works.tarefer.ru

Реферат Геометрический фрактал

скачать

Реферат на тему:

План:

1 Термин
2 Классификация[1]
3 Примеры
- 3.1 Самоподобные множества с необычными свойствами в математике
- 3.2 Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых
- 3.3 Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений
- 3.4 Фракталы в комплексной динамике
- 3.5 Стохастические фракталы
- 3.6 В природе
4 Применение
- 4.1 Естественные науки
- 4.2 Литература
- 4.3 Радиотехника
- 4.4 Информатика
  - 4.4.1 Сжатие изображений
  - 4.4.2 Компьютерная графика
  - 4.4.3 Децентрализованные сети
5 Галерея

Введение

Множество Мандельброта — классический образец фрактала

Фрактал (лат. fractus — дробленый, сломанный, разбитый) — сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, строго большую топологической.

Фрактальная форма подвида цветной капусты (Brassica cauliflora)

Фрактал — это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба[1].

Фрактал — самоподобное множество нецелой размерности[1].

1. Термин

Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает какими-либо из перечисленных ниже свойств:

Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.
Является самоподобной или приближённо самоподобной.
Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, кровеносная система и система альвеол человека или животных.

Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.

1.1. История

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке (например, множество Кантора). Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».

2. Классификация[1]

Алгебраические фракталы
- Множество Мандельброта
- Множество Жюлиа
- Бассейны (фракталы) Ньютона
- Биоморфы
- Треугольники Серпинского

Геометрические фракталы
- Кривая Коха (снежинка Коха)
- Кривая Леви
- Кривая Гильберта
- Ломаная (кривая) дракона (Фрактал Хартера-Хейтуэя)
- Множество Кантора
- Треугольник Серпинского
- Ковер Серпинского
- Дерево Пифагора
Стохастические фракталы
Рукотворные фракталы
Природные фракталы
Детерминированные фракталы
Недетерминированные фракталы

3. Примеры

3.1. Самоподобные множества с необычными свойствами в математике

Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:

множество Кантора — нигде не плотное несчётное совершенное множество. Модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины.
треугольник Серпинского и ковёр Серпинского — аналоги множества Кантора на плоскости.
губка Менгера — аналог множества Кантора в трёхмерном пространстве;
примеры Вейерштрасса и Ван дер Вардена нигде не дифференцируемой непрерывной функции.
кривая Коха — несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке;
кривая Пеано — непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата.
траектория броуновской частицы также с вероятностью 1 нигде не дифференцируема. Её хаусдорфова размерность равна двум.

3.2. Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых

Построение кривой Коха

Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены три первых шага этой процедуры для кривой Коха.

Примерами таких кривых служат:

кривая дракона;
кривая Коха;
кривая Леви;
кривая Минковского;
кривая Пеано.
с помощью похожей процедуры получается дерево Пифагора.

3.3. Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений

Свойство самоподобия можно математически строго выразить следующим образом. Пусть — сжимающие отображения плоскости. Рассмотрим следующее отображение на множестве всех компактных (замкнутых и ограниченных) подмножеств плоскости:

Можно показать, что отображение Ψ является сжимающим отображением на множестве компактов с метрикой Хаусдорфа. Следовательно, по теореме Банаха, это отображение имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка и будет нашим фракталом.

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых, описанная выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображения — отображения подобия, а n — число звеньев генератора.

Для треугольника Серпинского n = 3 и отображения ψ1, ψ2, ψ3 — гомотетии с центрами в вершинах правильного треугольника и коэффициентом 1/2. Легко видеть, что треугольник Серпинского переходит в себя при отображении Ψ.

В случае, когда отображения ψi — преобразования подобия с коэффициентами ri > 0, размерность s фрактала (при некоторых дополнительных технических условиях) может быть вычислена как решение уравнения . Так, для треугольника Серпинского получаем s = ln3 / ln2.

По той же теореме Банаха, начав с любого компактного множества и применяя к нему итерации отображения Ψ, мы получим последовательность компактов, сходящихся (в смысле метрики Хаусдорфа) к нашему фракталу.

3.4. Фракталы в комплексной динамике

Множество Жюлиа́

Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функции комплексной переменной на плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу XX века и связаны с именами Фату и Жюлиа.

Пусть F(z) — многочлен, z0 — комплексное число и рассмотрим следующую последовательность:

Нас интересует поведение этой последовательности при . Эта последовательность может:

Стремиться к бесконечности;
Стремиться к конечному пределу;
Демонстрировать в пределе циклическое поведение, то есть поведение вида
Демонстрировать более сложное поведение.

Множества значений z0, для которых последовательность демонстрирует один конкретный тип поведения, а также множества точек бифуркации между различными типами, часто обладают фрактальными свойствами.

Так, множество Жюлиа на картинке справа — множество точек бифуркации для многочлена F(z) = z2 + c, то есть тех значений z0, для которых поведение последовательности zn может резко меняться при сколь угодно малых изменениях z0.

Другой вариант получения фрактальных множеств — введение параметра в многочлен F(z) и рассмотрение множества тех значений параметра, при которых последовательность zn демонстрирует определённое поведение при фиксированном z0. Так, множество Мандельброта — это множество всех , при которых zn для F(z) = z2 + c и z0 = 0 не стремится к бесконечности.

Ещё один известный пример такого рода — бассейны Ньютона.

Популярно создание красивых графических образов на основе комплексной динамики путём раскрашивания точек плоскости в зависимости от поведения соответствующих динамических систем. Например, для дополнения множества Мандельброта можно раскрасить точки в зависимости от скорости стремления zn к бесконечности (определяемой, скажем, как наименьший номер n, при котором | zn | превысит фиксированную большую величину A).

Биоморфы — фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.

3.5. Стохастические фракталы

Рандомизированный фрактал на основе множества Жюлиа

Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:

траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;
граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.
эволюции Шрамма-Лёвнера — конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики, например, в модели Изинга и перколяции.
различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма — пример использования такого фрактала в компьютерной графике.

Фрактальная монотипия, или стохатипия — направления в изобразительном искусстве, заключающиеся в получении изображения случайного фрактала.

3.6. В природе

Бронхиальное дерево

Вид спереди на трахею и бронхи

Сеть кровеносных сосудов
Деревья

4. Применение

4.1. Естественные науки

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).

4.2. Литература

Среди литературных произведений находят такие, которые обладают текстуальной, структурной или семантической фрактальной природой. В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста:

неразветвляющееся бесконечное дерево, тождественное само себе с любой итерации («У попа была собака…», «Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…», «Ложно утверждение, что истинно утверждение, что ложно утверждение…»)
неразветвляющиеся бесконечные тексты с вариациями («У Пегги был весёлый гусь…») и тексты с наращениями («Дом, который построил Джек»).

В структурных фракталах схема текста потенциально фрактальна:

венок сонетов (15 стихотворений), венок венков сонетов (225 стихотворений), венок венков венков сонетов (2455 стихотворений)
«рассказы в рассказе» («Книга тысячи и одной ночи», Я. Потоцкий «Рукопись, найденная в Сарагосе»)
предисловия, скрывающие авторство (У. Эко «Имя розы»)
Т. Стоппард «Розенкранц и Гильденстерн мертвы» (сцена с представлением перед королём).
К. Прист «Лотерея» (иногда встречается под названием «Подтверждение»): молодой писатель сочиняет роман о своем двойнике из параллельного мира, который в свою очередь пишет книгу о своем двойнике из параллельной Вселенной, сочиняющем…
Б. Олдисс «Доклад о вероятности А»

В семантических и нарративных фракталах автор рассказывает о бесконечном подобии части целому:

Х. Л. Борхес «В кругу развалин»
Х. Кортасар «Жёлтый цветок»
Ж. Перек «Кунсткамера»

4.3. Радиотехника

Фрактальные антенны

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Коэн основал собственную компанию и наладил их серийный выпуск.

4.4. Информатика

4.4.1. Сжатие изображений

Фрактальное дерево

Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.

4.4.2. Компьютерная графика

Ещё одно фрактальное дерево

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа).

4.4.3. Децентрализованные сети

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

5. Галерея

Примечания

↑ 123 Красота фракталов, Паньгина Н. Н. - msint.lokos.net/prez/20080703.ppt

Литература

А. А. Кириллов Повесть о двух фракталах - www.mccme.ru/dubna/2007/notes/kirillov-preprint.pdf. — Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2007.
Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.
Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. — М.: «Мир», 1993.
Федер Е. Фракталы. — М: «Мир», 1991.
Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: изд-во МГУ, 1993.
Фракталы в физике. Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985. — М.: «Мир», 1988.
Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая - www.lib.prometey.org/?id=15278&page=3. — Ижевск: «РХД», 2001.
Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. - www.lib.prometey.org/?id=15270&page=2
Мандельброт Бенуа, Ричард Л. Хадсон (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах = The Misbehavior of Markets. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 400. — ISBN 5-8459-0922-8

wreferat.baza-referat.ru

Фракталы - новая ветвь математики

УО «Государственная гимназия №6»

Научная работа

Фракталы

ученика 9 «Б» класса

Сергея Бондаренко

Витебск, 2008 г.

План

ВВЕДЕНИЕ

1. Классические фракталы

1.1 Снежинка Коха

1.2 Салфетка и ковёр Серпинского

2. L-системы

3. Практическое применение фракталов

Литература

ВВЕДЕНИЕ (актуальность темы)

Когда большинству людей казалось, что геометрия в природе ограничивается такими простыми фигурами, как линия, круг, коническое сечение, многоугольник, сфера, квадратичная поверхность, а также их комбинациями. К примеру, что может быть красивее утверждения о том, что планеты в нашей солнечной системе движутся вокруг солнца по эллиптическим орбитам?

При этом многие природные системы настолько сложны и нерегулярны, что использование только знакомых объектов классической геометрии для их моделирования представляется безнадежным. Как к примеру, построить модель горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии? Как описать то многообразие биологических конфигураций, которое мы наблюдаем в мире растений и животных? Представьте себе всю сложность системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человеческого тела. Представьте, как хитроумно устроены легкие и почки, напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной.

Столь же сложной и нерегулярной может быть и динамика реальных природных систем. Как подступиться к моделированию каскадных водопадов или турбулентных процессов, определяющих погоду?

Фракталы и математический хаос --- подходящие средства для исследования поставленных вопросов. Термин фрактал относится к некоторой статичной геометрической конфигурации, такой как мгновенный снимок водопада. Хаос --- термин динамики, используемый для описания явлений, подобных турбулентному поведению погоды. Нередко то, что мы наблюдаем в природе, интригует нас бесконечным повторением одного и того же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т.д. Теоретически, элемент «разветвление» повторяется бесконечно много раз, становясь все меньше и меньше. То же самое можно заметить, разглядывая фотографию горного рельефа. Попробуйте немного приблизить изображение горной гряды --- вы снова увидите горы. Так проявляется характерное для фракталов свойство самоподобия.

Во многих работах по фракталам самоподобие используется в качестве определяющего свойства. Следуя Бенуа Мадельброту, мы принимаем точку зрения, согласно которой фракталы должны определяться в терминах фрактальной (дробной) размерности. Отсюда и происхождение слова фрактал (от лат. fractus --- дробный).

Понятие дробной размерности представляет собой сложную концепцию, которая излагается в несколько этапов. Прямая --- это одномерный объект, а плоскость --- двумерный. Если хорошенько перекрутив прямую и плоскость, можно повысить размерность полученной конфигурации; при всём этом новая размерность обычно будет дробной в некотором смысле, который нам предстоит уточнить. Связь дробной размерности и самоподобия состоит в том, что с помощью самоподобия можно сконструировать множество дробной размерности наиболее простым образом. Даже в случае гораздо более сложных фракталов, таких как граница множества Мандельброта, когда чистое самоподобие отсутствует, имеется почти полное повторение базовой формы во все более и более уменьшенном виде.

1.1 Снежинка Коха

В начале ХХ века математики искали такие кривые, которые ни в одной точке не имеют касательной. Это означало, что кривая резко меняет свое направление, и притом с колоссально большой скоростью (производная равна бесконечности). Поиски данных кривых были вызваны не просто праздным интересом математиков. Дело в том, что в начале ХХ века очень бурно развивалась квантовая механика. Исследователь М.Броун зарисовал траекторию движения взвешенных частиц в воде и объяснил это явление так: беспорядочно движущиеся атомы жидкости ударяются о взвешенные частицы и тем самым приводят их в движение. После такого объяснения броуновского движения перед учеными встала задача найти такую кривую, которая бы наилучшим образом аппроксимировала движение броуновских частиц. Для этого кривая должна была отвечать следующим свойствам: не иметь касательной ни в одной точке. Математик Кох предложил одну такую кривую. Мы не будем вдаваться в объяснения правила ее построения, а просто приведем ее изображение, из которого все станет ясно (рис.1.1.1).

Рис 1.1.1. Снежинка Коха.

Одно важное свойство, которым обладает граница снежинки Коха --- ее бесконечная длина. Это может показаться удивительным, потому что мы привыкли иметь дело с кривыми из курса математического анализа. Обычно гладкие или хотя бы кусочно-гладкие кривые всегда имеют конечную длину (в чем можно убедиться интегрированием). Мандельброт в этой связи опубликовал ряд увлекательных работ, в которых исследуется вопрос об измерении длины береговой линии Великобритании. В качестве модели он

Рис. 1.1.2. Построение снежинки Коха.

использовал фрактальную кривую, напоминающую границу снежинки за тем исключением, что в нее введен элемент случайности, учитывающий случайность в природе. В результате оказалось, что кривая, описывающая береговую линию, имеет бесконечную длину.

1.2 Салфетка и ковёр Серпинского

Еще один пример простого самоподобного фрактала --- салфетка Серпинского (рис. 1.2.1), придуманный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году. Сам термин салфетка принадлежит Мандельброту. В способе построения, следующем ниже, мы начинаем с некоторой области и последовательно выбрасываем внутренние подобласти. Позднее мы рассмотрим и другие способы, в частности с использованием L-систем, а также на основе итерированных функций.

Рис 1.2.1. Салфетка Серпинского

Пусть начальное множество S0 --- равносторонний треугольник вместе с областью, которую он замыкает. Разобьем S0 на четыре меньшие треугольные области, соединив отрезками середины сторон исходного треугольника. Удалим внутренность маленькой центральной треугольной области. Назовем оставшееся множество S1 (рис. 1.2.2). Затем повторим процесс для каждого из трех оставшихся маленьких треугольников и получим следующее приближение S2. Продолжая таким образом, получим последовательность вложенных множеств Sn, чье пересечение образует салфетка S.

