Реферат: Моделирование производственных и экономических процессов. Моделирование экономических процессов реферат

Специфика моделирования экономических процессов - Реферат

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Кафедра философии

Реферат

«Специфика моделирования экономических процессов»

Выполнил аспирант кафедры «Информационные технологии»

Захаров Кирилл Владимирович

Специальность 08.00.13

«Математические и инструментальные методы экономики»

Реферат представлен для сдачи кандидатского минимума

Москва 2011

Оглавление

Оглавление 2

Введение 3

1. Исторический аспект 4

1.1. История моделирования как метода познания 4

1.2. История применения моделирования в экономике 5

2. Моделирование как метод научного познания 6

2.2 Понятие «модель» и «моделирование» 6

2.2 Общая теория моделирования 9

2.3 Общая классификация моделей и виды моделирования 11

3. Специфика и особенности моделирования в экономике 14

3.1. Классификация экономико-математических моделей 14

3.2 Проблема истины в моделях экономических процессов 17

3.3 Экономические объекты – сложные динамические системы 18

3.4. Случайность и неопределенность в экономическом развитии 19

3.4 Проблема качества первичной информации 21

3.5 Проблема точности экономических измерений 22

3.5. Этапы экономико-математического моделирования. 22

Заключение 27

Список литературы 28

Введение

Сложно переоценить значимость такого метода теоретического познания как моделирование для развития экономикой теории.

Математическое моделирование является неотъемлемой частью практически любого исследования в области экономики. Бурное развитие математического анализа, исследования операций, теории вероятностей и математической статистики способствовали формированию различного рода моделей экономики.

В западной экономической литературе большинство теоретических прикладных и научных статей в области экономики содержат в качестве центральной ту или иную математическую модель, разработанную для проверки или иллюстрации гипотез. В отечественной экономической науке также наблюдается тенденция к «математизированным» работам.

По мнению известного российского экономиста Г. Клейнера, вероятность признания практически любой новой экономической теории или концепции едва ли не в решающей степени зависит от того, в какой мере эта концепция допускает математическую формализацию и насколько впечатляют полученные при исследовании модели математические результаты. Это подтверждает и тот факт, что примерно половина Нобелевских премий по экономике присуждена за работы на стыке экономики и математики1.

Я считаю выбранную тему актуальной, потому что на сегодняшний день метод математического моделирования является одним из приоритетных методов не только в экономике, но и в других науках. Математическое моделирование и построение экономико-математических моделей на их основе являются современным научным направлением, позволяющим вскрывать сущность протекающих экономических процессов, эффективно управлять их поведением и анализировать функционирование экономических объектов и систем.

В реферате предпринята попытка рассмотреть специфические особенности математического моделирования экономических процессов. В первой части исследованы общие вопросы моделирования как метода познания окружающего мира, обосновываются понятия моделирование, математическая модель и математическое моделирование, приводится классификация моделей. Во второй части рассматриваются исторические аспекты математического моделирования. Третья часть затрагивает вопросы математического моделирования применительно к исследованиям экономических систем, поднимаются вопросы классификации экономико-математических моделей, выделяются основные этапы данного метода.

1. Исторический аспект

1.1. История моделирования как метода познания

Моделирование как метод научного познания стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватило все новые области научных познаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Реальные объекты и процессы столь многогранны и сложны, что лучшим способом их изучения часто является построение модели, отображающей какую-то грань реальности и потому многократно более простой, чем эта реальность, и исследование вначале этой модели. Многовековой опыт развития науки доказал на практике плодотворность такого подхода.

По существу, моделирование как форма отражения действительности зарождается в античную эпоху одновременно с возникновением научного познания. Достаточно указать на представления Демокpита и Эпикура об атомах, их форме, и способах соединения, об атомных вихрях и ливнях, объяснения физических свойств различных веществ с помощью представления о круглых и гладких или крючковатых частицах, сцепленных между собой. Эти представления являются прообразами современных моделей, отражающих ядеpно-электpонное строение атома вещества2.

Однако в отчётливой форме (хотя без употребления самого термина) моделирование начинает широко использоваться в эпоху Возрождения. Брунеллески, Микеланджело и другие итальянские архитекторы и скульпторы пользовались моделями проектируемых ими сооружений; в теоретических же работах Г. Галилея и Леонардо да Винчи не только используются модели, но и выясняются пределы применимости метода моделирования.

В 19 веке трудно назвать область науки или её приложений, где моделирование не имело бы существенного значения; исключительно большую методологическую роль сыграли в этом отношении работы Кельвина, Дж. Максвелла, Ф. А. Кекуле, А. М. Бутлерова и других физиков и химиков - именно эти науки стали, можно сказать, классическими «полигонами» метода моделирования3.

Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования XX век. Появление первых электронных вычислительных машин (Джон фон Нейман, 1947) и формулирование основных принципов кибернетики (Норберт Винер, 1948) привели к поистине универсальной значимости новых методов — как в абстрактных областях знания, так и в их приложениях.

Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться важная роль моделирования как универсального метода научного познания.

1.2. История применения моделирования в экономике

Необходимо сразу отметить, что исторически правильное изложение динамики зарождения и становления идеи экономико-математического подхода является сложной задачей ввиду огромного количества фактического материала, разнообразия различных школ и воззрений, их взаимосвязей и переплетений, разного отношения экономистов к основам экономической теории, ее развитию и структуре.

Развитие методологии экономико-математического моделирования имеет длинную историю. Становление двух по сути разных научных дисциплин – экономики и математики – на протяжении многих веков проходило по собственным законам, отражавшим природу этих дисциплин, и одновременно соприкасаясь друг с другом.

Понятие об экономике как науке возникло в период расцвета греческой рабовладельческой демократии. Аристотель первым пытался рассмотреть экономические закономерности, господствующие в обществе, выдвинул идею о различии между потребительной и меновой стоимостями товаров, высказал мысль о превращении денег в капитал и т. д.

Тем самым еще в глубокой древности с развитием товарно-денежных отношений в экономике появляются количественные величины как мера качества, что можно характеризовать как применение арифметики в экономике.

Апофеозом математического метода в экономических идеях явились идеи основателя классической школы буржуазной политической экономии Уильяма Петти. В своей «Политической арифметике» Петти показал, что его привлекают прежде всего статистические сопоставления, расчеты, цифры.

Признается, что исторически первая модель национальной экономики создана французским экономистом Франсуа Кене, в которой содержались зачатки моделей экономической динамики, мультипликатора, теории рынка.

Сам термин «экономико-математические методы и модели» появился лишь в ХХ веке. До этого экономико-математическая наука развивалась в рамках политической экономии (а позже в рамках чистой экономической теории). Неудивительно, что представители буржуазной политической экономии уже с середины XIX века в своих теоретических исследованиях начинают использовать все более и более сложный математический аппарат. В последнее тридцатилетие XIX века складывается самостоятельное математическое направление в буржуазной политической экономии.

Математическая школа возникла в рамках так называемого неоклассического направления в политической экономии, главным содержанием которого является теория предельной полезности (маржинализм). В ходе развития неоклассического направления проблемы социально-экономической динамики незаметно исчезают из анализа, постепенно осуществляется переход к общим проблемам функционирования экономических систем, рыночных и ценовых механизмов, реализации принципа экономичности и рациональности в условиях совершенной конкуренции, условий частного и общего равновесия.

Родоначальником математической школы считается французский ученый А. Курно. В 1838 г. вышла его книга «Исследование математических принципов теории богатства» (О. Курно был известным математиком, философом, историком и экономистом).

Видными представителями математической школы являются Г. Госсен в Германии, У. Джевонс в Англии, Л. Вальрас в Швейцарии, Ф. Эджворд в Англии, В. Парето в Италии, В. Дмитриев в России.

Представители математического направления в буржуазной политической экономии достигли известных успехов в области математического моделирования, в раскрытии ряда объективных закономерностей производства, обмена, распределения и потребления.

Родоначальники математической школы рассматривали математические методы, математическое моделирование связей между элементами экономической системы как методы исследования, а не как методы изложения, иллюстраций экономических положений и законов, полученных других путем. Изложение же выводов, полученных математически, может быть дано и на обычном языке, или в математической форме, но без доказательства. Так, Л. Вальрас писал: «Весьма немногие из нас в состоянии прочесть «Математические начала натуральной философии» Ньютона или «Небесную механику» Лапласа, и тем не менее мы все принимаем на веру сделанное сведущими людьми описание мира астрономических явлений согласно закону всеобщего тяготения. Почему точно таким же образом не принять описание мира экономических явлений, сделанного согласно закону свободной конкуренции».

Уже в XX веке большой вклад в развитие математического направления в экономике внесли советские ученые: Л. В. Канторович, В. В. Новожилов, В. С. Немчинов.

Представители математической школы с помощью математических методов стремились разрешить не отдельные частные проблемы экономической теории, а охватить весь экономический процесс в целом, дать общую картину взаимозависимости всех экономических явлений. Математический метод рассматривается как основной, важнейший метод, который только один в состоянии дать экономической теории научную законченность.

Сейчас уже сложно представить экономиста, не владеющего методами моделирования. В университетах в качестве обязательного курса для экономистов стала читаться дисциплина «Экономико-математическое моделирование». Специальность «Математические и инструментальные методы экономики» получила признание и ВАК – Высшей аттестационной комиссии.

2. Моделирование как метод научного познания

2.2 Понятие «модель» и «моделирование»

В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы методы моделирования. Однако до сих пор нет устоявшейся общепринятой точки зрения на место моделирования среди методов познания.

Множество мнений исследователей, тем не менее, укладываются в некоторую область, ограниченную двумя полярными мнениями. Одно из них рассматривает моделирование как некий вторичный метод, подчиненный более общим (менее радикальный вариант той же, по сути, позиции - моделирование рассматривается исключительно как разновидность такого эмпирического метода познания как эксперимент). Другое же, наоборот, называет моделирование «главным и основополагающим методом познания», в подтверждение приводится тезис, что «всякое вновь изучаемое явление или процесс бесконечно сложно и многообразно и потому до конца принципиально не познаваемо и не изучаемо»4.

Главной причиной возникновения столь различных позиций можно считать отсутствие общепринятого и устоявшегося в науке определения моделирования. Ниже предпринята попытка анализа нескольких определений термина «моделирование» и непосредственно связанного с ним термина «модель». Это вполне оправдано, так как подавляющее большинство источников определяют моделирование как «исследование процессов, явлений и систем объектов через построение и изучение их моделей». То есть наибольшую сложность представляет проблема определения модели.

Термин «модель» широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений.

Само слово «модель» произошло от латинского слова «modelium», означает: мера, способ и т.д. Его первоначальное значение было связано со строительным искусством, и почти во всех европейских языках оно употреблялось для обозначения образа или вещи, сходной в каком-то отношении с другой вещью5.

С другой стороны, в таких науках о природе, как астрономия, механика, физика термин «модель» стал применяться для обозначения того, что она описывает. В. А. Штофф отмечает, что «здесь со словом «модель» связаны два близких, но несколько различных понятия»6. В своей книге «Моделирование и философия» В.А. Штоф даёт определение, которое стало эталонным в западной философии: «Под моделью понимается такая мысленно представляемая или материально реализуемая система, которая отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает нам новую информацию об этом объекте»7. Модель в этом смысле выступает как некоторая идеализация, упрощение действительности, хотя сам характер и степень упрощения, вносимые моделью, могут со временем меняться. В более узком смысле термин «модель» применяют тогда, когда хотят изобразить некоторую область явлений с помощью другой, более изученной, легче понимаемой. Так, физики 18 века пытались изобразить оптические и электрические явления посредством механических («планетарная модель атома» - строение атома изображалось как строение солнечной системы).

Таким образом, в этих двух случаях под моделью понимается либо конкретный образ изучаемого объекта, в котором отображаются реальные или предполагаемые свойства, либо другой объект, реально существующий наряду с изучаемым и сходный с ним в отношении некоторых определенных свойств или структурных особенностей. В этом смысле модель - не теория, а то, что описывается данной теорией - своеобразный предмет данной теории.

В философской литературе, посвященной вопросам моделирования, предлагаются и другие определения модели. А.А. Зиновьев и И.И. Pевзин дают следующее определение: «Пусть X есть некоторое множество суждений, описывающих соотношение элементов некоторых сложных объектов А и В. Пусть Y есть некоторое множество суждений, получаемых путем изучения А и отличных от суждения Х. Пусть есть некоторое множество суждений, относящихся к В и также отличных от Х. Если выводится из конъюнкции Х и Y по правилам логики, то А есть модель В, а В есть оригинал модели»8. Здесь модель - лишь средство получения знаний, а не сами знания, следовательно, из рассмотрения выпадают идеальные модели (мысленные), т.к. их значение в качестве элементов знания реальных объектов отрицать нельзя.

Обратимся к энциклопедическим знаниям. Сначала выделим определение, которое предлагает Оксфордский Толковый Словарь9. Авторы предлагают 7 различных определений для различных видов моделей. Наибольший интерес представляют следующее: «Модель — упрощенное описание некоей системы для дальнейших расчетов». Данное определение лежит где-то в плоскости абстрактно-знаковых моделей. Объем понятия «модель» неизмеримо больше, чем предлагаемый авторами словаря, Классификация моделей, которая приведена ниже, будет являться доказательством этому.

Сходная проблема возникает и при анализе определения «модели» в Советском Энциклопедическом Словаре10 (СЭС). Модель авторами рассматривается двояко. В узком смысле — это «устройство, воспроизводящее, имитирующее строение и действие какого-либо другого (моделируемого) устройства в научных, производственных или практических целях». Слово «устройство», встречающееся в определении автоматически приводит к сужению понятия «модель» как минимум до понятия «материальная модель», но данное определение представляет определенную ценность, так как содержит внутри себя формулировку, раскрывающую сущность моделирования — «строение и действие».

Второе определение СЭС: «Модель — любой образ какого-либо объекта, процесса, явления, используемый в качестве его заместителя или представителя», - наоборот, является слишком широким. Данное определение отражает скорее внешние признаки, которыми обладает модель, но не её внутреннее содержание. Однако рациональное зерно есть и в этом определении — за словом «образ» угадывается более важное, с философской точки зрения, понятие — «отражение».

Дальнейшее рассмотрение метода моделирования связано с его целями. Большинство исследователей выделяют три11:

• Понимание устройства конкретной системы, её структуры, свойств, законов развития и взаимодействия с окружающим миром;

• Управление системой, определение наилучших способов управления при заданных целях и критериях;

• Прогнозирование прямых и косвенных последствий реализации заданных способов и форм воздействия на систему.

Все три цели подразумевают в той или иной степени наличия механизма обратной связи, то есть необходима возможность не только переноса элементов, свойств и отношений моделируемой системы на моделирующую, но и наоборот.

