Системой счисления называетсясовокупность правил для обозначения (записи) действительных чисел с помощьюцифровых знаков. Для записи чисел в конкретных системах счисления используетсянекоторый конечный алфавит, состоящий из цифр а1 ,а2, а3,…., аn. При этом каждой цифре аi в записи числаставится в соответствие определенный количественный эквивалент.Различают непозиционные и позиционные системы счисления.

Непозиционные системы счисления

В ней количественный эквивалент каждой цифры,входящей в запись данного числа, не зависит от места (позиции) этой цифры вряду других цифр. Пример: римская система счисления. В ней для записи различныхцелых чисел используются символы I, V, X, L, C, D, M и т.д., обозначающиесоответственно 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 и т.д. Например, запись MCMLXXXV означает число 1985.Общим недостатком непозиционных систем является сложность представления в нихдостаточно больших чисел, так как при этом получается чрезвычайно громоздкаязапись чисел или требуется очень большой алфавит используемых цифр. В ЭВМприменяют только позиционные системы счисления, в которых количественныйэквивалент каждой цифры алфавита зависит не только от вида этой цифры, но и отее местоположения в записи числа.

Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления вескаждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр,изображающих число. Любая позиционная система характеризуется своим основанием.Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков илисимволов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основаниеможно принять любое натуральное число — два, три, четыре, шестнадцать и т.д.Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.

Системы счисления

Десятичная система счисления.

Пришла в Европу из Индии, где онапоявилась не позднее VI века н.э. В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифрастоит (то есть ее позиция). В десятичной системе счисления особую роль играютчисло 10 и его степени: 10, 100, 1000 и т.д. Самая правая цифра числапоказывает число единиц, вторая справа — число десятков, следующая — числосотен и т.д. Позиции цифр в записи числа называют его разрядами. В десятичнойсистеме счисления вес каждого разряда в 10 раз больше веса предыдущего. Всякоечисло в десятичной системе счисления можно представить в виде суммы различныхцелых степеней десяти с соответствующими коэффициентами аi (0-9), взятыми из алфавита даннойсистемы счисления. Например: 245,83 = 2 * 102 + 4 * 101 +5 * 100 + 8 * 10-1 + 3 * 10-2. Любое десятичное позиционное число N можно представить с помощью целых степеней десяти, взятых ссоответствующими коэффициентами, т.е.

N10 = am * 10m + am-1 * 10m-1 + …+ a1*10+ +a0 *100+ a-1 * 10-1 +…+ a-n * 10-n.

Двоичная система счисления.

В этой системе всего две цифры — 0 и1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая праваяцифра числа показывает число единиц, следующая цифра — число двоек, следующая — число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любоенатуральное число — представить его в виде последовательности нулей и единиц. Вдвоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию:тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодированиепривлекает тем, что легко реализуется технически. Наиболее простыми с точкизрения технической реализации являются двухпозиционные элементы, например,электромагнитное реле, транзисторный ключ.

Восьмеричная система счисления.

В этой системе счисления 8 цифр: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает — каки в десятичном числе — просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разрядеозначает 8, в следующем 64 и т.д. Число 100 (восьмеричное) есть не что иное,как 64 (десятичное). Чтобы перевести в двоичную систему, например, число 611(восьмеричное), надо заменить каждую цифру эквивалентной ей двоичной триадой (тройкойцифр). Легко догадаться, что для перевода многозначного двоичного числа ввосьмиричную систему нужно разбить его на триады справа налево и заменитькаждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой.

Шестнадцатиричная система счисления.

Запись числа в восьмеричной системесчисления достаточно компактна, но еще компактнее она получается вшестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифрвзяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Цифра 1,записанная в самом младшем разряде, означат просто единицу. Та же цифра 1 вследующем — 16 (десятичное), в следующем — 256 (десятичное) и т.д. Цифра F,указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное). Перевод изшестнадцатеричной системы в двоичную и обратно производится аналогично тому,как это делается для восьмеричной системы.

Перевод из одной системы счисления в другую

Перевод целых чисел

Для перевода целых чисел изодной системы счисления с основанием S в другую соснованием S1 надо это число последовательно делить наоснование S1 новой системы счисления до тех пор, покане получится частное меньше S1. Число в новой системезапишется в виде остатков деления, начиная с последнего. Это последнее частоедает цифру старшего разряда в новой системе счисления. Деление выполняют висходной системе счисления. Например:

37710=1011110012

Перевод правильных дробей

Для перевода правильнойдроби из одной системы счисления в другую необходимо эту дробь последовательноумножать на основание той системы, в которую она переводится, перемножаютсятолько дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частейполучающихся произведений, начиная с первого. Например:

0,6875 0,67510=0,100112

* 2

1,3750

* 2

0,7500

* 2

1,5000

* 2

1,0000

При переводе неправильныхдесятичных дробей необходимо пользуясь рассмотренными правилами выполнитьотдельно перевод целой и дробной частей.

