Реферат: Простые числа Мерсенна. Совершенные числа. Простые числа реферат

Реферат - Роль простых чисел в математике

ВВЕДЕНИЕ

Простые числа с давних времен привлекают внимание математиков. Простые числа следует одно за другим по закону, который еще не найден. Но простые числа в математике играют важную роль. Среди натурального ряда выделяют простые числа.

В данной работе поставленная цель:

доказать, что простые числа играют большую роль в математике.

Задачи для этой работы следующие:

Показать способы нахождения простых чисел.

Назвать имена математиков, связанных с историей открытия простых чисел.

Составить задачи с использованием простых чисел.

РОЛЬ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В МАТЕМАТИКЕ

Каждое натуральное число, больше единицы, делится по крайней мере на два числа: на 1 и на само себя. Если ни на какое другое натуральное число оно на целое не делится, то называется простым, а если у него имеются ещё какие- то целые делители, то составным. Не о всяком числе можно сразу сказать, простое оно или составное. Возьмем, например, число 1999. Если нет под рукой специальных справочных таблиц или помощника компьютера, то придется вспомнить о старом, но надежном решете Эратосфена. Старинный способ, придуманный еще в 3 в. До н. э. Эратосфеном Киренским, хранителем знаменитой Александрийской библиотеки.

Выпишем несколько подряд идущих чисел, начиная с 2. Двойку отберем в свою коллекцию, а остальные числа, кратные 2, зачеркнем. Ближайшим не зачеркнутым числом будет 3. Возьмем в коллекцию и его, а все остальные числа, кратные 3, зачеркнем. При этом окажется, что некоторые числа уже были вычеркнуты раньше, как, например, 6, 12 и другие. Следующее наименьшее не зачеркнутое число-это 5. Берем пятерку, а остальные числа, кратные 5, зачеркиваем. Повторяя эту процедуру снова и снова, мы в конце концов добьемся того, что не зачеркнутыми останутся одни лишь простые числа- они словно просеялись сквозь решето. Поэтому такой способ и получил название РЕШЕТО ЭРАТОСФЕНА. Можно ли, повторять поэту, сказать, что простых чисел столько, “ сколько звезд на небе, сколько рыб в воде”? Ответ находим в девятой книге знаменитого сочинения Евклида” Начала”- нетленного памятника Древнего мира. Двадцатая теорема в этой книге утверждает: ”Первых (простых) чисел существует больше любого указанного числа их”.

Вот доказательство этой теоремы. Предположим, что существует некое наибольшее простое число P. Тогда перемножим все простые числа, начиная с 2 и кончая P, и увеличим полученное произведение на единицу: 2 3 5 7*… P+ 1 = M. Если число Мсоставное, то оно должно иметь по крайней мере один простой делитель. Но этим делителем не может быть ни одно из простых чисел 2, 3, 5, …, Р, поскольку при делении Мна каждое из них получаем в остатке 1. Следовательно, число М либо само простое, либо делится на простое число, большее Р. Значит, предположение, что существует наибольшее простое число Р, наверно и множество простых чисел бесконечно.

Не о всяком числе можно сразу сказать, простое оно или составное. Возьмем, например, число 1999. Если нет под рукой специальных справочных таблиц или помощника-компьютера, то придется вспомнить о старом, но надежном решете Эратосфена.

Первую известную нам таблицу простых чисел составил итальянский математик Пьетро Антонио Катальди в 1603 г. Она захватывала все простые числа от 2 до 743

В 1770 г. Немецкий математик Иоганн Генрих Ламберт опубликовал таблицу наименьших делителей всех чисел, не превосходящих 102000 и не делящихся на 2, 3, 5. Вложив в этот труд поистине колоссальные усилия, Ламберт гарантировал бессмертие тому, кто доведет таблицу делителей до миллиона. На его призыв откликнулись многие вычислители.

К середине 19 века уже были составлены таблицы наименьших делителей не только первого миллиона, но и следующих, в плоть до 9. В это же время в прессе появились сообщения, которые представлялись абсолютно фантастическими: в Венскую академию поступило 7 больших томов рукописных таблиц “Великий канон делителей всех чисел, которые не делятся на 2, 3 и 5, и простых чисел между ними до 100330201”. Автором этого труда был Якуб Филипп Кулик, профессор высшей математики Пражского университета.

В дальнейшем поиске простых чисел уже не носили характера массовой охоты, с которой можно сравнить составление таблиц, а превратились в целенаправленный отбор отдельных представителей. У охотников за числами больше всего популярны простые числа Марсена. Они названы в честь французского ученого Марена Марсенна, Сыгравшего в 18в. Видную роль в становлении европейской науки.

Некоторые представления о распределения простых чисел имели уже древние греки. Из доказательства Евклида следует, например, что они не собраны вместе, а разбросаны по всей числовой оси. Но как часто?

В 1845 г французский математик Жозеф Бертан, исследуя таблицу простых чисел в промежутке от 1 до 6000000, обнаружил, что между числами nи n2 – 2, где n> 3, содержится по крайней мере одно простое число. В последствии это свойство получило название постулата Бертрана, хотя самому Бертану обосновать его так и не удалось. Доказал его в 1852 г русский математик Пафнутий Львович Чебышев. Из результата Чебышева следовала и более точная оценка. Таким образом, даже среди очень больших чисел простые числа не так уж редки.

С другой стороны, существуют промежутки, включающие тысячи, миллионы, миллиарды и вообще какое угодно большое количество подряд стоящих натуральных чисел, среди которых нельзя найти ни одного простого! В самом деле, задавшись произвольным большим натуральным числом к, построим ряд чисел к! +2,к! +3,…, к! + к (здесь к! = 1*2*3*…*к). Каждое из этих чисел составное. Например, число к! + мделится на м, поскольку к! делится на ми само м делится нам.

Простые числа, делящихся только на единицу и на самих себя(2,3,5,7,11,13,17,…), с давних времен привлекают внимание математиков. Более двух тысяч лет назад великий древнегреческий математик Евклид доказал, что ряд простых чисел бесконечен. Простые числа следуют одно за другим по закону, который еще не найден. Эти числа то на долго исчезают из натурального ряда, то по являются в нем часто, а иногда и по соседству: 11,13,;5971847,5971849.

Профессор И.К. Андронов в книге <<Арифметика натуральных чисел>> приводит рассказ о воображаемом путешествии по бесконечной дороге простых чисел:<<Мысленно возьмем прямо линейный провод, выходящий из классной комнаты в мировое пространство, пробивающий земную атмосферу, уходящий туда, где Луна совершает вращение, и далее за огненный шар Солнце, в мировую бесконечность.

Мысленно подвесим на провод через каждый метр электрические лампочки, нумеруя их, начиная с ближней:1,2,3,…,1 000,…,1 000 000,…, включим ток с таким расчетом, чтобы загорелись все лампочки с простыми номерами, и полетим вблизи провода>>.

Вместе с автором этой книги мы начинаем движение с первой электрической лампочки, которая не осветила нам старта; она не горит, так как ее номер (единица) не является простым числом. Сразу за ней две лампочки с номерами 2 и 3 включены, эти числа простые. Оставим позади горящие лампочки 5 и 7. Они пронумерованы простыми числами. На нашем длинном пути очень редко будут попадаться числа-близнецы. Вот промелькнули следующие числа-близнецы: 11 и 13, 17 и 19. Мы быстро набираем скорость; оставляя позади лампочки 101 и 103, 827 и 829; теперь реже и реже встречаются освещенные островки из лампочек, пронумерованы простыми числами-близнецами. Вот на фоне темноты и мрака засверкали лампочки с номерами 10 016 957 и 10 016 959; это последняя пара известных простых чисел-близнецов. Возможно, где то в бесконечных просторах обрадуют наш взор еще пара светящихся лампочек, или такие близнецы исчезнут на всегда. Нам встречаются участки, довольно часто освещаемые лампочками, но чаще путь проходит в темноте. Из первого миллиона промелькнуло всего 78 498 горящих лампочек, 921 502 не горели.

Однако мы только начали движение, они еще встретятся, но в какой миг? Закономерности нет.

Как и пространство, множество простых чисел бесконечно. Бесконечный ряд чисел, который мы в результате счета предметов, называется НАТУРАЛЬНЫМ РЯДОМ ЧИСЕЛ: 1,2,3,4,5,…. Среди натурального ряда чисел мы выделяем простые числа. Простыми числами называются такие, которые делятся на 1 и на самих себя. Наименьшее простое число2.

Выделение простых чисел является сложной задачей математики. Ученые на протяжении многих веков пытаются найти формулу, которая позволила бы из множества натуральных чисел выписать простые. Первый, кто занимался этой задачей, был великий математик древности Эратосфен, живший почти 2 300 лет назад. Эратосфен был главным библиотекарь знаменитой Александрийской библиотеки, математиком, географом, историком, астрономом, философом и поэтом. Эратосфен вычислил наклон эклиптики – большой окружности сферы, по которой проходит видимое годичное движение солнца, расстояние от солнца и луны, длину земного меридиана (измерив расстояние от Асуана до Александрии), составив карту мира с учетом шарообразности Земли и т. д.

Способ Эратосфена составления таблиц простых чисел чрезвычайно прост и не требует проверки чисел на делимость. Он воспользовался особым методом, который был назван в честь ученого <<Решето Эратосфена>>. Чтобы очистить зерно, мы его просеиваем. Подобно этому Эратосфен <<просеивал>> числа натурального ряда, пользуясь особым приёмом.

Допустим, что были выписаны ( в таблице из 10рядов ) все по следовательно от 1 до 100. Прежде всего надо <<выбросить>> все четные числа, кроме 2. Подчеркнув число2, остальные числа, делящиеся на 2, зачеркнем. После 2 в таблице идет простое число 3. Подчеркнем число 3 как простое, а все остальные, делящееся на 3, зачеркнем. ( Числа, кратные 3, стоят на местах через два на третье.) теперь следующее простое число 5, которое опять подчеркиваем; выбрасываем все числа, кратные 5, которые расположены на местах через четвертое на пятое, считая ранее зачеркнутые. Дальше подчеркиваем следующее число 7 и зачеркиваем числа, делящиеся на 7, и т. д. Заметьте, что из всех натуральных чисел не зачеркнутыми остаются простые числа. Эратосфен у каждого составного числа прокладывал отверстие, и получалось нечто вроде решета, через которое эти составные числа <<просеивались>>.

Древне греческих ученых заинтересовало: сколько может быть простых чисел в натуральном ряду? Ответил на этот вопрос Евклид, доказав, что простых чисел бесконечное множество.

Однако способ Эратосфена не смог удовлетворить ученых, и они пытались найти формулу простых чисел. На протяжении многих столетий это сделать не удавалось. В ряду простых чисел были найдены многие интересные закономерности, но поставленная задача оставалась без ответа. Первым приблизился к решению проблем простых чисел П.Л. Чебышев.

В 1750 г. Леонард Эйлер установил, что число 2³¹— 1 является простым. Оно оставалось самым большим из известных простых чисел более ста лет. В 1876 г. Французский математик Лукас установил, что огромное число

2127 — 1 = 170 141 183 560 469 231 731 687 303 715 884 105 727 также простое. Оно содержит 39 цифр. Для его вычисления были механические настольные счетные машины. В 1957 г. было найдено следующее простое число: 23217 – 1. А простое число 244 497 – 1 состоит из 13 000 цифр.

УЗЫ ДРУЖБЫ В МИРЕ ЧИСЕЛ

Два натуральных числа mи nназываются дружественными, если сумма собственных делителей mравна n, а сумма собственных делителей nравнаm.

История дружественных чисел теряется в глубине веков. По свидетельству античного философа Ямвлиха(III-IVвв.), великий Пифагор на вопрос, кого следует считать своим другом, ответил:<<Того, кто является моим вторым я, как числа 220 и 284>>. Проверьте, пожалуйста, что числа 220 и 284 дружественные.

Для нахождения дружественных чисел арабский ученый Сабит Ибн Курра (IXв. ) предложил хитроумный способ: задавшись натуральным числом n, подсчитать спамогательные величины p= 3*2n-1– 1, q=3*2n-1 и r= 9*2 2n– 1`-1. Если окажется, что числа p, q, rпростые, тогда числа А = 2npqи В = 2nrдружественные.

Пифагорова пара 220 и 284 получаются по этому методу при n=2. Следующую пару чисел – 17 296 и 18 416 – обнаружили независимо друг от друга марокканский ученый Ибн Аль – Банна и три столетия спустя француз Пьер Ферма. В этом случае n=4. Третью пару – 9 363 584 и 9 437 056 (при n=7) – указал в 1638 г. Рене Декарт. Дальнейшие попытки найти дружественные пары при не больших значениях nк успеху не приводят. Более того способ Сабита ибн Курры не выявляется ни одной новой пары дружественных чисел, если nувеличивать до 20 000! Неужели дружественные числа – алмазы-самородки и для подсчета их пар многовато пальцев одной руки?

В 1747-1750 гг. Леонард Эйлер провел уникальные числовые раскопки. Он придумал оригинальные методы поиска и обнаружил сразу 61 новую пару дружественных чисел. Примечательно, что среди них оказались и не четные числа: 69 615 и 11 498 355; 87 633 и 12 024 045. Сейчас известно около 1100 пар дружественных чисел. Любопытно, что в 1866 г. итальянский школьник Н. Паганини (однофамилец известного скрипача) нашел пару дружественных чисел 1184 и 1210, которую все, в том числе и выдающееся математики, проглядели!

