Алгебра 7 класс контрольные вопросы: ГДЗ учебник по алгебрее 7 класс Макарычев. § 1. Контрольные вопросы и задания. Номер №2

ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Феоктистов

Алгебра 7 класс

Учебник (Углубленный уровень)

Макарычев, Миндюк, Нешков, Феоктистов

Мнемозина

Любое средство безопасно, пока его применяют правильно. Есть школьники, которые предпочитают вместо получения качественных знаний проявить безалаберность и просто списать доступные решения по задачам. Во многом это зависит от родителей, которые скорее всего предоставили своему чаду возможность делать все, что тот захочет. А так как дети до ужаса взаимны, то и они тоже начинают наплевательски относиться к процессу обучения. Необходимо донести до учащихся такую простую мысль, что решебник к учебнику «Алгебра 7 класс (углубленный уровень)» Макарычев, Миндюк, Нешков — это не шпаргалка, а способ заполнить образовавшиеся в знаниях пробелы.

Что вошло в решебник

Более тысячи четырехсот упражнений распределены по тематическим разделам, что позволяет лучше усвоить ту или иную тему. В сборнике приведены так же и контрольные вопросы. Каждый номер в

ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев имеет хорошо проработанные решения, так что будут понятны даже тем, кто весьма далек от данной науки. Особенно издание полезно для родителей, которые хотят побыстрее проверить д/з своих отпрысков.

Плюсы его использования

Когда создавались пособия такого типа, то рассчитаны они были преимущественно на учителей, чтобы тем не приходилось до поздна сидеть над тетрадями школьников. Со временем родители тоже оценили прелесть такого способа проверки, так как теперь не надо вникать в особенности материала и ломать голову над ответами. А учитывая масштабность современной программы, многие школьники тоже стали прибегать к помощи решебника к учебнику «Алгебра 7 класс (углубленный уровень)» Макарычев.

Ведь он позволяет не только проявить подобие самостоятельности, но и через доскональны ответы понять принцип применения разнообразных правил. «Мнемозина», 2015 г.

ГДЗ: Алгебра 7 класс Макарычев, Миндюк

Алгебра 7 класс

Тип: Учебник

Авторы: Макарычев, Миндюк

Издательство: Мнемозина

Одна из ветвей математики, которая изучает общие свойства величин, а также действия над ними и решение уравнений носит название алгебра. В системе школьного образования этот предмет в старших классах занимает основное место. Алгебра развивает логическое и абстрактное мышление, учит анализировать и сопоставлять, сравнивать и делать выводы. Эти качества необходимы как для дальнейшего успешного освоения дисциплины в рамках школы, так и для профессионального обучения в высших учебных учреждениях.

Программа по алгебре

Начиная новый учебный год семиклассники познакомятся с понятиями многочлен и функция. Они изучат формулы, а также методы преобразования и разложения различных выражений на множители. Научатся строить график линейной функции, и освоят действия со степенями. Школьники научатся:

1. Правильно пользоваться алгебраической терминологией.
2. Строить графики линейной функции и объяснять их свойства.
3. Понимать алгоритм решения уравнений.
4. Выполнять вычислительные действия с рациональными числами.
5. Применять полученные знания на практике.

Дисциплина является отличным тренажёром для памяти, кроме этого она развивает важные личностные качества, которые пригодятся в жизни.

Чем поможет решебник

Изучать дисциплину очень сложно. Многие ребята не справляются с учебным материалом и это крайне негативно влияет на качество знаний и успеваемость. Поможет справиться с многочисленными трудностями «ГДЗ по Алгебре 7 класс Учебник Макарычев, Миндюк (Мнемозина)». Решебник имеет правильные и подробно расписанные онлайн-ответы абсолютно ко всем номерам учебного издания. С их помощью ученик сможет:

• проверить правильность домашней работы;
• проработать допущенные ошибки;
• заблаговременно подготовиться к предстоящему уроку;
• углубить и отработать пройденный материал.

Постоянное использование ГДЗ даст хорошие результаты в виде «отличных» оценок и высокого качества знаний, к тому же ученик всегда наилучшим образом будет подготовлен к любой самостоятельной в классе.

Характеристика учебника

К числу эффективных базовых изданий относится учебник по алгебре за 7 класс авторы Макарычев, Миндюк. Здесь представлены разнообразные упражнения на всю тематику учебного курса. Материал для запоминания выделен цветным фоном, а подробные примеры помогут лучше разобраться во всех предметных нюансах. Содержание пособия позволяет получить тот объём знаний, который предусмотрен учебными стандартами.

Гдз по алгебре 7 класс Макарычев, Миндюк учебник с ответами

Чем старше школьник, тем сложнее становится программа, особенно по такому предмету, как алгебра. Задания с каждым годом запутанней, а темы все глубже уходят в непонятные формулировки. Важно не ослаблять внимание и включаться в работу вовремя, иначе дальше станет еще тяжелее вникнуть и понять, как решается тот или иной пример или задача.

В начальной школе времени на «домашку» отводилось весьма немного, а на седьмом этапе обучения ученик может провести только за математикой несколько часов. На помощь в любое время дня и ночи придет онлайн-пособие по алгебре за 7 класс (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова).

Что же это такое: ГДЗ для 7 класса по алгебре Макарычева

Это онлайн-книжка, где даны не просто правильные ответы на какие-либо номера, а подробно описаны решения, как пришли к какому бы то ни было результату и их оформление по ФГОС.

Плюсы онлайн-пособия:

1. Если когда-то вдруг был пропущен урок, выучить тему всегда можно самостоятельно, разобрав теорию из руководства, а после, опираясь на ГДЗ, уже выполнить работу;
2. Номера просто находить по табличному указателю со страницами;
3. Все темы, которые включены в учебник, есть и в нашем решебнике;
4. Сайт поддерживает как версию на компьютере, так и мобильную версию;
5. Сайт с правильными ответами доступен 24/7.

Это незаменимая вещь для любого ребенка, дабы не ждать проверки от родителей или учителя. Также учебно-методический комплекс Макарычева по алгебре за седьмой класс 2015 года издательства «Просвещение» подойдет родителям, которые, уже забыв все правила и формулы, смогут быстро освежить материал в памяти и также легко проверить заданные на дом номера.

Что содержит задачник по алгебре за 7 класс Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова и С.Б. Суворовой

Как уже говорилось выше, все темы книги с точностью представлены в данном учебно-методическом комплексе, а именно:

1. Выражения. Тождества. Уравнения
2. Функции
3. Степень с натуральным показателем
4. Многочлены
5. Формулы сокращенного умножения
6. Системы линейных уравнений

Очень удобно, что все эти темы помещаются в вашем телефоне и необязательно носить с собой тяжелые книги. Также упражнения проверены лучшими специалистами и вопроса о неправильности решения каких-либо задач у вас не возникнет. Смело грызите гранит науки вместе с ГДЗ-онлайн.

ГДЗ Решебник Учебник (Углубленный уровень) Алгебра 7 класс Макарычев

Алгебра 7 классУчебник (Углубленный уровень)Макарычев, Миндюк, Нешков, Феоктистов«Мнемозина»

Классическая математика как школьная дисциплина подразделяется на два типа: алгебра

и геометрия. Несмотря на то, что алгебра усваивается учениками средней школы лучше, так как там господствуют в основном практические знания, предмет все равно вызывает множество вопросов и недопониманий — вот почему для учеников 7 класса был издан решебник к учебнику «Алгебра 7 класс Учебник (Углубленный уровень) Макарычев, Миндюк, Нешков, Феоктистов Мнемозина».

ГДЗ — это возможность для учащегося проверить свою работу раньше, чем она окажется у преподователя. Книга абсолютно не вызывает сомнений — она разработана в соответствии с учебным планом и разделами учебника.

Преимущества решебника

ГДЗ служит дополнением к школьным пособиям и всегда находится под рукой. Это несомненно удобно и для родителя — на проверку домашнего задания уходит гораздо меньше времени и сил, ведь теперь ребенок проверяет работу самостоятельно.

К положительным сторонам книги также можно отнести следующее:

• Доступное объяснение к решениям.
• Успеваемость ребенка возрастает за счет устранение пробелов при изучении предмета.
• Решебник воспитывает в ребенке самостоятельность, отныне ему не обязательно интересоваться мнением других при выполнении заданий и сомневаться в правильности ответов.

В чем заключается необходимость ГДЗ

Помимо ответов, книга содержит объяснения к решению заданий, которые поймут все ученики, несмотря на успеваемость и склад ума. Он прост в обращении как для учащихся, которые хорошо усваивают материал и хотят перестраховаться при получении ответов, так и для тех, для кого изучение алгебры кажется невыполнимой задачей.

Похожие ГДЗ Алгебра 7 класс

Задания:

Решение

Контрольные вопросы по геометрии 7 класс.

Контрольные вопросы к §1.

Основные свойства простейших геометрических фигур.

Вопрос 1. Приведите примеры геометрических фигур.
Ответ: Примеры геометрических фигур: треугольник, квадрат, окружность.

Вопрос 2. Назовите основные геометрические фигуры на плоскости.
Ответ: Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая.

Вопрос 3. Как обозначаются точки и прямые?
Ответ: Точки обозначаются прописными латинскими буквами: A, B, C, D, … . Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: a, b, c, d, … .
Прямую можно обозначать двумя точками, лежащими на ней. Например, прямую a на рисунке 4 можно обозначить AC, а прямую b можно обозначить BC. Рис.4

Вопрос 4. Сформулируйте основные свойства принадлежности точек и прямых.
Ответ: Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Вопрос 5. Объясните, что такое отрезок с концами в данных точках.
Ответ: Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными её точками. Эти точки называются концами отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов. Когда говорят или пишут: «отрезок AB», то подразумевают отрезок с концами в точках A и B.

Вопрос 6. Сформулируйте основное свойство расположения точек на прямой.

Ответ: Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Вопрос 7. Сформулируйте основные свойства измерения отрезков.
Ответ: Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
Вопрос 8. Что называется расстоянием между двумя данными точками?
Ответ: Длину отрезка AB называют расстоянием между точками A и B.
Вопрос 9. Какими свойствами обладает разбиение плоскости на две полуплоскости?
Ответ: Разбиение плоскости на две полуплоскости обладает следующим свойством. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

Вопрос 10. Сформулируйте основное свойство расположения точек относительно прямой на плоскости.
Ответ: Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Вопрос 11. Что такое полупрямая или луч? Какие полупрямые называются дополнительными?
Ответ: Полупрямой или лучом называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной её точки. Эта точка называется начальной точкой полупрямой. Различные полупрямые одной и той же прямой, имеющие общую начальную точку, называются дополнительными.