Правила перевода из системы счисления в системусчисления

1) Для перевода чисел из любой системы счисления в десятичную необходимо:

А) Старшую цифру исходного числа умножить на основаниестарой системы счисления и прибавить следующую цифру исходного числа

Б)Результат опять умножить на основание старой системысчисления и прибавить следующую цифру исходного числа

В) Процесс перевода заканчивается после прибавленияпоследней самой младшей цифры исходного числа

2) Для перевода чисел из десятичной системы счисления в любую необходимоделить исходное число на основание новой системы счисления до тех пор покапоследнее частное не станет меньше основания новой системы счисления. Результатскладывается из остатков деления, начиная с последнего.

3) Для перевода чисел из любой системы счисления в любую необходимо исходноечисло перевести в десятичную систему по первому правилу (умножением),полученное десятичное число перевести в искомую систему по второму правилу(деление).

4) Для перевода чисел из систем счисления, которые являются степенью двойкинеобходимо:

А) из 16-ричной в 2-ичную: для перевода 16-ричного числа вдвоичную систему необходимо каждую цифру 16-ричного числа заменить 4-хразрядным двоичным значением.

Б) из 8-ричной в 2-ичную: Каждую цифру 8-ричного числанеобходимо заменить 3-х разрядным двоичным значением.

Представление чисел в различных системах счисления Системы счислений Десятичная Двоичная Восьмеричная Шестнадцатиричная 1 1 1 1 2 10 2 2 3 11 3 3 4 100 4 4 5 101 5 5 6 110 6 6 7 111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9 10 1010 12 А 11 1011 13 В 12 1100 14 С 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F /> /> /> /> /> /> />

Вопросыи задачи. Ответы и решения

1) Дать определение системы счисления. Назвать и охарактеризовать свойствасистемы счисления.

2) Какие символы используются для записи чисел в двоичной системесчисления, восьмеричной, шестнадцатеричной?

3) Зашифруйте следующие десятичные числа, преобразовав их в двоичные(восьмеричные, шестнадцатеричные): 0, 1, 18, 25, 128.

4) Дешифруйте следующие двоичные числа, преобразовав их в десятичные: 0010,1011, 11101, 0111, 0101.

5) Дешифруйте следующие восьмеричные числа, преобразовав их в десятичные:777, 375, 111, 1015.

6) Дешифруйте следующие шестнадцатеричные числа, преобразовав их вдесятичные: 15, A6, 1F5, 63.

7) 2. Перевести данное число в десятичную систему счисления: 0000012;1000011111,01012; 1216,048; 29A,516

8) Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную: а)46410; б) 380,187510; в) 115,9410

· 10000012=1× 26+0× 25+0×24+0× 23+0× 22+ 0× 21+1×20= 64+1=6510.

· 1000011111,01012=1×29 + 1×24+ 1×23 + 1×22 + 1×21 +1×20+ 1×2-2 + 1×2-4 = 512 +16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0,25 + 0,0625 = 543,312510.

· 1216,048=1×83+2×82+1×81+6×80+4×8-2 = 512+128+8+6+0,0625 = 654,062510.

· 29A,516= 2×162+9×161+10×160+5×16-1= 512+144+10+0,3125 = 656,312510.

· а) 46410 »1110100002; б) 380,187510 »101111100,00112; в) 115,9410» 1110011,11110(2)

Средства процессора Word,используемые в данной работе.

· Главным средством процессора Word,использованный в этой работе, является форматирование текста. Основной текстрасположен «по ширине», заголовки – выравнивание «по центру», остальные частитекста – «по левому краю» или «по правому краю».

· В данной работе было применено форматирование абзацев, изменениешрифтов и стилей, использование списков и использование границ.

· Также в тексте присутствует таблица, созданная в программе Excel, а затем копированная в данный текст. Этот способ болееудобен, чем создание таблиц непосредственно в Word’е.

· В данный реферат включен рисунок. Он был нарисован в самомпростом редакторе Paint. После этого вставлен в текст.

· В эту работу были вставлены некоторые символы.

