wreferat.baza-referat.ru

Четырёхугольники и их свойства | Социальная сеть работников образования

- это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны

Свойства и признаки параллелограмма Свойства и признаки параллелограмма Противолежащие углы попарно равны Сумма углов, прилежащих к любой стороне, равна 180 градусов Свойства и признаки параллелограмма Диагонали точкой пересечения делятся пополам Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон: Свойства и признаки параллелограмма Точка пересечения диагоналей является центром симметрии. Свойства и признаки параллелограмма Каждая диагональ делит четырехугольник на два равных треугольника. Обе диагонали делят четырехугольник на четыре равновеликих треугольника (одинаковой площади) Площадь параллелограмма Через сторону и опущенную на нее высоту:

Через две прилежащие стороны и угол между ними: Площадь параллелограмма Через диагонали и угол между ними: Ромб Свойства ромбаВсе стороны равны. Диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. - это параллелограмм с равными сторонами Свойства и признаки ромба Обе диагонали являются биссектрисами внутренних углов Прямые, содержащие диагонали, являются осями симметрии. Площадь ромба Через сторону и высоту: Через сторону и радиус вписанной окружности: Через сторону и угол ромба: Через диагонали: Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны Все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол. Четырехугольник обладает поворотной симметрией: он не изменяется при повороте на Свойства и признаки квадрата Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь делятся пополам Площадь квадрата Через сторону:Через диагональ: Прямоугольник Свойства прямоугольникаДве стороны параллельны, и углы прямые. Две противолежащие стороны равны, и углы также прямые. - это параллелограмм, у которого все углы прямые

Диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам Площадь прямоугольника Через стороны:Через диагональ и угол между диагоналями: Трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие – не параллельны (боковые стороны) Свойства трапеции Свойства трапецииСредняя линия параллельна основаниям, равна их полусумме.Сумма углов, прилежащих к любой боковой стороне, равна Свойства трапеции Треугольники AOD и DOC, образованные боковыми сторонами и отрезками диагоналей, равновелики (имеют равные площади) Треугольники AOD и COB, образованные основаниями и отрезками диагоналей, подобны.Коэффициент k равен отношению оснований:Отношение площадей этих треугольников равно Площадь трапеции Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. S= ∙ h Площадь трапеции равна произведениюсредней линии на высоту.S= MN∙ h Практические задачи 1. Сторона квадратной шайбы равна 60 мм. Какой длины должен быть лист стали, чтобы из него можно было сделать 50 шайб? Ширина листа 300 мм. Решение: n=50 шт.1) 2)3) BC = 600 мм. Ответ: BC = 600 мм. Проверь себя 1. Насыпь шоссейной дороги имеет в верхней части ширину 60 м.Какова ширина насыпи в нижней ее части, если угол наклона откосов равен 60 градусов, а высота насыпи равна 12 м.Ответ: ширина 74 м. 3. Поперечный разрез траншеи имеет форму трапеции. Найти угол уклона стенок траншеи? Стороны равны по 2 мОтвет: 63 градуса 2. Паркетчик, проверяя, имеет ли выпиленный четырехугольник форму квадрата, убеждается, что диагонали равны и пересекаются под прямым углом. Достаточна ли такая информация?Ответ: да, достаточно. Проверь себя 4. Прямоугольное поле стадиона окружено беговой дорожкой. Она состоит из двух прямолинейных участков и двух полуколец. Длина беговой дорожки должна быть 400 м. Рассчитайте размеры прямоугольного поля и ширину дорожкиОтвет: a=25, BC =125 Заключение При работе над своим информационным проектом, я заметил, что четырехугольники один из интересных разделов планиметрии. Знания свойств четырехугольников помогают в решении многих практических задач во многих сферах деятельности человека (в строительстве и земледелии, в производстве и быту). Также я обобщил свои зная по выбранной мною теме. Я узнал много интересной и полезной информации, которая мне в будет полезна в дальнейшем изучении курса геометрии. Литература Г.П.Бевз “Геометрия 7-11 класс.“ Москва, “Просвещение“, 1994 В.Г.Болтянский “Экспериментальное пособие по геометрии для 8 класса.“ “Педагогика“, 1977 Л.Э.Генденштейн “Наглядный справочник по геометрии.“ Москва, “Издат-школа“, 1997 Г.И.Глейзер “История математики в школе VII – VIII классы.“ Москва, “Просвещение“, 1982 В.А.Гусев “Дидактические материалы по геометрии. “ Москва, “Просвещение“, 2001 Б.Г.Зив “Задачи по геометрии.“ Москва, “Просвещение“, 2000А.Я. Симонов “Упражнения по математике” Москва, “Просвещение“, 1991

nsportal.ru

Четырехугольник — реферат

Четырехугольник.

