WinNavigator

Frigate

Norton Commander

WinNC

Dos Navigator

Servant Salamander

Turbo Browser

Winamp, Skins, Plugins

Необходимые Утилиты

Текстовые редакторы

Юмор

File managers and best utilites

Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ». Реферат на тему уравнения математической физики

Уравнения математической физики

Определение.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции. Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то это обыкновенное дифференциальное уравнение, иначе - уравнение в частных производных.

Определение.

Наивысший порядок производных неизвестной функции, входящих в уравнение, называется порядком уравнения.

Определение.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если производные и сама неизвестная функция входят в уравнение линейным образом.

(1)

Пусть выбран любой, где , и его норма:

- дифференциальный оператор.

- запись линейного диф. уравнения с помощью диф. оператора. (2)

Определение.

Открытое, связное множество называется областью.

По умолчанию будем считать область ограниченной.

Через или будем обозначать границу области.

Определение.

- (n-1)-мерное многообразие S в принадлежит классу (), если

для и такие, что:

, где

однозначно проектируется на плоскость , при этом:

D - проекция данного множества на плоскость , - k раз непрерывно дифференцируема в D по всем переменным.

Можно разбить поверхность на части, в каждой части можно одну координату выразить через другие непрерывно дифференцируемой функцией.

- множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в Q.

- множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в .

, аналогично .

- множество финитных k раз непрерывно дифференцируемых функций.

Аналогично: .§ 2. Классификация линейных уравнений в частных производных второго порядка.

- матрица квадратичной формы.

- n вещественных собственных значений матрицы A

- количество положительных собственных значений.

- количество отрицательных собственных значений.

- количество нулевых собственных значений с учетом кратности.1.Если = n или = n, то это эллиптическое уравнение.

Ex: Уравнение Пуассона

2.Если = n - 1, = 1, или = 1, = n - 1, то уравнение гиперболическое.

Ex: - волновое уравнение.

Для уравнения Лапласа:

Для волнового уравнения:

3.Если , а , то ультрагиперболическое уравнение.

Ex: .

4.Если , то параболическое уравнение.

Ex: , и - уравнение теплопроводности.

Определение.

Каноническим видом линейного дифференциального уравнения в частных производных называется такой вид, когда матрица A является диагональной.Приведение к каноническому виду.

1) y=y(x), то:

Уравнение (1) в новой системе координат:

(1')

Матрица Якоби:

В результате:

Ex:

гиперболическое уравнение.

- канонический вид волнового уравнения.

Замечание: тип уравнения может быть различный в различных точках.

§ 3.Постановка начальных и краевых задач для уравнений в частных производных.

Задача Коши для волнового уравнения:

Уравнение теплопроводности

Уравнение Пуассона

Определение.

Если малые изменения правой части уравнения приводят к большим изменениям в решении, то задача считается некорректной.

(6)

(7.1)

(7.2)

(7.3)

(6)(7.1) - первая краевая задача, задача Дирихле.

(6)(7.2) - вторая краевая задача, задача Неймана.

(6)(7.3) - третья краевая задача.Волновое уравнение.

(8)

(9)

(10)

(11.1)

(11.2)

(11.3)

(8) (9) (10) (11.1) - смешанные

(11.2) задачи

(11.3) (краевые задачи)

- единичный вектор внешней нормали к поверхности.

На задаются начальные условия.

На боковой поверхности - краевые задачи.Параболическое уравнение.

(12)

(13)

(14.1)

(14.2)

(14.3)

(12) (13) (14.1) - первая, вторая и третья смешанные задачи

(14.2) для уравнения

(14.3) теплопроводности.

(14.1) - на границе задана температура;

(14.2) - задан тепловой поток;

(14.3) - задан теплообмен с окружающей средой.§ 4. Решение смешанных задач для волнового уравнения методом Фурье (разделением переменных).

Первая смешанная задача.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Собственные значения (5) - (6) вещественны, имеют конечную кратность.

- изолир. .

- ортонормированный базис в .

В симметричной матрице собственные вектора, соответствующие разным собственным значениям, попарно ортогональны.

Пусть функции - разложены по базису

тогда и u(t,x) можно разложить по базису :

Почленно дифференцируем ряд 2 раза:

(7)

Путём разложения решения в ряды по собственным функциям задачи алгебраизуем задачу, получаем счётное число обыкновенных дифференциальных уравнений.

(8)

(9)

(7) (8) (9) - задача.

Решим однородное уравнение для (7):

- общее решение однородного уравнения (7)

(10)

В результате: - частное решение неоднородного уравнения (7).

- общее решение уравнения (7).

Подставим (8) и (9) в решение:

т.е. .

Замечание: не обоснована сходимость рядов.§ 5.Решение смешанных задач уравнения теплопроводности методом Фурье (разделения переменных).

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

- собственные векторы и собственные значения.

(6)

- общее решение однородного уравнения (6)

- частное решение неоднородного уравнения (6)

- общее решение уравнения (6).

Рассмотрим функцию:

- бесконечно дифференцируема при .

Если из , то:

, и при функция склеивается как бесконечно гладкая.

-финитная :

- замыкание множества, где отлична от 0.

Введём - функция n переменных.

Свойства :

1) - бесконечно дифференцируемая, финитная:

2) - замкнутый шар радиуса h с центром в O.

Доказательство.

, С находится из условия .

4) .

Обозначим:

Интеграл по x бесконечно дифференцируем.

Если , то:

Носитель функции принадлежит области интегрирования, и: .

Если , то : .

Свойства функции :

- срезающая функция.

Пространство .

Определение.

Пусть . Назовём множество функций , пространством , если:

- - измеримы в Q;

- в смысле Лебега.

Вводится . Выполняются все аксиомы скалярного произведения.

Утверждение (без доказательства).

- полное пространство.

Вводится .

Свойства пространства .

Теорема 1.

Множество финитных бесконечно дифференцируемых функций всюду плотно в пространстве :

Доказательство.

Множество ступенчатых функций плотно в .

Множество линейных комбинаций характеристических функций всюду плотно в .

Доказать: любую характеристическую функцию измеримого множества можно сколь угодно точно аппроксимировать финитными функциями.