Вот пары дружественных чисел в пределе 100 000:

220 – 284

1184 – 1210

2620 – 2924

5020 – 5564

6232 – 6368

10744 – 10856

12285 – 14595

17296 – 18416

63020 – 76084

66928 – 66992

67095 – 71145

69615 – 87633

79750 – 88730

Дружественные числа продолжают скрывать множество тайн. Есть ли смешанные пары, у которых одно число четное, а другое не четное? Существует общая формула, описывающая все дружественные пары? На эти и другие вопросы ответы пока не найдены.

Из опыта вычисления люди знали, что каждое число является либо простым, либо произведением нескольких простых чисел. Но они не умели этого доказывать. Пифагор или кто-то из его последователей нашел доказательство этого утверждения.

Теперь легко объяснить роль простых чисел в математике: они являются теми кирпичиками, из которых с помощью умножения строят все остальные числа. Хорошо было бы, если все простые числа можно было сосчитать! Пусть их было бы хоть миллион – все равно мы знали бы, что, перемножая эти простые числа, можем получить все остальные. Но это оказалось не так. Через два столетия после Пифагора греческий геометр Евклид написал книгу <<Начала>>. И одними из утверждений этой книги было следующее: самого большого простого числа не существует.

Простые числа в натуральном ряде чисел, расположены очень причудливо. Иногда между ними есть только одно четное число (все простые числа, кроме числа 2, нечетные). Такими близнецами так их зовут в науке, являются: 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31. До сих пор не известно, есть ли самые большие близнецы или нет. А иногда между соседними простыми числами лежит пропасть в миллионы и миллиарды чисел. Первым глубокие результаты о том, как разбросаны простые числа среди остальных натуральных чисел, получил великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев, основатель и руководитель русских математических исследований в прошлом веке.

ПРОБЛЕМА ГОЛЬДБАХА

Из простых чисел можно получить любое число с помощью умножения. А что будет, если складывать простые числа? Конечно, если брать сколько угодно слагаемых, то можно получить любое число: четные числа получаются путем сложения двоек, а не четные путем сложения одной тройки и нескольких двоек. Но живший в России в XVIIIвеке математик Гольдбах решил складывать нечетные простые числа лишь попарно. Он обнаружил удивительную вещь: каждый раз ему удавалось представить четное число в виде суммы двух простых чисел. Вот эти разложения для двухзначных чисел (как это было во времена Гольдбаха, мы считаем 1 простым числом):

4=1+3, 6=1+5, 8=1+7, 10=3+7, 12=5+7, 14=3+11,

16=3+13, 18=5+13, 20=3+17, 22=11+11, 24=11+13,

26=13+13, 28=23+5, 30=23+7, 32=19+13, 34=17+17,

36=17+19, 38=19+19, 40=37+3, 42=37+5, 44=37+7,

46=23+23, 48=47+1, 50=47+3, 52=47+5, 54=47+7,

56=53+3, 58=53+5, 60=53+7, 62=31+31, 64=61+3,

66=61+5, 68=61+7, 70=67+3, 72=67+5, 74=37+37,

76=73+3, 78=73+5, 80=73+7, 82=41+41, 84=41=43,

86=43+43, 88=87+1, 90=87+3, 92=87+5,94=87+7,

96=89+7, 98=97+1.

О своем наблюдении Гольдбах написал великому математику XVIIIвека Леонарду Эйлеру, который был членом Петербургской академии наук. Проверив еще много четных чисел, Эйлер убедился, что все они являются суммами двух простых чисел. Но четных чисел бесконечно много. По этому вычисления Эйлера давали надежду на то, что свойством, которое заметил Гольдбах, обладают все числа. Однако попытки доказать, что это всегда будет так, ни к чему не привели.

Двести лет математики размышляли над проблемой Гольдбаха. И только советскому ученому Ивану Матвеевичу Виноградову удалось сделать решающий шаг. Он установил, что любое достаточно большое натуральное число является суммой трех простых чисел. Но число, начиная с которого верно утверждение Виноградова, невообразимо велико. По этому пока что, к сожалению, нет надежды даже с помощью самых лучших ЭВМ проверить, верно ли это утверждение для всех остальных чисел.

АЛГОРИТМ

Для нахождения всех простых чисел не больше заданного числа n, следуя методу Эратосфена, нужно выполнить следующие шаги:

1) Выписать подряд все целые числа от 2 до n(2,3,4…,n)

2) Пусть переменная pизначально равна 2-первому простому числу.

3) Вычеркнуть из списка все числа от 2pдо n, делящиеся на p(то есть, числа 2p,3p,4p,… .)

4) Найти первое невычеркнутое число, большее, чем р, и присвоить значению переменной pэто число.

5) Повторять шаги 3 и 4 до тех пор, пока pне станет больше, чем n.

6) Все невычеркнутые числа в списке — простые числа.

На практике, алгоритм можно немного улучшить следующим образом.

На шаге №3, числа можно вычеркивать, начиная сразу с числа p2, потому что все составные числа меньше его уже будут вычеркнуты к этому времени.

И, соответственно, останавливать алгоритм можно, когда p2станет больше, чем n.

ЗАДАЧИ

В некотором царстве, в некотором государстве жила принцесса. И однажды ей захотелось узнать ответ на свой вопрос о соседнем королевстве. В соседнем королевстве было 12 фей. За ночь всем феям надо было выполнить одинаковое количество желаний. Всего им надо было выполнить 144 желания. И принцессе захотелось узнать, сколько желаний должна выполнить одна фея за ночь. Но чтобы узнать ответ на вопрос, принцессе надо было слетать в соседнее королевство и спросить у фей. Долететь до королевства принцесса поручила дракону и дала ему на всю дорогу 6 часов. Расстояние до королевства 448,8 км. С какой скоростью должен лететь дракон, чтобы успеть слетать и туда, и обратно?

Решение

1) 6:2=3 (часа)- за такое время дракон должен слетать туда или обратно.

2) 448,8:3=149,6 (км/ч)- с такой скоростью должен лететь дракон, что бы прилететь в своё королевство вовремя.

( Задачу придумала Сторожева Яна).

Дракону надо лететь со скоростью 149,6 км/ч, что прилететь в своё королевство вовремя.

Тем времен дракон прилетел в соседнее королевство. Решение вопроса принцессы оказалось очень простым:

Решение

1) 144:12=12(желаний)- должна выполнить 1 фея за ночь.

( Задачу придумала Бордюгова Анастасия).

1 фея должна выполнить 12 желаний за ночь.

Дракон прилетел обратно и получил за ответ на вопрос принцессы вознаграждение: 1,2 кг мороженого. Он решил поделиться мороженым с друзьями. Друзей у него было 7. Сколько мороженого досталось каждому другу и самому дракону?

Решение

1) 7+1=8- друзья и сам дракон.

2) 1,2:8=0,15(кг)- досталось каждому другу и самому дракону.

( Задачу придумала Хисемятдинова Нейля).

0,15 кг мороженого досталось каждому другу и самому дракону.

Принцесса решила позвать к себе на работу 7 гномов, чтобы они искали изумруды. И сказала им, что за неделю они должны найти 147 изумрудов. А сама принцесса решила узнать: сколько 7 гномов должны найти изумрудов за 1 день? Сколько 1 гном должен найти изумрудов за 1 день? Сколько 1 гном должен найти изумрудов за неделю?

Решение

1) 147:7=21(изумруд)- должны найти 7 гномов за 1 день.

2) 21:7=3(изумруда)- должен найти 1 гном за 1 день.

3) 3*7=21(изумруд)- должен найти 1 гном за неделю.

( Задачу придумала Сторожева Яна).

21 изумруд должны найти 7 гномов за 1 день, 3 изумруда должен найти 1 гном за 1 день, 21 изумруд должен найти 1 гном за неделю. Гномам надо было где-то жить. Принцесса решила отдать им подвал. В подвале было 476м2. Сколько каждому гному должно достаться м2, чтобы каждому гному досталось одинаковое количество м2?

Решение

1) 476:7=68(м2)- достанется каждому гному.

( Задачу придумала Бордюгова Анастасия).

Каждому гному достанется по 68м2.

Как-то раз к принцессе пришла Красная шапочка и сказала, что не умеет делить. Она приготовила 381 пирожок и должна раздать его 3 своим бабушкам. Но она не знает, сколько пирожков должно достаться каждой бабушке. Принцесса стала считать:

Решение

1) 381:3=127 (пирожков)- достанется каждой бабушке.

( Задачу придумала Хисемятдинова Нейля).

Принцесса сказала Красной шапочке, что каждой бабушке достанется по 127 пирожков. Красная шапочка п

Индийские математики нашли уникальный алгоритм поиска простых чисел

Индийские математики и специалисты в области компьютерного обеспечения заявляют, что разработали метод, позволяющий безошибочно и быстро определять, простым ли является то или иное число. Проблема быстрого определения простых чисел, над которой исследователи бились в течение более чем 2200 лет, является важнейшей в улучшении современной компьютерной техники.

Простые числа — это ключ к разрешению многих математических проблем, они также играют большую роль в криптографии (шифровании), благодаря чему интересуют не только математиков, но и военных, разведку и контрразведку. Простое число — то, которое делится без остатка только на единицу и на само себя. Так, к простым числам относятся 2, 3, 5, 7, 11, 13 и так далее по возрастающей.

Первым проблему определения простых чисел поставил древнегреческий ученый Эратосфен примерно в 220 году до нашей эры, предложив один из путей определения простых чисел. С тех пор ученые постепенно продвигались вперед, а в последние десятилетия им на помощь в проверке делимости огромных чисел пришли компьютеры. Математики, а позже и специалисты по компьютерному программированию разработали много способов решения этой проблемы, однако все они несут небольшую потенциальную возможность ошибки.

«Наш алгоритм исключает вероятность любой ошибки», — заявил основной разработчик нового метода Маниндра Агравал. Результаты вычислений уже разосланы ведущим компьютерным специалистам и математикам во всем мире. Ученые еже получили несколько отзывов. Никто не высказывает сомнений в новом алгоритме, и все выражают удовлетворение достигнутым результатом, сообщает NTVRU.com.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе рассмотрены вопросы:

История возникновения простых чисел.

Рассмотрен алгоритм нахождения простых чисел.

Названы имена ученых, которые занимались изучениям простых чисел.

А также подобраны задачи на простые числа.

Данную работу можно использовать на уроках математики, и в кружковой работе, что бы не казалось, что наука математика это сухая, сухая неинтересная наука.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Шейнина О.С., Соловьева Г.М. Математика. Занятия школьного кружка 5 6 кл. М.: изд во нц энас, 2005 208с (портфель учителя)

2. Агеева И.Д. Занимательные материалы по информатике и математике. Методическое пособие. М.: Ту. Сфера, 2006 240с (игровые методы обучения).

3. Математика: Учеб. Для 5 кл. общеобразовательное учреждений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин. С.Б. Суворова и др.; Под редакцией Г.В. дорофеева, И.Ф. Шарыгина. М.: Просвещения, 1998. 368с.: ил. ISBN5 09 008059 3

4. Занимательные дидактические материалы по математике. Сборник заданий. Выпуск 2 В.В. Трошин М.: Глобус, 2008 282с. (учение с увлечением).

www.ronl.ru

Реферат - Простые числа Мерсенна. Совершенные числа

Простые Числа Мерсенна, совершенные числа.

Среди простых чисел особую роль играют простые числа Мерсенна — числа вида 1)Мр = 2р -1, где р — простое число. Они называются простыми числами Мерсенна по имени французского монаха Мерена Мерсенна (1588-1648), одного из основателей Парижской Академии наук, друга Декарта и Ферма. Так как М2 =3, М3 =7, М5 =31, М7 =127, то это — простые числа Мерсенна. Однако, число 2)М11 =2047=23. 89 простым не является. До 1750 года было найдено всего 8 простых чисел Мерсенна: М2, М3, М5, М7, М13, М17, М19, М31. То, что М31 — простое число, доказал в 1750 году Л. Эйлер. В 1876 году французский математик Эдуард Люка

установил, что число

3)М127 =170141183460469231731687303715884105727

— простое. В 1883 г. Сельский священник Пермской губернии И.М.Первушин без всяких вычислительных приборов доказал, что число М61 =2305843009213693951 является простым. Позднее было установлено, что числа М89 и М107 — простые. Использование ЭВМ позволило в 1952-1964 годах доказать, что числа М521, М607, М1279, М2203, М2281, М3217, М4253, М4423, М2689, М9941, М11213 — простые. К настоящему времени известно уже более 30 простых чисел Мерсенна, одно из которыхМ216091 имеет 65050 цифр. Большой интерес к простым числам Мерсенна вызван их тесной связью с совершенными числами.

Натуральное число Р называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей кроме Р .

Евклид доказал, что если р и 2р -1 — простые числа, то число 4)Рр =2р-1 (2р -1)=2р-1 Мр является совершенным.

Действительно, делителями такого числа, включая само это число, являются 5)1,2,… ,2р-1, Мр ,2Мр,… ,2р-1 Мр .

Их сумма Sp =(1+2+ … +2р-1 )(Мр +1) =(2 р -1) . 2 р = 2. 2р-1 Мр. Вычитая из S само числоРр, убеждаемся, что сумма всех делителей числа Рр равна этому числу, следовательно Рр — совершенное число.

