Проектная работа на тему: "Многогранники вокруг нас". Реферат многогранники вокруг нас

Проект по теме: "Правильные многогранники вокруг нас"

Проект по теме

«Правильные многогранники вокруг нас»

Оглавление

I.Введение…………………………………………………………………………….3

II.Основная часть

2.1. История и понятие многогранников…………………………………………5

2.2.Виды правильных многогранников и их характеристики…………………….9

2.3. Связь геометрии и природы…………………………………………………..13

2.4.Многогранники в живописи………………………………………………….15

2.5. Многогранники в архитектуре………………………………………………..17

III.Практическая часть……………………………………………………............19

IV.Заключение…………………………………………………………….............23

V.Литература………………………………………………………………………..24

I.Введение

«Правильных многогранников вызывающе мало,

- но этот весьма скромный по численности отряд

сумел пробраться в самые глубины различных наук».

Л. Кэролл

Есть в шкoльной геoмeтрии такиe тeмы, кoтoрые ждeшь с нeтeрпением, прeдвкушaя встрeчу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести "Правильные многогранники". Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные факты. Но к сожалению в школьной программе мы не углубляемся в изучение правильных многогранников, поэтому сведений об этих геометрических телах для меня недостаточно. Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. Они имеют красивые формы, обладают богатой историей, которая связана с именами таких ученых, как Пифагор, Евклид, Архимед.

С древнейших времен представления о красоте связаны с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам – удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей.

Мы можем наблюдать, что многогранники встречаются и окружают нас повсюду.

Теория многогранников является современным разделом математики.

Безусловно, недостаточно узнавать и видеть многогранники в окружающем мире. Интересно уточнить их классификацию, разновидность, связь с миром людей. Этим и обусловлен выбор темы «Правильные многогранники вокруг нас».

Актуальность данного проекта состоит в том, что правильные многогранники – «вечные» тела. Интерес к ним тонкой нитью проходит через спираль всех времен.

Цель проекта: Изучить правильные многогранники.

Задачи проекта:

• ознакомиться с историей изучения многогранников;

• рассмотреть классификации многогранников;

• научиться моделировать многогранники;

• показать значение многогранников в повседневной жизни.

Гипотеза: Если мы узнаем историю изучения многогранников, их классификацию, то сможем моделировать их на практике, находить в окружающем мире.

Объект исследования: раздел математики – геометрия.

Предмет исследования: многогранники.

Практическая значимость: изготовление объёмных фигур, развитие логического мышления и применение его на практике в решении задач на нахождение объёмов и построение сечений в многогранниках.

II.Основная часть.

2. 1. История и понятие многогранников

Многогранником называется поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело.

Рис.1

Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них - пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии.

Рис.2

Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти нарезных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.

В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции, создаются философские школы. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.

Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора.

Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики – это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов. Пифагорейцев поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Они считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях. Первоосновам бытия – огню, воде земле, воздуху, придавалась форма соответственно тетраэдра, икосаэдра, куба, октаэдра, а вся Вселенная имела форму додекаэдра. Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ – идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться платоновыми телами.

Платон также считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; гексаэдр – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух.

Рис.3

В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества – твёрдым, жидким, газообразным и плазменным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.

Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

Почему правильные многогранники получили такие имена? Это связано с числом их граней. Тетраэдр имеет 4 грани, в переводе с греческого "тетра" - четыре, "эдрон" - грань.гексаэдр (куб) имеет 6 граней, "гекса" - шесть; октаэдр - восьмигранник, "окто" - восемь; додекаэдр - двенадцатигранник, "додека" - двенадцать; икосаэдр имеет 20 граней, "икоси" - двадцать.

Правильным многогранником называется многогранник, у которого все грани правильные равные многоугольники, и все двугранные углы равны.

Следующий серьезный шаг в науке о многогранниках был сделан в XVI11 веке Леонардом Эйлером (1707-1783), который без преувеличения «поверил алгеброй гармонию». Теорема Эйлера о соотношении между числом вершин, ребер и граней выпуклого многогранника, доказательство которой Эйлер опубликовал в 1758 г. в «Записках Петербургской академии наук», окончательно навела математический порядок в многообразном мире многогранников.

Вершины Грани

Рёбра

Тетраэдр

4

4

6

Куб

8

6

12

Октаэдр

6

8

12

Додекаэдр

20

12

30

Икосаэдр

12

20

30

В соответствии с традицией, идущей от древних математиков, среди всех многогранников лучшие те, которые имеют своими гранями правильные многоугольники.

2.2.Виды правильных многогранников и их характеристики.

Гексаэдр (более привычное название - куб).

Рис.4

Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Гексо» означает шесть, «хедра» - означает грань (Гексаэдр – шестигранник). Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти платоновых тел.Гранью многогранника является квадрат. Каждый из четырех углов равен 90 градусов.

Тетраэдр.

Рис.5

«Тетра» означает четыре, «хедра» - означает грань (тетраэдр – четырехгранник).  Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти платоновых тел.Тетраэдр имеет следующие характеристики:

Тип грани – правильный треугольник;

Число сторон у грани – 3;

Общее число граней – 4;

Число рёбер примыкающих к вершине – 3;

Общее число вершин – 4;

Общее число рёбер – 6.

Правильный тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.

Октаэдр.

Рис.6

«Окто» означает восемь, «хедра» - означает грань (октаэдр – восьмигранник).  Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти платоновых тел.Октаэдр имеет следующие характеристики:

Тип грани – правильный треугольник;

Число сторон у грани – 3;

Общее число граней – 8;

Число рёбер примыкающих к вершине – 4;

Общее число вершин – 6;

Общее число рёбер – 12;

Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°.Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Додекаэдр.

Рис.7

«Додека» означает двенадцать, «хедра» - означает грань (додекаэдр – двенадцатигранник).  Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти платоновых тел.Додекаэдр имеет следующие характеристики:

Тип грани – правильный пятиугольник;

Число сторон у грани – 5;

Общее число граней – 12;

Число рёбер примыкающих к вершине – 3;

Общее число вершин – 20;

Общее число рёбер – 30;

Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.Додекаэдр имеет центр симметрии - центр додекаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Икосаэдр.

