Главная » Реферат » Реферат на тему числовые множества

§ 01. Множества. Операции над множествами. Числовые множества. Реферат на тему числовые множества


Читать реферат по математике: "Числовые множества и приближённые вычисления"

назад (Назад)скачать (Cкачать работу)

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

Государственное образовательное учреждение среднего

Профессионального образования города Москвы

Департамента здравоохранения города Москвы

Медицинское училище № 24

Реферат по учебной дисциплине математика на тему:

«числовые множества и приближённые вычисления»

Преподаватель: Ирина Леонидовна

Выполняла :студентка I курса 11 группы

Бочарова Светлана

г.Москва

2007-2008уч. год

Содержание:

Множество натуральных чисел…………………………………………...3

Точность вычислений…………………………………………………….12

Система комплексных чисел……………………………………………..14

Числовые множества

Математика нашла метод исследовать сходства и различия, обнаруживать закономерности во взаимосвязях элементов, утверждать или отрицать наличие определённых, неочевидных свойств рассматриваемых множеств и их отображений. Суть его в специальном построении и использовании в анализе некоторых конкретных множеств. Их сравнительно не много, но они чрезвычайно полезны и удобны для исследования свойств многих других множеств. Элементы таких множеств не являются реальными объектами окружающего мира, они лишены всех качественных свойств (цвет, запах, электрический заряд и т.п.), кроме чётко зафиксированного набора, представленного как правило, очень небольшим перечнем свойств. Эти свойства и задают структуру упомянутых множеств, которая может сопоставляться со структурой других множеств ради их исследования.

Первостепенная роль здесь принадлежит числовым множествам: множеству

Натуральных чисел, целых, рациональных, действительных и комплексных.

Множество натуральных чисел

Можно было бы сказать совсем просто: множество N – это набор чисел 1,2, …, n, … . Но тем самым я указала бы причём весьма неполно, только какие-то обозначения элементов множества N. И сразу возникли бы непростые вопросы.

Что же можно делать с этими объектами?

Набор элементов I,II,III,IV, … или слов «один, «два», «три», … - это тоже самое или другое множество?

Как взаимосвязано множество N со множеством элементов из окружающего мира?

Можно ли сказать, что множество N существует, если его элементы являются реальными объектами?

Корректное определения множества N в некотором смысле особенно сложно, поскольку логически это первая числовая система, опираясь на которую можно строить другие числовые системы, пополняя предшествующую новыми элементами с тем, чтобы операции, которые не всегда в ней выполнялись, стали осуществимы в расширенной системе. В своевременном варианте это аксиоматическое определение, причём в качестве аксиом выбираются такие свойства, которые позволяют моделировать счёт реальных предметов, сравнение множеств по числу элементов, процедуру сложения элементов, очень часто реализуемую в жизнедеятельности людей.

Наиболее известн6а система из четырёх аксиом Пиано, которая (говоря описательно) определяет N как любое не пустое множество, в котором введено однозначное отношение «следует за» для всех чисел, кроме особого числа, называемого 1 ( не следующего ни за каким числом) , и действует так называемая аксиома индукции. В менее «экономичном» варианте описания система натуральных чисел N оказывается множеством, в котором определена операция сложения элементов: если a принадлежит N и b тоже принадлежит N, то существует с принадлежащая N, называемая суммой (a + b =c), причём выполняются свойства:

a + b = b = a ( коммутативность сложения)

(a + b) + c = a + (a + c) (ассоциативность сложения)

С помощью операции сложения можно определить и умножение ( a*b = c), также обладающая свойством коммутативности и ассоциативности, а в комбинации со сложением и свойством дистрибутивности: (a + b) c = ac + bc.

В N определена также операция сравнения элементов ab , при которой для любых а, b принадлежащих N выполняется точно одно из следующих соотношений:

Можно указать и ещё ряд простых свойств N . Из которых я напомню лишь полезное следствие упомянутого выше свойства индукции, называемое методом математической индукции.

Пусть некоторое утверждение А, имеющее смысл для любых натуральных чисел, верно при n = k, оказывается, что оно верно при n=k + 1. Тогда А верно при n принадлежащей N.

