники — Экс открытки с потустороннего мира
Рабочая программа по алгебре 9 класс Мордкович 4 часа
«Посмотри мне прямо в глаза» — это наблюдение и разбор случайных моментов непропорциональной хрупкости в повседневной жизни. Это анализ привычек, далеких воспоминаний и подробных навязчивых идей, связанных с семейной динамикой, травмами и моментами хрупкости в отношениях. TJ ** LOOK @ ME ** ЖЕНСКИЕ ДЖИНСЫ С ПРЯМЫМИ НОГАМИ sz4 GREAT LOOKING JEANS Прокрутите вниз, чтобы увидеть больше изображений (объявление создано с помощью AdGen X — опубликовано: GW) ПОЛ: FEMALE MAKER: LOOK @ ME ДЕТАЛИ: * СТИЛЬ №: НЕИЗВЕСТНЫЙ * ЦВЕТ : BLUES — MEDIUM * СТИЛЬ: ПРЯМАЯ НОГА * FLY: Производитель: LOOK @ ME.Посмотри мне прямо в глаза Текст: Когда ты перестанешь лгать / Посмотри мне прямо в глаза / Когда дойдешь до сути / Скажи мне, для чего я тебе нужен. Когда ты перестанешь лгать, Посмотри мне прямо в глаза. Когда вы дойдете до сути, скажите мне, для чего я вам нужен. Посмотри мне прямо в глаза, смею тебя попробовать 🐍 👁 «Мать Медуза» в эту пятницу 18 сентября. Сохраните сейчас и будьте первым, кто послушает в полночь. Просто посмотри мне прямо в сердце Просто посмотри мне прямо в сердце Отправить исправления.AZLyrics. H. Helix Тексты песен. альбом: «Это бизнес, занимающийся удовольствием» () That Day Is Gonna Come. Буксир войны. Изнанка кровати. Не могу позволить себе даже умереть. Посмотри мне прямо в сердце. Доверяйте чувству. Любовь — это безумная игра. 04 января · Shoot Me Straight Текст: Не смотри на меня таким взглядом, который подводил меня легкой улыбкой / Не веди себя так, будто я не видел, как ты идешь за сотню миль / Не пытайся подобрать идеальные слова / Не могу взять. смотреть прямо насквозь (один) Действовать так, как будто человек не находится перед зрителем, либо потому, что зритель не замечает одного, либо потому, что зритель намеренно игнорирует его.Я умолял прохожих о помощи, но все смотрели сквозь меня. См. Также: смотри, прямо.
Посмотри прямо
Посмотри мне прямо — thrashbox из девяти магазинов
-> Реферат по физическому воспитанию -> Комплексный анализ учебника 6 класс Малюшкина, рабочая тетрадь -> Фактор 2, подорванный альбом -> История русской живописи Бенуа -> Аудиокурс истории
Mutants генетические гладиаторы последняя версия — Lois mcmaster bujold union
Посмотри прямо
Математика как язык символов
Обучая своих студентов по предварительному исчислению и AP-исчислению, я понял, что использование математических символов для создания алгебраических выражений и решения текстовых задач обычно является для них большой проблемой. Они изо всех сил пытаются перевести словесную постановку проблемы в символические математические выражения и уравнения.
Допустим, ученики должны решить следующую задачу: «Найдите площадь поверхности сферы в тот момент, когда скорость увеличения объема сферы в девять раз превышает скорость увеличения радиуса». 1 (На самом деле, эта постановка задачи не очень удачная. В задаче упоминается «сфера», но речь идет не об одной сфере. Речь идет о семействе сфер, радиус которых меняется в зависимости от того, каким образом или относительно какая переменная не поясняется.) Как видите, в этой задаче нет ни одного математического символа. Это всего лишь одно предложение, написанное на английском языке. Студенты должны уметь «переводить» его на математический язык с помощью формул и создавать модели на основе полученных данных. Это чрезвычайно сложная задача для моих учеников. Большинство из них готовы сдаться, даже не пытаясь.
Истоки этой борьбы восходят к арифметике и простой алгебре. Их надо было научить писать алгебраические выражения и создавать математические модели задачи со словами.Эти навыки необходимы для их успеха в математике, физике и химии на высшем уровне. К сожалению, большинство из них обладают очень скромными навыками такого рода. Итак, моя цель при разработке этого модуля — помочь учителям и ученикам восполнить этот пробел.
Страх перед математикой похож на боязнь говорить на иностранном языке. Некоторые слова на иностранном языке мы просто не знаем и поэтому испытываем трудности с переводом. Чтобы добиться успеха в математике, мы должны уметь «переводить» задачу с английского на математический язык.Частично это знание того, что означает каждое слово. Более глубокая трудность состоит в том, что перевод не может быть дословным. Он должен передавать общий смысл.
Возвращаясь к вышеупомянутой связанной задаче скорости, студенты узнают, что словосочетание «скорость увеличения объема» переводится на математический язык очень просто: dV / dt . Анализируя задачу, студенты должны прийти к выводу, что объем меняется во времени. Они должны ввести переменную t (время) и подчеркнуть, что t была неопределенной переменной в результате неполноты задачи.Акт введения переменной t должен быть явным. Аналогичным образом «скорость увеличения радиуса» составляет др / дт .
Чтобы перевести его дальше, нам нужно будет создать алгебраическое выражение:
dV / dt = 9 dr / dt
Это выражение кажется изучающим алгебру сложным и «полностью греческим». Однако концепция, которую мы использовали при написании этого выражения, такая же, как и при написании очень простого алгебраического выражения «число A в девять раз больше, чем число B ».