«Икоси» означает двадцать, «хедра» - означает грань (Икосаэдр – двадцатигранник).   Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти платоновых тел.

Рис.8

Икосаэдр имеет следующие характеристики:

Тип грани – правильный треугольник;

Число сторон у грани – 3;

Общее число граней – 20;

Число рёбер примыкающих к вершине – 5;

Общее число вершин – 12;

Общее число рёбер – 30;

Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270°.Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

2.3. Связь геометрии и природы.

Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.

Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии(Circjgjniaicosahtdra) по форме напоминает икосаэдр.

Большинство феодарий живут на морской глубине и часто служат добычей коралловых рыбок. Но это простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, которые выходят из 12 вершин скелета. Оно больше похоже на звёздчатый многогранник.

Пчёлы – удивительные создания.

Рис.9

Пчелиные соты представляют собой пространственный паркет и заполняют пространство так, что не остается просветов. Как не согласиться с мнением пчелы из сказки «Тысяча и одна ночь»: «Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Эвклид мог бы поучиться, познавая геометрию сот».

Рис.10

Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как это считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень – икосаэдр.

Впрочем, многогранники – отнюдь не только объект научных исследований. Их формы – завершенные и причудливые, широко используются в искусстве.

2.4. Многогранники в живописи.

Титан Возрождения, живописец, скульптор, ученый и изобретатель Леонардо да Винчи (1452-1519) — символ неразрывности искусства и науки, а следовательно, закономерен его интерес к таким прекрасным, высокосимметричным объектам, как выпуклые многогранники вообще и усеченный икосаэдр в частности.

Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер (1471- 1528), в известной гравюре «Меланхолия» на переднем плане изобразил додекаэдр

Ярчайшим примером художественного изображения многогранников в XX веке являются, конечно, графические фантазии МаурицаКорнилисаЭшера (1898-1972), голландского художника, родившегося в Леувардене. МаурицЭшер в своих рисунках как бы открыл и интуитивно проиллюстрировал законы сочетания элементов симметрии, т.е. те законы, которые властвуют над кристаллами, определяя и их внешнюю форму, и их атомную структуру, и их физические свойства.

Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов.

На гравюре "Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.

Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в его работе "Порядок и хаос". В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором.

Наиболее интересная работа Эшера - гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров.

Рис.11

Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры.

На картине художника Сальвадора Дали «Тайная Вечеря» Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Рис.12

Форму додекаэдра, по мнению древних, имела ВСЕЛЕННАЯ, т.е. они считали, что мы живём внутри свода, имеющего форму поверхности правильного додекаэдра.

Геометрия появляется всюду, где нужна хотя бы малейшая точность в определении формы и размеров. Поэтому архитектурные сооружения яркий тому пример.

2.5. Многогранники в архитектуре.

С точки зрения формы архитектура всегда была преимущественно кубической. Изредка встречались и другие Платоновы тела, то есть призмы, конусы, пирамиды, сферы, но все же куб имел подавляющее преимущество. По сути дела куб лежал в основе любой архитектурной формы нескольких последних тысячелетий.

Примером применения в архитектуре других Платоновых тел может служить Великая пирамида в Гизе. Великая пирамида была построена как гробница Хуфу, известного грекам как Хеопс. Он был одним из фараонов, или царей древнего Египта, а его гробница была завершена в 2580 году до н.э. Позднее в Гизе было построено еще две пирамиды, для сына и внука Хуфу, а также меньшие по размерам пирамиды для их цариц. Она имеет форму правильного тетраэдра и является древнейшим из Семи чудес древности.

Также примером архитектурных сооружений с использованием многогранников является Фаросский маяк.

Рис.13

Маяк был построен на маленьком острове Фарос в Средиземном море, около берегов Александрии. Он состоял из трех мраморных башен, стоявших на основании из массивных каменных блоков. Первая башня была прямоугольной, в ней находились комнаты, в которых жили рабочие и солдаты. Над этой башней располагалась меньшая, восьмиугольная башня со спиральным пандусом, ведущим в верхнюю башню. Верхняя башня формой напоминала цилиндр, в котором горел огонь, помогавший кораблям благополучно достигнуть бухты. На вершине башни стояла статуя Зевса Спасителя. Общая высота маяка составляла 117 метров.

Ещё один маяк, конструкция которого состоит из Платоновых тел - это Александрийский маяк. Он был построен в III веке до н.э., чтобы корабли могли благополучно миновать рифы на пути в александрийскую бухту. Это был первый в мире маяк, и простоял он 1500 лет.

Использование многогранников в архитектурных сооружениях можно наблюдать и в нашем городе. В первую очередь это конечно церкви, но наряду с историческими памятниками существуют и современные здания с яркими многогранниками.

IV.Практическая часть.

Моделирование – построение моделей, процесс познания действительных объектов, метод изучения технических сооружений, мыслительный и практический вид деятельности, непосредственно создание моделей. Моделирование появилось тогда, когда человечество осознало свое место в окружающем мире и стало стремиться к пониманию и изменению его. Одной из разновидностей моделей являются геометрические модели. Они передают внешние признаки объекта: размеры, форму, цвет. Геометрические модели представляют собой некоторые объекты, геометрически подобные своему прототипу (оригиналу). Они служат для учебных и демонстрационных целей, используются при проектировании сооружений, конструировании различных изделий. Развитие творческих способностей заключается именно в том, чтобы раскрыть суть моделирования, его принципы и закономерности. На первых порах обучения дети работают по готовым эскизам и чертежам с использованием преимущественно репродуктивных, воспроизводящих методов. Частично применяются методы, способствующие умственному развитию учащихся, т.е. проблемные, исследовательские и др. Конструирование – один из способов моделирования. Оно представляет разработку совместимых типовых элементарных объектов (деталей) и создание более сложных объектов из этих деталей.

Практическая часть нашей работы заключалась в том, чтобы построить модели правильных многогранников. Для этого мы использовали такие развертки, в которых грани прилегают друг к другу ребрами, а модель строится путем загибания развертки вдоль ребер.

IV.Заключение

Проделанная работа помогла узнать и убедиться в том, что многогранники на протяжении всей истории человечества не перестали восхищать пытливые умы симметрией, мудростью и совершенством своих форм.

