Дипломная работа: Золотое сечение. Золотое сечение в математике реферат

Реферат - Золотое сечение - Математика

Реферат выполнила ученица 8 класса МОУ гимназия №9Вьюшина Вероника

Екатеринбург

2002

1. Введение. Пропорция золотого сечения. Ф и φ.

«Геометрия обладает двумя великими   сокровищами.Первое — это теорема Пифагора,  второе — деления отрезка в крайнем и среднем  отношении»

Иоганн Кеплер

Правильные многоугольники привлекали вниманиедревнегреческих учёных ещё задолго да Архимеда. Пифагорейцы, выбравшие эмблемойсвоего союза пентаграмму — пятиконечную звезду, придавали очень большоезначение задаче о делении окружности на равные части, то есть о построенииправильного вписанного многоугольника. Альбрехт Дюрер (1471-1527гг), ставшийолицетворением Возрождения в Германии приводит теоретически точный способпостроения правильного пятиугольника, заимствованный из великого сочиненияПтолемея «Альмагест».  

Интерес Дюрера к построению правильных многоугольниковотражает использование их в Средние века в арабских и готических орнаментах, апосле изобретения огнестрельного оружия — в планировке крепостей.  

Средневековые способы построения правильных многоугольниковносили приближенный характер, но были (или не могли не быть) простыми:предпочтение отдавалось способам построения, не требующим даже изменять растворциркуля. Леонардо да Винчи также много писал о многоугольниках, но именноДюрер, а не Леонардо, передал средневековые способы построения потомкам. Дюрер,конечно, был знаком с " Началами" Евклида, но не привел в своем«Руководстве к измерению» (о построениях при помощи циркуля илинейки) предложенный Евклидом способ построения правильного пятиугольника,теоретически точный, как и все евклидовы построения. Евклид не пытаетсяразделить заданную дугу окружности на три равные части, и Дюрер знал, хотядоказательство было найдено лишь в XIX веке, что эта задачанеразрешима.  

Предложенное Евклидом построение правильногопятиугольника включает в себя деление отрезка прямой в среднем и крайнемотношении, названное впоследствии золотым сечением и привлекавшим к себевнимание художников и архитекторов на протяжении нескольких столетий.

Точка В делит отрезок АВЕ в среднем и крайнемотношении или образует золотое сечение, если отношение большей части отрезка кменьшей равно отношению всего отрезка к большей части.  

Записанное в виде равенства отношений золотое сечениеимеет вид  

АВ/ВЕ= АВ/АЕ

Если положить АВ=а, а ВЕ=а/Ф так, чтобы золотоеотношение было равно АВ/ВЕ=Ф, то получается соотношение  

Ф = 1+1/Ф

То есть Ф удовлетворяет уравнению

Ф2 — Ф-1=0

Это уравнение имеет один положительный корень

Ф=(√5+1)/2=1.618034….

Заметим, что 1/Ф = (√5 -1 )/2, так как (√5-1)(√5+1)=5-1=4. За 1/Ф принято считать φ=0.618034….

Ф и φ — прописная и строчная формы греческойбуквы «фи».

Такое обозначение принято в честь древнегреческогоскульптора Фидия (V век до н. э.) Фидий руководил строительством храмаПарфенон в Афинах. В пропорциях этого храма многократно присутствует числоφ .

2.История золотого сечения

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел внаучный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.).Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал уегиптян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов,барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют,что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при ихсоздании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храмафараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамсеса, пропорциифигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный нарельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительныеинструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

/>

Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал озолотом делении. Его диалог «Тимей» посвящен математическим иэстетическим воззрениям школы Пифагора и, в  частности, вопросам золотогоделения.

/>

Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 подлинным. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвестиделение Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада.При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы искульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложеныпропорции золотого деления.

/> />

В дошедшей до нас античной литературе золотое делениевпервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге«Начал» дается геометрическое построение золотого деления. ПослеЕвклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп(III в. н.э.) и др… В средневековой Европе с золотым делением познакомились поарабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры(III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностнооберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотомуделению среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии,так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник иученый, видел, что в итальянских художниках большой эмпирический опыт, нонедостаток знаний. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это времяпоявилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнениюсовременников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшимматематиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки дляискусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, гдечитает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал иЛеонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли«Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввидучего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимномзолотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачолине преминул назвать и ее «божественную суть» как выражениебожественного триединства: бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось,что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок — бога отца, авесь отрезок — бога духа святого).

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучениюзолотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованногоправильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениямисторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотоесечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

В то же время на севере Европы, в Германии, над темиже проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первомуварианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет: «Необходимо, чтобы тот, кточто-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я ивознамерился сделать».

Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с ЛукойПачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатываеттеорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношенийДюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорцияхлинией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцевопущенных рук, нижняя часть лица — ртом и т.д. Известен пропорциональныйциркуль Дюрера.

Построение ряда отрезков золотой пропорции можнопроизводить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторонууменьшения (нисходящий ряд).

Если на прямой произвольной длины, отложить отрезокm(φ), рядом откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезковвыстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов

/>

/> 

В последующие века правило золотой пропорциипревратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началасьборьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули иребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в.В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзингопубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингомпроизошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем,который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Онабсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всехявлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, нобыли и противники, которые объявили его учение о пропорциях«математической эстетикой».

3. Построение пропорции.

Рис. 1. Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC

Из точки В восстанавливается перпендикуляр, равныйполовине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученнойлинии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок ADпереносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ всоотношении золотой пропорции.

Именно эти отрезки использовал Евклид при построенииправильного пятиугольника, т.к. каждая из сторон пятиугольной звезды делитсядругими именно в такой пропорции.

Таким образом, звездчатый пятиугольник также обладает«золотым сечением». Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжитьстроить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться.

Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой.Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считаласьсимволом здоровья и служила опознавательным знаком.

В настоящее время существует гипотеза, что пентаграмма– первичное понятие, а «золотое сечение» вторично. Пентаграмму никто неизобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеютпяти-лепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те идругие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому естественнопредположить, что геометрический образ этих объектов – пентаграмма – сталаизвестна раньше, чем «золотая» пропорция.

4. Второе золотое сечение.

Болгарский журнал «Отечество» (№10, 1983 г.)опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», котороевытекает из основного сечения и дает другое отношение 44: 56.

Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а такжеимеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтальногоформата.

/>

Рис. 2. Построение второго золотого сечения

Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВделится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикулярСD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А.Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения слинией AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56 : 44.

На рисунке показано положение линии второго золотогосечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и среднейлинией прямоугольника.

/> 

Рис. 3. Деление прямоугольника линией второго золотого сечения

Таким образом было доказано, что разделить отрезок вкрайнем и среднем отношении можно не единственным способом.

5. «Золотые» фигуры.

5.1.Золотой прямоугольник:

Если построить квадрат со стороной АВ=а, найти серединуМ отрезка АВ и провести дугу окружности радиусом МС с центром в точке М допересечения с продолжением стороны АВ в точке Е, то точка В разделит отрезок АЕв крайнем и среднем отношении.  

Чтобы убедиться в этом, заметим, что по теоремеПифагора

МС2=а2+(а/2)2=5а2/4 

В силу чего

Рис 20 стр74

Прямоугольник АЕFD со сторонамиАЕ=φАD называется золотым прямоугольником. ЧетырехугольникАВСD — квадрат. Нетрудно видеть, что прямоугольник ВЕFСтакже золотой, поскольку BC=a=φВЕ. Это обстоятельство сразу наводит на мысль одальнейшем разбиении прямоугольника ВЕFС.

Можно ли считать, что прямоугольник с отношениемсторон, равным φ, выглядит изящнее, чем прямоугольники с отношениемсторон, скажем, 2:1, 3:2 или 5:7? Чтобы ответить на этот вопрос, были проведеныспециальные эксперименты. Результаты их не вполне убедительны, но все жесвидетельствуют о некотором предпочтении, отдаваемом золотому сечению. Впрочем,может ли прямоугольник сам по себе быть захватывающе прекрасным или отталкивающебезобразным?

