11 класс контрольная работа по теме производная: Учебно-методический материал по алгебре (11 класс): Контрольная работа в 11 классе по теме «Производная»

Учебно-методический материал по алгебре (11 класс): Контрольная работа в 11 классе по теме «Производная»

Контрольная работа № 2 по теме «Производная»   11 класс

Вариант 1

1. Найдите  производную функции

2. Вычислите f 

3. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции

4. Точка движется по координатной прямой по закону

 — координата точки (в метрах) в момент времени t (в секундах). В какой момент времени скорость точки будет равна 8 м/с?

5. К каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент второго столбца

Функция	Производная
1) 2) 3) 4)	A) Б) В) Г)

6. Составьте и решите уравнение , если

 

7.

8.

9. Найдите производную функции

Контрольная работа № 2 по теме «Производная»   11 класс

Вариант 2

1. Найдите  производную функции

2. Вычислите f 

3. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции

4. Точка движется по координатной прямой по закону

 — координата точки (в метрах) в момент времени t (в секундах). Найдите скорость точки через 5 с после начала движения.

5. К каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент второго столбца

Функция	Производная
1) 2) 3) 4)	A) Б) В) Г)

6. Составьте и решите уравнение , если

 

7.

8.

9. Найдите производную функции

Контрольная работа № 2 по теме «Производная»   11 класс

Вариант 3

1. Найдите  производную функции

2. Вычислите f 

3. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции

4. Точка движется по координатной прямой по закону

 — координата точки (в метрах) в момент времени t (в секундах). Найдите скорость точки через 2 с после начала движения.

5. К каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент второго столбца

Функция	Производная
1) 2) 3) 4)	A) Б) В) Г)

6. Составьте и решите уравнение , если

  + 3

7.

8.

9. Найдите производную функции

Контрольная работа № 2 по теме «Производная»   11 класс

Вариант 4

1. Найдите  производную функции

2. Вычислите f 

3. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции

4. Точка движется по координатной прямой по закону

 — координата точки (в метрах) в момент времени t (в секундах). В какой момент времени скорость точки будет равна 5 м/с?

5. К каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент второго столбца

Функция	Производная
1) 2) 3) 4)	A) Б) В) Г)

6. Составьте и решите уравнение , если

 

7.

8.

9. Найдите производную функции

Контрольная работа по теме » Производная функции», 11 класс

ВАРИАНТ 1 1. Найти производную функции: а) ; б) ; в) ; г) .

2.Найдите значение производной функции y = f(x) в точке х_0, если , .

3.Записать уравнение касательной к графику функции в точке .

4.Найти значения х, при которых значения производной функции отрицательны.

5.Найти точки графика функции , в которых касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

6.Прямая у=3х+11 является касательной к графику функции у= x³–3x² –6x+6 Найти абсциссу точки касания.

7.Прямая у= –6х+8 является касательной к графику функции у=16x²–22x+c. Найти с.

ВАРИАНТ 2 1.Найти производную функции: а) ; б) ; в) ; г) .

2.Найдите значение производной функции y = f(x) в точке х_0, если , .

3.Записать уравнение касательной к графику функции в точке .

4.Найти значения х, при которых значения производной функции отрицательны.

5.Найти точки графика функции , в которых касательная к графику функции параллельна и абсцисс.

6.Прямая у=8х+4 является касательной к графику функци у= x³+3x² –x+9. Найти абсциссу точки касания.

7.Прямая у=–8х–9 является касательной к графику функции у=16x²+8x+c. Найти с.

Контрольная работа по теме «Производная» (11 класс)

Контрольная работа №2

Тема: Производная

Вариант 1

1. Найдите производную функций: .

2. Материальная точка движется прямолинейно по закону , (где x — расстояние от точки отсчета в метрах,

   t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 6 с.

3. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

4. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

5. Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

6. Найдите точки графика функции , в которых касательная к нему параллельна оси абсцисс.

Контрольная работа №2

Тема: Производная

Вариант 2

1. Найдите производную функций: .

2. Материальная точка движется прямолинейно по закону , (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 3 с.

3. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

4. Составьте уравнение касательной к графику функции

   в точке с абсциссой

5. Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

6. Найдите точки графика функции , в которых касательная к нему параллельна оси абсцисс.