Мы рассмотрели правильные многогранники и убедились, что не человек, а природа придумала эти удивительные формы. Мы всего лишь позаимствовали, то что создано до человечества. Создания природы красивы и симметричны. В ходе работы, мы выяснили, что многогранники играют немало важную роль в окружающей среде. Дальнейшее изучение многогранников позволит человечеству улучшить качество жизни, решить многие проблемы. Этой работой мы хотим заинтересовать всех, и дать возможность открыть тайны неизвестного.

Таким образом, многогранные формы окружают нас в повседневной жизни повсюду: спичечный коробок, книга, комната, молочные пакеты в форме тетраэдра или параллелепипеда. Почти все сооружения, возведённые человеком, от древнеегипетских пирамид до современных небоскрёбов, имеют форму многогранников.

V.Литература.

1. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М: Аванта плюс, 2002.

2. Энциклопедия для детей. Я познаю мир.Математика. – М: Издательство АСТ, 1999.

3. Ворошилов А.В. Математика и искусство. – М. просвещение, 1992. – 352

4. Рыбников К.А. История математики: Учебник. – М.: Изд-во МГУ, 1994. – 495 с

5. Интернет Ресурсы: http://www.nips.riss-telecom.ru/polv/

6. Мир многогранников: http://www.sch57.msk.ru:8101/collect/smogl.htm

7. История математики:http://mschool.kubsu.ru/

8. Библиотека электронных учебных пособий:http://www.ega-math.narod.ru/

9. Статьи по математике:http://dondublon.chat.ru/math.htm

10. Популярная математика:http://www.uic.ssu.samara.ru/~nauka/index.htm

infourok.ru

Проектная работа на тему: "Многогранники вокруг нас"

Содержание

Введение

Глава 1. Идеи учёных древности, средних веков и наших дней

при изучении многогранников

Глава 2. Общая характеристика многогранников

2.1 Правильные многогранники

2.2 Правильные звёздчатые многогранники

2.3 Полуправильные многогранники

Глава 3. Многогранники – наука или искусство?

3. 1 Многогранники в архитектуре

3.2 Многогранники в искусстве

3. 3 Многогранники в природе

3.4 Окружающие нас предметы в форме многогранников

Заключение

Список литературы

Введение

Как известно, почти все великие учёные древности и средних веков были выдающимися геометрами. Так, древнегреческий философ Платон, проводивший свои беседы со своими учениками, провозгласил: «Не знающие геометрии не допускаются!». Было это примерно 2400 лет тому назад.

Более 20 столетий спустя, великий французский архитектор Ле Корбюзье сказал: «Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Всё вокруг – геометрия». Эти слова очень точно характеризуют и наше время. Ведь мир, в котором мы живём, наполнен геометрией и она окружает нас ежедневно. Например, архитектурные сооружения главного города нашего государства – Москвы. Кто был в Москве, знает, как красив Московский Кремль. Прекрасны его башни! Сколько интересных геометрических фигур положено в их основу, но более всего среди них - различных многогранников!

«Теория многогранников — одна из

самых увлекательных глав геометрии».

Л. А. Люстерник

Человек проявляет интерес к многогранникам с самого раннего детства. Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как многогранники.

В девятом классе, приступив к изучению главы «Многогранники», из презентации учителя мы узнали, что история изучения многогранников уходит вглубь веков и свойства этих удивительных геометрических тел интересовали великие умы человечества самых разных эпох, которые строили на них свои философские теории.

Более всего нас заинтересовало то, что многогранники имеют огромное прикладное значение и кроме многогранников, созданных человеком, есть необычайно удивительный мир многогранников, которые создала сама природа. Мы увидели многогранники в архитектурных памятниках, на картинах великих художников, то есть в искусстве и попытались связать их существование с различными науками.

КУЛЬТУРА - это создаваемые человеком материальные и духовные ценности. НАУКА – систематизация знаний об окружающем мире, человеке и их взаимосвязях.

Возник вопрос: К чему можно отнести многогранники в большей степени – к науке или культуре? Так определилась тема нашего проекта. На этот вопрос трудно ответить, используя только материал учебника, так как он содержит, в основном, математические понятия, мало наглядности, практически отсутствуют исторические сведения. Поэтому, работая над проектом, мы решили создать пособие для учащихся,в котором будут собраны самые интересные факты и события, связанные с изучением данной темы. Этот материал будет интересен не только ученикам, так как его можно использовать как справочный материал на занятиях по математике, но и взрослым.

Актуальность и выбор темы исследовательской работы определены следующими факторами: Теория многогранников не является одним лишь достоянием прошлого. И сейчас, спустя два тысячелетия, многих привлекает лежащее в их основе эстетическое начало. О том, что они не утратили свою притягательность и поныне, весьма убедительно свидетельствует и их применение в науке, искусстве, архитектуре. Они встречаются в живой и неживой природе, в окружающем нас мире. Кроме того, теория многогранников является современным разделом математики, она, имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики. Таким образом, данная тема актуальна, а знания по данной проблеме являются важными для современного общества

Проблема исследования работы состоит в изучении всех видов многогранников и областей их применения: в науке, культуре.

Цель: Систематизация знаний и получение новой информации о многогранниках и их практическом применении, создание печатного пособия «Многогранники» в виде брошюры с иллюстрациями.

Задачи:

1. Собрать информацию (литература, тезисы, научные статьи, свободная энциклопедия) по выбранной теме изучить её и систематизировать по разделам.

2. Рассмотреть вклад математиков различных эпох в развитие теории многогранников.

3. Ознакомиться с видами многогранников в научной литературе.

4. Рассмотреть вопрос о существовании многогранников в окружающем мире.

5. Показать связь геометрии с другими науками.

6. Оформить собранный материал в виде брошюры с иллюстрациями.

Объект исследования: Многогранники.

Предмет исследования: Практическое применение многогранников, их связь с окружающим миром.

Гипотеза исследования: Окружающий мир говорит языком математики?

Методы исследования: Теоретические – анализ и синтез, эмпирический – сравнение, математический – визуализация данных.

Глава 1. Идеи учёных древности, средних веков и наших дней при изучении многогранников.

История многогранников уходит в глубокую древность и связана с именами таких учёных как Пифагор, Евклид, Архимед, Платон и Кеплер. Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Пифагор и его ученики занимались изучением правильных многогранников. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур.

