Методическая разработка по алгебре (7 класс) на тему: Контрольная работа по алгебре №7 по теме: «Формулы сокращенного умножения
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Урок – Турнир знаний. Алгебра 7 класс Тема: «Формулы сокращенного умножения»В рамках недели математики, проводимой в нашей школе, для учеников 7 классов был предложен урок — Турнир Знаний, по теме «Формулы сокращенного умножения». …
Дидактика. Алгебра 7 класс. Тема: «Формулы сокращенного умножения»Разноуровневая карточка по алгебре 7 класс по теме: «Формулы сокращенного умножения»…
Контрольная работа №7 по алгебре для 7 класса по теме «Формулы сокращенного умножения»Контрольная работа представлена в 4-х вариантах в готовом виде для печати (раздаточный материал)….
Контрольная работа по теме «Формулы сокращенного умножения» (7 класс, Мерзляк)Контрольная работа по теме «Формулы сокращенного умножения» (7 класс, Мерзляк)…
Развернутый план урока в соответствии с ФГОС по алгебре в 7 классе по теме: «Формулы сокращенного умножения. Формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений»…
Контрольная работа за 7 класс по теме: «Формулы сокращенного умножения»Контрольная работа за 7 класс по теме: «Формулы сокращенного умножения"…
Самостоятельная работа по теме «Формулы сокращенного умножения» (Алгебра. 7 класс)Материал для проведения самостоятельной работы по алгебре в 7 классе на тему «Формулы сокращенного умножения» в 2-х вариантах. Каждый вариант включает в себя по 2 обязательных задания базово…
Методическая разработка по алгебре (7 класс): Контрольная работа №7 Формулы сокращенного умножения
ПЛАН УРОКА
Алгебра 7 класс
ТЕМА:Контрольная работа №7 Формулы сокращенного умножения
Цели урока: контроль знаний по пройденным темам: Формула разности квадратов двух выражений, Формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений.
Задачи урока:
Образовательная: проверить усвоение знаний.
Развивающая: развивать логическое мышление, память, внимание, развивать умение самоконтроля и самопроверки.
Воспитательная: воспитывать уважительное и доброжелательное отношение друг к другу.
Оборудование: тетрадь для контрольных работ.
Ход работы
1.Организационный момент
2. Выполнение контрольной работы
1 ВАРИАНТ
1. Преобразуйте в многочлен:
1) (а – 3)2=a2-6a+9 2) (2у + 5)2= 4y2+20y+25
3) (4а – b)( 4а + b) = 16a2-b2 4) (х2 + 1)( х2 – 1) = x4-1
2. Разложите на множители:
1) с2 – 0,25 = (c-0,5)(c+0,5) 2) х2 – 8х + 16 = (x-4)2=(x-4)(x-4)
3. Найдите значение выражения: (х + 4)2 – (х — 2)(х + 2) при х = 0,125
x2+8x+16 -(x2-4)=x2+8x+16-x2+4=8x+20=8•0,125+20=21
а) — 21 б) 12 с) 21 д) — 12
4. Выполните действия:
а) 2(3х – 2у)(3х + 2у)=2(9×2-4y2)=18×2-8y2
б) (а – 5)2 – (а + 5)2 = a2-10a+25-(a2+10a+25) = a2-10a+25-a2-10a-25=-20a
в) ( а3 + b2)2=(a3)2+2a3b2+(b2)2=a6+2a3b2+b4
5. Решите уравнение:
9у2 – 25 = 0
(3y-5)(3y+5)=0
3y-5=0 или 3y+5=0
3y=5 или 3y=-5
y=5/3 или y=-5/3
y=12/3 или y=-12/3
2 ВАРИАНТ
1. Преобразуйте в многочлен:
1) (а + 4)2 2) (3у — с)2
3) (2а – 5)( 2а + 5) 4) (х2 + у)( х2 – у)
2. Разложите на множители:
1) 0,36 — с2 2) а2 + 10а + 25
3. Найдите значение выражения: (а — 2 b)2 + 4 b( а – b) при х = 0,12
а) 144 б) – 0,144 с) 0,0144 д) 0,24
4. Выполните действия:
а) 3(1 + 2ху)( 1 — 2ху) б) (а + b)2 – (а — b)2
в) ( х2 — у3)2
5. Решите уравнение:
16у2 – 49 = 0
3. Завершение. Сбор тетрадей
4. Задание на дом- повторить формулы.