 Четырехугольник - геометрическая фигура с четырьмя сторонами. Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки - сторонами четырехугольника.   На рисунке изображен четырехугольник. Четырехугольник обозначается указанием его вершин, причем рядом стоящие в обозначении вершины должны лежать на одной стороне. Сторонами четырехугольника являются отрезки АВ, ВС, СЕ и ЕА, вершинами - точки А, В, С и Е, углами - ©А, ©В, ©С и ©Е. Стороны АВ и ВС являются соседними сторонами, а углы ©В и ©С - соседними углами. Стороны  АВ и СЕ - противоположные.  Если четырехугольник лежит по одну сторону относительно прямой, содержащей любую из его сторон, то он называется выпуклым. Отрезок АС называется диагональю данного четырехугольника, так как содержит две противолежащие вершины.  В предыдущей главе предметом нашего рассмотрения были треугольники и их свойства. В настоящей главе мы изучим свойства четырехугольников. Заметим, что если мы разобьем четырехугольник на треугольники с помощью диагоналей, то сможем применить известные нам свойства треугольников для описания свойств четырехугольников. Следующие определения описывают несколько специальных видов четырехугольников.

Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Ромб - параллелограмм, у которого все стороны равны.  Прямоугольник - параллелограмм, у которого все углы прямые.

Квадрат - прямоугольник, у которого все стороны равны.

Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой.

Параллелограмм - четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.  Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.  Противоположные стороны параллелограмма равны.  Противолежащие углы параллелограмма равны.

Соседние углы параллелограмма  дополняют друг друга до 180».  Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.  Если в четырехугольнике противолежащие стороны равны, то четырехугольник - параллелограмм.  Если в четырехугольнике противолежащие углы равны, то четырехугольник - параллелограмм.  Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.  Если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.  

Ромб - параллелограмм, у которого все стороны равны.  Так как ромб является параллелограммом, то для него справедливы все свойства параллелограмма. Таким образом, все теоремы, сформулированные в предыдущем разделе для параллелограммов, верны также и для ромбов. Кроме того, по определению все стороны ромба равны. Далее мы приведем две теоремы, которые характеризуют дополнительные свойства ромбов.

Параллелограмм является ромбом тогда и только тогда, когда  его диагонали пересекаются под  прямым углом.

Параллелограмм является ромбом тогда и только тогда, когда  его диагонали являются биссектрисами  его углов.   

 Прямоугольники и квадраты.

Прямоугольник - параллелограмм, у которого все углы прямые.  Квадрат - прямоугольник, у которого все стороны равны.

Параллелограмм является прямоугольником тогда и только тогда, когда его диагонали равны.  Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.  Свойства четырехугольников:

1. Пусть ABCE параллелограмм, тогда:   a) Диагональ делит ABCE на два равных треугольника   b) Противолежащие стороны равны   c) Противолежащие углы равны   d) Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

2. Пусть ABCE прямоугольник,  тогда:   a) Диагональ делит ABCE на два равных треугольника   b) Противолежащие стороны равны   c) Противолежащие углы равны   d) Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам   e) Диагонали равны

3. Пусть ABCE ромб, тогда:   a) Диагональ делит ABCE на два равных треугольника   b) Противолежащие стороны равны   c) Противолежащие углы равны   d) Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам   e) Диагонали перпендикулярны   f) Все стороны равны   g) Диагонали ромба делят его углы пополам

4. Пусть ABCE квадрат,  тогда:   a) Диагональ делит ABCE на два равных треугольника   b) Противолежащие стороны равны   c) Противолежащие углы равны   d) Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам   e) Диагонали равны   f) Диагонали перпендикулярны   g) Диагонали квадрата делят его углы пополам   h) Все стороны равны    

 Трапеция.

Трапеция, у которой  боковые стороны равны, называется равнобокой.  Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой. 

На данном рисунке  изображена равнобокая трапеция ABCE. Параллельные стороны, BC и AE, являются основаниями. AB и CE - равные боковые стороны.

Следующие теоремы  описывают свойства равнобоких  трапеций.

В равнобокой трапеции углы при основании равны.

Диагонали равнобокой трапеции равны.

Средняя линяя трапеции: отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна  их полусумме.  

 Многоугольники.

