Главная » Реферат » Неправильные дроби реферат

Дробь (математика). Неправильные дроби реферат


Реферат Дробь (математика)

скачать

Реферат на тему:

План:

Введение

8 / 13       \frac{8}{13} числитель
числитель знаменатель знаменатель
Две записи одной дроби

Дробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы[1]. Дроби являются частью поля рациональных чисел. По способу записи дроби делятся на 2 формата: обыкновенные вида \pm \frac{m}{n} и десятичные.

1. Виды дробей

1.1. Обыкновенные дроби

Наглядное представление дроби 3 \over 4

Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде \pm \frac{m}{n} или \pm m/n. Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.

1.1.1. Обозначения обыкновенных дробей

Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:

1.1.2. Правильные и неправильные дроби

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной, и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице.

Например, дроби \frac{3}{5}, \frac{7}{8} и \frac{1}{2} — правильные дроби, в то время как \frac{8}{3}, \frac{9}{5}, \frac{2}{1} и \frac{1}{1} — неправильные дроби. Всякое целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.

1.1.3. Смешанные дроби

Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.

Например, 2 \frac{3}{7} = 2 + \frac{3}{7} = \frac{14}{7} + \frac{3}{7} = \frac{17}{7}. В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь.

1.1.4. Высота дроби

Высота обыкновенной дроби — модуль суммы числителя и знаменателя этой дроби. Высота рационального числа — модуль суммы числителя и знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу.

Например, высота дроби -\frac{15}{6} равна 15 + 6 = 21. Высота же соответствующего рационального числа равна 5 + 2 = 7, так как дробь сокращается на 3.

1.1.5. Составные дроби

Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:

\frac{1}{2}/\frac{1}{3} или \frac{1/2}{1/3} или \frac{12\frac{3}{4}}{26}

1.2. Десятичные дроби

Десятичной дробью называют позиционную запись дроби. Она выглядит следующим образом:

\pm a_1 a_2 \dots a_n{,}b_1 b_2 \dots.

В данном случае часть, которая стоит до позиционной запятой, является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой — дробной частью. Десятичная запись дроби всегда либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью.

Чаще всего употребляется десятичная система счисления, хотя возможно применение любых других (в том числе и специфических, таких как фибоначчиева).

2. Значение дроби и основное свойство дроби

Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.

Если умножить числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:

\frac P R = \frac{C\cdot P}{C\cdot R}

то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные. Например:

\frac 3 4 = \frac{9}{12} = \frac{12}{16}

И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют общий делитель, то обе части можно разделить на него; такая операция называется сокращением дроби. Пример:

~\frac {12}{16} = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4} = \frac{3}{4} — здесь числитель и знаменатель дроби сократили на общий делитель 4.

Несократимой называется дробь, числитель и знаменатель которой не имеют общих делителей, кроме ~\pm 1.

Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, однако имеются исключения. Пример:

0,999... = 1 — две разные дроби соответствуют одному числу.

3. Действия над дробями

В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. Десятичная дробь.

3.1. Приведение к общему знаменателю

Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (привести) к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: \frac{a}{b} и \frac{c}{d}. Порядок действий:

После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны M). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве M любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.

3.2. Сравнение

Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.

Пример. Сравниваем \frac{3}{4} и \frac{4}{5}. НОК(4, 5) = 20. Приводим дроби к знаменателю 20.

\frac{3}{4} = \frac{15}{20}; \quad \frac{4}{5} = \frac{16}{20}

Следовательно, \frac{3}{4} < \frac{4}{5}

3.3. Сложение и вычитание

Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}

НОК знаменателей (здесь 2 и 3) равно 6. Приводим дробь \frac{1}{2} к знаменателю 6, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 3.Получилось \frac{3}{6}. Приводим дробь \frac{1}{3} к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 2. Получилось \frac{2}{6}.Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:

\frac{1}{2} — \frac{1}{4} = \frac{2}{4} — \frac{1}{4} = \frac{1}{4}

НОК знаменателей (здесь 2 и 4) равно 4. Приводим дробь ~\frac{1}{2} к знаменателю 4, для этого надо числитель и знаменатель умножить на 2. Получаем ~\frac{2}{4}.