Рис. 1.2.2. Построение салфетки Серпинского

Очевидно, что суммарная площадь частей, выкинутых при построении, в точности равна площади исходного треугольника. На первом шаге мы выбросили ј часть площади. На следующем шаге мы выбросили три треугольника, причем площадь каждого равна ј 2 площади исходного. Рассуждая таким образом, мы убеждаемся, что полная доля выкинутой площади составила:

1/4 + 3*(1/42) + 32*(1/43) + … + 3n-1*(1/4n) + … .

Эта сумма равна. Следовательно, мы можем утверждать, что оставшееся множество S, то есть салфетка, имеет площадь меры нуль. Это выделяет множество S в разряд «совершенного», в том смысле, что оно разбивает свое дополнение на бесконечное число треугольных областей, обладая при всём этом нулевой толщиной.

Ковер Серпинского считается еще одной моделью фрактала. Строится он следующим образом: берется квадрат, делится на девять квадратов, вырезается центральный квадрат. Затем с каждым из восьми оставшихся квадратов проделывается подобная процедура. И так до бесконечности. В результате вместо целого квадрата мы получаем ковер со своеобразным симметричным рисунком. Впервые данную модель предложил математик Серпинский, в честь которого он и получил свое название. Пример ковра Серпинского можно увидеть на рис. 1.2.3.

Рис. 1.2.3. Построение ковра Серпинского

2. L-системы

Понятие L-систем, тесно связанное с самоподобными фракталами, появилось только в 1968 году благодаря Аристриду Линденмайеру. Изначально L-системы были введены при изучении формальных языков, а также использовались в биологических моделях селекции. С их помощью можно строить многие известные самоподобные фракталы, включая снежинку Коха и салфетка Серпинского. Некоторые другие классические построения, например кривые Пеано (работы Пеано, Гильберта, Серпинского), также укладываются в эту схему. И конечно, L-системы открывают путь к бесконечному разнообразию новых фракталов, что и послужило причиной их широкого применения в компьютерной графике для построения фрактальных деревьев и растений. Рассмотренные в этой курсовой работе L-системы ограничиваются случаем детерминированных L-систем и графикой на плоскости.

Для графической реализации L-систем в качестве подсистемы вывода используется так называемая тертл-графика (turtle - черепаха). При этом точка (черепашка) движется по экрану дискретными шагами, как правило прочерчивая свой след, но при необходимости может перемещаться без рисования. В нашем распоряжении имеются три параметра (x,y,a), где (x,y) --- координаты черепашки, a --- направление, в котором она смотрит. Черепашка обучена интерпретировать и выполнять последовательность команд, задаваемых кодовым словом, буквы которого читаются слева направо. Кодовое слово представляет собой результат работы L-системы и может включать следующие буквы:

F --- переместиться вперед на один шаг, прорисовывая след.

[ --- открыть ветвь (подробнее см. ниже)

] --- закрыть ветвь (подробнее см. ниже)

+ --- увеличить угол a на величину q

- --- уменьшить угол a на величину q

Размер шага и величина приращения по углу q задаются заранее и остаются неизменными для всех перемещений черепашки. Если начальное направление движения а (угол, отсчитываемый от положительного направления оси Х) не указано, то полагаем а равным нулю.

Несколько примеров иллюстрируют применение команд ветвления (обозначаются ],[) и вспомогательных переменных (обозначаются X, Y, и т.д.). Команды ветвления используются для построения деревьев растений, а вспомогательные переменные заметно облегчают построение некоторых L-систем.

Формально, детерминированная L-система состоит из алфавита, слова инициализации, называемого аксиомой или инициатором, и набора порождающих правил, указывающих, как следует преобразовывать слово при переходе от уровня к уровню (от итерации к итерации). К примеру, можно заменять букву F при помощи порождающего правила F-> F-F++F-F, что соответствует L-системе для снежинки Коха, рассматриваемой ниже. Символы +, -, ], [ не обновляются, а просто остаются на тех местах, где они встретились. Обновление букв в данном слове предполагается одновременным, то есть буквы слова одного уровня обновляются раньше любой буквы следующего уровня.

L-система, соответствующая снежинке Коха (рис. 1.1.1), задается следующим образом:

p = 60*

Аксиома: F++F++F

Порождающее правило: F-> F-F++F-F

Графическое представление аксиомы F++F++F --- равносторонний треугольник. Черепашка делает один шаг вперед, затем угол а увеличивается на 2/3 и черепашка делает еще один шаг.

На первом шаге каждая буква F в слове-инициаторе F++F++F заменяется на F-F++F-F:

(F-F++F-F)+(F-F++F-F)+(F-F++F-F)

Повторяя этот процесс, на втором шаге получим:

F-F++F-F-F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F+F-F++F-F-F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F+ F-F++F-F- F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F

и т.д.

Вот еще некоторые фракталы, построенные с использованием L-системы:

Рис. 2.1. Дракон Хартера-Хатвея после 12-ти итераций

и его L-система:

p = 90*

Аксиома: FX

Порождающие правила: X-> X+YF+

Y-> -FX-Y

Рис 2.2. Дерево после 5-ти итераций

и его L-система:

p = 26*

Аксиома: F

Порождающее правило: F-> F[+F]F[-F]F

Рис 2.3. Растение после 7-ти итераций

p = 26*

Аксиома: ----G

Порождающие правилa: G->GFX[+G][-G]

X->X[-FFF][+FFF]FX

Рис 2.4. Ещё одно растение после 8-ти итераций

p = 11*

Аксиома: --------C

Порождающие правилa: C->N[--C]N[++C]N+C

N->NNF

P->C

3. Практическое применение фракталов

Фракталы находят все большее и большее применение в науке. Основная причина этого заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Вот несколько примеров:

КОМПЬЮТЕРНЫЕ СИСТЕМЫ

Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке является фрактальное сжатие данных. В основе этого вида сжатия лежит тот факт, что реальный мир хорошо описывается фрактальной геометрией. При этом, картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами (такими как jpeg или gif). Другое преимущество фрактального сжатия в том, что при увеличении картинки, не наблюдается эффекта пикселизации (увеличения размеров точек до размеров, искажающих изображение). При фрактальном же сжатии, после увеличения, картинка часто выглядит даже лучше, чем до него.

МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ

1. Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Турбулентные потоки хаотичны и поэтому их сложно точно смоделировать. И здесь помогает переход к из фрактальному представлению, что сильно облегчает работу инженерам и физикам, позволяя им лучше понять динамику сложных потоков.

2. При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени.

3. Пористые материалы хорошо представляются во фрактальной форме в связи с тем, что они имеют очень сложную геометрию. Это используется в нефтяной науке.

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ

Для передачи данных на расстояния используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес.

ФИЗИКА ПОВЕРХНОСТЕЙ

Фракталы используются для описания кривизны поверхностей. Неровная поверхность характеризуется комбинацией из двух разных фракталов.

МЕДИЦИНА

1.Биосенсорные взаимодействия.

2.Биение сердца

БИОЛОГИЯ

Моделирование хаотических процессов, в частности при описании моделей популяций.

Заключение

Цель проекта: ознакомить слушателей с новой ветвью математики -- фракталами.

Основные тезисы:

1.Теория фракталов имеет совсем небольшой возраст. Она появилась в конце шестидесятых годов благодаря Бенуа Мандельброту.

2. Фрактал - самоподобная структура, чье изображение не зависит от масштаба. Это рекурсивная модель, каждая часть которой повторяет в своем развитии развитие всей модели в целом.

3.Фракталы всё чаще используются в науке. Например, в компьютерных системах, механике жидкостей, медицине, биологии и других.

4.Сущетвует множество различных фракталов: Канторово множество, треугольник Серпинского, ковёр Серпинского, кривая Коха, снежинка Коха, дракон Хартера-Хатвея и другие.

5. Можно считать, что самоподобие -- один из видов симметрии.

6. Фракталы позволяют намного упростить сложные процессы и объекты, что очень важно для моделирования. Позволяют описать нестабильные системы и процессы и, самое главное, предсказать будущее таких объектов.

Выводы:

В моей работе приведены далеко не все области человеческих знаний, где нашла свое применение теория фракталов. Хочу только сказать, что со времени возникновения теории прошло не более трети века, но за это время фракталы для многих исследователей стали внезапным ярким светом в ночи, которые озарил неведомые доселе факты и закономерности в конкретных областях данных. С помощью теории фракталов стали объяснять эволюцию галактик и развитие клетки, возникновение гор и образование облаков, движение цен на бирже и развитие общества и семьи. Может быть, в первое время данное увлечение фракталами было даже слишком бурным и попытки все объяснять с помощью теории фракталов были неоправданными. Но, без сомнения, данная теория имеет право на существование.

Литература

1. Божогин С. В. Фракталы и мультифракталы.

2. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы.

3. Морозов А.Д. ВВЕДЕНИЕ в теорию фракталов.

4. Шлык В.А. Через Фрактальную геометрию к новому восприятию мира.

5. Глобальная сеть Интернет.

referatwork.ru

Winamp, Skins, Plugins

Необходимые Утилиты

Текстовые редакторы

Юмор

File managers and best utilites

Каталог :: Математика. Реферат фракталы

Реферат Фракталы

скачать

Реферат на тему:

План:

1 Термин
2 Классификация[1]
3 Примеры
- 3.1 Самоподобные множества с необычными свойствами в математике
- 3.2 Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых
- 3.3 Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений
- 3.4 Фракталы в комплексной динамике
- 3.5 Стохастические фракталы
- 3.6 В природе
4 Применение
- 4.1 Естественные науки
- 4.2 Литература
- 4.3 Радиотехника
- 4.4 Информатика
  - 4.4.1 Сжатие изображений
  - 4.4.2 Компьютерная графика
  - 4.4.3 Децентрализованные сети
5 Галерея

Введение

Множество Мандельброта — классический образец фрактала

Фрактальная форма подвида цветной капусты (Brassica cauliflora)

Фрактал — самоподобное множество нецелой размерности[1].

1. Термин

Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.
Является самоподобной или приближённо самоподобной.
Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

1.1. История

2. Классификация[1]

Алгебраические фракталы
- Множество Мандельброта
- Множество Жюлиа
- Бассейны (фракталы) Ньютона
- Биоморфы
- Треугольники Серпинского

Геометрические фракталы
- Кривая Коха (снежинка Коха)
- Кривая Леви
- Кривая Гильберта
- Ломаная (кривая) дракона (Фрактал Хартера-Хейтуэя)
- Множество Кантора
- Треугольник Серпинского
- Ковер Серпинского
- Дерево Пифагора
Стохастические фракталы
Рукотворные фракталы
Природные фракталы
Детерминированные фракталы
Недетерминированные фракталы

3. Примеры

3.1. Самоподобные множества с необычными свойствами в математике

множество Кантора — нигде не плотное несчётное совершенное множество. Модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины.
треугольник Серпинского и ковёр Серпинского — аналоги множества Кантора на плоскости.
губка Менгера — аналог множества Кантора в трёхмерном пространстве;
примеры Вейерштрасса и Ван дер Вардена нигде не дифференцируемой непрерывной функции.
кривая Коха — несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке;
кривая Пеано — непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата.
траектория броуновской частицы также с вероятностью 1 нигде не дифференцируема. Её хаусдорфова размерность равна двум.

3.2. Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых

Построение кривой Коха

Примерами таких кривых служат:

кривая дракона;
кривая Коха;
кривая Леви;
кривая Минковского;
кривая Пеано.
с помощью похожей процедуры получается дерево Пифагора.

3.3. Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений

3.4. Фракталы в комплексной динамике

Множество Жюлиа́

Пусть F(z) — многочлен, z0 — комплексное число и рассмотрим следующую последовательность:

Нас интересует поведение этой последовательности при . Эта последовательность может:

Стремиться к бесконечности;
Стремиться к конечному пределу;
Демонстрировать в пределе циклическое поведение, то есть поведение вида
Демонстрировать более сложное поведение.

Ещё один известный пример такого рода — бассейны Ньютона.

Биоморфы — фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.

3.5. Стохастические фракталы

Рандомизированный фрактал на основе множества Жюлиа

траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;
граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.
эволюции Шрамма-Лёвнера — конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики, например, в модели Изинга и перколяции.
различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма — пример использования такого фрактала в компьютерной графике.

3.6. В природе

Бронхиальное дерево

Вид спереди на трахею и бронхи

Сеть кровеносных сосудов
Деревья

4. Применение

4.1. Естественные науки

4.2. Литература

неразветвляющееся бесконечное дерево, тождественное само себе с любой итерации («У попа была собака…», «Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…», «Ложно утверждение, что истинно утверждение, что ложно утверждение…»)
неразветвляющиеся бесконечные тексты с вариациями («У Пегги был весёлый гусь…») и тексты с наращениями («Дом, который построил Джек»).