A = 9 B
Итак, студентов нужно научить писать алгебраические выражения как можно раньше.
Я преподаю в небольшой средней школе, куда дети должны подать заявление, чтобы их приняли. Большая часть политики приема — это привлечение студентов с самым разным опытом. Поэтому студенческий состав очень разнообразен. У нас есть дети из элитных частных школ, а также дети из малообеспеченных городских средних школ. В результате навыки студентов сильно различаются.Я должен соответствующим образом скорректировать свой стиль преподавания и подойти к ученикам индивидуально. Хотя некоторые из них берут самые строгие классы AP, многие из них испытывают трудности с простыми математическими концепциями. Моя цель как учителя — удовлетворить потребности каждого ученика и дать им возможность добиться успеха.
Англо-математический «словарь»
В первый день в школе я всегда говорю своим ученикам-математикам, что математика — это язык. И одна из его ключевых особенностей — очень лаконичный.Компактность символьных выражений — важная особенность, позволяющая нам эффективно с ними работать. Компромисс заключается в увеличении трудозатрат, необходимых для перевода между символическими и словесными выражениями. Цифры и буквы, а также некоторые специальные символы представляют собой «слова» этого удивительного языка. Когда мы соединяем «слова» с помощью знаков <,>, +, -, = и т. Д., Мы пишем предложения на математическом языке.
Большинство из них выглядит сбитым с толку. Затем я прошу их перевести несколько случайных английских слов на испанский или французский.Делают это легко и с удовольствием. Следующее задание — перевести слова «сложить», «вычесть», «равно» на математический язык символов. Важно отметить, что существуют разные способы выражения на английском языке вещей, которые в конечном итоге будут одинаковыми символически. Например, «сумма a и b », «возьмите a и добавьте его к b » и « a плюс b » все приведут к выражению a + б .Это отправная точка их путешествия в чудесный мир математических символов. Мое заявление о математике как о языке становится для них ясным.
Теперь очередь моих учеников привести свои собственные примеры. Они очень взволнованы. Мы создаем наш первый англо-математический «словарь». Вот как это может выглядеть:
Английский
Математика
добавить
+
вычесть
–
умножить
×
делить
÷
равно
=
примерно равно
≈
квадратный корень
√
больше или равно
≥
меньше или равно
≤
Мое любимое слово, к которому я всегда подхожу особым образом, — это слово «ноль».Ноль означает «ничего».
Я обращаю особое внимание на 0, потому что учащиеся не чувствуют себя уверенно с этим числом, особенно когда они решают уравнения и ничего не остается по обе стороны от уравнения. Они очень сбиты с толку и не могут решить задачу. «0» — очень важная и значимая цифра для математиков. Само открытие этой цифры дало нам возможность записывать числа, используя таблицу разрядов. Это также важная концепция при написании алгебраических выражений.Иногда я говорю, что важность ничего была большим математическим открытием.
Еще одна глава в этом разговоре — надстрочные и подстрочные индексы. Надстрочные символы — это маленькие символы, которые располагаются немного выше линии; нижние индексы находятся под нормальной строкой шрифта. Верхний или нижний индекс может быть числом, буквой или специальным математическим символом.
Традиционно учащиеся знают следующие надстрочные индексы:
градусов (45 градусов)
45 °
процентов
%
число в квадрате (показатель степени)
х 2
Обычно используемый нижний индекс обозначает базовые системы, например, log 2 10 (логарифм по основанию 2 числа 10). В какой-то момент учащиеся также встречают нижние индексы как обозначающие термины в последовательности.
Следующие логические вопросы будут: «Можно ли использовать, например, другой символ для сложения? Зачем нужны символы? Почему бы нам просто не описать словами методы решения некоторых математических задач? » Кроме того, какова ценность согласования фиксированного символа для конкретной идеи, например объединения чисел путем сложения?
Алгебра обобщенная Арифметика
Это хорошее время, чтобы вернуться в доисторические времена и вкратце проследить по стопам человечества в его попытке разработать эффективный инструмент для описания вычислений и измерений.
«Современный способ записи чисел, простой и удобный, европейцы позаимствовали у арабов. В свою очередь арабы позаимствовали эту систему у индейцев. Поэтому европейцы называют современные цифры «арабскими», а арабы — «индийскими». Интересно, что арабская и индийская версии этих символов несколько отличаются от стандартных европейских. Английский ученый и путешественник Аделард представил европейцам эту систему примерно в 1120 году.Подавляющее большинство стран приняли его только к 1600 году ». 2 Фибоначчи (Леонардо Пизанский) также следует упомянуть в этом развитии. Итак, человечеству потребовалось довольно много времени, чтобы даже символизировать числа, которые мы используем для счета.
Следующая длинная цитата очень хорошо передает идею моего устройства:
«Хотя то, что мы сейчас называем« задачами алгебры слов », изучались и решались со времен Древнего Египта и Вавилонии, около 4000 лет назад, а может и больше, символическая алгебра — гораздо более новое изобретение, впервые примененное Франсуа Виете незадолго до этого. 1600 и развивалась в течение следующих 50 лет.(Использование x для неизвестного было популяризировано Декартом.) Символическая алгебра, в свою очередь, была основным двигателем научной революции, в частности математического анализа. Представьте себе науку без формул. Представьте, что вы пытаетесь даже говорить о производных, не говоря уже о их вычислении, без компактной записи, чтобы выразить разностный фактор.