Любое измеримое множество сколь угодно точно может быть аппроксимировано открытыми областями.

Доказать: характеристическую функцию можно сколь угодно точно аппроксимировать финитными бесконечно гладкими функциями.

Рассмотрим - финитная, бесконечно дифференцируема в .

Значит, .

Аппроксимация получена.

Теорема 2.

Множество непрерывных функций всюду плотно в пространстве .

Определение 2.

Пусть и считается продолженной нулем вне Q . Скажем:

f - непрерывна в среднеквадратичном, если :

Теорема 3.

Любая функция из непрерывна в среднеквадратичном.

Доказательство.

Пусть . Пусть

Оценим:

При сдвиге supp сдвигается в пределах шара радиуса 2a.

Теорема доказана.

Определение 3.

- бесконечно дифференцируема, финитна.

Свойства:

- осреднение функции f.Теорема 4.

Любая функция из сколь угодно точно аппроксимируема своими осреднениями - бесконечно дифференцируемыми, финитными в .

Доказательство.

От Q к , от к

При .Возьмем любые две функции:

Определение.

- множество функций, принадлежащих на любом компакте внутри области.

Определение 1.

Пусть

- обобщённая производная функции f, если выполняется:

(1)

Теорема 1.

Обобщённая производная определяется единственным образом.

Доказательство.

Предположим противное: - обобщённые производные функции f.

(2)

(3)

(2),(3) - тождество для

- что и требовалось доказать.

Теорема 2.

Обобщённые производные не зависят от порядка дифференцирования.

Доказательство - из интегрального тождества (1).Примеры обобщённых производных.

Ex 1.

По определению:

Пусть и

Ex 2.

Покажем, что обобщённой производной не существует.

Пусть , то:

где

1) пусть носитель в , то :

2) пусть : , значит:

Вывод: .

Вывод: , не имеет обобщённой производной.Теорема 3.

Пусть имеет обобщённую производную , то:

1. (4)

если .

2. Если к тому же

(6)

(7)

Доказательство.

Выберем h так, чтобы

Подсказка: если функция финитна, то её носитель - внутри области.

Если функцию умножить на срезающую, то ничего не изменится.Теорема 4.

Утверждение.

Пусть , то

Пусть - открытый компакт, то для

Теорема 5.

Пусть . имеет обобщённые производные и , то

существует обобщённая производная .Пространство Соболева.

Определение.

, такая, что называется пространством Соболева порядка k.

Обозначения: , или .

Введём .

Утверждение.

- гильбертово(унитарное, сепарабельное).Теорема 1.

- полное пространство.

Доказательство.

- фундаментальная в

- мультииндекс

- может быть равен 0.

в .

Интегральное тождество для :

Из сильной сходимости следует слабая:

Вывод: пространство полное.Свойства пространств Соболева.

1. для .

2.Если , то .

3.Если , то .

4.Если , то

если , то .

5. - невырожденное, k раз непрерывно дифференцируемое преобразование, отображающее в .

и пусть .

Пусть .

Пусть , то .

Утверждение.

Невырожденная, гладкая замена переменных сохраняет принадлежность функции пространству Соболева.

6.Обозначим - куб со стороной 2a с центром в начале координат.

Множество бесконечно дифференцируемых функций замыкания куба является всюду плотным в .

Доказательство.

Раздвинем область, возьмём и будем её аппроксимировать последовательностью бесконечно гладких функций.

(определена в растянутом кубе)

Оценим:

Выберем и рассмотрим

Разбиение единицы.

Теорема.

Пусть - ограниченная область, пусть - покрытие замыкания Q, - может равняться бесконечности.

- открытые, тогда: существует конечный набор - финитные, бесконечно дифференцируемые в , неотрицательные функции, такие, что:

Используется для локализации свойства: U имеет свойство на , расширяем D на путём домножения на .

Доказательство.

Возьмём . Для - y покрывается множеством .

Для каждой выбранной y построим:

покрывается . Из бесконечного покрытия выберем конечное подпокрытие:

Обозначим: . Обозначим: .

Определим: :

Получили: .

Если , то , , и .

Знаменатель в 0 не обращается.

Построена

выполняется свойство 3.

- выполняются свойства 1 и 2.

Теорема о разбиении единицы доказана.Теорема о продолжении функции.

Частный случай - продолжение из прямоугольников.

Продолжение функции из в .

Лемма 1.

- продолжение функции f:

1.Определить функцию.

2.Проверить условие сливания: совпадание значений функции и её производных по до k-го порядка.

Доказательство.

Определим (2)

Коэффициенты из условия:

(3)

Значит, функция непрерывна.

Теперь - доказательство совпадения производных.

Выполняется одно уравнение из (3), и:

Значит: .

Неравенство (1) очевидно через определение нормы в .

Замечание: из доказательства и свойства (6) пространств Соболева следует: можно перейти к - пространству Соболева с выполнением этой теоремы, и (1) тоже справедливо.

Замечание: в силу того, что множество бесконечно дифференцируемых функций в замыкании куба всюду плотно в пространстве в этом кубе и в силу того, что протсранство Соболева инвариантно относительно невырожденной гладкой замены переменных.Лемма 2.

(4)Теорема о продолжении функции.

Пусть - ограниченная область, граница . Пусть (- область), тогда:

- продолжение f, такая, что:

3) (5)

Замечание.

Лемма 1 - рассмотрены кубики, в теореме: из Q на и все свойства, как в лемме 1.

Доказательство.

В окрестности каждой точки границы: нарисуем шар .

Пусть в O(z) граница задаётся уравнением .

Введём новые переменные:

- невырожденное преобразование координат.

Преобразование: - внутри пространства Соболева.

Во что перейдёт множество:

Вырезали куб .

Результат преобразования

Прообраз куба - криволинейный кубик.

Покроем границу кубиками Vi и выберем конечное подпокрытие.

(Tju)(y) = u(x(y)) (xVj)

www.coolreferat.com

Курсовая работа по дисциплине: «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»

Уравнения в частных производных

Уравнения в частных производных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Электромагнитные волны.

Электромагнитные волны. 1. Дифференциальное уравнение электромагнитной волны.. Основные свойства электромагнитных волн. 3. Энергия электромагнитных волн. Вектор Умова-Пойнинга. 4. Излучение диполя. 1.