В структурных фракталах схема текста потенциально фрактальна:

венок сонетов (15 стихотворений), венок венков сонетов (225 стихотворений), венок венков венков сонетов (2455 стихотворений)
«рассказы в рассказе» («Книга тысячи и одной ночи», Я. Потоцкий «Рукопись, найденная в Сарагосе»)
предисловия, скрывающие авторство (У. Эко «Имя розы»)
Т. Стоппард «Розенкранц и Гильденстерн мертвы» (сцена с представлением перед королём).
К. Прист «Лотерея» (иногда встречается под названием «Подтверждение»): молодой писатель сочиняет роман о своем двойнике из параллельного мира, который в свою очередь пишет книгу о своем двойнике из параллельной Вселенной, сочиняющем…
Б. Олдисс «Доклад о вероятности А»

В семантических и нарративных фракталах автор рассказывает о бесконечном подобии части целому:

Х. Л. Борхес «В кругу развалин»
Х. Кортасар «Жёлтый цветок»
Ж. Перек «Кунсткамера»

4.3. Радиотехника

Фрактальные антенны

4.4. Информатика

4.4.1. Сжатие изображений

Фрактальное дерево

4.4.2. Компьютерная графика

Ещё одно фрактальное дерево

4.4.3. Децентрализованные сети

5. Галерея

Примечания

↑ 123 Красота фракталов, Паньгина Н. Н. - msint.lokos.net/prez/20080703.ppt

Литература

А. А. Кириллов Повесть о двух фракталах - www.mccme.ru/dubna/2007/notes/kirillov-preprint.pdf. — Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2007.
Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.
Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. — М.: «Мир», 1993.
Федер Е. Фракталы. — М: «Мир», 1991.
Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: изд-во МГУ, 1993.
Фракталы в физике. Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985. — М.: «Мир», 1988.
Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая - www.lib.prometey.org/?id=15278&page=3. — Ижевск: «РХД», 2001.
Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. - www.lib.prometey.org/?id=15270&page=2
Мандельброт Бенуа, Ричард Л. Хадсон (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах = The Misbehavior of Markets. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 400. — ISBN 5-8459-0922-8

wreferat.baza-referat.ru

Реферат - Фракталы - Информатика

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Карагандинский Государственный Технический Университет

Кафедра ____САПР______

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе

По дисциплине: «Прикладная теория систем»

Тема: «Фракталы»

Руководитель

Студент

2009

Содержание

Введение

2. Теоретическая часть

2.1 Понятие «фрактал»

2.2 Применение фракталов

2.3 Теория хаоса

2.3.1 Введение в теорию хаоса

2.3.2 Теория хаоса о беспорядке

2.3.3 Применение теории хаоса в реальном мире

2.3.4 Броуновское движение и его применение

2.4 Интеграция детерминированных фракталов и хаос

2.5 Виды фракталов

2.6 Дерево Фейгенбаума и Множество Мандельброта

3. Постановка задачи

Заключение

Введение

Разветвления трубочек трахей, листья на деревьях, вены в руке, река, бурлящая и изгибающаяся, рынок ценных бумаг — это все фракталы. От представителей древних цивилизаций до Майкла Джексона, ученые, математики и артисты, как и все остальные обитатели этой планеты, были зачарованы фракталами и применяли из в своей работе.

Программисты и специалисты в области компьютерной техники так же без ума от фракталов, так как фракталы бесконечной сложности и красоты могут быть сгенерированы простыми формулами на простых домашних компьютерах. Открытие фракталов было открытием новой эстетики искусства, науки и математики, а так же революцией в человеческом восприятии мира.

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature. В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.

Компьютерные системы.

Механика жидкостей.

Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Турбулентные потоки хаотичны и поэтому их сложно точно смоделировать. И здесь помогает переход к из фрактальному представлению, что сильно облегчает работу инженерам и физикам, позволяя им лучше понять динамику сложных

При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени.

Пористые материалы хорошо представляются в фрактальной форме в связи с тем, что они имеют очень сложную геометрию. Это используется в нефтяной науке.

Телекоммуникации.

Физика поверхностей.

Медицина.

1. Биосенсорные взаимодействия

2. Биения сердца

Биология.

Моделирование хаотических процессов, в частности при описании моделей популяций.

Теория хаоса — это учение о сложных нелинейных динамических системах. Ниже рассматривается истинное положение вещей, как ответ многим ошибочным представлениям об этой области науки.

Что такое теория хаоса?

Формально, теория хаоса определяется как учение о сложных нелинейных динамических системах. Под термином сложные это и понимается, а под термином нелинейные понимается рекурсия и алгоритмы из высшей математики, и, наконец, динамические — означает непостоянные и непериодические. Таким образом, теория хаоса — это учение о постоянно изменяющихся сложных системах, основанное не математических концепциях рекурсии, в форме ли рекурсивного процесса или набора дифференциальных уравнений, моделирующих физическую систему.

Наиболее часто встречающееся несоответствие состоит в том, что люди полагают, что теория хаоса — это теория о беспорядке. Ничто не могло бы быть так далеко от истины! Это не опровержение детерминизма и не утверждение о том, что упорядоченные системы невозможны; это не отрицание экспериментальных подтверждений и не заявление о бесполезности сложных систем. Хаос в теории хаоса и есть порядок — и даже не просто порядок, а сущность порядка.

Это правда, что теория хаоса утверждает, что небольшие изменения могут породить огромные последствия. Но одной из центральных концепций в теории является невозможность точного предсказания состояния системы. В общем, задача моделирования общего поведения системы вполне выполнима, даже проста. Таким образом, теория хаоса сосредотачивает усилия не на беспорядке системы — наследственной непредсказуемости системы — а на унаследованном ей порядке — общем в поведении похожих систем.

Таким образом, было бы неправильным сказать, что теория хаоса о беспорядке. Чтобы пояснить это на примере, возьмем аттрактор Лоренца. Он основан на трех дифференциальных уравнениях, трех константах и трех начальных условиях.

Рисунок 1. Аттрактор Лоренца.

Аттрактор представляет поведение газа в любое заданное время, и его состояние в определенный момент зависит от его состояния в моменты времени, предшествовавшие данному. Если исходные данные изменить даже на очень маленькие величины, скажем, эти величины малы настолько, что соизмеримы с вкладом отдельных атомов в число Авогадро (что является очень маленьким числом по сравнению со значениями порядка 1024), проверка состояния аттрактора покажет абсолютно другие числа. Это происходит потому, что маленькие различия увеличиваются в результате рекурсии.

Однако, несмотря на это, график аттрактора будет выглядеть достаточно похоже. Обе системы будут иметь абсолютно разные значения в любой заданный момент времени, но график аттрактора останется тем же самым, т.к он выражает общее поведение системы.

Теория хаоса говорит, что сложные нелинейные системы являются наследственно непредсказуемыми, но, в то же время, теория хаоса утверждает, что способ выражения таких непредсказуемых систем оказывается верным не в точных равенствах, а в представлениях поведения системы — в графиках странных аттракторов или во фракталах. Таким образом, теория хаоса, о которой многие думают как о непредсказуемости, оказывается, в то же время, наукой о предсказуемости даже в наиболее нестабильных системах.

При появлении новых теорий, все хотят узнать, что же в них хорошего. Итак что хорошего в теории хаоса?

Первое и самое важное — теория хаоса — это теория. А значит, что большая ее часть используется больше как научная основа, нежели как непосредственно применимое знание. Теория хаоса является очень хорошим средством взглянуть на события, происходящие в мире отлично от более традиционного четко детерминистического взгляда, который доминировал в науке со времен Ньютона. Зрители, которые посмотрели Парк Юрского периода, без сомнения боятся, что теория хаоса может очень сильно повлиять на человеческое восприятие мира, и, в действительности, теория хаоса полезна как средство интерпретации научных данных по-новому. Вместо традиционных X-Y графиков, ученые теперь могут интерпретировать фазово-пространственные диаграммы которые — вместо того, чтобы описывать точное положение какой-либо переменной в определенный момент времени — представляют общее поведение системы. Вместо того, чтобы смотреть на точные равенства, основанные на статистических данных, теперь мы можем взглянуть на динамические системы с поведением похожим по своей природе на статические данные — т.е. системы с похожими аттракторами. Теория хаоса обеспечивает прочный каркас для развития научных знаний.

Однако, согласно вышесказанному не следует, что теория хаоса не имеет приложений в реальной жизни.

Техники теории хаоса использовались для моделирования биологических систем, которые, бесспорно, являются одними из наиболее хаотических систем из всех что можно себе представить. Системы динамических равенств использовались для моделирования всего — от роста популяций и эпидемий до аритмических сердцебиений.

В действительности, почти любая хаотическая система может быть смоделирована — рынок ценных бумаг порождает кривые, которые можно легко анализировать при помощи странных аттракторов в отличие от точных соотношений; процесс падения капель из протекающего водопроводного крана кажется случайным при анализе невооруженным ухом, но если его изобразить как странный аттрактор, открывается сверхъестественный порядок, которого нельзя было бы ожидать от традиционных средств.

Фракталы находятся везде, наиболее заметны в графических программах как например очень успешная серия продуктов Fractal Design Painter. Техники фрактального сжатия данных все еще разрабатываются, но обещают удивительные результаты как например коэффициента сжатия 600:

1. Индустрия специальных эффектов в кино, имела бы горазда менее реалистичные элементы ландшафта (облака, скалы и тени) без технологии фрактальной графики.

И, конечно, теория хаоса дает людям удивительно интересный способ того, как приобрести интерес к математике, одной из наиболее мало-популярной области познания на сегодняшний день.

Броуновское движение — это, например, случайное и хаотическое движение частичек пыли, взвешенных в воде. Этот тип движения, возможно, является аспектом фрактальной геометрии, имеющий с наибольшее практическое использование. Случайное Броуновское движение производит частотную диаграмму, которая может быть использована для предсказания вещей, включающих большие количества данных и статистики. Хорошим примером являются цены на шерсть, которые Мандельброт предсказал при помощи Броуновского движения.

Рисунок 2. Частотная диаграмма.

Частотные диаграммы, созданные при построении графика на основе Броуновских чисел так же можно преобразовать в музыку. Конечно этот тип фрактальной музыки совсем не музыкален и может действительно утомить слушателя. Занося на график случайно Броуновские числа, можно получить Пылевой Фрактал наподобие того, что приведен здесь в качестве примера.

Кроме применения Броуновского движения для получения фракталов из фракталов, оно может использоваться и для создания ландшафтов. Во многих фантастических фильмах, как например Star Trek техника Броуновского движения была использована для создания инопланетных ландшафтов таких, как холмы и топологические картины высокогорных плато. Эти техники очень эффективны, и их можно найти в книге Мандельброта Фрактальная геометрия природы. Мандельброт использовал Броуновские линии для создания фрактальных линий побережья и карт островов (которые на самом деле были просто в случайном порядке изображенные точки) с высоты птичьего полета.

Рисунок 3. Рельеф.

Из рассмотренных примеров детерминистских фракталов можно увидеть, что они не проявляют никакого хаотического поведения и что они на самом деле очень даже предсказуемы. Как известно, теория хаоса использует фрактал для того, чтобы воссоздать или найти закономерности с целью предсказания поведения многих систем в природе, таких как, например, проблема миграции птиц.

Теперь давайте посмотрим, как это в действительности происходит. Используя фрактал, называемый Деревом Пифагора, не рассматриваемого здесь (который, кстати, не изобретен Пифагором и никак не связан с теоремой Пифагора) и Броуновского движения (которое хаотично), давайте попытаемся сделать имитацию реального дерева. Упорядочение листьев и веток на дереве довольно сложно и случайно и, вероятно не является чем-то достаточно простым, что может эмулировать короткая программа из 12 строк.

Для начала нужно сгенерировать Дерево Пифагора (Рисунок 4). Результат напоминает те старые детсадовские рисунки… Так что давайте сделаем ствол толще. На этой стадии Броуновское движение не используется. Вместо этого, каждый отрезок линии теперь стал линией симметрии прямоугольника, который становится стволом, и веток снаружи.

Рисунок 4. Дерево Пифагора

Но результат все еще выглядит слишком формальным и упорядоченным. Дерево еще не смотрится как живое. Попробуем применить некоторые из тех знаний в области детерминированных фракталов, которые мы только что приобрели.

Рисунок 5.

Теперь можно использовать Броуновское движение для создания некоторой случайной беспорядочности, которая изменяет числа, округляя их до двух разрядов. В оригинале были использованы 39 разрядные десятичные числа. Результат (слева) не выглядит как дерево. Вместо этого, он выглядит как хитроумный рыболовный крючок!

Рисунок 6.

Может быть округление до 2 разрядов было слишком уж много? Снова применяем Броуновское движение, округленное на этот раз до 7 разрядов. Результат по-прежнему выглядит как рыболовный крючок, но на этот раз в форме логарифмической спирали!

Рисунок 7.

Так как левая сторона (содержащая все нечетные числа) не производит эффект крючка, случайные беспорядочности, произведенные Броуновским движением применяются дважды ко всем числам с левой стороны и только один раз к числам справа. Может быть этого будет достаточно чтобы исключить или уменьшить эффект логарифмической спирали. Итак, числа округляются до 24 разрядов. На этот раз, результат — приятно выглядящая компьютеризированная хаотическая эмуляция реального дерева.

Рисунок 8.

Решётка Серпинского.

Это один из фракталов, с которыми экспериментировал Мандельброт, когда разрабатывал концепции фрактальных размерностей и итераций. Треугольники, сформированные соединением средних точек большего треугольника вырезаны из главного треугольника, образовывая треугольник, с большим количеством дырочек. В этом случае инициатор — большой треугольник а шаблон — операция вырезания треугольников, подобных большему. Так же можно получить и трехмерную версию треугольника, используя обыкновенный тетраэдр и вырезая маленькие тетраэдры. Размерность такого фрактала ln3/ln2 = 1.584962501.

Чтобы получить ковер Серпинского, возьмем квадрат, разделим его на девять квадратов, а средний вырежем. То же сделаем и с остальными, меньшими квадратами. В конце концов образуется плоская фрактальная сетка, не имеющая площади, но с бесконечными связями. В своей пространственной форме, губка Серпинского преобразуется в систему сквозных форм, в которой каждый сквозной элемент постоянно заменяется себе подобным. Эта структура очень похожа на разрез костной ткани. Когда-нибудь такие повторяющиеся структуры станут элементом строительных конструкций. Их статика и динамика, считает Мандельброт, заслуживает пристального изучения.

Рисунок 9. Решётка Серпинского.

Рисунок 10. Губка Серпинского.

Треугольник Серпинского.

Не перепутайте этот фрактал с решеткой Серпинского. Это два абсолютно разных объекта. В этом фрактале, инициатор и генератор одинаковы. При каждой итерации, добавляется уменьшенная копия инициатора к каждому углу генератора и так далее. Если при создании этого фрактала произвести бесконечное число итераций, он бы занял всю плоскость, не оставив ни одной дырочки. Поэтому его фрактальная размерность ln9/ln3 = 2.0.

Рисунок 11. Треугольник Серпинского.

Кривая Коха.

Кривая Коха один из самых типичных детерминированных фракталов. Она была изобретена в девятнадцатом веке немецким математиком по имени Хельге фон Кох, который, изучая работы Георга Контора и Карла Вейерштрассе, натолкнулся на описания некоторых странных кривых с необычным поведением. Инициатор — прямая линия. Генератор — равносторонний треугольник, стороны которого равны трети длины большего отрезка. Эти треугольники добавляются к середине каждого сегмента снова и снова. В своем исследовании, Мандельброт много экспериментировал с кривыми Коха, и получил фигуры такие как Острова Коха, Кресты Коха, Снежинки Коха и даже трехмерные представления кривой Коха, используя тетраэдр и прибавляя меньшие по размерам тетраэдры к каждой его грани. Кривая Коха имеет размерность ln4/ln3 = 1.261859507.