Например, 1+2 +3 + … n =

Действительно, при n = 1 формула верна:. Предполагаю, что она верна для фиксированного n ( ради экономии записи букву k мы не вводим).

Тогда будет верно и

Но это легко проверяется, так как слева

Система натуральных чисел N нередко используется в отображении множеств. Функции, определённые на N, имели специальное название- последовательности. А главное практическое использование N- счёт предметов, при котором натуральные числа оказываются характеристиками «богатства» элементами некоторого множества. Речь идёт о конечных множествах, для которых могут быть построены взаимно однозначные соответствия с отрезками натурального ряда чисел (какой-то элемент объявлен первым, вторым и т.д., и процесс такой нумерации на каком-то шаге заканчивается, а последний присвоенный номер указывает число элементов множества).

Всё множество N, взятое в целом, оказывается бесконечным, причём в определённом смысле это наименее «богатое» элементами множество среди всевозможных бесконечных множеств (понятие «число элементов» здесь теряет смысл). Например, обсуждаемое ниже множество действительных чисел R не может быть расположено ( «умещено») в последовательности : как говорят, оно имеет большую «мощность».

Замечание. Понятие бесконечного множества можно было бы определить строго, сформировав вначале определение конечного множества и объявив затем бесконечным любое множество которое не является конечным. Выше мы дали лишь описание конечных множеств, причём не вполне строгое. Вот ещё один, довольно изящный вариант описания понятия « конечное множество» :

1)множество, в котором всего один элемент, является по определению конечным;

2)объединение двух конечных множеств является конечным;

3)других конечных множеств нет.

Приведём ещё пример часто встречающихся функций, обозначаемой n! (читается : «эн факториал» )

n!= 1*2*…*n.

Например, 1!=1; 3!=1*2*3=6; 6!= 1*2*3*4*5*6= 720. По определению 0!=1.

В приложениях иногда встречаются очень большие натуральные числа. В этой связи полезно напомнить некоторые наименования : цифры в записи числа разбивают на классы, отделяя справа последовательно по три цифры. Первый класс- единицы, второй класс- тысячи, третий- миллионы, четвёртый- миллиарды, пятый- триллионы и т.д. Например число 1 306 215 000 читается : « один миллиард триста шесть миллионов двести пятнадцать тысяч».

Важно заметить, что в результате указанного построения системы N оказывается, что она существует и является единственной ( с точностью до терминологический переобозначений). Иногда систему N называют ещё натуральным рядом , имея в виду её запись в виде последовательности 1,2, …, n, … . Употребляя этот термин, следует учитывать, что понятие «ряд» в математике имеет и совсем иной смысл.

Для математики является традиционной постановка вопроса об обратной операции по отношению к введённой. Так, определив операцию сложения в N, каждой паре натуральных чисел a и b сопоставляют их сумму c = a + b. Пусть теперь задана пара произвольных натуральных чисел a и c. Существует ли такое натуральное число x, для которого a + x = c? Если да, то какое число x называют разностью чисел c и a: x = c – a, а операция нахождения разности – вычитанием. Возникают традиционные вопросы.

Существует ли разность для любых чисел c и a?

Ответ на первый из

referat.co

Тема 1. Множества и операции над ними

Содержание

  1. Понятие множества и элемента множества.

  2. Способы задания множества.

  3. Отношения между множествами. Подмножества.

  4. Изображение отношений между множествами при помощи кругов Эйлера.

Основная литература 7, 10, 11, 16, 23, 33, 34;

Дополнительная литература 2, 31, 82, 87, 92

Введение

Успешное обучение математике младших школьников требует от учителя не только мастерства, но и глубокого понимания сути математических понятий и факторов. Дело не только в том, что в начальных классах закладываются основы таких важнейших понятий, как «число» и «величина», происходит ознакомление с элементами буквенной символики и геометрии, развиваются логические умения, но и в том, что многие математические понятия младшие школьники используют без строгих определений, а во многих случаях и неявно. Все это предъявляет особые требования к математической подготовке учителя начальных классов. Он должен владеть понятиями натурального числа и величины, знать различные определения арифметических действий над числами, их свойства, уметь выполнять и объяснять устные и письменные вычисления, обосновывать выбор действия и устанавливать вид зависимости между величинами при решении текстовых задач. Учителю необходимо и умение использовать уроки математики для воспитания учащихся, в частности для формирования у них основ научного мировоззрения.