Числа Р2 =6 и Р3 =28 были известны ещё пифагорейцам. Числа Р5 =496 и Р7 =8128 нашел Евклид. Используя другие простые числа Мерсенна и формулу 4, находим следующие совершенные числа:

6)Р13 =33550336, Р17 =8589869056, Р19 =137438691328, Р31 =2305843008139952128.

Для всех остальных чисел Мерсенна числа Рр имеют очень много цифр.

До сих пор остаётся загадкой, как Мерсенн смог высказать правильное утверждение, что числа Р17, Р19, Р31 являются совершенными. Позднее было обнаружено, что почти за сто лет до Мерсенна числа Р17, Р19 нашел итальянский математик Катальди — профессор университетов Флоренции и Болоньи. Считалось, что божественное провидение предсказало своим избранникам правильные значения этих совершенных чисел. Если учесть, что ещё пифагорейцы считали первое совершенное число 6 символом души, что второе совершенное число 28 соответствовало числу членов многих учёных обществ, что даже в двенадцатом веке церковь учила: для спасения души достаточно изучать совершенные числа и тому, кто найдёт новое божественное совершенное число, уготовано вечное блаженство, то становится понятным исключительный интерес к этим числам.

Однако и с математической точки зрения чётные совершенные числа по-своему уникальны.Все они — треугольные. Сумма величин, обратных всем дилителям числа, включая само число, всегда равна двум. Остаток от деления совершенного числа, кроме 6, на 9 равен 1. В двоичной системе совершенное числоРр начинается р единицами, потом следуют р-1 нулей. Например:

7)Р2= 110, Р3= 11100, Р5 = 111110000, Р7 =1111111000000 и т.д.

Последняя цифра чётного совершенного числа или 6, или 8, причём, если 8, то ей предшествует 2.

Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид 2р-1. Мр, где Мр -простое число Мерсенна. Однако до сих пор не найдено ни одного нечётного совершенного числа. Высказано предположение(Брайен Такхерман, США), что если такое число существует, то оно должно иметь не менее 36 знаков.

www.ronl.ru

Курсовая работа - Простые числа Мерсенна. Совершенные числа

Простые Числа Мерсенна, совершенные числа.

Среди простых чисел особую роль играют простые числа Мерсенна — числа вида 1)Мр = 2р -1, где р — простое число. Они называются простыми числами Мерсенна по имени французского монаха Мерена Мерсенна (1588-1648), одного из основателей Парижской Академии наук, друга Декарта и Ферма. Так как М2 =3, М3 =7, М5 =31, М7 =127, то это — простые числа Мерсенна. Однако, число 2)М11 =2047=23. 89 простым не является. До 1750 года было найдено всего 8 простых чисел Мерсенна: М2, М3, М5, М7, М13, М17, М19, М31. То, что М31 — простое число, доказал в 1750 году Л. Эйлер. В 1876 году французский математик Эдуард Люка

установил, что число

3)М127 =170141183460469231731687303715884105727

— простое. В 1883 г. Сельский священник Пермской губернии И.М.Первушин без всяких вычислительных приборов доказал, что число М61 =2305843009213693951 является простым. Позднее было установлено, что числа М89 и М107 — простые. Использование ЭВМ позволило в 1952-1964 годах доказать, что числа М521, М607, М1279, М2203, М2281, М3217, М4253, М4423, М2689, М9941, М11213 — простые. К настоящему времени известно уже более 30 простых чисел Мерсенна, одно из которыхМ216091 имеет 65050 цифр. Большой интерес к простым числам Мерсенна вызван их тесной связью с совершенными числами.

Натуральное число Р называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей кроме Р .

Евклид доказал, что если р и 2р -1 — простые числа, то число 4)Рр =2р-1 (2р -1)=2р-1 Мр является совершенным.

Действительно, делителями такого числа, включая само это число, являются 5)1,2,… ,2р-1, Мр ,2Мр,… ,2р-1 Мр .

Их сумма Sp =(1+2+ … +2р-1 )(Мр +1) =(2 р -1) . 2 р = 2. 2р-1 Мр. Вычитая из S само числоРр, убеждаемся, что сумма всех делителей числа Рр равна этому числу, следовательно Рр — совершенное число.

Числа Р2 =6 и Р3 =28 были известны ещё пифагорейцам. Числа Р5 =496 и Р7 =8128 нашел Евклид. Используя другие простые числа Мерсенна и формулу 4, находим следующие совершенные числа:

6)Р13 =33550336, Р17 =8589869056, Р19 =137438691328, Р31 =2305843008139952128.

Для всех остальных чисел Мерсенна числа Рр имеют очень много цифр.

До сих пор остаётся загадкой, как Мерсенн смог высказать правильное утверждение, что числа Р17, Р19, Р31 являются совершенными. Позднее было обнаружено, что почти за сто лет до Мерсенна числа Р17, Р19 нашел итальянский математик Катальди — профессор университетов Флоренции и Болоньи. Считалось, что божественное провидение предсказало своим избранникам правильные значения этих совершенных чисел. Если учесть, что ещё пифагорейцы считали первое совершенное число 6 символом души, что второе совершенное число 28 соответствовало числу членов многих учёных обществ, что даже в двенадцатом веке церковь учила: для спасения души достаточно изучать совершенные числа и тому, кто найдёт новое божественное совершенное число, уготовано вечное блаженство, то становится понятным исключительный интерес к этим числам.

Однако и с математической точки зрения чётные совершенные числа по-своему уникальны.Все они — треугольные. Сумма величин, обратных всем дилителям числа, включая само число, всегда равна двум. Остаток от деления совершенного числа, кроме 6, на 9 равен 1. В двоичной системе совершенное числоРр начинается р единицами, потом следуют р-1 нулей. Например:

7)Р2= 110, Р3= 11100, Р5 = 111110000, Р7 =1111111000000 и т.д.

Последняя цифра чётного совершенного числа или 6, или 8, причём, если 8, то ей предшествует 2.

Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид 2р-1. Мр, где Мр -простое число Мерсенна. Однако до сих пор не найдено ни одного нечётного совершенного числа. Высказано предположение(Брайен Такхерман, США), что если такое число существует, то оно должно иметь не менее 36 знаков.

www.ronl.ru

Курсовая работа - Роль простых чисел в математике

ВВЕДЕНИЕ

Простые числа с давних времен привлекают внимание математиков. Простые числа следует одно за другим по закону, который еще не найден. Но простые числа в математике играют важную роль. Среди натурального ряда выделяют простые числа.

В данной работе поставленная цель:

доказать, что простые числа играют большую роль в математике.

Задачи для этой работы следующие:

Показать способы нахождения простых чисел.

Назвать имена математиков, связанных с историей открытия простых чисел.

Составить задачи с использованием простых чисел.

РОЛЬ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В МАТЕМАТИКЕ

Каждое натуральное число, больше единицы, делится по крайней мере на два числа: на 1 и на само себя. Если ни на какое другое натуральное число оно на целое не делится, то называется простым, а если у него имеются ещё какие- то целые делители, то составным. Не о всяком числе можно сразу сказать, простое оно или составное. Возьмем, например, число 1999. Если нет под рукой специальных справочных таблиц или помощника компьютера, то придется вспомнить о старом, но надежном решете Эратосфена. Старинный способ, придуманный еще в 3 в. До н. э. Эратосфеном Киренским, хранителем знаменитой Александрийской библиотеки.

Выпишем несколько подряд идущих чисел, начиная с 2. Двойку отберем в свою коллекцию, а остальные числа, кратные 2, зачеркнем. Ближайшим не зачеркнутым числом будет 3. Возьмем в коллекцию и его, а все остальные числа, кратные 3, зачеркнем. При этом окажется, что некоторые числа уже были вычеркнуты раньше, как, например, 6, 12 и другие. Следующее наименьшее не зачеркнутое число-это 5. Берем пятерку, а остальные числа, кратные 5, зачеркиваем. Повторяя эту процедуру снова и снова, мы в конце концов добьемся того, что не зачеркнутыми останутся одни лишь простые числа- они словно просеялись сквозь решето. Поэтому такой способ и получил название РЕШЕТО ЭРАТОСФЕНА. Можно ли, повторять поэту, сказать, что простых чисел столько, “ сколько звезд на небе, сколько рыб в воде”? Ответ находим в девятой книге знаменитого сочинения Евклида” Начала”- нетленного памятника Древнего мира. Двадцатая теорема в этой книге утверждает: ”Первых (простых) чисел существует больше любого указанного числа их”.

Вот доказательство этой теоремы. Предположим, что существует некое наибольшее простое число P. Тогда перемножим все простые числа, начиная с 2 и кончая P, и увеличим полученное произведение на единицу: 2 3 5 7*… P+ 1 = M. Если число Мсоставное, то оно должно иметь по крайней мере один простой делитель. Но этим делителем не может быть ни одно из простых чисел 2, 3, 5, …, Р, поскольку при делении Мна каждое из них получаем в остатке 1. Следовательно, число М либо само простое, либо делится на простое число, большее Р. Значит, предположение, что существует наибольшее простое число Р, наверно и множество простых чисел бесконечно.

Не о всяком числе можно сразу сказать, простое оно или составное. Возьмем, например, число 1999. Если нет под рукой специальных справочных таблиц или помощника-компьютера, то придется вспомнить о старом, но надежном решете Эратосфена.

Первую известную нам таблицу простых чисел составил итальянский математик Пьетро Антонио Катальди в 1603 г. Она захватывала все простые числа от 2 до 743

В 1770 г. Немецкий математик Иоганн Генрих Ламберт опубликовал таблицу наименьших делителей всех чисел, не превосходящих 102000 и не делящихся на 2, 3, 5. Вложив в этот труд поистине колоссальные усилия, Ламберт гарантировал бессмертие тому, кто доведет таблицу делителей до миллиона. На его призыв откликнулись многие вычислители.

К середине 19 века уже были составлены таблицы наименьших делителей не только первого миллиона, но и следующих, в плоть до 9. В это же время в прессе появились сообщения, которые представлялись абсолютно фантастическими: в Венскую академию поступило 7 больших томов рукописных таблиц “Великий канон делителей всех чисел, которые не делятся на 2, 3 и 5, и простых чисел между ними до 100330201”. Автором этого труда был Якуб Филипп Кулик, профессор высшей математики Пражского университета.

В дальнейшем поиске простых чисел уже не носили характера массовой охоты, с которой можно сравнить составление таблиц, а превратились в целенаправленный отбор отдельных представителей. У охотников за числами больше всего популярны простые числа Марсена. Они названы в честь французского ученого Марена Марсенна, Сыгравшего в 18в. Видную роль в становлении европейской науки.

Некоторые представления о распределения простых чисел имели уже древние греки. Из доказательства Евклида следует, например, что они не собраны вместе, а разбросаны по всей числовой оси. Но как часто?

В 1845 г французский математик Жозеф Бертан, исследуя таблицу простых чисел в промежутке от 1 до 6000000, обнаружил, что между числами nи n2 – 2, где n> 3, содержится по крайней мере одно простое число. В последствии это свойство получило название постулата Бертрана, хотя самому Бертану обосновать его так и не удалось. Доказал его в 1852 г русский математик Пафнутий Львович Чебышев. Из результата Чебышева следовала и более точная оценка. Таким образом, даже среди очень больших чисел простые числа не так уж редки.

С другой стороны, существуют промежутки, включающие тысячи, миллионы, миллиарды и вообще какое угодно большое количество подряд стоящих натуральных чисел, среди которых нельзя найти ни одного простого! В самом деле, задавшись произвольным большим натуральным числом к, построим ряд чисел к! +2,к! +3,…, к! + к (здесь к! = 1*2*3*…*к). Каждое из этих чисел составное. Например, число к! + мделится на м, поскольку к! делится на ми само м делится нам.

Простые числа, делящихся только на единицу и на самих себя(2,3,5,7,11,13,17,…), с давних времен привлекают внимание математиков. Более двух тысяч лет назад великий древнегреческий математик Евклид доказал, что ряд простых чисел бесконечен. Простые числа следуют одно за другим по закону, который еще не найден. Эти числа то на долго исчезают из натурального ряда, то по являются в нем часто, а иногда и по соседству: 11,13,;5971847,5971849.

Профессор И.К. Андронов в книге <<Арифметика натуральных чисел>> приводит рассказ о воображаемом путешествии по бесконечной дороге простых чисел:<<Мысленно возьмем прямо линейный провод, выходящий из классной комнаты в мировое пространство, пробивающий земную атмосферу, уходящий туда, где Луна совершает вращение, и далее за огненный шар Солнце, в мировую бесконечность.

Мысленно подвесим на провод через каждый метр электрические лампочки, нумеруя их, начиная с ближней:1,2,3,…,1 000,…,1 000 000,…, включим ток с таким расчетом, чтобы загорелись все лампочки с простыми номерами, и полетим вблизи провода>>.

Вместе с автором этой книги мы начинаем движение с первой электрической лампочки, которая не осветила нам старта; она не горит, так как ее номер (единица) не является простым числом. Сразу за ней две лампочки с номерами 2 и 3 включены, эти числа простые. Оставим позади горящие лампочки 5 и 7. Они пронумерованы простыми числами. На нашем длинном пути очень редко будут попадаться числа-близнецы. Вот промелькнули следующие числа-близнецы: 11 и 13, 17 и 19. Мы быстро набираем скорость; оставляя позади лампочки 101 и 103, 827 и 829; теперь реже и реже встречаются освещенные островки из лампочек, пронумерованы простыми числами-близнецами. Вот на фоне темноты и мрака засверкали лампочки с номерами 10 016 957 и 10 016 959; это последняя пара известных простых чисел-близнецов. Возможно, где то в бесконечных просторах обрадуют наш взор еще пара светящихся лампочек, или такие близнецы исчезнут на всегда. Нам встречаются участки, довольно часто освещаемые лампочками, но чаще путь проходит в темноте. Из первого миллиона промелькнуло всего 78 498 горящих лампочек, 921 502 не горели.