Упор в последнем предложении должен быть сделан на «компактный». Придумайте простое выражение, например 3 x +2. По сути, это рецепт вычисления.Он неявно говорит: возьмите число x , умножьте его на 3 и прибавьте 2 к результату. Однако он существенно короче! Составное выражение, например 4 y (3 x + 2) — 7, можно перевести как: возьмите число x , умножьте его на 3 и прибавьте 2 к результату. Возьмите другое число y и умножьте его на 4. Умножьте первый результат на второй, а затем вычтите 7.
По мере того, как выражения становятся более сложными, резко возрастает контраст между длиной полного набора словесных инструкций, необходимых для перефразирования символического выражения, и краткостью самого выражения.Компактность символической формы вместе с компактным и элегантным набором правил (правил арифметики) для преобразования (часто в целях упрощения) выражений позволяет практикующему составлять выражения, словесные переводы которых были бы неуправляемыми, и манипулировать ими. Такое сочетание краткости и формальности помогает сделать символическую алгебру мощным инструментом.
Однако, как и в случае с другими предметами математики, компактность, которая делает символические обозначения мощными, также усложняет преподавание.Студенты, особенно студенты, которые могут приходить к алгебре, не будучи уверенными в значениях числовой нотации и с ограниченным пониманием операций, не сразу адаптируются к символической алгебраической нотации или осознают возможности, которые она предлагает ». 3
«Основная задача начинающих студентов алгебры — научиться работать с переменными и, в частности, работать с символьными выражениями — при их интерпретации, создании, манипулировании ими и использовании их для формулирования и решения уравнений, а также для интерпретации решения.” 4
Основная посылка этого раздела заключается в том, что «обучение символической алгебре и ее использование при решении словесных задач может быть полезно с лингвистической точки зрения; чтобы учащиеся могли увидеть, изучить, обсудить и проработать перевод на алгебру многих примеров словесно сформулированных ситуаций, включая работу по решению этих задач как с алгеброй, так и без нее, а также сравнение алгебраических и арифметических решений этих задач. Делая это, они могут постепенно познакомиться с языком алгебраической нотации, словарем и грамматикой полиномиальных выражений, а также с правилами, позволяющими перефразировать в пределах этого языка (т.е., принципы преобразования выражений и уравнений). Кроме того, они могут попрактиковаться в переводе арифметики в алгебру и алгебру в арифметику. Испытывая сильную связь между ними, они могут прийти к пониманию максимы о том, что «алгебра — это обобщенная арифметика», вместо того, чтобы думать о них как о далеких странах, разделенных огромным океаном, что является ситуацией слишком многих американских студентов (см. например, Ли и Уиллер (1989)) ». 5
Чем раньше мы, учителя, приступим к этой работе, тем лучших результатов добьются ученики.
Набор прогрессивных задач
Для этого модуля я написал набор задач, которые прогрессируют от очень простых одношаговых арифметических задач, подходящих для первоклассников и второклассников, до более сложных алгебраических задач, содержащих переменные.
Числовые и алгебраические выражения.
Задача I. Буханка хлеба стоит 2 доллара. Большая пицца стоит 20 долларов. Для каждого вопроса ниже напишите числовое выражение, которое дает ответ на вопрос.Затем вычислите значение каждого выражения.
На сколько долларов буханка хлеба дешевле большой пиццы?
Во сколько раз пицца дороже буханки хлеба?
Сколько стоят пицца и буханка хлеба вместе?
Сколько стоят две большие пиццы?
Сколько стоят пять буханок хлеба?
Сколько стоят две большие пиццы и пять буханок хлеба вместе?
На сколько долларов две большие пиццы дороже пяти буханок хлеба?
Во сколько раз две большие пиццы дороже пяти буханок хлеба?
Задачи I 1) с по I 5) — это одношаговые задачи для сложения / вычитания и умножения / деления.Здесь важно, чтобы учащиеся сначала записали выражение, а не просто вычислили ответ. Например, в задаче I 3) выражение должно выглядеть так:
Цена пиццы и хлеба вместе: 20 долларов +2 доллара = 22 доллара. Важно потребовать, чтобы учащиеся выражали окончательный ответ в правильных единицах, и они должны знать единицы, прикрепленные к каждому числу, которое они используют. Все члены в уравнении сложения должны относиться к одной и той же единице.
Проблемы 6) с по 8) — это трехэтапные задачи. Например, выражение для Задачи I 6) :
Цена двух больших пицц и пяти буханок хлеба в долларах = 2 (20) + 5 (2) = 50.
Студенты должны заметить, что все эти выражения содержат только числа и символы арифметических операций. Такие выражения называются числовыми выражениями .
Следующий шаг — дать студентам ту же задачу, но заменить числовые значения цен буквами.
Проблема II. Буханка хлеба — х долларов. Большая пицца стоит у долларов. Для каждого вопроса ниже напишите алгебраическое выражение, которое дает ответ на вопрос.
На сколько долларов буханка хлеба дешевле большой пиццы?
Во сколько раз пицца дороже буханки хлеба?
Сколько стоят пицца и буханка хлеба вместе?
Сколько стоят две большие пиццы?
Сколько стоят пять буханок хлеба?
Сколько стоят две большие пиццы и пять буханок хлеба вместе?
На сколько долларов две большие пиццы дороже пяти буханок хлеба?
Во сколько раз две большие пиццы дороже пяти буханок хлеба?
Например, решение проблемы II 1) :
Буханка хлеба на у-х долларов дешевле большой пиццы.
Здесь важно научить детей, что эту задачу можно сформулировать по-другому. Мы можем спросить: насколько большая пицца в долларах дороже буханки хлеба? Студенты должны заметить, что решение проблемы остается неизменным.