То есть, моделирование может быть определено как представление объекта моделью для получения информации об этом объекте путем проведения экспериментов с его моделью. Такое определение моделирования сформулировано И.Б.Новиком и А.А.Ляпуновым12: «Моделирование-это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система:

1) находящаяся в некотором объективном соответствии с познаваемым объектом;

2) способная замещать его в определенных отношениях;

3) дающая при её исследовании, в конечном счете, информацию о самом моделируемом объекте».

Три перечисленных признака, по сути, являются определяющими признаками модели.

Имеет смысл обратить также внимание на определение И.Т. Фролова: «Моделирование означает материальное или мысленное имитирование реально существующей системы путем специального конструирования аналогов (моделей), в которых воспроизводятся принципы организации и функционирования этой системы»13. Здесь в основе мысль, что модель - средство познания, главный ее признак - отображение. Теория замещения одних объектов (оригиналов) другими объектами (моделями) и исследование свойств объектов на их моделях называется теорией моделирования.

Оба приведенных определения «моделирования» коррелируют с определением «модели», которое дал В.А. Штоф в книге «Моделирование и философия». На него и будем опираться в реферате.

2.2 Общая теория моделирования

Остановимся подробнее на философских аспектах моделирования, а точнее, общей теории моделирования. Методологическая основа моделирования заключается в следующем. Все то, на что направлена человеческая деятельность, называется объектом (лат. objectum – предмет). Выработка методологии направлена на упорядочение получения и обработки информации об объектах, которые существуют вне нашего сознания и взаимодействуют между собой и внешней средой.14

Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания. Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств.

Следует отметить, что, с точки зрения философии, моделирование – эффективное средство познания природы, которое предполагает наличие:

• объекта исследования;

• исследователя, перед которым поставлена конкретная задача;

• модели, создаваемой для получения информации об объекте и необходимой для решения поставленной задачи.

Пусть имеется или необходимо создать некоторый объект А. Мы конструируем (материально или мысленно) или находим в реальном мире другой объект В - модель объекта А. Этап построения модели предполагает наличие некоторых знаний об объекте-оригинале. Познавательные возможности модели обуславливаются тем, что модель отражает какие-либо существенные черты объекта-оригинала. Вопрос о необходимости и достаточной мере сходства оригинала и модели требует конкретного анализа. Очевидно, модель утрачивает свой смысл как в случае тождества с оригиналом (тогда она перестает быть моделью), так и в случае чрезмерного во всех существенных отношениях отличия от оригинала.

Таким образом, изучение одних сторон моделируемого объекта осуществляется ценой отказа от отражения других сторон. Поэтому любая модель замещает оригинал лишь в строго ограниченном смысле. Из этого следует, что для одного объекта может быть построено несколько «специализированных» моделей, концентрирующих внимание на определенных сторонах исследуемого объекта или же характеризующих объект с разной степенью детализации.

На втором этапе процесса моделирования модель выступает как самостоятельный объект исследования. Одной из форм такого исследования является проведение «модельных» экспериментов, при которых сознательно изменяются условия функционирования модели и систематизируются данные о её «поведении». Конечным результатом этого этапа является множество знаний о модели R.

На третьем этапе осуществляется перенос знаний с модели на оригинал - формирование множества знаний S об объекте. Этот процесс переноса знаний проводится по определенным правилам. Знания о модели должны быть скорректированы с учетом тех свойств объекта-оригинала, которые не нашли отражения или были изменены при построении модели. Мы можем с достаточным основанием переносить какой-либо результат с модели на оригинал, если этот результат необходимо связан с признаками сходства оригинала и модели. Если же определенный результат модельного исследования связан с отличием модели от оригинала, то этот результат переносить неправомерно.

Четвертый этап - практическая проверка получаемых с помощью моделей знаний и их использование для построения обобщающей теории объекта, его преобразования или управления им.

Для понимания сущности моделирования важно не упускать из виду, что моделирование - не единственный источник знаний об объекте. Процесс моделирования «погружен» в более общий процесс познания. Это обстоятельство учитывается не только на этапе построения модели, но и на завершающей стадии, когда происходит объединение и обобщение результатов исследования, получаемых на основе многообразных средств познания.

Моделирование - циклический процесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах.

В методологии моделирования, таким образом, заложены большие возможности саморазвития.

При дальнейшем рассмотрении моделей и процесса моделирования будем исходить из того, что общим свойством всех моделей является их способность, так или иначе, отображать действительность. В зависимости от того, какими средствами, при каких условиях, по отношению к каким объектам познания это их общее свойство реализуется, возникает большое разнообразие моделей, а вместе с ним и проблема классификации моделей.

refdb.ru

Доклад - Моделирование экономических процессов

Калининградский государственный технический университет

Кафедра систем управления и вычислительной техники

Курсовая работа по дисциплине:

«Моделирование экономических процессов»

Работу выполнил

студент группы __-ВИЭ-__

______________

«____» ______________ 2009 г.

Работу проверил

Устич В.И.

«____» ______________ 2009 г.

Калининград

2009 г.Задание на курсовую работу

Двухколейная железная дорога имеет между станциями А и В одноколейный участок с разъездом С. На разъезде имеется запасной путь, на котором один состав может пропустить встречный поезд. К станциям А и В поезда прибывают с двухколейных участков каждые 40 ± 10 мин. Участок пути АС поезда преодолевают за 15 ± 3 мин, а участок пути ВС — за 20 ± 3 мин. Со станции А и В поезда пропускают на одноколейный участок до разъезда только при условии, что участок свободен, а на разъезде не стоит состав. После остановки на разъезде поезда пропускаются на участок сразу после его освобождения. Поезд останавливается на разъезде, если по лежащему впереди него участку пути движется встречный поезд.

Смоделировать работу одноколейного участка железной дороги при условии, что в направлении АВ через него должны проследовать 50 составов. Определить среднее время ожидания составов на станциях А и В, а также среднее время ожидания на разъезде С и коэффициент загрузки запасного пути.

1 Введение. 4

2 Построение концептуальной модели. 6

2.1 Постановка задачи. 6

2.2 Анализ исходных данных и выбор недостающих. 6

2.3 Создание концептуальной модели. 7

3 Алгоритмизация модели и ее машинная реализация. 8

3.1 Построение блок — схемы алгоритма. 8

3.2 Построение блок — диаграммы… 8

3.3 Составление таблицы определений. 12

3.4 Программирование модели. 12

4 Получение и интерпретация результатов. 13

4.1 Планирование эксперимента. 13

4.2 Проведение рабочих расчетов. 13

4.3 Анализ результатов. 13

5 Заключение. 17

6 Список литературы… 18

1 Введение

В настоящее время одним из наиболее широко распространенных средств исследования и оптимизации функционирования систем управления (и вообще любых сложных социально-технических систем) является имитационное моделирование, в основном – с применением современной вычислительной техники. ЭВМ программируется таким образом, чтобы программный продукт «жил» по законам, соответствующим условиям существования реальной системы. Далее на такой имитационной модели можно отрабатывать воздействия различных факторов, влияющих на поведение системы, изучать влияние изменения внутренних параметров на эффективность функционирования и так далее.

Процессы функционирования различных систем и сетей связи могут быть представлены той или иной совокупностью систем массового обслуживания (СМО) – стохастических, динамических, дискретно-непрерывных математических моделей. Исследование характеристик таких моделей может проводиться либо аналитическими методами, либо путем имитационного моделирования.

Имитационная модель отображает стохастический процесс смены дискретных состояний СМО в непрерывном времени в форме моделирующего алгоритма. При его реализации на ЭВМ производится накопление статистических данных по тем атрибутам модели, характеристики которых являются предметом исследований. По окончании моделирования накопленная статистика обрабатывается, и результаты моделирования получаются в виде выборочных распределений исследуемых величин или их выборочных моментов. Таким образом, при имитационном моделировании систем массового обслуживания речь всегда идет о статистическом имитационном моделировании.

Одним из наиболее эффективных и распространенных языков моделирования сложных дискретных систем является в настоящее время язык GPSS. Он может быть с наибольшим успехом использован для моделирования систем, формализуемых в виде систем массового обслуживания. В качестве объектов языка используются аналоги таких стандартных компонентов СМО, как заявки, обслуживающие приборы, очереди и т.п. Достаточный набор подобных компонентов позволяет конструировать сложные имитационные модели, сохраняя привычную терминологию СМО.

На персональных компьютерах (ПК) типа IBM/PC язык GPSS реализован в рамках пакета прикладных программ GPSS/PC и GPSS World. Основной модуль пакета представляет собой интегрированную среду, включающую помимо транслятора со входного языка средства ввода и редактирования текста модели, ее отладки и наблюдения за процессом моделирования, графические средства отображения атрибутов модели, а также средства накопления результатов моделирования в базе данных и их статистической обработки. Кроме основного модуля в состав пакета входит модуль создания стандартного отчета (GPSS World) GPSS/PC, а также ряд дополнительных модулей и файлов.

В данной курсовой работе, выполнено проектирование, реализация и анализ результатов выполнения поставленной задачи с помощью программы GPSS World.

2 Построение концептуальной модели

2.1 Постановка задачи

В задании на моделирование объекта четко и ясно описаны система железной дороги, состоящая из одноколенного участка (состоит из двух участков AC и CB) и разъезда на участке C, и процессы, протекающие в этой системе. Поэтому нет необходимости в дополнительном изучении предметной области.

2.2 Анализ исходных данных и выбор недостающих

При описании системы железной дороги задано время прихода поездов к станциям A и B – 40 +/- 10 мин. Участок пути АС поезда преодолевают за 15 ± 3 мин, а участок пути ВС – за 20 ± 3 мин. Со станции А и В поезда пропускают на одноколейный участок до разъезда только при условии, что участок свободен, а на разъезде не стоит состав. После остановки на разъезде поезда пропускаются на участок сразу после его освобождения. Поезд останавливается на разъезде, если по лежащему впереди него участку пути движется встречный поезд.

Эти данные являются входными параметрами. Теперь необходимо определить, достаточно ли этих данных для создания модели и получения нужных результатов?

В задании сказано, что необходимо определить среднее время ожидания составов на станциях А и В, а также среднее время ожидания на разъезде С и коэффициент загрузки запасного пути.

Среднее время ожидания составов на станциях А и В, среднее время ожидания на разъезде С и коэффициент загрузки запасного пути – выходные переменные моделируемой системы.

Теперь проанализируем законы распределения исходных данных.

Время поступления поездов на станции A и B равномерно распределено в интервале от 30 до 50 мин, т.е. задания с одинаковой вероятностью могут поступать через интервалы 30, 31, 32, 33, 34… 50 мин. Время преодоления участка AC равномерно распределено в интервале от 12 до 8 мин. Время преодоления участка BC равномерно распределено в интервале от 17 до 23 мин. Со станции А и В поезда пропускают на одноколейный участок до разъезда только при условии, что участок свободен, а на разъезде не стоит состав. После остановки на разъезде поезда пропускаются на участок сразу после его освобождения. Поезд останавливается на разъезде, если по лежащему впереди него участку пути движется встречный поезд.

Итак, можно сделать выводы, что исходные данные для моделирования достаточны.

2.3 Создание концептуальной модели

Система железной дороги состоит из одноколенного участка пути AB и разъезда в точке C. На станции A и B поступают поезда. Со станции А и В поезда пропускают на одноколейный участок до разъезда только при условии, что участок свободен, а на разъезде не стоит состав. После остановки на разъезде поезда пропускаются на участок сразу после его освобождения. Поезд останавливается на разъезде, если по лежащему впереди него участку пути движется встречный поезд.

Участки пути AC и CB, а также разъезд можно представить как приборы. Тогда СМО будет выглядеть следующим образом

Рис 1 – СМО в виде блок схемы.

Рис 2 – СМО в виде Q – схемы.

3 Алгоритмизация модели и ее машинная реализация

3.1 Построение блок — схемы алгоритма

На этом этапе создается схема алгоритма, описывающая функционирование системы внутризаводского транспорта (см. рис. 3). Она будет строиться с использованием СМО, представленной на рис 1.

3.2 Построение блок — диаграммы

Блок-диаграмма – графическое представление операций, происходящих внутри системы. Другими словами, блок-диаграмма описывает взаимодействие событий внутри системы. Линии, соединяющие блоки, указывают маршруты потоков сообщений или описывают последовательность выполняемых событий. В случае нескольких вариантов действий от блока отходят несколько линий. Если же к блоку подходят несколько линий, то это означает, что выполняемая операция является общей для двух или более последовательностей блоков. Выбор логических путей может основываться на статистических или логических условиях, действующих в момент выбора.

Блок-диаграммы получили широкое применение при описании систем. При построении блок-диаграмм, следует соблюдать определенные условия, являющиеся основой создания программы на языке моделирования. В GPSS имеется определенное количество типов блоков для задания объектов и операций над ними. Каждому блоку соответствует графическое изображение на блок-диаграмме. Стрелки между блоками указывают маршруты потоков сообщений. Далее, для того, чтобы применить язык моделирования GPSS, каждый блок блок-диаграммы заменяется соответствующим оператором GPSS.

Построение блок-диаграммы GPSS модели системы обеспечивает необходимую гибкость модели в процессе ее эксплуатации, а также дает ряд преимуществ на стадии ее машинной отладки. При построении блочной модели производится разбиение процесса функционирования системы на отдельные достаточно автономные подпроцессы. Блоки такой модели бывают основными и вспомогательными. Каждый основной блок соответствует некоторому подпроцессу моделируемой системы, а вспомогательные блоки лишь представляют составную часть машинной модели, не отражая функции моделируемой системы, они нужны лишь для машинной реализации модели, фиксации и обработки результатов моделирования.

Для поставленной задачи блок-диаграмма представлена на рис. 4.

Генерацию заявок в GPSS выполняет команда GENERATE.

Обработка в устройстве будет моделироваться блоком ADVANCE.

Выход из системы — блок TERMINATE.

3.4 Программирование модели

Программа модели:

GENERATE 40,10

QUEUE OchUchAC

GATE NU RZZD

GATE NU UchAC

SEIZE UchAC

DEPART OchUchAC

ADVANCE 15,3

RELEASE UchAC

GATE NU UchCB,LabRZZDac

LabUchCB SEIZE UchCB

ADVANCE 20,3

RELEASE UchCB

TERMINATE 1

GENERATE 40,10

QUEUE OchUchCA

GATE NU RZZD

GATE NU UchCB

SEIZE UchCB

DEPART OchUchCA

ADVANCE 20,3

RELEASE UchCB

GATE NU UchAC,LabRZZDcb

LabUchAC SEIZE UchAC

ADVANCE 15,3

RELEASE UchAC

TERMINATE 0

LabRZZDac SEIZE RZZD

GATE NU UchCB

RELEASE RZZD

TRANSFER ,LabUchCB

LabRZZDcb SEIZE RZZD

GATE NU UchAC

RELEASE RZZD

TRANSFER ,LabUchAC

START 50

4 Получение и интерпретация результатов

4.1 Планирование эксперимента

На этом этапе нужно создать план эксперимента. В задании сказано, что необходимо определить среднее время ожидания составов на станциях А и В, а также среднее время ожидания на разъезде С и коэффициент загрузки запасного пути.

