Гидростатика
Гидростатика изучает законы равновесия жидкости. Под равновесием понимается отсутствие перемещения частиц жидкости относительно стенок сосуда и друг друга. При этом если стенки сосуда неподвижны, то говорят об абсолютном равновесии, если сосуд движется, то имеют в виду равновесие жидкости.
Жидкость при этом рассматривается как непрерывная среда, заполняющая пространство полностью без пустот и промежутков.
Вследствие текучести жидкости в ней не могут действовать сосредоточенные силы, а возможно лишь действие сил, непрерывно распределенных по ее объему или по поверхности. Поэтому силы, действующие на рассматриваемые объемы жидкости и являющиеся по отношению к ним внешними силами, подразделяются на массовые и поверхностные.
Массовые силы пропорциональны массе жидкого тела или для РѕРґРЅРѕСЂРѕРґРЅРѕР№ жидкости пропорциональны его … объему. Рто силы тяжести Рё силы инерции переносного движения.
Поверхностные силы непрерывно распределены по поверхности жидкости и пропорциональны величине этой поверхности.
Поверхностная сила , действующая на площади
, направлена под некоторым углом к ней и силу
можно разложить на нормальную
и тангенциальную
составляющие. Первая направлена внутрь объема и называется силой давления, а вторая силой трения.
Выделив некоторую площадь, получим следующие определения:
— отношение силы трения к площади поверхности трения называется касательным напряжением трения
— отношение силы давления к площади поверхности воздействия называется средним гидростатическим давлением
При неограниченном уменьшении площади участка поверхности получим соответственно касательное напряжение
и гидростатическое давление
в точке:
Гидростатическоедавление обладает двумя свойствами:
1. Всегда направлено по нормали внутрь рассматриваемого объема жидкости и является сжимающим.
2. В любой точке покоящейся жидкости не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует, т.е. оно действует одинаково по всем направлениям.
Первое свойство доказывается тем, что если бы в покоящейся жидкости была бы касательная составляющая, то она бы вывела жидкость из состояния равновесия и она начала бы двигаться вдоль площадки, т.е. перестала быть неподвижной.
Второе свойство доказывается следующим образом:
![]() | Выделим в жидкости элементарный объем в виде прямоугольного тетраэдра с произвольными ребрами ![]() |
площадь и вдоль ее нормали
действует давление
. Сумма массовой и всех поверхностных сил, действующих на выделенный объем равна нулю. В частности, для сил, действующих вдоль оси
где — проекция единичной массовой силы;
— плотность жидкости.
Учитывая, что , получим
.
При уменьшении объема до точки приходим к равенству
. Аналогично можно получить равенство
Рё
. Таким образом, в любой внутренней точке жидкости гидростатическое давление по всем направлениям одинаково.
В
Основное уравнение гидростатики
Определим условия равновесия жидкости.
![]() | Жидкость содержится в сосуде. На ее свободную поверхность действует давление ![]() ![]() ![]() |
У точки М, как центра, возьмем элементарную горизонтальную площадку и построим на ней вертикальный цилиндрический объем высотой
. Запишем сумму всех сил, действующих на рассматриваемый объем в вертикальном направлении:
Отсюда, сократив :
Величина является одинаковой для всех точек объема жидкости, поэтому, учитывая второе свойство гидростатического давления можно сказать, что давление, приложенное Рє внешней поверхности жидкости, передается всем точкам этой жидкости РїРѕ всем направлениям одинаково.Рто закон Паскаля.
Обозначив через координату точки М, а через
— координату свободной поверхности жидкости и учитывая, что
, получим
,
но так как точка М взята нами произвольно, то для всего рассматриваемого неподвижного объема жидкости
Координата называется нивелирной высотой.
Величина — пьезометрической высотой.
Сумма — гидростатическим напором.
Покажем то же более строго посредством интегрирования дифференциальных уравнений равновесия жидкости: для чего выделим элементарный прямоугольный объем жидкости.
![]() | Р’ общем случае давление РІ различных точках жидкости неодинаково. Рто изменение РІ пространстве характеризу-ется градиентами давления: ![]() |
На поверхность действует сила
на противоположную – сила
Таким образом на параллелепипед вдоль оси
действует результирующая поверхностных сил
.
