Доклад: Пределы. Сравнение бесконечно малых величин. Реферат по математике замечательные пределы

Замечательные пределы

Замечательные пределы. Примеры решений

Продолжаем наш разговор на тему Пределы и способы их решения. Перед изучением материалов данной страницы настоятельно рекомендую ознакомиться со статьей Пределы. Примеры решений. Из вышеуказанной статьи Вы сможете узнать, что же такое предел, и с чем его едят – это ОЧЕНЬ важно. Почему? Можно не понимать, что такое определители и успешно их решать, можно совершенно не понимать, что такое производная и находить их на «пятёрку». Но вот если Вы не понимаете, что такое предел, то с решением практических заданий придется туго. Также не лишним будет ознакомиться с образцами оформления решений и моими рекомендациями по оформлению. Вся информация изложена в простой и доступной форме.

А для целей данного урока нам потребуются следующие методические материалы: Замечательные пределы и Тригонометрические формулы. Их можно найти на странице Математические формулы, таблицы и справочные материалы. Лучше всего методички распечатать – это значительно удобнее, к тому же к ним часто придется обращаться в оффлайне.

Чем же замечательны замечательные пределы? Замечательность данных пределов состоит в том, что они доказаны величайшими умами знаменитых математиков, и благодарным потомкам не приходиться мучаться страшными пределами с нагромождением тригонометрических функций, логарифмов, степеней. То есть при нахождении пределов мы будем пользоваться готовыми результатами, которые доказаны теоретически.

Замечательных пределов существует несколько, но на практике у студентов-заочников в 95% случаев фигурируют два замечательных предела: Первый замечательный предел, Второй замечательный предел. Следует отметить, что это исторически сложившиеся названия, и, когда, например, говорят о «первом замечательном пределе», то подразумевают под этим вполне определенную вещь, а не какой-то случайный, взятый с потолка предел.

Начнем.

Первый замечательный предел

Рассмотрим следующий предел: (вместо родной буквы «хэ» я буду использовать греческую букву «альфа», это удобнее с точки зрения подачи материала).

Согласно нашему правилу нахождения пределов (см. статью Пределы. Примеры решений) пробуем подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль (синус нуля равен нулю), в знаменателе, очевидно, тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида , которую, к счастью, раскрывать не нужно. В курсе математического анализа, доказывается, что:

Данный математический факт носит название Первого замечательного предела.

Нередко в практических заданиях функции могут быть расположены по-другому, это ничего не меняет:

–тот же самый первый замечательный предел.

! Но самостоятельно переставлять числитель и знаменатель нельзя! Если дан предел в виде , то и решать его нужно в таком же виде, ничего не переставляя.

На практике в качестве параметра может выступать не только переменная, но и элементарная функция, сложная функция.Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю.

Примеры: ,,,

Здесь ,,,, и всё гуд – первый замечательный предел применим.

А вот следующая запись – ересь:

Почему? Потому-что многочлен не стремится к нулю, он стремится к пятерке.

Кстати, вопрос на засыпку, а чему равен предел ? Ответ можно найти в конце урока.

На практике не все так гладко, почти никогда студенту не предложат решить халявный предел и получить лёгкий зачет. Хммм… Пишу эти строки и пришла в голову очень важная мысль – все-таки «халявные» математические определения и формулы вроделучше помнить наизусть, это может оказать неоценимую помощь на зачете, когда вопрос будет решаться между «двойкой» и «тройкой», и преподаватель решит задать студенту какой-нибудь простой вопрос или предложить решить простейший пример («а может он (а) все-таки знает чего?!»).

Переходим к рассмотрению практических примеров:

Пример 1

Найти предел

Если мы замечаем в пределе синус, то это нас сразу должно наталкивать на мысль о возможности применения первого замечательного предела.

Сначала пробуем подставить 0 в выражение под знак предела (делаем это мысленно или на черновике):

Итак, а нас есть неопределенность вида , ееобязательно указываем в оформлении решения. Выражение под знаком предела у нас похоже на первый замечательный предел, но это не совсем он, под синусом находится , а в знаменателе.