Для определения среднего времени ожидания составов на станциях А и В, среднего времени ожидания на разъезде С и коэффициента загрузки запасного пути достаточно статистики, выдаваемой системой GPSS об очередях и приборах, и одного прогона модели (для определения среднего времени ожидания составов на станциях А и В воспользуемся командами QUEUE, DEPART).

4.2 Проведение рабочих расчетов

На этом этапе программную модель нужно записать в файл на ГМД или ЖМД в зависимости от типа ПЭВМ с использованием текстового редактора, отладить и провести эксперименты.

4.3 Анализ результатов

После проведения эксперимента были получены листинги со статистикой об объектах моделирования.

ОТНОСИТ. ВРЕМЯ 2043.760 АБСОЛЮТ. ВРЕМЯ 2043.760

Из статистики следует, что среднее время ожидания составов на станциях А и В 10.850 и 17.138 мин. соответственно. Среднее время ожидания на разъезде С – 12.524 мин. коэффициент загрузки запасного пути – 0.343 (34,3%).

Проведем эксперимент второй эксперимент. Уменьшим время поступления поездов на станции A и B на 1 мин.

ОТНОСИТ. ВРЕМЯ 2122.749 АБСОЛЮТ. ВРЕМЯ 2122.749

Из статистики следует, что при уменьшении времени поступления поездов даже 1 мин. накапливается приличная очередь на станциях. После проведения первого эксперимента очереди на станциях A и B не создавалось. Что позволяет сделать вывод: изначальная система рассчитана оптимально нет очереди на станциях и нет резерва производительности.

5 Заключение

В данном курсовом проекте была спроектирована СМО для поставленной задачи с использованием программы GPSS World.

Была построена концептуальная модель;

Была проведена алгоритмизация модели и ее реализация в программе GPSS World.

Также был проведен эксперименты над представленной моделью, который показал, что изначальная система рассчитана оптимально – на станциях нет очереди и нет резерва производительности.

6 Список литературы

1. Афанасьев М. Ю. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения: учеб. пособие. – М.: ИНФРА-М, 2003.

2. Боев В. Моделирование систем. Инструментальные средства GPSS WORLD. – М.: БХВ, 2004.

3. Варфоломеев, В. И. Алгоритмическое моделирование элементов экономических систем: практикум: учеб. пособие / под ред. С. В. Назарова. – М.: Финансы и статистика, 2004.

4. Кудрявцев Е. GPSS World. Основы имитационного моделирования различных систем. – М.: ДМК, 2003.

5. Кудрявцев Е., Добровольский. Основы работы с универсальной системой моделирования GPSS World. – М., 2005.

6. Максимей, И. В. Имитационное моделирование на ЭВМ. – М.: Радио и связь, 1988.

7. Томашевский. Имитационное моделирование в среде GPSS. – М., 2003.

8. Тарасов В.Н., Коннов А.Л., Мельник Е.В. Компьютерное моделирование. – Оренбург, 2005.

www.ronl.ru

Курсовая работа - Моделирование экономических процессов

Калининградский государственный технический университет

Кафедра систем управления и вычислительной техники

Курсовая работа по дисциплине:

«Моделирование экономических процессов»

Работу выполнил

студент группы __-ВИЭ-__

______________

«____» ______________ 2009 г.

Работу проверил

Устич В.И.

«____» ______________ 2009 г.

Калининград

2009 г.Задание на курсовую работу

Двухколейная железная дорога имеет между станциями А и В одноколейный участок с разъездом С. На разъезде имеется запасной путь, на котором один состав может пропустить встречный поезд. К станциям А и В поезда прибывают с двухколейных участков каждые 40 ± 10 мин. Участок пути АС поезда преодолевают за 15 ± 3 мин, а участок пути ВС — за 20 ± 3 мин. Со станции А и В поезда пропускают на одноколейный участок до разъезда только при условии, что участок свободен, а на разъезде не стоит состав. После остановки на разъезде поезда пропускаются на участок сразу после его освобождения. Поезд останавливается на разъезде, если по лежащему впереди него участку пути движется встречный поезд.

Смоделировать работу одноколейного участка железной дороги при условии, что в направлении АВ через него должны проследовать 50 составов. Определить среднее время ожидания составов на станциях А и В, а также среднее время ожидания на разъезде С и коэффициент загрузки запасного пути.

1 Введение. 4

2 Построение концептуальной модели. 6

2.1 Постановка задачи. 6

2.2 Анализ исходных данных и выбор недостающих. 6

2.3 Создание концептуальной модели. 7

3 Алгоритмизация модели и ее машинная реализация. 8

3.1 Построение блок — схемы алгоритма. 8

3.2 Построение блок — диаграммы… 8

3.3 Составление таблицы определений. 12

3.4 Программирование модели. 12

4 Получение и интерпретация результатов. 13

4.1 Планирование эксперимента. 13

4.2 Проведение рабочих расчетов. 13

4.3 Анализ результатов. 13

5 Заключение. 17

6 Список литературы… 18

1 Введение

В настоящее время одним из наиболее широко распространенных средств исследования и оптимизации функционирования систем управления (и вообще любых сложных социально-технических систем) является имитационное моделирование, в основном – с применением современной вычислительной техники. ЭВМ программируется таким образом, чтобы программный продукт «жил» по законам, соответствующим условиям существования реальной системы. Далее на такой имитационной модели можно отрабатывать воздействия различных факторов, влияющих на поведение системы, изучать влияние изменения внутренних параметров на эффективность функционирования и так далее.

Процессы функционирования различных систем и сетей связи могут быть представлены той или иной совокупностью систем массового обслуживания (СМО) – стохастических, динамических, дискретно-непрерывных математических моделей. Исследование характеристик таких моделей может проводиться либо аналитическими методами, либо путем имитационного моделирования.

Имитационная модель отображает стохастический процесс смены дискретных состояний СМО в непрерывном времени в форме моделирующего алгоритма. При его реализации на ЭВМ производится накопление статистических данных по тем атрибутам модели, характеристики которых являются предметом исследований. По окончании моделирования накопленная статистика обрабатывается, и результаты моделирования получаются в виде выборочных распределений исследуемых величин или их выборочных моментов. Таким образом, при имитационном моделировании систем массового обслуживания речь всегда идет о статистическом имитационном моделировании.

Одним из наиболее эффективных и распространенных языков моделирования сложных дискретных систем является в настоящее время язык GPSS. Он может быть с наибольшим успехом использован для моделирования систем, формализуемых в виде систем массового обслуживания. В качестве объектов языка используются аналоги таких стандартных компонентов СМО, как заявки, обслуживающие приборы, очереди и т.п. Достаточный набор подобных компонентов позволяет конструировать сложные имитационные модели, сохраняя привычную терминологию СМО.

На персональных компьютерах (ПК) типа IBM/PC язык GPSS реализован в рамках пакета прикладных программ GPSS/PC и GPSS World. Основной модуль пакета представляет собой интегрированную среду, включающую помимо транслятора со входного языка средства ввода и редактирования текста модели, ее отладки и наблюдения за процессом моделирования, графические средства отображения атрибутов модели, а также средства накопления результатов моделирования в базе данных и их статистической обработки. Кроме основного модуля в состав пакета входит модуль создания стандартного отчета (GPSS World) GPSS/PC, а также ряд дополнительных модулей и файлов.

В данной курсовой работе, выполнено проектирование, реализация и анализ результатов выполнения поставленной задачи с помощью программы GPSS World.

2 Построение концептуальной модели

2.1 Постановка задачи

В задании на моделирование объекта четко и ясно описаны система железной дороги, состоящая из одноколенного участка (состоит из двух участков AC и CB) и разъезда на участке C, и процессы, протекающие в этой системе. Поэтому нет необходимости в дополнительном изучении предметной области.

2.2 Анализ исходных данных и выбор недостающих

При описании системы железной дороги задано время прихода поездов к станциям A и B – 40 +/- 10 мин. Участок пути АС поезда преодолевают за 15 ± 3 мин, а участок пути ВС – за 20 ± 3 мин. Со станции А и В поезда пропускают на одноколейный участок до разъезда только при условии, что участок свободен, а на разъезде не стоит состав. После остановки на разъезде поезда пропускаются на участок сразу после его освобождения. Поезд останавливается на разъезде, если по лежащему впереди него участку пути движется встречный поезд.

Эти данные являются входными параметрами. Теперь необходимо определить, достаточно ли этих данных для создания модели и получения нужных результатов?

В задании сказано, что необходимо определить среднее время ожидания составов на станциях А и В, а также среднее время ожидания на разъезде С и коэффициент загрузки запасного пути.

Среднее время ожидания составов на станциях А и В, среднее время ожидания на разъезде С и коэффициент загрузки запасного пути – выходные переменные моделируемой системы.

Теперь проанализируем законы распределения исходных данных.

Время поступления поездов на станции A и B равномерно распределено в интервале от 30 до 50 мин, т.е. задания с одинаковой вероятностью могут поступать через интервалы 30, 31, 32, 33, 34… 50 мин. Время преодоления участка AC равномерно распределено в интервале от 12 до 8 мин. Время преодоления участка BC равномерно распределено в интервале от 17 до 23 мин. Со станции А и В поезда пропускают на одноколейный участок до разъезда только при условии, что участок свободен, а на разъезде не стоит состав. После остановки на разъезде поезда пропускаются на участок сразу после его освобождения. Поезд останавливается на разъезде, если по лежащему впереди него участку пути движется встречный поезд.

Итак, можно сделать выводы, что исходные данные для моделирования достаточны.

2.3 Создание концептуальной модели

Система железной дороги состоит из одноколенного участка пути AB и разъезда в точке C. На станции A и B поступают поезда. Со станции А и В поезда пропускают на одноколейный участок до разъезда только при условии, что участок свободен, а на разъезде не стоит состав. После остановки на разъезде поезда пропускаются на участок сразу после его освобождения. Поезд останавливается на разъезде, если по лежащему впереди него участку пути движется встречный поезд.

Участки пути AC и CB, а также разъезд можно представить как приборы. Тогда СМО будет выглядеть следующим образом

Рис 1 – СМО в виде блок схемы.

Рис 2 – СМО в виде Q – схемы.

3 Алгоритмизация модели и ее машинная реализация

3.1 Построение блок — схемы алгоритма

На этом этапе создается схема алгоритма, описывающая функционирование системы внутризаводского транспорта (см. рис. 3). Она будет строиться с использованием СМО, представленной на рис 1.

3.2 Построение блок — диаграммы

Блок-диаграмма – графическое представление операций, происходящих внутри системы. Другими словами, блок-диаграмма описывает взаимодействие событий внутри системы. Линии, соединяющие блоки, указывают маршруты потоков сообщений или описывают последовательность выполняемых событий. В случае нескольких вариантов действий от блока отходят несколько линий. Если же к блоку подходят несколько линий, то это означает, что выполняемая операция является общей для двух или более последовательностей блоков. Выбор логических путей может основываться на статистических или логических условиях, действующих в момент выбора.

Блок-диаграммы получили широкое применение при описании систем. При построении блок-диаграмм, следует соблюдать определенные условия, являющиеся основой создания программы на языке моделирования. В GPSS имеется определенное количество типов блоков для задания объектов и операций над ними. Каждому блоку соответствует графическое изображение на блок-диаграмме. Стрелки между блоками указывают маршруты потоков сообщений. Далее, для того, чтобы применить язык моделирования GPSS, каждый блок блок-диаграммы заменяется соответствующим оператором GPSS.

Построение блок-диаграммы GPSS модели системы обеспечивает необходимую гибкость модели в процессе ее эксплуатации, а также дает ряд преимуществ на стадии ее машинной отладки. При построении блочной модели производится разбиение процесса функционирования системы на отдельные достаточно автономные подпроцессы. Блоки такой модели бывают основными и вспомогательными. Каждый основной блок соответствует некоторому подпроцессу моделируемой системы, а вспомогательные блоки лишь представляют составную часть машинной модели, не отражая функции моделируемой системы, они нужны лишь для машинной реализации модели, фиксации и обработки результатов моделирования.

Для поставленной задачи блок-диаграмма представлена на рис. 4.

Генерацию заявок в GPSS выполняет команда GENERATE.

Обработка в устройстве будет моделироваться блоком ADVANCE.

Выход из системы — блок TERMINATE.

3.4 Программирование модели

Программа модели:

GENERATE 40,10

QUEUE OchUchAC

GATE NU RZZD

GATE NU UchAC

SEIZE UchAC

DEPART OchUchAC

ADVANCE 15,3

RELEASE UchAC

GATE NU UchCB,LabRZZDac

LabUchCB SEIZE UchCB

ADVANCE 20,3

RELEASE UchCB

TERMINATE 1

GENERATE 40,10

QUEUE OchUchCA

GATE NU RZZD

GATE NU UchCB

SEIZE UchCB

DEPART OchUchCA

ADVANCE 20,3

RELEASE UchCB

GATE NU UchAC,LabRZZDcb

LabUchAC SEIZE UchAC

ADVANCE 15,3

RELEASE UchAC

TERMINATE 0

LabRZZDac SEIZE RZZD

GATE NU UchCB

RELEASE RZZD

TRANSFER ,LabUchCB

LabRZZDcb SEIZE RZZD

GATE NU UchAC

RELEASE RZZD

TRANSFER ,LabUchAC

START 50

4 Получение и интерпретация результатов

4.1 Планирование эксперимента

На этом этапе нужно создать план эксперимента. В задании сказано, что необходимо определить среднее время ожидания составов на станциях А и В, а также среднее время ожидания на разъезде С и коэффициент загрузки запасного пути.

Для определения среднего времени ожидания составов на станциях А и В, среднего времени ожидания на разъезде С и коэффициента загрузки запасного пути достаточно статистики, выдаваемой системой GPSS об очередях и приборах, и одного прогона модели (для определения среднего времени ожидания составов на станциях А и В воспользуемся командами QUEUE, DEPART).

4.2 Проведение рабочих расчетов

На этом этапе программную модель нужно записать в файл на ГМД или ЖМД в зависимости от типа ПЭВМ с использованием текстового редактора, отладить и провести эксперименты.

4.3 Анализ результатов

После проведения эксперимента были получены листинги со статистикой об объектах моделирования.

ОТНОСИТ. ВРЕМЯ 2043.760 АБСОЛЮТ. ВРЕМЯ 2043.760

Из статистики следует, что среднее время ожидания составов на станциях А и В 10.850 и 17.138 мин. соответственно. Среднее время ожидания на разъезде С – 12.524 мин. коэффициент загрузки запасного пути – 0.343 (34,3%).

Проведем эксперимент второй эксперимент. Уменьшим время поступления поездов на станции A и B на 1 мин.