Контрольная работа №7 Формулы сокращенного умножения 1 ВАРИАНТ 2. Разложите на множители: 3. Найдите значение выражения: (х + 4)2 – (х — 2)(х + 2) при х = 0,125 4. Выполните действия: 5. Решите уравнение: | Контрольная работа №7 Формулы сокращенного умножения 2 ВАРИАНТ 2. Разложите на множители: 3. Найдите значение выражения: (а — 2 b)2 + 4 b( а – b) при х = 0,12 4. Выполните действия: 5. Решите уравнение: |
Контрольная работа №7 Формулы сокращенного умножения 1 ВАРИАНТ 2. Разложите на множители: 3. Найдите значение выражения: (х + 4)2 – (х — 2)(х + 2) при х = 0,125 4. Выполните действия: 5. Решите уравнение: | Контрольная работа №7 Формулы сокращенного умножения 2 ВАРИАНТ 2. Разложите на множители: 3. Найдите значение выражения: (а — 2 b)2 + 4 b( а – b) при х = 0,12 4. Выполните действия: 5. Решите уравнение: |
Контрольная работа па теме «Формулы сокращенного умножения»
Контрольная работа «Формулы сокращенного умножения»
Вариант 1
№1 Упростить выражение:
А) -3х(2-х) +(3х+1)(х-2) б) 3( 2х -1)2+10х в) (х+3)2 –(х-4)(х+4)
№2 Разложите на множители :
А) 25х3 -х б) 2х2 +8ах +8 а2 в) х4 -1
№3 Решите уравнение:
А) ( х2-1)(х2+3) = (х2+1)2 +х
№4 Представьте в виде произведения:
А) х3 – ху2+ 3у2 -3х2 б) 8у4 – у7
№5 Докажите, что при любых значениях х и у значение выражения неотрицательно:
4х2 -20ху +25у2
Контрольная работа «Формулы сокращенного умножения»
Вариант 2
№1 Упростить выражение:
А) -5х(3-х) +(х+1)(5х-2) б) -2( 3х -1)2+12х в) (2х+3)2 –(х-3)(х+3)
№2 Разложите на множители :
А) 121х3 -х б) 4х2 +16ах +16 а2 в) х4 -16
№3 Решите уравнение:
А) х(х-1)(х+3) = х2(х+2)
№4 Представьте в виде произведения:
А) х3 – ху2
№5 Докажите, что при любых значениях х и у значение выражения неотрицательно:
16х2 -56ху +49у2
Контрольная работа «Формулы сокращенного умножения»
Вариант 3
№1 Упростить выражение:
А) -9х(1-х) +(х+3)(2х-5) б) -5( 2х -1)2+17х в) (7х+3)2 –(х-2)(х+2)
№2 Разложите на множители :
А) 81х3 — х б) -х2 — 10х -25 в) х4
№3 Решите уравнение:
х(х-2)(х+1)= х2(х-1)
№4 Представьте в виде произведения:
А) 3х-3у+х2у-ху2 б) 8у5 – у8
№5 Докажите, что при любых значениях х и у значение выражения неотрицательно:
9х2+24ху +16у2
Контрольная работа «Формулы сокращенного умножения»
Вариант 4
№1 Упростить выражение:
А) -7х(3-х) +(х+5)(х-5) б) -6( х -1)
№2 Разложите на множители :
А) 16х3 — х б) -х2 +6х — 9 в) са3 –ас3
№3 Решите уравнение:
(х2 -6)(х2 +2) = (х2 — 2)2 -х
№4 Представьте в виде произведения:
А) ху2 – х + 5 – 5 у2 б) у8 +27у5
№5 Докажите, что при любых значениях х и у значение выражения неотрицательно:
25х2+60ху +36у2
Контрольная работа «Формулы сокращенного умножения»
Вариант 5
№1 Упростить выражение:
А) -8х(1-х) +(х+9)(х-9) б) -3( х +5)2 — 9х в) (7х+1)2 –(х-1)(х+1)
№2 Разложите на множители :
А) 64х3 — х б) -х2 -6х — 9 в) с6а3 –а
№3 Решите уравнение:
(х2 -2)(х2 +6) = (х2 +2)2
№4 Представьте в виде произведения:
А) ху2 – х + 8 – 8 у2 б) у8 — 216у5
№5 Докажите, что при любых значениях х и у значение выражения отрицательно:
-25х2+60ху — 36у2
Контрольная работа «Формулы сокращенного умножения»
Вариант 6
№1 Упростить выражение:
А) -2х(9+х) +(х+7)(х-7) б) -12( х +1)2 — 18х в) (2х+3)2 –(х-5)(х+5)
№2 Разложите на множители :
А) 100х3 — х б) -36х
№3 Решите уравнение:
(х2 -2)(х2 +6) = (х2 +2)2 + х
№4 Представьте в виде произведения:
А) ху2 – х + 7 – 7 у2 б) 125 у8 — 216у5
№5 Докажите, что при любых значениях х и у значение выражения отрицательно:
-25х2+10ху — у2
Контрольная работа на тему:»Формулы сокращенного умножения» (7 класс, алгебра)
Контрольная работа по теме: «Формулы сокращенного умножения» (7класс, алгебра)
I часть ( 5 баллов )
В заданиях 1 – 5 выберите правильный ответ. Верный ответ каждого задания оценивается одним баллом.
1.Представьте в виде многочлена: (7 – а )2
1)49 – 7a + a2 2)7 – 14a + a2 3)49 -14a + a2
2.Упростите выражение : (a – 2)2 + (a – 4)
1)a2 + 3a 2)a2 – 3a 3)a2 – 3a + 8
3.Выполните умножение: (-a2 + 3) (a2 + 3)
1)9 –a2 2)9 + a2 3)9 – a4
4.Разложите на множители: 27 – m
1)(3 – m) (6 + 3m + m2) 2)(3 – m) (9 – 3m + m2) 3)(3 – m) ( 9 + 3m – m2)
5.Запишите в виде произведения: a6 – b3
1)(a2 – b) (a4 + a2b + b2) 2)(a2 – b) (a4 – a2b – b2) 3)(a2 – b) (a4+a2b + b2)
II часть (4 балла)
Решение заданий 6 – 7 может иметь краткую запись без обоснования. Правильное решение каждого задания оценивается двумя баллами
6.Решите уравнение : 25x2 — 9 = 0
7.Разложите на множители многочлен: a6
III часть (3 балла)
Решение 8 задания должно иметь обоснование. Необходимо записать последовательные логические действия и объяснения. Правильное решение задания оценивается тремя баллами.