С учетом массовой силы уравнения равновесия выделенного объема по всем осям будут:
или РІ форме уравнений Рйлера:
Сложив уравнения и выделив полный дифференциал давления , получим окончательную запись общего уравнения гидростатики:
загрузка…
При абсолютном покое , поэтому общее уравнение гидростатики для этого случая:
,
где — ускорение свободного падения.
После интегрирования получим:
или
учитывая, что —
refac.ru
Количество просмотров публикации Основное уравнение гидростатики - 260
Рассмотрим случай равновесия жидкости РІ состояВРЅРёРё ʼʼабсолютного РїРѕРєРѕСЏКјКј, бґ›.ᴇ. РєРѕРіРґР° РЅР° жидкость дейстВвует только сила тяжести. Поскольку объём жидкости РІ СЃРѕСЃСѓРґРµ мал РїРѕ сравнению СЃ объёмом Земли, то уровень СЃРІРѕР±РѕРґРЅРѕР№ поверхности жидкости РІ СЃРѕСЃСѓРґРµ можно счиВтать горизонтальной плоскостью. Давление РЅР° СЃРІРѕР±РѕРґВРЅСѓСЋ поверхность жидкости равно атмосферному давле нию СЂ0. Определим давление СЂ РІ произвольно выбранВРЅРѕР№ точке Рњ, расположенной РЅР° глубинœе h. Выделим
около точки Рњ горизонтальную площадку площадью dS . Построим РЅР° данной площадке вертикальное тело, ограниченное СЃРЅРёР·Сѓ самой площадкой, Р° сверху (РІ плоскости СЃРІРѕР±РѕРґВРЅРѕР№ поверхности жидкости) её проекцией. Рассмотрим равновесие полученного жидкого тела. Давление РЅР° основание выделœенного объёма будет внешним РїРѕ отношению Рє жидВРєРѕРјСѓ телу Рё будет направлено вертикально вверх. Запишем уравнение равновесия РІ РїСЂРѕВекции РЅР° вертикальную РѕСЃСЊ тела.
Сократив всœе члены уравнения на dS, получим:
Давление РІРѕ всœех точках СЃРІРѕР±РѕРґРЅРѕР№ поверхности одинаково Рё равно СЂ0, следоваВтельно, давление РІРѕ всœех точках жидкости РЅР° глубинœе h также одинаково согласно РѕСЃРЅРѕРІВРЅРѕРјСѓ уравнения гидростатики. Поверхность, давление РЅР° которой одинаково, принято называть поверхностью СѓСЂРѕРІРЅСЏ. Р’ данном случае поверхности СѓСЂРѕРІРЅСЏ являются горизонтальными плоскостями.
Выберем некоторую горизонтальную плоскость сравнения, проходящую РЅР° расстояВРЅРёРё z0 РѕС‚ СЃРІРѕР±РѕРґРЅРѕР№ поверхности, тогда можно записать уравнение гидростатики РІ РІРёРґРµ:
Все члены уравнения имеют линœейную размерность и носят название:
- геометричкская высота͵
- пьезометрическая высота
Величинаносит название гидростатического напора.
РћСЃРЅРѕРІРЅРѕРµ уравнение гидростатики, доказанное РЅР° примере жидкости находящейся РїРѕРґ действием только СЃРёР» тяжести, будет справедливо Рё для жидкости, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ испытываВет РЅР° себе ускорение переносного движения. РџРѕРґ действием СЃРёР» инœерции переносного движения будет меняться положение СЃРІРѕР±РѕРґРЅРѕР№ поверхности жидкости Рё поверхностей равного давления относительно стенок СЃРѕСЃСѓРґР° Рё относительно горизонтальной плоскости. Р’РёРґ этих поверхностей целиком зависти РѕС‚ комбинации ускорений переносного движения Рё ускорения СЃРёР» тяжести. Р’ литературе состояние равновесия жидкости РїСЂРё наличии РїРµВреносного движения принято называть относительным покоем жидкости. Любые комбинации ускорений сводятся Рє РґРІСѓРј возможным видам равновесия жидкости
Равновесие жидкости РїСЂРё равномерно ускоренном прямолинœейном движении СЃРѕВСЃСѓРґР°. Примером должна быть равновесие жидкости РІ цистерне, движущейся СЃ некоВторым ускорением Р°. Р’ этом случае РЅР° жидкость Р±СѓРґСѓС‚ действовать силы тяжести Рё сила инœерции равномерно укоренного движения цистерны
. Тогда равно-
действующая единичная массовая сила определиться как СЃСѓРјРјР° векторов ускорения переВРЅРѕСЃРЅРѕРіРѕ движения Рё ускорения СЃРІРѕР±РѕРґРЅРѕРіРѕ падения.