Многоугольник - геометрическая фигура с несколькими сторонами.   Многоугольник - геометрическая фигура, состоящая из трех или более отрезков, лежащих в одной плоскости; каждый отрезок пересекает ровно  два других отрезка в их концах, которые являются концами данного отрезка; никакие два пересекающихся отрезка не лежат на одной прямой. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.      

  Названия многоугольников.

3 стороны   треугольник               8 сторон    восьмиугольник 4 стороны четырехугольник         9 сторон    девятиугольник 5 сторон    пятиугольник              10 сторон   десятиугольник 6 сторон    шестиугольник           20 сторон   двадцатиугольник 7 сторон    семиугольник              n  сторон   n-угольник  

 Выпуклый многоугольник  называется правильным, если у  него все стороны равны и  все углы равны. 

Сумма углов выпуклого n-угольника равна  (n - 2)ј180». 

 Внешним углом  выпуклого многоугольника при  данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника  при этой вершине. У n-угольника  2n внешних углов. 

Сумма всех внешних  углов выпуклого многоугольника равна 720». 

Градусная мера любого внешнего угла правильного n-угольника  равна 360»/n. 

 Градусная мера  любого внутреннего угла правильного  n-угольника равна  (n - 2)180»/n. 

Периметром многоугольника называется сумма длин его сторон. Для того, чтобы найти периметр прямоугольника необходимо сложить длины всех его сторон.

Свойства

• Сумма углов  четырёхугольника равна 2 π = 360°.
• Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180° ( ). См. также теорема Птолемея.
• Четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны ( )
• Формула Эйлера: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумму квадратов его диагоналей.
• Средние линии четырёхугольника и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
• Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершин.
• Две противоположные стороны четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух других противоположных сторон равна сумме квадратов диагоналей.
• Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.
• Средние линии четырёхугольника равны тогда и только тогда, когда равны суммы квадратов его противоположных сторон.
• См. также свойства центроида четырёхугольника.
• Шесть расстояний между четырьмя произвольными точками плоскости, взятыми попарно, связаны соотношением:

Его можно представить  ещё в виде:

[править] Площадь

Площадь произвольного четырёхугольника с диагоналями d1, d2 и углом α между ними (или их продолжениями), равна:

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:

• , где e, f — длины диагоналей, a, b, c, d - длины сторон.
• , где p — полупериметр. Из этой формулы для вписанных 4-угольников следует формула Брахмагупты.

[править] Особые случаи

Если 4-угольник и вписан и описан, то .

[править] История

В древности египтяне и некоторые другие народы использовали в качестве площади четырёхугольника неверную формулу — произведение полусумм его противоположных сторон a, b, c, d[1]:

freepapers.ru

Реферат - Геометрический съезд по теме «четырехугольники» в 5 классе

Основная цель: развитие интереса к математике, раскрытие творческих способностей.

Ход урока:

Однажды Карандаш пригласил своих друзей – веселых человечков и предложил:

- Давайте заниматься геометрией. Это очень интересно.

- Давайте, - ответила Точка. – А что такое гео-мер-тия?

- Не геомертия, а геометрия! – поправил Карандаш. – Геометрия – это …это… Мне трудно тебе сразу объяснить. Давайте попутешествуем в этой стране и узнаем, что это такое. А экскурсоводом в этом путешествии будет Точка.

(Точка выходит с полоской бумаги ▬ и ножницами).

^ Точка: - Если я разрежу прямую линию в любом месте, то вот что получится.

Карандаш: - Да, это не прямая. Здесь прямо не пройдешь, придется поворачивать. Что же это такое? Как это называется? Ребята, помогите разобраться.

^ Точка: - Угол…Угол… А как называется то место, где соединяются лучи?

Карандаш: - Сейчас ты, Точка, в вершине угла, а лучи – это стороны угла.

Точка: - Ой, как много новых понятий. Разве я смогу сразу все запомнить!

Карандаш: - Конечно, сможешь! Представь, что ты катишься с горки и запомнишь.

Точка: - Ой, как интересно.

От вершины по лучу

Словно с горки полечу.

Только луч теперь – «она»,

Он зовется сторона.

Карандаш: - Точка, ты еще много не знаешь. Ребята приготовили много нового об этой фигуре.

(выступления учащихся 5-х классов)

Мы знаем, что углы измеряют в градусах. Слово «градус» - латинское, означает «шаг», «ступень». Измерение углов в градусах появилось более 3 тысяч лет назад в Вавилоне. Но измерять углы приходилось и с большей точностью – в географии, технике. В таких случаях градус очень крупная величина. Тогда используют доли градуса – минуты и секунды. Минута – это шестидесятая часть градуса, секунда – шестидесятая доля минуты.

