Контрольные работы по геометрии 10 класс
Примерные материалы контрольных работ
Геометрия 10 класс (А.В.Погорелов)
Вариант 1
1. Точки К, М, Р, Т не лежат в одной плоскости. Могут ли прямые КМ и РТ пересекаться?
Через точки А, В и середину М отрезка АВ проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость α в точках А1,В1,М1 соответственно. Найдите длину отрезка ММ1, если АА1 = 13 м, ВВ1 = 7 м, причем отрезок АВ не пересекает плоскость α.
Точка Р не лежит в плоскости трапеции АВСD с основаниями АD и ВС. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков РВ и РС, параллельна средней линии трапеции.
Вариант 2
Прямые EN и KM не лежат на одной плоскости.
Через точки А, В и середину М отрезка АВ проведены
параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость α в точках А1, В1? М1 соответственно. Найдите длину отрезка ММ1, если АА1 = 3 м, ВВ1 = 17 м, причем отрезок АВ не пересекает плоскость α.
3. Точка Е не лежит в плоскости параллелограмма АВСD. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков ЕА и ЕВ, параллельна стороне СD.
Вариант1
Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости, точки К, М, Р — середины отрезков АВ, ВС, СD. Докажите, что плоскость КМР параллельна прямым АС и ВD.
3. Даны две параллельные плоскости и не лежащая между ними точка Р.
Две прямые, проходящие через точку Р, пересекают ближнюю к точке Р плоскость в точках А1 и А2, а дальнюю — в точках В1 и В2 соответственно. Найдите длину отрезка В
4. Постройте проекцию квадрата АВСD, зная проекции его вершин А, В и точки пересечения диагоналей О: точки а1, В1 и О1.
Вариант 2
1. Прямые а и b параллельны, причем прямая а пересекает некоторую плоскость α. Докажите, что и прямая b пересекает плоскость α.
Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости, точки К, М, Р — середины отрезков АВ, АС, АD. Докажите, что плоскости КМР и ВСD параллельны.
ними точка Р. Две прямые, проходящие через точку Р, пересекают ближнюю к точке Р плоскость в точках А1 и А2, а дальнюю — в точках B1 и В2 соответственно.
Найдите длину отрезка В1В2, если А1А2 = 10 см и РА1 : А1В1 = 2:3.Постройте проекцию правильного треугольника, зная
проекции его вершины А и середин К, М сторон АВ и ВС: точки А1, К1 и М
Найдите длину отрезка В1В2, если А1А2 = 10 см и РА1 : А1В1 = 2:3.Вариант 1
1. Концы отрезка АВ, не пересекающего плоскость, удалены от нее на расстояния 2,4 м и 7,6 м. Найдите расстояние от середины М отрезка АВ до этой плоскости.
Перекладина длиной 5 м своими концами лежит на двух вертикальных столбах высотой 3 м и 6 м. Каково расстояние между основаниями столбов?
Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 17 см и 15 см. Проекция одной из них на 4 см больше проекции другой. Найдите проекции наклонных.
Из вершины равностороннего треугольника АВС восставлен перпендикуляр АD к плоскости треугольника.
Вариант 2
Точка А лежит в плоскости, точка В — на расстоянии 12,5 м от нее. Найдите расстояние от плоскости до точки М, делящей отрезок АВ в отношении АМ : МВ = 2:3.
Какой длины нужно взять перекладину, чтобы ее можно было положить концами на две вертикальные опоры высотой 4 м и 8 м, поставленные на расстоянии 3 м одна от другой?
Из точки к плоскости проведены две наклонные, одна из которых на 6 см длиннее другой. Проекции наклонных равны 17 см и 7 см. Найдите наклонные.
Из вершины квадрата АВСD восставлен перпендикуляр АЕ к плоскости квадрата. Чему равно расстояние от точки Е до прямой ВD, если АЕ = 2 дм, АВ = 8 дм?
Вариант 1
Даны точки А (0; 0; 2) и В (1; 1; -2), О — начало координат.
На оси у найдите точку М (0; у; 0), равноудаленную от точек А и В.
В плоскости ху найдите точку С (х; у; 0), такую, чтобы векторы АС и ВО были коллинеарными.
При каком значении х вектор ν(х; 2; 1) будет перпендикулярен вектору АВ?
Вариант 2
Даны точки А (0; -2; 0) и В (1; 2; -.1), О — начало координат.
1. На оси z найдите точку М (0; 0; z), равноудаленную от точек А и В.
2. Найдите точку С (х; у; z), такую, чтобы векторы СО и АВ были равными.
3. При каком значении х вектор ν (х; 1; 2) будет перпендикулярен вектору ВА?
Контрольные работы по геометрии, 10 класс
«Параллельность прямых и плоскостей»
I вариант
ЧАСТЬ I (Каждое задание по 1 баллу)
1.
На рисунке изображён прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Укажите плоскость, которая параллельна плоскости ВСС1.
2. На рисунке изображён прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Укажите прямую, которая параллельна прямой АВ и проходит через точку D
3. На рисунке изображён прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Укажите
прямую, которая параллельна плоскости BDC1.
4. На рисунке плоскость , параллельная стороне АВ треугольника АВС, пересекает его стороны в точках М и К. М – середина АС. Найдите МК, если АВ = 23,8 см.
5. Сколько плоскостей можно провести через прямую и точку, не лежащую на ней?
ЧАСТЬ II (каждое задание по 2 балла).
5. Даны две параллельные плоскости и . Точки А и В лежат в плоскости , точки С и D – в плоскости . Отрезки AD и ВС пересекаются в точке О.
6. Два луча с началом в точке В пересекают одну из
параллельных плоскостей в точках D и Е, а другую – в точках D1
и Е1. Найдите DE, если BD1 = 18 см, DD1 = 8 см, D1E1 = 36 см.
ЧАСТЬ III (3 балла)
7. Через конец К отрезка КР проведена плоскость . Через конец Р и точку М отрезка КР проведены параллельные прямые, пересекающиеся с плоскостью в точках Р1 и М1. Найдите РР1, если ММ1 = 20 см, КМ1: М1Р1 = 4:1.
«Параллельность прямых и плоскостей»
II вариант
ЧАСТЬ I (Каждое задание по 1 баллу)
1. На рисунке изображён прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
Укажите плоскость, которая параллельна плоскости ВВ1А.
2. На рисунке изображён прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Укажите прямую, которая параллельна прямой А1В1
3. На рисунке изображён прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Укажите плоскость, которая параллельна плоскости B1D1А.
4. На рисунке плоскость , параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает стороны АВ и СD в точках М и К соответственно. М – середина АВ. АD = 12,8 см, ВС = 23,6 см. Найдите МК.
