Основное уравнение гидростатики. Основное уравнение гидростатики реферат

Основное уравнение гидростатики | Бесплатные курсовые, рефераты и дипломные работы

Гидростатика

Гидростатика изучает законы равновесия жидкости. Под равновесием понимается отсутствие перемещения частиц жидкости относительно стенок сосуда и друг друга. При этом если стенки сосуда неподвижны, то говорят об абсолютном равновесии, если сосуд движется, то имеют в виду равновесие жидкости.

Жидкость при этом рассматривается как непрерывная среда, заполняющая пространство полностью без пустот и промежутков.

Вследствие текучести жидкости в ней не могут действовать сосредоточенные силы, а возможно лишь действие сил, непрерывно распределенных по ее объему или по поверхности. Поэтому силы, действующие на рассматриваемые объемы жидкости и являющиеся по отношению к ним внешними силами, подразделяются на массовые и поверхностные.

Массовые силы пропорциональны массе жидкого тела или для однородной жидкости пропорциональны его … объему. Это силы тяжести и силы инерции переносного движения.

Поверхностные силы непрерывно распределены по поверхности жидкости и пропорциональны величине этой поверхности.

Поверхностная сила , действующая на площади , направлена под некоторым углом к ней и силу можно разложить на нормальную и тангенциальную составляющие. Первая направлена внутрь объема и называется силой давления, а вторая силой трения.

Выделив некоторую площадь, получим следующие определения:

— отношение силы трения к площади поверхности трения называется касательным напряжением трения

— отношение силы давления к площади поверхности воздействия называется средним гидростатическим давлением

При неограниченном уменьшении площади участка поверхности получим соответственно касательное напряжение и гидростатическое давление в точке:

Гидростатическоедавление обладает двумя свойствами:

1. Всегда направлено по нормали внутрь рассматриваемого объема жидкости и является сжимающим.

2. В любой точке покоящейся жидкости не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует, т.е. оно действует одинаково по всем направлениям.

Первое свойство доказывается тем, что если бы в покоящейся жидкости была бы касательная составляющая, то она бы вывела жидкость из состояния равновесия и она начала бы двигаться вдоль площадки, т.е. перестала быть неподвижной.

Второе свойство доказывается следующим образом:

Выделим в жидкости элементарный объем в виде прямоугольного тетраэдра с произвольными ребрами . При этом произвольно наклоненная плоскость тетраэдра имеет

площадь и вдоль ее нормали действует давление . Сумма массовой и всех поверхностных сил, действующих на выделенный объем равна нулю. В частности, для сил, действующих вдоль оси

где — проекция единичной массовой силы;

— плотность жидкости.

Учитывая, что , получим .

При уменьшении объема до точки приходим к равенству . Аналогично можно получить равенство и . Таким образом, в любой внутренней точке жидкости гидростатическое давление по всем направлениям одинаково.

Основное уравнение гидростатики

Определим условия равновесия жидкости.

Жидкость содержится в сосуде. На ее свободную поверхность действует давление . Найдем величину гидро-статического давления в произво-льно взятой точке М, расположенной на глубине .

У точки М, как центра, возьмем элементарную горизонтальную площадку и построим на ней вертикальный цилиндрический объем высотой . Запишем сумму всех сил, действующих на рассматриваемый объем в вертикальном направлении:

Отсюда, сократив :

Величина является одинаковой для всех точек объема жидкости, поэтому, учитывая второе свойство гидростатического давления можно сказать, что давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается всем точкам этой жидкости по всем направлениям одинаково.Это закон Паскаля.

Обозначив через координату точки М, а через — координату свободной поверхности жидкости и учитывая, что , получим

,

но так как точка М взята нами произвольно, то для всего рассматриваемого неподвижного объема жидкости

Координата называется нивелирной высотой.

Величина — пьезометрической высотой.

Сумма — гидростатическим напором.