Контрольная работа №2

Тема: Производная

Вариант 3

1. Найдите производную функций: .

2. Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

3. На рисунке изображены график функции

   y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

4. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

5. Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

6. Найдите абсциссы точек графика функции , в которых касательная к нему параллельна оси абсцисс.

Контрольная работа №2

Тема: Производная

Вариант 4

1. Найдите производную функций: .

2. Материальная точка движется прямолинейно по закону , (где

   x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

3. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

4. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

5. Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

6. Найдите абсциссы точек графика функции , в которых касательная к нему параллельна оси абсцисс.

Контрольная работа №2

Тема: Производная

Вариант 5

1. Найдите производную функций: .

2. Материальная точка движется прямолинейно по закону , (где x —расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 3 с.

3. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

4. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

5. Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

6. Найдите абсциссы точек графика функции , в которых касательная к нему параллельна оси абсцисс.

Контрольная работа №2

Тема: Производная

Вариант 6

1. Найдите производную функций: .

2. Материальная точка движется прямолинейно по закону , (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 14 м/с?

3. На рисунке изображены график функции

   y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

4. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

5. Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

6. Найдите абсциссы точек графика функции , в которых касательная к нему параллельна оси абсцисс.

Проверочная работа по теме «Производная», 11 класс

Найдите производную функции

Решите уравнение , если

Уравнение касательной к графику функции , проведенной в точке (1;1), имеет вид

Напишите уравнение касательной к графику функции , параллельной прямой

Найдите точку максимума функции

Найдите значение производной функции в точке

Найдите значение производной функции в точке

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции , проведенной в точке с абсциссой 1.

Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в его точке с абсциссой

Укажите точку максимума функции , если

Найдите максимум функции

Найдите минимум функции

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Через точку М(-1;0) к графику функции проведена касательная. Напишите ее уравнение. В ответе укажите градусную меру угла между касательной и положительным направлением оси ОХ

Найдите множество значений функции

Найдите производную функции

Решите неравенство , если

Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в его точке с абсциссой (-1)

Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в его точке с абсциссой 0

Найдите минимум функции

Найдите значение производной функции в точке

Найдите значение производной функции в точке

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции , проведенной в точке с абсциссой (-0,5)

Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в его точке с абсциссой

Укажите точку минимума функции , если

Укажите длину промежутка возрастания функции

Укажите точку максимума функции

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Напишите уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку Р(2;0). В ответе укажите площадь треугольника, образованного этой касательной и осями координат.

Найдите множество значений функции

Контрольная работа по теме «Производная»

Вариант 1

1.Найти производную функции

а) (1 балл) б) (1 балл)

в) (1 балл) г) (1 балл)

2. Найти значение производной функции в точке (1 балл)

3. Решить уравнение , где (1 балл)

4. Решить неравенство , где (1балл)

5. Решить уравнение , если известно, что , (1 балл)

6. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой (1 балл)

7. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

0-3 балла – «2», 4-6 баллов – «3», 7-9 баллов – «4», 10 баллов – «5»

Вариант 2

1.Найти производную функции

а) (1 балл) б) (1 балл)

в) (1 балл) г) (1 балл)

2. Найти значение производной функции в точке (1 балл)

3. Решить уравнение , где (1 балл)

4. Решить неравенство , где (1балл)

5. Решить уравнение , если известно, что , (1 балл)

6. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой (1 балл)

7. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой 

x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

0-3 балла – «2», 4-6 баллов – «3», 7-9 баллов – «4», 10 баллов – «5»

Контрольная работа

Вариант 3

1.Найти производную функции

а) (1 балл) б) (1 балл)

в) (1 балл) г) (1 балл)

2. Найти значение производной функции в точке (1 балл)

3. Решить уравнение , где (1 балл)

4. Решить неравенство , где (1балл)

5. Решить уравнение , если известно, что , (1 балл)

6. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой (1 балл)

7. Составить уравнение касательной к графику функции в точке (1 балл)

0-3 балла – «2», 4-6 баллов – «3», 7-9 баллов – «4», 10 баллов – «5»

Контрольная работа

Вариант 4

1.Найти производную функции

а) (1 балл) б) (1 балл)

в) (1 балл) г) (1 балл)

2. Найти значение производной функции в точке (1 балл)

3. Решить уравнение , где (1 балл)

4. Решить неравенство , где (1балл)

5. Решить уравнение , если известно, что , (1 балл)

6. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой (1 балл)

7. Составить уравнение касательной к графику функции в точке (1 балл)

0-3 балла – «2», 4-6 баллов – «3», 7-9 баллов – «4», 10 баллов – «5»

Исследование функции с помощью производной

Контрольная работа по теме «Исследование функции с помощью производной» 

Вариант № 1

1.   Найти промежутки возрастания и убывания функции  f(х) = х³ – 3х?  

