Тема 1.2. Корни, степени и логарифмы. Реферат корни степени логарифмы

Корни , степени и логарифмы

Что такое логарифм? Как решать логарифмы? Эти вопросы многих выпускников вводят в ступор. Традиционно тема логарифмов считается сложной, непонятной и страшной. Особенно - уравнения с логарифмами.

Это абсолютно не так. Абсолютно! Не верите? Хорошо. Сейчас, за какие-то 10 - 20 минут вы:

1. Поймете, что такое логарифм.

2. Научитесь решать целый класс показательных уравнений. Даже если ничего о них не слышали.

3. Научитесь вычислять простые логарифмы.

Причём для этого вам нужно будет знать только таблицу умножения, да как возводится число в степень...

Чувствую, сомневаетесь вы... Ну ладно, засекайте время! Поехали!

Для начала решите в уме вот такое уравнение:

3x = 9

Это показательное уравнение. Оно так называется потому, что х стоит в показателе степени. Если вы не в ладах с показательными уравнениями, или вообще про них ничего не слышали - не страшно. Просто подберите х, чтобы равенство сработало. Удалось? Ну да, х = 2. Три в квадрате - это девять.

А теперь решите почти то же самое:

3x = 8

Что, что-то не так? Ответ, что нету такого икса, не принимается!

Согласитесь, что это как-то нечестно – с девяткой пример решается в уме, а с восьмеркой не решается вовсе! Ну чем девятка лучше восьмерки?! Математика не терпит такой дискриминации. Для математики все числа равны! Ну, не буквально, конечно….

Можно сообразить, что икс – какое-то дробное число, между единичкой (31 = 3) и двойкой (32 = 9). И даже приближенно подобрать, найти это число. Но так возиться каждый раз.... Математика решает вопрос как всегда радикально и элегантно. Просто введением понятия логарифма. Итак, что такое логарифм?

Вернёмся к нашему загадочному примеру:

3x = 8.

х - это число, в которое надо возвести 3, чтобы получить 8. Фраза понятна? Если непонятна, прочитайте ещё раз. И ещё. Это важно.

Вот и назовём это число логарифмом восьми по основанию три. Записывается это вот как:

х = log38

Читаем ещё раз: "икс равен логарифму восьми по основанию три".

Где что пишется – запомнить легко: число 3 – называется основанием, пишется в логарифме и в показательном выражении внизу. Основание у чего угодно - оно, обычно, внизу бывает.

И это правильный ответ!

Вот и всё.

Мы решили крутое показательное уравнение 3x = 8!

Ответ: х = log38 .

И, неожиданно для себя, научились решать все показательные уравнения такого типа!

Как решить пример:

5x = 12 ?

Легко! х - это число, в которое надо возвести 5, чтобы получить 12. В математической записи:

х = log512

Ещё пример:

2x =135 ?

Элементарно!

х = log2135

И ещё:

19x = 0,352 ?

Не вопрос!

х = log190,352

Это все верные ответы! Приятно, правда?

Представьте, мы в обыденной жизни спросили, например: "как доехать до вокзала?" И нам честно и правильно ответили: "На автобусе, который идёт до вокзала!" В жизни толку с такого ответа мало.

А в математике - пожалуйста!

На вопрос: чему равен х в уравнении

3x = 8 ?

Мы честно отвечаем: х равен числу, в которое надо возвести 3, чтобы получить 8! Или, чтобы так долго не говорить, пишем в сокращённом варианте, через логарифм:

х = log38

Вас смущает, что вместо конкретного числа мы пишем какие-то значки с цифрами? Ну ладно, только для вас... Я покажу вам это конкретное число:

х = log38 = 1,892789260714.....

Легче стало? Учтите ещё, что это число никогда не кончается. Иррациональное оно...

Поэтому и записывают логарифмы вместо страшно лохматых чисел. Кому надо числовой ответ - посчитает на калькуляторе.

Так, что такое логарифм - осознали, и решать целый класс показательных уравнений - научились.

Но радость от новых знаний будет неполной без ложки дегтя. Если логарифм считается без калькулятора, его надо считать. Ответ, например, х = log24 нехорош. Этот логарифм вычисляется, и его вы обязаны посчитать. Собственно, это и есть решение логарифма.

И чему же равен log24?

Переводим с математического на русский: log24 - это число, в которое надо возвести 2 (основание), чтобы получить 4. Ну, во что надо возвести 2, чтобы получить 4!?

Да! В двойку надо возвести! Вот и ответ:

log24 = 2

А log327 чему равен? Тройка в какой степени даст 27? В третьей! Ответ:

log327 = 3

Уловили? Ну-ка разовьём успех! Решаем примеры:

log381 =

log416 =

log55 =

log6216 =

Ответы (в беспорядке, разумеется!): 2; 1; 3; 4.