В подобных случаях первый замечательный предел нам нужно организовать самостоятельно, используя искусственный прием. Ход рассуждений может быть таким: «под синусом у нас , значит, в знаменателе нам тоже нужно получить». А делается это очень просто:

То есть, знаменатель искусственно умножается в данном случае на 7 и делится на ту же семерку. Теперь запись у нас приняла знакомые очертания. Когда задание оформляется от руки, то первый замечательный предел желательно пометить простым карандашом:

Что произошло? По сути, обведенное выражение у нас превратилось в единицу и исчезло в произведении: Теперь только осталось избавиться от трехэтажности дроби:Готово. Окончательный ответ:

Если не хочется использовать пометки карандашом, то решение можно оформить так:

“ Используем первый замечательный предел“

Пример 2

Найти предел

Опять мы видим в пределе дробь и синус. Пробуем подставить в числитель и знаменатель ноль:

Действительно, у нас неопределенность и, значит, нужно попытаться организовать первый замечательный предел. На урокеПределы. Примеры решений мы рассматривали правило, что когда у нас есть неопределенность , то нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Здесь – то же самое, степени мы представим в виде произведения (множителей):

Далее, по уже знакомой схеме организовываем первые замечательные пределы. Под синусами у нас , значит, в числителе тоже нужно получить:

Аналогично предыдущему примеру, обводим карандашом замечательные пределы (здесь их два), и указываем, что они стремятся к единице:

Собственно, ответ готов:

В следующих примерах, я не буду заниматься художествами в Пэйнте, думаю, как правильно оформлять решение в тетради – Вам уже понятно.

Пример 3

Найти предел

Подставляем ноль в выражение под знаком передела:

Получена неопределенность , которую нужно раскрывать. Если в пределе есть тангенс, то почти всегда его превращают в синус и косинус по известной тригонометрической формуле(кстати, с котангенсом делают примерно то же самое, см. методический материалГорячие тригонометрические формулы на странице Математические формулы, таблицы и справочные материалы).

В данном случае:

Косинус нуля равен единице, и от него легко избавиться (не забываем пометить, что он стремится к единице):

Таким образом, если в пределе косинус является МНОЖИТЕЛЕМ, то его, грубо говоря, нужно превратить в единицу, которая исчезает в произведении.

Дальше по накатанной схеме, организуем первый замечательный предел:

Здесь все вышло проще, без всяких домножений и делений. Первый замечательный предел тоже превращается в единицу и исчезает в произведении:

В итоге получена бесконечность, бывает и такое.

Пример 4

Найти предел

Пробуем подставить ноль в числитель и знаменатель:

Получена неопределенность (косинус нуля, как мы помним, равен единице)

Используем тригонометрическую формулу . Возьмите на заметку! Пределы с применением этой формулы почему-то встречаются очень часто.

Постоянные множители вынесем за значок предела:

Организуем первый замечательный предел:

Здесь у нас только один замечательный предел, который превращается в единицу и исчезает в произведении:

Избавимся от трехэтажности:

Предел фактически решен, указываем, что оставшийся синус стремится к нулю:

Пример 5

Найти предел

Этот пример сложнее, попробуйте разобраться самостоятельно:

Второй замечательный предел

В теории математического анализа доказано, что:

Данный факт носит название второго замечательного предела.

Справка: – это иррациональное число.

В качестве параметра может выступать не только переменная, но и сложная функция.Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности.

Пример 6

Найти предел

Когда выражение под знаком предела находится в степени – это первый признак того, что нужно попытаться применить второй замечательный предел.

Но сначала, как всегда, пробуем подставить бесконечно большое число в выражение , по какому принципу это делается, разобрано на урокеПределы. Примеры решений.

Нетрудно заметить, что при основание степени , а показатель – , то есть имеется, неопределенность вида :

Данная неопределенность как раз и раскрывается с помощью второго замечательного предела. Но, как часто бывает, второй замечательный предел не лежит на блюдечке с голубой каемочкой, и его нужно искусственно организовать. Рассуждать можно следующим образом: в данном примере параметр , значит, в показателе нам тоже нужно организовать. Для этого возводим основание в степень, и, чтобы выражение не изменилось – возводим в степень:

Когда задание оформляется от руки, карандашом помечаем:

Практически всё готово, страшная степень превратилась в симпатичную букву :

При этом сам значок предела перемещаем в показатель.

Далее, отметки карандашом я не делаю, принцип оформления, думаю, понятен.

Пример 7

Найти предел

Внимание! Предел подобного типа встречается очень часто, пожалуйста, очень внимательно изучите данный пример.