5.2.Золотой треугольник:

Проводим прямую АВ. От точки А

/>откладываем на ней три раза отрезок О

произвольной величины, через

полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии

АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Роткладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми сточкой А. Отрезок dd1

откладываем на линию Ad1, получая точку С.Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1и dd1 пользуются для построения «золотого»

прямоугольника.

5.3. Золотой пятиугольник; построение Евклида.

Замечательный пример «золотого сечения» представляетсобой правильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый (рис. 5).

/>

Рис.6. Построение правильного пятиугольника и пентаграммы.

Для построения пентаграммы необходимо построить правильныйпятиугольник.  

Пусть О — центр окружности, А — точка на окружности иЕ — середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восстановленный в точке О,пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим надиаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильногопятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пятьточек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольникачерез один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольникаделят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собойзолотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание,отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

Есть и золотой кубоид- это прямоугольныйпараллелепипед с ребрами, имеющими длины 1.618, 1 и 0.618.

Теперь рассмотрим доказательство, предложенноеЕвклидом в «Началах».

стр.75)

из центра описанной окружности. Начнем с

отрезка АВЕ, разделенного в среднем и

крайнем отношении точкой В. Проведем далее дугиокружностей с центрами в точках В и Е и радиусах АВ, пересекающиеся в точке С.Чуть ниже докажем, что АС=АЕ, а пока примем это на веру.

Итак, пусть АС=АЕ. Обозначим через a равные углы ЕВС и СЕВ. Так как АС=АЕ, то угол АСЕ также равен a. Теорема о том, что сумма углов треугольника равна 180 градусов,позволяет найти угол ВСЕ: он равен 180-2a, а угол ЕАС — 3a — 180. Но тогда угол АВС равен 180-a. Суммируя углытреугольника АВС получаем, 

180=(3a -180) + (3a-180) + (180 — a)

Откуда 5a=360, значит a=72.

Итак, каждый из углов при основании треугольника ВЕСвдвое больше угла при вершине, равного 36 градусов. Следовательно, чтобыпостроить правильный пятиугольник, необходимо лишь провести любую окружность сцентром в точке Е, пересекающую ЕС в точке Х и сторону ЕВ в точке Y:отрезок XY служит одной из сторон вписанного в окружностьправильного пятиугольника; Обойдя вокруг всей окружности, можно найти и всеостальные стороны.

Докажем теперь, что АС=АЕ. Предположим, что вершина Ссоединена отрезком прямой с серединой N отрезка ВЕ. Заметим, чтопоскольку СВ=СЕ, то угол СNЕ прямой. По теореме Пифагора:

CN2= а2 – (а/2j) 2= а2 (1-4j 2)

Отсюда имеем (АС/а)2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2

Итак, АС = jа = jАВ = АЕ, что и требовалось доказать

5.4.Спираль Архимеда.

Последовательно отсекая от золотых прямоугольниковквадраты до бесконечности, каждый раз соединяя противоположные точки четвертьюокружности, мы получим довольно изящную кривую. Первым внимание на неё обратилдревнегреческий ученый Архимед, имя которого она и носит. Он изучал её и вывелуравнение этой спирали.

/>

/>

В настоящее время спираль Архимеда широко используетсяв технике.   

6.Числа Фибоначчи.

С золотым сечением косвенно связано имя итальянскогоматематика Леонардо из Пизы, который известен больше по своему прозвищуФибоначчи (Fibonacci — сокращенное filiusBonacci, то есть сын Боначчи)

В 1202г. им была написана книга «Liber abacci», то есть «Книга об абаке». «Liber abacci» представляет собой объемистый труд, содержащийпочти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравшийзаметную роль в развитии математики в Западной Европе в течение несколькихследующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились синдусскими («арабскими») цифрами.

Сообщаемый в книге материал поясняется на большомчисле задач, составляющих значительную часть этого трактата.  

Рассмотрим одну такую задачу:

«Сколько пар кроликов в один год от одной парырождается?

Некто поместил пару кроликов в некоем месте,огороженном со всех сторон стеной, дабы узнать, сколько пар кроликов родится втечение этого года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликоввоспроизведет другую, а рождают кролики со второго месяца после своегорождения»

Табл.1 Ряд Фибоначчи при u1=1

Перейдем теперь от кроликов к числам и рассмотримследующую числовую последовательность:

u1, u2 … un

в которой каждый член равен сумме двух предыдущих, т.е.при всяком n>2

un=un-1+un-2.

Данная последовательность асимптотически (приближаясьвсе медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению.Однако, это соотношение иррационально, то есть представляет собой число сбесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробнойчасти. Его невозможно выразить точно.

Если какой-либо член последовательности Фибоначчиразделить на предшествующий ему (например, 13:8), результатом будет величина,колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875… и через раз топревосходящая, то не достигающая его.

Асимптотическое поведение последовательности,затухающие колебания ее соотношения около иррационального числа Ф могут стать болеепонятными, если показать отношения нескольких пеpвых членов последовательности.В этом примере приведены отношения второго члена к первому, третьего ковторому, четвертого к третьему, и так далее:

1:1 = 1.0000, что меньше фи на 0.6180

2:1 = 2.0000, что больше фи на 0.3820

3:2 = 1.5000, что меньше фи на 0.1180

5:3 = 1.6667, что больше фи на 0.0486

8:5 = 1.6000, что меньше фи на 0.0180

По мере продвижения по суммационной последовательностиФибоначчи каждый новый член будет делить следующий со все большим и большимприближением к недостижимому Ф.

Человек подсознательно ищет Божественную пропорцию:она нужна для удовлетворения его потребности в комфорте.

Пpи делении любого члена последовательности Фибоначчина следующий за ним получается просто обратная к 1.618 величина (1:1.618=0.618). Hо это тоже весьма необычное, даже замечательное явление.Поскольку пеpвоначальное соотношение – бесконечная дpобь, у этого соотношениятакже не должно быть конца.

При делении каждого числа на следующее за ним черезодно, получаем число 0.382

1:0.382=2.618

Подбирая таким образом соотношения, получаем основнойнабор коэффициентов Фибоначчи: 4.235 ,2.618 ,1.618,0.618,0.382,0.236.Упомянемтакже 0.5.Все они играют особую роль в природе и в частности в техническоманализе.

Тут необходимо отметить, что Фибоначчи лишь напомнил своюпоследовательность человечеству, так как она была известна еще в древнейшиевремена под названием Золотое сечение.

Золотое сечение, как мы видели, возникает в связи справильным пятиугольником, поэтому и числа Фибоначчи играют роль во всем, чтоимеет отношение к правильным пятиугольникам — выпуклым и звездчатым.  

Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическимказусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления врастительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходилик этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления. Ученыепродолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения. Ю.Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта (орешении Диофантовых уравнений). Возникают изящные методы решения рядакибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованиемчисел Фибоначчи и золотого сечения. В США создается даже МатематическаяФибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал.

Одним из достижений в этой области является открытиеобобщенных чисел Фибоначчи и обобщенных золотых сечений. Ряд Фибоначчи (1, 1,2, 3, 5, 8) и открытый им же «двоичный» ряд чисел 1, 2, 4, 8, 16...(то есть рядчисел до n, где любое натуральное число, меньшее nможно представить суммой некоторых чисел этого ряда) на первый взглядсовершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: впервом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой 2 = 1 +1; 4 = 2 + 2..., во втором – это сумма двух предыдущих чисел 2 =1 + 1, 3 = 2 +1, 5 = 3 + 2… Нельзя ли отыскать общую математическую формулу, из которойполучаются и «двоичный» ряд, и ряд Фибоначчи?  