Математика, как и другие науки изучает окружающий нас мир, природные и общественные явления, но изучает лишь их особые стороны. Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие их свойства: цвет, массу, твердость. От всего этого отвлекаются, абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят: «Геометрическая фигура».

Результатом абстрагирования являются и такие важнейшие математические понятия, как «число» и «величина».

Вообще, любые математические объекты – это результат выделения из предметов и явлений окружающего мира количественных и пространственных свойств и отношений и абстрагирования их от всех других свойств. Следовательно, математические объекты реально не существуют, нет в окружающем нас мире геометрических фигур, чисел и т.д. Все они созданы человеческим умом в процессе исторического развития общества и существуют лишь в мышлении человека.

Более того, при образовании математических объектов происходит не только абстрагирование от многих свойств предметов, но и приписывание им таких свойств, которыми никакие реальные предметы не обладают. Например, свойство неограниченной протяженности в обоих направлениях – прямой не обладает ни какой реальный предмет.

Эта лекция будет посвящена одному из таких математических объектов - понятию множества.

1. Понятие множества и элемента множества

Множество – одно из основных понятий современной математики, используемое почти во всех ее разделах.

Во многих вопросах приходится рассматривать некоторую совокупность элементов как единое целое. Так, биолог, изучая животный мир и растительный мир данной области, классифицирует все особи по видам, виды по родам. Каждый вид является некоторой совокупность живых существ, рассматриваемой как единое целое.

Для математического описания таких совокупностей и было введено понятие множества. По словам одного из создателей теории множеств – немецкого математика Георга Кантора (1845–1918), «множество есть многое, мыслимое нами как целое». Разумеется, эти слова не могут рассматриваться как математически строгое определение множества, такового определения не существует, поскольку понятие множества является исходным, на основе которого строятся остальные понятия математики. Но из этих слов ясно, что можно говорить о множестве чисел от 1 до 10, натуральных числах, множестве треугольников и квадратов на плоскости.

Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется через другие. Его можно пояснить на примерах. Так, можно говорить о множестве учащихся некоторого класса, о множестве гласных букв русского алфавита, о множестве натуральных чисел.

Математический смысл слова «множество» отличается от того, как оно используется в обычной речи, где его связывают с большим количеством предметов. В математике этого не требуется. Здесь рассматривают множество, состоящее из одного объекта, и множество, не содержащее ни одного объекта.

В основном множества обозначают буквами латинского алфавита: A, B, C, …, Z, L.

Определение. Множество, не содержащее ни одного объекта, называют пустым и обозначают знаком .

Определение. Объекты, из которых образовано множество, называют его элементами.

Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, …, z.

В математике и других науках нередко приходится выяснять, принадлежит какой-либо объект рассматриваемому множеству или не принадлежит. Например, мы говорим, что число 5 натуральное. Другими словами, число 5 принадлежит множеству натуральных чисел. Или, например, число 0,45 не является натуральным числом. Это означает, что число 0,45 не принадлежит множеству натуральных чисел.

Предложение вида “ Объект а принадлежит множеству А” можно записать, используя символы: аА. Прочитать его можно по-разному:

Объект а принадлежит множеству А.

Объект а – элемент множества А.

Множество А содержит элемент а.

Предложение “ Объект а не принадлежит множеству А” можно записать так: а  А. Его читают:

Объект а не принадлежит множеству А.

Объект а не является элементом множества А.

Множество А не содержит элемента а.

Пример

Пусть А – множество однозначных чисел. Тогда предложение “7А” можно прочитать: “Число 7 однозначное”, а запись “ 14 А” означает: “Число 14 не является однозначным”.