Они полагали, что материя состоит из четырёх основных элементов: огня, земли, воздуха, воды. И каждому элементу придавалась соответствующая форма.

Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий учѐный, философ – идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться Платоновыми телами.

Учение о правильных многогранниках, содержащееся в последней XIII книге Евклида, является венцом его «Начал».

Вслед за Евклидом Архимед занимался изучением правильных многогранников. Убедившись в том, что нельзя построить шестой многогранник, Архимед стал строить многогранники, у которых гранями являются правильные, но не одноименные многоугольники. Существует 13 полуправильных многогранников, открытие которых приписывается Архимеду.

Но созвездию 5-ти Платоновых тел суждено было еще раз вспыхнуть на небосводе естествознания.

Перейдём к Европе XVI – XVII вв., когда жил и творил замечательный немецкий астроном, математик Иоганн Кеплер (1571 – 1630).

Представим себя на месте Кеплера. Перед ним различные таблицы – столбики цифр. Это результаты наблюдений движения планет Солнечной системы – как его собственных, так и великих предшественников – астрономов. В этом мире вычислительной работы он хочет найти некоторые закономерности. Иоганн Кеплер, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы. Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия. Такая модель Солнечной системы (рис. 1) получила название «Космического кубка» Кеплера.

Рис 1. Космический кубок Кеплера.

Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта. Год за годом учёный уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но, наконец, нашёл в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако её следы просматриваются в третьем законе Кеплера, где говориться о кубах средних растояний от Солнца.

Сегодня можно с уверенностью утверждать, что расстояния между планетами и их число никак не связаны с многогранниками. Конечно, структура Солнечной системы не является случайной, но истинные причины, по которым она устроена так, а не иначе, до сих пор не известны. Идеи Кеплера оказались ошибочными, но без гипотез, иногда самых неожиданных, казалось бы, бредовых, не может существовать наука.

Кроме полуправильных многогранников, из правильных многогранников – Платоновых тел можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре. Первые два были открыты И. Кеплером (1571 – 1630 гг.), а два других были построены почти двести лет спустя французским математиком и механиком Луи Пуансо (1777 – 1859 гг.). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники получили название тел Кеплера – Пуансо.

Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры Н. Гончаров, В. Макаров и В. Морозов (рис. 2).

Рис 2. Слева направо: Морозов-Гончаров-Макаров.

Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли (рис.3).

Рис 3. Икосаэдро-додекаэдровая структура Земли.

Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.

Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

Итак, многогранники изучали учёные древности, средних веков, и их идеи оказались удивительного современными – это были первые попытки систематизации окружающего нас мира. Гениальное предвидение Пифагора о том, что математика откроет человечеству двери к тайне Мироздания, сбылись, хотя ждать пришлось более 2-х тысячелетий.

Глава 2. Общая характеристика многогранников

2.1 Правильные многогранники.

Среди разнообразных форм многогранников выделяются правильные многогранники – те, которые построены из одинаковых многоугольников, причем в каждой вершине сходится одинаковое количество таких многоугольников.

Еще в Древней Греции были описаны все правильные многогранники. Их пять: тетраэдр (четырехгранник – от греческого «тетра», т.е. четыре), составленный из четырех правильных треугольников, куб или гексаэдр (шестигранник – от греческого «гекса», т.е. шесть), составленный из шести квадратов, октаэдр (восьмигранник – от греческого «окта», т.е. восемь), составленный из восьми правильных треугольников, икосаэдр (двадцатигранник – от греческого «икос», т.е. двадцать), составленный из двадцати правильных треугольников, и загадочный додекаэдр (двенадцатигранник – от греческого «додека», т.е. двенадцать), составленный из двенадцати правильных пятиугольников (рис 4).

Тетраэдр Куб (гексаэдр) Додекаэдр

Октаэдр Икосаэдр

Рис 4. Правильные многогранники.

Эти многогранники носят название «Платоновых тел», по имени древнегреческого философа Платона, в учении которого они играли важную роль. Тетраэдр символизировал - огонь, куб - землю, октаэдр – воздух, икосаэдр – воду, а додекаэдр – Вселенную. Первые четыре многогранника были известны и до Платона, а додекаэдр был открыт философами школы Платона. Это открытие они держали в строжайшей тайне. Существует легенда об ученике Платона Гиппазе, погибшем в море во время шторма, учиненного олимпийскими богами, за разглашение этой тайны.

Интересен «закон взаимности» для правильных многогранников. Если соединить отрезками центры соседних граней правильного многогранника, то эти отрезки станут ребрами другого правильного многогранника: у куба – октаэдра, а у октаэдра – куба; у икосаэдра – додекаэдра, а у додекаэдра – икосаэдра; а у тетраэдра – снова тетраэдра (рис.5).

Рис 5. Закон взаимности правильных многогранников.

2.2 Правильные звёздчатые многогранники.

Если использовать не только обычные правильные многоугольники, но и звездчатые многоугольники и разрешить им пересекаться, то можно получить очень красивые звездчатые правильные многогранники. В 1810 году французский математик Пуансо построил четыре правильных звездчатых многогранника: малый звездчатый додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр. Два из них знал И. Кеплер, а в 1812 году французский математик О. Коши доказал, что кроме пяти «Платоновых тел» и четырех «тел Пуансо» больше нет правильных многогранников.1

Существуют 4 типа правильных звездчатых многогранников. Рассмотрим вопрос о том, из каких правильных многогранников можно получить правильные звездчатые многогранники. Из тетраэдра, куба и октаэдра правильные звездчатые многогранники не получаются. Возьмем додекаэдр. Продолжение его ребер приводит к замене каждой грани звездчатым правильным пятиугольником, и в результате возникает многогранник, который называется малым звездчатым додекаэдром (рис. 6).

При продолжении граней додекаэдра возникают две возможности. Во-первых, если рассматривать правильные пятиугольники, то получится так называемый большой додекаэдр. Если же, во-вторых, в качестве граней рассматривать звездчатые пятиугольники, то получается большой звездчатый додекаэдр (рис. 7).

Икосаэдр имеет одну звездчатую форму. При продолжении граней правильного икосаэдра получается большой икосаэдр (рис. 8).

Рис. 6. Рис. 7 Рис. 8.