Вопрос 12. Как обозначаются полупрямые?
Ответ: Полупрямые, так же как и прямые, обозначаются строчными латинскими буквами.
Вопрос 13. Какая фигура называется углом?
Ответ: Углом называется фигура, которая состоит из точки — вершины угла — и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, — сторон угла.

Вопрос 14. Как обозначается угол?
Ответ: Угол обозначается либо указанием его вершины, либо указанием его сторон, либо указанием трёх точек: вершины и двух точек на сторонах угла. Слово «угол» иногда заменяют знаком.
Вопрос 15. Какой угол называется развёрнутым?
Ответ: Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется развёрнутым.

Вопрос 16. Объясните, что означает выражение: «Полупрямая проходит между сторонами угла”.
Ответ: Мы будем говорить, что луч проходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла.
Вопрос 17. В каких единицах измеряются углы и с помощью какого инструмента? Объясните, как проводится измерение.
Ответ: Углы измеряются в градусах при помощи транспортира.

Вопрос 18. Сформулируйте основные свойства измерения углов.
Ответ: Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
Вопрос 19. Сформулируйте основные свойства откладывания отрезков и углов.
Ответ: На любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
Вопрос 20. Что такое треугольник?
Ответ: Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами.

Вопрос 21. Что такое угол треугольника при данной вершине?
Ответ: Углом треугольника ABC при вершине A называется угол, образованный полупрямыми AB и AC. Так же определяются углы треугольника при вершинах B и C.

Вопрос 22. Какие отрезки называются равными?
Ответ: Отрезки называются равными, если их длины равны.
Вопрос 23. Какие углы называются равными?
Ответ: Углы называются равными, если их градусные меры равны.
Вопрос 24. Какие треугольники называются равными?
Ответ: Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон.
Вопрос 25. Как на рисунке отмечаются у равных треугольников соответствующие стороны и углы?
Ответ: На чертеже равные отрезки обычно отмечают одной, двумя или тремя чёрточками, а равные углы — одной, двумя или тремя дужками.

Вопрос 26. Объясните по рисунку 23 существование треугольника, равного данному.
Ответ: Пусть мы имеем треугольник ABC и луч a (рис. 23, а). Переместим треугольник ABC так, чтобы его вершина A совместилась с началом луча a, вершина B попала на луч a, а вершина C оказалась в заданной полуплоскости относительно луча a и его продолжения. Вершины нашего треугольника в этом новом положении обозначим A₁,B₁,C₁ (рис. 23, б).
Треугольник A₁B₁C₁ равен треугольнику ABC.
Вопрос 27. Какие прямые называются параллельными? Какой знак используется для обозначения параллельности прямых?
Ответ: Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются. Для обозначения параллельности прямых используется знак ||. а||b.

Вопрос 28. Сформулируйте основное свойство параллельных прямых.
Ответ: Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.
Вопрос 29. Приведите пример теоремы.
Ответ: Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон.

Контрольные вопросы к § 2. Смежные и вертикальные углы.

Вопрос 1. Какие углы называются смежными?
Ответ: Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
На рисунке 31 углы (a₁b) и (a₂b) смежные. У них сторона b общая, а стороны a₁ и a₂ являются дополнительными полупрямыми.

Вопрос 2. Докажите, что сумма смежных углов равна 180°.
Ответ:  Теорема 2.1. Сумма смежных углов равна 180°.
Доказательство. Пусть угол (a₁b) и угол (a₂b) — данные смежные углы (см. рис.31). Луч b проходит между сторонами a₁ и a₂ развёрнутого угла. Поэтому сумма углов (a₁b) и (a₂b) равна развёрнутому углу, т. е. 180°. Что и требовалось доказать.

Вопрос 3. Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.
Ответ:

Из теоремы 2.1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
Допустим, углы (a₁b) и (c₁d) равны. Нам нужно доказать, что углы (a₂b) и (c₂d) тоже равны. Сумма смежных углов равна 180°. Из этого следует, что a₁b + a₂b = 180° и c₁d + c₂d = 180°. Отсюда, a₂b = 180° — a₁b и c₂d = 180° — c₁d. Так как углы (a₁b) и (c₁d) равны, то мы получаем, что a₂b = 180° — a₁b = c₂d. По свойству транзитивности знака равенства следует, что a₂b = c₂d. Что и требовалось доказать.

Вопрос 4. Какой угол называется прямым (острым, тупым)?
Ответ: Угол, равный 90°, называется прямым углом. Угол, меньший 90°, называется острым углом. Угол, больший 90° и меньший 180°, называется тупым.

Вопрос 5. Докажите, что угол, смежный с прямым, есть прямой угол.
Ответ: Из теоремы о сумме смежных углов следует, что угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол: x + 90° = 180°,  x= 180° — 90°, x = 90°.

Вопрос 6. Какие углы называются вертикальными?
Ответ: Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.

Вопрос 7. Докажите, что вертикальные углы равны.
Ответ: Теорема 2.2. Вертикальные углы равны.
Доказательство. Пусть (a₁b₁) и (a₂b₂)- данные вертикальные углы (рис. 34). Угол (a₁b₂) является смежным с углом (a₁b₁) и с углом (a₂b₂). Отсюда по теореме о сумме смежных углов заключаем, что каждый из углов (a₁b₁) и (a₂b₂) дополняет угол (a₁b₂) до 180°, т.е. углы (a₁b₁) и (a₂b₂) равны. Что и требовалось доказать.

Вопрос 8. Докажите, что если при пересечении двух прямых один из углов прямой, то остальные три угла тоже прямые.
Ответ: Предположим, что прямые AB и CD пересекают друг друга в точке O. Предположим, что угол AOD равен 90°. Так как сумма смежных углов равна 180°, то получаем, что AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. Угол COB вертикален углу AOD, поэтому они равны. То есть угол COB = 90°. Угол COA вертикален углу BOD, поэтому они равны. То есть угол BOD = 90°. Таким образом, все углы равны 90°, то есть они все – прямые. Что и требовалось доказать.

Вопрос 9. Какие прямые называются перпендикулярными? Какой знак используется для обозначения  перпендикулярности прямых?
Ответ: Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Перпендикулярность прямых обозначается знаком ⊥.. Запись a⊥b читается: «Прямая a перпендикулярна прямой b».

Вопрос 10. Докажите, что через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Ответ: Теорема 2.3. Через каждую прямую можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Доказательство. Пусть a — данная прямая и A — данная точка на ней. Обозначим через a₁ одну из полупрямых прямой a с начальной точкой A (рис. 38). Отложим от полупрямой a₁ угол (a₁b₁), равный 90°. Тогда прямая, содержащая луч b₁, будет перпендикулярна прямой a.

Допустим, что существует другая прямая, тоже проходящая через точку A и перпендикулярная прямой a. Обозначим через c₁ полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом b₁. Углы (a₁b₁) и (a₁c₁), равные каждый 90°, отложены в одну полуплоскость от полупрямой a₁. Но от полупрямой a₁ в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90°. Поэтому не быть другой прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной прямой a. Теорема доказана.

Вопрос 11. Что такое перпендикуляр к прямой?
Ответ: Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра.

Вопрос 12. Объясните, в чём состоит доказательство от противного.
Ответ: Способ доказательства, который мы применили в теореме 2.3, называется доказательством от противного. Этот способ доказательства состоит в том, что мы сначала делаем предположение, противоположное тому, что утверждается теоремой. Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы и доказанные теоремы, приходим к выводу, противоречащему либо условию теоремы, либо одной из аксиом, либо доказанной ранее теореме. На этом основании заключаем, что наше предположение было неверным, а значит, верно утверждение теоремы.

Вопрос 13. Что называется биссектрисой угла?
Ответ: Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.

Контрольные вопросы к § 3. Признаки равенства треугольников.

Вопрос 1. Докажите первый признак равенства треугольников. Какие аксиомы используются при доказательстве теоремы 3.1?
Ответ: Первый признак равенства треугольников — Теорема 3.1. (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть у треугольников ABC и A₁B₁C₁ угол A= углу A₁, AB=A₁B₁, AC=A₁C₁(рис. 44). Рис. 44.
Докажем, что треугольники равны. Пусть A₁B₂C₂— треугольник, равный треугольнику ABC, с вершиной B₂ на луче A₁B₁ и вершиной C₂ в той же полуплоскости относительно прямой A₁B₁, где лежит вершина C₁ (рис. 45, а). Так как A₁B₁=A₁B₂, то вершина B₂ совпадает с вершиной B₁ (рис. 45, б). Так как угол B₁A₁C₁= углу B₂A₁C₂, то луч A₁C₂ совпадает с лучом A₁C₁ (рис. 45, в). Так как A₁C₁=A₁C₂, то вершина C₂ совпадает с вершиной C₁ (рис. 45, г).
Итак, треугольник A₁B₁C₁ совпадает с треугольником A₁B₂C₂, значит, равен треугольнику ABC. Теорема доказана.
В начале доказательства рисуют треугольник A₁B₂C₂ равный треугольнику ABC с вершиной B₂ на луче A₁B₁ и вершиной C₂ в той же полуплоскости относительно прямой A₁B₁, где лежит вершина C₁ (рис. 45, а). Такой треугольник существует по аксиоме о существовании треугольника, равного данному (каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой).
Затем утверждается совпадение вершин B₁ и B₂ на том основании, что A₁B₁ = A₁B₂. Здесь используется аксиома откладывания отрезков (на любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один).
Далее утверждается совпадение лучей A₁C₂ и A₁C₁ на том основании, что ∠B₂A₁C₁ = ∠B₂A₁C₂. Здесь используется аксиома откладывания углов (от любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один). Наконец, утверждается совпадение вершин C₁ и C₂, так как A₁C₁ = A₂C₂. Здесь снова используется аксиома откладывания отрезков (на любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один).
Итак, при доказательстве теоремы 3.1 используются аксиомы откладывания отрезков и углов и аксиома о существовании треугольника, равного данному.

Вопрос 2. Сформулируйте и докажите второй признак равенства треугольников.
Ответ: Второй признак равенства треугольников — Теорема 3.2 (признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и  прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть ABC и A₁B₁C₁ — два треугольника, у которых AB= A₁B₁, угол A= углу A₁ и угол B= углу B₁(рис. 47). Докажем, что треугольники равны.
Пусть A₁B₂C₂— треугольник, равный треугольнику ABC, с вершиной B₂ на луче A₁B₁ и вершиной C₂ в той же полуплоскости относительно прямой A₁B₁, где лежит вершина C₁.
Так как A₁B₂=A₁B₁, то вершина B₂ совпадает с вершиной B₁. Так как угол B₁A₁C₂= углу B₁A₁C₁ и угол A₁B₁C₂ = углу A₁B₁C₁, то луч A₁C₂ совпадает с лучом A₁C₁, а луч B₁C₂ совпадает с лучом B₁C₁. Отсюда следует, что вершина C₂ совпадает с вершиной C₁.
Итак, треугольник A₁B₁C₁ совпадает с треугольником A₁B₂C₂, а  значит, равен треугольнику ABC. Теорема доказана.