2.   Найти точки экстремума функции f(х) =  х³ –  9х²  + 15х

3. Чему равно наибольшее и наименьшее значение функции у = – х²  + 4х + 2 на промежутке [0;4]

4.   Напишите уравнение касательной к графику функции f(х) = х³– 1 в точке с абсциссой х₀ = — 1

5.  Найдите точку перегиба к графику функции а)у = х³ — 3х² +1; б) y=2cos2x

6. Исследовать с помощью производной функцию и постройте график

а) f(х) =2– 3х² – х³  ; б) f(х) =  

Вариант № 2

1. Найти промежутки возрастания и убывания функции  f(х) = х³ – 3х²? 

2.  Найти точки экстремума функции f(х) =  х³ –  6х²  + 9х

3.  Чему равно наибольшее и наименьшее значение функции  у = 2х²  —  8х + 11 на промежутке [0;4]

4.  Напишите уравнение касательной к графику функцииf(х) = х³ — 2х + 1 в точке с абсциссой х₀ = 2

5.  Найдите точку перегиба к графику функции а) у = — 3х³  +4,5х² + 1;б) y=3sin2x

6. Исследовать с помощью производной функцию и постройте график

а) f(х) =2х³  -3 х²  — 4 f(х) = 

Контрольная работа по теме «Исследование функции с помощью производной» 

Вариант № 1

1.   Найти промежутки возрастания и убывания функции  f(х) = х³ – 3х?  

2.   Найти точки экстремума функции f(х) =  х³ –  9х²  + 15х

3. Чему равно наибольшее и наименьшее значение функции у = – х²  + 4х + 2 на промежутке [0;4]

4.   Напишите уравнение касательной к графику функции f(х) = х³– 1 в точке с абсциссой х₀ = — 1

5.  Найдите точку перегиба к графику функции а)у = х³ — 3х² +1; б) y=2cos2x

6. Исследовать с помощью производной функцию и постройте график

а) f(х) =2– 3х² – х³  ; б) f(х) =  

Вариант № 2

1. Найти промежутки возрастания и убывания функции  f(х) = х³ – 3х²? 

2.  Найти точки экстремума функции f(х) =  х³ –  6х²  + 9х

3.  Чему равно наибольшее и наименьшее значение функции  у = 2х²  —  8х + 11 на промежутке [0;4]

4.  Напишите уравнение касательной к графику функцииf(х) = х³ — 2х + 1 в точке с абсциссой х₀ = 2

5.  Найдите точку перегиба к графику функции а) у = — 3х³  +4,5х² + 1;б) y=3sin2x

6. Исследовать с помощью производной функцию и постройте график

а) f(х) =2х³  -3 х²  — 4 f(х) = 

Контрольная работа по теме «Исследование функции с помощью производной» 

Вариант № 1

1.   Найти промежутки возрастания и убывания функции  f(х) = х³ – 3х?  

2.   Найти точки экстремума функции f(х) =  х³ –  9х²  + 15х

3. Чему равно наибольшее и наименьшее значение функции у = – х²  + 4х + 2 на промежутке [0;4]

4.   Напишите уравнение касательной к графику функции f(х) = х³– 1 в точке с абсциссой х₀ = — 1

5.  Найдите точку перегиба к графику функции а)у = х³ — 3х² +1; б) y=2cos2x

6. Исследовать с помощью производной функцию и постройте график

а) f(х) =2– 3х² – х³  ; б) f(х) =  

Вариант № 2

1. Найти промежутки возрастания и убывания функции  f(х) = х³ – 3х²? 