2. 3 Полуправильные многогранники.

Кроме правильных многогранников существует тринадцать полуправильных многогранников, которые носят название «тел Архимеда», поскольку он первый их описал. Это тела, составленные из многоугольников двух видов, причем в каждой вершине сходится одно и то же число многоугольников каждого вида (рис. 9).

Рис. 9. Полуправильные многогранники.

Множество архимедовых тел можно разбить на несколько групп. Первую из них составят пять многогранников, которые получаются из Платоновых тел в результате их усечения. Усечённое тело есть не что иное, как тело с отрезанной верхушкой. Усечением называется удаление некоторых частей тел, а в нашем случае — удаление всех частей, расположенных около вершин, вместе с самими вершинами. Для Платоновых тел это можно сделать таким образом, что и получающиеся новые грани, и остающиеся части старых будут правильными многоугольниками. К примеру, тетраэдр можно усечь так, что его четыре треугольные грани превратятся в четыре гексагональные, а к ним добавятся четыре правильные треугольные грани. Так могут быть получены пять архимедовых тел: усечённый тетраэдр, усечённый гексаэдр (куб), усечённый октаэдр, усечённый додекаэдр и усечённый икосаэдр.

Другую группу составляют всего два тела, именуемых также квазиправильными многогранниками. Частица «квази» подчёркивает, что грани этих многогранников, представляют собой правильные многоугольники всего двух типов, причём каждая грань одного типа окружена многоугольниками другого типа. Эти два тела носят названия кубооктаэдр и икосододекаэдр.

Два последующих многогранника называются ромбокубооктаэдром и ромбоикосододекаэдром. Иногда их называют также «малым ромбокубооктаэдром» и «малым ромбоикосододекаэдром» в отличие от большого ромбокубооктаэдра и большого ромбоикосододекаэдра. Если процесс усечения применить к двум квазиправильным телам — кубооктаэдру и икосододекаэдру, то новые полученные грани будут в лучшем случае прямоугольниками, но не квадратами. Однако дальнейшие модификации могут превратить эти прямоугольники в квадраты. Вот почему некоторые авторы называют большой ромбокубооктаэдр и большой ромбоикосододекаэдр «усечённым кубооктаэдром» и «усечённым икосододекаэдром» соответственно. Мы предпочитаем называть их ромбоусечённым кубооктаэдром и ромбоусечённым икосододекаэдром. Приставка «ромбо» указывает на особый способ получения квадратных граней, который был применён для построения этих двух тел из двух квазиправильных многогранников. Это даёт нам право опустить определение «малые» перед названиями двух ранее введённых тел.

Наконец существуют две так называемые «курносые» модификации — одна для куба, другая — для додекаэдра. Для каждой из них характерно несколько повёрнутое положение граней, что даёт возможность построить два различных варианта одного и того же «курносого» многогранника (каждый из них представляет собой как бы зеркальное отражение другого). Такие варианты, отличающиеся друг от друга, как правая рука отличается от левой, называются энантиоморфными.

Вывод: Показавшиеся вначале сложными даже названия многогранников, оказались на практике не столь страшны, сколь поучительны и интересны. Знакомство с ними будит любознательность и фантазию, стимулирует интерес к познанию гармонии и к самым разным видам творчества. Процесс изучения многогранников позволяет осознать насколько многогранен чудесный мир этих удивительных геометрических тел.

Глава 3. Многогранники – наука или искусство?

3. 1 Многогранники в архитектуре.

Многогранники - отнюдь не только объект научных исследований. Их формы - совершенные и причудливые, широко используются в архитектуре. Одно из чудес света сохранившееся до наших дней – египетские пирамиды. Пирамидальная форма в строительстве была популярна в древнем мире. Первое чудо света: Пирамида Хеопса самое грандиозное сооружение, вот уже почти пять тысяч лет стоит на земле. (рис. 10).

Рис. 10. Пирамида Хеопса.

Седьмое чудо света - Александрийский маяк или Фарос Александ-рийский, огромный маяк, сооруженный у входа в бухту египетского города Александрия, на острове Фарос (рис. 11).

Рис. 11. Александрийский маяк.

Геометрические фигуры, имеющие формы многогранников можно узнать и в замечательных сооружениях, возведѐнных русскими зодчими (Собор Девы Марии (рис.12), Казанская церковь (рис. 13) и многие другие). Это не просто красивые и большие здания, это прочные, надѐжные и уникальные сооружения, которые ещѐ много лет будут поражать своей точностью, величественностью и таинственностью.

Рис. 12 Собор Девы Марии. Рис. 13 Казанская церковь.

Современная архитектура не обошла вниманием многообразие форм многогранников. Зданий-многогранников бесконечно много. В Лондоне - здание-многогранник (рис. 14), а в Сингапуре - дом-облако (рис. 15).

Рис. 14. Здание-многогранник в Лондоне.

Рис. 15. Дом-облако в Сингапуре. Рис. 16. Вилла-многогранник.

Вилла - многогранник архитектора Мануеля (рис. 16) Виллы в Колумбии.

Дом похожий на кристалл, спроектированный архитектурной командой “Atelier Tekuto”, располагается недалеко от центра Токио (рис. 17). Архитекторы при создании дома вдохновлялись двумя ключевыми вещами – “минералами” и “отражениями”. Авторы исходили из того, что существует пространство и три аспекта его освещения – прозрачное, полупрозрачное и непрозрачное. На основе этих идей и создан этот дом в деконструктивизме. Кстати, хочется заметить, что все большее значение в Японии занимает деконструктивизм – стиль, который, как мне кажется абсолютно враждебен к Фэн-Шую. Этот многогранник провоцирует людей на спор, что надо современному человеку – постоянно меняющееся и разнообразное пространство или равновесие и покой, в котором комфортно и безопасно.

Рис. 17. Дом похожий на кристалл.

3. 2 Многогранники в искусстве.

Многогранники радуют глаз и художникам. Знаменитый художник эпохи возрождения Альбрехт Дюрер, увлекавшийся геометрией, написал гравюру «Меланхолия» на переднем плане которой изображен многогранник, гранями

которого являются треугольники и пятиугольники (рис. 18). В 1525 году он даже написал трактат о пяти правильных многогранниках.