Задача II 7) более сложная. Студенты должны усвоить, что термин, обозначающий более дорогой продукт, всегда является первым термином в выражении.
Две большие пиццы дороже пяти буханок хлеба.2 y -5 x представляет разницу в цене. Опять же, дети должны иметь возможность изменить задачу, заменив «дороже» на «дешевле». Таким образом, проблема будет заключаться в следующем: насколько дешевле в долларах пять буханок хлеба, чем две большие пиццы?
Как и в Задача II 1) , решение не изменится.
Студенты должны ответить на вопрос: В чем разница между задачей I и задачей II ? Они должны указать, что выражения в Задаче II содержат не только числа и символы арифметических операций, но и буквы, обозначающие числа, то есть переменные. Такие выражения называются алгебраическими выражениями .
Проблема III . Напишите алгебраическое выражение, а затем найдите его значение по значению каждой переменной.
В три раза больше разницы между a и b . Найдите значение, если a = 5 и b = 4.
Частное 25 на сумму чисел x и y . Найдите значение, если x = 3 и y = 2.
Тройное число a и прибавьте его к b . Найдите значение, если a = 6 и b = 10.
Разница 72 и дважды c . Найдите значение, если c = 20.
Проблема III повторяет Проблема II , но на этот раз нет реальных сценариев. Студенты должны «перевести» каждое алгебраическое выражение с английского языка с помощью математических символов, а затем оценить их. Решение проблемы III 3) может выглядеть так:
3 а + б
3 (6) + 10 = 18 + 10 = 28
Важно, чтобы наборы задач включали разные сценарии, например Problems IV и V ниже. Дети могут вообразить себя в этой реальной жизненной ситуации, что делает саму идею решения словесных задач более актуальной для них. Эти две задачи также дают учителю возможность подчеркнуть, что математика — это также язык науки. Физика учит, что для определения расстояния нужно умножать скорость на время. Если мы заменим каждое слово в этом правиле буквами, мы сможем описать его математическим языком. «Равенство, которое представляет собой правило для вычисления значения некоторой переменной, называется формулой .” 6
Проблема IV . Автомобиль и велосипед стартуют в одной точке, но движутся в противоположных направлениях. Скорость автомобиля 60 миль / ч. Скорость велосипеда — 10 миль / ч. Для каждого вопроса ниже напишите числовое выражение, которое дает ответ на вопрос. Затем вычислите значение каждого выражения.
Какое расстояние между автомобилем и велосипедом через час после трогания с места?
С какой скоростью они удаляются друг от друга?
Какое расстояние между автомобилем и велосипедом через два часа после трогания с места?
Какое расстояние проехала машина за два часа?
Какое расстояние проехал велосипед за два часа?
Насколько больше расстояние, пройденное автомобилем, превышает расстояние, пройденное велосипедом за 2 часа?
Во сколько раз расстояние, пройденное автомобилем, превышает расстояние, пройденное велосипедом за 2 часа?
Проблема V . Автомобиль и велосипед стартуют в одной точке, но движутся в противоположных направлениях. Скорость автомобиля составляет х миль / ч. Скорость велосипеда — y миль / ч. Для каждого вопроса ниже напишите алгебраическое выражение, которое дает ответ на вопрос.
Какое расстояние между автомобилем и велосипедом через час после трогания с места?
С какой скоростью они удаляются друг от друга?
Какое расстояние между автомобилем и велосипедом через два часа после трогания с места?
Какое расстояние проехала машина за два часа?
Какое расстояние проехал велосипед за два часа?
Насколько больше расстояние, пройденное автомобилем, превышает расстояние, пройденное велосипедом за 2 часа?
Во сколько раз расстояние, пройденное автомобилем, превышает расстояние, пройденное велосипедом за 2 часа?
Числовое и алгебраическое выражение, записанное цифрами, буквами и символами арифметических операций, является «переводом» реальных событий с английского на математический язык. Как вы видели, несколько различных сценариев могут быть описаны с использованием одних и тех же математических моделей. По этой причине математика используется в строительстве, сельском хозяйстве, медицине, машиностроении и многих других областях жизни человека. Следующие две задачи подчеркивают эту важную особенность математики.
Проблема VI. Автомобиль преодолевает расстояние 180 км за 2 часа, а грузовому автомобилю требуется 3 часа. Когда встретятся машина и грузовик, если расстояние между ними 300 км и они начнут движение навстречу друг другу?
Проблема VII. Первая бригада трактористов вспахивает 180 акров за 2 дня. Вторая команда может проделать ту же работу за 3 дня. Сколько дней потребуется, чтобы вспахать 300 акров, если две команды будут работать вместе?
Для решения задач VI и VII ученики должны установить и найти значение того же алгебраического выражения:
300 ÷ (180 ÷ 2 + 180 ÷ 3)
Эти две задачи подчеркнут идею о том, что совершенно разные ситуации из реальной жизни могут быть описаны одинаково, используя математический язык. Это единственное числовое выражение представляет собой математическую модель обеих этих реальных жизненных ситуаций. Однако обратите внимание, что в Задаче VI единицы измерения — часы, а в Задаче VII — дни.
Обратный перевод.
Для студентов чрезвычайно важно уметь делать обратный «перевод». Они должны понимать, какую реальную жизненную ситуацию описывает данная математическая модель.
Проблема VIII. Посмотрите на таблицу ниже. Объясните, как вы это понимаете.