Что, тяжело сообразить, в какой степени шестёрка даст 216? А я предупреждал, что здесь таблицу умножения знать надо! Более того, намекну, что таблицу умножения вообще знать надо... Не только здесь.

Вот мы и познакомились с логарифмами. На понятном уровне. Вы убедились, что они не опасны. Но есть, есть у них свои фишки! Самая важная - это ограничения.

До сих пор мы знали два жёстких ограничения. Нельзя делить на ноль и извлекать корень чётной степени из отрицательного числа. Эти ограничения играют огромную роль в решении заданий. Про ОДЗ помните? Теперь добавляются ограничения, связанные с логарифмами.

Запишем в общем виде, т.е. через буквы:

c = logab

или, что едино:

logab = c

Вспомним: а - это основание, которое нужно возвести в степень с, чтобы получить b.

Прикинем, любым ли числом может быть а? Если, к примеру, а = 1? Забавно получится, единица в любой степени - единица. Как-то оно не очень... Как не меняй с, а а и b единичками останутся... Та же история и с нулём. Не годятся эти числа в качестве основания. Отрицательные числа - капризные. В одну степень их можно возводить, в другую нельзя... Вот и поступили с ними, как со всеми капризными – вовсе исключили из рассмотрения.

В результате получилось:

а > 0; a ≠ 1

А если мы положительное число возведём в любую степень, мы получим... получим... Да! Положительное число и получим. Отсюда:

b > 0.

Вот и все ограничения. Только на а и b. с может быть совершенно любым числом.

При решении числовых логарифмов эти ограничения практически не сказываются. Но при решении логарифмических уравнений и неравенств - это настолько важно, что я здесь про ограничения сказал, в уравнениях скажу, и при любом удобном случае повторять буду!

Ещё не мешает знать, что такое десятичный логарифм и что такое натуральный логарифм? В математике два основания употребляются очень часто. Это основание 10 и основание е. Число е.

е = 2,71828182845.....

Иррациональное число. Сплошь и рядом попадается в высшей математике. Само попадается, его не придумали. Почему попадается - неизвестно...

Значки логарифмов по этим основаниям имеют своё написание.

log10b = lgb

Основание 10 не пишется, буква "о" пропадает. Такие логарифмы называются десятичными. И

logeb = lnb

Логарифмы по основанию "е" называются натуральными. Хотя чего уж там натурального....

Эти логарифмы ничем не отличаются от всех остальных! Ни по определению, ни по свойствам! Решение этих логарифмов ничем не отличается от решения обычных!

Пора переходить к лаконичным математическим формулировкам. К свойствам логарифмов. Популярное выражение "Решение логарифмов" предполагает не только вычисления, но и преобразования. По определённым правилам, естественно.

Запишем знакомое нам выражение:

logab = c

Мы уже хорошо знаем, что если число а (основание) возвести в степень с, то получим число b. Это из самого определения логарифма следует. Стало быть, можно записать:

ac = b

А теперь смотрим, чему же равно число с? Да вот оно:

с = logаb

Подставим это в предыдущую формулу, и получим:

И зачем нам эта перетасовка? Затем, что 4х-этажное выражение превращается в элементарное b! Это хорошее свойство!

Это первая формула свойств логарифмов. Её надо помнить! Единственная формула, где логарифм стоит в показателе степени.

Приведу ещё свойства, которые не требуют специальных выводов, а проистекают из определения логарифма и элементарной логики.

Чему равняется выражение:

logа1 = ?

В какую степень надо возвести а, чтобы получить 1? Неужто забыли? Нет? Ну, хорошо! Да, в нулевую! Вот и пишем:

logа1 = 0

Думаю, что следующее свойство уже не требует разъяснений:

logаа = 1

sites.google.com

§2 Логарифм как показатель степени. Интегральное определение логарифма и его исторические корни

Тема 1.2. Корни, степени и логарифмы — МегаЛекции

Мы уже знакомы с множествами натуральных, целых и рациональных чисел и знаем, что в этих множествах можно производить такие операции как сложение, вычитание, умножение и деление.

Рассмотрим теперь операции возведение в степень и извлечение корня.

Возведение в степень. Мы знаем, что степень числа есть произведение равных сомножителей. Так, например, произведение . В общем случае, если , то число а называется основанием степени, n – показателем степени, число b – степенью.

По определению степени, как произведение равных сомножителей, символ имеет смысл лишь при натуральном n, так как перемножить можно лишь натуральное число сомножителей. Что же касается таких символов как, например, и т.п., то они не подходят к приведенному выше определению степени. Поэтому, чтобы обобщить понятие степени и распространить его на целые, рациональные и действительные показатели, нужно символу , придать смысл с помощью другого определения.

Известно, что для натуральных показателей m и n степень любого числа a обладает следующими основными свойствами:

(1)

(2)

Поэтому, при обобщении степени на целые и рациональные показатели, свойства (1) и (2) должны сохраняться.

Нулевой показатель.

Если , то условимся считать .