8.Делится ли значение выражения: (383 + 373) на 25
Критерии оценивания : 1 – 3 баллов – «2»
4 – 5 баллов — «3»
6 – 9 баллов — «4»
12 баллов – «5»
Алгебра 7 Мерзляк Контрольная работа 4
Алгебра 7 Мерзляк Контрольная работа 4
Формулы сокращенного умножения
Алгебра 7 Мерзляк Контрольная работа 4 и Ответы. Решения контрольных работ учебного пособия «Дидактические материалы по алгебре 7 класс»
Контрольная работа 4 (КР-04 В-1, образец).
КР-04. Вариант 1. ОТВЕТЫ:
№ 1. 1) а2 + 14а + 49 2) 9х2 – 24ху + 16у2 3) m2 – 36 4) 64b2 – 25a2
№ 3. –2x + 10
№ 4. Ответ: –11.
№ 5. (10а – 9)(2а – 5)
№ 6. Ответ: –84.
№ 7. (х – 2)2 + 1 > 0 при всех х.
КР-04. Вариант 2. ОТВЕТЫ:
№ 1. 1) c2 – 12c + 36 2) 4a2 – 12ab + 9b2 3) 25 – a2 4) 100y2 – 49x2
№ 2. 1) (b – 7)(b + 7) 2) (c – 4)2 3) (10 – 3x)(10 + 3x) 4) (2a + 5b)2
№ 3. 10x – 29
№ 5. (b – 17)(7b – 1)
№ 6. Ответ: 99.
№ 7. (х – 7)2 + 2 > 0 при всех х.
Алгебра 7 Мерзляк Контрольная работа 4 и Ответы. Выберите дальнейшие действия:
План-конспект урока по алгебре (7 класс) на тему: Контрольная работа по теме «Формулы сокращенного умножения» (7 класс, Мерзляк)
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Разработка урока на тему:» Формулы сокращенного умножения» 7 классРазработка урока на тему:» Формулы сокращенного умножения» 7 класс…
Презентация по теме: «Формулы сокращенного умножения» (7 класс)Презентация для урока по теме: «Формулы сокращенного умножения»…
Проверочная работа по теме «Формулы сокращенного умножения»Проверочная работа позволит определить, как ученик на практике может применять формулы сокращенного умножения…
Зачет по теме «Формулы сокращенного умножения». 7 класс.Работа позволит проверить, как усвоен учениками учебный материал по теме «Формулы сокращенного умножения» в 7 классе….
Тестовая работа по теме «Формулы сокращенного умножения» для 7 класса.Материал позволит проверить знания учеников по данной теме….
Самостоятельная работа по теме «Формулы сокращенного умножения»Самостоятельная работа по теме «Формулы сокращенного умножения». Самостоятельная работа позволяет отработать формулу «Квадрат суммы»…
Самостоятельная работа по теме «Формулы сокращенного умножения» (Алгебра. 7 класс)Материал для проведения самостоятельной работы по алгебре в 7 классе на тему «Формулы сокращенного умножения» в 2-х вариантах. Каждый вариант включает в себя по 2 обязательных задания базово…
Алгебра 7 Мерзляк Контрольная работа 4
Алгебра 7 Мерзляк Контрольная работа 4
Формулы сокращенного умножения
Алгебра 7 Мерзляк Контрольная работа 4 и Ответы. Решения контрольных работ учебного пособия «Дидактические материалы по алгебре 7 класс», которое используется в комплекте с учебником «Алгебра 7 класс» (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир). Цитаты из пособия указаны в учебных целях, а также во избежание редакционных ошибок. При постоянном использовании контрольных работ в 7 классе лучше всего купить книгу Алгебра 7 класс. Дидактические материалы. ФГОС. Ответы на контрольные работы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения домашнего задания.
Контрольная работа 4 (КР-04 В-1, образец).
КР-04. Вариант 1. ОТВЕТЫ:
№ 1. 1) а2 + 14а + 49 2) 9х2 – 24ху + 16у2 3) m2 – 36 4) 64b2 – 25a2
№ 2. 1) (a – 3)(a + 3) 2) (b + 5)2 3) (5x – 4)(5x + 4) 4) (3x – 2y)2
№ 3. –2x + 10
№ 4. Ответ: –11.
№ 5. (10а – 9)(2а – 5)
№ 6. Ответ: –84.
№ 7. (х – 2)2 + 1 > 0 при всех х.
КР-04. Вариант 2. ОТВЕТЫ:
№ 1. 1) c2 – 12c + 36 2) 4a2 – 12ab + 9b2 3) 25 – a2 4) 100y2 – 49x2
№ 2. 1) (b – 7)(b + 7) 2) (c – 4)2 3) (10 – 3x)(10 + 3x) 4) (2a + 5b)2
№ 3. 10x – 29
№ 4. Ответ: –1.
№ 5. (b – 17)(7b – 1)
№ 6. Ответ: 99.
№ 7. (х – 7)2 + 2 > 0 при всех х.