Вопрос 3. Какой треугольник называется равнобедренным? Какие стороны равнобедренного треугольника называются боковыми сторонами? Какая сторона называется основанием?
Ответ: Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.

Вопрос 4.  Докажите, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Ответ: Теорема 3.3 (свойство углов равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство. Пусть ABC- равнобедренный треугольник с основанием AB (рис. 48). Докажем, что у него угол A= углу B.

Треугольник CAB равен треугольнику CBA по первому признаку равенства треугольников. Действительно, CA= CB, CB= CA, угол C= углу C. Из равенства треугольников следует, что угол A= углу B. Теорема доказана.

Вопрос 5. Какой треугольник называется равносторонним?
Ответ: Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.

Вопрос 6. Докажите, что если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Ответ: Теорема 3.4 (признак равнобедренного треугольника). Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Доказательство. Пусть ABC – треугольник, в котором угол A= углу B (рис. 50). Докажем, что он равнобедренный с основанием AB.

Треугольник ABC равен треугольнику BAC по второму признаку равенства треугольников. Действительно, AB=BA, угол B= углу A, угол A= углу B. Из равенства треугольников следует, что AC= BC. Значит, по определению треугольник ABC равнобедренный. Теорема доказана.

Вопрос 7. Объясните, что такое обратная теорема. Приведите пример. Для всякой ли теоремы верна обратная?
Ответ: Теорема 3.4 называется обратной теореме 3.3. Заключение теоремы 3.3 является условием теоремы 3.4. А условие теоремы 3.3 является заключением теоремы 3.4. Не всякая теорема имеет обратную, то есть если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна. Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными.

Вопрос 8. Что такое высота треугольника?
Ответ: Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведённый из этой вершины к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника (рис. 51, а-б).

Вопрос 9. Что такое биссектриса треугольника?
Ответ: Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне  (рис. 52, а).

Вопрос 10. Что такое медиана треугольника?
Ответ: Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника (рис. 52, б).

Вопрос 11. Докажите, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.
Ответ: Теорема 3.5 (свойство медианы равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.
Доказательство. Пусть ABC – данный равнобедренный треугольник с основанием AB и CD – медиана, проведённая к основанию (рис. 53). Треугольники CAD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников. (У них стороны AC и BC равны, потому что треугольник ABC равнобедренный. Углы CAD и CBD равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Сторона AD и BD равны, потому что D – середина отрезка AB.)
Из  равенства треугольников следует равенство углов: угол ACD = углу BCD, угол ADC = углу BDC. Так как углы ACD и BCD равны, то CD – биссектриса. Так как углы ADC и BDC смежные и равны, то они прямые, поэтому CD – высота треугольника.

Вопрос 12.  Докажите третий признак равенства треугольников.
Ответ: Третий признак равенства треугольников — Теорема 3.6 (признак равенства треугольников по трём сторонам). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть ABC и A₁B₁C₁ – два треугольника, у которых AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, BC = B₁C₁(рис. 55). Требуется доказать, что треугольники равны.
Допустим, треугольники не равны. Тогда у них угол A не = углу A₁, угол B не = углу B₁, угол C не = углу C₁. Иначе они были бы равны по первому признаку.
Пусть A₁B₁C₂ – треугольник, равный треугольнику ABC, у которого вершина C₂ лежит в одной полуплоскости с вершиной C₁ относительно прямой A₁B₁ (см. рис. 55).
Пусть D – середина отрезка C₁C₂. Треугольники A₁C₁C₂  и B₁C₁C₂ – равнобедренные с общим основанием C₁C₂. Поэтому их медианы A₁D и B₁D являются высотами. Значит, прямые A₁D и B₁D перпендикулярны прямой C₁C₂. Прямые A₁D и B₁D не совпадают, так как точки A₁, B₁, D не лежат на одной прямой. Но через точку D прямой C₁C₂ можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

Контрольные вопросы к §4. Сумма углов треугольника.

Вопрос 1. Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Ответ: Теорема 4.1. Две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Доказательство. Пусть прямые a и b параллельны прямой c. Допустим, что a и b не параллельны (рис. 69). Тогда они не пересекаются в некоторой точке C. Значит, через точку C проходят две прямые, параллельные прямой c. Но это невозможно, так как через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Теорема доказана.

Вопрос 2. Объясните, какие углы называются внутренними односторонними. Какие углы называются внутренними накрест лежащими?
Ответ: Пары углов, которые образуются при пересечении прямых AB и CD секущей AC, имеют специальные названия.
Если точки B и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой AC, то углы BAC и DCA называются внутренними односторонними (рис. 71, а).
Если точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC, то углы BAC и DCA называются внутренними накрест лежащими (рис. 71, б).

Рис. 71

Вопрос 3. Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны, а сумма внутренних односторонних углов каждой пары равна 180°.
Ответ: Секущая AC образует с прямыми AB и CD две пары внутренних односторонних и две пары внутренних накрест лежащих углов. Внутренние накрест лежащие углы одной пары, например, угол 1 и угол 2, являются смежными внутренним накрест лежащим углам другой пары: угол 3 и угол 4 (рис. 72). Рис. 72

Поэтому если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны , то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны.
Пара внутренних накрест лежащих углов, например угол 1 и угол 2, и пара внутренних односторонних углов, например угол 2 и угол 3, имеют один угол общий – угол 2, а два других угла смежные: угол 1 и угол 3.
Поэтому если внутренние накрест лежащие углы равны, то сумма внутренних углов равна 180°. И обратно: если сумма внутренних накрест лежащих углов равна 180°, то внутренние накрест лежащие углы равны. Что и требовалось доказать.

Вопрос 4. Докажите признак параллельности прямых.
Ответ: Теорема 4.2 (признак параллельности прямых). Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Доказательство. Пусть прямые a и b образуют с секущей AB равные внутренние накрест лежащие углы (рис. 73, а). Допустим, прямые a и b не параллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке C (рис. 73, б). Рис. 73

Секущая AB разбивает плоскость на две полуплоскости. В одной из них лежит точка C. Построим треугольник BAC₁, равный треугольнику ABC, с вершиной C₁ в другой полуплоскости. По условию внутренние накрест лежащие углы при параллельных a, b и секущей AB равны. Так как соответствующие углы треугольников ABC и BAC₁ с вершинами A и B равны, то они совпадают с внутренними накрест лежащими углами. Значит, прямая AC₁ совпадает с прямой a, а прямая BC₁ совпадает с прямой b. Получается, что через точки C и C₁ проходят две различные прямые a и b. А это невозможно. Значит, прямые a и b параллельны.
Если у прямых a и b и секущей AB сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то, как мы знаем, внутренние накрест лежащие углы равны. Значит, по доказанному выше, прямые a и b параллельны. Теорема доказана.

Вопрос 5. Объясните, какие углы называются соответственными. Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то соответственные углы тоже равны, и наоборот.

Ответ: Если у пары внутренних накрест лежащих углов один угол заменить вертикальным ему, то получится пара углов, которые называются соответственными углами данных прямых с секущей. Что и требовалось объяснить.
Из равенства внутренних накрест лежащих углов следует равенство соответственных углов, и наоборот. Допустим, у нас есть две параллельные прямые (так как по условию внутренние накрест лежащие углы равны) и секущая, которые образуют углы 1, 2, 3. Углы 1 и 2 равны как внутренние накрест лежащие. А углы 2 и 3 равны как вертикальные. Получаем: ∠1 = ∠2 и ∠2 = ∠3. По свойству транзитивности знака равенства следует, что ∠1 = ∠3.

3. Аналогично доказывается и обратное утверждение.
Отсюда получается признак параллельности прямых по соответственным углам. Именно: прямые параллельны, если соответственные углы равны. Что и требовалось доказать.

Вопрос 6. Докажите, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую. Сколько прямых, параллельных данной, можно провести через точку, не лежащую на этой прямой?

Ответ: Задача (8). Даны прямая AB и точка C, не лежащая на этой прямой. Докажите, что через точку C можно провести прямую, параллельную прямой AB.
Решение. Прямая AC разбивает плоскость на две полуплоскости (рис. 75). Точка B лежит в одной из них. Отложим от полупрямой CA в другую полуплоскость угол ACD, равный углу CAB. Тогда прямые AB и CD будут параллельны. В самом деле, для этих прямых и секущей AC углы BAC и DCA внутренние накрест лежащие. А так как они равны, то прямые AB и CD параллельны. Что и требовалось доказать. Сопоставляя утверждение задачи 8 и аксиомы IX (основного свойства параллельных прямых), приходим к важному выводу: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и только одну.

Вопрос 7. Докажите, что если две прямые пересекаются третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Ответ: Теорема 4.3 (обратная теореме 4.2). Если две параллельные прямые пересекаются третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
Доказательство. Пусть a и b – параллельные прямые и c – прямая, пересекающая их в точках A и B. Проведём через точку A прямую a₁ так, чтобы внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей c с прямыми a₁ и b, были равны (рис. 76). По признаку параллельности прямых прямые a₁ и b параллельны. А так как через точку A проходит только одна прямая, параллельная прямой b, то прямая a совпадает с прямой a₁. Значит, внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей с  параллельными прямыми a и b, равны. Теорема доказана.

Вопрос 8. Докажите, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Если прямая перпендикулярна одной из двух  параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Ответ: Из теоремы 4.2 следует, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.
Предположим, что две какие-либо прямые перпендикулярны третьей прямой. Значит, эти прямые пересекаются с третьей прямой под углом, равным 90°. Из свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, следует, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Вопрос 9. Докажите, что сумма углов треугольника равна 180°.

Ответ: Теорема 4.4. Сумма углов треугольника равна 180°.
Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник. Проведём через вершину B прямую, параллельную прямой AC. Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой BC (рис. 78). Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и C равна углу ABD.
А сумма всех трёх углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD и секущей AB, то их сумма равна 180°. Теорема доказана.

Вопрос 10. Докажите, что у любого треугольника по крайней мере два угла острые.
Ответ: Действительно, допустим, что у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов. Тогда у этого треугольника есть два угла, каждый из которых не меньше 90°. Сумма этих двух углов уже не меньше 180°. А это невозможно, так как сумма всех углов треугольника равна 180°. Что и требовалось доказать.

Вопрос 11. Что такое внешний угол треугольника?
Ответ: Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине (рис. 79).

Вопрос 12. Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Ответ: Теорема 4.5. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник (рис. 80). По теореме о сумме углов треугольника    ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Отсюда следует, что ∠A + ∠B = 180° — ∠C. В правой части этого равенства стоит градусная мера внешнего угла треугольника при вершине C. Теорема доказана.