Действительно, зададимся числовым параметром S,который может принимать любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5… Рассмотрим числовойряд, S + 1 первых членов которого – единицы, а каждый из последующих равенсумме двух членов предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n-йчлен этого ряда мы обозначим через S (n), то получим общую формулу S (n) = S (n– 1) + S (n – S – 1).

Очевидно, что при S = 0 из этой формулы мы получим«двоичный» ряд, при S = 1 –ряд Фибоначчи, при S = 2, 3, 4. новые ряды чисел,которые получили название S-чисел Фибоначчи.

В общем виде золотая S-пропорция есть положительныйкорень уравнения золотого S-сечения xS+1 – xS – 1 = 0.

Нетрудно показать, что при S = 0 получается делениеотрезка пополам, а при S = 1 – знакомое классическое золотое сечение.

Отношения соседних S-чисел Фибоначчи с абсолютнойматематической точностью совпадают в пределе с золотыми S-пропорциями! То естьзолотые S-сечения являются числовыми инвариантами S-чисел Фибоначчи.

7.Золотое сечение в искусстве.

7.1. Золотое сечение в живописи.

Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи,нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Еголичность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пустьникто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды».

/>Нет сомнений, что Леонардо да Винчибыл великим художником, это признавали уже его современники, но его личность идеятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связноеизложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, вкоторых говорится «обо всем на свете».

Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекаетвнимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана назолотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатогопятиугольника..

Также пропорция золотого сечения проявляется в картинеШишкина. На этой знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностьюпросматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящаяна первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны — освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картиныпо горизонтали.  

В картине Рафаэля «Избиение младенцев»просматривается другой элемент золотой пропорции — золотая спираль. На подготовительномэскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции- точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка — вдоль фигурребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затемвдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Неизвестно, строил лиРафаэль золотую спираль или чувствовал её.

Т.Кук использовал при анализе картины СандроБоттичелли «рождение Венеры» золотое сеченеие.

7.2. Пирамиды золотого сечения.

Широко известны медицинские свойства пирамид, особеннозолотого сечения. По некоторым наиболее распространенным мнениям, комната, вкоторой находится такая пирамида, кажется больше, а воздух — прозрачнее. Сныначинают запоминаться лучше. Также известно, что золотое сечение широко применяласьв архитектуре и скульптуре. Примером тому стали: Пантеон и Парфенон в Греции,здания архитекторов Баженова и Малевича  

8. Заключение.

/>Необходимо сказать, что золотоесечение имеет большое применение в нашей жизни.

Было доказано, что человеческое тело делится впропорции золотого сечения линией пояса.

Раковина наутилуса закручена подобно золотой спирали.

Благодаря золотому сечению был открыт пояс астероидовмежду Марсом и Юпитером – по пропорции там должна находиться ещё одна планета.

Возбуждение струны в точке, делящей её в отношениизолотого деления, не вызовет колебаний струны, то есть это точка компенсации.

На летательных аппаратах с электромагнитнымиисточниками энергии создаются прямоугольные ячейки с пропорцией золотогосечения.  

Джоконда построена на золотых треугольниках, золотаяспираль присутствует на картине Рафаэля «Избиение младенцев».

Пропорция обнаружена в картине Сандро Боттичелли«Рождение Венеры»

Известно много памятников архитектуры, построенных сиспользованием золотой пропорции, в том числе Пантеон и Парфенон в Афинах,здания архитекторов Баженова и Малевича.

Иоанну Кеплеру, жившему пять веков назад, принадлежитвысказывание: «Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое — этотеорема Пифагора, второе — деления отрезка в крайнем и среднем отношении» 

Список литературы

1. Д. Пидоу. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1979.

2. Журнал «Наука и техника»

3. Журнал «Квант», 1973, № 8.

4. Журнал «Математика в школе», 1994, № 2; № 3.

5. Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. К.: Выщашкола, 1989.

6. Стахов А. Коды золотой пропорции.

7.Воробьев Н.Н. «Числа Фибоначчи» — М.:Наука 1964

8. «Математика — Энциклопедия для детей» М.:Аванта +, 1998

9. Информация из интернета.

www.ronl.ru

Доклад - Золотое сечение - Математика

Реферат выполнила ученица 8 класса МОУ гимназия №9Вьюшина Вероника

Екатеринбург

2002

1. Введение. Пропорция золотого сечения. Ф и φ.

«Геометрия обладает двумя великими   сокровищами.Первое — это теорема Пифагора,  второе — деления отрезка в крайнем и среднем  отношении»

Иоганн Кеплер

Правильные многоугольники привлекали вниманиедревнегреческих учёных ещё задолго да Архимеда. Пифагорейцы, выбравшие эмблемойсвоего союза пентаграмму — пятиконечную звезду, придавали очень большоезначение задаче о делении окружности на равные части, то есть о построенииправильного вписанного многоугольника. Альбрехт Дюрер (1471-1527гг), ставшийолицетворением Возрождения в Германии приводит теоретически точный способпостроения правильного пятиугольника, заимствованный из великого сочиненияПтолемея «Альмагест».  

Интерес Дюрера к построению правильных многоугольниковотражает использование их в Средние века в арабских и готических орнаментах, апосле изобретения огнестрельного оружия — в планировке крепостей.  

Средневековые способы построения правильных многоугольниковносили приближенный характер, но были (или не могли не быть) простыми:предпочтение отдавалось способам построения, не требующим даже изменять растворциркуля. Леонардо да Винчи также много писал о многоугольниках, но именноДюрер, а не Леонардо, передал средневековые способы построения потомкам. Дюрер,конечно, был знаком с " Началами" Евклида, но не привел в своем«Руководстве к измерению» (о построениях при помощи циркуля илинейки) предложенный Евклидом способ построения правильного пятиугольника,теоретически точный, как и все евклидовы построения. Евклид не пытаетсяразделить заданную дугу окружности на три равные части, и Дюрер знал, хотядоказательство было найдено лишь в XIX веке, что эта задачанеразрешима.  

Предложенное Евклидом построение правильногопятиугольника включает в себя деление отрезка прямой в среднем и крайнемотношении, названное впоследствии золотым сечением и привлекавшим к себевнимание художников и архитекторов на протяжении нескольких столетий.

Точка В делит отрезок АВЕ в среднем и крайнемотношении или образует золотое сечение, если отношение большей части отрезка кменьшей равно отношению всего отрезка к большей части.  

Записанное в виде равенства отношений золотое сечениеимеет вид  

АВ/ВЕ= АВ/АЕ

Если положить АВ=а, а ВЕ=а/Ф так, чтобы золотоеотношение было равно АВ/ВЕ=Ф, то получается соотношение  

Ф = 1+1/Ф

То есть Ф удовлетворяет уравнению

Ф2 — Ф-1=0

Это уравнение имеет один положительный корень

Ф=(√5+1)/2=1.618034….

Заметим, что 1/Ф = (√5 -1 )/2, так как (√5-1)(√5+1)=5-1=4. За 1/Ф принято считать φ=0.618034….

Ф и φ — прописная и строчная формы греческойбуквы «фи».

Такое обозначение принято в честь древнегреческогоскульптора Фидия (V век до н. э.) Фидий руководил строительством храмаПарфенон в Афинах. В пропорциях этого храма многократно присутствует числоφ .

2.История золотого сечения

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел внаучный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.).Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал уегиптян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов,барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют,что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при ихсоздании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храмафараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамсеса, пропорциифигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный нарельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительныеинструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

/>

Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал озолотом делении. Его диалог «Тимей» посвящен математическим иэстетическим воззрениям школы Пифагора и, в  частности, вопросам золотогоделения.

/>

Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 подлинным. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвестиделение Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада.При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы искульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложеныпропорции золотого деления.