3.4. Умножение

Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}

В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:

\frac{2}{3} \cdot 3 = \frac{6}{3}= 2

3.5. Деление

Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, надо умножить первую на дробь, обратную второй:

\frac{1}{2} : \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{2}

Чтобы получить дробь, обратную данной, следует поменять местами числитель и знаменатель. Дробь, обратная \frac{1}{3}, есть дробь \frac{3}{1}, то есть число 3.

3.6. Преобразование между разными форматами записи

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной периодической дробью. Примеры:

\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0{,}5 \frac{1}{7} = 0{,}142857142857142857\dots = 0{,}(142857) — бесконечно повторяющийся период принято записывать в круглых скобках.

Чтобы преобразовать десятичную дробь в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример:

71{,}1475 = 71 + \frac{1475}{10000} = 71 \frac{1475}{10000}

4. История

Русский термин дробь, как и его аналоги в других языках, происходит от лат. fractura, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять. Фундамент теории обыкновенных дробей заложили греческие и индийские математики.

Впервые в Европе данный термин употребил Леонардо Пизанский (1202). Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с шестидесятеричными. Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке (Тарталья, Клавиус). В 1585 году, с выходом книги Симона Стевина «Десятая», начинается широкое применение десятичных дробей.

5. Обобщения

Литература

Примечания

  1. Математическая энциклопедия (в 5 томах) - eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t2.djvu. — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2.
  2. Дробная черта (Fraction bar, Solidus) - Справочник ПараТайп - www.paratype.ru/help/term/terms.asp?code=460

wreferat.baza-referat.ru

Реферат Обыкновенная дробь

скачать

Реферат на тему:

План:

Введение

8 / 13       \frac{8}{13} числитель
числитель знаменатель знаменатель
Две записи одной дроби

Дробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы[1]. Дроби являются частью поля рациональных чисел. По способу записи дроби делятся на 2 формата: обыкновенные вида \pm \frac{m}{n} и десятичные.

1. Виды дробей

1.1. Обыкновенные дроби

Наглядное представление дроби 3 \over 4

Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде \pm \frac{m}{n} или \pm m/n. Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.

1.1.1. Обозначения обыкновенных дробей

Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:

1.1.2. Правильные и неправильные дроби

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной, и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице.

Например, дроби \frac{3}{5}, \frac{7}{8} и \frac{1}{2} — правильные дроби, в то время как \frac{8}{3}, \frac{9}{5}, \frac{2}{1} и \frac{1}{1} — неправильные дроби. Всякое целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.

1.1.3. Смешанные дроби

Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.

Например, 2 \frac{3}{7} = 2 + \frac{3}{7} = \frac{14}{7} + \frac{3}{7} = \frac{17}{7}. В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь.

1.1.4. Высота дроби

Высота обыкновенной дроби — модуль суммы числителя и знаменателя этой дроби. Высота рационального числа — модуль суммы числителя и знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу.

Например, высота дроби -\frac{15}{6} равна 15 + 6 = 21. Высота же соответствующего рационального числа равна 5 + 2 = 7, так как дробь сокращается на 3.

1.1.5. Составные дроби

Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:

\frac{1}{2}/\frac{1}{3} или \frac{1/2}{1/3} или \frac{12\frac{3}{4}}{26}

1.2. Десятичные дроби

Десятичной дробью называют позиционную запись дроби. Она выглядит следующим образом:

\pm a_1 a_2 \dots a_n{,}b_1 b_2 \dots.

В данном случае часть, которая стоит до позиционной запятой, является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой — дробной частью. Десятичная запись дроби всегда либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью.

Чаще всего употребляется десятичная система счисления, хотя возможно применение любых других (в том числе и специфических, таких как фибоначчиева).

2. Значение дроби и основное свойство дроби

Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.

Если умножить числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:

\frac P R = \frac{C\cdot P}{C\cdot R}

то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные. Например:

\frac 3 4 = \frac{9}{12} = \frac{12}{16}

И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют общий делитель, то обе части можно разделить на него; такая операция называется сокращением дроби. Пример:

~\frac {12}{16} = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4} = \frac{3}{4} — здесь числитель и знаменатель дроби сократили на общий делитель 4.

Несократимой называется дробь, числитель и знаменатель которой не имеют общих делителей, кроме ~\pm 1.

Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, однако имеются исключения. Пример:

0,999... = 1 — две разные дроби соответствуют одному числу.

3. Действия над дробями

В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. Десятичная дробь.