Вопрос 13. Докажите, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
Ответ: Из теоремы 4.5 следует, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Вопрос 14. Какой треугольник называется прямоугольным?
Ответ: Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.

Вопрос 15. Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника?
Ответ: Так как сумма углов треугольника равна 180°, то у прямоугольного треугольника только один прямой угол. Два других угла прямоугольного треугольника острые. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 180° — 90° = 90°.

Вопрос 16. Какая сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой? Какие стороны называются катетами?

Ответ: Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами (рис. 82).

Вопрос 17. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.

Ответ: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны.

Вопрос 18. Докажите, что из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.

Ответ: Теорема 4.6. Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.
Доказательство. Пусть a – данная прямая и A – не лежащая на ней точка (рис. 85). Проведём через какую – нибудь точку прямой a перпендикулярную прямую. А теперь проведём через точку A параллельную ей прямую b. Она будет перпендикулярна прямой a, так как прямая a, будучи перпендикулярна одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Отрезок AB прямой b и есть перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой a.
Докажем единственность перпендикуляра AB. Допустим, существует другой перпендикуляр AC. Тогда у треугольника ABC будут два прямых угла. А это, как мы знаем, невозможно. Теорема доказана.

Вопрос 19. Что называется расстоянием от точки до прямой?
Ответ: Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, называется расстоянием от точки до прямой.

Вопрос 20. Объясните, что такое расстояние между параллельными прямыми.
Ответ: Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от какой – нибудь точки одной прямой до другой прямой.

Контрольные вопросы к §5. Геометрические построения.

Вопрос 1. Что такое окружность, центр окружности, радиус?
Ответ: Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Эта точка называется центром окружности. Расстояние от точек окружности до её центра называется радиусом. Радиусом называется также любой отрезок, соединяющий точку окружности с её центром.

Вопрос 2. Что такое хорда окружности? Какая хорда называется диаметром?
Ответ: Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром.

Вопрос 3. Какая окружность называется описанной около треугольника?
Ответ: Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Вопрос 4. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Ответ: Теорема 5.1. Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых через середины этих сторон.
Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник и O – центр описанной около него окружности (рис. 93). Треугольник AOC равнобедренный: у него стороны OA и OC равны как радиусы. Медиана OD этого треугольника одновременно является его высотой. Поэтому центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне AC и проходящей через её середину. Точно так же доказывается, что центр окружности лежит на перпендикулярах к двум другим сторонам треугольника. Теорема доказана.

Вопрос 5. Какая прямая называется касательной к окружности?
Ответ: Прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту точку, называется касательной. При этом данная точка окружности называется точкой касания.

Вопрос 6. Что значит: окружности касаются в данной точке?
Ответ: Говорят, что две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в этой точке общую касательную (рис. 97).

Вопрос 7. Какое касание окружностей называется внешним, какое – внутренним?
Ответ: Касание окружностей называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от их общей касательной (рис. 97, а). Касание окружностей называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от их общей касательной (рис. 97, б).

Вопрос 8. Какая окружность называется вписанной в треугольник?
Ответ: Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Вопрос 9. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.
Ответ: Теорема 5.2. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.
Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник, O – центр вписанной в него окружности, D, E и F – точки касания окружности со сторонами (рис. 98). Прямоугольные треугольники AOD и AOE равны по гипотенузе и катету. У них гипотенуза AO общая, а катеты OD и OE равны как радиусы. Из равенства треугольников следует равенство углов OAD и OAE. А это значит, что точка O лежит на биссектрисе треугольника, проведённой из вершины A. Точно так же доказывается, что точка O лежит на двух других биссектрисах треугольника. Теорема доказана.

Вопрос 10. Объясните, как построить треугольник по трём сторонам.
Ответ: Задача 5.1. Построить треугольник с данными сторонами a, b, c (рис. 99, а).
Решение. С помощью линейки проводим произвольную прямую и отмечаем на ней произвольную точку B (рис. 99, б). Раствором циркуля, равным a, описываем окружность с центром B и радиусом a. Пусть C – точка её пересечения с прямой. Теперь раствором циркуля, равным c, описываем окружность из центра B, а раствором циркуля, равным b, описываем окружность из центра C. Пусть A – точка пересечения этих окружностей. Проведём отрезки AB и AC. Треугольник ABC имеет стороны, равные a, b, c. Что и требовалось объяснить.

Вопрос 11. Объясните, как отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу.
Ответ: Задача 5.2. Отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу.
Решение. Проведём произвольную окружность с центром в вершине A данного угла (рис.100,а). Пусть B и C – точки пересечения окружности со сторонами угла. Радиусом AB проведём окружность с центром в точке O – начальной точке данной полупрямой (рис.100,б). Точку пересечения этой окружности с данной полупрямой обозначим B₁. Опишем окружность с центром B₁  и радиусом BC. Точка C₁ пересечения построенных окружностей в указанной полуплоскости лежит на стороне искомого угла. Для доказательства достаточно заметить, что треугольники ABC и OB₁C₁ равны как треугольники с соответственно равными сторонами. Углы A и O являются соответствующими углами этих треугольников. Что и требовалось объяснить.

Вопрос 12. Объясните, как разделить данный угол пополам.
Ответ: Задача 5.3. Построить биссектрису данного угла.
Решение. Из вершины A данного угла как из центра описываем окружность произвольного радиуса (рис. 101). Пусть B и C – точки её пересечения со сторонами угла. Из точек B и C тем же радиусом описываем окружности. Пусть D – точка их пересечения, отличная от A. Проводим полупрямую AD. Луч AD является биссектрисой, так как делит угол BAC пополам. Это следует из равенства треугольников ABD и ACD, у которых углы DAB и DAC являются соответствующими. Что и требовалось объяснить.

Вопрос 13. Объясните, как разделить отрезок пополам.
Ответ: Задача 5.4. Разделить отрезок пополам.
Решение. Пусть AB – данный отрезок (рис. 102). Из точек A и B радиусом AB описываем окружности. Пусть C и C₁ – точки пересечения этих окружностей. Они лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AB. Отрезок CC₁ пересекает прямую AB в некоторой точке O. Эта точка есть середина отрезка AB. Действительно, треугольники CAC₁ и CBC₁ равны по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда следует равенство углов ACO и BCO. Треугольники ACO и BCO равны по первому признаку равенства треугольников. Стороны AO и BO этих треугольников являются соответствующими, а поэтому они равны. Таким образом, O – середина отрезка AB. Что и требовалось объяснить.

Вопрос 14. Объясните, как через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой.
Ответ: Задача 5.5. Через данную точку O провести прямую, перпендикулярную данной прямой a.
Решение. Возможны два случая:
1) точка O лежит на прямой a;
2) точка O не лежит на прямой a.
Рассмотрим первый случай (рис. 103).
Из точки O проводим произвольным радиусом окружность. Она пересекает прямую a в двух точках: A и B. Из точек A и B проводим окружности радиусом AB. Пусть C – точка их пересечения. Искомая прямая проходит через точки O и C.
Перпендикулярность прямых OC и AB следует из равенства углов при вершине O треугольников ACO и BCO. Эти треугольники раны по третьему признаку равенства треугольников.
Рассмотрим второй случай (рис. 104).
Из точки O проводим окружность, пересекающую прямую a. Из точек A и B тем же радиусом проводим окружности. Пусть O1 – точка их пересечения, лежащая в полуплоскости, отличной от той, в которой лежит точка O. Искомая прямая проходит через точки O и O1. Докажем это.
Обозначим через C точку пересечения прямых AB и OO1. Треугольники AOB и AO1B равны по третьему признаку. Поэтому угол OAC равен углу O1AC. А тогда треугольники OAC и O1AC равны по первому признаку. Значит, их углы ACO и ACO1 равны. А так как они смежные, то они прямые. Таким образом, OC – перпендикуляр, опущенный из точки O на прямую a. Что и требовалось объяснить.

Вопрос 15. Что представляет собой геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек?
Ответ: Теорема 5.3. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину.
Доказательство. Пусть A и B – данные точки, a – прямая, проходящая через середину O отрезка AB перпендикулярно к нему (рис. 105). Мы должны доказать, что:
1) Каждая точка прямой a равноудалена от точек A и B;
2) Каждая точка D плоскости, равноудаленная от точек A и B, лежит на прямой a.
То, что каждая точка C прямой a находится на одинаковом расстоянии от точек A и B, следует из равенства треугольников AOC и BOC. У этих треугольников углы при вершине O прямые, сторона OC общая, а AO=OB, так как O – середина отрезка AB.
Покажем теперь, что каждая точка D плоскости, равноудаленная от точек A и B, лежит на прямой a. Рассмотрим треугольник ADB. Он равнобедренный, так как AD=BD. В нем DO – медиана. По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведенная к основанию, является высотой. Значит, точка D лежит на прямой a. Теорема доказана.

  Поиск Поиск

• Школьный помощник
  • математика 5 класс
  • математика 6 класс
  • алгебра 7 класс
  • алгебра 8 класс
  • геометрия 7 класс
  • русский язык 5 класс
  • русский язык 6 класс
  • русский язык 7 класс
• математика
• алгебра
• геометрия
• русский язык

«»

следующая предыдущая вернуться на предыдущую страницу

Такой страницы нет !!!

• Популярные запросы
  • Обстоятельство
  • Дополнение
  • Определение
  • Деление дробей
  • Русский язык 7 класс
  • Математика 6 класс
  • Русский язык 6 класс
  • Русский язык 5 класс
  • Алгебра 7 класс
  • Математика 5 класс
  • Алгебра 8 класс
  • Наименьшее общее кратное
  • Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа
  • Буквы о и а в корнях -кос- / -кас-; -гор- / — гар-; -клан- / -клон-; -зар- / -зор-
  • Буквы о и а в корнях -кос- / -кас-; -гор- / — гар-; -клан- / -клон-; -зар- / -зор-
  • Деление и дроби
  • Доли. Обыкновенные дроби
  • Квадратный корень из неотрицательного числа
  • Окружность и круг
  • Антонимы. Синонимы
  • Десятичная запись дробных чисел
  • Буквы о – а в корнях -лаг- / -лож-, -рос- / -раст- (-ращ-)

ГДЗ по алгебре для 7 класса Муравин

В седьмой год начинается исследование алгебры. Это часть математики, фундамент которой был заложен ещё в IX веке в странах Арабского Востока. Означает это слово — восстановление и состоит из решения задач, сводящихся к выполнению алгебраических уравнений. В современном направлении преподаётся общая теория. Изначальное изучение нацеленно на обучение навыкам математического языка, изучаются понятия функции, осваиваются степени с натуральными числами. Дисциплина составлена в основном из формул, которые следует просто запомнить и научиться грамотно их применять при вычислении той или иной задачки. А это возможно, если перед глазами будут постоянно правильно выполненные упражнения, отражающие изучаемую информацию. Вот таким справочником, для успешного понимания, является ГДЗ по алгебре 7 класс авторы: Г.К. Муравин, К.С. Муравин, О.В. Муравина. Именно с его помощью ученик сможет быстро научиться решать уравнения, определять линейную функцию и строить графики, преобразовывать произведения одночлена и многочлена, узнает, что такое равновероятные возможности.