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

Глава 2 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Глава 2 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Уравнение с частными производными это уравнение, содержащее частные производные. В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), в которых неизвестная

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Бережной Д.В. Тазюков Б.Ф. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Учебно-методическое пособие

Подробнее

Ряды Тейлора и Лорана

Лекция 7 Ряды Тейлора и Лорана 7. Ряд Тейлора В этой части мы увидим, что понятия степенного ряда и аналитической функции определяют один и тот же объект: любой степенной ряд с положительным радиусом сходимости

Подробнее

7. Теорема Гильберта-Шмидта.

7. Теорема Гильберта-Шмидта. Лекция 5 7 Теорема Гильберта-Шмидта Будем рассматривать интегральный оператор A, ядро которого K( удовлетворяет следующим условиям: K( s ) симметрическое, непрерывное по совокупности переменных на [, ]

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

10. Векторный и скалярный потенциалы

10. Векторный и скалярный потенциалы Векторный и скалярный потенциалы Уравнения Максвелла это, в общем случае, сложные интегральнодифференциальные уравнения, поэтому непосредственно их решать относительно трудно Были введены две вспомогательные

Подробнее

2 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ГАУССА

2 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ГАУССА Поток вектора напряжённости электростатического поля сквозь поверхность. Используя закон Кулона, можно доказать электростатическую теорему Гаусса. Для этого необходимо

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ

Лекция 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Тема: Элементарная кривая Касательная Длина кривой План лекции Понятие и способы задания элементарной кривой Вектор-функция одного переменного Касательная к кривой

Подробнее

ГЛАВА 5. Плоские волны

ГЛАВА 5. Плоские волны ГЛАВА 5 Плоские волны Излучатель электромагнитной волны создает вокруг себя фронт этих волн На больших расстояниях от излучателя волну можно считать сферической Но на очень больших расстояниях от излучателя

Подробнее

1.3. Теорема Гаусса.

1 1.3. Теорема Гаусса. 1.3.1. Поток вектора через поверхность. Поток вектора через поверхность одно из важнейших понятий любого векторного поля, в частности электрического d d. Рассмотрим маленькую площадку

Подробнее

r 2 r. E + = 2κ a, E = 2κ a

r 2 r. E + = 2κ a, E = 2κ a 1. Электростатика 1 1. Электростатика Урок 2 Теорема Гаусса 1.1. (1.19 из задачника) Используя теорему Гаусса, найти: а) поле плоскости, заряженной с поверхностной плотностью σ; б) поле плоского конденсатора;

Подробнее

E 0 e -i t. rot E = 1 c. c div D = 0, c 2. z 2 + k2 E = 0, 2 E

E 0 e -i t. rot E = 1 c. c div D = 0, c 2. z 2 + k2 E = 0, 2 E 1 Квазистационарные явления 1 1 Квазистационарные явления Урок 6 Скин-эффект Базовые решения - плоскость, шар, цилиндр 11 (Задача 676)Полупространство Z заполнено проводником с проводи- E e -i t мостью

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Математический анализ

1. Цель и задачи дисциплины Математический анализ Целью освоения дисциплины «Математический анализ» является формирование у будущих специалистов знаний и умения применять математический аппарат и математические

Подробнее

комплексной переменной.

комплексной переменной. А.Г.Свешников, А.Н.Тихонов ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ из серии КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Под редакцией А. Н. ТИХОНОВА, В. А. ИЛЬИНА, А. Г. СВЕШНИКОВА ВЫПУСК 4 ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

Глава 8. Элементы квантовой механики

Глава 8. Элементы квантовой механики Глава 8 Элементы квантовой механики Задачи атомной физики решаются методами квантовой теории которая принципиально отличается от классической механики Решение задачи о движении тела макроскопических размеров

Подробнее

УДК :

УДК : Е.М. КАРЧЕВСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ Учебное пособие Казань Казанский государственный университет имени В.И. Ульянова-Ленина 2007 Печатается по решению кафедры

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее

Элементы теории поля

Элементы теории поля Пусть Ω некоторая область в R 3. Будем говорить, что в Ω задано скалярное поле, если каждой точке M Ω поставлено в соответствие некоторое число U(M). Примерами скалярных полей могут

Подробнее

3. Используемые методы обучения

3. Используемые методы обучения 3.2 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯМ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ Семестр I Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Практическое занятие 1 1. Цель: Рассмотреть задачи на вычисление определителей второго

Подробнее

n = или k = k n называется единичным вектором

n = или k = k n называется единичным вектором Лекция 5 Тема: Кривизна и кручение кривой Репер Френе План лекции Кривизна кривой Кручение кривой Репер Френе Формулы Френе Натуральные уравнения кривой Кривизна кривой Соприкасающаяся плоскость Пусть

Подробнее

docplayer.ru

Уравнения математической физики - страница 4

Доказательство. (2-ая часть. )

Значит :

Доказательство теоремы 2.

Пусть - ограниченная, односвязная область. .

Q - симметрично относительно , т.е. если , то .

Обозначим :

Теорема 2.

Пусть , тогда :

1) если , где , то :

2) если , то :

Указание. Для доказательства рассмотреть :

По определению обобщённой производной в (1) получаем :

, тогда :

Локальная гладкость обобщённых решений.

ограниченная.

Обобщённое решение : ,

(3)

Теорема 1.

Для любого обобщённое решение u задачи (1) (2)

независимо от гладкости границы, если правая часть из , то обобщённое решение тоже гладко.

Доказательство.

Достаточно доказать, что в каждом из шаров : .

Обозначим .

В качестве v для (3) возьмём :

- финитная, бесконечно дифференцируемая.

, v может быть использована как пробная :

Подставим v в (3) :

(умножение u на срезающую функцию для локализации свойства в шаре )

(4)

Введём конечноразностный оператор. Пусть .

(5)

Представим (5) в виде : .

Оценим :

По неравенству Коши-Буняковского :

где .

Подставляем в решение в качестве пробной функции :

Результат :

(6)

В силу 2-ой части теоремы 1 (см. стр. ...) : .

u имеет обощённые производные .

Обобщение Теоремы на случай произвольной гладкости правой части.