[vc_separator color=»pink» style=»shadow» border_width=»2″ css_animation=»none»]
Алгебра 7 Мерзляк Контрольная работа 4 и Ответы. Выберите дальнейшие действия:
7.SP.A.1 Поймите, что статистику можно использовать для получения информацию о популяции путем изучения выборки население; обобщения о популяции из образец действителен, только если образец является репрезентативным это население. Поймите, что случайная выборка имеет тенденцию производить репрезентативные образцы и поддерживать действительные выводы. |
7.SP.A.2 Используйте данные из случайной выборки, чтобы сделать выводы о население с неизвестной интересующей характеристикой. Создайте несколько образцов (или смоделированных образцов) того же размера, чтобы оценить разницу в оценках или предсказания. Например, оцените среднее слово длины книги путем случайной выборки слов из книга; предсказать победителя школьных выборов на основе случайно выбранные данные опроса.Измерьте, как далеко от оценка или прогноз может быть . |
7.SP.B.3 Неформально оценить степень визуального перекрытия двух распределения числовых данных с аналогичной изменчивостью, измеряя разницу между центрами, выражая это как кратная мера изменчивости. Для Например, средний рост игроков в баскетбол на 10 см больше среднего роста игроков на футбольной команды, примерно вдвое больше вариабельности (среднее абсолютное отклонение) в любой команде; на точечном графике разделение между двумя распределениями высот равно Заметный . |
7.СП.Б.4 Используйте меры центра и меры изменчивости для числовые данные из случайных выборок для рисования неформальных сравнительные выводы о двух популяциях. Для Например, решить, будут ли слова в главе сборник естественных наук для седьмого класса обычно длиннее, чем слова в главе учебника для четвертого класса . |
7.SP.C.5 Поймите, что вероятность случайного события число от 0 до 1, которое выражает вероятность происходящее событие. Большие числа указывают на большее вероятность. Вероятность около 0 указывает на маловероятный событие, вероятность около 1/2 указывает на событие, которое ни маловероятно, ни вероятно, а вероятность около 1 указывает на вероятное событие. |
7.SP.C.6 Примерно вероятность случайного события сбор данных о случайном процессе, который их производит, и наблюдая его долгосрочную относительную частоту, и предсказать приблизительная относительная частота с учетом вероятность. Например, при катании числа куб 600 раз, предсказываем, что выпадет 3 или 6 примерно 200 раз, но, вероятно, не совсем 200 раз . |
7.SP.C.7 Разработайте вероятностную модель и используйте ее, чтобы найти вероятности событий. Сравните вероятности из модель для наблюдаемых частот; если соглашение не хорошо, объясните возможные источники несоответствия. 7.SP.C.7a Разработайте единую вероятностную модель, приписав равные вероятность всех исходов, и использовать модель для определить вероятности событий. Например, если учащийся выбран случайным образом из класса, найдите вероятность того, что Джейн будет выбрана, и вероятность того, что девушку выберут . Разработайте вероятностную модель (которая может быть неоднородной) с помощью наблюдение частот в данных, полученных случайно процесс. Например, найти приблизительный вероятность того, что вращающийся пенни выпадет один на один или что брошенный бумажный стаканчик приземлится открытым концом вниз.Сделайте результаты для вращающегося пенни кажутся одинаковыми скорее всего на основе наблюдаемых частот? |
7.SP.C.8 Найдите вероятности сложных событий, используя организованные списки, таблицы, древовидные диаграммы и моделирование. 7.SP.C.8a Поймите, что, как и в случае с простыми событиями, вероятность сложного события — это доля результаты в пространстве выборки, для которых составное событие происходит. |
7.SP.C.8b Представление пробелов для составных событий с помощью методов такие как организованные списки, таблицы и древовидные диаграммы. Для событие, описанное повседневным языком (например, опрос двойные шестерки, определить результаты в пространстве выборки которые составляют событие. | 7.SP.C.8c Разработайте и используйте моделирование для генерации частот для сложные события. Например, используйте случайные цифры как инструмент моделирования, чтобы приблизить ответ на вопрос: Если у 40% доноров кровь группы А, то какая вероятность того, что потребуется не менее 4 доноров, чтобы найти человека с кровью типа А? |
30 математических формул для SAT, которые необходимо знать
Коэффициенты, проценты и статистика
13. Простые проценты
\ (A = Prt \)
Этот показатель появляется реже, чем сложные проценты на SAT, но он все равно появляется, поэтому о нем стоит знать. \ (P \) представляет основную сумму, \ (r \) — процентную ставку, выраженную в десятичной дроби, а \ (t \) — время, обычно в годах.
14.{nt} \) Хорошая новость заключается в том, что \ (P \), \ (r \) и \ (t \) означают в этом уравнении то же самое, что и в простых интересах. \ (N \) представляет, сколько раз начисляются проценты в течение \ (1 \: t \). Например, если проценты начисляются ежеквартально в течение года, то \ (n = 4 \).
15. Среднее / Среднее
В математике слова «среднее» и «среднее» — это одно и то же: число, которое получается, когда вы берете сумму набора и делите его на количество значений в наборе.Вы также можете думать об этом как о сумме, деленной на количество. Вы должны знать, как рассчитать среднее значение и интерпретировать его. Убедитесь, что понимаете разницу между средним и медианным значением.
16. Случайная выборка
Технически это не формула, но многие из задач, связанных со статистикой в SAT, больше сосредоточены на интерпретации концепций в контексте, а не на выполнении математических операций. Случайная выборка — это случайный выбор участников для исследования из вашей популяции.Это гарантирует, что ваше исследование репрезентативно для населения.
17. Случайное присвоение
Случайное назначение — это случайное назначение участникам исследования лечения или испытания. Это снижает систематическую ошибку в вашем исследовании и означает, что вы можете приписать причинно-следственную связь лечению. На тесте SAT вас часто спрашивают, что снизит систематическую ошибку или насколько вы можете обобщить результаты для остальной части населения. В этих случаях вам необходимо определить случайную выборку и случайное распределение.