Пользоваться этим пособием необходимо каждому семикласснику, дабы избежать проблемы с предметом, как при сдаче экзамена, так и при освоении следующего материала. Всё дело в том, что, не поняв основы, не поймёшь и более сложные темы. Использование такой литературы, как онлайн решебник содержит в себе только верные ответы и при выполнении домашнего задания, поможет школьнику экономить не только время, но и нервную систему, даже простое списывание оставляет нужную информацию в голове. Но, а как ему поступать, это каждый учащийся выбирает сам, что и есть проявлять силу воли и гибкость ума.

ГДЗ к рабочей тетради по алгебре за 7 класс Муравин Г.К. можно посмотреть здесь.

вопросов и задач по алгебре для 7 класса

Задачи и вопросы по алгебре 7 класса представлены с подробными решениями. Включены вопросы по упрощению выражений, решению уравнений, факторингу выражений и т. Д.

1. Оцените каждое из выражений для данного значения (значений) переменной (ей).
   1. 12 x ³ + 5 x ² + 4 x — 6 для x = -1
   2. 2 a ² + 3b ³ — 10 для a = 2 и b = -2
   3. (- 2 x — 1) / (x + 3) для x = 2
   4. 2 + 2 | x — 4 | для x = — 4
2. Разверните и упростите каждое из приведенных ниже выражений.
   1. — 2 (x — 8) + 3 (x — 7)
   2. 2 (a + 1) + 5b + 3 (a + b) + 3
   3. a (b + 3) + b (a — 2) + 2 a — 5 b + 8
   4. (1/2) (4x + 4) + (1/3) (6x + 12)
   5. 4 (- x + 2-3 (x — 2))
3. Упростите каждое из приведенных ниже выражений.
   1. x / y + 4 / y
   2. (2 x / 4) (1/2)
   3. (3 x / 5) (x / 5)
4. Упростите каждое из приведенных ниже выражений.
   1. 3 x ² 5 x ³
   2. [(2 y) ⁴ 9 x ³ ] [4 y ⁴ (3 x) ² ]
5. Фактор для каждого из выражения ниже.
   1. 9 x — 3
   2. 24 x + 18 y
   3. b x + d x
6. Решите каждое из приведенных ниже уравнений и проверьте свой ответ.
   1. 2 x + 5 = 11
   2. 3 x = 6/5
   3. 3 (2 x + 2) + 2 = 20
7. Перепишите выражения 3 a a a — 5 b b, используя экспоненту.
8. Прямоугольник имеет длину 2 x + 3 единицы, где x — переменная. Ширина прямоугольника равна x + 1 единицам. Найдите значение x, если периметр прямоугольника равен 32.
9. Прямоугольник имеет длину 2x — 1 единиц, где x — переменная. Ширина прямоугольника равна 3 единицам. Найдите значение x, если площадь прямоугольника равна 27.
10. 45% учеников в школе — мужчины? Найдите отношение количества девочек к общему количеству учеников мужского пола в этой школе.
11. Автомобиль едет со скоростью x + 30 километров за час, где x неизвестно. Найти x, если эта машина преодолевает 300 километров за 3 часа?
12. Решите пропорцию: 4/5 = a / 16
13. Найдите a, если упорядоченная пара (2, a + 2) является решением уравнения 2 x + 2 y = 10?
14. Найдите наибольший общий делитель чисел 25 и 45.
15. Напишите число «один миллиард двести тридцать четыре миллиона семьсот пятьдесят тысяч два», используя цифры.
16. Напишите прописью число 393 234 000 034.
17. Найдите наименьшее общее кратное чисел 15 и 35.
18. Найдите x, если 2/3 x равно 30?
19. Что такое 20% от 1/3?
20. Порядок 12/5, 250%, 21/10 и 2.3 от наименьшего к наибольшему.
21. Сумма трех последовательных положительных целых чисел равна 96. Найдите наибольшее из этих чисел.
22. Дэни набрал 93 балла по физике, 88 баллов по математике и результат по химии, который вдвое превышает его балл по географии. Средний балл по всем 4 курсам — 79. Какие у него были баллы по химии и географии?
23. Линда набрала 265 баллов по математике, физике и английскому языку. По математике она набрала на 7 баллов больше, чем по английскому, а по физике на 5 баллов больше, чем по математике. Найдите ее баллы по всем трем предметам.
24. На стоянке есть велосипеды и автомобили.Всего имеется 300 колес, в том числе 100 маленьких колес для велосипедов. Сколько машин и велосипедов?
25. Разница между двумя числами равна 17, а их сумма равна 69. Найдите наибольшее из этих двух чисел.

Больше математики в средней школе (6, 7, 8, 9 классы) — бесплатные вопросы и задачи с ответами
Больше математики в средней школе (10, 11 и 12 классы) — бесплатные вопросы и задачи с ответами
Больше начальной математики (4 классы и 5) с бесплатными вопросами и проблемами с ответами
Автор — электронная почта
Домашняя страница сообщить об этом объявлении

Smarter Balanced Assessments — Math Grade 7: Test Prep & Practice Course — Online Video Lessons

Об этом курсе

Подготовка к экзамену по математике для седьмого класса стала простой благодаря этим видеоурокам, за которыми следуют короткие викторины, предназначенные для самооценки.Эти уроки охватывают весь спектр математики, позволяя ученику повторять предметы, изучаемые в школе, и уделять еще больше времени концепциям, которые могут быть более сложными. Комплексные уроки охватывают различные сегменты математики, охваченные экзаменом, в том числе:

• Основные арифметические и математические рассуждения
• Дроби, десятичные знаки и проценты
• Неравенство и факторинг
• Алгебраические выражения
• Линии и углы
• Периметр и площадь
• Графики
• Статистика и вероятность

Об экзамене

Этот итоговый экзамен по математике Smarter Balanced Assessations был разработан для оценки способностей семиклассников во всех областях математики.Этот специальный компьютерный тест был создан с использованием концепции, называемой доказательно-ориентированным дизайном (ECD), которая измеряет, что студенты должны знать по данному предмету на определенных этапах своей академической карьеры. Этот метод дополняет более широкую цель, заключающуюся в проверке того, что каждый учащийся изучает все надлежащие материалы, требуемые в соответствии с Общими основными государственными стандартами образования.

Подготовка и регистрация для более разумного сбалансированного оценивания — экзамен для 7-го класса по математике

Это учебное пособие поможет любому ученику подготовиться к экзамену по математике Smarter Balanced в седьмом классе.На каждом уроке исследуется определенная часть математики, которая напрямую связана с концепциями, которые будут найдены в тесте. Разделение уроков позволяет студенту просмотреть все элементы теста и потратить дополнительное время на работу с любой проблемной формулой или математическим процессом. Существуют тесты для конкретных уроков, которые учителя и ученики могут использовать, чтобы оценить понимание материала урока и увидеть, на что следует обратить внимание во время учебы.

Экзамен Smarter Balanced следует определенной структуре тестирования, разработанной для проверки способностей учащихся, соответствующих принятым академическим стандартам штата Common Core.Весной учащиеся сдают экзамен по математике Smarter Balanced на необходимом уровне в школе. Этот способ тестирования обеспечивает информированную обратную связь с родителями, учителями и учениками относительно успеваемости.

Оценка умных сбалансированных оценок — экзамен для 7-го класса по математике

Экзамен по математике Smarter Balanced для семиклассников будет тестировать учащихся с использованием различных методов и давать общий балл, отражающий успеваемость. Наряду со стандартными вопросами с несколькими вариантами ответов могут быть вопросы, требующие более персонализированных ответов, а также вопросы, в которых используются компьютерные технологии.Весь экзамен продлится примерно три с половиной часа, хотя тест не предназначен для оценки учащихся по времени.

Этот экзамен Smarter Balanced призван дать сбалансированную оценку того, на каком уровне находится ваш ученик в отношении понимания математики в седьмом классе. Есть несколько различных областей, которые будут измеряться на протяжении всего теста, и они разделены на два метода оценки: компьютерное адаптивное тестирование (CAT), использующее компьютерные технологии для индивидуальной адаптации теста к успеваемости каждого учащегося, и рабочие задания (PT). предназначен для проверки учащихся на их знания, способности и навыки критического мышления для решения более сложных задач.

Концепции и процедуры

Количество вопросов: 19-20

Темы экзамена: Использование технологических инструментов, выполнение точных вычислений и эффективное использование математических структур.

Что вы узнаете: эти уроки позволят студентам попрактиковаться в процедурных навыках и концептуальном понимании, необходимых для достижения целей экзамена.

Решение проблем

Количество вопросов: 9 (Для целей экзамена вопросы, связанные с решением конкретных проблем и атрибутами моделирования и анализа данных, были объединены в один раздел.)

Темы экзаменов: использование математики в повседневных ситуациях, выбор подходящих инструментов, интерпретация результатов и определение важных величин в ситуациях.

Что вы узнаете: Студенты будут изучать чистую математику и контекстные задачи, связанные с конкретными методами решения проблем, как показано на тесте.

Обсуждение рассуждений

Количество вопросов: 8

Темы экзамена охвачены: проверка предположений, построение цепочек рассуждений, формулирование логических предположений, различение правильных и ошибочных рассуждений и обоснование аргументов на конкретных ориентирах.

Что вы узнаете: курс будет охватывать элементы построения и четкого представления логических, аргументированных и убедительных аргументов.

Моделирование и анализ данных

Количество вопросов: 9 (Для целей экзамена вопросы, связанные с решением конкретных проблем и атрибутами моделирования и анализа данных, были объединены в один раздел.)

Темы экзаменов: применение математики к проблемам повседневной жизни, построение цепочек рассуждений, формулирование логических предположений, интерпретация результатов и анализ адекватности существующих моделей.

Что вы узнаете: Студенты свяжут математические концепции, которые они выучили, с реальными сценариями, которые они увидят на экзамене.

Умный сбалансированный подход к оценке образования — относительно новая разработка. Таким образом, многие элементы экзамена, такие как определенные инструменты оценки или методы выставления оценок, ранее не использовались в качестве академических инструментов в широком масштабе. Учебный материал, включенный в этот курс, представляет собой исчерпывающее руководство по изучению и анализу математических предметов, которые будут представлены на этом экзамене.

Smarter Balanced Assessments является зарегистрированным товарным знаком Smarter Balanced Assessments Consortium, который не связан с Study.com.