2.  Найти точки экстремума функции f(х) =  х³ –  6х²  + 9х

3.  Чему равно наибольшее и наименьшее значение функции  у = 2х²  —  8х + 11 на промежутке [0;4]

4.  Напишите уравнение касательной к графику функцииf(х) = х³ — 2х + 1 в точке с абсциссой х₀ = 2

5.  Найдите точку перегиба к графику функции а) у = — 3х³  +4,5х² + 1;б) y=3sin2x

6. Исследовать с помощью производной функцию и постройте график

а) f(х) =2х³  -3 х²  — 4 f(х) = 

Контрольная работа по алгебре и началам математического анализа по теме » Производная», 11 класс

Контрольная работа № 2 по теме «Производная»

1 вариант
Задание 1.

Задание 2: найти значение производной функции при заданном значении аргумента

а) у=Х⁴ — Х³ + Х² – Х + 2 , если Х₀=-1 б) f(x)=sin X+ cos X , если Х₀=0

Задание 3: найти производную суммы и производную разности

а) у=2 Log₃X – 3 cosX б) у=12^х+13 е^х в)у=+

Задание 4: найти производную произведения и производную частного

a) у=(3х²-5)(4-2х²) б) у=х² LgХ в) f(X)= г) f(X)=

Задание 5: найти производную сложной функции

F(x)=3^x2+2x-6 F(x)= F(x)=Log₇ ()

Контрольная работа № 2 по теме «Производная»

2 вариант

Задание 1.

Задание 2: найти значение производной функции при заданном значении аргумента

а) у=2 — 2х +х³ — х⁴ , если Х₀=1 б) f(x)= 3sin X + 2х , если Х₀=

Задание 3: найти производную суммы и производную разности

а) у=5 LnX +11^x б) у=2 cos X+7 е^х в)у=+

Задание 4: найти производную произведения и производную частного

А) у=(4х²-2)(3+2х²) б) у=х* 2^x в) f(X)= г) f(X)=

Задание 5: найти производную сложной функции

F(x)= F(x)= F(x)=Lg ()

Тест первой производной — исчисление

В этой статье описывается тест, который можно использовать для определения того, дает ли точка в домене функции точку локального, конечного или абсолютного (глобального) максимума или минимума функции и / или сузить возможности для точек, где встречаются такие максимумы или минимумы.
Посмотреть полный список таких тестов

Заявление

Что такое тест для

Тест первой производной является частичным (т.е.е., не всегда убедительный), используемый для определения того, является ли конкретная критическая точка в области определения функции точкой, в которой функция достигает локального максимального значения, локального минимального значения или ни того, ни другого. Есть случаи, когда тест безрезультатно , а это значит, что мы не можем сделать никаких выводов.

Односторонняя версия этого теста также используется для определения, дает ли конечная точка домена функции экстремум конечной точки, и если да, то является ли это максимумом конечной точки или минимумом конечной точки.

Что говорит тест: версии одностороннего знака

Предположим, это функция, определенная в точке.

Тогда мы имеем следующее:

Предположение о непрерывности и дифференцируемости	Гипотеза о знаке производной	Заключение	Прототипные изображения (пунктирная точка соответствует, а пунктирная линия — односторонняя касательная к точке)
остается непрерывным слева на и дифференцируется сразу слева от	положительно (соответственно неотрицательно) для слева от (i.е., для достаточно малых)	имеет строгий локальный максимум слева в точке, т. Е. (Соответственно, имеет локальный максимум слева в точке, т. Е.) Для непосредственно слева от.
остается непрерывным слева на и дифференцируемым слева от	отрицательно (соответственно неположительно) для слева от (т. Е. Для достаточно малого)	имеет строгий локальный минимум слева в, т.е.е., (соответственно, имеет локальный минимум слева в точке, т. е.) для непосредственно слева от.
идет справа непрерывно на и дифференцируется справа от	положительно (соответственно неотрицательно) для справа от (т. Е. Для достаточно малого)	имеет строгий локальный минимум справа в точке, т. Е. (Соответственно, имеет локальный минимум справа в точке, т. Е.) Для непосредственно справа от.
идет справа непрерывно на и дифференцируется справа от	отрицательно (соответственно, неположительно) для справа от (т. Е. Для достаточно малого)	имеет строгий локальный максимум справа от, т. Е. (Соответственно, имеет локальный максимум справа от, т. Е.) Для непосредственно справа от.