3.1. Приведение к общему знаменателю

Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (привести) к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: \frac{a}{b} и \frac{c}{d}. Порядок действий:

После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны M). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве M любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.

3.2. Сравнение

Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.

Пример. Сравниваем \frac{3}{4} и \frac{4}{5}. НОК(4, 5) = 20. Приводим дроби к знаменателю 20.

\frac{3}{4} = \frac{15}{20}; \quad \frac{4}{5} = \frac{16}{20}

Следовательно, \frac{3}{4} < \frac{4}{5}

3.3. Сложение и вычитание

Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}

НОК знаменателей (здесь 2 и 3) равно 6. Приводим дробь \frac{1}{2} к знаменателю 6, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 3.Получилось \frac{3}{6}. Приводим дробь \frac{1}{3} к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 2. Получилось \frac{2}{6}.Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:

\frac{1}{2} — \frac{1}{4} = \frac{2}{4} — \frac{1}{4} = \frac{1}{4}

НОК знаменателей (здесь 2 и 4) равно 4. Приводим дробь ~\frac{1}{2} к знаменателю 4, для этого надо числитель и знаменатель умножить на 2. Получаем ~\frac{2}{4}.

3.4. Умножение

Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}

В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:

\frac{2}{3} \cdot 3 = \frac{6}{3}= 2

3.5. Деление

Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, надо умножить первую на дробь, обратную второй:

\frac{1}{2} : \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{2}

Чтобы получить дробь, обратную данной, следует поменять местами числитель и знаменатель. Дробь, обратная \frac{1}{3}, есть дробь \frac{3}{1}, то есть число 3.

3.6. Преобразование между разными форматами записи

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной периодической дробью. Примеры:

\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0{,}5 \frac{1}{7} = 0{,}142857142857142857\dots = 0{,}(142857) — бесконечно повторяющийся период принято записывать в круглых скобках.

Чтобы преобразовать десятичную дробь в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример:

71{,}1475 = 71 + \frac{1475}{10000} = 71 \frac{1475}{10000}

4. История

Русский термин дробь, как и его аналоги в других языках, происходит от лат. fractura, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять. Фундамент теории обыкновенных дробей заложили греческие и индийские математики.

Впервые в Европе данный термин употребил Леонардо Пизанский (1202). Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с шестидесятеричными. Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке (Тарталья, Клавиус). В 1585 году, с выходом книги Симона Стевина «Десятая», начинается широкое применение десятичных дробей.

5. Обобщения

Литература

Примечания

  1. Математическая энциклопедия (в 5 томах) - eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t2.djvu. — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2.
  2. Дробная черта (Fraction bar, Solidus) - Справочник ПараТайп - www.paratype.ru/help/term/terms.asp?code=460

wreferat.baza-referat.ru

Реферат Простая дробь

скачать

Реферат на тему:

План:

Введение

8 / 13       \frac{8}{13} числитель
числитель знаменатель знаменатель
Две записи одной дроби

Дробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы[1]. Дроби являются частью поля рациональных чисел. По способу записи дроби делятся на 2 формата: обыкновенные вида \pm \frac{m}{n} и десятичные.

1. Виды дробей

1.1. Обыкновенные дроби

Наглядное представление дроби 3 \over 4

Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде \pm \frac{m}{n} или \pm m/n. Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.

1.1.1. Обозначения обыкновенных дробей

Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:

1.1.2. Правильные и неправильные дроби

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной, и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице.

Например, дроби \frac{3}{5}, \frac{7}{8} и \frac{1}{2} — правильные дроби, в то время как \frac{8}{3}, \frac{9}{5}, \frac{2}{1} и \frac{1}{1} — неправильные дроби. Всякое целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.

1.1.3. Смешанные дроби

Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.

Например, 2 \frac{3}{7} = 2 + \frac{3}{7} = \frac{14}{7} + \frac{3}{7} = \frac{17}{7}. В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь.

1.1.4. Высота дроби

Высота обыкновенной дроби — модуль суммы числителя и знаменателя этой дроби. Высота рационального числа — модуль суммы числителя и знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу.

Например, высота дроби -\frac{15}{6} равна 15 + 6 = 21. Высота же соответствующего рационального числа равна 5 + 2 = 7, так как дробь сокращается на 3.