заданий по математике для 7-х классов, задач, игр и многого другого!

Вы, вероятно, читаете это прямо сейчас в стрессе, разочаровании, истощении и т. Д., Потому что ваш 7 ^{-й ученик} класса испытывает трудности с четырехбуквенным словом «математика». Мы абсолютно понимаем, где вы сейчас находитесь, поэтому мы перечислили лучшие ресурсы для рабочих листов по математике для 7-го класса.

Не только это! Моя команда и я потратили десятки часов исследований, чтобы составить регулярно обновляемый пост обо всем, что вам нужно знать об уроках математики, играх и задачах для 7-го класса, доступных в Интернете в практическом и увлекательном формате.

Если вам нравится этот ресурс, пожалуйста, помогите поддержать нашу миссию, разместив ссылку на него на своем веб-сайте или поделившись им в социальных сетях. Это значило бы для нас весь мир!

7

^{-й учебный план по математике} классов и общепринятые стандарты математики

Как указано в основных стандартах.org:

В 7 классе учебное время должно быть сосредоточено на четырех критических областях:

(1) развитие понимания и применения пропорциональных отношений

(2) развитие понимания операций с рациональными числами и работа с выражениями и линейными уравнениями

(3 ) решение задач, связанных с масштабными чертежами и неформальными геометрическими конструкциями, а также работа с двух- и трехмерными формами для решения задач, связанных с площадью, площадью поверхности и объемом

(4), делая выводы о популяциях на основе выборок.

7 ^th Стандарты по математике Common Core класса 9

Общее ядро ​​разбивает математику 7-го класса на 5 разделов, как указано ниже. Щелкните ссылки, чтобы просмотреть дополнительную информацию о конкретном стандарте.

Соотношения и пропорциональные отношения

• Распознавать и отображать пропорциональные отношения между количествами.
• Используйте пропорциональные отношения для решения многоступенчатых соотношений и процентных задач. Примеры: простые проценты, налог, наценки и уценки, чаевые и комиссии, сборы, увеличение и уменьшение процентов, ошибка в процентах.

Система счисления

• Применяйте и расширяйте предыдущие представления о сложении и вычитании для сложения и вычитания рациональных чисел; представляют собой сложение и вычитание на горизонтальной или вертикальной числовой линейной диаграмме.
• Применяйте и расширяйте предыдущие представления об умножении, делении и дробях для умножения и деления рациональных чисел.
• Решайте реальные и математические задачи, выполняя четыре операции с рациональными числами.

Выражения и уравнения

• Используйте свойства операций для создания эквивалентных выражений.
• Решайте реальные и математические задачи, используя числовые и алгебраические выражения и уравнения.

Геометрия

• Нарисуйте конструкцию, опишите геометрические фигуры и отношения между ними.
• Решение реальных и математических задач, связанных с измерением угла, площади, площади поверхности и объема.

Статистика и вероятность

• Используйте случайную выборку, чтобы делать выводы о совокупности.
• Сделайте неформальные сравнительные выводы о двух популяциях.
• Исследуйте случайные процессы, а также разрабатывайте, используйте и оценивайте вероятностные модели.

Дополнительная программа по математике для 7-х классов

Ну вот и все! Все, что вам нужно знать, чтобы эффективно определять все общие основные математические стандарты и учебную программу 7-го класса.Пришло время научиться всему, что вам нужно знать о математике в 7-м классе.

Задания для печати по математике для 7-х классов

Math Blaster

Math Blaster предлагает рабочие листы для 7-х классов, основанные на том, чему учили в прошлых классах. Их цель — помочь детям попрактиковаться в математике и отточить свои навыки. Вот некоторые из тем, охватываемых рабочими листами, которые можно загрузить на их веб-сайте:

• Вычислить площадь поверхности
• Задачи в процентах
• Чертежи в масштабе
• Построение треугольников
• Умножение и деление рациональных чисел
• Сложение и вычитание целых чисел
• Объем куба
• Значение алгебраических выражений

.com

Все рабочие листы, загруженные в Algebra4children, находятся в формате pdf. Они охватывают широкий круг тем, а также у них есть игры, викторины, тесты и упражнения, которые помогут вашему ребенку стать экспертом в математике. Ниже приведены некоторые из тем, к которым они прикрепили рабочие листы:

• Теорема Фитагора
• Графики
• Данные
• Дроби
• Таблицы
• Алгебра
• Процент
• Отношения

Онлайн-обучение математике

Программа «Обучение математике онлайн» предназначена для студентов, которые ненавидят математику.Они раздают бесплатные полезные ресурсы, такие как викторины, игры, головоломки и другие интересные занятия, которые помогут детям получить удовольствие от своего ужасного предмета. Вот темы, включенные в рабочие листы для 7 класса:

• Вычисление выражений
• Деление десятичных частных
• Сложение целых чисел
• Задачи с дробными словами
• Имена многоугольников
• Объем твердых тел
• Наклон линии
• Площадь заштрихованных областей

9030 Рабочие таблицы по математике

Рабочие листы по математике для 7-го класса, разработанные Math Worksheets Land, призваны помочь учащимся научиться пользоваться выражениями и уравнениями.В рабочие листы также вводятся некоторые тригонометрические данные, статистика и вероятность. Вот уроки, которые они охватывают:

• Единицы измерения и отношения дробей
• Распознавание пропорциональных соотношений
• Константа пропорциональности
• Эквивалентные отношения
• Графики пропорциональных отношений
• Процентная погрешность и процент увеличения

Рабочие таблицы по математике для 4 детей

Все листы математики 7-го класса на Math Worksheets 4 Kids можно распечатать.Вы можете либо выбрать, какой рабочий лист загружать по каждой теме, либо вы можете загрузить и распечатать весь набор. На этом веб-сайте, который был запущен в 2009 году, теперь есть более 35 000 листов, из которых вы можете выбирать. Они включают не только математику 7-го класса, но и математику более высокого уровня. Вы можете выбрать рабочие листы по следующим темам:

• Соотношения и пропорции
• Рациональные числа
• Применения уравнений
• Выражения и уравнения
• Круг
• Площадь
• Статистика и вероятность
• Геометрические фигуры
• Объем и площадь поверхности
• Пары углов

Teachnology в первую очередь обслуживает учителей, которым нужны рабочие листы для своих учеников.Но нет ничего плохого в том, чтобы скачать ресурсы для личной практики. Создатели этого веб-сайта знают, что 7-й класс — критический год для математического образования учеников, потому что они медленно знакомятся с алгеброй и геометрией. Чтобы учащиеся чувствовали себя комфортно при решении основных уравнений, вот темы, охватываемые рабочими листами по математике для 7-го класса от Teachnology:

• Навыки на основе алгебры
• Навыки на основе геометрии
• Пропорции и соотношения
• Десятичные числа и проценты

Простая математика

В Effortless Math есть множество заданий по математике для 7-го класса, которые помогут вам практиковаться.Однако они пояснили, что никому не разрешается повторно загружать свои рабочие листы для любых целей после их загрузки. Вот то, над чем вы можете попрактиковаться, загрузив рабочие листы из Effortless Math:

• Дроби и десятичные дроби
• Действительные и целые числа
• Пропорции, отношения и проценты
• Алгебраическое выражение
• Уравнения и неравенства
• Линейные функции
• Показатели и радикалы
• Геометрия и твердые числа
• Статистика и вероятность
  Футуристическая математика

  Futuristic Math утверждает, что они тщательно составили свои рабочие листы по математике для 7-го класса, чтобы помочь ученикам проверить свои математические навыки.На второй странице своих рабочих листов они включили ключ ответа для упрощения проверки. Ниже приведены основные темы рабочих листов, которые вы можете скачать:

  • Разложение на множители
  • Линейные уравнения
  • Журналы
  • Порядок операций
  • Квадратичная формула
  Рабочие листы New Path

  New Path Worksheets — признанный издатель цифровых учебных ресурсов на основе исследований. Они следят за тем, чтобы при создании рабочих листов по математике для 7-го класса их разработчики контента использовали проверенный в классе принцип.Помимо рабочих листов, они также предоставляют учебное пособие для облегчения понимания уроков математики.

  • Алгебраические выражения
  • Десятичные операции
  • Применение процентов
  • Алгебраические неравенства
  • Операции с дробями
  • Объем поиска
  Scholastic Teachables

  Scholastic Teachables предлагает 200 заданий по математике для 7-х классов, на которых учащиеся могут практиковаться. Однако вам необходимо зарегистрироваться на их веб-сайте, чтобы получить доступ к этим ресурсам.Темы включают:

  • Алгебра
  • Средние
  • Анализ данных
  • Функции
  • Геометрия
  • неравенства
  Homeschool Math

  Homeschool Math предлагает более 30 рабочих листов для печати по математике в 7-м классе. Но подождите — проблемы генерируются случайным образом каждый раз, когда вы нажимаете на ссылку рабочего листа! Это означает, что у вас есть бесконечные задачи по математике в 7-м классе — бесплатно!

  Три основные темы, которые охватывает Homeschool Math:

  1. Введение в алгебру
  2. Целые числа
  3. Умножение и деление

  Каждый рабочий лист также включает ответы на каждый случайно сгенерированный вопрос, так что вы можете проверить свою работу (или работу своих учеников)! Никаких объяснений нет, но не всегда можно получить желаемое.

  Homeschool Math также предупреждает:

  Обратите внимание, что эти бесплатные рабочие листы не охватывают все темы 7-го класса; в первую очередь, они не включают решение проблем.

  Тем не менее, они по-прежнему ДЕЙСТВИТЕЛЬНО покрывают большинство тем, и у них есть бесконечные практические задачи по этим темам. Определенно больше победы, чем поражения!

  Math5Children Plus

  Ой, что это? Девяносто листов с заданиями по математике для 7-го класса, которые вы можете распечатать и заполнить в программе Math5Children Plus? Бесплатно?

  Эти PDF-файлы не могут обновляться автоматически, поэтому каждый рабочий лист можно использовать одноразово (по крайней мере, если вы студент, практикующий самостоятельно).

  Тем не менее, охватываемые темы включают порядок операций, многочлены, графики и таблицы данных, рациональные выражения, радикалы, линейные уравнения, комплексные числа, логарифмы, поиск значений и функций, квадратные уравнения и геометрию.

  Каждый рабочий лист также включает ключ ответа на отдельной странице, как и в Homeschool Math. Скачайте их, распечатайте и тренируйтесь!

  Помощь с математикой

  Хотите еще больше распечатываемых листов по математике в 7-м классе? Не ищите ничего, кроме помощи с математикой! С рабочими таблицами, охватывающими десятичные дроби, выражения, уравнения, геометрию, целые числа, проценты, отношения и статистику, у вас есть все материалы, которые вам понадобятся для любого сеанса проверки математики в 7-м классе.