5. Сколько плоскостей можно провести через три точки, не лежащие на одной прямой?
ЧАСТЬ II (каждое задание по 2 балла).
5. Даны две параллельные плоскости и . Точки А и В лежат в плоскости , точки С и D – в плоскости . Отрезки AD и ВС пересекаются в точке О. Найдите АВ, если CD = 3 см, ВО = 4 см, СО = 1 см.
6. Два луча с началом в точке В пересекают одну из параллельных плоскостей в точках D и Е, а другую – в точках D1 и Е1. Найдите D1E1, если BE1 = 16 см, EE1 = 4 см, DE = 3 см.
ЧАСТЬ III (3 балла)
7. Отрезок КР длиной 36 см пересекает плоскость в точке О, которая делит его в отношении 4:5, начиная от точки К. Через концы отрезка К и Р проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость соответственно в точках М и Т. Определите длину КМ, если ТР = 12 см.
Примерные материалы контрольных работ Геометрия 10 класс (А.В.Погорелов)
Примерные материалы контрольных работ Геометрия 10 класс (А.В.Погорелов) Контрольная работа № 1 Вариант 1 1. Точки К, М, Р, Т не лежат в одной плоскости. Могут ли прямые КМ и РТ пересекаться? 2. Через точки А, В и середину М отрезка АВ проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость 1,В1,М1 соответственно. Найдите длину отрезка ММ1, если АА1 = 13 м, ВВ1 = 7 м, причем отрезок АВ не пересекает плоскость α. в точках А α 3. Точка Р не лежит в плоскости трапеции АВСD с основаниями АD и ВС. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков РВ и РС, параллельна средней линии трапеции. Ва р иа н т 2 Прямые EN и KM не лежат на одной плоскости. Могут ли прямые ЕМ и NК пересекаться? (Ответ обоснуйте.) В и середину Через точки А, М отрезка АВ проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость α в точках А1, В1? М1 соответственно. Найдите длину отрезка ММ1, если АА1 = 3 м, ВВ1 = 17 м, причем отрезок АВ не пересекает плоскость α. 3. Точка Е не лежит в плоскости параллелограмма АВСD. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков ЕА и ЕВ, параллельна стороне СD. Контрольная работа № 2 В а р и а н т 1 Плоскости прямую а. Докажите, что и плоскость β пересекает прямую а. и α β параллельны, причем плоскость а α пересекает некоторую Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости, точки К, М, Р — середины отрезков АВ, ВС, СD. Докажите, что плоскость КМР параллельна прямым АС и ВD. 3. Даны две параллельные плоскости и не лежащая между ними точка Р. Две прямые, проходящие через точку Р, пересекают ближнюю к точке Р плоскость в точках А1 и А2, а дальнюю — в точках В1 и В2 соответственно. Найдите длину отрезка В1В2, если А1А2 = 6 см и РА1 : А1В1= 3 : 2 . 4. Постройте проекцию квадрата АВСD, зная проекции его вершин А, В и точки пересечения диагоналей О: точки А1, В1 и О1. 1. Прямые а и b параллельны, причем прямая а пересекает некоторую плоскость α. Ва р и а н т 2 Докажите, что и прямая b пересекает плоскость α. 2. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости, точки К, М, Р — середины отрезков АВ, АС, АD. Докажите, что плоскости КМР и ВСD параллельны. 3. Даны две параллельные плоскости и не лежащая между ними точка Р. Две прямые, проходящие через точку Р, пересекают ближнюю к точке Р плоскость в точках А1 и А2, а дальнюю — в точках B1 и В2 соответственно. Найдите длину отрезка В1В2, если А1А2 = 10 см и РА1 : А1В1 = 2 :3 . 4. Постройте проекцию проекции его вершины А и середин К, М сторон АВ и ВС: точки А1, К1 и М1. треугольника, правильного зная Контрольная работа № 3 Вариант 1 1. Концы отрезка АВ, не пересекающего плоскость, удалены от нее на расстояния 2,4 м и 7,6 м. Найдите расстояние от середины М отрезка АВ до этой плоскости. 2. Перекладина длиной 5 м своими концами лежит на двух вертикальных столбах высотой 3 м и 6 м. Каково расстояние между основаниями столбов? 3. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 17 см и 15 см. Проекция одной из них на 4 см больше проекции другой. Найдите проекции наклонных. 4. Из вершины равностороннего треугольника АВС восставлен перпендикуляр АD к плоскости треугольника. Чему равно расстояние от точки D до прямой ВС, если АD = 1 дм, ВС = 8 дм? В а р и а н т 2 1. Точка А лежит в плоскости, точка В — на расстоянии 12,5 м от нее. Найдите расстояние от плоскости до точки М, делящей отрезок АВ в отношении АМ : МВ = 2 : 3 . 2. Какой длины нужно взять перекладину, чтобы ее можно было положить концами на две вертикальные опоры высотой 4 м и 8 м, поставленные на расстоянии 3 м одна от другой? 3. Из точки к плоскости проведены две наклонные, одна из которых на 6 см длиннее другой. Проекции наклонных равны 17 см и 7 см. Найдите наклонные. 4. Из вершины квадрата АВСD восставлен перпендикуляр АЕ к плоскости квадрата. Чему равно расстояние от точки Е до прямой ВD, если АЕ = 2 дм, АВ = 8 дм? Контрольная работа № 4 В ар иа нт 1 Даны точки А (0; 0; 2) и В (1; 1; 2), О — начало координат. 1. На оси у найдите точку М (0; у; 0), равноудаленную от точек А и В. 2. В плоскости ху найдите точку С (х; у; 0), такую, чтобы векторы АС и ВО были коллинеарными. 3. При каком значении х вектор ν(х; 2; 1) будет перпендикулярен вектору АВ? В а р и а н т 2 Даны точки А (0; 2; 0) и В (1; 2; .1), О — начало координат. 1. На оси z найдите точку М (0; 0; z), равноудаленную от точек А и В. 2. Найдите точку С (х; у; z), такую, чтобы векторы СО и АВ были равными. ν (х; 1; 2) будет перпендикулярен вектору ВА? 3. При каком значении х вектор
Геометрия 10 класс Контрольная № 1 с ответами
Контрольная работа по геометрии в 10 классе «Аксиомы стереометрии» с ответами и решениями (3 уровня сложности по 2 варианта). УМК Атанасян и др. (Просвещение). Поурочное планирование по геометрии для 10 класса (В.А. Яровенко, ВАКО). Урок 15. Геометрия 10 класс Контрольная № 1 «Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение прямых, прямой и плоскости».