Теорема 2.

Пусть - ограничена, - обобщённое решение задачи (1) (2), тогда : .

Гладкость обобщённых решений эллиптических задач вблизи границ.

(1)

(2)

(3)

Теорема 1.

Пусть - ограниченная область :

- обобщённое решение (1) (2), тогда

Доказательство.

Доказать, что .

Пусть в окрестности X и Y граница создаётся уравнением :

Не ограничивая общности рассуждений будем считать, что граница плоская.

Введём срезающую функцию :

Подставим v в (3), получим :

(4)

Введём конечноразностный оператор. Пусть .

При этом : .

(5)

Представим (5) в виде : .

Через неравенство Коши-Буняковского, получим :

где .

Подставляем в решение в качестве пробной функции :

В силу 2-ой части теоремы 1 (см. стр. ...) : .

u имеет обощённые производные .

Лемма.

Пусть - обобщённое решение (1) (2), тогда :

- ограничена, следовательно u удовлетворяет уравнению (1) почти всюду в Q.

Будем считать : .

Значит : .

Теорема 2.

Пусть - ограниченная область, - обобщённое решение задачи (1) (2), тогда : .

Теорема "вложения" Соболева.

- ограниченная область, , следовательно -непрерывно вложено.

Определение.

Непрерывность оператора наложения - это

почти всюду в Q .

(1)

Доказательство (теоремы).

, где ,

если , и :

(2)

Доказательство (1) будет следовать из доказательства (2) и

(3)

Пусть (3) доказана для любой финитной, гладкой , то в этом случае теорема справедлива для .

;

; следует фундаментальность :

(4)

(Замечание. Предел в смысле почти всюду : п.в.

Остаётся доказать (3) для любых финитных, бесконечно дифференцируемых в функций.

Преобразование Фурье : ,

где .

умножим и разделим на и применим неравенство Коши-Буняковского.

Докажем, что интеграл конечен :

Где .

Теорема полностью доказана.

Обобщённые и классические решения.

(1)

(2)

Функция - называется классическим решением задачи (1) (2), если она удовлетворяет уравнению (1) и краевым условиям (2).

Теорема 1.

Если , то обобщённое решение обладает следующими свойствами : .

Доказательство.

Пусть , тогда :

Теорема 2.

Пусть - ограниченная область;

, тогда обобщённое решение

Доказательство.

Теорема 3.

Пусть - ограниченная область;

, тогда обобщённое решение

и является классическим решением задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

Доказательство. , следовательно всюду в Q удовлетворяет уравнению (1) и условию (2).

Теорема 4.

Пусть - обобщенная собственная функция оператора с однородными условиями Дирихле, тогда: .

Доказательство.

Если

По теореме вложения: Задача Неймана для уравнения Пуассона.

Определение.

Функция называется обобщенным решением задачи (1) (2), если:

Пусть - ограниченная область.

Теорема 1.

Задача (1) (2) разрешима тогда и только тогда , когда правая часть уравнения (1) ортогональна константам, т.е: .

Лемма.

Существует линейный ограниченный оператор , такой, что:

2) - компактный, самосопряженный, положительный оператор.

Доказательство - аналогично.

Рассмотрим однородное уравнение:

для однородной задачи (1) (2)

имеет нетривиальное решение.

По определению обобщенного решения :

Теорема доказана.Рассмотрим уравнение:

Теорема 2.

1. Если задача (3) (4) имеет единственное решение, то задача (1) (2) также имеет единственное решение для .

2. Если задача (3) (4) имеет нетривиальное решение, то задача (1) (2) разрешима тогда и только тогда, когда , где w - решение однородной сопряженной задачи.

3. Размерности подпространств в решениях задач (3) (4) и (5) (6) совпадают и конечны.Задача Неймана:

Рассмотрим задачу на собственные значения:

Теорема 3.

1. Собственные значения оператора Лапласа с "-" с условиями Неймана вещественные, конечнократные, неотрицательные и состоят из следующих чисел:

2. Соответствующие собственные функции составляют ортонормированный базис в .

3. составляют ортонормированный базис в .

Доказательство.

Первая часть теоремы доказана.

По Гильберту-Шмидту строится - ортогональный базис в и пусть .

- ортонормированный базис в .

Теорема 3 доказана.

Задача Дирихле - однозначная разрешимость.Теорема 4 о гладкости решения задачи Неймана.

Пусть - правая часть уравнения. Пусть - обобщенное решение задачи (1) (2), тогда:

Доказательство - аналогично теореме 3.Теорема 5.

Пусть граница ; пусть правая часть . - обобщенное решение задачи (1) (2), тогда: .Теорема 6.

Пусть граница ; правая часть - ; - обобщенное решение задачи (1) (2), тогда: .

Доказательство.

Обобщенное решение: для .

Уравнение (1) выполняется почти всюду в Q , и:

Метод Ритца.

Суть: сведение бесконечномерного случая к конечномерному.

Рассмотрим: , где:

l(u) - линейный, ограниченный функционал в .

Найдем минимум квадратичного функционала:

- конечное число.

Найдется такая, что: - минимизирующая последовательность.

, такой, что: E(u)=d . u - минимизирующий элемент.

Теорема 1.

Существует единственный , минимизирующий функционал E . При этом этом любая минимизирующая последовательность является сходящейся к элементу u : .

Доказательство.

Возьмем любую минимизирующую последовательность. Очевидно:

Почленно сложим соотношения с "+" и с "-":

Доказано: последовательность - фундаментальная в полном пространстве, значит: и, значит :

Доказано: если - минимизирующая последовательность, то она сходится к минимальному элементу.

Доказательство единственности от противного: пусть есть второй минимальный элемент; составим минимизирующую последовательность: .

Она не сходится, значит, второй минимальный элемент не существует.Пусть составляют линейно независимую систему функций, линейная оболочка которой плотна в , т.е. полная система, значит:

может быть аппроксимирован .

Обозначим через - конечномерное подпространство , натянутое на первые k функций .

Рассмотрим - задача сводится к конечномерной.

, и E(.) может быть представлен в виде функции k переменных; обозначим её:

Необходимое условие экстремума: , тогда:

, где i=1,...,k. (1)

Система алгебраических уравнений (1) имеет единственное решение, т.к. её определитель (Грама) отличен от 0.