1.1.5. Составные дроби

Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:

\frac{1}{2}/\frac{1}{3} или \frac{1/2}{1/3} или \frac{12\frac{3}{4}}{26}

1.2. Десятичные дроби

Десятичной дробью называют позиционную запись дроби. Она выглядит следующим образом:

\pm a_1 a_2 \dots a_n{,}b_1 b_2 \dots.

В данном случае часть, которая стоит до позиционной запятой, является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой — дробной частью. Десятичная запись дроби всегда либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью.

Чаще всего употребляется десятичная система счисления, хотя возможно применение любых других (в том числе и специфических, таких как фибоначчиева).

2. Значение дроби и основное свойство дроби

Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.

Если умножить числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:

\frac P R = \frac{C\cdot P}{C\cdot R}

то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные. Например:

\frac 3 4 = \frac{9}{12} = \frac{12}{16}

И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют общий делитель, то обе части можно разделить на него; такая операция называется сокращением дроби. Пример:

~\frac {12}{16} = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4} = \frac{3}{4} — здесь числитель и знаменатель дроби сократили на общий делитель 4.

Несократимой называется дробь, числитель и знаменатель которой не имеют общих делителей, кроме ~\pm 1.

Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, однако имеются исключения. Пример:

0,999... = 1 — две разные дроби соответствуют одному числу.

3. Действия над дробями

В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. Десятичная дробь.

3.1. Приведение к общему знаменателю

Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (привести) к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: \frac{a}{b} и \frac{c}{d}. Порядок действий:

После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны M). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве M любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.

3.2. Сравнение

Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.

Пример. Сравниваем \frac{3}{4} и \frac{4}{5}. НОК(4, 5) = 20. Приводим дроби к знаменателю 20.

\frac{3}{4} = \frac{15}{20}; \quad \frac{4}{5} = \frac{16}{20}

Следовательно, \frac{3}{4} < \frac{4}{5}

3.3. Сложение и вычитание

Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}

НОК знаменателей (здесь 2 и 3) равно 6. Приводим дробь \frac{1}{2} к знаменателю 6, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 3.Получилось \frac{3}{6}. Приводим дробь \frac{1}{3} к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 2. Получилось \frac{2}{6}.Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:

\frac{1}{2} — \frac{1}{4} = \frac{2}{4} — \frac{1}{4} = \frac{1}{4}

НОК знаменателей (здесь 2 и 4) равно 4. Приводим дробь ~\frac{1}{2} к знаменателю 4, для этого надо числитель и знаменатель умножить на 2. Получаем ~\frac{2}{4}.

3.4. Умножение

Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}

В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:

\frac{2}{3} \cdot 3 = \frac{6}{3}= 2

3.5. Деление

Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, надо умножить первую на дробь, обратную второй:

\frac{1}{2} : \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{2}

Чтобы получить дробь, обратную данной, следует поменять местами числитель и знаменатель. Дробь, обратная \frac{1}{3}, есть дробь \frac{3}{1}, то есть число 3.

3.6. Преобразование между разными форматами записи

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной периодической дробью. Примеры:

\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0{,}5 \frac{1}{7} = 0{,}142857142857142857\dots = 0{,}(142857) — бесконечно повторяющийся период принято записывать в круглых скобках.

Чтобы преобразовать десятичную дробь в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример:

71{,}1475 = 71 + \frac{1475}{10000} = 71 \frac{1475}{10000}

4. История

Русский термин дробь, как и его аналоги в других языках, происходит от лат. fractura, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять. Фундамент теории обыкновенных дробей заложили греческие и индийские математики.

Впервые в Европе данный термин употребил Леонардо Пизанский (1202). Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с шестидесятеричными. Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке (Тарталья, Клавиус). В 1585 году, с выходом книги Симона Стевина «Десятая», начинается широкое применение десятичных дробей.

5. Обобщения

Литература

Примечания

  1. Математическая энциклопедия (в 5 томах) - eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t2.djvu. — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2.
  2. Дробная черта (Fraction bar, Solidus) - Справочник ПараТайп - www.paratype.ru/help/term/terms.asp?code=460

wreferat.baza-referat.ru

Реферат Рациональная дробь

скачать

Реферат на тему:

План:

Введение

8 / 13       \frac{8}{13} числитель
числитель знаменатель знаменатель
Две записи одной дроби

Дробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы[1]. Дроби являются частью поля рациональных чисел. По способу записи дроби делятся на 2 формата: обыкновенные вида \pm \frac{m}{n} и десятичные.