  Кроме того, HARK! Эти рабочие листы ДЕЙСТВИТЕЛЬНО охватывают решение проблем! У них есть целый раздел, посвященный только текстовым задачам, а также другим рабочим листам для решения проблем.

  Однако ответ ключевой ситуации несколько неясен. Когда вы нажимаете на лист, вы можете установить флажок, в котором отображаются ответы, но еще предстоит увидеть, будут ли ответы распечатаны на отдельном листе.

  Эти рабочие листы также намного длиннее. В то время как Math5Children Plus и Homeschool Math имели одностраничные рабочие листы, эти рабочие листы могут содержать до 10 страниц.10 страниц практики на одну концепцию! Что касается учебных материалов, я ставлю ему большой палец вверх.

  Словарь по математике для 7-х классов

  Глоссарий Harcourt Math

  Если вы ищете отличный словарный запас по математике для 7-го класса, не ищите дальше. На этом бесплатном веб-сайте Harcourt представлены математические определения от А до Я. Нажмите на термины и посмотрите, как они появятся! Вы можете проверить себя, и это послужит хорошей практикой.

  Плюс, это еще не все! Если вам нужны напоминания о метрических и обычных единицах измерения, просто нажмите на слово «Таблицы» под выделенной цифрой 7.Там для удобства изучения вы найдете таблицы с метрическими и общепринятыми единицами измерения, а также временем, формулами и символами, о которых вы, возможно, забыли.

  Кроме того, если вы хотите разбить свой словарный запас, вы можете щелкнуть любую букву, и вы просто увидите слова и определения математических терминов 7-го класса, которые начинаются с этой буквы. (Так, если вы нажмете «C», вы увидите «емкость», «ячейку», «центральный угол» и т. Д.)

  Cram.com

  Вот 22 карточки с лексикой по математике для 7-го класса, которые могут предоставить вам много драгоценного времени для учебы.Выберите диапазон слов, которые вы хотите выучить, и затем вы можете выучить слова в Интернете ИЛИ распечатать их!

  Вы можете учиться на вкладке «карточки» или щелкнуть мышью на вкладке «запомнить». На этой вкладке вы можете перемешать карты или расположить их в алфавитном порядке, а затем проверить себя. Если появится определение, попробуйте угадать это слово. Если всплывает слово, угадайте определение.

  И после нажатия «Посмотреть ответ» вы можете указать, что вы ошиблись, или вы все поняли правильно. Затем вы можете продолжать практиковать те, которые сделали неправильно, пока не узнаете их как свои пять пальцев!

  Вкладка «Тест» также полезна — она ​​содержит слова, которые вы изучали, в другом формате.Сопоставьте слова и определения каждой карточки для лучшего понимания!

  Уроки математики в 7 классе

  Планы уроков горячим мелом

  Ищете надежный список планов уроков математики в 7-м классе — от учителей, для учителей? Проверьте Hot Chalk. На этой странице есть продуманные планы уроков по всему, от перестановки до площади и периметра.

  Чтобы продемонстрировать эти творческие планы уроков, давайте взглянем на план Hot Chalk по обучению целым числам:

  1.Учитель приклеит ленту на полу через всю комнату и создаст карточки с целыми числами от -15 до 15, а затем попросит учеников подойти, выбрать карточку и создать числовую линию.

  2. Ученики разместятся на числовой прямой, и класс поднимется группами по 10.

  3. Ученики и учитель обсудят интервалы, числовые значения, противоположности чисел и абсолютное значение числа.

  4. Учитель расскажет о правилах отрицательных и положительных чисел и отработает концепцию числовой линии с учениками, выполняющими движения для правильных ответов.

  5. Отношение расстояния между числами будет отображаться для определенных учеников в классе с номером, который называет учитель, и ученики будут решать, каков будет ответ на расстояние между числами.

  6. Учитель создаст уравнения, которые класс должен будет решить на числовой прямой как группа. Сначала сложение, а затем вычитание.

  7. Класс выполняет домашнее задание по учебнику во время урока и завершает его как домашнее задание.

  Академия Хана

  Если вы ищете индивидуальные уроки математики для 7-го класса, Khan Academy — это то, что вам нужно! У них огромная база данных с хорошей репутацией, заполненная инструкциями по любому из самых тонких моментов многих, многих предметов, включая математику!

  Видео также кажется невероятно интерактивным, в отличие от многих видеороликов, которые должны имитировать обучение в классе.Рассказывает теплый профессиональный голос, а примеры рисуются в реальном времени на черном экране, который выглядит каким-то чистым И человечным.

  После просмотра видео вы также можете нажать большую зеленую кнопку «Практикуйте эту концепцию», и вы сразу же попадете на страницу, где сможете ответить на практические вопросы сколько душе угодно.

  Learn Zillion

  Learn Zillion невероятно разработан, согласован с общими ядрами и отличается высоким качеством. Это место, где можно пройти уроки математики в 7-м классе, как для учителей, так и для учеников.

  Если вы нажмете на определенный стандарт (синие буквы) или урок (маленькие серые значки папок), вы попадете на экран с несколькими высококачественными видео. Одно видео называется «Прямое обучение», и его можно использовать для обучения в классе или для дополнительной помощи в выполнении домашних заданий. Также часто в разделе «Дополнительные ресурсы» есть больше видеороликов, которые более подробно объясняют урок.

  Видеоролики по математике для 7-го класса

  MathFox

  Бесплатные видео, сделанные с любовью.Это то, чего вы можете ожидать, когда посмотрите видео по математике для своего 7-го класса на MathFox.com. Посмотрите видеоуроки на любую тему, от целых чисел до десятичных дробей, углов и степеней, смотрите и пересматривайте.

  К сожалению, этот ресурс не ровно бесплатных. Вы можете смотреть любое видео бесплатно, но если вы попытаетесь перейти к другому видео, вам нужно будет зарегистрировать платный аккаунт, если вы хотите продолжить просмотр.

  Пакеты варьируются от отдельных учетных записей для энтузиастов до учетных записей для всего класса для умных учителей.Год доступа для одной учетной записи стоит 56 долларов (или около 4,67 долларов в месяц), а 6 месяцев для одной учетной записи стоит 39 долларов (или 3,25 доллара в месяц).

  Мой совет студентам, которым нужна дополнительная практика? Найдите двух друзей, которые разделяют вашу страсть к математике, и разделите счет на 6 месяцев. Тогда вы можете смотреть сколько угодно раз!

  Внутренняя математика

  Конечно, существует масса видеороликов по математике. Но как насчет видео из реальных классов математики ? Эти видео перенесут вас в классы лучших учителей.Изучите предлагаемые ими общедоступные уроки по площади и периметру, алгебраическим уравнениям и сравнению линейных функций — и это лишь некоторые из них.

  Следует отметить, что эти видео могут быть более полезными в качестве вдохновения для учителей. Уроки должны быть интерактивными. (Например, в одном из них учитель раздает карточки с алгебраическими выражениями, а затем его класс встает и находит в классе других людей, у которых есть совпадающие карточки.)

  Хотя учащиеся могут найти некоторую пользу от просмотра уроков, объясненных более творчески, вполне вероятно, что они не получат такой же пользы, как ученики , которые на самом деле проходят урок.Однако, поскольку они бесплатны для просмотра, нет причин, по которым вам не стоит пытаться!

  Пример задач по математике для 7-го класса

  Общие основные примеры вопросов

  В этом документе содержится 14 примеров общих математических задач для 7-го класса. Он включает в себя ключ, объяснение и обзор навыков, необходимых учащемуся для успешного решения этой конкретной задачи.

  В этих вопросах хорошо то, что каждая проблема относится к определенному базовому стандарту, а также включает объяснение , почему эта конкретная проблема относится к этому базовому стандарту.

  Вот пример:

  Согласовано CCLS: 7.EE.1

  Комментарий: Этот вопрос соответствует CCLS 7.EE.1, поскольку он оценивает способность учащегося применять свойства для вычитания линейных выражений с рациональными коэффициентами.

  С таким объяснением каждой проблемы вы можете избежать вопроса «Подождите, это ДЕЙСТВИТЕЛЬНО согласовано с общим ядром?» Или они меня обманывают ?? душевная боль, которая слишком распространена в наш век Интернета.

  Lumos Learning

  На этом веб-сайте представлены 44 примера задач Common Core для 7-х классов.Учащиеся мгновенно получают обратную связь после каждого ответа, а также объясняют, почему их ответ был правильным или неправильным.

  Одна вещь, которая немного странная на этом веб-сайте, заключается в том, что вы можете видеть только один вопрос за раз. Студенты могут нажать кнопку «Практический вопрос» рядом с конкретным основным стандартом и затем ответить на него. Но чтобы продолжить отвечать на вопросы, вам нужно будет нажать кнопку «назад», а затем выбрать следующий базовый стандарт.

  Учебные пособия по математике для 7-х классов

  Spectrum Math, 7 класс

  192 страницы упражнений и практики? Да, пожалуйста! Рецензент Amazon называет это «замечательным учебником, охватывающим все основы», а другой говорит, что «каждый предмет вводится с хорошими четкими и краткими объяснениями.Эта тетрадь по математике для 7-го класса обязательно понравится.

  Математика Макгроу Хилла, 7 класс

  Ищете другую тетрадь по математике для 7-го класса? Рецензенты называют это «хорошо написанным» и «простым для понимания». Страницы тоже вырваны для примеров и заданий!

  Учебники по математике для 7 классов

  Существует множество учебников, утверждающих, что они соответствуют стандартам Common Core. Но EdReport провела подробное исследование более 80 учебников, и лишь немногие из них были готовы к уничтожению.Вот учебник математики one для 7-го класса, на который можно положиться.

  Eureka Math

  Eureka Math — это серия, опубликованная Great Minds, небольшой некоммерческой организацией из округа Колумбия, которая является одним из немногих издателей, успешно прошедших расследование EdReport. Что касается учебников по математике для 7-го класса, то этот абсолютно качественный.

  Практический тест по математике для 7 класса

  Math-Tests.com

  Вы хотите немного попрактиковаться в математике в 7-м классе? Математические тесты.com предлагает различные бесплатные практические онлайн-тесты по вопросам сложения и вычитания целых чисел, координатной плоскости и переводов.

  Что касается практических тестов, будет справедливо сказать, что есть шкала. Некоторые из них больше относятся к «практике», например, Lumos Learning (см. Ниже). Math-Tests.com определенно находится на «тестовой» стороне. Это означает, что тесты имеют ограничение по времени, и если вы зададите неверный вопрос, не будет никаких полезных абзацев, объясняющих, почему.

  Итак, если вы хотите узнать, как вы справляетесь с трудностями, попробуйте пройти тест по математике.com. Если вы ищете более сдержанный и настраиваемый интерфейс, прочтите описание Lumos Learning.