Рис. 18. Гравюра «Меланхолия». Рис. 19. «Правильные многогранники».

Известный голландский художник М. Эшер (1898-1972) написал картину-фантазию на тему: «Правильные многогранники» (рис. 19).

А в 1943 году - «Рептилии» (рис. 20).

Рис. 20. «Рептилии».

Картина Суламифи Вулфинг изображает младенца Христа внутри икосаэдра, что очень уместно, потому что икосаэдр символизирует воду, а Христос был крещён в воде, что символизировало начало нового сознания (рис. 21).

Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил Иисуса Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра (рис. 22).

Рис. 21. Картина Суламифи Вулфинг. Рис. 22. «Тайная вечеря».

Увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах Леонардо да Винчи (1452-1519). Он проиллюстрировал изображениями правильных и полуправильных многогранников книгу своего друга монаха Луки Палочи (1445 – 1514) «О божественной пропорции» (рис. 23).4

Рис. 23. Иллюстрация из книги «О божественной пропорции».

3. 3 Многогранники в природе.

Все самое красивое на Земле создано самой природой. Среди всего этого совершенства встречаются многогранники. Примером этого служит скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминающий икосаэдр (рис. 24).

Рис. 24. Скелет феодарии.

Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объем при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

Водоросль вольвокс — один из простейших многоклеточных организмов — представляет собой сферическую оболочку (Рис. 25), сложенную в основном семиугольными, шестиугольными и пятиугольными клетками (то есть клетками, имеющими семь, шесть или пять соседних; в каждой «вершине» сходятся три клетки). Бывают экземпляры, у которых есть и четырехугольные, и восьмиугольные клетки, но биологи заметили, что если таких «нестандартных» клеток (менее, чем с пятью и более, чем с семью)

сторонами нет, то пятиугольных клеток всегда ровно на двенадцать больше, чем семиугольных (всего клеток может быть несколько сотен и даже тысяч). Это утверждение следует из известной формулы Эйлера.

Рис.25. Водоросль вольвокс.

В основе структуры ДНК лежит священная геометрия. На микроскопическом уровне, додекаэдр и икосаэдр являются относительными параметрами ДНК, по которым построена вся жизнь. Можно увидеть также, что молекула ДНК представляет собой вращающийся куб. При повороте куба последовательно на 72 градуса по определённой модели, получается икосаэдр, который, в свою очередь, составляет пару додекаэдру. Таким образом, двойная нить спирали ДНК построена по принципу двухстороннего соответствия: за икосаэдром следует додекаэдр, затем опять икосаэдр, и так далее. Это вращение через куб создаёт молекулу ДНК. В книге Дана Уинтера «Математика Сердца» (Dan Winter, Heartmath) показано, что молекула ДНК (рис. 26) составлена из взаимоотношений двойственности додекаэдров и икосаэдров.

Рис. 26. Молекула ДНК.

Вирусы, построенные только из нуклеиновой кислоты и белка, могут походить на жесткую палочкообразную или гибкую нитевидную спираль, точнее на правильный двадцатигранник, или икосаэдр. Есть вирусы, размножающиеся в клетках животных (позвоночных и беспозвоночных), другие облюбовали растения, третьи (их называют бактериофагами или просто фагами) паразитируют в микробах, но икосаэдрическая форма (рис. 27) встречается у вирусов всех этих трех групп.

Рис. 27. Икосаэдрическая форма вирусов.

В 1985 году было сделано одно из выдающихся открытий в области химии. Речь идет о так называемых «фуллеренах». Термином «фуллерены» называют замкнутые молекулы типа С60, С70, С76, С84, в которых все атомы углерода находятся на сферической или сфероидальной поверхности. В этих молекулах атомы углерода расположены в вершинах правильных шестиугольников или пятиугольников, которые покрывают поверхность сферы или сфероида. Центральное место среди фуллеренов занимает молекула С60, которая характеризуется наибольшей симметрией и как следствие наибольшей стабильностью.

Молекула фуллерена С60 - усеченный икосаэдр с атомами углерода в вершинах. Он имеет 32 грани (12 пятиугольных и 20 шестиугольных), 60 вершин и 90 ребер (60 на границе пяти- и шестиугольников и 30 на границе только шестиугольников). Направляющие ребра такого многогранника образуют некоторое подобие мозаики Пенроуза.

В этой молекуле, напоминающей покрышку футбольного мяча и имеющую структуру правильного усеченного икосаэдра (рис. 28), атомы углерода располагаются на сферической поверхности в вершинах 20 правильных шестиугольников и 12 правильных пятиугольников так, что каждый шестиугольник граничит с тремя шестиугольниками и тремя пятиугольниками, а каждый пятиугольник граничит с шестиугольниками.

Термин «фуллерен» берет свое начало от имени американского архитектора Бакминстера Фуллера, который, оказывается, использовал такие структуры при конструировании куполов зданий.

«Фуллерены» по существу представляют собой «рукотворные» структуры, вытекающие из фундаментальных физических исследований. Впервые они были синтезированы в 1985 учеными Г. Крото и Р. Смолли (получившими в 1996 г. Нобелевскую премию за это открытие). Но в 1992 их неожиданно обнаружили в породах докембрийского периода, то есть фуллерены оказались не только «рукотворными», но и природными образованиями. Сейчас фуллерены интенсивно изучают в лабораториях разных стран, пытаясь установить условия их образования, структуру, свойства и возможные сферы применения. Наиболее полно изученный представитель семейства фуллеренов — фуллерен-60 (C60, его называют иногда бакминстер-фуллерен). Известны также фуллерены C70 и C84. Фуллерен С60 получают испарением графита в атмосфере гелия. При этом образуется мелкодисперсный, похожий на сажу порошок, содержащий 10% углерода; при растворении в бензоле порошок дает раствор красного цвета, из которого и выращивают кристаллы С60. Фуллерены обладают необычными химическими и физическими свойствами. Так, при высоком давлении С60 становится твердым, как алмаз. Его молекулы образуют кристаллическую структуру, как бы состоящую из идеально гладких шаров, свободно вращающихся в гранецентрированной кубической решетке. Благодаря этому свойству C60 можно использовать в качестве твердой смазки. Фуллерены обладают также магнитными и сверхпроводящими свойствами.