Дано
Математическая модель
Перевод
В миске a апельсинов и b бананов.
a + b = 30
Общее количество плодов 30.
a = 2 b
Количество апельсинов в два раза больше количества бананов.
a = b + 10
Апельсинов на 10 больше, чем бананов.
В качестве примера студенты должны указать, что в первом столбце есть некоторые данные. Во втором столбце представлены математические модели, основанные на данных и некоторой новой информации. Третий столбец дает нам представление о том, как алгебраические выражения из второго столбца следует «переводить» на английский язык.
Проблема IX. Создайте сценарии, которые можно описать следующими числовыми выражениями:
2 × 94 + 17.
25 ÷ (18 ÷ 6 + 18 ÷ 9).
Задачи этого типа важны для развития навыков математического моделирования. Сценарии будут разными. Студенты могут бороться с этими проблемами. Я планирую провести в классе обсуждение такого рода проблем и приведу несколько примеров, прежде чем предлагать своим ученикам создавать свои собственные сценарии для выражений. После этого я попрошу добровольцев поделиться своими сценариями со всем классом.
Связанные ставки.
Задачи этого раздела предназначены для студентов, изучающих математику. Чтобы преуспеть в этой теме, они должны легко «переводить» текстовые задачи с английского на математический «язык», уверенно настраивать и оценивать алгебраические выражения и работать с формулами. Это высший уровень математики, доступный школьникам. Что касается этой темы, мои ученики всегда упоминают, что это помогает им понять, почему они тратят так много времени на совершенствование своих навыков алгебраических выражений.«Вся математика» теперь имеет для них смысл.
В качестве примера рассмотрим эту относительно простую задачу:
Задача X. «Точка движется по окружности радиусом 6 дюймов, закон ее движения равен
.
Ɵ = т 3 -6 т 2 +9 т , (10)
, где t (время) измеряется в секундах, а Ɵ (угол против часовой стрелки, который радиус точки образует с осью x) в радианах.Найдите (а) угловую скорость ω , когда t = 4 секунды. Решение. (а) Из (10) получаем
ω = dƟ / dt = 3 т 2 -12 т +9. (11)
Следовательно,… угловая скорость при t = 4 секунды равна
Игнорировать вопрос вычисления производной; студенты должны уметь оценивать выражение (11).Эта задача является хорошим примером, чтобы подчеркнуть важность обучения алгебраическим выражениям в средней и начальной школе.
Следующая задача более серьезная.
Проблема XI. «Точка движется по прямой таким образом, что пройденное расстояние (означает расстояние от позиции, когда t = 0) изменяется как куб времени. Если точка находится на расстоянии 3 фута от начальной точки в конце 2 секунд, каково будет ее расстояние от начальной точки и ее скорость в конце 6 секунд?
Решение.Общий закон движения, сформулированный в виде уравнения, становится
.
s = k × t 3 , (3)
, где k — некоторая константа, а s — пройденное расстояние. Более того, по гипотезе s = 3, когда t = 2.
Следовательно (3) дает 3 = k × 8, так что k = 3/8 фут / сек 3 . Таким образом, точный закон движения равен
.
S = (3 ̸8) × т 3 (4)
Таким образом, желаемое расстояние от начальной точки по истечении 6 секунд будет
.
S 1 = 3/8 × 6 3 = 81 фут.
Что касается скорости, то из (4)
dS / dt = 9/8 × т 2 ,
Так что, в соответствии с пояснениями к этой статье, желаемая скорость по истечении 6 секунд будет
V 1 = 9/8 × 6 2 = 40 ½ футов в секунду ». 8
Примечание : Фактически, вам не нужно вычислять k. Если расстояние от начала пропорционально t 3 , то, поскольку 6 = 3×2, точка будет на расстоянии 3 3 x 3 = 81 фут.
Как видите, на самом первом этапе ученики должны «перевести» первое предложение задачи с английского на математический язык. Соотношение между расстоянием и временем должно быть выражено формулой. Если этот навык не был развит, они сразу же проваливают задачу. Эта проблема ясно иллюстрирует важность обучения студентов тому, как переводить текстовые задачи в математические модели, начиная с того момента, как это возможно.
В этом разделе я хотел бы обсудить, как я планирую использовать задачи, подобные упомянутым выше, чтобы помочь моим ученикам улучшить свои навыки перевода и решения.
Урок 1.
Цель: Студенты будут практиковаться в написании числовых и алгебраических выражений для перевода словесных задач в математические модели.
Проблемы в блоке разработаны таким образом, чтобы постепенно повышать строгость, начиная с Задачи I , что относительно просто. Таким образом, Задача I может быть приведена в классе в качестве примера. Я планирую провести обсуждение в группе и помочь студентам записывать числовые выражения. Студенты должны найти значение каждого выражения без использования калькулятора.
Проблема II основывается на проблеме Проблема I . Студенты должны выполнить ее самостоятельно, используя идеи, изложенные в задаче I . Студенты могут по очереди написать ответ на каждое утверждение на доске, чтобы проверить решения.
Я решу, какие еще задачи использовать для работы в классе, и поставлю аналогичные для домашнего задания. Однако я не планирую делать больше пяти или семи за первый урок. Я также считаю, что должно быть несколько уроков с одной и той же целью.
Урок 2.
.
Цель: Студенты будут практиковаться в интерпретации каждой математической модели в терминах заданных сценариев.
Проблемы этого типа традиционно сложны. Студентам сложно «расшифровать» математические модели. Начну, наверное, с проблемы VIII . В начале третий столбец «Перевод» должен быть пустым. Учитель поможет студентам проанализировать математические модели для каждого сценария и заполнить столбец. Учащиеся могут работать над другими задачами самостоятельно в парах или группах с последующим обсуждением в группе.