Пробуем подставить бесконечно большое число в выражение, стоящее под знаком предела:

В результате получена неопределенность . Но второй замечательный предел применим к неопределенности вида. Что делать? Нужно преобразовать основание степени. Рассуждаем так: в знаменателе у нас, значит, в числителе тоже нужно организовать:

Теперь можно почленно разделить числитель на знаменатель:

Вроде бы основание стало напоминать , но у нас знак «минус» да и тройка какая-то вместо единицы. Поможет следующее ухищрение, делаем дробь трехэтажной:

Таким образом, основание приняло вид , и, более того, появилась нужная нам неопределенность. Организуем второй замечательный предел. Легко заметить, что в данном примере. Снова исполняем наш искусственный прием: возводим основание степени в, и, чтобы выражение не изменилось – возводим в обратную дробь:

Наконец-то долгожданное устроено, с чистой совестью превращаем его в букву:

Но на этом мучения не закончены, в показателе у нас появилась неопределенность вида , раскрывать такую неопределенность мы научились на урокеПределы. Примеры решений. Делим числитель и знаменатель на :

Готово.

А сейчас мы рассмотрим модификацию второго замечательного предела. Напомню, что второй замечательный предел выглядит следующим образом: . Однако на практике время от времени можно встретить его «перевёртыш», который в общем виде записывается так:

Пример 8

Найти предел

Сначала (мысленно или на черновике) пробуем подставить ноль (бесконечно малое число) в выражение, стоящее под знаком предела:

В результате получена знакомая неопределенность . Очевидно, что в данном примере. С помощью знакомого искусственного приема организуем в показателе степени конструкцию:

Выражение со спокойной душой превращаем в букву:

Еще не всё, в показателе у нас появилась неопределенность вида . Раскладываем тангенс на синус и косинус (ничего не напоминает?):

Косинус нуля стремится к единице (не забываем помечать карандашом), поэтому он просто пропадает в произведении:

А что такое и к чему оно стремится, нужно уже знать, иначе «двойка»!

Как видите, в практических заданиях на вычисление пределов нередко требуется применять сразу несколько правил и приемов.

В 90-95% на зачете, экзамене Вам встретится первый замечательный предел или второй замечательный предел. Как быть, если попался «экзотический» замечательный предел? (со списком всех замечательных пределов можно ознакомиться в соответствующей методичке). Ничего страшного, практически все выкладки, приёмы решения для первого замечательного предела справедливы и для остальных замечательных пределов. Нужно решать их по аналогии.

Да, так чему же равен предел ?

Если у Вас получился ответ , значит в понимании высшей математики не всё так безнадежно = ).

Желаю успехов!

studfiles.net

Реферат - Пределы. Сравнение бесконечно малых величин

Контрольнаяработа

Дисциплина:Высшая математика

Тема: Пределы.Сравнение бесконечно малых величин

Содержание

1. Предел числовой последовательности

2. Предел функции

3. Второй замечательный предел

4. Сравнение бесконечно малых величин

Литература

1. Пределчисловой последовательности

Решение многих математических иприкладных задач приводит к последовательности чисел, заданных определеннымобразом. Выясним некоторые их свойства.

Определение 1.1. Если каждому натуральному числу /> по какому-то законупоставлено в соответствие вещественное число />,то множество чисел /> называется числовойпоследовательностью.

Исходя из определения 1, видно, чточисловая последовательность всегда содержит бесконечное число элементов.Изучение различных числовых последовательностей показывает, что с ростом номераих члены ведут себя по-разному. Они могут неограниченно увеличиваться илиуменьшаться, могут постоянно приближаться к какому-то числу или вообще непроявлять какой-либо закономерности.

Определение 1.2. Число /> называетсяпределом числовой последовательности />, еслидля любого числа /> существует такойномер числовой последовательности />,зависящий от />, что для всех номеровчисловой последовательности /> выполняетсяусловие />.

Последовательность, которая имеетпредел, называется сходящейся. В этом случае пишут />.

Очевидно, для выяснения вопроса осходимости числовой последовательности необходимо иметь критерий, который былбы основан только на свойствах ее элементов.

Теорема 1.1. (теорема Коши о сходимости числовойпоследовательности). Для того, чтобы числовая последовательность была сходящейся,необходимо и достаточно, чтобы для любого числа /> существовалтакой номер числовой последовательности />,зависящий от />, что для любых двухномеров числовой последовательности /> и />, которые удовлетворяютусловию /> и />, было бы справедливо неравенство/>.

Доказательство. Необходимость. Дано,что числовая последовательность /> сходится,значит, в соответствии с определением 2, у нее существует предел />. Выберем какое-то число />. Тогда, по определениюпредела числовой последовательности, существует такой ее номер />, что для всех номеров /> выполняется неравенство />. Но так как /> произвольно, то будетвыполняться и />. Возьмем двакаких-то номера последовательности /> и />, тогда

/>.