Обозначим решение , и: - монотонно невозрастающая последовательность минимальных значений функционала.

- последовательность Ритца.

Теорема 2.

Последовательность Ритца является минимизирующей, и, следовательно, сходится к минимизирующему элементу u : .

Доказательство.

Т.к. всюду плотна в , то: , такие что: .

Рассмотрим значение :

Таким образом: , и при :

Теорема 3.

является мимимизирующим элементом для функционала E(u) тогда и только тогда, когда

Доказательство.

Необходимость: пусть u - минимизирующий элемент; возьмем , то: , т.к. u - минимизирующий. Обозначим через . Необходимое условие экстремума: .

что и требовалось доказать.

Достаточность: пусть выполняется (2), то рассмотрим:

т.е. u - минимизирующий элемент, что и требовалось доказать.

Выводы.

1. Существует единственный минимизирующий элемент - предел минимизирующей последовательности ( последовательности Ритца).

2. Минимизация функционала связана с обобщенным решением краевой задачи.

3. Метод Ритца можно использовать для решения эллиптической задачи.

Примеры.

- интегральное тождество ( 4 )

(4) определяет обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

Теорема 4.

1. Существует единственный , минимизирующий функционал в ;

- минимизирующая последовательность

2. Последовательность Ритца для функционала (3) в является минимизирующей.

3. является минимизирующей для функционала (3) тогда и только тогда, когда u является обобщенным решением задачи (5)-(6).2. Задача Неймана.

Любое решение такой задачи равно сумме частного неоднородного и общего однородного решения. Будем искать решение из , где - замкнутое подпространство пространства .

Обобщенное решение задачи (7)-(8) :

Если u=v=const, то илевая и правая части не изменятся и: .

Решение существует и единственно.

Будем полагать : , тогда:Теорема 5.

1. Существует единственный , минимизирующий функционал в ;

- минимизирующая последовательность

2. Последовательность Ритца для функционала (10) в является минимизирующей.

3. является минимизирующей для функционала (10) тогда и только тогда, когда u является обобщенным решением задачи (7)-(8).Изучение классических решений эллиптических задач.

§1. Формула Грина.

- ограниченная область;

Вычтем из первого второе:

Интегральное представление производной.

Определение.

Фундаментальное решение уравнения Лапласа:

Следствие.

Теорема 1.

Пусть - ограниченная область с границей класса .

Пусть , тогда:

Доказательство.

Рассмотрим:

-- область без шара.

Обозначим :

Надо доказать, что : .

Обозначим :

где : - площадь поверхности единичной сферы в n-мерном пространстве.

Учитывая, что:

Обозначим :

Первая теорема о среднем.

Определение.

Функция u называется гармонической в области Q, если она удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа.

Пусть u(x) - гармоническая в .

D- ограниченная область .

Теорема 1.

Пусть - гармоническая функция в Q , и пусть:

, тогда :

Значение гармонической функции в центре сферы равно среднему арифметическому её значений на границе сферы.

Доказательство.

Обозначим :

Вторая теорема о среднем.

Пусть - гармоническая в Q функция;

, тогда :

Доказательство.

, что и требовалось доказать. Принцип максимума.

Теорема.

- ограниченная, связная;

u(x) - гармоническая в Q, непрерывная в , , тогда:

Доказательство.

Предположим противное: , .

Тогда докажем, что в произвольной точке области значение функции U совпадает с M ,т.е. u-const. Возьмем и соединим ломанной l точки Y и Z . Покроем ломанную конечным числом шаров: . Шары такие : и , причем: , .

Если ,то: ,

Теорема доказана. продолжение

www.coolreferat.com

Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Федеральное агентство по образованию

ГОУ "Ульяновский государственный педагогический университет им. И. Н. Ульянова"

Кафедра математического анализа

"Некоторые уравнения математической физики в частных производных"

Ульяновск, 2008 г.

Содержание

Введение

Глава 1. Уравнения гиперболического типа

1.1 Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа

1.2 Уравнение колебаний струны

1.3 Метод разделения переменных. Уравнение свободных колебаний струны

1.4 Решение уравнений

Глава 2. Уравнения параболического типа

2.1 Уравнение распространения тепла в стержне

2.2 Решение задач

Заключение

Литература

Введение

Изучением дифференциальных уравнений в частных производных занимается математическая физика. Основы теории этих уравнений впервые были изложены в знаменитом "Интегральном исчислении" Л. Эйлера.

Классические уравнения математической физики являются линейными. Особенность линейных уравнений состоит в том, что если U и V – два решения, то функция aU + bV при любых постоянных a и b снова является решением. Это обстоятельство позволяет построить общее решение линейного дифференциального уравнения из фиксированного набора его элементарных решений и упрощает теорию этих уравнений.

Современная общая теория дифференциальных уравнений занимается главным образом линейными уравнениями и специальными классами нелинейных уравнений. Основным методом решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных выступает численное интегрирование.

Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, теории упругости, электродинамике и т.д. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики.

Постановка задач математической физики, будучи тесно связанной с изучением физических проблем, имеет свои специфические черты. Так, например, начальная и конечная стадии процесса носят качественно различный характер и требуют применения различных математических методов.

Круг вопросов, относящихся к математической физике, чрезвычайно широк. В данной работе рассматриваются задачи математической физики, приводящие к уравнениям с частными производными.

Расположение материала соответствует основным типам уравнений. Изучение каждого типа уравнений начинается с простейших физических задач, приводящих к уравнениям рассматриваемого типа.

Глава 1. Уравнения гиперболического типа

1.1 Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа

Уравнения с частными производными 2-го порядка гиперболического типа наиболее часто встречаются в физических задачах, связанных с процессами колебаний. Простейшее уравнение гиперболического типа

называется волновым уравнением. К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т.д.

В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к ее профилю. Пусть струна длины в начальный момент направлена по отрезку оси Оx от 0 до . Предположим, что концы струны закреплены в точках . Если струну отклонить от ее первоначального положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя струны, придать в начальный момент ее точкам некоторую скорость, или отклонить струну и придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движения – говорят, что струна начнет колебаться. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Ox и в одной плоскости. При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией , которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t.