РџСЂРё данных условиях вектор единичной массовой силы переносного движения Р° Р±СѓВдет направлен РІ сторону противоположную движению цистерны, ускорение СЃРІРѕР±РѕРґРЅРѕРіРѕ падения g, как всœегда ориентировано вертикально РІРЅРёР·, бґ›.ᴇ. как показано РЅР° СЂРёСЃСѓРЅРєРµ. РџСЂРё движении цистерны начальное положение СЃРІРѕР±РѕРґРЅРѕР№ поверхности жидкости изменится. РќРѕРІРѕРµ положение СЃРІРѕР±РѕРґРЅРѕР№ поверхности жидкости, согласно РѕСЃРЅРѕРІРЅРѕРјСѓ условию равноВвесия жидкости будет направлена перпендикулярно вектору, С‚.Рє., равнодействующий вектор массовых СЃРёР» должен быть направлен РїРѕ внутренней нормали Рє СЃРІРѕР±РѕРґРЅРѕР№ поверхВности жидкости. Наклон СЃРІРѕР±РѕРґРЅРѕР№ поверхности жидкости Рє горизонтальной плоскости определяется соотношением ускорений
Выберем некоторую точку Рњ расположенную внутри жидкости РЅР° глубинœепод уровнем СЃРІРѕР±РѕРґРЅРѕР№ поверхности (расстояние РґРѕ СЃРІРѕР±РѕРґРЅРѕР№ поверхности жидкости РёР·РјРµВряется РїРѕ нормали Рє этой поверхности). Р’ точке Рњ выделим малую площадку
паралВлельную СЃРІРѕР±РѕРґРЅРѕР№ поверхности жидкости. РўРѕРіРґР° уравнение равновесия жидкости запиВшется РІ следующем РІРёРґРµ:
Величину<>
Р“РДРОСТАТРРљРђ Растворимость газов РњРЅРѕРіРёРµ жидкости СЃРїРѕСЃРѕР±РЅС‹ растворять РІ себе газы. Рта способность характеризуется количеством растворенного газа РІ единице объема жидкости, различается для разных жидкостей Рё изменяется СЃ... [читать подробнее].
Поверхность уровня. Поверхность все точки, которой имеют одинаковое значение функции, называется поверхностью уровня. Так поверхность жидкости с одинаковым давлением во всех ее точках называется поверхностью равного давления. Поверхность, отделяющая жидкое... [читать подробнее].
Поверхность уровня. Поверхность все точки, которой имеют одинаковое значение функции, называется поверхностью уровня. Так поверхность жидкости с одинаковым давлением во всех ее точках называется поверхностью равного давления. Поверхность, отделяющая жидкое... [читать подробнее].
РћСЃРЅРѕРІРЅРѕРµ уравнение гидростатики РІ дифференциальной форме Уравнение Рйлера Общие Дифференциальные уравнения равновесия жидкости РР· находящейся РІ равновесии жидкости выделим элементарный параллелепипед СЃ ребрами dx, dy, dz,... [читать подробнее].
РћСЃРЅРѕРІРЅРѕРµ уравнение гидростатики РІ дифференциальной форме Уравнение Рйлера Общие Дифференциальные уравнения равновесия жидкости РР· находящейся РІ равновесии жидкости выделим элементарный параллелепипед СЃ ребрами dx, dy, dz,... [читать подробнее].
Рто свойство РЅРµ требует специального доказательства, так как очевидно, что РїРѕ мере увеличения заглубления точки РїРѕРґ вровень давление РІ ней будет возрастать Рё, наоборот, РїРѕ мере уменьшения заглубления — уменьшаться. Третье свойство. Гидростатическое давление РІ... [читать подробнее].
Рто свойство РЅРµ требует специального доказательства, так как очевидно, что РїРѕ мере увеличения заглубления точки РїРѕРґ вровень давление РІ ней будет возрастать Рё, наоборот, РїРѕ мере уменьшения заглубления — уменьшаться. Третье свойство. Гидростатическое давление РІ... [читать подробнее].