Смотреть Список всех контрольных по геометрии в 10 классе (Атанасян)
Контрольная работа № 1
«Аксиомы стереометрии»
Цель: проверить знания, умения и навыки учащихся по теме.
Тип урока: урок контроля, оценки и коррекции знаний.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент
Мотивация к учебной деятельности. Учитель сообщает тему урока, формулирует цели урока.
2. Контрольная работа
I уровень сложности
Вариант 1
- Прямые а и b пересекаются. Прямая с является скрещивающейся с прямой а. Могут ли прямые b и с быть параллельными?
- Плоскость α проходит через середины боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD — точки М и N.
а) Докажите, что AD II α.
б) Найдите ВС, если AD = 10 см, MN= 8 см.
- Прямая МА проходит через вершину квадрата ABCD и не лежит в плоскости квадрата.
а) Докажите, что МА и ВС — скрещивающиеся прямые.
б) Найдите угол между прямыми МА и ВС, если ∠МАD = 45°.
Вариант 2
- Прямые а и b пересекаются. Прямые а и с параллельны. Могут ли прямые b и с быть скрещивающимися?
- Плоскость α проходит через основание AD трапеции ABCD. М и N — середины боковых сторон трапеции.
а) Докажите, что MN II α.
б) Найдите AD, если ВС = 4 см, MN = 6 см.
- Прямая CD проходит через вершину треугольника АВС и не лежит в плоскости АВС. Е и F — середины отрезков АВ и ВС.
а) Докажите, что CD и EF — скрещивающиеся прямые.
б) Найдите угол между прямыми CD и EF, если ∠DCA = 60°.
II уровень сложности
Вариант 1
- Прямая а параллельна плоскости α, a прямая b лежит в плоскости α. Определите, могут ли прямые а и b:
а) быть параллельными; б) пересекаться; в) быть скрещивающимися. - Точка М не лежит в плоскости трапеции ABCD (AD II ВС).
а) Докажите, что треугольники MAD и МВС имеют параллельные средние линии.
б) Найдите длины этих средних линий, если AD : ВС = 5 : 3, а средняя линия трапеции равна 16 см. - Через вершину А квадрата ABCD проведена прямая КА, не лежащая в плоскости квадрата.
a) Докажите, что КА и CD — скрещивающиеся прямые.
б) Найдите угол между КА и CD, если ∠АКВ = 85°, ∠АВК = 45°.
Вариант 2
- Прямая а параллельна плоскости α, а прямая b пересекает плоскость α. Определите, могут ли а и b:
а) быть параллельными; б) пересекаться; в) быть скрещивающимися. - Треугольник АВС и трапеция KMNP имеют общую среднюю линию EF, причем KP II MN, EF II AC.
а) Докажите, что АС II КР. б) Найдите КР и MN, если КР : MN= 3 : 5, АС= 16 см. - Точка М не лежит в плоскости ромба ABCD.
а) Докажите, что МС и AD — скрещивающиеся прямые.
б) Найдите угол между МС и AD, если ∠MBC = 70°, ∠BMC = 65°.
III уровень сложности
Вариант 1
- Плоскости α и β пересекаются по прямой l. Прямая а параллельна прямой l и является скрещивающейся с прямой b. Определите, могут ли прямые а и b:
а) лежать в одной из данных плоскостей;
б) лежать в разных плоскостях α и β;
в) пересекать плоскости α и β. В случае утвердительного ответа укажите взаимное расположение прямых а и b. - Плоскость α пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках М и N соответственно, причем AM : МВ = 3 : 4, CN : ВС = 3 : 7.
а) Докажите, что АС II α. б) Найдите АС, если MN = 16см. - Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Найдите угол между прямыми АС и ВД, если АС = 6 см, BD = 8 см, а расстояние между серединами отрезков AD и ВС равно 5 см.
Вариант 2
- Плоскости α и β пересекаются по прямой l. Прямые l и а пересекаются, а прямые l и b параллельны. Определите, могут ли прямые а и b:
а) лежать в одной из плоскостей;
б) лежать в разных плоскостях α и β;
в) пересекать плоскости α и β. В случае утвердительного ответа укажите взаимное расположение прямых а и b. - Плоскость α проходит через сторону АС треугольника АВС. Прямая пересекает стороны АВ и ВС данного треугольника в точках М и N соответственно, причем BN : NC= 2 : 3, AM : АВ = 3 : 5.
а) Докажите, что MN II α. б) Найдите MN, если АС = 30 см. - Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Найдите угол между прямыми АВ и CD, если АВ = CD = 6 см, а расстояние между серединами отрезков AD и ВС = 3 см.
3. Рефлексия учебной деятельности
В конце урока учитель раздает на каждую парту краткую запись решения задач контрольной работы.
Домашнее задание: решить задачи, с которыми ученик не справился.
ОТВЕТЫ на все варианты контрольной работы
Решение заданий I уровня сложности
Решение заданий II уровня сложности
Решение заданий III уровня сложности
Вы смотрели: Геометрия 10 класс Контрольная № 1. Поурочное планирование по геометрии для 10 класса. УМК Атанасян (Просвещение). Урок 15. Контрольная работа по геометрии «Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение прямых, прямой и плоскости» + ОТВЕТЫ.
Смотреть Список всех контрольных по геометрии в 10 классе по УМК Атанасян.
Тест по геометрии (10 класс) на тему: Итоговый тест по геометрии за курс 10 класса по учебнику А. В. Погорелова
Вариант 1.
Выбери верный ответ.
- Плоскость, притом только одна, проходит через а) любые три точки; б) любые три точки лежащие на одной прямой; в) любые три точки не лежащие на одной прямой.
- В кубе АВСDA1B1C1D1 плоскости АСС1 и В1С1С пересекаются по прямой
а) АС; б) ВС; в) СС1.
В1 С1
А1 D1
В С
А D
3.Выберите верное утверждение.
а) Две прямые называются параллельными, если они не имеют общих точек; б) две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны; в) две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны; г) если углы равны, то их стороны соответственно сонаправлены.
4. Прямая а, параллельная прямой b, пересекает плоскость α. Прямая с параллельна прямой b, тогда:
а) прямые а и с пересекаются; б) прямая с лежит в плоскости α; в) прямые а и с скрещиваются; г) прямые а и с параллельны.
5. Плоскость пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС соответственно в точках К и Р. Известно, что ВС // , тогда прямые ВС и КР а) пересекаются; б) параллельны; в) скрещиваются.
6. Точка К не лежит в плоскости треугольника ВДС, точки А, М, и Р – середины отрезков КВ, КД, КС соответственно. Каково взаимное расположение плоскостей ВДС и АМР ?
а) плоскости параллельны; б) плоскости пересекаются; в) их расположение определить нельзя.