/> />

В дошедшей до нас античной литературе золотое делениевпервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге«Начал» дается геометрическое построение золотого деления. ПослеЕвклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп(III в. н.э.) и др… В средневековой Европе с золотым делением познакомились поарабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры(III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностнооберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотомуделению среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии,так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник иученый, видел, что в итальянских художниках большой эмпирический опыт, нонедостаток знаний. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это времяпоявилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнениюсовременников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшимматематиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки дляискусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, гдечитает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал иЛеонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли«Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввидучего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимномзолотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачолине преминул назвать и ее «божественную суть» как выражениебожественного триединства: бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось,что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок — бога отца, авесь отрезок — бога духа святого).

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучениюзолотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованногоправильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениямисторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотоесечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

В то же время на севере Европы, в Германии, над темиже проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первомуварианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет: «Необходимо, чтобы тот, кточто-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я ивознамерился сделать».

Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с ЛукойПачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатываеттеорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношенийДюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорцияхлинией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцевопущенных рук, нижняя часть лица — ртом и т.д. Известен пропорциональныйциркуль Дюрера.

Построение ряда отрезков золотой пропорции можнопроизводить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторонууменьшения (нисходящий ряд).

Если на прямой произвольной длины, отложить отрезокm(φ), рядом откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезковвыстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов

/>

/> 

В последующие века правило золотой пропорциипревратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началасьборьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули иребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в.В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзингопубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингомпроизошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем,который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Онабсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всехявлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, нобыли и противники, которые объявили его учение о пропорциях«математической эстетикой».

3. Построение пропорции.

Рис. 1. Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC

Из точки В восстанавливается перпендикуляр, равныйполовине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученнойлинии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок ADпереносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ всоотношении золотой пропорции.

Именно эти отрезки использовал Евклид при построенииправильного пятиугольника, т.к. каждая из сторон пятиугольной звезды делитсядругими именно в такой пропорции.

Таким образом, звездчатый пятиугольник также обладает«золотым сечением». Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжитьстроить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться.

Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой.Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считаласьсимволом здоровья и служила опознавательным знаком.

В настоящее время существует гипотеза, что пентаграмма– первичное понятие, а «золотое сечение» вторично. Пентаграмму никто неизобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеютпяти-лепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те идругие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому естественнопредположить, что геометрический образ этих объектов – пентаграмма – сталаизвестна раньше, чем «золотая» пропорция.

4. Второе золотое сечение.

Болгарский журнал «Отечество» (№10, 1983 г.)опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», котороевытекает из основного сечения и дает другое отношение 44: 56.

Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а такжеимеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтальногоформата.

/>

Рис. 2. Построение второго золотого сечения

Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВделится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикулярСD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А.Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения слинией AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56 : 44.

На рисунке показано положение линии второго золотогосечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и среднейлинией прямоугольника.

/> 

Рис. 3. Деление прямоугольника линией второго золотого сечения

Таким образом было доказано, что разделить отрезок вкрайнем и среднем отношении можно не единственным способом.

5. «Золотые» фигуры.

5.1.Золотой прямоугольник:

Если построить квадрат со стороной АВ=а, найти серединуМ отрезка АВ и провести дугу окружности радиусом МС с центром в точке М допересечения с продолжением стороны АВ в точке Е, то точка В разделит отрезок АЕв крайнем и среднем отношении.  

Чтобы убедиться в этом, заметим, что по теоремеПифагора

МС2=а2+(а/2)2=5а2/4 

В силу чего

Рис 20 стр74

Прямоугольник АЕFD со сторонамиАЕ=φАD называется золотым прямоугольником. ЧетырехугольникАВСD — квадрат. Нетрудно видеть, что прямоугольник ВЕFСтакже золотой, поскольку BC=a=φВЕ. Это обстоятельство сразу наводит на мысль одальнейшем разбиении прямоугольника ВЕFС.

Можно ли считать, что прямоугольник с отношениемсторон, равным φ, выглядит изящнее, чем прямоугольники с отношениемсторон, скажем, 2:1, 3:2 или 5:7? Чтобы ответить на этот вопрос, были проведеныспециальные эксперименты. Результаты их не вполне убедительны, но все жесвидетельствуют о некотором предпочтении, отдаваемом золотому сечению. Впрочем,может ли прямоугольник сам по себе быть захватывающе прекрасным или отталкивающебезобразным?

5.2.Золотой треугольник:

Проводим прямую АВ. От точки А

/>откладываем на ней три раза отрезок О

произвольной величины, через

полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии

АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Роткладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми сточкой А. Отрезок dd1

откладываем на линию Ad1, получая точку С.Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1и dd1 пользуются для построения «золотого»

прямоугольника.

5.3. Золотой пятиугольник; построение Евклида.

Замечательный пример «золотого сечения» представляетсобой правильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый (рис. 5).

/>

Рис.6. Построение правильного пятиугольника и пентаграммы.

Для построения пентаграммы необходимо построить правильныйпятиугольник.  

Пусть О — центр окружности, А — точка на окружности иЕ — середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восстановленный в точке О,пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим надиаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильногопятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пятьточек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольникачерез один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольникаделят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собойзолотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание,отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

Есть и золотой кубоид- это прямоугольныйпараллелепипед с ребрами, имеющими длины 1.618, 1 и 0.618.

Теперь рассмотрим доказательство, предложенноеЕвклидом в «Началах».

стр.75)

из центра описанной окружности. Начнем с

отрезка АВЕ, разделенного в среднем и

крайнем отношении точкой В. Проведем далее дугиокружностей с центрами в точках В и Е и радиусах АВ, пересекающиеся в точке С.Чуть ниже докажем, что АС=АЕ, а пока примем это на веру.

Итак, пусть АС=АЕ. Обозначим через a равные углы ЕВС и СЕВ. Так как АС=АЕ, то угол АСЕ также равен a. Теорема о том, что сумма углов треугольника равна 180 градусов,позволяет найти угол ВСЕ: он равен 180-2a, а угол ЕАС — 3a — 180. Но тогда угол АВС равен 180-a. Суммируя углытреугольника АВС получаем, 

180=(3a -180) + (3a-180) + (180 — a)

Откуда 5a=360, значит a=72.

Итак, каждый из углов при основании треугольника ВЕСвдвое больше угла при вершине, равного 36 градусов. Следовательно, чтобыпостроить правильный пятиугольник, необходимо лишь провести любую окружность сцентром в точке Е, пересекающую ЕС в точке Х и сторону ЕВ в точке Y:отрезок XY служит одной из сторон вписанного в окружностьправильного пятиугольника; Обойдя вокруг всей окружности, можно найти и всеостальные стороны.

Докажем теперь, что АС=АЕ. Предположим, что вершина Ссоединена отрезком прямой с серединой N отрезка ВЕ. Заметим, чтопоскольку СВ=СЕ, то угол СNЕ прямой. По теореме Пифагора:

CN2= а2 – (а/2j) 2= а2 (1-4j 2)

Отсюда имеем (АС/а)2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2

Итак, АС = jа = jАВ = АЕ, что и требовалось доказать

5.4.Спираль Архимеда.

Последовательно отсекая от золотых прямоугольниковквадраты до бесконечности, каждый раз соединяя противоположные точки четвертьюокружности, мы получим довольно изящную кривую. Первым внимание на неё обратилдревнегреческий ученый Архимед, имя которого она и носит. Он изучал её и вывелуравнение этой спирали.

/>

/>

В настоящее время спираль Архимеда широко используетсяв технике.   

6.Числа Фибоначчи.

С золотым сечением косвенно связано имя итальянскогоматематика Леонардо из Пизы, который известен больше по своему прозвищуФибоначчи (Fibonacci — сокращенное filiusBonacci, то есть сын Боначчи)

В 1202г. им была написана книга «Liber abacci», то есть «Книга об абаке». «Liber abacci» представляет собой объемистый труд, содержащийпочти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравшийзаметную роль в развитии математики в Западной Европе в течение несколькихследующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились синдусскими («арабскими») цифрами.

Сообщаемый в книге материал поясняется на большомчисле задач, составляющих значительную часть этого трактата.  

Рассмотрим одну такую задачу:

«Сколько пар кроликов в один год от одной парырождается?