Рисунок 12. Кривая Коха.

Фрактал Мандельброта.

Это НЕ множество Мандельброта, которое можно достаточно часто видеть. Множество Мандельброта основано на нелинейных уравнениях и является комплексным фракталом. Это тоже вариант кривой Коха несмотря на то, что этот объект не похож на нее. Инициатор и генератор так же отличны от использованных для создания фракталов, основанных на принципе кривой Коха, но идея остается той же. Вместо того, чтобы присоединять равносторонние треугольники к отрезку кривой, квадраты присоединяются к квадрату. Благодаря тому, что этот фрактал занимает точно половину отведенного пространства при каждой итерации, он имеет простую фрактальную размерность 3/2 = 1.5

Рисунок 13. Фрактал Мандельброта.

Кривая Дракона.

Изобретенная итальянским математиком Джузеппе Пеано, Кривая Дракона или Взмах Дракона, как он назвал его, очень похож на колбасу Минковского. Использован более простой инициатор, а генератор тот же самый. Мандельброт назвал этот фрактал Река Двойного Дракона. Его фрактальная размерность приблизительно равна 1.5236.

Рисунок 14. Дракон Джузеппе Пеано.

Множество Мандельброта.

Множества Мандельброта и Жюлиа, вероятно, два наиболее распространенных среди сложных фракталов. Их можно найти во многих научных журналах, обложках книг, открытках, и в компьютерных хранителях экрана. Множество Мандельброта, которое было построено Бенуа Мандельбротом, наверное первая ассоциация, возникающая у людей, когда они слышат слово фрактал. Этот фрактал, напоминающий чесальную машину с прикрепленными к ней пылающими древовидными и круглыми областями, генерируется простой формулой

Zn+1=Zna+C, где Z и C — комплексные числа и а — положительное число.

Множество Мандельброта, которое чаще всего можно увидеть — это множество Мандельброта 2й степени, то есть а=2. Тот факт, что множество Мандельброта не только Zn+1=ZnІ+C, а фрактал, показатель в формуле которого может быть любым положительным числом ввел в заблуждение многих. На этой странице вы видите пример множества Мандельброта для различных значений показателя а.

Также популярен процесс Z=Z*tg (Z+C). Благодаря включению функции тангенса, получается множество Мандельброта, окруженное областью, напоминающей яблоко. При использовании функции косинуса, получаются эффекты воздушных пузырьков. Короче говоря, существует бесконечное количество способов настройки множества Мандельброта для получения различных красивых картинок.

Рисунок 15. Множество Мандельброта.

Рисунок 16. Множество Мандельброта при а=3,5.

Множество Жюлиа.

Удивительно, но множества Жюлиа образуются по той же самой формуле, что и множество Мандельброта. Множество Жюлиа было изобретено французским математиком Гастоном Жюлиа, по имени которого и было названо множество. Первый вопрос, возникающий после визуального знакомства с множествами Мандельброта и Жюлиа это “если оба фрактала сгенерированы по одной формуле, почему они такие разные? ” Сначала посмотрите на картинки множества Жюлиа. Достаточно странно, но существуют разные типы множеств Жюлиа. При рисовании фрактала с использованием различных начальных точек (чтобы начать процесс итераций), генерируются различные изображения. Это применимо только ко множеству Жюлиа.

Хотя это нельзя увидеть на картинке, фрактал Мандельброта — это, на самом деле, множество фракталов Жюлиа, соединенных вместе. Каждая точка (или координата) множества Мандельброта соответствует фракталу Жюлиа. Множества Жюлиа можно сгенерировать используя эти точки в качестве начальных значений в уравнении Z=ZІ+C. Но это не значит, что если выбрать точку на фрактале Мандельброта и увеличить ее, можно получить фрактал Жюлиа. Эти две точки идентичны, но только в математическом смысле. Если взять эту точку и просчитать ее по данной формуле, можно получить фрактал Жюлиа, соответствующий определенной точке фрактала Мандельброта.

Рисунок 17. Множество Жюлиа.

Дерево Фейгенбаума.

Логистическое уравнение — это формула, над которой, в основном, работал Митчелл Фейгенбаум при создании своей теории о фракталах. Эта формула должна описывать динамику развития популяции:

f (x) = (1 — x) rx

Простейшая модель — это пропорциональное соотношение численности с прошлым годом. Допустим в прошлом году у нас было x животных. В этом году их должно быть rx животных. Но это не выполняется в реальных условиях. Лучшее соответствие с реальностью получится если добавить фактор, зависящий от того какой потенциал существует у популяции для дальнейшего развития, и пусть x — коэффициент полноты, который меняется от 0 до 1. Потом добавляется фактор 1 — x, так что территория почти полностью заполнена, популяция не возрастет выше верхнего предела.

Расширяя логистическое выражение, получаем:

f (x) = аx — ах2

Формула, использующаяся в программе LT Bifurcator для объяснения сущности фрактала Фейгенбаума — (1 + r) x — rx2 не сильно отличается от формулы, приведенной выше. В принципе, для изучения теории можно было использовать любую формулу, например самую простую из формул данного вида — xІ — r. Единственными различиями являются различия в координатах окон на картинке и несколько измененный внешний вид изображения.

Рисунок 18. Дерево Фейгенбаума.

Если вы когда-либо видели формулу множетсва Мандельброта z=z2 + x, вы могли бы заметить схожесть между этой формулой и самой простой из формул для построения дерева Фейгенбаума x2 — r. И это действительно так. Сходство существует. Но фейгенбаумово дерево растет в другую сторону. Измените формулу Фейгенбаума на x2 + r и вы увидите сходство. Что касается множества Мандельброта, вам нужно смотреть вдоль горизонтальной оси, так как это единственная позиция в которой комплексная часть числа Мандельброта равна нулю. Вы увидите, что основное тело фигуры Мандельброта находится там, где функция в дереве Фейгенбаума принимает лишь одно значение. Когда происходит первое разделение линии (бифуркация) появляется новое тело на фигуре Мандельброта и т.д. Обратите также внимание на то, что когда в дереве открывается главное окно, на фигуре Мандельброта появляется дочернее тело.

Рисунок 19. Дерево Фейгенбаума и Множество Мандельброта.

Необходимо спроектировать и разработать программный продукт, при помощи которого возможно наглядно посмотреть изображения фрактальной графики. Программа должна позволять раскрыть сущность фрактала — многократное самоповторение (всего изображения или определённой его части). Интерфейс должен быть максимально понятным. Скорость работы должна быть такой, чтобы сбалансировать производительность и качество, т.е. при данной скорости прорисовывается достаточно наглядное изображение. Необходима так же возможность сохранения фрактального изображения. Программа должна быть интуитивно понятной и «не отталкивать при первом взгляде». Возможностями программы должны быть доступны прорисовки не менее десяти алгебраических и не менее двух геометрических фракталов.

Решение.

Решением данной задачи является программный продукт при помощи которого можно просмотреть по несколько образцов алгебраической и геометрической фрактальной графики. Программа должна иметь встроенное увеличение (многократное), пропорциональное истинному размеру изображения. Интерфейс необходим светлый, приятный, возможно в тонах WindowsXP. Нам, например, подойдёт использование градиентной заливки самой формы. Учитывая то, что человек не любит долгие ожидания программа не использует большой размер холста, однако и при данном размере удаётся рассмотреть все достоинства фрактальной графики. Программа использует стандартные возможности сохранения графического изображения в формате *. bmpи не может загружать в себя графические изображения этого формата, т.к эта программа не для просмотра, а для генерации изображений. В программе использованы небесные цвета, она имеет дружественный интерфейс и проста в обращении. Каждая кнопка, параметр и другие органы управления подписаны так, что в справке программа не нуждается, однако она всё же дополнена справкой во избежание конфликтов со стандартами. Возможностями программы доступны прорисовки двадцати одного алгебраического и трёх геометрических фракталов.

Структура.

Программа состоит из двух форм (основной и формы с именами разработчиков и их логотипом). На главной форме могут располагаться два интерфейса:

Алгебраические фракталы

Геометрические фракталы.

Так же имеется окно справки.

Дальнейшая структура интерфейса будет описана в разделе «Руководство пользователя».

Программная структура представляет собой набор функций, каждая из которых является «формулой» прорисовки одного фрактала. И процедуры самой прорисовки.

Рисунок 20. Схема работы программы.

Данной схемой (Рисунок 20) представлен внутренний принцип работы программы. Использование одной процедуры прорисовки значительно уменьшает код и объём компонентов интерфейса. Однако представление каждой формулы множества отдельной функцией значительно уменьшает время прорисовки.

Руководство пользователя.

Для установки данного программного продукта необходимо вставить в дисковод диск с лицензионной версией программы. На экране появится мастер установки. Читая его комментарии, вы можете менять места расположения установленных файлов. Если вы согласны с адресами предложенными программой установки, то нажимайте «далее». Затем на рабочем столе вашего компьютера появится иконка с названием программы «Фрактальная графика». Чтобы открыть её, необходимо навести на неё указатель мыши и кликнуть на ней двойным щелчком.

Данная программа позволяет просмотреть изображения двадцати одного алгебраического и трёх геометрических фракталов. При запуске программы она автоматически предоставляет нам интерфейс алгебраических фракталов. Для переключения на геометрические Вам необходимо в строке меню нажать кнопку «Показать»->«Геометрические фракталы».

Прорисовка происходит на прямоугольной области на левой половине окна программы именуемой холстом.

В меню алгебраических фракталов имеются следующие органы управления и ввода параметров:

R — насыщенность красного цвета

G — насыщенность зелёного цвета

B — насыщенность синего цвета

Колличество иттераций — число повторений координат точки при выявлении её принадлежности определённой области (от этого зависит качество изображения)

Список возможных вариантов фракталов:

Прорисовать — кнопка прорисовки

Очистить — кнопка очистки

По умолчанию — исходные значения

Время прорисовки

При работе с геометрическими фракталами:

Серпинский — прорисовка треугольника Серпинского, справа параметр — число иттераций

Дракон Д. Пиано — прорисовка дракона Д. Пиано, справа параметр — число иттераций

Фейгенбаум — прорисовка дерева Фейгенбаума, внизу список параметров

Очистить — очистить.

Так же имеется возможность сохранения изображения в формате *. bmp. Для этого необходимо прорисовать фрактал (по желанию — увеличить), затем войти в меню — «Фаил»->«Сохранить», не указывая расширение, ввести имя фаила и нажать Enter.

При необходимости просмотра фрактальной структуры Вам необходимо навести указатель мыши на область холста, нажать на левую кнопку, а затем растянуть необходимую область движением вправо и отпустить кнопку мыши.

Рисунок 21. Интерфейс программы.

Влияние параметров.

При разработке данной программы учитывались не только требования заказчика, но так же были проведены не которые исследования. Были выявлены следующие закономерности и факты:

При увеличении числа итераций увеличивается качество изображения, но так же увеличивается и скорость прорисовки. Так же при увеличении фрактала с большим числом итераций мы можем видеть более наглядные изображения, и кратность возможного увеличения заметно возрастает.

Подбор цветовых коэффициентов очень сложная и кропотливая работа, требующая большого ресурса человеко-часов.

Время прорисовки так же зависит от выбранных функций. Так степенные функции прорисовываются гораздо быстрее, чем например степенные.

В ходе работы было создано немалое число фракталов, из которых были выбраны лучшие, путём визуального контроля. Формулы, по которым они прорисовываются, были выведены исключительно разработчиками и являются их частной собственностью.

Начальные значения переменных в функциях могут изменить вид фрактала так, что его оригинал визуально будет совсем не похож на клона. Такой принцип, например, применил Жюлиа.

Радиус окружности — эталон, на котором происходит генерация точек, — это важнейший параметр. Например, Фракталы, построенные на основе множества Мандельброта — Spider (i), отличаются только этим радиусом.

Начальные координаты прорисовки определяют полноту изображения на холсте. При их неправильной простановке фрактал может быть виден не полностью.

Многие параметры влияют на красоту фрактала. При его построении все параметры должны быть точно просчитаны и продуманы. Это залог качественного изображения.

Фрактальная графика — это не просто множество самоповторяющихся изображений, это модель структуры и принципа любого сущего. Вся наша жизнь представлена фракталами. Не только визуальными, но ещё и структура этого изображения отражает нашу жизнь. Взять, к примеру, ДНК, это всего лишь основа, одна итерация, а при повторении… появляется человек! И таких примеров много. Нельзя не отметить широкое применение фракталов в компьютерных играх, где рельефы местности зачастую являются фрактальными изображениями на основе трёхмерных моделей комплексных множеств и броуновского движения. Фрактальная графика необходима везде, и развитие «фрактальных технологий» — это одна из немаловажных задач на сегодняшний день.

www.ronl.ru

Реферат: Фракталы

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Карагандинский Государственный Технический Университет

Кафедра ____САПР______

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе

По дисциплине: "Прикладная теория систем"

Тема: "Фракталы"

Руководитель

Студент

2009

Содержание

Введение

2. Теоретическая часть

2.1 Понятие "фрактал"

2.2 Применение фракталов

2.3 Теория хаоса

2.3.1 Введение в теорию хаоса

2.3.2 Теория хаоса о беспорядке

2.3.3 Применение теории хаоса в реальном мире

2.3.4 Броуновское движение и его применение

2.4 Интеграция детерминированных фракталов и хаос

2.5 Виды фракталов

2.6 Дерево Фейгенбаума и Множество Мандельброта

3. Постановка задачи

Заключение

Введение

Разветвления трубочек трахей, листья на деревьях, вены в руке, река, бурлящая и изгибающаяся, рынок ценных бумаг - это все фракталы. От представителей древних цивилизаций до Майкла Джексона, ученые, математики и артисты, как и все остальные обитатели этой планеты, были зачарованы фракталами и применяли из в своей работе.

Компьютерные системы.

Механика жидкостей.

При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени.

Телекоммуникации.

Физика поверхностей.

Медицина.

1. Биосенсорные взаимодействия

2. Биения сердца

Биология.