18. Стандартное отклонение
Вам не нужно рассчитывать стандартное отклонение для SAT, но вы будете протестированы по нему концептуально, как при случайной выборке и случайном назначении. Стандартное отклонение — это мера разброса в наборе данных. Более высокое стандартное отклонение означает больший спред, а меньшее стандартное отклонение означает меньший спред. Вам нужно будет знать, как изменения в наборе данных могут повлиять на стандартное отклонение, сделав его больше или меньше.2 \)
Обычно возникает один вопрос, связанный с уравнением круга. В этом уравнении \ ((h, k) \) — координата центра окружности, а \ (r \) — радиус окружности.
21. Коэффициент синусоиды
Некоторые учащиеся нервничают, когда слышат, что триггер находится в тесте SAT, но чаще всего это проявляется в виде триггерных соотношений. Помните, что для заданного угла в прямоугольном треугольнике значение синуса — это длина противоположной стороны, деленная на длину гипотенузы, или противоположной стороны / гипотенузы.
22. Косинусное отношение
Как и в случае с синусом, помните, что такое косинусное отношение: длина смежной стороны, деленная на длину гипотенузы, или смежная / гипотенуза.
23. Коэффициент касания
И последнее, но не менее важное: отношение касательных — это длина противоположной стороны, деленная на длину соседней стороны или противоположной / смежной стороны. Некоторые учащиеся находят мнемонический SOH CAH TOA полезным для запоминания тригонометрических соотношений.2 \)
Теорема Пифагора применяется к прямоугольным треугольникам и позволяет найти длину одной из сторон при любой другой длине стороны. \ (a \) и \ (b \) — катеты треугольника, а \ (c \) — гипотенуза.
26. Внутренний угол правильного многоугольника
\ (\ frac {(n-2) 180} {n} \)
SAT, вероятно, будет включать один вопрос с правильным многоугольником, который не является треугольником или квадратом. Правильные многоугольники обладают уникальными и непротиворечивыми свойствами, основанными на количестве сторон, и знание этих свойств может помочь вам решить эти проблемы.Это уравнение говорит вам, какой градус каждого угла основан на количестве сторон \ (n \).
27. 3-4-5 треугольник
SAT предоставляет вам два специальных прямоугольных треугольника, с которыми вы, возможно, уже знакомы на своем справочном листе, — треугольники 30-60-90 и 45-45-90. Однако 3-4-5 — это особый прямоугольный треугольник со сторонами, которые представляют собой простые целые числа. Этот треугольник часто включается в задачи SAT, особенно в части без калькулятора, так что будьте начеку! Это может избавить вас от необходимости использовать теорему Пифагора.
28. 5-12-13 треугольник
Другой специальный прямоугольный треугольник со сторонами целых чисел, треугольник 5-12-13 менее известен и встречается реже, чем 3-4-5. Тем не менее, это помогает быстро решить оставшиеся стороны без теоремы Пифагора, поэтому проверяйте эти числа или их кратные в задачах треугольника.
29. Длина дуги по окружности
\ (длина \: of \: arc = \ frac {central \: angle} {360} \ pi d \)
Хотя вопросы о геометрии не составляют большую часть SAT, вы все равно можете найти вопрос о дугах или секторах в круге.2 \)
Подобно дуге, сектор — это область между двумя радиусами, отходящими от круга, вроде как кусок пирога. Опять же, умножьте меру в градусах на долю \ (360 \) и умножьте ее на уравнение для площади круга, чтобы найти площадь сектора.
Завершение
Прежде чем вы отправитесь, мы собираемся предложить вам бонусный совет: вы можете запомнить идеальные квадраты и идеальные кубики. Это может помочь вам с квадратными уравнениями, которые часто включают квадраты, а кубы часто используются при решении задач с показателями.Их запоминание сократит потребность в математических вычислениях с помощью бумаги для заметок или калькулятора.
Лучший способ запоминать формулы — это попрактиковаться в их использовании. В отличие от теста по математике в старшей школе, где вы знаете, какие темы будут охвачены, SAT просто представит вам вопрос — вам решать, какие формулы применяются. Когда вы попрактикуетесь в использовании формул с множеством задач, вы сможете быстро определить, какую формулу использовать.
Готовитесь к SAT? Загрузите наше бесплатное руководство с нашими 8 лучшими советами по освоению SAT.
Хотите знать, как ваш результат SAT влияет на ваши шансы на поступление в школы вашей мечты? Наша бесплатная система Chancing Engine не только поможет вам предсказать ваши шансы, но и расскажет, как вы конкурируете с другими кандидатами и какие аспекты вашего профиля нужно улучшить. Зарегистрируйтесь на бесплатную учетную запись CollegeVine сегодня , чтобы получить доступ к нашему движку Chancing Engine и ускорить реализацию своей стратегии в колледже!
Ознакомьтесь с некоторыми другими нашими статьями по подготовке к математике:
. Решайте неравенства с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»
Введите уравнение вместе с переменной, для которой вы хотите его решить, и нажмите кнопку «Решить».