Список литературы

· Л.З.Шауцукова, «Основы информатики в вопросах иответах», Издательский центр «Эль-Фа», Нальчик, 1994

· Введение в информатику.Лабораторные работы. / Авт.-сост. А.П. Шестаков; Перм. ун-т. — Пермь, 1999

· Теоретический материал из лекций по информатике в МГАПИ.

www.ronl.ru

Доклад - Позиционные системы счисления

РАБОТА ПО

ИНФОРМАТИКЕ

ТЕМА «Позиционные системы счисления»

Ученицы

11 класса «А»

Калашниковой Анны

МОСКВА 2004 год

План

1) Арифметические основы построения ЭВМ

2) Непозиционные и позиционные системы счисления

3) Непозиционные системы счисления

4) Позиционные системы счисления

5) Системы счисления

6) Десятичная система счисления

7) Двоичная система счисления

8) Восьмеричная система счисления

9) Шестнадцатиричная система счисления

10) Перевод из одной системы счисления в другую

11) Перевод целых чисел

12) Перевод правильных дробей

13) Правила перевода из системы счисления в систему счисления

14) Представление чисел в различных системах счисления

15) Вопросы и задачи. Ответы и решения.

16) Средства процессора Word, используемые в данной работе.

17) Список литературы.

Арифметические основы построения ЭВМ

Непозиционные и позиционные системы счисления

Системой счисления называется совокупность правил для обозначения (записи) действительных чисел с помощью цифровых знаков. Для записи чисел в конкретных системах счисления используется некоторый конечный алфавит, состоящий из цифр а1, а2, а3,…., аn. При этом каждой цифре аi в записи числа ставится в соответствие определенный количественный эквивалент. Различают непозиционные и позиционные системы счисления.

Непозиционные системы счисления

В ней количественный эквивалент каждой цифры, входящей в запись данного числа, не зависит от места (позиции) этой цифры в ряду других цифр. Пример: римская система счисления. В ней для записи различных целых чисел используются символы I, V, X, L, C, D, M и т.д., обозначающие соответственно 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 и т.д. Например, запись MCMLXXXV означает число 1985. Общим недостатком непозиционных систем является сложность представления в них достаточно больших чисел, так как при этом получается чрезвычайно громоздкая запись чисел или требуется очень большой алфавит используемых цифр. В ЭВМ применяют только позиционные системы счисления, в которых количественный эквивалент каждой цифры алфавита зависит не только от вида этой цифры, но и от ее местоположения в записи числа.

Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число. Любая позиционная система характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание можно принять любое натуральное число — два, три, четыре, шестнадцать и т.д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.

Системы счисления

Десятичная система счисления.

Пришла в Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н.э. В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). В десятичной системе счисления особую роль играют число 10 и его степени: 10, 100, 1000 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа — число десятков, следующая — число сотен и т.д. Позиции цифр в записи числа называют его разрядами. В десятичной системе счисления вес каждого разряда в 10 раз больше веса предыдущего. Всякое число в десятичной системе счисления можно представить в виде суммы различных целых степеней десяти с соответствующими коэффициентами аi (0-9), взятыми из алфавита данной системы счисления. Например: 245,83 = 2 * 102 + 4 * 101 + 5 * 100 + 8 * 10-1 + 3 * 10-2. Любое десятичное позиционное число N можно представить с помощью целых степеней десяти, взятых с соответствующими коэффициентами, т.е.

N10 = am * 10m + am-1 * 10m-1 + …+ a1*10+ +a0 * 100 + a-1 * 10-1 +…+ a-n * 10-n.

Двоичная система счисления.

В этой системе всего две цифры — 0 и 1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра — число двоек, следующая — число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число — представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически. Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются двухпозиционные элементы, например, электромагнитное реле, транзисторный ключ.

Восьмеричная система счисления.

В этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает — как и в десятичном числе — просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем 64 и т.д. Число 100 (восьмеричное) есть не что иное, как 64 (десятичное). Чтобы перевести в двоичную систему, например, число 611 (восьмеричное), надо заменить каждую цифру эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр). Легко догадаться, что для перевода многозначного двоичного числа в восьмиричную систему нужно разбить его на триады справа налево и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой.

Шестнадцатиричная система счисления.

Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означат просто единицу. Та же цифра 1 в следующем — 16 (десятичное), в следующем — 256 (десятичное) и т.д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное). Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно производится аналогично тому, как это делается для восьмеричной системы.

Перевод из одной системы счисления в другую

Перевод целых чисел

Для перевода целых чисел из одной системы счисления с основанием S в другую с основанием S1 надо это число последовательно делить на основание S1 новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное меньше S1. Число в новой системе запишется в виде остатков деления, начиная с последнего. Это последнее частое дает цифру старшего разряда в новой системе счисления. Деление выполняют в исходной системе счисления. Например:

37710=1011110012

Перевод правильных дробей

Для перевода правильной дроби из одной системы счисления в другую необходимо эту дробь последовательно умножать на основание той системы, в которую она переводится, перемножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей получающихся произведений, начиная с первого. Например:

0,6875 0,67510=0,100112

* 2

1,3750

* 2

0,7500

* 2

1,5000

* 2

1,0000

При переводе неправильных десятичных дробей необходимо пользуясь рассмотренными правилами выполнить отдельно перевод целой и дробной частей.