Отсюда следует, что />, то есть необходимостьдоказана.

Достаточность. Дано, что />. Значит, существует такойномер />, что для данного условия /> и />. В частности, если />, а />, то /> или /> при условии, что />. Это значит, что числоваяпоследовательность /> для /> ограничена. Следовательно,по крайней мере, одна из ее подпоследовательностей /> должнасходиться. Пусть />. Докажем, что /> сходится к /> также.

Возьмем произвольное />. Тогда, согласноопределению предела, существует такой номер />,что для всех /> выполняется неравенство />. С другой стороны, по условиюдано, что у последовательности /> существуеттакой номер />, что для всех /> и /> будет выполняться условие />.

Выберем /> изафиксируем некоторое />. Тогда для всех /> получим:

/>.

Отсюда следует, что />, что и требовалосьдоказать.

Определение 1.3. Числовая последовательность /> называется монотонновозрастающей, если выполняется неравенство />,и монотонно убывающей, если />.

Теорема 1.2. Любая монотонно возрастающаяограниченная сверху числовая последовательность /> имеетпредел.

Аналогичная теорема есть и длямонотонно убывающей числовой последовательности.

2. Пределфункции

При исследовании графиков различныхфункций можно видеть, что при неограниченном стремлении аргумента функции ккакой-то величине, то ли конечной, то ли бесконечной, сама функция также можетпринимать ряд значений, неограниченно приближающихся к некоторой величине.Следовательно, для функции также можно ввести понятие предела.

Определение 2.1. Число />называется пределом функции/> в точке />, если для любого /> существует такое число />, что из условия /> следует, что />.

Данное условие записывается в виде: />. Отметим, что интервалдлины />, который содержит в себеточку />, называется />-окрестностью точки />.

Аналогичным образом вводится понятиепредела функции и при стремлении /> к />. Так же как и в случаечисловой последовательности, для функции существует теорема Коши, котораяопределяет существование у нее предела.

Теорема Коши о существовании предела.Для того чтобы функция />, где />, имела предел /> при />, где />, необходимо и достаточно,чтобы для любого /> существовалотакое число />, что из условия /> вытекало условие />.

Доказательства теоремы приводить небудем. В качестве предела функции могут служить как конечные, так и бесконечныевеличины.

Геометрический смысл теоремы Кошизаключается в следующем. Возьмем некоторое />,для которого />. Тогда, согласно теореме, />. Представим данноенеравенство следующим образом: />. Иначеговоря, как только /> станетотличаться от /> меньше, чем на />, сама функция окажется вполосе шириной />, расположеннойна линии />.

В приведенном определении предела итеореме Коши /> может стремиться к /> произвольным образом.Однако во многих случаях это стремление происходит с какой-то одной стороны.Для этого вводятся понятия односторонних пределов.

Определение 2.2. Если /> стремитсяк />, оставаясь все времяменьше его, и при этом /> стремится к />, то это число называетсяпределом функции слева и обозначается />.

Определение 2.3. Если /> стремитсяк />, оставаясь все времябольше его, и при этом /> стремится к />, то это число называетсяпределом функции справа и обозначается />.

Необходимо иметь в виду, что невсегда пределы слева и справа в точке /> равнымежду собой.

3. Второйзамечательный предел

Рассмотрим числовуюпоследовательность />, где />, /> С ростом /> основание степениуменьшается до единицы, а показатель растет до бесконечности, поэтому ничегоконкретного о поведении /> сказатьнельзя. Для вычисления /> воспользуемсявыражением для бинома Ньютона:

/>. (0.0.1)

В нашем случае

/>.

Из полученного выражения следует, чтос увеличением /> величина /> растет. Действительно,перейдем от /> к />. Это приведет к тому, чточисло слагаемых возрастет на одно. Кроме того, величина множителей, заключенныхв скобки, тоже возрастет, так как />. Ноесли увеличивается число слагаемых и сами слагаемые растут, то />. Значит, числоваяпоследовательность /> монотонновозрастает.

Докажем теперь, что даннаяпоследовательность ограничена сверху. Заменим все скобки вида /> единицей. Так как />, то

/>.

Кроме того />, />,..., />. Значит,

/>.

В правой части неравенства послецифры 2 стоит убывающая геометрическая прогрессия. Как известно, сумма /> первых членов такойпрогрессии равна: />. В нашем случае />. С ростом /> величина /> будет, очевидно, стремитсяк единице. Значит, />, то есть,ограничено сверху.