Что говорит тест: варианты комбинированного знака

Предположим, что функция определена вокруг точки (т.е.е., определена в открытом интервале, содержащем), и непрерывна в. Нас не волнует, является ли дифференцируемым в; однако тест имеет смысл только в том случае, если его можно дифференцировать непосредственно слева и справа от.

Тогда у нас есть следующее (мы перечисляем только strict в таблице ниже):

Если мы заменим положительный на неотрицательный и отрицательный на неположительный в строках, соответствующих строгому локальному максимуму и строгому локальному минимуму, мы потенциально можем потерять строгость .

Обратите внимание, что если имеется неоднозначный знак сразу слева или справа от него, первая проверка производной не дает результатов.

Связь с критическими точками

Типичная цель теста первой производной — определить, является ли критическая точка точкой локального максимума или минимума. Следовательно, тест обычно применяется к критическим точкам. Однако, применяя первую производную проверку, нам не нужно проверять, является ли рассматриваемая точка критической точкой.Другими словами, если условие нахождения точки локального максимума или минимума выполняется, то рассматриваемая точка автоматически становится критической точкой, и это условие не нужно проверять отдельно.

Краткая версия

В критической точке внутри области определения функции, где функция непрерывна:

• Если производная функции меняет знак с положительного (непосредственно слева) на отрицательный (непосредственно справа), то точка является точкой строгого локального максимума.
• Если производная функции меняет знак с отрицательного (непосредственно слева) на положительный (непосредственно справа), то точка является точкой строгого локального минимума.
• В общем случае, если производная меняет знак, когда мы перемещаемся от непосредственного левого края точки к непосредственному правому краю точки, то в этой точке имеется локальный экстремум. Если производная имеет один и тот же знак сразу слева и сразу справа, мы не получим локального экстремума в этой точке.

Использованные факты

1. Положительная производная подразумевает увеличение
2. Увеличение в открытом интервале и непрерывное в конечной точке подразумевает увеличение до конечной точки включительно

Proof

Пример доказательства односторонней версии: положительная производная слева

Все односторонние версии имеют аналогичные доказательства, поэтому мы приводим доказательство только для одного из них.

Дано : функция и точка в домене.остается непрерывным на и дифференцируемым непосредственно слева от. Далее, сразу слева от. Явно существует такое, что для.

Чтобы доказать : имеет строгий локальный максимум слева на. Точнее говоря, для.

Доказательство :

Альтернативная версия доказательства : Вместо использования фактов (1) и (2) на отдельных этапах мы можем использовать версию факта (1) для одностороннего закрытого интервала, используя непрерывность и положительный знак производные оба вместе.Концептуально это то же доказательство, но изложение несколько отличается.

Пример подтверждения версии комбинированного знака: строгий местный максимум

Мы приводим доказательство для случая строгого локального максимума. Остальные случаи аналогичны.

Дано : функция и точка в домене. непрерывный на и дифференцируемый непосредственно слева и справа от. Далее, слева и справа от.

Чтобы доказать : имеет двусторонний строгий локальный максимум в, т.е.е., для сразу слева или справа от.

Доказательство :

Связь с другими тестами

Другие тесты для определения того, дают ли критические точки локальные экстремальные значения

Тест второй производной

Тест	Краткое описание его отличий от теста первой производной	Связь с тестом первой производной
тест второй производной	Вместо того, чтобы оценивать знак первой производной непосредственно слева и непосредственно справа, мы оцениваем знак второй производной в точке .	работает через тест первой производной (поэтому в любой ситуации, когда второй тест производной применим и убедителен, как и тест первой производной) тест второй производной не сильнее теста первой производной: бывают ситуации, когда вторая производная тест не применяется или не дает окончательных результатов, но первый производный тест является окончательным.
Высшие производные тесты	Вместо того, чтобы оценивать знак первой производной непосредственно слева и непосредственно справа, мы оцениваем знак второй производной и, если необходимо, более высоких производных, в точке .	Аналогично тесту второй производной, необходимо заполнить детали.
односторонний производный тест	Вместо того, чтобы оценивать знаки производных непосредственно слева и справа от точки, мы оцениваем знаки односторонних производных в точке .	Тест первой производной и односторонний тест производной несопоставимы

Подобные тесты для функций нескольких переменных

Нет требования дифференцируемости в точке

Чтобы применить двустороннюю комбинированную знаковую версию теста первой производной, нам потребуется непрерывность в точке и дифференцируемость непосредственно слева и справа от точки.Однако мы не требуем дифференцируемости на точку.