Эффективная технология выделения разработана в 1990 г., в настоящее время стали предметом интенсивных исследований десятков научных групп. За результатами этих исследований пристально наблюдают прикладные фирмы.

Рис. 28. Атомы углерода.

Пчелиная ячейка представляет собой нижнюю половину усечённого икосаэдра, одного из полуправильных архимедовых тел, и это решение с точки зрения экономии воска и строительных усилий настолько разумно, что во Французской академии в XVIII в. решили: пчёлы используют достижения высшей математики, подчиняясь божественному указанию и руководству (рис. 29).5

Рис. 29. Пчелиная ячейка.

Модель молекулы метана Ch5 имеет форму правильного тетраэдра (рис.30), в четырех вершинах которого находятся атомы водорода, а в центре – атом углерода.

Рис. 30. Модель молекулы метана.

Правильные многогранники – самые «выгодные» фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов.

Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли (рис. 31) имеют форму куба.

Рис. 31. Кристаллы и кристаллическая решётка поваренной соли отчётливого кубического облика.

Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества (рис. 32)имеют форму додекаэдра.

Рис. 32. Кристаллы сернистого колчедана.

Давайте подробнее остановимся на прекрасных кристаллах алмаза (рис. 33(а)-33(б)).

Рис. 33 а. Кристалл алмаза.

Алмаз – самый дорогой и таинственный камень на Земле. Считается, что кристаллы алмазов обладают огромной энергетикой и являются носителями исторической информации, впитывая ее.

Рис. 33 б. Алмаз - октаэдрический кристалл углерода

Алмаз обладает многими лечебными свойствами. Он снижает высокую температуру, борется с инфекциями, снимает усталость и активизирует обмен веществ.

Алмаз предохраняет от болезней желудка, устраняет бессонницу. Как амулет алмаз лечит склероз, предотвращает образование почечных камней, помогает при кожных заболеваниях, шизофрении и депрессии.

Йоги отмечали, что энергия алмаза очень тонкая, мощная и подпитывает своими вибрациями сердце, мозг и все тонкое (эфирное) тело.

Алмаз употреблялся как омолаживающее средство. Его тонкие вибрации стимулируют и омолаживают сердце, благотворно влияют на работу всей нервной системы, стимулирует мозговую деятельность.

Считалось, что бриллиант в перстне укрепляет весь организм, ограждая своего владельца от болезней.

Магические свойства

Алмаз обладает мощной целительной силой для человеческого тела и духа и усиливает влияние других камней. Но он может принести как счастье, так и несчастье.

Алмаз является символом невинности, твердости и храбрости, совершенства, непобедимости и власти. Он укрепляет в человеке все энергетические центры, придает ему силу и мужество, приносит счастье и удачу во всех делах, защищает от сглаза и порчи.

Человек, носящий алмаз, становится более контактным, у него уменьшаются явления негативности. Сам камень способствует раскрытию лучших сторон его хозяина.

Алмаз с зеленым оттенком – оберег материнства.

Считается, что алмазы нужно дарить, а не покупать самому. Но дарить его нужно с осторожностью, так как это залог любви и целомудрия. Даря алмаз, вы берете на себя обязательство хранить верность, так же как тот, кто этот дар принимает.

На Востоке считают, что если алмаз (бриллиант) был получен в дар или перешёл по наследству, то это очень хорошо. Но если он был куплен, то его сразу нельзя носить, он должен пролежать в доме 7 лет. Украденный или приобретенный нечестным путём алмаз принесет несчастье и быструю гибель своего хозяина.

Считается, что алмазы с внутренними дефектами может принести много неприятностей своему владельцу, поэтому с ними надо уметь обращаться.

В древности одним из наиболее замечательных свойств алмаза считали его способность служить противоядием.

Природа алмаза капризна и для того, чтобы камень «заиграл», очень важно, чтобы он побывал в руках опытного гранильщика. Ведь только после огранки алмаз превращается в бриллиант. Исторически первой формой огранки, появившейся в середине XIV века, стал «октаэдр». Алмаз «Шах» почти сохранил свой естественный вид. Он имеет форму вытянутого кристалла - октаэдра, массу 88,7 карата и цвет воды с желто-бурым оттенком (рис. 34). В начале XIX века «Шах» оказался в Персии. В 1829 году в ходе беспорядков в Тегеране был убит русский посол, автор комедии «Горе от ума» А. С. Грибоедов, и персидское правительство для разрешения конфликта подарило алмаз Николаю I.

Рис. 34. Алмаз «Шах».

Поговорка «глаз-алмаз» тоже имеет смысл, т.к. природные алмазы используются в офтальмологии, для изготовления хрусталика глаза.

Но, конечно, главное место алмазов – на ювелирном олимпе (рис. 35-36).

Рис.35. Кольцо украшено алмазом в 9 карат.

Рис. 36. Ювелирные украшения из алмазов.

3.4 Окружающие нас предметы в форме многогранников.

Причудливые формы многогранников использует не только архитектура (рис. 37).

Рис. 37. Многогранник смысла жизни. Техника денежного насоса.

Так же многогранники широко используются в дизайне интерьера Современные полки имеют формы многогранников (рис. 38).

Рис. 38. Полки в форме многогранников.

Следующий предмет интерьера – кресло (рис. 39). В основе его форм лежит многогранник. Подобно оригами, кресло выполняется из цельного листа металла и воплощает математическую гармонию строгих геометрических форм.

Рис. 39. Кресло в форме многогранника.

Дизайнеры интерьера придумали не только полки, но и диваны, шкафы, столы, стулья и многое другое в виде многогранников, например, автоприцеп (рис. 40).

Рис. 40. Стильный "пчелиный" автоприцеп.

Правильные многогранники привлекают совершенством своих форм, полной симметричностью, что дало возможность венгерскому инженеру

Эрне Рубику создать свой знаменитый «кубик Рубика», а затем и аналогичные головоломки из остальных Платоновых тел (рис.41).

Рис. 41. Кубик Рубика.

Новогодний хрустальный шар в Нью-Йорке почти двухметровый в диаметре, состоящий из 672 хрустальных треугольников тоже имеет форму многогранника (рис. 42).

Рис. 42 . Новогодний хрустальный шар в Нью-Йорке.