Покажем то же более строго посредством интегрирования дифференциальных уравнений равновесия жидкости: для чего выделим элементарный прямоугольный объем жидкости.

В общем случае давление в различных точках жидкости неодинаково. Это изменение в пространстве характеризу-ется градиентами давления: .

На поверхность действует сила на противоположную – сила Таким образом на параллелепипед вдоль оси действует результирующая поверхностных сил .

С учетом массовой силы уравнения равновесия выделенного объема по всем осям будут:

или в форме уравнений Эйлера:

Сложив уравнения и выделив полный дифференциал давления , получим окончательную запись общего уравнения гидростатики:

загрузка…

При абсолютном покое , поэтому общее уравнение гидростатики для этого случая:

,

где — ускорение свободного падения.

После интегрирования получим:

или

учитывая, что —

refac.ru

Основное уравнение гидростатики

Количество просмотров публикации Основное уравнение гидростатики - 260

Рассмотрим случай равновесия жидкости в состоя­нии ʼʼабсолютного покояʼʼ, ᴛ.ᴇ. когда на жидкость дейст­вует только сила тяжести. Поскольку объём жидкости в сосуде мал по сравнению с объёмом Земли, то уровень свободной поверхности жидкости в сосуде можно счи­тать горизонтальной плоскостью. Давление на свобод­ную поверхность жидкости равно атмосферному давле­ нию р0. Определим давление р в произвольно выбран­ной точке М, расположенной на глубинœе h. Выделим

около точки М горизонтальную площадку площадью dS . Построим на данной площадке вертикальное тело, ограниченное снизу самой площадкой, а сверху (в плоскости свобод­ной поверхности жидкости) её проекцией. Рассмотрим равновесие полученного жидкого тела. Давление на основание выделœенного объёма будет внешним по отношению к жид­кому телу и будет направлено вертикально вверх. Запишем уравнение равновесия в про­екции на вертикальную ось тела.

Сократив всœе члены уравнения на dS, получим:

Давление во всœех точках свободной поверхности одинаково и равно р0, следова­тельно, давление во всœех точках жидкости на глубинœе h также одинаково согласно основ­ному уравнения гидростатики. Поверхность, давление на которой одинаково, принято называть поверхностью уровня. В данном случае поверхности уровня являются горизонтальными плоскостями.

Выберем некоторую горизонтальную плоскость сравнения, проходящую на расстоя­нии z0 от свободной поверхности, тогда можно записать уравнение гидростатики в виде:

Все члены уравнения имеют линœейную размерность и носят название:

- геометричкская высота͵

- пьезометрическая высота

Величинаносит название гидростатического напора.

Основное уравнение гидростатики, доказанное на примере жидкости находящейся под действием только сил тяжести, будет справедливо и для жидкости, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ испытыва­ет на себе ускорение переносного движения. Под действием сил инœерции переносного движения будет меняться положение свободной поверхности жидкости и поверхностей равного давления относительно стенок сосуда и относительно горизонтальной плоскости. Вид этих поверхностей целиком зависти от комбинации ускорений переносного движения и ускорения сил тяжести. В литературе состояние равновесия жидкости при наличии пе­реносного движения принято называть относительным покоем жидкости. Любые комбинации ускорений сводятся к двум возможным видам равновесия жидкости

Равновесие жидкости при равномерно ускоренном прямолинœейном движении со­суда. Примером должна быть равновесие жидкости в цистерне, движущейся с неко­торым ускорением а. В этом случае на жидкость будут действовать силы тяжести и сила инœерции равномерно укоренного движения цистерны. Тогда равно-

действующая единичная массовая сила определиться как сумма векторов ускорения пере­носного движения и ускорения свободного падения.