Рис. 1.1.

Так как мы рассматриваем малые отклонения струны в плоскости , то будем предполагать, что длина элемента струны равняется ее проекции на ось Ox, т.е. Также будем предполагать, что натяжение во всех точках струны одинаковое; обозначим его через Т.

Рассмотрим элемент струны .

Рис. 1.2.

На концах этого элемента, по касательным к струне, действуют силы Т. Пусть касательные образуют с осью Ox углы . Тогда проекция на ось Ou сил, действующих на элемент , будет равна . Так как угол мал, то можно положить , и мы будем иметь:

(здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению, стоящему в квадратных скобках).

Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к элементу, приравнять силе инерции. Пусть - линейная плотность струны. Тогда масса элемента струны будет . Ускорение элемента равно . Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь:

Сокращая на и обозначая , получаем уравнение движения

.(1)

Это и есть волновое уравнение – уравнение колебаний струны. Для полного определения движения струны одного уравнения (1) недостаточно. Искомая функция должна удовлетворять еще граничным условиям, указывающим, что делается на концах струны , и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (t = 0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.

Пусть, например, как мы предполагали, концы струны при неподвижны. Тогда при любом t должны выполнятся равенства:

(2’)

(2’’)

Эти равенства являются граничными условиями для нашей задачи.

В начальный момент t = 0 струна имеет определенную форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией f (x). Таким образом, должно быть

(3’)

Далее, в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией . Таким образом, должно быть

(3’’)

Условия (3’) и (3’’) являются начальными условиями.

Замечание. В частности, может быть или . Если же и , то струна будет находится в покое, следовательно, .

Метод разделения переменных или метод Фурье, является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными. Изложение этого метода мы проведем для задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах. Итак, будем искать решение уравнения

удовлетворяющее однородным граничным условиям

(9)

и начальным условиям

(10)

Уравнение (1) линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также является решением этого уравнения. Имея достаточно большое число частных решений, можно попытаться при помощи суммирования их с некоторыми коэффициентами найти искомое решение.

Поставим основную вспомогательную задачу: найти решение уравнения

не равное тождественно нулю, удовлетворяющее однородным граничным условиям

(11)

и представимое в виде произведения

(12)

где X (x) – функция только переменного x, T (t) – функция только переменного t.

Подставляя предполагаемую форму решения (12) в уравнение (1), получим:

или, после деления на XT,

(13)

Чтобы функция (12) была решением уравнения (1), равенство (13) должно удовлетворяться тождественно, т. е. 0 ‹ х ‹ , t › 0. Правая часть равенства (13) является функцией только переменного t, а левая – только х. Фиксируя, например, некоторое значение х и меняя t (или наоборот), получим, что правая и левая части равенства (13) при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение

(14)

где – постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке.

Из соотношения (14) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций X (x) и T (t)

(15)

(16)

Граничные условия (11) дают:

Отсюда следует, что функция X (x) должна удовлетворять дополнительным условиям:

X(0) = X() = 0, (17)

Так как иначе мы имели бы

в то время как задача состоит в нахождении нетривиального решения. Для функции T (t) в основной вспомогательной задаче никаких дополнительных условий нет.

Таким образом, в связи с нахождением функции X (x) мы приходим к простейшей задаче о собственных значениях: найти те значения параметра , при которых существуют нетривиальные решения задачи:

(18)

а также найти эти решения. Такие значения параметра называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения – собственными функциями задачи (18). Сформулированную таким образом задачу часто называют задачей Штурма – Лиувилля.

Рассмотрим отдельно случаи, когда параметр отрицателен, равен нулю или положителен.

1. При ‹ 0 задача не имеет нетривиальных решений. Действительно, общее решение уравнения (15) имеет вид

Граничные условия дают:

Х (0) = С1 + С2 = 0;

т. е.

Но в рассматриваемом случае – действительно и положительно, так что . Поэтому

С1 =0, С2 = 0

и, следовательно,

Х (х)0.

2. При = 0 также не существует нетривиальных решений. Действительно, в этом случае общее решение уравнения (15) имеет вид

Х (х) = С1х + С2.

Граничные условия дают:

т. е. С1 = 0 и С2 = 0 и, следовательно,

Х (х)0.

3. При › 0 общее решение уравнения может быть записано в виде

Граничные условия дают:

Если Х(х) не равно тождественно нулю, то D20, поэтому

(19)

Или

где n- любое целое число. Следовательно, нетривиальные решения задачи (18) возможны лишь при значениях

Этим собственным значениям соответствуют собственные функции

где Dn – произвольная постоянная.

Итак, только при значениях , равных

(20)

существуют нетривиальные решения задачи (11)

(21)

определяемые с точностью до произвольного множителя, который мы положили равным единице. Этим же значениям n соответствуют решения уравнения (9)

(22)

где An и Bn – произвольные постоянные.

Возвращаясь к задаче (1), (9), (10), заключаем, что функции

(23)

являются частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими граничным условиям (11) и представимыми в виде произведения (12) двух функций, одна из которых зависит только от х, другая – от t. Эти решения могут удовлетворить начальным условиям (10) нашей исходной задачи только для частных случаев начальных функций j(x) и y(x).

Обратимся к решению задачи (1), (9), (10) в общем случае. В силу линейности и однородности уравнения (1) сумма частных решений

(24)

также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям (9). Начальные условия позволяют определить An и Bn. Потребуем, чтобы функция (24) удовлетворяла условиям (10)

(25)

Из теории рядов Фурье известно, что произвольная кусочно-непрерывная и кусочно-дифференцируемая функция f(x), заданная в промежутке , разлагается в ряд Фурье

(26)

где

(27)

Если функции j(x) и y(x) удовлетворяют условиям разложения в ряд Фурье, то

(28)

(29)

Сравнение этих рядов с формулами (25) показывает, что для выполнения начальных условий надо положить

(30)

чем полностью определяется функция (24), дающая решение исследуемой задачи.

Итак, мы доказали, что ряд (24), где коэффициенты An и Bn определены по формуле (30), если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет функцию u (x, t), которая является решением уравнения (1) и удовлетворяет граничным и начальным условиям (9) и (10).