Правила перевода из системы счисления в систему счисления

1) Для перевода чисел из любой системы счисления в десятичную необходимо:

А) Старшую цифру исходного числа умножить на основание старой системы счисления и прибавить следующую цифру исходного числа

Б)Результат опять умножить на основание старой системы счисления и прибавить следующую цифру исходного числа

В) Процесс перевода заканчивается после прибавления последней самой младшей цифры исходного числа

2) Для перевода чисел из десятичной системы счисления в любую необходимо делить исходное число на основание новой системы счисления до тех пор пока последнее частное не станет меньше основания новой системы счисления. Результат складывается из остатков деления, начиная с последнего.

3) Для перевода чисел из любой системы счисления в любую необходимо исходное число перевести в десятичную систему по первому правилу (умножением), полученное десятичное число перевести в искомую систему по второму правилу (деление).

4) Для перевода чисел из систем счисления, которые являются степенью двойки необходимо:

А) из 16-ричной в 2-ичную: для перевода 16-ричного числа в двоичную систему необходимо каждую цифру 16-ричного числа заменить 4-х разрядным двоичным значением.

Б) из 8-ричной в 2-ичную: Каждую цифру 8-ричного числа необходимо заменить 3-х разрядным двоичным значением.

Представление чисел в различных системах счисления
Системы счислений
Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатиричная
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	А
11	1011	13	В
12	1100	14	С
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Вопросы и задачи. Ответы и решения

1) Дать определение системы счисления. Назвать и охарактеризовать свойства системы счисления.

2) Какие символы используются для записи чисел в двоичной системе счисления, восьмеричной, шестнадцатеричной?

3) Зашифруйте следующие десятичные числа, преобразовав их в двоичные (восьмеричные, шестнадцатеричные): 0, 1, 18, 25, 128.

4) Дешифруйте следующие двоичные числа, преобразовав их в десятичные: 0010, 1011, 11101, 0111, 0101.

5) Дешифруйте следующие восьмеричные числа, преобразовав их в десятичные: 777, 375, 111, 1015.

6) Дешифруйте следующие шестнадцатеричные числа, преобразовав их в десятичные: 15, A6, 1F5, 63.

7) 2. Перевести данное число в десятичную систему счисления: 0000012; 1000011111,01012; 1216,048; 29A,516

8) Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную: а) 46410; б) 380,187510; в) 115,9410

· 10000012 =1× 26 +0× 25 +0× 24 +0× 23 +0× 22 + 0× 21 +1× 20= 64+1=6510.

· 1000011111,01012 =1×29 + 1×24 + 1×23 + 1×22 + 1×21 + 1×20+ 1×2-2 + 1×2-4 = 512 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0,25 + 0,0625 = 543,312510 .

· 1216,048 =1×83 +2×82 +1×81 +6×80+4× 8-2 = 512+128+8+6+0,0625 = 654,062510 .

· 29A,516 = 2×162 +9×161 +10×160+5×16-1 = 512+144+10+0,3125 = 656,312510 .

· а) 46410 » 1110100002; б) 380,187510 » 101111100,00112; в) 115,9410 » 1110011,11110(2)

Средства процессора Word, используемые в данной работе.

· Главным средством процессора Word, использованный в этой работе, является форматирование текста. Основной текст расположен «по ширине», заголовки – выравнивание «по центру», остальные части текста – «по левому краю» или «по правому краю».

· В данной работе было применено форматирование абзацев, изменение шрифтов и стилей, использование списков и использование границ.

· Также в тексте присутствует таблица, созданная в программе Excel, а затем копированная в данный текст. Этот способ более удобен, чем создание таблиц непосредственно в Word’е.

· В данный реферат включен рисунок. Он был нарисован в самом простом редакторе Paint. После этого вставлен в текст.

· В эту работу были вставлены некоторые символы.

Список литературы

· Л.З.Шауцукова, «Основы информатики в вопросах и ответах», Издательский центр «Эль-Фа», Нальчик, 1994

· Введение в информатику. Лабораторные работы. / Авт.-сост. А.П. Шестаков; Перм. ун-т. — Пермь, 1999

· Теоретический материал из лекций по информатике в МГАПИ.

www.ronl.ru

Топик - Позиционные системы счисления