При данных условиях вектор единичной массовой силы переносного движения а бу­дет направлен в сторону противоположную движению цистерны, ускорение свободного падения g, как всœегда ориентировано вертикально вниз, ᴛ.ᴇ. как показано на рисунке. При движении цистерны начальное положение свободной поверхности жидкости изменится. Новое положение свободной поверхности жидкости, согласно основному условию равно­весия жидкости будет направлена перпендикулярно вектору, т.к., равнодействующий вектор массовых сил должен быть направлен по внутренней нормали к свободной поверх­ности жидкости. Наклон свободной поверхности жидкости к горизонтальной плоскости определяется соотношением ускорений

Выберем некоторую точку М расположенную внутри жидкости на глубинœепод уровнем свободной поверхности (расстояние до свободной поверхности жидкости изме­ряется по нормали к этой поверхности). В точке М выделим малую площадку парал­лельную свободной поверхности жидкости. Тогда уравнение равновесия жидкости запи­шется в следующем виде:

Величину<>

Читайте также

referatwork.ru

Реферат - Гидростатическое давление и его свойства

ГИДРОСТАТИКА

• Гидростатическое давление и его свойства
• Уравнения гидростатики
• Некоторые понятия в гидростатике
• Давление жидкости на плоские и криволинейные поверхности
• Плавание тел

ГИДРОСТАТИКА

Гидростатическое давление и его свойства

Гидростатика — раздел гидравлики, в котором изучаются законы жидкости в состоянии равновесия и распределение давления покоящейся жидкости на различные поверхности.

Рассмотрим основное понятие гидростатики — гидростатическое давление. На рис. 2.1 представлен некоторый произвольный объем покоящейся жидкости. Разделим этот объем плоскостью ВС на две части — I и II. В плоскости ВС выделим площадьω с центром в точке А. Давление со стороны части I объема будет передаваться на поверхность ВС с силой Р .

Гидростатическим давлением Р называется сила давления жидкости на единицу площади ω, и его можно представить формулой

рис. 2.1

Гидростатическое давление имеет размерность в системе СИ Паскаль (Па). Оно обладает тремя свойствами.

Первое свойство. Гидростатическое давление направлено по внутренней нормали к поверхности, на которую оно действует.

Второе свойство. Гидростатическое давление в точке действует одинаково по всем направлениям и может быть выражено соотношением

Третье свойство. Гидростатическое давление в точке зависит от ее координат в пространстве и может быть записано следующим образом:

Уравнения гидростатики

При изучении законов покоящейся жидкости рассмотрим три уравнения: а) основные дифференциальные уравнения равновесия; б) уравнения гидростатического давления; в) уравнение гидростатического давления жидкости, находящейся под воздействием сил тяжести.

а. Основные дифференциальные уравнения равновесия Л. Эйлера выведены в Российской Академии наук в 1755 г. Уравнения выражают связь между массовыми (объемными) силами, давлением и координатами любой точки жидкости в состоянии равновесия.

Не приводя вывода уравнений, поясним ход рассуждений.

В покоящейся жидкости выделяется какой-либо объем. В данном примере на рис. 2.2 рассматривается параллелепипед с гранями ab с d и a ' b ' c ' d '. На выделенный объем действуют силы поверхностного суммарного гидростатического давления и массовые (объемные) силы. Жидкость находится в равновесии, следовательно поверхностные и массовые силы должны уравновешиваться, т. е. сумма этих сил должна быть равна нулю.

рис. 2.2

ПОВЕРХНОСТНЫЕ СИЛЫ. Силы суммарного гидростатического давления по оси х с учетом приращения дРх будут равны

Напомним, что силы, направленные по оси, положительны, а про­тив оси — отрицательны. Аналогично можно получить величины по оси у и z .