Замечание. Решая рассмотренную задачу для волнового уравнения другим методом, можно доказать, что ряд (24) представляет решение и в том случае, когда он не допускает почленного дифференцирования. При этом функция должна быть дважды дифференцируемой, а - один раз дифференцируемой.

1.4 Решение уравнений

1. Найти решение уравнения:

, если , .

Решение:

Так как , а , то

где . Таким образом, , или .

2. Найти форму струны, определяемой уравнением в момент , если

3. , .

Решение:

Имеем

т.е.

, или .

Если , то , т.е. струна параллельна оси абсцисс.

4. Струна, закрепленная на концах и , имеет в начальный момент форму параболы .

5. Определить смещение точек струны от оси абсцисс, если начальные скорости отсутствуют.

Решение:

Здесь , . Находим коэффициенты ряда, определяющего решение уравнения колебания струны:

; .

Для нахождения коэффициента дважды интегрируем по частям:

, , , ;

т.е.

, , , ;

Подставляя выражения для и получим:

Если , то , а если , то ; поэтому окончательно имеем

Пусть начальные отклонения струны, закрепленной в точках и , равны нулю, а начальная скорость выражается формулой

Определить форму струны для любого момента времени t.

Решение:

Здесь , а в интервале , и вне этого интервала.

Следовательно, ;

Отсюда

Или

Глава 2. Уравнения параболического типа

2.1 Уравнение распространения тепла в стержне

Рассмотрим однородный стержень длины . Будем предполагать, что боковая поверхность стержня теплонепроницаема и что во всех точках поперечного сечения стержня температура одинакова. Изучим процесс распространения тепла в стержне.

Расположим ось Ох так, что один конец стержня будет совпадать с точкой х = 0, а другой – с точкой х = .

Рис. 2.1.

Пусть u (x, t) – температура в сечении стержня с абсциссой х в момент t. Опытным путем установлено, что скорость распространения тепла, т. е. количество тепла, протекающего через сечение с абсциссой х за единицу времени, определяется формулой

(1)

где S – площадь сечения рассматриваемого стержня, k – коэффициент теплопроводности.

Рассмотрим элемент стержня, заключенный между сечениями с абсциссами х1 и х2 (х2 – х1 = х). Количество тепла, прошедшего через сечение с абсциссой х1 за время t, будет равно

(2)

то же самое с абсциссой х2:

(3)

Приток Q1 - Q2 в элемент стержня за время t будет равняться:

(4)

Этот приток тепла за время t затратился на повышение температуры элемента стержня на величину u:

Или

(5)

где с – теплоемкость вещества стержня, – плотность вещества стержня (xS – масса элемента стержня).

Приравнивая выражения (4) и (5) одного и того же количества тепла , получим:

Это и есть уравнение распространения тепла (уравнение теплопроводности) в однородном стержне.

Чтобы решение уравнения (6) было вполне определено, функция u (x, t) должна удовлетворять краевым условиям, соответствующим физическим условиям задачи. Краевые условия для решения уравнения (6) могут быть различные. Условия, которые соответствуют так называемой первой краевой задаче для , следующие:

u (x, 0) = φ(x), (7)

u (0, t) = ψ1(t), (8)

u (, t) = ψ2(t). (9)

Физическое условие (7) (начальное условие) соответствует тому, что при в разных сечениях стержня задана температура, равная φ(x). Условия (8) и (9) (граничные условия) соответствуют тому, что на концах стержня при х = 0 и при х = поддерживается температура, равная ψ1(t) и ψ2(t) соответственно.

Доказывается, что уравнение (6) имеет единственное решение в области , удовлетворяющее условиям (7) – (9).

2.2 Решение задач

1. Задача:

Решить уравнение

Решение. Составим и решим систему уравнений характеристик

Уравнение даёт первый интеграл . Преобразуем три дроби , используя правило работы с равными дробями:

Отсюда получим второй первый интеграл

Возьмём следующее уравнение , подставим и в это уравнение, получим

Решим полученное линейное уравнение:

Получим третий первый интеграл

2. Задача

Найти общее решение уравнения

Решение: Составим и решим систему уравнений характеристик

Первый интеграл равен . Функция вида , где - произвольная дифференцируемая функция, является общим решением уравнения.

3. Задача

Решить уравнение

Решение. Составим систему уравнений характеристик

Первая пара дробей даёт первый интеграл

Подставим во вторую пару дробей, получим

Интегрируя последнее уравнение, получим второй первый интеграл

Общее решение имеет вид

4. Задача

Решение задачу Коши

Решение. Найдем два первых интеграла. Составим систему

гиперболический колебание дифференциальный теплопроводность интеграл

Отсюда получим первый интеграл .

Решая уравнение при условии, что , получим второй первый интеграл

Подставим в два первых интеграла:

Исключая из этой пары равенств, получим связь между первыми интегралами . Подставляя вместо и первые интегралы, получим решение задачи Коши:

5. Задача

Решить задачу Коши , .

Решение. Найдем первые интегралы системы уравнений характеристики ; они равны

, .

Найдём, используя начальные данные, связь между первыми интегралами:

Подставим первые интегралы и , получим решение:

6. Решить уравнение для следующего начального распределения температуры стержня:

Решение: Стержень является бесконечным, поэтому решение запишется в виде интеграла Пуассона:

Так как в интервале равна постоянной температуре , а вне интервала температура равна нулю, то решение примет вид

Полученный результат можно преобразовать к интегралу вероятностей:

Действительно полагая , , получим

Таким образом, решение выразится формулой

Графиком функции является кривая:

Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию и краевому условию .

Решение: Здесь мы имеем дифференциальное уравнение теплопроводности для полубесконечного стержня. Решение, удовлетворяющее указанным условиям, имеет вид

Или

Полагая , , преобразуем первый интеграл, пользуясь интегралом вероятностей, т.е.

Полагая , , получим

Таким образом, решение принимает вид

Заключение

В курсовой работе приведены некоторые примеры применения дифференциальных уравнений для моделирования таких реальных процессов, как колебания струны, распространение тепла в стержне.