7. Прямые а и в лежат в параллельных плоскостях, следовательно эти прямые а)скрещиваются или пересекаются; б) скрещиваются или параллельны; в) только скрещиваются; г) только параллельны.
8. Какое из следующих утверждений верно?
а) Две прямые перпендикулярные третьей перпендикулярны между собой;
б) прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна хотя бы одной прямой, лежащей в этой плоскости;
в) две прямые, перпендикулярные к плоскости, перпендикулярны между собой
г) прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
9. Две скрещивающиеся прямые взаимно перпендикулярны. Чему равен угол между ними?
а) 900; б) 00; в) 1800; г) 450.
10. Через вершину квадрата ABCD проведена прямая ВM, перпендикулярная его плоскости. Какое из следующих утверждений неверно?
а) MD CD; б) MBBC; в) MААD; г) MВAC .
М
В С
А D
11. Прямая ДА перпендикулярна сторонам АВ и АС треугольника АВС и не лежит в его плоскости (рис. 1). Перпендикулярными являются плоскости а) DАС и АВС; б) DАВ и DВС; в) DАС и DВС; г) ДВС и АВС.
D Рис. 1
С А
В
12. Равнобедренные треугольники АВС и АDС имеют общее основание АС, причем ВD АВС. ВМ – медиана треугольника АВС (рис. 2). Линейным углом для двугранного угла DАСВ является угол
а) DАВ; б) DСВ; в) DМВ г) DАС.
D Рис.2
А В
М
С
13. Пирамида ДАВС правильная. О – центр основания АВС, ОК – радиус окружности вписанной в основание (рис.3). Линейным для двугранного угла при основании является угол а) DАО; б) DСО; в) DАС; г) DКО.
D Рис. 3
А В
О
К
С
14. Что представляет собой осевое сечение любой правильной пирамиды?
А) равносторонний треугольник
Б) прямоугольник
В) трапеция
Г) равнобедренный треугольник
В заданих 15-18 запишите полное решение
15. Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 4см .Найдите расстояние от точки M до плоскости ABC, если AB = 6см.
М
А В
О
С
16. Из точки М к плоскости α проведены две наклонные, длины которых 20см и 15см. Их проекции на эту плоскость относятся как 16 : 9. Найдите расстояние от точки М до плоскости α.
М
О А
С
17. Чему равна площадь боковой поверхности куба с ребром 10?
18. Чему равна площадь полной поверхности куба, если его диагональ равна d?
Вариант 2.
Выбери верный ответ.
1. Плоскость, притом только одна, проходит через а) прямую; б) прямую и не лежащую на ней точку; в) прямую и лежащую на ней точку.
2. В кубе АВСDA1B1C1D1 ( рис.1) плоскости D1B1B и B1A1D1
а) не пересекаются ;
D1 С1 б) пересекаются по прямой А1В;
А1 В1 в) пересекаются по прямой B1D1 .
D С
A В
3. Выберите верное утверждение.
а) если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то углы равны; б) две прямые, параллельные третьей прямой, пересекаются; в) две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны; г) две прямые, имеющие общую точку, являются скрещивающимися.
4. Прямая с, параллельная прямой а, пересекает плоскость β. Прямая b параллельна прямой а, тогда:
а) прямые b и с пересекаются; б) прямая b лежит в плоскости β; в) прямые b и с скрещиваются; г) прямые b и с параллельны.
5. Плоскость пересекает стороны ВС и АС треугольника АВС соответственно в точках М и Е. Известно, что АВ // , тогда прямые АВ и МЕ а) пересекаются; б) параллельны; в) скрещиваются.
6. Точка D не лежит в плоскости треугольника АВС, точки Р, О, и М – середины отрезков DА, DВ, DС соответственно. Каково взаимное расположение плоскостей АВС и РОМ ?
а) плоскости параллельны; б) плоскости пересекаются; в) их расположение определить нельзя.
7. Прямые а и в лежат в параллельных плоскостях, следовательно эти прямые а)скрещиваются или пересекаются; б) скрещиваются или параллельны; в) только скрещиваются; г) только параллельны.
8. Какое из следующих утверждений неверно?
а) Если прямая перпендикулярна к двум прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости;
б) если прямая перпендикулярна к плоскости, то она ее пересекает;
в) если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны;
г) если две прямые перпендикулярны к плоскости ,то они параллельны;
9. Если одна из двух скрещивающихся прямых перпендикулярна к плоскости, то будет ли перпендикулярна к этой плоскости вторая прямая?
а) Да; б) да, но при определенных условиях; в) определить нельзя; г) нет.
10. Прямая МВ перпендикулярна сторонам АВ и ВС треугольника АВС и не лежит в его плоскости (рис. 1). Перпендикулярными являются плоскости а) МАС и АВС; б) МАВ и АВС; в) МАС и МВС; г) МВС и МАС.
М
А В
С
11. Равнобедренные треугольники АВС и АВD имеют общее основание АВ, причем СD АВС. СК – медиана треугольника АВС (рис. 2). Линейным углом для двугранного угла САВD является угол
а) DАВ; б) DВС; в) DАС; г) СКD.
С
А D
К
В
12. Пирамида КАВС правильная. О – центр основания АВС, ОН – радиус окружности вписанной в основание (рис.3). Линейным для двугранного угла при основании является угол а) КНО; б) КАО; в) КСО; г) НКО.
К Рис. 3
В А
О
Н
С
13. Что представляет собой диагональное сечение призмы?
А) параллелограмм Г) прямоугольник
Б) квадрат Д) не знаю
В) трапеция
14. Может ли диагональ прямоугольного параллепипеда быть меньше диагонали боковой грани?
А) да Б) нет В) может, но не всегда Г) не знаю
В заданиях 15-18 написать полное решение
15.Из точки М к плоскости α проведены две наклонные (рис. 1), длины которых относятся как 13 : 15 . Их проекции на эту плоскость равны 10 см и 18 см . Найдите расстояние от точки М до плоскости α.
М Рис. 1
О К
D
16. Расстояние от точки К до каждой из вершин квадрата ABCD равно 5см. Найдите расстояние от точки K до плоскости ABC, если AB =3см.
К
А В
Н
D С
17. ABCD – квадрат со стороной, равной , O – точка пересечения его диагоналей, OE – перпендикуляр к плоскости ABC, OE =. Найдите расстояние от точки E до вершин квадрата.
Е
В С
О
А D
18. Чему равна площадь полной поверхности куба с ребром 6?
Геометрия 10 класс дидактический материал | Учебно-методический материал по геометрии (10 класс) на тему:
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
ПО ГЕОМЕТРИИ
10 КЛАСС
УЧЕБНИК АТАНАСЯН Л.С.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
ТЕМА: ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
Вариант I
1. Основание AD трапеции ABCD лежит в плоскости α. Через точки В и С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках Е и F соответственно.