Моделирование хаотических процессов, в частности при описании моделей популяций.

Теория хаоса - это учение о сложных нелинейных динамических системах. Ниже рассматривается истинное положение вещей, как ответ многим ошибочным представлениям об этой области науки.

Что такое теория хаоса?

Формально, теория хаоса определяется как учение о сложных нелинейных динамических системах. Под термином сложные это и понимается, а под термином нелинейные понимается рекурсия и алгоритмы из высшей математики, и, наконец, динамические - означает непостоянные и непериодические. Таким образом, теория хаоса - это учение о постоянно изменяющихся сложных системах, основанное не математических концепциях рекурсии, в форме ли рекурсивного процесса или набора дифференциальных уравнений, моделирующих физическую систему.

Наиболее часто встречающееся несоответствие состоит в том, что люди полагают, что теория хаоса - это теория о беспорядке. Ничто не могло бы быть так далеко от истины! Это не опровержение детерминизма и не утверждение о том, что упорядоченные системы невозможны; это не отрицание экспериментальных подтверждений и не заявление о бесполезности сложных систем. Хаос в теории хаоса и есть порядок - и даже не просто порядок, а сущность порядка.

Это правда, что теория хаоса утверждает, что небольшие изменения могут породить огромные последствия. Но одной из центральных концепций в теории является невозможность точного предсказания состояния системы. В общем, задача моделирования общего поведения системы вполне выполнима, даже проста. Таким образом, теория хаоса сосредотачивает усилия не на беспорядке системы - наследственной непредсказуемости системы - а на унаследованном ей порядке - общем в поведении похожих систем.

Рисунок 1. Аттрактор Лоренца.

Теория хаоса говорит, что сложные нелинейные системы являются наследственно непредсказуемыми, но, в то же время, теория хаоса утверждает, что способ выражения таких непредсказуемых систем оказывается верным не в точных равенствах, а в представлениях поведения системы - в графиках странных аттракторов или во фракталах. Таким образом, теория хаоса, о которой многие думают как о непредсказуемости, оказывается, в то же время, наукой о предсказуемости даже в наиболее нестабильных системах.

При появлении новых теорий, все хотят узнать, что же в них хорошего. Итак что хорошего в теории хаоса?

Первое и самое важное - теория хаоса - это теория. А значит, что большая ее часть используется больше как научная основа, нежели как непосредственно применимое знание. Теория хаоса является очень хорошим средством взглянуть на события, происходящие в мире отлично от более традиционного четко детерминистического взгляда, который доминировал в науке со времен Ньютона. Зрители, которые посмотрели Парк Юрского периода, без сомнения боятся, что теория хаоса может очень сильно повлиять на человеческое восприятие мира, и, в действительности, теория хаоса полезна как средство интерпретации научных данных по-новому. Вместо традиционных X-Y графиков, ученые теперь могут интерпретировать фазово-пространственные диаграммы которые - вместо того, чтобы описывать точное положение какой-либо переменной в определенный момент времени - представляют общее поведение системы. Вместо того, чтобы смотреть на точные равенства, основанные на статистических данных, теперь мы можем взглянуть на динамические системы с поведением похожим по своей природе на статические данные - т.е. системы с похожими аттракторами. Теория хаоса обеспечивает прочный каркас для развития научных знаний.

Однако, согласно вышесказанному не следует, что теория хаоса не имеет приложений в реальной жизни.

Техники теории хаоса использовались для моделирования биологических систем, которые, бесспорно, являются одними из наиболее хаотических систем из всех что можно себе представить. Системы динамических равенств использовались для моделирования всего - от роста популяций и эпидемий до аритмических сердцебиений.

В действительности, почти любая хаотическая система может быть смоделирована - рынок ценных бумаг порождает кривые, которые можно легко анализировать при помощи странных аттракторов в отличие от точных соотношений; процесс падения капель из протекающего водопроводного крана кажется случайным при анализе невооруженным ухом, но если его изобразить как странный аттрактор, открывается сверхъестественный порядок, которого нельзя было бы ожидать от традиционных средств.

Броуновское движение - это, например, случайное и хаотическое движение частичек пыли, взвешенных в воде. Этот тип движения, возможно, является аспектом фрактальной геометрии, имеющий с наибольшее практическое использование. Случайное Броуновское движение производит частотную диаграмму, которая может быть использована для предсказания вещей, включающих большие количества данных и статистики. Хорошим примером являются цены на шерсть, которые Мандельброт предсказал при помощи Броуновского движения.

Рисунок 2. Частотная диаграмма.

Рисунок 3. Рельеф.

Рисунок 4. Дерево Пифагора

Рисунок 5.

Рисунок 6.

Рисунок 7.

Так как левая сторона (содержащая все нечетные числа) не производит эффект крючка, случайные беспорядочности, произведенные Броуновским движением применяются дважды ко всем числам с левой стороны и только один раз к числам справа. Может быть этого будет достаточно чтобы исключить или уменьшить эффект логарифмической спирали. Итак, числа округляются до 24 разрядов. На этот раз, результат - приятно выглядящая компьютеризированная хаотическая эмуляция реального дерева.

Рисунок 8.

Решётка Серпинского.

Это один из фракталов, с которыми экспериментировал Мандельброт, когда разрабатывал концепции фрактальных размерностей и итераций. Треугольники, сформированные соединением средних точек большего треугольника вырезаны из главного треугольника, образовывая треугольник, с большим количеством дырочек. В этом случае инициатор - большой треугольник а шаблон - операция вырезания треугольников, подобных большему. Так же можно получить и трехмерную версию треугольника, используя обыкновенный тетраэдр и вырезая маленькие тетраэдры. Размерность такого фрактала ln3/ln2 = 1.584962501.

Рисунок 9. Решётка Серпинского.

Рисунок 10. Губка Серпинского.

Треугольник Серпинского.

Рисунок 11. Треугольник Серпинского.

Кривая Коха.

Кривая Коха один из самых типичных детерминированных фракталов. Она была изобретена в девятнадцатом веке немецким математиком по имени Хельге фон Кох, который, изучая работы Георга Контора и Карла Вейерштрассе, натолкнулся на описания некоторых странных кривых с необычным поведением. Инициатор - прямая линия. Генератор - равносторонний треугольник, стороны которого равны трети длины большего отрезка. Эти треугольники добавляются к середине каждого сегмента снова и снова. В своем исследовании, Мандельброт много экспериментировал с кривыми Коха, и получил фигуры такие как Острова Коха, Кресты Коха, Снежинки Коха и даже трехмерные представления кривой Коха, используя тетраэдр и прибавляя меньшие по размерам тетраэдры к каждой его грани. Кривая Коха имеет размерность ln4/ln3 = 1.261859507.

Рисунок 12. Кривая Коха.

Фрактал Мандельброта.

Рисунок 13. Фрактал Мандельброта.

Кривая Дракона.

Рисунок 14. Дракон Джузеппе Пеано.

Множество Мандельброта.

Zn+1=Zna+C, где Z и C - комплексные числа и а - положительное число.

Множество Мандельброта, которое чаще всего можно увидеть - это множество Мандельброта 2й степени, то есть а=2. Тот факт, что множество Мандельброта не только Zn+1=ZnІ+C, а фрактал, показатель в формуле которого может быть любым положительным числом ввел в заблуждение многих. На этой странице вы видите пример множества Мандельброта для различных значений показателя а.

Рисунок 15. Множество Мандельброта.

Рисунок 16. Множество Мандельброта при а=3,5.

Множество Жюлиа.

Хотя это нельзя увидеть на картинке, фрактал Мандельброта - это, на самом деле, множество фракталов Жюлиа, соединенных вместе. Каждая точка (или координата) множества Мандельброта соответствует фракталу Жюлиа. Множества Жюлиа можно сгенерировать используя эти точки в качестве начальных значений в уравнении Z=ZІ+C. Но это не значит, что если выбрать точку на фрактале Мандельброта и увеличить ее, можно получить фрактал Жюлиа. Эти две точки идентичны, но только в математическом смысле. Если взять эту точку и просчитать ее по данной формуле, можно получить фрактал Жюлиа, соответствующий определенной точке фрактала Мандельброта.

Рисунок 17. Множество Жюлиа.

Дерево Фейгенбаума.

Логистическое уравнение - это формула, над которой, в основном, работал Митчелл Фейгенбаум при создании своей теории о фракталах. Эта формула должна описывать динамику развития популяции:

f (x) = (1 - x) rx

Простейшая модель - это пропорциональное соотношение численности с прошлым годом. Допустим в прошлом году у нас было x животных. В этом году их должно быть rx животных. Но это не выполняется в реальных условиях. Лучшее соответствие с реальностью получится если добавить фактор, зависящий от того какой потенциал существует у популяции для дальнейшего развития, и пусть x - коэффициент полноты, который меняется от 0 до 1. Потом добавляется фактор 1 - x, так что территория почти полностью заполнена, популяция не возрастет выше верхнего предела.

Расширяя логистическое выражение, получаем:

f (x) = аx - ах2

Формула, использующаяся в программе LT Bifurcator для объяснения сущности фрактала Фейгенбаума - (1 + r) x - rx2 не сильно отличается от формулы, приведенной выше. В принципе, для изучения теории можно было использовать любую формулу, например самую простую из формул данного вида - xІ - r. Единственными различиями являются различия в координатах окон на картинке и несколько измененный внешний вид изображения.

Рисунок 18. Дерево Фейгенбаума.

Если вы когда-либо видели формулу множетсва Мандельброта z=z2 + x, вы могли бы заметить схожесть между этой формулой и самой простой из формул для построения дерева Фейгенбаума x2 - r. И это действительно так. Сходство существует. Но фейгенбаумово дерево растет в другую сторону. Измените формулу Фейгенбаума на x2 + r и вы увидите сходство. Что касается множества Мандельброта, вам нужно смотреть вдоль горизонтальной оси, так как это единственная позиция в которой комплексная часть числа Мандельброта равна нулю. Вы увидите, что основное тело фигуры Мандельброта находится там, где функция в дереве Фейгенбаума принимает лишь одно значение. Когда происходит первое разделение линии (бифуркация) появляется новое тело на фигуре Мандельброта и т.д. Обратите также внимание на то, что когда в дереве открывается главное окно, на фигуре Мандельброта появляется дочернее тело.

Рисунок 19. Дерево Фейгенбаума и Множество Мандельброта.

Необходимо спроектировать и разработать программный продукт, при помощи которого возможно наглядно посмотреть изображения фрактальной графики. Программа должна позволять раскрыть сущность фрактала - многократное самоповторение (всего изображения или определённой его части). Интерфейс должен быть максимально понятным. Скорость работы должна быть такой, чтобы сбалансировать производительность и качество, т.е. при данной скорости прорисовывается достаточно наглядное изображение. Необходима так же возможность сохранения фрактального изображения. Программа должна быть интуитивно понятной и "не отталкивать при первом взгляде". Возможностями программы должны быть доступны прорисовки не менее десяти алгебраических и не менее двух геометрических фракталов.

Решение.

Решением данной задачи является программный продукт при помощи которого можно просмотреть по несколько образцов алгебраической и геометрической фрактальной графики. Программа должна иметь встроенное увеличение (многократное), пропорциональное истинному размеру изображения. Интерфейс необходим светлый, приятный, возможно в тонах Windows XP. Нам, например, подойдёт использование градиентной заливки самой формы. Учитывая то, что человек не любит долгие ожидания программа не использует большой размер холста, однако и при данном размере удаётся рассмотреть все достоинства фрактальной графики. Программа использует стандартные возможности сохранения графического изображения в формате *. bmp и не может загружать в себя графические изображения этого формата, т.к эта программа не для просмотра, а для генерации изображений. В программе использованы небесные цвета, она имеет дружественный интерфейс и проста в обращении. Каждая кнопка, параметр и другие органы управления подписаны так, что в справке программа не нуждается, однако она всё же дополнена справкой во избежание конфликтов со стандартами. Возможностями программы доступны прорисовки двадцати одного алгебраического и трёх геометрических фракталов.

Структура.

Алгебраические фракталы

Геометрические фракталы.

Так же имеется окно справки.

Дальнейшая структура интерфейса будет описана в разделе "Руководство пользователя".

Программная структура представляет собой набор функций, каждая из которых является "формулой" прорисовки одного фрактала. И процедуры самой прорисовки.

Рисунок 20. Схема работы программы.

Руководство пользователя.

Для установки данного программного продукта необходимо вставить в дисковод диск с лицензионной версией программы. На экране появится мастер установки. Читая его комментарии, вы можете менять места расположения установленных файлов. Если вы согласны с адресами предложенными программой установки, то нажимайте "далее". Затем на рабочем столе вашего компьютера появится иконка с названием программы "Фрактальная графика". Чтобы открыть её, необходимо навести на неё указатель мыши и кликнуть на ней двойным щелчком.

Данная программа позволяет просмотреть изображения двадцати одного алгебраического и трёх геометрических фракталов. При запуске программы она автоматически предоставляет нам интерфейс алгебраических фракталов. Для переключения на геометрические Вам необходимо в строке меню нажать кнопку "Показать"->"Геометрические фракталы".

Прорисовка происходит на прямоугольной области на левой половине окна программы именуемой холстом.

В меню алгебраических фракталов имеются следующие органы управления и ввода параметров:

R - насыщенность красного цвета

G - насыщенность зелёного цвета

B - насыщенность синего цвета

Колличество иттераций - число повторений координат точки при выявлении её принадлежности определённой области (от этого зависит качество изображения)

Список возможных вариантов фракталов:

Прорисовать - кнопка прорисовки

Очистить - кнопка очистки

По умолчанию - исходные значения

Время прорисовки

При работе с геометрическими фракталами:

Серпинский - прорисовка треугольника Серпинского, справа параметр - число иттераций

Дракон Д. Пиано - прорисовка дракона Д. Пиано, справа параметр - число иттераций

Фейгенбаум - прорисовка дерева Фейгенбаума, внизу список параметров

Очистить - очистить.

Так же имеется возможность сохранения изображения в формате *. bmp. Для этого необходимо прорисовать фрактал (по желанию - увеличить), затем войти в меню - "Фаил"->"Сохранить", не указывая расширение, ввести имя фаила и нажать Enter.

Рисунок 21. Интерфейс программы.

Влияние параметров.