В РР· дифференциальных уравнений равновесия Рйлера следует, что давление РІ покоящейся жидкости изменяется только РїРѕ вертикали (вдоль РѕСЃРё z), оставаясь одинаковым РІРѕ всех точках любой горизонтальной плоскости, так как изменения давлений вдоль осей x Рё y равны нулю. Р’ СЃРІСЏР·Рё... [читать подробнее].
В РР· дифференциальных уравнений равновесия Рйлера следует, что давление РІ покоящейся жидкости изменяется только РїРѕ вертикали (вдоль РѕСЃРё z), оставаясь одинаковым РІРѕ всех точках любой горизонтальной плоскости, так как изменения давлений вдоль осей x Рё y равны нулю. Р’ СЃРІСЏР·Рё... [читать подробнее].
 Рассмотрим тот основной случай равновесия жидкости, когда из числа массовых сил на жидкость действует лишь сила тяжести, и получим для этого случая уравнение, позволяющее находить величину гидростатического давления в любой точке рассматриваемого объема жидкости.... [читать подробнее].
referatwork.ru
Р“РДРОСТАТРРљРђ
Р“РДРОСТАТРРљРђ
Гидростатическое давление и его свойства
Гидростатика — раздел гидравлики, в котором изучаются законы жидкости в состоянии равновесия и распределение давления покоящейся жидкости на различные поверхности.
Рассмотрим основное понятие гидростатики — гидростатическое давление. На рис. 2.1 представлен некоторый произвольный объем покоящейся жидкости. Разделим этот объем плоскостью ВС на две части — I и II. В плоскости ВС выделим площадьω с центром в точке А. Давление со стороны части I объема будет передаваться на поверхность ВС с силой Р.
Гидростатическим давлением Рназывается сила давления жидкости на единицу площади ω, и его можно представить формулой
СЂРёСЃ. 2.1
Гидростатическое давление имеет размерность в системе СРПаскаль (Па). Оно обладает тремя свойствами.
Первое свойство. Гидростатическое давление направлено по внутренней нормали к поверхности, на которую оно действует.
Второе свойство. Гидростатическое давление в точке действует одинаково по всем направлениям и может быть выражено соотношением
Третье свойство. Гидростатическое давление в точке зависит от ее координат в пространстве и может быть записано следующим образом:
Уравнения гидростатики
При изучении законов покоящейся жидкости рассмотрим три уравнения: а) основные дифференциальные уравнения равновесия; б) уравнения гидростатического давления; в) уравнение гидростатического давления жидкости, находящейся под воздействием сил тяжести.
Р°. Основные дифференциальные уравнения равновесия Р›. Рйлера выведены РІ Р РѕСЃСЃРёР№СЃРєРѕР№ Академии наук РІ 1755 Рі. Уравнения выражают СЃРІСЏР·СЊ между массовыми (объемными) силами, давлением Рё координатами любой точки жидкости РІ состоянии равновесия.
Не приводя вывода уравнений, поясним ход рассуждений.
В покоящейся жидкости выделяется какой-либо объем. В данном примере на рис. 2.2 рассматривается параллелепипед с гранями ab с d и a ' b ' c ' d '. На выделенный объем действуют силы поверхностного суммарного гидростатического давления и массовые (объемные) силы. Жидкость находится в равновесии, следовательно поверхностные и массовые силы должны уравновешиваться, т. е. сумма этих сил должна быть равна нулю.
СЂРёСЃ. 2.2
ПОВЕРХНОСТНЫЕ РЎРЛЫ. Силы суммарного гидростатического давления РїРѕ РѕСЃРё С… СЃ учетом приращения РґР С… Р±СѓРґСѓС‚ равны
Напомним, что силы, направленные РїРѕ РѕСЃРё, положительны, Р° РїСЂРѕВтив РѕСЃРё — отрицательны. Аналогично можно получить величины РїРѕ РѕСЃРё Сѓ Рё z .