Однако мы только начали движение, они еще встретятся, но в какой миг? Закономерности нет.

Как и пространство, множество простых чисел бесконечно. Бесконечный ряд чисел, который мы в результате счета предметов, называется НАТУРАЛЬНЫМ РЯДОМ ЧИСЕЛ: 1,2,3,4,5,…. Среди натурального ряда чисел мы выделяем простые числа. Простыми числами называются такие, которые делятся на 1 и на самих себя. Наименьшее простое число2.

Выделение простых чисел является сложной задачей математики. Ученые на протяжении многих веков пытаются найти формулу, которая позволила бы из множества натуральных чисел выписать простые. Первый, кто занимался этой задачей, был великий математик древности Эратосфен, живший почти 2 300 лет назад. Эратосфен был главным библиотекарь знаменитой Александрийской библиотеки, математиком, географом, историком, астрономом, философом и поэтом. Эратосфен вычислил наклон эклиптики – большой окружности сферы, по которой проходит видимое годичное движение солнца, расстояние от солнца и луны, длину земного меридиана (измерив расстояние от Асуана до Александрии), составив карту мира с учетом шарообразности Земли и т. д.

Способ Эратосфена составления таблиц простых чисел чрезвычайно прост и не требует проверки чисел на делимость. Он воспользовался особым методом, который был назван в честь ученого <<Решето Эратосфена>>. Чтобы очистить зерно, мы его просеиваем. Подобно этому Эратосфен <<просеивал>> числа натурального ряда, пользуясь особым приёмом.

Допустим, что были выписаны ( в таблице из 10рядов ) все по следовательно от 1 до 100. Прежде всего надо <<выбросить>> все четные числа, кроме 2. Подчеркнув число2, остальные числа, делящиеся на 2, зачеркнем. После 2 в таблице идет простое число 3. Подчеркнем число 3 как простое, а все остальные, делящееся на 3, зачеркнем. ( Числа, кратные 3, стоят на местах через два на третье.) теперь следующее простое число 5, которое опять подчеркиваем; выбрасываем все числа, кратные 5, которые расположены на местах через четвертое на пятое, считая ранее зачеркнутые. Дальше подчеркиваем следующее число 7 и зачеркиваем числа, делящиеся на 7, и т. д. Заметьте, что из всех натуральных чисел не зачеркнутыми остаются простые числа. Эратосфен у каждого составного числа прокладывал отверстие, и получалось нечто вроде решета, через которое эти составные числа <<просеивались>>.

Древне греческих ученых заинтересовало: сколько может быть простых чисел в натуральном ряду? Ответил на этот вопрос Евклид, доказав, что простых чисел бесконечное множество.

Однако способ Эратосфена не смог удовлетворить ученых, и они пытались найти формулу простых чисел. На протяжении многих столетий это сделать не удавалось. В ряду простых чисел были найдены многие интересные закономерности, но поставленная задача оставалась без ответа. Первым приблизился к решению проблем простых чисел П.Л. Чебышев.

В 1750 г. Леонард Эйлер установил, что число 2³¹— 1 является простым. Оно оставалось самым большим из известных простых чисел более ста лет. В 1876 г. Французский математик Лукас установил, что огромное число

2127 — 1 = 170 141 183 560 469 231 731 687 303 715 884 105 727 также простое. Оно содержит 39 цифр. Для его вычисления были механические настольные счетные машины. В 1957 г. было найдено следующее простое число: 23217 – 1. А простое число 244 497 – 1 состоит из 13 000 цифр.

УЗЫ ДРУЖБЫ В МИРЕ ЧИСЕЛ

Два натуральных числа mи nназываются дружественными, если сумма собственных делителей mравна n, а сумма собственных делителей nравнаm.

История дружественных чисел теряется в глубине веков. По свидетельству античного философа Ямвлиха(III-IVвв.), великий Пифагор на вопрос, кого следует считать своим другом, ответил:<<Того, кто является моим вторым я, как числа 220 и 284>>. Проверьте, пожалуйста, что числа 220 и 284 дружественные.

Для нахождения дружественных чисел арабский ученый Сабит Ибн Курра (IXв. ) предложил хитроумный способ: задавшись натуральным числом n, подсчитать спамогательные величины p= 3*2n-1– 1, q=3*2n-1 и r= 9*2 2n– 1`-1. Если окажется, что числа p, q, rпростые, тогда числа А = 2npqи В = 2nrдружественные.

Пифагорова пара 220 и 284 получаются по этому методу при n=2. Следующую пару чисел – 17 296 и 18 416 – обнаружили независимо друг от друга марокканский ученый Ибн Аль – Банна и три столетия спустя француз Пьер Ферма. В этом случае n=4. Третью пару – 9 363 584 и 9 437 056 (при n=7) – указал в 1638 г. Рене Декарт. Дальнейшие попытки найти дружественные пары при не больших значениях nк успеху не приводят. Более того способ Сабита ибн Курры не выявляется ни одной новой пары дружественных чисел, если nувеличивать до 20 000! Неужели дружественные числа – алмазы-самородки и для подсчета их пар многовато пальцев одной руки?

В 1747-1750 гг. Леонард Эйлер провел уникальные числовые раскопки. Он придумал оригинальные методы поиска и обнаружил сразу 61 новую пару дружественных чисел. Примечательно, что среди них оказались и не четные числа: 69 615 и 11 498 355; 87 633 и 12 024 045. Сейчас известно около 1100 пар дружественных чисел. Любопытно, что в 1866 г. итальянский школьник Н. Паганини (однофамилец известного скрипача) нашел пару дружественных чисел 1184 и 1210, которую все, в том числе и выдающееся математики, проглядели!

Вот пары дружественных чисел в пределе 100 000:

220 – 284

1184 – 1210

2620 – 2924

5020 – 5564

6232 – 6368

10744 – 10856

12285 – 14595

17296 – 18416

63020 – 76084

66928 – 66992

67095 – 71145

69615 – 87633

79750 – 88730

Дружественные числа продолжают скрывать множество тайн. Есть ли смешанные пары, у которых одно число четное, а другое не четное? Существует общая формула, описывающая все дружественные пары? На эти и другие вопросы ответы пока не найдены.

Из опыта вычисления люди знали, что каждое число является либо простым, либо произведением нескольких простых чисел. Но они не умели этого доказывать. Пифагор или кто-то из его последователей нашел доказательство этого утверждения.

Теперь легко объяснить роль простых чисел в математике: они являются теми кирпичиками, из которых с помощью умножения строят все остальные числа. Хорошо было бы, если все простые числа можно было сосчитать! Пусть их было бы хоть миллион – все равно мы знали бы, что, перемножая эти простые числа, можем получить все остальные. Но это оказалось не так. Через два столетия после Пифагора греческий геометр Евклид написал книгу <<Начала>>. И одними из утверждений этой книги было следующее: самого большого простого числа не существует.

Простые числа в натуральном ряде чисел, расположены очень причудливо. Иногда между ними есть только одно четное число (все простые числа, кроме числа 2, нечетные). Такими близнецами так их зовут в науке, являются: 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31. До сих пор не известно, есть ли самые большие близнецы или нет. А иногда между соседними простыми числами лежит пропасть в миллионы и миллиарды чисел. Первым глубокие результаты о том, как разбросаны простые числа среди остальных натуральных чисел, получил великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев, основатель и руководитель русских математических исследований в прошлом веке.

ПРОБЛЕМА ГОЛЬДБАХА

Из простых чисел можно получить любое число с помощью умножения. А что будет, если складывать простые числа? Конечно, если брать сколько угодно слагаемых, то можно получить любое число: четные числа получаются путем сложения двоек, а не четные путем сложения одной тройки и нескольких двоек. Но живший в России в XVIIIвеке математик Гольдбах решил складывать нечетные простые числа лишь попарно. Он обнаружил удивительную вещь: каждый раз ему удавалось представить четное число в виде суммы двух простых чисел. Вот эти разложения для двухзначных чисел (как это было во времена Гольдбаха, мы считаем 1 простым числом):

4=1+3, 6=1+5, 8=1+7, 10=3+7, 12=5+7, 14=3+11,

16=3+13, 18=5+13, 20=3+17, 22=11+11, 24=11+13,

26=13+13, 28=23+5, 30=23+7, 32=19+13, 34=17+17,

36=17+19, 38=19+19, 40=37+3, 42=37+5, 44=37+7,

46=23+23, 48=47+1, 50=47+3, 52=47+5, 54=47+7,

56=53+3, 58=53+5, 60=53+7, 62=31+31, 64=61+3,

66=61+5, 68=61+7, 70=67+3, 72=67+5, 74=37+37,

76=73+3, 78=73+5, 80=73+7, 82=41+41, 84=41=43,

86=43+43, 88=87+1, 90=87+3, 92=87+5,94=87+7,

96=89+7, 98=97+1.

О своем наблюдении Гольдбах написал великому математику XVIIIвека Леонарду Эйлеру, который был членом Петербургской академии наук. Проверив еще много четных чисел, Эйлер убедился, что все они являются суммами двух простых чисел. Но четных чисел бесконечно много. По этому вычисления Эйлера давали надежду на то, что свойством, которое заметил Гольдбах, обладают все числа. Однако попытки доказать, что это всегда будет так, ни к чему не привели.

Двести лет математики размышляли над проблемой Гольдбаха. И только советскому ученому Ивану Матвеевичу Виноградову удалось сделать решающий шаг. Он установил, что любое достаточно большое натуральное число является суммой трех простых чисел. Но число, начиная с которого верно утверждение Виноградова, невообразимо велико. По этому пока что, к сожалению, нет надежды даже с помощью самых лучших ЭВМ проверить, верно ли это утверждение для всех остальных чисел.

АЛГОРИТМ

Для нахождения всех простых чисел не больше заданного числа n, следуя методу Эратосфена, нужно выполнить следующие шаги:

1) Выписать подряд все целые числа от 2 до n(2,3,4…,n)

2) Пусть переменная pизначально равна 2-первому простому числу.

3) Вычеркнуть из списка все числа от 2pдо n, делящиеся на p(то есть, числа 2p,3p,4p,… .)

4) Найти первое невычеркнутое число, большее, чем р, и присвоить значению переменной pэто число.

5) Повторять шаги 3 и 4 до тех пор, пока pне станет больше, чем n.

6) Все невычеркнутые числа в списке — простые числа.

На практике, алгоритм можно немного улучшить следующим образом.

На шаге №3, числа можно вычеркивать, начиная сразу с числа p2, потому что все составные числа меньше его уже будут вычеркнуты к этому времени.

И, соответственно, останавливать алгоритм можно, когда p2станет больше, чем n.

ЗАДАЧИ

В некотором царстве, в некотором государстве жила принцесса. И однажды ей захотелось узнать ответ на свой вопрос о соседнем королевстве. В соседнем королевстве было 12 фей. За ночь всем феям надо было выполнить одинаковое количество желаний. Всего им надо было выполнить 144 желания. И принцессе захотелось узнать, сколько желаний должна выполнить одна фея за ночь. Но чтобы узнать ответ на вопрос, принцессе надо было слетать в соседнее королевство и спросить у фей. Долететь до королевства принцесса поручила дракону и дала ему на всю дорогу 6 часов. Расстояние до королевства 448,8 км. С какой скоростью должен лететь дракон, чтобы успеть слетать и туда, и обратно?

Решение

1) 6:2=3 (часа)- за такое время дракон должен слетать туда или обратно.

2) 448,8:3=149,6 (км/ч)- с такой скоростью должен лететь дракон, что бы прилететь в своё королевство вовремя.

( Задачу придумала Сторожева Яна).

Дракону надо лететь со скоростью 149,6 км/ч, что прилететь в своё королевство вовремя.

Тем времен дракон прилетел в соседнее королевство. Решение вопроса принцессы оказалось очень простым:

Решение

1) 144:12=12(желаний)- должна выполнить 1 фея за ночь.

( Задачу придумала Бордюгова Анастасия).

1 фея должна выполнить 12 желаний за ночь.

Дракон прилетел обратно и получил за ответ на вопрос принцессы вознаграждение: 1,2 кг мороженого. Он решил поделиться мороженым с друзьями. Друзей у него было 7. Сколько мороженого досталось каждому другу и самому дракону?

Решение

1) 7+1=8- друзья и сам дракон.

2) 1,2:8=0,15(кг)- досталось каждому другу и самому дракону.

( Задачу придумала Хисемятдинова Нейля).

0,15 кг мороженого досталось каждому другу и самому дракону.

Принцесса решила позвать к себе на работу 7 гномов, чтобы они искали изумруды. И сказала им, что за неделю они должны найти 147 изумрудов. А сама принцесса решила узнать: сколько 7 гномов должны найти изумрудов за 1 день? Сколько 1 гном должен найти изумрудов за 1 день? Сколько 1 гном должен найти изумрудов за неделю?

Решение

1) 147:7=21(изумруд)- должны найти 7 гномов за 1 день.

2) 21:7=3(изумруда)- должен найти 1 гном за 1 день.