Множества бывают конечными и бесконечными. Так, множество дней недели конечно, а множество точек прямой бесконечно. Бесконечными множествами являются и такие множества, как множество натуральных чисел (N), множество целых чисел (Z), множество рациональных чисел (Q), множество действительных чисел (R).

studfiles.net

§ 01. Множества. Операции над множествами. Числовые множества

Множество – одно из основных понятий современной математики. Это понятие не сводится к другим понятиям и не определяется. Объекты, составляющие множество, называют его Элементами. Множества обозначают заглавными латинскими буквами: A, B, C, X, …, их элементы – прописными буквами: A, B, C, X, … или буквами с индексами A1, A2, A3, ... Множество, не содержащее ни одного элемента, называют Пустым и обозначают Æ.

Чтобы задать множество, необходимо знать, какие объекты принадлежат множеству, а какие нет. Если множество содержит немного элементов, то его можно задать, перечислив все его элементы. Если множество задано списком, то его элементы записывают в фигурных скобках через точку с запятой. Множество цифр можно записать следующим образом: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0}; множество простых чисел, меньших 20, – B = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19}; множество дней недели – С = {понедельник; вторник; среда; четверг; пятница; суббота; воскресенье}.

Однако задать множество списком можно только тогда, когда оно содержит конечное число элементов (но и это неудобно, если число элементов множества велико). Существует универсальный способ задания множеств. Множество может быть задано с помощью Характеристического свойства, то есть такого свойства, которым обладают все элементы множества, и не обладают объекты, не принадлежащие множеству. Задание множества с помощью характеристического свойства записывают следующим образом: А = {Х | P(Х)}, где P(X) – характеристическое свойство.

Приведем несколько примеров:

1. Если , то .

2. Пусть B – множество остатков от деления натуральных чисел на 7. Тогда .

3. Если D – множество действительных чисел, не меньших двух и не больших семи, то D – отрезок [2; 7].

Рассмотрим два множества A и B. Если каждый элемент множества B является элементом множества A, то говорят, что B – Подмножество множества A. Этот факт записывают так: В Ì А. Считают, что пустое множество является подмножеством любого множества. Каждое непустое множество А имеет хотя бы два подмножества – само множество А и пустое множество.

Пусть даны два множества А и В.

Пересечением (Произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В. Обозначают пересечение множеств A Ç B:

A Ç B = { Х | Х Î A и Х Î B}.

Объединением (Суммой) множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В. Обозначают объединение множеств A È B:

A È B = { Х | Х Î A или Х Î B}.

Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В. Обозначают разность множеств A \ B:

A \ B = { Х | Х Î A и Х Ï B}.

Элементами множества могут быть различные объекты – числа, слова, геометрические фигуры, функции и т. д. В математике особую роль играют Числовые множества, то есть множества, элементами которых являются числа.

Например: ¥ – множество натуральных чисел, ¢ – множество целых чисел, ¤ – множество рациональных чисел, ¡ – множество действительных чисел.

Напомним, что натуральными называют числа, используемые при счете предметов, то есть . Целыми считают натуральные числа, противоположные им отрицательные числа и число ноль. Таким образом, . Рациональные числа – это обыкновенные дроби с целым числителем и натуральным знаменателем: . Любое рациональное число может быть записано в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Все десятичные дроби (в том числе и бесконечные непериодические) образуют множество действительных чисел. Действительные числа изображают точками на координатной прямой (числовой оси). Точка О, соответствующая числу 0, разбивает координатную прямую на два луча: положительный и отрицательный. Число, изображением которого на координатной прямой является точка М, называется Координатой точки М. Если , то точка с координатой лежит левее точки с координатой .

Особое значение в математике имеют подмножества множества ¡, называемые числовыми промежутками: Отрезок [A; B] – множество точек Х, удовлетворяющих условию ; Интервал (A; B) – множество точек Х, удовлетворяющих условию ; Полуинтервалы [A; B) и (A; B] – множества точек Х, удовлетворяющих условиям и соответственно; бесконечные промежутки (A; +¥), (– ¥; B), [A; +¥), (–¥; B] – множества точек Х, удовлетворяющих условиям , , , соответственно.

Множество точек числовой прямой, удовлетворяющих условию , называется Окрестностью точки А радиуса R. Окрестность можно записать также через двойное неравенство или неравенство с модулем .

matica.org.ua

Смотрите также