Работа начинается с рассмотрения простейших задач, приводящих к дифференциальным уравнениям гиперболического типа (колебания струны, электрические колебания в проводах). Затем рассматривается один из методов решения уравнений данного типа. Во второй главе рассматриваются дифференциальные уравнения параболического типа (распространение тепловых волн) и одно из приложений к данной сфере – температурные волны.

Вследствие большого объема теории по применению дифференциальных уравнений для моделирования реальных процессов в данной курсовой работе не мог быть рассмотрен весь материал.

В заключение хотелось бы отметить особую роль дифференциальных уравнений при решении многих задач математики, физики и техники, так как часто не всегда удается установить функциональную зависимость между искомыми и данными переменными величинами, но зато удается вывести дифференциальное уравнение, позволяющее точно предсказать протекание определенного процесса при определенных условиях.

Литература

1. Н. С. Пискунов "Дифференциальное и интегральное исчисления", М., "Наука", 1972, том. 2.

2. И. М. Уваренков, М. З. Маллер "Курс математического анализа", М., "Просвещение", 1976.

3. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский "Уравнения математической физики", М., "Наука", 1972.

4. Владимиров В. С. "Уравнения математической физики", М., "Наука", 1988.

www.neuch.ru

Уравнения математической физики - страница 6

- собственные значения;

- ортогональный базис в ;

- ортонормированный базис в .

Будем считать:

при почти всех t интегрируема с квадратом в .

Равенство Парсеваля:

f-измерима и по неравенству Гельдера. .

По теореме Лебега можно слева и справа проинтегрировать по t и поменять местами .

Решение имеет вид:

Надо доказать сходимость в .Теорема.

ряд (6) сходится в пространстве к некоторой функции , которая является обобщенным решением задачи (1)-(3). При этом:

Доказательство.

Первый этап.

Предположим, что правая часть уравнения имеет вид: , а начальная функция: .

Рассмотрим:

-интегральное тождество выполняется.Второй этап.

Третий этап. Доказательство фундаментальности последовательности . Оценим модуль:

Интегрируем слева и справа:

Значит: последовательность фундаментальна и она сходится:

Переходим к пределу:

Надо доказать, что u - задает решение задачи.

При переходе к пределу выполняется интегральное тождество:

Теореме доказана. Из этой теоремы не следует единственность.Единственность обобщенного решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности.

Теорема.

Задача (1)-(3) может иметь не более одного обобщенного решения.

Доказательство.

Пусть -обобщенные решения, оценим.

- добавлена гладкость по t.

Условия, налагаемые на v: .

Формула Кирхгофа.

Дополнительные обозначения:

пусть есть , - фиксируется. Обозначим : - конус с вершиной в .

Возьмем произвольную .

Обозначим:

Выберем и рассмотрим : - вне цилиндра, но внутри конуса.

Обозначим через - часть конической поверхности, ограниченной :

- дважды непрерывно дифференцируема в открытом конусе. При этом : - замыкание конуса.

Замечание: - волновой оператор.

Рассмотрим вспомогательную функцию: .

Рассмотрим: . Заметим: .

В дальнейшем: x принадлежит малому конусу с вырезанным цилиндром.

Проинтегрируем левую и правую части тождества по :

где: - единичный вектор внешней нормали к границе области.

Разобьем этот интеграл на 3 интеграла: ;

потом .

Рассмотрим на конической поверхности интеграл

Вычислим все частные производные функции v по и по направлению внешней нормали к поверхности:

Зная, что , получим: ,

где: . Вывод: .

Рассмотрим , зная, что для .

Переход к пределу:

Вычислим: - внутренняя нормаль к цилиндру.

Т.к. u - непрерывно дифференцируема на поверхности, то:

учитывая: на цилиндрической поверхности.

В силу оценки:

Получим:

Получена формула Кирхгофа: (1)

Замена переменных (чтобы легче было дифференцировать по t):

Продифференцировано первое слагаемое:

Геометрический смысл формулы.

1. В первых двух интегралах производится интегрирование по границе основания конуса - трехмерной сфере.

2. В третьем интеграле производится интегрирование по основанию конуса - трехмерному шару.

3. Значение даламбериана вычисляется интегрированием по боковой поверхности конуса.

СМЫСЛ. Дважды дифференцируемая функция u(x,t) выражается через значение первых производных на сфере (границе основания конуса) и её даламбериан на боковой поверхности конуса.Задача Коши для волнового уравнения.

Обозначим:

Определение.

Функция u(x,t) , такая, что:

1) - дважды непрерывно дифференцируемая на ;

2) - один раз непрерывно дифференцируемая в замыкании этого множества;

называется классическим решением задачи Коши для волнового уравнения, если:

Пусть n=3.

Обозначим:

По формуле Кирхгофа функция u(x,t) выражается для любого конуса через функции в этом конусе. Функция u(x,t) однозначно определяется функциями в любом конусе и, значит, в полупространстве.

Теорема единственности.

Задача Коши (2)-(3) не может иметь более одного решения.

Вопрос существования.

Если классическое решение существует, то оно задается формулой Кирхгофа (4):

Таким образом, вопрос о существовании классического решения сводится к нахождению условий, налагаемых на функции , при которых функция, стоящая в правой части формулы (4), является решением этой задачи. Получено лишь достаточное условие.

Предварительные рассуждения.

Введем функцию:

Есть . Для каждого определяется как интеграл.

Производится исследование .

Лемма 1.

Пусть функция g и все её производные по пространственным переменным непрерывны до порядка k : , тогда:

1) функция и все её производные вплоть до порядка k по x и t непрерывны на множестве :

2) для и функция удовлетворяет однородному волновому уравнению при и следующим условиям:

Доказательство.

В (5) перейдем к новой переменной, тогда:

Отсюда следует первое утверждение леммы.

Применим к , тогда:

Подставим t=0: .

Возьмем производные по t от : .

Рассмотрим производную при t=0:

Преобразуем второе слагаемое:

обозначим :

тогда (7) примет вид: .

Используем его для вычисления второй производной по времени:

Предствляя этот объемный интеграл в виде повторного интеграла: сначала по сфере, а затем от 0 до t, получим равенство: - вследствие формулы (6) справедливо последнее равенство.