ОТНОСИТ. ВРЕМЯ 2122.749 АБСОЛЮТ. ВРЕМЯ 2122.749

Из статистики следует, что при уменьшении времени поступления поездов даже 1 мин. накапливается приличная очередь на станциях. После проведения первого эксперимента очереди на станциях A и B не создавалось. Что позволяет сделать вывод: изначальная система рассчитана оптимально нет очереди на станциях и нет резерва производительности.

5 Заключение

В данном курсовом проекте была спроектирована СМО для поставленной задачи с использованием программы GPSS World.

Была построена концептуальная модель;

Была проведена алгоритмизация модели и ее реализация в программе GPSS World.

Также был проведен эксперименты над представленной моделью, который показал, что изначальная система рассчитана оптимально – на станциях нет очереди и нет резерва производительности.

6 Список литературы

1. Афанасьев М. Ю. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения: учеб. пособие. – М.: ИНФРА-М, 2003.

2. Боев В. Моделирование систем. Инструментальные средства GPSS WORLD. – М.: БХВ, 2004.

3. Варфоломеев, В. И. Алгоритмическое моделирование элементов экономических систем: практикум: учеб. пособие / под ред. С. В. Назарова. – М.: Финансы и статистика, 2004.

4. Кудрявцев Е. GPSS World. Основы имитационного моделирования различных систем. – М.: ДМК, 2003.

5. Кудрявцев Е., Добровольский. Основы работы с универсальной системой моделирования GPSS World. – М., 2005.

6. Максимей, И. В. Имитационное моделирование на ЭВМ. – М.: Радио и связь, 1988.

7. Томашевский. Имитационное моделирование в среде GPSS. – М., 2003.

8. Тарасов В.Н., Коннов А.Л., Мельник Е.В. Компьютерное моделирование. – Оренбург, 2005.

www.ronl.ru

Реферат - Моделирование экономических процессов

Калининградский государственный технический университет

Кафедра систем управления и вычислительной техники

Курсовая работа по дисциплине:

«Моделирование экономических процессов»

Работу выполнил

студент группы __-ВИЭ-__

______________

«____» ______________ 2009 г.

Работу проверил

Устич В.И.

«____» ______________ 2009 г.

Калининград

2009 г.Задание на курсовую работу

Двухколейная железная дорога имеет между станциями А и В одноколейный участок с разъездом С. На разъезде имеется запасной путь, на котором один состав может пропустить встречный поезд. К станциям А и В поезда прибывают с двухколейных участков каждые 40 ± 10 мин. Участок пути АС поезда преодолевают за 15 ± 3 мин, а участок пути ВС — за 20 ± 3 мин. Со станции А и В поезда пропускают на одноколейный участок до разъезда только при условии, что участок свободен, а на разъезде не стоит состав. После остановки на разъезде поезда пропускаются на участок сразу после его освобождения. Поезд останавливается на разъезде, если по лежащему впереди него участку пути движется встречный поезд.

Смоделировать работу одноколейного участка железной дороги при условии, что в направлении АВ через него должны проследовать 50 составов. Определить среднее время ожидания составов на станциях А и В, а также среднее время ожидания на разъезде С и коэффициент загрузки запасного пути.

1 Введение. 4

2 Построение концептуальной модели. 6

2.1 Постановка задачи. 6

2.2 Анализ исходных данных и выбор недостающих. 6

2.3 Создание концептуальной модели. 7

3 Алгоритмизация модели и ее машинная реализация. 8

3.1 Построение блок — схемы алгоритма. 8

3.2 Построение блок — диаграммы… 8

3.3 Составление таблицы определений. 12

3.4 Программирование модели. 12

4 Получение и интерпретация результатов. 13

4.1 Планирование эксперимента. 13

4.2 Проведение рабочих расчетов. 13

4.3 Анализ результатов. 13

5 Заключение. 17

6 Список литературы… 18

1 Введение

В настоящее время одним из наиболее широко распространенных средств исследования и оптимизации функционирования систем управления (и вообще любых сложных социально-технических систем) является имитационное моделирование, в основном – с применением современной вычислительной техники. ЭВМ программируется таким образом, чтобы программный продукт «жил» по законам, соответствующим условиям существования реальной системы. Далее на такой имитационной модели можно отрабатывать воздействия различных факторов, влияющих на поведение системы, изучать влияние изменения внутренних параметров на эффективность функционирования и так далее.

Процессы функционирования различных систем и сетей связи могут быть представлены той или иной совокупностью систем массового обслуживания (СМО) – стохастических, динамических, дискретно-непрерывных математических моделей. Исследование характеристик таких моделей может проводиться либо аналитическими методами, либо путем имитационного моделирования.

Имитационная модель отображает стохастический процесс смены дискретных состояний СМО в непрерывном времени в форме моделирующего алгоритма. При его реализации на ЭВМ производится накопление статистических данных по тем атрибутам модели, характеристики которых являются предметом исследований. По окончании моделирования накопленная статистика обрабатывается, и результаты моделирования получаются в виде выборочных распределений исследуемых величин или их выборочных моментов. Таким образом, при имитационном моделировании систем массового обслуживания речь всегда идет о статистическом имитационном моделировании.

Одним из наиболее эффективных и распространенных языков моделирования сложных дискретных систем является в настоящее время язык GPSS. Он может быть с наибольшим успехом использован для моделирования систем, формализуемых в виде систем массового обслуживания. В качестве объектов языка используются аналоги таких стандартных компонентов СМО, как заявки, обслуживающие приборы, очереди и т.п. Достаточный набор подобных компонентов позволяет конструировать сложные имитационные модели, сохраняя привычную терминологию СМО.

На персональных компьютерах (ПК) типа IBM/PC язык GPSS реализован в рамках пакета прикладных программ GPSS/PC и GPSS World. Основной модуль пакета представляет собой интегрированную среду, включающую помимо транслятора со входного языка средства ввода и редактирования текста модели, ее отладки и наблюдения за процессом моделирования, графические средства отображения атрибутов модели, а также средства накопления результатов моделирования в базе данных и их статистической обработки. Кроме основного модуля в состав пакета входит модуль создания стандартного отчета (GPSS World) GPSS/PC, а также ряд дополнительных модулей и файлов.

В данной курсовой работе, выполнено проектирование, реализация и анализ результатов выполнения поставленной задачи с помощью программы GPSS World.

2 Построение концептуальной модели

2.1 Постановка задачи

В задании на моделирование объекта четко и ясно описаны система железной дороги, состоящая из одноколенного участка (состоит из двух участков AC и CB) и разъезда на участке C, и процессы, протекающие в этой системе. Поэтому нет необходимости в дополнительном изучении предметной области.

2.2 Анализ исходных данных и выбор недостающих

При описании системы железной дороги задано время прихода поездов к станциям A и B – 40 +/- 10 мин. Участок пути АС поезда преодолевают за 15 ± 3 мин, а участок пути ВС – за 20 ± 3 мин. Со станции А и В поезда пропускают на одноколейный участок до разъезда только при условии, что участок свободен, а на разъезде не стоит состав. После остановки на разъезде поезда пропускаются на участок сразу после его освобождения. Поезд останавливается на разъезде, если по лежащему впереди него участку пути движется встречный поезд.

Эти данные являются входными параметрами. Теперь необходимо определить, достаточно ли этих данных для создания модели и получения нужных результатов?

В задании сказано, что необходимо определить среднее время ожидания составов на станциях А и В, а также среднее время ожидания на разъезде С и коэффициент загрузки запасного пути.

Среднее время ожидания составов на станциях А и В, среднее время ожидания на разъезде С и коэффициент загрузки запасного пути – выходные переменные моделируемой системы.

Теперь проанализируем законы распределения исходных данных.

Время поступления поездов на станции A и B равномерно распределено в интервале от 30 до 50 мин, т.е. задания с одинаковой вероятностью могут поступать через интервалы 30, 31, 32, 33, 34… 50 мин. Время преодоления участка AC равномерно распределено в интервале от 12 до 8 мин. Время преодоления участка BC равномерно распределено в интервале от 17 до 23 мин. Со станции А и В поезда пропускают на одноколейный участок до разъезда только при условии, что участок свободен, а на разъезде не стоит состав. После остановки на разъезде поезда пропускаются на участок сразу после его освобождения. Поезд останавливается на разъезде, если по лежащему впереди него участку пути движется встречный поезд.

Итак, можно сделать выводы, что исходные данные для моделирования достаточны.

2.3 Создание концептуальной модели

Система железной дороги состоит из одноколенного участка пути AB и разъезда в точке C. На станции A и B поступают поезда. Со станции А и В поезда пропускают на одноколейный участок до разъезда только при условии, что участок свободен, а на разъезде не стоит состав. После остановки на разъезде поезда пропускаются на участок сразу после его освобождения. Поезд останавливается на разъезде, если по лежащему впереди него участку пути движется встречный поезд.

Участки пути AC и CB, а также разъезд можно представить как приборы. Тогда СМО будет выглядеть следующим образом

Рис 1 – СМО в виде блок схемы.

Рис 2 – СМО в виде Q – схемы.

3 Алгоритмизация модели и ее машинная реализация

3.1 Построение блок — схемы алгоритма

На этом этапе создается схема алгоритма, описывающая функционирование системы внутризаводского транспорта (см. рис. 3). Она будет строиться с использованием СМО, представленной на рис 1.

3.2 Построение блок — диаграммы

Блок-диаграмма – графическое представление операций, происходящих внутри системы. Другими словами, блок-диаграмма описывает взаимодействие событий внутри системы. Линии, соединяющие блоки, указывают маршруты потоков сообщений или описывают последовательность выполняемых событий. В случае нескольких вариантов действий от блока отходят несколько линий. Если же к блоку подходят несколько линий, то это означает, что выполняемая операция является общей для двух или более последовательностей блоков. Выбор логических путей может основываться на статистических или логических условиях, действующих в момент выбора.

Блок-диаграммы получили широкое применение при описании систем. При построении блок-диаграмм, следует соблюдать определенные условия, являющиеся основой создания программы на языке моделирования. В GPSS имеется определенное количество типов блоков для задания объектов и операций над ними. Каждому блоку соответствует графическое изображение на блок-диаграмме. Стрелки между блоками указывают маршруты потоков сообщений. Далее, для того, чтобы применить язык моделирования GPSS, каждый блок блок-диаграммы заменяется соответствующим оператором GPSS.

Построение блок-диаграммы GPSS модели системы обеспечивает необходимую гибкость модели в процессе ее эксплуатации, а также дает ряд преимуществ на стадии ее машинной отладки. При построении блочной модели производится разбиение процесса функционирования системы на отдельные достаточно автономные подпроцессы. Блоки такой модели бывают основными и вспомогательными. Каждый основной блок соответствует некоторому подпроцессу моделируемой системы, а вспомогательные блоки лишь представляют составную часть машинной модели, не отражая функции моделируемой системы, они нужны лишь для машинной реализации модели, фиксации и обработки результатов моделирования.

Для поставленной задачи блок-диаграмма представлена на рис. 4.

Генерацию заявок в GPSS выполняет команда GENERATE.

Обработка в устройстве будет моделироваться блоком ADVANCE.

Выход из системы — блок TERMINATE.

3.4 Программирование модели

Программа модели:

GENERATE 40,10

QUEUE OchUchAC

GATE NU RZZD

GATE NU UchAC

SEIZE UchAC

DEPART OchUchAC

ADVANCE 15,3

RELEASE UchAC

GATE NU UchCB,LabRZZDac

LabUchCB SEIZE UchCB

ADVANCE 20,3

RELEASE UchCB

TERMINATE 1

GENERATE 40,10

QUEUE OchUchCA

GATE NU RZZD

GATE NU UchCB

SEIZE UchCB

DEPART OchUchCA

ADVANCE 20,3

RELEASE UchCB

GATE NU UchAC,LabRZZDcb

LabUchAC SEIZE UchAC

ADVANCE 15,3

RELEASE UchAC

TERMINATE 0

LabRZZDac SEIZE RZZD

GATE NU UchCB

RELEASE RZZD

TRANSFER ,LabUchCB

LabRZZDcb SEIZE RZZD

GATE NU UchAC

RELEASE RZZD

TRANSFER ,LabUchAC

START 50

4 Получение и интерпретация результатов

4.1 Планирование эксперимента

На этом этапе нужно создать план эксперимента. В задании сказано, что необходимо определить среднее время ожидания составов на станциях А и В, а также среднее время ожидания на разъезде С и коэффициент загрузки запасного пути.

Для определения среднего времени ожидания составов на станциях А и В, среднего времени ожидания на разъезде С и коэффициента загрузки запасного пути достаточно статистики, выдаваемой системой GPSS об очередях и приборах, и одного прогона модели (для определения среднего времени ожидания составов на станциях А и В воспользуемся командами QUEUE, DEPART).

4.2 Проведение рабочих расчетов

На этом этапе программную модель нужно записать в файл на ГМД или ЖМД в зависимости от типа ПЭВМ с использованием текстового редактора, отладить и провести эксперименты.

4.3 Анализ результатов

После проведения эксперимента были получены листинги со статистикой об объектах моделирования.

ОТНОСИТ. ВРЕМЯ 2043.760 АБСОЛЮТ. ВРЕМЯ 2043.760

Из статистики следует, что среднее время ожидания составов на станциях А и В 10.850 и 17.138 мин. соответственно. Среднее время ожидания на разъезде С – 12.524 мин. коэффициент загрузки запасного пути – 0.343 (34,3%).

Проведем эксперимент второй эксперимент. Уменьшим время поступления поездов на станции A и B на 1 мин.

ОТНОСИТ. ВРЕМЯ 2122.749 АБСОЛЮТ. ВРЕМЯ 2122.749

Из статистики следует, что при уменьшении времени поступления поездов даже 1 мин. накапливается приличная очередь на станциях. После проведения первого эксперимента очереди на станциях A и B не создавалось. Что позволяет сделать вывод: изначальная система рассчитана оптимально нет очереди на станциях и нет резерва производительности.

5 Заключение

В данном курсовом проекте была спроектирована СМО для поставленной задачи с использованием программы GPSS World.

Была построена концептуальная модель;

Была проведена алгоритмизация модели и ее реализация в программе GPSS World.

Также был проведен эксперименты над представленной моделью, который показал, что изначальная система рассчитана оптимально – на станциях нет очереди и нет резерва производительности.

6 Список литературы

1. Афанасьев М. Ю. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения: учеб. пособие. – М.: ИНФРА-М, 2003.

2. Боев В. Моделирование систем. Инструментальные средства GPSS WORLD. – М.: БХВ, 2004.

3. Варфоломеев, В. И. Алгоритмическое моделирование элементов экономических систем: практикум: учеб. пособие / под ред. С. В. Назарова. – М.: Финансы и статистика, 2004.

4. Кудрявцев Е. GPSS World. Основы имитационного моделирования различных систем. – М.: ДМК, 2003.