МАССОВЫЕ (ОБЪЕМНЫЕ) СИЛЫ. Объемной силой назы­вается сила, приложенная к массе жидкости в объеме параллелепи­педа. Такой силой может быть сила тяжести p = mg . При постоянной плотности масса жидкости выделенного объема равна m = r dxdydz . В гидравлике проекции ускорения объемных сил, отнесенных к единице массы, обозначаются X , Y , Z . Таким образом, по оси x можно записать

Сумма поверхностных и массовых сил по оси x будет равна

Производя сокращения и отнеся все члены уравнения к единице массы, т. е. разделив на величину массы rdxdydz, и учитывая второе свойство гидростатического давления, получим уравнения Л. Эйлера по всем осям

Физический смысл полученных уравнений заключается в следующем: изменение гидростатического давления в направлении какой-либо оси, отнесенное к плотности, равняется проекции объемной силы, отнесенной к единице массы, на ту же ось.

б. Уравнение гидростатического давления можно получить из уравнений Л. Эйлера. Если умножить каждый его член на r dx, r dy и rdz и сложить их, то получим

Правая часть полученного уравнения представляет собой полный дифференциал давления

Из последнего уравнения гидростатического давления видно, что давление зависит от плотности жидкости и бывает больше для плотных жидкостей.

В случае, если имеется поверхность равного давления, Р =const и dP =0, поскольку r не равно 0, то уравнение в случае равного давления имеет вид

в. Уравнение гидростатического давления жидкости, находящейся под действием силы тяжести. Основное уравнение гидростатического давления в дифференциальной форме следующее:

Интегрируя данное уравнение, можно его использовать для различных случаев покоя жидкости. Рассмотрим частный случай, когда жидкость находится в покое под действием силы тяжести. На рис. 2.3 на поверхности жидкости наметим точку в, в которой давление Р0. Начало координат совместим с точкой в, а ось z направим вниз. Выделим точку а, в которой жидкость находится под действием силы тяжести, равной весу р= mg. Примем массу m =1, тогда p = g, т. е. единичная массовая сила будет равна ускорению. Проекции этой силы на ось x и y будут равны 0: X =0; Y =0. Проекция силы тяжести на ось z = g, т. к. направление оси совпадает с направлением силы тяжести вниз, к центру Земли.

рис. 2.3

Согласно уравнению гидростатического давления dP будет равно

Интегрируем это уравнение в пределах от Р0 до Р и от zдо z

получим

Из рис. 2.3 видно, что глубина погружения точки а относительно свободной поверхности h = z – z . Поэтому можем записать

Последняя формула является уравнением гидростатического давления жидкости, находящейся под действием силы тяжести.

Если свободная поверхность жидкости соприкасается с атмосферой, то Р0=Ра и полное гидростатическое давление будет иметь вид

Из уравнения гидростатического давления следует закон Паскаля: давление, воспринимаемое жидкостью, передается во все точки жидкости с одинаковой силой.

Избыточным, или манометрическим, давлением называется превышение давления над атмосферным

Некоторые понятия в гидростатике

а. Пьезометрическая высота давления. На рис. 2.4 в состоянии равновесия представлен закрытый сосуд, наполненный жидкостью, на поверхности которой давление Р>Ра. К стекам сосуда подведены две открытые трубки, называемые пьезометрами («пьезо» — греческое слово – давление, «метр» — измерение). Трубки А и В расположены на разных уровнях z А и z В от плоскости сравнения 0-0. Жидкость в точках А и В, которая находится под давлением Р, поднимется по пьезометрам и, испытывая атмосферное давление Ра, остановится на одной плоскости 0’-0’, называемой напорной плоскостью.

www.ronl.ru

Смотрите также

• 
  Обогащение хромовых руд реферат
• 
  Мораль и личность реферат
• 
  Монтаж технологического оборудования реферат
• 
  Лидер и менеджер реферат
• 
  Коши огюстен луи реферат
• 
  Корпоративная компьютерная сеть реферат
• 
  Католицизм в россии реферат
• 
  История китайской стены реферат
• 
  Идея сверхчеловека ницше реферат
• 
  Загрязнение почвы реферат кратко
• 
  Живопись киевской руси реферат