3) 3*7=21(изумруд)- должен найти 1 гном за неделю.

( Задачу придумала Сторожева Яна).

21 изумруд должны найти 7 гномов за 1 день, 3 изумруда должен найти 1 гном за 1 день, 21 изумруд должен найти 1 гном за неделю. Гномам надо было где-то жить. Принцесса решила отдать им подвал. В подвале было 476м2. Сколько каждому гному должно достаться м2, чтобы каждому гному досталось одинаковое количество м2?

Решение

1) 476:7=68(м2)- достанется каждому гному.

( Задачу придумала Бордюгова Анастасия).

Каждому гному достанется по 68м2.

Как-то раз к принцессе пришла Красная шапочка и сказала, что не умеет делить. Она приготовила 381 пирожок и должна раздать его 3 своим бабушкам. Но она не знает, сколько пирожков должно достаться каждой бабушке. Принцесса стала считать:

Решение

1) 381:3=127 (пирожков)- достанется каждой бабушке.

( Задачу придумала Хисемятдинова Нейля).

Принцесса сказала Красной шапочке, что каждой бабушке достанется по 127 пирожков. Красная шапочка п

Индийские математики нашли уникальный алгоритм поиска простых чисел

Индийские математики и специалисты в области компьютерного обеспечения заявляют, что разработали метод, позволяющий безошибочно и быстро определять, простым ли является то или иное число. Проблема быстрого определения простых чисел, над которой исследователи бились в течение более чем 2200 лет, является важнейшей в улучшении современной компьютерной техники.

Простые числа — это ключ к разрешению многих математических проблем, они также играют большую роль в криптографии (шифровании), благодаря чему интересуют не только математиков, но и военных, разведку и контрразведку. Простое число — то, которое делится без остатка только на единицу и на само себя. Так, к простым числам относятся 2, 3, 5, 7, 11, 13 и так далее по возрастающей.

Первым проблему определения простых чисел поставил древнегреческий ученый Эратосфен примерно в 220 году до нашей эры, предложив один из путей определения простых чисел. С тех пор ученые постепенно продвигались вперед, а в последние десятилетия им на помощь в проверке делимости огромных чисел пришли компьютеры. Математики, а позже и специалисты по компьютерному программированию разработали много способов решения этой проблемы, однако все они несут небольшую потенциальную возможность ошибки.

«Наш алгоритм исключает вероятность любой ошибки», — заявил основной разработчик нового метода Маниндра Агравал. Результаты вычислений уже разосланы ведущим компьютерным специалистам и математикам во всем мире. Ученые еже получили несколько отзывов. Никто не высказывает сомнений в новом алгоритме, и все выражают удовлетворение достигнутым результатом, сообщает NTVRU.com.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе рассмотрены вопросы:

История возникновения простых чисел.

Рассмотрен алгоритм нахождения простых чисел.

Названы имена ученых, которые занимались изучениям простых чисел.

А также подобраны задачи на простые числа.

Данную работу можно использовать на уроках математики, и в кружковой работе, что бы не казалось, что наука математика это сухая, сухая неинтересная наука.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Шейнина О.С., Соловьева Г.М. Математика. Занятия школьного кружка 5 6 кл. М.: изд во нц энас, 2005 208с (портфель учителя)

2. Агеева И.Д. Занимательные материалы по информатике и математике. Методическое пособие. М.: Ту. Сфера, 2006 240с (игровые методы обучения).

3. Математика: Учеб. Для 5 кл. общеобразовательное учреждений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин. С.Б. Суворова и др.; Под редакцией Г.В. дорофеева, И.Ф. Шарыгина. М.: Просвещения, 1998. 368с.: ил. ISBN5 09 008059 3

4. Занимательные дидактические материалы по математике. Сборник заданий. Выпуск 2 В.В. Трошин М.: Глобус, 2008 282с. (учение с увлечением).

www.ronl.ru

Тайна простых чисел — реферат

Оглавление

Введение…………………………………….………………………………….….3

1. Простые и составные числа………………….……………………….……4
2. Неразгаданная тайна простых чисел ………………….………………….4
3. Удивительная закономерность ……………………………………………5
4. Простые числа. Решето Эратосфена………………………………………7
5. Священое число – семь…………………………………………………….8

Литература……………………………………………………………………….14

Введение.

        Число - важнейшее математическое понятие.  Потребовалось  несколько тысячелетий, чтобы это понятие приобрело форму, которая в настоящий момент признается удовлетворительной подавляющим большинством математиков. На первых ступенях развития понятие число определялось потребностями счета и измерения¸ возникавшими в непосредственной практической деятельности человека. Затем число становится основным понятием математики, и дальнейшее развитие понятия числа определяется потребностями этой науки.  Понятие натурального числа, вызванное потребностью счета предметов, возникло еще в доисторические времена.  Процесс формирования понятия натурального числа протекал в общих чертах следующим образом. На  низшей ступени первобытного общества понятие отвлеченного числа отсутствовало. Источником возникновения понятия отвлеченного числа является примитивный счет предметов, заключающийся в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с  предметами некоторой определенной совокупности,  играющей как бы роль эталона. У большинства народов первым таким эталоном являются пальцы. Лишь на достаточно высоком интеллектуальном уровне было осознано, что у конкретных предметных групп "два камня ", "две птицы" и "две руки" есть нечто общее: "два". Абстрактные, отвлеченные числа позволяли сравнивать количество предметов в разнородных совокупностях, что имело важное значение при обменных операциях типа "раковина за орех".

Простые и составные  числа

Натуральное число называется простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух делителей. Число 1 имеет только один делитель: само число. Поэтому его не относят ни к составным, ни к простым числам. Первыми десятью простыми числами являются: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из которых больше 1. Простое число так разложить на множители нельзя. Произведение двух простых чисел может быть простым число, если одно из чисел равно 1, а другое является простым числом. Все простые числа, большие 2, нечетные.

Неразгаданная тайна простых чисел

Тайна простых чисел  –это их распределение между остальными числами: произвольное, без какого-либо порядка. Простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно- в одних частях ряда их больше, в других – меньше. Математики годами пытались найти этот порядок, но безуспешно. А отсутствие порядка означает, что простые числа нужно отыскивать одно за другим. Малые простые числа легко найти с помощью так называемого «Решета Эрастофена». В таблицу вписываем все числа до 100 ( 1 не включается: она не является простым числом). Вычеркиваем все четные числа, кроме 2. Затем вычеркиваем все числа, делящиеся на 3, кроме 3. Числа, делящиеся на 4, уже вычеркнуты, поэтому переходим к 5, затем к 7. Все оставшиеся числа (желтые клетки) – простые.

Простые числа называют кирпичами в построении математики, так как все остальные числа  можно сформировать, перемножая простые. Например, 55 = 5 × 11 75 = 3 × 5 × 5 39 = 3 × 13 65 = 5 × 13 221 =13 × 17 73 939 133 – удивительное простое число. Можно удалить с его конца любое число цифр, и оставшееся число тоже будет простым. Это наибольшее известное число, обладающее таким свойством.

Удивительная  закономерность

31 – простое 331 - простое  3331 - простое 33331- простое 333331 - простое  3333331 – простое Математики нашли  несколько очень больших простых  чисел. 23 августа 2008 года компьютеры  отдела математики университета  в Лос-Анджелесе (Калифорния) обнаружили гигантское 12 978 189-значное простое число 243 112 609 – 1, а несколько позже, 6 сентября 2008 года компьютер инженера-электрика Ханса Микаэла Элвенича из города Лангельфельда (Германия) открыл 11 185 272-значное простое число 237 156 667 - 1. Участники международного интернет-проекта, подключившие свои компьютеры к исследованию и поиску рекордных по величине простых чисел, получили крупное денежное вознаграждение от фонда Elektronik Frontiger Foundation (cайт www.mersenne.org). Числа, имеющие не менее трёх различных делителей, называются составными.

Такие ли они «простые», эти простые  числа?

Числа, которые имеют  только два различных делителя, называются простыми. Например, 7=1∙7, 23=1∙23 и т. д. Самое маленькое простое число – 2. Это единственное четное простое число.

Проведем небольшое исследование. Представим натуральные числа в  виде произведения простых множителей: 12=2∙2∙3; 18=2∙3∙3; 140=2∙2∙5∙7 и т. д. Теперь легко объяснить роль простых  чисел в математике: они являются теми кирпичиками, из которых при помощи умножения строят все остальные числа. Можно ли сосчитать все простые числа? Греческий геометр Евклид написал книгу «Начала», и одним из утверждений этой книги было следующее: самого большого простого числа не существует.

Т.к. простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел, надо было составить их список. Конечно, нельзя было надеяться получить список всех простых чисел: мы уже знаем, что наибольшего простого числа  нет. Поэтому составление списка всех простых чисел столь же безнадежное занятие, как составление списка всех натуральных чисел. Но можно попробовать составить список всех простых чисел, не превосходящих, например, тысячи. Над тем, как составлять списки, задумался живший в III веке до н. э. александрийский ученый Эратосфен. Это был удивительно разносторонний человек: он занимался и теорией чисел, и изучал звезды. Но навсегда его имя вошло в науку именно в связи с придуманным им методом отыскания простых чисел. С «решетом Эратосфена» мы знакомились по учебнику. Рассмотрим несколько других интересных методов отыскания простых чисел. Разместим последовательность натуральных чисел в 6 столбцов (см. рис.).

Получим модель «решета» Эратосфена для отсеивания простых чисел. Все  числа в кружочках – простые. Составные числа перечёркнуты. Систему проведения прямых, вычеркивающих составные числа, понять легко. Все простые числа от числа 5 и дальше свили себе гнёздышки только в 2 столбиках: в 4 и 6. Когда в какой-то строке 4 и 6 столбцов оба числа простые, то это пара «близнецов»: (5;7), (11;13), (17;19) и т.д.

Многие математики пытались вывести  формулу для отыскания простых  чисел. Живший в 17 веке во Франции математик  Пьер Ферма думал, что он нашел  такую формулу: р=22 +1. Действительно, при n=1,2,3,4 эта формула дает простые числа 5,17,257,65537. Но позднее обнаружилось, что при n = 5 получается составное число: оно делится на 641. До сих пор неизвестно, есть ли среди чисел Ферма еще хоть одно простое, кроме найденных им самим.

Еще одна из формул p = n2 - n+41. Для некоторых чисел эта формула верна, но не при n=41.

Итак, простые числа можно обнаружить только путем долгих кропотливых  расчетов. Недавно было найдено простое  число, содержащее 25692 цифры! Чтобы доказать, что оно простое, быстродействующему компьютеру потребовалось несколько недель. Как видно, простые числа ловко прячутся, и поэтому их стали использовать в секретных шифрах, а мы воспользуемся простыми числами для отыскания удивительных чисел.

Простые числа. Решето Эратосфена

Каждое натуральное число, большее единицы, делится, по крайней мере, на два числа: на 1 и на само себя. Если ни на какое другое натуральное число оно нацело не делится, то называется простым, а если у него имеются ещё какие-то целые делители, то составным. Единичка же не считается ни простым числом, ни составным.

Небольшую "коллекцию" простых чисел можно составить  старинным способом, придуманный  ещё в 3 в. до н. э. Эратосфеном Киренским, хранителем знаменитой Александрийской  библиотеки.

Выпишем несколько подряд идущих чисел, начиная с 2. Двойку отберём в свою коллекцию, а остальные числа, кратные 2, зачеркнем. ближайшим незачёркнутым числом будет 3. Возьмём в коллекцию и его, а все остальные числа, кратные 3, зачеркнем. При этом окажется, что некоторые числа уже были вычеркнуты раньше, как, например, 6, 12 и др. Следующее наименьшее незачёркнутое число - это 5. Берем пятерку, а остальные числа, кратные 5,зачеркиваем. Повторяя эту процедуру снова и снова, в конце концов добьемся того, что незачеркнутыми останутся одни лишь простые числа - они словно просеялись сквозь решето. Поэтому такой способ и получил название "решето Эратосфена".

Простых чисел бесконечное  множество.

Священое число - семь

Семь - одно из самых удивительных чисел. Таинственное число семь! Каким его только не считают: и священным, и божественным, и магическим, и счастливым.

Семь - число духовного  порядка, священное число. Согласно Священному Писанию, семь - совершенное число. Оно правит временем и пространством.

Все народы мира уделяли числу семь особое внимание.

В Египте семь - символ вечной жизни, число бога Осириса. Согласно легендам, в седьмом часу ночи к Змею Апофису подплывает лодка Ра, мертвый проходит через семь залов и семь дверей, чтобы попасть в Амерти. Кроме того, семь - символ творения (как и в христианстве).

Великий шумерский царь Лугуланнемунду, правивший в 2500 году до н. э., выстроил в своем городе Адабе храм богини Нинту. Храм имел семь ворот и семь дверей, и когда  он был завершен, его освятили семь раз, принеся в жертву семь быков и овец.

В Древней Греции семь - символ Аполлона. Аполлон родился в седьмой день месяца, его лира имела семь струн. В легендах можно встретить семь Гесперид, семь кругов ада, семь врат, семь дочерей Астарты, семь циклопов, семь детей Ниобы, семь трубок флейты Пана и т. д.