5. Кудрявцев Е., Добровольский. Основы работы с универсальной системой моделирования GPSS World. – М., 2005.

6. Максимей, И. В. Имитационное моделирование на ЭВМ. – М.: Радио и связь, 1988.

7. Томашевский. Имитационное моделирование в среде GPSS. – М., 2003.

8. Тарасов В.Н., Коннов А.Л., Мельник Е.В. Компьютерное моделирование. – Оренбург, 2005.

www.ronl.ru

Реферат: Моделирование экономических процессов

Калининградский государственный технический университет

Кафедра систем управления и вычислительной техники

Курсовая работа по дисциплине:

«Моделирование экономических процессов»

Работу выполнил

студент группы __-ВИЭ-__

______________

«____» ______________ 2009 г.

Работу проверил

Устич В.И.

«____» ______________ 2009 г.

Калининград

2009 г.Задание на курсовую работу

Двухколейная железная дорога имеет между станциями А и В одноколейный участок с разъездом С. На разъезде имеется запасной путь, на котором один состав может пропустить встречный поезд. К станциям А и В поезда прибывают с двухколейных участков каждые 40 ± 10 мин. Участок пути АС поезда преодолевают за 15 ± 3 мин, а участок пути ВС - за 20 ± 3 мин. Со станции А и В поезда пропускают на одноколейный участок до разъезда только при условии, что участок свободен, а на разъезде не стоит состав. После остановки на разъезде поезда пропускаются на участок сразу после его освобождения. Поезд останавливается на разъезде, если по лежащему впереди него  участку пути движется встречный поезд.

Смоделировать работу одноколейного участка железной дороги при условии, что в направлении АВ через него должны проследовать 50 составов. Определить среднее время ожидания составов на станциях А и В, а также среднее время ожидания на разъезде С и коэффициент загрузки запасного пути.

1 Введение. 4

2 Построение концептуальной модели. 6

2.1 Постановка задачи. 6

2.2 Анализ исходных данных и выбор недостающих. 6

2.3 Создание концептуальной модели. 7

3 Алгоритмизация модели и ее машинная реализация. 8

3.1 Построение блок - схемы алгоритма. 8

3.2 Построение блок - диаграммы.. 8

3.3 Составление таблицы определений. 12

3.4 Программирование модели. 12

4 Получение и интерпретация результатов. 13

4.1 Планирование эксперимента. 13

4.2 Проведение рабочих расчетов. 13

4.3 Анализ результатов. 13

5 Заключение. 17

6 Список литературы.. 18

В настоящее время одним из наиболее широко распространенных средств исследования и оптимизации функционирования систем управления (и вообще любых сложных социально-технических систем) является имитационное моделирование, в основном – с применением современной вычислительной техники. ЭВМ программируется таким образом, чтобы программный продукт «жил» по законам, соответствующим условиям существования реальной системы. Далее на такой имитационной модели можно отрабатывать воздействия различных факторов, влияющих на поведение системы, изучать влияние изменения внутренних параметров на эффективность функционирования и так далее.

Процессы функционирования различных систем и сетей связи могут быть представлены той или иной совокупностью систем массового обслуживания (СМО) – стохастических, динамических, дискретно-непрерывных математических моделей. Исследование характеристик таких моделей может проводиться либо аналитическими методами, либо путем имитационного моделирования.

Имитационная модель отображает стохастический процесс смены дискретных состояний СМО в непрерывном времени в форме моделирующего алгоритма. При его реализации на ЭВМ производится накопление статистических данных по тем атрибутам модели, характеристики которых являются предметом исследований. По окончании моделирования накопленная статистика обрабатывается, и результаты моделирования получаются в виде выборочных распределений исследуемых величин или их выборочных моментов. Таким образом, при имитационном моделировании систем массового обслуживания речь всегда идет о статистическом имитационном моделировании.

Одним из наиболее эффективных и распространенных языков моделирования сложных дискретных систем является в настоящее время язык GPSS. Он может быть с наибольшим успехом использован для моделирования систем, формализуемых в виде систем массового обслуживания. В качестве объектов языка используются аналоги таких стандартных компонентов СМО, как заявки, обслуживающие приборы, очереди и т.п. Достаточный набор подобных компонентов позволяет конструировать сложные имитационные модели, сохраняя привычную терминологию СМО.

На персональных компьютерах (ПК) типа IBM/PC язык GPSS реализован в рамках пакета прикладных программ GPSS/PC и GPSS World. Основной модуль пакета представляет собой интегрированную среду, включающую помимо транслятора со входного языка средства ввода и редактирования текста модели, ее отладки и наблюдения за процессом моделирования, графические средства отображения атрибутов модели, а также средства накопления результатов моделирования в базе данных и их статистической обработки. Кроме основного модуля в состав пакета входит модуль создания стандартного отчета (GPSS World) GPSS/PC, а также ряд дополнительных модулей и файлов.

В данной курсовой работе, выполнено проектирование, реализация и анализ результатов выполнения поставленной задачи с помощью программы GPSS World.

В задании на моделирование объекта четко и ясно описаны система железной дороги, состоящая из одноколенного участка (состоит из двух участков AC и CB) и разъезда на участке C, и процессы, протекающие в этой системе. Поэтому нет необходимости в дополнительном изучении предметной области.

При описании системы железной дороги задано время прихода поездов к станциям A и B – 40 +/- 10 мин. Участок пути АС поезда преодолевают за 15 ± 3 мин, а участок пути ВС – за 20 ± 3 мин. Со станции А и В поезда пропускают на одноколейный участок до разъезда только при условии, что участок свободен, а на разъезде не стоит состав. После остановки на разъезде поезда пропускаются на участок сразу после его освобождения. Поезд останавливается на разъезде, если по лежащему впереди него  участку пути движется встречный поезд.

Эти данные являются входными параметрами. Теперь необходимо определить,  достаточно ли этих данных для создания модели и получения нужных результатов?

В задании сказано, что необходимо определить среднее время ожидания составов на станциях А и В, а также среднее время ожидания на разъезде С и коэффициент загрузки запасного пути.

Среднее время ожидания составов на станциях А и В, среднее время ожидания на разъезде С и коэффициент загрузки запасного пути – выходные переменные моделируемой системы.

Теперь проанализируем законы распределения исходных данных.

Время поступления поездов на станции A и B равномерно распределено в интервале от 30 до 50 мин, т.е. задания с одинаковой вероятностью могут поступать через интервалы 30, 31, 32, 33, 34 ... 50 мин. Время преодоления участка AC равномерно распределено в интервале от 12 до 8 мин. Время преодоления участка BC равномерно распределено в интервале от 17 до 23 мин. Со станции А и В поезда пропускают на одноколейный участок до разъезда только при условии, что участок свободен, а на разъезде не стоит состав. После остановки на разъезде поезда пропускаются на участок сразу после его освобождения. Поезд останавливается на разъезде, если по лежащему впереди него  участку пути движется встречный поезд.

Итак, можно сделать выводы, что исходные данные для моделирования достаточны.

Система железной дороги состоит из одноколенного участка пути AB и разъезда в точке C. На станции A и B поступают поезда. Со станции А и В поезда пропускают на одноколейный участок до разъезда только при условии, что участок свободен, а на разъезде не стоит состав. После остановки на разъезде поезда пропускаются на участок сразу после его освобождения. Поезд останавливается на разъезде, если по лежащему впереди него  участку пути движется встречный поезд.

Участки пути AC и CB, а также разъезд можно представить как приборы. Тогда СМО будет выглядеть следующим образом

Рис 1 – СМО в виде блок схемы.

Рис 2 – СМО в виде Q – схемы.

На этом этапе создается схема алгоритма, описывающая функционирование системы внутризаводского транспорта (см. рис. 3). Она будет строиться с использованием СМО, представленной на рис 1.

Блок-диаграмма – графическое представление операций, происходящих внутри системы. Другими словами, блок-диаграмма описывает взаимодействие событий внутри системы. Линии, соединяющие блоки, указывают маршруты потоков сообщений или описывают последовательность выполняемых событий. В случае нескольких вариантов действий от блока отходят несколько линий. Если же к блоку подходят несколько линий, то это означает, что выполняемая операция является общей для двух или более последовательностей блоков. Выбор логических путей может основываться на статистических или логических условиях, действующих в момент выбора.

Блок-диаграммы получили широкое применение при описании систем. При построении блок-диаграмм, следует соблюдать определенные условия, являющиеся основой создания программы на языке моделирования. В GPSS имеется определенное количество типов блоков для задания объектов и операций над ними. Каждому блоку соответствует графическое изображение на блок-диаграмме. Стрелки между блоками указывают маршруты потоков сообщений. Далее, для того, чтобы применить язык моделирования GPSS, каждый блок блок-диаграммы заменяется соответствующим оператором GPSS.

Построение блок-диаграммы GPSS модели системы обеспечивает необходимую гибкость модели в процессе ее эксплуатации, а также дает ряд преимуществ на стадии ее машинной отладки. При построении блочной модели производится разбиение процесса функционирования системы на отдельные достаточно автономные подпроцессы. Блоки такой модели бывают основными и вспомогательными. Каждый основной блок соответствует некоторому подпроцессу моделируемой системы, а вспомогательные блоки лишь представляют составную часть машинной модели, не отражая функции моделируемой системы, они нужны лишь для машинной реализации модели, фиксации и обработки результатов моделирования.

Для поставленной задачи блок-диаграмма представлена на рис. 4.

		Рис 3 – Блок-схема алгоритма

 

Генерацию заявок в GPSS выполняет команда GENERATE.

Обработка в устройстве будет моделироваться блоком ADVANCE.

Выход из системы - блок TERMINATE.

Программа модели:

          GENERATE  40,10           

          QUEUE     OchUchAC

          GATE NU   RZZD            

          GATE NU   UchAC           

          SEIZE     UchAC           

          DEPART    OchUchAC        

          ADVANCE   15,3            

          RELEASE   UchAC           

          GATE NU   UchCB,LabRZZDac

LabUchCB  SEIZE     UchCB           

          ADVANCE   20,3            

          RELEASE   UchCB           

          TERMINATE 1

          GENERATE  40,10

          QUEUE     OchUchCA        

          GATE NU   RZZD            

          GATE NU   UchCB           

          SEIZE     UchCB           

          DEPART    OchUchCA        

          ADVANCE   20,3            

          RELEASE   UchCB           

          GATE NU   UchAC,LabRZZDcb

LabUchAC  SEIZE     UchAC

          ADVANCE   15,3            

          RELEASE   UchAC           

          TERMINATE 0

LabRZZDac SEIZE     RZZD            

          GATE NU   UchCB           

          RELEASE   RZZD

          TRANSFER  ,LabUchCB       

LabRZZDcb SEIZE     RZZD            

          GATE NU   UchAC           

          RELEASE   RZZD

          TRANSFER  ,LabUchAC       

          START     50

На этом этапе нужно создать план эксперимента. В задании сказано, что необходимо определить среднее время ожидания составов на станциях А и В, а также среднее время ожидания на разъезде С и коэффициент загрузки запасного пути.

Для определения среднего времени ожидания составов на станциях А и В, среднего времени ожидания на разъезде С и коэффициента загрузки запасного пути достаточно статистики, выдаваемой системой GPSS об очередях и приборах, и одного прогона модели (для определения среднего времени ожидания составов на станциях А и В воспользуемся командами QUEUE, DEPART).

На этом  этапе программную модель нужно записать в файл на ГМД или ЖМД в зависимости от типа ПЭВМ с использованием текстового редактора,  отладить и провести эксперименты.

После проведения эксперимента были получены листинги со статистикой об объектах моделирования.

ОТНОСИТ. ВРЕМЯ               2043.760           АБСОЛЮТ. ВРЕМЯ              2043.760

Из статистики следует, что среднее время ожидания составов на станциях А и В 10.850 и 17.138 мин. соответственно. Среднее время ожидания на разъезде С – 12.524 мин. коэффициент загрузки запасного пути – 0.343 (34,3%).

Проведем эксперимент второй эксперимент. Уменьшим время поступления поездов на станции A и B на 1 мин.

ОТНОСИТ. ВРЕМЯ               2122.749           АБСОЛЮТ. ВРЕМЯ              2122.749

Из статистики следует, что при уменьшении времени поступления поездов даже 1 мин. накапливается приличная очередь на станциях. После проведения первого эксперимента очереди на станциях A и B не создавалось. Что позволяет сделать вывод: изначальная система рассчитана оптимально нет очереди на станциях и нет резерва производительности.

В данном курсовом проекте была спроектирована СМО для поставленной задачи с использованием программы GPSS World.

Была построена концептуальная модель;

Была проведена алгоритмизация модели и ее реализация в программе GPSS World.

Также был проведен эксперименты над представленной моделью, который показал, что изначальная система рассчитана оптимально – на станциях нет очереди и нет резерва производительности.

1.    Афанасьев М. Ю. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения: учеб. пособие. – М.: ИНФРА-М, 2003.

2.    Боев В. Моделирование систем. Инструментальные средства GPSS WORLD. – М.: БХВ, 2004.

3.    Варфоломеев, В. И. Алгоритмическое моделирование элементов экономических систем: практикум: учеб. пособие / под ред. С. В. Назарова. – М.: Финансы и статистика, 2004.

4.    Кудрявцев Е. GPSS World. Основы имитационного моделирования различных систем. – М.: ДМК, 2003.

5.    Кудрявцев Е., Добровольский. Основы работы с универсальной системой моделирования GPSS World. – М., 2005.

6.    Максимей, И. В. Имитационное моделирование на ЭВМ. – М.: Радио и связь, 1988.

7.    Томашевский. Имитационное моделирование в среде GPSS. – М., 2003.

8.    Тарасов В.Н., Коннов А.Л., Мельник Е.В. Компьютерное моделирование. – Оренбург, 2005.

www.referatmix.ru

Дипломная работа - Моделирование производственных и экономических процессов

АлматинскийКолледж Экономики и права

Курсовойпроект

По дисциплине:«Моделирование производственных и экономических процессов»

           Выполнил студент 408 – П гр.

                                                                           Дворный Денис В…

     Проверил преподаватель

                                                                                        Джумабекова Б.Ж.

                                                                      Защитил с оценкой __________ 

Алматы 2006

Содержание

            стр.

Введение ………………………………………………………………………...

Глава 1. Моделирование как метод научногопознания…………….………..3

Глава 2. Симплексный метод оптимальныхпродаж …………………………14

<span Times New Roman"">           

<span Times New Roman"">           

  Глава3.Транспортная задача……………………………………………………25

  3.1 Постановказадачи………………………………………………………25

  3.2 Алгоритмрешения транспортной задачи................................................27

 Заключение……………………………………………………………………31

Литература……………………………………………………………………32

Моделированиев научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепеннозахватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование,строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец,общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отрасляхсовременной науки принес методу моделирования ХХ в. Однако методологиямоделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками.Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенностала осознаваться роль моделирования как универсального метода научногопознания.