В этой главе мы разработаем определенные методы, которые помогут решить проблемы, сформулированные на словах. Эти методы включают переписывание задач в виде символов. Например, заявленная проблема
«Найдите число, которое при добавлении к 3 дает 7»
можно записать как:
3+? = 7, 3 + n = 7, 3 + x = 1
и так далее, где символы?, N и x обозначают число, которое мы хотим найти.Мы называем такие сокращенные версии поставленных задач уравнениями или символическими предложениями. Такие уравнения, как x + 3 = 7, являются уравнениями первой степени, поскольку переменная имеет показатель степени 1. Члены слева от знака равенства составляют левую часть уравнения; те, что справа, составляют правую часть. Таким образом, в уравнении x + 3 = 7 левый член равен x + 3, а правый член равен 7.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Уравнения могут быть истинными или ложными, так же как предложения слов могут быть истинными или ложными.Уравнение:
3 + х = 7
будет ложным, если вместо переменной подставлено любое число, кроме 4. Значение переменной, для которой верно уравнение (4 в этом примере), называется решением уравнения. Мы можем определить, является ли данное число решением данного уравнения, подставив число вместо переменной и определив истинность или ложность результата.
Пример 1 Определите, является ли значение 3 решением уравнения
4x — 2 = 3x + 1
Решение Мы подставляем значение 3 вместо x в уравнение и смотрим, совпадает ли левый член с правым.
4 (3) — 2 = 3 (3) + 1
12 — 2 = 9 + 1
10 = 10
Отв. 3 — решение.
Уравнения первой степени, которые мы рассматриваем в этой главе, имеют не более одного решения. Решения многих таких уравнений можно определить путем осмотра.
Пример 2 Найдите решение каждого уравнения путем осмотра.
а. х + 5 = 12
б. 4 · х = -20
Решения а. 7 — решение, так как 7 + 5 = 12.
b. -5 — это решение, поскольку 4 (-5) = -20.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИСЛЕНИЯ
В разделе 3.1 мы решили несколько простых уравнений первой степени путем проверки. Однако решения большинства уравнений не сразу видны при осмотре. Следовательно, нам необходимы некоторые математические «инструменты» для решения уравнений.
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Эквивалентные уравнения — это уравнения, которые имеют идентичные решения. Таким образом,
3x + 3 = x + 13, 3x = x + 10, 2x = 10 и x = 5
эквивалентны уравнениям, потому что 5 — единственное решение каждого из них.Обратите внимание, что в уравнении 3x + 3 = x + 13 решение 5 не очевидно при осмотре, но в уравнении x = 5 решение 5 очевидно при осмотре. Решая любое уравнение, мы преобразуем данное уравнение, решение которого может быть неочевидным, в эквивалентное уравнение, решение которого легко заметить.
Следующее свойство, иногда называемое свойством сложения-вычитания , является одним из способов создания эквивалентных уравнений.
Если одинаковое количество прибавляется или вычитается из обоих элементов
уравнения, полученное уравнение эквивалентно исходному
уравнение.
в символах,
a — b, a + c = b + c и a — c = b — c
— эквивалентные уравнения.
Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное
х + 3 = 7
путем вычитания 3 из каждого члена.
Решение Если вычесть 3 из каждого члена, получим
х + 3 — 3 = 7 — 3
или
х = 4
Обратите внимание, что x + 3 = 7 и x = 4 являются эквивалентными уравнениями, поскольку решение одинаково для обоих, а именно 4.В следующем примере показано, как мы можем генерировать эквивалентные уравнения, сначала упростив один или оба члена уравнения.
Пример 2 Напишите уравнение, эквивалентное
4x- 2-3x = 4 + 6
, объединив одинаковые термины, а затем добавив по 2 к каждому члену.
Объединение одинаковых терминов дает
х — 2 = 10
Добавление 2 к каждому члену дает
х-2 + 2 = 10 + 2
х = 12
Чтобы решить уравнение, мы используем свойство сложения-вычитания, чтобы преобразовать данное уравнение в эквивалентное уравнение вида x = a, из которого мы можем найти решение путем проверки.
Пример 3 Решите 2x + 1 = x — 2.
Мы хотим получить эквивалентное уравнение, в котором все члены, содержащие x, находятся в одном члене, а все члены, не содержащие x, — в другом. Если мы сначала прибавим -1 к каждому члену (или вычтем 1 из него), мы получим
2x + 1- 1 = x — 2-1
2x = х — 3
Если мы теперь прибавим -x к каждому члену (или вычтем x из него), мы получим
2х-х = х — 3 — х
х = -3
, где решение -3 очевидно.
Решением исходного уравнения является число -3; однако ответ часто отображается в виде уравнения x = -3.
Поскольку каждое уравнение, полученное в процессе, эквивалентно исходному уравнению, -3 также является решением 2x + 1 = x — 2. В приведенном выше примере мы можем проверить решение, подставив — 3 вместо x в исходном уравнении.
2 (-3) + 1 = (-3) — 2
-5 = -5
Симметричное свойство равенства также помогает при решении уравнений. В этом объекте указано
Если a = b, то b = a
Это позволяет нам менять местами члены уравнения в любое время, не беспокоясь о каких-либо изменениях знака.Таким образом,
Если 4 = x + 2, то x + 2 = 4
Если x + 3 = 2x — 5, то 2x — 5 = x + 3
Если d = rt, то rt = d
Может быть несколько разных способов применить свойство сложения, указанное выше. Иногда один метод лучше другого, а в некоторых случаях также полезно симметричное свойство равенства.