Итак, мы получили, что />. Но так как /> монотонно возрастающаяпоследовательность ограниченная сверху, то она имеет предел:

Можно доказать, что данный пределсправедлив не только для натуральных чисел, но и для любых значений />:

/>.

Полученное выражение и называетсявторым замечательным пределом.

Число /> используетсядля введения натуральных логарифмов. Такие логарифмы обозначаются />, при этом />.

Следствие 3.1.

/>.

В частности, если />, то />.

Следствие 3.2.

/>.

В частности, если />, то />.

4.Сравнение бесконечно малых величин

Как следует из определения бесконечномалых величин, все они стремятся к нулю, но скорость этого стремления можетбыть различна. Поэтому все бесконечно малые величины можно сравнивать между собой.

Пусть даны две бесконечно малыевеличины /> и /> при />, то есть />, />.

Определение 4.1. Функции /> и/> называются бесконечномалыми величинами одного порядка малости, если />.

Определение 4.4. Функция /> называетсябесконечно малой величиной более высокого порядка малости, чем />, если />.

Определение 4.3. Функция /> называетсябесконечно малой величиной более низкого порядка малости, чем />, если />.

Тот факт, что />, например, имеет болеевысокий порядок малости, чем />, можнообозначить следующим образом: />.

Определение 4.4. Функция /> называетсябесконечно малой величиной />гопорядка малости относительно />, если />.

Определение 4.5. Функции /> и/> называются несравнимымибесконечно малыми величинами, если /> несуществует и не равен />.

Определение 4.6. Две бесконечно малые величины /> и /> называются эквивалентными,если />.

Очевидно, что это частный случайбесконечно малых величин одного порядка малости. Эквивалентные величиныобозначаются следующим образом: />.

Понятие эквивалентности имеетпрактическое приложение. Если/>, тоэто значит, что при достаточном приближении /> к/> на основании теоремы 9.4.1можно написать: />. Иначе говоря, /> или />.

Полученный результат позволяетследствия первого и второго замечательных пределов представить следующимобразом:

/>;

при />.

Данный факт значительно облегчаетвычисление пределов, связанных с первым и вторым замечательными пределами.Докажем объясняющую это теорему.

Теорема 4.1. Предел отношения двух бесконечномалых величин равен пределу отношения эквивалентных им величин.

Доказательство. Пусть даны двебесконечно малые величины /> и /> при />, причем /> и />. Рассмотрим

/>,

что и требовалось доказать.

Следовательно, при вычислениипределов, используя замены сомножителей на эквивалентные им более простыевеличины, можно значительно упрощать выражения.

Рассмотрим теперь теорему, дающуюдостаточно простой признак эквивалентности бесконечно малых величин.

Теорема 4.4. Две бесконечно малые величины /> и /> при /> эквивалентны тогда итолько тогда, когда их разность есть бесконечно малая величина более высокогопорядка малости, чем /> и />.

Доказательство. Обозначим />.

Необходимость. Дано, что />. Рассмотрим

/>,

то есть />.Аналогично доказывается, что />.

Достаточность. Дано, что /> и />. Рассмотрим

/>,

то есть />,что и требовалось доказать.

Рассмотрим еще одну теорему,облегчающую процесс вычисления пределов.

Теорема 4.3. Сумма конечного числа бесконечномалых величин разных порядков малости эквивалентна слагаемому с самым низкимпорядком малости.

Доказательство. Пусть даны бесконечномалые величины />, /> и /> при />, причем />, />, />. Обозначим />. Тогда

/>,

то есть />,что и требовалось доказать.

Литература

1. Лобоцкая Н.Л.Основы высшей математики. Минск, «Высшая школа», 1973.

2. Минорский В.П.Сборник задач по высшей математики.

3. Кудрявцев В.А.,Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М., «Наука», 1986.

4. Гмурман В.Е.Теория вероятностей и математическая статистика. М., «Высшая школа»изд. 5, 1977.

5. Гмурман В.Е.Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.М., «Высшая школа» изд. 2.

6. Баврин И.И.Высшая математика — 1980 г.3

7. Дж. Голуб, Ч.ВанЛоун Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999.

8. Беллман Р.Введение в теорию матриц. — М.: Мир, 1969.

9. Гантмахер Ф. Р.Теория матриц (2-е издание). — М.: Наука, 1966.

10. Ланкастер П. Теория матриц. — М.:Наука, 1973.

11. Соколов Н. П. Пространственныематрицы и их приложения. — М.: ГИФМЛ, 1960.

www.ronl.ru