Некто поместил пару кроликов в некоем месте,огороженном со всех сторон стеной, дабы узнать, сколько пар кроликов родится втечение этого года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликоввоспроизведет другую, а рождают кролики со второго месяца после своегорождения»

Табл.1 Ряд Фибоначчи при u1=1

Перейдем теперь от кроликов к числам и рассмотримследующую числовую последовательность:

u1, u2 … un

в которой каждый член равен сумме двух предыдущих, т.е.при всяком n>2

un=un-1+un-2.

Данная последовательность асимптотически (приближаясьвсе медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению.Однако, это соотношение иррационально, то есть представляет собой число сбесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробнойчасти. Его невозможно выразить точно.

Если какой-либо член последовательности Фибоначчиразделить на предшествующий ему (например, 13:8), результатом будет величина,колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875… и через раз топревосходящая, то не достигающая его.

Асимптотическое поведение последовательности,затухающие колебания ее соотношения около иррационального числа Ф могут стать болеепонятными, если показать отношения нескольких пеpвых членов последовательности.В этом примере приведены отношения второго члена к первому, третьего ковторому, четвертого к третьему, и так далее:

1:1 = 1.0000, что меньше фи на 0.6180

2:1 = 2.0000, что больше фи на 0.3820

3:2 = 1.5000, что меньше фи на 0.1180

5:3 = 1.6667, что больше фи на 0.0486

8:5 = 1.6000, что меньше фи на 0.0180

По мере продвижения по суммационной последовательностиФибоначчи каждый новый член будет делить следующий со все большим и большимприближением к недостижимому Ф.

Человек подсознательно ищет Божественную пропорцию:она нужна для удовлетворения его потребности в комфорте.

Пpи делении любого члена последовательности Фибоначчина следующий за ним получается просто обратная к 1.618 величина (1:1.618=0.618). Hо это тоже весьма необычное, даже замечательное явление.Поскольку пеpвоначальное соотношение – бесконечная дpобь, у этого соотношениятакже не должно быть конца.

При делении каждого числа на следующее за ним черезодно, получаем число 0.382

1:0.382=2.618

Подбирая таким образом соотношения, получаем основнойнабор коэффициентов Фибоначчи: 4.235 ,2.618 ,1.618,0.618,0.382,0.236.Упомянемтакже 0.5.Все они играют особую роль в природе и в частности в техническоманализе.

Тут необходимо отметить, что Фибоначчи лишь напомнил своюпоследовательность человечеству, так как она была известна еще в древнейшиевремена под названием Золотое сечение.

Золотое сечение, как мы видели, возникает в связи справильным пятиугольником, поэтому и числа Фибоначчи играют роль во всем, чтоимеет отношение к правильным пятиугольникам — выпуклым и звездчатым.  

Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическимказусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления врастительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходилик этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления. Ученыепродолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения. Ю.Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта (орешении Диофантовых уравнений). Возникают изящные методы решения рядакибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованиемчисел Фибоначчи и золотого сечения. В США создается даже МатематическаяФибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал.

Одним из достижений в этой области является открытиеобобщенных чисел Фибоначчи и обобщенных золотых сечений. Ряд Фибоначчи (1, 1,2, 3, 5, 8) и открытый им же «двоичный» ряд чисел 1, 2, 4, 8, 16...(то есть рядчисел до n, где любое натуральное число, меньшее nможно представить суммой некоторых чисел этого ряда) на первый взглядсовершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: впервом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой 2 = 1 +1; 4 = 2 + 2..., во втором – это сумма двух предыдущих чисел 2 =1 + 1, 3 = 2 +1, 5 = 3 + 2… Нельзя ли отыскать общую математическую формулу, из которойполучаются и «двоичный» ряд, и ряд Фибоначчи?  

Действительно, зададимся числовым параметром S,который может принимать любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5… Рассмотрим числовойряд, S + 1 первых членов которого – единицы, а каждый из последующих равенсумме двух членов предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n-йчлен этого ряда мы обозначим через S (n), то получим общую формулу S (n) = S (n– 1) + S (n – S – 1).

Очевидно, что при S = 0 из этой формулы мы получим«двоичный» ряд, при S = 1 –ряд Фибоначчи, при S = 2, 3, 4. новые ряды чисел,которые получили название S-чисел Фибоначчи.

В общем виде золотая S-пропорция есть положительныйкорень уравнения золотого S-сечения xS+1 – xS – 1 = 0.

Нетрудно показать, что при S = 0 получается делениеотрезка пополам, а при S = 1 – знакомое классическое золотое сечение.

Отношения соседних S-чисел Фибоначчи с абсолютнойматематической точностью совпадают в пределе с золотыми S-пропорциями! То естьзолотые S-сечения являются числовыми инвариантами S-чисел Фибоначчи.

7.Золотое сечение в искусстве.

7.1. Золотое сечение в живописи.

Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи,нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Еголичность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пустьникто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды».

/>Нет сомнений, что Леонардо да Винчибыл великим художником, это признавали уже его современники, но его личность идеятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связноеизложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, вкоторых говорится «обо всем на свете».

Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекаетвнимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана назолотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатогопятиугольника..

Также пропорция золотого сечения проявляется в картинеШишкина. На этой знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностьюпросматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящаяна первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны — освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картиныпо горизонтали.  

В картине Рафаэля «Избиение младенцев»просматривается другой элемент золотой пропорции — золотая спираль. На подготовительномэскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции- точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка — вдоль фигурребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затемвдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Неизвестно, строил лиРафаэль золотую спираль или чувствовал её.

Т.Кук использовал при анализе картины СандроБоттичелли «рождение Венеры» золотое сеченеие.

7.2. Пирамиды золотого сечения.

Широко известны медицинские свойства пирамид, особеннозолотого сечения. По некоторым наиболее распространенным мнениям, комната, вкоторой находится такая пирамида, кажется больше, а воздух — прозрачнее. Сныначинают запоминаться лучше. Также известно, что золотое сечение широко применяласьв архитектуре и скульптуре. Примером тому стали: Пантеон и Парфенон в Греции,здания архитекторов Баженова и Малевича  

8. Заключение.

/>Необходимо сказать, что золотоесечение имеет большое применение в нашей жизни.

Было доказано, что человеческое тело делится впропорции золотого сечения линией пояса.

Раковина наутилуса закручена подобно золотой спирали.

Благодаря золотому сечению был открыт пояс астероидовмежду Марсом и Юпитером – по пропорции там должна находиться ещё одна планета.

Возбуждение струны в точке, делящей её в отношениизолотого деления, не вызовет колебаний струны, то есть это точка компенсации.

На летательных аппаратах с электромагнитнымиисточниками энергии создаются прямоугольные ячейки с пропорцией золотогосечения.  

Джоконда построена на золотых треугольниках, золотаяспираль присутствует на картине Рафаэля «Избиение младенцев».

Пропорция обнаружена в картине Сандро Боттичелли«Рождение Венеры»

Известно много памятников архитектуры, построенных сиспользованием золотой пропорции, в том числе Пантеон и Парфенон в Афинах,здания архитекторов Баженова и Малевича.

Иоанну Кеплеру, жившему пять веков назад, принадлежитвысказывание: «Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое — этотеорема Пифагора, второе — деления отрезка в крайнем и среднем отношении» 

Список литературы

1. Д. Пидоу. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1979.

2. Журнал «Наука и техника»

3. Журнал «Квант», 1973, № 8.

4. Журнал «Математика в школе», 1994, № 2; № 3.

5. Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. К.: Выщашкола, 1989.

6. Стахов А. Коды золотой пропорции.

7.Воробьев Н.Н. «Числа Фибоначчи» — М.:Наука 1964

8. «Математика — Энциклопедия для детей» М.:Аванта +, 1998

9. Информация из интернета.

www.ronl.ru

Дипломная работа - Золотое сечение

Реферат выполнила ученица 8 класса МОУ гимназия №9Вьюшина Вероника

Екатеринбург

2002

1. Введение. Пропорция золотого сечения. Ф и φ.