Радиус окружности - эталон, на котором происходит генерация точек, - это важнейший параметр. Например, Фракталы, построенные на основе множества Мандельброта - Spider (i), отличаются только этим радиусом.

Фрактальная графика - это не просто множество самоповторяющихся изображений, это модель структуры и принципа любого сущего. Вся наша жизнь представлена фракталами. Не только визуальными, но ещё и структура этого изображения отражает нашу жизнь. Взять, к примеру, ДНК, это всего лишь основа, одна итерация, а при повторении… появляется человек! И таких примеров много. Нельзя не отметить широкое применение фракталов в компьютерных играх, где рельефы местности зачастую являются фрактальными изображениями на основе трёхмерных моделей комплексных множеств и броуновского движения. Фрактальная графика необходима везде, и развитие "фрактальных технологий" - это одна из немаловажных задач на сегодняшний день.

www.referatmix.ru

Реферат - Теория фракталов и ее применение

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ИРКУТСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ЭКОНОМИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ

ДОКЛАД

по экономико-математическим моделям и методам

на тему:

ТЕОРИЯ ФРАКТАЛОВ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

Подготовили: Руководитель:

Погодаева Е. А. Толстикова Т.В.

Четвериков С.В.

ИРКУТСК 1997

Все образы схожи, и

все же ни один на дру

гой не похож; Хоры их

на тайный закон указу-

ют, на святую загадку...

И. В. Гете.

Метаморфоз растений.

ПОЧЕМУ МЫ ЗАГОВОРИЛИ О ФРАКТАЛАХ?

Во второй половине нашего века в естествознании произошли фундаментальные изменения, породившие так называемую теорию самоорганизации, или синергетику. Она родилась внезапно, как бы на скрещении нескольких линий научного исследования. Один из решающих начальных импульсов был предан ей российскими учеными на рубеже пятидесятых - шестидесятых годов. В пятидесятых годах ученый химик-аналитик Б. П. Белоусов открыл окислительно-восстановительную химическую реакцию. Открытие и изучение автоколебаний и автоволн в ходе реакции Белоусова

С. Э. Шнолем, А. М. Жаботинским, В.И. Кринским, А. Н. Заикиным, Г. Р. Иваницким- едва ли не самая блестящая страница фундаментальной российской науки в послевоенный период. Быстрое и успешное изучение реакции Белоусова - Жаботинского сработало в науке как спусковой крючок: сразу вспомнили, что и раньше были известны процессы подобного рода и что многие природные явления, начиная от образования галактик до смерчей, циклонов и игры света на отражающих поверхностях( так называемых каустиках), - по сути дела процессы самоорганизации. Они могут иметь самую различную природу: химическую, механическую, оптическую, электрическую и тому подобное. Более того, оказалось, что уже давно была готова и прекрасно разработана математическая теория самоорганизации. Ее основу заложили работы А. Пуанкаре и А. А. Ляпунова еще в конце прошлого века. Диссертация "Об устойчивости движения" написана Ляпуновым в 1892 году.

Математическая теория самоорганизации заставляет нас по-новому взглянуть на окружающий нас мир. Объясним, чем она отличается от классического мировоззрения, так как нам это будет необходимо знать при изучении фрактальных объектов.

"Классическое однозначно - детерминистическое мировоззрение может символизироваться ровной гладкой поверхностью, на которой соударяются шары, получившие определенный количества движения. Будущая судьба каждого такого тела однозначно определена его "прошлым" в предыдущий момент времени (количеством движения, зарядом) и взаимодействием с другими телами. Никакой целостностью такая система не обладает." ( Л. Белоусов. Посланники живой грозы. \\ Знание- сила. N 2. 1996. - с.32). Таким образом, классическая наука верила, что будущее такой системы жестко и однозначно определено ее прошлым и, при условии знания прошлого, неограниченно предсказуемо.

Современная математика показала, что в некоторых случаях это не так: например, если шары ударяются о выпуклую стенку, то ничтожно малые различия в их траекториях будут неограниченно нарастать, так что поведение системы становиться в определенный момент непредсказуемым. Тем самым позиции однозначного детерминизма оказались подорванными даже в сравнительно простых ситуациях.

Мировоззрение, основанное на теории самоорганизации, символизируется образом горной страны с долинами, по которым текут реки, и хребтами-водоразделами. В этой стране действуют мощные обратные связи - как отрицательные, так и положительные. Если тело скатывается вниз по склону, то между его скоростью и положением существует положительная обратная связь, если оно пытается взобраться вверх, то отрицательная. Нелинейные (достаточно сильные) обратные связи – непременное условие самоорганизации. Нелинейность в мировоззренческом смысле означает многовариантность путей эволюции, наличие выбора из альтернативных путей и определенного темпа эволюции, а также необратимость эволюционных процессов. Например, рассмотрим взаимодействие двух тел: А и В. В – упругий древесный ствол, А – горный поток в нашей стране. Поток сгибает ствол по направлению движения воды, но по достижении некоторого изгиба ствол под действием упругой силы может распрямиться, отталкивая частицы воды обратно. То есть мы видим альтернативу взаимодействия двух тел А и В. Причем, это взаимодействие происходит таким образом, что связь А-В - положительна, а В-А - отрицательна. Соблюдается условие нелинейности.

Более того, в теории самоорганизации мы можем заставить нашу горную страну "жить", то есть изменяться во времени. При этом важно выделить переменные различного порядка. Такая иерархия переменных по времени является необходимым условием упорядочения самоорганизации. Нарушьте ее, "смешайте" времена- наступит хаос(пример- землетрясение, когда сдвиги геологического порядка происходят за считанные минуты, а должны- за несколько тысячелетий).Впрочем, как выявляется, живые системы не так уж и боятся хаоса: они все время живут на его пределе, иногда даже впадая в него, но все же умеют, когда надо, из него выбираться. При этом самыми важными оказываются наиболее медленные по времени переменные (их называют параметрами). Именно значения параметров определяют, каким набором устойчивых решений будет обладать система и, таким образом, какие структуры могут быть в ней вообще реализованы. В то же время более быстрые

(динамические) переменные отвечают за конкретный выбор реализуемых устойчивых состояний из числа возможных.

Принципы нелинейности и альтернативы выбора развития любого процесса, развития системы реализуется и при построении фракталов.

Как стало ясно в последние десятилетия (в связи с развитием теории самоорганизации), самоподобие встречается в самых разных предметах и явлениях. Например, самоподобие можно наблюдать в ветках деревьев и кустарников, при делении оплодотворенной зиготы, снежинках, кристаллах льда, при развитии экономических систем (волны Кондратьева), строении горных систем, в строении облаков. Все перечисленные объекты и другие, подобные им по своей структуре, называются фрактальными. То есть они обладают свойствами самоподобия, или масштабной инвариантности. А это значит, что некоторые фрагменты их структуры строго повторяются через определенные пространственные промежутки. Очевидно, что эти объекты могут иметь любую природу, причем их вид и форма остаются неизменными независимо от масштаба.

Таким образом, можно сказать, что фракталы как модели применяются в том случае, когда реальный объект нельзя представить в виде классических моделей. А это значит, что мы имеем дело с нелинейными связями и недетерминированной природой данных. Нелинейность в мировоззренческом смысле означает многовариантность путей развития, наличие выбора из альтернатив путей и определенного темпа эволюции, а также необратимость эволюционных процессов. Нелинейность в математическом смысле означает, определенный вид математических уравнений (нелинейные дифференциальные уравнения), содержащих искомые величины в степенях, больше единицы или коэффициенты, зависящие от свойств среды. То есть, когда мы применяем классические модели (например, трендовые, регрессионные и т. д.), мы говорим, что будущее объекта однозначно детерминированное. И мы можем предсказать его, зная прошлое объекта( исходные данные для моделирования). А фракталы применяются в том случае, когда объект имеет несколько вариантов развития и состояние системы определяется положением, в котором она находится на данный момент. То есть мы пытаемся смоделировать хаотичное развитие.

Что же нам дает применение фракталов?

Они позволяют намного упростить сложные процессы и объекты, что очень важно для моделирования. Позволяют описать нестабильные системы и процессы и, самое главное, предсказать будущее таких объектов.

I РАЗДЕЛ

ТЕОРИЯ ФРАКТАЛОВ

ПРЕДПОСЫЛКИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ

Теория фракталов имеет совсем небольшой возраст. Она появилась в конце шестидесятых годов на стыке математики, информатики, лингвистики и биологии. В то время компьютеры все больше проникали в жизнь людей, ученые начинали применять их в своих исследованиях, росло число пользователей вычислительных машин. Для массового использования компьютеров необходимо стало облегчить процесс общения человека с машиной. Если в самом начале компьютерной эры немногочисленные программисты-пользователи самоотверженно вводили команды в машинных кодах и получали результаты в виде бесконечных лент бумаги, то при массовом и загруженном режиме использования компьютеров возникла необходимость в изобретении такого языка программирования, который был бы понятен для машины, и в то же время, был бы прост в изучении и применении. То есть пользователю требовалось бы ввести только одну команду, а компьютер разложил бы ее на более простые, и выполнил бы уже их. Чтобы облегчить написание трансляторов, на стыке информатики и лингвистики возникла теория фракталов, позволяющая строго задавать взаимоотношения между алгоритмическими языками. А датский математик и биолог А. Линденмеер придумал в 1968 году одну такую грамматику, названную им L-системой, которая, как он полагал, моделирует также рост живых организмов, в особенности образование кустов и веток у растений.

Вот как выглядит его модель. Задают алфавит - произвольный набор символов. Выделяют одно, начальное слово, называемое аксиомой, - можно считать, что оно соответствует исходному состоянию организма – зародышу. А потом описывают правила замены каждого символа алфавита определенным набором символов, то есть задают закон развития зародыша. Действуют правила так: прочитываем по порядку каждый символ аксиомы и заменяем его на слово, указанное в правиле замены.

Таким образом, прочитав аксиому один раз, мы получаем новую строку символов, к которой снова применяем ту же процедуру. Шаг за шагом возникает все более длинная строка – каждый из таких шагов можно считать одной из последовательных стадий развития “организма”. Ограничив число шагов, определяют, когда развития считается законченным.

ВОЗНИКНОВЕНИЕ ТЕОРИИ ФРАКТАЛОВ

Отцом фракталов по праву можно считать Бенуа Мандельброта. Мандельброт является изобретателем термина “фрактал”. Мандельброт писал: “ Я придумал слово “фрактал”, взяв за основу латинское прилагательное “fractus”, означающее нерегулярный, рекурсивный, фрагментный”. Первое определение фракталам также дал Б. Мандельброт:

Фрактал – самоподобная структура, чье изображение не зависит от масштаба. Это рекурсивная модель, каждая часть которой повторяет в своем развитии развитие всей модели в целом.

На сегодняшний день существует много различных математических моделей фракталов. Отличительная особенность каждой из них является то, что в их основе лежит какая-либо рекурсивная функция, например: xi=f(xi-1). С применением ЭВМ у исследователей появилась возможность получать графические изображения фракталов. Простейшие модели не требуют больших вычислений и их можно реализовать прямо на уроке информатики, тогда как иные модели настолько требовательны к мощности компьютера, что их реализация осуществляется с применением суперЭВМ. Кстати, в США изучением фрактальных моделей занимается Национальных Центр Приложений для Суперкомпьютеров (NCSA). В данной работе мы хотим показать только несколько моделей фракталов, которые нам удалось получить.

Модель Мандельброта.

Бенуа Мандельброт предложил модель фрактала, которая уже стала классической и часто используется для демонстрации как типичного примера самого фрактала, так и для демонстрации красоты фракталов, которая также привлекает исследователей, художников, просто интересующихся людей.

Математическое описание модели следующее: на комплексной плоскости в неком интервале для каждой точки с вычисляется рекурсивная функция Z=Z2+c. Казалось бы, что такого особенного в этой функции? Но после N повторений данной процедуры вычисления координат точек, на комплексной плоскости появляется удивительно красивая фигура, чем-то напоминающая грушу.

В модели Мандельброта изменяющимся фактором является начальная точка с, а параметр z,является зависимым. Поэтому для построения фрактала Мандельброта существует правило: начальное значение z равно нулю (z=0)! Это ограничение вводится для того, чтобы первая производная от функции z в начальной точке была равна нулю. А это означает, что в начальной точке функция имеет минимум, и в дальнейшем она будет принимать только большие значения.

Мы хотим заметить, что если рекурсивная формула фрактала имеет другой вид, то тогда следует выбирать другое значение начальной точки для параметра Z. Например, если формула имеет вид z=z2+z+c, то начальная точка будет равна:

2*z+1=0 z= -1/2.

В данной работе мы имеем возможность привести изображения фракталов, которые были построены в NCSA. Мы получили файлы с изображениями через сеть Internet.

Рис.1 Фрактал Мандельброта

Вам уже известна математическая модель фрактала Мандельброта. Теперь мы покажем, как она реализуется графически. Начальная точка модели равна нулю. Графически она соответствует центру тела “груши”. Через N шагов заполнятся все тело груши и в том месте, где закончилась последняя итерация, начинает образовываться “голова” фрактала. “Голова” фрактала будет ровно в четыре раза меньше тела, так как математическая формула фрактала представляет из себя квадратный полином. Затем опять через N итераций у “тела” начинает образовываться “почка” (справа и слева от “тела”). И так далее. Чем больше задано числе итераций N, тем более детальным получится изображение фрактала, тем больше будет у него различных отростков. Схематическое изображение стадий роста фрактала Мандельброта представлено на рис.2:

Рис.2 Схема образования фрактала Мандельброта

Из рисунков 1 и 2 видно, что каждое последующее образование на “теле” точно повторяет в своем строении само тело. Это и есть отличительная черта того, что данная модель является фракталом.

На следующих рисунках показано, как будет изменяться положение точки, соответствующей параметру z, при различном начальном положении точки c.

А) Начальная точка в “теле” Б) Начальная точка в “голове”

В) Начальная точка в “почке” Г) Начальная точка в “почке” второго уровня

Д) Начальная точка в “почке” третьего уровня

Из рисунков А - Д хорошо видно, как с каждым шагом все более усложняется структура фрактала и у параметра z все более сложная траектория.

Ограничения на модель Мандельброта: существует доказательство, что в модели Мандельброта |z|<=2 и |c|<=2.