МАССОВЫЕ (ОБЪЕМНЫЕ) РЎРЛЫ. Объемной силой назыВвается сила, приложенная Рє массе жидкости РІ объеме параллелепиВпеда. Такой силой может быть сила тяжести p = mg . РџСЂРё постоянной плотности масса жидкости выделенного объема равна m = r dxdydz . Р’ гидравлике проекции ускорения объемных СЃРёР», отнесенных Рє единице массы, обозначаются X , Y , Z . Таким образом, РїРѕ РѕСЃРё x можно записать
Сумма поверхностных и массовых сил по оси x будет равна
Px dydz – Px dydz — dxdydz + Xrdxdydz = 0 |
РџСЂРѕРёР·РІРѕРґСЏ сокращения Рё отнеся РІСЃРµ члены уравнения Рє единице массы, С‚. Рµ. разделив РЅР° величину массы rdxdydz, Рё учитывая второе свойство гидростатического давления, получим уравнения Р›. Рйлера РїРѕ всем РѕСЃСЏРј
Физический смысл полученных уравнений заключается в следующем: изменение гидростатического давления в направлении какой-либо оси, отнесенное к плотности, равняется проекции объемной силы, отнесенной к единице массы, на ту же ось.
Р±. Уравнение гидростатического давления можно получить РёР· уравнений Р›. Рйлера. Если умножить каждый его член РЅР° r dx, r dy Рё rdz Рё сложить РёС…, то получим
Правая часть полученного уравнения представляет собой полный дифференциал давления
dP = r ( Xdx + Ydy + Zdz ) | (2.9) |
РР· последнего уравнения гидростатического давления РІРёРґРЅРѕ, что давление зависит РѕС‚ плотности жидкости Рё бывает больше для плотных жидкостей.
В случае, если имеется поверхность равного давления, Р=const и dP =0, поскольку r не равно 0, то уравнение в случае равного давления имеет вид
Xdx + Ydy + Zdz =0 | (2.10) |
в. Уравнение гидростатического давления жидкости, находящейся под действием силы тяжести. Основное уравнение гидростатического давления в дифференциальной форме следующее:
dP = r ( Xdx + Ydy + Zdz ) |
Рнтегрируя данное уравнение, можно его использовать для различных случаев РїРѕРєРѕСЏ жидкости. Рассмотрим частный случай, РєРѕРіРґР° жидкость находится РІ РїРѕРєРѕРµ РїРѕРґ действием силы тяжести. РќР° СЂРёСЃ. 2.3 РЅР° поверхности жидкости наметим точку РІ, РІ которой давление Р 0. Начало координат совместим СЃ точкой РІ, Р° РѕСЃСЊ z направим РІРЅРёР·. Выделим точку Р°, РІ которой жидкость находится РїРѕРґ действием силы тяжести, равной весу СЂ= mg. Примем массу m =1, тогда p = g, С‚. Рµ. единичная массовая сила будет равна ускорению. Проекции этой силы РЅР° РѕСЃСЊ x Рё y Р±СѓРґСѓС‚ равны 0: X =0; Y =0. Проекция силы тяжести РЅР° РѕСЃСЊ z = g, С‚. Рє. направление РѕСЃРё совпадает СЃ направлением силы тяжести РІРЅРёР·, Рє центру Земли.
СЂРёСЃ. 2.3
Согласно уравнению гидростатического давления dP будет равно
Рнтегрируем это уравнение РІ пределах РѕС‚ Р 0 РґРѕ Р Рё РѕС‚ zРґРѕ z
получим
РР· СЂРёСЃ. 2.3 РІРёРґРЅРѕ, что глубина погружения точки Р° относительно СЃРІРѕР±РѕРґРЅРѕР№ поверхности h = z – z . Поэтому можем записать
Последняя формула является уравнением гидростатического давления жидкости, находящейся под действием силы тяжести.
Если свободная поверхность жидкости соприкасается с атмосферой, то Р0=Ра и полное гидростатическое давление будет иметь вид
РР· уравнения гидростатического давления следует закон Паскаля: давление, воспринимаемое жидкостью, передается РІРѕ РІСЃРµ точки жидкости СЃ одинаковой силой.
Рзбыточным, или манометрическим, давлением называется превышение давления над атмосферным
Некоторые понятия в гидростатике
а. Пьезометрическая высота давления. На рис. 2.4 в состоянии равновесия представлен закрытый сосуд, наполненный жидкостью, на поверхности которой давление Р>Ра. К стекам сосуда подведены две открытые трубки, называемые пьезометрами («пьезо» — греческое слово – давление, «метр» — измерение). Трубки А и В расположены на разных уровнях z А и z В от плоскости сравнения 0-0. Жидкость в точках А и В, которая находится под давлением Р, поднимется по пьезометрам и, испытывая атмосферное давление Ра, остановится на одной плоскости 0’-0’, называемой напорной плоскостью.
www.ronl.ru