1. Виды дробей

1.1. Обыкновенные дроби

Наглядное представление дроби 3 \over 4

Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде \pm \frac{m}{n} или \pm m/n. Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.

1.1.1. Обозначения обыкновенных дробей

Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:

1.1.2. Правильные и неправильные дроби

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной, и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице.

Например, дроби \frac{3}{5}, \frac{7}{8} и \frac{1}{2} — правильные дроби, в то время как \frac{8}{3}, \frac{9}{5}, \frac{2}{1} и \frac{1}{1} — неправильные дроби. Всякое целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.

1.1.3. Смешанные дроби

Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.

Например, 2 \frac{3}{7} = 2 + \frac{3}{7} = \frac{14}{7} + \frac{3}{7} = \frac{17}{7}. В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь.

1.1.4. Высота дроби

Высота обыкновенной дроби — модуль суммы числителя и знаменателя этой дроби. Высота рационального числа — модуль суммы числителя и знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу.

Например, высота дроби -\frac{15}{6} равна 15 + 6 = 21. Высота же соответствующего рационального числа равна 5 + 2 = 7, так как дробь сокращается на 3.

1.1.5. Составные дроби

Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:

\frac{1}{2}/\frac{1}{3} или \frac{1/2}{1/3} или \frac{12\frac{3}{4}}{26}

1.2. Десятичные дроби

Десятичной дробью называют позиционную запись дроби. Она выглядит следующим образом:

\pm a_1 a_2 \dots a_n{,}b_1 b_2 \dots.

В данном случае часть, которая стоит до позиционной запятой, является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой — дробной частью. Десятичная запись дроби всегда либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью.

Чаще всего употребляется десятичная система счисления, хотя возможно применение любых других (в том числе и специфических, таких как фибоначчиева).

2. Значение дроби и основное свойство дроби

Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.

Если умножить числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:

\frac P R = \frac{C\cdot P}{C\cdot R}

то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные. Например:

\frac 3 4 = \frac{9}{12} = \frac{12}{16}

И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют общий делитель, то обе части можно разделить на него; такая операция называется сокращением дроби. Пример:

~\frac {12}{16} = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4} = \frac{3}{4} — здесь числитель и знаменатель дроби сократили на общий делитель 4.

Несократимой называется дробь, числитель и знаменатель которой не имеют общих делителей, кроме ~\pm 1.

Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, однако имеются исключения. Пример:

0,999... = 1 — две разные дроби соответствуют одному числу.

3. Действия над дробями

В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. Десятичная дробь.

3.1. Приведение к общему знаменателю

Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (привести) к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: \frac{a}{b} и \frac{c}{d}. Порядок действий:

После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны M). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве M любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.

3.2. Сравнение

Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.

Пример. Сравниваем \frac{3}{4} и \frac{4}{5}. НОК(4, 5) = 20. Приводим дроби к знаменателю 20.

\frac{3}{4} = \frac{15}{20}; \quad \frac{4}{5} = \frac{16}{20}

Следовательно, \frac{3}{4} < \frac{4}{5}

3.3. Сложение и вычитание

Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}

НОК знаменателей (здесь 2 и 3) равно 6. Приводим дробь \frac{1}{2} к знаменателю 6, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 3.Получилось \frac{3}{6}. Приводим дробь \frac{1}{3} к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 2. Получилось \frac{2}{6}.Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:

\frac{1}{2} — \frac{1}{4} = \frac{2}{4} — \frac{1}{4} = \frac{1}{4}

НОК знаменателей (здесь 2 и 4) равно 4. Приводим дробь ~\frac{1}{2} к знаменателю 4, для этого надо числитель и знаменатель умножить на 2. Получаем ~\frac{2}{4}.

3.4. Умножение

Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}

В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:

\frac{2}{3} \cdot 3 = \frac{6}{3}= 2

3.5. Деление

Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, надо умножить первую на дробь, обратную второй:

\frac{1}{2} : \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{2}

Чтобы получить дробь, обратную данной, следует поменять местами числитель и знаменатель. Дробь, обратная \frac{1}{3}, есть дробь \frac{3}{1}, то есть число 3.