Опять же, в зависимости от целей, навыков учащихся и сроков обучения, я буду корректировать конкретные задания в классе и домашние задания.
Урок 3.
.
Задача: учащиеся решат связанные с курсом задачи.
Тема сложная. Мой подход будет заключаться в том, чтобы начать с Задача X постепенно прогрессировать с точностью. Учащиеся могут работать над задачами X и XI самостоятельно или в группах с последующим обсуждением в группе.Особо обращу внимание на агрегаты. Это поможет студентам понять проблему физически.
Примечание : Вопрос о единицах в Задаче X даже сложнее, чем в XI. Цифры «3», «12» и «9» имеют разные единицы измерения.
Набор задач
Задача I. Фунт клубники — x долларов. Фунт вишни стоит y долларов. Напишите алгебраическое выражение для каждой фразы или вопроса ниже.
Цена 2 фунта клубники.
Цена за 3 фунта вишни.
На сколько денег фунт вишни дороже фунта клубники?
Во сколько раз фунт вишни дороже фунта клубники?
Цена 1 фунта клубники и 1 фунта вишни вместе.
Цена 2 фунта вишни и 3 фунта клубники.
На сколько денег 2 фунта вишни дороже 3 фунтов клубники?
Сколько раз 2 фунта.вишни дороже, чем 3 фунта клубники?
Чтобы найти значения алгебраических выражений, мы должны знать значение каждой переменной. Если нам известна цена 1 фунта клубники и вишни, мы можем найти значение каждого выражения в Задаче II .
Проблема II . Пусть в задаче I 1 фунт клубники равен 2 долларам, а 1 фунт вишни равен 6 долларам.
Теперь найдите значение каждого созданного вами выражения для задачи Задача I .
Проблема III. Напишите числовое выражение для каждой фразы и найдите ее значение:
Произведение числа 100 и суммы чисел 8 и 7.
Произведение разности чисел 57 и 42 и числа 1000.
Отношение суммы чисел 32 и 24 к числу 7.
Частное числа 81 на разность чисел 77 и 68.
Проблема IV. Напишите алгебраическое выражение для каждой фразы:
Произведение числа x и суммы чисел y и z .
Произведение разности чисел a и b и числа c .
Частное от суммы чисел t и w и числа q .
Частное числа f и разности чисел g и h .
Задача V. Напишите числовое выражение для каждой фразы и найдите ее значение:
Сумма произведения чисел 15 и 2 и частного числа 42 на 6.
Разница частного числа 270 на 3 и произведения чисел 25 и 3.
Сумма произведения чисел 17 и 3 и произведения чисел 4 и 13.
Разница частного числа 45 на 3 и частного числа 64 на 32.
Проблема VI. Автомобиль и автобус отправились в путь из одной точки в противоположных направлениях. Скорость автомобиля 60 миль / ч. Скорость автобуса — 50 миль / ч. Для каждого вопроса ниже напишите числовое выражение, которое дает ответ на вопрос.Затем вычислите значение каждого выражения.
Какое расстояние между автомобилем и автобусом через час?
С какой скоростью они удаляются друг от друга?
Какое расстояние между автомобилем и автобусом через 2 часа?
Какое расстояние проезжает машина за два часа?
Какое расстояние проезжает автобус за два часа?
Насколько больше расстояние, пройденное автомобилем, превышает расстояние, пройденное автобусом за 2 часа?
Во сколько раз расстояние, пройденное автомобилем, превышает расстояние, пройденное автобусом за 2 часа?
Проблема VII. Автомобиль и автобус начали движение из одной точки в противоположных направлениях. Скорость автомобиля x миль / ч. Скорость автобуса y миль / ч. Машина ходит быстрее автобуса. Для каждого вопроса ниже напишите алгебраическое выражение, которое дает ответ на вопрос.
Какое расстояние между автомобилем и автобусом через час?
С какой скоростью они удаляются друг от друга?
Какое расстояние между автомобилем и автобусом через 2 часа?
Какое расстояние проезжает машина за два часа?
Какое расстояние проезжает автобус за два часа?
Насколько больше расстояние, пройденное автомобилем, превышает расстояние, пройденное автобусом за 2 часа?
Во сколько раз расстояние, пройденное автомобилем, превышает расстояние, пройденное автобусом за 2 часа?
Что означают выражения x-y и 2 x -3 y ?
Проблема VIII. Цена одного тюльпана x долларов, роза на y долларов дороже. Напишите алгебраическое выражение для каждой фразы:
Букет из 5 тюльпанов и 4 роз стоит 25 долларов.
Три розы на 10 долларов дороже пяти тюльпанов.
Цена семи тюльпанов меньше 20 долларов.
Цена семи роз больше 20 долларов.
Что означают выражения 7 x +3 ( x + y ) и 12 ( x + y ) — 8 x ?
Примечание : Я попрошу своих студентов упростить эти выражения и указать, что они означают, и имеет ли это смысл в контексте проблемы; то есть ясно, что упрощенные выражения должны иметь те же значения, что и исходные?
Проблема IX. Фунт яблок стоит м долларов; фунт груш на 4 доллара дороже. Напишите алгебраическое выражение для каждой фразы:
Цена 2 фунта. яблок и 3 фунта. груш 17 долларов.
Цена 7 фунт. груш на 30 долларов больше, чем цена 5 фунтов. яблок.
Цена 2 фунта. груш меньше 12 долларов.
Цена 4 фунта. яблок стоит более 3 долларов.