  Lumos Learning

  Эй, это выглядит знакомо! Но даже несмотря на то, что мы уже видели Lumos Learning ранее в этом сообщении в блоге, их практический тест полностью отличается от их практических вопросов.

  Вместо того, чтобы нажимать на один вопрос и возвращаться назад, вы можете получить полный практический опыт тестирования. Если вам нужен настраиваемый практический тест по математике для 7-го класса, согласованный с Common Core, с мгновенной обратной связью, Lumos Learning — это то, что вам нужно.Практикуйтесь бесплатно и выбирайте продолжительность теста. Вы даже можете настроить стандарты, которые вы практикуете!

  Примечание. Если вы выберете один стандарт / тему для практики, вы получите практический тест, состоящий всего из двух вопросов. Из-за этого либо выберите ВЕСЬ стандарт (например, все 7.EE), либо смешайте его. Просто убедитесь, что вы отметили как минимум пять квадратов, чтобы пройти практический тест разумной продолжительности.

  Или, если вас меньше интересуют конкретные темы, а больше длина теста, в Lumos Learning есть настройки для этого! Вы можете выбрать «Полный практический тест» или «Мини-тест», который дает вам возможность выбрать от 3 до 43 вопросов.

  Математические игры для 7-х классов

  Kids MathTV

  Хотите знать, как сочетаются кофе и теорема Пифагора? Что ж, не смотрите дальше! Kids MathTV предлагает неожиданные и познавательные математические игры для 7-х классов.

  Признаюсь, в интересах полной честности — некоторые из них просто неинтересны. Это просто не так. Это в основном рабочие листы, но правильные ответы случаются, когда заполняется мультяшный кофейник или пробирка. Тем не менее, есть несколько действительно забавных, даже если я не был продан на 100% сначала:

  1. Процент чисел — Игра «Рыбалка»
     Вы могли подумать, что «ловля» на удивительно быстро плавающую радужную форель будет скучной.(И даже более того, когда вы обнаруживаете, что ловля рыбы побуждает игру задать вам вопрос о процентах.) Но каким-то образом графика, простота вопросов и тот факт, что ловля рыбы действительно занимает особую смесь время и навыки — все вместе делают этот игровой процесс захватывающим и в значительной степени успокаивающим.
  2. Нахождение сил и показателей — Настольная игра
     В этой настольной игре в основном есть мигающие огни и милые монстры, но неуверенность в том, какая игровая плитка загорится, а также широкий спектр вопросов (я перешел от ответов с 1-квадратом к 62-квадрату). в течение десяти секунд.Что ??) наверняка будет интереснее, чем наполнение виртуального кофейника.
  3. Крутить колесо
     Пожалуй, наименее увлекательный из трех, но ВСЕГДА ВЕСЕЛЫЙ. Я поддерживаю это. Каким-то образом вращение колеса и ожидание, чтобы увидеть, на что оно приземлится — даже если предмет, на который он приземлится, является математическим вопросом — вызывает вневременное волнение.
  Math-Play.com

  Эти математические игры более интерактивны и содержат забавные звуковые эффекты. Вот пара из них, которые мы считаем стоящими поиграть:

  1. Math Racing: сложение целых чисел
     Эта игра понравится всем, кто любит гоночные игры.Кажется, что вопросы по математике немного мешают, но в игре достаточно других аспектов, которые делают ее интересной.
  2. Игра в миллионер: абсолютная ценность
     Может быть, мы единственные, кто думает, что это весело, потому что мы помним, как смотрели «Кто хочет стать миллионером?» как ребенок. Эта математическая игра невероятно проста. Он не тратит время, пытаясь притвориться, что на самом деле не просто задает вам математические вопросы. Но, приняв это, он делает вопросы интересными. Драматическая музыка, забавная графика, плюс напряжение выигрыша фальшивых денег… все это вместе создает стоящую математическую игру для 7-го класса.
  3. One Step Equation Game
     Эта игра на самом деле двухэтапная. Сначала вы отвечаете на математический вопрос. Затем вы пытаетесь забить три указателя (что на самом деле требует некоторого игрового навыка! Вам нужно быстро с помощью мыши выстроить несколько кругов и линий). Для меня сочетание математического вопроса с реальной игрой делает это забавным. Считайте это рекомендованным!

  7

  -й класс 9000 Основные понятия

  Несмотря на то, что все математические навыки и концепции, полученные в 7-м классе, важны, в этом разделе основное внимание уделяется нескольким ключевым математическим концепциям, которые ДОЛЖНЫ быть рассмотрены, отработаны и поняты, чтобы учащиеся могли успешно развивать свои математические знания и повышать свою математическую скорость. вперед.

  Много раз, если ученик испытывает трудности в старшей школе, это происходит потому, что он / она все еще не имеет этих основных понятий в средней школе или даже раньше!

  Некоторым из этих концепций, возможно, не обучали в 7-м классе, но они должны оставаться в центре внимания обзора.

  1. Отрицательные числа

  Ученики 6-го класса и старше должны уметь складывать, вычитать, умножать и делить положительные и отрицательные числа.

  Отрицательные числа, в частности, детям может быть сложно «осознать».

  Введение отрицательных чисел : Загадочные отрицательные числа! Кто они такие? Это числа меньше нуля. Если вы понимаете природу отрицательных температур, вы можете понять отрицательные числа. Мы поможем.

  Отрицательное число для 7-го класса важные красные флажки:

  • Тратит много времени на размышления о проблемах, которые необходимо решить.
  • Выражает стресс или гнев при работе с отрицательными числами или вычитанием, в целом.
  • Слишком сильно полагается на калькулятор при вычислении значений.
  • Любит сложение, но застревает, когда число имеет отрицательный знак.

  Советы родителям / учителю:

  • Просмотрите и проверьте скорость и точность ваших учеников, добавляя и вычитая.
  • Подключитесь к реальной жизни, например, рыть яму, температуру, нырять под водой и задолжать деньги.

  2. Порядок работы (также известный как «PEMDAS»)

  PEMDAS = Прошу прощения, моя дорогая тетя Салли

  … — это интересный способ запомнить шаги, которые мы должны выполнять для решения математических задач: круглые скобки, экспоненты, умножение и деление, сложение и вычитание.

  PEMDAS — это то, что помогает студентам понять, что нужно решать в первую очередь в такой задаче: (5 — 1) 2 + 3 • 4 — 2 + 6/3

  Если человек не соблюдает порядок действий, он или она придумает ответ, но он будет неправильным! Ответ на выражение выше = 28.

  Введение в порядок операций : Этот пример поясняет цель порядка операций: иметь ОДИН способ интерпретации математического оператора.

  Порядок выполнения операций по математике в 7 классе: важные красные флажки:

  • Не знает, какова цель PEMDAS.
  • Получает разные ответы после многократного решения одной и той же задачи.
  • Тратит много времени на размышления о проблемах, которые необходимо решить.
  • Выражает стресс или гнев при решении основных задач алгебры.
  • Сообщает о нехватке времени на задания, викторины и тесты

  Советы для родителей / учителей:

  • Просмотрите и проверьте скорость и точность вашего ребенка с порядком действий.
  • Сделайте упражнение в игре.

  3. Решение многошаговых алгебраических уравнений

  Средние школьники видят усложнение алгебраических задач. Студенты должны уметь решать — без ошибок — уравнения и выражения, требующие нескольких шагов.

  Пошаговая алгебра: 3x = 6

  Многошаговая алгебра: 3x + 2 = 4x — 8

  Введение в решение уравнения с переменными с обеих сторон : Сал решает уравнение 2x + 3 = 5x — 2.

  Красные флажки

  • Тратит много времени на размышления о проблемах, которые необходимо решить.
  • Выражает стресс или гнев при работе с многоэтапными задачами.
  • Принимает много шагов, которые не приближают их к решению.
  • Сообщает, что «не хватает времени» на домашнее задание по математике, викторины или тесты.
  • Попытки заставить калькулятор вычислять значения для него / нее

  Советы для родителей / учителей:

  • Просмотрите и проверьте скорость и точность вашего ребенка с помощью PEMDAS
  • Сделайте упражнение в игре

  4.Графические линии

  Линейные уравнения присутствуют в алгебре, и учащимся средней школы необходимо овладеть этим навыком, чтобы быть готовыми к более сложным задачам в старшей школе.

  Линии могут отображаться в нескольких различных формах, но наиболее популярной из них является «форма пересечения наклона» или y = mx + b.

  В y = mx + b, x и y — это переменные, которые представляют точки на графике, m — это наклон (подъем за пробегом), а b — точка пересечения с y (потому что, если вы подставите 0 для x, вы слева с b или точкой (0, b).

  Пример на графике справа: y = — x + 6

  Убедитесь, что вы усвоили эти концепции, нажав здесь! Здесь вы узнаете все, что вам нужно знать о графических линиях, необходимых для математической концепции 8-го класса.

  Красные флаги:

  • Тратит время на размышления о задачах, которые должны быть «легкими».
  • Выражает стресс или гнев при построении линейных уравнений.
  • Делает много шагов, которые не приближают их к решению.
  • Сообщает, что «не хватает времени» на домашнее задание по математике, викторины или тесты.
  • Пытается заставить калькулятор вычислить линию графика для него / нее.

  Советы для родителей / учителей:

  • Практикуйтесь в игре: создайте гигантскую «сетку» на полу и потренируйтесь рисовать точки, стоя всем телом там, где должна быть точка!

  Заключение

  Не забывайте использовать наш 5-шаговый проверенный процесс обучения, когда переходите к темам и концепциям математики 7-го класса.

  1. Определите слабые стороны на основе математических стандартов 7-го класса
  2. Изучите материал по математике для 7-го класса с помощью онлайн-видео, репетитора или учителя
  3. Практикуйте эти концепции 7-го класса, используя рабочие листы, учебники и рабочие тетради
  4. Магистр концепции 7-го класса, пройдя практический тест и играя в математические игры для 7-го класса.
  5. Просмотрите основные математические концепции 7-го класса, необходимые для достижения успеха в предстоящие годы.

  Хочу еще! Не забудьте заглянуть на наши 10 лучших бесплатных математических сайтов!

  Есть ли другие математические ресурсы, которые я пропустил? Прокомментируйте и дайте мне знать! Удачного обучения!

  Следующие две вкладки изменяют содержимое ниже.

  Здравствуйте! Меня зовут Тодд. Я помогаю студентам строить жизнь своей мечты, обеспечивая учебу, стипендию и карьерный успех! Я бывший наставник в течение семи лет, получатель стипендии в размере 85000 долларов, участник Huffington Post, ведущий разработчик курсов SAT & ACT, ведущий подкаста по исследованию карьеры для подростков, и работал с тысячами студентов и родителей, чтобы обеспечить более светлое будущее в будущем.

  No related posts.