а) Каково взаимное положение прямых ЕF и АВ?
б) Чему равен угол между прямыми ЕF и АВ, если АВС = 150°? Поясните.
2. Дан пространственный четырехугольник ABCD, в котором диагонали АС и BD равны. Середины сторон этого четырехугольника соединены последовательно отрезками.
а) Выполните рисунок к задаче.
б) Докажите, что полученный четырехугольник есть ромб.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
ТЕМА: ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
Вариант II
1. Треугольники АВС и АDC лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону АС. Точка Р – середина стороны AD, а K – середина стороны DC.
а) Каково взаимное положение прямых РK и АВ?
б) Чему равен угол между прямыми РK и АВ, если АВС = 40° и ВСА = 80°? Поясните.
2. Дан пространственный четырехугольник АВСD, М и N – середины сторон АВ и ВС соответственно; Е CD, K DA, DE : EC = 1 : 2, DK : KA = 1 : 2.
а) Выполните рисунок к задаче.
б) Докажите, что четырехугольник MNEK есть трапеция.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
ТЕМА: ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ. ТЕТРАЭДР И ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД.
Вариант I
1. Прямые a и b лежат в параллельных плоскостях α и β. Могут ли эти прямые быть:
а) параллельными;
б) скрещивающимися?
Сделайте рисунок для каждого возможного случая.
2. Через точку О, лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые l и m. Прямая l пересекает плоскости α и β в точках А1 и А2 соответственно, прямая m – в точках В1 и В2. Найдите длину отрезка А2В2, если А1В1 = 12 см, В1О : ОВ2 = 3 : 4.
3. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки M, N и K, являющиеся серединами ребер АВ, AD и CC1.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
ТЕМА: ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ. ТЕТРАЭДР И ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД.
Вариант II
1. Прямые a и b лежат в пересекающихся плоскостях α и β. Могут ли эти прямые быть:
а) параллельными;
б) скрещивающимися?
Сделайте рисунок для каждого возможного случая.
2. Через точку О, не лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые l и m. Прямая l пересекает плоскости α и β в точках А1 и А2 соответственно, прямая m – в точках В1 и В2. Найдите длину отрезка А1В1, если А2В2 = 15 см, ОВ1 : ОВ2 = 3 : 5.
3. Изобразите тетраэдр DABC и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки M и N, являющиеся серединами ребер DC и BC, и точку K, такую, что K DA, АK : KD = 1 : 3.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3
ТЕМА: ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
Вариант I
1. Диагональ куба равна 6 см. Найдите:
а) ребро куба;
б) косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.
2. Сторона АВ ромба ABCD равна a, один из углов равен 60°. Через сторону АВ проведена плоскость α на расстоянии от точки D.
а) Найдите расстояние от точки С до плоскости α.
б) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла DABM,
М α.
в) Найдите синус угла между плоскостью ромба и плоскостью α.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3
ТЕМА: ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
Вариант II
1. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат; диагональ параллелепипеда равна 2 см, а его измерения относятся как 1 : 1 : 2. Найдите:
а) измерения параллелепипеда;
б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.
2. Сторона квадрата ABCD равна а. Через сторону AD проведена плоскость α на расстоянии от точки В.
а) Найдите расстояние от точки С до плоскости α.
б) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла BADM,
М α.
в) Найдите синус угла между плоскостью квадрата и плоскостью α.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4
ТЕМА: МНОГОГРАННИКИ
Вариант I
1. Основанием пирамиды DABC является правильный треугольник АВС, сторона которого равна а. Ребро DA перпендикулярно к плоскости АВС, а плоскость DBC составляет с плоскостью АВС угол в 30°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
2. Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, сторона которого равна а и угол равен 60°. Плоскость AD1C1 составляет с плоскостью основания угол в 60°. Найдите:
а) высоту ромба;
б) высоту параллелепипеда;
в) площадь боковой поверхности параллелепипеда;
г) площадь поверхности параллелепипеда.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4
ТЕМА: МНОГОГРАННИКИ
Вариант II
1. Основанием пирамиды MABCD является квадрат ABCD, ребро MD перпендикулярно к плоскости основания, AD = DM = a. Найдите площадь поверхности пирамиды.
2. Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD, стороны которого равны а и 2а, острый угол равен 45°. Высота параллелепипеда равна меньшей высоте параллелограмма. Найдите:
а) меньшую высоту параллелограмма;
б) угол между плоскостью АВС1 и плоскостью основания;
в) площадь боковой поверхности параллелепипеда;
г) площадь поверхности параллелепипеда.
Десятый класс (10 класс) Круги Вопросы для тестов и рабочих листов
Каковы пропущенные причины в шагах 2 и 6 доказательства?Учитывая показанный круг, где [math] m \ stackrel {\ frown} {EB} = m \ stackrel {\ frown} {DC} [/ math] и с [math] bar {EC}, bar {BD}, & \ bar {ED} [/ math] не нарисовано, докажите, что [math] треугольник EBD ~ = треугольник DCE [/ math].
| [математика] «Утверждение» [/ математика] | [математика] «Причина» [/ математика] |
| [математика] 1.Панель «Рисование» {EC}, панель {DB}, & \ bar {ED} [/ math] | [math] 1. «Две точки определяют линию» [/ math] |
| [math] 2. m \ stackrel {\ frown} {EB} = m \ stackrel {\ frown} {DC} [/ math] | [math] 2. [/ math] |
| [math] 3. m ang EDB = 1/2 m \ stackrel {\ frown} {EB} [/ math] | [math] 3. «Мера вписанного угла равна 1/2 меры пересеченной дуги» [/ math] |
| [math] 4. m ang CED = 1/2 m \ stackrel {\ frown} {CD} [/ math] | [math] 4.«Мера вписанного угла равна 1/2 меры пересеченной дуги» [/ math] |
| [math] 5. 1/2 м \ stackrel {\ frown} {EB} = 1/2 м \ stackrel {\ frown} {DC} [/ math] | [math] 5. «Мультипликативное свойство равенства» [/ math] |
| [math] 6. m ang EDB = m ang CED [/ math] | [math] 6. [/ math] |
| [math] 7. ang EDB ~ = ang CED [/ math] | [math] 7. «Определение конгруэнтных углов» [/ math] |
| [math] 8. ang EBD ~ = ang ECD [/ math] | [math] 8.«Вписанные углы, пересекающие одну и ту же дугу, совпадают» [/ math] |
| [math] 9. bar {ED} ~ = bar {ED} [/ math] | [math] 9. «Рефлексивное свойство» [/ math] |
| [math] 10. треугольник EBD ~ = треугольник DCE [/ math] | [math] 10. «ААС» [/ математика] |
- Дано; Замещающее свойство равенства
- Предположим из диаграммы; Замыкание свойства сложения
- Дано; Дополнительное свойство равенства
- Предположим из диаграммы; Замыкающее свойство умножения
Геометрия сжигания газа
Активное значение
Помечает объект моделирования как активный или пассивный.