Что означают выражения 3 m +2 ( m +4) и 4 ( m +4) -3 m ?
Проблема X. Объясните следующие математические модели, связанные с данными:
Дано
Математическая модель
В ресторане a стульев и b столов.
1) a = 4 b
2) a = b +30
Проблема XI. Интерпретировать каждую математическую модель применительно к заданным сценариям.
Сценарий
Математическая модель
В стаде a коров и b лошадей.
1) a + b = 30
2) a = 3 b
3) a = b +15
4) а-б = 17
5) a : 5 = b
Путешественник прошел – миль и проплыл – миль.
Человек заплатил a долларов за яблоки и b долларов за апельсины.
В классе a девочек и b мальчиков.
Примечание : Студенты должны интерпретировать все пять математических моделей для каждого сценария.
Проблема XII. Создайте сценарии, которые можно описать следующими математическими моделями.
100 — 3 × 15.
48 ÷ (10 ÷ 2 + 24 ÷ 8).
Проблемы, связанные с тарифами.
Список проблем, связанных с тарифами, и их решений предлагает KhanAcademy (см. Ресурсы). Здесь учителя и ученики могут найти все основные типы задач, которые появляются в тесте AP Calculus AB. Интернет-репетитор проведет вас через весь процесс решения проблемы.
Внедрение стандартов обучения математике в государственных школах Вирджинии
Четвертый класс
Расчет и оценка
4. 4 Студент будет
e) создавать и решать одношаговые и многоступенчатые практические задачи, включающие сложение, вычитание и умножение, и одношаговые практические задачи, связанные с делением целых чисел.
Пятый класс
Паттерны, функции и алгебра
5.19 Студент
а) исследовать и описывать понятие переменной;
b) написать уравнение для представления заданной математической зависимости, используя переменную;
c) использовать выражение с переменной для представления данного словесного выражения, включающего одну операцию; и
г) создать проблемную ситуацию на основе заданного уравнения, используя одну переменную и одну операцию.
Шестой класс
Паттерны, функции и алгебра
6.14 Студент будет
а) представляют собой практическую ситуацию с линейным неравенством по одной переменной; и
b) решить одношаговые линейные неравенства с одной переменной, включая сложение или вычитание, и построить график решения на числовой прямой.
Седьмой класс
Паттерны, функции и алгебра
7.11 Учащийся оценит алгебраические выражения для заданных значений замены переменных.
Восьмой класс
Паттерны, функции и алгебра
8.14 Студент
a) вычислить алгебраическое выражение для заданных значений замены переменных; и
б) упростить алгебраические выражения с одной переменной.
Выражения и операции
A.1 Студент будет
а) алгебраически изображать словесные количественные ситуации; и
b) вычислить алгебраические выражения для заданных значений замены переменных.
Выше я перечислил соответствующие стандарты. Как видите, начиная с четвертого класса учащиеся должны уметь переводить практическую ситуацию в математическую модель, которая включает запись числового или алгебраического выражения и оценивать его. Они также должны быть компетентными в написании и решении уравнений для представления заданной математической зависимости. Таким образом, учителя начальной и средней школы смогут использовать задачи из моего раздела в своих классах. После того, как студенты овладеют содержанием моего модуля, они будут лучше подготовлены к математике и физике высшего уровня, где им придется переводить текстовые задачи в математические модели, используя математический язык.В моем классе это устройство поможет мне исправить положение моих учеников, которые планируют сдавать AP Calculus в будущем.
Башмакова, Изабелла, Галина Смирнова Начало и эволюция алгебры. Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 2000.
Форд, Уолтер Бертон. Первый курс дифференциального и интегрального исчисления. Нью-Йорк: Генри Холт и компания, авторское право 1928.
Лам, Лай Йонг, Тиан Се Анг . Мимолетные шаги: прослеживание концепции арифметики и алгебры в Древнем Китае. Сингапур: World Scientific, авторское право 2004.
Ма, Уильям. 5 шагов к 5 AP Calculus AB 2017. Нью-Йорк: McGrawHill, 2016 .
Роджер Хоу, От арифметики к алгебре. Пекин: математический бюллетень, 2010.
Виленкин, Наум. Математика 5 класс. Москва: Мнемозина, 1997 .
Зубарева Ирина Александр Мордкович, Математика 5 класс. Москва: Мнемозина, 2004.
Зубарева Ирина Александр Мордкович, Математика 6 класс. Москва: Мнемозина, 2004.
William Ma, 5 шагов до 5 AP Calculus AB 2017 , 178.
Наум Виленкин, Математика 5 класс , 44 (переведено мной).
Роджер Хоу, От арифметики к алгебре , 1.
Роджер Хоу, От арифметики к алгебре , 2.
Роджер Хоу, От арифметики к алгебре , 2.
Ирина Зубарева, Александр Мордкович, Математика 6 класс , 62 (переведено мной).
Уолтер Бертон Форд, Первый курс дифференциального и интегрального исчисления , 107.
Walter Burton Ford, Первый курс дифференциального и интегрального исчисления , 105.