«Геометрия обладает двумя великими   сокровищами.Первое — это теорема Пифагора,  второе — деления отрезка в крайнем и среднем  отношении»

Иоганн Кеплер

Правильные многоугольники привлекали вниманиедревнегреческих учёных ещё задолго да Архимеда. Пифагорейцы, выбравшие эмблемойсвоего союза пентаграмму — пятиконечную звезду, придавали очень большоезначение задаче о делении окружности на равные части, то есть о построенииправильного вписанного многоугольника. Альбрехт Дюрер (1471-1527гг), ставшийолицетворением Возрождения в Германии приводит теоретически точный способпостроения правильного пятиугольника, заимствованный из великого сочиненияПтолемея «Альмагест».  

Интерес Дюрера к построению правильных многоугольниковотражает использование их в Средние века в арабских и готических орнаментах, апосле изобретения огнестрельного оружия — в планировке крепостей.  

Средневековые способы построения правильных многоугольниковносили приближенный характер, но были (или не могли не быть) простыми:предпочтение отдавалось способам построения, не требующим даже изменять растворциркуля. Леонардо да Винчи также много писал о многоугольниках, но именноДюрер, а не Леонардо, передал средневековые способы построения потомкам. Дюрер,конечно, был знаком с " Началами" Евклида, но не привел в своем«Руководстве к измерению» (о построениях при помощи циркуля илинейки) предложенный Евклидом способ построения правильного пятиугольника,теоретически точный, как и все евклидовы построения. Евклид не пытаетсяразделить заданную дугу окружности на три равные части, и Дюрер знал, хотядоказательство было найдено лишь в XIX веке, что эта задачанеразрешима.  

Предложенное Евклидом построение правильногопятиугольника включает в себя деление отрезка прямой в среднем и крайнемотношении, названное впоследствии золотым сечением и привлекавшим к себевнимание художников и архитекторов на протяжении нескольких столетий.

Точка В делит отрезок АВЕ в среднем и крайнемотношении или образует золотое сечение, если отношение большей части отрезка кменьшей равно отношению всего отрезка к большей части.  

Записанное в виде равенства отношений золотое сечениеимеет вид  

АВ/ВЕ= АВ/АЕ

Если положить АВ=а, а ВЕ=а/Ф так, чтобы золотоеотношение было равно АВ/ВЕ=Ф, то получается соотношение  

Ф = 1+1/Ф

То есть Ф удовлетворяет уравнению

Ф2 — Ф-1=0

Это уравнение имеет один положительный корень

Ф=(√5+1)/2=1.618034….

Заметим, что 1/Ф = (√5 -1 )/2, так как (√5-1)(√5+1)=5-1=4. За 1/Ф принято считать φ=0.618034….

Ф и φ — прописная и строчная формы греческойбуквы «фи».

Такое обозначение принято в честь древнегреческогоскульптора Фидия (V век до н. э.) Фидий руководил строительством храмаПарфенон в Афинах. В пропорциях этого храма многократно присутствует числоφ .

2.История золотого сечения

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел внаучный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.).Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал уегиптян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов,барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют,что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при ихсоздании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храмафараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамсеса, пропорциифигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный нарельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительныеинструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

/>

Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал озолотом делении. Его диалог «Тимей» посвящен математическим иэстетическим воззрениям школы Пифагора и, в  частности, вопросам золотогоделения.

/>

Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 подлинным. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвестиделение Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада.При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы искульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложеныпропорции золотого деления.

/> />

В дошедшей до нас античной литературе золотое делениевпервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге«Начал» дается геометрическое построение золотого деления. ПослеЕвклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп(III в. н.э.) и др… В средневековой Европе с золотым делением познакомились поарабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры(III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностнооберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотомуделению среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии,так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник иученый, видел, что в итальянских художниках большой эмпирический опыт, нонедостаток знаний. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это времяпоявилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнениюсовременников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшимматематиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки дляискусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, гдечитает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал иЛеонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли«Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввидучего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимномзолотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачолине преминул назвать и ее «божественную суть» как выражениебожественного триединства: бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось,что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок — бога отца, авесь отрезок — бога духа святого).

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучениюзолотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованногоправильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениямисторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотоесечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

В то же время на севере Европы, в Германии, над темиже проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первомуварианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет: «Необходимо, чтобы тот, кточто-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я ивознамерился сделать».

Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с ЛукойПачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатываеттеорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношенийДюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорцияхлинией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцевопущенных рук, нижняя часть лица — ртом и т.д. Известен пропорциональныйциркуль Дюрера.

Построение ряда отрезков золотой пропорции можнопроизводить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторонууменьшения (нисходящий ряд).

Если на прямой произвольной длины, отложить отрезокm(φ), рядом откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезковвыстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов

/>

/> 

В последующие века правило золотой пропорциипревратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началасьборьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули иребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в.В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзингопубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингомпроизошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем,который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Онабсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всехявлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, нобыли и противники, которые объявили его учение о пропорциях«математической эстетикой».

3. Построение пропорции.

Рис. 1. Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC

Из точки В восстанавливается перпендикуляр, равныйполовине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученнойлинии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок ADпереносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ всоотношении золотой пропорции.

Именно эти отрезки использовал Евклид при построенииправильного пятиугольника, т.к. каждая из сторон пятиугольной звезды делитсядругими именно в такой пропорции.

Таким образом, звездчатый пятиугольник также обладает«золотым сечением». Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжитьстроить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться.

Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой.Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считаласьсимволом здоровья и служила опознавательным знаком.

В настоящее время существует гипотеза, что пентаграмма– первичное понятие, а «золотое сечение» вторично. Пентаграмму никто неизобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеютпяти-лепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те идругие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому естественнопредположить, что геометрический образ этих объектов – пентаграмма – сталаизвестна раньше, чем «золотая» пропорция.

4. Второе золотое сечение.

Болгарский журнал «Отечество» (№10, 1983 г.)опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», котороевытекает из основного сечения и дает другое отношение 44: 56.

Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а такжеимеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтальногоформата.

/>

Рис. 2. Построение второго золотого сечения

Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВделится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикулярСD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А.Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения слинией AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56 : 44.

На рисунке показано положение линии второго золотогосечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и среднейлинией прямоугольника.

/> 

Рис. 3. Деление прямоугольника линией второго золотого сечения

Таким образом было доказано, что разделить отрезок вкрайнем и среднем отношении можно не единственным способом.

5. «Золотые» фигуры.

5.1.Золотой прямоугольник:

Если построить квадрат со стороной АВ=а, найти серединуМ отрезка АВ и провести дугу окружности радиусом МС с центром в точке М допересечения с продолжением стороны АВ в точке Е, то точка В разделит отрезок АЕв крайнем и среднем отношении.  

Чтобы убедиться в этом, заметим, что по теоремеПифагора

МС2=а2+(а/2)2=5а2/4 

В силу чего

Рис 20 стр74

Прямоугольник АЕFD со сторонамиАЕ=φАD называется золотым прямоугольником. ЧетырехугольникАВСD — квадрат. Нетрудно видеть, что прямоугольник ВЕFСтакже золотой, поскольку BC=a=φВЕ. Это обстоятельство сразу наводит на мысль одальнейшем разбиении прямоугольника ВЕFС.

Можно ли считать, что прямоугольник с отношениемсторон, равным φ, выглядит изящнее, чем прямоугольники с отношениемсторон, скажем, 2:1, 3:2 или 5:7? Чтобы ответить на этот вопрос, были проведеныспециальные эксперименты. Результаты их не вполне убедительны, но все жесвидетельствуют о некотором предпочтении, отдаваемом золотому сечению. Впрочем,может ли прямоугольник сам по себе быть захватывающе прекрасным или отталкивающебезобразным?