Аффектор
Создает аффекторные отношения между группами объектов.
Слой клипа Agent Arcing
Смешивает набор анимационных клипов в зависимости от скорости поворота агента.
Слой клипа агента
Накладывает на агента дополнительные анимационные клипы.
Агент смотреть на
Выбирает объект / позицию, на которую будет смотреть голова агента.
Агент Посмотрите Применить
Перемещает голову агента, чтобы посмотреть на цель.
Агент Адаптация к местности
Приспосабливает ноги агента к местности и предотвращает скольжение ступней.
Агент Адаптация к местности
Приспосабливает ноги двуногого агента к местности.
Проекция ландшафта агента
Спроецировать точки агента / частиц на местность
Якорь: выровнять ось
Определяет ориентацию, которая выравнивает ось в пространстве объекта со второй осью, определяемой относительным расположением двух позиционных якорей.
Якорь: положение группы точек объекта
Определяет несколько точек, заданных их числом или группой, на заданной геометрии объекта моделирования.
Якорь: вращение группы точек объекта
Определяет ориентацию на основе нескольких точек на заданной геометрии объекта моделирования.
Якорь: положение идентификатора точки объекта
Определяет положение, глядя на положение точки на геометрии объекта моделирования.
Якорь: поворот идентификатора точки объекта
Определяет ориентацию, глядя на точку геометрии объекта моделирования.
Якорь: Номер точки объекта Положение
Определяет положение, глядя на положение точки на геометрии объекта моделирования.
Якорь: вращение номера точки объекта
Определяет ориентацию, глядя на точку геометрии объекта моделирования.
Якорь: положение объекта в примитиве
Определяет позицию, глядя на позицию конкретной координаты UV на примитиве.
Якорь: положение в пространстве объекта
Определяет позицию, указывая позицию в пространстве некоторого объекта моделирования.
Якорь: вращение пространства объекта
Определяет ориентацию, задавая поворот в пространстве некоторого имитационного объекта.
Якорь: положение поверхности объекта
Определяет несколько точек прикрепления на многоугольной поверхности объекта.
Якорь: положение в мировом пространстве
Определяет позицию, указывая позицию в мировом пространстве.
Якорь: вращение мирового пространства
Определяет ориентацию, задавая поворот в мировом пространстве.
Применить данные
Присоединяет данные к объектам моделирования или другим данным.
Применить отношения
Создает отношения между объектами моделирования.
Фактор смешивания
Blend Solver
Данные пули
Присоединяет к объекту соответствующие данные для объектов-маркеров.
Bullet Solver
Устанавливает и настраивает решатель Bullet Dynamics.
Плавучесть сила
Применяет равномерную силу к объектам, погруженным в жидкость.
Ограничение прикрепления ткани
Ограничивает набор точек тканевого объекта поверхностью статического объекта.
Ткань Настроить Объект
Присоединяет к объекту соответствующие данные для предметов из ткани.
Массовые свойства ткани
Определяет массовые характеристики.
Ткань Материал
Определяет физический материал деформируемой поверхности.
Поведение материала ткани
Определяет внутренние силы ткани.
Ткань Объект
Создает объект ткани из геометрии SOP.
Ткань Объект
Создает объект ткани из геометрии SOP.
Свойства пластичности ткани
Определяет свойства пластичности.
Ограничение стежка ткани
Ограничивает часть границы объекта ткани границей другого объекта ткани.
Целевые свойства ткани
Определяет, как ткань использует цель.
Визуализация ткани
Коллайдер ткани / объема
Определяет способ разрешения столкновений с тканевым объектом и Объекты ДОПов с объемными представлениями (Объекты RBD, земля самолеты и др.)
Столкновение отношений
Этикетка коллайдера
Ограничение скручивания конуса
Запрещает объекту оставаться на определенном расстоянии от ограничения и ограничивает вращение объекта.
Связь ограничения закрутки конуса
Ограничение
Сеть ограничений
Ограничивает пары объектов RBD вместе в соответствии с полигональной сетью.
Ограничение сетевых отношений
Определяет набор ограничений на основе геометрии.
Визуализация сети ограничений
Визуализирует ограничения, определенные геометрией сети ограничений.
Связь ограничений
Контейнер
Копировать данные
Создает несколько копий входных данных.
Копировать данные Solver
Устанавливает и настраивает решение для копирования данных.
Копировать информацию об объекте
Имитирует информацию, установленную DOP для копирования объекта.
Копировать объекты
Толпа нечеткой логики
Определяет нечеткую логику толпы
Объект толпы
Создает объект толпы с необходимыми атрибутами агента, который будет использоваться при моделировании толпы.
Crowd Solver
Обновляет агентов в соответствии с их управляющими силами и анимационными клипами.
Crowd Solver
Обновление агентов толпы на основе настраиваемых управляющих сил и настройка воспроизведения анимации клипов
Crowd State
Определяет состояние толпы
Crowd State
Определяет состояние толпы.
Переход толпы
Определяет переход между состояниями скопления.
Переход толпы
Определяет переход между состояниями скопления.
Триггер толпы
Определяет триггер толпы
Триггер толпы
Определяет триггер толпы
Логика триггера толпы
Объединяет несколько триггеров толпы для создания более сложного триггера.
Данные только один раз
Добавляет данные к объекту только один раз, независимо от количества проводов.
удалять
Удаляет объекты и данные в соответствии с шаблонами.
Сила перетаскивания
Применяет силу и крутящий момент к объектам, которые сопротивляются их току. направление движения.
Перетащите Свойства
Определяет, как окружающая среда влияет на объект с мягким телом.
Встраиваемые свойства
Управляет встроенной геометрией, которую можно деформировать вместе с моделируемой геометрией при моделировании методом конечных элементов.
Пустые данные
Создает пустые данные для хранения пользовательской информации.
Пустой объект
Создает пустой объект.
Пустые отношения
Включить решатель
FLIP Настроить объект
Присоединяет соответствующие данные для жидких частиц частиц, чтобы стать FLIP. жидкость на основе.
FLIP Solver
Превращает объект в жидкий объект FLIP.
FLIP жидкий объект
Fan Force
Применяет силы к объектам, как если бы на них воздействовал конусообразный вентилятор. их.