Термин«модель» широко используется в различных сферах человеческойдеятельности и имеет множество смысловых значений. Рассмотрим только такие«модели», которые являются инструментами получения знаний.

Модель — это такойматериальный или мысленно представляемый объект, который в процессеисследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучениедает новые знания об объекте-оригинале.

Под моделирование понимаетсяпроцесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такимикатегориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделированияобязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, иконструирование научных гипотез.

Главная особенностьмоделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощьюобъектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания,который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которогоизучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделированияопределяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез,других категорий и методов познания.

Необходимость использованияметода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы,относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно,или же это исследование требует много времени и средств.

Процесс моделирования включаеттри элемента: 1) субъект (исследователь), 2) объект исследования, 3) модель,опосредствующую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта.

Пусть имеется или необходимосоздать некоторый объект А. Мы конструируем (материально или мысленно) илинаходим в реальном мире другой объект В — модель объекта А. Этап построениямодели предполагает наличие некоторых знаний об объекте-оригинале.Познавательные возможности модели обуславливаются тем, что модель отражаеткакие-либо существенные черты объекта-оригинала. Вопрос о необходимости идостаточной мере сходства оригинала и модели требует конкретного анализа.Очевидно, модель утрачивает свой смысл как в случае тождества с оригиналом(тогда она перестает быть оригиналом), так и в случае чрезмерного во всехсущественных отношениях отличия от оригинала.

Таким образом, изучение однихсторон моделируемого объекта осуществляется ценой отказа от отражения другихсторон. Поэтому любая модель замещает оригинал лишь в строго ограниченномсмысле. Из этого следует, что для одного объекта может быть построено несколько«специализированных» моделей, концентрирующих внимание наопределенных сторонах исследуемого объекта или же характеризующих объект сразной степенью детализации.

На втором этапе процессамоделирования модель выступает как самостоятельный объект исследования. Однойиз форм такого исследования является проведение «модельных»экспериментов, при которых сознательно изменяются условия функционированиямодели и систематизируются данные о ее «поведении». Конечным результатомэтого этапа является множество знаний о модели R.

На третьем этапеосуществляется перенос знаний с модели на оригинал — формирование множествазнаний S об объекте. Этот процесс переноса знаний проводится по определеннымправилам. Знания о модели должны быть скорректированы с учетом тех свойствобъекта-оригинала, которые не нашли отражения или были изменены при построениимодели. Мы можем с достаточным основанием переносить какой-либо результат смодели на оригинал, если этот результат необходимо связан с признаками сходстваоригинала и модели. Если же определенный результат модельного исследованиясвязан с отличием модели от оригинала, то этот результат переноситьнеправомерно.

Четвертый этап — практическаяпроверка получаемых с помощью моделей знаний и их использование для построенияобобщающей теории объекта, его преобразования или управления им.

Для понимания сущностимоделирования важно не упускать из виду, что моделирование — не единственныйисточник знаний об объекте. Процесс моделирования «погружен» в болееобщий процесс познания. Это обстоятельство учитывается не только на этапепостроения модели, но и на завершающей стадии, когда происходит объединение иобобщение результатов исследования, получаемых на основе многообразных средствпознания.

Моделирование — циклическийпроцесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последоватьвторой, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются иуточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки,обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знаниемобъекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. Вметодологии моделирования, таким образом, заложены большие возможностисаморазвития.

Проникновение математики вэкономическую науку связано с преодолением значительных трудностей. В этомотчасти была «повинна» математика, развивающаяся на протяжении несколькихвеков в основном в связи с потребностями физики и техники. Но главные причинылежат все же в природе экономических процессов, в специфике экономическойнауки.

Большинство объектов,изучаемых экономической наукой, может быть охарактеризовано кибернетическимпонятием сложная система.

Наиболее распространенопонимание системы как совокупности элементов, находящихся во взаимодействии иобразующих некоторую целостность, единство. Важным качеством любой системыявляется эмерджентность — наличие таких свойств, которые не присущи ни одномуиз элементов, входящих в систему. Поэтому при изучении систем недостаточнопользоваться методом их расчленения на элементы с последующим изучением этихэлементов в отдельности. Одна из трудностей экономических исследований — в том,что почти не существует экономических объектов, которые можно было бырассматривать как отдельные (внесистемные) элементы.

Сложность системы определяетсяколичеством входящих в нее элементов, связями между этими элементами, а такжевзаимоотношениями между системой и средой. Экономика страны обладает всемипризнаками очень сложной системы. Она объединяет огромное число элементов,отличается многообразием внутренних связей и связей с другими системами(природная среда, экономика других стран и т.д.). В народном хозяйствевзаимодействуют природные, технологические, социальные процессы, объективные исубъективные факторы.

Сложность экономики иногдарассматривалась как обоснование невозможности ее моделирования, изучениясредствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна. Моделироватьможно объект любой природы и любой сложности. И как раз сложные объектыпредставляют наибольший интерес для моделирования; именно здесь моделированиеможет дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования.

Потенциальная возможностьматематического моделирования любых экономических объектов и процессов неозначает, разумеется, ее успешной осуществимости при данном уровнеэкономических и математических знаний, имеющейся конкретной информации ивычислительной технике. И хотя нельзя указать абсолютные границы математическойформализуемости экономических проблем, всегда будут существовать ещенеформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделированиенедостаточно эффективно.

Математические моделиэкономических процессов и явлений более кратко можно назватьэкономико-математическими моделями. Для классификации этих моделей используютсяразные основания.

По целевому назначениюэкономико-математические модели делятся на теоретико-аналитические,используемые в исследованиях общих свойств и закономерностей экономическихпроцессов, и прикладные, применяемые в решении конкретных экономических задач(модели экономического анализа, прогнозирования, управления).

Экономико-математическиемодели могут предназначаться для исследования разных сторон народного хозяйства(в частности, его производственно-технологической, социальной, территориальнойструктур) и его отдельных частей. При классификации моделей по исследуемымэкономическим процессам и содержательной проблематике можно выделить моделинародного хозяйства в целом и его подсистем — отраслей, регионов и т.д.,комплексы моделей производства, потребления, формирования и распределениядоходов, трудовых ресурсов, ценообразования, финансовых связей и т.д.

Остановимся более подробно нахарактеристике таких классов экономико-математических моделей, с которымисвязаны наибольшие особенности методологии и техники моделирования.

В соответствии с общейклассификацией математических моделей они подразделяются на функциональные иструктурные, а также включают промежуточные формы (структурно-функциональные).В исследованиях на народнохозяйственном уровне чаще применяются структурныемодели, поскольку для планирования и управления большое значение имеютвзаимосвязи подсистем. Типичными структурными моделями являются моделимежотраслевых связей. Функциональные модели широко применяются в экономическомрегулировании, когда на поведение объекта («выход») воздействуютпутем изменения «входа». Примером может служить модель поведенияпотребителей в условиях товарно-денежных отношений. Один и тот же объект можетописываться одновременно и структурой, и функциональной моделью. Так, например,для планирования отдельной отраслевой системы используется структурная модель,а на народнохозяйственном уровне каждая отрасль может быть представленафункциональной моделью.

Выше уже показывались различиямежду моделями дескриптивными и нормативными. Дискриптивные модели отвечают навопрос: как это происходит? или как это вероятнее всего может дальшеразвиваться?, т.е. они только объясняют наблюдаемые факты или дают вероятныйпрогноз. Нормативные модели отвечают на вопрос: как это должно быть?, т.е.предполагают целенаправленную деятельность. Типичным примером нормативныхмоделей являются модели оптимального планирования, формализующие тем или инымспособом цели экономического развития, возможности и средства их достижения.

Применение дескриптивногоподхода в моделировании экономики объясняется необходимостью эмпирическоговыявления различных зависимостей в экономике, установления статистическихзакономерностей экономического поведения социальных групп, изучения вероятныхпутей развития каких-либо процессов при неизменяющихся условиях или протекающихбез внешних воздействий. Примерами дескриптивных моделей являютсяпроизводственные функции и функции покупательского спроса, построенные наоснове обработки статистических данных.

Является лиэкономико-математическая модель дескриптивной или нормативной, зависит нетолько от ее математической структуры, но от характера использования этоймодели. Например, модель межотраслевого баланса дескриптивна, если онаиспользуется для анализа пропорций прошлого периода. Но эта же математическаямодель становится нормативной, когда она применяется для расчетовсбалансированных вариантов развития народного хозяйства, удовлетворяющихконечные потребности общества при плановых нормативах производственных затрат.

Многие экономико-математическиемодели сочетают признаки дескриптивных и нормативных моделей. Типична ситуация,когда нормативная модель сложной структуры объединяет отдельные блоки, которыеявляются частными дескриптивными моделями. Например, межотраслевая модель можетвключать функции покупательского спроса, описывающие поведение потребителей приизменении доходов. Подобные примеры характеризуют тенденцию эффективногосочетания дескриптивного и нормативного подходов к моделированию экономическихпроцессов. Дескриптивный подход широко применяется в имитационноммоделировании.

По характеру отраженияпричинно-следственных связей различают модели жестко детерминистские и модели,учитывающие случайность и неопределенность. Необходимо различатьнеопределенность, описываемую вероятностными законами, и неопределенность, дляописания которой законы теории вероятностей неприменимы. Второй типнеопределенности гораздо более сложен для моделирования.

По способам отражения факторавремени экономико-математические модели делятся на статические и динамические.В статических моделях все зависимости относятся к одному моменту или периодувремени. Динамические модели характеризуют изменения экономических процессов вовремени. По длительности рассматриваемого периода времени различаются моделикраткосрочного (до года), среднесрочного (до 5 лет), долгосрочного (10-15 иболее лет) прогнозирования и планирования. Само время вэкономико-математических моделях может изменяться либо непрерывно, либодискретно.

Модели экономических процессовчрезвычайно разнообразны по форме математических зависимостей. Особенно важновыделить класс линейных моделей, наиболее удобных для анализа и вычислений иполучивших вследствие этого большое распространение. Различия между линейными инелинейными моделями существенны не только с математической точки зрения, но ив теоретико-экономическом отношении, поскольку многие зависимости в экономикеносят принципиально нелинейный характер: эффективность использования ресурсовпри увеличении производства, изменение спроса и потребления населения приувеличении производства, изменение спроса и потребления населения при ростедоходов и т.п. Теория «линейной экономики» существенно отличается оттеории «нелинейной экономики». От того, предполагаются ли множествапроизводственных возможностей подсистем (отраслей, предприятий) выпуклыми илиже невыпуклыми, существенно зависят выводы о возможности сочетанияцентрализованного планирования и хозяйственной самостоятельности экономическихподсистем.

По соотношению экзогенных иэндогенных переменных, включаемых в модель, они могут разделяться на открытые изакрытые. Полностью открытых моделей не существует; модель должна содержатьхотя бы одну эндогенную переменную. Полностью закрытые экономико-математическиемодели, т.е. не включающие экзогенных переменных, исключительно редки; ихпостроение требует полного абстрагирования от «среды», т.е.серьезного огрубления реальных экономических систем, всегда имеющих внешниесвязи. Подавляющее большинство экономико-математических моделей занимаетпромежуточное положение и различаются по степени открытости (закрытости).

Для моделейнароднохозяйственного уровня важно деление на агрегированные идетализированные.

В зависимости от того,включают ли народнохозяйственные модели пространственные факторы и условия илине включают, различают модели пространственные и точечные.

Таким образом, общаяклассификация экономико-математических моделей включает более десяти основныхпризнаков. С развитием экономико-математических исследований проблемаклассификации применяемых моделей усложняется. Наряду с появлением новых типовмоделей (особенно смешанных типов) и новых признаков их классификацииосуществляется процесс интеграции моделей разных типов в более сложныемодельные конструкции.

Основные этапы процессамоделирования уже рассматривались выше. В различных отраслях знаний, в томчисле и в экономике, они приобретают свои специфические черты. Проанализируемпоследовательность и содержание этапов одного цикла экономико-математическогомоделирования.

1. Постановка экономическойпроблемы и ее качественный анализ. Главное здесь — четко сформулироватьсущность проблемы, принимаемые допущения и те вопросы, на которые требуетсяполучить ответы. Этот этап включает выделение важнейших черт и свойствмоделируемого объекта и абстрагирование от второстепенных; изучение структурыобъекта и основных зависимостей, связывающих его элементы; формулированиегипотез (хотя бы предварительных), объясняющих поведение и развитие объекта.

2. Построение математическоймодели. Это — этап формализации экономической проблемы, выражения ее в видеконкретных математических зависимостей и отношений (функций, уравнений,неравенств и т.д.). Обычно сначала определяется основная конструкция (тип) математическоймодели, а затем уточняются детали этой конструкции (конкретный переченьпеременных и параметров, форма связей). Таким образом, построение моделиподразделяется в свою очередь на несколько стадий.

Неправильно полагать, что чембольше фактов учитывает модель, тем она лучше «работает» и даетлучшие результаты. То же можно сказать о таких характеристиках сложностимодели, как используемые формы математических зависимостей (линейные инелинейные), учет факторов случайности и неопределенности и т.д. Излишняясложность и громоздкость модели затрудняют процесс исследования. Нужноучитывать не только реальные возможности информационного и математическогообеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование с получаемым эффектом(при возрастании сложности модели прирост затрат может превысить приростэффекта).

Одна из важных особенностейматематических моделей — потенциальная возможность их использования для решенияразнокачественных проблем. Поэтому, даже сталкиваясь с новой экономическойзадачей, не нужно стремиться «изобретать» модель; вначале необходимопопытаться применить для решения этой задачи уже известные модели.

В процессе построения моделиосуществляется взаимосопоставление двух систем научных знаний — экономических иматематических. Естественно стремиться к тому, чтобы получить модель,принадлежащую хорошо изученному классу математических задач. Часто это удаетсясделать путем некоторого упрощения исходных предпосылок модели, не искажающихсущественных черт моделируемого объекта. Однако возможна и такая ситуация,когда формализация экономической проблемы приводит к неизвестной ранеематематической структуре. Потребности экономической науки и практики в серединеХХ в. способствовали развитию математического программирования, теории игр, функциональногоанализа, вычислительной математики. Вполне вероятно, что в будущем развитиеэкономической науки станет важным стимулом для создания новых разделовматематики.

3. Математический анализмодели. Целью этого этапа является выяснение общих свойств модели. Здесьприменяются чисто чисто математические приемы исследования. Наиболее важныймомент — доказательство существования решений в сформулированной модели(теорема существования). Если удастся доказать, что математическая задача неимеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальномуварианту модели отпадает; следует скорректировать либо постановку экономическойзадачи, либо способы ее математической формализации. При аналитическомисследовании модели выясняются такие вопросы, как, например, единственно лирешение, какие переменные (неизвестные) могут входить в решение, каковы будутсоотношения между ними, в каких пределах и в зависимости от каких исходныхусловий они изменяются, каковы тенденции их изменения и т.д. Аналитической исследованиемодели по сравнению с эмпирическим (численным) имеет то преимущество, чтополучаемые выводы сохраняют свою силу при различных конкретных значенияхвнешних и внутренних параметров модели.