Модель Джулии (Julia set)

Модель фрактала Джулии имеет то же уравнение, что и модель Мандельброта: Z=Z2+c, только здесь переменным параметром является не c, a z.

Соответственно, меняется вся структура фрактала, так как теперь на начальное положение не накладывается никаких ограничений. Между моделями Мандельброта и Джулии существует такое различие: если модель Мандельброта является статической ( так как zначальное всегда равно нулю), то модель Джулии является динамической моделью фрактала. На рис. 4 показано графическое представление фрактала Джулии.

Рис. 4 Модель Джулии

Как видно из рисунка фрактала, он симметричную относительно центральной точки форму, тогда как фрактал Мандельброта имеет форму, симметричную относительно оси.

Ковер Серпинского

Рис.4 Построение ковра Серпинского

4. Кривая Коха

Рис.5 Этапы построения кривой Коха

Кривая Коха является еще одним примером фрактала, так как каждая ее часть является уменьшенным изображением всей кривой.

6. Графические изображения различных фракталов

В данном пункте мы решили поместить графические изображения различных фракталов, которые мы получили из сети Internet. К сожалению, мы не смогли найти математическое описание этих фракталов, но для того, чтобы понять их красоту, достаточно только рисунков.

Рис. 6 Примеры графического представления фракталов

II РАЗДЕЛ

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ФРАКТАЛОВ В ЭКОНОМИКЕ

ТЕХНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ

Финансовый рынок в развитых странах мира существует уже не одну сотню лет. На протяжении веков люди продавали и покупали ценные бумаги. Данный вид сделок с ценными бумагами приносил участникам рынка доход из-за того, что цены на акции и облигации все время варьировали, постоянно менялись. В течение веков люди покупали ценные бумаги по одной цене и продавали, когда они становились дороже. Но иногда ожидания покупателя не сбывались и цены на купленные бумаги начинали падать, таким образом, он не только не получал доход, а еще и терпел убытки. Очень долгое время никто не задумывался, почему так происходит: цена то растет, то падает. Люди просто видели результат действия и не задумывались о причинно-следственном механизме, его порождающем.

Так происходило до тех пор, пока американский финансист, один из издателей известной газеты “Financial Times”, Чарльз Доу не опубликовал ряд статей, в которых он излагал свои взгляды на функционирование финансового рынка. Доу заметил, что цены на акции подвержены циклическим колебаниям: после продолжительного роста следует продолжительное падение, потом опять рост и падение. Таким образом, Чарльз Доу впервые заметил, что можно прогнозировать дальнейшее поведение цены на акции, если известно ее направление за какой-то последний период.

Рис.1 Поведение цены по Ч.Доу

Впоследствии на основе сделанных Ч.Доу открытий была разработана целая теория технического анализа финансового рынка, которая получила название Теория Доу. Эта теория ведет свое начало с девяностых годов девятнадцатого века, когда Ч.Доу опубликовал свои статьи.

Технический анализ рынков - это методы прогнозирования дальнейшего поведения тренда цены, основанные на знании предыстории его поведения. Технический анализ для прогнозирования использует математические свойства трендов, а не экономические показатели ценных бумаг.

В середине века двадцатого, когда весь научный мир увлекался только что появившейся теорией фракталов, другой известный американский финансист Ральф Эллиот предложил свою теорию поведения цен на акции, которая была основана на использовании теории фракталов.

Эллиот исходил из того, что геометрия фракталов имеет место быть не только в живой природе, но и в общественных процессах. К общественным процессам он относил и торговлю акциями на бирже.

ВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЛИОТА

Волновая Теория Эллиота – одна из старейших теорий технического анализа. Со времени ее создания никто из пользователей не вносил в нее каких-либо заметных новшеств. Наоборот, все усилия были направлены на то, чтобы принципы сформулированные Эллиотом, вырисовывались более и более четко. Результат – налицо. С помощью теории Эллиота были сделаны самые лучшие прогнозы движения американского индекса Доу-Джонса.

Основой теории служит так называемая волновая диаграмма. Волна – это различимое ценовое движение. Следуя правилам развития массового психологического поведения, все движения цен разбиваются на пять волн в направлении более сильного тренда, и на три волны – в обратном направлении. Например, в случае доминирующего тренда мы увидим пять волн при движении цены вверх и три – при движении (коррекции) вниз.

Для обозначения пятиволнового тренда используют цифры а для противоположного трехволнового – буквы. Каждое из пятиволновых движений называют импульсным, а каждое из трехвоновых - коррективным. Поэтому каждая из волн 1,3,5,А и С является импульсной, а 2,4,и В - коррективной.

Рис. 7 Волновая диаграмма Эллиота

Эллиот был одним из первых, кто четко определил действие Геометрии Фракталов в природе, в данном случае - в ценовом графике. Он предположил, что в каждая из только что показанных импульсных и коррективных волн также представляет собой волновую диаграмму Эллиота. В свою очередь, те волны тоже можно разложить на составляющие и так далее. Таким образом Эллиот применил теорию фракталов для разложения тренда на более мелкие и понятные части. Знание этих частей в более мелком масштабе, чем самая большая волновая диаграмма, важно потому, что трейдеры (участники финансового рынка), зная, в какой части диаграммы они находятся, могут уверенно продавать ценные бумаги, когда начинается коррективная волна, и должны покупать их, когда начинается импульсная волна.

Рис.8 Фрактальная структура диаграммы Эллиота

ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ И ХАРАКТЕРИСТИКИ ВОЛН

Ральф Эллиот первым подал идею использовать числовую последовательность Фибоначчи 1для составления прогнозов в рамках технического анализа. С помощью чисел и коэффициентов Фибоначчи можно прогнозировать длину каждой волны и время ее завершения. Не затрагивая вопроса времени, обратимся к наиболее часто применяемым правилам определения длины Эллиотовских волн. Под длиной в данном случае имеется в виду ее повышение или понижение по шкале цен.

Импульсные волны.

Волна 3 обычно имеет длину, составляющую 1,618 волны 1, реже – равную ей.

Две из импульсных волн часто бывают равны по длине, обычно это волны 5 и 1. Обычно это происходит, если длина волны 3 меньше, чем 1,618 длины волны 1.

Часто встречается соотношение, при котором длина волны 5 равна 0,382 или 0,618 расстояния, пройденного ценой от начала волны 1 до конце волны 3.

Коррекции

Длины корректирующих волн составляют определенный коэффициент Фибоначчи от длины предшествующей импульсной волны. В соответствии с правилом чередования волны 2 и 4 должны чередоваться в процентном соотношении. Наиболее распространенным примером является следующий: волна 2 составила 61,8% волны 1, при этом волна 4 может составлять только 38,2% или 50% от волны 3.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В нашей работе приведены далеко не все области человеческих знаний, где нашла свое применение теория фракталов. Хотим только сказать, что со времени возникновения теории прошло не более трети века, но за это время фракталы для многих исследователей стали внезапным ярким светом в ночи, которые озарил неведомые доселе факты и закономерности в конкретных областях данных. С помощью теории фракталов стали объяснять эволюцию галактик и развитие клетки, возникновение гор и образование облаков, движение цен на бирже и развитие общества и семьи. Может быть, в первое время данное увлечение фракталами было даже слишком бурным и попытки все объяснять с помощью теории фракталов были неоправданными. Но, без сомнения, данная теория имеет право на существование, и мы сожалеем, что в последнее время она как-то забылась и осталась уделом избранным. При подготовке данной работы нам было очень интересно находить применения ТЕОРИИ на ПРАКТИКЕ. Потому что очень часто возникает такое ощущение, что теоретические знания стоят в стороне от жизненной реальности.

В завершение нашей работы, мы хотим привести восторженные слова крестного отца теории фракталов Бенуа Мандельброта: “Геометрия природы фрактальна!”. В наше время это звучит также дерзко и абсурдно, как знаменитое восклицание Г. Галилея: “А все-таки она вертится!” в XVI веке.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Шейпак И.А. Фракталы, графталы, кусты… //Химия и жизнь. 1996 №6
Постижение хаоса //Химия и жизнь. 1992 №8
Эрлих А. Технический анализ товарных и фондовых рынков, М: Инфра-М, 1996
Материалы из сети Internet.

1 Последовательность Фибоначчи – последовательность, предложенная в 1202 г. средневековым математиком Леонардо Фибоначчи. Относится к виду возвратных последовательностей. a1=1, а2=1, аi=ai-1+ai-2. Коэффициенты Фибоначчи – частное от деления двух соседних членов последовательности Фибоначчи: K1=ai/ai-1=1.618,

K2=ai-1/ai=0.618. Эти коэффициенты представляют собой так называемое “золотое сечение”.