Получить данные
Извлекает часть данных из объекта моделирования.
Полевая сила
Применяет силы к объекту, используя некоторый элемент геометрии в качестве вектора. поле.
Объект нити
Создает объект вихревой нити из SOP Geometry.
Решатель нити
Со временем меняет геометрию вихревой нити.
файл
Сохраняет и загружает объекты моделирования во внешние файлы.
Данные файла
Ограничение предохранителя конечных элементов
Ограничивает точки твердого объекта или гибридного объекта точками другого объекта DOP.
Атрибуты вывода конечных элементов
Позволяет объекту конечных элементов создавать дополнительные выходные атрибуты.
Ограничение области конечных элементов
Ограничивает области твердого объекта или гибридного объекта другим твердым или гибридным объектом.
Метод конечных элементов
Устанавливает и настраивает решатель методом конечных элементов.
Объект Fluid Configure
Присоединяет к объекту соответствующие данные для жидких объектов.
Жидкая сила
Применяет силы для сопротивления текущему движению мягких тел относительно жидкости.
Жидкий объект
Присоединяет к объекту соответствующие данные для жидких объектов.
Жидкий решатель
Решатель для моделирования жидкости Sign Distance Field (SDF).
Система координат регулировки газа
Микросольвер, который настраивает внутреннюю систему координат, прикрепленную к жидким частицам в моделировании жидкости частиц.
Регулировка эластичности газа
Микрорежим, регулирующий прочность эластичных связей между пары частиц в моделировании жидкости.
Газ Адвект
Микрорежим, адвектирующий поля и геометрию за счет скорости поле.
Газ Advect CL
Микрорежим, адвектирующий поля и геометрию за счет скорости поле с использованием ускорения OpenCL.
Газовое месторождение Адвект
Микрорежим, адвектирующий поля и геометрию за счет скорости поле.
Анализ газа
Микрорежим, вычисляющий аналитические свойства полей.
Замена атрибутов газа
Микрорежим, меняющий местами геометрические атрибуты.
Плотность газовой смеси
Микрорежим, смешивающий плотности двух полей.
Газовое размытие
Микрорежим, размывающий поля.
Маска столкновения газовых сборок
Микрорежим, определяющий поле столкновения между жидкостью. поле и любые объекты-аффекторы.
Маска газового строительства
Микрорежим, который создает маску для каждого вокселя, чтобы показать наличие или отсутствие отношений между объектами.
Газовая плавучесть
Микрорежим, который вычисляет силу плавучести и обновляет поле скоростей.
Геометрия сжигания газа
Устанавливает объект для использования решателя Gas Burn.
Объект геометрии горения газа
Создает объект с соответствующими данными для использования в качестве источника огня.
Расчет газа
Микрорежим, выполняющий общие вычисления на паре поля.
Обнаружение столкновения газов
Микрорежим, обнаруживающий столкновения между частицами и геометрией.
Сжигание газа
Микрорежим, который применяет модель горения к моделированию.
Атрибуты газовых вычислений частиц
Микросольвер, который вычисляет значения атрибутов жидкости частиц для каждая частица в поле жидкости частицы.
Газовая коррекция по маркерам
Микрорежим, который регулирует SDF в соответствии с маркерами поверхности.
Газовый крест
Микрорежим, вычисляющий произведение двух векторных полей.
Сила газовой кривой
Узел DOP, который создает силы, создаваемые кривой.
Газ DSD
Микрорежим, который применяет динамику однократного детонационного удара.
Объект конфигурации Gas DSD
Добавляет соответствующие данные, чтобы дымовые объекты стали пламенем. фронтальный огонь.
Газовый DSD Solver
Микрорежим, применяющий моделирование пожара на основе фронта пламени.
Газовая влажность
Микрорежим, уменьшающий скорость, демпфируя движение.
Газовый диффузор
Микрорежим, рассеивающий атрибут поля или точки.
Диссипация газа
Микрорежим, рассеивающий поле.
Газовое возмущающее поле CL
Добавляет детали в определенном масштабе, применяя «возмущающие» силы к скалярному или векторному полю.
Газовое нарушение
Добавляет детали в определенном масштабе, применяя «возмущающие» силы к скалярному или векторному полю.
Газ каждый решатель данных
Микрорежим, который запускается один раз для каждого
GRE Количественное сравнение Геометрические практические задачи
Вот набор из 7 практических вопросов по контролю качества.Пояснения будут в конце статьи.
Примечание: все вопросы количественного сравнения имеют одинаковые четыре варианта ответа. Я не копировал варианты ответов для каждого вопроса в этом сообщении, поэтому обратите внимание на варианты ответов ниже:
а. Количество А больше.
г. Количество B больше.
г. Эти две величины равны.
г. Связь не может быть определена из предоставленной информации.
1) На схеме AC = 6.CE = 12, DF = 4, а AB параллельна DE.
2)
3) На диаграмме JL = 4 и JK = 6.
4) На схеме О — центр круга, а АВ — диаметр. Область J — это область между хордой AC и дугой окружности.
5) На схеме треугольник MNP равносторонний.
6) На схеме JKLM представляет собой квадрат. Точка S — это середина KL, а точка T — центр квадрата. Точка O находится на сегменте ST и является центром круга, проходящего через K и L.
7)
Геометрия на GRE QC
Как вы понимаете, нет гарантии, что любая геометрическая диаграмма на всем участке GRE Quant нарисована в масштабе.Фактически, большинство появляющихся диаграмм специально разработано, чтобы обмануть вас самым жестоким обманчивым способом, который только можно представить. Например, если GRE дает
без дальнейших объяснений или уточнений, наивный и доверчивый участник теста GRE подумает: «Хорошо, равносторонний треугольник», тогда как на самом деле это может быть любое из этих значений:
Никогда не обманывайтесь, веря диаграмме. В частности, одна большая группа вопросов GRE QC Geometry дает вам диаграммы, которые выглядят определенным образом, но оставляют некоторую двусмысленность открытой, и ваша задача — выявить двусмысленность, различные геометрические возможности, и не поддаваться влиянию веры в вводящие в заблуждение диаграмма.Некоторые из вышеперечисленных вопросов относятся к этому типу.
Еще одна серия вопросов GRE QC Geometry, в которых подробно рассматривается все, и ваша задача — выполнить какой-то расчет длины, угла или площади и сравнить их с чем-то.
По крайней мере, при рассмотрении вопроса GRE QC Geometry важно понимать, является ли это типом неоднозначной диаграммы или типом «все указанное». В первом случае высока вероятность получения ответа (D) !