3.6. Преобразование между разными форматами записи

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной периодической дробью. Примеры:

\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0{,}5 \frac{1}{7} = 0{,}142857142857142857\dots = 0{,}(142857) — бесконечно повторяющийся период принято записывать в круглых скобках.

Чтобы преобразовать десятичную дробь в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример:

71{,}1475 = 71 + \frac{1475}{10000} = 71 \frac{1475}{10000}

4. История

Русский термин дробь, как и его аналоги в других языках, происходит от лат. fractura, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять. Фундамент теории обыкновенных дробей заложили греческие и индийские математики.

Впервые в Европе данный термин употребил Леонардо Пизанский (1202). Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с шестидесятеричными. Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке (Тарталья, Клавиус). В 1585 году, с выходом книги Симона Стевина «Десятая», начинается широкое применение десятичных дробей.

5. Обобщения

Литература

Примечания

  1. Математическая энциклопедия (в 5 томах) - eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t2.djvu. — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2.
  2. Дробная черта (Fraction bar, Solidus) - Справочник ПараТайп - www.paratype.ru/help/term/terms.asp?code=460

wreferat.baza-referat.ru

Виды дробей — реферат

       Виды дробей

Обыкновенные дроби

Наглядное представление дроби 

Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде   или   где  Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.

]Обозначения обыкновенных дробей

Есть несколько  видов записи обыкновенных дробей в  печатном виде:

]Правильные и неправильные дроби

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной, и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице.

Например, дроби  ,   и   — правильные дроби, в то время как  ,  ,   и   — неправильные дроби. Всякое целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.

Смешанные дроби

Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.

Например,  . В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь, а также из-за более громоздкой записи и менее удобных вычислений.

Высота дроби

Высота  обыкновенной дроби — модуль суммы числителя и знаменателя этой дроби. Высота рационального числа — модуль суммы числителя и знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу.

Например, высота дроби   равна  . Высота же соответствующего рационального числа равна  , так как дробь сокращается на  .

Составные дроби

Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:

 или   или 

Десятичные дроби

Основная  статья: Десятичная дробь

Десятичной  дробью называют позиционную запись дроби. Она выглядит следующим образом:

Пример:  .

Часть записи, которая стоит  до позиционной запятой, является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой — дробной частью. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью.

Вообще говоря, для позиционной  записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но и другие (в том числе и  специфические, такие, как фибоначчиева).

Значение дроби и основное свойство дроби

Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.

Если умножить числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:

то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные. Например:

И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют общий делитель, то обе части можно разделить на него; такая операция называется сокращением дроби. Пример:

 — здесь числитель и знаменатель  дроби сократили на общий

делитель 4.

Несократимой называется дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты, т. е. не имеют общих делителей, кроме 

Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, однако имеются исключения. 

Пример:

 — две разные дроби соответствуют  одному числу.

Действия над дробями

В этом разделе  рассматриваются действия над обыкновенными  дробями. О действиях над десятичными  дробями см. Десятичная дробь.

Приведение к общему знаменателю

Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует  преобразовать (привести) к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби:   и  . Порядок действий:

После этого  знаменатели обеих дробей совпадают (равны M). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве M любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.

Сравнение

Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с большим числителем будет больше.

Пример. Сравниваем   и  . НОК(4, 5) = 20. Приводим дроби к знаменателю 20.

Следовательно, 

Сложение и вычитание

Чтобы сложить  две обыкновенные дроби, следует  привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:

 +   =   +   = 

НОК знаменателей (здесь 2 и 3) равно 6. Приводим дробь   к знаменателю 6, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 3. Получилось  . Приводим дробь   к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 2. Получилось  . Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:

 —   =   —   = 

НОК знаменателей (здесь 2 и 4) равно 4. Приводим дробь   к знаменателю 4, для этого надо числитель и знаменатель умножить на 2. Получаем  .

Умножение и деление

Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить  их числители и знаменатели:

В частности, чтобы  умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а  знаменатель оставить тем же:

В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например:

Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую на дробь, обратную второй:

Например,

Преобразование между разными форматами записи

Чтобы преобразовать  обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной периодической дробью. Примеры:

 — бесконечно повторяющийся

период принято  записывать в круглых скобках.

Чтобы преобразовать  десятичную дробь в дробь обыкновенную, следует представить её дробную  часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример:

          

myunivercity.ru

Смотрите также