ref.repetiruem.ru

Реферат Математика Введение во фракталы

СОДЕРЖАНИЕ 1. ВВЕДЕНИЕ.....................2 2. КЛАССИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ.............3 2.1. Самоподобие....................3 2.2. Снежинка Коха..................3 2.3. Ковер Серпинского ................5 3. L-СИСТЕМЫ.......................6 4. ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА............10 4.1. Аттрактор Лоренца................10 4.2. Множества Мандельброта и Жюлиа..........11 5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.....................13 6. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ...............14 1.ВВЕДЕНИЕ Когда большинству людей казалось, что геометрия в природе ограничивается такими простыми фигурами, как линия, круг, коническое сечение, многоугольник, сфера, квадратичная поверхность, а также их комбинациями. К примеру, что может быть красивее утверждения о том, что планеты в нашей солнечной системе движутся вокруг солнца по эллиптическим орбитам? Однако многие природные системы настолько сложны и нерегулярны, что использование только знакомых объектов классической геометрии для их моделирования представляется безнадежным. Как к примеру, построить модель горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии? Как описать то многообразие биологических конфигураций, которое мы наблюдаем в мире растений и животных? Представьте себе всю сложность системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человеческого тела. Представьте, как хитроумно устроены легкие и почки, напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной. Столь же сложной и нерегулярной может быть и динамика реальных природных систем. Как подступиться к моделированию каскадных водопадов или турбулентных процессов, определяющих погоду? Фракталы и математический хаос --- подходящие средства для исследования поставленных вопросов. Термин фрактал относится к некоторой статичной геометрической конфигурации, такой как мгновенный снимок водопада. Хаос --- термин динамики, используемый для описания явлений, подобных турбулентному поведению погоды. Нередко то, что мы наблюдаем в природе, интригует нас бесконечным повторением одного и того же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т.д. Теоретически, элемент «разветвление» повторяется бесконечно много раз, становясь все меньше и меньше. То же самое можно заметить, разглядывая фотографию горного рельефа. Попробуйте немного приблизить изображение горной гряды --- вы снова увидите горы. Так проявляется характерное для фракталов свойство самоподобия. Во многих работах по фракталам самоподобие используется в качестве определяющего свойства. Следуя Бенуа Мадельброту, мы принимаем точку зрения, согласно которой фракталы должны определяться в терминах фрактальной (дробной) размерности. Отсюда и происхождение слова фрактал (от лат. fractus --- дробный). Понятие дробной размерности представляет собой сложную концепцию, которая излагается в несколько этапов. Прямая --- это одномерный объект, а плоскость --- двумерный. Если хорошенько перекрутив прямую и плоскость, можно повысить размерность полученной конфигурации; при этом новая размерность обычно будет дробной в некотором смысле, который нам предстоит уточнить. Связь дробной размерности и самоподобия состоит в том, что с помощью самоподобия можно сконструировать множество дробной размерности наиболее простым образом. Даже в случае гораздо более сложных фракталов, таких как граница множества Мандельброта, когда чистое самоподобие отсутствует, имеется почти полное повторение базовой формы во все более и более уменьшенном виде. Многие замечательные свойства фракталов и хаоса открываются при изучении итерированных отображений. При этом начинают с некоторой функции y = f(x) и рассматривают поведение последовательности f(x), f(f(x)), f(f(f(x))),... В комплексной плоскости работы такого рода восходят, по всей видимости, к имени Кэли, который исследовал метод Ньютона нахождения корня в приложении к комплексным, а не только к вещественным, функциям (1879). Замечательного прогресса в изучении итерированных комплексных отображений добились Гастон Жюлиа и Пьер Фату (1919). Естественно, все было сделано без помощи компьютерной графики. В наши дни, многие уже видели красочные постеры с изображением множеств Жюлиа и множества Мандельброта, тесно с ними связанного. Освоение математической теории хаоса естественно начать именно с итерированных отображений. Изучение фракталов и хаоса открывает замечательные возможности, как в исследовании бесконечного числа приложений, так и в области чистой математики. Но в то же время, как это часто случается в так называемой новой математике, открытия опираются на пионерские работы великих математиков прошлого. Сэр Исаак Ньютон понимал это, говоря: «Если я и видел дальше других, то только потому, что стоял на плечах гигантов». 2.КЛАСИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ 2.1. Самоподобие. Разделим отрезок прямой на N равных частей. Тогда каждую часть можно считать копией всего отрезка, уменьшенного в 1/r раз. Очевидно, N и r связаны отношением Nr = 1 Если квадрат разбить на N равных квадратов (с площадью, в 1/r 2 раз меньше площади исходного), то соотношение запишется как Nr2 = 1. Соответственно, общая формула соотношения запишется в виде: Nrd = 1. (2.1) Множества, построенные выше, обладают целой размерностью. Зададимся вопросом, возможно ли такое построение, при котором показатель d в равенстве (2.1) НЕ является целым, то есть такое, что при разбиении исходного множества на N непересекающихся подмножеств, полученных масштабированием оригинала с коэффициентом r, значение d не будет выражаться целым числом. Ответ --- решительное да! Такое множество называется самоподобным фракталом. Величину d называют фрактальной (дробной) размерностью или размерностью подобия. Явное выражение для d через N и r находится логарифмированием обеих частей (2.1): logN d = --------- (2.2) log 1/r Логарифм можно взять по любому основанию, отличному от единицы, например по основанию 10 или по основанию е ~ 2,7183. 2.2. Снежинка Коха. Граница снежинки, придуманной Гельгом фон Кохом в 1904 году (рис.2.2.1), описывается кривой, составленной их трех одинаковых фракталов размерности d ~ 1,2618. Каждая треть снежинки строится итеративно, начиная с одной из сторон равностороннего треугольника. Пусть Ko --- начальный отрезок. Уберем среднюю треть и добавим два новых отрезка такой же длины, как показано на рис. 2.2.2. Назовем полученное множество K1 . Повторим данную процедуру многократно, на каждом шаге заменяя среднюю треть двумя новыми отрезками. Обозначим через Kn фигуру, полученную после n-го шага. Интуитивно ясно, что последовательность кривых Kn при n стремящемся к бесконечности сходится к некоторой предельной кривой К. Рассмотрим некоторые свойства этой кривой. Если взять копию К, уменьшенную в три раза (r = 1/3), То всё множество К можно составить из N = 4 таких копий. Следовательно, отношение самоподобия (2.1) выполняется при указанных N и r, а размерность фрактала будет: d = log(4)/log(3) ~ 1,2618 Рис 2.2.1. Снежинка Коха. Еще одно важное свойство, которым обладает граница снежинки Коха --- ее бесконечная длина. Это может показаться удивительным, потому что мы привыкли иметь дело с кривыми из курса математического анализа. Обычно гладкие или хотя бы кусочно-гладкие кривые всегда имеют конечную длину (в чем можно убедиться интегрированием). Мандельброт в этой связи опубликовал ряд увлекательных работ, в которых исследуется вопрос об измерении длины береговой линии Великобритании. В качестве модели он Рис. 2.2.2. Построение снежинки Коха. использовал фрактальную кривую, напоминающую границу снежинки за тем исключением, что в нее введен элемент случайности, учитывающий случайность в природе. В результате оказалось, что кривая, описывающая береговую линию, имеет бесконечную длину. Доказательство приводится в [1]. 2.3. Ковер Серпинского. Еще один пример простого самоподобного фрактала --- ковер Серпинского (рис. 2.3.1), придуманный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году. Сам термин ковер (gasket) принадлежит Мандельброту. В способе построения, следующем ниже, мы начинаем с некоторой области и последовательно выбрасываем внутренние подобласти. Позднее мы рассмотрим и другие способы, в частности с использованием L-систем, а также на основе итерированных функций. Рис 2.3.1. Ковер Серпинского Пусть начальное множество S0 --- равносторонний треугольник вместе с областью, которую он замыкает. Разобьем S0 на четыре меньшие треугольные области, соединив отрезками середины сторон исходного треугольника. Удалим внутренность маленькой центральной треугольной области. Назовем оставшееся множество S1 (рис. 2.3.2). Затем повторим процесс для каждого из трех оставшихся маленьких треугольников и получим следующее приближение S2. Продолжая таким образом, получим последовательность вложенных множеств Sn, чье пересечение образует ковер S. Из построения видно, что весь ковер представляет собой объединение N = 3 существенно не пересекающихся уменьшенных в два раза копий; коэффициент подобия r = ½ (как по горизонтали, так и по вертикали). Следовательно, S --- самоподобный фрактал с размерностью: d = log(3)/log(2) ~ 1,5850. Рис. 2.3.2. Построение ковра Серпинского Очевидно, что суммарная площадь частей, выкинутых при построении, в точности равна площади исходного треугольника. На первом шаге мы выбросили ¼ часть площади. На следующем шаге мы выбросили три треугольника, причем площадь каждого равна ¼ 2 площади исходного. Рассуждая таким образом, мы убеждаемся, что полная доля выкинутой площади составила: 1/4 + 3*(1/42) + 32*(1/43) + . + 3n-1*(1/4n) + . . Эта сумма равна 1 (доказательство в [1]). Следовательно, мы можем утверждать, что оставшееся множество S, то есть ковер, имеет площадь меры нуль. Это выделяет множество S в разряд «совершенного», в том смысле, что оно разбивает свое дополнение на бесконечное число треугольных областей, обладая при этом нулевой толщиной. 3. L-системы. Понятие L-систем, тесно связанное с самоподобными фракталами, появилось только в 1968 году благодаря Аристриду Линденмайеру. Изначально L-системы были введены при изучении формальных языков, а также использовались в биологических моделях селекции. С их помощью можно строить многие известные самоподобные фракталы, включая снежинку Коха и ковер Серпинского. Некоторые другие классические построения, например кривые Пеано (работы Пеано, Гильберта, Серпинского), также укладываются в эту схему. И конечно, L-системы открывают путь к бесконечному разнообразию новых фракталов, что и послужило причиной их широкого применения в компьютерной графике для построения фрактальных деревьев и растений. Рассмотренные в данной курсовой работе L-системы ограничиваются случаем детерминированных L-систем и графикой на плоскости. Для графической реализации L-систем в качестве подсистемы вывода используется так называемая тертл-графика (turtle – черепаха). При этом точка (черепашка) движется по экрану дискретными шагами, как правило прочерчивая свой след, но при необходимости может перемещаться без рисования. В нашем распоряжении имеются три параметра (x,y,a), где (x,y) --- координаты черепашки, a --- направление, в котором она смотрит. Черепашка обучена интерпретировать и выполнять последовательность команд, задаваемых кодовым словом, буквы которого читаются слева направо. Кодовое слово представляет собой результат работы L-системы и может включать следующие буквы: F --- переместиться вперед на один шаг, прорисовывая след. b --- переместиться вперед на один шаг, НЕ прорисовывая след. [ --- открыть ветвь (подробнее см. ниже) ] --- закрыть ветвь (подробнее см. ниже) + --- увеличить угол a на величину q - --- уменьшить угол a на величину q Размер шага и величина приращения по углу q задаются заранее и остаются неизменными для всех перемещений черепашки. Если начальное направление движения а (угол, отсчитываемый от положительного направления оси Х) не указано, то полагаем а равным нулю. Несколько примеров иллюстрируют применение команд ветвления (обозначаются ],[) и вспомогательных переменных (обозначаются X, Y, и т.д.). Команды ветвления используются для построения деревьев растений, а вспомогательные переменные заметно облегчают построение некоторых L-систем. Формально, детерминированная L-система состоит из алфавита, слова инициализации, называемого аксиомой или инициатором, и набора порождающих правил, указывающих, как следует преобразовывать слово при переходе от уровня к уровню (от итерации к итерации). К примеру, можно заменять букву F при помощи порождающего правила newf = F-F++F-F, что соответствует L-системе для снежинки Коха, рассматриваемой ниже. Символы +, -, ], [ не обновляются, а просто остаются на тех местах, где они встретились. Обновление букв в данном слове предполагается одновременным, то есть буквы слова одного уровня обновляются раньше любой буквы следующего уровня. L-система, соответствующая снежинке Коха (рис. 2.2.1), задается следующим образом: p = p/3 Аксиома: F++F++F Порождающее правило: newf = F-F++F-F Графическое представление аксиомы F++F++F --- равносторонний треугольник. Черепашка делает один шаг вперед, затем угол а увеличивается на 2p/3 и черепашка делает еще один шаг. На первом шаге каждая буква F в слове-инициаторе F++F++F заменяется на F-F++F-F: (F-F++F-F)+(F-F++F-F)+(F-F++F-F) Повторяя этот процесс, на втором шаге получим: F-F++F-F-F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F+F-F++F-F-F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F+ F- F++F-F- F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F и т.д. Причем, убедившись на собственном опыте программирования L-систем знаю, что для снежинки Коха на 20-й итерации порождающее правило занимает несколько мегабайт текста ! Вот еще некоторые фракталы, построенные с использованием L-системы: Рис. 3.1. Дракон Хартера-Хатвея после 12-ти итераций и его L-система: p = p/4 Аксиома: FX Порождающее правило: newf = F newx = X+YF+ newy = -FX-Y Рис 3.2. Дерево после 5-ти итераций и его L-система: p = p/7 Аксиома: F Порождающее правило: newf = F[+F]F[-F]F Рис. 3.3. Квадрат Госпера после 2-х итераций [2] и его L-система: p = p/2 Аксиома: -FX Порождающее правило: newf = F newx=+FYFY-FX-FX+FY+FYFX+FY-FXFX-FY-FX+FYFXFX-FY-FXFY+FY+FX-FX-FY+FY+FXFX newy=FYFY-FX-FX+FY+FY-FX-FXFY+FX+FYFYFX-FY+FX+FYFY+FX-FYFX-FX-FY+FY+FXFX- 4. ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА 4.1. Аттрактор Лоренца До настоящего момента мы изучали фракталы, которые являются статическими фигурами. Наш подход вполне приемлем до тех пор, пока не возникает необходимость рассмотрения таких природных явлений, как падающие потоки воды, турбулентные завихрения дыма, метеосистемы и потоки на выходе реактивных двигателей. В этих случаях один-единственный фрактал соответствует моментальному снимку данного феномена. Структуры, изменяющиеся во времени, мы определяем как динамические системы. Интуитивно понятно, что динамической противоположностью фрактала является хаос. Это означает, что хаос описывает состояние крайней непредсказуемости, возникающей в динамической системе, в то время как фрактальность описывает крайнюю иррегулярность или изрезанность, присущую геометрической конфигурации. Достаточно скоро стало ясно, что многие хаотические динамические системы, описывающие феномены окружающего нас мира, устроены очень сложно и не могут быть представлены традиционными методами математического анализа. По- видимому, нет никакой возможности получить математические выражения для решений в замкнутом виде, даже если использовать бесконечные ряды или специальные функции. Рассмотрим знаменитый пример, весьма наглядно демонстрирующий, что стоит за термином «хаотическая динамика». Эдвард Лоренц из Массачусетского технологического института в 1961 году занимался численными исследованиями метеосистем, в частности моделированием конвекционных токов в атмосфере [1]. Он написал программу для решения следующей системы дифференциальных уравнений: dx/dt = s(-x + y), dy/dt = rx – y – xz, dz/dt = -bz + xy. В дальнейших расчетах параметры s, r и b постоянны и принимают значения s = -10, r = 28 и b = 8/3. Согласно описанию эксперимента, принадлежащему самому Лоренцу, он вычислял значения решения в течение длительного времени, а затем остановил счет. Его заинтересовала некоторая особенность решения, которая возникала где-то в середине интервала счета, и поэтому он повторил вычисления с этого момента. Результаты повторного счета, очевидно, совпали бы с результатами первоначального счета, если бы начальные значения для повторного счета в точности были равны полученным ранее значениям для этого момента времени. Лоренц слегка изменил эти значения, уменьшив число верных десятичных знаков. Ошибки, введенные таким образом, были крайне невелики. Но самое неожиданное было впереди. Вновь сосчитанное решение некоторое время хорошо согласовывалось со старым. Однако, по мере счета расхождение возрастало, и постепенно стало ясно, что новое решение вовсе не напоминает старое (рисунки приведены в [1], стр. 149). Лоренц вновь повторял и проверял вычисления (вероятно, не доверяя компьютеру), прежде чем осознал важность эксперимента. То, что он наблюдал, теперь называется существенной зависимостью от начальных условий --- основной чертой, присущей хаотической динамике. Существенную зависимость иногда называют эффектом бабочки. Такое название относится к невозможности делать долгосрочные прогнозы погоды. Сам Лоренц разъяснил это понятие в статье «Предсказуемость: может ли взмах крылышек бабочки в Бразилии привести к образованию торнадо в Техасе?», опубликованной в 1979 году [3, стр. 322]. Несмотря на большую значимость эксперимента Лоренца, в данной курсовой работе не будут рассматриваться модели, связанные с динамическими системами, описываемыми дифференциальными уравнениями. Напротив, мы будем рассматривать наиболее простые модели хаотической динамики --- дискретные, к которым относится знаменитое и вездесущее множество Мандельброта и сопутствующие ему множества Жюлиа. Рис. 4.1.1. Аттрактор Лоренца. 4.2. Множества Мандельброта и Жюлиа. Вероятно, нельзя привести пример такого компьютерного эксперимента, который впечатлением от результатов превосходил бы то чувство удивления, и восхищения, которое вызывает графическое построение множеств Мандельброта и множества Жюлиа на плоскости. Эти множества относятся к хаотической динамике на комплексной плоскости. Множество Мандельброта и множество Жюлиа определяется как граница множества точек z, стремящихся к бесконечности при итерировании f(z) = z2+c, где с – комплексная константа. При этом множества Жюлиа (см. рис. 4.2.2) при разных с могут представляться как угодно сложно и красиво, но все они распределяются на два типа: связные или несвязные. Множество Мандельброта (см. рис. 4.2.1) служит индикатором для двух типов множеств Жюлиа функции z2+c. Каждая точка в множестве Мандельброта представляет значение с, для которого множество Жюлиа вполне связно и каждая точка из дополнения к множеству Мандельброта представляет значение с, для которого множество Жюлиа вполне несвязно. Построение данных множеств сводится к построению орбит f(z), проверяемых на ограниченность. То есть на рисунок попадает только та точка на комплексной плоскости (представляемая плоским экраном монитора), которая при итерировании функции f(z0), последняя не стремится к бесконечности, а остается ограниченной на каком-то уровне. Проверка идет для каждой точки (x,y). Несложно написать программу для построения множества Мандельброта. Единственная проблема, которая может возникнуть при использовании этой программы на маломощных ЭВМ --- большой объем вычислений. Для того, чтобы получить приемлемое изображение множества, желательно отображать по меньшей мере 256x256 пикселов. Более удачные визуализации получаются при использовании окна 400x400 пикселов и более. При этом количество итераций достаточно 20-ти. Для получения более качественного построения множества можно увеличить количество итераций до 50, 70, 100 и более. Рис 4.2.1 Область 3-периодичности множества Мандельброта Рис. 4.2.2. Множество Жюлиа. 5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Данная курсовая работа является введением в мир фракталов. Мы рассмотрели только самую малую часть того, какие бывают фракталы, на основе каких принципов они строятся. Например в книгу [1] включено рассмотрение СИФ (систем итерированных функций), случайных фракталов, и многое другое из теории фракталов. В дополнение хочется отметить применение фракталов в компьютерных технологиях, помимо просто построения красивых изображений на экране компьютера. Фракталы в компьютерных технологиях применяются в следующих областях: 1. Сжатие изображений и информации 2. Сокрытие информации на изображении, в звуке,. 3. Шифрование данных с помощью фрактальных алгоритмов 4. Создание фрактальной музыки 5. Моделирование систем 6. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Москва: Постмаркет, 2000. – 352 с. 2. Программа FractInt © 1990 Soup Group Company. 3. James Gleick, Chaos: Making a New Science, Viking, New York, 1987. [1] Исследование аттрактора Лоренца включается сейчас в любой математический пакет, например, Mathematica, Maple.