Таким образом, например, тест первой производной можно использовать для изучения поведения функции с кусочным определением по интервалу, так что функция меняет определение в точке. В явном виде его можно использовать для изучения функций вида:

Предположим, что непрерывно, т.е. В этом случае мы можем попытаться определить, является ли точка локальным максимумом, минимумом или ни одной из них, изучая знак непосредственно слева от и знак непосредственно справа от.Это не обязательно, чтобы быть дифференцируемым в (подробнее о том, как дифференцировать кусочные функции, см. Правило дифференцирования для кусочного определения по интервалу).

В частности, мы, , можем применить тест первой производной в этих двух типах ситуаций:

Неокончательные и неопровержимые дела

Неубедительные дела

Обратите внимание, что мы считаем первый тест производной окончательным, если мы можем определенно сделать вывод, есть ли у нас локальный максимум, локальный минимум или ни один из них.В частности, проверка первой производной является окончательной для функции, которая непрерывна в точке, дифференцируема непосредственно слева и справа от точки, и чья производная принимает постоянный знак (возможно, допускает нулевые значения) непосредственно слева и постоянный знак ( возможно, позволяя нулевые значения) сразу справа.

При выполнении этого теста могут возникнуть следующие проблемы:

С какой проблемой мы столкнулись?	Какие у нас могут быть проблемы?	Ссылка на пример	Средство, которое может работать	Изображение
Функция не непрерывна в критической точке	Мы можем провести знаковый анализ производной непосредственно слева и справа, но сделать неправильные выводы, применив одностороннюю или комбинированную знаковую версию теста первой производной.Априори все возможности (локальный максимум, локальный минимум, ни то, ни другое) остаются открытыми.	Тест первой производной не проходит для функции, которая прерывается в критической точке	Если функция имеет односторонние пределы в критической точке: вариация теста первой производной для прерывистой функции с односторонними пределами
Функция не дифференцируется в точках непосредственно слева и / или справа от точки	Мы не сможем сделать значимое заявление о знаке производной непосредственно слева и / или справа.Таким образом, будет невозможно применить тест первой производной. Все возможности (локальный максимум, локальный минимум, ни то, ни другое) остаются открытыми.	Тест первой производной не проходит для функции, которая не дифференцируется вблизи критической точки	Не напрямую. Приходится использовать другие методы.
Производная функции имеет колебательный (неоднозначный) знак непосредственно слева и / или справа от точки	Мы не можем проводить анализ знаков для производной непосредственно слева и / или справа.Таким образом, будет невозможно применить тест первой производной. Все возможности (локальный максимум, локальный минимум, ни то, ни другое) остаются открытыми.	Проверка первой производной не дает результатов для функции, у которой производная имеет неоднозначный знак около точки

Заключительные дела

.

Упражнения по тесту второй производной

Ответ

Первая производная

Это неприятно. Мы знаем, что f ‘не определено только для x =, в этом случае f также не определено, поэтому мы не находим никаких критических точек таким образом. Чтобы найти, когда f ‘равно нулю, нам нужно решить уравнение

x ⁴ — 10 x ² — 3 = 0.

Мы можем использовать квадратичную формулу, чтобы найти x ² :

Поскольку отрицательное значение и x ² не может быть отрицательным, мы знаем, что

Следовательно,

Теперь пора выбрать тест первой или второй производной.Если мы используем тест второй производной, нам нужно найти вторую производную, что снова требует правила частного.

Вместо этого используйте первую производную проверку. У нас есть эта числовая линия:

Числа 0, ± 4 кажутся хорошими для включения в первую производную.

Поскольку первая производная содержит только четные степени x , мы знаем, что

f ‘(4) = f ‘ (-4)

, поэтому нам нужно оценить только одно из этих значений. .

Теперь числовая линия выглядит так:

, и мы знаем, что существует максимум

и минимум

.