Число семь упоминается  в Ветхом и Новом Заветах 700 (!) раз. В исламской традиции существует семь невест и семь земель, семь врат рая и семь ступеней ада, семь пророков (Адам, Ной, Авраам, Моисей, Давид, Иисус, Мухамед). Во время Хаджа в Мекку, паломники должны семь раз обойти вокруг священного камня Каабы. Семь дней душа умершего проводит возле могилы. На седьмой день новорожденный получает имя. В течение семи дней Иешуа с израильтянами обходил стены Иерихона с семью жрецами, которые несли семь труб, и на седьмой день они семь раз обошли город и на седьмой раз закричали, и стены рухнули, и они уничтожили город.

Древние знали семь планет и каждой из них предавали большое  значение.

Семь - самое  таинственное и сверхъестественное число, оно является самым важным и в магии. По традиции, седьмой сын седьмого отца обладает магическими способностями.

Семь печатей, семь чаш  гнева, семь громов, семь золотых подсвечников, семь голов зверя, семь цветов радуги, семь нот, семь богатырей, семь гномов, семь дней недели, семь ветров, семь Столпов Мудрости, за семью горами, семь пядей во лбу, семь пятниц на неделе, семь, семь, семь...

Семь смертных грехов:

1. Гнев 

2. Жадность 

3. Зависть 

4. Обжорство 

5. Похоть 

6. Гордыня 

7. Лень 

Число семь встречается  очень часто в различных известных  изречениях, пословицах и поговорках, а так же в исторических фактах, что лишний раз подтверждает его  необычные свойства.

Рим построен на семи холмах в неделе семь дней под смоковницей  с семью плодами сидел Будда спектр состоит из семи основных цветов: красный оранжевый желтый зеленый голубой синий фиолетовый в музыке выделяются семь тонов (нот) звукоряда

Всем известны семь чудес света:

1 храм Артемиды в  Эфесе 

2 Мавзолей в Галикарнасе 

3 Зевс Олимпийский работы древнегреческого скульптора Фидия

4 Колосс Родосский 

5 маяк в Александрии 

6 Египетские пирамиды  и сфинкс 

7 висячие сады Семирамиды  в Вавилоне 

Цифра 7 в пословицах и поговорках:

- семь футов под  килем 

- семь раз отмерь  один раз отрежь

- седьмая вода на  киселе 

- работать до седьмого  пота 

- семь бед – один  ответ 

- семеро одного не  ждут 

- за семь верст киселя  хлебать 

- один с сошкой, а  семеро с ложкой 

- у семи нянек дитё  без глазу 

- семь пятниц на  неделе 

- семь пядей во лбу

- тайна за семью  печатями 

- для любимого дружка  семь вёрст не околица 

- для бешеной собаки  семь вёрст не круг 

- лучше семь раз  покрыться потом, чем один раз  инеем 

- сентябрьский час  - семь погод у нас 

- семи смертям не  бывать, а одной не миновать 

- за семью морями

- на седьмом небе 

- семимильными шагами 

- лук от семи недуг 

N.B. Одним подтверждением  божественности числа 7 является  открытие сделанное Иваном Паниным. 

Суть открытия заключается  в том, что в исходном тексте Библии, состоящей из Ветхого Завета, продиктованного на древнееврейском языке, и Нового Завета, продиктованного на греческом языке, в каждом слове и в каждой букве непостижимым образом закодирована цифра 7, как, впрочем, она закодирована и во всем нашем мироздании.

turboreferat.ru

Простые числа — реферат

Для нахождения дружественных  чисел арабский ученый Сабит Ибн  Курра (IX в.) предложил хитроумный способ: задавшись натуральным числом n, подсчитать спамогательные величины p= 3*2n-1 – 1, q=3*2n -1 и r= 9*2 2n – 1`-1. Если окажется, что числа p, q, r простые, тогда числа А = 2n p q и В = 2nr дружественные.

Пифагорова пара 220 и 284 получаются по этому методу при n=2. Следующую пару чисел – 17 296 и 18 416 – обнаружили независимо друг от друга марокканский ученый Ибн Аль – Банна и три столетия спустя француз Пьер Ферма. В этом случае n=4. Третью пару – 9 363 584 и 9 437 056 (при n=7) – указал в 1638 г. Рене Декарт. Дальнейшие попытки найти дружественные пары при не больших значениях n к успеху не приводят. Более того способ Сабита ибн Курры не выявляется ни одной новой пары дружественных чисел, если n увеличивать до 20 000! Неужели дружественные числа – алмазы-самородки и для подсчета их пар многовато пальцев одной руки?

В 1747-1750 гг. Леонард Эйлер  провел уникальные числовые раскопки. Он придумал оригинальные методы поиска и обнаружил сразу 61 новую пару дружественных чисел. Примечательно, что среди них оказались и  не четные числа: 69 615 и 11 498 355; 87 633 и 12 024 045. Сейчас известно около 1100 пар дружественных чисел. Любопытно, что в 1866 г. итальянский школьник Н. Паганини (однофамилец известного скрипача) нашел пару дружественных чисел 1184 и 1210, которую все, в том числе и выдающееся математики, проглядели!

Вот пары дружественных чисел  в пределе 100 000:

220 – 284

1184 – 1210

2620 – 2924

5020 – 5564

6232 – 6368

10744 – 10856

12285 – 14595

17296 – 18416

63020 – 76084

66928 – 66992

67095 – 71145

69615 – 87633

79750 – 88730

Дружественные числа продолжают скрывать множество тайн. Есть ли смешанные  пары, у которых одно число четное, а другое не четное? Существует общая  формула, описывающая все дружественные  пары? На эти и другие вопросы  ответы пока не найдены.

Из опыта вычисления люди знали, что каждое число является либо простым, либо произведением нескольких простых чисел. Но они не умели  этого доказывать. Пифагор или  кто-то из его последователей нашел  доказательство этого утверждения.

Теперь легко объяснить  роль простых чисел в математике: они являются теми кирпичиками, из которых  с помощью умножения строят все  остальные числа. Хорошо было бы, если все простые числа можно было сосчитать! Пусть их было бы хоть миллион  – все равно мы знали бы, что, перемножая эти простые числа, можем  получить все остальные. Но это оказалось  не так. Через два столетия после  Пифагора греческий геометр Евклид написал книгу «Начала». И одними из утверждений этой книги было следующее: самого большого простого числа не существует.

Простые числа в натуральном  ряде чисел, расположены очень причудливо. Иногда между ними есть только одно четное число (все простые числа, кроме числа 2, нечетные). Такими близнецами так их зовут в науке, являются: 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31. До сих пор не известно, есть ли самые большие близнецы или  нет. А иногда между соседними  простыми числами лежит пропасть в миллионы и миллиарды чисел. Первым глубокие результаты о том, как  разбросаны простые числа среди  остальных натуральных чисел, получил  великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев, основатель и руководитель русских математических исследований в прошлом веке.

§3. Проблема Гольдбаха

Из простых чисел можно  получить любое число с помощью  умножения. А что будет, если складывать простые числа? Конечно, если брать  сколько угодно слагаемых, то можно  получить любое число: четные числа  получаются путем сложения двоек, а  не четные путем сложения одной тройки и нескольких двоек. Но живший в России в XVIII веке математик Гольдбах решил складывать нечетные простые числа лишь попарно. Он обнаружил удивительную вещь: каждый раз ему удавалось представить четное число в виде суммы двух простых чисел. Вот эти разложения для двухзначных чисел (как это было во времена Гольдбаха, мы считаем 1 простым числом):

4=1+3, 6=1+5, 8=1+7, 10=3+7, 12=5+7, 14=3+11,

16=3+13, 18=5+13, 20=3+17, 22=11+11, 24=11+13,

26=13+13, 28=23+5, 30=23+7, 32=19+13, 34=17+17,

36=17+19, 38=19+19, 40=37+3, 42=37+5, 44=37+7,

46=23+23, 48=47+1, 50=47+3, 52=47+5, 54=47+7,

56=53+3, 58=53+5, 60=53+7, 62=31+31, 64=61+3,

66=61+5, 68=61+7, 70=67+3, 72=67+5, 74=37+37,

76=73+3, 78=73+5, 80=73+7, 82=41+41, 84=41=43,

86=43+43, 88=87+1, 90=87+3, 92=87+5,94=87+7,

96=89+7, 98=97+1.

О своем наблюдении Гольдбах написал великому математику XVIII века Леонарду Эйлеру, который был членом Петербургской академии наук. Проверив еще много четных чисел, Эйлер убедился, что все они являются суммами двух простых чисел. Но четных чисел бесконечно много. По этому вычисления Эйлера давали надежду на то, что свойством, которое заметил Гольдбах, обладают все числа. Однако попытки доказать, что это всегда будет так, ни к чему не привели.

Двести лет математики размышляли над проблемой Гольдбаха. И только советскому ученому Ивану  Матвеевичу Виноградову удалось  сделать решающий шаг. Он установил, что любое достаточно большое натуральное число является суммой трех простых чисел. Но число, начиная с которого верно утверждение Виноградова, невообразимо велико. По этому пока что, к сожалению, нет надежды даже с помощью самых лучших ЭВМ проверить, верно ли это утверждение для всех остальных чисел.

Алгоритм

Для нахождения всех простых  чисел не больше заданного числа  n, следуя методу Эратосфена, нужно выполнить следующие шаги:

1) Выписать подряд все  целые числа от 2 до n (2,3,4…,n)

2) Пусть переменная p изначально равна 2-первому простому числу.

3) Вычеркнуть из списка  все числа от 2p до n, делящиеся на p (то есть, числа 2p,3p,4p,… .)

4) Найти первое невычеркнутое  число, большее, чем р, и присвоить  значению переменной p это число.

5) Повторять шаги 3 и 4 до  тех пор, пока p не станет больше, чем n.

6) Все невычеркнутые числа  в списке - простые числа.

На практике, алгоритм можно  немного улучшить следующим образом.

На шаге №3, числа можно  вычеркивать, начиная сразу с  числа p2, потому что все составные числа меньше его уже будут вычеркнуты к этому времени.

И, соответственно, останавливать  алгоритм можно, когда p2 станет больше, чем n.

§4. Задачи

1. В некотором царстве, в некотором государстве жила принцесса. И однажды ей захотелось узнать ответ на свой вопрос о соседнем королевстве. В соседнем королевстве было 12 фей. За ночь всем феям надо было выполнить одинаковое количество желаний. Всего им надо было выполнить 144 желания. И принцессе захотелось узнать, сколько желаний должна выполнить одна фея за ночь. Но чтобы узнать ответ на вопрос, принцессе надо было слетать в соседнее королевство и спросить у фей. Долететь до королевства принцесса поручила дракону и дала ему на всю дорогу 6 часов. Расстояние до королевства 448,8 км. С какой скоростью должен лететь дракон, чтобы успеть слетать и туда, и обратно?

Решение

1) 6:2=3 (часа)- за  такое время дракон должен  слетать туда или обратно.

2) 448,8:3=149,6 (км/ч)- с  такой скоростью должен лететь  дракон, что бы прилететь в своё королевство вовремя.

Дракону надо лететь со скоростью 149,6 км/ч, что прилететь  в своё королевство вовремя.

Тем времен дракон прилетел в соседнее королевство. Решение  вопроса принцессы оказалось  очень простым:

Решение

1) 144:12=12(желаний)- должна выполнить 1 фея за ночь.

1 фея должна  выполнить 12 желаний за ночь.

Дракон прилетел обратно и получил за ответ  на вопрос принцессы вознаграждение: 1,2 кг мороженого. Он решил поделиться мороженым с друзьями. Друзей у  него было 7. Сколько мороженого досталось  каждому другу и самому дракону?

Решение

1) 7+1=8- друзья и  сам дракон.

2) 1,2:8=0,15(кг)- досталось  каждому другу и самому дракону.

0,15 кг мороженого  досталось каждому другу и  самому дракону.

2. Принцесса решила позвать к себе на работу 7 гномов, чтобы они искали изумруды. И сказала им, что за неделю они должны найти 147 изумрудов. А сама принцесса решила узнать: сколько 7 гномов должны найти изумрудов за 1 день? Сколько 1 гном должен найти изумрудов за 1 день? Сколько 1 гном должен найти изумрудов за неделю?

Решение

1) 147:7=21(изумруд)- должны найти 7 гномов за 1 день.

2) 21:7=3(изумруда)- должен найти 1 гном за 1 день.

3) 3*7=21(изумруд)- должен  найти 1 гном за неделю.

21 изумруд должны  найти 7 гномов за 1 день, 3 изумруда  должен найти 1 гном за 1 день, 21 изумруд должен найти 1 гном  за неделю. Гномам надо было  где-то жить. Принцесса решила  отдать им подвал. В подвале  было 476м2. Сколько каждому гному должно достаться м2, чтобы каждому гному досталось одинаковое количество м2?

Решение

1) 476:7=68(м2)- достанется каждому гному.

Каждому гному  достанется по 68м2.

3. Как-то раз к принцессе пришла Красная шапочка и сказала, что не умеет делить. Она приготовила 381 пирожок и должна раздать его 3 своим бабушкам. Но она не знает, сколько пирожков должно достаться каждой бабушке. Принцесса стала считать:

Решение

1) 381:3=127 (пирожков)- достанется каждой бабушке.

Принцесса сказала  Красной шапочке, что каждой бабушке  достанется по 127 пирожков.

Индийские математики нашли уникальный алгоритм поиска простых  чисел.

Индийские математики и специалисты в области компьютерного  обеспечения заявляют, что разработали  метод, позволяющий безошибочно  и быстро определять, простым ли является то или иное число. Проблема быстрого определения простых чисел, над которой исследователи бились в течение более чем 2200 лет, является важнейшей в улучшении современной компьютерной техники.