5.2.Золотой треугольник:

Проводим прямую АВ. От точки А

/>откладываем на ней три раза отрезок О

произвольной величины, через

полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии

АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Роткладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми сточкой А. Отрезок dd1

откладываем на линию Ad1, получая точку С.Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1и dd1 пользуются для построения «золотого»

прямоугольника.

5.3. Золотой пятиугольник; построение Евклида.

Замечательный пример «золотого сечения» представляетсобой правильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый (рис. 5).

/>

Рис.6. Построение правильного пятиугольника и пентаграммы.

Для построения пентаграммы необходимо построить правильныйпятиугольник.  

Пусть О — центр окружности, А — точка на окружности иЕ — середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восстановленный в точке О,пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим надиаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильногопятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пятьточек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольникачерез один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольникаделят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собойзолотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание,отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

Есть и золотой кубоид- это прямоугольныйпараллелепипед с ребрами, имеющими длины 1.618, 1 и 0.618.

Теперь рассмотрим доказательство, предложенноеЕвклидом в «Началах».

стр.75)

из центра описанной окружности. Начнем с

отрезка АВЕ, разделенного в среднем и

крайнем отношении точкой В. Проведем далее дугиокружностей с центрами в точках В и Е и радиусах АВ, пересекающиеся в точке С.Чуть ниже докажем, что АС=АЕ, а пока примем это на веру.

Итак, пусть АС=АЕ. Обозначим через a равные углы ЕВС и СЕВ. Так как АС=АЕ, то угол АСЕ также равен a. Теорема о том, что сумма углов треугольника равна 180 градусов,позволяет найти угол ВСЕ: он равен 180-2a, а угол ЕАС — 3a — 180. Но тогда угол АВС равен 180-a. Суммируя углытреугольника АВС получаем, 

180=(3a -180) + (3a-180) + (180 — a)

Откуда 5a=360, значит a=72.

Итак, каждый из углов при основании треугольника ВЕСвдвое больше угла при вершине, равного 36 градусов. Следовательно, чтобыпостроить правильный пятиугольник, необходимо лишь провести любую окружность сцентром в точке Е, пересекающую ЕС в точке Х и сторону ЕВ в точке Y:отрезок XY служит одной из сторон вписанного в окружностьправильного пятиугольника; Обойдя вокруг всей окружности, можно найти и всеостальные стороны.

Докажем теперь, что АС=АЕ. Предположим, что вершина Ссоединена отрезком прямой с серединой N отрезка ВЕ. Заметим, чтопоскольку СВ=СЕ, то угол СNЕ прямой. По теореме Пифагора:

CN2= а2 – (а/2j) 2= а2 (1-4j 2)

Отсюда имеем (АС/а)2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2

Итак, АС = jа = jАВ = АЕ, что и требовалось доказать

5.4.Спираль Архимеда.

Последовательно отсекая от золотых прямоугольниковквадраты до бесконечности, каждый раз соединяя противоположные точки четвертьюокружности, мы получим довольно изящную кривую. Первым внимание на неё обратилдревнегреческий ученый Архимед, имя которого она и носит. Он изучал её и вывелуравнение этой спирали.

/>

/>

В настоящее время спираль Архимеда широко используетсяв технике.   

6.Числа Фибоначчи.

С золотым сечением косвенно связано имя итальянскогоматематика Леонардо из Пизы, который известен больше по своему прозвищуФибоначчи (Fibonacci — сокращенное filiusBonacci, то есть сын Боначчи)

В 1202г. им была написана книга «Liber abacci», то есть «Книга об абаке». «Liber abacci» представляет собой объемистый труд, содержащийпочти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравшийзаметную роль в развитии математики в Западной Европе в течение несколькихследующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились синдусскими («арабскими») цифрами.

Сообщаемый в книге материал поясняется на большомчисле задач, составляющих значительную часть этого трактата.  

Рассмотрим одну такую задачу:

«Сколько пар кроликов в один год от одной парырождается?

Некто поместил пару кроликов в некоем месте,огороженном со всех сторон стеной, дабы узнать, сколько пар кроликов родится втечение этого года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликоввоспроизведет другую, а рождают кролики со второго месяца после своегорождения»

Табл.1 Ряд Фибоначчи при u1=1

Перейдем теперь от кроликов к числам и рассмотримследующую числовую последовательность:

u1, u2 … un

в которой каждый член равен сумме двух предыдущих, т.е.при всяком n>2

un=un-1+un-2.

Данная последовательность асимптотически (приближаясьвсе медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению.Однако, это соотношение иррационально, то есть представляет собой число сбесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробнойчасти. Его невозможно выразить точно.

Если какой-либо член последовательности Фибоначчиразделить на предшествующий ему (например, 13:8), результатом будет величина,колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875… и через раз топревосходящая, то не достигающая его.

Асимптотическое поведение последовательности,затухающие колебания ее соотношения около иррационального числа Ф могут стать болеепонятными, если показать отношения нескольких пеpвых членов последовательности.В этом примере приведены отношения второго члена к первому, третьего ковторому, четвертого к третьему, и так далее:

1:1 = 1.0000, что меньше фи на 0.6180

2:1 = 2.0000, что больше фи на 0.3820

3:2 = 1.5000, что меньше фи на 0.1180

5:3 = 1.6667, что больше фи на 0.0486

8:5 = 1.6000, что меньше фи на 0.0180

По мере продвижения по суммационной последовательностиФибоначчи каждый новый член будет делить следующий со все большим и большимприближением к недостижимому Ф.

Человек подсознательно ищет Божественную пропорцию:она нужна для удовлетворения его потребности в комфорте.

Пpи делении любого члена последовательности Фибоначчина следующий за ним получается просто обратная к 1.618 величина (1:1.618=0.618). Hо это тоже весьма необычное, даже замечательное явление.Поскольку пеpвоначальное соотношение – бесконечная дpобь, у этого соотношениятакже не должно быть конца.

При делении каждого числа на следующее за ним черезодно, получаем число 0.382

1:0.382=2.618

Подбирая таким образом соотношения, получаем основнойнабор коэффициентов Фибоначчи: 4.235 ,2.618 ,1.618,0.618,0.382,0.236.Упомянемтакже 0.5.Все они играют особую роль в природе и в частности в техническоманализе.

Тут необходимо отметить, что Фибоначчи лишь напомнил своюпоследовательность человечеству, так как она была известна еще в древнейшиевремена под названием Золотое сечение.

Золотое сечение, как мы видели, возникает в связи справильным пятиугольником, поэтому и числа Фибоначчи играют роль во всем, чтоимеет отношение к правильным пятиугольникам — выпуклым и звездчатым.  

Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическимказусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления врастительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходилик этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления. Ученыепродолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения. Ю.Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта (орешении Диофантовых уравнений). Возникают изящные методы решения рядакибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованиемчисел Фибоначчи и золотого сечения. В США создается даже МатематическаяФибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал.

Одним из достижений в этой области является открытиеобобщенных чисел Фибоначчи и обобщенных золотых сечений. Ряд Фибоначчи (1, 1,2, 3, 5, 8) и открытый им же «двоичный» ряд чисел 1, 2, 4, 8, 16...(то есть рядчисел до n, где любое натуральное число, меньшее nможно представить суммой некоторых чисел этого ряда) на первый взглядсовершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: впервом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой 2 = 1 +1; 4 = 2 + 2..., во втором – это сумма двух предыдущих чисел 2 =1 + 1, 3 = 2 +1, 5 = 3 + 2… Нельзя ли отыскать общую математическую формулу, из которойполучаются и «двоичный» ряд, и ряд Фибоначчи?  

Действительно, зададимся числовым параметром S,который может принимать любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5… Рассмотрим числовойряд, S + 1 первых членов которого – единицы, а каждый из последующих равенсумме двух членов предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n-йчлен этого ряда мы обозначим через S (n), то получим общую формулу S (n) = S (n– 1) + S (n – S – 1).