2) В конце 18 века при разработке метрической системы мер французские ученые предложили делить прямой угол не на 90, а на 100 равных частей. Такой угол называют «град». 90 градусов = 100 град. В градах измеряют углы в некоторых строительных расчетах, но широкого применения эта единица не получила.

Угол: Мне служит головой вершина,

А то, что вы считаете ногами,

Все называют сторонами.

Увеличить стороны мои, куда угодно,

Вы сможете совсем свободно.

Мы разные углы – я, например, прямой (показать),

Бывают острые углы, тупые.

От градусов завишу я, таков закон

И ни причем длина моих сторон,

Продолжи их хоть до конца Вселенной,

Раствор мой будет неизменным.

Про меня существует много сказок. Одну из них я хочу рассказать.

Где-то, когда-то, в математическом царстве, геометрическом государстве существовала прекрасная фигура. Многие восхищались и преклонялись пред нею, но были такие, которые завидовали и ненавидели ее. А фигура эта была углом. И было у этого угла вершина и две стороны. Заспорили стороны угла, никак между собой не поладят.

- Я, со своей стороны, считаю… - возражает ей другая.

Ничего не поделаешь: хоть у них и общий угол зрения, но смотрят – то они на мир с разных сторон.

Проходила как-то между ними биссектриса. Обрадовались стороны: вот кто будет их посредником. Спрашивают биссектрису:

- А как вы думаете? – одна сторона

- А ваше мнение каково? – другая сторона.

Стоит биссектриса посередине, колеблется.

- Я думаю, вы совершенно правы, - наконец произносит биссектриса, кивая в правую сторону.

- Ах, какая вы умница! – восхищается правая сторона.- Как вы сразу все поняли.

А биссектриса между тем поворачивается к левой стороне.

- Ваша правда, я тоже всегда так думала.

Левая сторона в восторге:

- Вот что значит биссектриса! Сразу сообразила, что к чему.

Стоит биссектриса и знай раскланивается: в одну сторону кивнет – мол, правильно, в другую сторону кивнет, - мол, совершенно верно. Мнение биссектрисы ценится очень высоко, поскольку оно устраивает обе стороны.

^ Точка: - Это очень интересно, но пойдем дальше путешествовать. Я вижу много интересного.

Карандаш: - Я тебя сейчас познакомлю с еще одной фигурой: если соединить три отрезка друг с другом концами, то получится… Ребята, помогите.

^ Точка: - Я могу посчитать стороны и углы у треугольника. Их по три.

Карандаш: - Правильно, это и есть треугольник. Отрезки в нем называются сторонами, а вершины – вершинами треугольника.

Точка: - Я уже стихотворение придумала про эту фигуру

Ты на него- ка посмотри,

Всего-всего у них по три.

Три стороны и три угла

И столько же вершин,

И трижды трудные дела

За всех он совершит.

Я вижу в зале тоже есть такие фигуры.

(ученики 7-го класса)

Зовусь я – Треугольник,

Со мной хлопот не оберется школьник.

По-разному всегда я называюсь:

Когда углы иль стороны даны

С тупым углом – тупоуголен,

Коль острых два, а третий прям –

Прямоуголен я.

Бываю я равносторонним, когда все стороны равны.

Когда ж все разные даны, то я зовусь разносторонним.

И если, наконец, равны две стороны,

То равнобедренным я величаюсь.

(прямоугольный Треугольник)

Меня к докладу пропустите

Моих заслуг никто не перечислит,

О том всему известно свету

От древних египтян мне был большой почет,

Через меня и Пифагор был славен.

Еще хочу рассказать сказку про треугольники.

Однажды девочка Маша очутилась в стране Геометрии. Как она там оказалась, Маша и сама не знала. Помнила только, что шла по дороге, которая привела ее к воротам, а у них стоял стражник.

- Скажите, пожалуйста, какой это город? – спросила Маша.

- Это город Планиметрия, - ответил стражник.

- А я могу войти в город? – спросила Маша.

- Знаешь ли ты что- нибудь о равнобедренном треугольнике?

Маша вспомнила, что завтра у них должна быть контрольная работа по геометрии, с которой она не очень ладила.

- Медианы равнобедренного треугольника, проведенные из вершины к его основанию, равны, - еле-еле вспомнила Маша.