Простые числа - это  ключ к разрешению многих математических проблем, они также играют большую  роль в криптографии (шифровании), благодаря  чему интересуют не только математиков, но и военных, разведку и контрразведку. Простое число - то, которое делится  без остатка только на единицу  и на само себя. Так, к простым  числам относятся 2, 3, 5, 7, 11, 13 и так  далее по возрастающей.

Первым проблему определения простых чисел поставил древнегреческий ученый Эратосфен  примерно в 220 году до нашей эры, предложив  один из путей определения простых  чисел. С тех пор ученые постепенно продвигались вперед, а в последние  десятилетия им на помощь в проверке делимости огромных чисел пришли компьютеры. Математики, а позже  и специалисты по компьютерному  программированию разработали много  способов решения этой проблемы, однако все они несут небольшую потенциальную  возможность ошибки.

"Наш алгоритм  исключает вероятность любой  ошибки", - заявил основной разработчик  нового метода Маниндра Агравал.  Результаты вычислений уже разосланы  ведущим компьютерным специалистам  и математикам во всем мире. Ученые еже получили несколько  отзывов. Никто не высказывает  сомнений в новом алгоритме,  и все выражают удовлетворение  достигнутым результатом, сообщает  NTVRU.com.

Заключение

В данной работе рассмотрены  вопросы:

• История возникновения простых чисел;
• Рассмотрен алгоритм нахождения простых чисел;
• Названы имена ученых, которые занимались изучениям простых чисел;
• подобраны задачи на простые числа.

Данную работу можно использовать на уроках математики, и в кружковой  работе, что бы не казалось, что наука  математика это сухая, сухая неинтересная наука.

Поставленные задачи решены.

Библиография

1. Книга одного автора

1. Агеева И.Д. Занимательные материалы по информатике и математике. Методическое пособие. М.: Ту. Сфера, 2006 240с (игровые методы обучения).

2. Книга двух авторов

1. Шейнина О.С., Соловьева  Г.М. Математика. Занятия школьного  кружка 5-6 кл. М.: изд во нц энас, 2005, 208с (портфель учителя)

2. Математика: Учеб. Для 5 кл. общеобразовательное учреждений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин. С.Б. Суворова и др.; Под редакцией Г.В. дорофеева, И.Ф. Шарыгина. М.: Просвещения, 1998. 368с.: ил. ISBN 5 09 008059 3

3. Описание сборников с общим заглавием

1. Занимательные дидактические материалы по математике. Сборник заданий. Выпуск 2 В.В. Трошин М.: Глобус, 2008 282с. (учение с увлечением).