Для такого определения нулевого показателя свойства (1) и (2) сохраняются.

Например, .

Отрицательный показатель.

Если , то условимся считать

При таком определении степени с отрицательным показателем свойства (1) и (2) также сохраняются. Например, .

Дробный показатель.

Прежде чем перейти к степени с дробным показателем, вспомним определение корня степени n из числа a.

Корнем n-й степени из числа а называется число b такое, что .

Число а называется подкоренным выражением, n – показателем корня. Обозначение: .

Мы будем рассматривать случай, когда показатель корня есть натуральное число. Из школьного курса математики нам известно, что при четных показателях корень из отрицательного числа не имеет смысла, так как действительное число в четной степени не может быть равно отрицательному числу. В остальных случаях корень из любого числа имеет смысл. Например, . Корень из любого положительного числа в четной степени имеет два значения, отличающееся знаками. Так, например, . Положительное значение корня с четным показателем называется арифметическим корнем.

Теперь перейдем к степени с дробным показателем.

Если , то условимся считать .

Дробной степенью числа называется величина .

Свойства дробных степений:

Если показатель корня и показатель степени в подкоренном выражении имеют общий делитель, то показатель корня и показатель степени в подкоренном выражении можно сократить на этот делитель: .
Если показатель корня и показатель степени в подкоренном выражении умножить на одно и то же натуральное число, то новое выражение равно исходному: .
Чтобы корень n-й степени возвести в некоторую степень m нужно подкоренное выражение возвести в степень m: .

Пример. Упростить выражение .

Решение. Упростим делимое: .

Упростим теперь делитель: .

Так как делитель равен первому сомножителю делимого, то при делении эти выражения сократятся, поэтому в результате деления получим ответ: .

Перечислим свойства операции возведения в степень для любых числовых множеств, выражающиеся равенствами и неравенствами.

Свойства, выражающиеся равенствами:

Свойства, выражающиеся неравенствами:

если , то
если
если
если при четном n и при нечетном n.

Логарифмом числа N по основанию a ( ) называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число N: если то

Например, так как ;

так как ;

так как

Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество: Согласно этому тождеству:

Пример. Найдите х, если: а) ; б) ; в)

Пример. Вычислите: а) ; б) ; в)

Сформулируем основные свойства логарифмов.

Теорема 1. Логарифм произведения двух положительных чисел по основанию а ( ) равен сумме логарифмов множителей по тому же основанию:

где

Пример. Дано: Вычислите:

Решение.

Теорема 2. Логарифм частного двух положительных чисел по основанию a ( ) равен разности логарифмов числителя и знаменателя по тому же основанию:

где

Пример. Дано: Найдите

Решение.

Теорема 3. Логарифм степени по основанию a ( ) равен произведению показателя m на логарифм числа х по основанию а:

где

Пример. Найдите

Решение.

Теоремы 1-3 свидетельствуют о том, что действия умножения, деления, возведения в степень могут быть сведены к более простым действиям – соответственно сложению, вычитанию логарифмов, умножению логарифма на некоторое число.

Теорема 4. Логарифм положительного числа по данному основанию равен частному от деления логарифма этого же числа по новому основанию на логарифм данного основания по новому основанию:

где

Это соотношение называют формулой перехода от логарифма по основанию а к логарифму по основанию b.

Пример. Вычислите

Решение. Заметим, что числа 16 и 64 являются степенями числа 4. Получим:

С помощью формул перехода можно найти значение логарифма с произвольным основанием а, имея таблицы логарифмов, составленные для какого-нибудь одного основания b. Наиболее употребительны таблицы десятичных и натуральных логарифмов. Десятичными называют логарифмы по основанию 10 и обозначают , а с натуральными мы познакомимся позже.

Отметим еще некоторые свойства логарифмов: 1)

2) При любом

megalektsii.ru

Тема 1.2. Корни, степени и логарифмы. Реферат корни степени логарифмы

Корни , степени и логарифмы

§2 Логарифм как показатель степени. Интегральное определение логарифма и его исторические корни

Похожие главы из других работ:

2. Верхний центральный показатель линейной системы

2.9 Симметричные уравнения третей степени

2. Метод Феррари для уравнения 4-ой степени.

§1 Логарифм

§5. Вид: степени логарифма. Одно основание - разные выражения под логарифмом. Метод решение: введение новой переменной и сведение к алгебраическим

1.9 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

1.10 УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

б) Понятия смежности, инцидентности, степени

9. Показатель Хёрста

Раздел 1. Система Ляпунова - случай одной степени свободы.

2.8 Уравнения, содержащие модуль функции и корень четной степени

Решение уравнений с применением формул понижения степени

7.2. Формулы понижения степени

1) решение уравнений первой степени с одним неизвестным;

2.2 Степени вершин и подсчёт рёбер графа

Тема 1.2. Корни, степени и логарифмы — МегаЛекции

Смотрите также