Примером полуправильного многогранника служит футбольный мяч, часто появляющийся на экранах телевизоров (рис. 43). Он составлен из двадцати правильных шестиугольников и двенадцати пятиугольников. Поверхность футбольного мяча изготавливают в форме усеченного икосаэдра. Он получается путем отсечения верхушек правильного многогранника – икосаэдра.

Рис. 43. Футбольный мяч.

Многие елочные игрушки – многогранники (рис. 44).

Рис. 44. Ёлочные игрушки – многогранники.

Вывод: Многогранники не являются одним лишь достоянием прошлого. И сейчас, спустя два тысячелетия, лежащее в их основе эстетическое начало, привлекает художников, архитекторов, дизайнеров. О том, что они не утратили свою притягательность и поныне, весьма убедительно свидетельствует широкое применение их в архитектуре и искусстве. Современные здания и старинные церкви построенные в форме многогранников скрывают в себе некую тайну, встретившись с которой, человек считает необходимым разгадать её. Именно это завораживает и интригует взгляды людей.

Заключение

«Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук»

Л. Кэрролл

Работая над проектом, мы познакомились с интереснейшим, красивейшим, загадочным миром многогранников: они связаны с такими науками, как биология, химия, встречаются в природе и окружающем нас мире. Человек применяя формы многогранников, создал великие шедевры искусства и архитектурные памятники, которые являются духовным наследием и доставляют наслаждение всем временам и народам. Мы нашли точки соприкосновения со множеством предметов и явлений.

Отвечая на вопрос, поставленный в начале работы над проектом, можно с уверенностью сказать, что: Многогранники находятся вокруг нас, следует только внимательнее присмотреться. Они окружают нас повсюду и мы настолько привыкли видеть их постоянно, что порой не замечаем их красоту и изящество. Не бегите по улице, остановитесь и оглянитесь - насколько красиво вокруг, ведь окружающий мир говорит языком математики и в этом её великая сила и великая тайна.

infourok.ru

"Многогранники вокруг нас" | Социальная сеть работников образования

Слайд 1

Слайд 2

Основная цель данного проекта –знакомство с понятием многогранников и правильных многогранников, выявление основных особенностей Платоновых тел. Определение значения многогранников в нашей жизни.

Слайд 3

Многогранники появились на Земле задолго до возникновения человечества в виде кристаллов, бактерий, вирусов. Свойства многогранников изучали ученые и священники, им приписывали различные магические и целебные свойства. Большой интерес к многогранникам проявляли скульпторы, архитекторы, художники. Эти удивительные тела неразрывно сопровождают человечество на протяжении многих миллионов лет. Многогранники – вокруг нас!

Слайд 4

Данные многоугольники называются гранями. Стороны граней называются ребрами многогранника, а концы ребер — вершинами многогранника. По числу граней различают четырехгранники, пятигранники и т. д..

Слайд 5

Пирамида - это многогранник, одна грань которого многоугольник, а остальные грани - треугольники с общей вершиной. Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник и высота пирамиды проходит через центр многоугольника.

Слайд 6

Призма - многогранник, две грани которого (основания призмы) представляют собой равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами, а все другие грани - параллелограммы.

Слайд 7

Самые выгодные фигуры - правильные многогранники, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служат пчелиные соты, форма некоторых кристаллов. Большой интерес к многогранникам проявляют скульпторы, архитекторы, художники.

Слайд 8

Тела Платона - это правильные многогранники. Их свойства были описаны более двух тысяч лет назад древнегреческим философом Платоном, чем и объясняется их общее название.

Слайд 9

Тете Многогранник, все грани которого представляют собой правильные и равные многоугольники, называют правильными. Существует пять типов правильных многогранников . Многогранник Количество вершин Количество рёбер Количество граней тетраэдр 4 6 4 гексаэдр 8 12 6 октаэдр 6 12 8 икосаэдр 12 30 20 додекаэдр 20 30 12 Многогранник, все грани которого представляют собой правильные и равные многоугольники, называют правильными. Существует пять типов правильных многогранников Тела Платона

Слайд 10

В естественной среде правильные многогранники можно встретить в виде кристаллов (минералов). Форму тетраэдра передает сурьменистый сернокислый натрий.

Слайд 11

Самая известная достопримечательность Казани и одновременно символ города - башня Сююмбике . Без нее невозможно представить Казань, так же как Париж - без Эйфелевой башни. Форма гексаэдра(куба) – один из основных элементов сооружения.

Слайд 12

В микро-мире многогранники встречаются в виде молекул, вирусов и бактерий - простейших организмов. Например: фуллерены – шарообразные молекулы углерода .

Слайд 13

Звездчатые формы и соединения тел Платона. Звездчатый октаэдр Малый звездчатый додекаэдр

Слайд 14

Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки — это звездчатые многогранники, удивительные символы симметрии , привлекавшие внимание множества выдающихся мыслителей.

Слайд 15

Использованные ресурсы. 1.Аргунов Б.И., Балк М.Б.Элементарная геометрия,М.:Просвещение , 1966 . 2.Атанасян Л.С., Базылев Л.В.Геометрия ,М.: Просвещение 1987 . 3.Березин В.Н. Правильные многогранники, Квант,1973 . 4.Пидоу Д., Геометрия и искусство, Мир,1979. 5.Савин а.,Правильные многогранники, Квант, 1997. 6.Смирнова И.М., Смирнов В.А., Лекция на профильном уровне. Многогранники. Математика,2007. 7.Интересные факты/ http :// www.nbsh-front.ru / geo . 8.Модели многогранников / http ://polygran.boom.ru . 9.Правильные многогранники / http :// www.scribd.com ., др. интернетресурсы .

nsportal.ru

Смотрите также

• 
  Реферат линейный асинхронный двигатель
• 
  Реферат ипотечные ценные бумаги
• 
  Реферат интуитивные методы прогнозирования
• 
  Реферат гуманизм эразма роттердамского
• 
  Реферат гидроусилитель рулевого управления
• 
  Реферат внешность делового человека
• 
  Реферат ветеран живет рядом
• 
  Природа человеческого сознания реферат
• 
  Прослушивание телефонных переговоров реферат
• 
  Происхождение башкирского народа реферат
• 
  Почему дети лгут реферат