Сводка
Если предыдущее обсуждение дало вам некоторое представление о вопросе, вы можете вернуться и взглянуть на них еще раз.Пожалуйста, дайте нам знать о своем опыте работы с вопросами GRE Geometry в разделах комментариев ниже.
Объяснение практических проблем
1) Треугольники CBA и CDE подобны, поэтому все соответствующие длины пропорциональны. Каждая длина в CBA равна половине соответствующей длины в CDE. Подумайте о DF, высоте в CDE и длине, которой она будет соответствовать в CBA: высоте от вершины B до основания AC.
Позвоните по этому номеру h .Поскольку DF = 4, h = 2.
Теперь для CBA у нас есть высота h = 2 и основание AC = 6.
Ответ = (B)
2) Здесь все исправлено и уточнено. Треугольник ABC — это прямоугольный треугольник, потому что самая длинная сторона — это диаметр. Подробнее читайте в этом сообщении в блоге о GMAT. В прямоугольном треугольнике ABC AB = 4 — гипотенуза. Обратите внимание, это НЕ треугольник 3-4-5, потому что гипотенуза равна 4.
Мы могли бы извлечь квадратный корень, чтобы найти длину AC, но нам это не нужно.AC — это сторона квадрата, поэтому AC в квадрате — это площадь квадрата. Площадь 7.
Ответ = (C)
3) Это обманчивая диаграмма. Угол в L кажется прямым, но абсолютно ничто на диаграмме или в тексте не гарантирует, что это прямой угол. Треугольник может быть:
Слева треугольник «раздавлен» почти до плоскости, и его можно раздавить еще больше, почти до нуля.Конечно, площадь может быть меньше 11. Напротив, если JK и JL перпендикулярны, тогда площадь будет A = 0,5bh = (0,5) (4) (6) = 12, что больше 11. В зависимости от диаграмма, это может пойти в любом направлении.
Ответ = (Д)
4) Мы знаем, что AB — это диаметр, и мы знаем, что угол ACB равен 90 °. Все это мы знаем. Мы не знаем положение точки C. На приведенной диаграмме точка C расположена так, что две области выглядят примерно одинаково. Перемещая точку C, мы могли радикально изменить ситуацию.Например, мы могли бы переместить C в сторону B, сделав область J намного больше.
Или мы могли бы переместить точку C на другую сторону, ближе к точке A, и в этом случае треугольник был бы намного больше, а Область J намного меньше.
Поскольку мы можем варьировать точку C для получения различных соотношений, мы не можем дать фиксированный ответ.
Ответ = (Д)
5) Это сложная задача, но мы можем решить ее полностью, не касаясь калькулятора.
Первый шаг — провести высоту от каждой вершины равностороннего треугольника до середины противоположной стороны. Это разделит равносторонний треугольник на шесть равных треугольников 30-60-90. Подробнее об этих треугольниках читайте в этом блоге GMAT. Очень удобно помнить, что таким образом можно разделить любой равносторонний треугольник.
Обратите внимание, что OP, OM и ON — это радиусы окружности. Скажем для удобства, что r = 2, поэтому OPO = OM = ON = 2.Посмотрите на вершину треугольника 30-60-90. Гипотенуза OP = 2, поэтому сторона, противоположная углу 30 °, составляет половину этого, OT = 1. Длина оставшейся стороны, противоположной 60 °, должна быть:
Площадь треугольника TOP будет:
Шесть из этих треугольников составляют весь равносторонний треугольник, так что это
Это площадь всего равностороннего треугольника. Между тем, круг имеет радиус r = 2, поэтому
Теперь заштрихованная область — это площадь круга за вычетом площади равностороннего элемента, поэтому площадь заштрихованной области составляет:
Теперь у нас есть номера по областям обоих регионов:
Независимо от того, какой квадратный корень из 3 равен, он явно меньше 2, поэтому величина A меньше 2, а величина B немного больше 2.
Ответ = (B)
6) Обратите внимание, что единственное, что не решено в задаче, — это положение точки O на отрезке ST. Это может быть верх или низ этого сегмента. Подумайте о последствиях.
Если мы переместим точку O к вершине круга, так что она будет очень близко к S, то мы получим относительно маленькие круги.
В пределе, в котором O находилась в точке S, круг был бы таким, диаметр которого равнялся бы стороне квадрата: такой круг мог бы полностью поместиться внутри квадрата, просто касаясь каждой стороны в его средней точке.Очевидно, такой круг будет иметь гораздо меньшую площадь, чем квадрат.
С другой стороны, мы могли бы переместить точку O вниз к точке T, центру квадрата. В результате получаются относительно большие круги.
В пределе, в котором O находилась в точке T, круг аккуратно содержал бы квадрат, проходящий через четыре угла. Такой круг явно имеет большую площадь, чем квадрат.
Поскольку мы можем выбрать позицию для точки O, которая допускает связь в любом случае, мы не можем определить окончательную связь между количествами.
Ответ = (Д)
7) Сложный вопрос. Давайте подойдем к этому так. Иногда очень полезно ввести переменную в геометрическую задачу. Я собираюсь сказать, что AC = x и BC = 1. Обратите внимание, что AB = x + 1. Тогда
А что будет, если x = 3? Обратите внимание:
Ясно, что они не равны, как должно быть. Что будет, если мы увеличим x? Что ж, тогда AC / BC = x просто становится больше, но AB / BC становится меньше, поэтому они не будут приближаться к равенству.Фактически, они будут отдаляться друг от друга.
Что произойдет, если x станет меньше? Что ж, тогда AC / BC = x явно становится меньше, а дробь 1 / x становится больше, когда ее знаменатель становится меньше, поэтому AB / BC будет больше. В этом случае они будут двигаться навстречу друг другу: больший становится меньше, а меньший — больше. Это означает, что они могут стать равными, если мы переместим x в этом направлении, меньше 3. Другими словами, x должен быть меньше 3.
Вот здесь, этого достаточно, чтобы определить, что ответ на вопрос QC — (B) .
Дополнительная информация для любознательных:
Если вам интересно, обратите внимание, что если x = 2, то:
Они ближе, но не равны. Если x = 1, то
Вот, они прострелили друг друга. Теперь маленький слишком большой, а большой слишком маленький! Мы промахнулись. Это говорит нам, что правильное значение x находится в диапазоне от 1 до 2.
На самом деле, некоторые студенты могут понять, что приведенная выше диаграмма и уравнение являются определением золотого сечения, и на самом деле это правильное значение x.
Если вы были знакомы с золотым сечением, это было бы сокращением для этой конкретной проблемы, но в целом вам не нужно ничего знать о золотом сечении для GRE. Золотое сечение играет большую роль в сакральной геометрии и во всех видах эзотерической мудрости (египетские храмы, Парфенон, картины Леонардо, готические соборы и т.