Стражник похвалил девочку и пропустил в город. Дома в нем были какие- то странные, состоящие из разноцветных лоскутков – всевозможных треугольников, квадратов и других геометрических фигур. Маша загляделась на дома и натолкнулась на идущий мимо Треугольник.

- Извините, - испуганно произнесла девочка.

- Я прощу тебя, если ты сформулируешь мне признак равнобедренного треугольника.

- Ну, его- то я знаю. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, - выпалила Маша.

- Разве? – возмутился Треугольник.

- Ах! Я спутала со свойством. Признак звучит так: если в треугольнике два угла равны, то такой треугольник является равнобедренным, - поправилась Маша.

Треугольник мирно расстался с девочкой, а она вышла на большую площадь в форме круга, в центре которого стоял театр. Со всех улиц к нему спешили жители. Маше тоже захотелось в театр.

- Девочка, скажи определение равнобедренного треугольника, тогда ты попадешь в театр, - предложил ей контролер.

- Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным, - немного подумав, сказала Маша.

После звонка диктор объявил:

- Сегодня вы смотрите спектакль в трех действиях: первое – о том, как медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, стала высотой и биссектрисой; второе – о том, как биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, стала медианой и высотой; третье – о том, как высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, стала медианой и биссектрисой.

- Везде эти теоремы. И зачем я сюда пришла, - возмущалась Маша. Она оглянулась по сторонам, думая найти таких же недовольных жителей, но увидела на лицах большой интерес. Маше стало стыдно за свое возмущение. В антракте Прямоугольник продавал мороженое.

- Сколько стоит мороженое? – спросила девочка

- Всего лишь свойство равнобедренного треугольника.

Маша обрадовалась и быстро повторила то, что первоначально сказала Треугольнику вместо признака. Тут она услышала, что кто-то ее зовет.

- Маша! Машенька! Вставай, а то в школу опоздаешь.

Девочка открыла глаза и увидела, что рядом стоит мама. Маша поняла, что путешествие было во сне, но она не расстроилась, так как во сне подготовилась к контрольной работе по геометрии.

Карандаш: - Точка, я хочу быть учителем. А ты у меня будешь ученицей. А сейчас смотри. Я черчу на доске четырехугольник. Точка, как ты думаешь, почему он так называется?

^ Точка: - Наверно, потому что у него четыре угла.

Карандаш: - Правильно, они называются вершинами четырехугольника. А это стороны, их тоже четыре. Если нарисовать четыре прямых угла, то получится фигура, которая называется прямоугольником.

Точка: - Я ребятам хочу задать задачу.

Он давно знакомый мой

Каждый угол в нем прямой.

Все четыре стороны одинаковой длины.

Вам его представить рад. Как зовут его? (квадрат)

(ученики 8-го класса)

Здравствуйте, а я – Квадрат!

Площадь я измерить рад.

Ведь у меня четыре стороны

И все они, вы видите, равны!

Но у меня еще равны диагонали,

Углы они мне делят пополам.

А я – Прямоугольник, примерный школьник!

И у меня равны диагонали.

3) Я – Параллелограмм!

Хоть стороны мои попарно равны и параллельны.

Все ж я в печали, что не равны мои диагонали,

Да и углы они не делят пополам.

Параллелограмм – это слово греческого происхождения было введено Евклидом. Полная теория параллелограммов была разработана к концу средних веков и появилась в учебниках лишь в 17 веке.

Слово «ромб» тоже греческого происхождения, оно означало в древности «вращающееся тело, веретено, юла»

«Квадрат» происходит от латинского слова и означает «сделать четырехугольным». Перевод с греческого «тетрагонон» - четырехугольник.

«Трапеция» - слово греческое, означавшее в древности «столик». Это слово впервые встречается у древнегреческого математика Посидония (1 век). В средние века трапецией называли любой четырехугольник, кроме параллелограмма, лишь в 18 веке это слово приобрело современный смысл.

Ученики 8 класса хотели показать сказку про четырехугольники.

Сказка: Царь Геометриус приезжает в страну Квадратию и хвастается:

- Я самый умный и красивый царь во всем мире. Я могу решить любую задачу.

И решили люди этой страны проверить своего царя и задали ему трудную задачу:

- Мы вам покажем фигуру, а вы должны угадать ее название (параллелограмм).

Но царь Геометриус умел только хвастаться и не смог решить задачу. Вернувшись домой, он созвал геометрический совет и задал эту задачу всем профессорам своей страны.