Очевидно, что при S = 0 из этой формулы мы получим«двоичный» ряд, при S = 1 –ряд Фибоначчи, при S = 2, 3, 4. новые ряды чисел,которые получили название S-чисел Фибоначчи.

В общем виде золотая S-пропорция есть положительныйкорень уравнения золотого S-сечения xS+1 – xS – 1 = 0.

Нетрудно показать, что при S = 0 получается делениеотрезка пополам, а при S = 1 – знакомое классическое золотое сечение.

Отношения соседних S-чисел Фибоначчи с абсолютнойматематической точностью совпадают в пределе с золотыми S-пропорциями! То естьзолотые S-сечения являются числовыми инвариантами S-чисел Фибоначчи.

7.Золотое сечение в искусстве.

7.1. Золотое сечение в живописи.

Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи,нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Еголичность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пустьникто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды».

/>Нет сомнений, что Леонардо да Винчибыл великим художником, это признавали уже его современники, но его личность идеятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связноеизложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, вкоторых говорится «обо всем на свете».

Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекаетвнимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана назолотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатогопятиугольника..

Также пропорция золотого сечения проявляется в картинеШишкина. На этой знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностьюпросматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящаяна первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны — освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картиныпо горизонтали.  

В картине Рафаэля «Избиение младенцев»просматривается другой элемент золотой пропорции — золотая спираль. На подготовительномэскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции- точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка — вдоль фигурребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затемвдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Неизвестно, строил лиРафаэль золотую спираль или чувствовал её.

Т.Кук использовал при анализе картины СандроБоттичелли «рождение Венеры» золотое сеченеие.

7.2. Пирамиды золотого сечения.

Широко известны медицинские свойства пирамид, особеннозолотого сечения. По некоторым наиболее распространенным мнениям, комната, вкоторой находится такая пирамида, кажется больше, а воздух — прозрачнее. Сныначинают запоминаться лучше. Также известно, что золотое сечение широко применяласьв архитектуре и скульптуре. Примером тому стали: Пантеон и Парфенон в Греции,здания архитекторов Баженова и Малевича  

8. Заключение.

/>Необходимо сказать, что золотоесечение имеет большое применение в нашей жизни.

Было доказано, что человеческое тело делится впропорции золотого сечения линией пояса.

Раковина наутилуса закручена подобно золотой спирали.

Благодаря золотому сечению был открыт пояс астероидовмежду Марсом и Юпитером – по пропорции там должна находиться ещё одна планета.

Возбуждение струны в точке, делящей её в отношениизолотого деления, не вызовет колебаний струны, то есть это точка компенсации.

На летательных аппаратах с электромагнитнымиисточниками энергии создаются прямоугольные ячейки с пропорцией золотогосечения.  

Джоконда построена на золотых треугольниках, золотаяспираль присутствует на картине Рафаэля «Избиение младенцев».

Пропорция обнаружена в картине Сандро Боттичелли«Рождение Венеры»

Известно много памятников архитектуры, построенных сиспользованием золотой пропорции, в том числе Пантеон и Парфенон в Афинах,здания архитекторов Баженова и Малевича.

Иоанну Кеплеру, жившему пять веков назад, принадлежитвысказывание: «Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое — этотеорема Пифагора, второе — деления отрезка в крайнем и среднем отношении» 

Список литературы

1. Д. Пидоу. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1979.

2. Журнал «Наука и техника»

3. Журнал «Квант», 1973, № 8.

4. Журнал «Математика в школе», 1994, № 2; № 3.

5. Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. К.: Выщашкола, 1989.

6. Стахов А. Коды золотой пропорции.

7.Воробьев Н.Н. «Числа Фибоначчи» — М.:Наука 1964

8. «Математика — Энциклопедия для детей» М.:Аванта +, 1998

9. Информация из интернета.

www.ronl.ru

Читать реферат по математике: "Золотое сечение"

(Назад) (Cкачать работу)

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

Содержание.

1.Введение. Пропорция золотого

сечения. Ф и φ.

"Геометрия обладает двумя великими

сокровищами. Первое - это теорема Пифагора,

второе - деления отрезка в крайнем и среднем

отношении"

Иоганн КеплерПравильные многоугольники привлекали внимание древнегреческих учёных ещё задолго да Архимеда. Пифагорейцы, выбравшие эмблемой своего союза пентаграмму - пятиконечную звезду, придавали очень большое значение задаче о делении окружности на равные части, то есть о построении правильного вписанного многоугольника. Альбрехт Дюрер (1471-1527гг), ставший олицетворением Возрождения в Германии приводит теоретически точный способ построения правильного пятиугольника, заимствованный из великого сочинения Птолемея "Альмагест".

Интерес Дюрера к построению правильных многоугольников отражает использование их в Средние века в арабских и готических орнаментах, а после изобретения огнестрельного оружия - в планировке крепостей.

Средневековые способы построения правильных многоугольников носили приближенный характер, но были (или не могли не быть) простыми: предпочтение отдавалось способам построения, не требующим даже изменять раствор циркуля. Леонардо да Винчи также много писал о многоугольниках, но именно Дюрер, а не Леонардо, передал средневековые способы построения потомкам. Дюрер, конечно, был знаком с " Началами" Евклида, но не привел в своем "Руководстве к измерению" (о построениях при помощи циркуля и линейки) предложенный Евклидом способ построения правильного пятиугольника, теоретически точный, как и все евклидовы построения. Евклид не пытается разделить заданную дугу окружности на три равные части, и Дюрер знал, хотя доказательство было найдено лишь в XIX веке, что эта задача неразрешима.

Предложенное Евклидом построение правильного пятиугольника включает в себя деление отрезка прямой в среднем и крайнем отношении, названное впоследствии золотым сечением и привлекавшим к себе внимание художников и архитекторов на протяжении нескольких столетий.

Точка В делит отрезок АВЕ в среднем и крайнем отношении или образует золотое сечение, если отношение большей части отрезка к меньшей равно отношению всего отрезка к большей части.

Записанное в виде равенства отношений золотое сечение имеет вид

АВ/ВЕ= АВ/АЕ

Если положить АВ=а, а ВЕ=а/Ф так, чтобы золотое отношение было равно АВ/ВЕ=Ф, то получается соотношение

Ф = 1+1/Ф

То есть Ф удовлетворяет уравнению

Ф2- Ф-1=0

Это уравнение имеет один положительный корень

Ф=(√5+1)/2=1.618034….

Заметим, что 1/Ф = (√5 -1 )/2, так как (√5-1)(√5+1) =5-1=4. За 1/Ф принято считать φ=0.618034….

Ф и φ - прописная и строчная формы греческой буквы "фи".

Такое обозначение принято в честь древнегреческого скульптора Фидия (V век до н. э.) Фидий руководил строительством храма Парфенон в Афинах. В пропорциях этого храма многократно присутствует число φ .

2.История золотого сечения

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамсеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Рис. 7. Динамические прямоугольники

прямоугольников.

Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог "Тимей" посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в

частности, вопросам золотого деления.

Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

Рис.8. Парфенон

Рис. 9. Античный циркуль золотого сечения

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в "Началах" Евклида. Во 2-й книге "Начал" дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др.. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам "Начал" Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что в итальянских художниках большой эмпирический опыт, но недостаток знаний. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли "Божественная пропорция" с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее "божественную суть" как выражение божественного триединства: бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок - бога отца, а весь отрезок - бога духа святого).

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он

referat.co

Смотрите также

• 
  Географические открытия реферат 5 класс
• 
  Реферат олимпийские игры в россии
• 
  Реферат обж правила дорожного движения
• 
  Реферат по музыке 3 класс
• 
  Реферат на тему правила этикета
• 
  Гоголь и русская литература реферат
• 
  Реферат родной город 2 класс
• 
  Реферат единство и многообразие культур
• 
  Режим дня реферат по физкультуре
• 
  Компьютер в нашей жизни реферат
• 
  Русская культура 19 века реферат