Знание общих свойств моделиимеет столь важное значение, часто ради доказательства подобных свойствисследователи сознательно идут на идеализацию первоначальной модели. И все жемодели сложных экономических объектов с большим трудом поддаются аналитическомуисследованию. В тех случаях, когда аналитическими методами не удается выяснитьобщих свойств модели, а упрощения модели приводят к недопустимым результатам,переходят к численным методам исследования.

4. Подготовка исходнойинформации. Моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации.В то же время реальные возможности получения информации ограничивают выбормоделей, предназначаемых для практического использования. При этом принимаетсяво внимание не только принципиальная возможность подготовки информации (заопределенные сроки), но и затраты на подготовку соответствующих информационныхмассивов. Эти затраты не должны превышать эффект от использованиядополнительной информации.

В процессе подготовкиинформации широко используются методы теории вероятностей, теоретической иматематической статистики. При системном экономико-математическом моделированииисходная информация, используемая в одних моделях, является результатомфункционирования других моделей.

5. Численное решение. Этотэтап включает разработку алгоритмов для численного решения задачи, составленияпрограмм на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Трудности этого этапаобусловлены прежде всего большой размерностью эконномических задач,необходимостью обработки значительных массивов информации.

Обычно расчеты поэкономико-математической модели носят многовариантный характер. Благодарявысокому быстродействию современных ЭВМ удается проводить многочисленные«модельные» эксперименты, изучая «поведение» модели приразличных изменениях некоторых условий. Исследование, проводимое численнымиметодами, может существенно дополнить результаты аналитического исследования, адля многих моделей оно является единственно осуществимым. Класс экономическихзадач, которые можно решать численными методами, значительно шире, чем классзадач, доступных аналитическому исследованию.

6. Анализ численныхрезультатов и их применение. На этом заключительном этапе цикла встает вопрос оправильности и полноте результатов моделирования, о степени практическойприменимости последних.

Математические методы проверкимогут выявлять некорректные построения модели и тем самым сужать класспотенциально правильных моделей. Неформальный анализ теоретических выводов ичисленных результатов, получаемых посредством модели, сопоставление их симеющимися знаниями и фактами действительности также позволяют обнаруживатьнедостатки постановки экономической задачи, сконструированной математическоймодели, ее информационного и математического обеспечения.

Взаимосвязи этапов. Обратимвнимание на возвратные связи этапов, возникающие вследствие того, что впроцессе исследования обнаруживаются недостатки предшествующих этаповмоделирования.

Уже на этапе построения моделиможет выясниться, что постановка задачи противоречива или приводит к слишкомсложной математической модели. В соответствии с этим исходная постановка задачикорректируется. Далее математический анализ модели (этап 3) может показать, чтонебольшая модификация постановки задачи или ее формализации дает интересныйаналитический результат.

Наиболее часто необходимостьвозврата к предшествующим этапам моделирования возникает при подготовкеисходной инфориации (этап 4). Может обнаружиться, что необходимая информацияотсутствует или же затраты на ее подготовку слишком велики. Тогда приходитсявозвращаться к постановке задачи и ее формализации, изменяя их так, чтобыприспособиться к имеющейся информации.

Посколькуэкономико-математические задачи могут быть сложны по своей структуре, иметьбольшую размерность, то часто случается, что известные алгоритмы и программыдля ЭВМ не позволяют решить задачу в первоначальном виде. Если невозможно вкороткий срок разработать новые алгоритмы и программы, исходную постановкузадачи и модель упрощают: снимают и объединяют условия, уменьшают числофакторов, нелинейные соотношения заменяют линейными, усиливают детерминизммодели и т.д.

Недостатки, которые не удаетсяисправить на промежуточных этапах моделирования, устраняются в последующихциклах. Но результаты каждого цикла имеют и вполне самостоятельное значение.Начав исследование с построения простой модели, можно быстро получить полезныерезультаты, а затем перейти к созданию более совершенной модели, дополняемойновыми условиями, включающей уточненные математические зависимости.

По мере развития и усложненияэкономико-математического моделирования его отдельные этапы обособляются вспециализированные области исследований, усиливаются различия междутеоретико-аналитическими и прикладными моделями, происходит дефференциациямоделей по уровням абстракции и идеализации.

Теория математического анализамоделей экономики развилась в особую ветвь современной математики — математическую экономику. Модели, изучаемые в рамках математической экономики,теряют непосредственную связь с экономической реальностью; они имеют дело сисключительно идеализированными экономическими объектами и ситуациями. Припостроении таких моделей главным принципом является не столько приближение креальности, сколько получение возможно большего числа аналитических результатовпосредством математических доказательств. Ценность этих моделей дляэкономической теории и практики состоит в том, что они служат теоретическойбазой для моделей прикладного типа.

Довольно самостоятельнымиобластями исследований становятся подготовка и обработка экономическойинформации и разработка математического обеспечения экономических задач(создание баз данных и банков информации, программ автоматизированногопостроения моделей и программного сервиса для экономистов-пользователей). Наэтапе практического использования моделей ведущую роль должны игратьспециалисты в соответствующей области экономического анализа, планирования,управления. Главным участком работы экономистов-математиков остается постановкаи формализация экономических задач и синтез процесса экономико-математическогомоделирования.

Глава II

2.2 Симплексный метод

Математическое программирование занимается изучениеэкстремальных задач и поиском методов их решения. Задачи математическогопрограммирования формулируются следующим образом: найти экстремум некоторойфункции многих переменных f ( x1, x2,…, xn) при ограничениях gi ( x1, x2,…, xn) <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:Symbol">*

Линейное программирование — это раздел математическогопрограммирования, в котором рассматриваются методы решения экстремальных задачс линейным функционалом и линейными ограничениями, которым должны удовлетворятьискомые переменные.

Задачу линейного программирования можно сформулироватьтак. Найти max

<img src="/cache/referats/21250/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025">

при условии :

 a11 x1+ a12 x2 +... + a1n xn <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">£

 a21 x1 +a22 x2 +... + a2n xn <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">£

 ........................... .

 am1 x1 + am2 x2+... + amn xn <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">£

 x1<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:Symbol">³

Эти ограничения называются условияминеотрицательности. Если все ограничения заданы в виде строгих равенств, тоданная форма называется канонической.

В матричной форме задачу линейного программированиязаписывают следующим образом. Найти max cT x

при условии

A x <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">£

x <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">³

где А — матрица ограничений размером ( m<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">´

Решение х0называется оптимальным,

www.ronl.ru

Реферат - Моделирование производственных и экономических процессов

АлматинскийКолледж Экономики и права

Курсовойпроект

По дисциплине:«Моделирование производственных и экономических процессов»

           Выполнил студент 408 – П гр.

                                                                           Дворный Денис В…

     Проверил преподаватель

                                                                                        Джумабекова Б.Ж.

                                                                      Защитил с оценкой __________ 

Алматы 2006

Содержание

            стр.

Введение ………………………………………………………………………...

Глава 1. Моделирование как метод научногопознания…………….………..3

Глава 2. Симплексный метод оптимальныхпродаж …………………………14

<span Times New Roman"">           

<span Times New Roman"">           

  Глава3.Транспортная задача……………………………………………………25

  3.1 Постановказадачи………………………………………………………25

  3.2 Алгоритмрешения транспортной задачи................................................27

 Заключение……………………………………………………………………31

Литература……………………………………………………………………32

Моделированиев научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепеннозахватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование,строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец,общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отрасляхсовременной науки принес методу моделирования ХХ в. Однако методологиямоделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками.Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенностала осознаваться роль моделирования как универсального метода научногопознания.

Термин«модель» широко используется в различных сферах человеческойдеятельности и имеет множество смысловых значений. Рассмотрим только такие«модели», которые являются инструментами получения знаний.

Модель — это такойматериальный или мысленно представляемый объект, который в процессеисследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучениедает новые знания об объекте-оригинале.

Под моделирование понимаетсяпроцесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такимикатегориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделированияобязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, иконструирование научных гипотез.

Главная особенностьмоделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощьюобъектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания,который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которогоизучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделированияопределяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез,других категорий и методов познания.

Необходимость использованияметода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы,относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно,или же это исследование требует много времени и средств.

Процесс моделирования включаеттри элемента: 1) субъект (исследователь), 2) объект исследования, 3) модель,опосредствующую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта.

Пусть имеется или необходимосоздать некоторый объект А. Мы конструируем (материально или мысленно) илинаходим в реальном мире другой объект В — модель объекта А. Этап построениямодели предполагает наличие некоторых знаний об объекте-оригинале.Познавательные возможности модели обуславливаются тем, что модель отражаеткакие-либо существенные черты объекта-оригинала. Вопрос о необходимости идостаточной мере сходства оригинала и модели требует конкретного анализа.Очевидно, модель утрачивает свой смысл как в случае тождества с оригиналом(тогда она перестает быть оригиналом), так и в случае чрезмерного во всехсущественных отношениях отличия от оригинала.

Таким образом, изучение однихсторон моделируемого объекта осуществляется ценой отказа от отражения другихсторон. Поэтому любая модель замещает оригинал лишь в строго ограниченномсмысле. Из этого следует, что для одного объекта может быть построено несколько«специализированных» моделей, концентрирующих внимание наопределенных сторонах исследуемого объекта или же характеризующих объект сразной степенью детализации.

На втором этапе процессамоделирования модель выступает как самостоятельный объект исследования. Однойиз форм такого исследования является проведение «модельных»экспериментов, при которых сознательно изменяются условия функционированиямодели и систематизируются данные о ее «поведении». Конечным результатомэтого этапа является множество знаний о модели R.

На третьем этапеосуществляется перенос знаний с модели на оригинал — формирование множествазнаний S об объекте. Этот процесс переноса знаний проводится по определеннымправилам. Знания о модели должны быть скорректированы с учетом тех свойствобъекта-оригинала, которые не нашли отражения или были изменены при построениимодели. Мы можем с достаточным основанием переносить какой-либо результат смодели на оригинал, если этот результат необходимо связан с признаками сходстваоригинала и модели. Если же определенный результат модельного исследованиясвязан с отличием модели от оригинала, то этот результат переноситьнеправомерно.

Четвертый этап — практическаяпроверка получаемых с помощью моделей знаний и их использование для построенияобобщающей теории объекта, его преобразования или управления им.

Для понимания сущностимоделирования важно не упускать из виду, что моделирование — не единственныйисточник знаний об объекте. Процесс моделирования «погружен» в болееобщий процесс познания. Это обстоятельство учитывается не только на этапепостроения модели, но и на завершающей стадии, когда происходит объединение иобобщение результатов исследования, получаемых на основе многообразных средствпознания.

Моделирование — циклическийпроцесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последоватьвторой, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются иуточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки,обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знаниемобъекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. Вметодологии моделирования, таким образом, заложены большие возможностисаморазвития.

Проникновение математики вэкономическую науку связано с преодолением значительных трудностей. В этомотчасти была «повинна» математика, развивающаяся на протяжении несколькихвеков в основном в связи с потребностями физики и техники. Но главные причинылежат все же в природе экономических процессов, в специфике экономическойнауки.

Большинство объектов,изучаемых экономической наукой, может быть охарактеризовано кибернетическимпонятием сложная система.

Наиболее распространенопонимание системы как совокупности элементов, находящихся во взаимодействии иобразующих некоторую целостность, единство. Важным качеством любой системыявляется эмерджентность — наличие таких свойств, которые не присущи ни одномуиз элементов, входящих в систему. Поэтому при изучении систем недостаточнопользоваться методом их расчленения на элементы с последующим изучением этихэлементов в отдельности. Одна из трудностей экономических исследований — в том,что почти не существует экономических объектов, которые можно было бырассматривать как отдельные (внесистемные) элементы.

Сложность системы определяетсяколичеством входящих в нее элементов, связями между этими элементами, а такжевзаимоотношениями между системой и средой. Экономика страны обладает всемипризнаками очень сложной системы. Она объединяет огромное число элементов,отличается многообразием внутренних связей и связей с другими системами(природная среда, экономика других стран и т.д.). В народном хозяйствевзаимодействуют природные, технологические, социальные процессы, объективные исубъективные факторы.

Сложность экономики иногдарассматривалась как обоснование невозможности ее моделирования, изучениясредствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна. Моделироватьможно объект любой природы и любой сложности. И как раз сложные объектыпредставляют наибольший интерес для моделирования; именно здесь моделированиеможет дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования.

Потенциальная возможностьматематического моделирования любых экономических объектов и процессов неозначает, разумеется, ее успешной осуществимости при данном уровнеэкономических и математических знаний, имеющейся конкретной информации ивычислительной технике. И хотя нельзя указать абсолютные границы математическойформализуемости экономических проблем, всегда будут существовать ещенеформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделированиенедостаточно эффективно.

Математические моделиэкономических процессов и явлений более кратко можно назватьэкономико-математическими моделями. Для классификации этих моделей используютсяразные основания.

По целевому назначениюэкономико-математические модели делятся на теоретико-аналитические,используемые в исследованиях общих свойств и закономерностей экономическихпроцессов, и прикладные, применяемые в решении конкретных экономических задач(модели экономического анализа, прогнозирования, управления).

Экономико-математическиемодели могут предназначаться для исследования разных сторон народного хозяйства(в частности, его производственно-технологической, социальной, территориальнойструктур) и его отдельных частей. При классификации моделей по исследуемымэкономическим процессам и содержательной проблематике можно выделить моделинародного хозяйства в целом и его подсистем — отраслей, регионов и т.д.,комплексы моделей производства, потребления, формирования и распределениядоходов, трудовых ресурсов, ценообразования, финансовых связей и т.д.

Остановимся более подробно нахарактеристике таких классов экономико-математических моделей, с которымисвязаны наибольшие особенности методологии и техники моделирования.

В соответствии с общейклассификацией математических моделей они подразделяются на функциональные иструктурные, а также включают промежуточные формы (структурно-функциональные).В исследованиях на народнохозяйственном уровне чаще применяются структурныемодели, поскольку для планирования и управления большое значение имеютвзаимосвязи подсистем. Типичными структурными моделями являются моделимежотраслевых связей. Функциональные модели широко применяются в экономическомрегулировании, когда на поведение объекта («выход») воздействуютпутем изменения «входа». Примером может служить модель поведенияпотребителей в условиях товарно-денежных отношений. Один и тот же объект можетописываться одновременно и структурой, и функциональной моделью. Так, например,для планирования отдельной отраслевой системы используется структурная модель,а на народнохозяйственном уровне каждая отрасль может быть представленафункциональной моделью.