- Умы государства моего! Настало время проверить ваши знания. А то может и недостойны вы носить титулы свои. Задача непростая: надо указать название фигуры (показывает).

Задумались профессора. Час думают, два думают, сутки сидят, не могут решить. Один ромб через сутки выдвинул свой ответ.

- Фигура эта называется параллелограммом, так как в этом четырехугольнике противоположные стороны попарно равны и параллельны, диагонали пресекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Царь в честь этого дает торжественный бал. И снова хвастается, что он самый умный, красивый и квадратный царь во всем мире.

Точка: - Наше путешествие подошло к концу.

Мы с геометрией «на ты»,

Умеем складывать плоты,

Умеем площадь измерять

И симметричность проверять.

Про круг умеем песни петь…

Нам очень нравится уметь.

Карандаш: И прекрасна, и сильна

Геометрия – страна!

Здесь везде идут подсчеты,

Все доказывают что-то.

Сколько градусов углы,

И какие стороны.

И как воздух нам нужна

Геометрия страна.

www.ronl.ru

Начальная Windows Commander Far WinNavigator Frigate Norton Commander WinNC Dos Navigator Servant Salamander Turbo Browser Winamp, Skins, Plugins Необходимые Утилиты Текстовые редакторы Юмор		File managers and best utilites Главная » Реферат » Реферат четырехугольники Четырёхугольники и их свойства. Реферат четырехугольники Реферат Четырёхугольник	Опубликовать	скачать Реферат на тему: План: Введение 1 Виды четырёхугольников 2 Четырёхсторонник 3 Свойства 4 Площадь 4.1 Особые случаи 4.2 История ПримечанияЛитература Введение Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), не лежащих на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники (см. рис.). 1. Виды четырёхугольников Параллелограмм — четырёхугольник, у которого все противоположные стороны попарно параллельны; Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые; Ромб — четырёхугольник, у которого все стороны равны; Квадрат — четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны; Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны; Дельтоид — четырёхугольник, у которого две пары смежных сторон равны. 2. Четырёхсторонник Хотя такое название может быть эквивалентно четырёхугольнику, в него часто вкладывают дополнительный смысл. Четвёрка прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку, называется четырёхсторонником. Такая конфигурация встречается в некоторых утверждениях евклидовой геометрии (например, теорема Менелая, прямая Гаусса, прямая Обера и др.), в которых часто все прямые являются взаимозаменяемыми. 3. Свойства Сумма углов четырёхугольника равна 2 π = 360°. Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180° ().. Четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны () Формула Эйлера: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумму квадратов его диагоналей. Средние линии четырёхугольника и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершин. Две противоположные стороны четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух других противоположных сторон равна сумме квадратов диагоналей. Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны. Средние линии четырёхугольника равны тогда и только тогда, когда равны суммы квадратов его противоположных сторон. четырёхугольника. Шесть расстояний между четырьмя произвольными точками плоскости, взятыми попарно, связаны соотношением: . Его можно представить ещё в виде: 4. Площадь Площадь произвольного четырёхугольника с диагоналями d1, d2 и углом α между ними (или их продолжениями), равна: Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна: , где e, f — длины диагоналей, a, b, c, d — длины сторон. , где p — полупериметр. Из этой формулы для вписанных 4-угольников следует формула Брахмагупты. 4.1. Особые случаи Если 4-угольник и вписан и описан, то . 4.2. История В древности египтяне и некоторые другие народы использовали в качестве площади четырёхугольника неверную формулу — произведение полусумм его противоположных сторон a, b, c, d[1]: . Примечания Г. Г. Цейтен История математики в древности и в средние века, ГТТИ, М-Л, 1932. Литература Болтянский В., Четырехугольники - kvant.mccme.ru/1974/09/chetyrehugolniki.htm. Квант, № 9,1974. Понарин Я.П. Элементарная геометрия. В 2 тт.. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 74. — ISBN 5-94057-170-0 скачатьДанный реферат составлен на основе статьи из русской Википедии. Синхронизация выполнена 12.07.11 15:57:42Похожие рефераты: Четырёхугольник Ламберта. Категории: Многоугольники. Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike.

Смотрите также

• 
  Реферат инерция
• 
  Реферат бесприданница
• 
  Борщ реферат
• 
  Реферат сквернословие
• 
  Реферат киноискусство
• 
  Авиакатастрофы реферат
• 
  Реферат мамай
• 
  Меланома реферат
• 
  Ескд реферат
• 
  Intel реферат
• 
  Гравитация реферат