Резюме хорошего экономиста
Резюме хорошего экономиста
Хорошее резюме экономиста — Bassotronics bass i love you 320 kbps
Примеры резюме Обзор резюме Ваше резюме — это краткое изложение вашего образования, работы, опыта стажировки, навыков, волонтерского опыта и исследовательского опыта.Создайте исходный документ в Microsoft Word и избегайте использования шаблонов. Работодатели рассматривают резюме менее одной минуты, поэтому убедитесь, что ваше резюме сосредоточено на ваших соответствующих навыках. Наиболее успешные резюме Economist подчеркивают экономический опыт, аналитическое мышление, исследовательские навыки, коммуникативные способности и компьютерные навыки. Диплом по экономике — это обычный опыт работы с большинством примеров резюме на эту должность. Для получения дополнительной информации о том, что нужно, чтобы стать экономистом, ознакомьтесь с полным описанием вакансии экономиста.4,6 / 5 (). Примеры и образцы резюме экономиста-исследователя мировой экономики. Хорошее знание эмпирических методов и умение использовать Eviews. Сильные способности четко общаться как в письменной работе, так и в устных презентациях. 3 Директор, Экономика здравоохранения Результаты исследования результатов Примеры резюме &. Достижение должности экономиста в известной организации может оказаться сложной задачей. Приведенный выше пример резюме экономиста поможет соискателю написать хорошее резюме, которое одновременно является кратким и убедительным.При необходимости можно внести изменения в приведенный выше пример. Главный экономист, Юго-Восточная Азия и Индия Примеры резюме и образцы Обширный многолетний опыт работы в качестве экономиста в финансовом или экономическом учреждении, определяющем политику. Высокая степень знания азиатской экономики и политической среды. Опытный экономист. Готов к немедленной работе. Отличные профессиональные навыки. Хорошие отношения с сотрудниками. РЕЗЮМЕ: Институт экономических исследований больших городов, экономист по большим городам, специализирующийся на статистике, отражающей потребление товаров и услуг.Leadwell Economic Institute, Inc., дипломированный экономист в маленьком городке с обширным опытом в области здравоохранения и образования. Квалифицированный профессионал с непревзойденным критическим мышлением, стратегическим планированием и навыками межличностного общения. Адепт налаживания продуктивных отраслевых отношений для углубления понимания. Резюме экономиста Находчивый, целеустремленный выпускник факультета экономики с обширным пониманием экономической теории с опытом выполнения статистической, аналитической и бухгалтерской работы; при работе в команде с сжатыми сроками.Резюме — это письменное резюме, в котором подчеркивается ваше образование, опыт, навыки и другая важная информация. Основная цель резюме — дать вам интервью. Работодатели часто просматривают резюме очень быстро. Поэтому обязательно, чтобы размер вашего резюме: КБ. Образец резюме экономиста, увлеченного решением сложных проектов, включающих разработку продуктов, ценообразование, моделирование, резервирование, тестирование прибыли и финансовую отчетность в поддержку ключевых бизнес-целей организации.Примеры резюме аналитика прогнозирования. Аналитики прогнозирования несут ответственность за анализ рыночных тенденций, чтобы делать прогнозы для деловых целей. Хорошо составленный пример резюме для аналитика прогнозирования должен упоминать такие обязанности, как написание и предоставление отчетов, проведение исследований, помощь в принятии решений, обновление их методологий и участие в образовательных возможностях для обновления работы. Кандидат наук. Имеет степень бакалавра экономики (или смежной области) с хорошим академическим образованием в области макроэкономики и статистических процедур Минимум 2 года опыта работы в области экономики или смежной области Продемонстрированная способность выполнять сложный экономический анализ и готовить письменные отчеты о выводах Граждане Швейцарии, граждане Европы, C, B или Владелец разрешения G. Экономист-исследователь по мировой экономике Примеры и образцы резюме Дипломная степень по экономике или статистике / эконометрике или эквивалентное Хорошее знание эмпирических методов и умение использовать Eviews. Наиболее успешные резюме Economist подчеркивают экономический опыт, аналитическое мышление, исследовательские навыки, коммуникативные способности и компьютерные навыки. Диплом по экономике — это обычный опыт работы с большинством примеров резюме на эту должность. Для получения дополнительной информации о том, что нужно, чтобы стать экономистом, ознакомьтесь с полным описанием вакансии экономиста.Ассистент по исследованиям в области экономики здравоохранения, Бизнес-школа Слоуна. 20XX • Разработана, создана и протестирована стратегическая модель для фармацевтической промышленности, которая анализирует безопасность, эффективность и экономичность для прогнозирования (до клинических испытаний), какие лекарства будут иметь успех на рынке. Раннее устранение. Создание резюме с «результатами» Резюме — это письменное резюме, в котором подчеркивается ваше образование, опыт, навыки и другая важная информация. Основная цель резюме — дать вам интервью. Работодатели часто просматривают резюме очень быстро.Поэтому обязательно, чтобы ваше резюме выглядело профессионально и динамично. Ваше имя. Профессиональный обзор. Опытный экономист с обширным опытом в области здравоохранения и образования. Квалифицированный профессионал с непревзойденным критическим мышлением, стратегическим планированием и навыками межличностного общения. Мастер налаживания продуктивных отношений с отраслью, чтобы лучше понять экономические последствия и будущие действия. Опыт работы экономистом со специализацией в области финансов и опытом в области математики / вероятности / статистики.Заметный практический опыт и успехи в применении навыков моделирования к передовым исследовательским задачам в области инвестиций, анализа портфеля и ценообразования активов. Области интересов и экспертизы.
Теги: скачать резюме хорошего экономиста, хорошее резюме экономиста на зарядном устройстве, хорошее резюме экономиста скачать, хорошее резюме экономиста скачать, хороший экономист резюме herunterladen, хороший экономист резюме baixar
Хорошее резюме экономиста
Резюме хорошего экономиста — Квант утешения в хорошем качестве hd
-> Альтернативная история про книги вов -> Видеодрайвер hd 5670 -> Песни и мальмстин -> Решебники 8 класс Алгебра Мордкович -> Ocx control