Пример 4 Решите 2x = 3x — 9. (1)
Решение Если мы сначала добавим -3x к каждому члену, мы получим
2x — 3x = 3x — 9 — 3x
-x = -9
, где переменная имеет отрицательный коэффициент.Хотя при осмотре можно увидеть, что решение равно 9, поскольку — (9) = -9, мы можем избежать отрицательного коэффициента, добавив -2x и +9 к каждому члену уравнения (1). В этом случае получаем
2x-2x + 9 = 3x- 9-2x + 9
9 = х
, из которого решение 9 очевидно. При желании мы можем записать последнее уравнение как x = 9 по симметричному свойству равенства.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВА DIVISION
Рассмотрим уравнение
3x = 12
Решение этого уравнения — 4.Также обратите внимание, что если мы разделим каждый член уравнения на 3, мы получим уравнения
, решение которого также равно 4. В общем, мы имеем следующее свойство, которое иногда называют свойством деления.
Если оба члена уравнения делятся на одно и то же (ненулевое)
количество, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.
в символах,
— эквивалентные уравнения.
Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное
-4x = 12
, разделив каждый член на -4.
Решение Разделив оба элемента на -4, получим
При решении уравнений мы используем указанное выше свойство для создания эквивалентных уравнений, в которых переменная имеет коэффициент 1.
Пример 2 Решите 3y + 2y = 20.
Сначала мы объединяем одинаковые термины, чтобы получить
5лет = 20
Тогда, разделив каждый член на 5, получим
В следующем примере мы используем свойство сложения-вычитания и свойство деления для решения уравнения.
Пример 3 Решить 4x + 7 = x — 2.
Решение Сначала мы добавляем -x и -7 к каждому члену, чтобы получить
4x + 7 — x — 7 = x — 2 — x — 1
Далее, объединяя одинаковые термины, получаем
3x = -9
Наконец, мы разделим каждый член на 3, чтобы получить
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С СВОЙСТВОМ УМНОЖЕНИЯ
Рассмотрим уравнение
Решение этого уравнения — 12. Также обратите внимание, что если мы умножим каждый член уравнения на 4, мы получим уравнения
, решение которого также равно 12.В общем, мы имеем следующее свойство, которое иногда называют свойством умножения.
Если оба члена уравнения умножаются на одну и ту же ненулевую величину, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.
в символах,
a = b и a · c = b · c (c ≠ 0)
— эквивалентные уравнения.
Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное
путем умножения каждого члена на 6.
Решение Умножение каждого члена на 6 дает
При решении уравнений мы используем указанное выше свойство для создания эквивалентных уравнений, не содержащих дробей.
Пример 2 Решить
Решение Сначала умножьте каждый член на 5, чтобы получить
Теперь разделите каждого члена на 3,
Пример 3 Решить.
Решение Во-первых, упростите над дробной чертой, чтобы получить
Затем умножьте каждый член на 3, чтобы получить
Наконец, разделив каждого члена на 5, получим
ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Теперь мы знаем все методы, необходимые для решения большинства уравнений первой степени.Не существует определенного порядка, в котором следует применять свойства. Может оказаться подходящим любой один или несколько из следующих шагов, перечисленных на странице 102.
Шаги по решению уравнений первой степени:
- Объедините одинаковые члены в каждом члене уравнения.
- Используя свойство сложения или вычитания, напишите уравнение со всеми членами, содержащими неизвестное в одном члене, и всеми членами, не содержащими неизвестное в другом.
- Объедините одинаковые термины в каждом элементе.
- Используйте свойство умножения для удаления дробей.
- Используйте свойство деления, чтобы получить коэффициент 1 для переменной.
Пример 1 Решите 5x — 7 = 2x — 4x + 14.
Решение Сначала мы объединяем одинаковые члены, 2x — 4x, чтобы получить
5x — 7 = -2x + 14
Затем мы добавляем + 2x и +7 к каждому члену и объединяем одинаковые термины, чтобы получить
5x — 7 + 2x + 7 = -2x + 14 + 2x + 1
7x = 21
Наконец, мы разделим каждый член на 7, чтобы получить
В следующем примере мы упрощаем над полосой дроби перед применением свойств, которые мы изучали.
Пример 2 Решить
Решение Во-первых, мы объединяем одинаковые термины, 4x — 2x, чтобы получить
Затем мы добавляем -3 к каждому члену и упрощаем
Затем мы умножаем каждый член на 3, чтобы получить
Наконец, мы делим каждый член на 2, чтобы получить
РЕШЕНИЕ ФОРМУЛ
Уравнения, в которых используются переменные для измерения двух или более физических величин, называются формулами. Мы можем найти любую одну из переменных в формуле, если известны значения других переменных.Мы подставляем известные значения в формулу и решаем неизвестную переменную методами, которые мы использовали в предыдущих разделах.
Пример 1 В формуле d = rt найти t, если d = 24 и r = 3.
Решение Мы можем найти t, заменив 24 на d и 3 на r. То есть
d = rt
(24) = (3) т
8 = т
Часто бывает необходимо решить формулы или уравнения, в которых существует более одной переменной для одной из переменных в терминах других.Мы используем те же методы, что и в предыдущих разделах.
Пример 2 В формуле d = rt найдите t через r и d.
Решение Мы можем решить для t в терминах r и d, разделив оба члена на r, чтобы получить
из которых по закону симметрии
В приведенном выше примере мы решили для t, применив свойство деления для создания эквивалентного уравнения. Иногда необходимо применить более одного такого свойства.
Пример 3 В уравнении ax + b = c найдите x через a, b и c.
Решение Мы можем решить для x, сначала добавив -b к каждому члену, чтобы получить
, затем разделив каждый член на a, мы получим
. Калькулятор определителя матрицы nxn
Как найти определитель матрицы?