Выше уже показывались различиямежду моделями дескриптивными и нормативными. Дискриптивные модели отвечают навопрос: как это происходит? или как это вероятнее всего может дальшеразвиваться?, т.е. они только объясняют наблюдаемые факты или дают вероятныйпрогноз. Нормативные модели отвечают на вопрос: как это должно быть?, т.е.предполагают целенаправленную деятельность. Типичным примером нормативныхмоделей являются модели оптимального планирования, формализующие тем или инымспособом цели экономического развития, возможности и средства их достижения.

Применение дескриптивногоподхода в моделировании экономики объясняется необходимостью эмпирическоговыявления различных зависимостей в экономике, установления статистическихзакономерностей экономического поведения социальных групп, изучения вероятныхпутей развития каких-либо процессов при неизменяющихся условиях или протекающихбез внешних воздействий. Примерами дескриптивных моделей являютсяпроизводственные функции и функции покупательского спроса, построенные наоснове обработки статистических данных.

Является лиэкономико-математическая модель дескриптивной или нормативной, зависит нетолько от ее математической структуры, но от характера использования этоймодели. Например, модель межотраслевого баланса дескриптивна, если онаиспользуется для анализа пропорций прошлого периода. Но эта же математическаямодель становится нормативной, когда она применяется для расчетовсбалансированных вариантов развития народного хозяйства, удовлетворяющихконечные потребности общества при плановых нормативах производственных затрат.

Многие экономико-математическиемодели сочетают признаки дескриптивных и нормативных моделей. Типична ситуация,когда нормативная модель сложной структуры объединяет отдельные блоки, которыеявляются частными дескриптивными моделями. Например, межотраслевая модель можетвключать функции покупательского спроса, описывающие поведение потребителей приизменении доходов. Подобные примеры характеризуют тенденцию эффективногосочетания дескриптивного и нормативного подходов к моделированию экономическихпроцессов. Дескриптивный подход широко применяется в имитационноммоделировании.

По характеру отраженияпричинно-следственных связей различают модели жестко детерминистские и модели,учитывающие случайность и неопределенность. Необходимо различатьнеопределенность, описываемую вероятностными законами, и неопределенность, дляописания которой законы теории вероятностей неприменимы. Второй типнеопределенности гораздо более сложен для моделирования.

По способам отражения факторавремени экономико-математические модели делятся на статические и динамические.В статических моделях все зависимости относятся к одному моменту или периодувремени. Динамические модели характеризуют изменения экономических процессов вовремени. По длительности рассматриваемого периода времени различаются моделикраткосрочного (до года), среднесрочного (до 5 лет), долгосрочного (10-15 иболее лет) прогнозирования и планирования. Само время вэкономико-математических моделях может изменяться либо непрерывно, либодискретно.

Модели экономических процессовчрезвычайно разнообразны по форме математических зависимостей. Особенно важновыделить класс линейных моделей, наиболее удобных для анализа и вычислений иполучивших вследствие этого большое распространение. Различия между линейными инелинейными моделями существенны не только с математической точки зрения, но ив теоретико-экономическом отношении, поскольку многие зависимости в экономикеносят принципиально нелинейный характер: эффективность использования ресурсовпри увеличении производства, изменение спроса и потребления населения приувеличении производства, изменение спроса и потребления населения при ростедоходов и т.п. Теория «линейной экономики» существенно отличается оттеории «нелинейной экономики». От того, предполагаются ли множествапроизводственных возможностей подсистем (отраслей, предприятий) выпуклыми илиже невыпуклыми, существенно зависят выводы о возможности сочетанияцентрализованного планирования и хозяйственной самостоятельности экономическихподсистем.

По соотношению экзогенных иэндогенных переменных, включаемых в модель, они могут разделяться на открытые изакрытые. Полностью открытых моделей не существует; модель должна содержатьхотя бы одну эндогенную переменную. Полностью закрытые экономико-математическиемодели, т.е. не включающие экзогенных переменных, исключительно редки; ихпостроение требует полного абстрагирования от «среды», т.е.серьезного огрубления реальных экономических систем, всегда имеющих внешниесвязи. Подавляющее большинство экономико-математических моделей занимаетпромежуточное положение и различаются по степени открытости (закрытости).

Для моделейнароднохозяйственного уровня важно деление на агрегированные идетализированные.

В зависимости от того,включают ли народнохозяйственные модели пространственные факторы и условия илине включают, различают модели пространственные и точечные.

Таким образом, общаяклассификация экономико-математических моделей включает более десяти основныхпризнаков. С развитием экономико-математических исследований проблемаклассификации применяемых моделей усложняется. Наряду с появлением новых типовмоделей (особенно смешанных типов) и новых признаков их классификацииосуществляется процесс интеграции моделей разных типов в более сложныемодельные конструкции.

Основные этапы процессамоделирования уже рассматривались выше. В различных отраслях знаний, в томчисле и в экономике, они приобретают свои специфические черты. Проанализируемпоследовательность и содержание этапов одного цикла экономико-математическогомоделирования.

1. Постановка экономическойпроблемы и ее качественный анализ. Главное здесь — четко сформулироватьсущность проблемы, принимаемые допущения и те вопросы, на которые требуетсяполучить ответы. Этот этап включает выделение важнейших черт и свойствмоделируемого объекта и абстрагирование от второстепенных; изучение структурыобъекта и основных зависимостей, связывающих его элементы; формулированиегипотез (хотя бы предварительных), объясняющих поведение и развитие объекта.

2. Построение математическоймодели. Это — этап формализации экономической проблемы, выражения ее в видеконкретных математических зависимостей и отношений (функций, уравнений,неравенств и т.д.). Обычно сначала определяется основная конструкция (тип) математическоймодели, а затем уточняются детали этой конструкции (конкретный переченьпеременных и параметров, форма связей). Таким образом, построение моделиподразделяется в свою очередь на несколько стадий.

Неправильно полагать, что чембольше фактов учитывает модель, тем она лучше «работает» и даетлучшие результаты. То же можно сказать о таких характеристиках сложностимодели, как используемые формы математических зависимостей (линейные инелинейные), учет факторов случайности и неопределенности и т.д. Излишняясложность и громоздкость модели затрудняют процесс исследования. Нужноучитывать не только реальные возможности информационного и математическогообеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование с получаемым эффектом(при возрастании сложности модели прирост затрат может превысить приростэффекта).

Одна из важных особенностейматематических моделей — потенциальная возможность их использования для решенияразнокачественных проблем. Поэтому, даже сталкиваясь с новой экономическойзадачей, не нужно стремиться «изобретать» модель; вначале необходимопопытаться применить для решения этой задачи уже известные модели.

В процессе построения моделиосуществляется взаимосопоставление двух систем научных знаний — экономических иматематических. Естественно стремиться к тому, чтобы получить модель,принадлежащую хорошо изученному классу математических задач. Часто это удаетсясделать путем некоторого упрощения исходных предпосылок модели, не искажающихсущественных черт моделируемого объекта. Однако возможна и такая ситуация,когда формализация экономической проблемы приводит к неизвестной ранеематематической структуре. Потребности экономической науки и практики в серединеХХ в. способствовали развитию математического программирования, теории игр, функциональногоанализа, вычислительной математики. Вполне вероятно, что в будущем развитиеэкономической науки станет важным стимулом для создания новых разделовматематики.

3. Математический анализмодели. Целью этого этапа является выяснение общих свойств модели. Здесьприменяются чисто чисто математические приемы исследования. Наиболее важныймомент — доказательство существования решений в сформулированной модели(теорема существования). Если удастся доказать, что математическая задача неимеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальномуварианту модели отпадает; следует скорректировать либо постановку экономическойзадачи, либо способы ее математической формализации. При аналитическомисследовании модели выясняются такие вопросы, как, например, единственно лирешение, какие переменные (неизвестные) могут входить в решение, каковы будутсоотношения между ними, в каких пределах и в зависимости от каких исходныхусловий они изменяются, каковы тенденции их изменения и т.д. Аналитической исследованиемодели по сравнению с эмпирическим (численным) имеет то преимущество, чтополучаемые выводы сохраняют свою силу при различных конкретных значенияхвнешних и внутренних параметров модели.

Знание общих свойств моделиимеет столь важное значение, часто ради доказательства подобных свойствисследователи сознательно идут на идеализацию первоначальной модели. И все жемодели сложных экономических объектов с большим трудом поддаются аналитическомуисследованию. В тех случаях, когда аналитическими методами не удается выяснитьобщих свойств модели, а упрощения модели приводят к недопустимым результатам,переходят к численным методам исследования.

4. Подготовка исходнойинформации. Моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации.В то же время реальные возможности получения информации ограничивают выбормоделей, предназначаемых для практического использования. При этом принимаетсяво внимание не только принципиальная возможность подготовки информации (заопределенные сроки), но и затраты на подготовку соответствующих информационныхмассивов. Эти затраты не должны превышать эффект от использованиядополнительной информации.

В процессе подготовкиинформации широко используются методы теории вероятностей, теоретической иматематической статистики. При системном экономико-математическом моделированииисходная информация, используемая в одних моделях, является результатомфункционирования других моделей.

5. Численное решение. Этотэтап включает разработку алгоритмов для численного решения задачи, составленияпрограмм на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Трудности этого этапаобусловлены прежде всего большой размерностью эконномических задач,необходимостью обработки значительных массивов информации.

Обычно расчеты поэкономико-математической модели носят многовариантный характер. Благодарявысокому быстродействию современных ЭВМ удается проводить многочисленные«модельные» эксперименты, изучая «поведение» модели приразличных изменениях некоторых условий. Исследование, проводимое численнымиметодами, может существенно дополнить результаты аналитического исследования, адля многих моделей оно является единственно осуществимым. Класс экономическихзадач, которые можно решать численными методами, значительно шире, чем классзадач, доступных аналитическому исследованию.

6. Анализ численныхрезультатов и их применение. На этом заключительном этапе цикла встает вопрос оправильности и полноте результатов моделирования, о степени практическойприменимости последних.

Математические методы проверкимогут выявлять некорректные построения модели и тем самым сужать класспотенциально правильных моделей. Неформальный анализ теоретических выводов ичисленных результатов, получаемых посредством модели, сопоставление их симеющимися знаниями и фактами действительности также позволяют обнаруживатьнедостатки постановки экономической задачи, сконструированной математическоймодели, ее информационного и математического обеспечения.

Взаимосвязи этапов. Обратимвнимание на возвратные связи этапов, возникающие вследствие того, что впроцессе исследования обнаруживаются недостатки предшествующих этаповмоделирования.

Уже на этапе построения моделиможет выясниться, что постановка задачи противоречива или приводит к слишкомсложной математической модели. В соответствии с этим исходная постановка задачикорректируется. Далее математический анализ модели (этап 3) может показать, чтонебольшая модификация постановки задачи или ее формализации дает интересныйаналитический результат.

Наиболее часто необходимостьвозврата к предшествующим этапам моделирования возникает при подготовкеисходной инфориации (этап 4). Может обнаружиться, что необходимая информацияотсутствует или же затраты на ее подготовку слишком велики. Тогда приходитсявозвращаться к постановке задачи и ее формализации, изменяя их так, чтобыприспособиться к имеющейся информации.

Посколькуэкономико-математические задачи могут быть сложны по своей структуре, иметьбольшую размерность, то часто случается, что известные алгоритмы и программыдля ЭВМ не позволяют решить задачу в первоначальном виде. Если невозможно вкороткий срок разработать новые алгоритмы и программы, исходную постановкузадачи и модель упрощают: снимают и объединяют условия, уменьшают числофакторов, нелинейные соотношения заменяют линейными, усиливают детерминизммодели и т.д.

Недостатки, которые не удаетсяисправить на промежуточных этапах моделирования, устраняются в последующихциклах. Но результаты каждого цикла имеют и вполне самостоятельное значение.Начав исследование с построения простой модели, можно быстро получить полезныерезультаты, а затем перейти к созданию более совершенной модели, дополняемойновыми условиями, включающей уточненные математические зависимости.

По мере развития и усложненияэкономико-математического моделирования его отдельные этапы обособляются вспециализированные области исследований, усиливаются различия междутеоретико-аналитическими и прикладными моделями, происходит дефференциациямоделей по уровням абстракции и идеализации.

Теория математического анализамоделей экономики развилась в особую ветвь современной математики — математическую экономику. Модели, изучаемые в рамках математической экономики,теряют непосредственную связь с экономической реальностью; они имеют дело сисключительно идеализированными экономическими объектами и ситуациями. Припостроении таких моделей главным принципом является не столько приближение креальности, сколько получение возможно большего числа аналитических результатовпосредством математических доказательств. Ценность этих моделей дляэкономической теории и практики состоит в том, что они служат теоретическойбазой для моделей прикладного типа.

Довольно самостоятельнымиобластями исследований становятся подготовка и обработка экономическойинформации и разработка математического обеспечения экономических задач(создание баз данных и банков информации, программ автоматизированногопостроения моделей и программного сервиса для экономистов-пользователей). Наэтапе практического использования моделей ведущую роль должны игратьспециалисты в соответствующей области экономического анализа, планирования,управления. Главным участком работы экономистов-математиков остается постановкаи формализация экономических задач и синтез процесса экономико-математическогомоделирования.

Глава II

2.2 Симплексный метод

Математическое программирование занимается изучениеэкстремальных задач и поиском методов их решения. Задачи математическогопрограммирования формулируются следующим образом: найти экстремум некоторойфункции многих переменных f ( x1, x2,…, xn) при ограничениях gi ( x1, x2,…, xn) <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:Symbol">*

Линейное программирование — это раздел математическогопрограммирования, в котором рассматриваются методы решения экстремальных задачс линейным функционалом и линейными ограничениями, которым должны удовлетворятьискомые переменные.

Задачу линейного программирования можно сформулироватьтак. Найти max

<img src="/cache/referats/21250/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025">

при условии :

 a11 x1+ a12 x2 +... + a1n xn <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">£

 a21 x1 +a22 x2 +... + a2n xn <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">£

 ........................... .

 am1 x1 + am2 x2+... + amn xn <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">£

 x1<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:Symbol">³

Эти ограничения называются условияминеотрицательности. Если все ограничения заданы в виде строгих равенств, тоданная форма называется канонической.

В матричной форме задачу линейного программированиязаписывают следующим образом. Найти max cT x

при условии

A x <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">£

x <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">³

где А — матрица ограничений размером ( m<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">´

Решение х0называется оптимальным,

www.ronl.ru

Смотрите также

• 
  Волейбол заключение к реферату
• 
  Биомеханика в волейболе реферат
• 
  Биография александра невского реферат
• 
  Автоматические установки пожаротушения реферат
• 
  Реферат сибирь в древности
• 
  Харизма в политике реферат
• 
  Реферат функции юридической науки
• 
  Реферат римский корсаков шахерезада
• 
  Реферат проблема общественного прогресса
• 
  Реферат дэвид ллойд джордж
• 
  Проблема общественного прогресса реферат