myunivercity.ru

Роль простых чисел в математике - реферат

РОЛЬПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В МАТЕМАТИКЕКаждое натуральноечисло, больше единицы, делится по крайней мере на два числа: на 1 и на самосебя. Если ни на какое другое натуральное число оно на целое не делится, тоназывается простым, а если у него имеются ещё какие- то целые делители,то составным. Не о всяком числе можно сразу сказать, простое оно илисоставное. Возьмем, например, число 1999. Если нет под рукой специальныхсправочных таблиц или помощника компьютера, то придется вспомнить о старом, нонадежном решете Эратосфена. Старинный способ, придуманный еще в 3 в. До н. э.Эратосфеном Киренским, хранителем знаменитой Александрийской библиотеки. Выпишем несколькоподряд идущих чисел, начиная с 2. Двойку отберем в свою коллекцию, а остальныечисла, кратные 2, зачеркнем. Ближайшим не зачеркнутым числом будет 3. Возьмем вколлекцию и его, а все остальные числа, кратные 3, зачеркнем. При этом окажется,что некоторые числа уже были вычеркнуты раньше, как, например, 6, 12 и другие.Следующее наименьшее не зачеркнутое число-это 5. Берем пятерку, а остальные числа,кратные 5, зачеркиваем. Повторяя эту процедуру снова и снова, мы в конце концовдобьемся того, что не зачеркнутыми останутся одни лишь простые числа- онисловно просеялись сквозь решето. Поэтому такой способ и получил название РЕШЕТОЭРАТОСФЕНА. Можно ли, повторять поэту, сказать, что простых чисел столько, “сколько звезд на небе, сколько рыб в воде”? Ответ находим в девятой книгезнаменитого сочинения Евклида” Начала”- нетленного памятника Древнего мира.Двадцатая теорема в этой книге утверждает: ”Первых (простых) чисел существуетбольше любого указанного числа их”.Вот доказательство этойтеоремы. Предположим, что существует некое наибольшее простое число P.Тогда перемножим все простые числа, начиная с 2 и кончая P,и увеличим полученное произведение на единицу: 2 3 5 7*… P+ 1 = M. Если число Мсоставное, то оно должно иметь по крайней мере один простой делитель. Но этимделителем не может быть ни одно из простых чисел 2, 3, 5, …, Р,поскольку при делении М на каждое из них получаем в остатке 1. Следовательно,число М либо само простое, либо делится на простое число, большее Р. Значит,предположение, что существует наибольшее простое число Р, наверно и множествопростых чисел бесконечно.Не о всяком числе можносразу сказать, простое оно или составное. Возьмем, например, число 1999. Еслинет под рукой специальных справочных таблиц или помощника-компьютера, топридется вспомнить о старом, но надежном решете Эратосфена. Первую известную намтаблицу простых чисел составил итальянский математик Пьетро Антонио Катальди в1603 г. Она захватывала все простые числа от 2 до 743 В 1770 г. Немецкийматематик Иоганн Генрих Ламберт опубликовал таблицу наименьших делителей всех чисел,не превосходящих 102000 и не делящихся на 2, 3, 5. Вложив в этот труд поистине колоссальныеусилия, Ламберт гарантировал бессмертие тому, кто доведет таблицу делителей домиллиона. На его призыв откликнулись многие вычислители. К середине 19 века ужебыли составлены таблицы наименьших делителей не только первого миллиона, но иследующих, в плоть до 9. В это же время в прессе появились сообщения, которыепредставлялись абсолютно фантастическими: в Венскую академию поступило 7больших томов рукописных таблиц “Великий канон делителей всех чисел, которые неделятся на 2, 3 и 5, и простых чисел между ними до 100330201”. Автором этоготруда был Якуб Филипп Кулик, профессор высшей математики Пражскогоуниверситета. В дальнейшем поискепростых чисел уже не носили характера массовой охоты, с которой можно сравнитьсоставление таблиц, а превратились в целенаправленный отбор отдельныхпредставителей. У охотников за числами больше всего популярны простые числаМарсена. Они названы в честь французского ученого Марена Марсенна, Сыгравшего в18в. Видную роль в становлении европейской науки. Некоторые представленияо распределения простых чисел имели уже древние греки. Из доказательстваЕвклида следует, например, что они не собраны вместе, а разбросаны по всейчисловой оси. Но как часто?В 1845 г французскийматематик Жозеф Бертан, исследуя таблицу простых чисел в промежутке от 1 до6000000, обнаружил, что между числами nиn2 – 2, где n> 3, содержится по крайней мере одно простое число. В последствии этосвойство получило название постулата Бертрана, хотя самому Бертануобосновать его так и не удалось. Доказал его в 1852 г русский математикПафнутий Львович Чебышев. Из результата Чебышева следовала и более точнаяоценка. Таким образом, даже среди очень больших чисел простые числа не так ужредки. С другой стороны,существуют промежутки, включающие тысячи, миллионы, миллиарды и вообще какоеугодно большое количество подряд стоящих натуральных чисел, среди которыхнельзя найти ни одного простого! В самом деле, задавшись произвольным большимнатуральным числом к, построим ряд чисел к! +2,к! +3,…, к!+ к (здесь к! = 1*2*3*…*к). Каждое из этих чиселсоставное. Например, число к! + м делится на м, поскольку к!делится на м и само м делится нам.Простые числа,делящихся только на единицу и на самих себя(2,3,5,7,11,13,17,…), с давнихвремен привлекают внимание математиков. Более двух тысяч лет назад великийдревнегреческий математик Евклид доказал, что ряд простых чисел бесконечен.Простые числа следуют одно за другим по закону, который еще не найден. Этичисла то на долго исчезают из натурального ряда, то по являются в нем часто, аиногда и по соседству: 11,13,;5971847,5971849.Профессор И.К. Андроновв книге > приводит рассказ овоображаемом путешествии по бесконечной дороге простых чисел:Мысленно подвесим напровод через каждый метр электрические лампочки, нумеруя их, начиная сближней:1,2,3,…,1 000,…,1 000 000,…, включим ток с таким расчетом, чтобызагорелись все лампочки с простыми номерами, и полетим вблизи провода>>.Вместе с автором этойкниги мы начинаем движение с первой электрической лампочки, которая не осветиланам старта; она не горит, так как ее номер (единица) не является простымчислом. Сразу за ней две лампочки с номерами 2 и 3 включены, эти числа простые. Оставим позади горящие лампочки 5 и 7. Они пронумерованы простыми числами. Нанашем длинном пути очень редко будут попадаться числа-близнецы. Вотпромелькнули следующие числа-близнецы: 11 и 13, 17 и 19. Мы быстро набираемскорость; оставляя позади лампочки 101 и 103, 827 и 829; теперь реже и режевстречаются освещенные островки из лампочек, пронумерованы простымичислами-близнецами. Вот на фоне темноты и мрака засверкали лампочки с номерами10 016 957и 10 016 959;это последняя пара известных простых чисел-близнецов. Возможно, где то вбесконечных просторах обрадуют наш взор еще пара светящихся лампочек, или такиеблизнецы исчезнут на всегда. Нам встречаются участки, довольно часто освещаемыелампочками, но чаще путь проходит в темноте. Из первого миллиона промелькнуловсего 78 498 горящихлампочек, 921 502 не горели.Однако мы только началидвижение, они еще встретятся, но в какой миг? Закономерности нет. Как и пространство,множество простых чисел бесконечно. Бесконечный ряд чисел, который мы врезультате счета предметов, называется НАТУРАЛЬНЫМ РЯДОМ ЧИСЕЛ: 1,2,3,4,5,….Среди натурального ряда чисел мы выделяем простые числа. Простыми числаминазываются такие, которые делятся на 1 и на самих себя. Наименьшее простоечисло2.Выделение простых чиселявляется сложной задачей математики. Ученые на протяжении многих веков пытаютсянайти формулу, которая позволила бы из множества натуральных чисел выписатьпростые. Первый, кто занимался этой задачей, был великий математик древностиЭратосфен, живший почти 2 300лет назад. Эратосфен был главным библиотекарь знаменитой Александрийскойбиблиотеки, математиком, географом, историком, астрономом, философом и поэтом.Эратосфен вычислил наклон эклиптики – большой окружности сферы, по которойпроходит видимое годичное движение солнца, расстояние от солнца и луны, длинуземного меридиана (измерив расстояние от Асуана до Александрии), составив картумира с учетом шарообразности Земли и т. д.Способ Эратосфенасоставления таблиц простых чисел чрезвычайно прост и не требует проверки чиселна делимость. Он воспользовался особым методом, который был назван в честьученого >. Чтобы очистить зерно, мы егопросеиваем. Подобно этому Эратосфен > числанатурального ряда, пользуясь особым приёмом.Допустим, что быливыписаны ( в таблице из 10рядов ) все по следовательно от 1 до 100. Преждевсего надо > все четные числа, кроме 2. Подчеркнувчисло2, остальные числа, делящиеся на 2, зачеркнем. После 2 в таблице идетпростое число 3. Подчеркнем число 3 как простое, а все остальные, делящееся на3, зачеркнем. ( Числа, кратные 3, стоят на местах через два на третье.) теперьследующее простое число 5, которое опять подчеркиваем; выбрасываем все числа,кратные 5, которые расположены на местах через четвертое на пятое, считая ранеезачеркнутые. Дальше подчеркиваем следующее число 7 и зачеркиваем числа,делящиеся на 7, и т. д. Заметьте, что из всех натуральных чисел не зачеркнутымиостаются простые числа. Эратосфен у каждого составного числа прокладывалотверстие, и получалось нечто вроде решета, через которое эти составные числа>.Древне греческих ученыхзаинтересовало: сколько может быть простых чисел в натуральном ряду? Ответил наэтот вопрос Евклид, доказав, что простых чисел бесконечное множество.Однако способЭратосфена не смог удовлетворить ученых, и они пытались найти формулу простыхчисел. На протяжении многих столетий это сделать не удавалось. В ряду простыхчисел были найдены многие интересные закономерности, но поставленная задачаоставалась без ответа. Первым приблизился к решению проблем простых чисел П.Л.Чебышев.В 1750 г. Леонард Эйлерустановил, что число 2³¹ — 1 является простым. Оно оставалось самымбольшим из известных простых чисел более ста лет. В 1876 г. Французскийматематик Лукас установил, что огромное число2127 — 1 = 170 141 183 560 469 231 731 687 303 715 884 105727также простое. Оно содержит 39 цифр. Для его вычисления были механическиенастольные счетные машины. В 1957 г. было найдено следующее простое число:23217 – 1. А простое число 244 497– 1 состоит из 13 000 цифр.УЗЫДРУЖБЫ В МИРЕ ЧИСЕЛДва натуральных числа mи n называются дружественными, еслисумма собственных делителей mравнаn, асумма собственных делителей nравнаm.История дружественныхчисел теряется в глубине веков. По свидетельству античного философа Ямвлиха(III-IVвв.), великий Пифагор на вопрос, кого следует считать своим другом,ответил:>.Проверьте, пожалуйста, что числа 220 и 284 дружественные.Для нахождениядружественных чисел арабский ученый Сабит Ибн Курра (IXв. ) предложил хитроумный способ: задавшись натуральным числом n,подсчитать спамогательные величины p=3*2n-1– 1, q=3*2n-1 и r= 9*2 2n– 1`-1. Если окажется, что числа p,q, rпростые, тогда числа А = 2np qи В = 2nr дружественные.Пифагорова пара 220 и284 получаются по этому методу при n=2.Следующую пару чисел – 17 296и 18 416 – обнаружилинезависимо друг от друга марокканский ученый Ибн Аль – Банна и три столетияспустя француз Пьер Ферма. В этом случае n=4.Третью пару – 9 363 584и 9 437 056(при n=7) – указал в 1638 г.Рене Декарт. Дальнейшие попытки найти дружественные пары при не большихзначениях n к успеху не приводят. Болеетого способ Сабита ибн Курры не выявляется ни одной новой пары дружественныхчисел, если n увеличивать до 20 000!Неужели дружественные числа – алмазы-самородки и для подсчета их пар многоватопальцев одной руки?В 1747-1750 гг. ЛеонардЭйлер провел уникальные числовые раскопки. Он придумал оригинальные методыпоиска и обнаружил сразу 61 новую пару дружественных чисел. Примечательно, чтосреди них оказались и не четные числа: 69 615и 11 498 355;87 633 и 12 024 045.Сейчас известно около 1100 пар дружественных чисел. Любопытно, что в 1866 г.итальянский школьник Н. Паганини (однофамилец известного скрипача) нашел парудружественных чисел 1184 и 1210, которую все, в том числе и выдающеесяматематики, проглядели!Вот пары дружественныхчисел в пределе 100 000:220 – 2841184 – 12102620 – 29245020 – 55646232 – 636810744 – 1085612285 – 1459517296 – 1841663020 – 7608466928 – 6699267095 – 7114569615 – 8763379750 – 88730Дружественные числапродолжают скрывать множество тайн. Есть ли смешанные пары, у которых одночисло четное, а другое не четное? Существует общая формула, описывающая вседружественные пары? На эти и другие вопросы ответы пока не найдены.Из опыта вычислениялюди знали, что каждое число является либо простым, либо произведениемнескольких простых чисел. Но они не умели этого доказывать. Пифагор или кто-тоиз его последователей нашел доказательство этого утверждения.Теперь легко объяснитьроль простых чисел в математике: они являются теми кирпичиками, из которых спомощью умножения строят все остальные числа. Хорошо было бы, если все простыечисла можно было сосчитать! Пусть их было бы хоть миллион – все равно мы зналибы, что, перемножая эти простые числа, можем получить все остальные. Но этооказалось не так. Через два столетия после Пифагора греческий геометр Евклиднаписал книгу >. И одними из утверждений этой книги былоследующее: самого большого простого числа не существует.Простые числа внатуральном ряде чисел, расположены очень причудливо. Иногда между ними естьтолько одно четное число (все простые числа, кроме числа 2, нечетные). Такимиблизнецами так их зовут в науке, являются: 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31. До сихпор не известно, есть ли самые большие близнецы или нет. А иногда междусоседними простыми числами лежит пропасть в миллионы и миллиарды чисел. Первымглубокие результаты о том, как разбросаны простые числа среди остальныхнатуральных чисел, получил великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев,основатель и руководитель русских математических исследований в прошлом веке.ПРОБЛЕМАГОЛЬДБАХАИз простых чисел можнополучить любое число с помощью умножения. А что будет, если складывать простыечисла? Конечно, если брать сколько угодно слагаемых, то можно получить любоечисло: четные числа получаются путем сложения двоек, а не четные путем сложенияодной тройки и нескольких двоек. Но живший в России в XVIIIвеке математик Гольдбах решил складывать нечетные простые числа лишь попарно.Он обнаружил удивительную вещь: каждый раз ему удавалось представить четноечисло в виде суммы двух простых чисел. Вот эти разложения для двухзначных чисел(как это было во времена Гольдбаха, мы считаем 1 простым числом): 4=1+3, 6=1+5, 8=1+7,10=3+7, 12=5+7, 14=3+11,16=3+13, 18=5+13,20=3+17, 22=11+11, 24=11+13,26=13+13, 28=23+5,30=23+7, 32=19+13, 34=17+17,36=17+19, 38=19+19,40=37+3, 42=37+5, 44=37+7,46=23+23, 48=47+1,50=47+3, 52=47+5, 54=47+7,56=53+3, 58=53+5,60=53+7, 62=31+31, 64=61+3,66=61+5, 68=61+7,70=67+3, 72=67+5, 74=37+37,76=73+3, 78=73+5,80=73+7, 82=41+41, 84=41=43,86=43+43, 88=87+1,90=87+3, 92=87+5,94=87+7,96=89+7, 98=97+1.О своем наблюденииГольдбах написал великому математику XVIIIвека Леонарду Эйлеру, который был членом Петербургской академии наук. Проверивеще много четных чисел, Эйлер убедился, что все они являются суммами двухпростых чисел. Но четных чисел бесконечно много. По этому вычисления Эйлерадавали надежду на то, что свойством, которое заметил Гольдбах, обладают всечисла. Однако попытки доказать, что это всегда будет так, ни к чему не привели.Двести лет математикиразмышляли над проблемой Гольдбаха. И только советскому ученому ИвануМатвеевичу Виноградову удалось сделать решающий шаг. Он установил, что любоедостаточно большое натуральное число является суммой трех простых чисел. Ночисло, начиная с которого верно утверждение Виноградова, невообразимо велико.По этому пока что, к сожалению, нет надежды даже с помощью самых лучших ЭВМпроверить, верно ли это утверждение для всех остальных чисел.  АЛГОРИТМДлянахождения всех простых чисел не больше заданного числа n, следуя методу Эратосфена, нужновыполнить следующие шаги:1) Выписатьподряд все целые числа от 2 до n (2,3,4…,n)2) Пустьпеременная p изначально равна 2-первому простому числу.3)Вычеркнуть из списка все числа от 2p до n, делящиеся на p (то есть, числа 2p,3p,4p,… .)4) Найтипервое невычеркнутое число, большее, чем р, и присвоить значению переменной p это число.5)Повторять шаги 3 и 4 до тех пор, пока p не станет больше, чем n.6) Всеневычеркнутые числа в списке — простые числа.Напрактике, алгоритм можно немного улучшить следующим образом.На шаге №3,числа можно вычеркивать, начиная сразу с числа p2, потому что все составные числа меньше его уже будут вычеркнуты кэтому времени.И,соответственно, останавливать алгоритм можно, когда p2 станет больше, чем n.ЗАДАЧИВ некотором царстве, в некотором государствежила принцесса. И однажды ей захотелось узнать ответ на свой вопрос о соседнемкоролевстве. В соседнем королевстве было 12 фей. За ночь всем феям надо быловыполнить одинаковое количество желаний. Всего им надо было выполнить 144желания. И принцессе захотелось узнать, сколько желаний должна выполнить однафея за ночь. Но чтобы узнать ответ на вопрос, принцессе надо было слетать всоседнее королевство и спросить у фей. Долететь до королевства принцессапоручила дракону и дала ему на всю дорогу 6 часов. Расстояние до королевства 448,8км. С какой скоростью должен лететь дракон, чтобы успеть слетать и туда, иобратно?Решение1) 6:2=3 (часа)- за такое время дракон долженслетать туда или обратно.2) 448,8:3=149,6 (км/ч)- с такой скоростьюдолжен лететь дракон, что бы прилететь в своё королевство вовремя.( Задачу придумала Сторожева Яна).Дракону надо лететь со скоростью 149,6 км/ч,что прилететь в своё королевство вовремя.Тем времен дракон прилетел в соседнеекоролевство. Решение вопроса принцессы оказалось очень простым:Решение1) 144:12=12(желаний)- должна выполнить 1 феяза ночь.( Задачу придумала Бордюгова Анастасия).1 фея должна выполнить 12 желаний за ночь.Дракон прилетел обратно и получил за ответ навопрос принцессы вознаграждение: 1,2 кг мороженого. Он решил поделитьсямороженым с друзьями. Друзей у него было 7. Сколько мороженого досталоськаждому другу и самому дракону?Решение1) 7+1=8- друзья и сам дракон.2) 1,2:8=0,15(кг)- досталось каждому другу исамому дракону.( Задачу придумала Хисемятдинова Нейля).0,15 кг мороженого досталось каждому другу исамому дракону.Принцесса решила позвать к себе на работу 7гномов, чтобы они искали изумруды. И сказала им, что за неделю они должны найти147 изумрудов. А сама принцесса решила узнать: сколько 7 гномов должны найтиизумрудов за 1 день? Сколько 1 гном должен найти изумрудов за 1 день? Сколько 1гном должен найти изумрудов за неделю?Решение1) 147:7=21(изумруд)- должны найти 7 гномов за1 день.2) 21:7=3(изумруда)- должен найти 1 гном за 1день.3) 3*7=21(изумруд)- должен найти 1 гном занеделю.( Задачу придумала Сторожева Яна).21 изумруд должны найти 7 гномов за 1 день, 3изумруда должен найти 1 гном за 1 день, 21 изумруд должен найти 1 гном занеделю. Гномам надо было где-то жить. Принцесса решила отдать им подвал. В подвалебыло 476м2. Сколько каждому гному должно достаться м2,чтобы каждому гному досталось одинаковое количество м2?Решение1) 476:7=68(м2)- достанется каждомугному.( Задачу придумала Бордюгова Анастасия).Каждому гному достанется по 68м2.Как-то раз к принцессе пришла Красная шапочка исказала, что не умеет делить. Она приготовила 381 пирожок и должна раздать его3 своим бабушкам. Но она не знает, сколько пирожков должно достаться каждойбабушке. Принцесса стала считать:Решение1) 381:3=127 (пирожков)- достанется каждойбабушке.( Задачу придумала Хисемятдинова Нейля).Принцесса сказала Красной шапочке, что каждойбабушке достанется по 127 пирожков. Красная шапочка пИндийские математики нашли уникальный алгоритмпоиска простых чиселИндийские математики и специалисты в областикомпьютерного обеспечения заявляют, что разработали метод, позволяющийбезошибочно и быстро определять, простым ли является то или иное число.Проблема быстрого определения простых чисел, над которой исследователи бились втечение более чем 2200 лет, является важнейшей в улучшении современнойкомпьютерной техники.Простые числа — это ключ к разрешению многихматематических проблем, они также играют большую роль в криптографии(шифровании), благодаря чему интересуют не только математиков, но и военных,разведку и контрразведку. Простое число — то, которое делится без остаткатолько на единицу и на само себя. Так, к простым числам относятся 2, 3, 5, 7,11, 13 и так далее по возрастающей.Первым проблему определения простых чисел поставилдревнегреческий ученый Эратосфен примерно в 220 году до нашей эры, предложиводин из путей определения простых чисел. С тех пор ученые постепеннопродвигались вперед, а в последние десятилетия им на помощь в проверкеделимости огромных чисел пришли компьютеры. Математики, а позже и специалистыпо компьютерному программированию разработали много способов решения этойпроблемы, однако все они несут небольшую потенциальную возможность ошибки. «Наш алгоритм исключает вероятность любойошибки», — заявил основной разработчик нового метода Маниндра Агравал.Результаты вычислений уже разосланы ведущим компьютерным специалистам иматематикам во всем мире. Ученые еже получили несколько отзывов. Никто невысказывает сомнений в новом алгоритме, и все выражают удовлетворениедостигнутым результатом, сообщает NTVRU.com.

ЗАКЛЮЧЕНИЕВ даннойработе рассмотрены вопросы:Историявозникновения простых чисел.Рассмотреналгоритм нахождения простых чисел.Названыимена ученых, которые занимались изучениям простых чисел.А такжеподобраны задачи на простые числа.Даннуюработу можно использовать на уроках математики, и в кружковой работе, что бы неказалось, что наука математика это сухая, сухая неинтересная наука.

БИБЛИОГРАФИЯ 1. Шейнина О.С., Соловьева Г.М. Математика. Занятия школьногокружка 5 6 кл. М.: изд во нц энас, 2005 208с (портфель учителя)2. Агеева И.Д. Занимательные материалы по информатике иматематике. Методическое пособие. М.: Ту. Сфера, 2006 240с (игровые методыобучения).3. Математика: Учеб. Для 5 кл. общеобразовательное учреждений /Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин. С.Б. Суворова и др.; Под редакцией Г.В. дорофеева,И.Ф. Шарыгина. М.: Просвещения, 1998. 368с.: ил. ISBN 5 09 008059 34. Занимательные дидактические материалы по математике. Сборникзаданий. Выпуск 2 В.В. Трошин М.: Глобус, 2008 282с. (учение с увлечением).

2dip.su

Смотрите также

• 
  Курская битва реферат
• 
  Кольчатые черви реферат
• 
  Тригонометрические функции реферат
• 
  Электрические станции реферат
• 
  Врачебная ошибка реферат
• 
  Возникновение философии реферат
• 
  Сотовая связь реферат
• 
  Реферат оздоровительный бег
• 
  Реферат социальная педагогика
• 
  Реферат о частушках
• 
  Республика алтай реферат