Рассмотрим матрицу $ A = \ left [
\ begin {array} {cc}
а & б \\
CD \\
\ end {массив}
\ right] $ размером $ 2 \ times2 $. Настоящее число
$$ \ left | \ begin {array} {cc}
а & б \\
CD \\
\ end {массив}
\ right | = ad-cb $$
— определитель матрицы $ A $. Точнее, чтобы найти определитель матрицы $ 2 \ times 2 $, нам нужно выполнить следующие шаги:
- Умножьте элемент в первой строке и первом столбце на элементы во второй строке и втором столбце;
- Умножить элемент в первой строке и втором столбце на элемент во второй строке и первом столбце;
- Определитель матрицы $ 2 \ times 2 $ — это разница между вторым и первым произведением.
Минор элемента любого определителя матрицы $ n \ times n $ является определителем матрицы $ (n-1) \ times (n-1) $. Если мы удалим строку и столбец, содержащие элемент, то получим соответствующий минор.
Например, минор элемента $ a $, элемента в первой строке и первом столбце определителя Чтобы вычислить определитель матрицы $ n \ times n $, нам нужно разложить определитель на миноры.
Сначала выбираем строку в матрице. В каждой позиции в строке мы умножаем элемент на
его незначительный знак, умноженный на его позицию, и сложить все суммы для всей строки.Знаки позиции в матрице — плюс или минус в зависимости от позиции элемента. Например, знаки положения в матрице $ 3 \ times 3 $:
$$ \ left [
\ begin {array} {ccc}
+ & — & + \\
— & + & — \\
+ & — & + \\
\ end {массив}
\ right] $$
Это означает, что $$ \ begin {align} det (A) = | A | & = \ left |
\ begin {array} {ccc}
а & b & c \\
d & e & f \\
г & ч & я \\
\ end {массив}
\ право | \\ & = a \ left |
\ begin {array} {cc}
е & е \\
Здравствуй \\
\ end {массив}
\ right | -b \ left |
\ begin {array} {cc}
д & е \\
г & я \\
\ end {массив}
\ right | + c \ left |
\ begin {array} {cc}
d & e \\
г & ч \\
\ end {массив}
\ right | \ end {align} $$
Если мы применим этот метод для вычисления определителя $ 4 \ times 4 $, мы получим
$$ \ begin {align} det (A) = | A | & = \ left |
\ begin {array} {cccc}
а & b & c & d \\
e & f & g & h \\
я & j & k & l \\
m & n & o & p \\
\ end {массив}
\ право |
\\ & = a \ left |
\ begin {array} {ccc}
f & g & h \\
j & k & l \\
n & o & p \\
\ end {массив}
\ right | -b \ left |
\ begin {array} {ccc}
e & g & h \\
я & к & л \\
м & о & п \\
\ end {массив}
\ right | + c \ left |
\ begin {array} {ccc}
e & f & h \\
я & j & l \\
m & n & p \\
\ end {массив}
\ right | -d \ left |
\ begin {array} {ccc}
e & f & g \\
я & j & k \\
м & н & о \\
\ end {массив}
\ право |
\ end {align} $$
Для каждого элемента исходной матрицы его минор является определителем $ 3 \ times 3 $. Существует другой способ вычисления определителя $ 3 \ times 3 $, хорошо известный как правило Сарруса или схема Сарруса.
- Расширить определитель, переписав первые два столбца чисел:
- Сложите произведения красных диагоналей и вычтите произведения синих диагоналей, т. Е.
$$ det (A) = aei + bfg + cdh-ceg-afh-bdi $$
Это правило можно запомнить, вспомнив о диагоналях расширенного определителя
читать диагонали означает плюс $ (aei + bfg + cdh) $, а синие диагонали означают минус $ (- ceg-afh-bdi) $.
Правило Сарруса не применимо для вычисления определителя $ 4 \ times 4 $, оно требует некоторых изменений. Например, найдем определитель матрицы $ 3 \ times 3 $
$$ \ left | \ begin {array} {ccc}
10 и 20 и 10 \\
4 и 5 и 6 \\
2 и 3 и 5 \\
\ end {массив}
\ right | $$ Используя правило Сарруса, получаем
$$ \ left | \ begin {array} {ccc | cc}
10 и 20 и 10 и 10 и 20 \\
4 и 5 и 6 и 4 и 5 \\
2 и 3 и 5 и 2 и 3 \\
\ end {массив}
\право.= 10 \ cdot5 \ cdot5 + 20 \ cdot6 \ cdot2 + 10 \ cdot4 \ cdot 3-10 \ cdot5 \ cdot2-10 \ cdot6 \ cdot3-20 \ cdot4 \ cdot5 = -70 $$
Работа с определителем матрицы $ n \ times n $ с шагами показывает полный пошаговый расчет для
нахождение определителя $ 3 \ times 3 $ матрицы $ A $ по формуле определителя. За
любые другие матрицы, просто укажите действительные числа как элементы матрицы и нажмите кнопку СОЗДАТЬ РАБОТУ. Учащиеся начальной школы и люди, изучающие математику, используют этот калькулятор определителя матрицы nxn для создания
работать, проверять результаты определителя матрицы, полученные вручную, или эффективно выполнять домашние задания.Ученики начальной школы также могут использовать этот калькулятор для решения системы линейных уравнений. .
б. 4 · х = -20
b. -5 — это решение, поскольку 4 (-5) = -20.